甘肃靖远县高三考试立体几何
假如六月七号下午考的是这道题，数学压题压轴题，考前必看，加油必胜！这一道正方题的题啊， e、 f 与它都垂直相交，那就把它 它它连上，把下边的平行到上边，我就简写过程啊，就是啥意思呢？ a、 c 平行 a、 e、 c、 e， 所以 ef 就 垂直于 a、 c、 e 了， 它现在随着两条边吗？ ef 还垂直于 a、 e、 d， 所以 ef 就 垂直于平面。 a 一 d 一。 就是你这光随这两个箭头还写这两条线相交，我这写减写的过程， 那 e、 f 和这面垂直不正完了吗？他以正 e、 f 平行 b、 d、 e 呢？紧接着第二步就想要正的是 b、 d 一， 这呢？它垂直于这个啥？红面吗？就正 b、 d 一 垂直红面平面谁呢？ a 一 b、 c 一， 那就正 b、 d 一 垂直于红面中两条线， b、 d、 e 垂直于 a、 e， d， b、 d、 e 垂直于上面里边都可以 d、 c、 e 就是 你这那思路得有啊，这不是垂直两条交线吗？ 我们看明白，正垂直两条交线啊，垂直两条交线，那咱们第一条交线咋正啊？第一条交线变成黄线，黄线垂直于蓝线就正黄线垂直于蓝线所在的平面。正这两条蓝线 垂直于 ad 一 ad 还垂直于 ab， 所以 a、 e、 d 就 垂直于平面。 a、 b、 d、 e。 那 黄线就垂直于 b、 d、 e 了呗，这不是移动四周就完事了吗？接下来再正谁呢？正里边那条线里边那条线啊？这条绿线 和这个绿面垂直。绿线上的绿面垂直吗？就是 c、 e、 d 垂直于 d， e， c、 c、 e、 d 还垂直于 b、 c 和两条绿线垂直，所以 c、 e、 d 就 垂直于平面 b、 c、 d、 e 垂直于 b、 c、 d、 e 吗？ 垂直 b、 c、 d， 所以 c、 d 垂直 b d 了。 那现在这个 b d 一 现在它已经达到目的了，已经达到目的了。 b d 一 达到啥目的了？已经和两条线垂直了。哪两条线呢？一条是这个线，一条是这个线，所以就和这个黑面垂直了吗？所以 b d， e 垂直于平面 a， e， d， c 两式儿。
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04:04查看AI文稿AI文稿哈喽，各位高三的同学们，是不是马上要高考了，心里还觉得空唠唠的？不用担心，叔叔用这个视频给你总结完所有章节的易错点，易忘点，看完这个视频保证你信心百倍。那我们这个视频总结的就是立体几何部分。 首先，立体几何，第一个，几何法证明平行垂直的时候，千万别忘了书写的细节，就是线属于面线不属于面线，线相交于某点，这些要求必须写全，要不然会被扣过程分。 第二个，间隙的时候一定要说清，以谁为圆点，以谁为 x 轴正半轴、 y 轴正半轴、 z 轴正半轴，建立如下直角坐标系。但更值得强调的是， 间隙之前你一定要证明三垂直，除非题里面明确说明了三垂直，要不然但凡有一个不清晰的一定要去证明，证明不出来的一律不可以解析。 那有的题间隙非常复杂，就像二二年的那道高考题似的。那怎么办呢？我们还可以选择肌底法和纯几何法来解决空间的大题，这种题型尤其出现在 平行六面体当中，你看着他像垂直，实际根本不垂直，千万别被忽悠了。 第四个，如果第一个问题合法证不出来的话，咱就间隙，不用担心说间隙会不会浪费时间，因为在跟正的高考考场上，得分才是王道。而且你第一题间隙，第二题你可以直接用坐标往上计算。 第四个，有些复杂，坐标不好标的话，要不然你可以用几何法压到平面里面去标坐标。但如果几何法非常困难的话，你也可以设坐标，把它的位置量给设出来， 如果你设了三个位置量，就去找三个条件把它的坐标给解出来。如果你设了两个位置量，就去找两个条件把它的坐标解出来。那如果遇见了这种坐标计算的方式的话，这道题题号一定大，攻下了你就能杀到一片对手。 第六个，你要知道线面夹角算的是塞眼还是口，塞眼不要看跑偏，白白丢了一分。 而且所有的假角里面，只有二面角是可正可负的，你算出来的结果我们都加绝对值，要求他是正的，那最后一定要写上一句话，叫由彼可知二面角是锐角或者是钝角，才能下定义他是正还是负。 第七个，立体几何里面涉及到了棱台、圆台、棱锥、圆锥的公式一定要记清，尤其是关于台体相关的，因为已经几年没有考了，又是一个非常热门的考点，而且 去年刚考完内切球，那今年外切球所有的模型，所有的计算，你复习全面了吧？如果还没有复习全面，赶紧拿起笔记，重新再把各个模型计算一遍。 第八个，给大家总结几个不怎么用，但是各位必须会，而且有点长的空间几何公式。 第九个，如果出现了洁面问题，各位一定要先把洁面给补全了，常用的补全洁面的方式，要不然找平行线，要不然找延长线。如果这两个方法有欠缺的话，赶紧学起来。 第十个，对于有一些字母的判断题，比如说线和面的垂直是否符合条件，类似于这种的多选择题，各位你先默认所有的都是错的，所有的选项都要去找 反驳他的方式，找到了，那这个就不选了，如果没找到，这才是对的。这种题特别容易选多，所以怎么办呢？考试的时候拿一个笔，拿一个纸，就摆摆造型就可以了，一定要确保没有反例再进行选择。 第十一个也是一个比较冷门的四点共面，我们挣了非常多的三点贡献，四点共面公式你是否记得清？这点也是各位非常容易忽略的问题。
15:23查看AI文稿AI文稿离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。
468小飞龙-Math
33:38查看AI文稿AI文稿各位高三的宝贝们大家好，欢迎来到高考冲刺收官实讲。今天呢，我们讲立体几何，立体几何是高考最稳的满分大题，没有之一，只要你步骤规范，避开固定坑，掌握两套模板，这道大题必须拿满分。本节课不讲废话，概念全程三件事， 第一，阅卷老师最爱扣的分，问一百一十一必保的分值。第二，所有高考立体几何万能满分模板。第三，真题实战冲一百三压轴角度距离存在性难题。首先是第一板块，我总结了所有立体几何的致命扣分点， 百分之九十的同学会因为这几个步骤而扣分。首先第一个是证明题条件写不全。比如说我们在证明线和面平行的时候， 很多孩子呢，只说 l 平行于 m， 所以 l 平行于 alpha 了，没有写什么呢？一定要写上 l 不 属于 alpha， 且 m 呢，它是属于 alpha 的， 要写上这个。 而证明线面垂直的时候，很多孩子呢，只说 l 垂直于 m 一， l 垂直于 m 二，所以 l 就 垂于 r 法了，别忽略了，要写 m 一 m 二呢，是相交直线相交于某个点，这些都是老师最容易关注的一个扣分点哈。 好，接下来第二个是间隙的时候，我们不证明三条线两垂直，就开始写坐标，这也是不行的。第三个扣分点是各类角度不会转化 这一块哈，各类角度的一个转化，比如说对于线线角来说，他们求出来的，我们用向量求出来的，是向量的夹角。那跟线线角有什么关系呢？咱们线线的夹角哈，规定是一个零到二分之派。 c 它是规定属于零到二分之派，而我们向量的夹角求出来，要么是这个夹角本身，要么是这个夹角的补角，所以说需要转化成 q 线 c， 它等于 q 线两个向量夹角的余弦值的绝对值。 还有一个是线面角，线面角呢，因为存在一个互余的关系。不过我们首先也是要清楚的是，线面角规定也是属于零到二分之派， 因为我们求出来的是线和法向量的夹角，要么是这个角，要么是这个角的一个补角，对不对？而我们实际的线面角呢，指的是这个角 c 塔和阿尔法它是互余的关系，因此有三，阿尔法等于 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法就等于向量的夹角的余弦值再加绝对值，因为有时候我们可能会求出来补角。还有一个呢，是二面角 的平面角，不过这个二面角，平面角哈，还有平面与平面所成的角，大家一定要注意区分。如果说是二面角的 平面角的话， c 塔范围是属于零到派，而平面与平面所成的夹角是零到二分之派。平面与平面所成的夹角，可以直接说扣线 c 塔等于扣线两个反向量夹角与线值的绝对值。而二面角呢，需要我们结合扣分点四一块去理解 二面角的平面角，它其实范围呢，是零到派，就像我们翻书似的，翻到这种程度是不是一个钝角， 翻到这种程度是不是一个锐角，对不对？如果说翻到这种程度还是一个直角呢，对不对？我们需要结合我们对立体几何的感知，先找到九十度作为我们的一个临界点， 开口比九十度大就是钝角，开口比九十度小就是锐角，这个时候我们判断了锐钝之后，再去答二面角的一个角度的一个大小。如果说我们目测之后发现它是一个锐角，那我们就可以说 cosine c 塔等于绝对值。 cosine 法向量加角 的那个余弦值。而如果说是一个钝角的话，我们无论求出来的是正的还是负的，先加个绝对值，最后在前面再加上一个符号，这样就不容易出错了哈。 第二模块呢，是我们总结的两套答题模板，第一类题型呢，是证明题，可以用空间向量方法去解决。第二类呢，是假角求正余弦值的一个问题。对于证明题来说哈， 无论是无论是证明平行还是垂直，我们第一件事都应该先写出所有关键点的坐标，写出目标向量。对于平面的话呢，我们需要求解他的法向量。 好，如果是证明题，假如说我们要证明线线平行，那说明他们两个所对应的向量是不是也是一个平行，所以向量呢，是一个拉他倍的关系， 而让我们证明线面垂直，线线垂直是不是向量点成为零就行。让我们证明线面平行，那就说明线与面的法向量是不是应该是一个垂直关系？ a 点乘 n 等于一个零， 让我们证明线面垂直，那线和面的法向量是不是应该是一个倍数关系？而让我们证明面面垂直，说明二者的法向量是不是也是垂直点成为零。让我们证明面面平行，那两面都求出法向量， 法向量是不是一个倍数关系？ m 等于拉姆塔倍的 n。 好， 接下来第二个呢是假角求正于弦值。假角求正于弦值。前面我们已经说过了，注意线面角 我们求出来是一个比较特殊的东西，线面角是最特殊的，它是三 c 塔等于 cosine 线和面的法向量夹角于线值的绝对值。另外两个呢，都比较常规，线线都是扣线就等于扣线，对不对？只需要加一个绝对值就行了， 扣线就等于扣线，线和线夹角于线值的绝对值。而如果是平面与平面所成的夹角的于线值，是不是扣线 c 塔就等于扣线面的法向量， 合法向量所求假角余弦值的绝对值。但是注意哈，这个平面与平面有时候他会以谁杠谁杠谁的形式出现，那就二面角阿尔法杠 l 杠贝塔。这个时候我们得需要区分锐钝，锐角的话呢，他的余弦值就达一个正值， 而如果是钝角的话呢，余弦值就达一个负值。注意，这个平面与平面还是二面角，他的一个说辞哈。 第三板块呢，是咱们的高考重难点压轴，一个是距离问题，还有一个是动点存在性的问题。首先我们来看一下第一类距离问题，距离的话呢，我们会考察两个方向，一个是点面距， 还有一个呢是点线距，其他的都可以转化成这两类。好，首先我们来看一下点到平面的距离， 比如说我们现在要求 p 到 a、 b、 c、 d 的 一个距离，那么也就是 p 往这个面上做垂线，那这个推导结果是一个多少呢？先求解一下该点和面内任何一个点连线的一个向量，再乘以面的法向量，除以法向量的模，再加绝对值。 好，那我们不画图直接说 g 到 d， e、 f 的 一个距离应该怎么求？该点和面内任何一个点连线，先有一个向量， 再乘以面的法向量除以法向量的模，距离不能有负的，所以加绝对值对不对？比如说 m 到 c， e， f 的 距离，是不是就选 m c m e m f 是 不是都行？乘以法向量，再除以法向量的模，整体加绝对值对不对？ 好，接下来是点到线的距离，比如说我们现在要求点 b 到 a、 c 的 一个距离，其实这个东西啊，我们需要记一下它的推导过程，方便咱们对这个公式记得更加精准一点。点到线的距离呢，我们需要给它构造一个三角形，先连接一下 b a 向量， 接下来我们再连接一下这个 a、 c 向量，或者说 a b， a， c 都行。哈，好，那这个时候我们可以怎么样求这一段距离呢？利用一个勾股定律，它是不是就等于根号下 ab 向量的平方减去这一段的长度， 而这一段长度能不能认为就是 ab 在 ac 向量上的投影的长度？那就是 ab 点乘 ac， 再除一个 ac 的 膜 在括号平方是不就行了？所以其实 b 到我们 a、 c 的 距离，这是 b 到 a、 c 的 距离，是不是首先我们会得到一个 b， a 也行， ab 也行，对不对？先求出一个 b a 或者 ab 当斜边，然后再求 b， a 在 后者 a c 上的投影向量的平方， ok， 那 比如说我们举一反三，要求 g 到 m n 的 距离，首先斜边是不可以认为是 g m 向量的平方，然后再减去 g m 在 m n 上的投影向量 的平方是不就行了？比如说现在让我们求 a 到 c f 的 距离，那斜边是不是就是 ac 向量了？ a c 的 平方再减去 a c 在 cf 上的一个投影向量的平方， 其实说白了就是一个勾股定律。好，这是我们的第一类距离问题。第二类呢，是动点存在性问题。我们在设动点的时候呢，需要引入拉姆塔，如果是线段上的一个动点，假如说 p 点是，我们画一个图哈， p 点是 a c 线段上的一个动点， 那我们拉姆塔范围就是大于等于零，小于等于一。如果是线段上的一个动点，但是他括号里面说了异于端点，就是说不可能和左右端点重合，对不对？ 那么拉姆塔就大于零小一，而如果他说是直线上的一个点，那拉姆塔范围就属于是一个 r 了哈，好，我们以 p 点在 ac 线段上运动，或者说在棱 ac 上运动为例， p 在 棱或者是 p 在 线段 ac 上运动，那是不是就可以用小向量 ap 等于大向量 ac 的 拉姆塔倍去设哈 设 ac 等于拉姆塔倍的 ac， 因为我们知道 ap 向量的由来是末点减，起点等于拉姆塔倍的 ac， 所以 说 p 点坐标是不是就等于拉姆塔倍的 ac， 再加上我们的起点是不就行了？ 所以比如说下次我们再遇到这个 g 点是 d e 上的一个动点的时候，咱们就设 d g 向量等于拉姆塔倍的 d e。 在 草纸上分析一下， g 减 g 减 d 等于拉姆塔倍的 d e， 所以 说 g 点就等于拉姆塔倍的 d e， 再加上一个 d 点， 是不就能出来这个动点的一个坐标了，有了动点的坐标呢？然后再按照我们正常思路去表示线面垂直，线线平行，面面平行，或者是表示一些夹角，把这个拉姆塔范围给求解出来。 如果说我们题干已经说了是线段上的一个动点，求出来拉姆塔必须得是大于等于零，小于等于一才是有意义的。其他的呢，都是无效解，都需要舍去，如果是无解的话，或者说求出来不在范围之内的有效解，那么都是不存在的。 咱们先一块来看一下这道二五年的全国一卷的立体几何题，这道题的难度系数其实并不低，但是它很具有代表性。我们先看第一问哈，让我们证明的是两个平面与平面垂直。 好，首先我们回顾一下易错点，第一个易错点呢，是我们不给他证明三条两垂直的线就开始间隙， 但是其实背后还有一个东西，咱们间隙的话，最起码是得知道每一个线段的长度。可是我们在证明第一问的时候，结合体感当中的条件，有没有告诉你每一条线段的长度呢？ 并没有说明第一问，我们只能用几何法去证明，不能用向量间隙的方法去证明哈。 好，要证明面面垂直，咱们来看一下哈，一个平面是 p a b， 还有一个平面呢，是 p a d， 要证明面面垂直，是不是需要正面内的其中一条直线垂直于另外一个面即可，对不对？好，我们来看一下题干有没有条件能证出线面垂直。 首先第一个条件， p a 垂直于底面 abcd， 那 是不就意味着 p a 垂直于底面当中这些所有的线 好，又知道 a、 b 呢和 a、 d 垂直哎，我们发现 a、 b 是 不是和 a、 d 垂直，而这个 a、 b 是 不是刚还提到了和 pa 垂直呢？