单县数学县卷八年级一次函数
一次函数综合体如图，直线 l 一， y 等于负， x 加二，所以 b 点坐标二，这个焦点也是二。直线 l 二经过 d 点零五，所以这个点坐标是五。 与 l 一 交于 c， c 点坐标是负一 m， 所以 直接代入 l 一 的解析式，解出 m 等于三，然后利用 d 点和 c 点坐标代定系数法直接确定 l 二的解析式。 y 等于二， x 加五， 求三角形 a、 b、 c 的 面积，所以直接利用二分之一乘以 ab， ab 即 二减 a 点坐标，那么 a 点坐标我们利用解式来确定。横坐标负的二分之五，所以二减负二分之五，二加二分之五乘以高，高就是 c 点的重坐标三计算等于四分之二十七。 已知点 p 是 直线 l 二上一点，任意找一点 p， 若三角形 b、 c、 p 连接 b p， 这个三角形 b、 c、 p 的 面积是三角形 a、 b、 c 面积的三分之二，直接写出 p 点坐标。我们设 p 点坐标 为 x p， y p。 观察特点，这个三角形的面积就是已知的。这个三角形 a、 b、 c 的 面积减去 a、 b、 p 的 面积，所以我们列一个方程，即它的面积等于二分之一，乘以 ab， 再乘以。你看这两个三角形的面积有一个公共底 ab， 所以 它们的面积之差就是纵坐标， 所以表示为 y p 减去 y、 c、 c 点的坐标二分之一乘以底乘以高等于四分之二十七，乘以三分之二， 等于二分之九 ab 可以 确定二加二分之五，所以整理 y p 减去 y、 c 的 绝对值等于二。 y p y c， y c 就是 已知的，已知的三，那么 y p 我 们就用它的解析式代替，即二 x 加五减三，绝对值等于二，所以二 x 加二，绝对值等于二。 这样我们解出 x 有 两个值等于零或负二，所以我们确定出此时 p 点坐标有两个，一个是零五，一个是负二一。
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36:28查看AI文稿AI文稿好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？
414毕老师细讲数学
03:47查看AI文稿AI文稿同学们大家好，欢迎大家来到魏老师的数学小课堂，今天呢，我们分享的是八年级期末考试中常见的函数综合类型， 题目中说的是一次函数 y 等于 k， x 加 b， 反比例函数 y 等于 x 分 之 m 的 图像交于 a 点呢，是一三且过， b 点呢是三 n 求反比例函数和一次函数解析。 那我们此时可以知道 a 点坐标的话是一三，那此时 m 的 值的话是等于横纵坐标之积，也就是等于一乘三就是三，所以说反比例的函数解析设为 y 等于 x 分 之三， 那么同样的 b 点坐标的话，肯定横乘纵也是等于这个三，那所以说它的坐标就是三一。那么 a 点坐标和 b 点坐标都知道的情况下， 我们用待定系数法是不是求出一次函数解析式，我们可以列出方程，因为本身函数解析式的话是有的，所以直接带进去就行了。一三带进去的话是 k 加 b 等于三， 三一带进去的话是三， k 加上 b 呢，是等于一。所以说此时我们可以得到 k 的 值啊，是等于负一， 因为这边的话，三 k 减 k 是 二， k 等于负，二 k 的 值是负一， k 的 值是负一，带进去的话，那 b 的 值就是四啊，所以说 y 是 等于负， x 加四。 好，这样的话我们就可以求出第一问一次函数和反比例函数的解释。第二问的话说 q 是 x 轴上一点，所以说我们要做题留痕 x 轴上一点，比如说在这个位置， 然后呢说 abq 的 面积是等于二， abq 的 面积等于二，求 q 点的横坐标，那我们说此时的话，那你要用的就是 三角形的面积公式，对吧？那么 abq 的 话，我们在计算的过程中，有些同学说，那这个三角形面积我们怎么算呢？用呃水平宽乘铅垂高乘二分之一。函数用大减小， 其实对于常规的类型来说，我们一直就是大减小，还是比较简单的啊，函数解析式确定的情况下， m 点坐标我们可以确定是零四，所以说此时 a b q 这个三角形的面积就等于二分之一乘底乘高。看清楚啊，我们可以用的是什么？ 我们可以用的是呃 q m b 减去 q m a 的 面积，但是呢，在这种情况下，我们依然可以发现，呃，这个三角形的话，它的形状是不太能够确定的。 所以说，如果你用分割的情况下啊，常规分割的情况下呢，这个题依然是不好使的，所以我们直接用水平宽乘铅垂高啊，二分之一的水平宽，一三三一，水平距离呢是二，然后乘铅垂高等于它的面积呢是二。好，所以此时的话，我们可以得到铅垂高度的 h 是 等于一。 接下来的话，我们可以发现 q 在 x 轴上，那说明上下位置一定是确定的，我们假设这个点是 p 点，好吧，那 p q 的 话，肯定是 p 在 上， q 在 下，也就是说此时我假设 q 点坐标的话 n m 点已经有了，那我假设它是 n 零， 好，那所以说 p 点此时坐标的话 n， 然后就是负 n 加四，那么它的铅垂高的话，就是负 n 加四，那么它的铅的长负 n 加四， 此时的话等于我们的铅垂高一，所以说 n 的 值呢？我们可以看到负 n 呢，等于一减四负三，所以说 n 的 值呢，就等于三，这样的话我们就可以求出 q 点的横坐标，就是三零。 那么以上呢，就是我们前两问的方法。第三问的话说求 p a 加 p b 的 最小值时，求 p 点坐标，那这个呢，就是典型的将军密码，我们之前讲过很多次，今天不再赘 述。
26高级的数学阐述者
01:38查看AI文稿AI文稿这道题考察一次函数的基本性质，已知，直线三 y 等于负二， x 减九，这是个一次函数还没有化简到最简的形式，等号两边同时除以三， 也就是 y 等于负的三分之二， x 减三，这个减三啊，是斜截式的截距，它表示这条直线与 y 轴交点的总坐标，也就是说，这个点其实坐标是零度负三 与直线 y 等于 a。 注意， y 等于 a 是 什么意思？说的是这条直线上所有的点的纵坐标都等于 a。 a 是 个常数，那它是一条水平的线，而不是数值的线。我们再强调一遍， y 等于某个常数是水平线， x 等于某个常数，是数直线。这个一定不要搞错。这条水平线和 l 的 交点在第四象限，那我们画几条线试一试。如果画在这里，交点在第二象限。如果画在这里，交点在第三象限， 随着这条水平的直线往下平移到什么地方以后，才能够确保交于第四象限呢？一定是当这条水平线的位置啊，低于负三的时候， 所以说 a 一定小于负三，那能等于负三吗？如果等于负三，什么情况？等于负三，说明这条水平线恰好从零度负三穿过，那么它和直线的交点啊，就是零度负三这个点。 但是你需要注意，题目说的是第四象限，而象限包含坐标轴吗？不包含，所以说 a 等于负三的时候不行，那么本题 a 可能处在的位置就是小于负三的位置，所以本题选 d。
388Mr.卓尔数学+
21:41查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。
71毕老师细讲数学
02:19查看AI文稿AI文稿八、下期末必考的一函数的三大几何变换，分别是平移变换、对称变换和旋转变换。今天梁老师用一个视频教会你平移变换怎么做。来，咱们看题说将这个一函数的图像向右平移一个单位，再向上平移两个单位后， 所得的图像对应的解式是， y 等于 x 加三。那么求 k 等于多少， b 等于多少。 好了，各位，其实这类题目很好解决，你只要记住平移的口诀就行，就是左加右减自变量，上加下减常数项。那具体怎么做呢？我们来看，它说给这个图像向右平移一个单位， 那么向右怎么办？向右是不是要给这个自变量去减？那你看是不是给这个 k x 减一呢？ 不是。这里边的自变量是谁？这里边的自变量是 x， 所以 只给 x 减一，也就是 k 倍的 x 减一， 然后呢，它又向上平移两个单位，那向上平移上加给谁加？给常数项加，那这里边的常数项是谁？常数项是 b， 所以 给 b 加个二， 对吧？好，那我现在把它整理一下，就是 k， x 减 k 加 b 加二。好，那我把它写成这个样子，就是加 b 加二， 再减 k， 这是平移之后的解析式。那么他又说了平移后的解析式是谁？是 y 等于 x 加三。 好，他们俩都是平移后的形式，那么这两个是不是应该相等啊？相等的话，那么一次项和一次项相等，长竖项和长竖项相等，所以 k 等于多少？ k 等于一，对吧？那么 b 加二减 k 是 不是等于三？所以 b 是 多少？ b 是 二吗？ k 等于一， b 等二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的依次函数的必刷题拿去练习，轻松应对期末考。
456梁老师讲初中数学
24:17查看AI文稿AI文稿你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 八年级的同学注意了，本期视频呢，将会讲解一次函数从零到一的一个过程，也就是说，如果你要是没听一次函数，或者是没有听懂这个知识点，那么看这个视频就可以了，所以说建议大家先收藏，不会的反复听啊。 那么一次函数呢？作为小明初中最喜欢的函数，他就在想函数到底是个什么东西呢？那么这句最喜欢的函数呢，也送给大家，为什么这么说，因为你等学到后期的时候，你就会发现一次函数他是非常的友好的。 首先呢，我们先要了解几个词，就是函数，什么叫函数，然后又什么又叫一次函数？那么小明呢，他也想知道函数是什么意思，然后他就想，如果说我卖土豆， 那你说卖土豆能卖多少钱呢？是不是意味着你得考虑到土豆的数量，还有你卖的它的价格，这个是决定的，对吧？那我们假设啊，小明发现呢，我每天卖的土豆好像都是一百个， 那他现在就假设，你说我既然这个土豆数量是一定的，那我价格提高，我是不是每天卖土豆的钱就会增多呀？那也就是说什么呢？ 你看啊，那是不是我可以理解为他呢，就是等于一百，他承受那个价格，那我假设我每个土豆卖多少钱呢？卖十块钱，那你说我今天的收入是不是就是一千呢？那我要是每个土豆卖一百块钱， 就是金土豆啊，那是不是就变成什么就一万呢？哎，小民子越想越高兴，那假设有一天我每个土豆卖多少钱呢？卖一万， 那我这一天是不是就挣一百万，对吧？那么大家其实看一看啊，这里面决定我卖土豆卖多少钱，是不是这个价格啊？换句话来讲，他呢是变的，然后呢，卖土豆的钱是因为价格变了，然后他变了， 对吧？那也就是其实这个逻辑是不是很简单，我只要价格往上涨，我卖土豆他的整体钱就是往上涨，因为土豆数量是固定的， 但是呢，大家都知道，就是我价格上涨呢，土豆数量就不会卖一百个了。只不过呢，这个我们后期再聊，因为这个时候他就不是简单的一个逻辑关系了，我们就得考虑到实际情况了。那么在这个前提限定之后呢，你会发现这个逻辑它就很简单，因为我一百不变，那么你的这个 价格在变化，你的土豆卖出的钱就是在变化的。所以说呢，我们把自己变化的量叫什么？叫自变量，然后呢，因为他变化的量 而变化，这个叫音变量，那么中间这个呢，它不动，它就叫常量，或者叫常数，都可以啊，那么我们在数学里呢，把这个写成什么自变量呢？我们一般定为 x， 然后呢音变量呢，我们一般定成 y， 那 么就是 y 等于这个常量。用什么表示？用 k 啊？这个就是依次函数，它的一个解析式 就是 y 等于 k x， 所以 说我们这里呢，依次函数，我们其实说的是谁呀？说的是 x 的 次数啊，就是依次函数。那换句话来讲，你说 y 等于 k， x 方，这是不是就是二次函数？因为你是关于 x 的， 这个里呢，我们是默认关于谁的一次函数啊？因为你们后期还会说什么呢？还会见到关于 a 的 一次函数，那么这个时候你就要知道啊，我是讨论 a 它的一个次数的，所以说呢， 在这里我们先理解什么叫一次函数，那么一次函数的考点是什么？一次函数其实它考你图像，然后呢？实际应用， 这两个哪个是大考点？图像是大考点，实际应用呢？