2023数一21题答案唯一吗

大家好，我们来看新高考一卷的倒数第二题。一起读下题。甲、乙两人投篮，每次由其中一人投。它规则如下若命中，则此人继续投，若未命中，则换人投。 无论前次投篮情况如何，甲的命中概率真为零点六，乙的概率为零点八。由抽签确定第一次投篮的人选，那么甲、乙第一次投篮的概率都为零点五。那么这个题有三问。第一问求第二次投篮人是乙的概率。第二问求第哎，次投篮人是甲的概率。那 这个题我们读完之后，他的命题点相对来说也是比较清晰的。一个是概率统计的问题， 那么第二个他考察的是概率和数列的地推关系。还有第三问第三问下个视频再说，内容太长了。如果同学们手上有解题王，那我们翻开二百三十五 页，四百二十九页，可以找到这个题的圆形题。这个题第一问和第二问其实考察的都是同一个问题，也就是我们说的全排列的问题。第一问求第二次投篮人士乙的概率。我们不妨设这个事件为 a 事件 a 就是第二次投篮的人士乙的情况。 我们就看这个事件给定的是第二次投篮是乙，那么第一次投篮就有两种情况，如果第一次投篮的人是假的话，他如果投中，那么第二次还是假，那么他零点六的概率投中的话，那么他投不中的概率是零点四。 第一次投篮是假的话，那么第二次投篮是乙，是这种情况。那如果第一次投篮是乙的情况，乙的投篮命中率是百分之八十，那么第一次乙投中了，第二次还是乙在投，如果第一次乙没 投中，那么第二次是假投。所以这个题的第一问其实就是这两种情况。就是考察一个全赔率，所以他的 pa 因为第一次投篮的概率都是零点五， 叫二分之一乘以零点四。就是第一次是假投的话，假没投中，那么第二次是乙，那么第一次是乙投的话，那么乙投中了，第二次还是乙， 等于零点六。第一位相对来说是送分题，那我们再看第二位，求 d s 投篮的人是假的概率，那么我们将 d s 投篮人是假的概率，我们给它设成为 p i 的话， 我们结合第一问的情况，我们就要考虑 i 减一次，也就是说这个的前一次到底是谁在投。假如这个 i 减一次，这个人是假在投的话，那么 ps 是假的话，他就得保证零点 六的概率。的。 p i 次是假，假如这个 p i 减一，这一次是乙的话，那么乙要投不中， p i 次就是假。那么就是这两个情况，就可以写出 p i 是等于 p i 减一，乘以零点六， d i 减一四项，如果也是甲的话，它在头重的情况下，那么 d i 四是甲，那么如果 p i 减一四项是乙的话，其实就是一减去 p i 减一，这就是乙的头的概率，那么再乘以零点啊。 那么将这个式子整理一下，也就是等于零点四倍的 pi 减一，再加上零点二。那么我们观察这个式子重新改写一些，它分式可能更好看一些。 pi 等于五分之二倍的 pi 减一，加上五分之一。 我们看这个式子是不是特别熟悉，就像我们数列当中的地推式，那么现在我们要求 pi 的话，结合数列的地推式的求通向的方法，我们通常用带定性手法， 也就是 p i 减去 m， 等于五分之二倍的 p i 减一减去 m， 引入代替系数 m， 我们将 m 求出来， 那么将这个式子给它整理一下， pi 等于五分之二倍的 pi 减一，加上五分之三倍的 m， 那么这两个式子其实要相等啊。那么显然五分之三倍的 m 是等于五分之一的。解得 m 距为三分之一，那么所以这个数列 pi 减三分之一距为一个等比数列。那么这个等比数列的公比，它的 q 是等于五分之二的。首先 其实就是 p 一减去三分之一，那么 p 一是多少？第一次投篮是假的情况，零点五， p 一减三分之一就带入二分之一，减三分之一就等于六分之一。 所以 p i 减三分之一，我们给它作为一个整体的话，它是等于它的手相六分之一，再乘以公比五分之二倍的 a 减一次。再整理一下 p i， 即等于三分之一，加上六分之一，乘以五分之二的 a 减一次。密。 这就是我们要求的 ds 假投篮的概率问题。这个题的第一问，第二问其实考察的都是全排列。第二问是概率问题，结合了数列地推式，让球通向的问题擦掉，我们再看第三问。

面对抽象的题目，尤其是现行代数，当你读不懂的题时候，请大家记住老师讲的四个字叫尽我所能。这个题来自于二零二三年数学一的一到五分。啊，我们同学拿的这个题，我告诉你是晕的 啊啊，这个晕字没有写对是吧？你看老师也是晕的，说出来读完过后就是就不知道在干嘛啊。我们冷静一下。 来。同学，我们冷静一下。 alpha 一 alpha 二， alpha 三。杯它是这个样子。 a gama 等于这个。若 gama 的转子， alpha 等于杯它的转制。 alpha。 问 k 一方加 k 二方加 k 三方等于多少？ 好，那么我们把 k 一 k 二 k 三算出来不就完了吗？你看这个式子啊，大家读到不要感觉它很难。柿子专挑软的捏。 一令 i 等于一嘛。干妈转至阿尔法一等于杯，它转至阿尔法一啊，这个杯它的转子有啊，阿尔法一有啊。一层是个一。 哎嘎嘛的转字就是这个转一下乘以阿尔法一。来嘎嘛的转这个转一下乘以阿尔法一。这个加起来，转字等于各自的转字相加。所以就是这个样子的。最后他等于一。等于一，说明啥嘛你。阿尔法一的转子乘以阿尔法一可以算最后是个三， 阿尔法二的转制乘以阿尔法也可以算，最后是个零哈，甚至阿尔法三的转成阿尔法也可以算是个零哈。最后最后就可以加起来。退缩。 k 等于三分之一，依次类推。 i 等于二， i 等于三，是不可以退 k 二 k 三哈，然后平方相加就 结束了。同学们看到没？所以大家记住啊！来，你们去看一下二零二三年的真题。同学们啊，你你点个赞保存一下是吧，去看看这个题好不好，去翻一下啊，看看老师讲的这个视频就是尽我所能。所以请你冷静。 冬天来了，我想你应该很冷静吧。好吧，来啊，关注老师，考研不迷茫！

呦呦呦呦。哎呦呦呦。哎呦呦呦。

再来看第二题，第二题说若微分方程啊，他这个结在服务从大众目数上有介，那么说 ab 满足什么条件？那么首先呢，我们来看这个微方程，他是一个二阶的，那么我们一般处理二阶微分方程怎么做？是不是用特征方程法呀？ 啊，特征方程法。那么特征方程法我们就想啊，假如说我们解出来这个栏目的方减去加上 a 栏目的加 b 啊，这个特征方程解出来两根，那么假如说这两根啊，他都是十根，那么的一栏目的二为十根， 那么就一定有什么它的减应该是什么？ y 等于 c e e 的栏目的一 x 加上 c r e 的栏目的二 x 啊，当此时这个什么要满足栏目的一，不能栏目的二，那么我就想无论这个栏目的一，栏目的二 到底是正的还是负的，那么他都会是在无穷处，或者说啊，负无穷，或者说正无穷某一端使这个极限啊，使这个节无界对不对？那么假如说我们舍啊他们的一小一点是， 那么栏目的一小律师。那么我们这个解栏目的 e x 当什么？当 x 趋于负无穷时，栏目的 e x 是不是趋于正无穷呢？ 那么此时我们就有当此时就导致了什么 e 的，那么的 e x 是不是他也是曲终无穷呢？导致什么？我们这个解 y 啊，导致 y。 