所以这样的话， a、 b 是 不是就垂直于平面？ p a、 d 了？再只需要多说一句，因为 a、 b 属于 p a、 b、 d， 一 问是不是就轻轻松松挣出来了？ 好，先说因为 pa 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 我 们要的是 pa 和 ab 垂直，所以只需要说 ab 属于平面 abcd 是 不是就行了？所以说呢， pa 就 垂直于 ab， 又因为 a、 d 也和 ab 是 一个垂直关系，这是题干给的好，那么我们现在发现两条线都和 ab 垂直，一个是 pa， 一个是 ad， 别忘了说他俩是相交直线，不然扣分哈！他俩是相交直线，并且他俩都 都属于平面，是谁都属于平面？ p a、 d， 因此 ab 是 不是就垂直于他俩所在的平面，也就垂直于平面 p a、 d 了？好，最后再只需要多说一嘴，又因为 ab 属于平面， p a、 b 线面垂直，线又属于第二个平面，则第二个平面和第一个平面是不是就垂直了？所以平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 有 些孩子上来可能第一问就间隙，哎，发现写完步骤之后没有坐标，那就完蛋了哈。好，第二问给了我们的一些长度， p a 的 长度等于根号二， ab 的 长度等于根号二， bc 呢？等于一个二， a、 d 等于一，加上根号三。好，现在给了这些长度，我们能不能间隙了呢？先看看有没有三条两垂直的线。 p a 因为垂直于底面，所以 p a 是 就垂直于 ab 和 ad， 而 a、 b 和 a、 d 本身又垂直，所以有现成的三条两两垂直的线，我们直接给它间隙就行了。间隙的时候我们就说以 a 为坐标原点，以 a、 p、 a、 d， a、 p 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间，直角坐标系是不就行了？好，这个是 x 轴，这个 a、 d 呢，是一个 y 轴， a、 p 呢是一个 z 轴。好，第二问的第一小问呢，让我们求解的是点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，这个 o 是 一个什么点呢？咱们先来看一下题干。说这个 o 呢，它指的是 p、 b、 c、 d 这个外接球的一个球心。好，其实我们现在发现 p、 b、 c、 d， 它什么模型，也不是直柱直锥模型，也不是漏斗模型，对不对？那怎么办呢？ 我们只好采用最原始的方法，因为咱们知道球心，球心这个点肯定到球面上，每一个点的距离是不是都相等，都是半径，所以我们就射出球心的坐标，满足球心到 p 的 距离，到 b 的 距离，到 c 到 d 的 距离，是不是都相等就行了？ 好，那我们给他设一下球心的坐标，就设 o 点，坐标为 x、 y、 z， 可以 吧？好，那么我们现在先求解一下 o、 p 的 一个长度，再求解一下 o、 b 的 长度，再求解一下 oc 和 o、 d 的 长度，让它们的长度呢都相等，是不是都等于一个 外接球的半径？ r 是 不是就行了？好，我们先看 o、 p 的 长度，该怎么求呢？先把他们所有点坐标都写出来哈， a 点坐标呢是零零零， b 点坐标是根号二，零零 c 点是根号二， 二都是零， d 点是一个零，一加根号三都是零。好， p 点呢是零零根号二。 好， o 点我们也已经设出来了，先求 o p 的 长度哈。 o p 的 长度就等于 p 点的一个坐标，减去 o 点的坐标向量各自平方，再开根号是不就行了？所以是 x 的 平方加上一个 y 的 平方，加上 z 减根号二的平方，好，它是等于个 r 的。 接下来 o b 的 长度，它等于根号下 x 减根号二的平方加上一个 y 方，加上一个 z 方，它也等于一个 r， 还有 o c 的 一个长度 o c 的 长度呢？是 x 减根号二的平方加上一个 y 减二的平方，再加上一个 z 方，也等于一个 r。 还有一个是 o d 的 o d 的 长度呢？等于根号下 x 方加上一个 y 减一，减根号三的平方再加上一个 z 方，等于一个 r， 好。 这几个东西我们看起来是不是特别难解，其实两两之间我们给他做一下叉就能解出来了哈。 比如说像这个 o b 和 o c 这两个式子，我们就可以给他平方之后再做差平方之后是不是就是 x 减根号二的平方加上外方加 z 方，等于一个 r 方，而下面呢，是 x 减根号二的平方加上一个外减二的平方，加上一个 z 方，等于一个。 都是 r 方哈，这些是不是都消了？只能说明 y 方等于 y 减二的平方，说明 y 要么等于 y 减二， y 要么等于二减 y。 是 不是这种情况很明显，零等于负二无解，所以根据这个我们就能 get 到二 y 等于二， y 等于一了， 所以解得 x 先不知道 y 等于一好，再怎么解 x 和 z 的 值呢？现在我们可以也找两个值给它连累一下，看看哪些会比较好连累？ 嗯，比如说我就拿这个 o p 和 o d 这两个长度 y 的 值，不已经知道了吗？所以先可以给他带进去。那就是第一个平方就是 x 方加上一加上 z 减根号二的平方，是不是等于一个 r 方？ 第四个式子呢？是 x 方加上这个是一减一负根二三的平方是不是三，再加上一个 z 方呢？就等于一个 r 方好？这两个式子这些是不是都消了？说明一加上 z 减根号二的平方就等于一个三加 z 方， 一加上 z 方减二倍的根号二， z 加上一个二就等于三加 z 方 好，这个 z 方和 z 方消了，一加二和三消了，所以 z 解出来呢，就是一个零。接下来我们再代入，再代入哪个式子就能把 x 的 值给解出来呢？比如说我们就代入，让这两个式子相等，可以吧？ 那就是 x 减根号二的平方加上一减二的平方就是一加上一个 z 的 平方就是零，等于一个 r 方，而这个是 x 方，加上根号三的平方是三，再加上 z 方是一个零，是不是又等于 r 方？所以 x 减根号二的平方加一，就等于 x 方加上一个三， x 方减二加三， x 方加三都消了，所以解出来 x 呢，等于一个零。因此 o 点坐标是一个零，一零零一零，很明显在不在这个平面内，所以一只 o 是 在平面 a、 b、 c、 d 内的，其实只要他的纵坐标 z 等于一个零，是不是就说明他是在平面当中的，对不对？好，接下来我们再来看一下第二问的第二小问哈。其实这个第一小问有时候我们可能想到了有思路，但是不太敢去写。 好第二小问，让我们求解直线 a c 与 po 所成角与弦值。这个就比较常规了。这个题的难点在于第一小问，哈， 好，来看第二个要求这两个线段的夹角，先求出它们所在的向量夹角 a c 向量等于多少呢？就等于 c 点的坐标根号二，二逗零。还有一个是 po 向量，刚刚我们求出来， 算了，重重新求解一下吧。哈，这是 p， 这是一个 o， 所以 p o 向量是 o 减 p， 那 就是一个零。一负。根号二，要求线和线所成角的余弦值。我们先假设 a c 与 p o 所成的角为 c， 它，那么我们现在是不是就可以说空线 c， 它就等于向量夹角余弦值的绝对值？ ok， 上边是二者的点乘，下面是二者的摩乘， 点乘的一个结果等于多少呢？点乘的一个结果是不是就是零加上一个二，再加上一个零，魔成了一个结果？ a c 的 一个膜是根号下它方加它方，所以是根号六。 而 p o 的 膜呢，是根号三，所以下面是三倍的根号二分之二分母，有理化一下，是不就是三分之根号二了？最后别忘了答答案，所有夹脚题都得答，答案，不答，答案扣分。所以直线 a c 于 p o 所乘角的一个余弦值是三分之根号二。这道题就解决了。 下面我们再来看一道二五年天津卷的高考真题。第一问呢，让我们求证 g f 垂直于平面，要求证线和面垂直，只需要保证线和面的法向量是一个倍数关系是不就行了？ 好，这个是一个正方体，所以特别好间隙，我们直接以 d 为坐标原点，以 d、 a、 dc 以及 d、 d、 e 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。好，第一问的话呢，我们就能将所有点的坐标都给它写出来。 但是其实我们为了节省时间的话，可以只写咱们所想要的一些点坐标呢，我建议把第二问、第三问的坐标也都给它写出来。 好，先写第一问的坐标哈，这一点的坐标是一个多少？这一点它是 c， g 等于三倍的 g， c， e， 说明这是一个四等分点。又知道呢，棱长是一个四， e 和 f 都是中点哈，好，大概扫一眼，那么这点的坐标是不就是一个零四三了？ f 的 坐标呢？ f 是 在 b， e， c， e 的 中点的位置，横坐标 x 呢，就是一个一半二， y 坐标就是一个四， z 坐标也是一个四。 好，再来一个是 b 点和 e 点， b 点坐标是一个四四零。还有一个是 e 点坐标， e 点坐标是二零四。下面还涉及到谁了呢？ e， b 都涉及到了， g 也有了第三问，还涉及到了一个 d 点坐标，所以我们把 d 点坐标也写出来， d 点坐标是一个零零零。好，先来证明，第一问，先求 g， f 向量， g， f 末减出，所以是二零一。 来求解一下，平面 f， b， e 的 法向量， f， b， e 的 法向量。那我们就设平面 f， b， e 的 法向量 为 n 等于 x， y、 z。 先提前准备好两个向量，比如说，一个是 f b 向量，一个是 f e 向量， f b 向量呢，是 b 减 f， 所以 是二零负四。再来求解一下，嗯， be 向量吧， be 向量等于一个多少呢？ b e， 所以 就是负二负四。四。好，那么满足，首先是 f、 b 向量点乘法向量等于个零，其次是 b、 e 向量点乘法向量呢，也等于个零。代入一下，这是二 x 减四， z 等于个零，这是负二 x 减四， y 加上一个四， z 等于一个零。首先根据第一个式子，我们可以设 x 等于一个二，则 z 是 就等于一个一了。再代入下面这个式子啊，那就是负四减四， y 再加上一个四等于零，解除 y 呢，等于一个零。所以说我们的法向量 n 就 等于先写 x， 再写 y， 再写一个 z， 他的法向量的坐标呢，就是二零一，这就是我们的法向量了。 只要满足线面垂直，也就是线和面的法向量是倍数关系是不就行了？是倍数关系吗？发现 g、 f 和 n 它俩是不是一个一倍的关系？ 因为 g、 f 等于 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就平行于法向量 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就垂直于平面？ f、 b、 e 好， 用空间向量的方法咱们就正出来了。接下来我们再看第二问，让我们求平面与平面所成的夹夹角。好，这一块我们先回顾回顾两个 e 混小点， 第一个 e 混小点是什么呢？是谁杠谁杠谁，比如说 a 杠 bc 杠 d 好， 这个的话就是有锐有钝，锐钝都有可能， 对不对？润润钝均有可能。接下来如果他说的是平面 a、 b、 c 与平面 b、 c、 d 所成的夹角，那肯定是一个锐角，因为平面可以无限延展，对不对？行，那么我们现在开始求两个平面的法向量 f、 b、 e 的 法向量呢？在上，因为我们已经求解出来了，现在只需要在单独求解下 e b g 的 一个法向量就行了，那我们就设这个平面， e b g 的 法向量为 n， n 就 等于 x 一 y 一 z 一， 可以吧？哦， n 已经用过了，我们是一个 m 等于 x 一 y 一 z 一， 再求出我们的 b e 向量，再求一个 b g 向量，可以吧？ b e 向量，其实我们在上一文已经知道了，所以再单独求解一下 b g 向量吧。 b g 向量 b 和 g 的 好，也就是 g， g 减 b， 所以 是一个零减四是一个负四，四减四是一个零，三减零是一个三。 好，接下来我们就能满足 b g 向量点乘 m 向量等于零，同时这个 b e 向量呢，点乘反向量 m 是 也等于零。好，代入一下哈。 b g 点乘它就是负四， x 加三， z 等于零， b e 乘以它就是负二， x 减四， y 加上一个四， z 等于零，根据上面都是角标，都要加上一哈。根据上面那个式子，我们可以先设 x 一 等于个三，这样我们就能求出 z 一 呢，就等于个四。 再代入下面这个式子，那就是负六减四外一，再加上四，四十六是不等于零，所以也就是负四外一加上一个十等于零，外一，求出来等于一个二分之五， 外一就等于一个二分之五，所以我们的反向量 m 就 等于一个多少呢？反向量 m 是 不是就等于三，二分之五 都是一个四？好，这就是我们的反向量。但有些孩子说，我这个反向量感觉负值有分数，感觉特别麻烦，所以还可以怎么办呢？还可以同比例的放大多少倍，放大二倍是不是就没有分数了？那这个就是五了，所以最后反向量也可以写成六五 八，那这个时候我们要是改的话，都要给他改成六五八哈，好，这就是我们的法向量 m 了，要求平面与平面所成角的余弦值，因为肯定是一个锐角，所以我们就先设这个夹角为 c 塔，可以吧？ 先设平面与平面所成夹角为 c 塔，直接扣在 c 塔，就等于绝对值。两个反向量的余弦值，因为肯定是一个锐角，上面是二指的点乘，下面呢是二指的一个魔乘，再加绝对值。好，我们圈出来这两个向量哈， 一个向量是 n 向量，还有一个是 m 向量，好，先是进行一个点乘点乘，结果二加上一个零，加上一八得八。 两个的膜上面 m 的 膜呢？是一个 n 的 膜，是一个根号五， m 的 膜是一个根号下三十六加二十五，加上一个六十四，所以这是一百二十五， 根号下一百二十五。 ok， 上边是一个二十，这个是不可以写成根号五，再乘一个根号五，再乘一个根号二十五，分别开出来是五和五， 所以是二十五分之二十，也就是一个五分之四，所以我们的余弦值是不算出来了，别忘了所有夹角都得答答案，所以平面与平面所成夹角的余弦值是不是就是一个五分之四了？接 下来我们看第三问，让我们求的是三棱锥 d、 f、 b、 e 的 体积。首先 d 点呢，是坐标原点，我们用荧光笔给它圈出来，让我们求其的是 d、 f、 b、 e， 好， 这样的一个三棱锥，我们给他连起来之后，嗯，看看他是不是一个好求底，好求高的一个三棱锥呢？ f、 b、 e， 按照他的说法，想让 f b， e 做底，想让 d 呢？当顶点，也就是 d 往平面内的垂线当高。按理说三棱锥我们求体积是会有一个等体积法， 可是这个等体积法能不能行得通呢？我们可以试一试，如果换，如果换这个 e 当顶点底面，就是它得求 e 到它的距离，不好求高。要换成这个得求 f 到这个平面，距离，不好求高，要换成这个，得求 d 到它的距离，每一个都不好求高。所以我们就还是按照原始的 d 当顶点， f b， e 当底面，可以吧？那么三棱锥的体积就等于多少呢？ v d f， b， e 是 不是就等于三分之一？ s 三角形 f b， e 再乘一个高 h， h 指的就是 d 到这个平面的一个距离。好，咱们先把 h 给准备好， h 就 等于是 d 到它的距离。那点到平面距离怎么求呢？还记得公式吗？这个是一个嗯白高的一个模板， 点到平面距离，先让该点和平面内的任何一个点连起来，形成一个向量，再乘以 f， b， e 的 反向量，用的是 m， 用的是 n 向量表示的，再除以一个反向量模，整体再加绝对值是不就行了？好，那我们需要提前准备好这个 df 向量。 d， f 向量，我们的点和 f 点坐标都已经写好了哈，在这在这写一下， d， f 向量是不是就是 f 点坐标，所以是一个二四四好， d， f 已经知道了哈， d f 是 二四四 好，反向量我们又知道是一个二零一，所以代入哈二的点乘，那就是四，加上一个零，再加上一个四，只需要除以法向量的模就行了，除以个根号五， 所以就等于根号五分之八，也就是五分之八倍。根号五这个点到平面距离高是已经求解出来了，接下来我们要致力于求三角形 s， 三角形 f、 b、 e 的 一个面积。 f、 b、 e 这三边的边长分别是多少呢？首先 ef 的 长度直接就是棱长， b f 的 长度直接用勾股定律，这个是一，呃，这个是一个二，这个是一个四，所以它是一个二倍的根号五。 再求解一下 b e 的 长度， b e 直接用两点锯就行了，或者是用 b e 的 模，它是就直接根号下它方加它方加它方，根号下四加十六，加上一个十六， 加上一个十六，这是三十六，所以这个长度呢，就是一个六，并且其实我们还注意到他满不满足共五定律呢，四四十六加上一个二十，就刚好等于一个三十六。好，先写好每个边的一个长度哈， e f 等于一个四， b f 长度等于一个二倍的根号五。还有一个是我们的 b e 的 长度是等于一个六， b e 的 长度呢，等于一个六，都是用勾股定律或者用向量的膜去求解出来的，发现满足 e f 方加上 b f 方是不等于一个 b e 方，因此这个 e f 呢，就垂直于 b f， 说明这个角是一个直角。既然直角三角形面积是不就等于二分之一 乘以这个 e f 的 长度，再乘以这个 b f 的 长度，所以就等于二分之一乘四乘二倍的根号五，最后结果呢，就等于四倍的根号五。行所有东西都准备好之后，直接代入三分之一乘一个底，面积再乘一个高 五分之八倍的根号五行，两个根号五，一乘和五恰好就能消了，所以最后的体积呢，就是三分之三十二。 好，有时候求体积哈，咱们需要往两个方向去想，第一个就是等体积法，如果好求高，直接用等体积法换一个顶点做尖就行， 如果不好求的话，咱们只能乖乖的用点面具，用一个空间向量的方法点面具去求高。然后三边的边长呢，都用勾股定律，或者都用向量的模的，向量的球模的方法把长度求解出来， 看看是不是一个特殊的三角形。如果说是特殊的三角形，直接就用二分之一底乘高，比如说是个直角三角形或者等边等腰什么的。如果是非特殊的三角形，咱们得用鱼线令里先求 cos 值，再求 cos 值，再用二分之一 ab 三 c 它的方法去解决。