它也是一个考点，但是没有那么大啊，因为实际应用在后期中考的时候，它不会涉及到太多，但是这个图像呢，它会跟压轴题一起出的。好的，那么我们就来看一下你这个神奇的， y 等于 k， x 这个呢，其实如果说我 x 得一的时候， y 得二，那这个时候你说你能不能把 k 取出来，是不是二等于 k 乘上一啊，就等于 k， 所以 说 k 就 得二，那也就是什么呢？它的解析式啊，这个叫解析式， 它就写成 y 等于二， x， 能理解吧？好的，那么我们再来看这个式子，这个式子，你说我 x 得零的时候， y 是 不得零啊， 对吧？那同理，你说我们再看什么呢？ y 等于 k， x 这个式子的时候，是不是在 y 等于 k， x 中，你 x 得零的时候， y 始终是得零的。那换句话来讲，我在画图的时候 啊，画图像，是不是我就可以知道什么呢？你这样的式子，你是永远过零点的，也就是什么意思呢？大家看好，我给大家简单画个图， 这个呢，我就可以给它写成是 y， k x， 就 它永远都是过原点的。大家记住啊，就是在函数画图像中呢，我们都是在平面直角坐标系里画的，也就是说我们不能够随便画一条直线， 哎，那么你说我 y 等于 x 的 时候，这个图像它可以怎么画呀？是不是我只要带两个点就可以啊？就是 x 得零， y 得零， x 得一， y 得一，能理解吗？所以说呢，你其实画完之后呢，应该是这样的，我画黑色的这条直线， 那这个直线上的点大家发现没有？你如果说你 x 二的时候， y 就是 得二的， 那是不是意味着你这个三角形 a o b， 它是个等腰直角三角形，能理解吧？同样呢，你看 是不是它也是等腰直角三角形，也就是说 y 等 x， 它呢是平分一三相线的，这个与 x 轴的夹角是四十五度啊，这一点比较重要，待会呢，我会详细的讲，因为其他的关于 x 轴的夹角也有大问题，那么我们先来看一下，那这不懂了，哎，那就非常厉害了。 那大家说，你这里我画红色线的这个 k， 他 是比一大还比一小的，他看着是不是在这个黑色线的上面呢？对吧？那你看，就意味着我 x 二的时候，我的 y 是不是对应着要大于二啊？那你看，既然这个它代表着什么呢？是不是二 k 呀？我把 x 带进去， y 对 应的是二 k， 那 么是不是在这里呢？二 k 是 大于二的，也就是说二 k 它大于二，那么 k 就是 大于一的，也就是说我红色线这里的 k 呢，是大于一的， y 的 x 这里它是 k 得一啊，它是 k 得一的，才有这个图像出现。那也就说什么呢，我 y 的 k， x 这个 k， 它又是大于一，它这个图像就像红色这条线这么画的，换句话来讲，我 k 呢越大，你离 y 又是越近的， 而且它都经过原点，它是这么画的，这个很重要啊，这个很重要，就是在你们后期画图的时候非常重要， 能理解吧？那同理，你说我 k 要是小于一呢？那我们就带个数呗。你说你原来是不是 y 得 x， x 得一的时候 y 得一，那如果我现在 y 等于二分之一 x 呢？那你 x 得一的时候， y 是 不是就得二分之一啊？所以说，你看他不就得这么画吗？ 用蓝色啊，用蓝色线来画一下，那也就是 k 小 于一的话，你 k 越小，当然我们前提都是 k 大 于零啊。 k 大 于零， k 越小，你是越靠近 x 轴， 就是你是越扁的，这个能理解吗？就是这个一定要理解啊。所以说，你看，我如果要出一个 y 等于三分之一 x 和 y 等于二分之一 x， 这两个怎么画呀？很明显，三分之一 x， 它是距离 x 轴越近的，那它就大概这么画，二分之一 x 呢？ k 比它稍微大一点，它就这么画， 能懂吗？这个是上面的啊。好的，那么这个到这为止，你要听懂了，证明你非常非常聪明啊。然后接下来呢，我们要讨论 k 小 于零， 我把这个呢移到上面了，是 k 大 于零，是这样的啊，大家注意。那么 k 小 于零，大家记不记得我其实是按照什么呢？我其实是按照 y 的 x 这条图像来画的，那么同样，我还是令 k 的 负一，不就完事了吗？ 对不对？那对应的就是 y 的 负 x， 那 同理，我就令 k 小 于负一，然后呢？ k 大 于负一，不就完事了吗？ k 小 于负一，我取个 y 等于负二 x 吧，然后这个 k 大 于负一，就取个 y 等于负的二分之一 x 吧， 就取几个比较典型的例子啊，那么我们再看这几个函数在图像里怎么画好的，那么大家看到这个呢，是 y 的 负 x， 假设呢？这是负一，然后它对应的是什么？是不是就是正一啊？对吧？ 这个点，那么同样我们再看一眼，那你 y 等于负二 x， 我 x 等于负一的时候， y 是 不是就等于什么等于二啊？那也就是说你同样的 x 的 值，我能取到二， 换句话来讲，它还经过原点，那它这个图像就是这么画的，看懂了吗？这个就是它的一个图像。那你说在 y 等于负二分之一 x 中呢？我假设 x 等于负一，那你这个 y 是 不等于什么？ y 就 等于二分之一啊， 那也就是说他在这啊，所以说他不就这么画，看到没有好的。那么从这个来看的话，我是不是可以理解为，你开小一点的时候，你开越小，你越靠近 y 轴，对吧？然后呢，你再开小一点的时候，假设 你开越大，你越靠近 x 轴。好，那么到这为止，可能大家已经有点蒙了啊，接下来马上要总结了，你比如说啊，我这个第一个，你开大于一的时候，你开越大，你是不是越靠近 y 轴啊？ 对吧？那我开小于一的时候，他越小，我是不是越靠近 x 轴？那我是不是反而可以说你是离 y 轴越远的， 能理解吧？就是，当然你是以圆点为中心旋转的啊这种，那么同理，你说我这个呢，开越小，在 k 小 于零的时候，他是不是越靠近 y 轴？那我就可以理解为，你开越大的时候，你是越远离 y 轴，当然是 k 小 于零的时候， 那这样的话，大家你就可以看到了，规律呢，是找到了，但我觉得还是有点麻烦，那我们怎么办呢？ 你就可以理解为啊，这里 k 越小，那是不是意味着你 k 的 绝对值是越大的，对吧？你想负三小于负二，但是你 k 的 绝对值呢？负三的绝对值是大于负二的，所以说我们就有什么呢，但凡 k 的 绝对值越大， 那么你离 y 轴就越近，你是离 y 轴越近的，记这一句话就可以了，其实他呢，就像中间的一个什么，他就像中间的一个 可以活动的木棍一样，大家可以这么理解，只不过呢，在这呢被钉子钉上了，他可以来回摆动，你，只要是 k 越大，你就离 y 轴越近， 然后呢，你具体你 k 是 大于零，小于零，你只需要看他在第几象限即可啊， k 大 于零呢，他就经过一三象限， k 小 于零，他就是二四象限，看到了吗？这个就是我们最喜欢的 k 的 一个说法， 那么这个理解之后呢，你就会发现，哎，那这个意思，函数他不就是来回这么画吗？对吧？他就这么画吗？那有没有可能啊？有没有可能他是这么画的， 你看我这样画的话，它是不是就不经过原点了？完全是有可能的，所以说接下来呢，我们就要接着往下讲它的图像性质了，我们刚才呢是 y 等于 k， x， 对 吧？其实呢，这个它经过原点，它叫什么呢？它叫 正比例函数。哎，那你说刚才我们讲的不都是一次函数吗？对的，正比例函数呢，是一次函数特殊的一种形式，其实正常的一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 这个 b 又是什么呢？它和 y 得 k x 有 什么区别啊？哎，大家你们看到没有，其实它跟 y 得 k x 是 不是在 y 等于 k， x 加 b 中，当 b 得零的时候，就会出现 y 等于 k x， 那 也就意味着什么呢？你这个它是不是经过 x 得零， y 得零， 对吧？ y 怎么来的得零啊？ y 是 不是等于 k 乘上一个零，它得零啊？那如果说你要是 y 的 k x 加 b， 我 x 得零， 我 y 它是不是等于 k 乘上零，还有个 b 呀？所以是不是这个得 b 啊？那也就是说，其实你这里的 b， 它是决定了我 x 得零的时候， y 它是得多少的， 这个能理解吧？这么整抽象的话，我们给它归到一个点上，就是零。逗币，它是一定经过这个点的，换句话来讲呢，就是它与 y 轴的交点，对吧？与 y 轴交点不是 x 得零吗？画个图， 那么我们看假设呢？你原来是 y 等于二 x， 那 是不是按照我们刚才理解的，它就是这么画的，它会稍微比 y 的 x 呢更靠近 y 轴一点， 那你看我是不是 x 得零， y 得零，那如果你要是 y 得二， x 减一呢？那你此时 x 得零， y 是 不得负一呀， 对吧？那也就是说你是经过零度负一这个点，它就是这么画的，因为你 k 不 变，能懂吗？你看它就是这么画的，这里呢？ y 的 k x 加 b 中 k 就 得二， b 得负一，看到了吗？啊？那你说我再写一个 y 等于二， x 加一的话，你这个 x 得零， y 是 不是就得正一啊？那就是它经过零度正一这个点，那么它还是这样画 的。好的，那么大家观察黑线和红线啊，是不是你红线是最基础的？我上面这个黑线是不是可以看作你往上平移啊？往上平移一个单位， 下面这个他是可以看作往下平移一个单位。所以说呢，这个时候我们就可以说，当你 k 相等的时候，你这个函数图像是互相平行的，然后呢，你这个 b 我 是不是可以看作你在原有的基础上向上平移或向下平移？你如果 b 大 一点，你就是往上走，你要是 b 小 一点，你就是往下走啊， 能理解吧？所以说，换句话来讲，你 y 等于三 x 加五和 y 等于三 x 加上二，他们两个是不是相当于上下平移了三个单位，你别管是向上还是向下，就是我要是变成你就向下，你要是下面变成我的话，二变成五，那就是向上， 是不是还挺简单？所以说对于 b 来讲，它是控制的依次函数的上下平移的，也就说我们有个口诀叫什么呢？上加下减， 大家记住啊，上加下减谁呢？他是关于 b 的 啊， b， 他 是控制他上下平移的，他是掌握上下的一个神，那么你说你都有上下了，那我左右呢？哎，大家可以看一下左右呢， 就很有意思了。这个呢，大家能听懂就听啊，听不懂的话直接记口诀啊，叫左加 右减，什么意思呢？谈好它呢，就不是 b 了啊。假设呢，有一个 y 等于 k， x 加 b 这个函数图像，它是这样画的， 它与 x 轴交于什么呢？它与 x 轴的交点呢？是一六零吧，行吗？那么你看我现在呢，把它向左平移 两个单位，那你说此时它的什么变了？是不是与 x 轴的交点变了？大概在这， 它就是这么画的，那这个时候它这个点是不是相当于是什么？是不是负一都零？那你看，原来式子是不是它的零的时候， k 这个呢？是 x 一 的时候再加上一个 b， 对吧？但是现在呢，他不一样了，这个呢， y 的 k x 加 b 中，是不是你得是零等于 k 乘上一个负一，然后再加上一个相应的 b 呀？对吧？ 哎，那你说这两个有什么区别呢？我是不是向左平移两个单位，这里面谁变化了？就这两个式子，是不是一和负一有变化？你原来是一啊，原来是一， 你呢？因为往左啊，向左平移两个单位，你变成了负一，那你说我是不是对应的 x 是 往左边减少两个呀？ 那么我们看，你原来这个式子是不是零等于 k 乘上一，再加上个 b， 你 现在呢，是不是相当于是零等于 k 乘上一个什么负一，它再加上个 b 啊？ 你现在这个式子是不是得加上两个才能够变成原来的式子？那么你现在这个式子里，他的 x 啊，是不是得加上个二才能变成你原来这个 x， 能理解吗？所以说，你看啊，我们既然是向左平移两个，你原来的 x 是 不是这个？你因为向左平移着，你变成 x 加二了，所以说我们就把什么呢？你向左平移两个单位，我们就变 x 就 可以了。 换句话来讲，你原来这个式子它往右平移，是不是就得减二啊？就是 x 减二啊。所以说你这个新的式子就是 y 等于开倍的 x 加二， 它再加上个 b， 这个就是向左平移两个单位所形成的新的式子啊。 那我们举个例子呢，就是 y 等于二， x 加一，它向左啊，平移一个单位就变成什么，就变成 y 等于二倍的 x 加一，再加一，看到吗？左加右减变的是 x， 那 同理，右的话就是 x 减，那就是 y 等于三， x 减五，它向右 平移两个单位，就变成 y 等于三倍的 x 减二，再减五，左加右减，这么来的就是，其实这个过程还是有点抽象的，你要是记不住，你就直接记。