八年级数学下册华师大版正方形定义
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07:08查看AI文稿AI文稿好的，同学们，今天我们要学一个集万千宠爱于一身的图形，叫做什么？当当当当，正方形终于正式登场了啊，来正方形呢，是啊，非常非常特殊的一个图形，既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形还是特殊的菱形，我们来看啊，它的一些这个性质， 正方形的对边平行，且四条边相等啊，对边平行呢，一般的平四都有，他肯定也有，对吧？而且正方形四条边相等，你从小学就知道吧，对吧？而且四条边相等是谁的特性来着？是菱形的特性来着，他也有 好不好？那么再来，正方形四个角都是直角，你小学也知道呀，对吧？那么角是直角谁的特性？矩形的特性啊，所以我菱形也有，对不对？集万千宠爱于一身啊。那么再来第三个，正方形，对角线相等且互相垂直平分，一个一个来看，先来说对角线相等， 其实你从小学就知道对不对？那对角线相等是谁的特性来着？矩形的特性，然后呢？对角线互相垂直谁的特性来着？菱形的特性来着，所以说之前矩形菱形有的，我正方形通通都有，好吧，啊，通通都有， 然后呢，互相平分，因为平四都互相平分，更何况正方形的啊，对角线一定互相平分，每条对角线平分一组对角，这个也是我们菱形有的，他也有， 好吧，那么在这呢，就特别特殊了，有什么呢？我们来看哈，每个角九十度，画一个九十度，九十度，九十度，然后接下来我们平分对角，既然平分的话，那就是四十五，四十五。好，那如果有这些四十五，有没有发现正方形里四十五特别多？正方形里的四十五度他有病， 有什么病？它有一个病叫传染病啊，它会传染给很多很多人，这些四十五度都会传染，不仅如此啊，我们还发现了对角线互相垂直，所以这些都是什么？同学们， a o， d， c， o， d， c， o， b， a o b， 还有 abc 啊， c d， a， a， b d 啊， c， b， d， 但凡我念出来的三角形呢，都叫等腰直角三角形，这里啊，我就不一一给大家去学了，有众多的等腰直角三角形， 然后还是哈，前面这是我们的边角线，最后是我们的对称性，正方形既是中心对称，又是轴对称好了，而且几条对称轴啊，四条，之前我们举行学的时候是什么呀？是我们这个连接对边的中点的连线，这样的所在直线是它的对称轴， 对吧？然后我们菱形还学了什么呀？是它对角线所在的直线是对称轴，因为我的正方形既是特殊的矩形还是特殊的菱形，所以我是有四条对称轴的， 好吧，我这里有四条对称轴啊，这是我们正方形的一些性质啊，非常的多，非常的，这个隐含条件也很多，大家在读题的时候呢，要看到这么多隐含的条件，尽量多去标一标好不好？而且呢，把这些到底 谁是菱形的特性，谁是矩形的特性一定要搞清楚了，后面我们再用判定的时候呢，也会啊，非常多的。那接下来我们开始练题， 好吧，看你看能不能啊，综合的去应用一下我们正方形的众多的一些性质。我们来看第一题啊，这里有个正方形 a、 b、 c、 d， 既然正方形了，那你赶紧给我标四条边相等四个角相等九十度，对吧？如果给你画对角线，那就不着急了，这有一个对角线对吧？那就四十五、四十五， 四十五、四十五，然后这里还有个等边三角形，你看嘛，哎，都是特漂亮的图形，对吧？等边三角形说明这三条边还相等。既然这边有个正方形，右边是个等边三角形，拼在一起之后，我觉得又来了一个什么图形， 你把眼睛放在 a， 这，放在 b 这，放在 e， 这还有什么图形啊？我说还有个等腰，对吗？是不是啊？这图形放在一起，这还有个等腰三角形啊。然后接下来让我们求角， b、 f、 c、 b、 f、 c 就 这个角度数，这道题一个度数都没给你，就你通过这个正方形和等边的特性啊找就行了。 好吧，因为我们知道等边每个角都是六十度，然后正方形每个角九十度，所以你在这个心形成的等腰三角形 b、 a、 e 当中我们都能看到啊，这里有一个什么呢？顶角 b、 a、 e 是 九十度加上六十度，那就是一百五十度， 所以它的底角 a、 b、 e 和这个底角 a、 e、 b 就是 一百八减一百五，是个三十啊，再除以二，那就十五度，所以我们这里呢有个十五度， 这里呢也有个十五度啊，但是你这个问号角，这怎么办？我这个问号角 f 点在这呢，看到了什么？我刚才那个四十五度有用了吧？是不是这个角 b、 f、 c 啊？是我们三角形 a、 b、 e 的 叫什么外角 啊？是我们三角形这个 a、 b、 f 啊， a、 b、 f 它的一个外角，那如果是它的外角的话，就会等于不相邻的内角的和啊，所以我们通过这个角 b、 f、 c 等于我们的角 a、 b、 f 加上这个角 b、 a、 f， 那 就是十五度，加上四十度就是六十度。好吧，这个题选我们的这个 c 选项啊，好，关键，核心在于什么？你发现了，一，这里有个等腰，二，这里有个外角，好吧，这是我们正方形的性质啊，众多的边角，赶紧给我标上，接着 别着急，再来练一个来，同学们，嗯，我们继续挑战啊，这个让你求边长，会求角了，会求边吗？已知正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是一啊，来一一一，那么根据等腰直斜边啊，通过这我们的斜边，这个 b、 d 和 a、 c 这两条对角线就是一一跟号二， 因为这里等腰值太多了啊，然后连接 c、 e 平分，哦，这有个平分的关系， c、 e 平分，这个角 a、 c、 d 平分呢，就是二十二点五， 对吧？这角平分线的关系啊，那正方形对角线有个交点 o 互相垂直平分啊，边长是一的话，这些像 o， a， o， c， o， b， o， d 你 也知道是二分之根号二，对吧，众多边长都可以求啊。然后这里还有个角平分线的关系，这个怎么用？ 还不知道，一会看一看，求第一的场，求这个的场。好，来吧，接下来啊，角平分线，我之前在这个前面讲三角形视频当中给大家说过，看到角平分线关系，这里经常用四大名辅，对不对？所以说啊， 前面给大家讲的三角形的一些基础知识，在正方形这里依旧非常受用啊，四大著名的辅助线啊，我们有了角平分线，直接来做垂，因为什么？因为这边有个垂， 好吧，因为角平分线一个点 e 已经向这一边做了垂，那我赶紧也向这一边来个垂。做完这个垂之后呢，根据角平分线的性质， o e 和 e h， 它就相等。好吧， o e 和 e h 啊，这个点点边和这个点点边，这就是相等的。不仅如此，这还有正方形很多众多的四十五度， 你们发现做完垂之后，这个 d e h 还是个等腰值啊，看见了吗？同学们，这是个等腰值，所以说这个点点边也跟他们相等。然后呢，不仅如此，这是那个对称型的全等，所以这里的 c h 也等于这里的 o c 等于几？等于二分之二。既然这个是二分之二，那我觉得你的 d h 会求了， 边长是一，所以 d h 就是 一减二分之二，简单吧？然后让你求的 d e， 这是个什么？这是一减二分之二，简单吧。然后让你求的 d e， 这是个等腰值啊，朋友们，等腰值直角边是它， 所以斜边 d e 呢？就是它的根号二倍 d h 啊，前提你要能看出来，那就是根号二减一，根号二减一。这题是我们的 a 选项啊，正方形的性质，一个是求角，一个是求边，把我们众多的这些特殊条件一定要使用起来。
43张华初中数学
