重庆中考最后一题第2问旋转解题技巧
这个题目啊，不光老师觉得难，学生也觉得难。这个题目是一个老师问的，那就想跟同学们说 旋转的问题啊，真的不光是你的心头大患，好，你看我细细跟你说一下，这道题目我们有何妙招，其实你就把题目给读明白了，你就听我读一遍题，那这个题目啊，你就可以知道了。不相信我们一起来试一下。 直角三角形，三二二五，那二二连接起来，连接起来之后，我知道这个地方是垂直的，那它等于什么？五分之什么 的面积法，这个边是等于三的十二，对吧？五分之十二， ok， 那 就应该是五分之十二， 然后这个边是多少？这个边是问号啊，为什么我这么写？因为我把它连接起来之后啊， 同学们应该就觉得豁然开朗了，绕着他转，那他是等于多少呢？根号十三，所以他就应该是等于根号十三，然后这边的这边的他是等于 o， 所以 这个题目也就可以直接报答案，应该等于什么？五分之 六倍，根号十三，就这么简单。嗯，像类似于这种题目啊，真的是特别的多，比如说有很多人说旋转出现什么什么 手拉手等等什么东西，在我的课堂上，我从来不会跟我的学生刻意的去说一些东西，我觉得学习数学，我们在追求基建的同时，我们应该体验到的是我们整个思维的闭环 啊，觉得在这个思考的过程中，我觉得非常的快乐，非常的满足啊，并非就是我们去记几个模型或者所谓的大招啊，那个都是没有用的。好了，今天我们就到这里了，同学们再见，拜拜！大家如果想听什么也可以告诉我哦，给大哥点点关注。
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02:29查看AI文稿AI文稿在正方形 a、 b、 c、 d 中点 e 是 c、 d 上的一点，连接 a、 e 之后将 a、 e， 然后点 e， 逆时针旋转九十度，得到 e、 f， 这样子的话 a、 e、 f 就 和 e、 f 是 相等的， 然后角 a、 e、 f 等于九十度，因为这个 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以角 d 也是九十度，那这样子的话，一定就会出现一线三垂直的模型，我们需要把这个 dc 给它延长，然后做 f 点关于这个 dc 延长线的垂线， 把这个垂足标成 d、 h， 我 们标一下这些角，那角一加角 r 就是 九十度，角三加角 r 也是九十度，所以角一等于角，三角 d 又等于角 h， 再加上 a、 e 和 e、 f 相等，三角形 a、 d、 e 全等于三角形 e、 f h， d， e 一定就等于它的对应边 h f a， d 等于 e h， 然后这个 a、 d 它又是等于 dc 的， 所以这个 e、 h 就 等于 dc， 那 e、 h 等于 dc， 那 我们用 e、 h 和 dc 同时减去 c e， 就 可以得出这个 d e 等于 c h， d e 等于 f h， d e 又等于 c h， 那 就说明这个 f h 和 c h 相等的，所以 f h 等于 c h。 这样的话，三角形 c、 f h 就是 等腰直角三角形， 所以这个角 f、 c、 h 等于四十五度，那 f、 c、 h 等于四十五度呢？说明这个角 g 也就是四十五度，求的是 f g 比 c、 e 的 比值， f g 就是 蓝色的这条边，然后 c、 e 就是 上面这条边， 要求的是蓝色的这两条边的比值。延长 h f 垂直标为点 n， 因为我们刚才已经证明这个角质是四十五度，所以这个 g、 n、 f 它也就是一个等腰直角三角形。用 e、 h 等于 a、 d 和正方形的边长是相等的， h n 跟正方形的边长也相等，所以我们可以得出这个 e h 一定等于 h f， 那相减就可以得出 c e 是 等于 f n 的。 因为这个 f g 它是等腰直角三角形里面斜边， f n 是 直角边，它两个比是一，比根号二。 所以我们用 f g 比上一个 f n 就是 根号二，比一等于根号二。这样子的话， f n 又等于 c e， 所以 这个 f g 比上一个 c e 也就等于根号二。
21爱学习的尼
01:36查看AI文稿AI文稿这道中考压轴题综合性极强，你掌握了，绝对碾压！同学告诉了你抛物线的解析式，圆是以抛物线为顶点，半径为一 p 四圆上的动点三角形 a， b， q 始终为等腰直角三角形 c 点的坐标是陡零，求 q o 平方加 c q 平方的最小值。题目的信息量很大，但 q o 的 轨迹我们必须弄清楚，这是交替的钥匙，这就是典型的寡斗原理。抛物线在此题中是干扰项， 我们只需要根据它的解析式求出 d 点和 a 点的坐标即可，很容易就知道 a d 等于根号二。由于个撇 q 是 四十五度，我们直接将 a d 顺时针旋转四十五度得到 d， 此时箭头末端的坐标就是根号二都三。由于 a p 和 a q 是 一比根号二的关系， 所以我们再降压延长根号两倍，这样我们斗获取了 d 的 坐标，就是二斗三，所以 q 点的轨迹就是以 d 为圆心，半径为根号二的圆，这就是典型的刮斗原理。那么问题来了， o q 平方加 c q 平方最小值是什么呢？ 其实大家都可以看出来， q 点运动到最下方的时候才会有最小值，但是这样写并不严谨，我们不妨写出 o c 的 中点。 根据中现场定律都可以把问题转化为求两倍 q m 方加 o c 方除以两，也就是要求出 q m 的 最小值。当然是 q 在 原的最低点才会有 q， m 最小，而只是恰好 d p q 和 m 三点共线， 所以 q m 最小值就是三千根毫二，最终我们要求的最小值就是三十到十二倍根毫二，你学会了吗？