169跟着西瓜老师学数学
14:46查看AI文稿AI文稿二六高考风向标，求角不见隙，几何法才最快！我们今天讲的几何法求夹角的绝招就是不用，你有很强的空间想象能力，做题速度依然比间隙档要快三倍。期不期待？期待期待。 那我们先来讲一下夹角一共有几大考法，总结过没？总结过哪些考法？第一个考你什么角？ 线线夹角？线？面角？对，这个主要以小题为主，对吧？偶尔大题也会出现啊。第二个叫什么？ 叫线和面的夹角，这个很重要吧，大题经常必考，超级重点，对不对？还有第三个，什么 面？面角，也就是你们经常也会看到的二面夹角，也是出现在大题，当然小题这几年新高大考也会考它。咱们一个一个来说，先说线线角，我先问你第一个问题， 两个直线的夹角的范围是多少你知道吗？一到九十度哎，很好，两个直线的夹角是比零度大， 比九十度小，但是可以取到九十度，没问题吧？没有。那我们在这里讲到的线线角主要说的是意面，直线的夹角 ok 吗？说是意面，那对于这种求意面直线夹角的问题都有哪些方法？你会吗？ 嗯，第一个，你是意面，我们不会，我们会什么面？共面？对啊，所以法意叫什么？平移，叫平移，我们可以通过平移把它平移成共面的，没有问题吧？没有。第二个，还有呢， 很好用，就你发现你平移的时候会出体，不好用了，所以这个招叫做空间，对于弦定力。 还有第三个，你实在实在不会，那你就去间隙吧，就用向量法。 咱们这节课先来说第一个叫做平移，不着急，一个一个来啊，看题，他说在直三棱柱当中，就这个直三棱柱 bca 等于九十度， bca 这个角是九十度，说明这个角也是九十度。 m n 分 别为中点，那 m n 就 为这两个线的中点吗？对不对？然后说 b c c a， c c 一 是相等的， b c c a c c 一 从 c 点发散出来，这三根线是一样的，没问题吧？没有。然后他让你求夹角，从头到尾没有告诉我长度，所以我就想先给他设一个长度，因为他有终点，所以你们打算把这些边长设成多少？ 一也可以。那如果取中点取一半的话，是不是变成二分之一了？对，所以我设成二二二是不都可以？可以来求 b m b m 是 谁？就是这个红线和 an， 就 这个红线的夹角， 它是不叫异面直线的夹角。那异面的问题我们不会，我们第一个方法是通过平移把它变成共面的。 那你告诉胡老师，这两根线平移，谁要么平一根，要么两根，双向奔赴是不都可以？只要让他俩的这顶点是不能接住，是不就够面了？那你告诉我平移的是哪一根线？后面的虚线还是前面的这根线？嗯，平移， 你把这个你看怎么怎么怎么移，移到这，比如说跟他接住可以吧？移哪根线？ 哎？ m b， 我 通过平行移动， m b 是 不是移到这来了？来，那你他俩平行吗？这是你觉得他俩是平行的， 对吧？那是能不能证明他俩平行？如果他俩确实是平行的，那就是求你俩的夹角，说白了就是这个 c 糖，对吧？你可以把它画成虚的啊。我只是为了让你看的更清楚一点，能不能证明他俩是平行的？ 怎么证明终点？对，终点，立马第一时间想到中卫线，这个是不是平行等于他的一半？那他是不是跟这个又是一样的呀？你看这不是一半吗？ 我只要取这个点是终点就可以了，是不？你又平行等于他的一半，所以这两根线平行且相等，他不就平四边形了吗？常规正法吧。平行里面的常规思路，正法对不对？对，好，长度没发生改变吗？用平四去正吗？刚才完全就是这个思路。那求你俩的夹角。那怎么求呢？ 平移之后的操作一般是立马用什么？用余弦定力吗？对，用余弦定力，然后你可以把大家连起来，在一个三角形里面， 把这三根边分别求出来，然后用余弦定力，求下角就完了。思路很简单吧，来，我们带大家去。呃，操作一下这个过程。先求一下 an 吧， an 长度能求出来等于多少吗？ an， 是 不是把它放到直角三角形里面去？是的，是不是这个 a e， n a， 是 不？这个是直角三角形，能看来吗？可以来，这长度是几二二，来这一一，所以这是根号下五 a n， 会了，来，下一个叫谁？ 呃，这个我们给他起个名，叫做 f 吧，好不好？好，来，叫 n f， 告诉我 n f 是 多少？ n f 干啥？ n f 不 会。你是不是可以求 m b 吗？对不对？它不就等于 m b 吗？平移过来的吗？对， m b 是 多少？这个是二勾股定律吗？这一段长度是几？ 这段是几？这段是二二二，这直角，这是二倍的根二，所以他是根号下二，所以根据勾股定律，他是根几根号下二的平方是四根二的平方是二，四加二是六， 对吧？来，下一个叫做 af， af 等于多少？ af， 这是终点吧？是的，终点吧，是的，对吧？你管他中不中点，其实也无所谓了，是放在这个直角三角形里面去求啊，就这个对，能看出来吗？ 这一半是一，这是二，所以他是根号下五，三边的长度都知道了。所以说我在这个三角形里面把你们的夹角设为 c 躺，我去求 cos， 躺不就欧了，来 cos 躺他摆一下吧。求，这个是邻边的平方， 对， an 是 五，我就不摆公式了啊。六，这个六减七，对边的平方是五除以二倍的邻边 an 是 根号下五，还有一个是这个根号下六， 会吧，会干没干没，你俩一约是不是剩三了？所以根号三十分之三会不会多少？划一下？三十分之三倍的根号下三十，能约能约，所以他是十分之根号下三十， 所以这就是属于意念夹角平移里面比较入门的思路了。这道题平移完之后，你看整个都在这个题里面，哎，也好研究长度也好办， 但是不是很多题你通过平移这个长度都好算的，有可能有的题你平移完线之后，这个线出题了，什么叫出题了？他不在这个体内外面来了，那对于这种问题，我们应该怎么做呢？所以 下一个例题我们给大家再升级好不好？好，来看下一道题目，这是一道曾经高考考过的真题，他说平面阿尔法过正方体的顶点 a， 正方体的顶点在这，就有一个平面阿尔法吗？对不对？我们接下来找那个阿尔法是谁啊？他说阿尔法得平行于平面，就是这个面蓝色线连起来，这个面没问题吧？没有，就有一个平面过点 a， 还得跟他平行， 能理解啊，可以来下一个，同时这个 r 法与这个面交于 m， 这个面是哪个面？是底面，对 这个面还得与底面找到交线，而且这个面还与这个面 abbe 一 a 一。 abbe 一 a 一 是哪个面？右侧面。说成人话，你这样看起来清楚一点， 与右侧面是不是交于 n 啊？让你求两根交线所成的角的正弦值。那首先第一件事，你应该把 m n 那 两根交线在哪里先给他找到，对吗？对。 那那个面怎么画呢？会画面才能找交线呀。所以这道题的突破口在哪里？在于首先第一个条件，平行。 说白了你得画一个跟他平行的平面，这个平面可能是而法是这意思吧？是，那你如何画一个跟他平行的平面呢？ 就是我们前面给大家相当于讲过那个平移一个平面吗？如把这个平面进行平移，平移的过程中让他过 a 点，不就有可能是而法吗？面吗？对不对？那如何去平移一个平面呢？ 平移这个面中的两根相交线，对吧？那你选一下吧。一二三，告诉我平移哪两根相交线？ d 一 b 一 c d 一。 首先第一个我觉得平移他比较靠谱，为什么他往下一平移，再往 a 点，这块一平移，是不是就过 a 点了？是的。平移两根相交线吗？对，就可以确定一个新的平面，那个面不就跟他平行了吗？对不对？对，来，把这个往这移，那往这移肯定不行，因为没过 a。 人家说了，这个面最后得过顶点 a a， 那 就往 a 一 点。对啊，往这移是不是出面了？对，出面了怎么办？正方体出面不用担心，大不了就是我再补一个正方体呗， 对不对？你在这个正方体的基础上，自己一定要学会去补。行，我再给你补一个正方体挨着，这基本能力啊，两个正方体落到一块怎么画，上下怎么画，前后怎么画，大家一定要学会画， 补呗。来，我开始带你平移，把这根线平移到这来，有问题没？来，再平移一根线选谁？ 再选一根？选两根香蕉线， c b 一 吧。 c b 一 往哪移？你告诉我。 c b 一 往后面这个面， c b 一 是不是可能往后面这个面移？对，假如移到这了，我问大家行不行啊？来，看题，看题。 那是不是组成了一个平面了啊？对，看题，题要的是这个平面，不就跟他平行了吗？对不对？这个平面与底面的交线为 m， 是 不是这根线为 m 了？ 对，对不对？对对，这个线与右侧面，就原本的这个正方体的右侧面这的交线。请问你平行到这之后，你能够找到与右侧面的交线吗？找不到，你能够尽可能的一眼能看出来是最好的， 对吧？你是不是还得把这个面再延展再去找？对啊，所以我平移它好像不太行。 cd 一 平移谁平移？ cd 一 好平移它往哪移？告诉我。往 a 点移，你得知道把它往哪移啊？很聪明嘛。有人说往 a 点移，有的同学可能会觉得把这直接移到这来， 移到这来之后的效果跟刚才那个效果是一样的呀。是的，跟他交不出来线啊。跟右侧面是不是是尽可能往 a 点移，是不才能跟右侧面有交线？是的。 那你跟我说移到哪了？来？平移这，移到这来了。不行，还得移到 a 点，再往后移，后面再补一个长方，非常好。往后面再补一个正方体或者长方体就可以了。 缺谁补谁吗？对不对？那个面我不给你补完啊，你自己可以补一下。我把那个看，往上一画，那个面大概噔噔噔长这样，就后面还有个正方。这，这是后面那个正方体的右侧面，对不对？他的后面还有一个正方体，能理解不？可以， 他是不是本来在这？我再往后一移，我是不是移到这来了？是的，是不是找到交线了？这两个夹角就是我本道题 m n 所成的角。那你是 m， 这个线是 m， 明白了不？所以这道题最核心的点在在于哪里？在于第一个出题了， 基本的正方体，长方体，三棱柱，对吧？补一个棱柱怎么画？你得会画那个线不是出体了吗？对不对？对哎，第二个，你出体之后你得会找到交线。好，你告诉我他们的夹角是多少度？ 他们的夹角是六十度。为什么？因为都是面对角线。有的时候胡老师把这俩一连，用余弦定力，用刚才的另一。其实你发现哈，你俩的夹角和没有平移之前的夹角是不一样的。 这不夹角不一样的吗？你移到这来了，你移到这来，你夹角变了吗？都是平行移动的吗？夹角没变吧？对，你移到这来，平行移动的倾斜角没变。你平行移动，你的倾斜程度也没变。你俩的夹角是不一样的呀。求你的夹角就可以了，它夹角是多少度？ 这是一个正方题，正方题，这是侧面的对角线吧？对，侧面对角线，侧面对角线，所以这是一个等边三角形，所以说这个夹角是六十度，正弦值是二分之根。三，瞬间秒杀， 简单不简单？对啊，这就是我们今天给大家所讲的线线角。第一个，先问自己能平移吗？如果能，就用余弦定力，如果不能，我们刚才采用了什么平移叫做不行平移，这个不行也好补， 但是呢，如果下一次我们遇到的这两根线，比如说在椎体里面，或者藏在一些不好补的那个体里面，七绕八拐的，你平移也给他凑不到一块，你补也补不到一块，那这个时候你干瞪眼怎么办呢？ 不用怕，所以我们得有备胎的方法，也就是我们今天要给他说的第二个叫做空间余弦定力， 他就是不管图有多恶心，你不用平移，也不用补行，直接可以秒杀出结果的更牛。所以呢，线线角的一二三，这三大方法只是其中的三个招啊。胡老师把立体几何里面的 三大夹角，一共给大家总结提炼出了十一大核心方法，都是高大考特别爱考的，而且每一个方法都给你配套了专项训练， 大家把这十一大题型搞透，那不管是大题还是小题，我相信以后你直接可以拿满分，抓紧时间打印起来，跟着胡老师课，赶紧训练起来吧，好不好？好好下课！
1615老胡模型数学思维
