正态分布p值计算公式

大家好，今天我们来讲一下高考数学中经常考察的正态分布。关于正态分布的话，首先就需要了解一下这个正态密度函数，大家要知道啊，如果一个连续变量他符合正态分布的话，那么我们就把这个变量称为正态变量。 那么对于正态分布来说，有两个量啊，两个数字特别重要，一个是正态分布的数学期望，另外一个就是它的标准差， 那么数学期望确定了，标准差确定了，实际上这个正态分布就完全确定了，所以正态。呃，密度函数的话，我们可以这么来理解啊，前头的话，这个根号二百，他肯定是常数， 然后呢，这个答案他也认为是常数， me 也是常数，实际上这个函数不是特别复杂，只是说看起来好像是特别复杂而已，一点都不复杂了啊，主要是两个量。那么需要确定第一点的是，其实这个函数 肯定是对称的，关于谁对称啊？关于 x 等于 me， 关于这个均值是对称的，它这个密度函数啊， 这个草图呢，也给你画出来了， mild 范围，它可以是任意取一个数字，但是这个答案它方叉肯定是正数，这个不用多说什么， 如果一个变量他是正态变量的话，那么就符合正态分布。正态分布有专门的字母大写的 n， 这就是正态分布。前头呢，括号里头先写的是均值，先写的是数学期望，后边写的是方叉啊，记住，第二个量呢，指的是方叉。 如果一个变量符合正态分布，咱们就写 x， 这样一个变量符合 n， 然后 meo， 然后他，当然考试时候他会写成具体数字啊，比如说一，然后再写一个方差是多少啊，然后再写一个，比如说零点七，这个零点七就指的是方差，一就指的是他的均， 这个了解就行了。那么我们来看第一点，首先从解决式上就可以看出来，他肯定是具有对称性的，对称轴就是 x， 等于 miu， 也就是数学期望就是他的对称轴。为什么会这样？原因很简单啊， 你带入这样一个解析式里头，外头有个平方吧，平方绝对值，这种很多时候就具有对称性的，它加上 t， 然后呢，没有再减去 t， 他所对应的函数值时时刻都相等，不管你这个题怎么取，他函数值都相等，所以说他有这样一条对称轴，这个还是很简单的。 那么继续来看正态变量的概率密度函数，就这样一个正态密度函数，简称正态密度函数，他就叫做正态曲线。正态曲线就是这样的，左右对称，先往高了走，然后到达顶点之后呢，再往低了走，好，右边就把这个图画出来了。那么对于正态曲线来说，它呈现 中型，就是说两头低，中间高。最大值的时候，什么时候最大？肯定是当这个 x 取的是均值缪的时候，这个时候才是最大的，因此这个曲线呢，又称为中型曲线。注意有这样一个名字就可以了， 需要你注意的是标准状态分布。什么叫标准状态分布啊？如果数学期望为零，也就是说对称轴，它是外轴， 他大概是这样画的，能理解吧。左右是关于外轴对称的，他是这样一个偶函数。嗯，标准差为一的正态分布呢，就叫做标准正态分布，咱们就这样来记就可以了。 那么继续来看，现在啊，就要正式来介绍正态分布了，如果一个连续将随机变量，他满足的是取值范围是任意实数，并且呢，他所对应的概率怎么来算？是通过 积分来计算的。我知道很多同学呢，看到这样一个定积分之后呢，并不理解具体什么含义，我来说一下就行了啊，比如说这个是变量 x 取 a 时候，这个是变量 x b 时候，那阴影部分，这个图形的话，因为这两条红线它是平行的嘛， 所以说阴影部分你看了啊，在 fx 这样一个中心曲线的下方，在 x 轴的上方阴影部分，实际上它就是一个曲边梯形，曲边梯形的面积也就是 a 到 b 之间的所对应的概率了，能理解吧，那么现在就有了。如果啊，这个 a 一直向左走，也就是说 然后 b 一直向右走来，整个重型曲线下方，整个 x 轴上方所有的阴影部分，当然阴影部分它是画不完的啊，因为 x 轴往左往右都是无限延伸的，那么它总 总的面积，总的概率是多少？总的面积就是总的概率，应该等于一，应该就等于百分之百才可以的，现在清楚了吧，这个就是连形随机变量中间曲线这样一个特点啊。讲到这的话，可能大家不太理解，不太容易理解的是因为之前我们所学的零一分布啊，二线分布都是什么随机变量， 都是离散型随机变量的，现在直接扯到了连形随机变量一项没有绕过弯来不重要，来， 我们比如说打个比方啊，对于离散型随机变量，测某一批次的产品尺寸的时候，他符合怎样的分布呢？如果这一批次的产品尺寸他这个数量啊，容量足够大，那最后拟合出来的，看 这个蓝色部分是什么图啊？其实就是频率分布直方图，你把频率分布直方图呢？就是他这样一个间距写的非常 小，花花花，最后拟合起来啊，连起来之后的话，他非常接近一条正态分布的这样一个曲线，重型曲线的，能理解吧？所以说当离散性随机变量 他的数量足够大，并且这个频率分布直方图他的间距非常小的时候，最后连起来的线，他就相当于什么线？相当于这个中型曲线，相当于正态分布了，这是比较接近的这样一种说法，能理解就可以。 那第三点的话，现在我们就要介绍一下非常重要的关于正态分布的三打二特原则了。什么叫做三打二特原则呀？来看好了，他是对称的吧。先看缪左边均知左边有一个打二特， 然后均值的右边呢？也来一个 dart， 那么左边的话，其实就是 mu 减 dart 这个值，右边的话肯定就是 mu 加的奥特曼。在这样一个对称的对称的区域内，它阴影部分它所对应的面积其实也就是概率啊，它这概率算出来是多少概率呢？大概就是六十八点三，这是一个接近的数字啊，不是一个准确的数字勾出来的六十八点三， 那二达尔特呢？二达尔特也可以，我们左右两边啊，均之，左右两边更远一些，比如说这就是两个方差，缪减去两个达尔特，右边肯定是对称的啊，那就是缪 再加上两个达尔特。那么 如果是两个达尔特呢？均是左右两边达尔特形成的这样一个区别，梯形，它的概率，它的面积是多少？就是九十五点四了。百分之九十五点四，那如果是三达尔特，我就不再画这个图了，那就是百分之九十九点七，其实三达尔特就已经几乎涵盖了所有的品， 非常接近百分之百了，对吧？记住这样一个道理就行了，也就是说越往中间他这样一个频率啊，越集中，越往两边越分散，注意就行了。 那么正台变量在负无穷到正无穷内的取值概率肯定唯一啊，就是说整个区间下方， x 轴上方，它的面积之和唯一就是百分之百嘛。在区间 就是均值，左边有三个单的均值，右边有三个单的，这样一个区间范围内之外，取值的概率呢？大概也就是你用一减去百分之九十九点七，就是百分之零点三，这个概率非常小的哈。所以说正态变量的取值几乎都在三倍标准差之内。 以谁为准则？以这样一个君子为准则，左右两，左右三个 that 之内吧，这个呢，原则就叫做 正态分布的三大二的原则理解就可以了。那么正态曲线的性质我们来看，首先你从概率密度曲线上就可以看出来，他这个图像肯定是关于 均值对称的，这个不用多说什么。其次就是左边是单调递增的，右边是单调递减的，什么时候得到一个极大值呢？肯定是当 x 娶谁的时候啊，取这个 mel 的时候，得到一个极大值，处于最高点。 那么继续来看第三点，这个答的平方称为方差，方差影响的是什么？方差影响的是离散程度，或者说集中的程度。肯定是这个方差啊， 这个方差越大，这个曲线就越什么越分散吧，越分散就是越向两边分散，越矮胖的意思。那么这个答案它也就是方差越小，方差越小的话，它就越集中，越像这个均值部分集中， 特别特别集中了，那此时就越高寿，越高寿，就是越向君子部分集中的意思。那么现在我们做几道高考原题。这是之前湖北高考的原题啊， 那么看了有两个图像，左边呢，它是 x 的正态分布这样一个函数，右边的话是 y 变量的正态密度函数。那么我们需要注意的是，对于左边这个 x 来说，它的均值是谬一，右边呢？右边呢 是 miur， 那么对于比较高，比较瘦的，这样来说，他肯定是他方差小一些吧。 然后对于比较分散，比较矮胖的这样一个图像来说，他的方差肯定是更加大一些，更加分散一些的，清楚就行了。那么现在我们看图啊，看一下 a、 b、 c、 d 的一个正确。现在来看 a 选项啊，一看就是 错的。你 miui 往右边密度这样一个函数，它这样一个面积吧，面积就对了，是概率啊，和 miui 这概率肯定不用多说了，左边他就是零点五，右边肯定是比零点五大的这样一个概率，这样一个面积，所以 a 肯定错， b 的话也一样。 那么现在继续来看这个 c 啊， c 的话就对了， c 的话咱们看清楚了， t， 他是正路，咱们随便写一个 t， 比如说这个 t 在什么位置呢？就在我现在画的这样一个位置啊， 这就是 t， 它就是一个正数吧，当 x 小于等于 t 的时候，看它的概率，嗯，看好了，在这样一个位置吧，它的概率还是挺大的。 