实变函数论与泛函分析概要第五版答案

哈喽，大家好，今天我给大家介绍的是随便与泛函部分中的证明题。首先我给大家讲一下什么是有限信息分子， 它的定义。我们已经知道 t 是复繁现金空间 x 到复繁现金空间 y 中的限定算值。那什么是有限呢？有限就是如果存在长数 c， 使得对所有的小 x 属于 x 这个复发性空间，我们有 t x 小于等于 c 常数 c 乘以 x 的范数，这里就有一个有键，然后我们就称 t 是 x 到 y 的有界 星算子。然后我们来做一下这个证明题。我们要证有件星星算子与这个星星算子连续是等价的，我们先处理其中一个方向， 我们已知知道 t 是有界的，我们要证它是连续。则当 x 小，嗯区域于 x， 嗯趋于无穷的时候， 我们要证明什么？要证明就是 t x n 去 t x， 这个是我们的目标。 好，因为 t x n 减去 t x 等于这个 t 是现金算值，所以可以 把 t 提出来， x 减 t， x n 减 x 小于等于根据他的有界性，小于等于 c 乘以 x n 减去 x 的范数。 我们知道 x 区域 x 的时候，这个分数是区域零的，所以前面这个 t x n 减去 t x 是区域零的，那我们就可以退出 t x n 区于 t x， 当 n 区域无穷的时候，然后就震出来了， t 是连续的。 接下来我们处理这个方向，我们已知 t 在 x 中连续， 然后我们要证它是有界的。这里我们采用反正法，假设 t 是无界的， 根据无界的定义，这是在 x 中。我们也可以找到一列项链， x 一 x 二是呃 x n 的半数是不为零的，我们可以得到 t x n 大于等于 n 倍的 x n， 这个是无界的定义。然后我们要另一个 y， n 是等于 x n 除以 n 倍的 x n， 其中 n 等于一二一直，然后则我们算一下它 y， n 的反数是等于把 y n 带进去， 然后放的时候就是一个值，所以可以移出来， 把下面这个部分长数值也移出来，然后上面就是 x n 的反数，然后约掉就是 n 分之一。 当 n 去无穷大的时候，我们就知道 y， n 的范数是等于是区域零的，然后我们知道 t 是连续的，由 t 的连续性，我们知 t， y n 是区 t 零的等于零到 n 区无穷蛋，我们只要找到与这个矛盾就行了。 由于 t 是线性选择， 又可以得到 这一切的正整数 n， 我们有 t， y n 的范数，我们把 y， n 给带进去，是 t， x， n 除以 n 乘以 x n 的范数，这个是一个整体， 我们知道这里面是一个长数值，所以把它给移出来，然后上面就是 t x n 的范数。 我们知道 t x n 的范数是大于等于 n 乘以 x， n 的范数 大于等于 x， n 乘以 n 分母，分母照常，所以就是等于一，这个与上， 这个与上面这个是矛盾的，所以 t 是不可能是无界的， 所以 t 是有计算，值得正。谢谢大家。

she will never be away。

除非你对数字过敏，不然你真的没有理由不来薅这本儿十遍函数的羊毛。像平时这样一本书，我们想要看懂起码得学十遍，但是现在是期末周，我们只需要一个晚上就可以学会它。关键现在到手这么厚一本， 里面一共有五个章节啊！集合点击测度论、可测函数以及积分论。 而且这个配料表也特别干净，整本书添加了各种数字字母符号啊，还有各种定义，证明老人小孩都可以学 满满五张知识点，期末只出一张卷子，而且期末周限时活动，还送你一本数值分析不够！还有一本运筹帷基础，整整三大本，到手！学到就是赚到刷到的！家人们赶紧去学吧！

哎哎呀哎呀哎哎哎哎哎哎哎哎哎哎哎。

