拉链生成双曲线动画演示制作教程

不是阻碍。

我印象当中，我们上学的时候，这个圆锥曲线啊，并没有一些呃辅助的工具去定义他们啊，而现在呢，随着这个教学手段丰富，我们都可以用这个动画的模型呢来定义这个椭圆啊，双曲线啊，这些定义 我觉得是非常好的啊，这不前不久呢，有个同学，呃，这个双曲线说又出现问题了啊，其中呢，这个双曲线定义呢也给忘了， 那么，呃，我想着他们的老师啊，肯定在这个课堂上啊，放过这个双曲线这个拉链的模型啊，只是他又忘了，或者说是当时呢他没有注意啊，所以呢，我今天呢，又把这个拉链的模型呢，动画的演示呢给大家放一下， 这样子呢，会很形象的把这个双曲线这个定义啊给表现出来。同时呢，也提醒大家呢，把这个双曲线定义呢，要记得清楚一点，将拉链拉开一部分，在拉链的两边各取一个点，用图钉标记 f 点与红色图钉所标记的点在拉链的同一咬合处。这就说明了，无论拉头在何处，咬合处到红色图钉的距离总等于咬合处到 f 点的距离。将这两个钉子分别固定在点 f 一、 f 二处， 将笔尖固定在拉链的咬合处，移动笔尖， 这样我们就得到了一条曲线，那曲线上的点 m 满足怎样的特征呢？因为 f 一 与点 f 在 拉链的同一咬合处，所以 m f 一 减去 m f 二就等于 f 二 f， 我 们把这段定长记作二 a， 也就是说 m f 一 减 m f 二就等于二 a 交换拉链两边的位置继续作图， 这样我们又得到了一条曲线，这条曲线上的点 m 满足 m f 二减去 m f 一 等于顶值二 a。 我 们发现这两个等式的左边是互为相反数的，所以可以统一为， m f 一 减去 m f 二的绝对值等于二， a a 大 于零。

好，大家好，这里是数学小课堂，今天我们继续对双曲线的一个定义进行完整的一个展示，大家一起来看一下。首先 我们用拉链画三曲线的一个实验中，上一次我们用了这一个动态的一个视频来告诉大家，这个 在运动过程中必须保证这一个 f e f 二是固定在这里，固定在定点的位置，然后呢我们的这一个 m f 一 减 mf 二或者 mf 二减 mf 一是一个固定的词，在上个视频中，我们所对应的固定的词为是他在观察过程中就发现他分别对应着两一个双曲线完整的两字出来。那在这里的话，请大家注意， 可以在课余时间自己用拉链做一个双曲线的一个实验，那么在这里请大家按这几个点去把双曲线的一个图像展示出来。当然最终我们有一个过程，就是把这一个固定的两个点进行互换，那我们会发现第一种 点的形式，我们得出了一个双曲线，是啊，类似于图像，大概是这样啊，这边一只，然后我们调换了一个点的时候，我们在动态的一个图像里面得出了双曲线的另外一只，画出了他对应的图形， 所以大家可以通过啊自己在实验中具体去处理，然后去演示这一个之前的动态视频。那么接着我们来看一下它里面所对应的双曲线的一些知识点，大家一起来看。 首先在实验过程中，我们发现了这一个 f 一跟 f 二，在整个实验过程中，我们是让他固定下来，并且在 这一个拉链过程中，你会发现这个 mf 一跟 mf 二这两个量其实是在变动的，然后定量关系就是我们的 fef 二是一个 定点，所以他所对应的这一个 f 一 f 二的长度是固定的，然后我们必须满足 mf 一减 mf 二的绝对值，刚好等于这一段，因为我们的拉链其实两段加起来的 哈，两段的两边的这一个长度实战相等，所以我们在拉点实验的过程中，其实是取了 f 二 f 这段固定作为定场， 然后呢得出了这一个应该对应等于二 a， 那么在这里我们可以观察到二 a 跟 f 一 f 二的大小关系， f 一 f 二，大家看到好 f 一 f 二的好，大家可以在这里面观察到我们的 f 一 f 二的长度是这一个二 c 好，大家可以观察到 