04:50查看AI文稿AI文稿为什么在四十五度角的正方形几何体里总挨考？答案就是今天要讲的半角模型。正方形内给你两条边，让他的夹角固定为四十五度，然后连接 e、 f， 此时四十五度，这个固定的角就是这个九十度角的一半，所以我们把它叫做半角模型。这个模型结论非常之多，今天我们主要讲最常用的两类结论。首先来看 b、 e、 e、 f、 f、 d 这三条线段之间存在什么样的关系。看见半角我们就知道了，中间这个角是四十五度，那么它两边这个角相加也等于四十五度，但它们隔得太远用不上。那怎么才能让它们挨在一起？平移 不行，方向不对，对称也不行，旋转可以吗？哎，这个对了，旋转可以同时保持长度和角度，把一个小角整个搬过去，这就是半角模型中一个核心思路。我们把上方或者下方任意一个三角形进行旋转，那我们这里就把上方三角形顺时针旋转九十度， 让它两个角挨在一起，形成四十五度。因为 a、 d 是 等于 a、 b 的 角， b、 a、 d 等于九十度，所以说旋转后 a、 d 就 和 a、 b 重合，然后这两个角又都是直角，那么角 g、 b、 e 就是 一百八十度。 所以这三点共线当然也可以不用旋转，用构造全等的方法延长 c、 b 至点 g， 使 b、 g 等于 d、 f， 再连接 a、 g， 利用边角边就能证出这两个三角形全等效果，等同于将图形旋转下来， 还省去了三点共线的证明过程，这样就能把分散的角度整合利用起来。两个小角拼接过后，刚好组成四十五度，因为这两个小三角形全等 可得 a、 g 等于 af， 角 g， a、 e 等于角 e， af 等于四十五度，又存在公共边 a、 e， 就 能证明这两个三角形边角、边全等。由此推出 g、 e 等于 ef， 结合 b、 g 等于 d、 f， 便能得出核心线段关系 b、 e 加 d f 等于 e、 f。 这就是四十五度半角模型最关键的结论。我们还能由三角形全等得到这两个对应角相等，说明 a、 e 是 角 g、 e、 f 的 角平分线在 e、 f 上做垂线 a、 h。 根据角平分线性质 a、 h 长度与 a、 h 长度，而 a、 b 等于 a、 h 也等于 a、 d， 再根据角平分线判定，定里又能判定 a、 f 平分角 d、 f、 h。 相关衍生结论太多了，感兴趣的同学可以接着往下推导就行。一般考题不会直接考察你这三条线段的数量关系， 他会换个花样问你，比如说告诉你正方形边长为四，问你三角形 e、 c、 f 的 周长是多少。你看，通过第一个结论我们就知道 e、 f 是 等于 b e 加 d f 的。 所以三角形 e、 c、 f 的 周长就可以转化为 b、 c 和 c、 d 这两条边。那三角形 e、 c、 f 的 周长就等于正方形两条边长之合，也就是正方形周长的一半，算下来周长就是八。这类题型就能快速求解。 这个结论很多同学都会，但考试里真正能拉开差距的是接下来要讲的第二类结论，就是四十五度半角模型里特有的构造相似三角形。先看三角形 a、 b、 e， 在 a、 b 边上取一点 n， 使 b n 等于 b、 e， 这样就能构造出等腰直角三角形。用同样的方式在三角形 a、 d、 f 里也构造等腰直角三角形。 在 a、 d 边上取点 m， 使得 d、 m 等于 d、 f。 此时角 d、 m、 f 是 三角形 a、 m、 f 的 外角， 而且等于四十五度，因此角 d、 a、 f 加角 m、 f 等于四十五度，原本角 d、 a、 f 加角 b、 a、 e 也等于四十五度。 等量代换就能推出角 b、 a、 e 等于角 a、 f、 m， 又能算出角 a、 n、 e 等于一百八十度减四十五度。角 a、 m、 f 同样等于一百八十度减四十五度。两直角分别对应相等，即可判定两个三角形相似。 相似过后，对应边乘比例就能借此列式计算，求出某条线段的长度。考试里大多还会把正方形变成为长方形，或者割成正方形， 特别麻烦，这时候就可以用我们刚才证出的相似三角形来解决。比如告诉你长方形中 a、 b 等于五， a、 d 等于八，已知 b、 e 等于二。求解 d、 f 的 长度。我们把那两个等腰直角三角形先构造出来，通过之前就证出的这两组对应角相等， 得到这两个三角形相似，已知 b、 e 等于 b， n 等于二，进而得到 a、 n 就 等于三。 an、 e 的 长度也能借助勾股定律算出等于二倍。根号二，我们设要求的 d、 f 长度为 x， 那 md 也等于 x， m、 f 的 长度就等于根号二 x， a、 m 就 等于八减 x。 在 这两个相似三角形当中，就有 an 比 m、 f 等于 n， e 比 am。 代入数据得到三比，根号二 x 等于二倍，根号二比八减 x。 化简计算解得 x 等于七分之二十四。这道题的解法有很多种，选择最适合你的方法。
1300胡萝卜初中数学🥕
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02:49查看AI文稿AI文稿这是一道旋转模型和相似变换的完美结合的经典之作。为什么我会这么说？因为整个你看这个题目里边很多条件非常简单，唯一的一个非常特殊的点就是三点共线， 欢迎大家关注点赞加评论。那我们自己可以去比划自己不是三点贡献的时候是什么样子，三点贡献时又是一个最最怎么特殊的一个状况。当然了，你通过比划你自己三点贡献也能发现其实他是有两种可能性的。 那我们两种可能性逐一的讲解一下。这里我们发现有了这个三点贡献以后，一定要找到一个在初中阶段你唯一能够计算线段长度的方法， 全等相似勾股定律。在这里我觉得你第一个想到的应该肯定是相似，所以说我们要去，既然它是旋转产生的， 那我们可以把这个正方形当做两个等腰直角三角形的判断，你看这个点，那这个点，所以说我们就可以把这个三角形，你看这个三角形跟大的这个三角形，其他的你都可以完全忽略掉，所以自然而然我们就想到了一个辅助线，把 a 一 连起来， a 一 连起来以后， 简要的我说一下，你看这个三角形跟这个三角形里边，你看角肯定能够相等的，因为它是旋转的，对吗？是旋转的，所以这个角跟这个角相等， 为什么呢？因为这是四十五度，这也是四十五度。好了，有了这个以后，你看这条边比这条边等于一笔根号二的关系，那这条边比这条边也是一笔根号二的关系。所以我们说三角形 a 及 d 相似于三角形 a、 e、 c， 且相似 比为一比，那在这里我们只要把 e、 c 求出来就行了，那 e、 c 又怎么办呢？ e c， 那 我们就要用到，它是一条直线，自然而然我们想到了 a 及 c 是 个 r、 t， 三角形 a 及， 那所以我们要求的这个 g、 c， 那 它就等于 a c 方减去 a 极方，对吧？结合条件我们把它算一下，那这里边我们 g、 c 就 求出 等于八根号三，有了八根号三以后，那 g、 d、 e、 c 又求出来了，等于八根号三减八， 按照比例关系呢？及 d， 那 就是除根号二呗，一除就等于四根号六减四根号。所以整个这道题目我们可以化繁为简，对吗？它是正方形，其实我们用到的就是两个等腰直角三角形而已。为什么？你看这个点跟这个， 这个点跟其他的，你在这个 f 跟这个 b 浑身不搭界，我们完全可以用不到。所以说整个这道题目我们要紧紧抓住它的精髓， 那当然了。第二种情况，那那那，那不是简单吗？加，本来是减的，变成加，所以在这里我第二种情况直接写个答案就行了。同学们自己按照刚才的办法对，我们可以自己再算一遍，核对一下，看看有没有问题，如果有问题，同学们欢迎在评论区里讨论。
