高中数学必修正弦余弦定理习题1，王老师带你解读#高中生#学习方法 #家长收藏孩子受益

费马点及其几何应用

费马点的定义与性质

在三角形内部存在一个特殊点P，称为费马点。其定义为：点P与三角形三个顶点的连线所形成的三个角均为120°（即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°）。费马点的核心性质是：该点到三角形三个顶点的距离之和（PA+PB+PC）最小。

费马点相关几何题分析

题目条件

在三角形ABC中，已知：

• ∠BAC=45°
• ∠PBA=45°
• PA=2
• 点P为三角形内一点（结合费马点性质，可推断P为费马点，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°）

角度计算

基于已知条件和费马点性质，可推导相关角度：

1. 在△PAB中，∠PBA=45°，∠APB=120°（费马点性质），根据三角形内角和为180°，可得∠PAB=180°-∠APB-∠PBA=180°-120°-45°=15°。
2. 已知∠BAC=45°，则∠PAC=∠BAC-∠PAB=45°-15°=30°。
3. 由于∠CPA=120°（费马点性质），在△PAC中，∠PCA=180°-∠CPA-∠PAC=180°-120°-30°=30°，因此△PAC为等腰三角形，PA=PC=2。

线段长度计算（以PB为例）

利用正弦定理求解PB的长度。在△PAB中：

• 已知PA=2，∠PBA=45°，∠PAB=15°，∠APB=120°
• 根据正弦定理：(\frac{PA}{\sin∠PBA}=\frac{PB}{\sin∠PAB})
• 代入已知值：(\frac{2}{\sin45°}=\frac{PB}{\sin15°})
• 其中，(\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2})，(\sin15°=\sin(45°-30°)=\sin45°\cos30°-\cos45°\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})
• 解得：(PB=\frac{2\cdot\sin15°}{\sin45°}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}-1)

解题关键方法

1. 正弦定理的应用：在已知三角形两角及一边时，通过正弦定理(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C})建立边与角的关系，求解未知边长。
2. 特殊角的构造与转化：对于非特殊角（如15°），可利用角度差公式（15°=45°-30°）转化为特殊角（30°、45°）的三角函数值，简化计算过程。初中阶段也可通过“倍角构造”（如将15°翻倍为30°）辅助理解，但高中阶段直接利用三角函数公式更高效。