重庆中考数学动态几何平移
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07:22查看AI文稿AI文稿大家好，这节课我们继续来看几何画板，举手操作第六讲平移、旋转、缩放反射，这是我们在几何画板中最重要的四种变换。 我们首先来看平移，选重点工具，执行变换中的平移命令。 在平移对角框中出现第一个极坐标，它包括平移的距离以及平移的角度。固定距离我们改为五厘米，固定角度我们改为零度， 点击平移，选中这两个点，执行变换中的平移命令。 固定距离每改为八厘米，固定角度改为九十度，点击平移，依次选中这四个点， 执行 ctrl 加 l 键构造线段。这样我们就利用平移构造了一个矩形， 选中这个矩形，删掉选重点工具， 执行变换中的平移命令。我们这一次呢选择直角坐标方法，那么它包括水平方向的平移距离以及垂直方向的水平平移距离， 那么水平方向跟距离我们改为五厘米，垂直方向改为零厘米，点平移，选中这两个点，执行变换中的平移命令。 水平方向我们改为零厘米，垂直方向我们改为八厘米。执行平移命令。依次选中这四个点， 执行快捷键 ctrl 加 l 构造线段。这样我们又构另一种方法，构造了一个矩形， 选中这个三行，我们删除。我们再来看旋转，选重点工具，构造一个点， 选中这个点，执行平移命令。 我们用极坐标平距离为五厘米，以零度点平移， 我们以 a 为旋转中心，把 b 绕着点 a 逆时针旋转九十度，那么双击 旋转中心点 a， 选中点 b， 执行变换中的旋转命令。 旋转参数固定角度为零度，点击旋转，这样我们就连依次选中这三个点，执行 ctrl 加 l 构造线段，这样我们就构造了一个等腰直角三角形。 我们如果旋转的时候，如果是逆时针，那么角度为正，如果是顺时针的话，角度为负，这是旋转。 下面我们再来看缩放，那么缩放呢？我以构造一个长宽比为四比三的矩形为例，选重点工具执行变换中的平移命令。 固定距离四厘米，固定角度零度点平移， 双击第一个点，选中第二个点，变换中的缩放。 固定比为三比四， 点击缩放， 双击这个点，选中缩放后的点，变换旋转固定角度九十度， 选中这个点，执行 ctrl 加 h 键，把它隐藏。选中这个点， 执行平移命令，依次选中这两个点，点击平移。 依次选中这四个点，执行 ctrl 加 l 键构造线段，这样我们又构造了一个长宽比为四比三的矩形。 下面我们再来看一下反射，反射也是我们经常说的轴对称，我们先来选重点工具构造一个点， 再构造一条直线， 双击这条直线，选中这个点， 执行变换中的反射命令。这样我们就构造了两个关于这条直线的对称点，同样我们可以构造多边形的对称图形。 构造一个多边形，双击这条直线， 选中这个四边形，执行变换中的反式命令。这样我们又构造了两个关于这条直线轴对称的两个几何图形。我们来看一下，如果变换这个几何中的形状， 那么右边的动作跟着随之改变。有关平移、旋转、缩放、反射的四种变化的基本操作呢，就讲到这里，再见。
214画板数学
11:54查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是几何变换之旋转，那接下来我们来把几何变换的下，因为旋转啊，旋转我们分什么旋转？我们分全等的旋转就是一般旋转，一般旋转就是全等旋转和什么呢？和相似旋转，一般转和相似转。首先我们来讲一讲用旋转 怎么用旋转，比如说我把一个三角形 abc 绕着点 a 转到 a、 b 片、 c 片， 比如说我把 a、 b、 c 转到 a、 b 片、 c 片来。我们来想一想，转过来以后首先会有什么？首先会有全等嘛？所以咱就先同步信息嘛。 你比如说这有 a， 那 这也是 a， 这是 b， 那 这也是 b， 这是 c， 那 这也是 c， 所以 转完后先同步信息。这有一个，比如说，呃，一百二十度角，那么这个角也一百二十度。所以 用旋转的第一啊，你要用旋转，第一就是同步，这个跟翻折是完全一样的。第二转你是不是得关心它的旋转角吧？这里面哪些角是旋转角？旋转角是对应边与对应边的夹角， a 和 a 的 夹角是旋转角，旋转角是 r 法， 那么这个 b 和 b 的 夹角也是旋转角，那么旋转角都是相等的，转过的角度一定是一样的，这也是 r 法。所以看旋转角、旋转角、旋转角都相等， 他一定都相等，然后再来，哎，你会发现 a 转到 a 了，这里就会出现什么三角形，这里就会出现等腰三角形。等腰三角形肯定是非常好的三角形， b 等于 b 了，那么连接 c、 c 片也会出现等腰三角形。 等腰三角形是非常好的，这而且是以旋转角为顶角的等腰三角形，这样的等腰三角形往往会是题目的考点，越特殊越考你，所以第三，别忘了看等腰，这就是用旋转，还是那句话，不要去想着去硬记下来，你要去想 旋转本身就是全等，全等就要同步信息，转过去的角度都一样，那你肯定得把都一样的这个旋转角看一下，最后旋转一定会出现等腰等腰三角形看一看，这就是如何通过旋转去挖掘已知条件。那么接下来我们来感受一下啊，什么时候我们可以造旋转呢？哎，你比如说看 这有一个线段三来，我如果再给这来一条线段三， 我说我现在想造个旋转，把这个 abc 转一下，我一定是把这个 abc 转到谁和谁重合，这是一个三角形，这是一个另外的已知信息，那我转肯定要怎么样？要让这转完以后的三角形跟其他的已知信息发生关联吗？那我转完以后一定是把这个 ab 转到 ad， 对吧？然后呢，那你会发现这个 c 就 转到 c 撇，那么 a c 就 转到 a c 撇，所以这个三角形就转上来了，这叫共点等线造旋转。你看原本有 a、 b 等于 a、 d 共着点， a 等着线段，那么我就可以造旋转，我就可以把这个三角形转上来。 哎，转上来这个 a、 d、 c 撇就全等于 abc， 这就是旋转的本质，它其实就是会给你再放一条线段三啊，否则你怎么办？你随便转啊，转完以后跟已知条件没有什么用 啊，没有什么关联，那么为了转完以后跟已知条件有关联，所以共点等线我就转。那么转完以后可以干什么？可以同步信息，可以挖掘更多的已知条件，可以转化已知所求，比如说我要求他不好，求我转过来求他，对吧？这条线段是五不好用，那我转过来用这条线段，所以转实现的结果就是 条件的转化，那么我们往往给你的条件不会这么简单粗暴啊，它往往是给你一个这样的。很多时候你会看到等腰三角形或者四边形，比如说 b、 a、 d、 c， 我 告诉你 b、 a 等于 bc， 那 么这就是一个。首先你要理解，这就是一个共点等线四边形，共点等线四边形我就可以赚，赚谁呢？兄弟们？ 你转一定是转一个三角形，对不对？你一定是绕着这个共点转一个含有等线的三角形，那你就可以转这个三角形，或者转底下这个三角形，对不对？好吧，那么转怎么转呢？我就是把这个三角形绕着点 b 转到等线重合转下来， 把这个三角形绕着点 b， 转到等线重合 a 转到 c， 哎，整个转下来，一旦转完以后，那么接下来我是不是就可以用旋转？用旋转就是我刚才说的那几件事了。所以最后盘一下，首先为啥要转？就是要转化， 你转的时候一定会觉得什么这些线段不好用，比如说这个线段三不好用，比如说这个线段问号不好用，就是已知条件不好用，你要转化你就转，为啥转？那么转的条件是什么呢？你要有共点等线你才能转，没有共点等线你往哪转？对不对？你看这出现了共点等线，我就可以转，转的条件 看，这是为啥？想要转，那是有啥条件可以转好再来转谁？你转的这个东西就是为了转化的，所以首先你得包含等线，因为我转完后等线重合， 然后你转的这个东西一定会包含已知所求，因为我要转化的就是已知所求，所以转的这个三角形一定是包含等线、已知所求的三角形。最后怎么转？咋转 啊？共点为中心啊？共点为中心，转至等线重合，什么意思？以这个共点为中心，转到这两条等线重合就转完了，这就是旋转的从 为啥转到转的条件，到转谁，到最后怎么转？那么转完以后怎么用它呢？转完以后的使用就跟我们刚才讲的一样了。第一看旋转角，这两个角都是旋转角，就是咋用旋转？你看旋转角同步信息，你比如说这个角是 theta， 这个角也是 theta， 这条线段是三，这条线段也是三，那么这条边它就等于这条边。第三步，连 b d 得等腰，对吧？所以呢，你转完以后，对于共点等线旋转的使用就是你自己造的共点等线的旋转和原本的人家给你一组旋转是完全没有差别的，你只要造完了旋转，那么旋转的使用就是旋转角同步信息，看等 腰。好了，来我们看题吧，这个角四十五度，这个角四十五度，这个角四十五度，这就是一个等腰直角三角形，那么 d b 就 等于 d c 了， 对吧？好，告诉我们，这条线段是八，这条线段是六。最后要求这个问号的长，要求这条蓝线的长。来吧，兄弟们，首先你就会发现，在目前的这幅图下，你要求问号难受不难受？你会发现，目前这幅图下，你要求问号，这两个四十五度都被拆开了，这所有的条件感觉都用不起来， 目前这条线段你是一定会难受的，所以难受就想转化，转化就要赚，为啥赚？我要转化，那么接下来赚谁呢？赚的条件有没有？有没有赚的条件？我们说要赚就得有共点等线，这里有没有共点等线？显然有，我有 d b 等于 dc， 这里显然有共点等线， d、 b 等 等于 dc， 哎，那我就可以转，对吧？有共点等线我就可以转，那么转谁呢？包含已知所求的三角形，对吧？首先它共点等线转，你肯定得包含这两条线段， 对吧？你要转的那个三角形，得包含等线，包含已知包含所求，那是哪个三角形？就是三角形 a、 b、 d 嘛？包含等线已知所求。看 等线，已知所求，那就是这个三角形，我要转的就是这个三角形。最后怎么转？这个紫色三角形绕着谁转？肯定是以共点为中心嘛，共点为中心，转到等线重合嘛？转至等线重合嘛？共点为中心，那么 d 就是 旋转中心嘛。转到等线重合，就是转到 dc， 转到 db， 对 吧？ dc 转到 db 转到九十度，那么 da 是 不也要九十度往上转， da 是 不也要九十度往上转，对吧？啊？ da 转到 da 撇 啊，对吧？然后呢，那你会发现这个阴影三角形就转到这个阴影三角形，这就是转的过程， dc 转到 dc 撇，那么 da 也要转九十度，转到 d、 a 撇，最后把这两个点一连就转完了。转完以后长这样好，转完以后我们怎么办呢啊？转完以后他就回到了，我们就已经构造完成了，构造完成了，我们就回到了什么， 我们就回到了他，就是一个标标准准的旋转问题了。就是三角形 d、 a、 c 转到三角形 d、 e、 b， 那 么 该干什么？该干什么干什么。第一，看旋转角，旋转角多少度？旋转角九十度。