04:30查看AI文稿AI文稿这个题哈，二十一题，然后这个呢，是一个几何和反比函数结合的题，是不是？好，我们现在来看一下，他说在直角三角形 a、 b、 o 中，说明这是不是直角？ 好，然后呢？ a、 o 等于根号三，根号三，把它写上，然后他说将这个三角形 a、 b、 o 旋转到这来了，而且旋转的角度为一百零五度，所以你要知道，你看 ob 这一条线是不是旋转到了 ob， 所以 说这个角度是多少度？一百零五度有问题吗？ 然后我们做这一类题，要边读题，然后边把题干上，给你的信息是不是写下来？好，现在他说点 e 呢，是 o b 漂的一个终点，就是 e 是 o b 漂的一个终点。看到这哈， 然后他又说了，哎，这个 e 呢，是在反比例函数上的，现在要去求 k， 那 我要去求的是反比例函数的 k， 这条是反比例函数，要去求它。那么我们在反比例函数里面要求 k 的 话，主要有两种方式，第一种是求出这个反比例函数上面点的一个坐标， 然后第二种是，哎，把这个三角形就是根据那个反比例函数，然后呢，这有一个点，我知道这个三角形的面积为一， 那我就知道它的 k 应该等于二，这个知不知道？因为反比例函数上的一个点，哎，它与 x 轴和 y 轴所形成的这个矩形，它的面积就是等于 k 的 绝对值，那它的一半，这个三角形就是二分之 k 的 绝对值，是不是这个？ 所以说呢，我们像做这一类题，我们主要是有两种方式去求 k， 那 我们看一下这道题用什么来求哈，现在呢？他说这是根三了，好，然后就进行旋转，题干上还说了一句，他说这是一，这是一，好， 勾股等于二，对不对？非常好，勾股定律是不是勾出来 o b 等于二。那我现在问一下你，这是一，这是二，一是二的多少啊？ 一半对一半，那么有一个定义叫做三十度，所对的直角边等于斜边的一半，所以说这是他是他的一半，这是直角，那这个角马上又是多少度？三十，那这个角是三十，整个平角是一百八，那一百八减三十，再减一百零五，剩下的应该是四十五度， 有问题吗？好，然后呢？你看，我刚刚过了 e 点，做一个垂线，来一个 h 点，那这样的话，这是四十五度，那这是不是也是四十五度啊？对吧？好，整个 o b 他 是旋转到了这来， o b 漂， o b 的 长度是不是二？旋转到 o b 漂来了，是不是也是二？ 然后呢，题上又说了， e 是 o b 漂的一个终点，既然 e 是 它的终点，整个这一截的长是二，所以它的长应该多少？ 是不是一？好？它的长度是一，然后这个又是一个等腰直角三角形，那我说过，等腰直角三角形，它会满足它们的三边之比，是一比一比根二，是不是这样的一个关系？然后呢，我也跟你说过，我说斜边是直角边的根号二倍， 直角边是斜边的二分之根号二倍，还记得不？所以现在你看，我已经知道斜边是一了， 那我要去求直角边，直角边就应该等于斜边的二分之根号二倍，所以是不是一乘二分之根二，算出来是二分之根号二，那它和它的长度是一样的，所以它也是多少二分之根二。好，然后这两节的长度都出来了，那一点的坐标是不是就可以出来？ 所以一点的坐标呢？就是横坐标是二分之根二，纵坐标是二分之根二，所以 e 的 坐标是二分之根二到二分之根二。现在你要去求 k， 那 我要求 k， 我 是不是把这个一点带进去就行了？ 那其实 k 就是 等于 x 乘以 y， 所以 k 就是 等于他俩的横纵坐标怎么样相乘，所以就等于二分之根二乘。以二分之根二乘出来等于四分之二，那四分之二约分以后是二分之一，所以这个题 k 的 答案是二分之一， 有问题吗？好，我们做这一类题的时候要注意哈。求 k， 我 跟你说过，主要是两种方式，第一种是去求一点的一个坐标，然后 k 就 等于它的横纵坐标怎么样相乘。然后第二种呢？是去求，比如说这个三角形的什么东西面积，然后这个三角形的面积出来以后，那 k 是 不是就等于它的面积的两倍？ 有问题吗？但是我们用面积法来求的时候，要注意这个 k 是 在第一象限，第三象限还是二四象限？如果是二四象限的话，那 k 要写成什么？负的，是不是要写成负的？好，这是我们的这一道题有没有问题？
10花城数学-汪老师
04:03查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边利用旋转的性质解决问题的一道题目， 非常的新颖，朋友们啊，已知一个正方形 a、 b、 c、 d 边长，是啊，一正方形的边长是一，把这个正方形 a、 b、 c、 d 绕着顶点 a 逆时针转了六十度，然后转到了三角形 a、 e、 f、 g 的 位置上去了， 那么转到这个位置之后，把点 c 和点 f 连起来，就让我们来求一下这个 cf 的 长度。 逆时针转了六十度，那这个角是六十度，这个角显得就是啊，三十度了，这个角三十度，那显得这个角也是啊，六十度了，正方形的内角都是九十度，六十、三十，三十、六十，这就是 这个特殊的角，一个三十度，一个六十度。那么根据这些条件，让我们求一求这个 cf 的 长度， 显然 c、 f 都在这个正方形的外边的一面，那么求一个线段的长度，我们第一思维第一反应方式就是把它放到直角三角形中去，这里面显然不是相似的那回事， 也不是比例线段的那种问题，嗯，那么这显然就应该是把它放到直角三角形中去，可是它在哪个直角三角形中呢？怎么放啊？这个直角三角形也是没办法放的， 那么借助这个求这个 cf 的 长度，这个题显然会有新的方法产生。