华师版八年级下册数学几何压轴题
这是一道让你会觉得既熟悉又陌生的压轴题，而乍一看呢，好像很简单，一连那最小的就出来了，实际上处处都是坑，我们来看一下啊。 首先呢，这是一个矩形，矩形呢，我们可以知道， ab 呢，它是等于二分之十一的， bc 呢，等于三，同时一点。在这里啊， a 等于一， f 点呢，就在 a d 上移动 啊，围绕着 e f 呢，做了一个等腰直角扇形，这里是垂直的，这两边呢，相等连接 c g。 问，在这个运动的过程当中，我 c g 的 最小值，哎，那你乍一看哇，这不简单吗？ 我这 e 点是固定点， c 点是固定点，那当这个运动过程当中， c e g 三点共线，那不就有最小值了吗？对吧？但是我们假设一下啊，在这个地方，那就会发现啊，这里有三条线段，一条是 e c， 一条是 e g， 一 条 c g， e c 的 长度是固定的，没问题，但是 e g 呢，他不固定啊，按道理来讲，我这个时候 e g 如果取得最大值，那我 c g 就 会取得最小，那在这种状态下， e g 真的 是最最大吗？啊，其实并不是的啊， 所以这个地方你会发现啊，我这个是动的，这个是动的，就满，完全没办法确定它的最小值了。 对，乍一看很简单，实际上很多坑在啊，好，那这种情况下应该怎么解决呢？那么就需要进行转化，就是这三条线段， e c， e g， g c 必须要有两条线的是固定的，这样子才能确定 c g 的 一个怎么样呢？最小值， 那这个时候 e g 它不是固定的，那怎么办？我必须得把 e g 变成一个固定的值。好，那这个地方怎么转化呢？我们来看一下，这地方有一些很 很典型的模型，当我们看到等于二的三角形的时候，我们会想到什么？而且这垂直，这里也是垂直，是不是应该有一个一线三垂直啊？所以这个地方我们就立马做一条垂直下来，比如说这个点呢，就是我们的 m 点 好，做了垂直之后呢，你会发现啊，我们这两个三角形一定会全等，全等之后 a 一 和我们的 g m 是 怎么样的？它是应该相等的，就等于一。 好，那这个时候我们来想象一下啊，那也就说我 g 点到 ab 的 距离呢，始终都是保持一的，那我们是不是可以得到一个 g 点的运动轨迹，那 g 点的运动轨迹在哪里呢？应该是距离 ab 都是一的这条直线上，那么可以做一条平线过来。 好，那也就说我的 g 点应该在这一条水平线上移动。水平移动，那移动到什么位置？我知道了哈，就是固定点， g 点在上面移动，什么时候最最短呢？那就是点到直线之间应该是垂线段最短，是吧？那这时候你会发现啊，这是一，这是二， ok， 它的最小值就是二。 ok， 你 又错了，那为什么错呢？因为啊，我这个 f 点它是有范围的，那也就说我 e f 的 长度也是有范围的，它不是无限去的， 那我的什么时候我会取得最小呢？应该是我这个 g 点移动到这边，尽可能的移到右边，那也就说我的 e g 尽可能长的时候，我这个 c g 就 尽可能短， 那我 e g 和 e f 相等，那是不是应该要等同于 e f 要尽可能长的时候，我 e g 才能尽可能长。 那所以我就要回想一下，那我这个 e f 什么时候取得最大呢？那 f 点在这里嘛，他往上面移动，最多就移动地点，所以最远呢，最长就应该是这个位置， 他这个位置的话，那我此时我的 e g 应该也是大概是在这个位置，你的 g 点来到这里，他并没有真正的运到这个地方吗？ 那所以你看，此时我最远了，运到这个地方，我的 e g 啊，最远也就交在这里，所以这个地方 c g 啊，才是我们真正的最小值。 好，那这时候 c g 应该怎么求呢？好，我们一起来看一下。此时我们知道这一段是二，这一段是二，然后呢，我们再看啊，我们再看这里，先把它做垂直下来，它变成大了啊，这里也是一， 这里是 n， 比如说我们啊，这种状态。好，现在我们看一下，这一段能不能求出来，这一段应该等于谁呢？ 我们一个一个来看。首先呢，我这里有个大的啊， d a、 e 和我们的 e、 n g 是 全等的，所以我的 e n 这段应该等于 ad， ad， 我 们知道它等于多少，等于 bc， 等于三的，所以我的这一段应该是三， 那这个是一，这是三，总长又是二分之十一，那就二分之十一，减一，减三就减四，就剩二分之三， 所以对上去呢，我们这个地方也是多少呢？二分之三。好了，那这个时候就有勾股定律了，我们就可以求到 c g 的 长度，那此时 c g 呢，应该等于多少呢？我们可以算出来啊，这个二呢，相当于是二分之四啊， 所以你看，大家都有分为二嘛，上面是三四，这就是五喽，那就是二分之五。所以啊，我们 c g 的 最小值应该是多少呢？应该是二分之五。选择 b 答案。
粉丝2206获赞1.6万
相关视频
00:37查看AI文稿AI文稿八下数学最难的必考压轴题，全部吃透，考试直接躺赢！八下数学必考压轴题考点一，二次根式的分母有理化。 考点二，复合二次根式的化简。 考点三，勾股数及其拓展类型求面积。 考点四，依次函数与三角形全等问题完整版分享！
22好运酱汁
07:05查看AI文稿AI文稿这是初二期末考得比较不错的一道几何压轴题，我们来看看它的一个基本条件，三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，角 a、 e、 f 这个角度它是一个一百二十度啊，并且告诉我们 b、 d， 它等于线段 b、 e 点， f 是 c、 d， 它一个中点，这里是一个中点 啊，并且告诉我们 a、 e 的 长度等于七。我们的问题是来求整个线段 a、 d 它的一个长度的问题，那么这个题的条件它是不少的，有四个主要的条件， 等边一百二十度，有一组线段相等，还有一个中点，那么这几个条件我们如何来进一个关联呢？那么这个题的方法如何来进一个分析呢？那么当然所谓方法，所谓比较高效的方法，就是对条件的一个有效的一个利用。那么这几个条件我们来先来看看它的一个用处， 那么由于这里有一个等边叫 a、 e、 f， 它又是一个一百二十度，那么这个一百二十度，它可以联想到这个等，那个一百二十度的问题，对不对？ 然后还给了一组边相等， b、 d 等于 b、 e， 那 么这一组边相等，在我们初二阶段可以用它来进行一个构造，全等三角形，它可以再来一个构造，而且角 d、 b、 e 这两个边相等，它是连接在一起的，并且它的夹角角 d、 b、 e， 它是一个一百二十度啊，这里是一个一百二十度， 这个角度我们也可以关联到等边三角形，也可以关联起来进行一个利用，对不对？然后这个 f 点它是 c、 d 的 中点，在初二阶段，这个中点它有两个作用，你可以构建被长中线全等，也可以构造一个中位线，可以再来进行一个利用， 那么这一条线可以再来进个关联，以及它的一个使用。我们最终要来关联到一个全等三角形的话，结合我们刚刚的分析的一些思路，我们怎样来构造全等呢？首先可以用这个角度来进行一个分析， 角 a、 e、 f 这个一百二十度，它如何关联到等边三角形呢？由于等边三角形里面有六十度，那么我们可以在点一这个位置，也是在点一这个位置，因为它处在一个角 a、 e、 f， 它本身就是一个钝角一百二十度， 又在一个等边三角的边上，我们可以在点 e 这个位置，利用等边上的性质，再来构造一个一百二十度，那么构造出来之后就会由等量代换啊，找到一组角相等。那么怎样呢？可以在点 e 这个位置构造一个一百二十度来，我们可以过点 e 啊，过点 e 做 b a 这个线段，它的一个平行线啊，这样做过来 啊，这里标一个 h 点好，也就是你这样来构造啊，构造一个 e、 h， 它平行于 ab 的 话 啊，这个辅助线我们就可以来啊，传递到角 b、 e、 h， 它就是一个二百二十度，那么这个一百二十度和条件里面的角 a、 e、 f， 这个一百二十度就可以等量代换啊，得到这个角一，我们这里标个角一，这个是角一，这是角二，就可以得到这个角一，它是等于 这个角二的，这是一个角度条件，而且还可以找到一个传递一个边的条件，那么边的条件就是那个 a h 啊，它是等于这个 b 一 的，对不对啊？因为等边的性质也做了平行线， b 一 条件里面又可以关联到这个条件的这一组边相等，它又等于啊，这个 b、 d， 对 不对？而且这个角 h 这个地方，它也是一个幺二零一百二十度啊，这个地方也是一百二十度，其实坐到这个位置，你应该感受的到它应该是让你怎样的来构造全等 h 和角 b 这个位置是一百二十度， a h 和 b d 这里也是一个线段相等， 所以我们就想办法在 a h 和 b d 这个位置上来构造一组全等三角形。但是构造全等三角形，我们目前得到的是角一和角二相等，所以说我们要把角一给它引到 b、 d 身上来。由于 f 点是一个中点，所以这里我们顺势可以构造一个在搭点这个位置，构造 e f 的 中位线 啊，过大点做 e f 的 平行线，这个位置我们标一个 m 点，这样做过来之后，就可以把角一给他引到角三这里来，对不对？所以通过这种方式的中外线构造，我们可以传递传递什么呢？就是角二 可以等于角三，对不对？利用刚刚的这些信息啊啊，我们就可以直接来创造一个全等三角形，也就是三角形 a e h 啊， a e h， 它就全等于三角形这里的啊， e m b e m b， 它就是全等的，对不对啊？这个全等也是很好来证明的啊，两个角加一个边，角角边啊，其实是角角边 可以证明对不对？这个全等就可以来传递我们这里的条件，给了这个 a 一 点七这一个数值啊，也就是 a e， 它就等于这里的 dm， 对 不对啊？但这个啊，暂时的话其实也可以写在这里啊，后面也可以直接用啊，就等于七，其实后面也用的话也可以用，不用的话也可以的，关键是后面你要去找到关于七要求这个 a d 相关的要等的关系才可以。 目前为止，由于这个全能之后啊，核心的应该是这一组条件，那就是这个 e h， 它是等于这个 b m 的， 但是 e h， 它是等于这个 c e 的， 对不对啊？ c e 这个地方又有呃，又有一个中微线，所以点 e 应该是 c m 的 中点，对不对？所以这个 e h 等于 b m， 它又等于这个 c e c e， 它又等于这个 m e 啊，这就关联到就证明出来这个非常重要的一种线段，也就是 c 一 线段，也就是 m 和 e， 应该是 bc 线段的一个三等分点的一个位置。所以这个地方我们要来关于那个七来建立一个等量关系的话，我们就不妨把这个三等分点设一个 x， 我 们就假定这个 c 一 了，就这个线段，它就等于一个 x 啊，这是 x x， 所以 这个 ab 的 长度，当然它就是一个三 x， 对 不对啊？这里是一个 x， 这里是一个 x， 那现在我们要来找关系的话，和那个七幺关联起来就非常的明显了，我们可以直接在三角形 a b e 当中来解这个三角形就可以了，过点 e 做 a b 的 一个垂线，因为它是一个等边三角中啊 b 这里它有一个六十度，所以这个位置呢，就是一个 啊 x 啊，这里就是一个 x， 三十度数的斜边一半，这里就是根号三 x， 那 么这边呢，就是一个二 x， 那 勾股方程就有了啊，所以呢啊，根号三 x， 它的平方加上二 x， 它的平方就等于七的平方， 这个方程一解 x 呢，就等于根号七，所以我们这个问题， a d 的 长度就是一个五 x， 当然拿进来就是五倍 啊，根号题做这个题，最终算出来结果， a d 的 长度啊，五倍。根号题做这个题相对于对目前的初二来说是有点小难度的，不是说他的方法，难度的方法也也算小难度， 但是如果是那个条件比较多，你如何来拆解和转化这条件，让他进一个高效的进一个转化和利用，这是你要想到的一些问题对不对？ 这个地方我们充分应用到了这个一百的速度和本边上沿的关联来建立一些联系。做平行线对不对？中点可以首先选择，初二的后期首先选择的是中微线来进行一个利用，而且这个地方的中微线不仅产生了平行的倒角，而且可以产生一些 中点相关的一些边相等来找到一和 m 也是点一，它是 c b 上的一个三等分点，这个位置是这个题的转折点。后期的计算呢啊，就是特殊角和勾股定律来进行一个做就可以了，好的方法就是如此。