第二，同步信息可以同步，谁可以同步？这个线段是八，这个线段也是八。 第三，看等腰，连谁就得等腰了。我连个 a e， 是 不是得等腰了？得等腰，这是八，这是八，这就是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这就是八倍的根号二，这个角四十五度，这个角四十五度。 得到这一系列条件以后，最终我求谁呢？原本求的是 a c， 那 我就可以求 b e， 你 看现在这个 b e 能不能求 b e， 放哪个三角形里？求，放 a b e 里求就行了。这是四十五度，这也是四十五度，那这就是一个大大的九十度，所以这是一个直角三角形。 那么对于这个直角三角形来说，这条线段是六，这条线段是八倍，根号二。哎，你就可以勾股定律算出来，这就是二倍的根号下四十一结束。所以你会发现 旋转最大的好处是帮助我们什么？帮助我们转化了信息吗？这个线段挪到这来，这个八挪上去。本来要求 ac 不好求挪到这来，最后挪到这来，放进直角三角形就求了。 好，来，这题共点等，现在都给你怼脸上了。他说 ap 是 在 bc 上的一个动点，他把 e p 绕点 e 转六十度转到 ef， 最后让我们求 af 的 最小值，你看目前这个感觉还是很难求 af 的 最小值，对吧？目前的这个条件，这是四，这是八，这是六十度。这个 af 感觉什么条件都没有，所以我想干什么，我就赚这个 af 就 行了嘛，对不对？哎，因为这个是等线，这个是所求线，这个是已知线。 所以呢，首先我们有啥？为啥要转？要转化，目前的这个位置肯定都不好转化。第二，转的条件，共点等线，共点等线，怼脸上有的。第三，转，谁包含等线？已知所求的三角形。等线，已知所求三角形，不就这个三角形吗？对吧？然后呢，怎么转？ 共点为中心转到等线重合，就把这个三角形整个转下来，旋转角多少度，兄弟们，转多少度下来，转个六十度下来就完了吗？你看这个 e f 转到 e p 转六十度，这个 e a 转到 e a 撇，这也是六十度。转六十度下来以后，那现在我就要求 a 撇 f， 你 看，原本我求他的最值，现在变成求 a 撇 f 的 最值， 求 a 撇 f 的 最值。来同步一下信息，这条线段是四，这条线段也是四，好，来求 a 撇 p 的 最值。那你说 a 撇 p 什么时候最小？ 你这个时候要分析一下，请问 a 撇是定点还是动点？ a 撇显然是定点吗？为什么？显然定点长度是定的，夹角是定的， a 撇显然是定点，而 p 在 b c 上动一个定点到一个定直线上动点的最小值，垂线段最短。所以最终我要求的就是 a 撇 p 撇 来 a 撇 p 撇怎么求？做高嘛？做高嘛，你会发现 a 撇 p 撇在一个什么图形里梯形非常好。为啥是梯形？这个角是六十度，这个角是六十度，所以这两条上底和下底是平行的， 所以呢，这就是一个梯形，一个梯形我要求他的高，坐高就好了，坐个高，这是八，这是四，这是四倍根号三，所以 a 撇 p 撇就等于四倍根号三，打完收工就这么简单。 所以你理解一下这个逻辑，这个点太飘了，太飘了，我给它转回来， 因为有共点等线，咱就可以给他转回来，转化一下，一旦往下一转，这个事太简单了，求一个定点到动点的最小值，垂线的最短，然后梯形做高。 你看有没有发现，你哪怕就跟马哥听了这么短短的几道题，很多逻辑都是高度复用的很多逻辑都是高度复用的。连什么梯形做高，特殊角做垂线， 其实初中阶段的绝大多数逻辑都是高度赋用的。你为什么不会？就是因为你每次没有在意这些东西，就是你做所有题目的唯一的收获是什么？ 不是收获。这道题是怎么解的？是通过这道题收获可以赋用的逻辑。包括来我给你讲的共点等线造旋转。你看，你要特别懂为啥转， 你要知道为啥转，你不能光看人家转了对不对？你得想清楚为啥转，你得还得想清楚转的条件是啥，你得有共点等线吗？然后呢，你还得想清楚我怎么去确定转谁呢？那我转 既然要转化已知所求，那我肯定得转一个包含已知所求的三角线，你得把这都想明白，最后咋转？共点为旋转中心，你共点等线不就是为了让共点旋转中心转到等线重合吗？ 所以你得把这些不光是要把这些方法记住，更要理解方法背后为什么是这样的逻辑？你懂了，这些逻辑你用起来才能得心应手。
707马哥数学直播
04:43查看AI文稿AI文稿同学们，我们来看这道几何题啊，这是我们典型的这个平移的啊题型，我们首先呢先读一下题啊，将直角三角形 abc 啊，这是直角三角形对吧？那是这个三角形 abc 沿着 b 点到 c 点的方向平移是吧？ 平移什么到三角形 d、 e、 f 的 这个位置啊？那这里面王老师也给大家讲过啊，什么叫平移啊？同学们，平移会带给我们什么信息啊？啊？平移会带给我们还是啊， 两个全等型，也就是你平移的是什么，他就是个什么全等型，对不对？那这里面哪两个是全等型啊？也就三角形 a、 b、 c 是 吧，平移前和平移后的三角形 d、 e、 f 啊，这两个就是一个全等型，对不对？哎，所以这都是什么？哎，他们全等型对应的角相等，对应的边相等是吧，对应的面积相等是吧，这就是移动前对吧？移前和移后 对不对？全等啊，这平移就告诉了我们这个东西，当然了，他还有一个什么关系呢？哎，他不仅仅是全等啊，他还告诉了我们一个什么，因为他是平移嘛，没涉及到旋转，所以他还会告诉我们一些什么。哎，他们平行 啊，他们的位置关系，只要平移的东西啊，他们都是什么平行的，那这就是平移告诉我们的东西啊。好，那我们来接着看这道题啊，把其他的条件标一标，那么 a、 b 等于十是吧，那么 o、 d 等于四是吧，那我们就知道了， a、 d 得十， d、 e 就 得十，这是不是就六啊？这是四，这就六 啊，哎，把能标的标出来啊，平移的距离为六，哪个是平移的距离，是不是这是六啊？ b、 e 是 六是吧？那么 c、 f 是 不是也是平移的距离啊， 对吧？哎，我们把能标的啊都标出来，那么现在让你求谁啊？求阴影的面积，那我看看阴影的面积怎么求啊？我们现在这个 o、 c、 d、 f 这个阴影的面积怎么求？首先这个我们求面积的时候啊，比如说像阴影这个面积啊，我们应该怎么求？它？第一个思路就是它是什么型， 对吧？比如说我们一看我们知道它是梯形，是吧？那就用什么，哎，用它的这个面积公式是什么？上底加上什么，下底乘以高是吧？除以二是不是就是这个公式 啊？你想求他们就这要么就什么，用组合的办法是吧？我们用什么？用三角形 s 三角形 b、 e、 f 是 吧？减去 s 三角形，什么 o、 e、 c 啊？基本上我们大概一想就是这两个方法，为什么？因为我们用这两个都可以算直角三角形，所以说我们都非常好算，直角三角形算面积是不是很好算？哎，两个直角边一乘以二就完了 啊，所以说我们就给它转换成什么哎，不同面积的一个和差的形式，对吧？所以基本就这两种方式啊，所以同学们我们就什么哎，求一，求这个边，我们看看这个边能不能求，是吧？说白了现在这个边长我们都有了，是不是我们只要把什么 哎，这个 dc 求出来是不是就可以了？哎，说白了不就这么点事吗？啊？很简单，对吧？ ec 求出来之后，大家看是不是我这个三角形面积还整个是不是都有了 啊？好，那我就知道了啊，那我基本上用这种方式比较好，是吧？因为我们用这个梯形的话，上底加下底还要用两个什么那个勾股定律，求完了高还得现做啊，稍微相对麻烦。所以我们大概知道这个阴影面积一定是这么求啊，比较方便 啊，因为我们这样只需要求 e、 c 就 可以了啊，来我们看看 e c 怎么求吧。啊，那这里面它有一定的什么哎，对应关系是不是？大家看啊，从原来的这个十变成了这个六， 对吧？这是不一个什么哎，这是我们相似三角形的什么哎？基本图形对吧？哎，两直线平行，这两个 a、 b、 c， d， e， 是 不是两直线平行？什么三角形 a、 d、 e 是 不是？哎，相似于三角形，什么 a、 b、 c 那 么相似呢？对应边成比例 啊，那我一看就知道它相似了，那我们就知道它对应边 o e， 也就是比上谁啊？比上 ab， 是 不是这个边比上这个边等于什么？是不是 ec 比上整个的，对吧？哎，也就等于这个 ec， 那 我们设 ec 是 x 吧，好不好？ ec 是 x， 那 就等于什么？ x 比上 x 加六是吧， 那么 o e 呢？是不是这就是什么六比六比几，是不是就六比十啊？啊？就六比十是吧。所以通过这个简单的方程，我们是不是 x 就 能求出来了？那我们算一下啊，这是十 x， 这是六 x， 那 么四 x 等于三十六 x 是 不是得九啊？很简单就把这个算出来啊，那么 x 得九，我们看一下，那这个面积是不是就好求了？ 哎，所以说这个阴影面积等于什么呀？大的这个三角形的面积是什么？二分之一底乘高吧，十乘以十五，是不是十乘以十五啊？这也成，对吧？减去这个小三角形面积什么？哎，二分之一 啊，乘以六乘以九，那我们就可以把它算出来了啊。那这个我就不算，这是一百五啊，算下一百五，减去六九五十四，九十六除以二是多少？四十八是吧？所以它的面积就是四十八啊，没有单位，那就是它。 所以说同学们，我们在这个做几何题的时候，尤其涉及到面积的时候啊，我们要有什么？哎，知道怎么去求面积的思路啊？其实都是什么？哎，都是比较简单，比较什么明显的。
