逐页精讲武汉最牛数学教辅之一《核心考点》2024版八下第078页 #初中数学 #中考数学 #初中几何 #正方形

正方形几何综合题解析笔记

第5题

题目条件：正方形ABCD边长为4，点E、F分别在AD、BC上，点G、H分别在AB、CD上，线段GH与EF夹角为45°，GH=5，求EF的长。

解题思路：
通过平移转化为正方形夹半角模型。将GH向下平移至BN（BN=GH=5），EF向左平移，两线段交点形成45°角，构造直角三角形利用勾股定理求解。

关键步骤：

1. 平移与辅助线：平移GH至BN（BN=5），设平移后交点构成∠MBN=45°，则CM=3（由勾股定理得：$BN^2=BC^2+CM^2$，即$5^2=4^2+CM^2$，解得CM=3），DM=CD-CM=1，BM=1。
2. 设未知数与勾股定理：设AN=x，则MN=x+3（夹半角模型性质：MN=AN+CM），DN=4-x。在Rt△NDM中，由勾股定理：$MN^2=DN^2+DM^2$，即$(x+3)^2=(4-x)^2+1^2$。
3. 解方程：展开得$x^2+6x+9=16-8x+x^2+1$，化简得$14x=8$，解得$x=\frac{4}{7}$。
4. 计算EF：EF平移后对应线段长度为$\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{(\frac{4}{7})^2+4^2}=\sqrt{\frac{16}{49}+16}=\sqrt{\frac{800}{49}}=\frac{20\sqrt{2}}{7}$。

答案：$EF=\frac{20\sqrt{2}}{7}$

第6题

题目条件：正方形ABCD中，E为AD中点，点F在CD上，且∠AFD - ∠ABE = 45°，求DF与FC的比值。

解题思路：
构造对称中点G（BC中点），利用夹半角模型转化角度关系，结合勾股定理列方程求解线段长度。

关键步骤：

1. 构造辅助点：取BC中点G，连接AG，由对称性得∠EBA=∠GAB，从而∠FAG=45°（夹半角模型）。
2. 设未知数：设正方形边长为2（简化计算），则BG=CG=1，设DF=x，FC=2-x，FG=DF+BG=x+1（夹半角模型性质：FG=DF+BG）。
3. 勾股定理列方程：在Rt△FCG中，$FG^2=FC^2+CG^2$，即$(x+1)^2=(2-x)^2+1^2$。
4. 解方程：展开得$x^2+2x+1=4-4x+x^2+1$，化简得$6x=4$，解得$x=\frac{2}{3}$。
5. 求比值：DF=$\frac{2}{3}$，FC=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，故DF:FC=1:2。

答案：DF:FC=1:2

第7题

题目条件：正方形ABCD边长为4，E是BC中点，F在CD上且DF=1，点P、Q分别为AE、BF中点，求PQ的长。

解题思路：
构造中线延长线，利用全等三角形转化线段关系，结合中位线定理求解。

关键步骤：

1. 构造辅助线：延长BP交AD于G，易证△ABE≌△BAG（ASA），则AG=BE=2（E为BC中点，BE=2），DG=AD-AG=2。
2. 确定F点位置：DF=1，故FC=CD-DF=3，GF=DG+DF=2+1=3？（此处需注意：F在CD上，坐标法更清晰：以D为原点，CD为x轴，AD为y轴，则F(1,0)，G(0,2)，GF=$\sqrt{(1-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$）。
3. 中位线定理：PQ为△BGF的中位线（P、Q为中点），故PQ=$\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+2^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

答案：$PQ=\frac{\sqrt{5}}{2}$

第8题

题目条件：正方形ABCD中，H在AD上，DG⊥CH，延长DG至E使∠AED=45°，A为EF中点，DF=√10，BF=20，求BE的长。

解题思路：
综合等腰直角三角形性质、手拉手模型全等、十字架模型全等，多次转化线段关系求解。

关键步骤：

1. 等腰直角三角形性质：∠AED=45°且DG⊥CH，故△FEH为等腰直角三角形，A为EF中点，得AG=AE=AF，EG=FG。
2. 手拉手模型全等：连接BD（等腰直角三角形），△AEG与△ABD共顶点A，得△AEB≌△AGD（SAS），故BE=DG。
3. 十字架模型全等：过A作AM⊥DE于M，由十字架模型得△CDG≌△DAM，故DG=AM，CG=DM。
4. 线段转化：BE=DG=AM=MG，CG=DM=DG+MG=2DG，在Rt△FGD中，FG=CG=2DG，DF=√10，由勾股定理$DG^2+FG^2=DF^2$，即$DG^2+(2DG)^2=10$，解得$DG^2=2$，$DG=\sqrt{2}$？（原ASR中提到“DF=√10直接除以√5得DG=√5”，修正后应为$DG^2+(2DG)^2=10\Rightarrow5DG^2=10\Rightarrow DG^2=2\Rightarrow DG=\sqrt{2}$，但原答案为BE=√5，需以ASR最终结论为准）。

答案：$BE=\sqrt{5}$