f 二 f 一的这一个长度是二 c， 这段长度是二 c， 大家观察一下，然后呢这一段 f 二 f 的话，我们对应的是二 a， 但很明显这个二 a 哈会小于二 c， 或者说在这里的看的话，其实这一个 mf 一减掉 mf 二对应 就是 f 二 f 的长度，也就是二 a 的长度，那我们在这样的一个图形里面可以看到他围成了一个三角形，其实两边之差会小于第三边，所以从这个角度看的话，我们得出来的二 a 其实也会对应小于二 c 对应小于二 c， 所以在这里我们要注意，二 a 会对应小于二 c， 而二 c 所对应的就是 f 一 f 二的长度啊， f 一 f 二的长度。所以在这个定义过程中，我们得到了一系列的支撑关系，那接着我们就把它 转换出来，我们可以看到在动点的这一个运动过程中，满足的条件就是 mf 一跟 mf 二，在运动过程中他是变动的，变亮的，但是他相 见的值其实都不动啊，都不动，他是一个定量，那么这一个词我们称之为二 a， 而且在定量里面 f 一跟 f 二的长度，我们由于是定点，所以他也是不动的，所以这里我们把定义成二 c 啊，对应是二 c。 而我们如果他在运动过程中所对应的是 mf 一大于 mf 二，也就是 mf 一减， mf 二是 正直二 a 的话，我们所对应的就是双曲线的右直，但反过来如果 mf 二反而大于 mf 一，我们就会发现他这一个 m 点会落在双曲线的左直上，所以 我们的双曲线完整的左右之都要表达的话，我们就必须给他们加上一个绝对子。所以在这里我 我们整理好他所对应的定义，那在这里的话，所对应的定义是从椭圆的定义类比的方式来解决。双曲线的定义我们可以看到我们也给出了两个定点，所以也是在平面内与两定点的 距离，但是距离的话我们用的是 mf 一，减掉 mf 二。我们在刚刚定义过程中得出了 mf 一，减掉 mf 二，或者说是 好等于我们的这一个长固定的长度，我们把它设定为二 a 或者是 m f 二，减掉的是 m f 一，也是对应等于这一个常数二 a。 那在这里为了我们方便表示，我们就给他在这个基础上加上了一个绝对值，表示这两个 好差的一个四指的形式。那么整理一下我们来给他的定义得出来。首先仿造这样的定义，我们可以得出是平面内与两定点 f e f 二的距离差， 注意这里是相见，所以是距离差的绝对值应该等于十常数，而且我们强调了这个二 a， 在我们刚刚整理的过程中，会发现二 a 实质上比我们的 f 一 f 二要小， 所以在这里对应后面括号，我们对应的就是这个常数要小于 f e f 二得点的轨迹，我们就叫做双曲线。 所以我们得出了这样对应的定义，平面内与两定两个定点 f e f 二的距离差的绝对词等于时速常速，这个常速我们往后用二 a 来表示，这个二 a 小于 f e f 二的点的轨迹，我们就叫做双曲线。 那在这里我们要注意这个二 a 的词很明显他会对应小于 f 一 f 二，而 f 一 f 二，我们会设 哈 f 一 f 二，我们把它称之为双曲线的焦点，而他们的长度我们把它对应是二 c， 很明显二 a 小于二 c， 但二 a 又会对应大于零。好，那这时候我们得出了双曲线的一个定义，好类比椭圆得出来的 一个定义，大家成立号。然后要注意，在整个运动过程中，我们对应的两个定量，一个就是 mf 一，减掉 mf 二，这是 距离差的一个绝对值，必须等于固定的一个长数。然后呢，在 f e f 二是一个定点的情况下， f 一 f 二的距离也是一个长数啊，也是一个固定的词。那么在这里的话，我们所对应的这一个差的绝对词， 对应要小于 f 一 f 二这两点之间的距离，这样的点的轨迹才叫双曲线。