好，下面我们来看第五章的第三节一般可测记函数的罗贝格积分啊。好，那么首先我们要给出一般可测函数啊，因为它非负，但是我们只学过非负的可测函数，所以我们就要找关系啊。好，那么这里我们发现 f， 它会等于 f 正减 f 负。 好，这是它的正部，这是它的腹部。 好，那么现在我对 f 积分就可以转化成对他们两个的差值积分。好，进一步，我们定义啊，我们如何来定义？ 好，我们来定义一般可测函数的积分啊，它的积分就是正负的积分，减负部的积分，有点像是对 f 积分，然后括号展开这种感受啊。好，那么更进一步，如果这两个至少一个有限， 好，我们就把这个值称为是上积分。好，它就存在上积分了啊，至少一个有线就存在上积分了，如果两个都有线， 好，我们就称它可积。 好，那么这里注意一下啊，那么通常我们来证明一个函数，它可积啊，不是证明 f 二，尤其是一般可测函数，我们证明的是它的绝对值啊。 好，为什么它可测，它的绝对值就可测呢？因为绝对值和正部腹部的关系啊，我的绝对值会等于正部加上腹部，那么如果我的离麦格积分，它本身是对于这个 f， 他的离麦格积分他是有限的，换言之，这个得是有限的，这个得是有限的，对不对？他们的运算才可能有限吗？不然肯定是会和无穷挂钩的，那么他们的差值有限，自然和就有限，所以绝对值也是有限的，那么反过来，绝对值有限，他们的 正部腹部也一定有限，所以做差有限，所以他就也可积啊，所以绝对值可积和他本身可积是冲要条件好，这是一个很重要的性质 好。那么在给出了可测函数的定义之后，我们来看看他会有哪些性质啊？其实他的性质和非负可测有些类似啊，但是他的性质要更多更广泛，而且其中有一个控制收敛非常重要啊。我们先一步一步来说，首先， 它有几个基本事实大家要掌握好，就是如果我的 f 可积，那我的 f 一定是几乎处处有限的，也就是它小于无穷，是几乎处处成立于一的，几乎处处有限。 好，其次，如果我在邻测集上， 那么我在 e 上的任意函数，它的积分都是零。好，如果我的 f x 等于零，是几乎处处成立于 e 的， 我也能推出积分为零。 好，如果我的 f x 小 于等于大 f x 几乎处处成立于 e， 那 么大 f x 为可测 啊。维克基，我也能推出小 f x。 维克基，我们仍然是把这个大 f x 称之为是控制函数 好，这是一些基础的事实好，往下我们来看它有哪些性质。首先，仍然对区间可加 好。也就是说这个可加，如果 a 交 b 等于空集，那么在 a b 上的积分 a 并 b 上的积分就可以拆成在 a 上的积分加上在 b 上的积分。 如果我的区间 e， 它可以表示成一组两两不交的区间之比啊。 e i e j 相加为空，那我在 e 上的积分就可以等于在每个 e i 上去积分再求和 好，这是我们的区间区域可加性。 当然，其实在控制函数这里，我们还可以得到单调性嘛，其实控制函数这个性质，我们就是从单调性得来的。如果 f x 小 于等于 g x， 那 么我 f x 的 积分在同一个区间上小于等于 g x 的 积分在同一个区间上。 好，所以我们的单调性也是成立的。当然，这个单调性除了函数还会有区间好，如果 e， 它是 e 的 子集，那么在 e 上对同一个函数取积分，就会小于等于在 e 上对同一个函数取积分。 而且这里不要求它严格啊，其实我只要几乎处处成立啊，就是可以的啊，几乎处处成立就已经能得到结论了。好，当然我们还有和非负的差不多啊，就是还有一个，如果 f x 它有界小于无穷啊， e 的 测度也有限， 那么我 f 在 e 上的这个积分一定是小于无穷的，换言之， f 在 e 上可积好，这些性质都是类似对不对？好，往下会出现一些不同的啊，还有心性预算我们没说啊， 我们还是在这里编个号吧，免得大家搞混了啊。四十一，四十二，四十三，四十四啊，然后五区间可加信，然后六单调信，然后七啊，有界， 呃，这个函数有界，去这个区间测度有界，那么就可积，那我们的八就是我们的限行性质好，注意注意啊，这里的 c 之前非负可测和非负减减都要求乘上的这个数，要是非负实数好，那么来到一般可测 的积分当中，这个 alpha 就 可以取任意实数啦。