12:44查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，今天我们来看一下这个题，这是一道关于中考重庆必考的一个一次函数动点集合题，我们来看一下整个题型的设置，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为四的正方形，两对角线交点为 o 两动点啊，明确我们的变量动点 e 和 f 同时从 a 点出发，那么先找起点，再找终点，那么起点是 a， 那 么一边向这边，一边向这边，他说 e 为每秒一个单位长度， f 是 每秒两个单位长度，一个是从 a 到 b， 一个是两秒 每秒两个单位的长度。速度沿 a 搭 c， a 搭 c 方向。那么我们要清楚一个变量是谁表达是运动时间为 t 秒， 那么我们可以做的事情就是 a、 f 的 长度是一定为 f 是 什么时候？ f 是 以每秒两个单位长度，那么 a、 f 是 一定为二 t， 那 么 a、 e 呢？是不是以每秒一个单位长度，那么 a、 e 的 长度一定为 t， 就是 用变量一定表示 a、 f 和 a、 e 表示完这个之后，我们要确定它们的终点。 题目说的，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么根据走向， f 是 从 a 到 d 再到 c， 根据边长为四这样一个条件，那么总长为八两秒一个单位，那么一共是四秒，也就是说踢总 它的 t 总是四秒，而这边 a 到 b 是 四，它的单位是一，那么四除以一也是四秒，所以说 t 总为四秒，那么我们就知道 t 是 小于等于四，大于等于零的。 然后我们再看下面一个，它主要是让我们求谁的阴变量。那么三角形 d、 o、 f 的 面积，面积的基本公式一定是 底乘高除以二，对吧？那么我们要确定什么？确定它的底和高？谁是变量，谁是定量？ 就是固定的值和变化的量，跟 t 有 关的就是变化的量。那么还有一个是三角形 b e、 f， 那 我们先来看一下， 那么怎么来分析这个情况？首先你就看整个里面，一是从 a 到 b 是 没有发生任何的轨迹变化，但是 a 从 d、 f， 从 d 到 c 是 发生了轨迹变化，那么我们称这个轨迹变化的位置是称之为拐点， 那么它意味着什么？意味着就是我们是不是要对它进行分类讨论，讨论谁？当然是我们的自变量 t 是 不是要变成什么样情况下，比如说在 a 搭上的时候，四除以二得二，所以我们的 t 的 方位是不是可以分为大于等于零，小于等于二，那么剩下的是不就应该是大于二和小于等于四这两部分？ 那么也就是说我们在求 y 一 y 二的时候，是不是一定要分两部分来进行分别求解，看有没有什么变化？ 那我们现在看 y 一 d o f d o f， 假设 f 就 在这个位置， d o f 是 不是这个三角形，那我们现在我们来找它的底和高底边 d f 高是不是从 o 过 点 o 做 df 的 垂线，那么这是我们的高，那我们看一下，由于 a f 一定是二 t 整长为四，那么 df 是 一定是四减二 t， 而我们的高呢？从 o 点，因为这是正方形 对角线，点 o 是 焦点，那么点 o 做垂直之后，这是中点，那么做垂直平行的原因也是中点，那么中位线一定等于它的底边的一半，所以这个长度一定为二，所以高是 定边，而 d f 是 我们的变量边，所以根据底层高四减二， t 乘以二，再除以二，是不是就得到了我们三角形 b u、 f 的 面积等于二分之一， d f 乘以我们这个高，我们就设为 h， 就 应该等于二分之一乘以四减二， t 乘以高二，那么最终结果就是四减二 t， 当然我们可以把它降次排列是就是负二 t 再加四，这是谁的式子？这是不是就是 t 在 零到二的式子？ 那么由于它有两个，让我们先看一下在零到二里面 y 二会有什么样的变化，那么 y 二是 b e f b e f， 那 么此时一点，我们假设走到这个位置 啊， b e、 f 肯定不能超过终点的啊，一定要注意，在零到二的话，它是不是一定在终点之前。那么 b、 f 的 长度是 b e、 f 是 这样一个三角形，你们在考试的时候呢，就可以在图上用铅笔写写画画，对吧？那么一样的找底边，那么目之所及，平行 x 的 y 轴的线是不是？当然是作为底边最好，那么 b 一 是做底边， a f 是 可以拿来做我们的高，那么它要求的是 b e、 f 的 面积，那我们来看一下 b e， 由于 a e 是 t， b e 是 不就应该是 ab 减 a e 是 不就应该是四减 t， 那么高呢？是不是底乘过一过 f 做垂线，是不是就是 a f？ 是 不是就是二 t， 所以 此时三角形 b e、 f 的 面积就应该等于二分之一啊。 b e 乘 a f， 那 么就应该等于二分之一底四减 t， 四减 t 乘以高二 t， 那么就等于二分之一和二消了 t 乘四是不是四 t 我 们这样子排列，负 t 乘 t 是 负梯方，加上四 t， 这也是 t 大 于等于零，小于等于二， 那么这是我们写的什么东西？这个三角形 d o f， 哎呀，这里写错了啊，改过来 d o f 是 不是 y e， 这里是 y 二都在什么情况下？在零到二的范围下，那么再来看，当在 f 在 d c 上的时候，也就说 t 是 大于二，小于等于四的时候，它会有什么样的变化？那么这里呢，我建议就是，如果你是不是用铅笔做的，那么建议重新画一个图，我们来看一下重新画一个图啊，简单的画一个正方形， 那么他说了要有交线 o， 我 们把 o 表出来，此时 f 在 这里，此时 e 呢是肯定会超过终点，假设 e 在 这里，那么现在我们又来开始标我们的 定量变量的长度，对吧？那么此时我们要清楚一点， 首先还是 d o f， 我 们把 d o f 捞出来， d o f 在 这个位置了，是不是？这个位置是不是还是底边以及高，是不是做垂线，是依然跟刚刚一样，是不还是为二？ 所以只需要知道 d f 的 长度就行了，而 f 他 是 af 的 长度， af 的 长度一定为多少？是不为二 t， 而 a d 是 为四， 那么整长是二 t， 那 么这一节 d f 是 不是此时应该是二 t 减四，因为 t 是 大于二的二 t 减四肯定为正， 那么这样来说的话，我们的 y 一 就等于三角形 d o f 等于二分之一，乘以，我们的 d f 就 应该等于二分之一，乘二就等于 d f 二 t 减四， 对吧？那二 t 减四，那么此时 t 的 范围是大于二，小于等于四的， 那这就是我们的 y 一， 那么接下来我们再来看 y 二， y 二是要找的 b e f b e f 呀，有点远呢， b f 啊，我们就这样连起来， b f 此时是这个三角形，那么我们要算底层高的话，是不就应该是 b 乘以过点 f 做垂线，那么这个垂线做过来是不是一定等于我们正方形的边长？所以它的高是不是固定为四？ 所以我们的 y 二就是 b e f 的 面积是不是一定等于底乘高除以二除以二，底呢？是不是变成 b e 高呢？是不是变成了我们的整个正方形的长度为四， 那么四乘二分之一等于二，二乘 b e b e， 由于 a e 是 不是固定为一四，每秒一个单位长度固定为 t， b e 是 不是依然为四减 t， 那 么就变成二乘四减 t， 那 么二乘负 t 等于负二， t 二乘四等于八，那么这就是它在大于二， 小于等于四的解析式。那你会发现，不管是 y 一 还是 y 二，他都有两个式子，所以中上所述。当然题目说的是直接写出啊，我们就直接在这里写出来啊，我们在最后写啊。中上， 那么 y 一 就应该等于，我们刚刚在这里面有一个负二 t 加四，逗号 t 在 零到二的范围内， y 一 还等于二， t 减四， t 的 范围是 大于二，小于等于四，而 y 二呢，就等于 y 二，在这里负 t 方加四 t t 的 范围，逗号 t 的 范围是大于等于零，小于等于二， y 二是负二 t 加八啊， t 应该是大于二，小于等于四，那么整个题目的第一问就写出来了，当然你只需要写这个东西在答题卷上就可以了， 然后第二问和第三问呢？你只需要是不是在上面画好图，那么这里面涉及到了一次函数，是不是找两个点就行了？找哪两点是不是零二二四，是不是画出来就好了，这边同理，那么二次函数怎么办？你就 先找对称轴，根据我们的对称轴 x 等于负二 a 分 之 b 那 个点，找到对称轴所在的点就是我们的顶点。写好之后，然后在左右两边是不是选择两个点，通过我们的曲线趋势画出来就可以了。 好，那么就是这个。然后第三问，他说当面积相等时， t 的 值是不是就要分开讨论？当 t 在 零到二的时候，这个式子和我们的就是下面这两个式子是不是相等， 那么当然也有可能是不是这个是指，但是因为 t 啊， t 是 不是必须在同区间才行，然后是不是他们两个相等，解出 t， 然后符合这个范围都可以啊？ 如果所有同学需要我讲一下第三问，第二问的话，可以评论区告诉我，我们一起来讨论一下，然后再给你多讲一讲啊，谢谢，谢谢你的点赞和关注。
01:39查看AI文稿AI文稿先学会一个最值问题，今天我们学逆等线模型，那今天学的逆等线模型呢？它就是求一个线段的最小，像这种求一个线段的最小，那我我们用的方法就是利用平移，然后用平行四边形的性质进行转换。我们来看这个题 啊，这个题呢给的是 am 和 c n 相等，那这明显就是一个逆等线的模型，那么我们要做的话就是利用平移，我们把一个线段平移上去， n c 平等的平移上去， 连起来一点，那这样子 m e c n 就是 一个平行四边形，平行四边形那对边就一定是相等的，那求 m n 最小，也就是求 c e 最小，那 c e 里面 c 是 一个定点 啊， e 是 动点，那我们就看 e 在 哪里。那这里就要利用一下，先有了一些性质，因为它是等边三角形，六十度，边长为一，那么这里我们就知道是一百二十度， 连起来我们会发现这个是三十度，那么这个一点的位置不确定，它是一个动点啊，但是我们现在能够确定的是六十加三十，这是一个九十度啊。比如说 a 一 这条线段的线段的，这条线的角度是固定的，角度是固定的话，那我们 a 一 就在一点在哪里呢？那么一点就一定是在这条直线上动 啊，因为这个角度是已经固定了的，六十加三十这个角度固定了啊。那么既然一在这个直线上动，那 c 一 要最小，那最小就只有垂直的时候最小， 所以这个是当 a 一 垂直 a p 的 这条直线的时候， c 一 最小，计算一下边长是一，所以这个就是二分之一， 那么在逆等线模型里面，只要是求一个线段的最小，我们都是用平移的方法掌握这个套路，就可以做所有的这个题了。好，点赞收藏，考试前多看几遍。
- 09:51查看AI文稿AI文稿
