2026沈阳市于洪区一模数学几何
同学们，我们一起来看一道沈阳市一模的第二十三题。由于篇幅位置有限，老师已经把题目标在黑板上，用相同颜色笔表示相等线段能知道两个底角相等， 再根据题干中小 a、 b、 c 加角 a、 d、 c 等于一百八十度，我能知道单弧角与双弧角的和等于一百八十度角 d、 c、 e 还是单弧角。再根据折纸问题，对应角相等 角 d、 c、 f 也可以用叉角来表示，那么问题中所求证的两个相等角都可以用蓝色单角与红色叉号角的叉来表示，所以第一问搞定。 接着来看第二问，老师已经把第一问一般性得到的结论，两个第二角相等标在图形中，再根据求二的问题知道 a、 c 等于 c、 f。 我猜测多数沈阳同学习惯用一边一角构造旋钮的方式，视频中老师也用这种方法给同学解析，延长 c、 e 至点 p， 使 c、 p 等于 ab， 再连接 p、 f 俯线，自己画出虚线，很显然能知道三角形 a、 b、 c 全等于三角形 c、 p、 f。 在根据已知条件中，角 a、 b、 c 等于九十度。第一个我能知道角 p 等于九十度，以及对应边 bc 等于 p f。 题目中还给线段 b、 e 等于线段 b、 a 等于绿色线段，也就是等于线段 c、 p、 b、 e 和 c、 p 相等，把这两条线段的公共部分线段 c、 e 减去剩余的 b、 c 等于一 p。 接着倒角时，不难发现图中画的单弧角都是四十五度， 所以 b、 c 等于 b、 e。 接着第三问，老师已经把容易得到的结论用相同颜色笔表示图中红色线段都相等，以及知道角 a、 d、 c 等于六十度， 还是用第一问中得到的一般性的结论。这两个对号角相等，我猜测多数沈阳同学还是习惯一边一角过绕权等方式 延长 c、 e 至点 p， 使 c、 p 等于 a、 b 连接 p、 f， 这样还能得到三角形 a， b、 c 全等于三角形 c、 p、 f 全等之后知道对应角相等，角 p 等于角 a、 b、 c 等于一百二十度。 b、 c 和 p、 f 对 应边相等， 和上一问做题的方式一致，根据题干中给 b、 e 乘等于 b， a 还等于 c p。 这样 b、 e 和 c、 p 这两条线段把公共部分 c、 e 减去剩余的线段 b、 c 等于线段 p、 e。 三角形 p、 f 是 等二十度，能知道底角是三十度 角， g、 e、 b 是 三十度角，以及一百二十度的零五角为六十度，所以问题中角 b、 g、 e 等于九十度。 其中缺二做题的方式不唯一，可以利用这个辅线画图的方式。老师简单说方法一， 三十度的零度角是一百五十度，这样能知道三角形 c、 e、 f 相似于三角形 g、 c、 f。 这样的话，得到这组子母形相似时，能根据结论 f、 c 方等于 f e 乘 f、 d 通过求谁射谁的方式射 b、 c 线段为 x， e， p 长为 x， p f 长也为 x， 能表示出 e f 是 杠二三 x 还根据知道 b 一 长等于八， g 一 长，根据三角函数能算出等于四倍杠二三。 这样 f、 e 和 f、 g 都可以用含 x 的 代数式来表示，简单表示一遍， 接着表示 f、 c 的 平方时，可以把 f、 c 放在直角三角形中能想到过点 f 向 c p 方向作垂 设垂足为 h， f， h 与 p h 都可以用含 x 代数式来表示，这样的话，在直角三角形 c、 f、 h 中，勾股定律能列出关于 x 的 一元二方程， 通过解方程最终能算出 x 的 数值。方法一，老师这里简单迅速一遍。接着来看方法二， 首先能知道一个角角 a， c、 g 等于九十度， 周角三百六十度减两个六十度，以及题干中说 f、 c、 g 一 百五十度。这样的话，根据计算 可知角 a、 c、 g 是 九十度。 按之前圈一中求出的三十度角以及角 b、 c、 e 是 直角，能算出 b g 长等于四。所以直角三角形 a、 c、 g 中可以用设内来搞定问题。过点 c 作 c m 垂直 a， g 还是老规矩，求谁射谁吧， 射 b、 c 长为二 x。 这样的话能表示 b m 和 c m， b m 等于 x， c m 等于根号三 x。 接着还需要表示线段 m， g 是四减 x 的 差。在直角三角形 a、 c、 g 中用射人刃里或者说用三角函数写过程时好写一些。 根据这两个圈号角相等，这两个圈号角的正切相等 m g 比 c， m 等于 c， m 比 am。 依次代入 m， g 是 四减 x， c， m 为根号三 x， a， m 为八加 x， 最终交叉项乘得到一个关于 x 的 一元二次方程。 最终解方程算出的正数的根为二分之，根号三十三减一，负数的根舍去，最终能知道 b， c 等于二， x 等于根号三十三减一。本次视频老师就给同学们讲解到这里，下次视频再见！
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03:27查看AI文稿AI文稿为什么你总是很怕遇到动点坠着问题呢？究其原因，还是因为你没有抓住在运动中一直不变的东西，或者说你的转化思想没有学到位，不会化多动点为单动点。那今天我们就通过这道题来学习一个转化的小方法。 题目给了我们一个边长为十的正方形 a b c， d e 点是 bc 的 中点， f 点是 ad 的 中点， p 点在射线 ab 上运动，然后将三角形 b 一 p， 沿着一 p 翻折上去，得到三角形 q 一 p， 再连接 d q 与 f c 相交于极点，最后让我们求 q d 比 q g 的 最小值 好。可以看到 q d 和 q g 它俩的位置关系也是很特殊的，我在上一个视频里刚跟大家讲过，像这种类型的线段比值问题，你就直接去做平行构造相似就行了。 比如我们可以过 q 点作出 d f 的 平行线，那这样一来，三角形 d f g 和三角形 q h g 就 相似了，所以 d g 比 q g 等于 d f 比 q h， 也就等于五比 q h。 好。这个时候可能有同学会注意到，这个 d 几比 q 几和我们的目标式子 q d 比 q 几是不是非常的像啊？如果我们把这里的 q d 换成 d 几加 q 几的话，那它就等于 d 几比 q 几加一了吧， 也就等于 q h 分 之五加一。所以求 q d 比 q g 最小值的问题，现在就变成了求 q h 最大值的问题了，这个转化大家应该能看明白吧。 好，那接着可能有同学会问了， q h 的 两岸都在动啊，它的最大值还是不好研究啊。 那确实是这样的，虽然我们知道 q 点它在以一点为圆心五为半径的圆上运动，也知道 h 点在固定的射线 f c 上运动，但是想要直接去研究 q h 的 最大值还是有点困难的， 所以说我们还需要进一步的转化它，那转化就要抓住运动中不变的东西。不知道大家注意到了没有，这个角 q h 肌和角 d f 肌是不是内错角相等啊？ 所以说阿尔法是一个定角，它的三角函数值全都是固定并且已知的。如果我们过 q 点向 f c 做一个垂线的话，那我们是不是就能把这里的 q h 再替换成 q m 啊？这个地方大家导一个阿尔法的正弦值就行了。 好，那现在问题是不是就变成了求 qm 的 最大值啊？那这个问题大家应该能看明白吧，是不是很显然，当 qm 运动到经过圆心的时候才会取到最大值啊？ 这个时候 q m 就 等于一个半径加 e m， 至于 e m 的 长度也是不难求的，因为角 e c m 也等于阿尔法，所以我们再用一次阿尔法的正弦值就行了，最后化简出来应该是等于二倍根五减三的，你学会了吗？
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183【辽宁】智囊团初阶数学
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104大连数学滕老师
22:04查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之面积，我们说全等相似或者几何变换，它最主要的东西，最主要的作用都是帮助我们去换位置，完成这个线段和角的转化的。那么面积转化常见的方法有哪些呢？啊？我们说面积转化常见的方法， 呃，大家只需要记住三个，就是从最基础的面积转化的题目到压轴题，其实你会这三个就够了。第一就是底边笔，哎，底边笔，比如说这有一个三角形 a、 b、 c， 哎，那么过这个点 a， 切一刀下来，如果底边比，比如说是二 a 三 a， 如果底边比是二比三，那么这两个三角形的面积别，这是二 s， 这一定是三 s， 为什么呢？因为这两个三角形什么是相同的？ 这两个三角形是等高三角形，所以底边比就是面积比。好吧，这是最经典的图了。你比如说我只需要找出什么，比如说这是 a、 b、 c， 我 这么切一刀，假设这是这一，这是三，这个 s 等于四，这个 s 等于几？底边比是一比三，面积比也是一比三啊，所以这是十二 啊。那再比如说，其实底边比等于面积比的核心它是等高嘛？啊？它是等高嘛？那我们再这么来想，比如说这是一个平行四边形， 来，我假设这个面积是六，那么平行四边形的面积是多少？这个东西怎么来想呢？其实核心还是等高，你看这个 s 一， 这个 s 二和这个六，这三个三角形是等高的，那么这个是 a， 这个是 b， 这个 a 加 b， 你会发现 s 一 s 二和这个六，它们等高，它们的底的和又相同，那么面积和自然相同，所以底边比等于面积比的核心还是你要抓住等高这个事，就是要抓住等高这个事。在等高三角形当中，底边比都等于面积比，那么它的最经典的图就是这幅图。 好了，这是第一个转化面积的方式底边比啊。第二，我们来看平行线，平行很很好理解，因为平行线间的距离相等，那么他们如果三角形的底不变底都是以 ab 为底，那么 abpe 一， a b p 二， a b p 三，哎，这些面积都怎么样都相等，因为平行线间的距离相等，这就会使得什么呢？会使得只要有平行线，那么你会发现这个 p 可以 在这条直线上随便的滑动，比如说来到 p 一 撇，哎，它还等于 a b p 撇， 他们的面积全都相等，哎，这就会使得一旦看到了平行线，我想让这个点去哪就去哪。面积不变底边比平行线底边比是进行面积的比例转化的，平行线其实是进行面积的等量转化的。在整个初中阶段，还有一个面积的比例转化的方式是什么？相似比的平方等于面积比。 注意，相似比的平方等于面积比，你首先得看到相似三角形啊，你不要上来，你比如说这，这是底边比就等于面积比了，他就不用平方了，别这个地方也平方是吧？相似比比例的平方等于面积比，他一定是建立在相似的基础上。 好了，这就是整个图层阶段需要我们掌握的面积转化的三种方法。底边比，平行线相似转化三角形面积怎么办呢？四边形一般都是割补成三角形，然后再用三角形面积转化，就是我们 整个初中研究几何，基本上都是把所有的图形最终都整成三角形，你把它哪怕最后研究圆，圆也是最后圆，研究圆里面的三角形啊，也不是直接研究那个圆。在大题里面，你可以说因为这两个三角形等高，所以底边 b 是 多少面积， b 是 多少， 在大题里面你就直接说等高就行了。好，来看题啊，他说在平行四边形当中， c p 平分角， b c d 啊，这是角分线，哎，这里有个角分线，这又是一个平行四边形， 哎，大家会想到什么？有角分线，有平行四边形，大家会想到什么？有角分线，有平行，你看，那你这个角是 r 法，这个角是不是也 r 法？ 哎，那这个角如果也 r 法，那么这两个 r 法相等，那这等腰，这两条线段相等，对吧？这就是第一个点角分线，平行线与角分线要得等腰的啊，这是一个基本意思啊。 好，再接下来又告诉我们， c d 等于 c p， c d 又等于 c p 好 吗？那这是个什么东西？那这就是一个等边三角形，他其实给我们这放了一个等边三角形，并且他告诉我们这条边是八，那这条边也是八，这条边还是八，这还是八，哎，那么也就是说这是一个边长为八的等边三角形。 最后让我们求谁的面积？求 a、 p、 f 的 面积，求这个面积，你要求这个面积，你有没有发现哪个面积其实是已知的？就是这个等边三角形的面积是已知的，这个面积是已知的，我现在要求这个面积， 那我是不是就需要找这两部分面积的关系啊？我现在唯一的任务是不要找这个问号，问号和这个对勾的面积的关系来明确一下，咱现在就是要找 s 问号和 s 对 勾的关系，我只要能够找到这俩关系啊，我就可以把这个问号求出来。为啥我不直接求呢？这个问号啥条件都没有，底高啥条件都没有。这个肯定不是直接求的，是需要我们进行面积转化来。那接下来怎么转呢？那你会发现，无论怎么转， 你如果要这个问号的面积，这个平行四边形，这是八，这是八，这是八，我都肯定绕不开哪条线段，我要进行这个面积转化，我肯定绕不开哪条线段，我必然绕不开 ap 就是 平行四边形的另外一条边，这个平行四边形其实也就缺这一条边了，我就设这是 a 啊，那这就是 a 加八，我肯定得把这条线段设出来， 那么一旦我把这条线段设出来了，你会发现哪两个三角形面积之间关系就有了，这两个三角形之间面积关系就有了。 我就设这个是八个 s， 那 么这就是 a 个 s， 因为底边比 a 比八，面积比 a 比八，这叫由底边比设。为什么要设？首先这两个三角形的底边比出来了， 同时是什么呢？同时是这个是一个啊，我们已知面积，所以我找它和已知面积之间的关系好再来。现在我要由它得到它，由它到它，我就需要哪两条线段比， 我最终要表示这个问号的面积，我已经有了它的面积，那我就考虑它俩之间的关系，由它到它需要哪两条线段比？你看 由它到它是不是这切了一刀，是不是需要这个圈和这个叉的比？哎，也就是说我需要 b p 比 p f， 我 需要这个线段比，而 b p 比 p f 在 哪个里面看你需要这组线段比， 在哪个里面看。这是不是有一个八字呀？因为你平行四边形，是不是要注意这是平行线啊？这平行线，那这里是不是出现一个八字？ 你既然出现了一个八字来，这个圈比差其实就是几倍镜，这就是 a 比八嘛。因为你看这里是 a 比八，这又是一个，哎，红色的八字，那这也是 a 比八， 它两个的比也是 a 比八，这两条线段比也是 a 比八。好，那结束了呗。这两条线段比是 a 比八，那这是 a s， 这是多少？ b s 结束了吗？这是 b s， 这是 b s， 说明这两个三角形面积 s 问号和 s 对 勾相等，就是 s 三角形 a p f 就 等于三角形 pbd， 而 pbd 是 一个等边三角形，等边三角形的面积是四分之根号三乘以边长的平方，哎，就等于十六倍根号三结束， 所以这两部分面积相等结束。再跟马哥来感受一下。首先我得到了这个是八，这个是八，这个是八，我就知道这个面积是已知的，就是三角形 pcd 的 面积是十六倍根号三，这是已知的等边三角形面积啊，这个你是肯定自己会算， 那么既然已知了，又要求这个已知，这个求这个，那我就需要找他俩之间的关系，但是他俩之间关系没法直接找，那我要在这里面进行面积转化，我会发现最缺的线段就是它，我设它为 a， 那 么这两个三角形面积就有关系了。这两个三角形面积底边比 a 比八等高，面积比 a 比八，这是八 s， 这是 a s， 对吧？好，现在我就是要他俩关系，他俩关系就需要这个圈和这个叉的比，这个圈比叉，这不是有平行线吗？圈比叉显然在一个八字里，所以这个圈比叉就是 a 比八， 这个圈比叉是 a 比八，那么底边比 a 比八，面积比 a 比八，这是 a s， 这是八 s， 这是八 s， 这是八 s， 所以 这两个三角形面积相等，所以 s 阴影就等于十六倍根号三， 只要把握住等高三角形，等高三角形，再结合一个求比例，想到相似就结束了，想不想换个想法，再想想这道题，我们不用抵边比了，重新来认识一下。首先这个面积是十六倍根号三，这个是没有问题的，我们不再说了，这是八八八，这个面积十六倍根号三， 那我怎么来想这个事呢？