1140数学张大仙
05:02查看AI文稿AI文稿这是一道考察半角模型和勾股定律的压轴题，那像这种题我们应该怎么来解决？所以首先看一下题目， a、 b、 c、 d 呢，是正方形，边长都是六，同时告诉我们 d、 f 呢等于二倍的根号二，还告诉我们 m、 n 等于 b m 加上 d、 n 要求什么样呢？求我们中间 e、 f 的 长度好对，这种题应该怎么入手？ 那直接看呢？这好像 e、 f、 d、 f 这些好像没有直接的关联，对吧？那我们一步一步来，先把能够计算的能标的标出来。首先边长都是六 六六，然后呢，正方形的非常特殊的性质就是对角线平分，对角，每个角都是四十五度，这些都四十五度，非常特殊的角，要标一标 好，那你会发现 b、 c、 d 它是一个等二角的扇形啊，六六这个斜边 b、 d 就 可以知道 b、 d 等于多少呢？ b、 d 等于六倍的根号二，那我这段是二倍根号二，剩下的 b、 f 呢，它就是 四倍的根号二。哎，但是我要求的是 e、 f， 还没有说直接能求出来，怎么办？还有一个条件，你看 m、 n 这段等于这边加这边，这是很典型的半角模型，半想到半角模型应该怎么办？旋转， 然后就把 a、 d、 n 转到这边来，使得 a、 d 啊和 a、 b 重合，或者说我们就延长这一段延长过来， 延长过来之后呢，使得这个 b、 p 它等于什么样呢？ b、 p 等于 d、 n， 然后呢，我们连接 ap， 这时候因为怎么样呢？这垂直，这里也垂直，同时 ab 呢等于 ad， 同时我们 b、 p 呢等于 d、 n， 所以 这两个三角形一定全等， 全等了之后呢？啊，刚我们知道 d n 是 等于 b p 嘛，然后 d n 加上 b m， 那 就等于 b m 加 p b p， 那 整一条线段应该等于 m n， 那 这时候我们就可以得到一个大的两个三角形，全等啊，就是 a p m 和 a n m 条件是什么样的？这里边相等，这这条边相等，还有一条公路边边边全等， 那这时候我们可以得到啊，很明显啊，这两个角呢是等于多少度呢？是等于四十五度的啊，四十五度，好，这是我们啊，看到这个结论想到的一个 我们的半角模型啊，旋转过来，或者说截长补短，对吧？好，那接下来呢，我们拿到了这个关系之后呢，依然还是找不到这个二倍杠二和这个 e f 以及这个四倍杠二之间有什么关系。 好，那么回顾一下，通常我们在做题的时候，几个题当中我整一条线段，知道这两条线，这条线段呢，要求其中一段 我们通常都会设其中一个为 x， 然后剩下这个是四倍的根号减 x。 好， 那设到未知数，我们就要干什么样呢？要建立方程，那我们县级段在几何的一面经常用到建方程什么样呢？就是勾股方程。那么需要干什么？把这两段 放到一个直角三里面去，那这个直角三线在哪里呢？ ok， 这里呢有一个非常重要的啊，你看这里是四十五度， 我在这个地方这里也有一个十五度，而且这个东西相当于是和 a d n 里面，它是可以整体转动过来的啊，我们可以怎么办？可以在这个地方 截取一个，比如说 q 点，使得怎么样呢？使得这个 a q 等于 af。 好，那这个时候呢，我们就可以有关系了啊，你看我的这个角是等于这个角的，刚刚不是证明了这条线全等吗？我有这条边，等于这条边，又加上 a q 等于 af， 所以 我可以把这个东西转过来， 转过来之后呢，我的 d f 和我这个 b q 呢，也是相等的，等于二倍根二。好，转过来。很重要的一点，这四十五度，这个转过来角度一样，四十五度，你看这里四十五加四十五就构成了一个直角扇形。 好，接下来我们就可以怎么样呢？连接我的扣一。连接扣一有什么用啊？那它有用啊，我这个 e f 和扣一一定是相等的 啊，一定相等的，所以这时候它就变成了 x， 这里呢是四倍根号二减 x， 这里呢是二倍根号二。所以你看把这三条线段就放到了一个直角三里面去，就可以建立勾股方程。好，那这时候我们就建立一个方程，就是 x 的 平方，这是斜边， 就等于二倍根号二的平方，加上四倍的根号二，减去 x 的 平方，那这个算出来呢， x 就 等于二分之五倍的根号二。 x 是 谁呀？就是我们的 e f， 所以 e f 呢，就等于二分之五倍的根号二。
145粤数
04:18查看AI文稿AI文稿当我们的矩形遇上了此规作图，应该怎么来解决？这是一道我们去年期末的压轴题，他说在这个矩形 a， b， c， d 里面， ab 呢，等于三， bc 等于四，这是九十度， 然后以 b 为圆心， b、 a 为半径，画了一段弧与 ac 呢，就点 m， 要求 cm 的 长度，那么应该怎么去入手呢？那首先我们看到三和四有直角，立马要算出谁呢？ ac 的 长度三四、五是我们最常见的勾股数。 好，那我们知道 ac 的 长度要求 mc， 那 现在怎么办呢？ em， 知不知道？不知道， 那怎么办？那现在我们再去看啊，这一个作图，他有什么样的含义？一定会翻译， 那既然这是画的一段圆弧，圆弧当中什么东西是相等的呀？就是半径，所以这地方我们有一个 m 点，他是非常突出的，一定要标一个 m 点，在这里让我们干什么？一定是连接圆心， 这样子呢，就产生了半径，那这个 b m 是 半径， b a 也是半径，它们相等，所以呢，依然等于三，而来到了这里，那和这个 c m 要求它距离还还很远， 那你说 m c， 如果它直接在一个直角三里面的话，我们可以直接求，但是它并不在一个直角三里面，所以直接求它难度很大。那接下来又怎么办呢？ 那这里呢？你看三三，那我们看到了个等二扇形，又会想到什么？你看，这就是我们思维啊，当我们看到等二扇形的时候，我们应该想到三线合一，对吧？三合一的话，我们可以从顶点处做一个垂直过去， 那做了垂直之后呢？要么在这里啊，就是 n， 那 因为是等于二三角形，一垂直，一垂就分，那 a n 和我们的 m n 是 相等的，那你说那这两段相等也没有太大的意义啊，还是求不出我们的 m c， 那 如果说我能求出 a n， 那 就好了，那 a n 我 也不知道 b n 的 长度啊，那 b n 应该怎么求？ 哎，那这个时候我们得想一想 b n 它的身份是什么？那就发现 b n 是 垂直的，它是在 abc 这个直角三角形里面的，而且 ac 是 斜边，它是斜边上的高。那我们谈到要求高，会想到什么样呢？这时候我们又会想到等面积法。 等面积法呢，就是用两种方法来表示同一个三角形的面积，然后一等起来就可以建立方程。那所以 abc 这个三角面积呢，我可以用二分之一的 ab 乘以 bc， 那 就是二分之一的乘以三，乘以四， 它也可以用什么样呢？斜边作为底，就是 ac 是 五，二分之一乘以五五倍，再乘以斜边上的高 b n。 当然通常啊，我们这二分之一是省略，省略掉的，那这地方直接约掉啊，所以 b n 呢，应该等于多少呢？等于五分之十二。 哎，那这个时候我们就可以标记一下五分之十二。那你看在这个 a、 b n 这个扇形里面折算里面，我知道斜边，也知道这个直角边求 a n 勾股定律就可以得到了。那你说勾股定律怎么算最快呢？我们可以采取缩放的方法， 比如这个三和五分之十二，我们要求的是直角边是小的那个边，先我们把这个变成全部变整数，同时乘以五，那变成十五，这变成十二，然后把它同时再约小一点，比如说除以一个三，那这里还剩五，这还剩四， 那现在我们要求的是直角边，那就三四五，所以这个是三，回去的话就乘以它就变成了九。乘以五呢？回去就除以五，就是五分之九。 所以接下来我们就直接可以得到 a n 呢？是五分之九，因为平分，所以我的 m n 也是五分之九。那这个时候你看 总长五这段是五分之九加五分之九，那一减就等于 m c， 那 所以这个时候 m c 等于多少呢？等于五分之二十五就是五嘛，减去五分之九，再减五分之九，就等于五分之七。选择 b 档。
41粤数