今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗？我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢？首先你要知道，我们刚才已经讲了，对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等，那么全等，但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称，我要做的第一件事就是同步信息，比如说这有三，这也有三，这个 r 发角，这个 r 发角，这个求线段 x， 它也是 x， 这是对称的第一步，任何时候看到对称，你就要去同步信息，好，这是第一步啊。好，来。第二， b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的， 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊，是被对称成垂直平分的，所以我连对应点就可以得垂直平分，所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的，可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢？我还可以 对称轴上的点，我去连 p b 和 p b 撇，它也都会相等，得到更多的等线等角，所以这就是连对应点，要么直接连得垂直平分，要么对称轴上的点去连对应点，这是对称的第二个操作连对应点。所以呢，以后啊，但凡看到对称两个字， 第一无脑的去同步信息，第二连对应点。好吧，第一无脑同步信息，第二连对应点。好，来，我们来看题感觉一下吧，看题感觉一下，那么同步信息一定要做好。什么？一定要做好标啊，你相等的量，你要把它标出来，好吧，首先要标啊， 他说这是四，这是六，那标一下对边嘛，这也是四嘛，这也是四。好，再来，沿着 a、 c 去折叠，沿着 a、 c 去折叠，那你要知道这个六，你看一，但凡看到折叠两个字，先同步，但凡看到折叠，养成习惯先同步，同步的动作就是标。信息嘛， 就标嘛，这条线段是六啊，那这条线段它也是六，这条线段是四啊，那这条线段它也是四。同时你会发现，这个角得到这个角，这个角贝塔翻折，得到这个角，贝塔同时不要忘了平四，一定要去标对面啊，这个角也是贝塔，对吧？然后呢，还有什么？ 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c， 那 所以这个角是二。 r 法啊，这是 r 法，那这也是 r 法，就是你看，标完了以后，就是这个已知条件已经极度丰富了，标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢？那你会发现我首先就看到什么呀？标完以后，那么 这个三角形就和这个三角形相似来，阿尔法角等于阿尔法角，贝塔角等于贝塔角，那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊？由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c， 我 就可以求得谁啊？ b、 e 就 出来了，它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c， 对 吧？ ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好， 那接下来 ab 是 多少？ ab 是 四，比 a、 d 是 六，就等于 b、 e x 比上一个四，所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八，所以 b、 e 就是 我们要求的，所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊，这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全，然后呢，你要求 b、 e， 你 要求的这个线段往三角形里一放，你自己就看出来了，所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了，这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来，接下来我们来还是上一道综合一点的题目， 那这个题说啥呢？说这是一个六十度的菱形，六十度的菱形，这都是二，这都是二，然后他把这个三角形翻折，得到这个三角形，哎，把这个三角形翻折，得到这个三角形。 a 落在 e， 刚好是 dc 的 终点，那这两条线都是一了， 对吧？这两条相同，都是一。好了，最后让我们求这个角阿尔法的正切值，那其实也就是求这个角阿尔法的正切值，因为翻折这两个角相等。我们刚才说了，翻折有两件事要干，第一叫同步信息，这里的同步信息，比如说这个六十度，这个六十度，这个阿尔法，这个阿尔法，然后呢， af 和 ef 相等， a、 g 和 g、 e 相等，对吧？这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后，你会发现有一个最大的问题，现在这个阿尔法角不在什么三角形里，他不在直角三角形里，那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形？最简单直接的方法就是连 a e， 我 一连 a e， 这就垂直平分，这是中点，这两条线段相等，就得到了直角阿尔法，就进到了直角三角形中，所以一定要连对应点，你看，这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折，看到了这样的角度，你想把它放进直角三角形连对应点，那接下来我就是要求嘛，对不对？那我要求，我就比如说我就在这个三角形内，我就是要求这些线段长嘛？要求线段长 有一个很重要的条件，咱得把它用起来，哪个条件就是这个终点，这个终点大家会想到怎么用？结合六十度，你要想好六十度的菱形， 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的，两个等边好不好？六十度的菱形，本质上你把 d、 b 一 连，它是两个等边三角形，对不对？好，相当于其实我是给了一个等边三角形的终点，我应该去干什么？ 三线合一嘛，对吧？三线合一嘛，所以我一定是连谁，一定是连 b 一， 连 b 一 就会三线合一，你会发现这个九十度，哎，那对面注意啊，平四一定要注意，不要，对面这个是九十度，那么这个也九十度，这两个角都是九十度， 同时这个是一，这是二，那这条线段就是根号三。好，那么现在我再回顾一下，我们要求什么呢？我要求这个角的正切值，我把它放到这个三角形里看，所以其实我是要求什么呢？其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的， 而一旦我现在有了，这是根号三了，那么哪条线段其实已经可以求了？ a e 已经可以求了， a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看，这是九十度，这是根号三，这是二，那么 a e 是 根号期， a e 是 根号期，那么 a h 就是 二分之根号期， 所以 ah 有 了，我现在只需要求 hf， 或者我求 af 都可以，那么 hf 和 af 我 可以求谁呢？ af 可以 求，为什么说 af 可以 求？因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛，你就设嘛这条线段也是 x， 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二，那么这一段就是二减 x， 那 么这个三角形当中，咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中，我就可以勾股定截，就是 x 的 平方，就等于二减 x 的 平方，再加根号三的平方，那么 a f 就 出来了，这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法，巧算怎么算呢？你看， 我们求一个求阿尔法的三角函数值，我们说求三角函数值，你可以硬算，也可以怎么样，也可以想办法看一看能不能换角来求，就是换一个更好的角度，去求它更好的位置的角度。 怎么换呢？这里面你观察一下，什么角特别多，直角特别多，这是九十度，这是九十度，这是九十度。这么多的九十度，那么直角多，我就可以看。什么 直角多，我就可以看互余吗？你看，又来了，你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方，直角多，我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢？你看这个角是阿尔法，这是九十度，他的余角是贝塔， 对不对？再因为这个是九十度，那么这个角是贝塔，就会导致贝塔的余角是阿尔法，他跟谁互余？放到这个三角形当中， 它和这个角是互余的，所以这个角就是 r 法，这叫换角。我通过导互余，我把这个 r 法就换过来了，我求它的正切值就好了， 而它的正切值是多少，就是二比根号三，所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三，所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的， 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑，当你看到很多九十度的时候，三个九十度的时候，你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角，你把这个底层逻辑掌握清楚了，他不但可以帮助你解决三角函数，他甚至还可以在这帮助你求三角函数，这就是底层逻辑理解以后的价值， 而不是你背一个什么矩形十字架，几 b 几。你看，通过两道题，马哥都是有一些设计在里面的啊，这道题重点跟你讲什么？就是这道题重点就跟你讲同步， 你翻折叫同步信息，你同步信息，然后你把它标好了，这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题，但是比较上难度的翻折问题，就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息，什么叫连对应，现在对，这就是翻折的基本操作，而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题，都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作，这个不光是做多， 关键是你在意什么，如果你学每个模型的时候，你都是在意它的结论，你做的再多也没有用， 如果你在意的是底层逻辑，你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长？不是这样的，很多小伙伴刷再多题都没有用，因为他在意的东西不对，就是关键你在意什么？ 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑，为什么要重推导？为什么不要去在意结论？