左加右减啊，它是变 x 的， 上加下减呢，它是变的是 b 的， 这里一次函数是变 b 的 啊，这个先理解，一定一定要理解好，因为考试的时候真的会考你这个的。好的，那么接下来讲的呢，就是稍微有点难的了， 大家注意啊，那你说我们在图像中呢，刚才是不是讲到好几个假设啊，我这个画的是什么呢？是 y 等于 x， 我 这个呢，画的是 y 等于二 x， 哎，那你说你们两个画的就确实，我知道你这个 y 的 二 x 要比 y 的 x 离 y 轴更近一点，那你说我想更好的理解一下这个该从哪个方向去理解呢？那么大家都涉及到勾股定律了，你说我 y 的 x， 它这里 涉及到这个三角形 o a b 啊，它是不是三角形 o a b 是 等腰直角三角形， 对不对？你这个 oac 呢？ oac 它是不是只是一个直角三角形？换句话来讲，我能不能找到啊？你这个 k 和你这个三角形 oab， 但是 oac 它的一个关系呢？因为你要是能找到这个关系的话，你在解析中通常你就非常非常快，直接能够解出很多的东西。什么意思？大家看好啊，你这里面 k 是 不是得一啊？你这里面 k 是 不是得二啊？那你说你这个一和二在哪体现的呢？是不是当我 k 得一的时候，我 o a 等于 ab， 对 吧？那当我 k 得二的时候，我是不是对应着我 x 等于什么？我 y 是 等于它的二倍啊， 对吧？那也就是什么呢？我这里的 a c 也就是 y， 它是对应着等于二倍的 o a 的， 那么在三角形 o a c 中，我是不是就可以看作是你与 x 轴夹角它的一个对边和邻边的相比就是二比一啊， 对吧？那么其实我如果要是看到你 k 得二的话，我就能够知道你所对应的这样一个直角三角形，你的三边比就是一比二比根号五， 看到没有，这个就出来了，跟我们勾股定律就对应上了。那同样，你比如说我要 k 得三呢？ k 得三的时候，你 y 等于三倍的多少？那在这里你假设我再画一个更高一点的在这吧， a d， 那 是不是就是 a d， 它是等于三倍的 o a， 那 换句话来讲，你三角形 o a d 中，你是不是就是一个什么 一比三比根号十的一个三角形，能理解吧？这个尽量的去理解，因为他对于你几何的理解非常非常重要啊，非常重要的。那你说我 k 小 于零怎么办呢？那就很简单，因为我只考虑距离的比啊，对吧？你是负， 你取他们绝对值就可以了。那你比如说我现在 k 呢？他不是一个一二三了，他是一个分数， k 等于四分之三。 好，那么你看我此时我就这么画呗，因为你 k 不 小于一嘛，所以说我大概就这么画的，但是没有关系，大家看好你横坐标仍然是 o a， 这个长的话， 我是不是相当于 y 等于四分之三倍的这个 x， 那 也就是说我这里的 a h 吧，是不是 a h， 它比上 o a 就 等于三比四，换句话来讲， 你这个 o a h， 它是不就是三比四比五的一个三角形，熟悉吧？所以说，哎，大家发现没有，这里面呢，它就会涉及到很多的 k 和三角形的一个关系，也就是说，其实我可以通过你 k 的 这样一个值呢，来探讨你这个三角形三边比是多少， 那这个就是更进一步的理解了。对于你做这种难题呀，一次函数的难题啊，是非常非常重要的，因为我讲的是一个思维体系，而不是说讲的固定的一个解例方法 啊，这个是非常非常重要的，一定要联合起来去看。如果说你这个理解了，那么你勾股定力一次函数，乃至后面的锐角三角函数 就是三张，你是打通了的，包括将四三角形也是打通了的，因为我可以理解为，我只要是与 x 做个垂线交于你的图像，然后呢再形成这个直角三角形，你三边比都是这个三比四比五，你看这样的话不就打通了吗？不就全明白了吗？ 是不是还可以？好的，那么依次函数，如果说你要是能够理解到这，那就证明你真的真的没有什么太大问题。那么本期视频呢？听到这给自己鼓个掌，如果说有哪里没听懂的地方，赶紧去问一问， 或者说多看两遍啊，我们下期视频再见。
2085三观超正的数学爱好者
01:06查看AI文稿AI文稿一次函数立体讲解，接下来接下来我们结合着上一个视频中的知识点，看一下它的一个例题啊， 他说这一个解析式，它对应的图像不经过第二项线，问我们 k 的 取值范围是什么？我们先来画一下它的图像啊，既然它不经过第二项线，那就肯定是在一三项线或者是一三四项线，如果它就经过一三项线的话，那么说明它就是一个正比例函数，那就是后边这一堆东西配减二 就等于零就可以了，并且还要保证什么呀？ k 加一它要大于零，这样的话我就可以得出来第一个 k 的 取值范围，也就是 k 大 于负一，且 k 不 等于二，那这是第一种情况，那么如果他不经过第二，是不是还有可能经过的是一三四 这三个项链啊？那这样的话，我就能得到的应该是 k 减二，也就是说他应该是往下偏移了，往下偏移，那这样的话，这个长轴向 b 就 应该是小于零，并且 k 加一还是要大于零，所以我又可以得到他的这一个取值范围，就应该是 k 大 于负一小于二， 哎，就可以了，也就是说他对于这两种情况，这个 k 的 取值范围都是满足这个提的学基础找小令。
17:10查看AI文稿AI文稿一个视频带你复习一次函数这一张我们首先进行知识点的回顾，然后是立体讲解，然后再是自我检测，这是本章的知识结构图。 接下来我们复习一下一次函数的概念，形容 y 等于 k， s 加 b， k 不 等于零的函数叫做一次函数。当 b 等于零的时候，它就变成 y 等于 k s， y 等于 k， s 叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。接下来进入最重要的部分，也就是函数图像。首先我们来看一下正比例函数的图像， y 等于 k x， k 不 等于零的图像是一条直线，当 k 大 于零的时候，它经过一三象限，图像从左到右上升， y， x 的 增大而增大。 当 k 小 于零的时候，它经过二次象限，图像从左到右下降， y 是 x 的 增大而减小。接下来是一次函数的图像， 一次函数 y 等于 k， s 加 b， k 不 等于零的图像可以看作是正比例函数的图像。平移 b 的 绝对值个单位长度。当 b 大 于零的时候是向上平移， b 小 于零的时候是向下平移。 那我们研究一次函数的图像的话，也是分为 k 大 于零和 k 小 于零两种。当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大， k 小 于零的时候， y 随 x 的 增大而减小。接下来我们看一下函数图像，对于一次函数的图像，我们主要也是分为 k 大 于零和 k 小 于零两大类。 这个 k 大 于零前面我们已经说过，它会导致函数是从左到右是上升的，也就是 y x 的 增大而增大。除此之外，对图像造成影响的还有 b 的 值。 对于 y 的 k， x 加 b， 假设我们令 x 等于零，就会得到 y 是 等于 b 的， 也就是说函数图像是经过零 b 这个点 从这里相信大家已经看出来了。当 b 带零的时候，图像跟 y 轴交于正半轴， b 小 于零的时候，图像跟 y 轴交于负半轴，那么 b 等于零的时候，它就经过原点，也就是变成正比例。函数 k 小 于零的时候，函数图像从左到右是下降的，也就 y x 增大而减小。 b 带零， b 小 零和 b 等于零的图像。在这里请大家自己看一下，我们小结一下吧。当 k 带零， b 带零的时候，图像是经过一、二、三象限。 k 带零， b 小 零的时候，图像是经过一、三、四象限。 k 小 零， b 带零的时候，图像经过一、二、四象限。当 k 小 于零， b 小 于零的时候，经过二、三、四象限。 接下来我们做题练一练。当 m 小 于负二时，一次函数 y 等于 m 加一， x 加上一减 m 的 图像，可能是图中的哪一个？我们说一次函数的形式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那么对应上去的话，这个 m 加一就相当于 k， 一 减 m 就 相当于 b。 我们现在要判断一下 k 和 b 的 范围，也就是 m 加一的范围以及一减 m 的 范围。条件说了 m 是 小于负二的，根据这个条件，这里两边同时加上一之后，可以得到 m 加一是小于负一的，也就是小于零， 那就是说这一个是负值，而一减 m 一 减去一个负数之后，肯定是比原来要大，那它就大于一嘛，那肯定是比零要大喽。所以这里是正的 k 小 于零， b 大 于零，答案就选这一个啦！ 第二题，一次函数，它的值随着 x 的 增大而增大， 说明它对应的 k 值是大于零的，也就是这里的三 m 加一是大于零，解到 m 是 大于负的三分之一，它叫我们写出一个满足条件的 m 的 值，你随便写，比如说零、一、二、三、四、五等等等等，它都是大于负三分之一的，你选一个写进去就可以了。 第三题，一次函数 y 等于 k， s 加 b 的 图像经过点 m， 并且 y 随 x 的 增大而增大，因此它对应的 k 值是大于零的， 图像从左到右是上升的才对。所以等一下我们做题的时候，要看把这个 a、 b、 c、 d 描进去之后，看一下图像有没有从左到右上升，比如说我们看一下 a 答案正不正确，把 four 二这个点标进去，你看一下， 如果给 m 和 n 连起来的话，那么图像从左到右并没有起到上升，所以这个不对。那么二一对不对呢？把二一给它描进去， 如果是这样标的话，从左到右连起来是下降的，也不符合题一样好。就这样按这个思路去选，就可以选到答案是这个了。 在弹性限度内，弹簧的长度 y 是 质量 x 的 一次函数，所以我们可以设它是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零， 它不挂物体的时候，长度是十二点五，也就是说当 x 等于零的时候， y 是 等于十二点五，那么如果质量是二的时候，弹簧就是十三点五。把这两组数值带进去函数里面就可以得到 十二点五等于 b， 十三点五是等于二， k 加 b， 所以 就可以解到 k 等于零点五以及 b 的 值， 所以原函数就是 y 等于零点五， x 加上十二点五。接下来他问了，质量是五千克的时候，质量是 x 嘛，对吧？当 x 等于五的时候，带进去就可以算到 y 是 等于十五了。 第五题，一次函数 y， e 等于 a， x 加 b， y 二等于 m， x 加 n 的 图像如图所示。问结论错误的是， 首先看一下 a 答案， y e 随着 x 增大而增大，你看一下 y， e， 在 这里它的图像确实是上升的 a， 答案是正确的。看一下 b 答案， b 小 于 n， 你 令 x 等于零，就可以得到 y， e 等于 b。 好， 这个点在这里就可以得到 b 是 等于零的， 那么 y 二等于 mx 加 n， 你 令它的 x 等于零， y 二就等于 n， 所以 这个点是零 n， 从这里可以看到 n 是 大于 b 的 好，看一下 c 答案，看一下 c 答案，当 x 小 于二的时候，可以看到这一个点是两个函数的交点，也就当 x 等于二的时候， y 一 跟 y 二是相等的。 当 x 小 于二的时候，也就是在这条线往左的部分，我们可以看到 y 二，它是高于 y 一 的，所以 x 小 于二的时候， y 二是大于 y 一 才对。哈，你这样选错误的好，所以选这个。接下来看一下平移。 对于一次函数， y 等于 k， s 加 b， 如果是上下平移的话，那我们应该在它的长竖向这里改变，上加下减。 我这里假设 m 大 于零，哈。当我们把原函数往上平移 m 个单位的时候，它就变成 y 等于 k， s 加 b， 再加 m， 往下平移 m 个单位的时候，它就变成 y 等于 k， s 加 b 减去 m。 但如果是左右平移的话，改变的是自变量，这里左加右减，如果往左平移 m 个单位，它就变成这样 法。但这些算法是帮助我们去算出函数的解析式的。