然后继续来看右边这样一个 y 小于等于题， y 小于等于题的话，肯定比他要小，看这个对称性就可以了。那继续来看这个 d 啊， d 的话肯定就不对了， 对于任意的正数来说， x 大于等于 t， 它肯定是比零点五要小的，然后 y 大于等于 t， 它不一定，它有可能是等于零点五，比如说当这个 t 等于 me 二的时候，它就等于零点五，对吧？所以说 d 肯定是不对的，你就用排除法，你也知道肯定是选 c。 我们继续来看剩下的两道题，这个例二的话是去年刚考的呀，主要就是一个对称性，他怎么说？注意均值在什么地方？均值就是二，也就是说我们如果画一个草图的话， 大概就是这么画的啊，他这个均值，这就是，嗯，等于二，就这个意思吧。然后我把这个 x 轴画出来，画完它之后的话，他怎么说呢？他说二到二点五之间的概率啊，是零点三六，也就是说均值右边我写上一个二点五啊，这样一个区分地形，他的面积或者说 所对的概率呢？阴影部分，它是等于多少的？等于零点三六的。那我问另外一个问题啊，那么 x 大于 二，他这个总的概率是多少？二的左边是零点五，二的右边肯定也是零点五，我们只需要用零点五减去零点三六、零点一四，不就得出来了吗？清楚了吧，其实就是一个对称性而已。那继续来看第三题啊， 第三题的话让你选择呢？我们这个正态分布，首先它的均值是十，你就看这个均值，看对称性就行了。这道题需要你注意的是，选择的是不正确的啊，哪个不正确？首先第一个他是正确的，咱们就不能选啊。第一个可不能选，因为他这个说法是正确的， 当这个方差越小的时候，这个图像就越高瘦，也就是说这个变量就越像均值十左右，两边就是越向他靠拢，所以这个时候 概率就越大，这个是对的，咱就不能选第二个啊。那么该物力量在一次测量中大于十，变量大于十的概率就是零点五，小于十的概率也是零点五，因为它是对称的。那个图像 看 c 选项， c 选项的话也对啊，咱也不能选。为什么？小于九点九九和大于十点零一，九点九九和十点零一不都是在十左右两边对称的位置吗？所以根据对称性也不能选 d 的话，肯定 怎么样就错了，对吧？那么这节课我们就学到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下节课再见。

下面我们来讲第二部分，也就是标准正态分布啊，这个东西的话，我们会分三个小的部分来讲，第一个的话是先讲到标准正态分布的概念，然后呢我们讲到一个方法，叫做查表法，怎么去求这个具体的题目中的一些 啊？那个什么概率，对吧？这样一个事情。然后呢我们会做四个小练习，去巩固加深大家对于查标查标法这个东西的理解。首先 正在分布啊，表演正在分布，这个概念是什么呢？就首先我们为什么要使用表演正在分布呢？是因为说正太分布，他的脚缪和膝盖不同，对吧？就我们刚学的，只要缪和膝盖马不同，他的形状和他的位置就不同，所以我们很难找到一个统一的方法去求 投出，就比如说固固定的概率，这样子，如果我们每一个都要用这个小 fx 积分，那也太麻烦了，对吧？所以说我们就需要一个模型， 这个魔音是什么呢？也就是我们这个标准正态分布这样一个模型，我们把任何的正态分布都可以把它进行一个标准化，以得到一个标准化之后的一个标准正态分布三大，那么就是标准就这个东西 随机变量 x 在某一期间内的取值范围，对吧？ px 大约小于 b， 应该有如下关系，就是这个定积分从 ag 到 b 的这样一个东西，这个东西是什么呢？其实也就是我们的小 fx， 对吧？小 fx 的一个积分， 也就是正太分布曲线，就像 fx 一，或者说那个呃， pbs， 对吧？是谁的 pbf 呢？是正态分布的 pbs， 就是我们这个分布的 pbsspps， 也就是从 a 到 b 这个区间所围成了这样一个面积，对吧？一个定积分的结果，为了便于查表计算，我们引入了一个参数账的之一， z 是等于 x 减去六的，除以 c， 干嘛？此时正在奋斗的概率密度函数就变成了 f， z 等于右边箭头东西， 对吧？这个东西为啥呢？对，为啥呢？其实本身的话， x 是什么呀？ x 是服从一个诺莫的血标审，你有四个马方，对吧？然后我们想要让这个 z 服从到这个 n 零一，对吧？我们怎么从 x 到 z 呢？其实就是这个三的大 s， 这样一个过程，我们怎么做？怎么做这个事情呢？其实就是让自己，对吧？他刚刚也写了 xc， 你有注意这个吗？这样这个事情为什么 他就得到了这个呢？我们用方差和这样一个期望来检验啊。先看期望，期望也不是一 x e， 对吧？这里面要检验的是 e z 等于什么呢？ e z， 根据这个东西， z 等于 x 减，没有除以 c 个码。对 x 减，没有除以 c 个码。要根据 期望。我们所所讲的两个性质，第一个性质是 a b 的 x 等 e x 等于 a 倍的 ex， 所以我们可以把这个 c 码分一提出来，呈上 ex 减六。 然后又因为后面的这个 exc m， 我们可以分开，他变成 ex 减去 e m， e m 的话，因为 m 是个长处，长数的希望是他本身，所以就 e x 减 m。 因为 e x 等于 m， 所以这个东西是等于零的，对吧？这个东西等于零的，所以是 等于。心法分析，乘向零，也就是零。对，这个就是我们的 e g， 我们就验证了啊，这个 g 是没问题的，他期望确实是零，我们再来看 d， 也就是他的这样一个方差。 dj、 dj 是等于 e 的啊，不是 e， 不好意思，是 d x 减六除以四个码，对吧？这样一个事情，因为我们知道方差的这样一个计算公式啊，或者说遵循的这样一个一个关系是什么呢？是里面乘上一个 a 倍的一个东西的话，就比如，比如说 d a x 是等于 a 方乘上 dx 的， a 方强 dx， 所以我们把这个心法提出来，我们知道星马方分之一乘上 dx 减六，因为 因为这个缪是一个长数，对吧？缪是一个长数，所以说对于这个方纱不会产生影响。什么叫星马方分一乘上 ds， 因为 ds 本身的这个 ds 是一个马方，对吧？有星马方分一乘上 星马方那个等级一了，对吧？所以我们这个星马方也得到了验证，所以说他确实是这样的一个事情，对吧？他确实是这样一个事情，然后这个东西正好符合正在分布，所以他所符合的正在分布，也就是我们所说的这个，对吧？ n 零一了， n 零一， 所以对于任何的正态分布啊，跟任何的 x 属于 n 六 c 个码方，我们都可以得到什么东西呢？ x 减六除以 c 个码等于，而不是等于，不好意思，是符合 n 零一减回正态分布， 这是我们所知道的这样一个事情。标准正在分布，这个过程叫做三个大，就是标准化。下面来介绍一下这个查标法哈，我们怎么使用标准正在分布去计算， 对吧？怎么使用他计算一个任何一个正态分布的一个一个那个什么呢？数据呢？或者我们先从最简单的开始怎么去计算符合标准正态分布的一个分布，他的一个某一期间内的概率呢？要怎么查表呢？ 有两种方式，对吧？就看题目让我们干什么事情了。第一种方式，正向查表。第二种方式，反向查表。正向查表就是说，比如说我们已经已经知道我们要求，比如 px 大于零，小于小于 z， 就应该是这个 c 大于零，小于 c 零这样一个概率， 那我们就直接查表去求他这个概率就好，我们知道这个 z 零，然后我们问的是这个 p 等于多少，是吧？第二种情况呢？是什么呀？第二种情况也底下写的反向查表，就是我们已经知道 p 零小于 z 小于 z 零等于 这个，比如说，呃呃，零点三，对吧？我们已经知道这个值了，我们现在问的是最零等于多少，对吧？这个是查标法能帮我们做的事情，就这两类题。 然后我在这里右上角这个图给大家介绍一下啊。就这个图，其实我们查表里面，表里面所显示的是什么呢？表里面所显示的是积分，零到 z 零，对吧？就比如这个点到 z 零的话，零到 z 零， f z e z 这样一积分，这种图体显示，或者它是等于什么呢？它是等于 p z 大于零，小于 z 零，对吧？它是这样一个积分， 所以 f 不是，所以这个，呃，如果这个 z 零等于无穷的话，这个计出来等于多少啊？计出来等于二分之一，对，计出来等于二分之一。 所以说，比如说我们现在举个例子啊，比如说我现在要找，呃，我现在找什么呢？我现在找 p 零小于 z 小于一点三七，随便写了一个值，对吧？他应该怎么去找？我们先找一点三七，对吧？一点三怎么找？先找一点三，找到一点三，在这再找零点零七，对吧？