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02:48查看AI文稿AI文稿来，今天咱们看这道题，是七年级下册常考常错一道题，叫做二元一次方程组，解决实际问题。那看到这个题的时候，咱们一定要明确的考察的是哪方面，那是几何类型对不对？几何类型的话，那求面积类，那赶紧想到了一个什么呀？ 就是看他的面积公式啊，对不对？那么在这再教给大家一个绝招，就是平移大法，什么叫做平移大法呀？就是给你这个图形的长啊，宽啊，给你什么了？以后咱们通过平移以后，把它变成咱们的已知量，那咱们一起来看怎么解决？ 那对于他而言的话，这道题给出了一个长至十米，宽为八米的长方形空地，然后他是三个全等的，对于全等而言的话，那咱们要记住一点，现在其实就是说的是面积相等啊，他们的面积相等， 那接下来咱们来看，现在给出了一个长为十米了，刚才我说过平移大法，那咱们把它平移一下，把上边的这个图形， 把上边这个图形的话，咱们通过平移可不可以移到这个位置？当然可以了，对不对？把上边这个图形的话往下平移，移到这个位置 没有问题吧，对吧？那你发现咱们这边他的十米被表示成什么了，对吧？那小花谱的长是 x， 宽的话，咱们设为 y 可不可以啊？那当然可以了，那对个十米怎么来表示了？那就是这个小花谱的一个长 y 再加上小花谱的一个宽， x 再加上小花谱的一个长， 你发现这个十米被谁表示了？很好，就是咱们说的一个 x 再加上两个 y， 它的话等于十， 没有问题。那接着咱们来看一下它宽怎么来平移啊？平移大法太重要了，太重要了，都希望这一个视频大家都学会啊，那接着咱们来看，把这个小长方形往右平移，平移到这个位置没有问题吧？接着把竖着的这个我也往右平移，平移到这个位置， ok， 那 么现在咱们你发现这个八米的话有哪些啊？首先是一个小长方形的宽 x， 再加上一个小长方形的一个长 y， 再加上小长方形的一个宽 x， 那 此时咱们就得到了第二个方程，那就是 二 x 再加上一个 y， 等于一个八。那么恭喜大家，这个方程组咱们红列会列了，那会列同样也要会解啊，对不对？那对于这种解法题型的话超级多，什么加减加减消元法呀，带入消元法呀，都可以啊，那咱们一起来看， 这是方程一，这是方程二。那在这里边习老师跟大家说有一个特别重要的关键点，因为咱们先列完了吧，对吧？咱们直接就可以写解得 不用它的一个过程了，对吧？直接就可以写结果了，最后的结果 x 的 话等于一个四， y 的 话等于一个二，最后千万要记住了，咱们再来一个答，那这道题就 ok 了吧，那这就是咱们的平移大法。
20老奚数理化
03:05查看AI文稿AI文稿大家晚上好，最近这种反比例函数外加几何以及这个平面坐标的移动考的挺多的，我们今天来做道题巩固一下吧。那首先告诉一个三角形 a u b， 那这个 abo 是 九十度， ob 等于四， ab 等于三，嗯，这个 a 它还是过这个反比函数的，那么我们是不是就很轻易的可以求出来这个表达式了？这个 k 它应该是等于这个 ob 就是 x 吗？四， ab 就是 y， 就是 三三四十二， k 就 等于十二，那么第一问的答案就是 y 等于 十二比上 x， 对 不对？然后看第二问， aob 向上移，得到 a 片、 o 片， b 片平行之后的 o 片 b 和它交于 c 点， o a 的 中点恰好落在这个图像上，并且这个 m 片，也就是说这个中点它是解体的关键。那我们画出来这个新图形吧。嗯，我们画一个这个移动过后的新图形，那它肯定是平移上去的，对不对？ 大概是个这个样子吧。然后这个横做这个，它分别是 o 片、 b 片，还有一个 a 片，这个点它是 m 片，然后这个点它就是 c 了。嗯，那我们怎么确定这个 c 的 位置呢？那我们现在只知道这个 m， 它这个 o 能不能通过求这个 o a 这个中点，然后往上移动，然后得到这个 m， 然后也在这个反比函数上，然后来求出来向上移动了多少格，可以通过这个 m 来移动吧。那么来看一下这个 o a， 它的终点 m 应该是一个 多少，是不是？这个是三四四三，那这个横坐标应该就是二二分之三，那他向上移多少呢？他这个横坐标是相同的对不对？ x 等于二代入之后，那他这个横坐标是二，纵坐标就是六， 那么六减去这个他底下这个坐标六减去二分之三，他是不是应该是二分之九呀？也就是这个向上移动了多少？ 向上移动了二分之九个单位，对不对？那这个 c 他 肯定也从这个地方向上移动二分之九个单位，那也就是说此时他这个 y 等于二分之九带入就行了。 y 等于二分之九， 代入，这个 y 等于 x 分 之十二，对不对？因为这个我们通过这个 m 往上移动了二分之九格，得到了这个 c 往上移动二分之九格，然后此时这个这不就是 c 的 y 吗？对不对？那我们能得到 x， 它其实应该等于三分之八， 那么我们现在就可以得到这个 c 点的坐标应该就是三分之八、二分之九，大家可以尝试着自己做一下。
140小王教数学
04:54查看AI文稿AI文稿同学们，今天呢，咱们继续接着最值问题表现方式之对称类啊，接着往下讲，今天呢，咱们讲的是平移类。 呃，平移类问题呢，最常见的是修桥问题，修桥问题里边有双洞点，而且两个洞点之间的距离是个定值，长着呢，有点像闪电一样，就是两个线段啊，黑色的线段和蓝色的线段被这个桥长红色的给隔开了。 如果未来我们遇到了类似的情形，那我们可以把黑色的线段呢给他，当然蓝色的也可以啊，给他平移一个桥长，也就是红色线段长，这样我们就可以利用两点之间线段最短来解释了。 有的时候呢，它会增加一点难度，用嗯把它变成一个 u 字形，那说白了就是又增加了两村模型，你给它对称下来就行了，哪怕这个 u 字形呢，它比较极端合口啊，形成三角形了，你依然也可以把其中一个边对称下来。 但是一定要注意啊，他动点的运动轨迹啊，他动点的运动形式是什么？平平移啊，千万不要跟旋转搞混了，因为个别题的话，他旋转里边也有一段运动的线段，他是确定的，只不过他的运动形态可能是旋转后边呢，咱们 会出一道例题给大家对比着来看，大家清楚了吗？接下来咱们来看一个平移的例子， 这题呢，他说在边长为二的正方形 a， b， c， d 中 e 是 呢， c， d 的 中点，那我们就知道你 d， e， e， c 呢，它就都是一了， p、 q 呢，分别是边 a， d， b， c 上的动点，显然呢，这是双动点了， 而且呢，告诉了 p q 垂直于 b e， 这又在正方形当中，所以我们能想到啊，这可能会设计十字架的全全等了，因为正方形它有边等嘛。 呃，那谁和谁全等呢？显然是 b e 所在的三角形。 b e c 和谁呢？你可以过 p 往 bc 呢做个垂线，很简单的啊，能证明 p q， 它就等于了 b e， 而我们知道 b e 呢，它是一个定边啊，它的长呢？ c e 是 一， bc 是 二，所以我们可以根据勾股定律算出来的， b e， 它等于一个根号五，那么这时候 p q 也就等于根五。而且最关键的是 p 和 q， 它的运动形式是平移啊， p q 之间的距离却是个定值，所以这大概率就是修桥问题了。而且后边问题问到的 b p 加 q e， 它的最小值 bp 和 q e 就 刚好被 p q 呢给隔开了。所以我们在操作的时候呢，你可以让 b p 这个一号边和二号边呢，让它俩接上头就行了。那咋接头呢？平移呗，你可以把 q e 移上去，也可以把 b p 呢给它移下来， 而且在移动的时候，一定要注意它有没有特殊性啊。这样，嗯，下边没法平移了，我们把 q e 直接移上去吧。移上去之后，当然它移了多少个单位呢？显然是根号五个单位啊， 那么你这个 q e 啊，也就到了这个 p e 片的位置了。 而且平移告诉咱们的一个特点是啥呢？平移它伴随的特殊性啊，是会出现平行四边形。那么你平移完之后，一定要看那个平四有没有给咱们提供特殊性在这，谁是平四呢？显然是 p q e。 对，这就知道一定要连接 e 一 撇了，连接完 e 一 撇之后， e 一 撇呢，它的长也就是等于 p q， 等于根号五，而且在平移的时候，千万不要忘了， 你除了边之外，还有角形成的特殊性啊，刚才 p q 它是垂直于 b e 的， 那么两直线平行呢，同旁内角互补，所以这个 e 撇 e b， 它也就是九十度。 你这个二号边平移完之后呢，到了 p 一 撇的位置了，此时一号边和二号边就接上头了，而两点之间什么最短呢？显然是线段最短喽，所以它的最小值就是直接连接 一撇 b， 那 么这个一撇 b 咋求呢？你刚才的分析呢，已经为它的求值呢做好铺垫了，这是根号五，而且 b e 呢，也是根号五， 所以三角形 b 一 b 一 撇啊，它是一个等腰直角三角形，根据一比一比根二，所以一撇 b 呢，它就是根实，而一撇 b 就是 它的最小值了，所以它最小值就是根实，这就是典型的修桥问题。
34初中数学皮诺曹
12:44查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，今天我们来看一下这个题，这是一道关于中考重庆必考的一个一次函数动点集合题，我们来看一下整个题型的设置，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为四的正方形，两对角线交点为 o 两动点明确我们的变量动点 e 和 f 同时从 a 点出发，那么先找起点，再找终点，那么起点是 a， 那 么一边向这边，一边向这边，他说 e 为每秒一个单位长度， f 是 每秒两个单位长度，一个是从 a 到 b， 一个是两秒 每秒两个单位的长度，速度沿 a 搭 c， a 搭 c 方向。那么我们要清楚一个变量是谁表达是运动时间为 t 秒， 那么我们可以做的事情就是 af 的 长度是一定为 f 是 什么时候？ f 是 以每秒两个单位长度，那么 af 是 一定为二 t， 那 么 a 一 呢？是不是以一每秒一个单位长度，那么 a 一 的长度一定为 t， 就是 用变量一定表示 af 和 a 一 表示完这个之后，我们要确定它们的终点。 题目说的，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么根据走向， f 是 从 a 到 d 再到 c， 根据边长为四这样一个条件，那么总长为八两秒一个单位，那么一共是四秒，也就是说踢总 他的 t 总是四秒，而这边 a 到 b 是 四，他的单位是一，那么四除以一也是四秒，所以说 t 总为四秒，那么我们就知道 t 是 小于等于四，大于等于零的。 