03:50查看AI文稿AI文稿这是一道去年我们关于菱形的压轴题，这地方呢，他给到了一个三角形的周长，让我们通过各种转化要求这个菱形的面积。好，今天我们一起来看一下， 他说这个菱形当中 d a、 b 呢等于四十五度，那它等于四十五度啊，我们知道菱形啊，它的对角是相等的，所以我们可以立马得到这个角呢，也是四十五度。 首先，然后呢 d 一 垂直于我们的 b、 c， 我 们可以标记一下，这是垂直两条线相交啊，交于点 p， 交于点 p。 接下来呢，从 p f 做了一条垂线，垂直于 c、 d， 如果说 pdf 的 周长是八，就是这一个三角形的周长是八，要求这个菱形的面积。那现在我们现在回顾一下啊，菱形的面积的计算方法有几种呢？啊，我们通常是有两种啊，第一种呢，就是我们所有的平行四边形以及特殊的平行四边形，都可以用的叫做底层，高 啊，底乘以高。第二种呢就是菱形它自己的一种特殊的计算方法，就是二分之一的对角线乘积， 就是对角线乘积的一半。好，这时候我们再来看一看，它只给到了一个什么样呢？四十五度啊，四十五度，还有一个周长，那怎么突突破呢？那首先我们从已有的条件先推导一下， 我们看看到啊，这里是呢是多少呢？是四十五度，这是九十度，那这个角呢，肯定也是四十五度。好，那这时候我们会发现啊，这是一个等于二角的扇形。 好，继续，这个时候呢，周长给到了我们，意味着我们的 p d 加上 p f 加上 d f 等于八，但是给到这个周长，我们要去进行转化，怎么转化呢？它这地方很有技巧啊， 你看 a、 c 是 什么啊？是菱形的对角线。菱形的对角线有什么性质？你一条对角线会平分一组对角，也就是说它这两个角呢，是被平分的， a、 c 是 这个角的角平分线，然后它往两边做的垂直，我们可以得到什么结论呢？ 角平分线上的点到两边的距离相等，所以这两段相等。那我们的周长呢？就是 df 加上 p f， 再加上 p d， 它等于八，我们就转化成了，怎么样呢？就是 p d 加上 p e， 也也就是我们 d e 的 长度加上 d f 的 长度等于八。 好，然后我们可以得到 d 一 等于啊，等于这一段啊， d 一 和 ec 呢？又是相等的，对吧？然后再一次进行转化，这个 d 一 等于 ec， ec 和我们的 cf 也相等，为什么呢？这两个三角形一定全等，所以我的 ec 和 fc 相等， 那这个时候进一步的进行转化，我们的 d 一 变成 ec， 再变成 fc， 那 就变成了 fc， 加上我们的 d f 等于八。哎， fc 加 d f 是 什么样呢？就是我们 d c 的 长度，也就是说我们那个菱形的边长是等于多少呢？等于八的 好，他等于八的话就很好解决了。那我这个等一下折扇形，我的高，这个边 d 一 和 e c 不 就可以可以求了吗？这是一个啊， a 比 a 比根号二 a 的 一个关系，所以我们可以求到这个边长，直直接用八除以二就可以了。他等于多少呢？四倍的杠二 好，四倍的根二，那相当于这个 d 一 啊，是什么呀？是我们这个菱形 bc 边上的高，然后边长呢？又知道 cd 等于八， bc 呢也等于八。因为菱形的边长都相等， 所以底知道高，知道我们的面积就很容易求到直接是底层高四八三十二三十二倍的根号二就。
106粤数
32:13查看AI文稿AI文稿我们来看一道初二的压轴题，那其实最后一个题，一般他可能会有三问啊，四问啊，两问，他如果说三问的话，前面一二问还是比较简单的，一个就是你分析题目的能力 啊，就说你认真去看，一般一二问都是可以做出来的。第三问的话，他有的是需要做辅助线啊，而有的是动点问题，那可能会让你去分类讨论， 对吧？所以说你要去看一下哈，有的时候需要分类讨论，可能有的孩子们写不全 分类讨论，而有的是需要去做辅助线，我们讲的这道题就是需要你去做辅助线啊，那做辅助线，有的孩子说，我就不会做辅助线，从哪里做呢？ 所以说有的题目哈，很多题目它的后面的问题和前面是有关系的，所以你要善于去观察啊，要善于去观察。好，我们来看第一问，它说在等腰 r t 三角形 r t 就是 直角的意思，对不对？ 好，在等腰直角三角形 a， b， c 中找一下 a， b， c 角 a， c， b 是 九十度，这里是九十度。呃， c， b 等于 a， c， c， b 等于 a， c， 嗯，直线 e， d 经过点 c， 能找到直线 e， d， 哈，它经过点 c， 也就是说 e， c， d， 它们三在同一条直线上啊，然后过点 a 做 a， d 垂直，我们看到了垂直， 在做 b， e 垂直 e， d， b， e 垂直 e， d 又看到了垂直，对不对？然后 b， e 等于四， a， d 等于二，他问的是 d， e 来看 d， e 啊，那我们可以看到 d， e 是 由两部分组成的， d， e 分 为什么呢？ c， e 和 cd， 对吗？那我们根据这直角这直角，然后这个边等于这个边，我在图中可以看到全等三角形，三角形 b、 e、 c 全等于三角形，对应顶点写在对应位置啊。 b， 对 的，这个三角形里面就是 c 啊， c， d， a， 对 吧？我可以看到这两三角形全等，那如果要正全等的话，我就要找条件啊。现在已经有一个角有一条边了， 那它们两个是直角三角形对不对？它们两个直角三角形，那我可以用正常的判定方式啊，这样的判定方式回忆一下，边边边 两边及其夹角，然后角角边两角及其夹边。那当然，直角三角形有个特殊的是 h、 l 直角边，斜边定力。哈， 那现在我们已经首先我们考虑直角边，斜边看合适吗？啊，我们现在已经斜边相等了，那直角边看能不能找出来。 a、 d 和 e、 c 题目没有告诉我，我也没有有利的条件可以证明它俩相等，而 b、 e 和 c、 d 题目也没有告诉我，我也不太好，我也没办法通过。 呃，长度来正，对吧。没有告诉我 c、 d 和 b、 e 的 关系，也没有告诉我 c、 e 和 a、 d 的 关系，那所以说 h、 l 用不了，我们只能选常规的啊。现已经有一条有一个直角了，而两剩下两边都不能用，那我只能再找一个角了。 好，那角 a、 c、 b 这个直角是不是还没有用呢？那角 a、 c、 b 是 九十度的话，我可以知道这个角 b、 c、 e， 这个角 b、 c、 e 加角 a、 c、 d， 这俩加起来是不是也应该九十度呢？因为它们三个 e、 c、 d， 它们三在一条直线上，这里就是一百八。 好，这是个大大的平角，一百八，那这个占了九十，所以星星角加这个点点角是不就是九十度呢？那再看这个星星角还在哪个三角形当中呢？是不是在三角形 b、 c、 e 当中呢？那么星星角加这个角 c、 b、 e 是 不是也是九十度呢？星星角加它是九十度，星星角加这个也是九十度。那说一遍，两个点点角是不是相等的？好，现在我们就有了，又有了一个角了，所以在一个三角形当中去看判定条全等的条件。 在三角形 b、 c、 e 当中去看哈，直角点点角和边是不是角角边呢？因为它不是加边，它是对边，它是其中一个角的对边，所以用的是角角边啊。那么我们分析完了来写过程， 我需要准备两个角，两个直角，还有一个相等的角，对吧？啊？直接写写过程，它，其实这是一个填空题，你可以不写过程，但是我们讲的时候要写上啊，先先说直角，因为 a、 d 垂直 e、 d， 然后 be 也是垂直 e、 d 的， 也垂直于底的，所以角 b、 e、 c 等于角，对应的点放在对应位置啊。 b 对 的是 c， 那 就 c、 d， a 等于九十度，因为两个垂直，所以等于九十度，对不对？再写因为角 a、 c、 b 等于九十度， 就这个角九十度，所以角 bce。 这个星星角啊，加角 bce， 那 放到这个里面就是谁 bce， 加角 a、 c、 d 是 不是 a、 c、 d 点点角 a、 c、 d 就 等于九十度， 那它俩加起来是九十度。那又因为在三角形 b、 c、 e 中，我可以看到角 b、 c、 e 加角 b、 c、 e， b、 c、 e 这个角对不对？加这个点点角，这个点点角是什么呢？你看我们这里写的是 a、 c、 d， 那 我就写的是 c、 b、 e 等于九十度 a， c、 d 这个 a 对 到这三里面是不是 c 对 不对？然后 c， b， e 哈 c， b， e 等于九十度，那么所以你看啊， b， c， e， b， c、 e 两个都是 b， c， e 对 吧？加加 a， c， d 是 九十度，加 c， b， e 也九十度，所以角 a， c、 d 就 等于角 c， b、 e。 那 条件就准备完了，直接写啊。在三角形 b， c、 e 和三角形 b， b， c、 e， 那 就是 c， a、 d 中对应顶点写对应位置啊。我们可以看到 b 这个尖尖角是不对的，是 c 呢？那所以 b 就 对的是 c， 然后这个三，这个稍微大点的角对的是不是 a 呢？所以 c 对 的是 a， 然后两个直角顶点 e 和 d 是 不相对， e 和 d 相对啊。列条件，刚才分析的是角，角边嘛？先列两个角，再列边。嗯，角， 先来写两个直角啊。角 b， e， c 在 这呢，角 b， e， c 等于角 c。 角 b， e， c 等于角 c， d， a 等于九十度。好，下一个角用的是角什么呢？ c， b， e 对 不对？或者 角 c， b， e 等于角在这 c， b， e 等于角 a， c、 d 这两角相等，然后还有一条边，题目告诉我是 c， b 等于 ac 对 不对？ c， b 等于 ac， 那 么所以三角形 b， c、 e 就 全等于三角形 c a， d a， a， s 那 有了三角形全等之后，全等三角形对应边是不是相等呢？那么我们知道的是 b， e， 所以 b， e 就 等于 b， e 等于是不是 cd， cd 等于四，然后还告诉我的谁呢？ a， d， 那 你看这里面的 a、 d 对 到这里面是不是 c， e 呢？ c， e 等于 a， d 等于二。那么因为 我们要求的是谁呢？ d， e 因为 d， e 等于 c， e 加 cd 直接替换等于 c， e 是 不是二二加？ 嗯，二加四等于六。那我们这不写，因为写所以哈，所以就行了，所以就最后结果了。 第一问看完了，我们来看第二问啊，他说某家工厂有一批平行四边形板材， a、 b c d， a， b， c， d 是 平行四边形， bc 等于十二，整个 bc 场是十二分米。你要有单位了，咱们就带上啊，角 b 四十五度， 四十五度，那 b、 c 是 十二，我就能知道 a、 d 也是十二 分泌啊。至于用不用，我们后面再说，先标上啊。他说要在平行四边形板材 abcd 的 开两道长度相同的凹槽 a、 e 和 e、 f， 这个还比较重要啊，长度相同，那说明 a、 e 和 af 是 相等的 啊， a、 e 和 ef 是 相等的，说错了啊，他说两个两道长度相同的凹槽 a、 e 和 ef， 那 说明 a、 e 和 ef 长度相等。用于埋桩线路其中一个开槽点 e 距 c 的 距离为四， 这个 e 距 c 的 距离是四，那就 e、 c 等于四，那我就能知道 b、 e 是 八，对吗？嗯，要是这两道凹槽互相垂直，这里还必须是垂直的， 还必须垂直的。那么另一个开槽点 f 距离 d 多少，也就说求 d， f 是 多少，就这个意思， d、 f 多少。我们来看啊，我看到了四十五度，但是四十五度，一般来说它要在 r、 t 三角形中才起作用好，因为直角直角加上四十五，它就是有等腰直角了， 这是四十五，这是四十五，只要是直角加一个四十五，他就变成等腰了，对吧？变成等腰，那这两条边数就相等了，所以我尽量要把四十五度放在直角三角形当中，而我们现在来看啊，他就没有直角三角形，他只有这里是个垂直。 好，虽然说 a e 垂直 ef， 但是 af 根本就没有连，对吗？根本就没有连，那最后我要求的是 d f， 那 d f， 它也没有一个三角形，对吗？那我们肯定跟第一问有关，想这个 d 跟第一问的模型很相像，很相像。