那么如果求一条线段或者求一个角的度数求不出来的时候给你们咱们在初二学全等的时候经常用的一种思维方式就是转化， 你求那个角的度数求不出来，你可以转化一下角度，找一个和它相等的角去求，你要你想求 cf 的 长度，你求不出来，你可以求一个和 cf 相等的线段。那么咱们看一下这个转化怎么转化给你们？ 显然这里又提供了两个正方形，这是六十度，这是三十度。那如果我把这个三十度角的这里给他连起来， 那么这里我给他连起来，那你看一看这两个三角形全等不？全等？肯定全等，因为长直角边跟长直角边相等，斜边是公共边， 而且这都是直角，这两三角形就啊全等了。显然这个小角是啊，十五度，这个小角也是啊。十五度。 这个题的突破点在什么地方？就在这些十五度上，这个角是六十度，这个六十度怎么用？用不上。那么你连接这两个正方形的对角线，你看看你能发现什么？连接这两个正方形的对角线能发现什么？ 显然这个角是六十度，这个角就是四十五度了，这个角是四十五度，那这个角也是十五，也就说这里的这些小角同学们都是十五度，你看一看对不对？ 哎？因为这是六十度，这是四十五度。正方形的对角线平分每一组对角四十五，十五，加起来六十、十五，十五十五，这边也是啊，十五度，这边也是六十度啊，这也是转过去的，这也是旋转角。六十度，这也是四十五度。正方形的对角线切出来的这些都是十五度，说明这个角 caf 是 多少度，角 caf 等于多少度，显示四个十五度就是六十度了。而这两个正方形的对角线， af 和 ac 又是什么关系呢？ af 和 ac 又是相等的， 因为正方形是一模一样的，它的对角线肯定相等，那么一对边相等一个角是六十度了，所以三角形 acf， 这是一个什么样的三角形啊？ 显然这是一个挡边三角形。所以说我们要想求 c、 f 的 长度，只需要求一个对角线 a、 c 的 长度就可以了，这是一，这是一，这就是啊，根号二， 所以说就 ok 了， c f 的 长度就等于根号二，这就是要想求 c f 的 长度，直接求肯定求不出来，同学们，我们就得想办法转化，怎么转化？肯定围绕这些旋转角来转来转来转化呀， 要不然你怎么转换？这六十度，十五度、三十度你没办法用，所以说连接了对角线，这一系列的问题都解决了，希望这个题目能够帮到大家。
33初中数学柳老师
00:41查看AI文稿AI文稿初中几何旋转压轴题，不用死克辅助线，记住旋转三大核心转边角相等，由等腰比出全等，看到旋转，先找旋转中心和旋转角对应边相等，对应角相等，立马锁定全等三角形， 遇六十度旋转直接找等边三角形遇九十度旋转优先构造等腰直角三角形求边长，求最直就用手拉手模型套结论，不用一步一步推导，证明 所有旋转压轴题就抓找中心定转角，勾全等套模型，掌握这个套路，考场直接秒解不丢分。
08:34查看AI文稿AI文稿中考数学想冲一百一十分以上这一类压轴题必须会做。本集 s 零二 e 零三几何变换，跟我一起拿满分！ 几何变换是中考压轴的两座大山，旋转和折叠。旋转铰锯铰角折叠等于沿折痕的中垂线翻折。 今天两道大题把这两类的解析套路一次性吃透。第一题，用旋转构造等腰直角三角形，求边长和面积。第二题，用折叠的中垂线性质反推折痕的真实长度。学会今天的两套方法，几何压轴，稳拿满分！ 本集两道大题，提 a， 正方形里把三角形绕一个顶点，旋转九十度，求边长，正直角算面积。提 b， 矩形折叠，让顶点 c 恰好落到 a、 b 边上的 c 撇点反求折痕 e、 f 的 真实长度。 一旋转一折叠，把几何变换两大题型一次讲透 题 a 来了，正方形 a、 b、 c、 d 边长。四 e 是 b、 c 的 中点。把三角形 a、 b、 e 绕点 a 逆时针旋转九十度，得到三角形 a、 d、 f。 本题三问，第一，求 a、 e 的 长。第二，证明角 e、 a、 f 等于九十度。第三，求 e、 f 的 长以及三角形 a、 e、 f 的 面积。三个小问，从易到难，环环相扣， 动笔之前先把图画清楚，见坐标系 a 放远点， b 在 四零 c 在 四四， d 在 零四， e 是 b、 c 中点。所以在四二旋转的两条铁律必须记牢。第一，旋转宝距 对应线段等长，所以 a、 f 一定等于 a、 e。 第二，旋转角任意一对圆相和相之间的夹角都等于旋转角，所以角 e、 a、 f 直接就是九十度，根本不用再算。 第一问，求 a、 e、 a、 e 是 直角，三角形 a、 b、 e 的 斜边，直角在顶点 b 两条直角边 a、 b 等于四， b、 e 等于二。 勾股定律一拉 a、 e 平方等于四，平方加两平方等于十，六加四等于二十，所以 a、 e 等于两倍，根号五，这是后面所有计算的基础数据。 第二问，正角 e、 a、 f 等于九十度，这里是整道题最妙的地方。三角形 a、 d、 f 是 三角形 a、 b、 e 绕 a 逆时针旋转九十度，得到的旋转角就是九十度。 原图上 a、 e 这条线段经过九十度旋转后落到 a、 f 上，所以 a、 e 和 a、 f 的 夹角恰好就是旋转角。角 e、 a、 f 等于九十度，直接得正，不需要再用斜率或者点乘去算。 第三问，求 e、 f 与面积由旋转宝句 a、 f 等于 a， e 等于二，根号五，再结合角 e、 f 等于九十度。三角形 a、 e、 f 是 腰长两根五的等腰。直角三角形斜边 e、 f 等于腰，乘根号二，得 e、 f 等于两倍，根号十。 面积等于二分之一乘 a， e 乘 a， f， 二分之一乘二十等于十， f 坐标用公式 x， y 变负 y， x 验证为负。二、四 题 a 口诀旋转题先看旋转角，旋转宝句告诉你两条对应线段一定等长，旋转宝角告诉你对应角和假角都等于旋转角。 本题里角 e、 a、 f 直接就是旋转角九十度，立刻送你一个等腰直角，三角形边长和面积一气呵成，根本不用复杂的解析几何 题， b 来了矩形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于八， a、 d 等于六。沿一条直线 ef 把矩形折一下，让顶点 c 恰好落在 a、 b 边上的 c 撇点已知 bc 撇等于二， e 在 bc 上， f 在 另一条边上。三问，第一求 b、 e 的 长。第二，判 f 在 a、 d 还是 c、 d 上，并求对应长度。