找零点零七， 然后呢对应他们两个所找到这个交的这个位置，这个位置就我们一个零点二一点三七的权益值，也就是零点四一四七，所以呢他就等于零点四一四七，就这样一个事情， 让我们先来看这四个例题啊，看一看怎么去理解，怎么去解释，去做这种真正的这样一个题。然后最后我们第三位也会讲到一个习题啊，讲到一个很需要这个查标法的一个习题，帮助大家更深的去理解我们怎么在更普 变的情况下用这个查表法。这我们今天第一题，第一题，也就是我们让球的就是 p 零小于 v 小于一点零五的这样一个概率，对吧？这个题我们怎么去查表呢？是不是用刚刚的方法呀？对吧？因为他这个面积就是这块面积，所以正好是我们 这种面积，对吧？这种面积我们就直接找这个值就好了，也就是我们找一点零五的位置，先找一点零，就找零点零五，他们相交到了这个一点零五这个位置啊，零点三五三一，所以直接就是这个值了，所以这个就是我们这个最基础的这样一个查标法，一个方式。 好，我们现在继续来看这个第二题，这个第二题的话呢，会比之前那个稍微复杂一点点，对，我们现在有两部分面积，因为我们要算的面积就是从负的零点八二到一点零五，但是呢，我们只知道零到一点零五的面积，就是这部分绿色 面怎么去算？我们还要想这个蓝色怎么去算，对吧？大家可以暂停讲一下，但是这期已经给出答案了，对吧？我们为什么可以这样算呢？ 因为对称的，对吧？对称性，正态分布的对称性决定了 p 负 z 零小于 z 小于零的概率是等于 p 零小于 c 小于 z 零的这样一个概率了，对吧？ 所以说呢，这两部分蓝色的面积是相等的，他们是对称的，都要关于这个中间这个 s 的连接要极限对称的，所以他们面积相等， 我们就可以等笑的认为这部分是 p 零小于 z 小于一点零五，再加上 p 零小于 z 小于我们的零点八二这样一个值，所以把这样我们加起来，我们查表，查一点零五 和零点八二，一点零五的话一点零，零点零五，还有这个什么呀？还有零点八二的话零点八，这我们就得到了这两个值。然后呢对他们做加法，我们就得到了零点三五三一，加上零点二九三九等于零点六四七。 现在我们来看第三题，第三题的话我们要用到一个歌补法，大家可以现在暂停一下，看一下左下角的图，想一想怎么去做。然后我现在开始讲这个题了， 割补法就是说我们首先我们知道他是等于什么呢？我们先找一个大眼的面积，大眼面积 p 零小于 z 小于一点五五， 但是这部分的话呢，我们多包括了中间这个长期条，对吧？也就是这个长期条，所以把它剪掉，剪掉这个 p 零小于 z， 小于零点三二， 对吧？所以我们要查表，这就是一点五五和零点三二，一点五五、零点三二，对吧？这两个值一查，我们一做减法，我们就得到零点三一三九，也就这个题我们要答案了。下面这个题，呃，就是两个题，对吧？第一个题是 p 等于，呃， p 零小于 z 小于 k， 等于零点四三七零的。这个题是比较简单的，我们直接查表，因为他给出了就是这部分的面积，我们直接查表就可以找到自己了，对吧？那也就是这里的 k， 对啊，我们就可以找到这个 k 了，怎么去找呢？找四三七零，我发现他在这个位置，他在这个位置， 不好意思，在这个位置，底下这个位置，对吧？底下这个位置，所以说呢，他所对应的这个值是多少呀？其实就直接知道了，对吧？其实直接知道他是等于一点五三的。一点五三， 底下这个是另外一个题啊，底下这个是另外一个题，所以 p z 大于 k， 等于零点一四四六，这个东西我们怎么去算呢？大家可以现在想一想。然后我继续来说这个东西，它是等于 p z 大于零，小于无穷，也就是说 p 零小于 z 小于无穷，减去 p 零小于 z 小于 k 了，对吧？这样一个值或者小于跟 k 都是一样的，对吧？他小一点是这个值的，所以说我们就得到了啊，因为这个东西二分之一，对吧？左右对称的嘛，左边这个面积整个是二分， 右边这个面积整个也是二分之一，所以二分之一减去我们的这个值，呃，零点，那就是这个 p 值，对吧？ p 零小于 z 下 这样一个值，所以我们就得到了 p 零小于 z 小于 k， 这个值是等于二分之一减去零点一四四六的，也就是等于零点三五五四的，所以说我们根据查标房找到三五四你就知道了，这个值是对应的一点零六，对吧？一点零六 h 等于一点零六的这样子一个过程，上面这个一点五三，底下这个一点零六没问题，这个放映的时候这个位置有点问题啊，所以这个就是我们的四个插表练习了，就讲到这里，第二份也就完了。我们第三部分紧接着会讲关于他的一个习题。

好，所以呢，在下来给大家讲正态分布，什么叫正态分布？大家知道左右对称形态象征的分布就是正态分布，其实大部分的自然现象都是或者人为成语都是呈现正态分布的，或者经过转换后可以 用正态分布的形式来表现的。所以呢，正态分布怎么来的？大家看正态分布呢？其实有一个叫高斯分布，高斯是一个数学家，他其实是叫高斯曲线，他有什么特点呢？两个特点，第一 就是正胎分布，只需要给他两个数据，一个叫平均值，一个叫标准差，我们就可以分析就可以描述出来这一个分布了，因为他有 一个对称的特征，所以看咱们看这三种正在分布之间有什么差异。我们很显然看到这三个分布的平均值是一样的，但是标准差是不一样的，对吧？ 谁的标志差最大呢？绿色的谁的标志差最小？红色的， ok。 第二个特征就是在曲线下的曲段面积，可以用来估计一个特定事件发生的累积概率，这个其实就是什么一呢？咱们再知道整个红色正在分布的一个总面积，我们把它叫一， 所以呢我们看平均值是零，标准差一的这个分布呢，我们把它叫标准正太分布，也叫 z 分布。所以呢，当 z 分布里面的标准差是正负一的时候，中间上去那个概率面积就是六十八点二七，中负两个的话，中间就是九十五点四五，中负三个就是九十九点七三。 还有人问老师，这个九十五点四五怎么来的？九十九点七三怎么来的？这个来自于标准正太分布的一个 z 表，它可以根据你的累积函数去查表查出来的， 当然他的原理是什么呢？就是咱们在大学里学的那个微积分，但是你在这里不需要知道微积分，你只需要知道，我知道是正负一，我就能得到六十八点二七，我知道正负二，我就能得到九十五点四五。 他可以通过两种途径，一种是查表，一种是名利太补的计算啊，都可以的啊，这个大家先了解一下，如果后面在工具里面需要这个，或者我们的绿带黑带的需要的时候，我们再深入的去讲解这部分的这个原理。 所以呢，标准差的经验师的法则征服一，标准差多少，征服二，征服三，这个大家可以看实际的是什么样一个状态，这个里面其实在讲其实六七码的理论之后是一直之间，短期和长期有一点五七码的一个漂移啊，这个大家也要了解一下啊。好，接下来刚刚不是讲了，我们要 在正太的情况下才能用平均值和标准差，所以呢，我们如何判断一组数据是不是正太的？ 所以当我们拿到一组数据的时候，首先我们第一个先判断他是正态还是非正态，那正态非正态怎么判呢？我们来看一下这个谜态部，又给了我们一个判定是否正态的一个路径，这个路径就叫正态概率图， 他的路径在民意太补里，图形点到我们的概率图，然后点单一，单一以后呢，把我们想要判定的那种数据放在图形变量里面去，在分布里面显示执行区间， 在分布里面显示直径区间，把它勾选上就可以了，勾选上以后呢，我们直接确定，确定以后就会出来这个图，这个图就叫正太概率图啊，那怎么判定他是 正太的呢？我们这个时候要看的就是右上角有个框框，框框里面最下面有个 p 值，这个 p 值等于零点四四二，看到吧？ 什么叫正态呢？就是当你的批值大于零点零五的时候，说明你这部数据是符合正态分布的。 批值大于零点零五的时候，说明你的数据是符合正态分布的。 ok， 这是正态的判定啊，大家可以回去的时候用我们的这个民态部软件去做一些验证。 好，所以后面有个练习题，这个练习题呢，我们可以用自己业务中的一些数据去对他进行正态性检验。正态性检验啊，检验完以后呢，我们可以得出一些这个结论。当然我们从一些数据里面 可以去把他的平均值和标准差可以计算出来，计算的路径就是在统计基本统计量里面的显示描述性统计，我们可以计算出来所有略的数据的平均值和标准差以及他的中位数。 这里边我们可以看出来，从这个平均值上看，我们三列数据的平均值都是七十，标准差都是十，那说明这三列数据之间均值和标准差是一样的。 其实不然，为什么？因为只有一组数据是符合正态分布的，他的平均值和标准差才是有意义的，其他两个组的平均值和标准差不可信，所以这个时候我们只能看他的中分数。为什么你明显的看到他 三组数据的中微数是有显著性的差异的，最后呢，我们还有一个工具，就叫图形花卉种，这个工具呢是解决什么问题呢？我们刚才看 我们做点头也好，做直方头也好，明天不呢只给了我们图形，要么给了我计算结果，并没有把图形和计算结果放在一起。如果我们想实现把图形和 这个计算结果放在一起的话，我们就要走明天把这个菜单叫统计，基本统计量里面的图形化汇总， 然后我们把数据选进去，这样的话我们就可以得出这么一个图，这个图呢，左边就叫图形，右边就叫计算的结果。同时大家可以注意看啊，这个批值也跟我们刚才那个概率图算出来的批值是同一个批值 啊，只是现在数据不一样，刚才那个大零点零五，这个小零点零五，现在很明显我们看到这个配置是小零点零零五的，说明他是非正太的，为什么？因为他是一个双风型的数据，双风型的数据就是非 病态的，比如说企业的员工的工资，他就属于双风行的，甚至更多风行的，对吧？啊？所以呢，这个就是我们讲的基本统计学里面的几些关键的点。