07:57查看AI文稿AI文稿零基础速通空间向量所有考点整体来说分为线面关系和面面关系。线面关系从平行垂直线面的夹角，当一个直线和一个平面内的任意一条直线平行，那么它就平行于这个平面。 当一条直线必须垂直于平面内的两条相交直线，他才可以垂直于这个平面。想想这是为什么？如果他只垂直于一条直线，为什么不能跟这个平面平行呢？ 要求线面的夹角可以过交点画一条虚线，此时这个角就是线面夹角，这条虚线可以在平面内任意的去画，但是必须保证他是锐角， 线面夹角不好直接求出来。为此我们借助向量画出垂直于阿尔法的法，向量设为 m， 此时这个角和线面夹角是互余的关系， 而当法向量的方向朝向下方，此时它们之间的夹角比线面夹角多了九十度。我们用一个详细的表格来分析， 当两个向量的夹角为这个角，它和 serta 加在一起是九十度，而下面这种情况，角阿尔法是等于 serta 加九十度的。 一个项 r 法就是等于九十度减三它，那括号 r 法就是括号九十减三它，即便偶不变符号，看项线，它就等于三三它。 而下面这种情况，括号 r 法是括号三幺它加九十度，最后化简是等于负三幺它的，因为它在第二项线了。 综合分析一下，扩塞尔法视为正数的时候，那塞塞尔塔就是等于它本身。而我们这个扩塞尔法 尔法是钝角，它算出来就等于一个负数，此时塞塞尔塔前面要加个符号，那就相当于塞塞尔塔是等于负扩，塞尔法负负则正，因此我们综合一下，塞塞尔塔永远都是取正数的， 就给阔萨尔法加上一个可爱的绝对值符号，这里注意和后面的二面角区分。 记住，法向量我们还可以证明面面平行，找到阿尔法和贝塔各自的法向量 m、 n， 证明他们两个互相平行就可以，那么举一反三，面面垂直，只要法向量互相垂直即可。 最后求二面角，二面角有锐角跟钝角两种情况。先认识二面角，在两个平面内各自找到垂直于交线的直线。 第一个图中这个角就是二面角，它是一个锐角。第二个图中同样的方法，但是这里的二面角是一个钝角， 我们以右侧这个图详细的说说怎么求二面角做出平面二法和贝塔的法向量。由于各自垂直， 这里就是九十度法向量之间的夹角，也就是这个角和要求的二面角是互补的。 所以求 m 和 n 的 扩散值就是扩散一百八十度。减去 serta 符号看象限，这个等于负扩散 serta， 所以 扩散 serta 就是 等于负扩散。两个发向量。 第一点这里要加符号，第二点，注意他没有改变名称，扩散还是扩散，跟线面夹角不同，一定不要和前面的混淆了。 当法向量 n 朝向下方，此时两个法向量之间的夹角和 serta 就是 相等的关系，所以两个法向量的扩增值就是等于扩增 serta。 看到这里有些同学就有点绕不清楚了，我们来整理一下，其实分两种情况，因为二面角为钝角，那么扩散下它就是等于一个负数， 因此它为正数的时候，要在前面添上一个负号， 就等于负扩散。而它是本身就算出来等于负数，那么扩散斯特就是等于扩散斯特，不需要填负号。 这是因为题目中的二面角本身就是一个钝角，所以扩散斯特一定要等于负数。 那如果二面角是锐角的时候，扩展塞塔就一定为正数，所以两个法向量的扩展值是正数，直接照抄就行，是负数，添上一个负号， 这样你就把它从负数转换成正数了。而二面角，按我们刚刚前面的类型，是一个钝角的时候，它的扩展值一定是负， 那么你算出来原本就是一个负数，直接就让它令它相等。如果是一个正数，填上一个负号，锐角永远为正，钝角永远为负， 这是可以通过图形中观察出来的。再强调一遍，它和线面夹角不同，线面夹角是 c 等于小于直角的绝对值。 第一小问，由于 a 一 垂直于底面， 底面的 a、 b 和 a、 d 又互相垂直，以 a 为圆点建立坐标系，把 x 轴的 y 轴放成一个平面图形， 列出 a、 b、 c、 d 的 坐标下面假角的针线值，就把向量 c、 e 和向量 b、 d、 e 的 法向量求出来，之间以法向量假角为 r 法，那线面的假角乘三，它就是等于可乘 r 法的绝对值。 最后一问，再列出平面 b、 d、 f 的 法向量。二面角的余弦值有法向量的扩森值，算出来之后，再看正 负图中 b、 d、 e 和 b、 d、 f 这两个平面之间加在一起的这个夹角特别像一个锐角， 所以算出来的结果也应该是正数。其实这地方我们不打绝对值也是 ok 的， 只不过 咱们已经肯定了，最后算出来是正数，打一个绝对值总是没有错的。如果你觉得这个二面角是个钝角的话，最后你得到的结果要在前面再加一个负号， 锐角取正，钝角取负。好，今天的内容就到这里，我们下一期再见，记得点点关注。
18:22查看AI文稿AI文稿你以为考折叠？最后一问，暗藏圆锥曲线？同学们大家好，欢迎来到科帆老师的课堂，今天给大家带来的是一道立体几何题，而且是立体几何中的折叠问题。 折叠问题对于不少同学来说非常复杂，他会觉得，哎，老师，我折叠，我不知道一些等量变化折叠问题。首先我们先要想好折叠的之后，他图像哪些性质是不变的，翻折的是还在同一个面上的，长度是不变的， 翻折之后还在同一面上，同一平面上。另一个条件就是同一个面上，它的角度也是不变的， 他要求就是都是要在同一个平面上，所以这两个是不变的，可以让我们去分析图像不变的题型。那请看。我们先来阅读一下题目，题目中说这里有一个三角形，三角形，它还是一个等腰三角形。 这个三角形中还告诉了咱们，嗯，腰和底分别是多少。我们来简单画一画， 这个三角形 a、 b、 c 分 别是二根号五，二根号五，底边长为四等腰，三角形 d、 e 分 别是这个三角形的腰。呃，中位线演到题目中说，沿着中位线 d、 e 往前面折，使得 a 翻起来之后所得的点记为 p 点，翻折起来之后形成个 p 点，连接 p、 b、 p、 c 形成一个四棱锥。好，这个四棱锥大家记一下 它的名词，四棱锥，其中取 b、 c， 中点记为 f 点，然后连接 p、 f 好， 就构成了咱们的第一个图，这个就是立体的图了。 那接下来请看翻折下来哪些量不变，我们观察一下。第一问，叫咱们正 d、 e 垂直 e、 f。 首先看到 d， e 这条线跟 p f 这条线明显是异面直线不相交的，那异面直线我们的思路就是正其中一条线垂直另外一个线所在的平面。显然观察出来，这里我要连， 我要连接这个中点 f 点的话，就会形成一个垂直，因为它是等腰三角形，所以我要是在 在这里取一个中点，是不是就是这个中点 o 一 连这个 o 一 连这个 o 点和这里的 o 点会形成一个特殊的形状， 此时我们观察到这个 o 点 d e 是 翻折的直线，那我们会看到 a d e 其实还是在一个平面上，因此它的角度是不变的，也就是说 p o 跟 d e 还是垂直的。补上第一小问，我先由 咱们的 ab 等于 ac， 且 f 为 bc 中点，所以通过三线合一，我们就证出 a f 就 垂直 bc。 然后又因为中位线，且咱们 d e 是 平行，且等于二分之一个 b c， 那 因此就推出 a f 也推垂直 d e 垂直的传递性，这里垂直了，所以这里也是垂直的好。传递过来之后，我们就发现 刚刚说的 p d e， p e d 还是在一个平面上，所以翻折起来，这个还是垂直的。同理的底面 b c， d e 还是在原来底面上，所以这里也是垂直的。所以我们就推出翻折之后，咱们的 d e 照样垂直 p o， d e 照样垂直 f o， 且又因为 p o 和 f o 都相交于 o 点，所以推出 d e 就 垂直面 p f o 好， 那么其中 p f 是 包含在咱们面 p f o 中的，所以第一问第一就垂直 p f， 第一问就证明成功了，嗯，难度不是很大，只要记住我们的 折叠之后的量，在同一个面上的量有些是不变的，这个原理就行了。好，接下来继续看。第二小问题。目中说，当平面 p、 d、 e 与平面 b、 c、 d 垂直垂直时，求二面角，那好，我们来思考一下， 转起来垂直时就二面角，那垂直的话，那是不是代表两个平面是垂直的？我们先把两个平面写出来，这平面分别是 p、 d、 e 这个平面，还有底面这个平面。这两个平面垂直的话， 那我们根据第一问所设的两个平面分别垂直。第一问我们也正了， 正了，咱们的 p、 o 是 垂直底。呃， b、 d 的， 那我显然就得到得到一个信息，面 p e、 d 垂直面 b、 c、 d、 e。 且第一问也正出 p、 o 是 垂直 e、 d， 其中 e、 d 还是这两个面的交线。 我这条线垂直于交线，那得到这条线垂直于交线，得到什么信息呢？ 垂直交线 p、 o 垂直交线，那就代表我的 p o 就 垂直整个底面。 好，得到这个信息，那接下来我找到二面角，二面角分别是 p、 b、 c、 d。 又因为首先我找到二面角的公共棱就是 b、 c， 我 在其中一个面上找一条线垂直公共棱。显然找出咱们 p、 f 是 垂直 b、 c 的。 原理是什么呢？因为哟，太大了， 原理是咱们的 e、 d 是 平行 bc， 且 e、 d 是 垂直面垂直 p f， 所以 b、 c 也垂直 p f 垂直传递过来，那就证明出我们的 p a、 b、 c 垂直于一个孔功能。那再在底面中找，显然也找得出另一个孔功能也非常简单，找出来 咱们 o、 f 也是垂直 b、 c 的， 那这里又是孔功能，且 指出这两个边分别是属于两个面内， p、 f 是 在咱们面 p、 b、 c 内， o f 也在面 b、 c、 d、 e 类内，所以我们就说角 p、 f、 o 是 咱们二面角 p 一 杠 b、 c 一 杠 d 的 平面角。 好，我们快速的发现这个是平面角，也就是这个角是平面角，那刚好我们第一位也正出 p o 垂直平面，也就证明 p、 o 垂直他们的 o、 f。 所以 在 r、 t 三角形 p、 o、 f 中，我们快速的能分辨 出长度出来，因为第一是平，嗯，因为我们的这个是角平分线，对吧？呃，中位线。第一，不仅是咱们三角形 a、 b、 c 的 中位线， 它同时第一是中位线的话，它肯定也平分中间这条线，所以中， 所以 p o 就 等于 o、 f， 那 又是直角三角形，又有平分，又有两个腰相等，所以就推出咱们角 p、 f、 o 就是 四十五度，所以三角形 p、 o、 f 就是 等腰， 它就是一个等腰 直角 三角形，它是等腰直角三角形，所以推出它是四十五度。好，这题第二问也收工， 嗯，难度一般，嗯，基本上都能写出来。那接下来看到难度最大的压轴了。第三，选第三个小题，继续阅读题目。题目中说，二面角 p d、 e、 b 在旋转过程中， p d、 e、 b， 也就是说上面这个三角形，再从 a、 d、 e 的 过程中， 它在 a、 d、 e 的 形态下往 p d、 e 上去旋转的时候， 嗯，这个假角是，它是有所改变的，对吧？它往上转，这个是它角有所改变。求 pcd 所在的三角形的重心的轨迹的长度，重心肯定是由这个三角形 pcd 的 形态形状去改变它的位置的。 那也就是说，本题我们其实就是要固定 p 点在哪里，确定 p 点在哪，因为 c 点、 d 点是固定的，而 p 点是动的，我们要找找 p 点到底是怎么动。好，我们通过一个中间这条线，连接 a、 f 这条线，去观察它是怎么动的。好，我做好辅助线先。嗯，因为我观测到它这条是这样子动，这里还是记为 o 点， 而且也观察到这个是垂直的，也就是说 a、 f 这条线就是绕着咱们这个 d、 e 去旋转的。 那因此我就记这条是 x 轴， o 记为圆点， d、 e 这边是记为 y 轴，使斜轴就穿插在这里，垂直于底面。 好，在此过程中我们能感知得到 a 点，它就在 这条线上运动，它就在这个面上运动。 a 点挪到 p 是 不会挪到实线轴上，又继续会挪到 y， 头跟 y 重合，而且头跟 f 重合。往这方面去动，你能能不能感知到 o a 长度是等于 o， a 长度是等于 o f 的 长度的，因为它是中位线的性质。判断出 o a 等于 o f， 那就是说 a 会绕着 d、 e 来旋转，旋转上来到斜切轴，继续旋转下来到 f， 这就是这个二面角的运动的轨迹，而且能看到 a 就是 绕着上面动，对吧？那也看感觉得到咱们 a 的 左色号， 咱们的呃，坐标系 o 杠 x y 实线如图，老师简略写了如图，那因此很多坐标就出来了，如图中我们能快速的看出 f 坐标就是二零零。 嗯，忘记算了，给大家算一算，二又跟他五，这个是二，勾股一下这条长度， a、 f 长度就是四，那一半是 o， o f 就是 二， o e 就是 二， o f 也是二，所以这个 a 坐标就是二零零， c 坐标就是二二零， 第一坐标就是零一零。好，这三个坐标就够了。那此时我们就由这个 p a 点往 这个角度慢慢变大， a 点会挪到跟旋转到 n、 f 点重合的过程中，我们能发现 p 点就是在这条以 o 为圆，心的半径为二的圆上，而且能感能知道 a 点就在咱们的 x o 实线面上， 故咱们的 a 坐标就可以写成 x 零 零和是 x 零。且因为咱们的 o a 是 等于二的，所以通过向量计算根号 x 零减零。呃， a 点跟圆点的这个距离公式，加上 y 零， y 零是零啊，零点零 的平方加上实线零减零的平方等于二。整理一下就得 x 零加上实线零的平方等于四。好，我就得到了一个方程， x 和 a 点的 x， y 的 x 的 实线的关系。 此时在计算过程中，我们重心的公式，因为 g 是 三角形， p c， d 重心， 那重心的性质就推出来了，所以咱们的 x g 就 刚好是等于 x， p 加 x， d 加 x， c 除以三， y 也是。所以我们就可以简单计算一下， x g 就 等于 x， p 就是 x 零加上 x， c 就是 二，加零，再除以三。 嗯，所有 x 坐标都相加， x 加 x 加 x， 同理的 y 坐标也一样， y g 就 等于三分之零加二加一就得一。实谢 g 就 等于 实谢零加零加零除以三，就等于三分之实谢零。好，得到这三个， 得到这三个量，我们怎么用呢？然，因为我们发现 x g， y g 实切 g 都跟实切零有关，都跟这个 a 点有关， 都跟什么 a 点有关，因此我把它都写成跟 a 有 关，而 y g 是 等于一，所以会发现它只受 x g 和实切 g 影响。所以我们能发现 x 零就可以等于三倍的 x g 减二。 y 啊，实泻零也可以等于三倍的实泻 g， 那因此就推出这个 x 零。 y 实泻零是可以代进咱们的这个本来它的轨迹方程中，这个它的这个关系式中，我们就得到了一个很神奇的式子， 带进去就得到三倍 x g 减二的平方，加上三倍实泻 g 的 平方等于四， 整理就得到。我把删除出去， x g 减三分之二的平方，加上实线 g 的 平方等于九分之四。那此时有没有发现，这个方程就是一个 以三分之二逗号零为圆心， 三分之二为半径的圆。也就是说 g 点的轨迹是一个圆形，其中 y 是 固定的，它是在同一个面内，同一个平面内它只受 x g 和实线 g 影响，那它是个圆，那我们也能感知到 p 的 轨迹是一个半圆，对吧？那因此 g 的 轨迹也是由一个半圆从这边慢慢的上升过来，形成个半圆，那因此我们知道圆的一半的周长， 只要如半圆就是锥的轨迹，就等于派二，就等于三分之二。派好第二小问，只有个第三小问就解决了。 通过运算发现车的运动的轨迹，通过轨迹的形态就计算出他的轨迹的长度。那这题就是一个隐藏在立体几何中的圆锥曲线的轨迹问题，大家理解了吗？嗯，今天就讲到这。
34柯帆学数学¾
17:02查看AI文稿AI文稿斜修立体几何夹角到底有多强？他能让你把这种高考真题瞬间变成小学口算题？ 那这节课听完，你会发现你以前学的夹角全白学了，因为以前费老大劲要去画辅助线，还要去平移，然后你发现还平移不到一块去。那么今天这节课 跳过所有的空间想象能力，不管图形多么复杂，基础弱，照样跟老胡拿满分，信不信？信信！我们来讲，今天我们要讲的是空间余弦定律，它主要解决什么问题？ 意面直线夹角的问题，意面直线 夹角的问题，上节课不是讲了吗？对吧？说平移平移不到一起去怎么办？保守方法就是它。那么空间余弦这里是什么？我们来先说一下，教一下你记忆方式，好吧，我们再来说证明，再来说题目，一点一点来啊。首先意面直线，你看，我给你两个意面直线， 任何两根意面直线，你把它们这端点彼此互连都能连成一个锥体。 拿着你的笔在本子上画一下，是不是任何两根把端点彼此之间一连都可以连上锥体？所以我要求这个意面直线的夹角，我就可以在这个锥体当中去求解，没问题吧？没有好， 这是二级结论给你总结出来的公式，直接用都不用平移的。我要求的是 a、 c 和 b、 d 的 夹角，这个就代表 a、 c 和 b、 d 夹角的余弦值，没问题吧？没有，等于谁呢？ 二倍的你俩求你俩就是你俩。那楼上这是啥呀？感觉好像记不住呀，来，我给你拆解，瞬间记住，看这里。首先我们要求的是 a、 c 对 吧？这是 b、 d， 你 没发现这个锥体底下有三条边，侧楞有三条边，那么 a、 c 是 底边， b、 d 是 侧棱。底边每一个底边都对了一个侧棱，每一个侧棱都对了一个底边，我们把它们叫对棱。你看所求解，这两个东西是不是对棱？是的，对吧？对棱。哎，你看它有几组对棱呢？除了是 a、 c、 b、 d 之外，它还有一组是 ab， ab 的 对棱是谁？告诉我 dc， ab 和 cd 是 不是对棱？ ok， 还有呢？ ab 找到对棱了，还有一个 bc， bc 有 对棱吗？有， bc 的 对棱是谁？ a， d， a， d。 对 了，我要求解的是这个 来发现 a、 b， c， d， a， b， c， d， b， c， d， b， c， a、 d。 发现了吗？ 发现吗？一共是三组对棱，意念直线是不是其为其中一组对棱？对他的加角等于另外两组对棱的平方和作差， 谁在前谁在后都无所谓，因为这里有绝对值符号，对吧？对，你俩平方和，减去你俩平方和，或者说你俩减，你俩是不是瞬间记住了？ ok， 来，需不需要我去做证明啊？需要，到底正不正？