第三，求折痕 ef 的 真实长度。 折叠题最核心的一句话，折痕就是对应点的中垂线，也就是说折痕上的任意一点到原点 c 和落点 c 撇的距离一定相等，这是列方程的唯一武器。先把坐标定好， a 零零 b 八零 c 八六 d 零六。 c 撇在 ab 上，离 b 距离二，所以 c 撇的坐标是六零，而不是二零，这是大坑方向，千万别搞反。 e 在 bc 上， f 在 哪条边上，要靠约束判定。 第一问，求 b， e 设 b， e 等于 x， 那 么 e 的 坐标就是八 x， e 在 折痕上，所以 e 到 c 的 距离， e， c 等于六减 x， e， c 撇等于根号下四加 x 平方， 两边平方六减 x 的 全平方等于四加 x 平方展开三十六减十二， x 加乘平方等于四加乘平方，消去 x 平方三十六减十二， x 等于四解得 x 等于三分之八。 第二问，判 f 的 位置，先设 f， 在 c、 d 上设 f 等于 y， 六列 f， c 等于 f， c 撇解得 y 等于负二，落在 c、 d 之外，排除改设 f， 在 a、 d 上， f 是 零 z， f， c 等于根号下六十四加 z 减六平方。 f， c 撇等于根号下三十六加 z 平方，两边平方消去 z 平方得六十四减十二， z 等于零 z 等于三分之十六，所以 af 等于三分之十六。 第三问，求折痕 e、 f 的 长， e 的 坐标是八三分之八， f 的 坐标是零三分之十六。套两点距离公式， e、 f 的 平方等于八平方，加上三分之八减三分之十六的平方，也就是六十四加上九分之六十四，等于九分之六百四十 开根号化简 e， f 等于三分之八倍根号十，这就是折痕的真实长度。 提 b 口诀，折叠就是钟垂线三件法宝必备。第一，折痕上任意点到 c 和 c 撇距离相等，这是唯一的列方程武器。第二， f 落在哪条边不能拍脑袋猜，要假设后用矛盾排除掉错误位置。第三， b、 c 撇等于二，是离 b 距离二 c 撇坐标是六零，不是二零，边界点的方向千万别算反。 本集口诀两句话，旋转题先看旋转角，折叠题就找中垂线，前一句帮你秒正直角和等腰直角三角形省下大半推倒。后一句帮你列出所有折叠题的约束方程，把折痕长度一招拿下。 两道几何变换大题，记牢这两句口诀，稳稳拿到全分。 下一集， s 零二一零四，圆与相似综合。第一题，圆内接三角形结合切线长求未知角度。第二题，相似三角形结合圆密定理，求线段比值与长度 圆配上相似，是中考几何最压轴的组合拳，套路虽然深，但有迹可循。下集 s 零二一零四再见！
59学习嘎嘎好
05:45查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一道关于旋转全等于引圆的题目。先读题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， a、 b、 c 等于凹法 点 d， 在 b、 c 的 延长线上面连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕 a 点，逆时针旋转， 往这个方向旋转一百八十度，减去两个奥法，得到线段 a 一， 一百八十度，减去两个奥法，我们把它也就是贝塔吧，那也就是说这个角是贝塔， 那么贝塔加加上两个奥法，其实等于一百八十度，那么我们知道 a、 d 等于 a 一， 我们第一时间应该会把 d 一 给连起来了， 然后就会得到有两个相等的角，这两个角的度数答案就是 alpha 嘛，所以这个是 alpha， 这个角也是 alpha。 过点一做 e、 f 平行于 ab， 平行于 ab， 那 么这个时候这里有一个 alpha， 这里也会有一个 alpha， 因为这是内错角 交 c、 d 于点 f 连接 b、 e 地问，求证，角 d 等于角 a、 e、 b。 角 d 等于角 a、 e、 b 这个我们刚才已经把所有的四符号的角都列出来了，大家可以很容易看到，在 a、 d 的 这条线上面，要 d e、 a 是 等于角 d b a d e、 a 等于 d b a 也就是说在同一条弦上面的两个角是相等的，这个时候 a、 d、 e、 b 是 共圆，我们尝试画一下这个圆 好， a、 d、 e、 b 共圆，那么也会有 a、 b 边上的 圆周角是相等的，也就是说角 a、 d、 b 是 等于角 a、 e、 b。 第一问 ok， 好， 第二问，求证， df 是 等于两个 bc 的， 我们看一下 df 跟 bc 之间 其实是没有什么关联性的，那么它要求的是两倍的关系，这个时候我们可以尝试一下，看看 bc 怎么可以变成它的两倍。 在这个题目里面，没有三十度，没有六十度，也没有四十五度，那么我们要两倍的话，其实只能做一个等腰，利用三线合一。好，我们尝试一下 c m 是 等于 b c 的， 所以这个角 a m c 也是等于二法的。好，我们继续倒一下角， 通过这个引元，我们知道 d 角 d a e 是 等于角 d b e 的， 也就是说这个角是贝塔，那么 f b e 是 贝塔 e f b 是 alpha， 那 么我们也可以知道这个 f e b 其实也是 alpha。 贝塔加上两个 alpha 是 等于一百八十度就可以得到角 d m a 其实等于一百八十度，减去阿尔法其实是等于阿尔法加上贝塔的。那么三角形 d a、 m 其实是全等于三角形 e a e 用的是什么呢？ d 等于 a e， 然后 a m 等于 ab， 还有角 a d b 是 等于角 a e b 的， 我们用的是 s a s。 有 了这个全等之后，我们就可以得出 d m 是 等于 b e 的 dm 和 b e， dm 等于 b e。 又因为三角形 b e f 是 等腰， 那么 dm 等于 b e， 它同时也等于 b f， 也就是说 dm 等于 b f， 这个时候我们用 dm 来减去 fm， 其实也是等于 b f 来减去 fm， 也就是说我们的 dm 其实是等于 b m， 同时也等于两个 b c。 ok， 好， 谢谢大家。
27海的数理化思维