你看， 第一问是 a c 垂直 bc， 第二个是 a e 垂直 ef， 是 不是很相像， 对吗？它这个是 b a 连接了，但是 b a 连接我们并没有用到这个 b a 这条线， 我们用的是这个三角形，和这个三角形是不全等呢。所以说同样的模型，我到了第二个当中没有了，它的左边也没有三角形了，它右边也没有三角形，怎么办呢？所以我就要想办法做辅助线去构造了啊。 所以说我也是跟第一问的思路是一样的，也是要正全等。因为它俩模型长得一模一样嘛，所以我通过点 a 做 am， 你 随便标什么啊？我喜欢用 m n， 你 用 p q 也行，用哪个字母都行。 am 垂直 bc 啊，那，哎，那左边这个三角形有了，可是右边没有三角形啊，怎么办呢？他是不是通过 a d 向下面这个边做垂线的？所以我也是通过点 f 向下做垂线哎，但是你会发现够不着，那就连延长呗，延长 bc 呗， 延长 b c 小 于点。嗯，那同样的道理，跟第一位是一样的手法，我就能证明三角形 a m e 全等于三角形 e n f 跟第一问是同样的手法啊，一模一样。那这样三角形肯定能正全等，对不对？正了全等之后，我就能得出 f n 就 等于这个 f n 肯定是 m e 是 相等的， 就换个颜色啊，看不清了。我能知道 f n 和 m e 肯定是相等的，我还能得到什么呢？ a m 肯定和 e n 是 相等的，对吗？我能得到这两个相等的，跟第一问，正全等的手法一模一样啊。我直接写一遍就行了。我直接写，我们来写证明过程啊，快速完成啊。 第二问，红色第二问，那同样还是已经有一条边相等了，正正角嘛，对不对？先写辅助线啊，先写辅助线，过 点 a 做 a m 垂直 bc， 然后同样过点， 嗯，过点 f 做 f n 垂直 bc， 交 bc 延长线啊，延长线与点 同样的手法，正确的啊。所所以有了这两条辅助线之后，所以我就知道角 a m e 等于角 e n f 等于九十度。两个九十度得到了，还是同样道理啊。因为 a e 垂直 e f， 那 么所以 角 a e m 加，你看这里是垂直吗？跟这个模型一模一样，所以说这个角加这个角，就是说角 a e m。 看着啊，我稍微擦一点东西，因为太多了， 这里是 m 啊，角 a e m， 就 这个角加上这个角是九十度。角 a e m 加上角 f e n 等于九十度。同样是啊，在三角形 a e m 中， 还是在左边这个三角形当中，那因为角 a m e 等于九十度，那么所以角 a e m 加上这个细细的角，上面这个角，对不？我看一下顺序啊，我们写的是 f e n f e n， 那 我这里就是 e m e m 等于九十度。咱们来看啊， a e m 加上它是九十度， a e m 加上它也是九十度，所以这两个肯定相等，所以角 e f e n 等于角 e a m 那 就解决了哈，这个擦掉不用了。 在三角形 a m e 和三角形 e n f 中同样道理。 a s 嘛，对吧？直角，这个角还有 a e 啊？ 角，先写直角角， a m e 等于角 e n f 在 这 a m e 的 e f 等于九十度，可写可不写啊，等于九十度，因为前面我已经证它两相等了。好，第二个角， 这个顶角叫什么呢？我们写的是 e a m 角 e a m 等于角 f e n 这两角相等，然后就是 a e 等于 e f。 所以 三角形 a m e 全等于三角形 e n f 和 d 位一模一样， a s。 好，那么模型有了，全能也有了，全能有了之后我肯定要得呀，得什么对应线段相等呀，对吗？啊，那对应线段相等看，我们刚才是得的。 a d 等于 ec， 那 在这个里面就是 f n 等于 m e， 对 吗？ 那么 m e 等于 n f， 这没有问题，然后再得 am。 我 们刚才不是还用了这个直角边吗？那就是 am， am 等于 e n， 这也没有问题。全等三角形对应边相等，对吧？我先得到全等三角形了，就是跟第一问一样，构造全等模型做辅助线。构造全等三角形 全等三角形正完全等之后，我们需要用第一位，用的是两个直角边相等吗？ a d 和 e c， b e 和 c d， 所以 到这个里面也是两条直角边相等，因为它斜边已经告诉相等了，就不需要了。 f n 等于 m e， 然后呢？ e n 就 等于 am。 好， 两条直线边都分别相等了。然后我们再来看我们需要求的长度，和它没有什么关系。 我们继续来讲啊，因为空间有限，所以我把刚才正全等的过程擦了，全等过程跟第一位一模一样，我也详细的写了，我们我只写了结论啊，他两个全等，然后我想要的边相等也写出来了。那我们继续来看，他要求的是 d f 对吗？他求的是 d f， 那 我们只要知道 f c 不 就解决了吗？那么 f c 又跟谁有关呢？是不跟 f n 和 c n 有 关呢？那我们知道这是直角，所以这是一个直角三角形。那我们再来看啊， 这里是 f n 和 c n。 有 一个问题啊，它的长度我都不知道呀，我要知道一个也行。那我们来看啊，这里是不是四十五度呢？ 四十五度还没用，那内错角过来看啊，内错角过来，这个角是不是也是四十五度呢？那如果说这是四十五度，这是九十度的话，我就可以得到 f n 和 c n 是 不是相等的呢？ f n 和 c n 相等，我可以设直接设为 x， 这 x 对 吗？那所以说根据全能来说， m e 也就是 x 喽， 因为他已经告诉我 c e 是 四，对不对？他已经告诉我 c e 是 四，那他我那我就能求出 b e 是 八。所以说这两个 b e 和 c e 是 有长度的，我肯定就尽量往他两个上面靠拢啊，那有长度我才能求出 x 是 谁呀？那再来看啊，那这个时候 e n 就 等于谁了呢？ e n 就 等于你四加 x， 哎，它如果 e n 等于四加 x， 我 就能得到 am 是 不是四加 x， 这里是四加 x， 哎，它是四加 x。 你 再看啊，这里是四十五度，这里是九十度，那这里是不是也四十五度呢？ 对吧？这里也是四十五度，那所以说 b m 和 am 又相等了，这也是四加 x， 那 我就可以看到一个关系式， b e 不是 八吗？这节是四加 x， 而 m e 是 x， 那 就是四加二。 x 是 不是就求出来了？只要 fn 或者 c n 就是 只要这个 x 能出来，那么 c f 就 好求，对吗？呃，只要三角形中勾股定律，是不是就好求了啊？这就是我们尽量啊，你虽然得到 对应边相等了，但是对应边相等的 f， n 不知道长度， c， n 也不知道长， f， n 不知道长度，这个 m、 e 就 没法确定啊。所以说我们要来设啊，要来找这个关系。 第一步我们先写啊，我们先写角度吗？可以，我们先设设谁 n f 等于 x， 因为人家有单位，咱们得代步单位啊。人家说十二分米 x 分 米好，那为什么 n f 等于 c， n 呢？所以我们要解释啊，因为四边形 a， b， c， d 为平行四边形， 平行四边形是不是对应角相等，所以角 b 啊？不平行四边形对角相等，不是对应角平行四边形对角相等，所以角 b 等于角 d 也等于四十五度啊。又因为 f、 n 垂直 b c， 那 么所以角 f、 n， c 等于九十度，这是没有问题的啊。我们还要得一个平行，因为一会要用内错角 ad 平行 bc 好， 这个九十度再写。因为 ad 平行 bc， 所以 角 d 等于角，这个角角什么 d， c， n， d， c， n 等于四十五度啊，等于四十五度，那我求这个 c f， n， 所以 角 c， f， n 等于一百八十度。减角，这个直角叫 f n c， 再减这个 f， c， n， 那就是一百八十度。减九十度，再减四十五度，那就等于四十五度，那么所以我就能得出什么呢？ c n 等于 我们设的是不是 n f n f 等于 x 分 米。那么所以，因为我要表示的是 e n 嘛，所以 e n 等于 a m 等于 他们。是不是这节 c e 是 四，这节是 x， 等于四加 x 分 米， 对吗？那所以 e， 所以 e n 等于 a m 等于四加 x 分 米。四加 x， a m 是 四加 x， 那 我需要的是 b m， 我 要知道 a m 和 b m 相相等对不对？还得用四十五度。因为 am 垂直 bc， 所以角 a mb 等于九十度啊，那所以角 b a m 等于一百八十度。减角 a mb， 再减角 b， 角 b 已经告诉我是四十五度了哈，等于四十五度。你看嘛， a m b 是 不是减去这个角，再减角 b 减去这个角，剩下的是不是 b a m 等于四十五度？那所以也是一样道理。所以 am 就 等于 b m。 刚才我们知道了， am 是 四加 x， 那 b m 也是四加 x， 分 明 对不对？那 b m 解决了，我就可以求了哈，看就得看 b e 了。我往这上面写了啊，下面写，下面写不下了。 因为 b e 等于。我们先知道 b e 等于 bc 减 c e 对 不对？等于十二 减十，二减几，十二减四，等于八分米，好， b e 是 一个 b， e 是 一个八分米，那又因为 b e 等于 b m 加上 me， 对不对？ b m 加上 m e 在 这呢看 m e 不是 和 n f 是 相等的吗？那你咱们是 n f 是 x， 那 所以说 m e， 咱们在这加一句，所以 m e 也等于 x 分。 再加一句，好，等于 b m。 咱们刚才说 b m 是 不是四加 x， 四加 x 加 m e m e 也是 x， 因为它等于八， b e 又等于这两个相加，那所以 四加 x， 再加 x 就 等于八，那么可以求出二， x 等于四， x 等于二。好，我们求出来 x 等于二之后就解决了。所以 f n 等于 c n 啊，不写 n， f， n 写 n f， 因为前面我们写的 n f 嘛，所以 n f 等于 n， f 和 f n 是 一样的哈，是一个长度，所以 n f 等于 c， n 等于二分米 就解决了。这里是二，这里也是二，那勾股定律 c f 是 不是就知道了呢？那我们 c f 知道，我是不是得 c d 减 c f 才行，那 c d 又和谁相等？ c d 是 不是和 ab 又相等呢？所以我得还得先求 ab 哈， 我们接着刚才写啊， n f 和 c n c n 知道了，我们就可以写在 r t 三角形 af 等于 c， n 等于二。咱们刚才说的是不是要求 ab 呢？求 ab 的 话，我得知道 am 和 bm， 而 am 和 bm 是 不都是四加 x 呢？所以我们在这里写一个。 所以 a m 等于 b， m 等于四加二等于六分米。好，我说 b m 是 六，换个颜色， bm 是 六， am 也是六，那勾股定律对吧？