04:18查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天学习正方形常见十大模型，第三个模型，同行张等角。好，那么关于这个后面的资料我们老师都已经给大家准备好了，大家评论区扣出六六六就可以领取了。 好，我们来看这个类型的，这个题的模型是形容正方形啊，一是外面一个点给出 b、 e、 d 九十度，那第一个要求正 e、 c 平分这个九十度啊，我们要怎么做？那平分这个九十度，也就是要证明是四十五度， 你要证明他是四十五度，那就要证明四十五度就出现在等腰直角三角形，那么呢我们这个做法就是做垂直和这边延长线相交 a 区。好，那么这里我们就要想证明他是四十五度， 想证明是四十五度，那就是要证明 e、 c、 h 是 等腰直角啊，那么也是我们想正边相等，那于是我们就可以想着看能不能够边锁在三角形全等啊。第一步我们想正三角形全等。 好，我们找一下条件，这个全等有一个是正方形的边相等，正方形边相等，那么都有九十度的情况下，角一和角三是相等，那还缺少一个条件，那么题末单独给的这个条件也要用，是吧？也要用，那么由此的话我们就可以得到这个对角是互补的 啊，这个也就跟上一个模型对角互补有关，它都是联系的。好，那我们说这个对角互补，那他就一定会和他的角相等角相等，那于是角边角就全懂了。 第一个是 e、 d、 c 会全等 h b c 啊，全等之后我们就有 e c 等于 h c， 所以 e c h 为等腰直角，那么就有九十度了 啊，就有四十五度啊，就证明了第一位好，第二位啊，等腰直角之后，第二位 b e 加上 e d， b 一 加 e d， 那 这里有全等的话， e d 就 直接变成了 b h， 再加 e d， 也就是 e h， 它是等腰直角，所以自然就是根号二倍啊，左边相加呢，就是 e h， 它就等于根号二的 e c， 这是第二问好，第三问， 第三问看数据，给了一 d 是 一，给了 a 一 是二倍，根号二求 b 一 的长， b 一 好，那么相当于它给的是一个这样子的图形里面，在这个里面，所以我们要做也是跟它有，跟它，跟题目给的数据要有关，那么这里我们就通过 做一个垂直，和 a 一 垂直， 做一个和 a 一 垂直啊，那么我如果可以的话，那么数据就可以过来全等之后，那这里我们要证哪一个全等呢？那就是 a e d 跟这个有关，全等 a f b 这两个能不能全等啊？那么这两个全等我们也要找一下条件， 条件有哪些？首先正方形的边长是有的，边长有，然后因为垂直，所以这两个锐角是相等，标角二和角四， 那么还有哪个角是相等的，或说边有没有了，我们再看一下啊。第三个的其他的边啊，这两个边，这是我们需要的，肯定没有相等啊，这两个边我们也是不知道，那就找角啊， 那钝角有没有可能相等？有没有思路啊？那另外一个角有没有思路能相等呢？哎，我们看着另外一个角，我们就会发现它存在一个八字形啊，因为这里有垂直，八字形里面有垂直，那这个角就是相等的，所以这里有 这个角呢？角五和这个角角六就相等了。那这里我们就可以证 a e d 全等 af， 所以 那么 a e 就 等于 af 了。那这里就是我们想要的 a e f 为等腰直角， 又一个等腰直角三角形了。好，那等腰直角之后，我们的数据就好算了啊，那 e f 五就等于根号二倍的 a e 也就等于四， b f 等于 e d 就是 一，那结果 b e 就是 相加了 啊，就是结果就是五。好，那么也就是说在这个同旁加等角里面，我们最重要的结论是什么？两个全等啊，一个是这一边和这一边的全等，然后得出一个等腰直角三角形，另外就是它对应在左边做垂直，也可以有个全等，然后也可以得出一个等腰直角三角形。好，收藏，点赞，关注，考试前多看几遍。
784(数学博士)阿丽讲数学
06:25查看AI文稿AI文稿我发现很多同学证明这个四边形问题的时候，过程非常的乱，就写着写着东西就乱掉了，不知道自己在证什么。给大家讲一下我们八年级下半学期一个重点就是四边形的一个证明问题， 尤其是同学们证明一些四边形，比如说 a、 b、 c、 d， 它是一个矩形。大家要大概知道这个做题的框架，就是说你证明无论说是矩形、菱形、正方形也好。你应该先明白其实第一步往往是要干嘛，先证明它是一个平行四边形，那么你再加菱边相等，它就是菱形。 那么如果说三个内角是九十度的这个四边形，它就变成了正方形。那么如果说三个内角是九十度的这个四边形，它是一个矩形。同样， 如果你先证了一个平行四边形，那么你只需要证明还有个内，一个内角是九十度，它也是一个矩形。所以说朋友们要总结一下证明四边形的一些题型，往往来说你证不出平行四边形，或者证的非常复杂，非常乱。 你没有一个简单的框架，就是先证一个平行四边形，然后你再去证矩形或再去证这个菱形正方形，会轻松很多。 咱们一起来看一下我们这个八年级的一个专题，大家如果需要这个八年级相关的复习资料，可以点击视频下方的这个链接。好，那我们来开始看一下。好朋友们，我们来一起看一下这个二十二题。他说在这个平行四边形 abc 中，中对角线 a、 c、 b 相交于点 o， e、 f、 g 分 别是 a、 o， d、 o， 还有我们 bc 的 一个中点连接 d， e， e、 f、 f、 g， 他 说第一问 b e f g 是 个平次边形，第一问我觉得大家都应该非常快，为什么这么说呢？ 因为首先第一点， e f 是 不是中点，所以 e f 是 不是中位线，所以 e f 是 不是等于二分之一的 a d？ 那 么 e f 我 这个是简写，大家自己要去证明 e f 点是中点，所以 e f 等于二分之 a d， e f 平行于 a d。 因为 a d e b c 是 不是平四边形，所以是不是还平行于 b c， 对 不对？所以我就推到了 e f 平行于 b g 好， 那么因为 g 点是不是中点，所以是不是 b g 等于二分之一的 b c 好， 那么是不是也等于二分之一的 a d？ 二分之一 a d 是 不是等于 e f？ 所以 说是不是就推出来了 b e f g 是 平行四边形，是平行四边形。 好，我们再看第二位，他说若 a c 呢，等于两倍的这个 c， 导判断这个四边形 b e、 f g 的 一个形状。好朋友们， 大家想，他让你推断那个逻辑都是这样的，是不是先让你证 b e、 f、 g 是 个平行四边形？题目的逻辑，况且都是这样的，更何况你自己去证明对不对？大家看， 你最终要判断这个 b f、 g 的 形状，你肯定是猜第一反应，要么是矩形，要么是菱形，要么是正方形，那这个题显然显然他画的就不像个正方形或者说长方形了， 对不对？所以你第一反应猜猜是不是可能是菱形？如果是菱形，是不是正菱边相等，那么最主要的我们还是要看 ac 等于两倍的 cd， 你 要怎么用？ ac 是 你其中的一条对角线对不对？那么你就会很快想到 ac 等于两倍的 cd， a c 作为对角线，平行四边形，对角线是不是也有平分的关系啊？所以你是不是还有个条件，应该是 a c 等于两倍的 o c， 所以 是不是推出来了 o c 等于 c d 的 话，是不是一样可以推出来 o a 等于 a boy？ 那 么同学们可以开始标注了，弧角，弧角是相等的，弧角，弧角是相等的对不对？现在我标的这一些弧角，我发现都是相等的关系了。 最终我猜测 b e f g 可能是个菱形，我就要证明邻边相等对不对？好，那么要证明线段相等，我是不是要么通过全等，要么通过什么线段代换？同学们，全等这道题有没有可能实现？你是不是得放在两个三角形里， 而且是含有 b， e 或者 e f 或者 f g 的 三角形里？有的同学就想到了，说，老师，能不能连接 o g？ 我们来一起看看连接 o g？ 老师， o 点是中点，极点是中点， o g 是 不是中位线？