讲一个案例，某币弓箭的尺寸规格要求为一百，正负二点五，抽减了十个，检验的结果是没有超出弓差，但整体偏上限。问这笔弓箭也没有问题。 先说有没有在讲为什么有问题。在常规控制图国标里，有八个波动可查明原因的检验模式，也叫通用电器规则，是一九五几年的时候美国通用电器总结的，被收录到国标中的一组检验规则， 其中第二个检验模式，连续九个点都在中线同一侧，说的就是这个情况。为什么呢？检验结果没有超出公差呀？ 我们借这个案例给大家讲解一下正带分布和标准叉的概念。这张图就是大家经常见到的正带分布曲线，超出工章商业线的部分表示 不良。中型曲线的面积为一，也就是百分之百，代表样本总体，通过这只面积表查到的面积就是不良率。这个曲线是怎么来的呢？ 假如测量了很多个空间，我们把加工偏差，也就是把每个测量值减去公差中心值一百，得到的偏差值用柱状图表示出来。就是这样一张图，大部分偏差集中在零附近， 离零越远的位置，也就是偏差越大的弓箭数量越少，并且是有规律的减少，左右对称。 随着质量的改善，比如说优化了设备的参数，设备做了保养，或者换了一套进度更高的设备，整体的偏差就会变小。从柱状图来表示，就是中间的部分越来越高，两边的部分越来 越少，相应的超出规格商业线的数量也会持续减少。沿着每个柱子的顶点画一条曲线，再把柱子的高度数量变成概率密度，也就是每个柱子宽度的取值概率，就得到了我们常说的正在分布曲线，他的歪轴是概率密度。 说到这有个问题了，表示质量水平，用百分比量率就能表示出来，为什么要用这么复杂的正态分布，用西格玛来表示呢？ 在回答这个问题之前，我们看一下六个西部区间对应的质量水平分别是多少？一，西部区间对应的大约是百分之六十八点二七二、西部门质量水平对应的大约是九十五点四五，而三西部门水平就到了九十九点七 七三的水平。百分之九十九点七三意味着什么呢？意味着要检验三百八十件才有一个不良到四七个么？水平也就是百分之九十九点九九四， 意味着要检验一点五万个弓箭才能剪出一个不良来，就别提六西哥们水平的百万分之三点四了。 说到这，大家肯定会想到一个问题，常规抽减的数量很少，几百上千的抽减，更别提抽减一万多减，对于很多工厂，一个工单都不会到一万减。这也就是说，三十倍以上水分以后， 几十上百的抽减就减不出不量了。那怎么判断量率是多少呢？改善了又怎么确认改善效果呢？正在分布可以就像一个圆 由半径确定一样，一个正态分布是由它的均值和标准差来决定的，均值决定了它的中心值在 x 轴上的位置，而标准差则决定了曲线的形状，也就是各个点的取值概率是多少。根据样板，用一个 cl 公式就可以计算 样本的标准差和均值，结合公差的上下线，就能推断出这组样本对应的总体的量率是多少。 抽样检验是通过代表一个正态分布来代表总体的样本，而正态分布则解决了在没有检出不良的情况下推断总体的良率水平。 那正带分布跟我们开头讲的那个整体偏上线的案例有什么关系呢？整体偏上线用正带分布的语言来 描述，就是他的均指往上线方向偏移了，也就意味着超出规格，上线的比例大幅增加。所以整体偏上线意味着量率高于或者超过了控制水平。这就是折奶分布在质量上的含义。 均值不变，标准差变小，意味着质量水平在提升。标准差不变，均值右偏意味着超上限的不良大幅增加。均值偏左，意味着超下限的比例大幅增加。

hey， what's jay？ 带你轻松学会六 sic 吗？在之前的影片中，我经常会提到正太分布，说正太分布是统计学中最重要的一个分布一点也不为过。从这一讲开始，我们就来深入介绍正太分布 之前所涉及到的正态分布概率值计算的问题，以及六是个嘛？为什么是六？为什么不是七不是八呢？在学完正态分布后，这些问题都能得到解答。截至目前，我所介绍过的统计学知识还有名词也都会再次出现， 因为现在你应该已经具备一定程度的统计学知识，也该是时候再深入一点了。 之前我在介绍平均数这个特征数的时候 就提到，我们计算平均数的目的就是找出一组资料的代表值。自古就人们使用平均数的记载，但是平均数的依据直到两百多年前才得到数学上的证明。 在十八世纪，当时的科学家普遍对天文学有兴趣，并热衷于计算和测量天体的位置和轨迹。 但是有一件事情很困扰他们，就是测量误差。无论条件如何固定，总是会有许多随机因素影响到测量过程。比方说肉眼瞄准时角度或是位置的偏差、测量工具本身的误差、环境的影响等等，都会对每次测量的结果造成差异， 进而衍生出如何在这些重复的观察之中呢？推出出理想的代表值这个想法，也进而证明出 曲平均确实是找一组资料代表值的好方法。十八世纪，当时的科学家针对同样的变量进行重复两侧后，发现数据会存在一种规律，也就是类似于风行或是中型的对称分布。 然后有数学王子之称的高师导出了呈现这种分布形态的概率密度函数，也就是那条单峰对称的中型曲线。我们现在称之为正太分布，也有人称他为高师分布。 同时呢，借由同样是由他所发明的最小二乘法，证明了当资料符合正态分布时，平均数确实是这组资料的理想代表值。后来用着用着，发现原来不是只有测量数据会呈现正态分布，在农业 业、生物学、遗传学甚至是心理学等各个领域都有变量呈现正态分布的现象，所以科学家才把这个分布定名为正态或是常态分布。 原文是 normal， 也就是正常的、平常的意思，代表这个分布真的很常见，很广泛。 那当数据呈现正态分布时有什么好处呢？他有太多数学上的便利，许多概率模型也都假设数据服从正态分布，这个听听就好。我们没有要学数理统计，但是你必须要知道，正态分布是由两个参数或是特征数所构成。 哪两个特征数呢？你应该讲的出来，是的，就是平均数和标准差。假设一个总体服从正态分布的话， 比方说身高分数、尺寸、重量比例等等，透过合理的车样计算出平均数和标准差后，你就能够推估出总体内所有个体的分布状况。 比方说，知道产品尺寸的平均数和标准差，你就能够估算出产品超贵的可能比例。 知道全国考试成绩的平均数和标准差，你就能够推算你的成绩是落在全国排名的哪个位置？夸张一点来讲，只要有平均数和标准差这两个参数就能代表总体的一切。 当然，现实世界没有那么理想，你会碰到许多问题，这个我们之后再讨论。现在我们先来看一下正太分布具有哪些特质。如之前所述，正太分布的密度曲线是 对称单风的中型曲线，曲线的概率密度函数 ptf 如下，这个函数看一看就可以了，不用刻意去记， 你只需要记住，正太分布是由两个参数所构成，分别是平均数 mu 和方叉四个码，平方方叉四个码，平方开根号后就是标准叉四个码。 若变量 x 服从正态分布的话，就用 x 服从 n 括弧 mu 逗号这个吗？平方来表示。 波浪符号代表变量 x 服从什么样的分布？ n 则是正太 normal 的第一个字母。 比方说某个包装饮料的重量 x 服从平均数两百五，标准差为三的正太分布，就用 x 服从 n 扩五 两百五，逗号三的平方或是九来表示。之所以用 mu 和四个马平方来表示，是因为他们指的是总体的参数或是母数，也就是总体真正的平均数和标准差， 但他们通常是未知的，所以需要透过抽样后计算样本平均数 x 八和样本标准叉 s 来估计他们。 不同的 mu 和四个马平方会构成不同的正态分布。平均数 mu 决定正态分布的中心位置，而标准差四个马，希望你还记得。 标准差越大，代表数据越分散，曲线就会越低阔。标准差越小，就代表数据越集中，曲线就会越高耸陡峭。介绍完 正态分布的定义还有外观特征后，接着来谈正态分布的概率。只要如何计算 正态分布是连续型的分布。在第十二讲介绍连续型和离散型变量的时候，就有提到，连续型变量 x 的可能只是不可数的集合，就好比两点之间的直线是由无限多个点所构成， 所以 x 刚好落在某个点的概率是趋近于零。