假设题目给了一些条件，比如说他给出某一个函数，经过哪两个点，让我们去算他的解析式的话，就可以用这种方法。 这时候我们先设数，先设这个一次函数是 y 的 k s 加 b， k 不 等于零，然后把题目给出来的条件，比如说他给出的两个点给它带进去，我们就会得到一个方程组， 把分子组解出来，得到 k 和 b 的 值，再带回刚开始设的数里面，就可以得到解析式了。 来我们做一道题，这道题说的是过点一零零二的直线向上平移三个单位长度之后，平移后的直线经过的点的坐标是哪一个呢？ 对，我们应该分两步进行，第一步，先把每平移之前的直线给它算出来，然后再根据平移的规律去操作，得到后来的直线。接下来再看一下 a、 b、 c、 d 哪个点带进去后来的直线里面可以满足。好，我们开始吧。假设原来是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，然后我们就将一零零二给它代入，那么就会得到零等于 k 加 b， 二等于 b， 然后就解得 k 等于 four， b 等于二。所以原来的函数解析式是 y 等于 four x 加二。 接下来进行平移，那就可以得到。我们刚刚说上下平移改变的是常数项这一个部分，上加下减嘛，那就变成 y 等于 four x 加二，再加三，也就是 y 等于 four x 加五。 接下来把这些选项带进去，可以让这个函数左右两边相等的话，那么这个减的坐标就可以 选择一个。接下来我们看一次函数跟一元一次方程，一元一次方程 k s 加 b 等于零的解，实际上就是它对应的函数跟 x 轴交点的横坐标。 一元一次不等式 k x 加 b 大 于零的解集，实际上就是它对应的函数在 x 轴上方部分对应的自变量的取值范围。举个例子， 比如说题目叫我们算 x 减一大于零，它对应的解集，那么我们可以找到它对应的函数，也就是 y 等于 x 减一， 把它的图像画出来之后，你会发现它跟 x 的 交点是一零。从图像上可以看到这个函数在 x 轴上方的部分，也就是这一部分， 它的 y 是 大于零的嘛？所以我现在标注的这一部分，它是满足 x 减一大于零的，它对应的自变量的取值范围就是 x 大 于一。我们来做一道题，画出函数 y 等于二 x 减一的图像， 利用图像去计算这个方程的减，那我们要画函数图像的话，一条直线，我们至少要确定两个点，对吧？首先我们令 x 等于零，它对应的 y 就 等于负一，再令 y 等于零，它对应的 x 是 等于二分之一，也就是它过零负一点和二分之一零这个点， 这个方程的解实际上就是它对应的函数跟 x 的 交点的横坐标，所以 x 就 等于二分之一，就是这个方程的解了。第二问不等式二 x 减一小于零的解集， 那我们刚刚已经把 y 等于二 x 减一的图像画出来了，小于零的话，也就是在 x 的 下方。好，我把它标出来，那我现在标注的这一部分，它对应的 x 的 范围也就是 x 小 于二分之一了， 这就是它的解集。第三问，当 y 大 于等于负一小于等于一的时候， x 的 取值范围。我们先来看一下 y 等于负一的时候，以及 y 等于一的时候，它对应的 x 值是多少。我们令 y 等于负一，也就是二 x 减一等于负一解到 x 等于零， 再令 y 等于一，那么二 x 减一就等于一解到 x 等于一。好，那现在我们把这两个点标出来，也就这里和这里，也就是题目让我们算的这一个范围，也就是这一段， 那么它对应的 x 的 取值范围，那就在零和一之间，也就是这一段。 接下来我们看一下实际问题。以一次函数，一般会从以下三个方面来考察，利用它的增减性、利用图像法和利用不等式。我们来做一道题，看一下。 为了提高工作效率，买 a、 b 两种智能机器人，相关的信息如下哈，如果 a 的 机器人是一台， b 机器人是三台的话，合计是两百六十万元 啊。当然这里还有另外一种数量，以及它相应的价格，大家自己看一看。这样我们算 a、 b 它的单价。 那么根据这一个信息，我们就可以对应列出， x 加三， y 等于两百六十。接下来再根据这一个信息就可以得到，三 x 加二， y 等于三百六十，解出 x 也等于八十， y 等于六十。 因此 a 型机器人它的单价是八十万元， b 型机器人的单价是六十万元。 第二问，该企业准备用不超过七百万元购买 a、 b 两种型号的机器人，共十台，那哪一种方案能够使到件数最多呢？好，首先把前面算到的 a 和 b 的 单价都写进来。 行，假设 a 型号的机器人有 a 台，那么它们一共十台，那 b 的 数量就是十减 a 台， 用 a 的 单价乘以它的数量，加上 b 的 单价乘以 b 的 数量，合起来就是它的成本，它要不超过七百万，也就小于等于七百万。因此可以列到这个不等式 解出来， a 是 小于等于五的，但是 a 作为计算人的台数，它不能小于零，所以要大于零，并且它还要是整数才可以哦。 接下来要算键数最多是什么时候，那我们先把它的键数设为 z， 我 们表示一下这个 z 吧。 z 是 等于 a 每天处理的键数，加上 b 每天处理的键数。 a 每天处理的总数可以看成是 a 的 数量乘以等于 a 每台的键数， b 每天的总数就等于 b 的 数量 乘以 b 每台的键数。好，我们把它相应的带进去， a 的 数量是 a 台，它每台可以处理二十二万键。 a 一 共有十减 a 台，它每台可以处理十八万件，所以 z 的 表达式就出来了。好，把它们去括号整理一下之后就可以得到四。 a 加上一百八十， 这是一个一次函数，并且次变量的范围在这里， a 大 于零，小于等于五，并且是整数。我们可以看得到这个一次函数，它是从左到右是上升的。 z 值的 a 的 增大而增大，因此 a 取到它范围内的最大值五的时候， z 就 可以取得最大值。 接下来是自我检测，请大家做完自己的答案。
155陈老师与初高数学
01:03
02:00查看AI文稿AI文稿已知直线和 x 轴、 y 轴分别交于 ab 两点，根据它的解析式，咱们知道这一段的长度是二，下面的长度是一，所以点 b 的 坐标零逗二。点 a 的 坐标负一逗零。 如果把这个三角形 a、 o、 b 绕着点 a 逆时针旋转九十度，因为是旋转，意味着旋转之前和之后两个三角形彼此全等，所以 a、 o、 b 和 a、 c、 d 彼此全等。这段的长度是一，那么这段的长度也是一，这段长度是二，那么这段长度也是二， 所以点 d 的 横坐标就是负三，纵坐标就是一，那么 d 的 坐标也就是负三逗一。这是用几何法来处理旋转问题，但如果有些题目图形比较复杂，我们需要用一般方法来处理九十度的旋转问题。 点 b 的 坐标是零逗二，旋转中心点 a 的 坐标是负一逗零。现在把他们两个同时平移， 怎么平移呢？水平方向正移平移，数值方向不平移。那么平移之后，点 b 来到哪里？点 b 来到了一逗二， 点 a 来到了零逗零，你看到没？此时点 a 变成圆点了。关于圆点旋转九十度，咱们在理论课程中讲过，需要把它的坐标横纵互换，然后符号看象限，于是就得到二逗一。那你看这个一逗二旋转之前，在第一象限 逆时针旋转九十度，显然来到第二项线第二项 x 是 负的，所以这里有一个符号，所以一逗二。这个点绕原点旋转之后，就得到了负二逗一。 但是你不要忘了，前面我们是经过一次平移得到的，所以这次要完全再平移回去，也就是要做一个反向的平移负一逗零，于是就得到了负三逗一。你看和我们用几何法得到答案完全相同。
51Mr.卓尔数学+
02:57查看AI文稿AI文稿分段函数八年级压轴必考题目给了我们一个分段函数和一个斜率不确定的一次函数，说这两个函数的图像有三个不同的交点，问我们 k 的 取值范围。 对于这种题目，一定要做画图分析。观察这个分段函数，你会发现它是以负三和三这两个点，把 x 的 整个取值划分为三段，也就是 x 小 于负三和负三到三这一段，以及大于三这一段，画出坐标系 在负三和三这两个位置，把整个坐标系隔开，这里是负三，这里是三。那么最左边这一段二 x 加四，它的图形大概长成这个样子， 我们把负三带进来，得到纵坐标负二，所以这个点的坐标就是负三到负二，接下来中间这个区间 y 等于负二，也就是说这一段图形是一个水平的线段。 第三个区间 x 大 于三，我们把三带进来，得到纵坐标还是负二，所以这里是三斗负二。函数图形大概长这个样子。需要注意的是，最左边的区间和最右边区间的斜率都是二，也就是说这一段和这一段彼此平行。 直线 y 等于 k， x 把它理解为一个穿过原点的旋转的直线。我们首先假设 k 等于零，你会发现此时他与函数图形有一个交点，如果我们让他这样旋转，当函数图形来到这里的时候，还是一个交点继续旋转，直到函数图形与这个点相交，此时函数大概长这样， 你会发现这里有一个交点，这里还有一个交点，此时有两个交点。如果我们把这个函数图形继续旋转，那么这里就会向下走，如果长成这个样子， 你就会发现这里有一个焦点，这里有一个焦点，这里还有一个焦点，则恰好满足题目的要求。如果继续旋转， 当 k 等于二的时候，也就是说这条直线与左右两个区间的这一段和这一段平行了，那么他与这两段就不会有交点，而只在中间这里有一个交点。所以现在我们知道，旋转直线在这个范围之内的时候，与分段函数有三个交点，如果我们再把它继续旋转 来到这里，与函数图形又只剩下一个焦点了，继续旋转，来到这里还是一个焦点，然后再次旋转，来到这里还是一个焦点，继续旋转 还是一个焦点，这样一直旋转下去，直到 k 值再次等于零，此时还是一个焦点。如果继续旋转，就回到了和刚才一样的情况，所以真正满足题目条件的就只有这一段。 在这种情况下，我们需要把这个负三到负二带进去计算 k 值，也就是负二等于负三， k， k 等于三分之二，当旋转到这里的时候， k 等于二。 而具体在这个边界的时候，函数只有两个交点， k 等于二时，函数只有一个交点，所以 k 等于三分之二和 k 等于二，这两个边界值不能取。因此本题的正确答案是，三分之二小于 k 等于二。好听懂的同学给老师点个小爱心吧！
173Mr.卓尔数学+
05:43查看AI文稿AI文稿hi， 大家好，我是张张老师，今天我们来看八年级下册一次函数的图像与性质题型， 根据一次函数的增减性求参数或最值。下面我们来看例题。第一题已知一次函数 y 等于负零点五， x 加二，当一小于等于 x 小 于等于四时， y 的 最大值是多少？由 y 等于负零点五， x 加二，可以知道，在这里 k 是 等于负零点五的，是小于零的，那么我们就能知道 y 随 x 增大而减小，那也就说明 x 越小， y 就 越大。所以在这里求出 y 的 最大值，那就是当 x 取最小的时候，因为在这里我们 x 只能是在一到四之间，对吧？所以在一到四之间， x 的 最小值为一。所以当 x 取到一的时候，代入到我们的一次函数的解析式当中去，得到 y 的 最大值就为负零点五，乘一加二等于一点五。选 a 选项。 继续来看第二题。第二题当中正比例函数若 y 随 x 的 增大而减小，则 m 的 值，那在这里除了 x 和 y 之外的另外一个未知数是不是就叫做我们的参数？ 注意，题目强调为正比例函数，那么我们复习一下正比例函数的解析式，是不是 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零， 那么正比例函数有 b 吗？是不是没有？所以在本题当中，谁得为零呀？是不是我们后面这一长串 m 减 m 方减四得为零，那 m 方减四为零， m 是 不是就等于正负二？ 题目当中还有关键信息，他说 y 随 x 的 增大而减小， 那在我们的一次函数或正比例函数当中，什么情况下 y 随 x 的 增大而减小呢？是不是 k 小 于零的情况下呀？那在这道题当中，我们 m 加一为 值，所以 m 加一是小于零的，那 m 就是 小于负一的。刚才我们这里 m 的 值可以取二，也可以取负二，但强调了它的增减性，所以 m 只能取一个小于负一的值，那 m 既然只能小于负一， 所以 m 的 值就为负二。继续我们来看 第三题，依然还是说正比例函数对不对？