那么同理，当我这个栏目的一大于零时，依然会有栏目的 e x 趋于正无穷，什么时候它趋于正无穷是当 x 趋于正无穷的时候，那么一样的 是导致了栏目的 e x 区域正无穷啊，所以说他是无接的。好，我们现在讨论了栏目的一小于零，栏目的一大于零，那么还有没有可能是栏目的一等于零的呢？对不对？栏目的一等于零。有同学可能说栏目的一等于，栏目的二等于零，是怎么样？ 对不对？那么此时我们的解，因为这是同解了吗？对不对啊？他只有一个啊，他只有一类根。所以说我们的解应该是什么？ c e 的零乘以 x 加上 c 二啊， e 的零乘以 x， 再乘以什么？再乘以一个 x 嘛。所以说他的解最后是 c 一加上 c 二， x 等于 c 一加上 d 二 x。 所以说此时我们就有什么啊？此时我们就会存在一个问题，当 x 趋于无穷时，是不是 y 一定是无接的呢？对不对？ y 一定。 所以说我们讨论啊。我们上面这些讨论都是讨论他栏目的一，栏目的二为十根的时候啊，我们发现了一个问题，就是你是十根的时候，我这个解一定是五解的。那么我们接下来再讨论什么？讨论？还有区根对不对？还有辅根。栏目的一，栏目的二为辅根的时候， 那么辅根它的形式应该是什么？ y 等于 e 的 alife x 啊，我们就数这个啊，这个结它等于什么 啊？这个 m 的一等啊， m 的一二，它等于阿拉法加减为它按。 那么此时 y 的解，它应该是 e 的阿拉法 x 乘以 c， 一口散引 bat x 加上 c 二散引 bat x。 那么我们就想这里也是一样的，只要这个 e 的阿拉法 x 不等于一， 也就是 l f x 不等于零，那么它一定会在无穷处，一定是趋于无穷的，对不对？所以说我们这个 l、 f x 一定要等于零， alpha x 一定得等于零，才能使外有进。那么什么时候是 alpha x 它等于零呢？时候是不是 alpha 等于零就可以了？那么白它是什么值？白它为任意值就可以 啊。所以说我们 doctor 发现了这个题，只要你存在一个负根，并且你的 x 也就是实数部分啊，这个根的实数部啊，为一个等于零啊。等于零就可以 说我们这里要解。那么你根据我们求关公式啊解的。解的出来这两个解他其实是什么？那么他是他等于什么？等于四 a 方减去四 b 啊， a 方减去四 b， a 方减去四 b。 因为我们想要它存在符格嘛。所以说这个东西一定是小于零的。那么解出来 number 一二，它其实等于什么？等于负 a 加减上。 因为 a 方减四 b 小于零。所以说这里的开方应该是四 b 减 a 方。 i 除以什么？除以二啊。所以说这是那两个 g。 那么我们现在要求你的实数部分是什么？实数部分是负的二分之 a。 so e。 我们要求 a 等于零，且什么？ 且要求四 b 减 a 方，你得大于零啊，对不对？你得满足 a 方减四 b 小于零，也就是四 b 减 a 方大于零嘛。所以说就有什么 a 等于零，且 a 等于零。说四 b 减零大于零，也就是四 b 大于零及 b 大于零对不对？及 b 大于零。所以说最后呢？这个结果应该是 a 等于零，且 b 大于零啊。所以说这个题选择 c 选项。

好了，我们今天看一道二零二三年枪果研究生招生考试数学一二三都考的一道证明题。 这道题呢？呃，数学一三四卷面当中第二十题。数学二呢，是卷面当中第二十一题。这道题满分是十二分。题目四是函数。 f， x 在负 a 到正一这个 b 区间上有二阶连续导数。一证明落 f 零等于零存在 存在一点，可 c 属于负 a 到正于这个开局间内，使得 f 在可 c 点的二点找数值正好等于 a 方分之一，再乘胜 f， a， 再加 f 负 a 二。 若 fx 在负一到正一这个开局间上存在即值，证明存在一点埃塔 属于负一到正一这个开局间内，使得 f 在 a 点的二点岛数率直立直大于等于二 a 方分之一，再乘胜 f， a， 减去 f 负 a 的直立直。这道题呢，具体的正法如下。 咱们先看。先证明第一条，然后再证明第二条。好。因为啊， fs 在负一道正义这个币之间上有连续的二点导数。并且呢，告诉你了， f 零呢，它是等于零。所以呢， 我们把 fx 在 s 零点处用用， 用太子公式给他展开，我们就得到了 f x， 他就等于 f， f 零，再加上一个 f 在零点的导数值，再乘乘 x， 再加上一个二的阶层分支一分支 f， x 在 it 点的找数值，再乘胜 s 平方。因为 f 零，它是等于零的，所以它就等于 f 在零点的导数值，乘上 x， 再加上二阶层，就是二分之一是吧，他就是二分之一。 f 在哎他点的二点找数值乘矮子方。其中呢，哎，他呢，他是在 零与 x 之间，因为 x 可能大一零，也可能小一零，我们只能说 x 在零到 x 之间。好。现在呢？现在呢？我，我们就令 x 等于负 a。 我们在这个社当中，我们练 f 等于负 a， 我们就得到了 f。 负 a， 它是等于 f 在零点的导数值。是不是在乘着一个， 再乘负 a， 再加上一个二分之一，因为我那个孩子等于负 a 了，负 a 了。我们这个 ita 值文组换一下，我们就用个 att 一来表示， att 一来表示。这就变成了 a 方。 负 a 的平方还是 a 方。听说呢， a 塔一呢，它是属于负 a 到零。 好，我们再另呢 s 呢，等于 a， 我们就得到了 fa， 他是等于 f 在零点的档数值，可以乘乘 a， 再 加上二分之一。我们把这个哎他呢再换成，换成哎他二， 再呈上 a 方这种埃塔二呢，它是属于零到 a 之间。 我们把这个式叫做第一个式，这个式叫做第二个式。好，我们把这两个式子加到一起，因为折这个符号，折这个正好这俩一加就可以什么抵消掉了，我们就得到了 fa， 再加上一个 ffa， 也就是我。我们把一十和二十先先先先加到一起，我们就得到 fa， 再加 fa。 这两项抵消掉了。他就等于二分之 a 方 二分子 a 方再尝上一道 f， 再挨他一点的二点找数值，再加上 f， 再挨他二点的二点找数值，他是他是等于他。 我们把它叫做第三个式子。好。因为呢， a 他一是属于负 a 到零之间， a 二呢，是是零到 a 之间， a 他一少， a 二大。因为呢，因为 fs 在负 a 到这一，他有二阶连续导数。所以呢， 所以呢，所以我们就得出得出了 fa 的是二阶倒数，应该是在 爱他一，爱他二这个壁纸接上，他是连续的， 他连续，他连续。所以呢，他的二跌倒数在这个臂距肩上挨他一到挨他二。这个臂距肩上有最大值 大 m。 这一小值呢，小 m 也值呢。 ff 的。在 f 一的二点找数值，他是小于等于大，大于等于几啊。小 m。 还有呢， f 在 a， 他二哎，他二。他的二级找数呢，他也是小于等于大 m， 大于等于加小 m。 我们把这两项加到一起。一加到一起呢，再除以二，我们就得到了 f i 塔一，它的二界找数值。在 a 塔二，它的二二界找数值。在除以二，它是小于等于大 m， 大于等于几啊。