固体压强切割与叠放问题

柱状固体压强切割及叠放问题

一、基础公式回顾

质地均匀的实心柱状体对水平面的压强公式推导：
柱状体对地面的压力( F = G = mg = \rho Vg = \rho Shg )，压强( p = \frac{F}{S} = \frac{\rho Shg}{S} = \rho gh )。
核心结论：对于质地均匀的实心柱状体，对水平地面的压强仅与密度( \rho )和高度( h )有关，公式为( p = \rho gh )。

二、单个柱状体横切问题

例题1：截去高度(\Delta h)

正方体边长为( a )（高度( h = a )），沿水平方向截去高度(\Delta h)的部分后，剩余部分高度为( h - \Delta h )，则剩余压强：
( p' = \rho g(h - \Delta h) = \rho gh - \rho g\Delta h = p - \Delta p )，其中(\Delta p = \rho g\Delta h)（压强变化量仅与截去高度有关）。

变式1：截去质量(\Delta m)

由于柱状体质量( m = \rho V = \rho Sh )，截去质量(\Delta m)等效于截去高度(\Delta h = \frac{\Delta m}{\rho S})，剩余压强仍满足( p' = p - \rho g\Delta h )。

变式2：截去体积(\Delta V)

体积(\Delta V = S\Delta h)，则(\Delta h = \frac{\Delta V}{S})，剩余压强同样为( p' = p - \rho g\Delta h )。
技巧：横切时，无论截去高度、质量还是体积，最终压强变化均由高度变化量(\Delta h)决定，公式统一为( p' = \rho g(h - \Delta h) )。

三、两个柱状体横切问题

条件：初始压强相等（( p_{甲原} = p_{乙原} )）

设甲、乙为实心均匀正方体，初始压强( p_{甲原} = \rho_{甲} g h_{甲} = p_{乙原} = \rho_{乙} g h_{乙} )。

1. 截去相同高度(\Delta h)

剩余压强( p' = p - \Delta p )，其中(\Delta p = \rho g\Delta h)。

• 若(\rho_{甲} > \rho_{乙})（由( p_{甲原} = p_{乙原} )可知( h_{甲} < h_{乙} )），则(\Delta p_{甲} > \Delta p_{乙})，故( p'{甲} < p'{乙} )；
• 结论：初始密度大的柱状体，截去相同高度后剩余压强更小。

2. 截去相同体积(\Delta V)

体积(\Delta V = S\Delta h)，则(\Delta h = \frac{\Delta V}{S})，压强变化量(\Delta p = \rho g\Delta h = \rho g\frac{\Delta V}{S})。

• 若甲边长（底面积( S )）大于乙，即( S_{甲} > S_{乙} )，且初始( p_{甲原} = p_{乙原} )（(\rho_{甲} h_{甲} = \rho_{乙} h_{乙})），则(\Delta p_{甲} < \Delta p_{乙})，剩余压强( p'{甲} > p'{乙} )。
  总结：初始底面积（边长）大的柱状体，截去相同体积后剩余压强更大。

四、两个柱状体竖切问题

核心结论：竖切不改变压强

竖切后剩余部分仍为柱状体，密度(\rho)、高度( h )不变，由( p = \rho gh )可知，剩余部分对地面压强不变（( p' = p_{原} )）。

续问：剩余部分压力比较

初始压强( p_{甲原} = p_{乙原} )，压力( F = pS )，则初始压力( F_{甲原} = pS_{甲} )，( F_{乙原} = pS_{乙} )。

1. 截去相同质量(\Delta m)

初始质量( m = \rho V = \rho Sh = \frac{pS}{g} )（由( p = \rho gh )得(\rho h = \frac{p}{g})），故( m \propto S )。若( S_{甲} < S_{乙} )，则( m_{甲原} < m_{乙原} )，截去相同质量后，剩余质量( m'{甲} = m{甲原} - \Delta m < m_{乙原} - \Delta m = m'{乙} )，剩余压力( F' = m'g )，故( F'{甲} < F'_{乙} )。