正？那我来证一下证明。如何去证明？ 求两个异面的夹角除了平移之外还有什么思路？想一想。我们现在不用平移啊，用平移都不至于给他搞锥体了，对不对？除了平移还有什么思路？回想一下啊，两个直线的夹角哪里有两个直线的夹角？ 哪里有？向量里面有对吗？对，向量里面是不是有它俩的加角问题？所以我可以借助向量去解决。什么意思？本题让我求的是 a、 c 向量点乘以 b、 d 向量。我就求你俩的加角呗， 是不这里面有加角嘞？摸摸不就有考赛吗？我求你俩点乘是多少来，它俩点乘等于。可是 a c 和 b d 这八个字打不着一撇呀，也不知道加减在哪里啊。所以向量的本质就是要向量转化嘛，对吧？转化成你会的。那怎么转化呢？告诉胡老师， a c 向量点成一看 b d， 咱俩连 公共接口的地方都没有，咋找咋找。所以我可以把 b d 转化。转化成谁？你俩？你俩不就跟 a 有 关系吗？可不可以做什么法？等于 a 啥减 a 啥？穿黑吧。 a 啥减 a 啥？ a d 减 a b a d 向量减去 ab 向量起点消失后之前没问题吧？没有打开来，不要着急啊，我给你打， 我直接写摸摸烤散可以吧？打开之后是不是就是摸摸烤散了？是的。好嘞，我直接写了 ac 的 膜， ad 的 膜乘以加角是多少？告诉我 ac 和 ad ac ad 是 不？这个加角叫做角 d a c 减去继续重进来 ac 的 膜来。加角是烤散多少？ ac 和 ab， 这是 a c， 这是 ab 是 不？这个夹角是角 b a c 角 b a c 我 们现在证明了这个东西和这个东西是不是可以再次被替换，替换成跟边长有关的。我要的就是边长吗？对不对？来吧，它等于谁？ a c 的 魔长我写一下 a d 的 魔长掏散 d a c d a c d a c 黄角是放放在这个三大三角形里面去给他上什么 余弦定里对吧？三个棱吗？就转化成三个棱有关的吗？对，是不是上余弦定里啊？是来开始它余弦定里等于谁？跟我写一下上面是谁的方。 a d 向量的平方就是魔长的平方吗？一样的吗？加上 a c 向量，魔长的平方减去 c， d， dc 向量模长的平方除以二倍的二倍的 ac 向量的模长， ad 向量的模长。别瞎麻烦嘛，来，继续跟上节奏啊，看谁在那打盹，来 照抄没什么难度嘛，对不对就照抄呢。 ac 向量 ab 向量来，这个 bc， b， a， c 是 不是就放在这个三角形里面去跟我带一下，等于谁 ab 向量的平方加上 ac 向量的平方，然后嘞，减去 bc 向量的平方除以谁 二倍的谁？换个颜色，二倍的 ac 向量魔长， ab 向量魔长，我先跟这边重合了，给你换个颜色，看的清晰一点是吧？全是魔长的计算，你不会算吗？盯准了啊， acad 没了吧？没了没，没了。 a c a b a， c， a， b 是 不全没了？是来，现在我看谁不会计算啊，二分之，这是不是都是二了？ 对，是吧，来定准啊，看哪些能算。 a， d 方有吗？能，有，能跟他干掉的没？没有。那我就写了啊， a， d 方， a， d 向量的平方来继续 a， c 加，这不讲减吗？减，是不是？这是一个加， ac， 这是加，这前面是减吗？是不是就干没了？对，来，继续。这啥 减？ d， c 是 方是吧？还有呢？减去一个 d， c 的 方，我抄一下减去一个 ab 向量的平方，还有呢？加上一个 bc 向量的平方， 发现没？我要的是不是加加？看两个一加是不是中间带减的。对，是往那个结构上去凑呀，是二分之来继续，剩谁了？ a 啥 a 啥？ a， d 加 b， c， 可以 啊可以啊，是不等于你俩一加？写了啊， a， d 向量的平方 加上 b， c 向量的平方，括号减去是不等于你俩一加呀？对，叫做 ab 向量的 平方加上一个 c， d 向量的平方，是不是这个结构就出现了？是的，你就是他吗？是不是？你就是他吗？对吧？那有人说胡老师，这跟他做的不一样呀。 这跟他做的不一样。我要的是啥？你要的是这两个向量的什么夹角？它这两个向量等于谁啊？ ac 向量模， b d 向量模是不是乘以 cosine theta？ 你 是不是要的是你俩的夹角呀？是不是你就是他？有问题吗？ 没有，两个限量点乘完是不是就是摸摸。考三这一大坨是不是就等于他？是的，我要的是谁？我要的是加角，所以加角就等于这一大坨，把这两个是不是除过来？是的，能能，能看出来吗？可以除过来看，这一大坨不就是他吗？把这除过来就除到底下来了吗？不就完了吗？ 看看出来了吗？考三 c 了，就这一大坨。蓝色的就是他吗？这不是就等于他吗？对不对？对，我要求的是夹角吗？把这除下来不就完了？不就那个式子吗？对吧？对，那你现在郁闷的地方在哪里？ 你郁闷的地方在于没有绝对值啊。你挣完的东西是不是没有绝对值？对，那怎么我给的有绝对值呢？问题出在哪？ 问题出在你求的是向量。我问你啊，两个向量是不是由直线挂个箭头来的吗？ 对不对？两个向量的夹角可能是哪个角？比如说你求出来这个角是三分之一，那么如果这个箭头又换方向，是不可以跑，跑到这边来有可能还是这个角呢？两角互补的话，这个角是多少？负的三分之一 对不对？所以你要求他们向量的夹角有可能求出来的是就两根直线对的向量吗？有可能是这个夹角，有可能这个夹角 对吧？你求出来可能是正值，可能是负值，但是我们两个现在要的是直线，直线的夹角上一节课都讲过了，永远是一个锐角，不可能是钝角吗？所以你求的是向量夹角有可能是这个值。我们现在要的是直线。那你取那个小的不就是直线的夹角吗？ 取小的值是不是对应的直线的夹角？所以你不管是求出来正的还是负的，给他带个绝对值，他就变成那个小的夹角了。能不能理解这意思？对，你拿项链做的，但是我最后求的是直线的夹角，我解释明白了吗？明白了，完了，证明完毕。 证明很简单，就是用了一波项链转化了一下，只是计算过程看起来复杂，其实还好。来做题吧。 你会证明做题就很简单，我刚刚给大家总结过了，找三组对棱吗？要求的这一组对棱等于另外两组平方做差呗， 出个二是不是这意思是二倍的？他们来看，这里看题，全国就要真题。认真看题啊，说在正三棱柱当中，然后 ab 的 长度是一，看谁没有看题， 然后 a a 一 的长度是二分之根，二就是测棱嘛，对吧？对，意面直线的夹角就是黄线和这个虚线的夹角，怎么求法一？什么？讲过了， 意面直线叫法一，叫平移，法二就是平移之后发现出题了，我是不是可以补行平移？对，尝试一下法三。我都不想这么干，我想无脑操作，闭着眼睛操作就叫空间余弦定力 怎么用？我都讲过了，我说任何两个意面直线彼此连接，他们的顶点是不可以组成一个锥体？对，先找到他对应的那个锥体，能理解不？能怎么找？看这个点和这个点能不能连， 连一下，这个点和他这个点能不能连？我连完了。还有呢？彼此之间是不都能连一下？我跟你连一下吧，你看这个锥体你不就很快找出来了吗？把他的端点。哎呦呦， 彼此之间互连吗？这不是我连了吗？还有哪个没连，是不？这两个没连，我连了，你能不能看出来他是一个椎体？可不可以理解为以 a 为顶点，以这个面为底面的一个椎体，你能看出来吗？你看不出来，把这椎体翻正，翻正，正面的字母一标就可以了， 是吧？是彼此之间互联。来吧，见证奇迹的时刻到了。我先要求的是 a b 一， 盯准了 a b 一， 它的对棱是谁？ a b 一， 这是相当于那个侧棱了，对不对？对应底面的是谁？告诉我 b c。 嗯， a b 一 对的是谁？他对的是不是应该是 b c 一， 这是我要求解的对吗？ a b 一。 好，这个侧棱有了。哎，这个侧棱 ab ab 和底面，找找他的对棱， ab 的 对棱是谁？ a b 的 对棱能不能找到？它是 b 一 c 一， 来下一个一共三个侧棱吗？还有一个是谁？ a c 一， 给每个侧棱配一个对棱吗？对不对？ a c 一， 它的对棱是谁？ 能看来吧， b b 一， 有的人看不来，如果你看不来，就把这个图形画正，把字母重新标一下，画成这种的是不是看着就很明显了？是。接下来把一二三四五六这六个的长度算出来，代公式是不是就结束了？是，来一个一个算 ab 一 的长度是多少？ ab 一 是不是就在这个直角三角形里面去算？对，一的平方加上 他的平方吗？对，是吧？一加二分之一，二分之三，所以他是根号下二分之三没问题吧？来第二个看 bc 一。 bc 一 是不是也是在这个直角三角形里面去？是不是你的平方加上一的平方？是不是跟刚才一样的根号下二分之 三没问题吧？来 abab 的 长度，这个是一，没问题吧？没有。来 b 一 c 一 b 一 c 一， 他的长度是几？ 你是一吧，因为它是一个等边三角形。好，这个 a c 一， 这个呢？ 这个是不是和红线其实是一样的吗？等于你的一的平方加上二分之根号二的平方，所以它是根号下二分之三。来 bb 一， bb 一 是二分之根二。 直接开始代公式就好了。我来考三 c， 它等于注意 二倍的求谁的夹角是不二倍的。谁谁求的谁的夹角？ a b 一， 这乘乘以谁？根号下二分之三，根号下二分之三，没问题吧？ 楼上是你俩的平方和减去你俩平方和，是不是？来，你俩的平方和一的平方加上一的平方，减去括号，你的平方加你的平方，是吧？这多少 根号下平方码二分之三加上四分之二，对吧？对，带一个绝对值，这是几？ 这不是四分之六吗？四分之八吗？这几二，这一大坨是二，这几二二减二等于零。 c， 它等于多少度？告诉我。 九十度，九十度，两个直线的夹角顶天的就九十度吗？最多的二分之派，九十度没问题吧？没有空间余弦定力牛不牛？牛，是不是不需要很强的空间想象能力，我通过代数计算我就瞬间能把它算出来，但是 空间余弦定力再牛，也只是我们给大家讲的夹角问题的十一分之一的题型， 高中立体几何三大家角。我们给大家总结的是十一大的杀手锏，也全都是高大考特别爱考的。然后每一个方法胡老师都给大家配套了专项训练 啊，全部都覆盖，而且不绕弯学透它，那么不管是线线角线面角和面面角，考试中给你就是送分题，所以说大家可以抓紧时间打印下来，跟着胡老师的节奏去训练起来，考试咱们这块拿满分好不好？好下课！
2272老胡模型数学思维
03:20查看AI文稿AI文稿高考数学解难题共五道，立体结合综合题是必考核心题型，这些题型看似复杂，实质是区分八类核心题型，把握以下命题方向，并分类吃透，备考就能精准发力，少走弯路。 第一类是空间线面平行垂直关系的证明，主要围绕两大方向命题，也是空间几何体各类平行关系推证，熟练掌握判定以性质定律即可破解。二是空间几何体各类垂直关系认证， 理清线线线面面的推导逻辑，是立体几何最基础的核心考点。第二类是空间几何体中空间角问题，区分三大考察重点，包含线线角、线面角以及面面角的求解， 灵活运用几何法、空间向量法与空间坐标法，就能从容应对各类角度计算考题。第三类是空间几何体的距离体积计算问题， 聚焦三大命题维度，还盖点到直线、点到平面的距离求解， 以及各类几何体体积计算，重在公式，活用于空间转化思想，属于试卷中的基础别得分题型。 第四类是立体几何中的探索与追驰问题，分为两大命题方向，也是几何量相关的追驰求解，常结合函数与不等式综合分析。二是立体几何中的存在性探索性思维， 这种空间逻辑推理属于中等拉分难点。第五类是空间几何体的支点与展开问题，这种考察空间想象素养， 把握这题展开前后边长角度等不变量与变化关系，是破解此类题型的关键所在。第六类是立体几何的前面问题，这种空间图形直观辨识，与前面做图 相关计算，专门考察抽象空间认知与图形分析能力。第七类是与球相关的立体几何创新问题，围绕球的体面、立体球、外界球等核心性质命题， 结合近几年高考创新命题趋势，重在几何综合素养的灵活运用。 第八类是多面体与球的切击综合问题，系统考察人助、人、追、人抬等结合体的外界球、内切球，以及人切球的球心定位与半径计算， 将空间几何与球的性质深度融合，是今年立体几何压轴热门方向。这八类子题型几乎覆盖了立体几何解答题所有考法， 无论题目如何变化，一般都逃不出这些命题框架，同学们针对性逐一突破，就能稳稳抓住这道解答题的分数。
599骑电驴找黑马
05:55查看AI文稿AI文稿这道立体几何的题目呀，很有意思啊，它在作图的时候，如果你把它做在这个立体图形里面，会很麻烦，因为会有很多线，但是如果啊，你把它 独立成两个平面的图形，然后想清楚，感觉会更快一些。我们先来看题目吧，首先这个角 a p b 是 等于九十度的，角 a p b 是 等于九十度，我们把这个图像给它复刻一下吧， 其实是可以画的，不用太标准的，因为我也说过了，我会把它弄到那个弄成独立成两个平面的图形，一个三棱锥，是吧？接下来呢，我们看把字母给标上去，角 a p b 是 等于九十度的， 然后角 p a b 是 等于六十度的，那我们这就要敏感了，三十度，六十度，九十度，对不对？那么就是一比根号三比二， a b 等于 b， c 等于 c， a ab 等于 bc 等于 c a， 那 其实，嗯，就是说做到这，那你应该对，就是说要画哪两个具体的平面图形也应该清楚了，对吧？那我们接下去往下看点，屁在平面 abc 的 摄影啊， o 啊，刚好在咱们的 ab 上，所以说明什么呀？ 摄影吗？刚好在 a、 b 上，所以说明我们的角 a o、 p， 它刚好是什么？九十度，对不对？接下来呢，我们要求直线 p c 与平面 a、 b、 c 所成的角的正弦值 啊，正确值与弦值都是一样的，我们看啊， p c 和咱们平面 a、 b、 c 所成的角，也其实就是这个角吗？ 这个角对吧？ pc， 然后这个是垂直垂下来的一个摄影设线，是吧？那么其实就是这个角嘛，那么这个角的正弦值你要怎么求呢？首先第一个，你得把 o p 给求出来吧，是不是 把 o p 给我求出来，然后因为 po 是 垂直于这个平面 a、 b、 c 的 嘛，所以说 这个是个垂直，那你想求这个角的，呃，三角函数值，那肯定就是 p、 o、 o c， 还有 pc 嘛， pc 不 太好求，我们就求 p o 和 oc。 好， 那要求的就是这两个东西， 哎呀，怎么又换笔了，莫名其妙的，那么这两个东西怎么去求呢？我们发现呀，这其实是一个直角三角形嘛，对吧？然后这又有垂直，那我们把这个图形给它独立出来，独立做成一个直角三角形， 你就会发现事情变得非常简单。那么嗯，这个六十度，这是 a， 九十度是 p， 这里是 b。 好， 那么接下来我们知道 po， 它是垂直于 ab 的， po 垂直于 ab， 然后这个角，比如说我们这个 ap 呀，就可以设成二，这个呢就是咱们的二，根号三， ab 呢就是四，那么接下来呀，这个是六十度，对不对？ 那么这个是六十度，这里是直角，这个是三十度，那么刚好就是一比根号三比上二，对不对？一比根号三比二， o a 就 等于一， 对不对？ ap 就 等于二，我们的 o、 p 呀，是不是就得出来是根号三呀，对不对？水到渠成的 o p， 它就等于根号三， 那么接下来 o、 c 怎么算呀？ o c 在 我们的三角形 a、 b、 c 里面，对不对？那么三角形 a、 b、 c 看到条件了吧？ a、 b 等于 b， c 等于 c， a， 说明什么？它是一个正三角形，对不对？好，我们把这个 a、 b、 c 也给他画出来图形。那么接下来呢，我们发现呀， a、 o 它是等于一的， a、 b 呢？它是等于四的，整个是等于四的，是不是？那不就相当于求 o c 的 话，把 o c 连在一起，把 o c 连在一起，有没有发现一个什么事情呀？ o c 你 可以怎么求？用国五定底呗。 c 垂直坐下来是吧？垂直坐下来呢，刚好这条线它就是三线合一，对不对？又是中线又是什么线的？中线的话，嗯，你看这个这条边长是四，那么左边是二，右边也是二， 左边的二减去这个 o a， 那 么这个就是一，那么在因为它的边长又为四吗？这个正三角形，那就是二，二根号三四 o c 是 写水到渠成的，可以算出来是一的平方加上二根号三的平方，再开根号呀，也就是什么根号是三，对不对？那么正弦值与弦值不就好求了吗？啊？正弦值的话，就是 啊，这个对边 o p， 根号三比上咱们的这个斜边 p c， p c 的 话也就是三，加上十三开根号，这个的平方加上这个的平方开根号嘛，也就是四分之根号三 正确值刚好求正确，就是咱们的对边比上零边，也就是 o p 比上 oc， o p 比 o c， 就是 根号三比上根号十三，上下同乘一个根号十三，就变成了十三分之，根号三十九，对不对？就是小宝问的是这个东西吗？ 这个题给的是四分之刚好三，因为我觉得啊，因为你第一小题求了正确，第二小题还求正确，可能不太对劲，所以说这个题目我搜到的话，它是一个正弦。好吧，但是其实都一样， 所以说你看到了，其实没有必要，就是在这个图里面做一堆乱七八糟的线，你可以把它独立出来，独立出来就很简单。