04:38查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家分享一道非常新颖的中考题。同学们啊，看上去非常的简单，那个找到技巧的话，找到窍门的话，也能瞬间找到答案，如果找不到技巧，找不着窍门，也是一脸的茫然。同学们啊，观察一个条件，在平面直角坐标系中有一个一次函数的图像， 一次函数解析式是一致的，那么解析式是一致的，那么它与坐标中的焦点坐标咱们都能就能求出来。他说他这个图像让他绕着原点顺时针转四十五度，把这个图像顺时针给它转四十五度，那么所得直线的解析式会变成什么？ 就这么求一求旋转之后的那个图像的解析式是什么？那么这个直线它与坐标轴的交点坐标，我们可以求出来，让 x 等于零，求一求 y， y 等于它是四，所以它与 y 轴的交点坐标就是零四了，我们标上一个字母 a 吧， 那么再让 y 等于零，求一求 x， 哎，那显然 x 的 交点坐标，那就是啊负二了，我们标上一个 b 吧， 然后知道这两个点坐标了。同学们，有什么用？这条直线要绕着圆点 o 给他顺时针转四十五度，会转到什么地方去？ 有的人就想办法，我找到他转完了之后的那个图像转到哪去了，不行吗？哎，你要找这个，他绕着圆点 o 转四十五度，这个直线转到哪去了？同学们，凭空想象的话，你是找不着的，你想象不出来他到底转成一个什么状态。那么我们知道要确定一条直线，几点确定一条直线，同学们， 写的是两点，确定一条直线，那么咱们就找两个点给他代替就行了，你找到那两个固定的点了，一连那个直线不就出来了吗？你就能找到他转到的那个位置了。 找哪两个点呢？当然，当然就是找这个，咱们找出来的这个固定的点啊，你找别的点也行，那个就没有参照物了，这个你找到零四负二零，他以坐标轴为参照物转就可以了。 那么咱们看一看，如果我让点 a 绕着圆点转四十五度，也就是点 a， o a 绕着圆点转四十五度，它会转到哪儿去啊？ 做四十五度角就可以了，这个角四十五，这个角四十五， o a 的 长度就等于 o a 撇的长度，这个就是四了。你要找一找 a 撇的坐标怎么找啊？显得就是过 a 撇向坐标轴啊，做垂直了， 这里形成的就是一个等腰直角三角形啊。等腰直角三角形怎么求？直角边，你可以勾股定，里面说它是 x， 它也是 x， 然后勾股定里去求 x， 也可以用借用三角函数。 等腰直角三角形，斜边是直角边的根二倍，那么你直接四除以啊，根号二，也就是我们要找的这个 x 了，画角的结果就是二倍的根号二了， 所以说 a 撇的坐标这就出来了，横坐标二倍的根号二，纵坐标也是二倍的根号二了。再来看 b， 同学们， o b 绕着原点转四十五度，它又会转到哪儿去？一样的道理啊，你还是做四十五度角， o b 多么长，你就让 o b 撇多么长，转过来就可以了。那么怎么找？ b 撇的坐标？还是向坐标轴做垂直，这里形成的还是一个等腰直角啊三角形， 那么这个等腰直角三角形的斜边还是二啊？斜边是二，怎么求？直角边依然是用二，除上一个根号二就可以，也可以继续用这个方式。勾股定律，同学们，设直设直角边是 y， y 方加 y 方就等于二的平方。实际上你要熟悉三角函数的话，同学们，直接用斜边除以根号二，就设直角边了。 等腰直角三角形，斜边是直角边的根号二倍月份，这个就是根号二了。同学们，那 b 撇的坐标也就出来了，横坐标是啊，根号二，纵坐标也是啊，根号二，我这样写对不对？同学们， 这样写对不对？既然我这样问，那肯定是不对的，因为点 b 撇的横坐标在负半轴上，所以它的横坐标是负的根号二二，那么 a 撇的坐标有了，那这条直线它转出来时间是个这样子的。同学们， 你能想象出来他转完了之后是这个样子的吗？想象不出来，所以说你找到了这两个点的坐标了，你继续设，它的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把这两个点的纵横坐标给他带进去，组成 k b 的 二元一次啊。方程组求 kb 的 值，那么这个解析式就出来了。 哎，这个这样的题目，你们一定要看固定的点，那么要确定这条直线，选了两个点就可以确定，我们就找坐标轴上的点 a 和点 b， 他俩转四十五度，看看转到哪去了你，你看那个点转的度数，转到那个位置，那就好看了，你要看这条线转四十五度，那很很显然你很难找到。希望这个题目能够帮到大家。
63初中数学柳老师
11:54查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是几何变换之旋转，那接下来我们来把几何变换的下，因为旋转啊，旋转我们分什么旋转？我们分全等的旋转就是一般旋转，一般旋转就是全等旋转和什么呢？和相似旋转，一般转和相似转。首先我们来讲一讲用旋转 怎么用旋转，比如说我把一个三角形 abc 绕着点 a 转到 a、 b 片、 c 片， 比如说我把 a、 b、 c 转到 a、 b 片、 c 片来。我们来想一想，转过来以后首先会有什么？首先会有全等嘛？所以咱就先同步信息嘛。 你比如说这有 a， 那 这也是 a， 这是 b， 那 这也是 b， 这是 c， 那 这也是 c， 所以 转完后先同步信息。这有一个，比如说，呃，一百二十度角，那么这个角也一百二十度。所以 用旋转的第一啊，你要用旋转，第一就是同步，这个跟翻折是完全一样的。第二转你是不是得关心它的旋转角吧？这里面哪些角是旋转角？旋转角是对应边与对应边的夹角， a 和 a 的 夹角是旋转角，旋转角是 r 法， 那么这个 b 和 b 的 夹角也是旋转角，那么旋转角都是相等的，转过的角度一定是一样的，这也是 r 法。所以看旋转角、旋转角、旋转角都相等， 他一定都相等，然后再来，哎，你会发现 a 转到 a 了，这里就会出现什么三角形，这里就会出现等腰三角形。等腰三角形肯定是非常好的三角形， b 等于 b 了，那么连接 c、 c 片也会出现等腰三角形。 等腰三角形是非常好的，这而且是以旋转角为顶角的等腰三角形，这样的等腰三角形往往会是题目的考点，越特殊越考你，所以第三，别忘了看等腰，这就是用旋转，还是那句话，不要去想着去硬记下来，你要去想 旋转本身就是全等，全等就要同步信息，转过去的角度都一样，那你肯定得把都一样的这个旋转角看一下，最后旋转一定会出现等腰等腰三角形看一看，这就是如何通过旋转去挖掘已知条件。