小 m。 我们再有剑指定理，有剑指定理 有有劲指定里存在一个，存在一个，存在一点可 c， 可 c， 它是属于 it。 一到 a 叉二，这个这个这个 b 区间，它是属于负 a 到正一。这个开局间内，使得 他的二点导数值呢。在可谁点二点导数值，正好等于他， 正好等于二分之一。呃。在可谁挨他一点二阶找数值，再加上再挨他二点了。二阶找数值了。 做二分子产量的盒。好，然后把这个柿子再带入三室，再带入这个三室。我们把 a 方子，我们把 配方给他，什么除过去，我们就得到了。 就到了 f 在可 c 点的二点导数值，他就等于 a 方分之一。 fa 再加上一个 ffa。 好，第一条。第一条我们就我们就证明完了。 好，我们再证明第二条。好，第二条呢，第二条呢？因为 f x 在负 a， 负 a 到正义上存在即止，存在即止。我们就设 设 f x， 再再 x 等于 s 零， s 零是属于负 a 到正 a 这个开局间内取得机制， 他取得极致。因为他的二阶倒数，二阶倒数，二阶连续倒数，二阶倒数都是都是连续的，所以他一跌倒数肯定存在。所以呢， f x 在 x 等于 x 零处呢，他一定是什么？一定是可找的，可找的。所以呢，在零点的档数值呢，一定是等于零的。这是根据集值存在的一个什么必要 条件，我们就得到了它。好，得到了它以后，我们现在 f x 呢，在 f 零点用泰勒给它展开，泰勒公式给它展开，它就等于 f f 零再加上一个 在这零点零点角数值再呈上一个 x 减减 x 零， 再加上一个二的阶层分支。我们用用一个钢板来表示 他的二级导数。在蛤蟆点着值在乘上的 x 减 x 零的平方。好，这种蛤蟆呢是在在 x 与 x 零之间。 好，现在呢，我们注令 x 等于负，负 a 带到这个是当中，因为因为它是等于零的，它是等于零的。我们把这个是再继续写一下，它就等于 fx 零，再加上这就是二阶层二分之一 f 在刚刚给了二点导数值，再乘乘一个 x 间 x 零零，他的平方。好， 我们我们现在呢，我们注定 x 等于负 a 还是等于负 a， 站到这时当中。所以呢，我们就得出了 f 负 a， 它是等于 f x 零， 再加上一个二分之一。这个蛤蟆呢，我们就可以换成蛤蟆一， 他变成负 a， 负 a 减 x 零是他的平方，他就等于 f x 零， 再加上一个二分之一 f 在蛤蟆一点，而且等数值。因为整体这个符号来，是不是就变成了 a 加 s p 负一的平方还是正一，他就变成他。其中呢，这个这个刚的一呢，他是属于他是在 因为在零点展开，他是在负 a 到 s 零之间，他是属于他。好。 然后把这个四当中 x 再另另 x 等于 a， 我们就可以得出 fa， 它是等于 fx 零。再加上这里头把噶嘛我换成噶嘛二， 这这个地方就换成 a， 也就是 ajx 零为平方。 好，我们就得到了这个式。体重呢，高马二呢，它是属于 f 四零到 a 之间。好，我们就有这个式子。好，有了这个式子以后，我们把这两个式子一上减，再取一下指令值，我们就得到了 fa， 再减去 f 负 a， 他的折叠纸。用题目他他有，他有折叠纸。好，这两个式的。这两个式的一上剪稳重 变成了，我们就变成了二分之一。 在蛤蟆点二点角数值乘乘 a， 减去 x 零的平方，再减去二分之一。 因为 f 零和 f 零这点的值一减，给他什么抵消掉了，他只剩下了二分之一。 在噶末一点二点两数值再乘乘 a 加上一个 x 零的平方是不？他的这里值啊。好，他的这里值，他的这里值。他他是小于等于有二分之一 是正的是吧，二分之一是正的，他就变成了二分之一。还 ajs 零的平方也是正的，所以呢，他就等于小于他的，他的真的值。 这俩一上解呢，这里只就这就变成加号了。就变成二分之一。 a 加 x 零零，他的平方，他就变成了 在刚一点他的这里。这这就变成加号。好，这变成加号了。下面呢我就取我们就我们就另。 我决定爱他，爱他，给他定义一下 什么时候等等于刚满一呢，也就当当他的直立直，他的直立直在刚满一的二级档。数值大于等于 在噶末二点的这类纸，我们就我们就取噶末一，什么时候取噶末二呢？你就当 在噶末二点的。而且导数的指令值他大于等于 在蛤蟆一点的，这里指他的二点长素指是我们去噶末二，去噶末二。所以我们都推出了艾特呢，他肯定是在负一到这一字肩。好， 有了他以后，我们就可以也就是取一下他，他就等于他就是二分之一 他的平方，再加上一个二分之一，他的平方 就是二分之一 ajs 零六平方加二分之一 ajs 零平方，再乘乘一个 在 a 他点的二阶倒数的整理值，也就是二阶倒数的整理值。就是去这两个当中，这两个当中的什么， 最大的一个是吧，我们就我们就得到了他。好，得到了他以后呢，我们把前面我们，我们把前面二分之一给他， 他提出来，二分之一再给他提出来二分之一，二分之一给他提出来，把这两个平方给展开， 把这两个平方，我们把这两个平方给它展开，一展开我们就变成了正好是二倍的 a 方，再加上二倍的 x 零的平方，再盛上一个汤。 哎，他点亮二姐长是直的，真的直好。因为因为因为 x 零呢，因为 x 零他是小于 a 的是吧？ 因为 x 零， x 零是在这个之间，他是小原因的，所以把矮零再换成 a， 又 又变成小一，等于他就变成了小一，等于这二分之一二 a 方，再加上一个二 a 方 在哎，他点了二点找数指的这里指，这就变成四一方，四一方在圈是吧。还剩一个二一方，二一方，他就变成他。 因为我们我们把二维方再再给他除过去，我们就得到了 f 在 at 点的二点导数值。二点导数，他的指令值一定是大于等于二 a 方 分之一，再乘上 fa， 再减去 f 负 a， 他的什么决定值？好，这道题呢，咱们到这就就证明完了。好，这道题呢，我们今天就讲到这，下次再见。

同学们好，下面我们一起来看一看。二零二二年数学一真题的第二十一小题。设二字形等于这么一个表达式。现在我们要求的是二字形的矩阵。 第二问呢，是求一个正交变换，使得这个二字型化为标准型。第三个呢，是二字型等于零的时候，我们要求解他。第一问是要写出这个二字型的矩阵。那么这里有两种方法啊。第一种方法呢，也可以说是大智若愚的方法。 第二种方法呢，就是看破红尘结法。那第一种结法是一般的方法。同学们，我们来看一下啊。 f x 一 x 二 x 三。它等于我们先把外面那个求和符号 先不管他把里面这个组合符号用上。同学们，当借取一的时候， 那么答案是 i x i x 一。当借取二的时候是二爱 x i x 二。当借取三的时候就是三爱 x 一 x 三。 然后当爱取一的时候，就会得到 x 一的平方，加上二倍的 x 一 x 二加上三倍的 x 一 x 三。 当上面这个式子中，爱取二的时候，会得到二倍的 x 一 x 二加四倍的 x 二的平方，加上六倍的 x 二 x 三。当上面的式子爱取三的时候，我们会得到 三倍的 x 一 x 三加六倍的 x 三， x 二加上九倍的 x 三的平方。