求最短路径总数？可以用计数原理，也可以用标数法，你学会了吗？ #排列组合 #标数法 #最短路径 #青衿学长 #动态规划

问题引入

如果高考中出现类似题目，你能解答吗？题目描述：线段代表街道，小明只能沿街道行走，且只能向北或向东移动。学校位于家的东北方向，求从家到学校的最短路径总数。答案是265条，你算对了吗？如果是首次接触，建议先尝试解题，能增强理解乐趣。

解题思路：计数原理初步应用

• 规则图形基础：如果补齐不规则部分，整体路径需走11条线段（5次向北、7次向东）。根据计数原理，路径总数由排列组合决定：向北的5次位置确定后，整条路径即固定，因此为组合数 C(11,5) = 330。
• 应用到本题：实际图形不规则，总路径应小于330。分三种情况计算：
  • 从家到点A：C(6,2)条路径（向北2次、向东4次）。
  • 从点A到学校：C(5,2)条路径。
  • 从家到点B：C(7,3)条路径。
  • 从点B到学校：C(4,1)条路径。
  • 从家到点C：C(8,4)条路径。
  • 从点C到学校：仅1条路径。
• 初步结果：分布相乘后分类相加，得360条。但此结果大于330，逻辑矛盾（因路径减少，结果不应更大），提示方法有误。

错误分析：路径重复问题

• 关键发现：在点A和点B的移动中，存在路径重叠。例如，从点A向北到点B再到学校，与直接从家到点B再到学校的路径重复；类似地，点B向东到点C再到学校，与直接从家到点C再到学校重复。
• 修正思路：需避免重复计数。只考虑有效方向：
  • 从点A仅向东到点D，再到学校（点D到学校路径数C(4,2)）。
  • 从点B仅向北到点E，再到学校（点E到学校路径数C(3,1)）。
  • 从点C仅向东到点F，再到学校（路径数1条）。

正确解法：计数原理修正

• 重新计算：分布相乘后分类相加：
  • 家到点A路径数 × 点A到点D路径数 × 点D到学校路径数：C(6,2) × 1 × C(4,2) = 15 × 1 × 6 = 90。
  • 家到点B路径数 × 点B到点E路径数 × 点E到学校路径数：C(7,3) × 1 × C(3,1) = 35 × 1 × 3 = 105。
  • 家到点C路径数 × 点C到点F路径数 × 点F到学校路径数：C(8,4) × 1 × 1 = 70 × 1 × 1 = 70。
• 最终结果：90 + 105 + 70 = 265条。

验证与备选方法：标数法

• 标数法应用：此方法基于动态规划和加法原理，自底向上递推计算每个节点的路径数（节点值等于左侧和下侧节点值之和）。在本题中，从家开始逐步计算，目标点学校路径总数也为265。
• 方法对比：
  • 计数原理：通用性强，适用于所有离散计数问题，强调加法原理和乘法原理。
  • 标数法：特定于网格路径问题，是计数原理的递推实现，简化复杂问题分解。高考中两种方法均可接受。

总结与思考题

• 核心要点：本题考察分析能力而非技巧，是新高考热点题型。错误分析过程比直接解题更具挑战性，能提升逻辑思维。
• 两道思考题：
  1. 2016年高考题：求特定网格的最短路径数，请用计数原理和标数法分别解答。
  2. 数字填充问题：在3×3方格中填入数字1-9，每行从左到右、每列从上到下递增。若4固定在指定位置，求填写方法总数。请用所学方法解答，参考答案见视频末尾。

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