初中数学求最值，判别式法不好用也不用慌 初中数学求最值，判别式法不好用也不用慌.#初中数学 #最值问题 #认识一下

初中数学求最值：利用对偶式法求解(2x + 3y)的最大值

题目陈述

已知(x^2 + y^2 = 5)，求(2x + 3y)的最大值。

解题关键方法：构造对偶式

步骤1：展开目标式的平方

首先将(2x + 3y)平方，利用完全平方公式展开：
[ (2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 ]
展开后出现交叉项(12xy)，无法直接利用已知条件(x^2 + y^2 = 5)（平方和为定值），需进一步处理。

步骤2：构造对偶式

引入对偶式((3x - 2y)^2)，其特点是系数调换、中间符号相反（原式子系数为2和3，对偶式为3和2；原中间项为“+”，对偶式为“-”）。展开对偶式：
[ (3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2 ]

步骤3：相加消去交叉项

将原平方式与对偶式相加，可消去交叉项(12xy)：
[ (2x + 3y)^2 + (3x - 2y)^2 = (4x^2 + 12xy + 9y^2) + (9x^2 - 12xy + 4y^2) ]
化简右边：
[ 4x^2 + 9y^2 + 9x^2 + 4y^2 = 13x^2 + 13y^2 = 13(x^2 + y^2) ]

步骤4：利用已知条件和平方非负性求最值

已知(x^2 + y^2 = 5)，代入上式得：
[ (2x + 3y)^2 + (3x - 2y)^2 = 13 \times 5 = 65 ]
由于平方数具有非负性，((3x - 2y)^2 \geq 0)，因此：
[ (2x + 3y)^2 = 65 - (3x - 2y)^2 \leq 65 ]
当且仅当((3x - 2y)^2 = 0)（即(3x = 2y)）时，等号成立。

结论

((2x + 3y)^2 \leq 65)，故(2x + 3y)的最大值为(\sqrt{65})（最小值为(-\sqrt{65})）。

方法总结

构造对偶式的核心是通过系数调换、符号相反构造辅助平方项，与原平方式相加后消去交叉项，再利用已知平方和定值及平方非负性，最终求得目标式的最值。此方法适用于已知“平方和为定值”求“线性式最值”的问题。