我看到了平行线，平行线，我就想到什么平行线间啊，共底三角形啊，面积都相等。平行线是可以转化面积的， 但是你会发现这个平行的转化面积，这个阴影部分的面积是转不了了，但是我可以让这个，比如说我要求的是 s 一， 我可以让这个阴影部分呢？跟谁合在一起去转化？ 这个 s 一 和 s 二合在一起可以去转化。哎，那你会发现整个这个三角形，这是在平行线间夹着的三角形，那我就可以把这个 f 换到哪去？我把这个 f 就 可以直接换到 c 了， 你会发现，因为共叠这个 a、 f、 c 的 面积就等于 a、 b、 c 的 面积，所以这个 s 一 加 s 二的面积就是三角形 a、 b、 c 的 面积。这是利用什么平行线转化面积？ 平行，再观察这个 a、 b、 c 的 面积，这个 a、 b、 c 这个三角形，它和 s 二和十六倍根号三什么关系？首先， a、 b、 c 和 s 二和十六倍根号三，这三个面积是不是都等高呀？然后呢，这个底是八，这个底是 a， 这个是八加 a。 有没有发现，这个 abc 的 面积就等于 s 二加十六倍刚好三，这是我们刚才讲的那个内容，对吧？这个红色三角形和 s 二和十六倍刚好三，它是等高的，这两个的底的和就是它的底，那自然面积和相等。好，那不结束了吗？来， s 一 加 s 二等于 s， 二加十六倍刚好三，所以 s 一 就等于十六倍，刚好三。 所以你看这道题只用了一次转化啊，就是用一次平线转化，再用一次考虑。你看红色三角形 s 二和这个三角形，它们等高底的和相等面积和相等 结束。那你看这道题，我们既用了平行线啊，也用了底边，别啊，来转化面积，所以这些东西用起来都是非常灵活的方法，听起来极度简单，但是你要不断的上手，自己去实操。好吧。啊，这道题过了啊，对称中心，对角线交点嘛， 然后下来说什么呢？说这个 d、 e 比 a， e 是 一比四，那我就设这是 a， 这是四 a， 注意平四一定要标谁，我设了这两条线段以后，一定要注意去标谁，标对面嘛啊，这是五 a， 然后呢，连接 ec 交 b 等于 f， p 是 ab， 上一点要使得 bpo 等于三倍的 oef， bpo 等于三倍的 oef， 哎，也就是说这个是 s， 这个是三个 s， 使得这两个面积满足这样的关系。最后求的是 ap 比 ab 来感受一下，这个是其实底边比等于面积比的反用了， 这是 s， 这是三 s， 那 我只要能够表示出哪个三角形的面积，这两个底边比就能出来，我只要能够表示这个问号的面积，那么这个问号的面积有了，这个三角形和这个三角形的底边比就出来了， 这叫底边比等于面积比的反用来举个例子，假设这是 s， 这是二 s， 那 么就可以得到这是 a， 这是二 a， 这叫有底边比，也可以反推面积比。 好了，那接下来我们就走嘛，那我们就要想，哎，那如何用这些比例关系结合这些已有的表示的面积去搞到它呢？那我就是需要更多的比例关系嘛，对吧？我看一下能够推出哪些三角形的更多的线段比，你要直接想推这个 s 和这个三 s 都走不了， 我必须要要有这些三角形的底边笔吗？那我可以用什么？这有 a， 这四 a， 这是为我是不是可以先看个八字相似吧，哎，这上下，这有平行线，这有 f 为焦点，你看我如果想转化这个面积，那我最好有能够有这些线段笔啊，或者这些线段笔 是不是都可以，对吧？好了，而这又有一比五，那我是不是来先看一个八字相似，这个相似笔就是一比五，那这是 m， 哎，这是不是就是五 m， 对吧？好相似，比一比五，这是 m， 这是五 m， 但是我需要这一条线段和它的比，那再看什么 o 是 什么点？中点，所以来 b o 是 几个 m， b o 就是 三个 m， b o 是 三个 m， 那 么五 m 减三 m， 这就多少二个 m。 好， 一旦有了这个二 m 了，那么这是 s， 哪个三角形面积就可以表示了？ e、 f、 d 就 可以表示了。看底边比是二比一，那么面积比就是二比一，这个面积就是二分之 s。 我一旦有了这个面积是二分之 s， 这个面积是 s， 那 么哪个三角形又可以表示了？观察一下，哎，也就说整个这个红色三角形就是多少，就是 二分之三 s， 整个红色三角形二分之三 s， 谁就出来了， a、 o、 e 就 出来了。因为这个底边比是一比四，那么这个面积就是二分之三 s， 乘以四，就等于六 s 来。那我一旦有了这些面积，哪个三角形的面积就出来了？这是二分之 s， 这是 s， 这是六 s， 哪个三角形？是我这个整个这个绿色三角形也就有了。整个绿色三角形应该是二分之三 s 加六 s 就是 二分之十五 s， 整个这个绿色三角形面积有了，这是二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 o、 d 是 二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 b o 不 就有了吗？那 a、 b o 和 a o、 d 来， a o 是 什么线？ o 是 中点， a o 是 中线，中线是不是也等分面积？所以这是二分之十五 s， 那 这个三角形面积，它也是二分之十五 s， 这是二分之十五 s。 减掉三 s， 减掉三 s， 是 不是减到二分之六 s， 这就是二分之九 s 来。目标出现， 最终我们发现这个三角形的面积是二分之九 s 好， 那我们最后要的 ap 和 ab 的 比，不就是这两个三角形的面积比吗？所以 ap 比 ab 就 等于三角形 apo 比三角形 abo， 对 吧？就等于多少呢？就是二分之九 s 比上二分之十五 s 好， 就等于三比五 结束好。所以这道题你看，就在反复的用什么，首先用相似求得一个底边笔，然后反复的用底边笔，不断的去找什么样的图， 不断的去找这样的图，反复的用底边笔去推导面积饼。好吧，看看这个题啊，这个题还挺有意思啊，什么叫中心对称？就是绕着它旋转一百八十度啊，旋转一百八十度，所以这其实只是做了一个中心对称，他说把这个三角形 a、 b、 c 啊，绕着这个 o 转了一百八十度， 转了一百八十度，意味着 b、 c 转一百八十度，转到 b 撇 c 撇好，旋转一百八十度之后，这两条绿色线段什么关系啊？相等且平行，因为转一百八十度嘛， 转一百八十度肯定是啊，平行的嘛啊，同时还怎么样相等？所以他一定是平行且相等。好吧，那同样的，你会发现，绕着 o 旋转，那么这个蓝色线段照样一百八十度转到这个蓝色啊，也是平行且相等。还有最后这个红色线段，转一百八十度，转到这个红色也是平行且相等。 他们都是平行且相等的，所以在里面围出来的这个阴影是一个平行四边形，他现在告诉我们这个阴影部分的面积是什么？ s 阴影， 也就是说 s 小 的平行四边形等于四分之一，而三角形 abc 的 面积是等于 一的，然后又告诉我们 bc 是 等于二的，让我们求什么？求 a 撇 c 的 长，求 a 撇 c 的 长，咱就干啥求 a 撇 c 的 长呢？我就设，我就设它为 x， 那 这边是不是就二减 x？ 好， 那我现在其实就是要找到这些线段和这些面积之间的关系 x 二减 x， 就要找到 x 和这些面积的关系。好，那么现在我要找关系，这又有这么多的平行线，我们可以想什么？相似吗？对吧？有平行咱就可以想相似。你观察一下这个小三角形和这个大三角形是不是一个 a 字相似， 同时是不是还和这个三角形相似，而这三角形来，我假设这个面积是 s 一， 这个面积是 s 二，然后整个大的面积是三角形 a、 b、 c 的 面积， 对不对？那我现在一定可以用这些线段结合什么，有了这些线段，其实这三个三角形的相似比就都有了，那我就可以用相似比来表示面积了。好，来，那你看，那么我们来观察一下，首先我看这两个，首先我来看这两个三角形， 这两个三角形它的相似比多少？相似比就是 x 比二减 x， 这两个三角形的相似比就是 x 比二减 x， 那 么这个我说这个是 s 一， 这个是 s 二，那么 s 一 比 s 二，就应该等于 x 方比二减 x 方， 那我就可以射了，那我就直接射这里面的这个小面积是多少？看好了，那我就直接利用比例来射，这个射的操作非常重要，利用比例来射，我就射这个是 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 这两个的比是 x 方，比二减 x 方，这就是二减 x 方 s。 好， 来再看，因为这个小三角形和大三角形也相似， 小三角形和大三角形也相似，既然小的和大的也相似，那么小的是 x 方 s， 哎，那么小的和大的就是 s。 三角形 c、 d、 a 撇和三角形 c、 a、 b 的 比 是不是也是相似？比就等于 x 方，比几来，能不能写出来啊？ c p、 a 撇啊，这是 c p c p a 撇和 c、 a、 b 相似，比是多少？ x 方比四。所以当我设了这个小的面积是 x 方以后，那么最大的这个三角形面积是多少？ 就是三角形 a、 b、 c 的 面积就等于四 s， 这用相似比来表示面积小的和大的相似，比是 x 方。比四，面积比就是 x 方 s 和四 s。 那 么到这你会发现，我们要表示的面积已经有了，这个三角形 a、 b、 c， 面积是一，它就等于几个 s， 就 等于四个 s， 而这个阴影部分能不能表示呢？这个阴影部分其实就是大的面积，把这两个减掉，就等于四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 这个平方在外面啊，没问题了吧？好，那么到这其实方程已经出来了，观察一下，到，这是不是方程已经出来了？这是一，这是四分之一，那它就是它的四倍，所以方程就出来了， 方程就是什么呢？最后我们找等量列方程嘛，就是四个 s， 四 s 是 等于一的，就等于四倍的四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 它等于四倍的，它因为这是一，这是四四分之一。好了，那这个时候你会发现，你这里面虽然看起来有两个未知数，但是谁就被约掉了， s 就 被约掉了， 对吧？ s 就 被消掉了，这是 s， 这是 s， 这是 s， s 就 消掉了， s 消掉了，然后这是四，这是四也消掉了，也消掉以后呢？其实左边就剩了一个一了，右边就是四减 x 方减 二减 x 方。啊，没问题，那就是一就等于四减 x 方减，这是四加 x 方，再减四 x， 对吧？一就等于四减 x 方减，四减 x 方再加四 x， 这四和四也减掉了，四和四也减掉了，那最后就是二 x 方，二 x 方减四 x 再加一就等于零， 二 x 方减四， x 加一等于零。好，那最后解一下直接代公式吧。 x 就 等于二， a 分 之就是四分之负 b 四加减根号下 b 平方十六减四 a， c 十六减八十八， 对吧？它就应该等于个二分之二加减根号二就求出来。所以 a 撇四的长就是二分之二加减根号二。所以这道题呢，就是一个纯粹的用相似比去找面积关系的， 你最后要的是这两个之间的关系，你要求 x 的 嘛，所以其实它是一，它是四分之一给的，本质上就是一个比例关系，它是它的四倍。 好了，那所以这道题呢，其实你得大胆的设，大胆的去表示，你要一开始头脑清晰，它就给了一个阴影部分的面积，给了一个大三角形的面积，最后让我们求这条线段长，那我就是要用这条线段长去找到什么，找到这些面积关系，其实很容易找。这个小三角形和大三角形有一个面积比，设它是 x 往 s， 它就出来了。 这个小三角形和最大的这个三角形也有一个面积比，那么它是 x 方 s 大 的面积也出来了。好，那最后那你会发现大的面积出来了，一就等于四 s， 对 吧？阴影部分面积就是大的面积，减掉这两个面积啊，那就也出来了。好，最后得到这两个式子。怎么去想呢？它是它的四倍，直接列出方程，结束 两个结果，你看一下都合不合理嘛？二分之二加减根号肯定是合理的嘛，就是这个 x 可以 是长的那段，也可以是短的那段。所以我们最后来回顾一下今天这些题都用到了哪些知识。看，讲了三道题， 别看只讲了三道题来，第一题用到了，是不是用到了平行线转化面积，还用到了等高三角形底和高的笔啊？用到了底边笔，用到了平行线。第一道题用到了底边笔用到了平行线。这是第一题，去感受底边笔和平行线的使用。第二道题是一个纯纯的底边笔的使用， 纯纯的底边比的使用。而第三道题的面积转化又是一个什么呢？因为有了平线，第三道题的面积转化纯纯的相似，纯纯的相似，从小的到他从小的到最大的纯纯的相似。 所以呢，去感受马哥所讲的底边比平行线相似，真正是如何转化面积的。这就是我们今天的主题，所以看起来只讲了三道题，你听懂了根本不算啊。下来通过自己动手反复去感受底边比 平行线相似的使用。你比如说这道题，其实也可以用底边笔来做，你可以下来自己试一下，今天就讲到这儿。
1319马哥数学
35:46查看AI文稿AI文稿好，朋友们，我们今天录制讲解一下云虹区二零二六年一模的数学的十五题，二十二题，二十三题。嗯，十五题主要是主要是解三角形， 呃，加上那个相似啊，这个题方法挺多的。嗯，他是由某道题改编的啊，然后那个二十二题主要是平行相似，加解三角形，火叉内功式或者是变式二啊，火叉内功式你可以利用那个折叠的那个概念去解，都可以，我就给大家讲多种方法。 二十三点这道题出类还是非常不错的啊，主要是双抛交点，尽力和计算，呃，尤其这个圈二这个问，呃，它是零到六分分之内，如果不是零到六分分之内的话。还有一段，这个我给大家带一嘴啊，这题出类还是比较不错的。好，我们先看一下第十五题 这道题，嗯，随便给大家带几个方法啊。 好，那么首先的话，我们知道他这个菱形边长是三倍的根号三， ok， 那 么边长是三倍根号三，那么 ab 的 长度知道角 b 是 一百二十度，角的也是一百二十度， 然后 c 的 长度是得一的二倍，对不对？整个长度是三倍根号三，所以这边就是根号三，这边就是二倍根号三，他这个是一个九十度， 那么本 a 延长与这个垂线交点是 f， 那 么求 c f 长度。首先我们看到 c f、 e 这个三角形，你发现没有一个边有个角， 如果求出这个 r 发的值，两角一边就能解出这个三角形了，那么 r 对 顶过去，你看上面这个三角形有没有三倍根号三，有没有根号三，有没有一百二十度，这叫之三求十二，所以 r 发的正截值非常的好求，所以话我们应该是给他怎么地呢？ 呃，直接 a 往这边拉一个垂直焦点是 h， 可以 吧？那么这个是六十度的话，那么三十度直角三角形是一比根号三比二，那它就是二分之三倍根号三，我是你根号三倍，它就是二分之九，所以 r 发的正切值等于二分之九比上二分之五倍根号三。 所以 c f 比上 c e 也能求出来了，可以吧。当然了，这是第一种方法啊，这题方法还是很多的啊。 或者你看这条黑色的边是二分之五倍根号三，这条边是二倍根号三，二分之五倍根号三比上二倍根号三，是等于五比上四，所以它也是一个平八相似九十得九十嘛。那么五比四，那么它也是五比上四，对吧？二分之九除以五再乘四， 对吧？最后等于十分之三十六，也就五分之十八，二分之九除以五再乘四，这个方法挺多啊，就随便做就行了啊。好了，这题就过。 呃，对，也有别的方法特别多啊。这题就是你刚才解释这个三角形，当然了，你就是，呃，因为他这个是九十度，当然你要是求这个，硬求这个角度也可以，懂不懂硬求这个角度也能求。好，我们看一下第二十二题， 不的话，我就给大家适当的讲一下，你好好听就完事。呃，这道题的话， 好，这道题是一道翻折问题啊，按照循环规律来看，第一年是对称，类似于折叠，类似于翻折，第二年是旋转，那你今年第三年是有概率的。这个角度好， abc 是 五五八，对吧？哥是中点，沿着它进行翻折，那么折叠， 呃，我先说一点啊，看到折叠它是应该是有四个性质啊，一会给大家带准，当 e、 f 跟它平行的时候，对吧？