在 r t 三角形 a b m 中，根据勾股定律得这个过程比较长，根据勾股 定里得得谁呢？我们要求的是 ab， 对 吧？ ab 等于根号下。直接写啊，根号下 am 方加 bm 方， 那就等于 am 方是 am 是 六， am， bm 都是六，六方三十六，三十六加三十六是根号七十二，那就是三十根。七十二可以写成三十六乘二，那就是六倍根号二分米。 同样的，在 rt 三角形右面这个 rt 三角形 cnf 中，也是根据勾股定律得啊。 根据勾股定律得。后面的就是比较机械性的东西了啊，它没什么太难的东西了。 c、 f 就 等于根号下 c n 方加 n， f 方等于。我们知道 c、 n 和 n、 f 都是二二的，平方是四，四加四是八，八根号八，也就是二倍根号二分米， 对吗？那我们求的是 a、 b， 但是我们用 c、 d 去减，那 a、 b 和 c、 d 啥关系呢？相等吗？因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形， 那么所以 cd 就 等于 ab 平行四边形对边相等，等于六倍根号二分米，对吗？那所以我们要求的是 f 和 d 的 距离，那所以 d、 f 就 等于 cd 减 c， f 等于六倍根号二减二倍根号二， 二倍根号二等于四倍根号二分别。这结束了， 它的过程非常的长啊，它过程非常的长，是因为它需要去挣很多东西， 但是最主要的一点是，最主要的一点是，就是你要会做辅助线，你要根据第一问和第二问模型看起来是一模一样的哈，这里都是 直角，然后 a、 e 和 e、 f 相等，是不是跟这里面的模型一模一样？所以我要正全等，正全等。但是你第一幅图里面就有两个直角三角形，而 d、 f 图中没有，所以我就要去做辅助线构造全等。三角形 构造完成之后，我要求的是 df， 那 我知道 c、 f、 c、 f 和 cd 一 减不就解决了吗？对吗？那 c、 f 跟谁有关呢？ c f 跟 fn 和 c n 有 关，那 fn 和 c、 n 又是啥关系呢？因为这里是四十五度，所以这里四十五度， 那这也是四十五度， f、 n 和 c、 n 就 相等的关系，那我不知道它俩的长度就是 x 呗，那两个人是不是都是 x？ 两个人设了 x 之后，那根据三角形全等，这个 m e 也应该是 x， 对 不对？而 a m a m 和 e n 是 相等的，那 e n 的 话是四加 x， 所以 a m 也是四加 x。 我 们又可以知道这里是垂直， a m 和这里是垂直的，这里是这个角， b 是 四十五，所以这个角 b a m 也是四十五，那么 a m 和 b m 又相等了， b m 就是 四加 x， 所以 说这个 b e 是 八就可以表示出来了啊。四 x 再加 x 等于八，那 x e 求出来是不就全都解决了？用两次勾股定律。
04:53查看AI文稿AI文稿这是一道关于正方形的压轴题，我们在评论区有一个汕头那边的粉丝说，能不能讲一讲汕头那边的期末题，那这是一道我们朝阳区去年的压轴题，关于正方形啊，我们来看一下这种题应该怎么做啊？做这个题的方法很多，那我们常过来讲，应该怎么去思考呢？ 这里有个正方形， a， b c， d， a d 等于四，那看到四的话，我们这些都可以标一标，它都是四嘛，对吧？可以标一标，同时呢， e 是 a、 c 的 对角线上的一点啊，看到对角线，正方形的对角线非常特殊，它会产生四十五度，我们标一标，这里标一标， 同时呢又告诉我们 d e 和 e、 f 垂直标上啊，垂直同时呢又告诉我们 d e 等于三十度，让我们求 af 的 长度。 那么这种题应该怎么入手呢？他要求线段的长度，给到唯一一条线段长度，我们就从这个线段出发，看能不能通过这个已知条件算出一些未知的线段长。 那这里是四，这里是四，这很明显， a、 d、 c 是 一个等腰直角三角形，所以 ac 很 容易得到。 ac 是 四倍的根号二，可以通过勾股定律来算 好，那 a c 零四倍二和这个 a f 相，呃，这个相差还是比较远的，除了之外呢，其他的长度我们都很难算出来的。那接下来又怎么入手呢？我们会发现这里有一个三十度的特殊角，他特意给出来的。 那么想到特殊的三，这个角度，我们应该想的怎么样呢？做直角三角形，所以这时候我可以沿着一点啊，做一条垂线上去， 比如这是 m， 哎，那你做垂线上去之后，你会发现这里垂直，这里垂直，然后眼睛我们的目测法，你会发现啊， d e 和 e f 好 像有点相等的关系啊，如果把这个 d f 连起来，这个就像一个等腰子的扇形， 那我们看到等二子的扇形的话，我们会想到什么模型呢？一线三垂直，所以这个时候我们继续哎延长它，看一看， 看一下到底是不是。那延长之后呢？哈，你就发现我相当于是做了过一点，做了 m n 垂直， a b 又垂直， c d， 这里垂直，这里也垂直，这里垂直，很明显就是一线三垂直啊， 那这两条三线能不能全等呢？我们找找条件啊，这里三十度，这里呢是六十度，这九十度，这里是三十度，剩下的呢也是六十度，所以角度呢，都相等，这个具备了，还差一条线段， 线段的话，你看啊，一 n 等于 a n， 因为这是一个怎么样呢？四十五度，这是等二的三角形，同时我们这里的 a n 和 dm 都在一个矩形里面，所以 dm 等于 a n 同时等于 e n， 所以 我们会发现啊，这两个三角形确实是全等的，全等之后我们会得到 m， 一 会等于 f n。 好，那你说来到这里我又有什么作用呢？不着急，我这个 a d 等于四嘛，所以这个时候 m n 也是等于四的，所以我们有相等关系，就很容易构造。呃， 方程，这是怎么构造呢？比如说我们把这个两段拆分一下， m 一 呢，我可以设为 x， 这里呢可以变成四减 x。 好， 因为这里有特殊角呢，我们可以看到这三十度啊，这这三十度所，这边呢等于斜边的一半，所以这个 d 呢，是二 x， 勾股定律的话，这是根号三 x 啊，同时下面呢，这是一个等于二角三角形，我这个一 n 等于 a n， 这是四减 x， 那 我这一段呢，它也是四减 x。 好， 那这时候我们设的未知数就要建立方程，建立方程在哪里呢？有等量关系，你看对折的这个就是相等的， 相等之后呢，我们就可以建立方程呢，也就是根号三 x 等于四减 x， 那 么一下项就是根号三 x 加上 x 等于四， 那么提提出来，根号三加上一， x 等于四， x 等于多少呢？根号三加一分之四，那我们要对它进行分布，有理化，同时乘一个根号三减一嘛，最终就是多少呢？ 啊？二倍的根号三减去二，二倍刚才减去二。好，我们知道了， x 是 这么多，那此时四减 x 呢？我们就可以得出来了，四减 x， 我 们可以算一下啊，四减去它，那就相当于是加上二，那就是六减去二倍杠三， 那么这边这条呢，也是六减二倍的根号三，同时这里又是一个什么样呢？啊？这个 x 是 多少呢？是二倍的根号三减二，那么这段呢，是相等的，所以它等于多少呢？二倍的根号三减二， 那 a f 就 很容易得到了，就从长的减去短的，那就是六减二倍，根号三 减去二倍，杠三，再减去二，合并一下啊，这就是六减二倍杠三减二倍，杠三加上二，答案就是八减四倍的杠三，选择 d 答案。那么还有这个题还有其他的方法啊，你有什么方法可以探讨一下。
117粤数
04:14查看AI文稿AI文稿这是一道我们去年的期末压轴题，我相信有相当一部分同学看到这个依然记忆犹新，因为去年难倒了很多同学，他是一个关于直角扇形和折叠之间的关系， 但他又和我们之前遇到的这种常见的折叠产生了一个直角扇形。设未知数，建立购物方程又很不一样，特别考验我们对知识点的一个整合能力，今天我们一起来看一下。 首先呢，这是个直角三角形，角 c 等于九十度，同时呢，我们的 a、 b 等于八啊， c， d 等于一。折上去之后呢，我的 d、 e 很 容易得到一，这是垂直的， 同时给到了我们这个角等于这个角要求 b、 c 的 长度。那乍一看呢，我这个 c、 d 和 d， e， 这个一和这个八怎么都好像建立不起来关系来，对吧？ 按照常见的来讲的话，我折叠过来，哎，刚好九十度啊，我延长一下，那这九十度能不能设个未知数，表示这条边建立一个勾股方程呢？这地方行不通，因为这也不知道，这也不知道，那我们再看，那有没有可能说，你看这两个角啊， 这两个角相等，哎，你看，如果说我们按照正常来讲的话，我会想到等二三也行，哎，这个地方有个缺口， 那么是不是可以延长一下，延长一下之后呢？我们在想这也是垂直的，哎，有没有可能我设它为 x， 我 这就是一加 x， 这就是一加 x， 哎，这样子之后呢，我来看一下，这个是七减去 x， 因为相加等于八吗？那这个 b 呢？又表示不出来，还是不能建立勾股定力 啊，那所以这个方向又不行，那怎么办呢？那我这个一和八一定是要建立关系的，对吧？ 那直接不行的话，小的也不行，这个怎么办呢？他还是有一点思路的，那 如果小的不行，我们就可以放大呀，可以把放大变成大的，一个点二三也行。哎，为什么会想到这样子呢？因为我们这里刚好有垂直，如果做一个点二三也行的话，他就是我们的三线合一吗？那有更多的可能性啊。那这时候呢，我就可以怎么样呢？把 b 点呢？做一条平线， 平行于我们的 d 一， 然后延长我的 a、 c 与它相交，交于我们的点 m。 好， 那这个时候呢，因为我是平行嘛，对吧？我这里是垂直，当然这里也会垂直啊， 那这一个是什么样呢？是一个同一角，这两个角相等，那意味着这两个角也会相等，就是个等腰三角啊， 而且垂直三千和一，我的 a、 c 啊，和我的 c、 m 都相等，同时呢，我的 b、 m 也等于八了啊，但是这个时候我这个一和八还是没有结合起来呀， 哎，不要着急，你看这里有垂直，这里有垂直，那我们学的矩形吧，说要平移的话，放到一条上，那很容易啊，我们可以做一个怎么样呢？垂直过来，比如这是 n， 那 这不就构成了一个矩形吗？这等于一，那这也是等于一了， 然后这个 n m 呢，就等于七了，你看现在我们已经把八和一整合在一起了，但是和 b、 c 又有什么关系呢？啊？当然有了啊，这个时候我们来看一下，此时呢，我们会发现有两个三角形， 两个三角形，一个是我们的这一个大的三角形，还有一个 b、 c、 m 就是 我们的三角形啊。 d、 n、 m 和我们的三角形 b、 c、 m 应该是全等的，为什么呢？我有垂直，这里有垂直，有公共角，还有一条边是哪里呢？ 我的 d、 n 是 等于我们的 b、 e 的 b 是 折过来的，是由 b、 c 折过去的啊，所以 b、 c 会等于 b、 e 又等于 d、 n。 那 此时这两个扇形就怎么样呢？全等了， 全等了之后，我的这个 m、 n 就 等于我这里的，怎么样呢？ c、 m 就 等于七了，它等于七，我整一条就等于八的这个斜边在这个大的 b、 c、 m 中啊， b、 c、 m 中三角形， 我此处斜边等于八，这条斜边等于七，那我就勾勾点点就可以算了。那 b、 c 就 等于多少呢？根号八的平方减去七的平方就等于根号十五。选这个题，选择 d 答案。