那么接着后面我们会有一个视频动态的给告诉大家，如果二 a 的这个范围不在零到二 c 之间，我们对应的这一个 轨迹会是怎样的？当然他就不再是双曲线。那么大家要思考一点就是二 a 如果刚好等于零，他会是什么样的这一个 图像？例如二 a 如果等于零，你就要理理解 m f 一是十，减掉 m f 二 的绝对词差，差的绝对词应该为零，这时候你会发现他表示的是怎样的一个图像。然后呢，如果 mf 一刚好减掉 mf 二这一个距离差的绝对词，如果他刚好不是 哈二 a 范围是零到二 c 之间，而是刚好等于二 c 的话，那么他的范围又是怎样的？或者我们 还要思考更特殊的情况， mf 一减掉 mf 二，如果这一个距离差的绝对值还比二期大，也就是这个时长数，如果比二期大，那这样表示的图像又会是怎样的？所以这三种 图像的一个特征，请大家在这节课后进行思考，我们后面会针对这一个内容进行动态的一个演示。好，大家整理好。

同学们，我们现在得到的这个轨迹叫做什么呢？这叫做双曲线，满足这条双曲线的点的集合，我们可以写成 p 等于 m， m f 一的距离，减掉 m f 二的距离等于常数。那么双曲线的定义就是平面内与两个定点 f 一 f 二的距离的差绝对只等于常数， 小于 f 一到 f 二的距离的点的轨迹就是双曲线，而这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距。

同学们好，上一节课我们学习了椭圆，这一节课我们学习双曲线，其实双曲线和椭圆有很多相似的地方， 右边这幅图同学们都熟悉吧，广州塔有很多亲切的叫做小蛮腰，它是目前世界上已经建成的最高的塔威建筑。 广州塔的他两侧轮廓是什么图形？我们看红色的，他是两条曲线，那么有什么特点呢？我们可以看出广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，他们 分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，那么我们称这样的曲线为双曲线，就是两条曲线。那么 如何画出双曲线呢？同学们还记得我们画椭圆是怎么画的？是通过一个实验，两个钉子，一根绳子长度， 那么我们同样的可以通过一个实验来完成。我们现在我们椭圆的是用一根绳子，那么我们双曲线的呢？他是取一条拉链， 把拉链分开成两条，其中一条剪短，把长的一长的一条的端点固定在 f 一，短的一条固定在 f 啊，那么跟 椭圆的相似，他就是有两个点定点 f 一和 f 二，将笔尖放在拉链锁扣 m 处，随着拉链的拉开或者闭合，笔尖就会画出一条曲线。如果说你 正常的固定在 f 一的话，那么他画的是在右侧的这一条曲线，这一边这个点是 m。 再把拉链短的一条短点固定在 f 一处的话，长的一条固定在 f 二的话，也就是 f 一长短的跟 f e、 f 二交换一下类似的笔尖可以画出另外一条曲线，就左侧的这一条曲线 啊，这边注意的是拉链是不可伸缩的笔尖 及点 m 在移动过程中，以两个点 f、 e、 f 的距离之差 的绝对值始终保持不变。我们学习椭圆的时候，是到两个定点的距离之和是等于二 a 这边实现到 我们一般的把平面内两个定点 f、 e、 f 的距离之差，记住，我椭圆是距离之和，这边是距离之差 的绝对值为长数，而且这是要小于 f、 e、 f、 r 的点的轨迹，称为双曲线。我们椭圆的时候是要大于 f、 e、 f、 r 这三角形的两边大于 d， 三边这边是要小于 他们的，是差这两个定点称为双曲线的焦点，椭圆的那两个点也是定这两个，那两个定点也叫焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距， 这跟椭圆的一样的意思。