对啊， o g 是 中位线，那么 o g 是 不等于二分之一的 cd？ o g 还平行于 cd 没问题。那么同学们就想到了 o g 等于二分之一的 cd， 那 我的 o e 是不是等于二分之一的？什么？ a o 的 对不对？ a o 和 c d 什么关系？是不是相等的？为什么？因为前面是不是证过 o a 等于 ab， ab 是 不是等于 cd？ 所以 o e 是 不是也等于二分之一的 cd？ 所以 是不是 o e 等于 o g？ 那 么我现在就找到目标了，在三角形 e， o b 和三角形 g o b 里面，现在 o e 等于 o g， 我 有了 o b 等于 b o 公共边我也有了，还差一个什么？两边集齐夹角， o g 平行于 c 的 平行，是不是这里也是个弧角？那是不写出来了？角 e o b 等于角 b o g， 所以 这两个三角形就 全等了，所以是不是可以推出来我们要的结论， b e 等于 b g 零边相等的平行四边形，是不是菱形？所以 b e f g 为菱形？好，那么有的同学，老师，我没想到连接 o g 怎么办？ 又没有别的方法了。也有这道题目，其实有个很有意思的地方，朋友们，我推出来了，是不是 o c 等于 c d？ 再看你 f 点是不是中点，那么我们可以选择连接 cf， 构造什么 三线合一，那么 c f 是 不是垂直于 o 倒 c f 垂直于 o 倒格，你发现 r t 三角形，你看在 r t 三角形 b f c 中 g 是 中点，那么所以是不可以推出来 f g 等于二分之一的 波 a， 你 巧了吗？ g 点是中点， b g 是 不是就等于二分之一 bc， 所以 是不是就推出来了？ f g 等于 b g 是 不是又是零边相等？所以这道题有两个方法都可以去整，那么一个就是通过全等，一个通过什么 线段代换，那么这道题如果大家还有不理解的地方，或者说你有不同的方法，可以留在评论区或者在后台私信我。大家如果需要我们八年级即将考试的这个期末复习资料，大家可以点击视频下方的一个链接哦，那我们下期再见！
10:19查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习内容是八年级下册专题，专题二十五，正方形与手拉手， 那在这部分课程中，主要涉及到的是正方形与全等三角形中的手拉手模型，所以还希望如果有忘记的同学再复习一下全等三角形中的手拉手模型，那么在这里就直接应用了哈。首先第一道题， 题目中告诉你的是，在正方形 a、 b、 c、 d 的 纸片上有一点 p p、 a 等于一，然后我们的 p d 等于二， p、 c 等于三。将三角形 p、 c、 d 剪下，将它拼成如图所示 a、 d、 g 的 位置，所以大家就知道，在这里很明显， 三角形 p、 c、 d 全等于三角形 p、 c、 d， 那 就是 g、 a、 d， 对 吧？所以由全等我们就可以知道，所以我们的 d、 g 就 等于 pd 等于二， 那除此之外，我们的角 a、 d、 g 就 等于我们的角 c、 d、 p， 那 所以我们的角 g、 p、 d、 p， 它是不等于角 a、 d、 g 加上角 a、 d、 p a、 d， g， 角 c， d， p 加上角 a、 d、 p， 那 是不就恰好角 a、 d、 c 是 不等于九十度，那它竟然等于九十度，所以 三角形 p、 d、 g 是 不为等腰直角三角形， 那既然它为等腰直角三角形，所以大家就知道我们 p、 g 的 长是不是就等于根号二倍的 p、 d 也就等于二倍的根号二， 理解吧。接着第二问，大家刚刚知道由三角形全等，大家是不是因为三角形 p、 c、 d 全等于三角形 g、 a、 d， 那 所以我们的 a、 g 是 不是就等于我们的 p、 c 等于三？ 这个时候大家会发现，因为二倍的根号二的平方加上一的平方等于三的平方， 所以 p g 的 平方加上 p a 的 平方，是不是恰好等于 ag 的 平方那因此由勾股定律的逆定律可知，我们的三角形，也就是角 a p g 此时是不是等于九十度？那因此我们的角 a p d， 它是不等于角 a p g 再加上我们的角 g p d 等于九十度，加上四十五度，等于一百三十五度， 所以这道题是不就解决了啊？下道题，题目中告诉你，在正方形 a、 b、 c、 d 中点一，在边 c、 d 上点 p 在 线段 a、 e 上，然后 p i 的 长度是根号二， p b 的 长度是二倍的根号十， p d 是六啊，这是二。然后第一问，让你去求角 a、 p、 d 的 度数，所以大家有道题，大家就应该知道，我们可以借助旋转，对吧？将三角形， 将三角形 a p d 绕点 a， 顺时针 旋转九十度，得到三角形 a b p 撇， 旋转的意思跟上一道题是一样的，大家再看此时连接 p p p， 那这里大家可以发现，我们的 a p 撇 p 是 不是一个直角三角形？就跟上一道题跟这上面这一道题是类似的哈，它既然是一个等腰直角三角形，我们可以求出 p p 撇的长，对吧？再利用三角形 b p p 撇， 这个时候我们是不是利用勾股定律的逆定律，是不是也能够证明出来它是一个直角三角形，对吧？既然它是直角三角形，所以角 b p 撇 p 是 不等于九十度，那因此我们的角 a p 撇 b 是 不是就等于九十度加四十五度，一百三十五度， 那由全等，我们是不是就可以得到 a p d a p d 它是不是就等于一百三十五能接受吧？好， 那这具体的正法，嗯，跟上一道题是类似的哈，一个旋转旋转九十度，是吧？ 因为三角形 a p、 d 全等于三角形 a p 撇 b， 那 所以 a p 撇是不等于我们的 a p 等于根号二？由旋转可知，我们的角 p a p 撇是不等于九十度，那所以我们的 p 撇 p 是 不就等于根号二倍的 a p 就 等于二。那接着因为二的平方 加上我们的 b p 撇 b p 撇是不就是我们图中 p d， 对 吧？ 六的平方是不等于二倍的根号十的平方，那所以二是我们的 p p 撇六是我们的 b p 撇 就等于二倍的根号时是我们 b p 的 平方。由勾股定律的由勾股定律的逆定义可知，我们的角 b p 撇 p 是 不就等于九十度，那所以角 a p 撇 b 是 不就等于一百三十五度？因此我们的角 a p、 d 也就等于一百三十五度， 那接着我们再看题目中想让你去求四边形 b c d p 的 面积，那要想去求四边形 b c、 d p 的 面积，我们是不是首先得知道我们的正方形的边长是多少， 对吧？那么接着我们讲到，在墙面中我们是不是得到了角 a p d 这个角是不是一百三十五度？那所以这个角是不是四十五？因此过点 d 做 垂线垂足为点 m， 那 因为角 d p m 等于四十五度。且我们的 p d 是 不是等于六？那所以我们的 pm 是 不等于我们的 dm 是 不等于三倍的根号二，那因此我们的 am 是 不等于我们的 pm 加上我们的 ap 是 不就是四倍的根号二？ 所以在二 t 三角形 a、 m、 d 中，由勾股定律可知，我们 a、 d， 它是不是就等于根号下 am 的 平方加上 dm 的 平方 am 四倍的根号二十六，三十二， dm 三倍的根号二十八 啊，我们得到的就是四倍的根号二十六，三十二，加上十八、四十，那就是五十，五十，我们得到的就是二十五乘二啊！五倍的根号二， 可以吧？那求出来 a、 d 的 长度是五倍的根号二之后，大家此时再看，我们要想去求四边形， 我们的 b、 c、 d、 p， 它是否可以看作是我们的正方形 a、 b、 c、 d， 减去三角形 a、 p、 d， 对 吧？