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巧解立体几何最值题|南哥优秀,南哥出的试卷漂亮 巧解立体几何最值题|南哥优秀,南哥出的试卷漂亮 今天分享一道来自“南通高三期中”的立体几何压轴题(江苏唯一的“南哥”出品),求动点到平面距离的最小值。题目设计巧妙,解法多样,我整理了三种不同思路,融合了补体、球轨迹、柯西不等式,还附赠一个实用的点到平面距离公式~ 第一步:模型构建 通过BM和BN的垂直关系 与正方体背景,把三棱锥放进一个边长为4的正方体中,瞬间把空间关系可视化。 方法一:几何视角 · 轨迹是球 由 BM 垂直 BN 且 P 是 MN 中点,可推出 BP 为定值,也就是说点 P 的轨迹是一个球面! 那么 P 到平面 ACD 的最小距离,就等于球心 B 到平面的距离减去球的半径,直观又简洁。 方法二:坐标 + 几何 · 验证轨迹 如果不直接看出 BP 是定值,也可以建系设点,通过坐标运算证明 a^2 + b^2 + c^2 = 3 ,再次确认 P 的轨迹是球面。 接下来依然用“球心到平面距离 − 半径”秒杀最小值。 方法三:坐标 + 柯西不等式 如果对球的解析式不熟,没关系!直接写出点到平面的距离公式(这里提供了向量形式和大学才会学到的空间解析式两种),再结合柯西不等式,硬算也能漂亮地推出结果。 这道题不仅考验空间想象,更融合了几何、代数与不等式的综合思维,值得细细品味✨ 最后支持南哥,南哥的试卷就是有水平! #每天跟我涨知识 #高中数学 #2026高考
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