好，那么我们还是有那个性质啊， alpha f 加贝塔 g 来求积分好，它一定等于 alpha 倍的 f 加上贝塔倍的 g 好， 那么刚刚讲的这些，其实在我的非负可测函数当中都有类似的性质啊，那么往下我们要介绍的就和非负可测函数有较大不同了啊。好，第一个， 绝对连续性。 好，什么意思？ f， 它是可测的，它是可积的，那么我就可以推出，对于任意的 e、 b、 c、 o 大 于零，都会存在一个 derta。 对 于任意的可测级和 a， 它是 e 的 子集， 只要 a 的 测度小于 derta， 就 会有 f， 它在 a 上的积分绝对值小于等于 f 的 绝对值，在 a 上的积分小于 e、 b、 c 了。 好，那么它是一个什么意思呢？它结实的其实就是我的这个。呃，勒贝克积分，它好像有一种连续性在，就是当我的侧度变化很小的时候，我的积分变化也会很小。 好，那么这其实是罗贝格积分，一个很好的性质啊，当我的区间足够小的时候，我在区间上的变化也会足够小。 好，第十个，请大家打三个信号在旁边啊，这个性质非常重要，控制、收敛、定力，他几乎是整一本书最重要的性质和定力啊。控制收敛、定力， 他说的是什么呢？好，假设我有一组 f、 k， 它是可积的。 好，那么这里可积，我们可以简记为记入大 l、 e、 r 这个符号代表的是在 e 这个集合上可积的所有函数。好，那我的 f、 k 是 上面的一组可积函数大 f。 啊，我的这个控制函数，它也是可积的。好，这是第一个啊，我们找到一列函数，它可积大， f 也可积好，如果有 f、 k， 它 几乎处处收敛于 f， fk 的 绝对值还小于等于大 f。 好， 当然，这也是几乎处处成立的，我就能够推出什么好，我的积分可以换去二积分和极限好。当 k 趋于无穷时，如果我先对 函数求极限，它一定会等于先对函数求极限， 再取积分好，其实自然就是 f x 的 积分好，这个非常重要啊，一侧度收敛， 首先我可以实现积分与极限换序，而且我的结果就是它几乎处处收敛得到的那个 f。 那 么这里说一下啊，其实除了几乎收敛，我们这里如果是 f k 一 侧度收敛于 f 啊，我得到的这个性质也是成立的啊。 啊，为什么呢？因为其实一侧读收敛，我们是能够找到一个子列，使得他几乎处处收敛的吗？通过李自定理啊，这个我们是得到的，那么其实一侧读收敛，我就可以推出是几乎处处收敛，那我找到的这个子列，我就继承 f k 啊，我就又回到了我们的这个控制收敛定理啊，所以一侧读收敛也可以 好，那么我们之前说过啊，其实之前我们是 在非负可积的时候，我们是来为定理实现的积分和极限的换序啊，那么我们有了来为定理，自然就会有逐项积分。那么 在一般可测里，我们是通过控制收敛的定理的实现的积分和极限换序啊，那么有积分的极限的换序，其实我们对应的就会有逐项积分。所以这里我们把最后一个定律说掉啊，逐项积分定律 好，就是我的 e， 它可测， 我找到的这组 f n， 它也可测啊，甚至是可积的好，如果 正向极数啊，就是对 x 的 绝对值，取极限的积分求和它收敛， 那么我的函数相奇数 n 去无穷 f n 啊，这一组数列的和它在一上几乎处处收敛，而且我们还可以得到 它求和啊，它这个函数相奇数，它的积分一定会等于积分求和 啊，也就是积分这个正向级数啊，积分求和。

好，他的定义和性质好，什么样的函数是可测函数呢啊？首先，如果我们假设 f， 它是可测极上的一个函数，如果对于任意的 a， 注意这里的 a 啊，他还是取广义实数，也就是可以取到无穷的这种。 我都有 e， f 大 于 a 可测啊，这个几何是什么意思？其实它取的就是使得 f x 大 于 a 的 这些 x 啊，取的是使得这个式子成立的原像，它和 e 的 交集。 好，换句话说就是我的这些 x 除了要满足之外，还得有 x， 它来自于 e 啊，这些集合，这些点组成的集合就是 f 大 于 a， e 啊，这个集合的含义好，那么如果这个集合它可测 啊，我们就可以称 f 是 e 上的可测函数了。好，当然这个定义不完全就是它只是其中一条啊，我们的这个 f 可测，我们是可以引申出五条等价定义的。