那么要证明它是菱形，首先的话，我们由折叠可知，这个圈等于这个圈，哎呦，又加上平行线了啊， 那么折叠也叫做产生角，平行角，平行线加平行是推出一个等腰三角形啊，平行之后内角相等，所以，所以我们得出 fe 的 值等于 f 的 值。当然了，由折叠可知，根据折叠第一个性质，得 b 也等于得 f， 那 么 e、 f 跟 b 的 又平行又相等，所以它是一个平行四边形就是一个菱形，第一个就完事啊， 对吧？你也可以乘四条边都相等，都可以啊。好了，我们再看求这个面积对不对？这个面积我觉得也非常好。求这个面积的话， 首先我们知道这个边长是几呢？这个边长是五，这个边长是，这个边长是八，也只有它的四，如果把它连一下啊， 那么如果把它连一下之后的话，那么说明这个长度就应该一个五，一个四，三节合一，这九十度，它是等于三，所以这个角应该是约为三十七度。 ok， 好 了，那么我们现在看一下啊，就是我们要求这个三角形的面积，这个角三十七，由折叠可知它三十七度，那它是也三十七度行不行？那么我们还知道这个边长得几呢？这个边长是等于四，所以这个边长数也等于四， 我要求这个蓝色三角形的面积。同学们啊，蓝色三角形的面积得知道三元数是才能求面积，那么首先的话，这个是四， 呃，它是菱形，它是四，它是四， ab 是 五呢？这面是有一，由于 eg 跟 bc 平行，那么平行之后的话， e 比上五，看到没？ a， e 比上 ab， 这 e g 比上 bc， 所以这个边长度是一比五，那么一比五，八除以五再乘一，那这个值是等于。呃五分之八。 ok， 八除以五再乘一，那这个值是五分之八，那么这个整个是四四减五乘八，五分之八，那这边是等于五分之十二，所以看到没知道两边一角求这个三角形面积就非常好求了。 ok， 那 么我们可以往这边一角求这个三角形面积就非常好求了。 ok， 那 么我们可以往这边啊，垂直是都可以， 所以这个高选择谁都行。好，如果选择第一个高的话，你看三十七度，三十七度，这直角三角形是跟 a 得 b 是 相似的，对不对？三比四比五呢？三比四比五， 那么射线比上五分之十二是三比五，所以就五比三除以五再乘三，等于二十五分之三十六，拿四乘上二十五分之三十六再除二， 等于二十五分之七十二，可以吧？那当然了，求这个红色线， ak 也行，那么三十七度，对的红色边比上这条边是等于三米五，那么拿四除以五再乘三，是五分之十二，那么这个也等于五分之十二乘十二再除二，答案也是二十五分之七十二。 ok， 这比较简单，就是一个减三角形啊，是三角十二。好了，我的预言全对了哈，基本上都这么行，我看第二个。第二个我先说一下啊，第二个先讲我的方法，当然这个和差这一共是不让你选，过程一会再给大家讲正常卷面的方法啊。 那么第二个，呃，首先的话，我们先读一下这道题，它是四，它是四，三折之后它这也四， 根据直角三角形，斜边中线长是斜边一半的性质的变式二，那么三个都四的话，那就说明这个角等于九十度， 行不行？因为四等于四，所以圈等于圈，因为四等于一条等于一条，两圈加两头幺八零，所以圈两头都有九十度， ok， 所以 第一步的话，我们先根据直角三角形，斜边中线长是斜边一半的那个变式二，得出这个角是一个九十度，行不行？ 好了，那么题中还说了啊，角 a、 b、 f 等于的是九十度，减去角 a、 b、 c， 我 们看一下， a、 b、 c 是 约为三十七度，那么九十减三十七度是约为五十三度，所以这个 a、 b、 f 应该是五十三。我的方法是这么做的啊， 那么你看我设的那个 r 发等于五十三度， beta 等于三十七度，行不行？那这个角度就是 r 发减 beta， 所以 根据它的这些公式，弹进它 r 发减 beta， 等于弹进它 r 发减，弹进它 beta， 除以一加上弹进的 r 发重上弹进的 beta。 呃，弹进的五十三度，我们很明显弹进的五十三度 三十七，他是三，他是四，他是五，那弹进的五十三度是四米三， ok， 这个话应该是三分之四，弹进的四，三十七度是四三米四，那么一加上三分之四，再乘上四分之三，最后的话，求出这个正极值的话，应该是七米二十四， ok， 我知道这个角度，知道这个角度，我还知道，我还知道怎么弄，我还知道这条边长对不对？那么相当于这个三角形，知道两角一边是三元数， 那么弹性的值是七比二十四是比二十五，那么七比二十五是八，除以二十五再乘七，这答案等于二十五分之五十六。 呃，但是这个方法不可写过程啊，你适当了解一下，用它检验一下是可以的，好好检查正常方法啊，这种方法大概好多话，随便讲几个得了。哎，我看一下啊， 呃，首先的话，我们知道这个边是四，这个边是四，对不对？折叠有三大性质啊，折叠，首先我们把这个对折轴给它画的稍微那啥一点啊，长一点。 我们看到这个折叠的话，第一个性质同学们要注意，第一个性质是边相等，第二个性质是边相等，第三个性质是底角相等，第四个性质是顶点相等，还有一个性质是垂直，中考经常用到。第四个性质和这个垂直，这经常要用到的，可以吗？ 好，我先讲方法一，正常方法的。方法一，首先我们这个应该是一个垂直的，对不对？那么题中说了，角 a、 b、 f 等于个是九十度减去角 a b c， a b c 等于 r 发吧，行不行？那么九十度减去 r 发 等于的是 a、 b、 f， 哎，你看到没， a、 b、 f 是 这个红色角，红色角等于九十度减去二十八，你发现没，这个是九十吧，所以这个角度也等于二十八。看到没，这个红色角九十度减去二十八，也就是 a、 b、 f 跟 r 发应该是一个互余的关系，这个红色角跟 r 发互余。哎，那你观察一下啊，那这个角是 r 发的话，由折叠可知，根据七十四，它这的 r 发，这是 k 点啊，那波是中点，看到没？波是中点， 当然这个仍然是垂直啊，因为三个四能得出角度，边上得到了，那么这个垂直，这个垂直。我问你平不平行？平行之后得是终点，作为 k 的 终点，得 k 的 长度是 c f 的 一半，说他是二，则这边一定是 x， 那么 r 发等于 r 发之后，这个边为四，那说明这个边长度谁等于四？ r 发的正切时，我们知道一呢？ r 发的正切值是有三比四，对不对？它是三四五的一个直角三角形当中。好了，我们看 e、 k、 f 这个三角形，那么 e、 k、 f 这个三角形，我们可以， 它是三比四，那么也就意味着什么呢？意味着这条绿色边比上这条蓝色边数三比四，蓝色边数的 s 加四 对不对？ s 加四除以四再乘三，那么就等于是三加上四分之三 x 行不行？最后我们用 s 平方加它的平方，四的平方等于四平方。 呃，最后可以求出 s 一个值啊，这个口算之后应该等于二十五分之八，所以这个二 s 值就等于二十五分之五十六，这答案是二十五分之五十六行不行？ 这是第一个，这是第一个正的方法，第二个方法来注意到整理一下，那么第二次的方法，首先的话，我们会发现红色角度加上 r 八等于九十度，对不对？那么我们这个是垂直的关系 好，所以的话，很明显这个也是个 r 发， ok？ 嗯，好，这也是一个 r 发，行不行？这也是个 r 发， ok， 所以 这个是四，那么说明这个长度谁等于四？这个长度谁等于四？ 呃，我情不自禁的把它连一下啊，连完之后你发现同样道理啊，四，四四，所以这个角等于多少度？所以等于九十度， 那么你发现没，一个四，一个四，一个 r 发。我问你啊，一个四，一个四，一个 r 发，说明这个长度可不可行？竖啊，垂直就可以了。 那么 r 发是三比成四比成五，四份，四份五份，所以得 b 比成 b， e 等于五比八，所以四除以五。 这一条红色边是五分之三十二，我问你，这条红色边是也等于五分之三十二，对不对？行不行？ 好了，要求 cf， 那 么你找 cf 这个三角形不好做，我们找 cf e 这个三角形，我们现在已经知道了，这条红色边等于五分之三十二，可以吧？好，哎，那 ec 这条好不好？求？好，求，好。那么 ec 这条白色边首先我觉得也非常好求， 哎，好了，其实你看这个 b、 e、 c 这个直角三角形也行，这个 r 发直角，这个八直角，那么蓝色边比上红色边比上 b、 c 正好。三比四比五， 那么八除以五再乘三，拿 b、 c 乘以五分之三，那这个是五分之十二， 八乘了五分之三，五分之二十四啊，因为都是盲算的啊，这个是五分之三十二，这个是五分之二十四。哎，你看这个三角形，知道两边了，对不对？呃，这个角度数也应该是 r 八，行不行？朋友们，好了，这个角度为什么是 r 八？你们知不知道 这个角度数也是 r 八，行不行？ 为什么呢？因为你看，你，首先我问你，这个垂垂直，这个数也应该是个垂直，所以这两线平行，由折叠可知它是 r 方，所以我这两条线平行的话，那这个 r 可以 内缩过去，是也是个 r 方，那么再根据两边一角对不对？求这条边，应该是给他延长过去， 你给它延长过去，能不能，这我不给你算了。延长过去之后的话，那么显然我们知道 r 发，知道五分之三十二是能求出这条边，当然也能求这条边，它俩都知道是一个求这条边用长的减短的，这个 c f 行不行？ 呃，这个 r 发的导的方式应该是有很多种啊，太多种了。嗯， 行，好了，我们这一题就告诉你讲三种方法啊，大家消化一下啊，完了之后我们看一下第二十三题啊， 这道题出来表扬一下，这题出来双炮交点新定义啊，然后包括那个旋转，嗯，也叫待己吧，待己，然后加计算啊，考的挺好。行，前面题都读完了，那 y 二填是，这个比较简单啊， y 二填是我们把那个 呃点 b 坐标三六零得坐标六逗负三，把 b 和 d 带进去，因为你是平移的，所以这个 a 值等于负一， y 的 a 值也等于负一。这道题我觉得你呃我们就直接 可以就是怎么地呢？设一下啊，它是 y 的 值，等于负 x 平方加 b， x 加 c， 把六度负三，把那个 b 点坐标三度零。 ok， 把这两点代入，求出 b c 的 一个方程组啊，第一问就完事啊。第一问， ok， 第一问结束。 好，同学们，那么现在开始我们都看一下第二个问啊。呃，原函数解析式， y 一 的话是负 x 平方加上二， x 加上三，听完之后的话，应该是等于负 x 平方加上八 x 减去十五。 第一个问， y 二等于负 x 方加八， x 减十五，好。第二个， t 在 x 轴上，当 t 等于二十，那么旋转九十度的 c 撇设在上面，呃，那么 b 是 三啊，注意条件的话，我们可以求出。错了错了。 好了， b 的 值等于三， c 的 值很明显， c 的 值正好也是零六三行不行？当 t 等于二的时候，来吧。当 t 等于二的时候， 那么当 t 等于二的时候。题中说了，是把 o c 绕的这个点 t 进行一个转动，懂不懂？问你 c 撇是否在 y 上，那咱看一看吧。 那你转动，这叫顺时针哎，他是逆时针旋转收，哎，收，逆时针转到这。那么我们求下这个 c 撇的坐标，可以吧？你看到九十度是想到什么？ 前途或手拉手这套戏肯定是前途，他是三，他是二，行不行？那么同样道理，我们根据造爽前途的一半可以吧。 这个两个三角形是角，两边内内全等他二他三，同样道理，他也是二，他也是三，所以这个点的横坐标是二减三负一，正坐标设负二，我们把负一负二带入 y 一 当中，呃，发现那个不在这上面。再说了，你黑点坐标正好是负一到点， 那你负一到负二是应该是在 a 点下方， c 撇直接在 a 点下方，懂了，它不在那个抛物线上。哦，好了，第二个问，呃，当现在 t 是 在什么呢？当这个小 t 的 值大于零小于六的时候，那么它说什么呢？于 y 二 o 撇， c 撇与 y 二有交点。 ok， 有 交点。好了，我说一下这种题的话，首先咱们没有什么经验的话， 我问你，当 t 等于二的时候，哎，当 t 等于二的时候，你刚才转动一下，比如说当 t 的 值等于二的时候，咱们看一下啊。当 t 等于二的时候，哎，你 c 是 跑到这了，行不行？那你这个 o 是 跑到这了？不确定啊。好，你当 t 等于二的时候，我们试试啊， 这个是 o 撇，这个是 c 撇 o 撇， c 撇与 y 是 不是有交点？咱们，呃，不太确定通道，但是你发现有什么问题？你不管怎样，你这个 o 撇的坐标仍然是 t， 豆是负 t， 说明你这个 o 撇其实它应该在哪上面动啊？它应该在 画不下了啊，想想画吧， 好，它应该在哪上面动呢？它应该在这条绿色线上动， 对不对吧？它应该在 y 等于负 x 这条线上动，你比如说，比如说，当 t 等于一的时候行不行？顶点是一吧？当 t 等于一的时候来，当 t 等于一的时候，我们看一看啊。当当当，这是 t， 这是 o 撇，但是你这个 o c 数三哦，这个得三哦， 这是 c 一 吧，这是 o 一 吧？ ok， 来，当 t 等于一的时候，你会发现什么呢？啊？这个时候 o 撇 c 撇跟 y 二是没有交点，那么当 t 等于二的时候，有可能是这么画啊。 那你看这个 o 二和 c 二 o 撇 c 撇与 y 二数也不一定有交点，我不确定啊，因为这个数我不知道。那你看什么时候才开始有交点，发现没？哦，原来这题是个诡计问题，我觉得最开始有交点的时候应该是这个样子， 这个是 t， ok， 这边是三，行不行？来，当我 o 撇在这， c 撇在这的时候是刚好有交点，这个时候怎么求 o 撇坐标呢？ o 撇坐标仍然是 t， 都是负 t， 可以 吧，我觉得应该把 t 都是负 t， 是， 应该是给它带进去，听懂了吗？ t 的 负 t 带入 y 二当中，带入负 s 平方加 y， x 减十五，当中 t 的 负 t 带进去啊，那也就是负 t 的 值等于负 t 的 平方加上八 t 减十五， 这时候我们 t 的 值只能取零到六之间啊，零到六之间，呃，最后要的 t 的 值得几呢？等于二分之九减根号二十一，另外一个好像舍去了，懂不懂？ 好，那么然后的话我们继续再看啊。呃，变个颜色，那比如说 t 的 值不能超过六，同学们啊，这个得点坐标好像是六到负三啊， 比如说 t 这么画啊，这么画啊， o 撇在这，那这个时候三的话，估计肯定是跟它产生了一个交点，行不行？但是有没有这种可能性？比如说红色部分， 比如我走这个，你这个三正好产生这个焦点，行不行？那你再往下走的时候，再走绿色部分时，你看啊， 那你这个三应该导致这个时候它与 y 二是没有交点了，所以红色部分应该是一个最极端情况，懂不懂？红色部分的话，那么这个是 c 撇，呃，这个是 o 撇，这个是 c 撇，那么你这个 o 撇坐标仍然是 t， 都是负 t， 可以 吧？ 那么很明显这个时候是 c 撇跑到了它上面， c 撇的横坐标应该是 t 减几呢？应该是 t 减三吧，重坐标是应该是负 t， 这时候应该是把它带入这里面啊。最后求出 t 有 两个值，但是我们只能要 t 的 值大于零小于六的部分，对吧？ t 的 值这时候算完之后应该是等于的是二分之十五，减根号三十三，用公式反转啊，懂不懂？所以第一种情况的话应该是 t 的 值大于等于二分之九，减根号二十一，小于等于二分之十五，减去根号三十三。嗯，这第一种情况行吗？ 这道题我觉得可以再加深一点。这题我觉得它出来有点简单了啊， 行不行？我觉得其实你还应该。如果把这个范围给取消，你们发现什么问题？如果范围取消的话，你再思考，再往右再画的时候， 只要绿线我就画长一点了，我又画的又小了。如果你把这范围取消了，右面还有一段发现没？比如说 说我刚开始走的时候正好等于三，看到没？这个乘正好等于三，哦，正好在这个位置行不行？如果再往下走的时候 你们发现没？是不是？ 如果要走这看到没？哎。这个正好等于三数也是可以的，行不行？所以的话他应该是走到，呃，走到这个走到这个 o 五的话应该是一个最极端情况，明确吗？走到 o 五应该是一个最极端情况，行不行？再往下走的话应该交不上。其实 他那些六的右侧其实还应该有，知道吧？还应该有，就刚才这两个结果应该是反过来应该是把变加上变加上都有范围，但那个范围好像超过超过六了， 呃，你就一顿往下划就明白了。行了，同学们，行了，这题就完事了，因为这题他到六这一块他就 行了。