再减去三角形 a、 b、 p， 是不是？那刚刚我们正方形 a、 b、 c、 d， 那 就是五倍根号二的平方啊？减去三角形 a、 p、 d， 那 a、 p、 d 是 不是又全等于三角形 a、 b、 p， 那 所以它实际上是不是减去三角形 a、 b、 p 撇，再减去三角形 a、 b、 p， 那 这个时候大家来看， 这两个三角形是不是组成了四边形 a、 p、 b p 撇，那它是不可以分为五倍的根号二？大家刚刚算出来这是五十，是不可以看作是三角形 b p 撇 p 和三角形 a p、 p 撇，能理解吧？那因此就等于五十乘上奥，抱歉，减去哈。 首先我们第一个我们讲到的我们的 a、 p、 p 撇，那是不就是根号二乘，根号二乘二分之一能接受哈？再减去我们的 b p、 p 撇，那是不就可以看作是 我们的 p 撇 b， 刚求出来是不是六，对吧？我们的屁屁撇是不是二，可以吧？ 所以我们就能得到它的结果应该是十四、三，那我们的面积也就凑出来了。那剩下两道例题的话，一个是跟垂面四平行和一个对称型，全等这个大家看一下答案再具体分析一下哈，我们在这里就不进行多说了，那我们今天就讲到这里，拜拜。
102数学魔法屋
03:59查看AI文稿AI文稿同学们，我们今天来学习正方形常见十大模型的模型。二，对角互补。好，我们来看这个模型，什么是对角互补的意思就是在这里 给了垂直 p 在 对角线上，然后给了一个垂直啊，正方形也是垂直，那么这就产生了一组对角，而这一组对角是互补的啊，那么我们可以得到什么结论？因为这个互补，那么他就和他的角相等啊，这一块我们可以知道，那么这个角度就和角相等， 和股角相等，而由正方形的对称性，对角线左边和右边是对称的啊，正方形的对称性，所以我们可以得到这个角度又和这个角度相等，于是呢，就可以得到我们要求的就由等腰啊，线段相等，由对称呢， p b 和 p d 也会相等。 好，这是一个条件，一个结论，常用的一个结论啊。那另外呢，好，得出这一个了之后，还可以得出什么来，要多得一点啊，多得一点结论。因为是等腰，所以做个垂直， h 就是 中点， h 是 中点，那这个 b 一 就是 b h 的 两倍，那 p f 做个垂直的话，那自然也就是过渡一下，是 p f 的 两倍。 这个结论。好，那么我们用这个模型，不是只用它本身的这一个，那么由这个模型，我们还可以往后继续推理，往后继续推理，那我们就看这个， 这个时候又不一样了啊，这个时候是做的这里做了一个多的垂直。第一个问题， b 一 和 a f 能不能相等？我们刚刚已经证明了，是不是做，你做个垂直的话，那 b 一 就是它的两倍，那自然于是就等于 a f 了， 就等于 a f， 那 么等腰直角三角形就是它的根号二倍。好，那么我还可以推什么出来？在 a f 和 b 一 相等的情况下，于是我们就有这两个线段相等， 那么这两个线段相等，你看我们连起来的，于是这就又又到了十字架模型啊，这两个线段相等，那我们就可以得出这两个线段所在的直角三角形全等，于是就可以得出对角线相等，而且还垂直相等和垂直，这就是连贯性的，就是这个模型，你不能光只记，只记，只记这一个啊，就是它衍生出来的也很有用。 好，我们看这个题，这个题呢，就给了正方形垂直，那么就需要我们证明 p d 和 p e 相等，那跟刚一样的，因为它对角就互补了，我们连结 p b， 这个是角一、角二，我们标上角三和角四，角一和角二互补，角二和角三也互补，所以我们就可以得到角一等于角三，然后这里由对称，关于对角线，这个是对称的啊，所以我们得出角一等于角四， 有对称，我们就有角一等于角四，以及 p d 等于 p b， 那 角一等于角四，这个我们就可以推角一和角三，角一和角四就可以推角三等于角四，于是呢， p b 就 又等于 p 一 啊，最后综合起来， p d 就 等于 p 一， 就是第一位。 好，第二问，第二问，要证明 c d 加上 c e 啊，那我们就要做一下啊，你线段要相加，肯定就是截长不断啊， c d 在 这，那我们就要把 c e 连过来，只有在一条线上才能相加，只有在一条线上才能相加。好， 然后连接，这个是 m 点，所以我们这个是 c m 点，所以我们这个是 c m。 那 c m 是 不是还刚好二倍呢？ 啊？我们这里进行延长的话，那就可以先证一个全等。全等这个条件有吗？找条件，有一个短边相等，还有什么呢？这个我们刚刚是不是也证了相等？第一问已经证了，然后由对角互补，所以这个和它的角是相等，于是就可以得出全等， 这里就可以得出一个 p m d 全等 p c e， 那 全等之后就可以有 p m 等于 p c。 选等之后 p m 就 等于 p c。 而且呢，我们有角度相等啊，有角度相等，我们还可以得出这个是垂直 以及 p m。 垂直 p c， 那 么它就是一个等腰直角，所以 c m 等根号二倍的 c p 证明了这个减等。
729(数学博士)阿丽讲数学
09:55查看AI文稿AI文稿嗯，好，同学们，讲一下这道题啊，这是二五年，去年的我们的林坪区的一个月考题目，最近一些学校也在给学生们做，有同学来问我的啊，非常好的一道正方形的综合的题目， 这题考察了一线三垂直模型，又考察了全等的证明， 当然还有正方形本身的性质，对吧？好，我们看一下题目啊，大家可以暂停读一下题，他说 a、 c 是 正方形的对角线， 然后 o 又是中点， o 是 a， c 的 中点，那么 o 肯定也是 b 道的连线的终点，也是 b 道跟 a、 c 的 交点，对不对？能想明白吧？正方形的性质啊，然后说，正方形的边长等于五， 变长等于五，然后是分别过点 e 是 e， 是 到 c 上面的点啊，一条线分别过点 a 做了一个垂直， 过点 c 做了一个垂直，能明白吗？然后给了两个选项，让我们判断哪个结论是正确的，哪个结论是错误的，我们一个一个看。首先第一个选项啊，他说当 a g 等于四 时， f g 等于一个三，等于一 等一，我们对不对？我们光看这个图的话，好像是不对的，是吧？有的同学不会做，他觉得哎呦，这么长，这不可能等于一的，因为这个长跟这个长好像差不多的，他怎么会等于一呢？但其实是的啊，同学们，第一题就是一线三垂直模型， 我讲一下一线三垂直模型，在这样邻边相等的一个图形中， a， b 等于 bc， 又有九十度，中间任意画出来一条线啊， 那这条线比方说就是 b、 e 吧，分别再过点 a 做一个垂直，垂足为 g， 过点 c 做一个垂直，垂足为 f， 那 么这两个三角形就是全等的，知道吗？ 这两三角就是全等，为什么呢？很好倒角的，比如说角 a 加角一等于九十度，所以角二这个角就等于角 a 的， 对不对？ 那么再加上本身有的九十度，这个角再加斜边，是不是就有 a a s 全等啊？这就叫一线三垂直模型，知道吧。所以放到这个题里面就是什么？ 就是我直接给大家描一下子，就是这个三角形和这个三角形全等，能明白不？ 全等我们看有一个五，有一个四，勾股定力是不是能得到一个 g b 等于一勾股， g b 等于一啊？啊？等于三，我在干嘛？等于三 五四三吗？能理解吧？哎，刚才不好意思鄙夷了啊，这个等于三，然后呢？又因为 a g 等于一个 f b 吧， a g 等于 f b 的， 是不是四减三就等于一了呀？对不对？ 哎，第一，所以圈一就直接对了啊，我就不写过程了，我们看圈二圈二稍微有一点点难啊。 圈二说让我们证明 o g o g 这条边平分角 a g e 的， 那也就让我们证明角一等于角二的，对吧？