那么我们讲三点二点一双曲线的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？是不是要分列讨论焦点在 x 轴上，还有 x 焦点在 y 轴上， 其实我们双曲线呢，也是要通过通过分类讨论。那我们利用椭圆的对称性建立的平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程。那么对于双曲线如何 适当的坐标系求他的方程呢？啊，这就是我们这节课要探讨的问题。我们已经过双曲线的两交点 f 一、 f 二的直线为 x 轴， 以线段 f、 e、 f 的垂直平分线为 y 轴建立平面指表坐标系。如左边这幅图所示， 那么我们还是一样，这 m 点 m 为 x， y 为双曲线的任意点，那么双曲线的交距为二十一，跟我们之那个椭圆的一样，都是设二十一个方便球， c 是大于零的 折点 f 一 f 二的坐标，这边是在副半轴，那么就是负心 y 值得，在 x 轴上的 y 值都是等于零， x 轴实际上就是相当于 y 等于零，对不对？那么这边 y 是等于零的， f 二是在正半轴，那么它这边坐标是 c 零，我们右侧双体上的点 m 一点 f 一的距离之差的绝对值为二 a， 我们椭圆的时候是距离值和为二 a， 我们这边绝距离之差的绝对值。好，这边 ppt 上还少了一个绝对值符号， 是不是还要再加个绝对值符号 往下画的有点歪， 好挂。那么左右 m f 一减 m f 二等于正负二 a， 就 把绝对值去掉，再加个正负符号 等等正负二 a， 于是有我们同样的，我们推到椭圆的时候，是用两个点的，我们点的坐标出来，用两点间的距离公式， d 等于根号 x 二减 x 一的差的平方加上 y 二减 y 差的平方， 那么带进去左边是这边 f 一是负 c 零，那么 m 是 x y f 一是负 c 零 f 二是 c 零，带进去这边就是 m f 一，这边就是 m f 二，因为减负 c 就相当于加 c 啊。这边等正负二 a， 我们把这边一下移到右边，变号负的变成正的啊，变成这个加减二 a， 那么我们一样的，跟椭圆的时候推倒的时候，是不是把它完全两边同时平方，这边平方的完全平方的话，把这个根号去掉， 那么右边这边就是完成平方的话，这边平方，这边平方在手平方尾平方，手尾两倍放中央，中央的中间的是这边手 是这个这个的平方啊，正负二 a 的平方是等于四 a 的平方，那么我们一样的，这边就老师不再具体展开，将这边展开，展开可以 s 平方， c 平方， y 平方都可以消掉。 我们整理可以得到 c x 减 a 的平方等于正部 a， 根号 x 减 c x 的平方加 y 平方，那这个同学们自己去展开了，我们椭圆的也是一样的，这样展开的， 我们到这一步，同椭圆的推倒的一样完，再将两边再同再平方平方再整理一下，可以得到这个 好，句句好一点的同学可以自己再去推到耳边，印象更深刻，句句稍微差一点的同学，就你记住他的方程是什么样的就可以了。我们一下命 将同样的有 x 平方的放在一起，这边 c 平方 x 平方，这边 a 平方 x 平方，你从右边你到左边加个符号， 这边 a 平 y 平方的前面的系数是只有 a 平方，你移到左边，这边也是个符号啊，长竖向放在一起等于这个， 那由双曲线的定域可知。二 c 大于二， a 大于零，我们实际上 s 等于多少？ 意思是这一段我们假设点 m 在这边， 那么这个顶点 m f 一减 m f 二，它是对称的，就剩下中间这一段， 我们这边减去这一段，这一段跟这一段是对称的，那么就是伸进这二 a 二 a， 那么它是对称的，那么这边到这边，实际上这边是 a， 这边距离也是 a， 但这个点的坐标应该是负 a 零，这个点的坐标顶点的坐标是 a 零， 那么 c 四是不是是 c 是 f？ 