那么接下来我们来感受一下啊，什么时候我们可以造旋转呢？哎，你比如说看 这有一个线段三来，我如果再给这来一条线段三， 我说我现在想造个旋转，把这个 abc 转一下，我一定是把这个 abc 转到谁和谁重合，这是一个三角形，这是一个另外的已知信息，那我转肯定要怎么样？要让这转完以后的三角形跟其他的已知信息发生关联吗？那我转完以后一定是把这个 ab 转到 ad， 对吧？然后呢，那你会发现这个 c 就 转到 c 撇，那么 a c 就 转到 a c 撇，所以这个三角形就转上来了，这叫共点等线造旋转。你看原本有 a、 b 等于 a、 d 共着点， a 等着线段，那么我就可以造旋转，我就可以把这个三角形转上来。 哎，转上来这个 a、 d、 c 撇就全等于 abc， 这就是旋转的本质，它其实就是会给你再放一条线段三啊，否则你怎么办？你随便转啊，转完以后跟已知条件没有什么用 啊，没有什么关联，那么为了转完以后跟已知条件有关联，所以共点等线我就转。那么转完以后可以干什么？可以同步信息，可以挖掘更多的已知条件，可以转化已知所求，比如说我要求他不好，求我转过来求他，对吧？这条线段是五不好用，那我转过来用这条线段，所以转实现的结果就是 条件的转化，那么我们往往给你的条件不会这么简单粗暴啊，它往往是给你一个这样的。很多时候你会看到等腰三角形或者四边形，比如说 b、 a、 d、 c， 我 告诉你 b、 a 等于 bc， 那 么这就是一个。首先你要理解，这就是一个共点等线四边形，共点等线四边形我就可以赚，赚谁呢？兄弟们？ 你转一定是转一个三角形，对不对？你一定是绕着这个共点转一个含有等线的三角形，那你就可以转这个三角形，或者转底下这个三角形，对不对？好吧，那么转怎么转呢？我就是把这个三角形绕着点 b 转到等线重合转下来， 把这个三角形绕着点 b， 转到等线重合 a 转到 c， 哎，整个转下来，一旦转完以后，那么接下来我是不是就可以用旋转？用旋转就是我刚才说的那几件事了。所以最后盘一下，首先为啥要转？就是要转化， 你转的时候一定会觉得什么这些线段不好用，比如说这个线段三不好用，比如说这个线段问号不好用，就是已知条件不好用，你要转化你就转，为啥转？那么转的条件是什么呢？你要有共点等线你才能转，没有共点等线你往哪转？对不对？你看这出现了共点等线，我就可以转，转的条件 看，这是为啥？想要转，那是有啥条件可以转好再来转谁？你转的这个东西就是为了转化的，所以首先你得包含等线，因为我转完后等线重合， 然后你转的这个东西一定会包含已知所求，因为我要转化的就是已知所求，所以转的这个三角形一定是包含等线、已知所求的三角形。最后怎么转？咋转 啊？共点为中心啊？共点为中心，转至等线重合，什么意思？以这个共点为中心，转到这两条等线重合就转完了，这就是旋转的从 为啥转到转的条件，到转谁，到最后怎么转？那么转完以后怎么用它呢？转完以后的使用就跟我们刚才讲的一样了。第一看旋转角，这两个角都是旋转角，就是咋用旋转？你看旋转角同步信息，你比如说这个角是 theta， 这个角也是 theta， 这条线段是三，这条线段也是三，那么这条边它就等于这条边。第三步，连 b d 得等腰，对吧？所以呢，你转完以后，对于共点等线旋转的使用就是你自己造的共点等线的旋转和原本的人家给你一组旋转是完全没有差别的，你只要造完了旋转，那么旋转的使用就是旋转角同步信息，看等 腰。好了，来我们看题吧，这个角四十五度，这个角四十五度，这个角四十五度，这就是一个等腰直角三角形，那么 d b 就 等于 d c 了， 对吧？好，告诉我们，这条线段是八，这条线段是六。最后要求这个问号的长，要求这条蓝线的长。来吧，兄弟们，首先你就会发现，在目前的这幅图下，你要求问号难受不难受？你会发现，目前这幅图下，你要求问号，这两个四十五度都被拆开了，这所有的条件感觉都用不起来， 目前这条线段你是一定会难受的，所以难受就想转化，转化就要赚，为啥赚？我要转化，那么接下来赚谁呢？赚的条件有没有？有没有赚的条件？我们说要赚就得有共点等线，这里有没有共点等线？显然有，我有 d b 等于 dc， 这里显然有共点等线， d、 b 等 等于 dc， 哎，那我就可以转，对吧？有共点等线我就可以转，那么转谁呢？包含已知所求的三角形，对吧？首先它共点等线转，你肯定得包含这两条线段， 对吧？你要转的那个三角形，得包含等线，包含已知包含所求，那是哪个三角形？就是三角形 a、 b、 d 嘛？包含等线已知所求。看 等线，已知所求，那就是这个三角形，我要转的就是这个三角形。最后怎么转？这个紫色三角形绕着谁转？肯定是以共点为中心嘛，共点为中心，转到等线重合嘛？转至等线重合嘛？共点为中心，那么 d 就是 旋转中心嘛。转到等线重合，就是转到 dc， 转到 db， 对 吧？ dc 转到 db 转到九十度，那么 da 是 不也要九十度往上转， da 是 不也要九十度往上转，对吧？啊？ da 转到 da 撇 啊，对吧？然后呢，那你会发现这个阴影三角形就转到这个阴影三角形，这就是转的过程， dc 转到 dc 撇，那么 da 也要转九十度，转到 d、 a 撇，最后把这两个点一连就转完了。转完以后长这样好，转完以后我们怎么办呢啊？转完以后他就回到了，我们就已经构造完成了，构造完成了，我们就回到了什么， 我们就回到了他，就是一个标标准准的旋转问题了。就是三角形 d、 a、 c 转到三角形 d、 e、 b， 那 么 该干什么？该干什么干什么。第一，看旋转角，旋转角多少度？旋转角九十度。第二，同步信息可以同步，谁可以同步？这个线段是八，这个线段也是八。 第三，看等腰，连谁就得等腰了。我连个 a e， 是 不是得等腰了？得等腰，这是八，这是八，这就是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这就是八倍的根号二，这个角四十五度，这个角四十五度。 得到这一系列条件以后，最终我求谁呢？原本求的是 a c， 那 我就可以求 b e， 你 看现在这个 b e 能不能求 b e， 放哪个三角形里？求，放 a b e 里求就行了。