举个之前提过的例子， 假设变量 x 的可能范围在五十至五十一毫米之间，五十至五十一毫米是一个区间，理论上这个区间内有无限多个点。 但碍于测量的精度，你可能会觉得变量 x 的可能值并不是不可数的集合。比方 说测量工具的刻度只能量到零点零一毫米，那么五十至五十一毫米之间，你只能量出五十点零零、五十点零一、五十点零二一直到五十点九九、五十一点零零这一百零一种结果，所以感觉上是可数的集合。 但这仅仅是测量工具的限制所造成的。五十点零一和五十点零二之间其实还存在五十点零一一，甚至五十点零一一一等等，所以才说 x 刚好落在某个点的概率是趋近于零。 那要如何计算 x 的可能值的概率呢？很简单，虽然单点的概率算不出来，但可以计算区间的概率。比方说 x 落在五十至五 十点五之间的概率，如果知道 x 的分布和密度函数的话，就能计算出他的发生概率。 举个简单的例子，有个平稳且没有任何倾斜的转盘，转盘上面有个可以转动的指针，假设指针转动后停留的位置是个均匀的分布，也就是指针可能停留在圆周的任何地方，而且机会是均等的。 如果我们像时钟一样，把转盘的圆周等距的切分成十二等份，然后问你指针转动后停留在十二至三这个区间的概率是多少？ 我相信你应该很轻松就能回答出百分之二十五，因为这个区间的面积占整个圆的面积的四分之一。 这就是计算连续型分布的发生概率的原理。概率密度曲线有个特性，就是曲线下的面积刚好为一，所以要估算 x 落在某个区段的概率，就计算密度曲线在该区段下的面积即可。 假设连续随机变量 x 的概率密度函数为 f of x， 密度曲线如图所示， s 在 a 和 b 之间的比例或是概率就等于曲线底下 x 等于 a 与 x 等于 b 之间的面积。 用 p 跨胡 x 大于等于 a 小于等于 b 来表示 p 是概率 pro b 的题的第一个字母。至于要如何计算出这个面积呢？可以用数学的积分来记， 帅， 当然，我不可能让你用积分去计算。统计学家也没那么傻，整天做这些没有争执的计算工作。 所以统计学书本的后面通常都会附上一些表格，像是正态分布、 t 分布、卡方分布等等。常见的分布已经把固定点位的概率值都计算好了，你只需要查表就好了。 不过就算是查表也是蛮古老的方式，当然学生是一定要学的，因为要扎根嘛，所以要多运用人工的方式来计算。还有查表， 但是我们学六四个码的大多是社会人士，所以可以善用软件来协助我们处理这些计算工作，而把焦点放在解读还有分析数据。即便不用统计软件，也是有类的试算软件，又提供 统计学的函数。下一讲我会继续教你如何有效率的应用 ecl 试算软件来计算正态分布的概率值， 以及六是个吗？为什么是六？这个问题在下一讲也会得到解答。我是 j， 我们下次见。

大家好，这节课我们来看一下正态分布的方差、标准差和六八九五九九法则。本节课用到的数学知识不会超过初中水平，请大家放心观看。 我们先来看一下方差，方差是用来衡量总体中所有的数偏离平均数的程度。假设一个总体有 n 个数，平均数为六，大家都会算，就是加起来除以 n， 每个数和六的差值有正有负，直接加在一起就抵消了。所以我们取差值的平方，然后再相加，最后除以 n， 就可以看出总体偏离平均值六的程度了。 总体的方差，英语叫做 vrrys， 记住小写希腊字母西哥们的平方方差在开方就是总体的标准差。 我们在之前课程中通过加热顿板演示了正态分布的形成。今天我们再用加热顿板来演示一下如何计算方差和标准差，并引入正态分布的六八九五九九法则。 我们用加热盾板做一次十行钉子，一千零四颗豆子左右，概率随机的实验结果如图所示，呈现正态分布。柱状图的高度数值代表掉入这个槽子中的豆子。那么如何根据柱状图来计算方差呢？ 首先我们要对落入不同槽子中的豆子进行复制，例如选择最高的一个注状图，把落入这个槽子中的每一个豆子复制为 a， 这个槽子左边第一个槽子中的豆子复制为 a 减一， 左边第二个槽子中的豆子复制为 a 减二，以此类推。然后落入 a 槽子，右边第一个槽子的豆子 复制为 a 加一，右边第二个槽子里的豆子复制为 a 加二，以此类推。这样落入每个槽子里的豆子都有了一个数值，我们就可以计算方差了。下面我们用 excel 表来展示这个计算过程。 这一列我们填入每个槽子落入的豆子数量，这和我们的实验结果排列是一致的。这一列我们给每一个豆子复制豆子数量最多的一个槽子复制 a， 然后向上和向下复制，分别减一递减和加一递增。 我们先计算总体一千零四个豆子的平均值六，这需要把所有一千零四个豆子的负值全部相加。例如，这一个草字里有九个豆子，每个豆子复制为 a 减三，那么这个草字里所有的豆子复制相加为九乘以 a 减三等于九乘以 a 减去二十七。 再例如，这个槽子里有六十三个豆子，每个豆子复制为 a 加二，那么这个槽子里所有豆子复制相加为六十三，乘以 a 加二等于六十三，乘以 a 加一百二十六。 我们把每一个槽子的所有豆子的负值相加计算出来，然后再把所有槽子的负值相加，得到一千零四， a 减去一百七十七， 除以一千零四，得到平均值六等于 a 减去零点一七六。这个六就是这次实验正态分布的对称轴的位置，可以看出对称轴比最高柱子三百三十六稍微偏移左边一点点，这个偏移量就是负的零点一七六。 下面我们再计算方差和标准差，这一列是每个豆子与没有的差值，可以看出我们给最高柱子负的值 a 在这里全部消除了。所以说我们给 给豆子复制的具体数值都是无所谓的，有所谓的是设定槽子间隔的数值。本例中设定槽子间隔的数值为一， 这一列我们计算每个豆子与六的差值的平方，这一列我们计算每个槽子中所有豆子差值的平方的和。这里把所有槽子相加，再除以 n 得到方差，这个的平方等于一点三五零四开平方得到标准差，这个码等于一点一六二一。 请注意，本例中我们把柱子间隔设为一才得到这个标准差。假如我们把柱子间隔设为更大或更小， 图出的方差会相应的更大和更小，但是并不影响我们马上要得出的一个结论及六八九五九九法则。下面我们在正在分布图上画几个区间。第一个区间是对 分轴两侧各一个四个码的区间及从六减四个码到六加四个码，数值上为，从 a 减一点三四到 a 加零点九九。 我们想看一下总共一千零四个豆子会有多少个豆子落入这个区间，因为区间端点不是整数，我们在计算落入区间的豆子的数量时做了一个进次及计算图中阴影部分的面积。 柱状图的宽度都是一高度及豆子个数，我们根据区间端点的数值很容易计算出这个阴影面积，如图所示， 那么三部分加起来约等于六百七十个豆子，占总体的百分之六十七左右。下面我们看第二个区间对正轴两侧各两个四个码的区间及从六减二四个码到六加二四个码，数值上为，从 a 减二点五零到 a 加二 点异物。这里面除最右边注册的几部分需要进一次计算，其他注册都是完整的。 我们算出阴影部分的面积为九百五十七颗豆子，占总体的百分之九十五点七左右。最后我们看对称轴往两边三个四个码的区间及从六减三四个码到六加三四个码， 数值上为从 a 减三点六六到 a 加三点三一，我们扔。通过进四计算得出，这个区间总共有九百九十九颗豆子，占总体的百分之九十九点九左右，也就是几乎包括了全部豆子。 我们通过比较得出，在对称轴六左右各一个标准差的范围内，包含了总体大概百分之六十七的豆子。在没有左右各两个标准差的区间内，包含了总体大概百分之九十五点七的豆子。 假如我们扩大到六左右三个标准差的区间内，就包含了百分之九十九几乎全部的豆子。 到现在为止，我们只进行了一次加热盾版实验，上面的结果并不能说明什么，下下面我们再多进行几次实验，看是否能找到规律。 我们再进行一次试行钉子一千颗豆子的实验，结果如图所示，平均值 m 等于 a 加零点五七方差四个马，平方等于一点七零九二，标准差四个马等于一点三零七四。 对阵轴谬左右一个西个门区间内有六百六十六颗豆子，占总体的百分之六十六点六左右两个西个门区间内有九百四十二颗豆子，占总体的百分之九十四点二左右三个西个门区间内有九百九十七颗豆子，占总体的百分之九十九 点七。我们把这两次实验进行对比，发现豆子在三种区间分布比例十分相似。 上面两次实验都是十行钉子一千颗豆子，下面我们再来做两次二十行钉子的实验，如图，这次实验是二十行钉子、一千颗豆子。方差、标准差和三个区间的端点 和落入三个区间的豆子数量都通过 excel 计算出来。我们发现三个区间对应的总体百分比分别是百分之六十六点八、百分之九十五点一和百分之九十九点九。 