【九年级数学上册】01B 习题讲解之一元二次方程 #初中数学 #趣味课堂 #一元二次方程

数学应用问题与一元二次方程

引言

通过实际问题引入一元二次方程的应用，包括比赛场次计算、几何图形计算等，结合具体案例讲解方程建立与求解方法。

比赛场次问题

CBA常规赛总场次计算

CBA共有20支球队，常规赛阶段每支球队与其他19支球队各比赛2场。

• 每支球队比赛场次：19×2=38场
• 若直接计算20×38=760场，会出现重复记录（如A队与B队的比赛，A队记录1场，B队也记录1场，实际为1场）
• 总场次计算公式：$\frac{20×19×2}{2}=380$场（除以2消除重复计数）

足球联赛球队数量问题

已知足球联赛采用单循环赛制（每两队比赛1场），总场次为231场，求球队数量。

1. 设未知数：设球队数量为$x$支
2. 建立方程：每支球队需与其他$(x-1)$支球队比赛，总场次为$\frac{x(x-1)}{2}=231$
3. 化简方程：$x(x-1)=462$，整理为一元二次方程$x^2 - x - 462=0$
4. 求解方程：因式分解得$(x-22)(x+21)=0$，解得$x=22$（舍去负数解$x=-21$）
5. 结论：联赛共有22支球队

菱形周长计算问题

已知菱形两条对角线长度之和为10cm，面积为12cm²，求菱形周长。

关键性质与公式

• 菱形四条边相等，周长=4×边长
• 菱形对角线互相垂直平分，面积=$\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1,d_2$为对角线长）
• 边长可通过勾股定理计算：边长=$\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$

求解步骤

1. 设未知数：设一条对角线长为$x$cm，则另一条为$(10-x)$cm
2. 建立方程：根据面积公式$\frac{1}{2}x(10-x)=12$，化简得$x^2 -10x +24=0$
3. 解方程：配方法得$(x-5)^2=1$，解得$x_1=6$，$x_2=4$（对角线为6cm和4cm，顺序不影响结果）
4. 计算边长：$\sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$cm
5. 周长：$4×\sqrt{13}=4\sqrt{13}$cm

一元二次方程的解的和与积（韦达定理）

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若方程有两个解$x_1,x_2$，则：

• 两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• 两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a}$

示例应用

方程$x^2 - 3x = 15$（化为一般式$x^2 - 3x - 15=0$），其中$a=1$，$b=-3$，$c=-15$

• 两根之和：$-\frac{b}{a}=3$
• 两根之积：$\frac{c}{a}=-15$

练习题解析

题目：方程$(x-2)(x-3)=m$有两个实数根$x_1,x_2$，若$x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1=0$，求$m$的值。

1. 整理方程：展开得$x^2 - 5x + 6 - m=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6 - m$
2. 应用韦达定理：
   • $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=5$
   • $x_1x_2 = \frac{c}{a}=6 - m$
3. 代入已知条件：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1=0$，即$(6 - m) - 5 + 1=0$
4. 求解$m$：$6 - m - 5 + 1=0$，解得$m=2$