那正比例函数当中， y 随 x 的 增大而减小，首先有增减性，我们就能判断这里的 k 值二减 m 为一个整体，是小于零的， 所以能得到 m 负， m 是 小于负二的，那 m 必须得大于二。那 m 如果大于二，再继续看 它。既然是正比例函数，我们正比例函数和一次函数中， x 的 次数是不是只能为一啊？那只能为一，也就说这里 m 减二的绝对值是 x 的 次数，那 m 减二的绝对值等于一。 那综合下来， m 是 不是必须要满足两个条件，其中 m 减二的绝对值等于等于一， m 是 大于二的， 那综合下来， m 等于三，因为 m 减二，在这里 m 减二的绝对值等于一， m 减二就等于正负一，那 m 又必须得大于二，所以 m 只能取三，那这道题 m 的 值就为三。 继续来看第四题。第四题我们会发现，题目当中是不是只给了我们一个函数的解析式，除此之外，就是 x 和 y 的 取值范围了呀？那在这道题当中，我们需要考虑的第一个问题是什么呢？ 是不是分类讨论呀？我们要想一想，这道题为什么要分类讨论，以谁分类讨论呢？因为在这道题当中，如果不分类讨论，我们是不是就不知道这道题的增减性？ 不知道增减性，我们是不是就不能知道 x 和 y 之间的对应关系啊？所以第一种情况，当 k 大 于零时，在这里我们是不是 k 是 影响我们的增减性的？那我们就以 k 分 为讨论，当 k 大 于零的时候， 在这道题的一次函数，是不是 y 随 x 的 增大而增大，那 y 随 x 的 增大而增大？当 x 取一的时候， y 是 不就等于三？当 x 取四的时候， y 是 不就等于六？ 所以我们把 x 等于一， y 等于三和 x 等于四， y 等于六，代入我们的一次函数解析式，这里的 y 等于 k， x 加 b 是 不是就能得到 k 是 等于一的， b 是 等于二的？ 那接下来第二种情况， k 是 不是小于零了？那 k 小 于零的时候， y 是 随 x 的 增大而减小的， 那既然 y 随 x 增大而减小，那也就是说，当 x 取到一的时候，对应的就是 y 的 最大值， 当 x 等于四的时候，对应的就是 y 的 最小值。那现在依然把这两组代入到我们依次函数的解析式当中去，是不是就能得到一个方程组？由方程组 k 加上 b 等于六和四， k 加上 b 等于三，就可以得到 k 等于负一， b 等于七。所以在这道题当中， k 的 值为一或者是负一。
21讲数学的张张老师
01:33查看AI文稿AI文稿我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊。来我们看一下，先看第一个，说一次函数 y 等于负二， x 加三的图像，关于 x 轴对称图像的函数解析式为谁？ 好，那我们说关于谁谁不变，另一个变相反，那么关于 x 轴对称，所以 x 不 变， y 变相反，也就是负 y 等于负二， x 加三，那你把它整理一下， y 等于谁？ y 等于二， x 减三，对不对？ 所以是 y 等于二， x 减三，好，再看第二个一次函数 y 等于 f， x 加二图像，关于 y 轴对称的函数解析式 关谁谁不变，另一个变相反，关于 y 轴对称， y 不 变，那么 x 变相反，就是 x 加二。 好，这是第二个。再看第三个说一次函数 y 等于 x 减三的图像，关于原点对称的函数形式。 好，那我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊，对吧？所以关于原点对称， x y 全变相反，那么就是负 y 等于负， x 减三，整理一下，就是 y 等于 x 加三， y 等于 x 加三，你看掌握技巧的话是不是很简单？好，那今天的这道题目大家听懂了吗？
559梁老师数学思维提升
15:02查看AI文稿AI文稿好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。
173毕老师细讲数学
50:56查看AI文稿AI文稿你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 首先跟大家说一下，本期视频呢，会讲七道以上的压轴题，所以说你们最好要跟下来，然后今天给大家讲的是一次函数的综合与新定义函数问题， 他的压轴题，七种模型的全攻略，那么这个课间呢，完全是根据新课标和新中考来讲的，所以说大家你们要注意听，然后也跟大家说一下，你要是想要这份课间的话，在评论区留下你的年级，我这边会发给你。 好的，那么我们废话不多说，直接来看一下一次函数呢，这里面呢，他会考到哪些问题呢？我这里整理了一些简单的啊，就是比较有代表性的像与三角形的问题，还有呢和三角形全等的问题，包括一次函数和三角形存在的问题， 折叠问题，分段函数，还有绝对值一次函数，包括大家最喜欢的新定义的一次函数啊，所以说本期课程呢，大家记得点赞关注加收藏啊，值得反复观看的。好的，我们先来看一下开胃菜啊，一次函数与三角形的面积问题， 其实这种类型题呢，我们只需要抓住一个什么点呢，你就抓住三角形的面积，很多同学呢，一看到三角形面积，他就开始蒙了，因为你本身吧，我三角形面积和一次函数呢，我分别都知道，你要是放一起的话，我该怎么算呢？ 这里面本身是没有那么难的，大家看啊，三角形面积我们是不是都知道，它是二分之一乘上底， 再乘上个高，对吧？所以说呢，我们这里面可以用他的一个最原始的公式，也可以用什么呢？用面积差来求啊。所以说，我们来看一下，这一页会给大家讲两道啊，一道是例题，然后一道是这个吧， 大家最喜欢的大题，像面积比，对吧？这个面积比呢，很多同学可能会出问题啊，我们先来看下第一个啊，第一个，如图，直线 y 等于负的三分之四， x 加四与 y 轴交于点 a 与直线这个交于点 b， 然后且直线它与 x 轴交于点 c， 求 a、 b、 c 的 面积。这里面呢，大家要看好啊，哪个线？是哪条线？很明显，这个呢，是 y 等于负的三分之四， x 加四的，然后上面这条线是 y 等于五分之四， x 加上五分之四的， 它让你求 a、 b、 c 的 面积。其实这道题是不是感觉还可以，没有那么复杂，怎么求啊？你三角形 a、 b、 c 的 面积，我能不能用什么底层高 在初二啊，那这里面很多同学一看，哎，我会这道题，这个三角形 abc， 他的公式等于什么呢？二分之一乘上 ab， 他 再乘成个 bc， 这不就解决了吗？非常简单对不对？那么恭喜你，你就掉入了你在数学生涯中的第三千零二十四个坑，是什么呢？就是瞎猜，纯是瞎猜啊，谁告诉你这个是直角的对吧？ 没人告诉你啊。然后很多同学，那这个看着不就像吗？你看着像的东西多了去了，对吧，我还看这个面积像二了，那能这么说吗？ 所以说大家注意啊，这种呢，我们没有实质性的，绝对不能够去用啊，绝对不能去用，尤其是像这种解答题，那他怎么做呢？这个很明显啊，三角形 a、 b、 c 的 面积呢，我们可以用个补法，是什么呢？可以用三角形 a、 c， 这个点是点的吧， a、 c、 d 的 面积再减去三角形 b、 c、 d， 它的一个面积不就可以了吗？而且这里面呢，我把这个 垂直符号去掉，总让大家觉得它好像是垂直的，而且这里面呢，我过点 b， 我 还做个垂，这是 b、 h 吧，你看我是不是有 a、 c、 d 的 面积呢？就等于二分之一乘上个 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 它再减去什么呢？ 它再减去一个二分之一，它乘上一个 c、 d， 它就乘上个 b、 h， 看到没有，所以说就等于二分之一的 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 减去个 b、 h， 你 看就完事了。而且这里面呢，你这里的点 a 坐标点 b 坐标点 c 坐标点 d 坐标，你都能求出来啊，那么这道题呢，它的结果是什么？它的结果呢，就得四啊， 大家感兴趣的可以自己算一下。好了，我们再来看一下我们最喜欢的变式训练。我们首先来看一下，首先这道题呢，看起来呢，还是挺友好的。第三问的直接是在线段 a 的 上，是否存在有一个点 m， 使得 abm 的 面积与四边形 bm 的 c 的 面积 a， 它的面积比是四，比上二十一，若存在， 则求出点 m 的 坐标，若不存在呢？请说明理由。那么我们整体来看一下这道题吧。如图，在平面直角坐标系中，依次函数它的图像 与 x 轴、 y 轴分别交于点 ab， 那 也就是这两个，对吧？然后 y 二等于负三分之一， x 加 b 的 图像与 x 轴、 y 轴分别交于点的和 e， 就是 交于这两个，且两个函数图像相交于点 c 就交会证，那么其实大家看到没有哎，你这里我好像能求出来你们的一个点坐标吧， 就是点 c 坐标，包括你这个 b， 我 也能求，怎么求啊？大家看一下，简单给大家写一下，它是不是等于 x 加二啊？ 然后下面这个等于什么？它是不是 y 等于负的三分之一 x 加 b 啊？那我们就可以知道，什么他们两个交于这个点，它的坐标呢，是 m 到五，那也就是说你点 c 呢？它是在这条线上的，所以说呢， 五就等于 m 加二，那么什么是不是 m 他 就等于三呢？你看就完事了吧。所以说 c 点坐标呢，我就可以写成什么是三斗五，那么三斗五呢？他还在这条函数图像上，所以说就等于 五，等于负的三分之一乘上个三，再加上个 b 就 等于什么？是不五等于负一加上个 b， 那 么 b 就 等于什么？ b 是 不是等于六啊？所以说他就得六， 看到没有？那么第二问呢？他说求 a、 c、 d 的 一个面积，那这个就太简单了吧，因为你这个面积是不是等于二分之一，乘上一个谁呀？ o d 再乘上一个就是 c 点它的纵坐标啊， 就等于二分之一 a d 它等于什么？点 a 坐标是多少啊？点 a 坐标呢？是负二到零，根据这个求来的，所以说是负二到零，点 d 坐标呢？根据这个我们可以写成负三分之一 x 加上六，对不对？那么 d 点坐标啊，它实际上就是十八，所以说呢，它就是十八到零，那么 a、 d 的 长不就是二十吗？所以说二分之一乘上二十，再乘上一个五就等于多少啊？是不是等于 五十啊？好， a、 c、 d 的 面积求完之后呢？紧接着我们再来看大家最喜欢的第三问啊， 在线段 a、 d 上是否存在一点 m， 使得 abm 它的面积与四边形它的面积比是四比上二十一，若存在，求出点 m 的 坐标，若不存在，说明理由。好，那么既然这样的话，我们就给它擦掉， 对吧？因为我们现在呢，要画图了。他说啊，是 a b m， 那 就假设 m 点在这儿，他说在线段 a、 d 上啊，那 m 它就是在 a d 中间嘛，面积比为四比二十一，那我就假设呗，我可以设 m 的 坐标是 t 到零，那么 s 三角形 a b m， 它的面积怎么求啊？是不是二分之一乘上一个 a m， 它就乘上个 b o 就 等于什么？是不是等于二分之一，它乘上 a m， 大家注意啊，它是 t 加二， 为什么？因为你是 m 在 这， a 在 这， m 在 a 的 右边，所以说是，咱是大减小，是求距离的，也就是说什么呢？ t 再减去个负二，所以说变成 t 加二，然后再乘上一个 o b 多长啊？ b 点坐标，咱是不也知道是零到二，所以说再乘上个二，也就是说它等于什么呢？ t 加二， 然后他说呢，面积比为四比二十一，那也就意味着我们是把五十，还记不记得它的面积是五十啊？五十分成了二十五份吗？那一份是多少？是不是一份就是 二啊？对不对？那也就是说，你这里呢， abm 的 面积呢，它是四份，那么它就等于八，所以说 t 就 等于什么？ t 得六，也就说 m 的 坐标呢，就是六到零，看到没有就完事了啊，怎么样 做两道开胃小菜？还可以吧，我们再来往下看一下啊，再来往下看一下。第二个呢，就是大家最喜欢的全等问题啊， 全等问题呢，在考试中确实是一个考点，而且大家发现没有，就是我们在讲一次函数这类题型的时候，实际上你真的不会的是这些题吗？