好，那么除了严格大于之外，我大于等于也成立， 小于成立，小于等于也成立啊，只要这些集合都可测，对于任意的 a 属于广义实数 r， 那 么我们的 f 就是 e 上的可测函数。 好，那么这里大家要注意一个东西啊，就是你发现了，就是我们单看一组吗？大于和大于等于之间的区别就是加上了等号吗？好，那么这里我们给出一个推论啊，就是我 f， 他 如果在 e 上可测， 我们是能够推出 f 等于 a 这个集合可测。当然还是 对任意的 a 属于 r， 但是反过来，对于任意的 a 属于 r， 我 的这个集合 f 等于 a 可测，就推不出 f 在 e 上可测了。 所以你看，我们给出的第一个定义其实是比较严格的，大于二等的时候，我只能从可测函数推到集合可测，但是不能从集合可测推出函数可测二，大家注意一下。 好，这里的等号，他不重要的原因是因为他没有反过来推导的这个结论好，那么哪一些会是可测函数呢？常见的可测函数有哪些？首先零级上零级，记得吗？是什么啊？测度为零的集合，它上面的任意函数都是可测函数。 好，这个是为什么啊？其实我们可以快速的证明啊，假设 f 它在 e 上，它是一个函数，那么下面我要证明它是可测函数，就只用证明哈。对于任意的 a 属于我的广义实数 r， 我 的 f 大 于 a， 这个集合可测就行了嘛。 好，那么对于零级来说啊，测读为零的集合来说，那么任意的 任意的 a 属于 r， 我 的这个集合，它肯定是 e 的 子集，而我的这个 e， 它测度又为零，有我这个测度，它的这个单调性，它就会小于等于我这个集合 e f 大 于 a， 所以 我的 m e f 大 于 a， 这个集合，它也是一个测度为零的集合，也是一个零测集，所以它就可测 好，那么这是第一类可测函数啊，在零级上的任何函数，它都可测。第二类可测函数，简单函数它都可测。那么什么样的函数才能被叫做简单函数呢？就是首先我的这个集合啊，我定义在上面的这个集合，它可以拆成有限个 两两不交的可测即知。并。好，那么在每一个这个 e 上，我都取长值 c， 那 么我的 f 就 称之为是 e 上的简单函数。这里我们举一个最常见的简单函数的粒子克雷函数，如果 x 是 有理数， 那么它就取。一，如果 x 是 无理数，它就取零。好，那么我们的的粒子是无理数，它就取零。好，那么这里我把零到一 b 区间加上， 好，那我的零到一 b 区间就是我的 e， 对 不对？我的 e 就 被拆成了两个互不相交，但是又都可测的集合之 b， 而且在每一个集合上，我的狄克类函数取的都是长值，要么是一，要么是零，所以它就可测。二，这个函数就是个简单函数，它自然就可测。 好，那么这里我们还来还可以得到它的测度啊，好，那么它的这个测度啊，这个 啊，当然更进一步，如果我这里这个有线啊，我就取一个好，比如说我的这个 f， 它就是在 e 上的长值函数， 那么我的 f 一定是在 e 上可测的函数， 因为它就是简单函数了啊。那么为什么？如果我们要让证明这个结论，我们怎么证明呢？要证明 f 在 e 上可测，又来证明它的定义了。 那么我的 f， 首先假设它恒等于 c 吧，那么对于任意的 a 属于 r， 我 的这个 f 大 于 a 这个集合，那么无非两种情况，要么就是全体，要么就是 e。 因为如果我的 c 它大于， 如果我的 c 它小于 a， 那 我的 f 大 于 a， 就 没有点。如果我的 c 它大于 a， 因为如果我的 c 它小于等于 a， 那 么我的 f 要大于 a， 就 不可能有这样的点，所以是空集。如果我的 c 严格大于 a， 那 么它大于 a 就是 我的全体 e， 那 么不管是哪一个空集还是 e， 它都是可测结合，所以我的 f 就 会在 e 上可测 好，那么我们通过这个长值函数可测，自然就可以推出简单函数可测啦。因为简单函数也就是在每一段上它都长值嘛，所以它一定也都可测。 