最后我们再做一次二十行钉子、一千颗豆子的实验，三个区间对应的总体百分比分别是百分之六十七点一、百分之九十五点三和百分之九十九点六。我们把这四个图放在一起比较，这个规律就非常明显了。虽然 是四个不同的正态分布，但只要按照对称轴左右一个标准差、两个标准差、三个标准差的方法去划分区间的话，总体落入各个区间的比例是一致的。下面我们给出数学上的精确描述， 若一个总体服从正态分布，不论其标准差是多少，以对称轴谬为中心。向两边各一个标准差的区间范围内，将会包括整个总体百分之六十八的数据。 向两边各两个标准差的区间范围内，将会包括整个总体百分之九十五的数据。向两边各三个标准差的区间范围内，将会包括整个总体百分之九十九点七的数据。通俗的说，这叫做正态分布的六八九五九九点七法则。 那么这个法则有什么用呢？这个简直不要太有用了，比方说你开了个服装厂，你是厂长，你们服装要出口到美国， 那大码和小码的服装肯定不能生产同样的数量。作为厂长，你学过我前面的几节课。你知道不管哪国人，只要人足够多，身高尺寸肯定都是服从正在分布的。但美国人平均身高没有和别的国家的没有肯定不一样。 你就在美国做了很多次随机抽样，当然男的女的你得分开统计，然后你通过抽样样本估计出了美国人身高的总体均值，没有和标准差四个码有了没有和四个码，就等于说你就可以把身高尺寸的正态缺陷完美的画出来了。 画出来后，你就大胆的按照每个尺寸的数量去生产衣服就行了，不用担心最后哪个尺寸造多了，哪个尺寸造少了。 好，这节课就讲到这里，希望大家通过对正在分布方差、标准差和六八九五九九法则的学习，都可以去创业，开工厂，科学组织生产，然后卖大单，赚大钱。不谢，下节课再见！

朋友们现在分享电梯精讲正台分布三 style 原则，题目是 某班有四十八名同学一次考试后的数学成绩。附中政态分布平均分为八十，标准差为十。理论上在八十分到九十分的人数是多少？ 我们不妨记，这里数学成绩为随机变量 x， 他负从正态分布 八十十的平方。 我们今天要求八十分到九 十分的人数，实际上我们只需先求出八十分到九十分人数占整个班人数的百分比。因此我们就要联想到三 c 干嘛原则。 什么是三 c 干嘛原则？这里左边有一个三 c 干嘛原则的结论，我们不妨结合图像来看一下 这个图像的横轴、正轴分别表示 c 级变量 x 以及 对应的概率。 我们知道正带分布的图像，它是一个 中心图像， 它是一个对称的图像。 这里对称轴，也就是随机期望 x 等于 meo， 我们知道在 g， x 等于 u 政府 一个 c 干嘛 地区域内， 它占比是百分之六十八点二六， 实际上它的面积就是零点六八二六。同时我们知 大距对称轴 x 等于 u 的 二 c 伽马区域， 它这个围乘的面积 占整个面积的百分之九十五点四十。 在距对称轴的三 c 杠码区域 所围成的这个面积是九十九点七十。 在三 c 干嘛区域之外，它占比百分之 零点二六，可以近乎补给 我们。今天结合本题八十到九十分的人数，我们再把图像换一下， 它这里对称轴是 x 等于八十， 它去对称轴一个 c 格码的区域， 这个是九十。 因此八十到九十这个区域占正负 c 格码区域的一半，也就是它这个占比 是百分之六十八点二六的一半， 等于三十四点一三。 因此八十分到九十分的人数是 是 百分之三十四点一三，乘以四十八，约等于十六人。 因此我们 g t 的答案是十六。 我们今天就和本题讲解了什么是正态分布的三 c 感冒原则 啊。从这个三 c 杆原则我们可以看出，在三 c 杆嘛区之内的， 它的占比是百分之九十九点七十。在三 c 干嘛区域之外的 我们占比极小，近乎不及好同学们，我们就讲到这里。

我们看填空题第十三题，已知随机变量 x 服从正态分布 n 二斗 c 格马方。那么这里呢，我们就要想到正态分布的那个中型曲线， 前面的这个二，就是这个中型曲线的对称轴，整个的概率是等于一的，对称轴的左边和右边概率各占零点五。 现在告诉我们， px 大于二小于等于二点五，他的概率是零点三六。我们假设这里是二点五，那么这之间的概率就占了零点三六。 由于整个对称轴的右侧概率是零点五，这一部分是零点三六，那么剩下的呢？ 那一部分也就是 px 大于二点五，他应该等于 px 大于二，减去 px 大于二小于等于二点五， 也就是零点五减去零点三六，计算出来是零点一四。

同学们好，我是来自于北京师范大学附属实验中学的李宁。今天我们来学习正态分布， 请大家考虑已知 x 服从参数为一百零点五的二项分布，你能手工计算出 p x 等于五十的值吗？ 我们知道，如果 x 服从二项分布，那么所对应的概率值 应该是 c n k 乘以 p 的 k 次方，乘以一减 p 的 n 减 k 次方。所以这里 p x 等于五十，就应该等于 c 一百五十乘以零点五的一百次方。 那么大家看这个式子，要想手工计算该值，是一个几乎不可能完成的任务。 由此可以看出，如果 x 服从二项分布，那么 n 角大时直接计算 p x 等于 k 的值是十分困难的。 那么有没有其他的办法能得到上市的近似值呢？我们不妨 先从一个简单具体的例子入手来考虑这个问题。如果 x 服从参数为六二分之一的二项分布， 那么 x 的分布列是这样的， x 的所有可能取值是零一、二三、四、五、六 对应的，我们可以求出他们相应的概率值，如下表所示。 我们还可以用直观图来表示 x 的分布列，请看图。这个图的横坐标是随机变量， x 的取值纵坐 标是其对应的概率值。这里的小矩形宽为一，高为 p， 就是相应的概率值。 从外观上看，这个图形中间高，两边低，而且它是关于 x 等于三对称的， x 等于三有什么特殊的意义吗？注意到， x 服从参数为六二分之一的二项分布， 六乘以二分之一等于三，也就是说，这个三实际上是 x 的数学期望值，也就是均值。我们继续观察这个图形， 刚才老师说了，在这个坐标系中， x 是随机变量 x 的曲值， 而 p 指的是相应的概率值。因为小矩形的宽为一，所以这里每个 k 所对应的矩形的面积就是 x 等于 k 所对应的概率值， 其中 k 取零一二一直到六。另外呢，由分布列的性质，我们可以知道，这里所有矩形的面积之和为一。 事实上，许多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都具有以上的特征。例如， 如果 x 服从参数为五十二分之一的二项分布，那么 x 的分布列可以用图一来表示。 如果 x 服从参数为一百二分之一的二项分布，那它的分布列可以用图二表示。 那么大家通过这些图形来观察发现，如果 n 充分大的话，那么这个图形从外观上看出，他呈现出中间高，两边低的对称的中型的模样。 事实上，函数 five x 所对应的图像称为正态曲线。这个 five x 我们今天是第一次见 接触，看上去表达式似乎非常复杂，实际上呢，它只是一个密的形式。系数是一个分数，分母是 sigma， 根号二派 异为底数，它的指数是负的。二 c 个么方分之 x 减 mu 的平方。 特别要说明的是，这里边的字母我们并不陌生，这里的 mu 等于 e x， 也就是 x 的均值。或者说期望 这里的 sigma， 它等于根号下 d， x 是 x 的标准差，那 sigma 方自然就是方差了。 下边呢，我们根据正态曲线的图形来分析分析他的某些性质。这里呢，老师选取了两种正态曲线的图形， 一个是 new 等于一， sigma 等于二的图形，还有一个是缪等于零， sigma 等于一的图形。大家看这两个正态曲线，他们共同的特点有哪些呢？我们注意到 都是对称图形，中间高两边低，对称轴是 x 等于 mu。 另外呢，大家考虑 sigma 的大小对于这个中型的曲线是否有影响，有 什么影响？根据图形，我们总结正态曲线的性质，第一，正态曲线关于直线 x 等于 mu 对称， 具有中间高两边低的特点。第二，正态曲线与 x 轴所围成的面积为一 三， sigma 决定了曲线的胖瘦， sigma 越大说明标准差方差越大， 那么数据的集中程度就越弱，所以从图形上看就更加的矮胖。实际上之后 和我们前边说这个分布列的直观图特征是一致的。反之，如果说 sigma 越小， 那标准差方差越小的话，数据越集中，所以图形看上去呢，就更加瘦高一些， 可以用计算机算得。有这样的数据，大家看，正态曲线在区间喵喵加 sigma 内所为的面积为零点三四一三， 而在区间 mu 加 segment 到 mu 加二 segment， 这个里边所为的面积约为零点一三五九， 而在区间 mu 加二 segment 到 mu 加三 segment 内所为的面积约为零点零二幺五，如图所示，这说明什么问题呢？ 