其实不是的，你真正不会的点是它隐藏在这些题里的几何知识，函数知识，你不会的是这些东西啊。 那么我们来看一下，还是啊，先讲个例题，如图呢，直线 y 等于二 x 减四，你就是这条呗，和 y 轴分别交 ab 两点，射线 ap 垂直 ab 于点 a， 然后点 c 呢，是射线 ap 上的一个动点，那就是 c 点。在这儿， 你看，我也是随便画的啊，点的呢，它是 x 轴的一个动点，且以 a、 c、 d 为顶点的三角形，与 a、 o、 b 全等， 则 o 的 长。这里面那个条件是比较明显的，因为大家看好啊，你角一加角二是不是得九十度？你角二加角三是不还得九十度？也就是说我们有角一，它等于角三，那么你这里你既然有三角形 a、 o、 b， 它是全等于三角形，谁呢？它是 c a， 我 就是随便写一下，因为这里能确定的就是你这个角三得角一。所以说呢，我这 a 对 应着一个 b 啊，就是这个三角形，它的点 a 啊。好，那么我们看，如果说你们两个三角形全等的话，你这里面 三角形 o、 a、 b， 它是直角三角形，那么你这个 a、 c、 d 啊，它肯定也是个直角三角形。现在呢，这个角它是定了的，那无非就两种情况嘛，要不然你就是 c 点，它为 直角顶点，要不然你就是 d 点，它为直角顶点，所以说两种情况，那么 o d 的 长，你这很明显，如果说它要是这样的话， 就是按照我现在怎么画，那是不是这两个三角形，它是 k 字形相似啊，就是一线三等角。那么你这里你看我们是不是有，它是 y 等于 二， x 减四的，那么我们可以通过什么呢？可以通过直线看到啊，你这个 x o a 的 什么是不是得二啊？然后你这个 o b 是 不是就得四？那么此时是不是我们有 a、 d 是 得 o b 的， 所以说它就是四，那么点 d 的 坐标就是六到零，所以说就得六。 那么第二种情况呢？那就非常明显了，它应该是什么？是不是 c 点，它为直角顶点的时候，就在这 这种情况，那也就说什么呢？你这个时候我们是不是有 a 的，是得 a、 b 的， 因为我对应着你是斜边相等，那也就是说这个你是二，你是四，他是二倍根号五，因为是一比二比根号五啊，够五厘米，所以说你这个就是二倍根号五，那么就是六或二，加上二倍根号五，看到了吗？这样就求完了，求完了。 好的，那么这道题完事之后，我们再挑一道啊，再挑一个，就挑个这个吧。第四个吧，这是八年级浙江绍兴的 已知，如图呢，平面直角坐标系中一次函数，它的图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 a 和 b， 点 c 的 坐标呢，是三到零，那么我们能知道什么呢？大家看好，我们是不是可以把 b、 c 的 解析式求出来，因为你看我可以通过这个函数把点 a 的 坐标什么 二分之一到零，还有零到负一写出来，那么 c 点坐标是三到零，所以说它的表达是 得多少啊？因为你与 y 轴交点是负一，所以是 y 等于 k， x 减一，然后呢，因为你的什么呢？ o b 比上 o c， 它是一比三，然后呢，它还是这么画的，所以说呢，就是 k 得正三分之一，就是三分之一 x 减一啊，完事了， 刚才这部没听懂的同学呢，建议你去看一看我之前发的一次函数的视频，在这里呢，详细讲了这个 k 怎么求得的啊？希望呢，你能在中考之前学会我这个方法，因为你要学会了的话，在中考考场上你至少能省下来很多时间的啊。 好的，我们再来看一下，就是 ab 上有一点 p， 且 pbc 的 面积，它等于二倍的 abc 的 面积。哎呀， 那么我们看一下啊， p、 b， c 的 面积和 a、 b， c 的 面积，这两个面积有什么相同的点呢？ 大家看好啊，我在这里呢，标个点 p 吧，假设这个是 p b、 c 啊，这里面呢，三角形 a、 b、 c 的 面积，它等于什么？是不是等于二分之一乘乘个 a b， 他再乘上一个谁呢？他再乘上一个 c 到 a b 的 距离呀？我就简写了是 h。 哎，那么同理，大家看啊，你这个三角形 p、 b， c 的 面积是不是就等于二分之一乘上谁啊？乘上 p b， 他 再乘上点 c 到 ab 的 距离呀？ 看到没有？就是这两个，大家能不能看懂，你要是能看懂的话，那就非常好了，因为你会发现这里面二分之一相同， h 是 相同，我要求的呢，仅仅就是 p b 和 ab 它的一个关系，那么因为你的面积是二倍，所以说呢，我就知道我的 p b 也是你 ab 的 二倍，就相当于我高一样，我底是你的二倍长， 能理解吧？所以说，从这个角度来讲，这道题呢，它就很简单了。但是呢，大家注意啊，你们是跟着我走的，实际上呢，我们不一定在考试中一下能找到哪个是底，哪个是高，所以说你们要在考试的时候自己注意一下。好的，那么我们既然找到了，那就很简单了，你这里面呢，你 ab， 它是不是等于 二分之根号五？怎么求的二分之一一啊？一比二比根号五，然后那你 p b， 那 自然而然不就得等于根号五吗？所以说呢， p 点 就很明确了。第一个 p 点呢，在上面，你这个时候 p b 呢，它恰好是等于二倍的什么 ab 的， 那么此时点 p 坐标怎么求啊？ 有很多种方法，讲一个比较简单的直接钟点公式啊，直接钟点坐标公式，你可以设它是 x y， 然后呢，这个点 b 不是 零到负一吗？那我们是不是具有二分之 x， 它再加上一个零，它是等于 x， a 就是 a 点的横坐标，还有什么呢？二分之 y， 它加上一个负一， 等于 y， a 也就是 a 的 纵坐标，那也就是什么呢？ x a 是 不是等于二分之一啊？ y a 是 不是等于 零啊？那么也就推出来，你这里的 x， 它是等于谁呀？ 是不是得一的？然后呢，你这里的 y 是 得谁呀？是不是也得一呀？所以说 p 点坐标求出来了， 第一个就是一到一，没有去玩的。第二个是不是我们说你这个 p b， 你 得等于二倍的 ab 啊，所以说第二个肯定就在这呗，那就是点 p 的， 这你 p b 的 长呢？是根号五，你这个 ab 的 长是什么？他就得 二分之根号五。那么这个时候呢，就再教大家另外一个方法啊，你这里面如果说我过点 p， 我 还做个垂啊，我们是不是有这个三角形，他跟这个三角形相似的？如果说你现在听不懂什么叫相似的话，你要注意啊， 就是这个三角形，他的三边比是一比二，比根号五的，那么这个大的三角形，他的三边比也应该是一比二比根号五。换句话来讲，你这个斜边是二分之三倍，根号五的话，那么你这个就是二分之三，你这个他就得三， 能理解吗？所以说此时 p 点，他的横坐标就是负一， 因为你是这个是二分之三，你这不二分之一吗？所以说它横坐标是负一，纵坐标是什么？就是负三啊，看到了吗？当然大家这种方法呢，可能有些地区没有学，你比如说相似，我还没学，没关系啊，直接怎么样？因为你这样你可以直接得答案吗？ 这个答案一定是对的。那有些时候你比如说我知道这个题该怎么做，不就是 p b 的 长，它乘上这个高，对吧？它等于什么呢？它等于 这个三角形的面积，等于二倍的 a、 b、 c 的 一个面积。那么我是不是可以设 p 点坐标是 x， 横坐标是 x， 纵坐标呢？是什么？因为它在这个图像上，所以说就是 x dot 二 x 减一，那么 两点之间距离公式也求出来了吧，那是不是它就等于二倍的它呀？你看式子列完答案一写就完事了啊。好的， 紧接着呢，就是到了我们最喜欢的第三题啊。第三题呢，在直线上方是否存在一个点 m， 使得 m、 b、 c 三点构成的三角形与 abc 全等？那也就是说什么呢？他说要与他全等， 哎呀，那你与他全等的话，你 bc 肯定就相等了，那也就意味着有一个边固定了，那个两个边其实位置不也已经固定了吗？ 无非就几种情况，他说若存在，请直接写出点 m 的 坐标，若不存在，请说明理由。好，我们来看一下这道题呢， bc 很 明显它是固定了的，那么既然你是跟 a、 b、 c 它全等的话，我们为什么不直接过点 a 做一条与 bc 相关的平行线呢？然后呢，我们在这啊，求个点是什么呢？ 就是我们要求他点 m， 这个时候 bmc 他 是不是就是 a 跟他全等的，因为我们只需要令 mc 等于 ab 即可。那么他说让你求 m 的 坐标直接写出，其实直接写出就意味着，要不然你就直接算， 那就比较复杂，要不然你就有解面方法。这道题呢，是有解面方法的，你可以直接算的。首先，大家看好你这个 b c 解析式，我们是不是求出来了， b c 它等于三分之一 x 减一，那就意味着你 am 这条线，它就等于三分之一 x 加 b， 对 吧？我现在只需要把 b 求出来即可。 那么你 m 点在这个函数图像上，那我是不是可以设 m 的 横坐标是 a， 纵坐标就是三分之一 a 加 b 啊？然后那我 m c 得 ab 得二分之二五，不就完事了吗？ 这样用勾股定律就直接求出来了，而且呢，求完之后应该是两个结果，还能把这个点求出来，因为他没有说 m 不 能跟 a 点重合呀，对吧？所以说这样求完之后呢， m 和 a 它分别就是两种情况，第一种呢是什么？ m 他 就是二分之一到零，第二种呢就是 m， 他 是二到二分之一啊，这两个大家你们都要自己回去算，因为我在这里要算的话，那么这个计算量就特别大了， 毕竟接下来我们还有五部分呢，对吧？好的，我们再来看一下依次函数与三角形的一个存在问题，那么考点三呢，他就是三角形的存在性，那无非就是求什么 等腰直角三角形或者是其他三角形，对吧？我们来看一下这两个呢，我们就做下这一篇吧，好吧，这两道题， 然后这里面大家可以直接看这个问啊，因为前面呢都是求三角形面积的一个问题，那么接下来他说呢，第四象限内是否存在一个点 p 使得 p a f 是 以 a f 它为直角边的等腰直角三角形，那也就是说什么呢， 我要不然就是以 a 点他为直角顶点，这么画对不对？然后这样出来一个直角三角形，要不然呢，我就以 f 点他为直角顶点，这么画这来一个 直角三角形。不过目前你不管哪种情况，你好像肯定是有一个点，大概率是在第四象限的，那么我们就简单看一下啊，这里面他如果要是这样画的，那么点 p 就 在这。 那么此时我们再看一下题目中哪些可用的条件。依次函数 y 得 k 加 b， 分 别与 x y 轴交于 a 和 b， 就是 交于这个两点啊，那这条线就知道了。那么垂直这条线它的解析式我就能够知道， 点 f 呢，是线段 a b 上的一个动点，连接 o f， 设点 f 的 横坐标为 x 啊，那也就是这个是 x x 都是什么呢？还是得求依次函数解析式吗？ 因为它是这么画的，所以说它的 k 小 于零， k 小 于零的话， o b 比 o a 得多少啊？是不是得二分之一？所以说你的函数解析式就是 y 等于负的二分之一， x 再加上一个五，那么你 f 点它的纵坐标不就是负的二分之一， x 加上五， 对吧？这里呢，跟大家说一个点，你但凡在函数中看到什么呢？看到等腰直角三角形的话，首先要想到什么？首先要想到一线三等角啊，也就是 做垂直，那么换句话来讲，我过点 f， 往这做个垂，和我过点 p 往这做个垂，一个是 m， 一个 n， 你 这两个三角的内折叠啊，内折叠模型，所以说呢，这个角 为什么全等呢？边等都是直角，你还有个角等，然后那你看我们是不是就有三角形， 我简单写一下，三角形 a f m， 它是全等于三角，是谁呢？ e p， n 的， 对吧？然后判定方法是角角边啊，那么其实我们就有你这个 a p， 它是等于 af 的， 包括你谁呢？你 an 就 等于 fm， 还有就是你的 a m， 它就等于 p n， 能理解吧？所以说，其实我们想求点 p 的 坐标，那么我不就是求 an 的 长和 np 的 长，不就是在求 fm 的 长和 am 的 长，那么 fm 和 am 这里面该怎么求？ 然后这里呢，大家看一下题干啊，我们呢，因为刚才是直接看的第二题，所以说呢，第二题的题干它有一个小的条件，当这个 o a f 的 面积等于二分之一的 o a b 的 面积的时候，那一下不就知道了吗？那我不就一下知道，你这个 f m， 它实际上不就等于二分之一的 o b 吗？ 