然后我们再看下面一个，他主要是让我们求谁的阴变量。那么三角形 d、 o、 f 的 面积，面积的基本公式一定是 底乘高除以二，对吧？那么我们要确定什么？确定它的底和高，谁是变量，谁是定量？ 就是固定的值和变化的量，跟 t 有 关的就是变化的量。那么还有一个是三角形 b e、 f， 那 我们先来看一下， 那么怎么来分析这个情况？首先你就看整个里面，一是从 a 到 b 是 没有发生任何的轨迹变化，但是 a 从 d， f， 从 d 到 c 是 发生了轨迹变化，那么我们称这个轨迹变化的位置是称之为拐点， 那么它意味着什么？意味着就是我们是不是要对它进行分类讨论，讨论谁？ 当然是我们的自变量 t 是 不是要变成什么样情况下，比如说在 a 搭上的时候，四除以二得二，所以我们的 t 的 范围是不是可以分为大于等于零，小于等于二，那么剩下的是不就应该是大于二和小于等于四这两部分？ 那么也就是说我们在求 y 一 y 二的时候，是不是一定要分两部分来进行分别求解，看有没有什么变化？ 那我们现在看 y 一 d o f d o f， 假设 f 就 在这个位置， d o f 是 不是这个三角形，那么现在我们来找它的底和高底边 d f 高是不是从 o 过 点 o 做 df 的 垂线，那么这是我们的高，那我们看一下，由于 a f 一定是二 t 整长为四，那么 df 是 一定是四减二 t， 而我们的高呢？从 o 点，因为这是正方形 对角线，点 o 是 焦点，那么点 o 做垂直之后，这是中点，那么做垂直平行的原因也是中点，那么中位线一定等于他的底边的一半，所以这个长度一定为二，所以高是 定边，而 d f 是 我们的变量边，所以根据底层高四减二， t 乘以二再除以二，是不是就得到了我们三角形 b u f 的 面积等于二分之一， d f 乘以我们这个高，我们就设为 h， 就 应该等于二分之一乘以四减二， t 乘以高二，那么最终结果就是四减二 t， 当然我们可以把它降次排列，是就是负二 t 再加四，这是谁的式子？这是不是就是 t 在 零到二的式子？ 那么由于他有两个，让我们先看一下在零到二里面 y 二会有什么样的变化，那么 y 二是 b e f b e f， 那 么此时一点，我们假设走到这个位置 啊， b e f 肯定不能超过终点的啊，一定要注意，在零到二的话，他是不是一定在终点之前。那么 b f 的 长度是 b e、 f 是 这样一个三角形，你们在考试的时候呢，就可以在图上用铅笔写写画画，对吧？那么一样的找底边，那么目之所及，平行 x 的 y 轴的线是不是？当然是作为底边最好，那么 b 一 是做底边， af 是 可以拿来做我们的高，那么他要求的是 bef 的 面积。那我们来看一下 b， 由于 a 是 t， b 是 不就应该是 ab 减 a 一 是不就应该是四减 t， 那么高呢？是不是底乘过一过 f 做垂线是不是就是 a f 是 不是就是二 t？ 所以 此时三角形 b f 的 面积就应该等于二分之一啊， b 乘 a f， 那 么就应该等于二分之一，底四减 t， 四减 t 乘以高二 t， 那么就等于二分之一和二消了 t 乘四是不是四 t， 我 们这样子排列，负 t 乘 t 是 负梯方，加上四 t， 这也是 t 大 于等于零，小于等于二， 那么这是我们写的什么东西？这个三角形 d o f， 哎呀，这里写错了啊，改过来， d o f 是 不是 y e， 这里是 y 二都在什么情况下？在零到二的范围下，那么再来看，当在 f 在 d c 上的时候，也就说 t 是 大于二，小于等于四的时候，他会有什么样的变化？那么这里呢，我建议就是，如果你是不是用铅笔做的，那么建议重新画一个图，我们来看一下重新画一个图啊，简单的画一个正方形， 那么他说了要有交线 o， 我 们把 o 表出来，此时 f 在 这里， 此时 e 呢是肯定会超过终点，假设 e 在 这里，那么现在我们又来开始标我们的 定量变量的长度，对吧？那么此时我们要清楚一点， 首先还是 d o f， 我 们把 d o f 捞出来， d o f 在 这个位置了，是不是？这个位置是不是还是底边以及高，是不是做垂线，是依然跟刚刚一样，是不还是为二？ 所以只需要知道 d f 的 长度就行了，而 f 他 是 af 的 长度， af 的 长度一定为多少？是不为二 t， 而 a d 是 为四， 那么整长是二 t， 那 么这一节 d f 是 不是此时应该是二 t 减四，因为 t 是 大于二的，二 t 减四肯定为正， 那么这样来说的话，我们的 y 一 就等于三角形 d o f 等于二分之一，乘以，我们的 d f 就 应该等于二分之一，乘二就等于 d f 二 t 减四， 对吧？那二 t 减四，那么此时 t 的 范围是大于二，小于等于四的， 那这就是我们的 y 一， 那么接下来我们再来看 y 二， y 二是要找的 b e f b e f 呀，有点远了， b f 啊，我们就这样连起来， b f 此时是这个三角形，那么我们要算底层高的话，是不就应该是 b 乘以过点 f 做垂线，那么这个垂线做过来是不是一定等于我们正方形的边长？所以它的高是不是固定为四？ 所以我们的 y 二就是 b e f 的 面积是不是一定等于底乘高除以二除以二，底呢？是不是变成 b e 高呢？是不是变成了我们的整个正方形的长度为四， 那么四乘二分之一等于二，二乘 b e b e 由于 a e 是 不是固定为一四，每秒一个单位长度固定为 t， b e 是 不是依然为四减 t， 那 么就变成二乘四减 t， 那 么二乘负 t 等于负二， t 二乘四等于八，那么这就是它在大于二 小于等于四的解析式。那你会发现，不管是 y 一 还是 y 二，他都有两个式子。所以中上所述答案题目说的是直接写出啊，我们就直接在这里写出来啊，我们在最后写啊。中上， 那么 y 一 就应该等于，我们刚刚在这里面有一个负二 t 加四逗号， t 在 零到二的范围内， y 一 还等于二， t 减四， t 的 范围是 大于二，小于等于四，而 y 二呢，就等于 y 二，在这里负 t 方加四 t， t 的 范围都好， t 的 范围是大于等于零，小于等于二， y 二是负二 t 加八啊， t 应该是大于二，小于等于四，那么整个题目的第一问就写出来了，当然你只需要写这个东西在答题卷上就可以了， 然后第二问和第三问呢？你只需要是不是在上面画好图，那么这里面涉及到了一次函数，是不是找两个点就行了？找哪两点是零二二四，是不是画出来就好了？这边同理，那么二次函数怎么办？你就 先找对称轴，根据我们的对称轴 x 等于负二 a 分 之 b 那 个点，找到对称轴所在的点就是我们的顶点。写好之后，然后在左右两边是不是选择两个点，通过我们的曲线趋势画出来就可以了。 好，那么就是这个，然后第三问，他说当面积相等时， t 的 值是不是就要分开讨论，当 t 在 零到二的时候，这个式子和我们的就是下面这两个式子是不是相等， 那么当然也有可能是不是这个是指，但是因为 t 啊， t 是 不是必须在同区间才行，然后是不是他们两个相等，截出 t， 然后符合这个范围都可以啊？ 如果所有同学需要我讲一下第三问，第二问的话，可以评论区告诉我，我们一起来讨论一下，然后再给你多讲一讲啊，谢谢，谢谢你的点赞和关注。
04:15查看AI文稿AI文稿轴对称题型看似很简单，但这道题就连班里的学霸都经常在这里漏解，你能把全部情况找全吗？题目告诉我们，点 a 的 坐标为八斗零，点 c 的 坐标为零斗六点 p 为射线 o a 上移动点 点 o。 关于直线 p、 c 的 对称点为点 b。 当三角形 a、 b、 p 为直角三角形时， o、 p 的 长为多少？读完题，我们先抓一下最关键的信息，点 o 和点 b。 关于直线 p、 c 对 称。看见对称是不是就要先连接这两点啊？也就是连接 o、 b， 那 么 p、 c 就是 o、 b 的 垂直平分线， 我们就能得到 o c 等于 b c， o p 等于 b p， 进而得到三角形 c， o、 p 全等于三角形 c、 p、 b 全等过后，就由角 c、 b、 p 等于角 c、 o、 p 等于九十度。这就是轴对称这一个条件给到我们的信息。然后再来看另一个关键信息， 它说要三角形 a、 b、 p 成为一个直角三角形时，求 o p 的 长度。哎，这个时候我们就知道了，要让一个三角形成为直角三角形该怎么办？是不是要分类讨论？因为三角形有三个角， 所以说我们轮流的让每一个角都当一次直角，是不是一个三角形就有三种直角的情况？所以这道题我们知道了，我们初步判断分三种情况。讨论 一种情况。我们先把角 b、 p、 a 当做直角。考试做题一定要先画出对应图形，画图不清楚，解题也无从下手。已知角 c、 b、 p 等于九十度，当角 b、 p、 a 等于九十度时，便可推出线段 c、 b 平行于 x 轴，我们可以这样做图 过点 c 做平行于 x 轴的直线，在这条直线上选点 b， 使 c、 b 的 长度与 c、 o 相等，以此来确定点 b 的 位置。最后由点 b 向 x 轴做垂线，垂线和 x 轴相交的位置就是动点 p。 这就是我们考场上遇到这类题目分析体意会制图形的实用思路。 接下来我把图形动态演示出来，大家直观感受点位的变化过程，让点 p 在 这条射线上移动。当角 b、 p、 a 刚好成为九十度时，就能发现图形位置和我们刚才手绘的样子完全吻合。此时能看出四边形 o、 c、 b、 p 四个内角均为九十度， 属于矩形。又因为对称性质可得 o、 c 等于 bc， 邻边相等的矩形就是正方形，因此 o、 p 等于 o， c 等于六，这就是第一种情况的结果。第二种情况， 当角 a、 b、 p 等于九十度时，已知角 c、 b、 p 同样是九十度，由此可得角 a、 b、 c 为一百八十度，也就意味着 a、 b、 c 三点在同一条直线上，我们直接连接 a、 c， 接着在 a、 c 上截取一点 b， 保证 c、 b 的 长度等于 c、 o， 就 能确定点 b 的 位置。随后以 a、 b 为直角，边或点 b 做垂线，垂线与 x 轴相交的位置便是动点 p 的 位置。这样第二种情况的图形就绘制成。 我这里就直接让点 p 运动起来，直到角 a、 b、 p 形成九十度，此时恰好对应 a、 b、 c 三点共线的状态，这就是该种情况下对应的图形变化过程。接下来我们开始计算，已知 o、 c 等于六， o、 a 等于八。根据勾股定律可以算出 ac 等于十，又因为 bc 等于 o， c 等于六，所以 ab 等于十，减六等于四。由对证性质可知， o p 等于 b， p 等于 a， 那 么 ab 就 等于八减 a。 在直角三角形 a p、 p 中，根据勾股定律可得 a， p 的 平方等于 b， p 的 平方加上 a， b 的 平方，代入数据就是八减 a 的 平方等于 a 方加四的平方。展开计算，可得 a 等于三，也就是此种情况下， o p 的 长度等于三。第三种情况，当角 p a b 等于九十度时， 我们直接过点 a 做一条直线，垂直于 x 轴，然后就要尝试在这条直线上找到一点 b， 让它与点 c 相连时， 使得 c b 等于六就可以了。哎，此时你就会发现出问题了，因为这条直线垂直于 x 轴，所以说它就平行于 y 轴， 点 c 又在 y 轴上，那么点 c 到这条直线的最短路径，也就是点 c 到这条直线的水平距离 o a 的 长度等于八，因为六是小于八的，所以说你要在上面找到一点与 c 相连的线段，长度为六，自然找不到。你看，当点 p 不 管怎么动，点 b 永远都够不到这条垂线， 角 p a、 b 也无法形成九十度，所以这种情况不存在。综上所述，这道题一共只有两种符合要求的结果，也就是 o p 等于三或者等于六。听懂的评论区告诉我，别不吱声哦！