同学们，嗯，他这个题如果经过六这一块的话， 再画三的时候，那肯定是下面这个线段跟 y 是 没有交点的，对吧？ 但是出去之后的话它可能呃于它的二次函数的左支，呃，没有了，于右支，于右支于右面。这个推六线又能产生交点了，应该还能再求出。应该是变成加号，变成加号，就刚才减了两个幺二方程的另外一个解，还有一段三，但那个超过六了就行了。 行了，这一个动态的啊。嗯，然后咱们看下最后一位啊，给了一个新定义，对吧？取小一点三个部分，取三到六的部分。他这个题特别好，这题就跟我春季第一堂课那卷纸是一样的， 就是咱们二十三题第一道题很像，但我那题比他难多了。好了，他选择谁呢？选择 y 一 的话， y 一 的话是选择谁呢？选择三的左边 b 点是三，对不对？所以我现在选择的这个图像啊，应该是什么呢？应该是 太刺眼了。这样吧，选择图像，我把其他的没用给你删掉吧。选择图像必点左侧的那个， ok， 还有必点右侧的 v 二行不行？所以这是他选择的图像，可不可以？ 可以吧。好，把顶点坐标写一下，这个顶点坐标的话，这个 y 一 表示我们已经知道了是负 x 平方加上二， x 加上三，那么这个顶点的坐标我们知道是一到四啊，顶点才知道，因为顶点是最高值嘛。 y 二的解释是，负的 x 平方加上八 x 减去十五， 那么这个顶点坐标的话，应该等于是四动一，行不行。好了，那么 m 在 负一和一之间的话，其实你发现没，他仍然是这个顺序。你 m 如果取个零，那我是零，他是二，他是四。 m 如果取个零点九，零点九，二点九，三点一是仍然是 m， 如果取个负零点九，负零点九，一点一，四点九，它仍然是它那三个字母，啥呀？三个字母是 e， 这个仍然是 e， 这个是 f， 这个是 g， 懂不懂？所以 e f， g 的 横坐标分别是 m 和 m 加二和四减 m 行不行？好，这里面这个题特别好啊，这题，这是 f g 啊， 好，那么首先的话，我们看 m 是 负一和零之间，对不对？那么 a 点是正好是对应式负一负一和零，负一和 e 之间啊。 a b c 得 e， 说明你这个点 e 啊 啊，等会等会，这不能写点 e 啊。呃，这个顶点叫点 m 吗？说明点 e 它在负一和 e 之间，点 e 在 am 之间动刀，点 e 只能在 am 之间去运动行不行？ m 加二的范围应该是一到三，一到三的话，点 b 是 三到零，行不行？所以这个 f 应该是在 m 和 b 之间运动，可以吗？好，那么四减负一是五，三到五之间，三到五之间，哎，这是五到零， 所以我们最后这个点 g 只能是在这上面动，三到五之间动，可以吧？大概是这个意思。 ok， 好 朋友们，那么现在开始啊，我们话不多说，我们先把点 e 坐标先表示一下，因为 e 点它永远在 y 上，可以吧？那么点 e 的 这个坐标我们可以求一下。 好，点 e 的 话往 y 带啊，那 m 带进去之后的话，那就是 m 负 m 平方加上二， m 加上三， ok， 那 么 f 只能在 m b 之间运动，因为 m 加二的范围它只能介于一和三之间嘛，对不对？所以它也应该往 y 一 里面带啊。 呃，把 m 加二带进去行不行？ m 加二带进去，负的 m 加二平方加上二倍的 m 加二加三，这里面计算有个技巧，你自己做一做啊。 呃，这个是 m 加二，重坐标应该是负 m 方减去的是二， m 加上三， ok， 好 了，另外啊，那这个这一点坐标是四减 m， 四减 m 的 范围是介于三个五之间，就只能介于 y 二图像当中，所以把四减 m 是 带入这里面， 因为它能配成平方的形态，四减 m 带上之后肯定是负 m 方，怎么地了？所以这个点 g 的 坐标应该是四减 m， 逗号什么呢？负 m 方加一可以吗？这叫代数式，只会计算吗？好，同学们， 但是同学们，你发一个问题啊。呃，根据这个新定义啊，它说它 f g 之间的最高减最低， e f 之间图像的最高减最低。你，你知道 e f c 高 c d 吗？老师，我 e 在 这， f 在 这，这时候 f 高 e d。 老师，我 e 在 这， f 在 这，这时候 e 高 f d 行不行？其实你可以采用中点偏移法啊，它俩的中点是谁呢？中点的话应该是 m 加 m 加二，再除二，中点的话应该是 m 加一，如果 m 加一小于零的时候， m 如果小于零的时候，那就说明 e d f 高 m 大 于零的时候，说明 e 高 f d。 当然你可以就是再说一遍它俩的中点啊，应该是相加，再除二应该是 m 加一，如果 m 加一在 m 点左侧，在顶点左侧呢？就是 e d f 高，当然在中点右侧， e d f d。 所以我现在应该考虑是什么范围呢？第一种范围应该是，当 m 大 于负一小于等于零的时候，我可以假设一个 m 为一个什么数值呢？哦， 那么我可以假设一个什么数值呢？我可以假设，比如说 m 取负零点五，对吧？取负零点五的话，那么点一就在这个位置，负零点五加上二至一点五， 那么这个是零，这个是二，那么一点五应该是在这个位置， ok， 看到没？一点五正好在这个位置， ok， 因为二在这里，行不行？二在这里， ok 啊。当 m 小 于零的时候， e d f 高看到没，那么 e f 这段看到没？得 e f 这段就该拿四减去 e 点的重坐标，这时候得 e f 就应该拿四，最大值是四，最小值是点一中坐标四减去负 m 方加上 m 加三，那么整理之后的话啊， 呃，应该等于的是 m 平方减二 m 再加上的是一，行不行？嗯， 好了，那么此时我们看一下，我令 m 取负零点五的话，那么四减去负零，二是四点五，四点五，那我这个时候，此时这个时候在这个位置，那看 f g 对 吧？ f g 对 吧？图像，那从这个位置到这个位置，它的最高值肯定是 f， 能， 肯定是 f， 不 可能， f 比它低了， ok， 最低的数零，所以这个时候我们 得 f g， 那 么就应该是拿 f 的 值，也就是负 m 平方减二， m 加三，减去零，行不行？ ok， 然后我是你的两倍，对不对？那么这个是负 m 方减二， m 加三， 等于两倍的 m 方减二， m 加一，最后可以求出 m 一 的值等于是一，一是不在这个负一和零分之内，所以一的话是复合题，舍去， ok， 这个是舍的，那么 m 二的值等于负三分之一，正好是复合题，行不行？ 好，这是第一种情况，来看第二种情况，第二种情况清楚， 那么第二种情况，首先的话，我们应该看一下第二种情况，当 m 大 于零小于正 e 的 时候，比如说 m 取零点五，如果取零点五的话，点 e 应该是在这个位置，零点五加二是二点五，但是二点五注意了哦， 二点五就随便画一个，这是 f， 那 么四减零点五是三点五，三点五是应该在这个位置，行不行？但是你 f 和这谁高谁低还真不确定，其实是一个确定的，很多同学在做这块时啊， 呃，他纠结了，但是没关系啊，我先画个大概位置， f 和这谁高谁低应该是确定的，一会告诉大家为什么？好，那么这时候我们再先求得 e f， 这时候得 e f 绿色之间最大值是四，对不对？四最小值是 f 是， 应该是四减去 f， 也就是负 m 方减二加上的是三， 那么这个时候整理之后的话，应该应该等于的是谁呢？等于的是 m 的 平方加上二 m 再加上是一，行不行？ 好，那么这个时候我们先看一下 f g， ok， f g 这个时候不等 f g 之间，我的天呐，最低是零，对吧？那到底是 f 高还是 g 高呢？ 那你就纠结了啊，谁更靠近三呢？对不对？那比如说我取那个什么取那个，呃，零点九的时候，零点九，九的时候怎么地，怎么地，对不对？但是我告诉你，是个确定的啊。好了，我用 f 和这个 y 值相减，对吧？这是一个技巧啊， 我用负 m 平方减二， m 加三，我减去负 m 方加一。来，你看清楚了，它俩相减， ok， 它俩相减的话是等于负二加一等于十二， m 是 不是一个大于零小于一的一个数，它是等于二倍的 e 减 m， m 是 比 e 要小，看到没？ m 比 e 要小，那这个 e 减是大于零，所以它俩相减是大于零的，所以这个时候肯定是 f 高 j d。 听到没？因为 f 的 y 值永远比 g 的 y 值要相减约大于零，所以 f 高 j d 即使靠近也是 f 高 j d， 听懂了吗？ ok， 这块是很多老师容易妄讲的一个点啊，待会听一听啊。行吧。那么拿 f 的 外值，那这段的最高值是 f， 最一是零，那也就是它本身呗，也就是负 m 方减二， m 加三，行不行？ 好了，那么由于我下面是你上面二倍，对吧？也就是负 m 方减二， m 加三，等于二倍的 m 平方加上二， m 加一。 ok， 最后 m 一 的值等于是负一，加上三分之二倍根号三。 m 二的值等于是负一减三分之二倍根号三。这个显然不在零和一分之内，所以这个肯定要舍去。 ok， 最后的答案，我们这道题答案应该只有这个值，还有一个什么值呢？负三分之一，这个值大家学会了吗？好，同学们加油，拜拜。
10:56查看AI文稿AI文稿各位家长同学大家好，这是沈阳市于洪区刚考完的去模拟试卷的第二十二题，我们今天来一起分享一下 题干给的条件呢。三角形 a、 b、 c、 a、 b 等于 a、 c 都等于五，然后 b、 c 是 等于八， b 是 中点，那么所以我们正常情况下应该知道连接 a、 d 因为等于二，三角形，然后中点，所以三线合一，所以垂直，然后 b、 c 等于八，所以 b、 d 等于四， a、 d 等于三。好，第一遍你告诉我们 e 在 线段 b、 a 上，并且 e 平行 bc， 然后让我们求证四边形 b、 e、 f、 d 是 菱形，那么这道题呢，本身它是把 b、 e、 d 这个三角形，也是 b、 e、 d 这个三角形，所以因为翻折，所以对应边相等，对应角相等，那么首先可以得到我们的 b、 e、 d 这个角，是等于我们的 f、 e、 d 这个角， 因为它俩又是平行的关系，所以我们会得到我们上面这个 f、 e、 d 这个角，又等于我们下面的 b、 d、 e、 d 这个角，然后 b、 e、 d 本身和它俩就等腰， 然后因为翻折，所以我们会得到 e、 f 又等于 b、 e， 然后呢，现在又是等腰儿， b、 d 又等于 b、 e， 然后翻折，同样 f、 d 也等于 b、 d， 所以 这四条边全部相等，所以第一个它就是菱形就 ok 了。 然后在这基础上，它让我们求求证的是三角形 d、 f、 g 的 面积，那么求一下 d、 f、 g 这个三角形的面积， 因为这道题呢，本身告诉我们说这个 e、 f 角线呢，和我们这个 b、 c 角线是平行，那么因为有了平行，所以我们自然就会有了相似，所以我们这面第一组相似的是什么呢？就是我们的三角形 a、 e、 j 是 相似于我们的三角形 abc， 因为我们刚在前面已经得到的是我们的 b、 e、 d 这个角等于我们 b、 d、 e 这角，所以也就是我们的 b、 d 是 等于我们 b、 e， 它们俩相等都等于四，所以也就是说 b、 e 是 等于四，那么整个 ab 长度我们知道是等五，所以 a、 e 就 等于五啊，所以这个呢，五，我们先下掉， 然后在这基础上，然后我们的这个 a、 e、 f 这条线和我们的 bc 平行，所以我们的角都是相等的关系。 因为我们的 a、 b、 c 是 等于二三角形，所以在这里面的我们的 a、 e、 g 这个算也是等于二、三角，所以它俩相等都是 e 啊。好，所以在这里面它俩相似之后，我们就可以直接写相似比，也就是说 a、 e 去比上我们的 a、 b 是 等于我们的 e、 g 去比上我们的 bc。 而在这里呢，我们要求的是我们的 d、 g、 f 这个三角形的面积，那么很明显我们是可以以 g、 f 为底，然后通过 d 点往上做垂直为高，那么因为本身这个 a、 d 和下面这条线是垂直的，然后平行，所以这也是直角 好，所以我们可以在这里添加一个字母，加这个 e、 g 和 a、 d 的 交点是 m 点，那么因为我们说两个三角形相似之后，它的对应边比也等于它的对应高比，所以我们在这里也会得到我们的 am 去比上 a、 d， 也是和我们的前面这个比值是一样的。好，所以往里面来带一下， a、 e 的 长度是等一， a、 b 是 等五，所以就是一比五的关系 好，所以在这里面我们会直接得到我们的 e j 的 长度是等于五分之一的 bc， 而 bc 长度是等于八，所以就是五分之八，好，然后同理我们的 am 的 长度也是等于五分之一的 ad， 而 ad 是 等于三，所以就是五分之三， 所以现在我们的这个 dm 的 am 的 长度知道，那么 dm 长度自然我们也可以求出来， 那么所以在这里面 dm 的 长度呢，我们就直接是等于 a d， 再减去 am， 然后我们的 a d 长度是等于三， 然后 am 长度是五分之三，所以就等于五分之十二。好，所以也就是说我们这个高就求出来是五分之十二，那么然后我们先要求这个 g f 长度，那么 g f 长度怎么办呢？就用整个 ef 减去 e g 就 ok 了， 而整个的啊，所以我们的 f g 的 长度就等于我们的 e f 去减去我们的 e g， 那 么整个的 e f 长度是等于四，而 e g 是 等于五分之八，所以减完之后就等于五分之十二。 好，所以现在我们的这个点 f g 长度五分之十二，然后我们就高 d m 的 长度也是五分之十二，所以它俩的面积就是等于，所以这个三角形 d f g 的 面积 就是等于二分之一，乘以 f g， 再乘一个 dm 就 等于二分之一，乘以五分之十二，再乘一个五分之十二，那么这个结果算完之后，就等于二十五分之七十二就 ok 了。好，所以第一个我们的这个面积就求出来了，那所以大家来看这里面呢，其实利用的方法，第一个就是我们的这个 三折之后的一个对应边相等，对应角相等。第二个就是利用一个平行的关系得到一个相似，然后求对应的线段长度就 ok 了。好，这是我们的括号一的前两位，然后括号 如图二， e 在 b、 a 的 延长线上， b、 e、 e、 f 分 别交 a、 c 点 m、 n 连接 b、 f、 c、 f， 若给了这么一个条件，角 abf 等于九十度减去角 abc， 那 么通常这种情况下呢，我们可以怎么办呢？我们可以直接把这个 关系给它重新写一下，变成角 abf， 加上角 abc 等于九十度， 也就是这两角互余的关系。然后让我们求 c、 f 的 长度，我们找一下这两个角就是 a、 b、 f 和 a b、 c， 那 么 a、 b、 c 是 这个小角， a、 b、 f 是 整个这个大角，所以在这里面呢，我们可以直接设这个小角 a、 b、 a、 b、 c 是 r 法， 那么所以 a、 b、 f 就是 九十度减 r 法，然后呢，剩下这个小角就是在整个大角的基础上，九十减 r 的 基础上 再减去 r 法，所以这个小角就等于九十多减去二 r 法。好，所以这个角我们可以先给它表示出来，然后本身体干的条件呢，还是翻折，也就是说这里面呢，它还是把我们的 b、 d、 e 沿着 d、 e 翻折得到了 f、 d、 e， 所以 我们这边的 b、 d、 e 这个三角形翻折之后得到了我们的 f、 d、 e， 所以 我们这里面呢，翻折之后，我们的 b、 e 是 等 e、 f， 而同时我们的 b、 d 又是等于我们的 e、 f， 它们两个是相等的。 好，然后本身题干告诉我们说， d 点是这个 bc 中点，所以在这里面我们会得到我们的 b、 d 这条线是等于我们的 dc 这条线，然后翻折又等于 d、 f 这条线，所以在这里大家会发现我们这一个点当中，这三个线段是相等的，所以一下就可以得到这个角是九十度。 这个东西实际上就类似于我们的直角三角形的斜面一半，这个逆推是一样的，因为我们说这两边相等，所以我们说这两个小角相等， 然后同样这两边线段，所以这两个求角也线段，那么这四个角相加是等于一百八十度，所以他俩相加就等于九十度，所以我们会得到我们这里面的这个角 b、 f、 c 这个角就是九十度，然后我们上上面刚刚求完的这个角是等于九十度减二 f， 所以 我们在这里就会直接得到 我们的角 b、 c、 f 这个角就是 r 二 f。 