同学们，我们把它一整理，就会得出 x 一的平方加上四倍的 x 二的 平方，加上九倍的 x 三的平方，加上四倍的 x 一 x 二加上六倍的 x 一 x 三加上十二倍的 x 二 x 三。 好。同学们，那么这个二字形最后我们写出他一般的表达式了啊。那么接下来我们就很容易能写出他的矩阵，就是 先写主多少钱元素。这个位置是 x 一平方的系数一，这个位置是 x 二平方的系数是四，这个位置是 x 三平方的是九。 然后这个位置是 x 一， x 二系数的一半。二，这个位置是 x 一， x 三系数的一半是三，这个位置是 x 二， x 三系数的一半是六。那么按照对称来写，这个是二，这个是三，这个是六。 于是写完了啊。这是第一种啊，比较呃傻一点的方法啊。呃，也可以说是大智若愚的方法，是一般的方法。那么接下来还有一个 简洁的方法啊。那我们如果能把上面这个情况看穿的话，那么我们很容易写出它的矩阵。同学们，我们看一下啊， f x 一， x 二 x 三，它是 c 个码， i 从一到三， 那么介也是从一到三，这里是 i 乘以 j 乘以 x， i 乘以 xj。 那么我们写他的取证怎么写呢？同学们，是这样子写的啊，你们请看。 首先爱等于借等于一，这样我们就可以得出这个元素对吧？爱借都取一，那么他就是一个是一的平方吗？这样的话得到的系数是一 啊， x 一平方，系数是一。如果让爱借都取二，这样我们会得出哎，这个元素对吧？都取二的话，就是四倍的 x 二平方，所以这是四。 然后让爱等于借，一等于三的话，那么带进去以后，我们会得出九倍的 x 三平方。所以对应的这个位置上，哎就是九，大家明白了吗？ 那么这个位置是怎么填的呢？对了，这个位置就是我们让 i 等于一，这等于二啊。代言去会得出二背的 x e x 二，这是二啊。那么爱取二，这取一代言去呢，它也是二，那么这个地方肯定对称，就是二对吧。同学们 好了，那么一岁推这个位置，这个位置要填的元素应该是爱取一，借取三啊，带你去一乘一乘三，哎，三对吧。那么这个位置应该是爱取二，借取三，二，他是六，所以是六对吧。那么另外的 主对耳线下方的元素，按对对正写，按对正写。或者是啊，我们按照比如这个元素啊，我们按照爱取他是在第三行嘛，爱取三第一列嘛，这取一把三和一带上去等于三，这样写可以啊，按对上写也可以，都可以。所以这样是比较快的方式。好了，我说了多，其实 呃，写起来还是蛮简单的。第一问就说这里，那么第二问，我们要求正交变换，将这个二字形画为标准型。那么第一步我们先求出 a 的特征值 啊。先看 a 的特征，通常是它等于纳木的减一负二负三，然后是负二，纳木的减四负六负三负六，纳木的减九。因为这个负六减去负二的三倍，是不是零啊？哎。我们采用化灵找供应室的办法，将第一列保持不变， 那么减一负二负三，第二列保持不变，第三列减第一列的三倍， 这边就变成了负三，那么的零，那么的那么接下来就有工人式了，大家发现没有，将第三列提出一个拉么的出来，就变成那么的减一负二负三 负二，那么的减四负六负三零一。好，接下来将第一行加上第三行的三倍，那么的减十负二十零， 负二，那么的减四零负三负六一。然后我们根据第三行展开，就会得出那么的乘以那么的方减去十四，那么的也就是那么的方乘以那么的减去十四。 好了。那么这样我们就可以得到那么的一是等于十四，那么的二等于那么的三是等于零。下面我们求特种项链， 由十四 e 减 a， 我们可以得到 十三负二负三负二 十负六负三负六五。好。我们进行充满变换，先把它变成行阶梯形。好。那么接下来我们将第一行加上第二行的六倍，于是就可以得到一 五十八负三十九负二十负六负三负六五。 然后第一行保持不变，一五十八负三十九。第二行加第一行两倍零 一百二十六负的八十四，第三行加第一行三倍零 一百六十八数的一百一十二。好。我们进一步进行变化，第一行保持不变，第二行乘以 四十二分之一，就变成了零三负二，第三行乘以二十八分之一，就会得到零 六负四。好。再进行触动变换，一五十八负三十九零一负三分之二零零零。好。最后我们再变一下，第一行减去第二行的五十八倍一零负三分之一， 然后是零一负三分之二零零零。好。那么这样我们可以解出与拉姆的一等于十四所对应的正常销量正好是一二三。 那么接下来我们再来求与零对应的特征项链零 e 减 a 等于负一负二负三负二负四 负六负三负六负九。进出能变换就变成了一二三零零零零零零。 好。那么所对应的方程组是 x 一加二倍的 x 二加三倍的 x 三等于零。为了避免用史密特镇交化方法，我们把所对应的基础解析，也就是对应的信息无关的增加销量，取成镇交的就可以了。那么 第一个调整销量，我们这样来取啊， x 二取一， x 三取零，这样得到的 x 一是负二，那么可 c 三。我们做一个重复 啊，做一个处理。同学们要想 c 二 c 三镇交，那么这个地方取一，这个地方取二。大家看负二乘以一，负二乘以一是不是负二，负二加二是不是零，零乘任务是不是零，所以他一定是镇交的。那么当 x 一取一， x 二取二的时候，那么 x 三呢？取 多少？是不是负三分之五？因为 x 一， x 二零三，要满足方程是吧？那这个呃， 这个项链呢，他看起来不是整数，呃，用起来不方便。将可 c 三乘以三，一乘以三是三，这个乘以三是六，这个乘以三是负五。所以呢，我们用的是后面这个啊。好，那我们把前面这个擦掉了。好的，这样就避免了史密特这句话方法。 那么这样子我们就得到了三个镇交的特征项链啊。好，我们将可是一，可是一，二可是三。单位划得 一加一等于根号十四分之一，根号十四分之二，然后根号十四分之三。好，那么第二个项链单换以后就会得到而负的 根号五分之二啊，根号五分之一零。那么第三个响亮单换以后会得到根号七十分之三， 根号七十分之六和负的根号七十分之五。好了，那么这样我们就会得出一个镇交举证 q， 把他们拼起来，于是他就是我们所求的镇交变换举证 q 啊。那么在镇交变换下， 在镇焦变换 x 等于 q y 下，二字型可化为 标准型，那就是十四外一方十四倍的外一方。好了，第二问就完了啊。那么第三问，呃，有 f x 一、 x 二、 x 三啊，他等于十四倍的外一方等于零。这样我们就可以推出外一等于零。又因为我们的镇交变换 x 一、 x 二、 x 三 等于这个矩阵， q 乘以 y 一， y 二、 y 三，带入 y 一等于零， y 二等于 c 一， y 三等于 c 二。就会得出解为 x 一 x 三就等于 q 乘以零， c 一， c 二 就等于 负的根号五分之二 c 一，再加上三，比上根号七十 c 二， 根号五倍的 c 一，加上六，比上根号七十， c 二 负五除以根号七十 c 二。其中四、一、四一、二为任意常数。 好，这是现在书里面经常考的一类题目啊，所以这样算起来应该没有什么问题吧。好了，这个题就讲这里吧，我们下期再见，拜拜。