120粤数
08:55查看AI文稿AI文稿好了啊，同学们，我们今天呢来探讨一种问题，就是终点，八年级下册的这种终点问题。一提到终点呢，以我们现在的能力的话，以我们现在的这个知识，知识能力的话，我们八年级下册首先想到的是中位线 是吧？那第二个呢？如果有直角的话，那就是斜中半呢，比较有局限性啊，它必须是直角三角形。 那第三个呢？有个同学呢，比较聪明，他知道了前面呢，我们学过了很多，那个七年级下八年级上册的时候呢，我们学过什么三线合一，如果有了等腰三角形啊，或者等腰直角三角形，或者说等边三角形啊这种呢，都会有三线合一这个性质。 再往下深层次的考虑的话呢，有些同学想到了，哎，我要不要背长中线？ 那实际上呢，除了这四个以外，能想着这四个已经非常好了，能想着这四个的同学，我感觉一百一百多分没问题的。 那么实际上还有一个啊，就是我们在八年级上册学全等的时候，我们说了全等的这种形状，旋转型啊，平移型啊，对称型，有一种是中心对称型，那我们或者管它叫做八字形全等， 它什么呢？中中心对称型，呃，就是长这样，它也不是平面，它也不是那个什么轴对称， 它就是两个呢，互相对称的这个两个。那一般来说呢，给我们的条件是什么呢？上下两个平行啊，那肯定就会得到各种角，然后呢这个点呢，是其中一个的，比如说给我们这个是吧，让我们证明另外一个也是平行，也是中点。一般来说，当时我们学的时候是这样的， 那一到了现在呢，我们一般遇到这种终点呢，那很多时候呢，我们会用的这种八字型模型，有的时候呢是有的时候呢是做垂直，比如说这一次山东中考，山东中考的最后那道题，是吧？可以做垂直， 可以做，可以做什么？这种这种八字型也可以做平行，反正一看到了终点呢，我们要多想一步，就是全等 再回过去，不要觉得全能很 low， 全能有的时候特别好用，那我们来看看，回到这种题里来看看，这个题呢，条件告诉我们这节是三，这节是四，这两个呢是五啊，这个是五， 就告诉我们这个三，这个四，这个垂直，那么我们勾股定律可以得到 ab 等于五，然后其中还有个条件，还有个条件我们要特殊注意的就是 ab 平行于 bc， 并且呢 b、 d 是 abc 的 角平分线就是上下两个平行，并且呢这个是角平分线，角一等于角二。那我们又要回想起一个了，也就是七年级所学的平行，如果有平行加平分，那么一定会有三个等角，既然有三个等角，那么一定会有等角对等边， 那就是角一等于角二等于角三的话，那所以这个就是五，那所以在这里面的话， a、 b、 d， 那 就是等幺三角形呗。那在这里面我们来看的话， f 是 a、 c 的 中点， e 是 b、 d 的 中点，让我们求 f、 e 的 长度，求这一节 f、 e 的 长度，那么根据我们刚才所说的，我们就要构造八字形全等的连接 b、 f， 并延长 交于点 g， 那 么这两个三角形很明显是全等的，那么这节也就是三，是吧？三和三吗？那这个是二，勾到全等完了以后呢？ b f 就 等于 f g， 所以 f e 的 长度是一， f e 是 三角形， g b d 的 中位线，这是这一个，那么放到了， 放到了这种矩形里边，这个题呢是矩形，告诉我们什么呢？这个矩形的边长是十和十六，然后呢这节是四，这节是六， 就告诉我们这些，然后呢让我们求两个 g h 的 长度，这个 g h 很 明显是两个，这两条线的，这个长得很像十字架的 这种，这种长得很像十字架的这种，这种这个中，这个中点，那么在这里边呢，我们按照刚才的说法，我们还仍然按照刚才的说法， 连接 b g 并延长构造八字形全等，所以呢，这节是四，这个是十，这节呢是四，所以呢我们可以勾勾定力，是吧？也能把它求出来。 那么到了最后呢，你看出现在大题里边，这个题就出在大题里边了，一步步的延伸，一步步的加深到了正方形，正方形仍然我们在这里做，是吧？他告诉我们这两个是重点，比如说这这个很明显是正方形里边十字架模型，这个是一，这个是一的话， 那么仍然要连接，是吧？勾到这个，那这节是一，那么这个是三，这个是三， 是吧？那所以三倍的根号三，那这个也就出来了。那做了这个以后，那有没有一种可能 还有其他的做法呢？对吧？每一道题不可能有一种做法了，比如说这种做法我就是忘了，我就是不知道，忘了，那我们就采取第二种做法。第二种做法呢，一般会在矩形和正方形当中，因为矩形和正方形的边啊，它的角啊是九十度，那么连接 连接 a、 c， 连接 b、 d， 连接完这两个以后呢，我们令它的这两个点，我们令它交于点 o， 我 们连接 o g 以后，很明显 o g 是 谁的中域线呢？ o g 平行等于二分之一 e c 是 吧？连接 o h， o h 呢， 平行等于二分之一 d、 f， 所以 也就出来了，并且呢，因为 d f， d f 和这个 e、 c 啊是垂直的，所以这个也是垂直，那么我们利用小勾股，这个小三角形的勾股定律也可以算得出来，当然了，那么在这里边，那更可以算得出来了， 是吧？连接连接，并且呢，还是一个等腰直角三角形的这个正方形里边是吧？但在这个里边就不好算了，这个里边，因为它本身呢，就是对角线上的终点，没办法弄。 那么还有没有其他的更好的做法呢？也不是说更好，而是一种呢，就是万能的解法，很多在网上非常流行的，很多老师在评论区里留的那种所谓的暴力 间隙，就是建立直角坐标系，利用依次函数，利用点与点之间的关系，点与线之间的关系。比如说我们在第一个里边， 第一个里边我们以 b、 c 和 a、 c 为平面，直角坐标系为 x 轴和 y 轴，那么这个点 b 呢，就是负三， 是吧？这个，这个是五，这个是五，那么他就是五，逗号减呢？这个是四，五逗号四，是吧？所以点 f 的 坐标出来了，零逗号二。点 e 的 坐标是什么呢？点 e 的 坐标就是我们知道两点平面当中两点之间的距离，公式呢，是 x 一 加它二， y 一 加 y 二，所以在这个里边点一呢，是吧？那如果你实在不理解我们，我就用中位线来来帮你去理解， 是吧？用中域线帮你去理解，那我们知道这节的长度是八，对不对？那两边呢？都是四，这个长度是五，那这个呢？就是二点五， 是吧？所以点一的坐标呢？如果你忘了这个中点坐标公式，当然现在你已经学了第一，如果第一次看到的话，那已经学了，那你就知道了，那么在这里面就是 x b 加上 x d， y b 加上 y d， 那么再利用找到两点的距离坐标公式了以后呢，再用两点的距离公式，也就是 x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方 两点，这个是利用的勾股定律，两点之间的距离公式，那么和这个一样，那我们来看第二题的话，在第二个里边，我们以 bc 和 ab 间隙，那么每一个点的坐标，因为每一个点的距离，我们知道每一个点的坐标，我们知道了 h 的 坐标是什么呢？是二分之 x b 加上 x f y， 那 二分之 y b 加上 y f 把，那 g 呢？也是这样的， g 是 a e 的 重点也就出来了，包括这一个正方形呢，更简单了，正方形的间隙，我们甚至可以把它建到这边去，是吧？那甚至也可以建到左边来，这种间隙呢，就是利用的每一个点的距离公式，坐标公式，距离公式，点与点，线与线。 好了，你觉得哪个简单，你就用哪一个，你到时候考试的时候，如果真遇到这种题了，你记得哪一个你就用哪一个，并且原则上是一定要快，因为这种题通常他都出一个选择，或者填空，或者出一个 出一个小题。你即便是这样的，那我们也可以做，就是以迅速为主，时间是非常宝贵了。好了，再见。
171积佳数学韩cc
03:34查看AI文稿AI文稿八年级压轴题，这道题啊，几乎是全军覆没！如图，在三角形 a、 b、 c 中，三角形 a、 b、 c、 e、 b 等于 e、 c 都等于二倍的根号二加一 b、 d 乘 dc， dc 是 这段， dc 是 这段，它们相乘积是四倍的根号二。题目要求 a、 d 有 多长，怎么求呢？ 难度还是比较大。已知 a、 b 和 a、 c 相等，说明它是等腰三角形。等腰三角形最重要的性质是什么？是不是三线合一啊？顶角平分线，底边的中线还有高线，三线合一。所以啊，首先把这条线段给它做出来， 经过顶点， a 做底边的垂线，假设垂足为一的话，这个角就是直角， b 一 就等于 e、 c， 它是中点。所以啊， b 一 等于 e、 c 写出来， 关键这个条件怎么才能利用上呢？ b、 d 是 这段， d、 c 是 这段。我们能不能假设 b， e 是 a 呀， b、 d 是 不是 a 加 b 呀？那么 d、 c 是 不是 e、 c 减去 b， e、 c 就是 a 呀， a 减 b 就是 d， c。 所以 啊，这段就是 a 减 b。 因此呢，我们可以假设 a 就 等于 b， e 等于 e， c， b 等于 e、 d。 这样已知条件是 b、 d 乘上 d， c 等于四 b 的 根号二 b、 d 使这段就是 a 加 b 带进来， a 加上 b 带进来， d， c 使这段就是 a 减 b 带进来，等于四 b 的 根号二。 平方差公式， a 方减 b 方就是四 b 的 根号二。那么求出它有什么作用呢？下面就非常关键了，我们看这个角是直角，在直角三角形 a、 e、 d 中， 那么 a、 e 的 平方等于什么？是不是 a、 d 平方减去 e、 d 的 平方？所以啊， a、 e 的 平方，它就是 a、 d 的 平方减去 e、 d 的 平方，关系吧，不固定的。 然后在这个直角三角形中间， a 一 的平方等于什么？是不是 a、 c 的 平方，斜边的平方减去 e、 c 的 平方关系去吧。啊，减去 e、 c 的 平方，它和它就相等了，也就是 a、 d 的 平方。减去 e、 d 的 平方等于 a、 c 的 平方。减去 e、 c 的 平方 好， e、 d 平方是什么？ e、 d 平方是 b 平方，那么 e、 c 平方是什么？是 a 平方，对吧？ a、 c 平方，这是一只小尖，所以呢， a、 d 的 平方 在这里啊，所以呢， a、 d 的 平方，它就是 a、 c 平方，直接带进来二倍的根号二，加上 e 括起来的平方，对吧？ 这里是减 a 平方，减去 a 平方，把它移过来，是加 b 平方，对吧？啊，加 b 平方咋办呢？这里是把它直接展开 二， b 的 根号二，平方以后八八加一等于九，加上二， b 向四， b 的 根号二，这里，这里起出有符号，起出符号以后就是 a 方减去 b 方， a 方减 b 方就是四， b 的 根号二，所以呢，九加四， b 的 根号二，减去四， b 的 根号二就抵消掉了， 这种结果就是九啊， a、 d 平方等于九，所以呢， a、 d 就 等于三，因此呢， a、 d 就是 三。