因为你 a o f 的 面积能等于它的一半，你底是 o a， 那 你高只能是一半啊，所以说你这个就是二分之五，然后你 an 就是 二分之五，那么你接下来 f 点不就求出来了吗？对吧？然后第二种情况呢？就是什么？第二种情况，我们还是 过点 f 往这做个垂，然后呢点 p， 它是在这的，此时呢，你这个 a p e f， 它是等腰直角三角形，其实呢，我们还是要万变不离其中，什么意思啊？因为你既然是等腰直角三角形的话，我是不是还是过点 f 做个垂，你这个点是 h 的 话，我再给它延长， 然后呢，交于这个点为点 k， 那 么我是不是有三角形 a f h， 它是全等于三角形，谁呢？ f p e k 的， 对吧？所以说还是啊，你这个 p e、 k 不 就等于谁呀，不就等于 f h 吗？ 就得二分之五啊。那么此时你这个 p e 点的坐标不就相当于是谁呀？不就相当于是点 f， 它往下先平移 f k 个单位，对吧？然后呢，再往哪啊？再往左平移 p e k 个单位就求出来了。 所以说呢，是两个角，第一个呢是什么？是二分之五都负的二分之五。第二个是什么呢？就是二分之十五都负五啊，这个记住，所以说你看 第四项线有两个点啊，然后我们就接着来往下看啊，就下面这个便是训练，他说呀，这里面呢，在平面角坐标系中，直线 a b 呢？ y 等于这个与 x 轴交于点 c， 写点 a 是 负一逗 m， b 是 n 逗负二。那其实这里面是不是我能把 c 点坐标和 ab 点的坐标都求出来呀？对不对？ 所以说呢，第一问，你看 c 点的坐标呢，我就直接写上了是什么五分之七逗零，然后呢，第二个求圆点 o 到 ab 的 距离， 那么他求的是什么？那这里面很多同学，哎，他求这个我不知道怎么做呀，其实不是你不知道怎么做，而是说你这个线没画出来，他求的不就是这条线吗？ o h 这个长，因为你是点到直线的距离，那就是做垂啊，那这个的话其实就有点明显了，就没有那么难。那这个其实怎么做呢？我们可以用等面积法啊，大家看好，假设这个是点的，那么我就知道你这个三角形 o c 的， 它是等于 二分之一，乘上谁啊？乘上 o c， 再乘上个 o d， 然后还等于谁呢？二分之一乘上个 c d， 然后再乘上个 o h 嘛，对吧？就是等面积法，所以说我们具有谁呢？你这个 o c， 它乘上 o d， 等于 o h， 它乘上个 c d， 这里面你这个点 d 坐标是不是能求出来呀？ 所以说你看这样做是不是就是比较简单，那么直接呢，这个结果呢，就等于四十一分之七倍，根号四十一啊，不是什么特别好的一个数，但是你要说它难度呢？其实还可以，我们看下最后一个， 在 x 轴是否存在点 p 使得三角形 a c p 是 直角三角形，若存在点 p， 看好啊，他说使三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，这种题怎么做呀？ 这种题它但凡要正哪个三角形？是啊，什么三角形？你就看这个三角形它的一个特征，直角三角形它最大的特征，那不就是直角吗？九十度。所以说我们归根结底呢，我们就可以看一下你这个三角形 a、 c p， 我可以令谁为九十度啊？是不是角 a， 角 c 还有角 b 啊，对吧？所以说你看，那这样的话，我就先令角 a， 它是九十度，那我们就怎么样啊？我们过点 a 呢，做 ab 的 一个垂线，然后呢交 x 角，你看 是不是有一个点 p 啊， p 一 对吧？对应的 p 一 啊，那 p 一 怎么求啊？ p 一 呢？我们直接可以用什么呢？因为你 a b 这条线不是 y 等于这个吗？所以说与它垂直的不就是 y 等于什么 五分之四 x， 然后再加上个 b 吗？那这里面它是不是同时过 a 点坐标啊？ a 点坐标得多少？ 他是负一逗三啊，这个你要算第二个的话就会算出来，我这里给大家讲的是思路，因为如果要正常讲这样一个大题的话，可能得需要二十分钟左右， 但是那样讲的话，我们可能这期视频就奔着好几个小时去了，所以说呢，大家你们听着也会很累。那么你看这里面呢， 我就紧接着再把点 a 的 坐标带进去，就是 a， 点坐标是负一到三，那么我就可以把这个解析式求出来，它与 x o 的 交点坐标，不就是点 p 的 一个坐标吗？ p 一 这不就求出来了吗？ 这个呢，求完是负的四分之十九到零啊，然后呢，第二种情况，你说角 c 得九十度， a c， 哎，大家发现没有，你这个 a c p， 你 不管是 p 在 这还是 p 在 这，你这个角和这个角它都不可能是九十度，对吧？因为你这个角它已经是定了的， 那么就意味着第二种情况它是不存在的，就是这个它是不行的啊。那么第三种情况呢，就是角 p， 它是九十度，哎，这个呢，就有意思了，其实这里才是最简单的，就是我过点 a， 我 还做个垂， 这个就是 p 啊，对吧？ p 二不就直接求出来吗？负一斗零，因为你点 a 的 坐标不是负一斗三吗？你看是不是没有想象那么难，对吧？ 依次函数，大家注意啊，就是他这个题，虽然说看着挺难，但实际上他真的没有那么难。我们其他的题也是，不管你是几何还是函数，唯一的呢，你就是先把题读懂啊，这个是需要注意的。好，我们再来看下一个，下一个呢，就是大家最喜欢的折叠问题，折叠问题呢， 我们还是，那就这页这两道吧啊，大家可以暂停，然后看一下题，自己先做一下啊。这里面呢，我就直接来做了， 如图一，在同一平面构造波形中，直线 ab 是 它与直线 ac 是 它相交于点 am， 四与 x 轴交于点 b， 负四到零， 哎，那你说 ab 是 哪条线啊？是不是 y 等于二， x 加 b 啊？因为你的 k 大 于零啊，那么你这个 ac 是 哪条线呢？是不就是 y 等于 k， x 加三呢？ 他是这个交于点 a， 这点是 m 就是 四。那其实你这个 m 是 不是能求出来呀，因为你不还有一个点 b 坐标呢，负四到零，对吧？你其实这里的 b、 m、 k 就 都求出来了啊，你把负四到零带入到这里， 你这个 b 不 就求出来了吗？然后你再另 y 得四 m 不 就求出来了吗？对不对？这个呢，直接给大家写上了，是 b 呢， 带进去它是得八 m 的 负二 k 等于负的二分之一啊，就完事了。第二个如图，二点的为线段 bc 上的一个洞点，将 a c 的 沿直线翻折，得到 三角形 a e 的 就是它将这个翻到这了。线段 a e 交 x 点 f， 它交于这个点，是点 f， 求线段 a e 的 长，那 a e 不 就是 a c 的 长吗？对吧？ 换句话来讲，你 a 点坐标是什么？负二到四 c 点坐标是不是六到零啊？ 两点之间距离公式直接就能求出来 a e 多长啊？ a e 就 等于四倍根号五啊，因为它是得 ac 的 啊。 当然这里其实大家发现没有，你这个 a e 呢，它其实是固定不变的。换句话来讲，一点的运动轨迹是什么？ 你是不是你不管在哪， a e 都这么长，对吧？都是四倍根号五，那你是由一个定点，然后呢？还有定长，那不就是他的运动轨迹是个弧吗？ 如果大家听不懂的话，那就是个圆。我这么说啊，第二问啊，当点 e 落在 y 轴上的时候，求 e 点的坐标，他要落在 y 轴上，哎，右边他没有图，对吧？点 e 落在 y 轴上，那就是在这，那我们看一下， 此时呢 a e 是 知道的四倍根号五，那么实际上点得不就在这吗？那其实我们是不是有你这个得 e， 他 得 c 得啊， 对吧？那我 o c 是 不是得六啊？因为你点 c 坐标不六到零吗？所以说他得六的话，我设 o d 是 x， 那 这个不就是什么？这个就是六减 x。 哎，那你说我现在求一点坐标，我是不是就求 o e 的 长就可以了？ 那你要这么看的话，我是不是在三角形 o d e 中直接用勾股定律，谁呀？ o d 方再加上个 o e 方等于 d e 方即可呀？因为你现在你 o d 不是 x 吗？你 d e 不是 六减 x 吗？所以说你就是它呀， 我把你表示出来不就完事了吗？你是 x 也好，还是你是个数也好，能算出来就行呗。那么我们就看一下你这个 o e、 o e 的 话吧，你这么一看好像没有什么思路， 然后，但是别忘了，我们知道 a e 它长是四倍，根号五，你既然有 a e 的 四倍，根号五， a 点坐标呢？是负二到四，那我就知道，如果我说我过点 a 往下做个垂，这个是点得 a d， 它是不是得二啊？那么你同时还有 a e， 它得 四倍，根号五，我是不是就有什么呢？我其实就有，在三角形 a d e 中是不是有勾股定律啊？就是 a e 方 减去 a d 方，它是等于 d e 方的，也就是说什么呢，根号下八十减去二的平方就等于二倍，根号十九，所以说呢，你这个 d e 它就是二倍，根号十九。 哎，那你说你 o 的 它是多长啊？ o 的 是不是四啊？因为你 a 点的纵坐标不是四吗？所以说呢，你 o e 它是多长？就是二倍，根号十九减四，它求什么？ 他是不是求点 e 的 坐标啊？哎，那你看，其实这个时候我们这个高股定律好像是不是不用了？我们现在是不是都已经知道 o e 多长了，那一点坐标不就能求了吗？就是什么四减去啊，四减二倍，刚好十九，为什么？因为他不是小于零吗？对吧？ 好，那么这个点 e 坐标就是零到四减去二倍，刚好十九。我们再来看第三个， 若这个三角形它为直角三角形，谁啊？的 e f、 f 呢？是线段 a e， 它与 x、 o 的 交点，那也就是说什么呢？我这么画吧，假设点的在这， 然后呢点 e 在 这连接，这个之后呢，它与 x、 o 的 交点，这个是 f， 它说三角形的 e、 f， 它是直角三角形。 好，那么还是啊，这里面根据我们刚才跟大家讲过的，你要是他属于什么三角形，那直接我们就看他属于这个三角形有什么特点。直角那是不是还是九十度？ 九十度的话还是分三个啊，第一个呢就是角 f、 d， e， 它得九十度。第二个呢就是角 e， 它得九十度。第三个呢就是角 d、 f、 e， 它得九十度， 三种情况啊，看看哪个我们能用。这里面其实角 e 这个可以排出来，因为这个角 e 不 等于角这个 a、 c、 b 吗？ 所以说这个首先排除，那么我们就分两种情况，第一个角 f、 d， e， 它是九十度，那我就画个九十度呗，这个是点 d， 然后呢？这个是点 e， 这是点 f， 然后呢我们是沿着 a、 d 这条线它翻折的。 哎，那么大家这里发现没有啊，你这个既然是九十度的话，然后他们两个角等，所以说这个是不是就一百三十五度啊？这个也是一百三十五度，那么同理我就在这写了，大家跟上这一块，他是不是就四十五度？ 四十五度我们首先想什么？是不是得想到等腰直角三角形啊？那换句话来讲，我要过点 a 往下做个垂，这个是 a h， 我 们是不是三角形？ a h 等于它就是一个什么呢？等腰直角三角形， 然后你 a h 还得四，你这个还是二，所以说你 o d 不 就得二吗？那么你看点 d 的 第一个坐标不就求出来了吗？他求什么？都点坐标吗？所以说第一个坐标就是什么二到零啊。那么第二种情况呢？我把它写在这吧。 第二种情况就是它角的 f e 得九十度的， f e 要到九十度。哎，我们重新画一下，这个其实还挺好画的，为什么呢？因为只有这种情况，你只有说 a f 它垂直于 x 角，它才可能，对吧？那你要这么看的话，好像这个就 更简单了，因为大家记不记得我们刚开始用勾股定律来做的，那其实这个完全可以用啊，我如果要设它是 x， 它就是 x， 你 这里面呢？ a 点的横坐标是负二，你 c 点的横坐标是什么？是不是六啊？那你这个距离不就能知道是多少啊？是不是得八，对吧？然后呢？ f 得不就是八减 x？ 同理呢，你 a c 还得四倍根号五，然后你 a f 还得四，所以说你 e f 不 就能求吗？ 那么它不就是四倍根号五减四吗？三个边都知道了，然后来用一下勾股定底，对不对？所以说第二个点都是坐标呢？ 就是什么？就是二倍根号五减四啊，大家感兴趣的话可以回去算一下。