#中考数学 #初中数学 一道二次根式的小题，就把你难住了？

多重二次根式化简与多项式求值

问题引入

当遇到含多重二次根式的未知数 ( x ) 时，直接代入多项式求值较为困难，需先对 ( x ) 进行化简。

核心步骤：化简多重二次根式

1. 处理分母，构造完全平方条件

已知 ( x = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} )，为化简分母，分子分母同时乘 2，得：
( x = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3}) \times 2}{2 \times 2}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{4}} )

2. 分子构建完全平方形式

分子 ( 4 - 2\sqrt{3} ) 需构造成 ( (a - b)^2 ) 的形式。根据完全平方公式 ( (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab )：

• 平方和 ( a^2 + b^2 = 4 )
• 乘积的 2 倍 ( 2ab = 2\sqrt{3} )（即 ( ab = \sqrt{3} )）
  解得 ( a = \sqrt{3} )，( b = 1 )，因此 ( 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2 )。

3. 开方化简 ( x )

代入分子的完全平方形式，得：
( x = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} )

关键技巧：去根号与方程转换

为进一步简化计算，对 ( x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} ) 去分母并移项：
( 2x = \sqrt{3} - 1 )，移项得 ( 2x + 1 = \sqrt{3} )。
两边平方去根号：( (2x + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 )，展开得 ( 4x^2 + 4x + 1 = 3 )，化简为 ( 4x^2 + 4x = 2 )，即 ( 2x^2 + 2x = 1 )。

代入求值

若多项式为 ( 2x^2 + 2x - 2017 )，将 ( 2x^2 + 2x = 1 ) 代入，得：
( 1 - 2017 = -2016 )。
（注：根据视频推导，最终结果为 ( 2 - 2017 = -2015 )，具体需结合原题多项式形式，核心思路为通过化简 ( x ) 得到整式关系后代入求值。）

总结

解决含多重二次根式的多项式求值问题，关键在于：

1. 通过分子分母同乘一个数，将分母化为完全平方数；
2. 利用完全平方公式 ( (a \pm b)^2 ) 化简根号内的代数式；
3. 通过移项、平方等操作将无理式转化为整式关系，避免直接代入复杂根式。