好， 然后本身我们在这边又会得到的是 b、 e 等于 e、 f， 再加上我们的 b、 d 等于我们的 d、 f， 所以 我们又会得到一个关于信息，就是我们的 e、 d 这条线实际上就是我们的 b、 f 的 垂直平行线，所以我们可以把 e、 d 直接延长，我们只是延长啊，延长交在这个 b、 f 上与点 h， 那 么我们就会得到它是垂直线，它是直角， 那么然后我们说这个角是二 r 法，那么这个角自然有只二 r 法，因为我们说这个角是九十度，这角九十度，所以他俩就是平行的关系，所以他是二 r 法，他也是二 r 法啊，所以这角就是二 r 法。那么我们知道了这个小角是二 r 法之后，那么这个角是 r r， 那 所以这个角也是 r r， 所以 我们就会得到这个角，也是 r r， 那么得到这个角是 r 叉之后，那么在这个图当中，其实大家就会发现我们的三角形 b、 d、 e 实际上就是个等腰三角形，那么也就是说我们的 b、 d 这条线就等于我们 b、 e 这条线好，所以在这里面大家会发现这里面又出现了 一个点，然后三条线段又是相等的关系，所以理论上来讲，你把它连接起来之后，它也是直角好。但是在这基础上，我们现在呢要求的是这个 c、 f 的 长度，那么在这里面呢，我们说 b 点是我们的 bc 终点， 垂直之后，那么这个就是一个这 i、 h 点也是个终点，所以我们的 d、 h 长度和我们的 c、 f 的 长度是一比二的关系好，所以我们现在要求 cf， 只要求 d、 h 就 可以了。 那么在前面题目本身告诉我们的是，我们的三角形 a、 b、 c、 d， a、 b 等于 a， c 等于五， bc 是 等于八，那么中点，所以它是四， 也就是 a、 d 连接起来之后，我们前面这个题还是成立的，就是我们这个三角形 a、 b、 b 这个三角形它还是三四五比例， 所以也就是有了阿尔法角所在的直角三边比值就是三四五，这是个很关键的信息。那么也就是说这个角是阿尔法角，它所在的直角层在哪里呢？在我们的 e、 b、 h 这个直角层当中， 所以这个三角形三边比值也是三四五比一，所以阿尔法角阿尔法角所对的边占三分，所以它就占三分。所以在这里面我们可以直接设我们的 b、 h 长度直接就是三 x， 那 么所以我们就会得到我们的 e h 的 长度直接就是四 x， 因为我们这边的 b、 d 和我们的 d e 是 相等的，所以它们俩都是等于四，所以我们的 d h 长度就是等于四 x 再减去四。好，所以在这个图当中，这个角本身九十度，大家就会发现 b h 的 平方加上 d h 的 平方，就等于我们的 b、 d 的 平方，也就是说我们这边是三 x 整体平方加上这个四 x 减四，整体平方是等于四的平方， 所以在这里面我们就出现一个方程了，那么就直接来解这个 x， 就 可以了解出这个 x 我 们结果是等于二十五分之三十二，那么解出 x 之后，那么我们就可以直接求出来我们的 d h 长度， 那么我们的 d h 的 长度就是等于四 x 减四就是等于四乘以二十五分之三十二，再减去四，那么这个结果算完之后是等于二十五分之二十八， 然后我们刚刚已经前面求完了，这个 d h 交线端是等于 c f 的 一半，所以 c f 长度等于 d h 的 二倍，所以我们这个时候 c f 就 等于二倍的 d h， 就是 等于二十五分之五十六，好，所以这个 c f 长度也求出来了。 所以这道题大家会发现中点在于什么？中点在于这个倒边倒角，因为反折，所以全等，有特殊的边有特殊角。而且刚刚我们在前面 讲的过程我们也提过，就是说因为你这三条线段相等，它实际上和我们下面这三条线段相等的意思是一样的， 也是可以连接 c e， 然后这个地方也可以得到一个九十度，那么这个地方得到一个九十度之后，我们同样是可以得到一个特殊的关系，就是我们连接起来之后，这个角是九十度，那么这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法。因为题目本身告诉你 ab 等 ac， 所以这角是二 r 法，那么这个角是二 r 法，这角也是二 r 法，然后这个角是九十度，所以不会得到 e、 a、 c， 这个三角形和我们的 f、 b、 c 这个三角形也是一组相似三角形，所以借助这个关系，大家也可以列出一个特殊的方程来解决这个问题 啊，所以这个时间问题呢，我们给大家分享的只有这些哈，然后大家如果有好的方法，好的思路的话，可以在评论区一起探讨一下。
31初中名校数学真题
07:03查看AI文稿AI文稿考的一模的试题啊。呃，括号一说， ab 等于 ac 等于五，然后 bc 等于个八的是一个中点，然后沿着 d e 去翻折。呃，告诉我们 e f 和底下这个 bc 平行的时候，让我们求证它是一个菱形， 我们知道这个外头啊，它是一个等腰三角形，那这个角是等于这个角翻折过来呢，这个角又等于它， 对吧？然后呢？啊，因为上面这个边和底下平行，那这个角又等于这个，那这个角和这个角相等，是不是这个边和这个边也平行啊？两组边都平行，它就是一个平行四边形，再加上呢，翻折过去 b e 等于 e f， 所以 说它就是一个菱形。 然后杨一帆报一下括号条件。呃，括号二，连接 d j 连接 d j， 然后求三角形的 g e 的 面积，好的， g f 的 一个面积，那首先要知道它的底儿和它的一个高，对吧？ 那么我们刚才知道这个边呢啊，他应该是等于这个边是等于八的一半，得四，那这个边他就是得一，然后底下这个和这个角相等平行，那这块也是一个小的等腰，这就是一个一， 对吧？我们又知道 e f 是 得四，接下来让这个 a 字形三角形 a b c， 这样的话，这个 e g 比上八就应该等于一，比上一个五， 好，就能解出 e g 等于五分之八， e g 要是五分之八，那么 g f 就 等于四，减去一个五分之八就等于五分之二十，减去一个五分之八，等于一个五分之十二， 那是不是接下来就差高了，对吧？那因为这是一个等腰，我们连接一下 a 和这个中点的，那这块就是一个三线合一啊，这是直角，然后就能挣出这个角，也是一个直角。 那我们把这个点设成一个 k， 是 不是？刚才这个相似的话，还等于高之比高就是 a k 啊？比上一个 a 对， 这个是四， ab 是 五，那 a 对， 就是一个三，这样的话就能解出这个 a k 啊，它等于五分之三 a k 要是五分之三，那么的 k 又等于三，减去一个五分之三，就等于五分之十五，减去五分之三，也等于五分之十二， 那这个面积就是二分之一，乘以一个五分之十二，再乘以一个五分之十二啊，结果是二十五分之七十七十二，对吧？好，再来看一下括号三，来，魏子玉报一下括号三，条件 好，那么我们把 abc 这个角啊，给它设成一个 alpha， 然后等幺，这个角也是 alpha， 那 这个角应该是九十度减 alpha， 对 吧？那这底下这个角是不是九十度减去一个二 alpha？ 好， 再继续 求 cf 的 一个场，这里头还有一个重要的大条件，说 e b 对， 沿着这个对 e 给它翻折过来，对吧？啊？那翻折过来我们是不是能知道啊？这个 b 对 啊，应该等于对 f， 然后呢？对，又是中点，说明这两个边也相等， 对吧？那翻折过来之后呢，我们又能挣出这个角啊？等幺，他应该也是九十减二阿法，对不对？这样的话，我们能求出这个外角，这个角应该是九十减二阿法乘二就是一百八，减去一个四阿法， 对吧？那么我们这块是一个等幺，是不是就能解出这个角和这个角相等啊？都等于一百八，再减去一百八减四 f， 然后再除以一个二，所以说这个角是二 f， 然后这个角也是二 f， 对 吧？那现在想解 c f， 然后我们这个边呢？又等于四，那这里头我们需要先看一下这个 alpha 角， 连接一下 a 的 啊，刚才知道这个边是三，这个边是四，这个边是五，所以说我们知道弹进它 alpha 是 等于四分之三，现在啊，我们能不能把弹进它二 alpha 给它求出来得多少？ 这里头啊，需要有一个小模型啊，咱们去构造一个三角形，单拿出来，比如说这个角是阿尔法，这个边占四分，这个边占啊，这个是三分，这个是四分，所以说弹进它阿尔法等于四分之三，那这个是五分， 对不对？怎么去求二阿尔法呢？是不是要找到一个二倍角，我们通常去给它做一个等腰，比如说在这 取一个它等于它。好，咱把这个边长设成 a， 这个边长是不是也是 a？ 然后这个边长应该是四减 a， 在 这个直角三角形中，我们可以列勾五定律，就是三的平方加上四减 a 的 平方等于 a 方， 是不是九？加上一个 a 方减八 a 等于 a 方。解出八 a 等于一个二十五， a 就 等于八分之二十五， 是不是这个边啊？他就是八分之二十五，然后勾股定里就能解出啊，然后这个边应该是四减 a， 四减 a 就是 八分之七， 对吧？那么我们知道这个角就是二 f， 所以 啊，弹进他二 f 啊，他就等于三，除以一个 八分之七，结果就是七分之二十四，对不对？那现在 我们往下去做个垂，因为它是个等腰啊，想解 c f， 老师就解 c q 就 行，我根据弹进的 r， r 等于七分之二十四，然后还有一个 c d 是 等于四，是不是就可以求出这个 c q 对不对？老师把这个 c q 啊设成一个 m， 那 这个边长应该是七分之二十四 m， 根据勾股定律， m 的 平方加七分之二十四 m 的 平方等于四的平方， 然后就能把这个 c q 解出来，对不对？ c q 解出来之后，我们再乘以个二，就能解出 c f， c f 的 长最终是等于二十五分之五十六。
17:39查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪，欢迎大家来到二零二六考前安心课各模块的考前锦囊 数列片能考啥？可能考简单的等差等比啦。呃，可能考数列求和啦。呃呃，你会求什么呀？一会讲还有可能让你去求东向或者跟其他模块综合一下啊。考一个数列的不等式，作为一个小亚洲， 哎，那等差等比公式还用我复习吗？等差向量 a n 等于 a 一 加 n 减一再乘以 d。 求和公式有两个，首项加末项乘以 n 再除以二，或者 a， n 加 n 乘 n 减一除以二再乘以 d。 等比竖列通向 a 一 乘 q 的 n 减一次密，前项和 q 不 等一的时候，是一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 n 次密。再次提醒一下，等比竖列前 n 项和是要分 q 等于一和 q 不 等于，两种情况的不一样， 那接下来两种数列的二阶结论，每一个都很多，但是呢，今天就讲最常考的等差数列，如果下角标 m 加 n 等于 p 加 q， 那 么 a m 加 n 就 等于 a， p 加 a q。 第二个 s g 在 等差数列里面是可以化简的，比如说 s 九，我能写成九倍的 a， a 多少呢？九加一除以二是等于 a 五的。 这二零二三年高考那道大题是可以用这个来做的推导，用这个就能推啊，特别简单，那类似的 s 九十九是九十九倍的 a 八九十九加一除以二加一是一百，一百除以二是 a 五十。就讲这么多， 接下来我们来看第二个竖列求和。除了等差等米简单竖列之外，进阶的你就会三个求和方法，要么错位相减，要么列项相消，要么分组求和，什么其他的分几种。讨论的其实就是分组求和当中的一小类嘛。 首先，错位相减，你会不会我们只有在等差乘等比的时候用错位相减？这新考好一卷大题，好像挺久没考过了是吧？第一步，乘以这个 q， 这三分之一，我就乘三分之一，然后错位未写上下三一呃，五三，它俩差的都是一个常数，把这个常数二提出来， 里面就变成了一个 n 减一项的等比数，这求和了一求和化简完，把三分之二往这边一乘，得到 s， 这就错位相减。第二个，列项相消什么时候列呀？当你发现那一个非常复杂的一个通项公式，它的分母非常明显，有两个相似的一个部分，马上裂开啊，裂完就能做 常见的列项一二三四五六给大家放在这了，考试考不出这几种形式之外的，考出去了也是都是咱之前最后时刻讲过的内容啊。那有关这个列项，咱现在是左右都是完全相等的啊，是等号。那稍微如果考难一点点， 有没有可能在你列项的过程当中加一点放缩嘞？呃，这说不准，曾经的浙江卷特别爱考，所以全国卷今年考不考。我还是讲一下。按理来说， n 方分之一能列项吗？列不了，但是我放缩一下，我把 n 方写成 n 方减一，或者把 n 方写成 n 方减四分之一，它就可以 列项了，因为这不是。呃，平方差公式嘛，都是，对吧。第三个，最难的根号 n 分 之一，它也可以通过放缩来列项。我上下先都乘以二，然后把二倍根号 n 写成根号 n 加根号 n， 那 把其中一个根号 n 改写一下，改成根号 n 减一，或者根号 n 加一， 让它俩差一项之后。哎呦，凑成我们熟悉的形式，分母由里画完就是这个部分，就可以列向相交了， 就提示到这啊，希望今年不考，考了大家就赚下一个竖列求通项，求通项，它的形式太多了啊，今天就讲最常考的四个， a n 加一减， a n 相邻项相减，你累加 相邻相相除，你得成，到现在还不会的，回家吧。第三个，这里面最爱考的，他会把 a n 和 s n 混搭成一个式子，那俩同时出现，你一定要想办法，你要么把 a n 全给我消掉，要么把 s n 全给我消掉。那你想消就得到一个等式来消。什么等式？ a n 等于 s， n 减 s， n 减一， 其中 n 大 于等于二的时候才成立，这很重要。呃，复习一下之前的两个小例子，这不就 a n， s n 混大了吗？怎么办？先把所有的 n 变成 n 减一，那上一项呢？写出来，那我小手写出来， n 减一的时候呢？不要忘了， n 是 大于等于二的，然后上下两式相减， s， n 减 s， n 减一。哎，正好是 a n 啊， a n， 呃， s 没有了，那就只剩只剩 a n 了， 给它转化成了这种形式。哎，这种形式又该怎么做？这叫一阶递推。我们的方法是看好了两边同时除以每一项啊， lambdas 的 n 加一次幂，无论 lambdas 取多少。哎，这次都没用啊， 来就看这，这也比较乱啊，我写哪你看哪就好了。但是 a n 加 a 和 a n 前面呢，有一个系数，我不喜欢这个系数，两边除以这三的 n 加一次幂，这边除完，就是它这边已经有一个三的 n 加一次幂， 然后左右凑成相同结构， a n 三的 n， a n 加一，三的 n 加一，我把它设为 b n， 所以 得到 b n 加一等于 b n 加上这个数，接下来数就变成累加法的题目了，宝贝们可以尝试着自己来做一下化简完这个 a n， 答案是这个样子， ok， 穷乡下，咱就讲这四个啊！我再那我还是稍微给大家拓展一下，谁知道今年它发不发疯，哎，这是等式，如果数列今年出的难一点，它变成不等式了，我说它大于等于二分之一，这个你怎么办？ 我还是可以累加的。如果等于二分之一，那么这个 a n 呢？是等差数列，那如果大于等于或者小于等于，那么 a n， 我 们可以把它叫做类等差数列。 把 n 带成一，把 n 带成二，把 n 带成三，把 n 带成 n， 相邻两项大于等于二分之一，然后左边左边左边加，加完二二约三，三约四，四约，哎，中间好多好多相邻的全都能约掉啊，我约约约，剩的就是 a n 减 a 一， 那它大于等于右边多少个二分之一啊？从一到 n 减一，一共 n 减一个二分之一，加起来我能得到 a n 大 于等于 a， 一 加 n 减一，再乘以二分之一。有没有发现，其实就是把这个等号啊，最后变成不等号，等号之后，这个 a n 等于 a， a 加 n 减一再乘以，这是等差数列，那这不就是大于等于号吗？