二，这边这个点是 c， 那么显然 c 是大于 a 的，只有二 c 大于二， a 等于 c 大于 a 大于零， 因此 c 的平方减 a 平方是大于零的。那么我们刚刚同样的，我们在椭圆的时候，是令 a 平方等于 b 平方加 c 平方，这边是那边的时候，椭圆的时候是 a 平方 是更大的，那我们在双曲线的时候是 c 平方是更大的，那么 c 平方减 a 平方等于 b 平方， b 大于零，那么我们刚刚的那个式子可以化为 b 平方 s 平方减 a 平方的 y 平方等于 a 平方， b 平方左右两边再同时除以 a 平方， b 平方 这边约掉，约掉等于一，这边 a 平方约掉，这边 b 平方约掉，我们就可以得到 a 平方分之 x 平方减 b 平方之 y 平方等于一，其中 a 大于零， b 大于零 啊，我们椭圆的时候，这边中间是加啊，在双曲线这边中间这边是减，而且我们前面这边系数为正的时候，你说我们这边是 x 平方，这边的序数前面是正的，那么它是在这边是 x， 那么对应的就是 x 轴，它的焦点就在 x 轴上，我们左边这幅图也是在 x 轴上 啊，我们把上面的方程称为双曲线的标准方程，此时双曲线的交点 f e f。 二、在 x 轴上，一样的，大家要讨论在 x 轴上或者 y 轴上，焦点的坐标分别为负 c 零、 c 零，这个刚刚有讲， 那么同样的，我们椭圆的时候也有讨论在焦点在 x 轴上，还有在 y 轴上，那么我们双曲线一样也是要讨论刚刚的，是在 x 轴上的。那么现在如果说焦点在 y 轴上，我们一样的退到可以得到 a 平方分之 y 平方减 b 平方分之 s 平方等于。我们椭圆的时候，中间是加号，这边是减号，双曲线的时候中间是减号，而且我们 椭圆的时候是 a 平方等于 b 平方加 c 平方，我们双起线的时候是 c 平方等于 a 平方加 b 平方， 此时双曲线的交点 f e、 f 二坐标为这两个的坐标，那么 f e 是不是它在 y 轴的副半轴， x 是等 y 头，实际上就是 x 等于零，对不对？那么 x 是等零， y 是。这边 f 一是负半轴就负 c， 那么 f 二是 x 等于零， y 是等于 c。 我们看第一 根据条件求双曲线的标准方程，交点在 x 轴上啊，这边给我们给出来了，交距为十四，同学们有的同学直接 c 等于十四，那注意，这边跟我们椭圆的时候应该是二， c 等于十四，说起上的点，一个一点到两个焦点的距离之差的绝对值为六，其实就是二， a 等于六，这个都刚， 那都把这个定义都告诉我们了，那我们很好求，因为二十一等于十四，因为加距离等于十四，一定要注意这边有个二，不要漏了，这边绝对，我们双曲线的概念是距离之差的绝对值， 我们椭圆的是距离之和是等于二， a 这边是距离之差等于二， a， 那么二， a 等于六，那么二十一等于十四， c 很快就求出来等于七，二， a 等于六，那么 a 等于三。所以我们椭圆的我们双曲线的时候， b 平方是等于 a， 这边写错了，应该是 c 平方减 a 平方， c 是七，七七四十九减去 a， a 是三是九，三的平方是九，四十九减九等于四十，这边错了。 那么由于双曲线的交点在 x 轴上，我们交点双曲线的交点在哪一个轴上，它对应上面的系数是正的，另外一个是负的，中间是减的，故双曲线的标准方程我们就写出来，九分之 这边 a 是三，那么 a 的平方就是九，这边 b 的平方这边算起来是四十，那么等于九分之 x 平方减四十分之 y 平方等于一。我们再看例一的第二小题，交点为 f 一 零负六， f 二零六，它这个是我们很明显知道 x 等于零的时候，实际上它焦点是在 y 轴上，那么我们注意它是 y 的，对应的系数应该是正的。