211胡萝卜初中数学🥕
01:25查看AI文稿AI文稿这题有两个目标，一个求 r c 一 最大，一个求 b d 二最小找圆。先问两件事，哪个点固定做圆心，哪个动点到它的距离恒定过点 r 做高 a 面积二十等于 b， c 乘 a， 所以 r 等于四。 在直角三角形 r 比额中，比额等于二，所以 c 额等于三， r c 等于五。先看平移点 c 是 原图上的固定点，点 c 一 是它平移后的对应点，所以 c c 一 横等于三，距离点 c 固定为三，所以点 c 一 的轨迹就是以点 c 为圆心，半径三的圆 三角形两边关系告诉我们， ac 一 不超过 ac 加 c c 一， 当点 a， 点 c， 点 c 一， 三点共线时，取到最大最大值就是八。再看旋转，先不管平移，知把点 d 绕点啊，顺时针转九十度，得到定点点 o 真实的点 d 二就是这个点，我再跟着整体平移三格，所以我 d 二横等于三。现在目标变成点 b 到这个圆上动点点 d 二的最短距离 和 b 等于根号五，小于半径三，所以点 b 在 圆内最短距离是三，减根号五。第一个结果 r c e 最大值是八，第二个结果 b d 二最小值是三，减根号五。
4高尔夫
14:15查看AI文稿AI文稿同学们好，今天呢，给大家重点讲一讲这个图像平移啊，平移呢，作为图形的三大运动啊，这个主要 在这个函数里面啊，被应用的比较广，尤其是咱们的中考第二十四题啊，这个函数压轴题里面，它的出现频率相当之高， 那么所以有必要啊，认真的去啊学习啊，牢牢的把它掌握在手中啊。好，关于平移的口诀呢，大家应该都不陌生啊，上加下减，左加右减， 那么需要强调的是什么呢？就是说你要知道对什么加，对什么减，对不对左加右减啊，这个上加下减到底是对什么加减，那么上加下减针对的是常数项，对常数项加减 左加右减呢？针对的是自变量 x 啊加减。那么举一个简单的例子，比如说咱们的 y 啊，等于 a， 呃，就是随便举啊，举一个具体的吧， x 的 平方加上啊， x 减二， x 啊二， x 减三 加三吧，这样一个简单的二次函数解析式，如果我向对它进行向右平移两个单位， 向右平移两个单位，再向上平移呃，一个单位，那么平移之后的结果到底是什么？ 平移之后的结果是什么？那么你记住，那么首先呢，我们向右平移，右要减减啊，减什么呢？减 这个平移的单位啊，平移两个单位啊，那么所以把自变量 x 整体替换成 x 减二，对不对？ x 减二，哎，一定要记住是个整体，所以要打括号 啊，平方加上二倍，这个 x 也要替换成 x 减二，对吧？ 常数项是三。然后呢，因为你向上平移一个单位，所以这个常数项后面要加一 啊，整理一下，就是它平移过后的解析式，所以一定要记住，那至于这个为什么是上加下减，左加右减，那么这个呢，要根据图像的运动 啊原理，我们课堂上面给大家解释过，这里面呢就不给大家细讲了啊，这个呢，大家这个把这个口诀记住，以及他怎么去应用啊，这个的记住记牢，不要记，混 好第二个呢，我们需要强调的是，那么在平移的过程中，你要以不变应万变，也就是说在图像的运动中啊，什么不变很重要， 那么依次函数平移的过程中呢？ k 不 变， k 呢，指的就是依次向系数，也就是称之为斜率，因为你平移的过程中，哎，图像的这个位置关系没有发生改变，所以这个它的斜率是保持不变的， 那 k 值不变，那么二次函数里面这个二次项系数 a 也是不变的，那么这个 a 到底对二次函数有什么作用呢？我们之前给大家讲过，这个 a 呢，能够决定它二次函数的开口方向以及开口的形状， 那么你在平移的过程中，开口方向和开口形状都不会发生改变，所以啊，这个 a 也是不变的好，那么下面呢，我们将根据啊这个具体的真题来给大家啊，讲一讲这个平移它的应用， 大家看啊，这是这个二三年啊，二模卷十六个区的这个考试啊，这二十四题的题目啊，你看平移的啊，这个 涉及的考点啊啊，看涉及的题目多不多啊，来看一下这个第一道题啊，这个没有，第二道题有的啊，你看平移使得新的抛物线的顶点落在线段 o c 上，有图像的平移吧，对不对？哎，这个呢也有向上平移 m 个单位， 这个呢，也有新的抛物线平移过后，新的抛物线的解析式也有啊，第五道题啊，这个呢，应该没有。第六道题 也有啊，也有把这个新的抛物线 c 一 呢平啊，沿着这个射线 c a 方向平移，对吧？你看，呃，这里也有啊，这里呢？ 没有啊，这里也有，总之呢，你看这个关于函数的平移啊，这个比例是相当高的啊，所以呢，大家呢，一定一定要花功夫把这个关于图像平移的啊这个题目呀，给他这个学好应用。好好， 我们具体找一个题目呢，给大家讲解一下啊，你比如说我们来看一下哪一个题目吧， 好看一下这个二三年啊，杨浦按摩卷子，那么为什么要找他呢？因为，呃，我们其他的这个平移呢，都是沿着固定的方向，比如说上下方向，左右方向平移，那么他呢是沿着一个射线， 对吧？啊，一个方向平移，所以呢，它平移呢，这个有一点特殊啊，有一点特殊，所以呢，我们来重点讲一讲它啊。那么第六道题呢，这个 首先呢，第一小问呢，比较简单啊，给你这样一个解析式，然后呢告诉你经过的两点啊，一个是 a 点，一个是 c 点，当然你代入之后呢，就可以立马把它的解析式求出来 啊，这个呢也不难看出来啊，这个它的解析式呢，是 y， 等于应该是负二分之一， x 方加二啊，这个为什么可以很快求出来，原因是它是关于 y 轴对称，对吧？ 然后呢，这个焦点呢，与外角的焦点呢？就是啊，顶点就是顶点啊，就是顶点，这个呢又经过负二零，所以比较快的能够确定它的解析式。第二， 这个平把这个，原来这个抛物线啊， c 一 沿着 ca 这个方向平移之后，得到这个新的抛物线，新的抛物线对应的点， a 点和 c 点对应的点呢？是 d 点和 e 点，那么且都在这个直线 ac 上， 那你这个废话，这个呢，因为你是沿着这个方向平移的嘛，对不对你，当然你对应的点也在这个直线上嘛，好， f 点呢，是新的抛，呃，是原来这个抛物线 这个上的一个点，然后呢组成的一个三角形。 df 是 以 e f 为底的等腰直角三角形，是一个特殊的三角形，等腰直角三角形，以此呢去求出这个 f 点的位置。好，我们对应的图形呢，先画出来，在画图的时候呢，大家呢，一定要记住 这个，我们具体的是找的点的位置，而不是一定要把这个函数图像给他画出来，如果你一定要画的话啊，建议大家也要啊，这个这个画轻一点， 因为呢，我们也是根据这个抛物线呢，去确定一下点大概的位置，对吧，他主要是这样一个作用，所以呢，画不画抛物线不是必要的啊，不是必要的。然后呢，地点和 e 点是 c 点和 a 点的对应点，所以呢，我们画一个射线 ca 啊，我为什么这样去画，原因是这个 c 点在这个位置， a 点在这个位置，它们本身到达 o 点的距离是相等的，都是 r， 都是 r， 所以呢，它们会形成一个等腰直角三角形，对不对？ ca 的 方向大致就这个方向， 那么我们平移过后呢， c 点和 c 点的 a 点啊，的对应点呢是 d 点， c 点对应的点呢？是 c 点的对应点是 e 点，那么 e 点应该在这个位置， d 点呢，应该在这个位置，对吧？那么一定要记住，你平移的过程中啊，对应的线段的长度是不会发生改变的，对应点不变，对应点，对吧？ 所以平移之后啊，平移之后，这个点是 d 点啊，这个 a 点的对应点是 d 点，对的， a 点对应点， d 点， c 点对应点啊，所以 a c 的 长度跟这个这个 d e 的 长度 是相等的，是相等的，对吧？平移线段平移对应的点啊，这个这个形成的线段长度是相等的啊，是相等的。那么平移之后呢，这个在原来的抛物线上面，要找到一点 f， 要找到一点 f， 使得是构成了一个什么以 e f 为底的等腰直角三角形。 以 e f 为底的等腰直角三角形的话，那么就是要以地点什么为顶点呀？那你 e f 为底的情况下，地点为直角顶点，那你这个画图的时候怎么画呀？肯定要过地点去画一个什么 垂线呀，对不对？你要是直角嘛，对不对？所以啊，这个地点啊，画直角 f 点到达地点的距离跟 e 点到达地点的距离要相等，要相等好了， 所以这个 f 点的位置呢，应该往这边，你往这边找的话，那你这个画抛物线肯定是经过不了这里的啊，所以呢，只能往这边去画啊，只能往这边画 好，构成一个等腰直角三角形。构成一个等腰直角三角形 f 点的位置， f 点的位置好了，那么这是个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这个边长是为二啊，跟这，哦，这个是，这是二，这是二，这是二倍根号二，这是二倍根号二，这也是二倍根号二，那它作为底边， 对吧？啊？作为直角边啊，作为一个直角边，那 e f 作为斜边的话，应该是它的根号二倍，那么这个长度就就应该是四，就应该是四。 好，那么你看一看我们感觉啊，这个 e f 啊，是平行于 y 轴的，那么能不能证明出来啊？这个也是可以证明的啊，这个也是可以证明的， 原因是什么呢？来，呃，因为它是等腰直角三角形嘛，对吧？ 所以这个这个平移的时候，你看 这个角肯定跟这个角相等，是四十五度，对吧？