这种题目经常在数列跟不等式综合的题目当中出现， 那么类似的，如果是相邻两相之比，不是等号变成大于等号了。我也可以用累乘法得到一个累等比啊，这样一个类似的一个熟练等号还是不等号，不影响我的做题方法，只不过是有的时候如果我不讲的话，很多同学在考场上你可能看不出来而已。 ok， 接下来来到立体几何篇。第一个部分，体积得会求吧。简单公式，柱体底乘高，锥体三分之一底乘高抬体。总考的啊，三分之一上底加下底加刚上下上下底再乘以它的高，无论是棱台还是圆台，都适用于这个公式。 球体更不用说了，他他他他太重要了。四派二方是表面积，三分之四派二立方是体积。接下来过一遍立体几何的一个证明，相当于是必考点了。几何法大家必须得会，你不能上来第一问就见线，因为有的时候见不了系类线线平行，如何证明？第一个方法， 咱可用平面几何的知识，不涉及到立体几何，比如说咱那个平行四边形对边平行吧，咱那个中位线，这图形里面又平行吧？或者咱们搞了一个相似出来，又平行吧，或者前两条线平行，后两条线平行，那我一和三平不平行也平行， 这都是平面几何的做法。但是立体几何也有，咱可以利用线面平行来正线线平行，把线面转化成线线。但如果题目当中已经人为的特别好心的出题人说了，这线跟这面是平行的，那我可以过这条线 做一个新的面出来。那不同面之间那肯定是有交线的呗。交线画在这，那我必然能得到我们原来第一开始给我这个线，跟我新做出来这条线一定是线线平行的。 第二点，也是考试当中最常考的平行，叫线面平行，如何正？第一个转化思路，咱可以用线线来正，咱用神奇的小眼睛， 你如果在这面上能直接看出来有某条线跟那条线长度大小一模一样，方向也一样的，换句话说，它能构成平行四边形的。 那你还想个啥呀？我赶紧把这四边形连出来，我只要证明出他左右这两条线是平行且相等的，他就是平行四边形，他是平行四边形，那上下的线就平行了，我就在这面上找到平行线了。当然，书写过程可千万别忘了，咱光且线平行是证明不出来线面平行的，还得加上附加条件。第一点， 这条线在底下，这面上这俩附加条件缺一不可 哦，那如果你在这面上，你发现你找不到跟那大小长度一模一样的线怎么办？咱可以找中位线，或者找相似，咱们在线跟面之外点出一个点，那点非常非常好找，出题人绝不可能为难你。 再把这个点跟这条线段的两个端点分别连接，连接一下，连接两下那两条线，哎，跟我这面肯定是有交点的，咱把这交点连起来，你会发现这道题自动就整完了。这就是你要找的跟那条线平行的线， 咱只需要证明他是相似关系啊，这俩都是终点，或者都是呃，一比二啊，一比三之类的点就可以了。 那当然也存在，有的时候你前两种方法全都用不了了，你无法用线线证明线面，那马上换第三个保底方法，用面面平行证明线面平行。咱这样转换， 咱过这条线做一个新的面出来。怎么做面呢？我教大家讲好多遍了，但是我还想讲，咱就过两个端点，你选任意一个做那面上某条线的平行线，你一旦织出来之后，就出现一二三三点三个不共线的点，就可以形成一个面了。 那因为这个线线平行是我自己做出来的，肯定是平行的，咱只需要证明咱新做出来这条线也跟原来那面上某条线线平行就好了。 两对相交的线线平行，那么就有两对线面，线面平行，那么面面就平行。面面一旦平行，面上任何一条线都跟另外一个面都是平行关系。 所以要点是过这线段的某个端点，做那面上某条线的平行线。有的时候立体几何涉及到你一些结面问题，我们也是这个方法来做。 ok， 那 面面平行怎么证啊？刚才其实已经说过了，我们书上要求大家，也是大家考试的时候书写过程，你得写一对线面平行。第二，对线面平行，落脚点必须落到两对相交的线面平行上，咱才能证明出面面平行 书写过程写的特别特别多啊。第一，你不仅得证明出现面平行，你还得说，哦，这两条线是相交线，它有交点。你还得说这两条线在哪啊？这两条线在那上面那面上这几个附加条件都一个不能少，然后最后才能推得一个面面平行。 那有同学想问，那我怎么正线面平行呀？这不就回到刚才第二个问题了吗？咱一定是在这面上找到跟刚才那两条线平行的线， 咱真正的思路是找两对线线平行，哦，你线线平行，你线线平行，那线面他俩就都跟底面平行，两对相交的线面平行有了，面面平行就有了。 哦，那平行讲完了，垂直嘞，垂直的套路说实话没有那么明显，所以咱在最后时刻也给大家准备了一些垂直小妙招，帮助大家主动的在一些几何关系当中找到一些隐藏的垂直信息。比如说出现等腰三角形怎么办？咱一般来说就连三线合一，取个终点，那么就有垂直了， 出现菱形，哎，我连对角线，这有垂直，那如果出现六十度菱形，大家除了像刚才一样你能连对角线之外，我们往往啊也把六十度菱形看成左右两个全等的等边三角形，等边三角形，那就是特殊的等腰三角形，咱也可以这样做，辅助线 取某个边的终点出来，这里是隐藏垂直的。这里面第三个我觉得也是考试当中大家最需要记住的，如果题目当中那个条件人家白白给你了啊，这俩面面垂直，你咋用？我们一定是过某个面做那交线的， 垂线一做完之后，那么这条红线就跟另外那面是线面垂直关系，那线面垂直之后，我们能得到什么呢？这条线一定跟面上任何一条线他俩都是垂直的，我们最终是由面面垂直得到线面垂直，最终画成 线线垂直。题目啊，几乎有一个算一个，最后的落脚点，大家都得落到线线垂直上去。最后一个小妙招，当如果你发现那道立体几何大题，他那个底面特别特别复杂，大家一定要单独拎出来画，把它变成平面图形，有的时候你会发现它有很多垂直，比如说边长比是一比一比一 比二的等。腰梯形哪有垂直？今天不给大家正了啊，我直接给大家说，对角线一连，这是直角，大家自己正。 你如果出现了一个一比一比二的直角梯形，哪有隐藏的垂直呢？我还是连对角线，这是垂直的， 那再换一个变长，如果出现了一个一比根号三比二的，哪里有垂直呢？这个是比较难的，我先连接对角线 b d， 我 再取 b c 中点，记个大家喜欢的 t 吧，我连接 a t， 大家自己去挣。 a t 跟 b d 是 一个隐藏的垂直， 那最后初中几何我们也学过，那你如果发现啊，这俩三角形是相似关系，这俩角如果一旦相等的话，那十字图形这里面也隐藏着一个垂 直，接下来证明会了，那是不是让你求什么角度啊，或者距离呀？角度我觉得大家都比较熟悉了，他让你求什么？线线角？线面角二面角。我如果通过间隙法的话，其实我们并不是真的直接把这个线线角啊线面角直接求出来，我们求的是向量的夹角， 比如说两条线，我们有可能求的是这个锐角，有可能求的是这个钝角线面角也一样，我并不是真的把这阿尔法求出来，我们真正求的是两个向量加角。哪两向量？一个是线所代表的一个向量，一个是面的法向量的这个加角，或者如果法向量你往下指了啊，那那那这咱求的是这个， 所以发现没，这个阿尔法和这个 theta 其实是一个互余的一个关系，所以我这一个设为 a， 一个为 b。 咱永远先求的是 cosine theta， 用公式它等于 a 点乘 b 除以 a 魔长乘 b 魔长。那我求完 cosine f 之后，跟我人家题目里面那个 r 法是啥关系？这个大家记住了，我们就考察两件事，第一个，前后三角函数变不变名。第二个，整体，你算完那个值是正值还是负值， 你就记住一件事，只有线面角需要变名，啥叫变名？就你，如果人家求对的是这个线面角的塞值，你要写成 cosine f 的。 如果人家问 cosine alpha， 你 要写成 sine theta， 别的线线角和二面角前后这 alpha 跟 theta 之间是不变名的。人家求 sine， 我 就写 sine， 人家求 cosine， 我 就写 cosine， 这二面角也一样。 ok， 这是第一个要点，变不变名我考虑完了。那接下来正负是啥意思？就你想啊，我求完这个两项量假角，有可能是锐角， 有可能是钝角，意味着有些值，比如说这个 cosine， 它有正，也有可能是有负的。但是人家给定的一个 r 发角度，比如说这个线段角或者线段角，角度是确定的，角度确定，你怎么可能又是正的又是负的嘞？所以这个 sin r 发 cosine 法，正负一定是确定的。怎么确定 线？线角也好，线面角也好，这俩角度我都取零到二分之派的第一项线角，第一项线，无论是 sine 还是 cosine， 永远都是正的，我为了保证它最后取正值，我通通都加绝对值。 唯一烦人的就是这个二面角，因为二面角本身有可能人家问上面这个面，它的两面夹角，也有可能问下面这个面，两面夹角有可能是这个锐角，有可能是钝角。那你也别太担心啊，一般来说，百分之九十五的情况考试问二面角这个角度的，他都问 side 值，因为无论是锐角还是钝角， side 值永远都 我直接把它加绝对值。那如果非常不幸的，人家问的是它是 cosine 值，那我就要抱歉了。这正负需要大家结合图形或者结合一些小技巧来主动判断。如果你在图形当中，你看大约哎，他这俩角，他问的是那个锐角，你就取正值。如果他问的明显那两面是形成一个钝角，你就在这取负值 就行了。好了，这是间隙法，求角度，那求距离。很多同学连这公式都背不下来，我再叨叨一遍 距离问题，他考三件事，第一个，他考呃一个向量在直线上的一个投影长度，或者考一个点到直线的距离，或者考点到平面的距离。 直接给公式了啊，没时间推了。如果他问投影的长度，首先我们知道 a p 这向量题目中肯定是有的。魔长我是可以求的，我再把俩线索形成夹角，非它求出来，然后构造一个直角三角形，我把这斜边乘以 cosine， 它 就是我投影的长度。那 cosine 它怎么求来着？用 ap 向量跟这条直线的任何一向量啊，比如说这个单位向量，它俩形成的夹角来求 cosine， 它的势，刚才不刚讲过吗？俩向量分子是数量，积分母是它俩的摩擦。 我的问题又来了，我们在解决距离问题的时候经常会用到这条线呀，它的一个单位向量。单位向量怎么求？我们在这条直线上任取一个向量，比如说一个点 b 吧啊，点 a， 点 b 坐标都知道，向量也就知道了。我们用 ab 向量，你求完这项量的本身，它除以 ab 的 魔长就是单位向量。 所以如果人家没有问投影的长度，问他投影这个向量，问那个向量呢？啊，问的是矢量，你怎么办？ 我们的公式是把这个 a p 点成单位向量啊，作作为一个数，再乘以这个方向上的一个单位向量就行了啊。希望它不考啊。那如果真考了你这公式，你得会下一个点到直线距离。 三维空间里面直接求很难求，我还是构造直角三角形，我在这个线上任意取一个点 a， 你 喜欢谁就取谁。那不又转化成第一个题目了吗？我是不能先找到两个夹角 c 它，那我想求这个直角边。那其实就是斜边平方减投影长度的平方投影长度。哎，刚才算完了是吧？然后你画画减，就得到了这样的一个公式， 用的是一个勾股定律，下一个点到平面距离。呃，直接求的话， a 能不能求？能求集合法等体积来做，那你如果觉得等体积太麻烦了，你如果见好细了，那也可以见细来做平面内任取一个点 a 点到面的距离。这公式大家必须得会啊，你前两个都不会，这第三个也得给我会，因为他的考的概率是最高的。在这三个里面 啊，一般来说是最高的啊。一般来说，别今年考了这前两个。你骂我哈，我怕被骂啊。别骂我们点到面的距离公式是把 a b 向量点成这面的法向量，再除以法向量魔长， ok， 就 复习到这。
5863一数儿的课
14:01查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学刘丹老师，今天我来带大家一起分析一下今天刚刚考完的沈阳渔翁区的这个初三的数学卷，我们一起来看一下这套卷的单选的最后一道题，好一个使会作图垂直平分线和角平分线的画法，我觉得这题考的也挺好的。这小题。 再一个就是这个填空的这小压轴出的也还不错。他给了一个菱形 a、 b， c， d， a， b 是 三倍，刚好三角 b 等于的是一百二十度点， e 在 c d 边上，给了这个一，给到这个长度，我一想到相似的比例对不对？我肯定要做相似，他说 c f 垂直，它这块是直角，那我有几种做法，有好多种做法，那挑几个简单的，我们知道这个角是一百二十度，那旁边这个角是不是六十度？第一种我可以去把这个长度解出来，因为你这块有垂直，往这边做个垂直，这是不是有个八字的相似了？我们解出来这个是二分之 五倍的根号三，这是二倍根号三，这俩三十一相似，他也知道这个数字就可以直接出来了，或者我给他延长，利用下面这个红色的这个八字相似，也可以把它解出来。第十五题也不错啊，来往后看， 这里边的这个第二十题，我尝试做了一下，我不知道这难的程度，挺简单的，以前我们这个大连会有二十六道题的时候，二十四题一直在考动点题，不知道今年会不会考二十一题，这个圆比较简单，正常做就可以了，我们从二十二题开始讲二十二题， 我们来看一下二十二题，二十二题，他说给了等腰三角形，幺是五， d 是 八， b 是 中点一连接，这肯定是三、四、五的一个三角形，他说让你证明什么？证明他是菱形，菱形的判定， 那你看这个翻折，翻折前、翻折后对应的边相等，对应的角相等，这四个边是相等的，这个就可以证明他是菱形了，翻折就有角平分线就可以了。那我们来往下看一下， 这里边还有什么？还有第二个问，让你求证什么？求这个三角形 b、 g、 f 它的面积，求 b、 g、 f 的 面积，那我肯定要以 g、 f 为底， b 往上做垂线为高，我可以先通过 a、 e、 g 和 a、 b、 c 这个三角形相似，把 e、 g 解出来， e、 g、 e 知道，我 g、 f 是 不是就知道了？ g、 f 知道，那我这个高，我在这小三角形里边相似 a、 e、 m 和 a、 b、 d 这两三角形相似，我就可以把这个什么把这个 dm 解出来了，可以最后求出来的话是二十五分之七十二啊。这第二个问题，我们来做一下这道题，他说 b、 e 在 什么 b、 a 的 延长线上， 然后第一眼分别交它一点 m， 巴拉巴拉给了一个这个条件，我们来看下这个条件怎么去处理。他说角 a、 b、 f 等于九十度，减去角 a、 b、 c， 那 我把它移过来，是不是说明它俩加一起等于九十度？我就会想到你这翻折前、翻折后对应的边相等， e、 b 等于 e f， d， b 等于 d f， 那我这个 e、 d 肯定就是它的垂直平分线，如果你一延长，这块肯定是垂直的，我可以把这些角度给它标一标，我看这些图形都是什么图形。我这块设这个角 a、 b、 c 是 r 法，那这个角 abf 是 不是应该是九十度减 r 法？ 那我就知道这 r 法的三角函数值三四五的三角形，对不对？我这一延长垂直，这是九十度减 r 法，这个就是 r 法，这又有一个三四五的直角三角形，那我看翻折， b d 等于 df 等于四，我这个 dc 本身是不是也是四啊？那你看这有三个四，我就可以设， 肯定可以证出来什么？这个角是直角，对不对？你看它俩角相等，比如说二 f 二 x 加二 y 是 不应该等于九十度？ x 加 y 等于九十度，可以证出来它是什么？九十度，如果是九十度，这也垂直，这也垂直。我这里边是不是有相似了？ a 型相似，你看相似比是不是一比二啊？如果我能求出 d h 长，你的二倍是不是 c f 长？所以说我要去求 d h 长，怎么去求？我可以先过点 d 往这边做个垂线，我 b、 d 长是知道的。这个小三角形三四五，它是四，现在占五份，对不对？这个是不是五分之三乘以四， 五分之十二，这就是五分之十六，他俩相等的呀，对不对？我可以倒转，这是 r 和这也是 r， 它是相等的，那这个就是五分之三十二，那五分之三十二，这是相当于是五分，这个是什么？这是不是相当四分？那个你再乘以五分之四，就可以把 e h 解出来， e h 求出来，减去 e d、 d h 是 不就知道了？ b h 的 二倍是不是 c f？ 这个题的话也挺好的啊。第三个问，第二个问的话你要去思考，你发现最开始可能会想能不能有其他的，比如说用相似或者用勾股定律或者啥的也都行。这道题你也可以把 b f 求出来，因为你的 b h 可求 h f， 也可求 b c。 