难难，难到爆炸。感觉在做新高考的那种。感觉他是整体难度都比较大。 好的那个三角函数好了，有点棒。哈哈哈，就是他是就是三角函数，然后又加上三次方，就是高次方求导就是计算量有点大， 就是求导的话就有点难求，反正能做的应该都对。其实还好的。拿到那几天是几天？二十一二十一吧， 最多感觉一百二十五差不多。那就拿到卷子之后就尤其是大学之后心态是怎么样？就感觉天是很自信，然后越做到越，最后越做越坏。来稳的。我想考四川大学或者西安交大的，不然的话可能的话。对，可能分要全部拉低一点。

vip 走过去， 你是谁？

我们来看这道题，提供两种做法，他让我们求斜渐进线方程，那么斜渐进线方程的求解就两种方法，一种就是定义法，就是把我这个曲线分离出来，一个 a x 加 b， 加上一个误差 h x， 那么如果 x 趋于无穷的时候， h x 趋于零， 那么这个斜间线就是 a x 加 b， 根据这个斜间线定义，可以把它算出来。第二种方法就是我们算 y 比 x 极限，还有 y 减去 a x 极限是吧，把这个极限去算一下啊，这样也可以。 那么咱们先做第一种方法啊。第一种方法就是根据定义我把它分离出来，那么怎么分离呢？这不是有 love 吗？可以做泰勒展开，那我就快速分离了啊。首先就是 x love 这个里面把自然长数 e 提出来，然后就是一加上，这是 e， x 减一分之一。 哎，变成烙文这个式子，然后烙文这个乘法变成加法啊，那就是 x 乘以烙 e， 就是一吧，然后再加上 x 乘以烙文，一加上 ex 减一分之一，变成这个是部分。 这是我们把这个一乘以它啊，变成 love 加法运算了。把 love 拆开了之后，这个地方就可以做泰勒展开了，那就等于 x 加 x 乘以它的泰勒展开。就是首先 就是 e x 减一分之一，再减去二分之一，它的平方， e x 减一 啊，然后这是平方，这是平方分之一是不是啊？然后再加我下面就加小 o 了啊，加小 o 啊，这个就是 e 的平方， x 减 e 的平方分之一。先写到这。那这里面你 注意我们研究斜渐渐研究是 x 区无穷的情况， x 区无穷的时候，这个东西区零的啊，这东西区零，我刚才没有详细解释，就这些东西都是无穷小嘛。然后你把它乘开，那就是 x 加上啊，这个就是 x 比上 ex 减一吧， 那么 x 比上一， x 减一，可以减个一，再加个一，然后减去二分之一。是不是 x 比上一方 x 减一的平方啊？加小 o， 这个地方就变成一方 x 减一的平方分之 x。 哎，变成这个式子了。 再把它拆开，那就是 x 加上 x 减一，除以 x 减一，这地方是不是一分之一啊？然后再加上一， ex 减一，然后再减去二分之一， x 一方， x 减一的平方，再加上小 ox x 一方， x 减一的平方。那么对这个结果你看出来了吗？其中留下的直线方程就是这个 y 等于 x 加一分之一。后面这个东西就这一大串，在 x 趋于无穷的时候，全都是趋于零的。 那也就是后面这一大堆，就是我们曲线和直线之间的误差 h x， 那么他 h x 是误差区域零的。而前面这个直线方程就是我的斜间接线。因此这样我们就选 b。 那咱们这一届的出题的命卷人呢？命题人呢？他是非常爱考泰勒的啊，所以我就是多给大家用一用泰勒。咱们泰勒这几年的出题频率太高了啊，有的时候一年考两次，有的时候至少一年考一次， 然后 b。 这样这么方法做完了，再用另外一个方法，就是说我们直接取极限来算。取极限的话，其中如果是 x 区无穷， y b x 算斜率的话，这个斜率它其实一定得一。就是 y b x 算斜率一定得一。因为这个选项 a b c d 啊。你会发现这也是一个选项的 bug， 就是边选项的时候 没有给你编那种特别复杂的这个选项是吧？就是每个都得一吗？啊，这个写率都得一。当然你验证一下也可以是吧。其实不验证直接能猜出来他必然是得一的，要不然这个选项就都不对了。 那我们还是验证一下啊。就是厘米的 x 区域无穷时， y 比 x 起步，就是把 x 约掉了，就剩下烙 e 加上这个 x 减一分之一嘛。 x 区域无穷的时候，这是区零，这是区零的时候，就是烙 e， 烙 e 就等于一。所以斜率有了。下面算洁具， 也就是厘米特 x 趋于无穷时， y 减 x， 那么这个 y 减 x。 有同学是最害怕这种无穷减无穷的， 极限的就是极限斜的不扎实的同学呢，遇到无穷减无穷行容易，没有办法啊。那么就是 x 乘以 law n e 加上 x 减一分之一再减 x。 这个减 x。 我们观察一下啊，怎么能给他处理掉呢？我们一定要使得加减法变成乘除法，乘除法才能用我们的各种法则是吧。加减法我们的法则很少， 除非就是我们如果都是无穷小，就泰勒加减法还能行是吧。但这个加减法都是无穷减无穷嘛。所以我们一定要创造分母变成乘除法。那么这个我们其实可以直接替 ix 变成乘法了。因此把 ix 提出去，就是 x 倍的。 就是 love e 加上 x 减一分之一，是不是减一啊。减一可以变成减 l e。 那么于是这个 low 呢？减法变除法，它马上就变成厘米特 x 区无穷 x 倍的。这个一除过来就是 love 一加上一乘以 x 减一分之一。那么这个乘除法我是不是可以等价无穷小替换呢？在 x 区无穷的时候，这个地方区域零，它区域零， love 一加 t 等价于 t， 所以它就等价无穷小了。 你看乘除法，我们的方法就非常多了，就是哎，等价乘他，那么等价乘他这个老大的系数相除啊，老大的系数相处等于一分之一，所以结距就是一分之一选 b。 那这道题怎么算都不难啊，用这种方法算也可以，用前面这种方法算也可以，那么泰勒的方法大家最好多练一练，那像这种选择题就是送分的了啊。大家有不懂的多跟小老师交流讨论，我们下个视频再见。

题目的要求呢是两个人投篮，假的 get 投篮命中率零点六，乙的投篮命中率零点八。然后如果第一个前面的人投中了，那得继续投，投不中换别人的 他。这应该是打错了吧。我觉得应该是抽签决定第一次投篮的人选，然后他才说这句话，不然太不通顺了啊。抽签决定的话就二分之一，就第二次投篮人是乙啊。这个题第一问真是非常简单 啊。那你考虑第一次投篮的人就行了啊。第一次？第二几次？第一次是甲的情况下，那得甲，他不中，第二次就能轮到乙了。或者是第一次你抽到了乙了，乙他 他投中了，第二次他还能是一是吧。所以这个概率计算起来是非常简单的。他应该等于你二分之一的概率抽到了。假假的不中 零点四是吧？你根本不用管第二次，反正你要求的是第二次投篮的人是乙就可以了。再加上第二，第第一次抽到了这个乙，大概率二分之一，乙还得投中他就可以了啊。所以这个是多少？嗯，零点六的概率是吧？ 好，嗯。然后我们来算第二问。他说第二次投篮的人是假的概率。你会发现第二次投篮的人是假， 他就紧密的与第二减一次投篮的人是谁很有关。咱不妨舍第二减一次投篮人是 假的，这个概率就是 pi 减一啊。好，第二次投篮的人是假的，概率呢？是 pi。 我们来找一下这个 pi 和 pi 减一之间的关系啊。很显然，这个 pi 就跟你算这个第一次。第一问这个方法其实是一样的啊。你得是什么啊？ di 减一次，甲投中了，他概率不是这个 pi 减一吗？在这个基础上怎么样？你得让甲是不是投中了 才行是吧？投中了，他就能继续让这个甲投下一次投 d i 次 d i 减一次，投中了才行啊。好，他要是投不中呢？投不中，那就换成 也第二次换成一了。然后还有个一减 p i 减一的概率。 也说上一次就是阿，减一次，他投来的是人是乙，乙图不中他就能是假的。乙图不中的概率零点二。所以这两个加起来就行了。这样一化减就是 多少。这个是零点四撇减一加上零点二。是不是这么一个结果？我们可以把它表示分数。分数。好了，你来观察一下这个东西啊，你可能换成撇减一， 你可能不认识啊。如果我给你写成 a n 等于零点四或五分之二倍的 a n 减一加五分之五分之一，那这样你会不会做 这一看？这就要形成那种凑是不是等比数列的那种形式。我们还是用这个偏爱吧。 好，那我们假设有一个 t， 能够使的 p i 加 t 就等于零点四倍的 p i 减一 加 t 的形式。好了，赶紧我们化解一下啊。哎，我这还带上括号。不用带啊。撇 i 加 t 就等于零点四，撇 i 减一加上零点四 t 就行了。好，那撇 i 它就等于零点四撇 i 减一。 减去这个是五分之三 t 就行了。你你发现没？你对比一下这两个式子啊，怎么样？就这个地方不同是吧？所以你得 使的这个负五分之三 t 等于五分之一 t 等于多少？负三分之一。好了，那其实做到这，这个题已经濒临结束了，你是不是没想到，这个题他妈竟然是要考数列的。 好，继续。呃，我们把它算完了就行了啊。所以这个 p i 减三分之一，它是等于多少？嗯， 不是等于多少，它是一个等比数列。公比是多少？ 零点四就是五分之二的是吧？所以这个 p i 减三分之一等于首项 a。 a 就是那个是 p 一。 p 一是多少？二分之一。二分之一的概率，二分之一减去三分之一的基础上，乘以五分之二的 i 减一次方就可以了。好了，你把这个式的话撵出来就行了。他是一个六分之一倍的五分之二的挨减一次方加三分之一的形式啊。希望你能做对的啊。

下面我讲下二零二一考研数学一第二十一题，这道题是个现象代数大题， 已知矩阵 a， 第一号是 a 一负一，第二号是一 a 负一，第三号是负一负一 a 第一位 求正焦矩阵 p， 使得 p 的转至成 a， p 是对角矩阵。第二分求正定矩阵 c， 使得 c 方等于 a 加三倍的单位矩阵减去 a。 那么首先看一下第一位，第一位他是什么样类型的题目呢？ 他是不是相似对角化的问题？而且对于这道题来讲，我们要找的这 这个下次矩阵他是一个什么？要找到一个正角矩阵，屁，那么这个题来讲，还有种题型是让你求可逆矩阵。 我们如果说想找到正焦矩阵的话，首先是不是要找到一个可逆的矩阵 q， 然后对他进行一个正焦化，才能得到一个正焦矩阵？ 那么首先我们第一步工作时找到一个可逆的矩阵 q， 使得 q 逆 a， q 是一个对角虚针，对角虚针就大喇叭的 表示，那么我们如何去找这个科技局的 q， 那我们就要去分析一下这个大喇叭的和 q 是由 a 的什么样东西组成的？ 那么大喇叭的是不是由 a 的特征值所构成的？而对于大喇叭的上每个位置上的特征值，对于 q 的免疫力，是不是他对应的？是他这个特征值所对应的特征下量？ 就是说，比如说 q 第一列上面的香料，他对呢？是是不是大喇叭的上面第一个位置上元素的特征值， 对吧？喇叭的一，你看阿法一，喇叭的一一定是和阿法一是对应的。 那么这道题我们首先是不是要求一下 a 的特征值， a 的特征值如何求呢？ a 的特征值是通过 a 减栏目的意大利式的率零求出他的根，对吧？ 这个特征多少式的根，也就说是 a 的特征值，那么我们第一位是不是就分析到这里大概四十五同学们也知道？ 好，那咱们就开始计算， 嗯，第一步 求 a 的特征纸， 求 a 的特征值，根本是求 a 减喇叭的意大利式，对吧？ 那么在这里面 a 减喇叭的一号列式是不是等于第一号是 a 减喇叭的一负一，第二号是一 a 减喇叭的和负一，第三号是负一负一和 a 减喇叭的。 那么我们如何去求这样一个好劣势？ 我们观察一下这个位置上是不是一， 而我们通过某种变换是不是可以让这个位置上和这个位置上的 数字变成零？那么我们看一下，我们将第二行的负的 a 减喇叭的背往第一行上面加，是不是我们可以到这个位置上是零？ 我们将第二行加到第三行上面，是不是这个位置也变成零了？ 那么下面这个行列是第一行是不是变成了零？ 然后第一行第二，第二例未，至少别墅是一减 a 减喇叭的平方， 下面是 a 减 m 的减一，第二行照抄起来，第三行是什么？第三行是零， a 减 m 的减一和 a 点答案的解一，观察下第一列我们是不是可以按照第一列进行展开，对吧？ 因为这个位置上变速这个是第二行第一列上面元素，因此来讲，是不是前面我们在展开时候要加个符号，我这个写错了，这块纠正一下，这块应该是等于号， 这块应该是什么负的，我们对于他来讲，是不是可以用平方差公式也就得到是一加 a 减喇叭的乘以一减 a 加喇叭的 a 减喇叭的减一，以及 a 减喇叭的减一和 a 减喇叭的减一，我们同时提出来一个 两行同同时提出来 a 减喇叭的减一，也就得到是 a 减喇叭的减一的平方乘以我算一下，喇叭的减 a 减去二，那么 a 的特征值是不是求出来的？ a 的特征值为 a， 其中有一个二重特征是 a 减一和单特征是 a 加二，对吧？ 二重特征值为 a 减一和单特征值 a 加二。那么第二步工作是求， 求完特征之以后，是不是要求每个特征值他所对的特征下量，对吧？如果说他可以向 相似对角画的话， a 减一这个特征值所对应特征下降个数是几个？ 是不是对应着两个特征销量？否则这个屁是没有办法填满的。 如果说他只对应一个特征，巧料，你看 a 加二这个特殊值是不是对应毅力？如果 a 减一这个特殊值他对应的不是两列的话， 那么是不是他缺的呀？毅力对吧？从直观角度来讲，对吧？嗯， 我们也能知道， a 减一这个特征值所对应特征销量个数一定是两个，那么我们求下 a 的每个特征值所对应特征销量。 嗯嗯， 那么首先我们看一下啊，对于 a 减一这个特征值所对应特征销量最关键的一点是么？如何求特征销量？ 是不是我们要抓住一点，特征项链定义是什么？是不是 a r 法等于喇叭的杯子 f 也就转化成 a 减喇叭的一乘以阿尔法的雨点， 最根本的是不是对 a 减 l 们的意做什么？做出的憋坏。 那么既然我们知道关键点是 a 减喇叭的 e 这个矩阵，那么我们看一下是不是下面要对 a 减 a 减一倍的单位矩阵做一个出的变换， 那么我们看一下，他第一号是一一负一，第二号是一一负一，第三号是负一负一一， 那么这个矩阵是不是三毫乘比例，三毫乘比例的矩阵，他的痣是一， 那么他等价于只有第一毫，其他两毫都是零，那么对于 a 减一这个特征值所对应特征下料 是不是可以很轻松的写出来，有两个对吧？