53GY趣味数学
02:36查看AI文稿AI文稿如果你说你对菱形的性质和判定都已经掌握的非常好了，那么这道题就是检验你成果的时候了。我们来看一下，这是去年的一道期末的压轴题， 哎，他说这里有一个菱形，边长都是四啊，这个角是一百二十度，那么这个角呢，很容易得到，是六十度啊，这就是四，我们可以标记一下。然后呢， g 点是 c d 的 中点，那么以 c g 为零边做了一个菱形，那是中点嘛，这边长是四，那每一边就是二喽，我们可以标记一下。 好，那现在呢，连接 a f m 点呢？是 a f 的 中点，连接 c m， 求 c m 的 长度。 那你一看这个题，哇，这个 c m 在 中间啊，随便搞了一条线，好像又没有直角三角形，又没有其他的关系，那怎么办呢？这个时候我们再想一想，回想一下菱形有什么性质， 有没有想到菱形的特殊性质啊？对角线是平分，对角的同时，你有没有联想到初一的双角平分线呢？它的模型，就这时候我们来看一下，连接 a c， 再连接 c f， 那 么我们这个时候呢，这个角度就平分啦，这个角等于这个角啊，这个角离这个角双角平分线一加等于一百八，所以中间两个角相加，一定等于九十度啊， 那你看得到九十度之后， a、 c、 f 不 就是个直角三角形？哎，这又是中点，斜边上的中线不就等于斜边的一半， 有意思了是吧？那接下来我要先求出 a f、 f 好 不好？求啊，那我得知道 a c 的 长度和 c f 的 长度对吧？那 a、 c 的 长度是多少呢？你看菱形边长相等，这里是六十度，等边扇形，这等于四， 然后呢我们看这边，这边呢，我这个是六十度，我这个平行的话，这个大角是六十度，那平分就是三十度，有三十度还不好解决吗？做一条怎么样啊？垂线过去 好做，垂线过来之后，比如说我们这是 n， 那 一 n 这是三十度，所这边等于斜边的一半，就等于一一二杠三，所以这一段就是杠三。那 c m 呢？是它的两倍啊，是它两倍，所以我们可以知道 cf 是 等于多少呢？二倍的杠三的 cf 等于二倍，杠三，我的 ac 又等于四。通过勾股定律我们可以得到 af 应该等于多少呢啊？应该是等于二倍的根号七。 好，二倍的杠七出来之后呢，因为我这 cf 又是它的一半，所以 cfcm 呢？就等于二分之一啊，乘以二倍的根号七就等于多少呢？就等于根号七了。
65粤数
08:49查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我们一起来看一下十四题。已知等边三角形 abc 边长为六，大是 bc 上面的一个点，连接 a 大， 将三角形 a b 大 沿 ab 经翻折。而在这个图里面呢，因为他有两个空吗？他提供的是两种不同的情况，所以我就把这个图复刻了一下。然后我们就先看左边这个图， 在一个等边三角形为六的情况下，大是上面的一个点，然后要将我们三角形 ab 大 这个三角形绕着 ab 去进行一个翻折，翻折到了 ab 带飘，然后又将三角形 a 大 c 绕着我们的中点 a 大 的中点去旋转了一百八十度。其实从这个描述里面你就可以发现，将一个三角形绕着一条线段的中点去旋转一百八十度。之后，我们来看一下这整个图 长的是不是一个平行四边形，而他刚好是中点，中点旋转一百八十度，我是不是就可以去证得对边是相等的，而且这组对边也是相等的，所以其实比较轻松的去推出这里 a c 搭漂哦。搭 c 漂是一个平行四边形，而这个平行四边形得到了之后，那就肯定是平行相等的一个点，我们先放着， 然后去连接搭漂和 c 漂这两个新产生的一个点，已知 c 大 长度为二，那 b 大 于就等于为四，那它是个等边向量型，如果做一条高下来，那么它的一半知道，那它的高也是知道的。然后我们现在要求的是当 c 大 为二的时候，搭配到 a c 的 一个距离，那么到 a c 的 距离，它必定需要的是垂线短，所以我们就过它延长线去做了一个垂直，就 得到了 m 这个点嘛，这个垂足，那么光看这一段的话，肯定是不太好求的，因为我的 c 点怎么产生是旋转一百八十度，而这个翻折也是翻过去的，二和四之间形成的一个角度关系，你其实是并不清楚的，所以我们可以换一个方向去做， 比如说我们换到数值的这个方向，为什么要去换到数值这个方向去完成这道题呢？我们去思考一个问题， 如果放到数值的这个位置啊， 那么我们令这个为 n， 因为 a c 和我们的 c 大， a c 漂和 c 大 是平行的，在它们俩平行的这个线段之间，我的 a 到 b c 的 垂线段， 这条长度是不可以求出来的，根据一半按式等于三嘛，所以这块就是三倍根号三，所以从 m 到 n 的 总距离其实是三倍根号三的。那我们现在是不要求的是上面这一段，只需要得到底下这一段去给它剪出来是不就可以了？ 所以现在我们去思考如何得到下面这段的一个距离呢？你要想一个问题哦，这个是将 ab 大， ab 大 它是有一个假角为六十度的，所以翻折过来也是六十度，那既然是在平面内水平线上面剩下这个角是也是六十度，而 b 大 的长度是等于四的，所以 n b 的 长度就等于二，所以 n 大 漂的长度就等于二倍根号三。那么 m 搭漂就是我们要求的搭漂到 a c 的 一个距离，就应该用三倍根号三减去我们的二倍根号三，即根号三一问就搞定了， 比较简单。但是你要联想你的这条垂线段单独求不出来的时候，可以化为求其次嘛，只不过你肯定需要利用到二和二旁边的四而四是翻折上去，翻折上面它还可以放到 一个三十度六十度的直角三角形中作为斜边存在，这样才能把我们纵向这条垂线段小的内部分给它算出来。 好了，继续来看一下。第二个问，如果大点是在 b c 上面运动的，哦豁，不再等于二了，没关系啊，根据我们刚刚的分析，这个是一个平行四边形，那么既然是跟 搭 c 的 长度刚我们算的过程是不是跟 c 大 长度是有关的？所以我就干脆把 c 大 写成 x， 那 么 b 大 在这个位置是不是会记作六减 x？ 然后我做的高是不是可以仍然去用上？所以我们还是去过搭漂点去做上下两条平线的垂线段， 哎呀，歪得很呢。 呃，可以换一个点，也可以用刚刚原来的那个点去呃，使用就可以了，我们也可以把它叫做 w 嘛，然后这一底下这个垂直这里就把它叫做 t 嘛。 那我刚刚做垂直还是叫 h 啊。好啦，基于我们的等边相乘边长为六，所以这个三倍根号三肯定是不可省的。那三倍根号三剩下这一半等于几呢？这一半是不是应该等于三？ 那翻过来的话，这一段刚我们说记作六减 x， 那 不变的东西，大家要记得这个搭飘 b t 这个角是六十度，我又放到一个直角三角形也已知斜边，我是不是可以表示它剩下的两条边？所以我们现在就去把剩下两条边表出来。首先这个 t b 就 应该是一半三减去二分之 x， 然后这个搭漂 t 呢，就是根号三倍，所以就是三倍根号三减去二分之根号三倍的 x， 以及这个 w 搭漂其实是不是也可以用三倍根号三去减？ 我们写到右边来嘛， w 搭漂就应该是三倍根号三减去刚这一块三倍根号三减二分之根号三 x， 即等于二分之根号三 x， 这是一条线段。那我要求求搭漂 c 漂的一个最小值。 其实有一个东西是很好求的，它是放到直角三角形中，我是不可以用勾股定律，只不过勾股定律的话，我肯定求的是大漂 c 漂的平方，那你就把另外两条边的平方算出来即可，只需要去算出这个算式的值就行了。那我们继续来表示一下啊，整个横向的长度的话，在刚刚分析的过程中，我们就可以这样来看， 这为三减根号三，再过来三个单位长度。哎，所以从 t 到 h 这个位置啊， t 其实就等于这个 w a， 那 t h 等于 w a 的 话等于几呢？是不是六减二分之 x？ 而 ac 漂因为平行四边形的缘故，所以 ac 漂是等于 x 的， 就等于 c 大， 所以这个 w c 漂 是不是就能算出来，即刚刚的六减二分之 x， 再减去 x， 那 表示成六减二分之三倍的 x。 写到这儿之后，我们就可以直接放入到直角三角形 w 大 漂 c 漂中了。那先表示平方嘛，大漂 c 漂的平方就应该记作 直角边的平方和及 w 大 漂的平方二分之根号三 x 括号的平方，再加上这个六减二分之三 x 括号的平方，就算我写成这个样子，无非是一个算式的最值嘛。我们就先去记一下，这里是四分之三 x 平方，以及这边是三十六 减去十八 x 加上四分之九 x 平方，合并一下 这两个最高次哈，刚好就合并成了四分之十二及三 x 平方，减去十八 x 再加三十六，我怎么去求得这个算式的最小值呢？去思考一个问题，整个算式最小值在这个二次三项式里面怎么去求？这个就需要用到七年级 下次的一个内容。当时学完了完全平方公式的时候，就有涉及到一个完全平方是大于等于零的，那他就会拥有一个最小值，就在取零的时候， 所以我要把它配成完全平方才行，所以我们要继续往后去写，这里就可以选择提个三，但是我们只动前两项，因为只有他们才含有未知数， 提出来之后，这里就为减六 x， 它是不得去加一个九才能配成一个完全平方，加了九你还得减九，然后外面的三十六你就先不要变，所以这里就写作三倍的 x 减三的完全平方减去二十七，加三十六就是加九。 那我终于可以去总结到这个位置了。来，我们把这总结到这来。呃，那他的式子的值哈，就应该是大漂 c 漂，我是不就可以用根号下 三倍的 x 减三的完全平方加九去表示出来了？那我们要去求这个算式的最小值的话，因为我们知道里面的完全平方肯定是大于等于零的，那他加九的话，肯定就大于等于九嘛。 所以整个算式是不是大于等于根号九，那大于零号九不就大于零三吗？所以大漂 c 漂的一个最小值是不是应该取到三？ 看到没有，我们用的配方法，呃，配乘完全平方这种方法去求对值，也可以用于咱们的一个填空题，特别是间隙的过程中，这种方法非常的实用啊。