也知道购物经理是不是也可以求这个题啊？可以的。然后我觉得整张卷里边出的比较好的哈，二十三题出的比较好一点，它是有一定的难度的，我觉得跟这个中考的难度程度还是比较接近的。第一个问平移，考了个双方平移正常求就行了， 对不对？然后第二个，当 t 等于二的时候，问你在不在这上带进去，你发现他不在，往哪里带？往那个 y 一 里边去，带 y 一 的解数不在这吗？所以说不相等。咱来看一下括号的圈二，从括号的圈二开始哈。他说当线段 o 撇、 c 撇与线与抛线 y 二有公共点。是， 我想说这 o 撇 c 撇是怎么来的？是不是逆时针旋转的？逆时针旋转，这叫逆时针呐，逆时针旋转九十度得到 o 撇， c 撇在哪呢？我看看啊。 c 点的坐标应该是零到三，对不对？他说 t 点的坐标横坐标是小 t， 横坐标小 t 有 范围，不要忘了这 t 有 范围， t 是 在零到六之间， 这个小 t 在 这呢，这小 t 在 这呢，这是 t 到零，你会去看是不是像在这个三角形，你给他逆时针旋转，逆时针旋转之后，你就可以求出新的 o 撇，这不是互相垂直那么长度相等，那这个长度是不是 t？ 所以 说它的纵轴是不是负梯， 我们去看，往这边去看，他的横坐标是不是也是 t 了？九十度吗？所以说 o 撇的坐标就是 t 的 负 t， 那 我这个 c 撇 c 撇长，这个长度是什么？长度是 t， 那 你这个 o 什么 o b 长是多长？ o b 长是不是应该是三吧？所以我可以把 o c 长是三说错了， o c 长是三，对不对？那就说明这个长度是三，那在 t 往左边走三个单位长度，那这个点的坐标是不是应该是 t 减三？我把 o 撇和 c 撇的坐标全给他写出来了，他说旋转之后的这个 o 撇、 c 撇和这个 y 二和这抛物线有交点，只要有交点就可以了，他让你去求谁，求什么 p 的 取范，我怎么想的？我给他大概图画出来之后，你看这个 o 撇 c 撇是不是蓝色的，这个蓝色要和这个黑色有交点 说明什么？说明你把这个 t 给我带的这个抛物线解析式里边，他是不是大于等于他就行了？ 相当于有交叉，他比他小， 这是不是就可以了？可以再等，因为它只要有焦点就行了。所以我把这个小 t 的 横坐标带到抛物线里面得到它，只要让它大于等于负 t 就 可以了。我把这个 c 撇的横坐标带到这个抛物线减式里边得到它，我只要让它小于等于负 t 的 就可以了。我去解这两个 关于 t 的 不等式。最后取公共的部分，第一个解出来是它，第二个解出来是它。我们画一个竖轴，在 二分之九减刚好二十一到二分之九加刚好二十一之间大一点，你看那你取公的部分是不是应该是这个范围？这个就出来了，这里边 t 是 有范围的对不对？ t 不 可能再往这边跑，不可能和右边这一支有交界，这个是括号二，括号二，括号二的话主要考察这个计算量，还有这个解不等式， 让你直接写出，还能好一点，但是一定要严谨。然后我们来看一下括号三啊，括号三是，嗯，肯定是最难的， 那他考了什么？他又给了你一个新的函数，相当是新定义。他说我们约定图像上 p q 两点之间的部分，不是 p q 两点，是 p q 两点之间。这个跟鞍山那个一模的。最后一道题非常像哈， 而它的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点的最值差。最值差这个知识点也考过类似的，我们称 d、 t、 q。 新函数是什么？ y 一 是 x 小 于等于三，要的是左边这部分，要的是左边这部分， y 一 在左边这部分，而 y 二是大于三大于三，小于六，小于六， 到到这个 d 之间。那我们来看一下他说点 e、 f、 g 在 c 函数 y 三的图像上，他们的横坐标分别为多少？一个是小 m， 一个是 m 加二，一个是四减 m， 其中 m 是 在这个范围， 你是否存在 m， 使得这个 d、 f、 g 等于二倍的 d e、 f 若存在，让求出 m 的 值，若不存在，让你说明了。首先我要去研究一下 这三个横坐标，他大概放进去呢？我知道 m 是 在这里边，那 m 加二是左两边同时加二，大于一，小于三，四减 m， 我 先去求负 m， 再去求加四，它是应该是大于三小于五。那我大概知道我这个一点的横坐标是在负一到 一之间，就可能在这里边，对不对？对称轴不是一吗？ m 一 的对称轴是一哈，然后 m 加二是在一到三之间，这是三 是不是在这里边？在一到三之间，而我的四点 m 也就是我的这一点的坐标在三到五之间，是不是在这里边？那这里边就有一些变动了。什么变动？你 e 在 左边， f 在 右边，那它俩之间 最大值肯定是四，但是最小值是不是看谁离对称轴更远，对不对？谁离对称轴越远，他的这个最小值就是他。那我就想了，他俩谁离对称轴远，我得去讨论一下对不对？我先把这个 y 一 给他打开， y 二给他打开，我把 e 点坐标，哎带到 y 一 里边， f 点坐标带到 y 一 里边， 这一点坐标带到 y 二里边。我全背着，留着一会用怎么办？我看一减 m， 哎呀，我就看这个距离远的时候，这不是到对应对称轴的距离吗？这是不对称的距离。我当我一减 m 大 于 m， 加二再减去负一， 这个是一减 m， 这个距离是一减 m， 这个是不是就是 m 加二再减去一吧，他比他大。我解出来 m 是 在负一到零， 如果 m 在 负一到零之间，你这个 e 就 在这， f 就 在这，那你这个 y e f 是 不是好求 d？ e f 就 好求，是不是用四去减去 e 点的纵轴表， e 点纵轴表在这呢，那我就能求出来它等于这个。 这是第一种情况。我去看什么？我去看我的 f g 对 不对？你这个 g 不是 在三到五之间，在这里面吗？对不对？这里边不要忽略了，我这 y 二还有个最大值， y 值等于四的时候，它 y 值等于一。那我现在想知道，我这 f 我要分两种情况讨论，一种是 e 离这弦远一点，我一会还要讨论 f 离这弦远点，我看第一种情况就是 m 在 负一到零的时候， 那 f 虽然在左边，但是它和这个一谁大谁小，我是不是也要比较一下？那我就要去找到这个借点，这个借点怎么去找？ 我就让这个 y 一 等于一，我去解一下这个 x 值是多少，我这个 y 一 等于一，我去一解，我发现它等于多少？等于根号三加一，我拎那个负的 x 减去一的平方加四，我让它去等于一， 我解出来这块是刚好三加一。那我们来看一下我这 f 点的坐标是不是 m 加二啊？ m 加二， m 是 在负一到零之间， m 加二是不是在一到二之间？那一到二是一定小于刚好三加一的，就说明我这 f 点一定是在它的最大值的左边，就说明在 f 到这里边谁是最大的？ 是不是 f 点的纵坐标它应该是最大的，那你用最大值减去最小值，是不是应该是零？所以我的 y f， g 是 不是就应该等于什么？等于 f 点的纵坐标就可以了？减零零，写不写都行，写不写都行，它给了因为 dfg 等于二倍的 dff， 我 就列一下，我让它等于二倍的，它 把这个 f 把这小 m 解了。小 m 解法有两个值，一个是等于一，一个是负三分之一，但是我是不得在负一到零之间，那我就取负三分之一剩这个舍了。我刚才讨论了第一种情况，就是我这个 e 点离对称轴更远一点， m 点离对称轴更近一点，那我换另外一种情况，就是我的 e 点， 下一种情况就是我 e 点离对称轴近一点， f 点离对称轴远一点，那我这个 y e f 是 不是就等于它最大值是四减去 f 点的坐标，减去 f 点的坐标，就得到这个 d e f 了，得到这个 d e f 了，那我就要去看这个 f 点和 g 点，你此时此刻的 g 是 不是也有变化了？ 哎，是，此时的 g 也是有变化的，他离这块更远，是不是 f 点的纵轴和 g 点的纵轴，他俩谁拉谁腰，我现在不太清楚，或者是去和这个一比较，我也不太清楚，对不对？如果我这个 e 点离这层近，那肯定是另外一种情况，在零到一里边，如果在零到一里边， 我去看一下我这个什么，我这个 g g 不是 四减 m 吗？我的负 m 是 不是应该是大于负一小于零？我的四减 m 是 不是应该是大于三？小于四？大于三小于四，是不是说明在左边这部分？那我就要去看 m 点的纵轴和 g 点的纵轴到底谁大谁小？ 你谁大谁小？那是不是用最大值减最小值就好了？我不知道谁大谁小，帮我做个叉我看一下。我用 f 点减去 g 点，一减完之后等于负二， m 加二 m 是 在零到一之间，那它减它是永远是大于零的，就说明我 f 点它是大的，它是小的。 那你在这一段里边谁是最大的？是不是 f 点是最大的？零是不是应该是最小的？所以我这个 d f g， 你 看它就等于直接就是 f 点的纵轴标就可以了，然后因为它等于二倍的它，我就可以把它解出来了。解出来这个有两个， 一个是三分之二，减去二倍根号三，我是不是要在零到一之间，那我就要它讨论完了，综上 就可以了。把这两种情况都合在一起。第一种情况里边的这个 g 是 在右边，它是在右边，但不影响，因为你的 f 点的纵坐标都比谁都比这个 e 要大了。那肯定你无论你 g 点在左边还是在右边，是不是都是比他大的？这道题看着有很多种复杂的情况，但是你把这个 f 点和 g 点 他们的关系搞清楚，他其实还是蛮简单的。这个讨论的思想我觉得就很接近高中了，因为我就要初高中数学，所以说我觉得函数的这道题出的还是非常非常的好，拜拜。
05:03查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天来继续研究二六年联合体一模的填空题的最后道题。压轴题如图，在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， b、 c 等于三， a、 b 等于五。 将三角形 a、 b、 c 绕 a、 c 的 中点 o 逆时针旋转而发而发呢，大于零小于九十， 得到三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。当 a 撇、 b 撇经过点 c 时， b、 b 撇的长是多少？ 好，拿到题，我们还是一样的，要把一些信息标注到图形当中去，只不过这里涉及到什么旋转，那旋转前后的它的图形应该是全等的，所以对应的线段，对应的角也是应该相等的，所以一定要标注全面。那 bc 等于三， 那 b 撇 c 撇也等于三， ab 等于五，那 a 撇 b 撇也等于五。好，又有直角三角形，那是不是存在勾股数三四五？其实我们就能得到 a、 c 也等于四的在例， 用题目这种条件啊， o 是 a、 c 的 中点，所以说我们应该能知道， a、 o 等于 o， c 等于 o， a 一 撇等于 o， c 一 撇，这四个小星，那都应该相等呢？都应该等于二。好，那这道题的考点是什么呢？就是最近比较热门的旋转相似。 好，遇到旋转相似呢，我们一定要先找旋转角，哪个是旋转角呢？旋转角的定义是什么？对应点与旋转中心所连线的假角叫做旋转角，所以这里的角 c、 o、 c 撇是一个旋转角，还有吗？对了，如果说我把 o、 b 撇跟 o、 b 相连， 这个角啊， b、 o、 b 撇，它也是一个旋转角，所以说我把再把 c、 c 一 撇一连，我们就能存在得到一组相似三角形，三角形 c 相似于三角形 b 撇 o、 b， 因为它们都是等三角形定角相等。 好，那我们再看一下就能得到， c 撇 o 比上 b 撇 o 就 应该等于 c 撇 c 比上 b 撇 b 了。 所以说我们要求啊， b b 撇，其实只要知道其他三组数据就行了，三条线段的，对吧？那么看看已知是哪些呢？好， c 撇 o， 我 们知道的它应该等于二，而 b 撇 o 呢？屏幕未知，但是我们可以利用这个直角三角形，它也等于根号下三方加二方。 好，那最重要的就是一个呢， c 撇 c 的。 不知道啊，那我们现在呢，就主动集中啊，所有的全部精力，我们来求一下 c 撇 c 好， 那 c 撇 c 怎么来求呢？其实眼前的同学就会发现，我们刚刚是不是得到了四组小的线段相等。对了，如果说我把 a、 c 撇 跟 a、 a 撇相连，那其实我们就能知道这个四边形 a、 a 撇 c、 c 撇是个什么？四边形？对了，它是一个矩形，为什么？因为 a o 等于 o， c 等于 o， a 一 撇等于 o， c 一 撇对角线互相平分且相等的四边形就是矩形， 所以我们推出矩形 a a 撇 c c 撇，那其实我们就能知道这个 c 撇 c 呢跟 a 撇 b 撇呢，是垂直的。那所以我们就可以利用我们初中常见的 等积法来求，因为你可以把 c、 c 撇看作我们斜边 a 撇 b 撇上的高。那什么是等积法呢？比如说我现在有一个直角三角形 a b c 好，斜边 a 三的高呢？为 b d， 那 就存在于什么呢？两个直角边的 两个直角边之积应该等于斜边乘以斜边上的高。那所以到这道题来说，我们就可以知道， b 撇 c 撇乘以 a 撇 c 撇，它也等于 a 撇， b 撇乘以 c， c 撇，也就是 三乘以四，应该等于五乘以 c， c 撇 c， c 撇应该等于五分之十二。好了，那现在我们的 任务基本都结束了，我们再把数据带入其中，也就是二除以根号十三，就等于五分之十二，比上一撇 好，那所以我们就能求出 b 撇 b 的 长度，它应该等于五分之六倍的根号四十三。 所以这道题的考点呢，其实就是一个旋转相似啊，他是近几年来中考的一个热门考点，如果说大家还有不熟悉的地方呢，建议多去练习。好今天的讲解呢，就到。
02:52查看AI文稿AI文稿做完二零二六年沈阳市渝虹区的数学区模的考试卷，说一下我的几点感受。首先呢，从这套卷的整体的感觉上来看啊，我觉得应该是更加适合中等及中等以上的学生去解答， 他更能够让不同层次的学生啊，能够发挥出自己的不同的水平。相对于前几天鞍山的市模考试呢，这套卷大家打起来应该会更顺畅一些，他的绝对的卡点是少一些的。 首先呢，在填空题的最后一道题上啊，这个题呢，可以用解三角形，也可以用相似的办法啊，求出 c f 的 长 方法的指向性呢还是比较明确的，图形呢，也比较清晰，正常的话，大家应该不会花费太多的时间就能该能做出来，如果是没有做出来的同学呢，应该是在方法上是有欠缺的。好圆的这道题呢，整体来讲难度不大， 就是没有一个很大的卡点在那卡着你，只要我们好好的标注，把图形中的引含的特征啊标注出来。这个题呢，答起来还是比较简单的。其实原理啊，如果涉及到求弧长或者是求扇形的面积的这类问题，往往难度都不会太大。 好几何的这道题呢，第一问和第二问相对比较简单，第三问呢，有一定难度。第三问啊，他实际上涉及到的基本图形也比较多，他涉及到了一个斜中的直角三角形的问题， 涉及到了等腰三角形的角分线，中线、高线三线合一的问题。最后呢，还涉及到了解三角的方法几何题的第三问呢，有一定的难度， 综合性的也比较强，能够考察出大家的实力和水平来。第一问和第二问呢，就比较平缓，应该是非常多的同学都应该是能答出来的， 所以从心态上来讲啊，大家就应该在答这套卷上的时候，心态应该是比较平和的好。最后一道题，二次函数的这个问题啊，这个二次函数题我觉得出的是非常的好， 我从心里面啊，是非常的喜欢第一问啊，和第二问的圈一和圈二都相对比较正常啊，圈二是一个焦点的问题，出的是非常好， 但是我非常喜欢的就是他的第三问。第三问呢，还是要考察的，大家的思维的含量是比较大的，需要大家有非常强的这种画图标注分析问题的能力 和分类讨论的能力。第三问，通过分类讨论找到 e、 f、 g 的 不同的位置，从而来确定图形的高点和低点，我觉得这是一个非常有意思的一个问题。 建议啊，数学能力比较强的没有做这套卷的同学啊，大家要么整套卷做一下，找找答题的感觉，如果时间不行的话，我建议大家二次函数的题最后一道题要好好的做一下。
124沸点老师讲数学