那么听到这呢，你已经非常非常厉害了，非常厉害了，再坚持一下，再坚持一下啊，至少把这道题听完，然后我们再休息一会，好吧， 好，我们来看一下，这个也是大家最喜欢的折叠，当然这个呢，没有那么难已知呢，直线 y 等于四分之三， x 加六与 x 就 y 轴分别交于 a 点和 b 点，点 c， 在 线段 o a 上将这个折叠后，哎，它是什么意思？ 它是把 a b o 沿 b c 折叠点 o 恰好落在点得数，那么你这里呢？我们是不是就默认它是个直角啊？然后你这个直线 y 等于四分之三， x 加六，那么你说你这里是不是 o b 就 得六， o a 它就得八呀， 对不对？因为你不是四分之三嘛，所以说你 o b 比 o a 就是 三比四，看到没有，那么点 a 的 坐标呢，就是 负八到零，注意啊，点 b 的 坐标呢，就是零到六，紧接着 a b 多长， a b 多长呢？我们来看一下，那不就是十吗？六八十，对不对？ oc 呢？ oc 的 话，它其实就看我们用什么方法， 如果说你要对一二三四五模型特别了解的话，那直接就出来了，这个就是什么，这个直接就得三。那如果咱要不知道的话，哎，也没有关系， 我们可以说它是 x， 这个就是 x， 因为你是十，这是六，所以说这是四，然后呢，这个是八减 x 勾股定律啊， x 方加上四的平方等于八减 x 的 平方，看到没有？所以说解出来 x 就 得三啊，所以说 o c 得三。 听到这，你已经超过百分之八十的同学了啊，还有最后三类，希望大家坚持住分段函数呢，这个给大家讲一道题吧，因为看这题干就比较友好。 在依次函数中呢，我们经历了列表瞄点连线画图像，结合图像研究函数性质的过程。小红，哎，对函数它的图像和性质进行了如下探讨，请同学们认真阅读探索过程的一个解答。 第一个，请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中啊画出该函数的一个图像，那么我们来看一下，首先就是补充完整呗， x 的 二的时候， y 的 什么？ y 的 一， x 的 三的时候，哎，是不是带不进去了？ 因为这里大于等于三，那他就去二，所以说这个图像大家发现没有，我在大于等于三的时候，我的 y 全是二，那么也就意味着三的话在这，二的就在这，那么他是这么画的， 就是在 x i 等于三的时候，那在他之前，你比如说 x 得二的时候呢？他是不是得一啊？因为这个 x 减一很好画，那么他就是大概这样画的。好的，那么到这为止，哎，大家发现没有，你这是 y 得 x 减一吗？你这个是 y 得二吧， 因为 y 的 二十条横线啊，大家注意啊，它是个横线。哎，那你说你这段怎么画呢？这个时候我们就睡到一个点，叫临界值，是不是 x 的 三的时候是它的一个临界值啊？那也就是说什么呢？ 我得看一下你上面，虽然说你取不到三，但当我无限接近于三的时候，就是我 x 得三的时候，你上面这个等于什么？是不是也得二？那也就是说，其实你在无限接近于这个点的时候，你这个图像也是在无限接近于二的，所以说我们这个图像他就可以这么画， 他是连上的这块。那么根据函数图像以下判断该函数的性质，说法正确的是。第一个函数图像关于 y 轴对称，这个对吗？很明显不对啊，此函数无最小值， 这是对的，因为你 x 的 范围是无限的，所以说呢，第二个是对的。第三个，当 x 小 于三的时候， y 随 x 增大增大，当 x 大 于等于三的时候， y 的 值不变。小于等于三的时候，是不是 x 越大 y 越大，然后再大于等于三的时候， y 是 不变的， 第三个也是对的，所以说这个也是对的。那么你看啊，若直线它与函数的图像只有一个焦点，则必得多少？好，那么涉及到焦点问题了， 这个怎么做？他说他与他只有一个焦点。那首先你看啊，这个时候我们就学到了之前教过大家的，该怎么画这个 y 的 二分之一 x， 它的 k 是 二分之一，你 y 的 x 是 这么画，那 y 的 二分之一 x 就 在下面大概率是这么画的， 他呢？如果要是这么画的话，那你看什么时候会有一个焦点呢？是不是在这啊？对吧？在这种状态下会有一个焦点，那也就是说他得恰好过这个点是什么呢？是不是三到二啊？ 对吧？所以说呢，就是当 x 的 三的时候， y 的 二，那么就是什么二等于二分之三，加上 b b 就 得二分之一，看到了吗？ 就是其实大家发现没有，我这边讲完之后好像，哎，还可以，没有想象那么难，但是呢，你在自己做的时候，你可能就蒙了，因为我刚才呢，前提是啊，我们看到 y 的 二分之一 x 一下就知道他这图像是要比 y 的 x， 他 是更靠近 x 轴的， 所以说，当意识到这个的时候，这道题就非常容易了。但如果说你之前你要不知道这个的话，哎，那其实这道题就有点难。 好，我们再来看下面这个考点啊，就是绝对值的一次函数。这个呢，我们来看一看哪道题呢？看看幸运观众，这个我们来看一下河南的吧， 毕竟是考试大神。我们来看一下有这样一个问题，探求函数它的图像与性质，下面是小明的探索过程，请补充完整函数它的自变量 x 的 取值范围。哎，这个是什么？ 他有说 x 不 能得什么吗？是不是没有啊，所以说他的取值范围就是任意实数啊， 不要不敢写，有可能同学就是不太敢写，然后不知道怎么去做，其实本来没有那么难的，下表的是 x 与 y 的 几组对应值，哎，那么大家看一下，其实这里就往里带就可以了，他这里有个 m， 那 肯定就带进去呗，那就是 m 得一。然后呢，第三个， 他说在如图网格中建立平面坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点， 并画出该函数的图像。其实呢，这道题鸟是描点的话，确实是做题的一个方法，但是呢，我更希望说通过这道题来给大家讲一下依次函数的绝对值，它到底是怎么画的， 大家看一下，以这个函数图像为例， y 等于 x 加一的绝对值。如果说你要每道题你都这么描点连线的话，那别人都做完了，你可能连一半还没描完 呢。那这个时候我们来看，原来这个函数是不是 y 等于 x 加一的绝对值，它其实难，是不是就难在哪呢？它就难在你这个绝对值，那么绝对值我们怎么处理？它一般是不是去掉，去掉的话，我不就得讨论一下你绝对值里面是正负吗？ 那么我就知道了，当 x 加一它大于等于零的时候，我 x 是 不是得大于等于负一啊？此时你这个 y 是 不得 x 加一，就本身不变， 那么当我 x 加一小于零的时候，我 x 是 不就小于负一啊？ y 呢，就等于负 x 减一， 看到没有，我就整体给加了个符号，这里面呢，这个等号啊，前面呢，不用纠结放在哪里，你要是放在一部分，另一部分就不带就可以了啊。那其实做到这，我是不是就知道，实际上你这个函数图像呢，它是在 x 负一这条线 作为一个分界线，大家注意啊，在我做过戏的时候，有很多细节，因为我要知道，我待会呢，要以负一到零这个点，他所在的这条竖线作为分界线，所以说我会把 y 轴画的偏右一些， 看到了吗？那么这个是 x 等于负一这条线，在 x 大 于负一的时候，图像是不是 x 加一啊？那也就是说此时图像是这么画的，这个呢，是实心点啊，因为你不是能取到负一吗？ 在 x 小 于负一的时候， y 是 不是负 x 减一啊？那也就是什么呢？他是这么画的，大家看好。所以说，其实这个就是我们要求的 y 的 x 加一的绝对值，它的一个图像。但是吧，在考试的时候呢，我仍然不建议大家这么画，为什么呢？因为你画的还是太慢了，大家可以怎么样呢？ 我们可以把原来 y 的 x 加一这条直线呢，给它补全，你就会惊喜的发现，假设我 x 它得负二的时候，我原来啊，是得什么，是不是得负一啊？ 但是现在呢，我 x 的 负二代入到这个式子中，是不是对应着得一啊？对不对？同理，你负三代入进去，你发现黑色的线和绿色的线，它们 同一个 x 值，对应的 y 值是互为相反数的，也就是说什么呢，我们从图像的意义来看啊，你这个画的线，你不管画的什么线，你对应的是不是都是 y 得多少啊？那么在这个前提下，你这个 y 是 不是就不可能是小于零， 对吧？因为你加起对值了，所以说你原来函数图像，你令 y 取得小于零的，这些都要翻上来 看到了吗？实际上他们两个是关于 x 轴对称的，也就是说，以后你看到这种绝对值，你首先要想到关于 x 轴对称，这样的话呢，你就会省去大量的时间，因为这道题，你比如说我来看到这个了， x 加一的绝对值啊，直接这么一连往上一翻就完事了， 你看这样理解是不是更快？好的，那么这个图像就画完了啊，我就不在左边画了，大家听懂为主，听懂为主，学会了才是自己的。小明根据画出的函数图像写出此函数的两条性质，那就是太简单了，你比如说 x 小 于负一的时候， x 越大越小，然后呢，第二条 x 大 于负一的时候， x 越大越大，都可以啊。好的，那么这个就是这道题接下来 最后一道啊，最后一道呢，我们就来看一下第一个吧，新定义型啊，新定义是大家最喜欢的函数图像了， 它在平面状坐标系中，函数它到两坐标轴的距离之和等于 n 的 点，叫做该函数图像的 n 结合点。例如二度一为依次函数 y 得 x 减一的三结合点。 好的，那么我们看啊，它其实是不是就是这个点，它与 x 轴作垂和 y 轴作垂，然后两个距离相加呀，不就这个意思吗？那么若点负二都二是 y 关于 x 的 正比例函数 m 的 n 结合点，则 m 的 什么？ 那就带进去呗，带进去 m 就 得负一，然后 n 呢？ n 就 代表着它们两个距离相加呀， 就是这个点到 x 轴和 y 轴的距离吗？那不就是四吗？因为你二加二，对吧？好，那么第二个，若 y 关于 x 的 依次函数，它的图像经过这个图像的期结合点。好，我们重新读一题啊，可能大家没有太读懂 这个函数，它经过这个函数图像的期结合点，那就意味着在 y 等于 x 加一，这个函数图像上含有 一个点点 a， 假设这个点 a 呢，它是 x 到 x 加一，我们这里呢，是不是 x 的 绝对值加上 x 加一的绝对值，它是得七的， 对吧？这个才叫它的七结合点嘛。然后呢，我们还有你他呢，还经过这个点 a 啊，那我不就相当于要把 x 求出来吗？ 对不对？而且这里呢，大家发现没有啊，你这里好像只有两种情况，要不然你就全去到绝对值，要不然你 x 和 x 加一就都大于零，就是 x 加上 x 加一，它是得七的，此时你 x 得三， 那 x 加一不就得 y 不 就得四吗？所以说你第一个坐标就是三道四，那你第二个坐标呢？就是他俩都小于零，为什么？就是他是这么写的，负 x 减去 x 减一得七，那此时 x 不 就等于负四吗？然后 y 得负三。好，那么这个要给大家讲一下，为什么我这么写， 正常来讲，我们不应该分着讨论吗？你 x 大 于零，然后 x 加一小于零，这也有可能啊，那为什么我只讨论它俩同时大于零或同时小于零？ 因为大家发现没有，你在 y 等于 x 加一这条函数图像上，你会发现啊，我们刚才如果要讨论 x 它大于零， x 加一小于零的情况呢？就是它们两个符号不同，就是 x 和 y 的 符号不同，那也就是只有在第四象限，对吧？因为它经过一三四象限， 只有第四象限，这符号是不同的。那么在这个象限中，你不管你到 x 轴的距离还是到 y 轴的距离，你怎么相加，你都不可能等于七，因为你这两个点，一个是一斗零，一个是零斗负一， 发现了吗？所以说其实他这种情况就是不存在的，他只有可能是同时都大于零和同时都小于零，所以说咱们直接带第二种就可以了，那么这两种带完之后， 记住它是两个点，第二个点是负四到负三，把它们都带入到 y 的 k， x 减二中，然后呢？ k 这不就求出来了吗？ k 一 呢就得二， k 二呢就等于四分之一啊，两个值。好的，那么听到这给自己鼓个掌啊， 大家要是想做其他的，记得去评论区留言，然后我会发给你。整体来讲呢，就是跟大家简单讲了一下， 做一些题，然后一次函数的一些定义。其实呢，归根结底大家发现没有，按照目前的新课标趋势呢，他是没有一些固定的解析模板的，但是呢，我们要根据这个题来理解啊，每道题他要考你什么？ 好，那么本期视频到这，我们下期视频再见。
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