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13:57查看AI文稿AI文稿立体几何学不好，就是你垂直没有学明白，因为所有的立体几何的问题本质上都是 垂直的问题，所以一旦遇到正垂直，你看咱很多同学脑子就燃成一锅粥了。那么今天这节课，胡老师就给大家讲透所有的垂直模型，听完这节课，你去做任何一道关于垂直的高考真题，是既快又爽，期不期待？期待 所有的垂直问题一共分为几大方向，我们来先来看一下，第一个叫什么？让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好， 让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直， 我们先来说线线垂直，只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？ 常见的第一个叫做三垂线，也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它，嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图，首先，比如说这是阿尔法面， 然后呢，而法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l， 然后呢，而法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。 需要胡老师做简单证明吗？需要，需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明， 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大题里面的过程，你大题要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路 来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和面垂直，线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了？因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 i o i o 是 你中的线吗？我写的是思路，对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？ 因为 pm 垂直面。对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言，又因为 i o 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜 b 垂射，比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面 pm 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内的线吗？所以 m 垂直于 l， 一 撇， 两个理由是一样的，会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考，大家题目的很重要，来一起看题目，我擦下黑板。好吧，好， 来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题说，下列正方体当中 o 全都是正方形的中心，没问题吧？没有屁为所在棱的中点，这屁都是什么点？ 它的棱上的中点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到的 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个 l 是 不是翘起来的线啊？对不对？我们垂舌垂射必垂，斜必垂射，说的是给翘起来的这根线说找他对应的 摄影，摄影谁翘起来找谁的摄影是不是？是啊，所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？相当于在正方体的那个外面的表面上？我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？ ok， 是 不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给谁找摄影？找看 你是不是要证明的是这两个异面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？对，上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来。对，是不是往下面打比较容易啊？垂射必垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？平行的对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的，你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系嘛。所以我也能把 a 排除掉是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫这充当了这根红线来。哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了。 m n 明明在面内啊。哦， m n 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么摄影打垂线对不对？对，来过藕点给他打投影，打到了。怎么打过藕点是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直的 m n 跟他是垂直的。 你不是中位线吗？中位。你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直？ m n 垂射， b 垂斜，这就是斜线， 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 i o， 一个是 i o， 哪个相当于我这里翘起来的 i o 来哪一个？ o p o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点？相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧。给面打垂线是不跟刚才一样的？噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线选的一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系， 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为 m n 在 背面的面上来，对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的， m n 也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？ 把这个关系要捋清楚啊。过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞。相当于这个 p 点，相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线，你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六，那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻， 所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。那 今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
639老胡模型数学思维提升
00:36查看AI文稿AI文稿高中数学最难的立体几何模型规划全部掌握，考试冲进前三模型一，墙角模型使用范围推导过程模型二，汉堡模型。模型三，对棱相等模型案例 模型四，斗笠模型公式模型五，锤面模型。 模型六，切瓜模型。模型七，最值模型。模型八，折叠模型完整版领取！
45落～（进裙领）
06:24查看AI文稿AI文稿太阳底下没有什么新鲜事，高考数学呢？更没有什么新鲜事，比方说二四年高考第三题考的是立体几何，去年高考第三题考的还是立体几何解答题。 所以的话，那你在复习备考中立即几何所设立的问题知识点。比方说第一问考的是证明，对吧？无非就是五个问题，线线线面平行面面平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直。 你把这五类问题每一类的要素你都裹清楚来，这还会拿不下吗？然后第二个的话，无非就是两种方法，第一，传统法，第二，空间向量法。 那比方说传统法，你去求这个二面角。对，二四年高考的问题，我们说就是用什么呢？三垂线定， 那二五年呢？他没有考，他山川地地理，他考的是什么呢？空间向量法呀？啊，所以你把每一种方法你都裹清楚，那么高考拿到这个卷子，你就会觉得 so easy， 有 手就行， ok， 同学们， 那我们来看一下二五年高考这个几答题说的是什么呢？哎， 你看第一位要你证明的是什么？面面垂直。那么我们说过，所有的垂直问题都是证明线面垂直，你要证明面 p a b 垂直面 p a 得，我不就是证明线面垂直，那我证明哪条线垂直哪个面呢？呃， 你看 ab 垂直 a 得 pa 会垂直 abcd， 那 不就很快得到了 ab 垂直 a b c， d， 那 不就很快得到了 ab 垂直 a b c， d， 那 不就很快得到了 ab 垂直， ab 垂直 ab， 这不就可以得到 a b 垂直面，这个 p a 得嘛，对吧？然后呢， a b 呢？又会在这个面 p a b 内啊，所以呢，得，这 当然，这是我们一个提纲，你高考可不能就这么三言两语就结束了啊。我们说过，证明线面垂直一定是三要素，第一，你要正到这个屁，这条线会垂直什么？两条相交的直线。 第二，你要强调这两条直线是相交的。第三，你要说这两条直线呢，是在一个面内才能推出这条线垂直这个面。好，这是第一问，就能够很快的拿下了。那接下来我们来看一下第二问，这是一个很经典的空间向量法， p a 等于根号二 a， b 也等于根号二， bc 等于二 a 得等于一加根号三。好，它要证的是 p、 b、 c 得在一个求 o 内，然后呢，要证明 o 点呢，是在这个平面 a、 b、 c 得内。 很多同学误以为这是一个求外接求半径的问题。 no， 审题出现大大的错误， 人家问你是球心 o 的 位置，这是一道空间向量法的题目。首先第一步我们先干嘛呢？间隙啊，对吧？以 ab 为 x 轴， a 得为 y 轴， ap 为 z 轴，建立空间直角坐标系。 然后呢，我把点描出，哎， bc 得 p， p 点的坐标不就是零零，根号二吗？ 对吧？ b 点的坐标呢？哎，根号二零零， c 点的坐标呢？哎，根号二二零的，这个得点的坐标呢？零一加根号三零。 然后再接下来，你不就只要设 o 的 坐标是 x、 y、 z 吗？对吧？那么大家思考一个问题，外接球球心有什么特点？不就是到四个点的距离都相等吗？ 所以的话，因为他是这个外界球星，所以他会有满足什么 o p 等于 o， b 等于 o， c 等于 o d， 对 吧？然后再用两点之间的距离公式代进去，那这样子再解这个三元依次方程组， 但是你需要真的认真解吗？当然不需要，为啥？因为人家要你证明这个 o 是 在这个面内，在这个面 a、 b、 c 等内有什么特点之一等于零啊，所以无论如何，你这个算出来之一都要等于零的呀， 所以你可以大胆的先猜测之一就等于零，再去算 x、 y， 这不就变成化三元为二元问题吗？那么解这个方程，那不是手拿板砖吗？ 同学们就这么淳朴，喵，同理，那我们把这个 o 点求出来，把 o 的 这个坐标求出来了之后呢？哎，再带到去算第二位，那更加的 easy， 对吧？那这就是一个纯粹的一个向量的问题，求异面直线夹角，那不就是啥呢？ cosine theta 不 就等于向量 a c 乘上向量 p o 的 绝对值，除上 a c 的 膜， 除呃，除一个 p o 的 膜，那这个问题不就 so easy， 咱们 a 点的坐标已知，那 a 点呢是零零零， c 点的坐标呢？是多少呢？哎，这是怎么说的？根号二的一加根号三啊， b c 等于二，所以 c 点的坐标呢，它会是根号二二到零，对吧？ 然后 p 点的坐标呢是零零，根号二， o 点呢，我们求出来了，是零一零， 那这样子再把数据带进去，这个第二问不就又美美的拿下了吗？同学们， 这个高考的前三道解答题，咱们只要用心去备考，在计算过程中要不出错，如果前三道题，这啊这个 四十三分，你如果能拿下四十分，那不是稳稳过一本线吗？
63江城数学毛老师