2. 截去相同体积(\Delta V)

(\Delta m = \rho \Delta V)，由( p_{原} = \rho gh )得(\rho = \frac{p_{原}}{gh})，若( h_{甲} < h_{乙} )，则(\rho_{甲} > \rho_{乙})，故(\Delta m_{甲} = \rho_{甲}\Delta V > \rho_{乙}\Delta V = \Delta m_{乙})，剩余质量( m'{甲} = m{甲原} - \Delta m_{甲} < m_{乙原} - \Delta m_{乙} = m'{乙})，剩余压力( F'{甲} < F'_{乙} )。

3. 截去相同厚度(\Delta d)

竖切厚度(\Delta d)时，截去体积(\Delta V = S\Delta d)，与“截去相同体积”分析相同，最终( F'{甲} < F'{乙} )。

五、两个柱状体竖切后叠放问题

例题4：竖切相同质量后叠放自身剩余部分上方

甲、乙初始压强( p_{甲原} = p_{乙原} )，沿竖直方向截去质量(\Delta m)的部分，将截去部分叠放在剩余部分上方。

• 剩余部分压强不变（( p_{剩} = p_{原} )），叠放后总压强( p' = p_{剩} + \Delta p )，其中(\Delta p = \frac{\Delta mg}{S_{剩}})（截去部分的压力(\Delta mg)作用于剩余底面积( S_{剩} )）。
• 若初始( m_{甲原} < m_{乙原} )，则剩余底面积( S_{剩甲} < S_{剩乙} )，(\Delta p_{甲} = \frac{\Delta mg}{S_{剩甲}} > \Delta p_{乙} = \frac{\Delta mg}{S_{剩乙}})，故( p'{甲} > p'{乙} )。
  技巧：按质量竖切叠放时，(\Delta p)与剩余底面积成反比，初始质量小的柱状体叠放后压强增加更多。

六、中考真题解析（2018河北）

题目：

实心圆柱体甲（质量12kg，底面积(4×10^{-2}m^2)）和长方体乙（质量5.4kg，边长0.1m、0.2m、0.3m）放置在水平地面上。
（1）求乙的密度；（2）求甲直立时对地面的压强；（3）从甲上方水平截去一段叠放在乙上方，使甲剩余压强等于乙此时最小压强，求截去高度(\Delta h)。

解析：

（1）乙的体积( V_{乙} = 0.1m×0.2m×0.3m = 0.006m^3 )，密度(\rho_{乙} = \frac{m_{乙}}{V_{乙}} = \frac{5.4kg}{0.006m^3} = 0.9×10^3kg/m^3)。

（2）甲的压力( F_{甲} = G_{甲} = m_{甲}g = 12kg×10N/kg = 120N )，压强( p_{甲} = \frac{F_{甲}}{S_{甲}} = \frac{120N}{4×10^{-2}m^2} = 3000Pa )。

（3）甲的密度(\rho_{甲} = \rho_{乙} = 0.9×10^3kg/m^3)（题目隐含甲、乙密度相同），甲的体积( V_{甲} = \frac{m_{甲}}{\rho_{甲}} = \frac{12kg}{0.9×10^3kg/m^3} \approx 0.0133m^3 )，高度( h_{甲} = \frac{V_{甲}}{S_{甲}} = \frac{0.0133m^3}{4×10^{-2}m^2} \approx 0.333m )。
设截去高度(\Delta h)，截去质量(\Delta m_{甲} = \rho_{甲}S_{甲}\Delta h)。
甲剩余压强：( p'{甲} = \frac{(m{甲} - \Delta m_{甲})g}{S_{甲}} = \frac{(m_{甲} - \rho_{甲}S_{甲}\Delta h)g}{S_{甲}} )。
乙最小压强需底面积最大（( S_{乙max} = 0.2m×0.3m = 0.06m^2 )），乙此时压强：( p'{乙} = \frac{(m{乙} + \Delta m_{甲})g}{S_{乙max}} )。
由( p'{甲} = p'{乙} )，联立解得(\Delta h = 0.2m)。