单循环赛（比赛场次）的讲解

比赛场次

引言

本节课主要学习单循环赛制下的比赛场次计算问题，通过实际例题和多种解题方法，掌握单循环比赛场次的计算规律，并能应用于解决生活中的实际问题。

单循环赛的定义

单循环赛是指每两个球队之间都要比赛一次，参加的球队均能相遇一次的赛制。即每个参赛队都要与其他所有参赛队各比赛一场，且仅比赛一场。

中国队比赛场次

例题背景

2010年女子足球亚洲杯B组共有4支球队：中国、韩国、澳大利亚、越南，每两支球队之间进行一场单循环比赛。

问题（1）：中国队在小组赛中要进行几场比赛？

解题方法

1. 枚举法：列出中国队与其他所有球队的比赛，即中国 vs 韩国、中国 vs 澳大利亚、中国 vs 越南，共3场比赛。
2. 连线法：通过连线表示两队之间的比赛，中国队分别与其他3支球队连线，共3条线，对应3场比赛。
3. 算式法：参赛队数为4支，中国队不能与自己比赛，因此比赛场次为 (4 - 1 = 3) 场。其中“4”表示小组内球队总数，“-1”是排除与自身比赛的情况。

小组比赛总场次

问题（2）：整个小组共赛多少场？

错误思路纠正

若直接用每个队的比赛场次乘以球队数（(3 \times 4 = 12)场），会导致重复计算（一场比赛被两个球队各计一次），因此该方法不正确。

正确解题方法

1. 连线法：

   • 中国队需与韩国、澳大利亚、越南比赛3场；
   • 韩国队已与中国队比过，还需与澳大利亚、越南比赛2场；
   • 澳大利亚队已与中国、韩国比过，还需与越南比赛1场；
   • 越南队已与其他3支球队比过，无需再比赛。
     总场次为 (3 + 2 + 1 = 6) 场。

2. 规律总结：通过连线法可发现，4支球队的比赛场次是从3开始依次递减1相加，即 (3 + 2 + 1 = 6) 场。

规律总结

单循环比赛场次的计算规律

1. 连加法：若有(n)支参赛队，比赛场次为从(n-1)开始依次递减1，直到加到1，即 ((n-1) + (n-2) + \dots + 1)。

   • 示例：2支球队：(1)场；3支球队：(2 + 1 = 3)场；4支球队：(3 + 2 + 1 = 6)场；5支球队：(4 + 3 + 2 + 1 = 10)场。

2. 公式法：当参赛队数较多时，可使用公式计算。由于连加法的本质是等差数列求和，首项为(n-1)，末项为1，项数为(n-1)，因此总场次公式为：
   [ \text{总场次} = \frac{n(n-1)}{2} ]
   （其中(n)为参赛队数）

列表法

列表法是另一种计算单循环比赛场次的方法，具体步骤如下：

1. 将所有参赛队横向和纵向列出，形成表格；
2. 表格对角线（球队与自身比赛）用斜线划去，避免重复；
3. 表格上半部分与下半部分对称，只需统计下半部分（或上半部分）的比赛场次，即每两个球队之间仅记录一次比赛。
   通过表格法可直观得出，4支球队的比赛场次为 (\frac{4 \times 3}{2} = 6) 场，与公式法结果一致。

练习题

题目：一列往返于石家庄与北京的城际快速列车，沿途只停靠保定一站，这列快速列车需要准备多少种火车票？
解法：

1. 连线法（单程）：石家庄、保定、北京三个站点，单程火车票种类为 (2 + 1 = 3) 种（石家庄-保定、石家庄-北京、保定-北京）；
2. 往返考虑：由于是往返列车，需考虑返程车票，因此总票数为 (3 \times 2 = 6) 种（或单程3种+返程3种）。

答案：6种。

课堂总结

1. 单循环比赛场次计算方法：枚举法、连线法、列表法。
2. 计算规律：
   • 连加法：((n-1) + (n-2) + \dots + 1)（(n)为参赛队数）；
   • 公式法：(\frac{n(n-1)}{2})（适用于参赛队数较多时）。
3. 应用：掌握单循环比赛场次的计算方法后，可解决生活中类似的搭配问题（如往返车票种类、握手次数等）。