第三个，我们还知道可测级上的连续函数也必定可测好。那么首先连续的定义是什么？假设的 f， 它是一个有限值函数二，也就是说它的函数值都是有限时数，那么我们就称它在 x 零处连续。当且仅当 我的这个极限 x 趋近于 x 零时，函数值的极限是 f x 零。换句话说，对任意的 delta 大 于零都会存在对于任意的， 换句话说，对于任意的 epsilon 大 于零，我都会存在 delta， 使得当这个小于 delta 时，有函数值的绝对值小于 epsilon。 如果我用集合来表示，也就是我这个 x 零的 delta 领域内的函数值 f， 它都会是我 x 零的 epsilon 领域里的数 好，那么这里我们就用这个连续的定义来证明一下我们给出的这个结论。 我们来证明好，那么又要来证明函数一定是可测函数啦，那么证明的又是这个 f 大 于 a， 这个集合可测 啊，我任取这个 f 大 于 a 的 这个集合上的任意和一个点，那么首先我的 f x 会大于 a， 那 么由连续性假设我就知道，对于 euclidean 啊，我取得这个任意的 euclidean， 我 们不妨就取 f x 减 a 吗？我都存在一个这个 delta x 大 于零，使得啊，我的这个领域会在 f x 的 delta c 个 delta c 领域里会使得 我的这个领域它都在 f x 的 e、 p、 c 笼领域当中，而这个领域它一定是会在零到 a 到正无穷这个集合当中的。 好，我把所有这个 x 的 dota 领域去并集，那么首先它一定是个开集，而且也一定可测。 好，我的这个要证明的这个 f 大 于 a 的 这个集合，它就一定是 g 和 e 的 交集。好，那么 g 是 个可测集， e 是 个可测集，它们的交集也可测，所以我就证明了，我要证明的这个 f 大 于 a， 它是个可测集合， 它可测， f 就是 可测函数，所以在可测级上连续的函数一定是可测函数。最后，在可测级上，单调的函数也必定是可测函数。好，那么我们要证明 f 它是可测函数。仍然一样啊，我们找的是这样一个集合。 好，我们不妨假设这个 f 是 单增的吧。好，我们的这个集合就可以拆成这样两个集合的交集，那么这是一个 区间，它可测，这是一个可测级，所以它们的并级也可测，所以我们的这个 f 大 于 a， 它是一个可测级，所以我们的函数可测。好，那么到这里我们整理一下，大家回忆一下我们现在讲到的可测函数有哪些？首先，零级 上面的任意函数。其次，简单函数好，简单函数里有一类特殊的叫做长值函数。 好，第三，连续，第四单调，当然它们都必须在可测级上啊。 好，我们这些函数它都是可测的。我知道了哪些会是可测函数之后，它有怎样的性质呢？首先，它关于子集和有限病封闭什么意思？假设 e 是 可测函数， e 一 是它的子集， e 一 也可测，那么 f 就是 e 一 上的可测函数。此外，如果我的 e 可以 看作是一列 e 一 的有限病， 那么 f 是 e 一 上的啊，或者是 e n 上的可测函数，那么它就可以变成在 e 上的可测二，所以对于子集和有限病封闭。 其次，可测函数它还有关于四则预算封闭。什么意思？假设 f 和 g 它是可测函数，那么它的加减乘除全部都可测，还有这里更有甚者，我的绝对值也是封闭的。什么意思？ f 可测 f 的 绝对值就可测 g， 可测 g 的 绝对值就可测 f 绝对值的 p 次方 g 绝对值的 p 次方 p 大 于等于零也可测。好，那么如果考试的时候让你证明啊，那么又来，只要证明函数是可测函数，就是证明这样一个集合 啊。比如说，我们以 f 加 g 为例啊，那么 f 加 g 大 于 a 这样一个集合，是可测集合，那么对于这个题而言，我们讲一下思路就行了啊，我们把它移过来啊，这个集合和 f 大 于 a 减 g 是 同一个集合，我就证明右边这个可测就行了。 好，那么具体怎么证明？我们的这个解析上写的很清楚啊，大家可以下来看一下。