打法一是等于负一一零的一个转式，打法二是一零一的转式， 因为我们这里面首先要找到是什么是一个可逆局这 q， 所以说对于正焦化这部分我们先不用管。第二步，当我们球显 蓝马的三是 a 加二的时候，他所对的特征强调，那么是不是对 a 减 a 加二倍的 e 做一个出的变换，对吧？他变成了负二， 第一号是负二一负一，第二号是一负二负一，第三号是负一负一负二，那我们以第二行为基准看一下，嗯， 我们以第二行为基准，是不是将第二行的两倍往第一行上面加，能让这个位置上是零， 我们让将第二号加到第三号，成本是不是这个位置上也是零？因此来讲， 我们做完初的变化以后，可以变成这样做测试，将第二行挪到第一号上面， 是不是得到这样的形式， 那我们第三行是不是全都可以变成， 而第二行同时除以负三，是不是变成了这样子，就是， 对吧？那么我们将第二行这个位置上数字，对吧？以他为基准，将他的两倍往第一行上面加，是不是这块就变成零呢？ 那么继续做出的变换衣服是不是最终结果第一号是一零一，第二号是零一一，第三号是零零零， 那么他所对应特征下调是不是也可以写出来是负一负一一的 转世？因此我们这个第一点是不是就完事了？ 我们找到的这个科尼聚热 q， 因此我们存在科尼聚热 q 和逆矩，这球他是由阿法一、阿法二、阿法三这个列香料构成，列香料组构成，使得我们对于每个香料来讲， 他应该和对应位对角线上，对应位置上的一个特征值所对应。 q， 你 a q 是不是等于 a 减一， a 减一和 a 加二，其中我们看下对应关系， a 减一这个特征值是不是对应特征销量是阿尔法一和阿法二，而 a 加二这个特征值所对应特征销量是阿尔法三。 那有同学好奇我这个橘子 q 是不是坑，那我们就算一下，也算一下，满足大家一个好奇心， 你看阿法一他是不是负一一零，阿法二是一零一，阿法三是看一下负一负一一，对吧？ 那么以这个位置上数字为基准，将它加到第一行上面去，得到是零一负二一零负一和零一一，是不是 我们按照第一列进行展开，我们看看得到是什么？得到是，事实上结果是几 四十号接吻时负三他是不为零的，不为零的话说明阿法意，说明这个矩阵 q 他是可逆矩阵， 那么这肯定是这 q 搞完的，下面是不是要将 q 进行正焦化？这是讲第二点， 将这个橘子 q 照焦化。 那么首先我们观察一下这个肯定局，这 q 阿法一、阿法二是不是 一减一这个特征值所对应特征下量？我们这里面要关注一个结论是什么？这个结论只需要大家记住就行，不同特征值所对应特征下量是正焦的， 这个大家只需要记住结论，不需要去证明。 咱们事实上看一下，你看阿尔法一和阿法三 他是不是正确的，很明显他是对吧？他的内积是零，也就是对应位置上元素相成以后再做和。那么 阿法一和阿法二他是不是正焦的？他不见的相同特征值所对应特征下场不见得正焦。如果说不正焦的话，是不是我们对于一减一这个特征值，是不是要采用施密特中药化方法？ 需要采用施密特中药化方法， 施密特重要化方法，我们要大家有书记这个故事， 这个公式是看一下， 我们将它变成寥寥重重的一个项链， 我们除此以外，这是第一个，这是第一步工作，第二步工作我们搞完这些以后，我们让 这个阿法一、阿法二、阿法三两两周就好了。下面我们是不是要对这三个笑要进行一个单位化， 就点了中药以后得到，得到是什么？得到备胎一、备胎二和备胎三 对北塔一，北塔二和北塔三进行单位化，单位化以后得到 是不是最终的一个结果？ 那么得到最终结果以后我们看一下，我们首先第一步进行施密特征化方法就要需要牢记，同时看一下北塔一是等于画法一 差十，等于负一一零的一个转式，我们关注点是备胎二， 北塔二是等于阿法二减去阿法二和北塔一的内积，以及北塔一和北塔一的内积， 除以北太一和北太一内集，再乘以一个北太一，对吧？那我们看一下 阿法尔，在这边我写下是看看阿法尔是一零一， 也就是说他是一零一，减去一个阿法尔和北太一内机是多少？负一北太一和北太一内机 是二，对吧？这都是些基本概念，所以说大家如果说这些基本概念不超过市场里要做这个题肯定是困难重，对吧？最终他的结果是二分之一、二分之一和一的一个转一，这样一个列强量， 那么北塔一和北塔二至到此为止是不是他们他的内迹势力？因此第一部工作是 不是完事了，对吧？最主要的这块就是说这个公式。 下面我们再对北塔一、北塔二和阿法三进行一个单位化， 将北塔一、北塔二和阿法三进行单位化， 单位化过程是要来讲是不是得到一个正焦矩阵，对吧？他正焦矩阵屁， 是不是？对于北塔一座单位化是等于北塔一除以北塔一的模，北塔二除以北塔二以及北塔 三除以为他三点五折，最终结果等于什么？等于第一列是什么？ 一也是负二分之根号二，二分之根号二零，第二列是六分之根号六、 六分之根号六和三分之根号六。第三列是负的三分之根号三，负的三分之根号三和三分之根号三。 我们找到一个这样一个正巧语，这批使得 pmap 他是一个对角矩阵，他是不是小于 这样一个对角区间， 这样第一吻就求完。 第一本事实上来讲，计算上还是非常大的，但对于大家日常练习过程中，这个踢球应该是应知应会的，因为几乎每年都考。他要么叫你求正交矩阵，要么叫你求可逆矩阵， 要么还，还可能叫你有这种体型。屁，又给你个嘴，嘴闭是等于收什么东西？ a 还相似于 b， 那么我们可以找到一个正焦距，这批 使得 pinip 还等于 b。 我还叫你干这个活， 怎么干怎么办？这个实效来讲，几年前真题他是有这样一种题型的， 这个题和计算料是非常大的，我认为这个计算料比你比咱现在这个第一问要大，就是说要明确的思路。首先我们不能一下子就能找到正焦矩阵批，我们可以先找可逆矩阵，可逆矩阵找完以后， 然后我们再去干什么，再去将这个可逆矩阵 q 进行一个正焦化，得到一个正焦矩阵劈，对吧？他是这么两个过程。 那么看一下第二本，求正定矩阵 c， 使得这个式子成立， c 方等于 a 加 三比的单位矩阵减去 a。 好，我们看一下第二位，第二位， 第二位，我们知道是求一个正定 c， 使得最重要就是这个条件， c 方等于 a 加三倍的单位矩阵减去 a。 那么这里面我们从第一位来看，是不是找到了一个正定矩阵 p， 使得 p 转至乘以 ap， 使得用对表矩阵，而我们知道 a 加三倍的单位矩阵， 他还是一个对角矩阵，因此我们可以做什么操作？在 左边乘一个屁的转式，右边乘一个屁，得到的是看一下 p， 钻石 c 方 p 是不是等于？我们看一下这个对角矩阵，回顾一下上一问，是不是这样东西，是 对吧？他是这样的形式，他事实上是不是等于四四一？但我们这里面要求的是 c， 我们如何通过 p 转式 c 方 p， 看看有没有办法求出 p 转式 cp， 因为我们上一问是不是制造 p 的形式，我们如果说制造批转是 cp 等于什么？什么东西，是不是这道题就解决了， 那我们看一下如何得到呢？我们看一下 p 转之 c 方 p 是不是应该看他对他怎么进行一个处理，最简单的处理方式是 p 转之乘以 c 乘以 c 乘以 p， 不要忘了，屁是一个正焦矩阵，正焦矩阵的话， p 转式， p 等于 p 成 p 转式等于单位矩阵 e， 那么这里面我们下面进行个操作， 我们添上个屁转式乘以屁，屁乘屁转式， 那我们看变成什么呢？