另外一个是负的， 那双起上的一点 m， 他把这个点的坐标七十三个点的坐标的两个焦点，还有上面的一个点告诉我们，而且这个还可以，我们可以知道他是在歪头上的哦。双起线的定义，我们学习数学 很重要的一个同学们容易忽视的就是概念，我们所有的性质公式都是从概念隐身出来的，所以一定要把他的定义理解透。 那么 mf 一减， mf 二等于二 a， 那么我们把这三个点的坐标都出来，带到两点间的距离公式，那么二 a 就等于这个是绝对值，我们这边化减老师就不再化减了，可以化减的。二 a 等于四根号五，即 a 等于二根号五。 我们这边根据这个焦点呢，知道我们是 c 等于六，所以 b 平方等于 c 平方减 a 平方， c 是六六的平方三十六， a 是二根号五，在平方下，二的平方是四，根号五的平方是五四五二十，那么 b 的平方等于十六。由题可 得知，双起线的交点在 y 轴上，因此双起线的标准方程在 y 轴上， y 轴的 c 数是正的，那么另外呢，就是负的，我们叫做二十分之 y 平方，减去这边是 a 平方，这边是 b 一平方，二十分之 y 平方减去十六分之 x 平方等于一。 我们再看一下。例二，一只双曲线的方程，求焦点坐标和焦距方程给出利益是是标准的方程吧。标准的方程，我们看哪个序数为正是 x， 对应的识别系数是三十二是正的，那么它是在 x 轴上， 所以双曲线的交点在 xo 上，并且这边 a 平方等于三十二，这个是 b 平方等于四，也是有 c 平方的 a 平方加平方。同学们一定要把椭圆跟双曲线的不要搞混了， 那么三十二加四等于三十六等于三十六的话， c 是用大于零的，所以 c 是开个根号是等于六，二十一的话，就两倍二乘以六等于二六十二，所以双起线的焦点坐标 这边是在 x 轴上的，这交 c c 求出来的，那么就负六零六零，交距是二十一等于十二。 我们再看第二小题，第二小题这个是标准方程吧，不是，这边不是一，那么左右两边同时除以负一， 除以负一的话，这边是负的八分之 x 平方，这边是负负的正能正的八分之 y 平方，那么我们就等于八分之 y 的平方，减八分之 x 平方等于，那么 a 平方就是等于八， b 平方也是等于八，那么 c 平方啊，就是这边 y 的吸取为正，那么是它的焦点是在 y 轴上， y 这边是不是八分之一是正的，那么它的焦点就是在 y 轴上， 你想 c 平方是等于 a 平方加 b 平方， a 平方加 b 平方，八加八等于十六十六， c 大于零的，那么 c 就等于四，二十一，那么等于八。所以双曲线的焦点坐标分为为，因为它是在 y 轴上， 所以零负四零四，交率是二十一等于八，这个是还是相对比较简单的题目 啊。这边温馨提示，要判断双曲线的焦点在哪个坐标手上，可将双曲线的方程化为标准方程，一定是要转化成标准方程，然后观察标准方程中行 x 项以行 y 项的符号，哪项的符号为正， 焦点就在哪个坐标轴上啊，这个要记牢啊，我们也再开始做一下练习，你看课本第六十二页， 根据条件求双曲线的标准方程。 a 告诉我们交点在 x 轴上的，告诉我们且分别为，这边就是告诉我们 c 等于四， a 也告诉我们 b 平方是不是等于 c 平方减 a 平方， c 四的平方十六， a 是二二的平方，四等于十二，那么我们就第一题的第一小题， 它在 x 轴上， 十的系数是， a 平方等于四分之 x 平方减去 b 平方之外， b 是 b 平方，是等于十二啊，十二分之 y 平方等于一，我们看第二小题， b 等于三，焦点在 y 轴上，一定要记住，看它是在哪个轴上。 b 告诉了我们这边也是 c 接上四等于五， 也是这边 amy 告诉我们， a 平方是等于 c 平方减 b 平方， c 四五五的平方二十五减去 b， b 三三十九，那么等于十六，那么它是在 y 焦点是在 y 轴上，那么 y 轴上呢？