我们已经知道了，这是九十度，所以就是角一等于角二等于四十五度就行了， 就是证明角一等于角二等于四十五度就行了，对不对？这是我们思路。那这个题该怎么做呢？同学们 该怎么做呢？你看，如果这是四十五度啊，看起来这个边好像这个整个是一个等腰直角三角形一样，如果他是个等腰直角三角形就好了，对不对？那现在不知道不知道怎么办呢？那我再想一想， 我去看一看啊，你看正方形的性质，正方形是非常爱连接对角线的， o 是 中点，你看这边有一个小三角形，哎， 我能不能再连一下 o b 啊？同学们，可以吧，连 o b 之后连 o b 啊。那么则角 a b o 是 不是等于四十五度的 正方形的性质嘛？这是对角线的中点， o b 肯定是平分这个边的，对吧？或者斜中线定的这个边也等于这个边的嘛，也等于这个边的，对不对？这四十五度啊。那然后呢？ 我们想， o b 跟 o c 是 不是又相等的，我连一下子清楚吧，红色边等于红色边，对不对？好，我现在把这个 o g 擦掉啊，然后还有没有呢？刚才我们是不是全等 g b， 这个边等于 c、 f 的， 对不对？ 然后是由正方形的性质得且 o b 是 等于 o c 的， 对吧？那大家看啊，这个边等于这个边，这个边等于这个边，如果这个小角等于这个小角该有多好呀，我们就能证明这个三角形跟这个三角全等啊，对吧？ 全等之后，就这个边等于这个边等幺三角形，等幺三角形再证明九十就行了，对不对？能不能证明这个角， 大家瞄一下这个角，我说这角三角四呢，角四相等吗？可以的，同学们，看我怎么证明啊？刚才全等啊，这个大角是不等于这个大角的， 是不是也是由一得全等啊？角 a、 b g 是 等于角紫色的啊， b c、 f 的， 能明白吗？这角等于这个角的，又因为这个角是不是也是四十五度的呀？ 又因为角 a、 b、 o 等于四十五度，当然也等于角 b、 c、 a 紫色角啊，这四十五度，这四十五度是吧？是不是坐差？所以角这个大的 a b g 减去四十五，是不等于这个角减去四十五？ 角 a b g 减去角 a b o 等于角 b c f 减去角 b c a 啊，即角三等于角四，明白不？ 那这个时候是不是再往下就可以 s a s 得三角形 obg 全等于三角形 ocf 了？我给大家描出来啊， 是不是现在两个这个紫色的三角形全等了，全等之后就可以得到？所以啊， o g 这条边是等于这个边的， o g 等于 o f 的， 明白吗？ o g 等于 o f 之后还能得到什么全等吗？我再标一下，角五是不是等于角六的？本身 o b 是 不是垂直于 o c 的 正方形的性质？角五等于角六的这九十度，那中间这个白色加角六是不是也等于九十六的 九十度的，对吧？因为这个地方角五等于角六的，因为全等嘛，然后 右角五加上角中间这个白色的。我说这个角标一个角七吧，角七等于九十度，所以角六加角七也等于九十度，是吧？即角 f o g 是 不是等于一个九十度？ f o g， 对 吧？这是 g 啊，等于九十度，那所以角二不就等于一个一百八十度，减去角 f o g 除以二吗？是不等于四十五度啊？ 问题就得到证明了，能懂吗？再说一遍好不好？连接连接这个边， 然后这个边等于这个边，然后根据第一问的，全等得到 b g 等于这个边的，然后这个大角等于这个角都减去四十五度。四十五度，所以这个角三角四 s 得到紫色三角形全等全等之后，这个边等于这边等腰出来了，角五等于角六的， 角五加角七等于九十度，所以角六加角七等于九十度，所以这是个等腰直角三角形四十五度，能明白吗？这道题比较难啊同学们，真的比较难，好好看一看好不好？
29浙江数学李
02:27查看AI文稿AI文稿好，同学们，今天我们来学习正方形常见十大模型的最后一个出现的根号二的问题了。好，关于这个资料老师已经整理好了，同学们可以在评论区扣出，一一一进行领取。好，我们看这一个题， 正方形，然后 d e 和 d f 垂直，其中 m 点为中点，中点，然后让求证 d f 等于根号二的 c m。 好， 那么这个中点我们能够想到什么？同学们，中点，我们在全等里面会想到什么？对，长中线 啊，中点，学着我们的学习的知识增长后来出现在哪里？中微线里面还会出现在哪里？容易遗忘的直角三角形里面，我们有直角，三角形，斜边上，中线是斜边一半，所以这个中点的用法常考的就是这三种啊。那么这里首先它出现了根号二， 那么我们就要有等腰直角才会出现根号二，要求证明 b f 在 这等于根号二的 c m。 好， 那么我们可以做，而且 m 还是中点，一个中点不够啊，如果要有中微线，一个中点不够啊，所以呢， m 是 一个中点的情况下，我们还需要一个中点，所以我们可以取， 这里取 n c 等于 c 一。 好，那取了之后呢，我们就可以得到它是中位线了，等于两倍的 c m， 两倍的 c m， 那 如果要产生根号二，是不是要证明它是一个等腰直角，那现在我们还不确定这是一个等腰直角啊，就要证明边相等，然后得四十五度。那么题目中还有条件没用，这里有垂直，那在正方形里面是不是可以成三角形全等呢？尝试一下，条件 垂直，所以呢，角一和角二相等正方形，所以它的边是相等的，然后再加上都有九十度，所以就可以全等它 a， d， f 全等 c， d 一， 于是对应边就相等 a， f 和 c 一 相等，和 n， c 也相等。正方形的边里面，短边相等，那长边是不是也相等了？ 有 c， e 等于 c n， 所以 我们就可以得出 b f 等于 b， n， 所以 它是四十五度，所以 f， n 就 等于根号二倍的 f b， 那 么这两个结合在一起，于是根号二的 f b 就 等于两倍的 c m， 根号二除过去， b， f 就 等于根号二的 c， m 就 走完了。好，那么以后碰到这个中点，我们一定要多思考几次啊，多思考这几种，然后根号二也会多出现在等腰直角四十五度。同学们可以点赞、关注、收藏，考试多看几遍。
194(数学博士)阿丽讲数学
03:57查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天学习正方形常见十大模型的模型期，一线二垂直的情况下够垂直，那么我们也会和第六个模型做一下比较，什么时候够三垂直，什么时候够全等。那么关于这个题型，老师已经整理好了，大家在评论区扣取六六六就可以免费得到了。 好，我们来看这个题，给出一是正方形边上一个点，然后给了一个垂直，另外给了四十五度，那么按照我们一般的做法，我们想考虑一线三垂直，于是我们就做个垂直，那么做垂直的情况下，我们能不能挣全等呢？ 这个全等我们可以找一下条件，看够不够。条件锐角角一和角二可以相等有九十度，那有没有边呢？看长边能不能相等，短边好像也不能，斜边好像也不能，所以这个时候我们就不能用上一个模型的一线三垂直来做 上一个一线三垂直，是因为他不仅给出垂直，还给出了边相等，才可以全等。好，那么对这个不不可以的情况下，我们来看像这个一般两种，一种呢是 a、 e、 f 垂直在同侧，所以我们就向那面切割一下，就可以证明三角形全等。 第二种呢，那就是这个垂直在三角形外一侧啊，一侧上面一个，下面一个，那么我们就是在外面给他，也是相当于延长一下，于是做三角形全等。好，那我们看这个题，那于是我们切割一下，切割一下取的是边相等， 边相等，于是就有四十五度，那接下来我们能不能证明三角形全等呢？找条件， 条件里面角一角二角三，我们推理一下，这个时候角一加角二就是一百八减九十减四十五乘以四十五度，角二加角三就等于外角四十五度，所以这个时候角一等于角三。