是不是变成了 p 转至 c， p 乘以 p 转至 c， p 一对吧？而且这两个相称是单位矩阵，得到是 p 转至 c p 的平方，那同学们说用这个又有什么用？太有用了， 一个矩阵的平方是对角矩阵，那么这个矩阵必然是对角矩阵，至于为什么，大家有兴趣可以下去证明一下。 据说这里面我们用到的结论是矩阵的平方式，对角矩阵， 则这个矩阵也是对角矩阵，但这个矩阵其实是不唯一的，对吧？而且来讲他对角线上元素事实上是每一个矩阵平方对角线上元素再开个根号， 对吧？就比如说开个根号前面可能还还会加个正负值，你比如说 如果不考虑 c 这个矩阵特点是不是这里面史阳来讲， c 是不是有可能等于二二一，这个没问题吧？ p 转式乘以，这里面有纠正一下，是 p 转式乘以 cp， 他是不是有可能这个还有可能是不是前面加个符号，对吧？还有可能在这上面加个符号， 但对于这道题来讲并不是这样的。对于这道题来讲，一米四，为什么这道题不是这样呢？对于这道题来讲，答案实际上是唯一的， 因为我们知道屁转是 cp， 屁是个正焦矩阵， 那么他对角线上变速是不是 c 的特征值，而我们知道 c 是一个正定距离， c 的特征值一定是大距离，那么我们这个结果是不是就是唯一的批准是 cp 是不是等于二二一呢？ c 是不是就球赛事，我们对于对角矩阵左乘一个屁，右乘一个屁转式，然后这边计算，我就不带大家算的，直接给结果， 第一好时三分之五负一负一，第二好时负一三分之五和三分之一，第三好时负一三分之一和三分之五。 那么我们总结一下这道第二本。 第二本最主要是对于 c 方等于 a 加三倍的单位距正减 a 进行一个分析，对于他分析的时候，我们一定要 看第一本我们干什么， 嗯，第一位，我们是做这样的工作， 找到一个正定矩阵 p， 正焦矩阵 p 使得 p 传是 ap， 是一个对角矩阵，而在这里面恰好如果说我们做这样一个操作， 对于 c 方左乘一个 p 转式，右乘一个 p， 是不是一个对角矩阵？那么我们如何通过 p 转式 c 方 p 求出 p 转式 cp 呢？是不是又做了这样的操作，最终我们找到的 p 转式 cp， 如何保证 p 转至 cp 结果是唯一呢？是不是用到了 c 的一个姓氏叫 c 是一个正定矩阵， c 是一个正定句子的话，那么他 p 转至 cp 上的对角线上元素是不是一样都是大于零，就保证了 p 转至 cp 的唯一性，对吧？那么 c 是不是也就可以求出来了？ 那么整个这道题计算量还是非常大的，但是这道题我认为 尤其是第一吻，第一吻应该是大家在平常日常练习过程中应该非常熟练，能够给掌握出来，因为几乎每年都会考这样的一个题型， 那么这个这道题我就讲到这里。

同学们好，今天呢，咱们来看这道高考经典题的妙答，一起来看哈。在正三棱锥 s、 a、 b、 c 中， s， a 呢是等于二倍跟七啊， a、 b 呢等于六。让我去求三棱锥外接球的直径是多少？那首先咱们要求它的外接球的半径。 好了，这个是属于杨老师讲的什么正棱锥模型，那怎么去求他的外接求半径呢？ r 就等于几呢？是不是 b 方除以 rhb 呢？是这个正棱锥的 侧楞查， h 呢，是正棱锥的高。所以在这里边咱们就能得出来 b 方是多少是吧？ sa 方等于二十八。好，咱们来求。关键什么正棱锥的高啊？正棱锥的高。 在这个里边同学们可以看啊，正龙锥的高怎么来求？是构成直角三角形 行了对不对？这个呢，是它外界圆心和什么 s， 还有 a 构成了一个直角三角形啊，这个就是 h 啊，这个就是小 r， 这个是二倍根期。所以说咱们能够得出来它的 h 就等于几呢？ 二倍根区的平方减去 r， 也就是底面正三角形的外界圆半径的平方。好了，它等于几呢？是三分之根三的边长的 平放啊，这就是二放。所以说咱们通过进行整理是多少呢？这个是十四比上四啊。开根号出来 来，那这个整理是几？二分之七。那所以直径就是几？直径就是 他的二倍啊，直径就是七。答案直接选哪了？直接选 a 了。好了，亲爱的同学们，今天的这道题杨老师就讲到这里了。高效利用碎片和时间，每天进步一点点。关注老师，我们每天都会讲一道高考经典题的妙答。

大家好，我们继续看全国一卷的第二十题。等差数列。 a n 公差为 d， 而且 d 是大于一的 b n 等于 a n 分之 n 方，再加 n g、 s、 n、 t n 是 a n b n 的前 n 相合。第一问若三倍的 a 二等于三倍的 a 一，再加 a 三， s 三加上 t 三，等于二十一。让我们求 a n 的通向。 那么要求 an 的图像。首先我们知道 an 他是个等差数列，而且告诉我们三倍的 a 二等于三倍的 a 一，再加上 a 三。那既然他是个等差数列，公差 又是 d， 那么 a 二就是 a 一加上 d， a 三就是 a 一加上二 d。 所以这个式子它就变成三倍的 a 一加上 d， 等于三倍的 a 一，再加上 a 一加二 d。 那么整理这个式子，我们就得到 a 一等于 d。 狩猎 a n 的手相和公差是相等的，那得到这个结论以后，怎么求通向呢？再看这个设计， s 三加上 p 三等于二十一， s 三，那就是 a n 的前三 三相和，也就是 a 一加 a 二加 a 三，再加上 t 三，那就是 b n 的前三相和，就是 b 一加 b 二加 b 三等于二十一。 而 a 一，它和公叉 d 是相等的。那么这个 a 一用 d 替换了，那就是 d 加上 a 二是 a 一加 d， 也就是二 d a 三是 a 一加二， d 就是三 d 再加上，那么 b 一。怎么表示呢？这个式子里，我们令 n 等于一， 那么 b 一就是 a 一分之一加一，也就是 a 一分之二。 a 一是 d， 那就是 d 分之二，再加上 b 二，另 n 等于二，那就是 a 二分之 四，加二是六， a 二分之六， a 二，它又是二 d 二， d 分之六，就是 d 分之三， b 二是 d 分之三，那么 b 三再令 n 等于三，那就是 a 三分之九加三是十二， 而 a 三，它是三 d 三。 d 分之十二，也就是 d 分之四。 b 三是 d 分之四， 等于二十一，那么 d 加二， d 加三， d 就是六 d 再加上这三项的和，是 d 分之九，等于二十一。 然后整理我们就得到六地方减去二十一地，再加九等于零。那么解这个方程解得 第一等于二分之一，第二等于三。因为 d 是大于一的，所以这个二分之一舍去，那么公差地，他就等于三，公差地等于三。 a 一和 d 相等，那么 a 一也等于三。说明 a n 它是一个首相为三，公差为三的等差数列。那么它的通向 an 就等于 a。 一加上 n 减一倍的 d， 也就是三加上 n 减一，再乘三，就等于三 n。 所以说等差数列 a n， 它的通向就是三 n。 好，我们再看第二问。