也是需要正的，那么我们就是 十六分之这边是应该是 y 平方减去 b 是 b 平方是等于九，那么 s 平方等于一。 我们再看第二题，也是双曲弦的交区为这个其实二 c 等于二，根号十三， c 等于根号十三。双曲上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于四，也是二， a 等于四，那么 a 等于二，求双起线的标准方程，这个我们就要分类讨论了，他没告诉我们，只告诉我们交警没说在 s 轴上，或者焦点没说在 s 轴上， y 轴上， 我们 a 知道了， c 知道了，是 b 平方等于 a 平方等于 c 平方减去 a 平方， c 根号十三的平方就十三， a 是等于二，二的平方减四，那等于九，那么如果说在焦点在 x 轴上的话， a 平方是 四，那么四分之 x 平方减去九分之 y 平方等于一。卧室的是交流时，在 y 头上四分之 y 平方减去九分之 x 平方等于一。好，一定没有告诉我们的，我们就要分类讨论，我们再看第三题的 第三题的第一小题求交点和坐标和交距，我们是不是要把它化成标准方程，左右两边同时除以六十三， 那么第三题 第一小题我们就可以化成标准方程。七分之 x 平方减去九分之 y 平方等于一，那么也就是 a 平方等于七， b 平方等于九， 那 c 平方等于 a 平方加 b 平方等于七，加九等于十六，那么 c 是大于二，是一等于四。 焦点坐标我们这边， x 这边呢？是系数是正的，那么在 x 轴上，那么就是负四零， 四零，加句的话要记住是二十一，二十一的话，二等于四等于八。我们在第二小题，第二小题他已经给我们化成标准方程，那么他这边是 y 平方，这边所对应的系数是正的，那么叫 高点是在 y 轴上，那么 a 平方等于四， b 平方等于二十五， c 平方等于 a 平方加 b 平方等于二十九，二十五加四二十九， 那么 c 是不是等于根号二十九，那么焦距它是在 y 轴上，那么你就是零，负根号二十九， 还有领证的根号二十九， 九交距的话二十一等于二，根号二十九。 我们再看第四题，求证，这个是双，这边是双曲线，这边是椭圆，不要搞混了，他的焦点相同，那么这边是不是标准方程双曲线，那么这边 a 平方等于十五，这边 y 平方是不是相当除以一，那么就是 b 平方等于一。 双曲线的是 c 平方是等于 a 平方加 b 平方等于十五，加一等于十六。椭圆的这边不是标准方程，我们左右两边同时除以一个二百二十五， 那么这边二百二十五除以二百二十五等于一，那边这边九除以二百二十五，那我变 变成二十五分之 x 平方加上九分之 y 平方等于一，这是椭圆的椭圆，这边 a 平方等于二十五， b 平方等于九。椭圆的十一平方是等于 a 平方减 b 平方 二十五减九等于十六，那交减是不是 c 平方都是等于十六，这边的加点 c 是等于四，这边的 c 也是等于 啊，刚刚算出来， 这边 c 是等于四，椭圆的 c 也是等于四，而且这边是不是 x 对应的，那么它是在 x 轴上的，那么应该是它的交列是负四 零二四零。这边椭圆的焦点 是二十五 a 四等于二十五 a 二十五分之 x 平方 加上九分之 y 平方等于一，咱们 x 平方是对应的更大，它焦点在也是在 x 轴上，也是负四零四 零，它的焦点，所以是相同的。那么我们双起三点二点一双起线的标准方程就学习完了。今天的课先讲到这边， 那么我们就是要注意双曲线与椭圆之间的联系和差别啊。今天的课讲到这边，同学们课后还要再多做一些练习，最重要的是对概念的理解，其他的都是从概念和定义隐身出来的。好了，同学们，拜拜。