06:05查看AI文稿AI文稿同学们，这节课咱们共同探讨一道期末考试的压轴题， 请看题。如图，平面直角坐标系中四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，点 a 的坐标是负三斗零点 b 的 坐标是三斗零， c 点的坐标是零斗四，连接 o、 d、 e 是 o、 d 的 中点。 第一小题，求点 e 和点 d 的 坐标， 咱们先求点 d 的 坐标。因为平行四边形 a、 b、 c、 d， 所以 cd 的 长度和 ab 的 长度相等都等于六，所以 d 点的横坐标为负六， 它的纵坐标和 c 点的纵坐标相等都等于四，所以 d 点的坐标是负六，等于四。再看 e 点的坐标， e 点是 o、 d 这条线段的中点，那么它的坐标就是横坐标。等于 o 点的横坐标和 d 点的横坐标的平均数。纵坐标就是 o 点的纵坐标和 d 点的纵坐标的平均数， 那也就是说它等于负三负二。好，具体看一下解题过程。 第二小题，平面内是否存在点 n 时，以 c、 d、 e、 n 为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点 n 的 坐标，若不存在，请说明理由。 大家看图， c、 d、 e 再添上一个点 n 组成平行四边形一定是存在的，并且情况不止一种。 那么如果以 c、 e 为对角线，那么点 n 在 这。如果以 d、 e 为对角线，那么点 n 在 这。 如果以 c、 d 为对角线，那么点 n 在 这地方，所以它有三种情况，咱们从三种情况开始分析。第一种情况， 当 c、 e、 c、 e 为平行四边形的对角线时，看图，那么点 n 在 这个位置， 因为这是平行四边形，所以 de 是 平行于 c、 n 的， 那么我可以认为 de 平移，可以和 c、 n 重合， 那么 d 点的变化情况，坐标的变化情况和 e 点的坐标的变化情况是一样的。那么根据 d 点的变化情况来看， 那么 d 点向右平移六个单位，就到达了 c 点，那么 e 点的坐标向右平移六个单位，就到达了 n 点，也就是 n 点的坐标就是 三到二。第二种情况，当 d e 为平行四边形 c， d、 n、 e 的 对角线时， 大家看图，这是平行四边形，那么 c、 e 和 d n 平行且相等，我就可以认为 d n 是 由 c、 e 向左平移六个单位而得到的。 那么 c 点和 e 点的坐标在变化过程当中是相同的。 c 点到 e 点是向左平移了六个单位，那么 n 点也是由 e 点向左平移六个单位而得到的，所以 n 点的坐标就是负九到二。 第三种情况，当 d e 为四边形 c、 n、 d e 的 对角线时，如图， 我就可以认为 d、 n 是 有 ec 平移而得到的。那么 e 点的坐标的变化情况和 c 点的坐标的变化情况是相同的。 那么 e 点到 d 点，它是向左平移三个单位，再向上平移两个单位，那么 c 点到 n 点，它也是向左平移三个单位，那么它的横坐标就是 负三，向上平移两个单位，那它的纵坐标就是六， 所以 n 点的坐标是负三斗六。综上所述，三种情况，满足提议的 n 点的坐标为三斗二、负九斗二、负三斗六。 这种题型，它在中考的时候，在二次函数，也是最后一道压轴题，和二次函数一起综合考察，同学们一定要搞清楚。好，同学们，这节课咱们就学习到这里，再见！
52师老师数学小课堂
01:09查看AI文稿AI文稿一个视频讲透半角模型，如图，在正方形 a， b， c， d 中，角 b， a， d 等于九十度，角 e， a， f 等于四十五度，这就构成了半角模型。 半角模型的结论就是， e， f 等于 b 加 d f。 怎么证明呢？以 a 点为旋转中心，将三角形 a， d， f 旋转九十度，得到 r， b， g， 则这两个三角形全等 g， i， g 等于 f， g， b 等于 d， f。 另在蓝绿两个三角形里，角 g， a， e 等于角 f， a， e 等于四十五度。还有一条公共边 i， e， 所以 蓝绿三角形全等，即 e， f 等于 g， e。 又因为 g， e 等于 g， b 加 b e， 从而就能得到这个结论了。我们来看一道例题，直角梯形 a， b， c， d 中 a， b， c， d 加 b e， 从而就能得到这个结论了。我们来看一道例题，直角梯形 a， b， c， d 中 a， b， c， d 加 b， e， 从而就能得到这个结论了。我们来看一道例题，直角梯形 a， b， c， d， c， e 等于四十五度， b， e 等于四， r， b 等于十二。求 d， e 的 长度。我们先补全正方形构成半角模型。根据半角模型可知， d， e 等于 b， e 加 d f。 在 直角三角 a， d， e 中，根据勾股定律可知 d， e 的 平方等于 r， d 的 平方加 r， e 的 平方代入，从而算出 d， f 等于六， d， e 等于四，加六等于十。
40橙子数学课
03:35查看AI文稿AI文稿这是一道我们去年的期末压轴题，它是关于正方形的性质来求线段长度的，如果你对正方形的特殊性质非常的熟练，那这个题 你就很容易解出答案。但如果说你对于正方形的特殊性质不了解，那这个题你可能想很久都不一定想出，想出它的思路，我们一起来看一下啊。首先这是一个正方形， a c 是 对角线，一点是 a， c 上啊，任意一点， 那现在来告诉我们， a b 等于 a， e， 同时 e， b 等于 e， f 等于多少呢？等于五，这等于五，这等于五。 好，现在要求什么样呢？求我们 d f 的 长度，就这边这个长度好，乍一看呢啊，给他两条相等，然后呢，这里相等至五至五，但是要求 d f 离得有点远， 那怎么才能建立起这个关系呢？好，我们知道这两条要相等，得 d f 离得有点远，那求 d f 离得角相等， 那的确相等了之后又能继续得到什么条件呢？好像就不能得出什么条件了，对吧？好像思路就断了，哎。但是这里呢，我给大家说一下正方形里面常考的一个性质，特殊性质，就我们正方形首先对着它具备什么？平行边形、菱形、矩形所有的性质， 那所以他的对角线呢，是一条对角线平分一组对角的，而且恰好这个对角，这个角都都是什么样呢？都是九十度，所以一平分呢，这都是四十五度，四十五度，所以他这个正方形里面有很多的等腰直角三角形，这也是四十五度，这也是四十五度。 除此之外呢，还有什么特殊的性质呢？那我们可以把另外一条对角线连接一下， b、 d 连接了之后呢，我们都知道啊，比如说交一点 p 啊， 我们知道对角线是互相平分的，但它正方形更特殊，它不仅平分，而且还垂直，而且还相等，这都相等，那这就导致了一个什么性质呢？就是 a、 c 可以 是 b、 d 的 垂直平行线， 然后呢， b、 d 也可以是 a、 c 的 垂直平行线啊，就刚好反过来，所以这个地方一点，它刚好在 a、 c 的 垂直平行线就刚好反过来，所以这个地方一点，它刚好在 a、 c 的 垂直平行线， 那他已经连了这一边这个 b 点，那所以我们就下意识的连怎么样呢？连去连上这个第一，连到这个第一呢，我们知道啊，垂直平分线上的点到两岸的距离相等，所以我这个等于五，这个也是等于五啊，连了之后你会发现，哇，这个好像 一看就是一个什么直角扇形，对不对？那这样子的话，我立马答案是不是五倍根号二。哎，当然你会有点迟疑说，那我这个九十度怎么去正呢？ 当然可以证啊，所以这四十五度，那么两个底角是知道的，对吧？可以用一百三十五除以二啊，就是六十七点五，最多是六十七点五 啊，六十七点五。同时呢，我下面这个这个角呢，也是可以求出来的啊，这是多少呢？这是我们二十二点五，二十二点五，好，二十二点五呢，我们这个相等嘛，所以这里呢，也是二十二点五， 那我这个是一个外角，这是这个三角的外角，这个二点二十二点五，这个也是二十二点五。而又因为我这个角和隔壁这个角肯定相等的六十七点五，所以这两个角加起来就是九十度，剩下这个也是九十度，所以也能证明它是个直角， 所以最终结果呢，就很容易得到五倍根号二。所以一定要记住正方形它的两个特殊性质，对角线互相平分且相等，而且这里很多四十五度是一直角。
110粤数
03:05查看AI文稿AI文稿当我们遇到这种比较复杂的函数运动图像的时候，应该怎么入手？我们来看一道去年的期末压轴题，它如图一，在三角形 a b c 当中， a b 等于 c， 这是个等于二扇形，但并不是值二扇形哦， p 点呢？从 a 出发到 b 到 c， 最后回到 a， 它的速度呢？是两厘米每秒， 那么运动的过程当中， ap 的 长度， ap 的 长度为 y， 运动的时间为 t， y 和 t 的 图像就是右边图二，这个图像，他问 m 的 值为多少，那 q 是 为最低点， 那么这个值呢？是什么？我们发会发现啊，这个从零出发，一直到了这里运动，运动到这里到 m， 它到 x 轴上就是这个表示什么？表示 t， 那 也就是说我这个 m 指的什么样呢？指的是运动的时间啊，运动时间就是从一开始到结束，它到底用了多少时间， 那我们知道的是它怎么样呢？是它的速度，我就需要知道怎么样呢，它运动的过程当中到底走了多少路程。哎，现在我们来看一下啊，有时候这几条边我得必须知道它是多长，然后我们先跟着它的一个运动轨迹匹配一下。这个图像 一开始呢， p 点从 a 出发，那么 a p 都是在一个点，所以它它的长度为零，然后呢， p 点不断在 a b 上移动的时候，那 a p 的 长度也会不断的增加， 直到我的 p 点来到 b 点的时候，这个时候呢， a p 达到了最大值就是六，那这时我们会发现啊， 哎，那 a p 的 长度就是六了，那接下来 p 点呢？在 b c 上移动，那 p 点往这边移动的时候，你会发现啊，这个长度会相比刚刚那个越来越小，哎，慢慢越来越小。小，小到什么程度呢？肯定是垂直的时候就是最小， 那就是这就是我们 q 点这个位置最小的位置。那假如说他到我们 q 点这个位置了，那此时最小的话，那指的是怎么样呢？ 我们 ap 的 长度嘛，对吧？ ap 长度值等于多少啊？等于四啊，所以这个相对告诉我们这段垂线段是等于四的。 好，接下来呢，他继续往这边走，那这个长度就会越来越大，越来越大，哎，直到来到 a c 的 时候，这是达到达了一个最大值，哎，刚好来到 a c， 他 又等于六，那就说我们这个 a c 的 长度啊，也是六啊，当我们从题目当中也知道两边相等吧。 好，所以这个时候呢，我们可以知道啊，这个三角形里面，我已经知道了他的两条幺是等于六的，也知道了这条垂线段他是等于四的。 那现在我只需要求出什么样呢？ bc 的 长度就可以了。那 bc 的 长度好不好求呢？好求啊，比方说这是 m 点，那我这个就直角三角形嘛， 只要三角形的话，这六这四，根据勾股定律，它就是二倍的杠五，那因为等腰三角形平分呐，那这段也是二倍杠五，所以总的这个三角形它走一圈是多少距离呢？就是四倍杠五，加上这里的十二。 然后我们要算的什么呀？算的时间，那就除以它的速度，除以速度的话就是二倍的根号五加上六就搞定了。
100粤数