我们知道这个正态曲线是关于 x 等于 me 对称的，所以在对称区间的面积是一样的。这样的话，我们把这三个数加起来再乘以二，就是区间 me 减三 sigma 到 me 加三 sigm， 经过计算可以知道零点九九七，这就意味着如果 x 不在这个区间之内的概率小于千分之三，几乎是不可 能发生的。在实际生活当中，我们认为那个基本上是不可能发生的事件。 我们应用老师刚才讲的知识来考虑这样一个例题啊，求正态曲线在以下的区间内所为的面积，要求精确到零点零零一。 第一小题，半臂半开区间 mu 到正无穷。我们知道正态曲线它是关于 x 等于 mu 对称的， 而且它和 x 轴所围成的面积为一，因此扭到正无穷这个区间恰好等于一半，所以 所求的面积为零点五。第二小题， 请同学考虑在区间 meal 减 sigma 到 meal 加 sigma 这个区间的面积，那利用对称性可以知道所求的面积应该是 meal 到 meal 加 sigma 这部分面积的二倍。 根据刚才给出的数值，即约为零点三四幺三乘以二等于零点六八二六，根据进四要求， 约等于零点六八三。 我们再来看看第三小题，请同学求正态曲线在区间 mill 减二 segment 到 mill 加二 segment 内的面积。 首先，因为给出的数据是 mue 到 mue 加 sigma 以及 mue 加 sigma 到 mue 加二 sigma， 所以我们只要把这两个数据相加，就可以得到 mue 到 mue 加二 sigma 的面积。 再利用正态曲线的对称性，对称轴是 x 等于 mu， 就可以求得这个对称区间 mu 减二 sigma 到 mu 加二 sigma 的面积了。列出十字 就是零点三四一三，加上零点一三五九，再乘以二，经过计算得到零点九五四四，根据进四要求，约等于零点九五四。 好，那么我们再来看第四小题，请同学求正态曲线在 mu 减三 sigma 到 mu 加三 sigma 这个区间内的面积。 有了前面的经验，我们知道，如果我们将这三个数值相加，就可以得到 mu 到 mu 加三 sigma 的面积，再利用对称性就可以求得所要求的面积了。 所以所求的面积等于零点三四一三加上零点一三五九，再加上零点零二幺五，再乘以二， 经过计算，等于零点九九七四，约为零点九九七。 就是老师刚才提到的，在 mu 减三 sigma 到 mu 加三 sigma 这块面积达到了零点九九七，整个的面积是一，所以在其外的面积不到零点零零三。 在前边的这个基础之上，给出正态分布的定义，他是这样定义的， 如果随机变量 x 落在区间 a 到 b 内的概率总等于 five music 嘛， x 对应的正态曲线 于 x 轴在区间 a 到 b 内围成的面积，则称 x 服从参数为 mu 和 sigma 的正态分布。 它的表示方法是这样的， x 服从大 n music 末方。 再次指出，这里的 mu 是随机变量 x 的平均值或者说期望值，而 segment 是 x 的标准差， sigma 方是 x 的方叉。 由正态曲线的性质以及我们刚才求得的例题可以知道，如果 x 服从参数为 new sigma 的正态分布，那么 x 小于等于 mu 的概率等于 x 大于等于 mu 的概率等于零点五。 因为整个的面积是一，也就是所有的概率值的话是一，那 x 等于 mu 又是对称轴各一半，概率值为零点五。 p x 减 mu 的绝对值小于等于 sigma， 那等 于 p x 大于等于 me 减 sigma 小于等于 me 加 sigm， 约等于百分之六十八点三。 而 x 减 mu 的绝对值小于等于二 sigma 的概率，也就是 x 大于等于 mu 减二 sigma 小于等于 mu 加二 sigma 的概率约等于百分之九十五点四。 最后， x 减 mu 的绝对值小于等于三 sigm， 也就是 x 小于等于 mu 加三 sigm 大于等于 mu 减三 sigm 的概率约等于百分之九十九点七。那么如果不再 这个范围的 x 所对应的概率约为百分之零点三。 现实生活中啊，有很多随机变量都服从或者近似服从正态分布，例如随机误差，同一地区同龄人的身高， 正常条件下生产出来的产品尺寸，同一批灯泡的寿命等等。 下面我们应用刚才学习的知识来解决这样的一个问题， 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为一百七十， 单位是厘米以下，同标准差为十。在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高一不高于一百七十的概率， 所求概率实际上就是身高数值不高于，那就是小于等于一百七十的。 我们设该学生的身高为 x， 那么 x 服从参数为一百七十十的正态分布。 所以根据我们刚才学习的正态分布的性质， x 小于等于一百七十的概率应该是百 分之五十，因为这一百七十恰好是均值。 第二小题，求这个身高在区间一百六到一百八内的概率。我们注意到，这一百六到一百八正好是关于一百七对称的，而均值是一百七十， 而且还有一个参数标准差，他是十，那这一百六等于一百七十减十，一百八等于一百七十加十， 不就恰好是 mu 减 sigm 到 mu 加 sigm 吗？所以 x 大于等于一百六十 小于等于一百八十的概率，就等于 x 减一百七十的绝对值。小于等于十的概率约等于百分之六十八点三。 第三小题请同学求 x 大于等于一百七十小于等于一百八十，以及这个 x 小于等于一百七十的和，就是 x 小于等于一百八十的概率。 根据概率加法公式可以求得。具体的咱们这样操作 由上一问以及正态曲线的对称性可以知道， x 大于等于一百七十小于等于一百八十的概率等于二分之一倍的 x 大于等于一百六十到 x 小于等于一百八十的概率。 上一问已经求得了这个概率值，我们直接带进来便可以算得三十四点一五，百分之三十四点一五。 那么由概率加法公式可以知道， x 小于等于一百八十的概率就等于 x 小于等于一百七十的概率。加上 x 大于等于一百七十小于等于一百八十的概率约等于百分之五十，加上百分之三十四点一 五，等于百分之八十四点一五。 如果参数非常特殊， mu 等于零， sigma 等于一。这样的正态分布，我们把它称作标准正态分布。 如果 x 服从标准正态分布，它是这样表示的， x 服从大 n 零一。对于任意的 a， 通常记 faa 等于 p， x 小于 a， 那么由图形的对称性可以知道， five a 加 five 负 a 等于一。 以下提供了在 a 大于等于零时部分的 f i a 的值， 我们来看看这个表如何来用啊？比如说我们想查 fi 零点二八的值，我们在第一列找到零点二这一行， 在倒数第二列找到八这一列，那么它们交叉的这个数值六幺零三就是 fi 零点二八所对应的零点六幺零三。 已知 x 服从标准正态分布，那么利用上述的 表格求以下的概率值，第一个 p x 小于零点二八，那它就是 fi 零点二八，直接求值就可以了。 第二个求 p x 小于负的零点三六，根据老师刚才介绍的性质，它应该等于一减 five 零点三六，经过查表可以计算零点三五九四。 第三，小题，如果想求 x 大于等于零点一八小于零点五七的概率， 这时候我们要处理一下。怎么处理呢？因为赛 a 总是指的 x 小于 a 的概率，所以我们把它变形成 x 小于零点五七，减去 x 小于零点一八的概率，这样就可以直接查表计算了。经过查表计算， fi 零点五七以及 fi 零点一八得零点一四四三。 下边我们对这节课做一个小结，在这节课里，我们学习了二项分布与正态曲线，曲线的性质与其特点。 第二，我们还学习了正态分布与三 cigm 原则。最后学习的是标准正态分布， 这个作为课后作业布置给大家。好，这节课就上到这里，谢谢同学们，再见！ 同学们好，我是来自于北京师范。

