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一元一次方程分段计费问题

核心方法

分段计费问题是一元一次方程的重要应用，解决此类问题需掌握两个关键步骤：

1. 计算临界点费用：确定各分段之间的费用分界点，判断给定费用或用量处于哪个分段。
2. 判断用量构成：明确总用量由哪些分段组成，避免直接按单一单价计算（如将超过部分的单价直接应用于总用量）。
   可将分段计费形象比喻为“穿糖葫芦”，每段计费标准对应一个“糖葫芦”，总费用或总用量需综合各段计算。

例题解析

一、水费分段计费问题

计费标准：

• 第一段（不超过10吨）：4元/吨
• 第二段（超过10吨部分）：5元/吨

1. 已知费用求用量（水费45元，求用水量）

步骤：
① 计算临界点费用：第一段最大用量10吨，费用为 (10 \times 4 = 40) 元（临界点费用）。
② 判断分段：45元 > 40元，说明用水量超过10吨，涉及两段“糖葫芦”。
③ 列方程求解：设总用水量为 (a) 吨，
[10 \times 4 + (a - 10) \times 5 = 45]
解得 (a = 11) 吨。

2. 已知用量求费用（用水量15吨，求水费）

易错点：不可直接用 (15 \times 5) 计算（多缴费用），需拆分用量构成。
步骤：
① 判断用量构成：15吨 = 10吨（第一段）+ 5吨（第二段）。
② 分段计算费用：
[10 \times 4 + 5 \times 5 = 40 + 25 = 65] 元。

二、电费分段计费问题（三段计费）

背景：某市居民用电阶梯电价（一户居民月用电量）

• 第一段（≤150千瓦时）：(a) 元/千瓦时
• 第二段（150~300千瓦时）：0.6元/千瓦时
• 第三段（>300千瓦时）：(a + 0.3) 元/千瓦时

1. 求电价参数 (a)

条件：10月用电100千瓦时，电费50元。
分析：100千瓦时 ≤ 150千瓦时，仅涉及第一段。
方程：(100a = 50)，解得 (a = 0.5) 元/千瓦时。
则第三段电价为 (0.5 + 0.3 = 0.8) 元/千瓦时。

2. 已知用量求电费（11月用电200千瓦时，求电费）

步骤：
① 判断用量构成：200千瓦时 = 150千瓦时（第一段）+ 50千瓦时（第二段）。
② 分段计算费用：
[150 \times 0.5 + 50 \times 0.6 = 75 + 30 = 105] 元。

3. 已知电费差分类讨论（12月与11月电费相差60元，求12月用电量）

11月电费：105元，故12月电费有两种情况：

• 情况1：12月电费 = 105 + 60 = 213元
• 情况2：12月电费 = 105 - 60 = 45元

关键：先计算各段临界点费用，判断213元、45元所在分段。

• 第一段临界点（150千瓦时）费用：(150 \times 0.5 = 75) 元
• 第二段临界点（300千瓦时）费用：(150 \times 0.5 + (300 - 150) \times 0.6 = 75 + 90 = 165) 元

情况1：213元电费

• 213元 > 165元，涉及三段计费。设12月用电量为 (x) 千瓦时，
  [150 \times 0.5 + (300 - 150) \times 0.6 + (x - 300) \times 0.8 = 213]
  解得 (x = 360) 千瓦时。

情况2：45元电费

• 45元 < 75元，仅涉及第一段。设12月用电量为 (y) 千瓦时，
  [0.5y = 45]
  解得 (y = 90) 千瓦时。

结论：12月用电量为360千瓦时或90千瓦时。

总结

分段计费问题核心在于：

1. 明确分段标准：理清各段的用量范围和单价；
2. 计算临界点：确定各分段费用的分界值，判断给定值所在区间；
3. 分段列方程：根据用量或费用构成，拆分计算并求解。
   通过“糖葫芦”比喻可直观理解分段关系，避免混淆整体与部分的计费逻辑。