好，当然乘积是怎么样的啊，我们也可以类似去证明。好，那么除了四则运算和绝对值运算封闭之外，我们关于确介的运算和极限运算也封闭。什么意思？假设我有一列 可测函数，那么对于他们取上确介得到的缪 x 和取下确介得到的缪 x， 它一定也是易上的可测函数。 好，这里大家不用管啊，暂时不用管好，这是对于确切运算。其次，对于极限运算几，什么意思呢？假设我的大 f x 是 这一列函数 f n x 的 下极限。 好，那么它的下极限大 f x 也一定是可测好。如果它的上极限我们用 g x 表示，那么它的上极限也一定是可测的。 如果它的上下极限都存在，我们就称啊，我的 f x 就是 我的极限啦。 好，那么这个极限它也一定是在一上的可测函数 啊，为什么？其实就是这个部分了啊？我们的上极限定义是它，我们的下极限定义是它，所以其实我们的上下极限本质上也是在做确结匀算，那么确结匀算封闭，自然我的极限匀算就也封闭好。最后， 我们可测函数的正部和腹部也可测好。首先，我们给出正部、腹部的定义啊，正部指的是什么呢啊？最大值 f x 和零的。 也就是说，如果我的 f x 大 于等于零，那我就取 f x， 如果我的 f x 小 于零，那我就取零好，这样一个集合，这样一个函数就是我 f 的 正部好，负部是什么？负的最小值 什么意思？如果我的 f x 大 于等于零，那我的最小值就是零，它去负还是零？如果我的 f x 小 于零，那么它的最小值就是 f x， 我 就去负的 f x。 好，这是我的上，这是我的正部和腹部。那么给出了这两个的定义。首先，我们可以迅速的得到一些关系好，我的正部和腹部相减是我的 f， 正部和腹部相加是我 f 的 绝对值 好，那么有了它们是绝对值，那么我正负正负，它一定会小于等于绝对值，我的腹部也一定会小于等于绝对值，这是第二个性质。 第三个性质，如果我将负的 f 看作一个函数，那么它的正负就是我的 f 正 啊！换一句话说啊，我的 f x 和负的 f x， 它有点互逆的这种感觉啊。 好，那么我的正部和腹部，如果我的 f 是 e 上的可测，那我的正部和腹部，它也一定是 e 上的可测。好，这是我们的最后一个啊。好，那么在这里我们再总结一下我们可测函数的性质，首先，它对于子集有限并封闭。 其次，对于四则运算和绝对值运算封闭。 第三，关于确切确界和极限运算封闭。 最后，它的上，它的正部副部也关于它封闭。 好，这是我们这个可测函数的性质。最后，我们给出最后一个可测函数和简单函数之间的关系啊，因为去到第五章我们要研究积分的时候，是从简单非负简单来推导的啊。这里有两个关系， 第一个，如果 f x， 它是 e 上的非负可测。 如果它只只是一个非复的可测集合，那我一定会存在 five k x。 啊，这个 five k x 是 简单 函数，那存在这样一个简单函数列，使得对任意的 x 属于 e， 我 的 five k x 都会小于等于 five k x 加一 five k 加一 x 小 于等于 f， 而且 我的 k 趋近无穷时， five k 它会等于 f x。 什么意思呢？只要我的 f， 它是 e 上的非负可测函数，那我一定可以找得到一列简单函数列，使得首先它们递增几次收敛于 f。 好， 那么如果我的这个可测函数它不非负呢？那就是一个一般的 可测啊，它没有非复性啦，那我也能找到 five k x， 只是说它就不单调了，我仍然能够找到这一列简单函数，它的极限 仍然是我的 f x。 所以 不管是非复还是一般的啊，我总能找到一个一列 简单函数，使得他成为我这个简单函数列的极限。我的可算函数总可以表示成简单函数的极限，如果他非负，可以是递增的，如果他是一般的，那就没有这个递增性啊。 但是注意啊，虽然他们没有严格的单调性，但是我 f i k， 他的绝对值也一定不会超过 f 的 这个函数值啊。好，这是我们的。嗯，第一章啊，这里最后我们再介绍最后一个关系，叫做几乎处处成立。 