另外呢它们还有一个钝角相等， a、 n 一 和 e、 c、 f 是 一百三十五度，那么我们取的是这两个短边相等，那么在正方形的话，那么另外两个边也可以相等， 所以三角形就可以全等了，这个是我们正的好，那全等之后就立马用用它的对应边相等，那自然就等于根号二倍的 b、 e 就 做完了。好，第二问，第二问是正方形给出一和二，求 d p 的 长， d p 的 长，那么在第一问的基础上面，我们证明了什么？第一问的我们证明了全等全等之后，于是呢我们就可以有 a、 e 和 e、 f 是 相等， 那所以这就是一个等腰直角，那么我们可以标注一下，我们可以推出 e、 a、 f 等于四十五度，也就是这个是四十五。那么看到这我们想到了什么？想到了上一节的夹半角模型。夹半角模型怎么做？ 将这一个旁边的一个三角形进行一个旋转，九十度是不是旋转或延长都可以，然后我们就照着写 h， 那 么这个夹半角两个全等，要记住，第一个本身全等，第二个四十五度的两个三角形全等，这是我们常用的好，第一个全等比较容易，那我们就主要证一下第二个全等。 好，我们正一下这个，这个就涉及到角度啊，在这个里面，角一加角二就等于九十减四十五，四十五度，然后因为一和三相等，所以二加三就也等于四十五度啊，这个也是四十五度了。角度相等， 那么因为第一个全等，我们有边相等，然后还有公共边，所以 a h 一 全等， a p 一， 所以就有边相等了， 是夹半角，我们就先证证两个全等，全等之后把它的结论写出来。那能不能用就来看了。好题目，求 d p x 这边 x h e x 加一，这一边就也是 x 加一， 正方形边长三，这一边三减 x， 于是就可以用勾股定力了。 p e c 直角三角形中二的平方，三减 x， 平方等于 x 加一的平方，计算完就可以结束了。 那么这个就是他是一个构造全等啊，不能够用三垂直，不能按照我们的想法。然后呢，里面掺杂了一个夹板角的模型。好，那么请点赞、关注、收藏，考试前多看几遍！
203(数学博士)阿丽讲数学
06:13查看AI文稿AI文稿我们今天来学正方形常见十大模型，第四个夹半角模型。好好，我们看到第四个模型是夹半角模型，那么它会有一些什么样的结论呢？我们来看这个题，很明显的是在正方形里面夹四十五度，那么第一个呢？证明 e f 能否等于 b e 加 d f 啊？那么夹半角模型我们的做法，我们是你将这个三角形把它转到这一边来，你通过是旋转或者是通过延长得到它是全的也是可以的啊，或者说我们可以把整个直接转个九十度过来就可以。好，所以我们把它转过来， 那么就得到了它自己本身是全等的，或者说第一个我们也可以做 m b 等于 d f， 所以 得到第一个全等。 a d f 和 a b m 夹半角每一次都是优先是两个全等，第一个小全等，第二个大全等，那第二个是什么呢？那就是跟四十五度有关的，那就是这个三角形和 am 一 的全等，不管结论要证什么，两个全等都先写完好。那第二个全等的条件是什么？我们来找一下， 第二个全等有公共边，然后有第一个全等里面的边相等好角度，这就是为什么夹半角，它的角度就在这里，我们标上角一、角二、角三， 那么这里角一和角三是相等，因为是全等，然后角一加角二，我们可以看到是用九十度减四十五度，因为他夹的是四十五度，所以等于四十五度，那么把角一换成角三，所以角三加角二也等于四十五度，也就是这个也是四十五度，所以他就是边角边全等，第二个全等 f a 一 全等， m a 一， 第二个全等啊，一定是两个全等做完，做完之后啊，第一个结论就很简单了，所以 ef 就 变成了 m 一。 m 一 呢，是两个线段相加，其中 m b 是 可以换成 d f 啊，第一个结论就做完了 啊，就是这个和它相等，然后呢，这边是两个线段，两个线段其中 m b 是 和 d f 换掉的啊，这是第一个，第二个我们再来证第二个结论，第二个要证明 e a 平分，也就是这两个角相等，那这个很自然，因为全等啊，所以这两个角肯定是相等，角四肯定是等于角五啊， 啊，因为这个全等，所以角四等于角五就整完了。好，下一个结论让我们证明 fa 要平分角 d f 一。 哎，这个怎么证 啊？这个怎么正好，那这里老师讲，我们要正角平分线，那是不要用到角平分线的性质。角平分线的性质是什么？角平分线的性质就是角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以要用到它的性质啊，不是说干着急坐在这里不看只看啊，要想到它的性质，到两边的距离相等。好，现在到边的距离 要到边的距离这里有了，这边的距离有了啊，到这个两边，那这一边的距离是不是还没有我们做一个垂直 h。 好， 那能不能相等呢？ 那这里我们这个就是因为我们正的这个全等，由第一步的全等，我们就可以得到对应边上的高是相等的，或者是说因为角四和角五相等，所以到两边的距离相等，所以很明显我们就可以得到 a h 等于 a b， 而 a b 是 正方形的，边长就等于 a、 d， 那么到两边的距离相等了，所以就可以平分了，这个就平分了。好，第一个小问就挣完了。好，那么到了第二个小问， 第二个小问呢？他的问题就是，哎，这个到延长线上，你说夹四十五度，现在夹到外面去了一部分，我们把这一种叫做夹全部，就是全部夹在里面，这种我们叫做夹部分，那么夹全部我们就是在里面截取 啊，那也就是说我们还是有要有这个 a、 d、 f 这个直角三角形，那我们做的话就在里面进行截取这一段啊，又或者是说我们直接将这个三角形转九十度，你也会发现它在里面，这个是九十度啊。所以 a、 d 转成 a、 b， 那 a、 f 就 转到这里来了，仍然保证垂直， 所以你用截取，用旋转都可以，那这里我们就做第二个，那这个是做 bm 等于 d、 f， 那 么做了这个首先可以保证它自己是全等一个小全，等第一个小全等之后，那我们就要争第二个， 过程都和它一样，因为我们写的字母是一样的啊，你看这里我们写的字母是一样，那么过程一样，那么这两个全等也会是一模一样，那我们就来争第二个全等，第二个就是 f、 a、 e 和这边的 a、 m 一 全等。好， 全等我们就要找条件啊，条件仍然是有一个边相等啊，有第一个全等里面的，我们可以得到边相等，还有一个是公共边，好找角度，角度呢，我们仍然标上一、二、三，好，这边标一个四， 那么这里有什么？他夹四十五度，这个就四十五度角一加角二是四十五度，就是四十五度，角一加角二。好，那么其他的我们再来找一下，因为第一个圈的我们有角一和角四是相等， 所以角一换成角四，角四加角二就四十五度了，角四加角二就四十五度，那角三等于什么？角三等于九十度，减去角二，减去角四，那就也等于四十五度，所以角三这个是四十五度，那是不就可以全倒了啊？条件就够了，所以就可以全倒，而且这个全倒和它是一样的，可以直接用过来。 好，全倒之后它要正三边的关系，那这三边最长的是 b 一， 它要和 e f 和 d f 的 数量关系，那我们就由最长的开始，最长的就是 b 一， 所以选三边的关系。 b 一 换成什么？ b 一， 它本身就是 b m， 本身就是 b m 加 m 一 好，我们就写 b m 加 m 一 好， b m 换成什么？ b m 由刚刚全等换成 d f m 一 呢？ m 一 由刚刚的全等换成 e f， 所以就写完了，就证明完了。那么这个夹半角我们以后就知道了，他一定是两个全等，一定是两个全等，一个是我们自己做的一个小全等，还有就是一个我们正的综合性的三角形的一个大全都是这样。另外呢，要注意一个是夹部分的题型，以及夹全部的题型和夹部分的题型。好，请点赞、关注、收藏，考试前多看几遍。
03:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天来学习正方形常见十大模型的模型。一、十字架模型，我们来看十字架模型呢，就是在正方形里面， 正方形里面，然后这里有两条线，它是垂直的，那么我们就可以正出对应的三角形是全等，于是就可以得到线段相等， 那么如果这条线是垂直，但是这条线没有和边挨在一起，那么我们就可以把这条线 f g 可以 进行平移一下，让它和边挨在一起，那么就转换成为和第一个图形一样的，可以正直角三角形全等。 啊，那这种形式，你看这两条边，他都没有和正方形的边挨在一起，所以但是他也是垂直的，那我们就可以做直角三角形构造，直角三角形也是可以全等，那么全等之后也可以得出我们的结论。 好，现在我们来看第一个题，第一个题给了正方形，给了 c、 e 和 d f 相等，然后问这个 a e 和 b f 能否相等？那因为是正方形，这两段相等的情况下，那么长一点的线段也是可以相等， 所以呢，如果要证 a 一 和 b、 f 相等，那么我们就证 a 一 所在直角三角形和 b、 f 所在直角三角形全等就可以了。好，那我们看啊，我们要证这个以及 这个是全等的。找条件，我们刚刚已经有了个短边相等，正方形长边相等，而且还各自有九十度，所以它就是可以全等的了。 a、 b， f， d， e， a 啊，全等之后就有对应的边相等，第一问就结束了。好，第二问，第二问给了边长为四， c e 是 一，那这个就是三，因为全等，这个也是三。 好，那么怎么求 a h 呢？这个我们刚刚只得出了这两个线段是相等，两个线段相等，但是它没有让我们正这两个线段垂直，那这两个线段是否垂直呢？那这时候我们就要自己思考这个模型，正方形的十字加模型，那么垂直和相等都是存在的， 我们可以通过垂直推出相等，也可以通过相等推垂直，所以这个时候我们就要用我们的熟悉度，因为它是可以，我们是可以证明垂直的，通过角度，角一，角二， 角三啊，这里角一加角二可以是九十度，因为全等，所以呢角二和角三是相等，那么角一加角三就也是九十度，那于是我们就推出来了垂直，这个垂直就很重要， a h 垂直 b f， 那 这样垂直就求这个斜边上的高，那我们就可以做了这个三角形直角，三角形三四，这个边就是五，那我们就可以通过等面积法 来求三角形的面积，底层高除二是它的面积，换一个底层高也是可以的，五乘 a h 除以二也可以，所以 a h 就是 五分之十二就 完了。那么这个模型呢，它是在中考的填空选择里面经常会出现啊，会让我们求边长啊，求线段长度，那只要是认出了这个正方形十字加模型，那不用复杂的推导，我们直接套剪就可以很快的做出来了。好，大家点赞收藏，多看几遍。
374(数学博士)阿丽讲数学
01:57查看AI文稿AI文稿我们今天来学习正方形常见十大模型的第六个模型，一线二垂直，然后再构造三垂直。我们来看这个题，一线二垂直，也就是说目前这根线上只有二垂直啊，只有两个垂直，那就是题目给的这一个。好，那这里呢？给的条件是 角度是九十度，还给了 a e 等于 e f， 那 其实我们碰到这个又垂直又相等，那一定是三垂直，所以做的话是往外延长，然后做垂直啊，那么我们就可以有全等直角三角形全等。 好，那这个拳头我们找一下条件，首先有九十度有边相等，题目给了的， 然后角度标上角一角二，角三就可以了，角一加角二九十，角二加角三九十，所以一个三相等， 于是就有 a， b， e 全等， e， m， f 啊，那全等之后，我们就要找立马用它，你不要全等之后就停下来了，我们挣全等的目的是用它，用它的什么？用它的对应边相等，用它的对应角相等，那于是我们用它的对应边怎么相等啊？我们一个看长边就和长边相等 啊。对应边，长边和长边相等，那因为 ab 是 正方形的边，所以和 bc 也相等，那这里我们就得到 e m 和 bc 相等，那这两个相等的情况下，都减去中间公共的，那这两边是不是也相等了？所以我们这是由对应边得出来的， 那写一个全等之后，所以就由对应边 e m 和 ab， ab 和 bc， 然后都同时减去个 e c， 左边减个 e c， 右边减个 e c， 那 于是就得到 c m 和 b， 也是第一步相等了， 这是我们两个相等啊，这个一定要推理的很清楚啊。然后因为全等呢，我们又有一个对应边相等，哎，因为全等，还有一个对应边相等啊，这个对应边也是相等的，用上去啊，有 b 一 呢，也等于 f m， 所以 你看这两个就相等了。 f m 就 等于 c m， 于是就有四十五度了啊，第一问就做完了，四十五度 好，第二问第二问就可以横写他既然是等腰直角，那就等于根号二倍的 f m。 f m 呢？和 b 一 相等，直接划过去根号二倍的好。
354(数学博士)阿丽讲数学
00:39查看AI文稿AI文稿八年级的同学们有没有发现最近我们四边形里面的一些难题都集中在正方形为背景的大体，我们一定要熟练的知道五大正方形的模型。比如说第一个就是我们的对角线上面有一点他带来的两幅 模型图，两种图像做法。第二个就是我们的最最经典的正方形里面的十字圈的模型，也叫十字模型。 第三个就是我们正方形里面放一个等边三角形，以及正方形的外面放一个等边三角形。最后一个就是正方形的外面和里面放直角三角形的时候，你分别要想到什么？尤其是最后一个放直角三角形的时候，大家一定要想到我们的弦图，照准弦图。
33南京数学王超老师
11:22查看AI文稿AI文稿同学你好，很高兴为你讲解这一题。这一期呢，我们来讲解矩形、菱形、正方形当中求定值的问题，哎，是个综合型的问题。 这个求定值问题，什么是定值呢？就是说在这个题目当中，无论它旋转呢？你比如咱们第一问它有旋转，第二问呢，它是动点，就不管我怎么题目当中条件怎么动，哎，怎么变化，那我这个结果它是定值，也就是它结果不变的意思。 你比如像第一题，他说啊，如图边长为定值的正方形 a、 b、 c、 d， 就是 说我这个正方形 a、 b、 c、 d 的 边长，它是不变的啊，是个定值。 他说这个正方形的中心，哎， a、 b、 c、 d， 正方形的中心与正方形 e、 f、 g、 h， 它的顶点 e 重合，什么意思呢？就这个点 e， 它既是我这个三角形 a、 b、 c、 d 的 中心，中心就是我这个点，哎，到我四个顶点的距离相等，哎，这是这这中心，而且这个点 e 呢？还是我这个正方形 e、 f、 g、 h 的 一个顶点，哎，这是第一个条件。 然后呢他就说，啊，什么且与边 a、 b、 b、 c 交于点 m、 n， 这个不重要，他说什么呢？阴影部的面积即为 s， 现在阴影部分面积就这个四边形 e、 m、 b、 n， 这个阴影部分面积面积是记为 s 两条线段，这个 b、 m 和啊 b、 n， 它的长度之和记为 l， 两两个变量，对吧？然后呢他就说，哎，哎，两两个，两个符号，两个变量。他又说什么呢？将正方形 e、 f、 g、 h， 他 是绕点 e 逆时针旋转的，哎，绕这个点，这个正方形他是转起来的，旋转的。然后呢他说适当的角度则有， 你看 a、 b、 c、 d， 它又在说我这个阴影部分面积 s 和我这个 b e m 加 b n 这个长度之和是怎么？是变还是不变？就是，是不是定值的问题。 首先你看啊，这里呢，我们连接了这个 e b 和 e c， 当我连接 e b c 的 时候，你可以想象成什么样子呢？ 就是它在旋转的过程中，它转到什么位置呢？就是这个 ef， 它和我的 e b 重合啊，我的这个 e e h 和 e c 重合，它转到大概是这样的位置的时候，嗯，好，那转到这个位置的时候，我就连接我的 e b 和 e c， 我给它放大一下。