03:51查看AI文稿AI文稿好同学们，我们来看这道例题几何题，这是一个棱长为一的正方体 a、 b、 c、 d。 减 a 一 b 一 c 一 d 一、 我们需要判断五个结论的正确个数来。先读题。题目说如图， a、 b、 c、 d。 减 a 一 b 一 c 一 d 是 棱长为一的正方体。 下面结论， a、 b、 d 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c、 a、 c、 e。 垂直于 b、 e、 c、 a、 c、 e。 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 大 直线 a、 c、 e 与 b、 c 所成的角为四十五度 a、 a。 到平面 c、 d、 e、 b、 e 的 距离为，其中正确结论的个数是百。注意啊， 第五个结论的距离值题目没给我们，需要自己算。审题分析这道题考察正方体中的线面平行线线垂直线面垂直意面直线所成角和点到平面的距离。 好，我们需要逐一判断每个结论步骤一，判断 e、 b、 d 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 看这个正方体 b、 d 是 下底面的对角线，而 b、 e、 d、 e、 c 是 上底面的一个三角形平面。 注意啊， b、 d 和 b、 e、 d、 e 是 平行的，因为它们是正方体相对面的对角线，所以 b、 d 平行于 b、 e、 d、 e 而 b、 e、 d、 e 在 平面 b、 e、 d、 e、 c。 内， 因此 b、 d 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 结论发正确步骤二，判断 a、 c、 e 垂直于 b、 e、 c 来 a、 c、 e 是 体对角线 b、 e、 c 是 上底面的一条棱，我们需要证明它们垂直连接 a、 e、 c、 e。 在正方形 a 一 b 一 c 一 d 中 a 一 c 一 垂直于 b 一 d 一。 但这里要证 a、 c 一 垂直于 b 一 c。 注意啊，可以连接 b、 c 一。 因为 b、 c 一 垂直于 b 一 c 而 a、 c 一 在平面 a、 b、 c 一 内通过三垂线定力或向量法可得 a、 c 一 垂直于 b 一、 c。 结论，正确步骤三，判断 a、 c 一 垂直于平面 c、 b 一、 d 一 好我们已经知道 a、 c 一 垂直于 b、 e、 c。 还需要证明 a、 c 一 垂直于平面内的另一条直线，比如 c、 d 一 连接 a、 d 一 同理可证 a、 c 一 垂直于 c、 d 一， 因为 a、 c 一 垂直于两条相交直线 b、 e、 c 和 c、 d 一， 所以 a、 c 一 垂直于平面 c、 b、 e、 d 一、 结论，哇，正确步骤四，判断 a 直线 a、 c 一 与 bc 所成的角为四十五度。 注意啊， bc 是 下底面的棱，而 ac 一 是体对角线异面直线所成角需要平移，将 bc 平移到 b 一 c 一， 那么 ac 一 与 b 一 c 一 所成的角就是角 ac 一 b 一 在直角三角形 ab 一 c 一 中， ab 一 等于根号二， b 一 c 一 等于一， 所以角 a、 c、 e、 b、 e 的 正切是根号二，不是四十五度。结论， a。 错误步骤五，判断 a、 a 到平面 c、 d、 e、 b、 e 的 距离来，这个距离怎么求？我们可以用等体积法， 三棱锥 a 减 c、 d、 e、 b、 e 的 体积等于三棱锥 c 减 a、 b、 e 的 体积。正方体棱长为一，所以体积为三分之一，而三角形 c、 d、 e、 b、 e 是 等边三角形 边长为根号二，面积为二分之根号三。设距离为 h， 则三分之一乘以面积乘以 h 等于体积三分之一， 解得 h 等于三分之根号三。结论， i 正确。好，现在总结一下。结论，矮正确歹正确歹正确歹正确，歹错误，歹正确。所以正确结论的个数是四个。 答案，填四知识点总结这道题考察了正方体中的线面平行，判定线线垂直，证明线面垂直判定意面直线所成角的计算以及点到平面的距离。求法 注意啊！常用方法有平移法、三垂线定律和等体积法，同学们要熟练掌握这些技巧。
25林老师教数学
03:19查看AI文稿AI文稿好同学们，今天我们来看一道正方体中的立体几何综合题。题目给了一个棱长为一的正方体。要判断五个结论的正确个数来，先读题。如图， a、 b、 c、 d。 减 a、 e， b、 e、 c、 e、 d 是 棱长为一的正方体。 下面结论， a、 b、 d。 平行于平面 b、 e、 c、 a、 c、 e。 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 直线 a、 c。 一 与 bc 所成的角为四十五度 a、 a。 到平面 c、 d、 e、 b、 e。 的 距离为多少？其中正确结论的个数是几？注意啊，这道题考察的是空间线面关系线、线、角点面距离的综合应用，我们需要逐一分析每个结论。看这个正方体， 先找到各个顶点和关键线段。好，先看第一个结论， b、 d。 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 注意啊！ b、 d 是 底面的一条对角线，而 b、 e、 d、 e 是 顶面的对角线，它们平行且相等。 再看平面 b、 e、 d、 e、 c。 它包含 b、 e、 d、 e 和 c 点。因为 b、 d 平行于 b、 e、 d、 e， 且 b、 d 不 在平面内，所以 b、 d 确实平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 这个结论正确。来第二个结论， a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 看这个正方体 a、 c。 一 是体对角线 b、 e、 c。 是 侧面的一条对角线，我们可以连接 a、 e、 c。 一。 注意啊，在正方形 a、 e、 b、 e、 c。 一 第一中， a、 e、 c。 一 垂直于 b、 e、 d、 e。 但这里需要证明 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 实际上，通过三垂线定律或向量法可以得出 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 所以 这个结论也正确。好第三个结论， a、 c。 一 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 注意啊，平面 c、 b、 e、 d、 e。 包含点 c、 b、 e、 d、 e。 我们已经知道 a、 c 一 垂直于 b、 e、 c。 还需要证明 a、 c 一 垂直于另一条线，比如 c、 d 一。 同样通过计算或定律可以得出 a、 c 一 垂直于 c d 一， 所以 a、 c 一 垂直于平面内的两条相交直线。 因此这个结论正确。来。第四个结论，直线 a、 c 一 与 b、 c 所成的角为四十五度。注意啊， b、 c 是 棱， a、 c 一 是体对角线，我们可以将 b、 c 平移到 b、 e、 c、 e。 那 么 a、 c、 e 与 b e、 c、 e 所成的角就是所求。在直角三角形中计算可得这个角的正确值不是一，所以不是四十五度，这个结论错误。 好。第五个结论， a 到平面 c， d、 e、 b、 e 的 距离。注意啊，这个距离可以通过等体积法来求。先计算三棱锥 a 减 c， d、 e、 b、 e 的 体积，再除以三角形 c、 d、 e、 b、 e 的 面积，经过计算，距离为三分之根号三。题目中给出的距离值如果正确，则结论正确。 这里假设题目给出的是三分之根号三，所以这个结论正确。来总结一下，五个结论中第一、二、三、五正确，第四个错误， 所以正确结论的个数是四个好。最后知识点总结这道题考察了线面平行的判定，线线垂直和线面垂直的判定，意面直线所成角的计算以及点面距离的等体积法。 注意啊，在正方体中，体对角线与面对角线有特殊的垂直关系，要灵活运用。
35小张
06:28查看AI文稿AI文稿啊，今天呢，我们一起来看一下高中数学立体几何部分的两道选择题。先看这第一道题目啊，说如图，在正方体 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e 中， e、 f、 m、 n、 g、 h。 啊，就是我们图上看见的这些点， 分别都是对应的人的中点，然后 p 点， p 点是 d、 h 的 中点，然后连接呢？ 连接 e、 h 和 f、 g。 说，对于空间内任意两点 i 和界，如果说在这个线段 i 界上 不存在，也在线段 e、 h、 f、 g 上的点啊，他这里说的话有点费劲啊，什么意思？就是线段 i 界与 e、 h 没有交点，线段 i 界与 f、 g 也没有交点，不就这个意思吗？对吧？说线段 i 界上不存在，也在线段 e、 h 和 f、 g 上的点，也就是说 i 界与这两个线段都没有交点就可以了。 那么都没有交点，就把 i 界这两点叫做可式，那么与 b e 可式的点为多少？ 与 b、 e 可知的点，那我们一个一个看嘛，先看 a 选项嘛。呃， d， 那 就是 b、 e、 d， 我 们看 b、 e、 d 这个线段，说 b、 e、 d 和这个 g、 h。 呃，呃， g、 f 和 e、 h 有 没有交点呢？我们看这里啊， b、 e、 d。 呃，我们看 b、 e、 h 和 d e 平行吗？这个很容易证吗？它肯定是平行的呀，对不对？它平行，平行的话就可以知道这四点是不是共面，我们把这四个点连起来啊， h、 b、 e。 啊，下面是 e、 b 这四个点是共面的，那一旦共面的话，那你说我把 b、 e、 d 连起来和这个 h、 e， 这里是不肯定有交点， 对吧？因为它是在同一平面内嘛。然后呢？嗯，你再把 b、 e、 d 和 h e 连线，它俩又不平行啊，所以肯定是这个中间是有交点的，是不是？ 所以 a 就 不符合条件嘛，它是有交点的呗。再看第二个 b 选项 p 点，这个 p h b e 是 不是也是四点共面？那么共面的话，我连接 b e p 是 不肯定和 h e 也会有交点的， 对吧？也有焦点吧，所以 b 选项这个 p 也不行，能明白吧？我们关键是要证明啊，看他这两个线段就是 p b e 和 he 在 不在同一平面内，在同一平面内吗？他又不平行，他肯定就有焦点，对不对？好， 然后 c 选项 m， 再看 b e m， 那 这时候， 然后呢？另外还有这个 h e 啊， g， f 这四个点，这四个点我们看挑其中两个点，看看能不能得到 平行啊。这里好像更简单，我们看 g 和 f 是 不就行了？这样一来的话，我这个 b g 和 f m b e g 啊， b e g 和 f m 这上下，这明显是平行的，被我连接 b e， m 和你这个你的 g f 啊，是不是已经有交点了，所以 c 选项也不行，是吧？ c 选项也不行，那么所以就只能选择 d 选项了，对吧？只有选 d 选项了，这是这个第七题。 好，下面我们再来看这个第七题啊，同样是第七题，说在平行六面体 a b c d a e b e c e d e 中说 m 是 b b 一 上啊，当然题目没给图的吧，这个图是要我们自己去画啊，是 b b 一 上靠近 b 点的一个三等分点，这是 m 三等分点 m 所直线 dm 啊， d 点和这个 m 点连起来说与平面 bc d 一 a 一 相交于 n， 我 们先看看 bc d 一 a 一 大概长什么样， bc d 一 a 一 是这个面是吧？是这个平面，这个平面与我这个 md， 那 怎么办呢？我们先看看 md 所在的平面， m、 d 是 不是肯定在这样一个对角面上，对吧？ m、 d 是 不是肯定在这样一个面上？那我们说你这样一个面和刚才给的这个面啊， a， e， b， c， d， e 这个面， 很明显，你这个 d 一 和 b 是 不是公共点，对吧？就是我这个，我我，我把 b 一、 d 给连起啊？ b、 d 一 啊，我这个 b、 d 一 这个线啊， b、 d 一 这个体对角线，它是不是既在这个平面内， 对吧？它也在这个平面内，对不对？所以你想想，如果说你这个直线， 呃，你这个直线叫 dm 直线 dm 啊，与这个平面有交点的话， 那你肯定是在这个 b、 d、 e 这条公共线上，因为你这两个平面上，你这两个平面所有的交点都在这条线上， 对吧？两面相交得线嘛？面面相交得线嘛？你是两个面，只要上面相交的所有的点是不是都在 b、 d、 e 上？所以你要想 md 和这个面有交点，交点是不是只能是这个点叫做 n， 对 吧？必须是这个点。 好，那么这个点是 n 的 话，我们就可以知道啊，有相似三角形，左右三角形不相似吗？ bm， 呃，是三分之一，对吧？三等分点吗？ bm 和 d、 d 一 是不是一比三啊？应该是一比三，对吧？是不是一比三？所以我就知道了，那我 m、 n 就是 一份，对吧？ d， n 就 应该是三份，所以你 d、 n 比上整个 md 是 不是三比四啊？就是三比四。 c 选项就选出来了。
19打工人储老板
14:45查看AI文稿AI文稿例题几何？千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索啊？是的哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好，那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做，谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动平移谁？你告诉胡老师本道题平移的是线还是平移的是面， 平移线还是平移面线？嗯，平移线还是平移面线。谁不动？平移谁？对啊，谁不动平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l。 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面， 所以 l 就 和这个阿尔法面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟它平行， 这是目的，能理解。不？可以。那怎么去平移呢？我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给它完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移。是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行你就换一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了，对，对吧？这根线我们就找到了。 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线呢？ 你得给到严密的逻辑推理与证明。怎么正？告诉我怎么称正？ 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋正？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去，把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角形是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a、 c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢？平行线分线段对应成比例看，这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是终点。看题， e 为 a， d 的 终点，这个是终点，你可以理解为半对角线，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明点个赞，相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形？这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧？对，所以呢，这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二 b 一 就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一 b， 第一句上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。 对，对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在。然后这个点是几等分点？直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点，对吧？然后再说这个是几等分点，平行线，分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析下思路，没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索嘛，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的。把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把他们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连，噔噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是？为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧。所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c， 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后，噔噔噔噔，到这了，我随便拉了一个。那有人说胡老师你画的这也不平行啊？ 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行，你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点，一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五。小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平一线还是平一面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。
582老胡模型数学思维提升
10:47查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来精讲二零二五年立体几何三大压轴题。首先我们来看新高考挨卷第十七题。这道题以四棱锥为在内体，综合考察面面垂直的证明、外接球球心的定位以及意面直线夹角的计算。 题目告诉我们，四棱锥 p、 a、 b、 c、 d。 中底面 a、 b、 c、 d 是 直角梯形角带等于九十度， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 且 p、 a 等于 ab 等于 a、 d 等于根号二， bc 平行于 a、 d。 现在让我们先建立起这个几何体的三维模型。第二问，第一小问要求确定四棱锥外接球的三维模型。第二问要求确定球心到底面的距离。 解决外接球问题的核心方法是建立空间直角坐标系，然后利用球心到各顶点的距离相等来列方程求解。 首先，我们以 a 为圆点， a、 d 方向为 x 轴正方向， ab 方向为 y 轴正方向， ap 方向为 z 轴正方向建立坐标系。 由此可得各点坐标 a 零零零 b 零根号二零 d 根号三加一零零 p 零零根号二。由 b、 c 平行于 a、 d， 且 b、 c 长度为一，可以得到 c 二根号二零 射球 c、 o 的 坐标为 x、 y、 z。 根据外接球的性质，球心到四个顶点 b、 c、 d、 p 的 距离相等。由 o、 b 平方等于 o， c 平方代入坐标，计算后化简得到 x 等于一， 将 x 等于一，代入 o， b 平方等于 o， d 平方，计算得到 y 等于零。再将 x 等于一， y 等于零，代入 o、 b 平方等于 o， p 平方，得到 z 等于零，因此求其 o 的 坐标为一零零。 注意到这个坐标恰好位于底面 a、 b、 c、 d 内，所以球心到底面的距离为零。接下来我们看第二小问，求一面直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。第二问第二小问，求一面直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 使用向量法求解空间角度问题，关键是正确写出两条直线的方向向量由前面建立的坐标系，我们可以得到向量 a、 c 等于 c 减 a， 即二根号二。零 向量 p、 o 等于 o 减 p， 即一零负根号二。根据向量夹角公式，两个向量夹角的余弦等于它们的数量基础。以魔长的乘积 计算数量积二乘一加上根号二乘零，再加上零乘负根号二。结果为二。向量 a、 c 的 模长等于根号下，四加二加零，即根号六。 向量 p、 o 的 模长等于根号下一加零加二，即根号三。所以余弦值等于二，除以以根号六乘根号三。化解后得到根号二除以三。由于意面直线所成角的范围在零到九十度之间，余弦值应为正数，所以最终答案就是三分之根号二。 接下来我们看新高考二卷第十七题，这是一道典型的翻折问题。翻折问题是立体几何中的重点和难点，其核心在于理解翻折前后哪些量保持不变，哪些量发生变化。 题目给出的是一个四边形 abcd， 其中 ab 平行于 cd， 角带等于九十度。 已知 a、 d 等于一， ab 等于三， cd 等于二， f 是 cd 的 中点 e 在 ab 上，且 a、 e 等于一。 我们将四边形 e、 f、 d、 a 沿折痕 e、 f 翻折，使得平面 e、 f、 d、 a 与平面 e、 f、 c、 b 所成的二面角为六十度。首先我们在二维平面上画出这个图形， 现在我们来看翻折的动态过程，固定四边形 e、 f、 c、 b 部分不动，将四边形 e、 f、 d、 a 沿折痕 e、 f 向上翻折。 在翻折过程中，我们需要关注几个关键的不变量，首先，线段 a、 e 的 长度始终等于 a、 e 及一线段 d、 f 的 长度始终等于 d、 f 及一。其次， a、 e 始终垂直于 e、 f。 这些不变量是我们后续建立坐标系和求解问题的基础。当翻折角度达到六十度时，平面 e、 f、 d、 a 与平面 e、 f、 c、 b 所成的二面角就是六十度，此时角 a、 e、 b 等于六十度，这个角度将在后续计算中起到重要作用。 第一问，要求证明 ab 平行于平面 c、 d、 f。 证明线面平行的基本思路是在平面内找到一条直线与已知直线平行。 观察图形，我们发现 e、 b 平行于 fc。 因为 a、 b 平行于 c、 d， 而 e、 f 分 别是相应线段上的点，所以 e、 b 和 fc 平行且相等。由于 fc 在 平面 c、 d、 f 内。根据线面平行的判定定律， e、 b 平行于平面 c、 d、 f。 同样地， a、 e 平行于 d、 f。 因为翻折前后对阴边保持平行。由于 d、 f 在 平面 c、 d、 f 内，所以 a、 e 也平行于平面 c、 d、 f。 现在， e、 b 和 a、 e 是 平面 a、 e、 b 内的两条相交直线，它们都平行于平面 c、 d、 f。 根据面面平行的判定定律，平面 a、 e、 b 平行于平面 c、 d、 f。 因此，平面 a、 e、 b 内的直线 a、 b 必然平行于平面 c、 d、 f。 第二问，要求求二面角 d、 e、 f、 c、 b 的 正弦值，也可以理解为求平面 a、 e、 f、 d 与平面 e、 f、 c、 b 所成二面角的正弦值。解决这类问题的标准方法是建立空间直角坐标系，然后利用法向量来求解。 以 e 为圆点， e、 b 方向为 x 轴正方向， e、 f 方向为 y 轴正方向垂直于底面 e、 f、 c、 b 向上为 z 轴正方向。 根据前面的分析，各点坐标为一零零零 b 二零零 f 零一零 c 一 一零。 对于 a 点，由于角 a、 e、 b 等于六十度，且 a、 e 等于一，所以 a 的 坐标为二分之一零二分之根号三。 同理， d 的 坐标为二分之一一，二分之根号三。接下来我们求两个平面的法向量，平面 e、 f、 d、 a 的 法向量 n 一。 我们可以通过向量 e、 f 和 e、 a 的 差积得到，计算结果为根号三零。负一 平面 b、 c、 d 的 法向量 n 二，通过向量 c、 b 和 c、 d 的 差积得到，计算结果为根号三。根号三。一，两个法向量的夹角 f 满足于弦 f 等于 n 一 点乘 n 二，除以 n 一 的摩，乘以 n 二的摩， 计算的余弦 far 等于三，加零减一除以二乘以根号七，等于根号七分之二。由于二面角 f、 t 与法向量加角 far 相等或互补，所以余弦 far 等于余弦 far 的 绝对值，即根号七分之二。 最后正弦 far 等于根号下一减七分之四等于根号下七分之三。化简后得到三分之根号二十一。 第三问是本题的难点，要求判断在棱 b、 h 上是否存在点 g， 使得平面 h、 g、 d 与平面 f、 g、 d 所成的二面角等于平面 b、 f、 g 与平面 f、 g、 d 所成的二面角。 这是一个典型的存在性探讨问题。我们的解析策略是，假设存在这样的点 g， 然后通过界力方程来求 其向量 b， g 等于 t， 倍。向量 b h 由 b 二二二和 h 一 零一。向量 b h 等于负一，负二负一，所以 g 的 坐标为二减 t， 二减二， t 二减 t， 其中 t 在 零到一之间。 接下来我们需要求两个二面角的余弦值。对于平面 h、 g、 d 和平面 f、 g、 d 所成的二面角 l 法，我们分别求出两个平面的法向量。平面 h、 g、 d 的 法向量可以通过向量 g、 h 和 g、 d 的 差积得到。 平面 f、 g、 d 的 法向量可以通过向量 g、 f 和 g、 d 的 差积得到。通过计算，我们得到余弦 l、 f 等于三倍，根号三乘以三， t 减二的绝对值除以三倍。根号下十九， t 平方减二十八， t 加十二。 对于平面 b， f、 g 和平面 f、 g、 d 所乘的二面角贝塔，同理可得余弦贝塔等于十三， t 的 绝对值除以根号五乘以根号下三八， t 平方减五六， t 加二十四， 令余弦 l， f， i 等于余弦 beta 化简后得到幺四七， t 平方减三百， t 加一百四十等于零。解这个二次方程得到 t 等于四十九分之五十，加减四倍，根号三十。 由于 t 必须在零到一之间，我们验证发现只有 t 等于四十九分之五十减四倍，根号三十满足条件。最后 g、 h 与 b g 的 比值等于一减 t 除以 t 代入计算后得到最终结果，因此存在满足条件的点 g。 同学们，通过这三道高考真题的讲解，我们可以总结出例题几何大题的核心解题方法。 首先，对于垂直和平行关系的证明问题，我们要掌握列式推理的思路，从线线关系推到线面关系，再从线面关系推到面面关系。同时，向量法也是重要的工具，当两条直线的方向向量数量积为零时，这两条直线垂直。 其次，对于空间向量与角度计算问题，建立坐标系时要遵循垂直优先的原则，尽量选择两两垂直的边作为坐标轴法。向量可以通过叉 g 来求解，而一面直线夹角和二面角的计算都有固定的公式。 最后，对于动态与存在性问题，关键是要学会参数化动点，通常使用比例参数来表示动点位置， 然后将几何条件转化为代数方程，通过求解方程并简验解的合理性来得出结论。希望这些总结对大家的复习有所帮助，我们下期再见！
74P_sir
04:12查看AI文稿AI文稿hello， 子涵，你看一下这道题哈，这道题的话属于一个比较经典的一个集合题。首先的话咱们来看一下第一问，第一问他说让求的是三棱锥 p a、 b、 c 的 体积，那我们知道体积公式，现在重点的话就是要求出它的高，求出它的高，然后我们看啊，说 a b 的 话等于根号二， 然后 a c 等于三，然后角 b a c 等于四十五度，然后 p b 呢等于一，然后它这里说若 p a 等于根号五， 然后 p c 呢等于二，求三论锥 p a， b， c 的 体积，你看，通过我的标记一看，你看这么多边我都能找到了，其实我们就自然而然就能够想到它要的，干嘛 让你用勾股定律的，我把这种边长我给算出来，看看哪两条哪哪个三角形正好能用到勾股定律，然后哪一边正好就垂直于哪一边了。然后呢，我们再去找找两组这样的东西，然后我们它的高，它就能够求到，进而它的体积就能够求到了。 那首先的话我们再注意看啊，在三角形 a、 b、 c 里边，你看两边一角，我们都知道了，这个时候我们要用什么呀？是不是直接于弦定律，是不是根据于弦定律，我这个 b c 方， bc 方等于 ab 方，加上 ac 方减去二倍的，然后 abac， 然后 cos 交 bac， 是 不是通过这个余弦定理我就能够把 bc 求出来， bc 的 话它就等于根号五了，对吧？然后 bc 的 话它就等于根号五了啊，我把这个给擦一下， 我们得出来 bc 等于根号五，然后咱就可以来找垂直，然后你看啊， pb， 我 在这里给你画一下啊， pb 等于一， bc 等于根号五，然后 pc 等于二，你是不是就得出来了， pb 的 平方加上 pc 的 平方，就等于 bc 的 平方了， 对不对？所以说我们得出来，第一组垂直，也就是 pb， 然后垂直于 pc， 然后第一组垂直，然后接着我看看颜色，还有第二组垂直，第二组垂直的是什么？你看 pa 等于根号五， 然后 p c 等于二， a c 的 话等于三，是不是我们就得出来了， p a 的 平方加上 p c 的 平方，然后等于是五，加上四等于九，也就是说等于 a c 的 平方，所以我们又得出第二度垂直，也就是说 p c 垂直于 p a， 对 吧？这两组垂直我们一得到，我们就可以找到什么了呀？你看一看，你看 p a 垂直于与我们的 pc， 然后 p b 呢？也垂直于 pc， 所以 说我们就可以得出来了，我们的这个 pc， 它是垂直于与我们的平面儿 p a b 的， 哎，对吧？垂直于平面， p a b 的， p c 直接垂直于平面 p a c， 所以 说我在这里我 v p a b c， 我 是不是可以换成 v， 我 们的 c p a b 啊，对不对？以 c 为顶点，因为 p c 的 话，它直接垂直于平面 p a b， 它就是我们三棱锥的一个高了，所以说它这个的话，我们直接就等于三分之一 s 三角形，然后 p a b， 然后再乘以一个 p c， 是 不是直接就求出来它的体积了？ 接下来这个球是不是就很好求了？然后我们三角形 p a b 的 这个面积我们一算，然后我们整体的这个，呃，算出来，然后它的体积的话就等于等于三分之一，直接就算出来了，这是第一问，还是一个比较经典的，然后第二问，等我猜一下， 给这些全都擦掉， ok， 第二问，他说的是什么？若直线 p b 与平面 a b c 所成角为六十度，求平面 p a c 和平面 a b c 它夹角的一个曲值范围。第二问的话它就要稍微难一点了，因为你像涉及到空间夹角，我们通常要建立直角坐标系，然后通过向量来计算夹角。那这个时候我们就要去过点 b， 过点 b， 我 去做一个，就是 b d 垂直于我们的 a c。
15高途威威老师😉
