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辽阳市2022年中考数学填空压轴题解析（翻折与隐形圆综合）

一、题目条件

• 背景图形：正方形ABCD，边长为10，G是CD中点（故DG=GC=5）。
• 动点与翻折：E是AD边上的动点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点A的落点为F。
• 核心问题：连接GF，当GF长度最小时，求线段AE的长。

二、关键知识点与分析

1. 翻折（轴对称）性质

由翻折可知△ABE≌△FBE，因此：

• 对应边相等：AB=BF=10（正方形边长），AE=FE；
• 对应角相等：∠BAE=∠BFE=90°（正方形内角为90°）。

2. 主动点与被动点

• 主动点：E（在AD上运动，位置变化直接导致翻折结果变化）；
• 被动点：F（随E的运动而运动，其轨迹由E的运动和翻折性质共同决定）。

3. 隐形圆的判定

由于翻折后BF=AB=10，且B是定点（正方形顶点），根据“定点定长”原则，被动点F的轨迹是以B为圆心、10为半径的圆（即“隐形圆”）。

4. 最值问题转化

求GF最小值，即求定点G到圆B上动点F的最短距离。

• 圆外定点到圆上点的最短距离：当F在线段BG上（且在B、G之间）时，GF最小，此时GF=BG - 半径（BF=10）。

三、计算过程

1. 确定定点G与圆心B的距离（BG）

以正方形顶点建立坐标系：设B(10,0)，A(0,0)，C(10,10)，D(0,10)，则G是CD中点，坐标为(5,10)。
圆心B(10,0)，定点G(5,10)，则BG距离为：
[ BG = \sqrt{(10-5)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} ]

2. 求GF最小值时F的位置

由于G在圆B外（BG=5√5≈11.18 > 半径10），GF最小值为：
[ GF_{\text{min}} = BG - BF = 5\sqrt{5} - 10 ]
此时F在BG连线上，介于B、G之间。

3. 计算AE的长

设E(0,e)（E在AD上，AD为y轴，AE=e），F为GF最小时的点，坐标可通过BG方向向量求得：

• BG向量为(-5,10)，单位向量为((-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}))；
• F坐标：(B + 10 \times \text{单位向量} = (10 - \frac{10}{\sqrt{5}}, 0 + \frac{20}{\sqrt{5}}) = (10 - 2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}))。

由AE=FE（翻折性质），利用距离公式列方程：
[ FE^2 = (10 - 2\sqrt{5} - 0)^2 + (4\sqrt{5} - e)^2 = e^2 ]
化简求解得：
[ e = 5\sqrt{5} - 5 ]
即AE的长为(5\sqrt{5} - 5)。

四、总结

本题核心是通过翻折性质识别“隐形圆”轨迹，将动点最值问题转化为“定点到圆上点的距离”问题，结合坐标系与方程求解，体现了几何与代数的综合应用。最终答案为(AE = 5\sqrt{5} - 5)。