03:00查看AI文稿AI文稿大鹏老师，今天于永区数学一门高考完，请您给大家分析一下啊！是的，今天家长啊早上刚考完之后就发给我这套卷纸，然后我当时在做那个初三的，呃，三道二三六题刚做完之后马上刷了一遍啊，大概二十分钟啊。十五题，二十二点二十三题做了一下。 呃，十五题的话，这道题主要是考的是减三角形，我们可以就是求谁呢？求那个 a e、 d 的 三角形，求出 a、 e、 d 的 弹力值，那么 ec f 就是 要两角一边就能求出 呃， c f 的 长度了。当然了，也可以过到平八相似至少三四种以上的方法。这道题不是一道什么新题啊，就结合以前的旧题改编的。呃，但这题考的知识点还是比较不错的，重点是以解三角形为主。 呃，这个二十二题出的还是非常好的。二十二，这道题首先的话它正菱形，正菱形的话，根据什么菱形有几个判定呢？三个判定，第一个判定是邻边相等的平行四边形是菱形。第二个判定是对角线互相垂直的 平行四边是菱形。第三个判定是三四条边都相等的四边是菱形。那这道题有折叠过去对吧？那你要得出有两对边相等，那么再加一个平行线 啊，就能得出四条边都相等，所以它这菱形考的非常不错。第二个解三求面积，求面积一定是减三角形的吧，对不对？那么求 f g， 得这个三角形的话，知道两边一角对吧？你可以根据平 a 相似求出 e g 等于 f g， 那 进而我们可以求出呃， f， 这得这个三角形的面积，最后等于五分之十二乘五分之十二再除二，所以这道题的话，主要是考解三角形。 最后一个问，你看，考了一个简单的倒角，就像我之前说的吧，那么这道题的话，它的方法，首先你要注意什么呢？那个是终点折完之后四等于四，终点那个还等于四。三个四是不是得出一个九十度？那么在这个九十度直角三角当中，斜边等于八，还有个九十度， 那如果要求出那个小的角度，也是之三求十二。最后求出这条边的长度等于应该是八，除以二十五再乘七，答案等于二十五分之五十六。所以这道题仍然是以减三二为为主。但是不足之处是什么呢？嗯， 导者考虑太简单了。嗯，好了，我们看一下二十三题啊。这套卷纸的二十三题也非常的好，主要是一个双抛，一个焦点问题，一个新定义加上一个计算问题。这道题也是由某一道题进行改编的，就是我们春季练车第一道题改编的啊， 但他这个考虑的点就没那么负担。他最后一个问啊，你要考虑 m 在 零和一之间，还有 m 在 一和二之间，那你不管 m 在 什么范围之内，在负一和一之间， m 永远小于 m， 加二永远小于四，减 m， 那 么你考虑那个 e、 f、 g 这几个点的那个位置的高度的时候，那么有一个点什么呢？当你考虑 m 在 零和一之间的时候，那么 f 和 g 谁更靠近 b 呢？ 这个首先是拿 f 的 y 值减去 g 的 y 值，它永远都是比零要大的，说明 f 永远比 g 高，所以话要解两个圆方程，那么求出结果，一个是负三分之一，一个是负一，加上三分之二倍根号三，那这套卷。
01:34查看AI文稿AI文稿我们一起看一下余红刚刚考完的一模数学卷的二十二题，直接看一下括号二啊，括号给的是，若 a、 b、 f 等于九十度减去 a、 b、 c， 题中给了角度关系，所以我们可以去设题中的角， 这里我可以设 a、 b、 c 等于 r 法，那么 a、 b、 f 呢？就一定是九十度减 r 法，又由于题中给的什么呢？给的 e 是 射线 b、 a 上一点，它是将 b、 d、 e 沿着 d、 e 翻折得到 e、 d、 f， 所以 我们就能得到这个全等叫 e、 b、 d 和 e、 d、 f 是 全等的，那么如果我们延长 e、 d 交 b、 f 于点 g， 那 么这个 e、 g 是 一定垂直于 b、 f 的。 由于我们刚才进行了标角，这个 e、 b、 g 是 等于九十度减 r 法，那么 b、 e、 g 就是 等于 r 法， 那么 r 法的弹性值我们是知道的，由原体 a、 b 等于五， a、 c 等于五， b、 c 等于八，那么弹性的 r 法就是对应的三比四啊。好，然后我们再利用图中的三比四再去看看到这个角， a、 b、 c 等于 r 法， e、 b、 d 等于 r 法，那么 b、 d、 g 就 等于二 r 法， 然后我们由一倍角是三比四，那么弹性的二倍角就一定是二十四比七。这里如果你不会公式的话，可以去找一找这个公式啊。弹性二倍角公式， 那么我们再利用什么？利用题中的中微线， d 点是 b、 c 的 中点，然后 e、 d 延长线交于点 g， 这里的 g 点也是 b、 f 的 中点，那么我们就能得到一组啊。中微线是 d、 g 平行且等于二分之一的 c、 f， 那 么求 c、 f， 我 们等价于求 d、 g 就 可以了。最后这个 d、 g 呢？我们利用二角公式，这个二十四比七进行一个比例就可以，二 十四比七呢，我们求出 d g 的 长度等于二十五分之二十五，然后 cf 呢？就等于它的二倍二十五分之五十六。
11:00查看AI文稿AI文稿大家好，我们一起来看一下二零二六年春沈阳市和平区九街一模的几何压轴题。 这道题的基础图形呢，乍一看是非常简单的，就是两个紧密相连的正方形。但实际在做题的过程中，很多同学发现括号二的圈一倒角就出现了问题，是因为大家没有找到隐藏的非常深的手拉手模型。那我们就来看一看这道题是如何发现手拉手相似的。 首先第一个问号比较基础，我们来标一下条件，已知条件中给出这个大的正方形边长是三倍根号五。 接下来啊，又给出点 e 呢，是 c 的 中点。第一个问号是具有特殊性的啊，这个是中点，所以我们就可以知道 c e 和 d e 都应该等于二分之三倍根号五。 接下来它把这个 a f 连上了以后，求线段 a f 的 长。第一个问号，辅助线非常好，想求这条斜向线段的长，我们应该把它放到直角三角形中，用勾股定律去求解。所以辅助线就是延长 f e 交 a b 于点 n 啊，那么延长出去之后，我们不难得到啊，这个呃 f n 呢，它就是垂直于 a b 的， 因为是延长出去的嘛。啊， 那接下来我们就可以借助 r t 三角形 a n f 啊，它的这个两边 a n a n 的 长度和对意相等都是二分之三倍根号五。 然后这个呃 f n， 它的长度呢，就应该是大正方形的边长，再加上小正方形的边长，应该是这个呃二分之九倍根号五啊。 那么 a f 就 可以利用勾股定律求得等于二分之十五倍根号二啊，实际上它应该是一个一比三比根号十的直角三角形。 接下来我们看一下主要的难点问号。第二个问啊，第二个问号呢，首先它的线连的非常的多，非常的乱啊。 呃，他把这个 a、 c 和 b 的 连上以后，相交于点 o 了啊，那接着把 af 也连上了啊， af 上一个问号也连上了啊，但是他没有与这个线形成这么多交点，与 b 的 呢，交于点 h， 然后又把 b、 e 连连接并延长，和刚才的 af 交于了点 p。 圈一呢，求，求的是角 a、 p、 b 的 度数。这个问号角，很多同学看到求角度啊，就着急去倒角，在这个途中倒各种三角形的内角和和外角都没有成功啊。那不成功的原因是，如果我们只凭单纯的倒角，根本是无法算出角 a、 p、 b 的 度数的。 括号二当中隐藏着一个关键的模型，那如果导不出来角度的同学，你不妨静下心来去想一想，这个角 a、 p、 b 到底是怎么形成的呢？问号角啊，在这里 它是延长了 b、 e 与 a、 f 交于点 p b e、 a、 f 这四个点很关键，它们是正方形的顶点， 顶点连线之后延长相交。让我们不得不想到一个经典的模型，手拉手模型。 手拉手模型的经典结论就有一个胳膊的夹角，那这个胳膊是什么？就是基础图形顶点之间的连线。所以第二个问号的圈一，他所求的问题完全贴合了我们这个手拉手模型的问题，那我们就要找到图中隐藏的手拉手相似 啊，那这个为什么说是相似呢？因为全等，大家可以找一下啊，这里的全等你肯定得是借助正方形或者是正方形的一半，你找到全等以后，也无法导出角 a、 p、 b 的 度数，所以我们的关键点应该是找到一组手拉手相似， 或者刚开始我们不知道是全等还是相似也没关系，我们顺着这个问题来进行分析。刚才说到点 p 是 怎么来的，是 b、 e 和 a、 f 所交出来的，那我们就看啊， c 点呢，肯定是两个基础图形公共的点了，因为正方形 a、 b、 c、 d 和正方形 c、 e、 f、 g 它们就有这么一个公共顶点是 c 点啊，那这就是我们手拉手模型中的顶头点，它是需要用到的点。那左半部分我们要用到哪两个点？我们肯定是要用到 b 和 a 啊，没有用到这个的，我们就可以忽略不计，倒角时忽略不计，于是我们就锁定了第一个等腰值 a、 b、 c。 好， 那同样的方法，我们也可以锁定右侧的等腰值是谁呢？就是 ef 两个点用上 c、 e、 f。 当我们把 ef 连上以后，大家就会发现，等腰直角三角形 a、 b、 c 和等腰直角三角形 f、 e、 c， 它们的四十五度角顶点是重合的， 于是就会产生一组经典的手拉手相似三角形 b、 c、 e 相似于三角形 a、 c、 f。 当我们分析出这两个基本图形以后，相信所有的同学都会找到这样的一组相似判定定律还是 s、 a、 s 啊，因为我们可以知道角 a、 c、 f 也是直角， 角 b、 c、 e 呢，也是直角，并且夹着这个直角边的两边，它的比例关系是一致的啊，因为这 b、 c 比 a、 c 呢，它恰好就等于 c， e 比 c、 f 都等于一比根号二啊，那这个相似肯定是成立的，相似以后相当于还是去求那个老结论，胳膊的夹角 由相似，我们可以得角一等于角二，然后再找到一个 p 所在的八字形 a p b c， 在 这样的一个八字形中，角 a p b 等于角 a c b 等于四十五度， 所以我们括号的圈一就借助这样的一个经典手拉手相似，完成了角度的证明。我们来看圈二好，圈二当中呢，给出现段之间的这个分数关系，我们看看先根据已知我们能推得什么更深层次的结论。 p f 我 们设为 x， 则 a h 为五 x 啊，那接下来我们想要推出更深层次的结论，就要结合上括号二主题干中哪些条件没用上。 我们会发现，刚才在圈一，我们倒角时只用上了手拉手相似，好像和出题者给的这个 o 点并没有关系， 那作为一道几何压轴题来讲，出题者不可能给我们没用的条件。所以当我们圈想推出进一步的结论时，我们一定要把目光聚焦到这个 o 点上啊，那能推出什么结论？刚才我们连完 c f 以后啊，这个 a c f 呢，是一个直角三角形， 那大家会发现 o 点是 a c 与 b 对 的交点，所以点 o 处也有垂直，那大家就能找到一组平行线，根据平行线分线段成比例定里点 h， 同时也是 af 的 中点，所以啊，我们就可以得到这个 p h 呢，应该是四 x， 这个线段的分数很关键。好，那找到这里，我们这个分数关系已经推的差不多了啊，那出现这种同一条线段上的分数关系，大家会想到什么？定比分点？对了啊，这里的点 p 和点 h 都应该是整条长线段 a、 f 的 定比分点， 所以我们要借助定比分点来构造平行。从中出现的八字形相似，或者是 a 字形相似，那这个平行线已经锁定了，因为线段的端点 a 和 f 它是自带平行的， 谁和谁平行呢？ a、 b 和 f、 g 平行，只不过这个平行线可能不够长，那我们在构造相似时需要将其延长出去，所以大家就会发现过定比分点 p， 其实我们可以构造正八相似，延长 b p 与 g f 相交于点 m。 好，那首先呢，我们看到的是左右的这组正八相似，此时 m f 比 a b 就 应该等于 f p 比上 a p 等于一比九，而我们还知道 a、 b 的 长度是三倍根号五，所以根据这组正八相似，我们可以求得 m、 f 的 长， 它应该是等于三分之根号五的。好，那左右的正八相似我们就用完了。接着我们就可以结合上问题来再找相似了，问题求的是四边形啊，这个正方形 c、 e、 f、 g 的 面积，我们肯定是要求正方形的边长 和正方形的边长有关，还和我们刚刚求出的 m、 f 有 关，大家就会发现上下的这组正 a 相似，所以此时 m f 比 m、 g， 它就应该等于这个 e f 比 b g 好。 在列这组等量关系时，我们发现缺少的就是正方形 c、 e、 f、 g 的 边长，我们不妨设边长为 a， 那 这个方程我们就可以列出来了，应该是三分之根号五比上，三分之 根号五加 a， 经过计算，我们就可以解除 a 方啊。这里其实都不用求 a， 因为他求的是面积，交叉相乘后，我们即可解除 a 方的值等于五。 第二个问号就搞定了。这个圈二呢，还是相对来讲比较好想的，因为知道线段之间的比例关系，我们就可以定比分点构造平行线，构造正八或正 a 相似。
03:52查看AI文稿AI文稿好，我大家我们来看一下今天的这个，呃，和平区的英模考试题，这道题呢？呃，总体来说呢，考的是一个大家比较熟悉的一个模型，但他最后一问呢，有一些的套路在里面。 第一问比较简单啊，因为第一问的话，我们只需要把这条 e f 连延长就可以了，延长到一个焦点，比如说 m 这个点，我们根据它这里给的比例，对吧？ e 是 中点，那就是说这是一份，左边应该两份，这应该也是一份，所以是一比三比根号十这个比例， 所以 a、 f 呢，其实是 a b 的 二分之根号十倍，那么乘上去了以后，我们的这个 a b 长是三分三倍，根号五化简一下，就是二分之十五倍的根号二，它这道题比较简单啊，以送分为主。第二小问呢，也是一个套路问题， 对吧？他想干什么呢？想让我们证明 a、 p、 b 的 夹角是多少度，对吧？好，那我们来看一下我们的这个，嗯，证明的方法就是，首先我们要识别一个简单的，这里面其实有一个旋转相似的成对形，我们可以连上 fc 证明一下，先证明 abc， 显然它跟谁呢？ f、 c、 e 相似，那么根据一钻成双，我们找到另外一组旋转相似。 好，我们把这个对应点连一下，就是 a、 c、 f 这个三角形会跟谁呢？ b， c、 e 这个三角形相似，那么相似以后呢，就能得到什么呢？得到 afc a f 啊， a， f、 c 这个角，或者是得到这个啊，得到这俩角， 其实 a、 f、 c 或者它都可以，如果得到这两个锐角相等呢，我们就可以导通过八字形这里把这个焦点标成 q， 显然八字形可以导出圆圈相等啊，就能导出 a p q 和 q c b 相等，所以 a p q 这个度数啊，其实就相当于是谁呢？ a c b 的 度数就是四十五度。好，这个圈一就证完了，圈一的证明呢，其实给我们后续提供了一个方便，为什么呢？因为我们知道 这里面有个蝴蝶模型，如果 a p q 和 a q c 它俩相似的话，显然根据蝴蝶相似，上下相似， a q 比上 b q 等于 p q 比上 q c， 再根据这个对顶角相等，左右的对顶角相等，我们就可以证明 a q b 和谁呢？和我们的 p q、 c 它俩相似，那么这两个三角形相似的话，就能推出另外一个四十五度了，就是这个 c p q 的 四十五度，可以导到这个 bo q 这里来， 那这样我们整体这个 a p c 就 应该是一个九十度，也就是 p c 跟 a p 垂直，那我们把这个比例再表示一下，这里是一份，这是五份， o 是 终点，所以 h f 应该跟 a h 一 样，所以这个 hp 应该是四分，所以相当于是一个一比九的一个关系。 那么显然根据摄影摄影定律啊， pc 方等于一乘以九，那所以 pc 就 等于三，那这样我们这个分数就出来了，也就是说这里面的比例啊， acfpcf 和 acp 三边的比是一比三比刚好十，所以 fc 应该是 ac 的 三分之一， 对吧，那么对角线是三分之一，那么正方形的边长显然也是三分之一的关系，所以这个我们右侧这个边长就是根号五， 那么根号五乘根号五，面积算出来了，应该是五好，所以整体而言呢，这套题呢，就是比较经典的一些套路化的模型问题，今年中考会不会考这样的问题呢？我们需要拭目以待，但是大家不熟的地方呢？大家需要把这个地方给巩固拓展一下。
131纪博士数学(日常号)
