这类等线段、共端点的问题，一定要学会和旋转思想相结合，还不会的视频看三遍，评论区留言#初中数学#数学思维#李再春讲数学#手拉手模型#共端点

等线段共端点问题与旋转思想的应用

问题背景

题目涉及两个三角形：等腰直角三角形ABD和直角三角形ABC，已知AC=12，BC=4，求四边形ABCD的面积。此类问题的核心在于利用等线段共端点的特征，结合旋转思想构造辅助线和全等三角形。

核心知识点：等线段共端点与旋转思想

当题目中出现“等线段共端点”的条件时，常需通过旋转图形构造全等三角形（如手拉手模型），将分散的条件集中，进而解决问题。

解题步骤

1. 辅助线构造与全等三角形证明

辅助线：过点D作DE⊥DC，交AC于点E。
目标：证明△DEA≌△DCB（ASA判定）。

• 条件1：∠1=∠2。
  理由：DE⊥DC（辅助线），∠ADB=90°（等腰直角三角形ABD的直角），两个直角中减去公共角∠EDB，可得∠1=∠2。
• 条件2：AD=DB。
  理由：等腰直角三角形ABD的两腰相等。
• 条件3：∠3=∠4。
  理由：在“八字模型”ACBDA中，对顶角相等，且∠ACB=∠ADB=90°（直角三角形ABC和等腰直角三角形ABD的直角），故剩余角∠3=∠4。

综上，△DEA≌△DCB（ASA）。

2. 关键线段长度计算

由△DEA≌△DCB可得：AE=BC=4（全等三角形对应边相等）。
已知AC=12，故CE=AC-AE=12-4=8。

3. 等腰直角三角形DEC的性质应用

由DE⊥DC及△DEA≌△DCB，可得DE=DC（全等三角形对应边相等），故△DEC是等腰直角三角形，斜边CE=8。
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此△DEC斜边上的高（即点D到AC的距离DF）为：
[ DF = \frac{CE}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

4. 四边形ABCD的面积计算

四边形ABCD可分割为Rt△ABC和△ACD两部分，分别计算面积后求和：

• Rt△ABC的面积：
  直角边AC=12，BC=4，面积为：
  [ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 ]
• △ACD的面积：
  以AC为底（12），DF为高（4），面积为：
  [ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times DF = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 ]

四边形ABCD的面积：
[ S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 24 + 24 = 48 ]

总结

等线段共端点问题是几何计算中的典型题型，核心思路是通过旋转思想构造全等三角形（如手拉手模型），将未知条件转化为已知条件。本题通过构造辅助线DE⊥DC，证明△DEA≌△DCB，利用等腰直角三角形性质求出高DF，最终通过面积分割法求得四边形面积。掌握这一方法可有效解决类似几何综合题。