难道全班同学的一道题#数学

图形代换法解二元一次方程应用题

问题引入

题目：两头大猪加三头小猪等于81元，两头小猪加三头大猪等于84元，求一头大猪和一头小猪的单价分别是多少？

解题步骤

1. 图形代换表示未知量

• 设大猪单价为○（圆圈），小猪单价为△（三角形）
• 根据题意转化为方程：
  2○ + 3△ = 81 （两头大猪 + 三头小猪 = 81元）
  3○ + 2△ = 84 （三头大猪 + 两头小猪 = 84元）

2. 利用等式性质合并方程

• 关键观察：两个方程左边共有5个○和5个△（2○+3○=5○，3△+2△=5△）
• 将两个方程左右两边分别相加：
  (2○ + 3△) + (3○ + 2△) = 81 + 84
  化简得：5○ + 5△ = 165

3. 求解○+△的值

• 等式两边同时除以5（等式性质：等式两边同时除以同一个非零数，等式仍成立）：
  (5○ + 5△) ÷ 5 = 165 ÷ 5
  得：○ + △ = 33 （即一头大猪加一头小猪共33元）

4. 代入原式求单个未知量

• 求小猪单价（△）：
  由2○ + 3△ = 81，且○ = 33 - △（因为○ + △ = 33），代入得：
  2(33 - △) + 3△ = 81
  66 - 2△ + 3△ = 81
  △ = 81 - 66 = 15
  故小猪单价为15元。

• 求大猪单价（○）：
  由○ + △ = 33，△ = 15，得：
  ○ = 33 - 15 = 18
  故大猪单价为18元。

结论

• 小猪单价：15元
• 大猪单价：18元

方法总结

本题核心考察化繁为简的形象化思维，通过图形代换将文字问题转化为数学方程，再利用等式性质（相加、同除）简化计算，适合培养代数思维基础。