这是四十五度，这也是四十五度，那这就是一个大大的九十度，所以这是一个直角三角形。 那么对于这个直角三角形来说，这条线段是六，这条线段是八倍，根号二。哎，你就可以勾股定律算出来，这就是二倍的根号下四十一结束。所以你会发现 旋转最大的好处是帮助我们什么？帮助我们转化了信息吗？这个线段挪到这来，这个八挪上去。本来要求 ac 不好求挪到这来，最后挪到这来，放进直角三角形就求了。 好，来，这题共点等，现在都给你怼脸上了。他说 ap 是 在 bc 上的一个动点，他把 e p 绕点 e 转六十度转到 ef， 最后让我们求 af 的 最小值，你看目前这个感觉还是很难求 af 的 最小值，对吧？目前的这个条件，这是四，这是八，这是六十度。这个 af 感觉什么条件都没有，所以我想干什么，我就赚这个 af 就 行了嘛，对不对？哎，因为这个是等线，这个是所求线，这个是已知线。 所以呢，首先我们有啥？为啥要转？要转化，目前的这个位置肯定都不好转化。第二，转的条件，共点等线，共点等线，怼脸上有的。第三，转，谁包含等线？已知所求的三角形。等线，已知所求三角形，不就这个三角形吗？对吧？然后呢，怎么转？ 共点为中心转到等线重合，就把这个三角形整个转下来，旋转角多少度，兄弟们，转多少度下来，转个六十度下来就完了吗？你看这个 e f 转到 e p 转六十度，这个 e a 转到 e a 撇，这也是六十度。转六十度下来以后，那现在我就要求 a 撇 f， 你 看，原本我求他的最值，现在变成求 a 撇 f 的 最值， 求 a 撇 f 的 最值。来同步一下信息，这条线段是四，这条线段也是四，好，来求 a 撇 p 的 最值。那你说 a 撇 p 什么时候最小？ 你这个时候要分析一下，请问 a 撇是定点还是动点？ a 撇显然是定点吗？为什么？显然定点长度是定的，夹角是定的， a 撇显然是定点，而 p 在 b c 上动一个定点到一个定直线上动点的最小值，垂线段最短。所以最终我要求的就是 a 撇 p 撇 来 a 撇 p 撇怎么求？做高嘛？做高嘛，你会发现 a 撇 p 撇在一个什么图形里梯形非常好。为啥是梯形？这个角是六十度，这个角是六十度，所以这两条上底和下底是平行的， 所以呢，这就是一个梯形，一个梯形我要求他的高，坐高就好了，坐个高，这是八，这是四，这是四倍根号三，所以 a 撇 p 撇就等于四倍根号三，打完收工就这么简单。 所以你理解一下这个逻辑，这个点太飘了，太飘了，我给它转回来， 因为有共点等线，咱就可以给他转回来，转化一下，一旦往下一转，这个事太简单了，求一个定点到动点的最小值，垂线的最短，然后梯形做高。 你看有没有发现，你哪怕就跟马哥听了这么短短的几道题，很多逻辑都是高度复用的很多逻辑都是高度复用的。连什么梯形做高，特殊角做垂线， 其实初中阶段的绝大多数逻辑都是高度赋用的。你为什么不会？就是因为你每次没有在意这些东西，就是你做所有题目的唯一的收获是什么？ 不是收获。这道题是怎么解的？是通过这道题收获可以赋用的逻辑。包括来我给你讲的共点等线造旋转。你看，你要特别懂为啥转， 你要知道为啥转，你不能光看人家转了对不对？你得想清楚为啥转，你得还得想清楚转的条件是啥，你得有共点等线吗？然后呢，你还得想清楚我怎么去确定转谁呢？那我转 既然要转化已知所求，那我肯定得转一个包含已知所求的三角线，你得把这都想明白，最后咋转？共点为旋转中心，你共点等线不就是为了让共点旋转中心转到等线重合吗？ 所以你得把这些不光是要把这些方法记住，更要理解方法背后为什么是这样的逻辑？你懂了，这些逻辑你用起来才能得心应手。
682马哥数学直播
00:46查看AI文稿AI文稿遇到这种选填题，首先想到的肯定是旋转法，虽然可以解出答案，但使用的时间相对较长。如果是解答题，旋转法是优选选填题，我们可以采用托勒密定律来解这道题。在任意的四边形中，四条边分别用 a、 b、 c、 d 表示，对角线分别是 m 和 n。 由托勒密定律得出结论，两条对角线的乘积一定是小于等于对边乘积的和，即 m 乘 n 小 于 a 乘 c 加 b 乘 d。 对 应这道题，只需要连接 a、 c， 再设 a， d 等于 x， 所以 a c 等于根号两倍的 x。 根据托勒密定律可知， p c 乘 x 小 于等于二， x 加三乘根号两倍的 x， 最后得到 p c 小 于等于二加三倍的根号二，即 p c 的 最大值为二加三倍的根号二。你学会了吗？
173采一颗小竹荪
01:07:12
02:06查看AI文稿AI文稿三角形 a、 b、 c 内有移动点 d， 求 a、 d 加根号两倍， b、 d 加 c、 d 的 最小值。注意看 b、 d 前面多了一个系数，根号二。就这一个系数，让求最值的方法彻底变了。 以前做普通费麻点都是旋转六十度，这里多了根号二，该旋转多少度？旋转中心又该怎么选？系数是根号二，几何中根号二。最经典的关系是等腰直角三角形的斜边是直角边的根号两倍。因为系数在 b、 d 前面， 所以我们以定点 b 为旋转中心，将三角形 b、 c、 d 顺时针旋转九十度。 这样我们连接 d、 d 撇，就构造出了等腰直角三角形 b、 d、 d 撇成功将根号两倍的 b、 d 转换为了单条线段 d、 d 撇。这样旋转之后，原来的三条线段怎么就能首尾相接，拼成折线呢？ 第一段是 a、 d 直接保留第二段根号二乘以 b、 d 用等腰直角三角形斜边 d、 d 撇代替第三段 c、 d 旋转全等对应边 d 撇， c 撇等于 c、 d 三段首尾相连就是折线 a、 b、 d 撇、 c 撇。 如果是一个完全不规则的普通三角形，这个旋转方法也通用吗？整个推导完全不需要三角形有任何特殊性质，两点之间线段最短， 当前仅当四点共线折线才能被拉直，最小值就是定长线段 a、 c 撇的长度。 总结三步法，一，找中心，看带细数的线段连着哪个定点二，选角度。根号二，旋转九十度，构造等腰直角三角形。 第三步，拉直球定长折线拉直后，最小值就是定长 a、 c 片遇到任何加权最值问题，这三步就够了。
74看懂数学
00:13查看AI文稿AI文稿这道题别硬算，用旋转法三步就能秒杀构造直角三角形，用勾股定律，答案直接出来，学会了吗？
53初中数学易错题