好，最后我们来介绍几乎处处成立啊，它是一个什么样的定义呢？我们来看好， 比如说啊，我要 g f x 等于 g x， 几乎处处成立于 e， 那 么就是它的定义是什么？就是使得它不成立的，也就是 f 不 等于 g， 这个集合的测度为零。 好，那么几乎处处成立的定义就是使得它不成立的那个集合测度为零啊，这就叫几乎处处成立。我们举个例子啊，比如说，如果 f x 还是这个啊，比如说 f x 等于 g x 几乎处处成立于 e， 也就是说， 那么我 f 不 等于 g， 这样的测度，这个集合的测度要为零。 好，那么对于这样一个条件啊，假设我的 f， 它几乎处处呃，等于 e， 那 么 f 在 e 上可测也可以得出，则 f 在 e 上可测， 我能够推出 g 在 e 上可测。 为什么呢？啊，其实这里我们来快速看一下啊，我们的 f 是 个可测集合，那我只要 f 能够，就是我的 g， 只要能够找到与 f 的 关系呢？最好啦。好，那么它因为它相等，是几乎处处成立的，换言之，不等的集合。我取出来假设是 e 一， 它一定是个零测集， 那么只要是邻测集，上面的任意函数都是可测的，所以 g 它会在 e 一 上可测，而 e 二是使得 f 和 g 相等的集合，那么 f 和 g 在 e 二上相等， f 在 e 二上可测， g 自然也在 e 二上可测，因为它们是相等的嘛。 进一步， f g 就 会在一，这个就是 e 一 并上 e 二这个集合上可测啦。那所以我们就证明了什么是几乎处处成立啊？ 几乎处处成立就是使得它不成立的这个集合测度为零啊。我们再举两个例子给大家感受一下啊。比如说，我说 f， 它在 e 上几乎处处有限， 那么它的定义就是使得 f 无限的这样子的集合， e， 它的测度为零。好，我们再来看 假设我的 fn， 它收敛于 f x 几乎处处成立于一，那么就等价于不成立，也就是 f x， 它不收敛于 f x 啊，这样子的集合， e， 它的测度为零。 那大家体会一下什么是几乎处处成立？那比如说，如果我要让你证明零到一上狄克雷它等于零， 几乎处处成立于零到一这个区间上。好，那么如果我要让你证明的是几乎处处成立，其实只要证明它不成立的集合是一个零子零策集就可以了。那么那么下面我就要证明，使得它唯一的这些 x 构成的集合，假设为 e， 我 要证明 m e 为零。显然呀，那么使得它为一的这些集合其实就是我零到一和有理数集的交，而这个集合它的测度显然为零， 这个之前我们是推过的啊，所以它就几乎处处成立于零到一啦。好，那么我们再来举个例子， 如果我的 f 等于 g， 几乎处处成立于 e， g 等于 h， 几乎处处成立于 e， 那 我就可以推出 f 等于 h， 几乎处处成立于 e。 好， 那么我要证明这个就是证明它不成立的集合是个邻测集。 好，那么首先有条件我们可以得到 f 不 等于 g 这样的集合， e， 它的测度为零。同理， g 不 等于 h 这样一些集合，它的测度为零。下面我要证明的是 f 不 等于 g， 下面我要证明的是 f 不 等于 h 这样一些点的集合，它的侧度为零。好，那么由它出发， f 不 等于 h， 它其实可以看作是 f 不 等于 g， 或者 g 不 等于 h 这样两个集合的并集， 因为我的 g h， 因为我的 f， g、 g、 h 是 互相相等的吗？那么 f 不 等于 h， 要么就说明 f 不 等于 g， 要么就是 g 不 等于 h， 只有这两种情况，所以是他们的并集，那么现在我要求的测度其实就会小于等于他们两个测度的和，而他们两个测度都是零， 所以我的测度就会小于等于零，而我的测度又是非负的，所以我的测度只能为零。好，好，那么这里我们给出几乎处处成立的性质啊，就是如果派一 好，我们几乎处处成立于一，同理，派二也几乎处处成立于一，派一并派二，也就是派一或派二几乎处处成立于一 好，这是我们几乎处处成立的性质。好，往下这是我们的第一小节。