那这个角本身也是四十五度， 所以呢，这个中间这个角呢，肯定是直角啊，肯定是直角啊，那知道这个角是直角的情况下，那我就可以知道它是平行于 y 轴的，那么我们就可以根据 e 点的坐标去求去射出 f 点的坐标， 对不对？那么因为它平移的距离现在不清楚，我们可以先把它平移之后的距离给它表达出来，对吧？然后呢去表达出啊， f 点的位， f 点的坐标， 然后把这个用的射的未知数，把这个 f 点的坐标呢表示出来之后呢，因为 f 点本身呢，他也是在哪里，在这个原来的抛物线上，所以你可以把这个射出的点坐标呢，带入到你刚刚求的 c 一 的解析式里边， 那么就可以把他的啊坐标具体算出来是多少，那整体的解析思路呢？就是这样，对吧？思路啊，并不难，并不难，那么下面呢，主要还是一个计算问题啊，还是一个计算问题？ 好，你可以呢，这个把这个一点坐标先设出来，你可以设它的横坐标为 m， 对 吧？因为它在 c a 这条直线解析式上，所以呢， c a 这个解析式呢，你可以先把它确定下来， 确定下来 y 等于这个应该是 x 加二，这个解析式啊，这个解析式应该可以快速算出来，所以呢，你把这个 e 点的横坐标设为 m 的 情况下，重坐标就应该是 m 加二， 那么你向下平移四个单位对应的 m 点，呃， f 点的坐标呢？就应该是 m， 这个 m 加二再减四，那 m 减二对不对？好，那这只有一个未知数，然后呢，把它带入到 c 一 的减去四，这个 f 点的坐标就求出来了， 明白了吗？好，这个呢，是关于这个函数平移的一个应用，那么函数平移呢，既要记住解析式的变化，又要记住通过平移呢，我们可以根据对应点之间变化的关系， 对吧？把它的这个平移之后的点坐标啊，或者是用含未知数的式子表达出来， 然后呢，再根据这个点，哎，它可能在那某某图像上，那你就带入某某图像的解析式，就可以把你设的未知量解出来，确定这个具体的点坐标的位置，明白了吗朋友们？
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02:02查看AI文稿AI文稿同学们，几何题里的辅助线在你的脑海里是不是跟玄学似的？今天咱们就用这道题教你个平移小妙招，保证你看完就会做题，跟玩似的。 看题图里， ab 和 cd 一 样长，角 b 是 四十度，角 c 是 七十度，求角 d 是 不是一看就发怵？别怕，跟着我一步一步来，保准你明明白白。今天这题咱们要用到平移法， 什么时候用平移呢？记住一句话，两条相等的线段不挨着，就用平移来帮忙。就像这题里的 ab 和 cd， 它们没公共端点，属于不挨着的相等线段，这时候平移就派上用场了。好，今天咱们就用四步来解答这道题。 第一步，画辅助线。咱不能直接说挪点 b 到 c， 得这么做，从点 c 出发，画一条和 b、 a 平行且一样长的线段 c、 e， 然后把 a 和 d 连起来， 是不是很简单？第二步，分析三角形 e、 c、 d 因为 c、 e 和 b、 a 平行，所以角 c 就 等于角 b， 也就是四十度。 又因为 a、 b 和 c、 d 一 样长， c、 e 又和 b、 a 一 样长，所以 c、 e 和 c、 d 也一样长。三角形 e、 c、 d 是 等腰的等腰三角形，顶角四十度，底角咋算？ 一百八十度减四十度，再除以二，得七十度。第三步，分析四边形 a、 c、 d、 e 角 c 是 七十度，角 d、 e 也是七十度，这俩角在同一条底上，所以四边形 a、 c、 d、 e 是 等腰梯形。等腰梯形有个特点， 对角线一样长，也就是 a、 d 和 e、 c 一 样长，而 e、 c 和 ab 一 样长，所以 a、 d 和 ab 也一样长。三角形 abd 是 等腰的。 第四步，求角 d 在 等腰。三角形 a、 b、 d 里，角 b 是 四十度，所以角 d 就 等于角 b 也是四十度，是不是瞬间就解出来了？怎么样，这平移小技巧是不是绝了？学会了这个，再遇到类似的几何题，闭着眼睛都能做对，你学会了吗？
348数学殖民火星
01:59查看AI文稿AI文稿欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定二次函数平移。二次函数的顶点式是， y 等于 a 乘 x 减 h， 平方加 k， 其中 h 到 k 的 开区间就是顶点坐标 a 决定开口方向和大小。平移抛物线，关键就是抓住顶点的移动口诀。左加右减看 x， 上加下减看长数。向左平移 m 个单位。把 x 换成 x， 加 m， 向右平移 m 个单位。把 x 换成 x 减 m， 向上平移 n 个单位，常数加 n， 向下平移 n 个单位，常数减 n。 举个例子， y 等于 x 平方的顶点是零到零的开区间。 向右平移两个单位，变成 y 等于左圆括号， x 减二，右圆括号平方，顶点变成二到零的开区间。 再向上平移三个单位，变成 y 等于左圆括号 x 减二，右圆括号平方加三，顶点变成二到三的开区间。反过来也一样， y 等于左圆括号 x 加一，右圆括号平方减二。就是把 y 等于 x 平方向左移一个单位，再向下移两个单位。 注意，平移的时候， a 的 值不变，形状不变，只是位置变了。从一般式化顶点式用配方法， 比如 y 等于 x， 平方减六， x 加五，配方得 y 等于左圆括号， x 减三，右圆括号平方减四。所以顶点是三负四对称轴。 x 等于三 配方法的步骤，提 a 配一半，加减调整。先提取 x 平方向的系数，然后加减一次项计数一半的平方。平移规律不仅适用于二次函数，也适用于其他函数的图像平移。
25HaipBot
06:56查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢给大家讲解一下做标轴动点周期性平移这一类题目的解法。这类题目它对应的一个知识点呢，其实还是平移，但是呢它会经过啊多次平移。 在做这类题目的当中呢，我们首先要观察我们原始图形，要在这个复杂的图形当中找出啊，它原始图形是哪一部分。 然后呢再观察这个图形当中一些特征值，特征点啊，他的坐标的一个特征。 观察好之后呢，我们啊再给他进行我们题目当中要求的平移来进行一个计算就可以了。那咱们现在呢来看这道题目， 如图动点 p 呢，在平面直角坐标系中，按图是箭头所示的方向运动，第一次呢是从原点运动到一一点啊，就是我们第一个， 第二次呢是接着运动到二零点，就是一上啊，一下这种运动，第三次接着运动到三二啊，接着往下运动，又回来到四零，按这样的运动规律，经过二零二五次运动后，动点屁啊，他的一个坐标情况， 因为他求的是二零二五次，这个我们肯定是没有办法实际一次一次给他去平移下去啊，然后我们需要找到这个规律，在这道题目当中，大家观察一下啊，我们 平移的原始图形应该到哪里啊？他会到几个点之后啊？如果我们不考虑坐标， 只是考虑这个图形它的一个形状啊，几个点之后啊，这个形状呢，它会再出现一次， 再出现一次呢，这就是它周期性的一个变化。在这道题目当中，我们啊四个点就是一个运动周期啊，你看我们五啊，到五一这个点啊，它再往后运动呢，其实就和这个一 这个运动情况是一样的。所以呢，我们首先要确定它的周期呢是四。 第二步呢，我们需要还需要观察啊，需要观察，比如说他四个四个点啊，就是一个一个周期，那我二零二五次这个点啊，他经过了多少个周期？ 我只需要除以四，对不对？除以四呢？他会余个一，我们主要是看这个余数啊，看余数，这个余数呢是一，也就是说他对应这个点的位置呢，和第一个点啊，他这种纵坐标是一样的， 对不对？纵坐标是一样的，它横坐标是什么样子的呢？横坐标，我们通过观察这个第一个图像啊，它的横坐标呢，就是运动几下啊，这个横坐标就是多少。所以这个题目呢，就是 经过二零二五次运动呢，它的点呢就是二零二五一啊，也就是咱们的这个 c 选项。 那做到这里还没结束啊，因为大家有没有想过这个二零二五是什么意思？有可能这一年考试他就在二零二五年，那今年比如说我们考二零二六年，现在这个二零二六年，他的点的坐标是多少？ 首先二零二六啊，我们给他除以四或余二余二就是个偶数。但这道题当中呢，它会非常的简单，因为偶数的坐标呢，横坐标呢就是它本身。 然后呢他的一个纵坐标呢，就全部是零，是坐标轴上的点，等于说如果是二零二六次呢，他就是一个 二零二六零这样的一个点。但是呢，假如说我后年考二零二七年，二零二七除以四，他余数是 是三对不对？余数是三对的，我们的就是第三个点，他的横坐标呢是二零二七，他的纵坐标呢就是我们的二， 大家一定要把这个周期性啊，原始图形给他找出来啊，周期性的特征点有什么样的一个变化规律？给他找出来啊，这道题目呢就可以解决。但是有一些图形呢，他这个原始的周期啊，可能不太好找，我们来看一下下面这道题目啊， 这道题目是在平面直角坐标系中呢，移动点，从圆点 o 出发，按向上向右、向下向右的方向不断的移动，每次移动一个单位长度得到点呢， a 一 就是零一， a 二就是一一， a 三呢就是一零 a 四呢就是二零，现在要推断的呢是 a 二零二四的一个坐标， 这个时候呢，我啊需要大家呢需要，首先呢就是看这个图形，它还是一个周期性的图形，周期性的图形呢，我们首先需要判断它的周期啊，这个周期呢怎么判断？ 比如说从第一个点啊，第一个点就是 o 点啊，我们到第几个点会出现循环呢？其实是啊，第四个点，它这个周期的判断啊，判断的一个标准就是说我从下一个点再移动，是不是和我原始图形形成的形状啊，是一模一样的， 这个判断呢，周期为四，周期为四呢，然后我们这些对应的点，比如说啊，我这个 a 二零二四啊， a 二零二四呢，除一个四 啊，除一个四，它呢应该是能啊，余数就是余数就是零，它可以被整除，它对应的点呢，就和我们这个 o 点啊， o 点是位置是一样的，所以这个时候呢，我们可以确定什么呢？确定它的纵坐标是零， 对不对？纵坐标是零，然后他这个我们再观察啊，他这个零啊，和 a 四、 a 八这些点有什么关系啊？有什么特征？如果他能整除的话啊， 我 a 四的点，那坐标是二零 a 八的点呢？坐标是四零，所以我二零二四这个点的横坐标呢，就是二零二四 除以二，也就是一零一二零是这个样子，那这道题我们当然也要变一下，对不对？因为今年是二零二六年，那我如果变成二零二六啊，这个时候我对应的坐标是哪一个点呢？ 啊？我这二零二六对应的位置大概就是我 a 二这个点，对不对？它的坐标是多少呢？请大家打在我们的评论区， 我任意再给你一个值啊，我任意再给你一个值，你其实应该也是能够求出来的。以上呢讲的就是我们这个坐标轴动点啊，他容易出现的周期性动点的一个解法，这次讲解就到这里，谢谢大家。
26焦通数理