啊，好，这里呢，我为了方便表示，我标了个角，角一，角二，角三，看到了吧？嗯，那这三个角看好了，我可以去证明这三角形，哎，这个 b e m 和这个三角形 c e n 这俩三角形可以正全等， 对不？那那有什么条件呢？首先，因为点 e 是 中心吗？所以我的 e b 就 等于 e c 这一个 s 找着了，对吧？ 还有呢，看好了，我这个角和这个角是相等的，怎么相等呢？你看你连出去，连出去，哎， 这样子，这样，那我这个角四十五度，这个角是不是也是四十五度啊？所以这俩角相等，哎，找到了一个角，找到了一条边， 那另外呢，就是我标这个角一，角二，角三，这，这里了，看好了，角一加角二是九十度吧，角三加角二是不也是九十度，所以角同角互余，那相等的角互余，同角互余，那我这个角一就等于角三， 好，那是不是就是我的 a s a 啦？这俩三角形全等。这俩三角形全等之后呢？第一部分我们就可以知道我们所求的阴影部分的面积，也就是这个四边形啊， e、 m、 b、 n 这四边形的面积，它就等于我这个三角形 面积，这两个三角形面相等，对吧？我就把这个阴影部分面积转移成了我这个 e、 b、 c 的 面积， 而我这个三角形 e、 b、 c 的 面积呢？它正好是我这个矩形。啊，不，这个，这个正方形，哎，这个正方形 a、 b、 c、 d 面， a， b， c、 d 面积的四分之一， 对吧？那正好是我正方形面积的四分之一。我正方形边长是定值，面积肯定也是定值，所以硬部的面积它就是个定值，也就是不变。哎，定值就是不变，所以 s 是 不变的。 好，呃，那，那继续 b、 m 和 b n 呢？好了，因为我们刚证了这两个三角形全等，所以我们的 b、 m 是 不应该等于 n， c 呀，或 c n 呐。 好，那我的 b m 加 b n 就 转成了我的 b n 加 c n， 也就是 b c， b， c 是 谁？它是正方形 a， b， c， d 的 边长边长是定值，所以我们的 l， 也就是 m， b 加 b n， 它也是个定值。 那也就说他所让我们去，让我们去啊，去讨论的这个阴影部分面积，这个 s， 以及我们的 b， m 加 b n， 这个 l， 它都是定值，都是不变的，所以 s 与 l 均不变， 发现了吧？哎，好，这是第一题，我们再来看第二题。嗯，第二题呢？他说如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中 点 e 呢？是对角线上的一个点，嗯，这点 e， 然后说 a， e 等于 ab， 等于根号三倍的 bc， 还告诉我们 bc 是 a， 如果 bc 是 a 的 话，你可以标志是 a， 那 我们的 a、 e 这个还有 ab 就 都是根号三 a， 那 同样我们的 cd 也是根号三 a， 对 不对？或者说这个矩形的长就是根号三 a， 宽就是 a。 好， 他说点屁是一动点好了吧？动屁是动动的啊，点屁是一动点，他说则点屁到 a b 边 a b 和 a c 的 距离之和，那他到点屁到 a、 c 的 边距离就是 pm， 到 ab 边距离就是 p n 就垂线嘛，对吧？它说它的距离值和就是 pm， 你 看 pm 加 p n， 它的值有最大值，最小值是定值还是定值？二分之一，定值二分之根三 a 啊，你要如果是有最值，你把最值给我求出来，如果是定值呢？把定值也求出来。 好，那我们具体分析一下，给它放大一下这个图看一下啊。首先好了，既然我们的宽是 a， 长是根号三 a， 那 作为对角线，这个 a c 是 不是能求了？哎，就等于 a b 方加 b， c 方都可以啊， a d 方加 c， d 方也可以，就等于二 a， 所以 a c 的 长，这个 a c 的 长是知道的。好，如果 a c 的 长知道好了， 我这里做了什么辅助线呢？第一点呢，我就是把这个 a p 连起来了，这个 a p 连起来，大家应该能知道为什么。你看这个 p m 在 这，然后 p n 在 这，它好像应该需要连起来，是不是？哎，这是带一个体感连起来，那除此之外，这是个什么东西呢？看好了， 这个点过点 b 做 b f 垂直 a c， 我 可以说我的 b f 是 我这个边 bc 的 高。看好了，那首先 我的三角形 a b c， 哎，这个大三角形 a b c， 嗯，它是不等于二分之一 ab， 我 用 ab 乘 ac， 再乘二分之一，那我还可以用什么呢？还可以用我的 a c 去乘刚才我做的高，这个 b f， 是不是？那我的 b f 是 不就能已知了？通过这个式子，为什么？因为我的 a b b c 和 a c 我 都已知的，带进去之后， b f 就 能求出来是二分之根三 a。 那 我为什么要求这个 b f 呢？也就是跟刚刚我们连接这个 a f a a p 有 关系了。看好了， 在这个三角形当中，你的 a b m 三角形当中，是不？我连接 ap 之后，它是不可以给我分成两个三角形啊？就把这个 a b e 分 成了这个啊， a p e 和这个 a p b 这样三角形，那对于这个 a a p e 这个三角形来说，它的面积我是不可以用上我的 pm， 对不？ pm 是 不是它高，我就可以用 a e 去乘 pm a e 长我也知道啊，那对于这个三角形来说呢，就是我的 a p b 三角形来说呢，我可以用的 ab 去乘我的 p n， 是 不是？好， 那也就是三角形 a b e， 它就是三角形 a p e 加 a p b。 嗯，那除了我把这个三角形 a b e 分 成这样两个三角形之外，我还可以用它怎么去求它面积呢？ 就可以用我的 a e 去乘我的这个 b f， 看到没？所以这个 b f 它不仅可以是 a c 边上的高，它也可以是 a e 边上的高呀，对吧？所以就会有这样的一个啊，这样，这样的一个 就三角形 a b e， 它的面积可以表示成 a e， 我 的 a e 乘我的 b f b f 刚刚求出来了，是不是？嗯， a e 也是已知的，那这里面好了，三角形 a p e 刚才我们说这个三角形 a p e， 它就是我的底 a c a e 去乘我的 pm， 是 不是同样呢？这个三角形 a p b， 也就是二分之一乘 ab 乘 p n。 好， 现在因为好了，我的 a e 是 等于 ab 的， 是不是？所以我就可以把这的 a b 换成 a e， 为什么换成 a e？ 因为这里有 a e。 好， 所以这一部分，我把 a b 换成 a e 之后，把二分之一 a e 提出来， 这边只剩个 pm， 这边只剩个 p n 了，对吧？就是二分之一乘 a e 乘 pm 加 p n， 这两部分对照一下， 发现了吗？都有二分之一 p e， 那 我的 b f 是 不是要等于 pm 加 p n？ 刚我的 b f 求出来了呀？ 是不是？所以 pm 加 p n 的 值，它是个定值，是二分之根在 a， 它为什么是定值呢？因为我这个 b f， 它做的是 a c 边的高， 我这个 b f， 它和这个动点 p 没有任何关系，当点 p 动动起来的时候，在变化的时候，我的 b f 长度是不变的，对吧？ b f 是 不变的。那我这个 p m 加 p n， 它等于 b f 的 话，它就是定值，是二分之根。三 a， 它不是有最小值， 你看有最大值，最小值代表它是，它不是个定值，它变化的是不是？嗯，所以这是我们的啊，第一、第二题。嗯， 好。那关于这个定值问题呢？我们就两两道题，这样的那两道题，这是咱们的第二题，这是咱第一题。好。
18靖小默
