2023新高考 导数隐零点问题#导数 #高考数学 #解题技巧

高考导数隐零点问题解析

函数零点问题的常见考法

高考中函数零点问题主要有以下四类考法：

1. 求函数的零点（即求方程的解）；
2. 根据函数的零点求参数的取值范围；
3. 求函数零点的取值范围；
4. 求函数零点的个数。

这些问题常通过函数图像交点、方程解的个数、函数零点个数三者之间的转换进行求解。

典型例题解析：证明函数 ( f(x) = e^x - x - 1 ) 有两个零点

步骤1：求导确定函数单调区间

函数零点问题的核心是分析函数的单调性与极值，需先对函数求导：
( f'(x) = e^x - 1 )
令 ( f'(x) = 0 )，解得 ( e^x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0 )。

• 当 ( x < 0 ) 时，( f'(x) = e^x - 1 < 0 )，原函数 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上单调递减；
• 当 ( x > 0 ) 时，( f'(x) = e^x - 1 > 0 )，原函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。

步骤2：求函数极值

由单调区间可知，函数在 ( x = 0 ) 处取得极小值（因导函数仅有一个零点，此极小值即为最小值）：
( f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = -1 )（最小值为 (-1)，小于0）。

步骤3：选取区间端点判断函数值符号

为判断零点存在性，需在单调区间内选取合适的点，计算函数值符号：

1. 在 ( (-\infty, 0) ) 区间：取 ( x = -2 )，则 ( f(-2) = e^{-2} - (-2) - 1 = e^{-2} + 1 )。由于 ( e^{-2} > 0 )，故 ( f(-2) > 0 )；
2. 在 ( (0, +\infty) ) 区间：取 ( x = 2 )，则 ( f(2) = e^2 - 2 - 1 = e^2 - 3 )。已知 ( e \approx 2.718 )，则 ( e^2 \approx 7.389 )，故 ( e^2 - 3 > 0 )，即 ( f(2) > 0 )。

步骤4：应用零点存在定理

• 在区间 ( (-2, 0) ) 上：函数 ( f(x) ) 单调递减，且 ( f(-2) > 0 )，( f(0) = -1 < 0 )，根据零点存在定理，存在唯一 ( x_1 \in (-2, 0) ) 使得 ( f(x_1) = 0 )；
• 在区间 ( (0, 2) ) 上：函数 ( f(x) ) 单调递增，且 ( f(0) = -1 < 0 )，( f(2) > 0 )，根据零点存在定理，存在唯一 ( x_2 \in (0, 2) ) 使得 ( f(x_2) = 0 )。

综上，函数 ( f(x) = e^x - x - 1 ) 有两个零点。

总结

证明函数零点个数的核心思路：通过求导确定函数的单调区间与极值，结合极值符号及区间端点处的函数值符号，利用零点存在定理判断各单调区间内是否存在零点。