这个视频我们来讲一下正态分布，那么首先我们来梳理一下知识点啊，第一个正态 曲线啊，这叫正太密度曲线，那它是一个函数啊，这个函数的图像，这函数呢，是这样的 啊，这样的函数，那我们如果随机变量，他的概率，他的概率分布，密度函数呢？是这样一个函数的话，我们就说这个随机变量是服从正态分布的 啊，正态分布，我们记住啊， x 服从这个 n， 我们用 n 表示啊， 前面我们二项分布呢，用 b 表示二项分布，那么这个正在分布，我们用 n， n 表示。这个 mill， c 个码的平方啊，这样来表示。这个 mill 呢是 mill 为均值或者数学期望啊， c 个码的平方是方叉 啊，方叉，那什么是标准正态分布呢？标准正态分布， 那么也就是这个随机变量呢，满足这种 n 零一，那么也就是这个正在分布。这个六呢，等于零，那么 c 个码呢，是等于一的 啊，这个是叫标准正态分布啊，我们看一下正态曲线的性质， 正态曲线的性质，那我们画先画一个图啊，我们的符合正态分布，那么正态曲线它是长什么样子呢？ 就是长这样的样子，像一个富士山一样的山包啊，山包他有哪些性质呢？首先第一个啊，这个曲线呢，是位于 x 轴，这是 x 轴的上方的啊，位于 x 轴上方 啊，与 x 轴不相交啊，这是第一个。第二个呢，他是单封的啊，他图像是单封的啊，然后是关于 x 等于六对称的啊，对 成轴是 x 等于六啊，关于 x 等于六是对称的啊，这个六呢，是它是均值。第三个性质，那么就是当 x 等于 miu 的时候 啊，他们取峰值点，也就是取到峰值，这个值呢， x 等于六，那六减六是零了，那么 e 的这个这坨就等于一，那也就是他的峰值呢？嗯，也就是在 x 等于六处啊，达到峰值， 达到峰值，峰值呢，就等于，呃， c 个码乘以根好像二派分之一， 那么第四个性质，那么就是这个富士山啊，这这个曲线和 x 轴的组成的面积是一 啊，他们的面积是一，第四，第五，第五呢，就是当 c 个码一定时，也就是他的标准差异定时，呃，那位置呢？这个曲线的位置是由这个均值六来决定的啊，由六 确定啊，也没有确定，那么随着 mew 的变化呢，是沿着 x 轴移动的啊，平移的，平移的。那么第六个，那就是当 没有确定了啊，没有一定时，那也就是他说对称轴定死了，定死了以后，那这个形状呢？就有曲线的形状，由 c 个码确定啊， c 个码确定，那么怎么来确定呢？那就 是，嗯，第一个，就是当四个码越小的时候啊，越小，那么这个曲线的形状呢？曲线是越 越小，那么这个值，这个峰值越大越高，那么就是越瘦高啊，越瘦高，形状越瘦高，然后 c 个码越大， 那曲线呢？是越矮胖啊，我们叫矮胖， 矮胖，那么他的图像呢？我们画画两条这样的，这样的图像，我们以 xx 六等于零为例啊，那你看啊，这是一个 曲线，那这个曲线呢啊，这个就是 miu 等于零点五的情况啊，那这个曲线， 那这个就是没有等于一的情况，就是没有等于零点五啊，越小的话越瘦高啊，大的啊，没有越大，他反而是越矮胖啊，越矮胖，这， 这是他性质啊，六个性质，那么我们看最后一个知识点呢，就是三四个马原则啊。什么是三四个马原则？ 那我们三四个码原则呢？就是他这个 x 大于等于六，减去 c 个码，然后小于等于六，加上 c 个码呢，这个概率是一定的啊，不管你，你只要是正态分布啊，你这个随机变量符合某个正态分布，那么它的概率是定死的，约等于零点六八二七啊，那 这样一个区间呢？二字二倍的 c 个码，这样的区间， 那他也是概率是定死的，就是约等于零点九五四五， 那么三十一个码啊，没有减去三十一个码啊，然后 x 小于六，加上三十一个码，那么这个区间也是定时的，零点九九，这个概率就比较大了。零点九九七三，哎，我们发现这个， 这个在三 c 个嘛，这个区间以外的，他的概率呢？大概一减就个零点九九七三，就是零点零零二七，这概率非常小啊，所以说我们在在实际应中啊，我们在实际 应用中啊，随机变量，这个 x 是符合正态分布的啊，那我们通常认为 x 只取啊，啊，通常认为啊，我们是通常啊，通常认为，那么 x 只取这个三 c 个码，这个区间就是六，减去三 c 个码到六，加上三 c 个码，这个区间内的 值啊，只取他的值，那剩下的之外的呢？由于概率非常小，那我们不取他啊， 可以忽略不计啊，这只忽略不计，那么这种我们称为三四个马原则啊，这就是三四个马原则啊，这是我们的正态分布的知识点，我们看后面的练习 啊，第一题呢就是，哎，这是标准正态分布，那么 x 的密度，我们把这个 miu 呢？ miu 等于零， c 个码等于一，带到那个我们的这个 fx， 这叫正太。呃，密度这个函数啊，我们来把这个写一下， 这里面 m 是等于零的，你把零带进去，然后 c 个码是等于一的带进去，哎，我们就可以导出来， 还是他就是等于根号，根号二派啊，这个这个函数呢，就是 fx， 那么就等于根号二派分之一，然后 e 的负二分之 x 平方 啊，这个概率呢？这个概率 x 小于等于零，我先把他的图像画一下呗，他的 对称轴是 x 等于零，然后他就是像一个负十三一样的三包啊。 x 小于等于零的概率呢？当然是对称的一半零点五，那这个呢？小于等于一，那么小于等于一，这是负一，这是一 啊，这是一，那么小于等于一，就是在这个区间上呗。啊，在这个区间上，他绝对值小于等于一，在这个区间 这个区间，那我们这个一呢？是就是 m 是零，那么 c 个码是一，这是 m， 加上 c 个码就是一 c 个码的区间，那么这是固定的零点六八二七，这是固定的概率啊，那么小于一呢？ x 小于一，那把这个一左边的所有的都包括进去了啊，包括进去了，那我们可以怎么可以？这是零点五，这全部是零点五，这个对称轴左边的全部是零点五，再加上这一块，这一块怎么算呢？那么就是 刚才计算的零点六八二七除以二呗，那么所以说我们这个是零点五加上零点六八二七除以二就得出来了，最后得出来他的概率呢，是等于零点八 四幺四的啊，那么这个大于一呢？大于一是这部分啊，大于一这这部分的概率，那我就用一减去他行了吗？因为他加他是等于一的，那么得出来是零点一五八六是第一题，我们看第二题 啊，第二题啊，这个随机变量他是等于他的啊，零，呃，这是 miu 是等于零，那个 c 个码是等于二的，这个 miu 等于零， c 个码等于三的，我们要画出他的密度曲线草图，那画一下吧， 那他俩啊，这俩均值是一样，方差，一个 x， 这个方差这个方差小，这个方差大那，那那一个是瘦高的，一个是矮胖的啊，相对 来说他是一个是一个是瘦高啊，一个是矮胖啊，那我就画，再画一个瘦高的 啊，再画一个瘦高的 啊，再画一个瘦高的，那么上面这个就是 x 啊，这上面上面这个下面这个图形呢？是 y 啊，下面这个图形是 y 啊，越小的话越瘦高啊，越小的是瘦高。那么我们这个焦点是我们可以计算出来的啊，计算通过，通过计算器计算出来，大概是二点多，二点多，那我们这个二呢，大概就在这 在里面啊，这二在这，那我们是现在要求的是谁呢？求的是这个 x 小于等于负二和 x 小于等于二，小于等于负二啊，负二是这这边小于等于负二和小于等于二，那么根据对称性啊，我们根据对称性，那么这这边和这边是相等的，那么所以说他俩加起来是等于一的， 那我们这个概率呢？也就是 x 小于等于负二，他的概率加上他是等于一的，那我们就可以等于他就等于一，减去个 p， x 小于等于二，这是他们的关关系啊。我们看这个 p x 的绝对值小于等于一和 p y 的绝对值小于等于一，这两个的区间。这两个的概率啊，这这两个概率是谁大谁小呢？那这个 我们画一下，这是一啊，我们这是负一啊，这是负一，那么这个呢？是一啊，一个是负一，一个是一，那对于 谁的概率大？那谁的面积大，谁的概率大？那显然是上面这个啊， x 这面积比他下面下这外的面积就是这部分啊，这部分面积 x 面积呢？还包括这一部分面积，那么所以说他大于他啊，这是很明显的。 我们看第三题。

当我还是一个科研小白的时候，就因为分析数据忽略了这一点，结果被导师臭骂一顿，那就是数据一定要符合正态分布之后才能进行相机检验之类的分析 正态分布的意思简单来说就是数据的重复性。好，那今天就用 sbox 来教大家三个检验正态分布的方法，干货，记得收藏！ sboss 中我这有两组数据，一组是对照组，另一组是实验组，我想分析他们在处理后的体重是否存在显著性差异，那我首先就要检验他们是否符合正态分布。 第一个方法，点击图形，再点旧对话框，点最下面的直方图，然后将体重导入变量中，打上这个正态曲线的勾，点击确定，结果就出来了， 只要图形是像我这样符合中型的，就说明数据符合正态分布。第二，点击分析，选择描述统计，选择最下面的 qq 图，同样是将其 重导入变量中，右侧选择正态。然后我们发现，如果数据点能够分布在一条直线上，表示数据符合正态分布。第三，同样是在分析中的描述统计中，点击 pp 图，和 qq 图一样的操作， 如果数据点是一条直线，就代表着你的数据符合正态分布，你学会了吗？这里是正在读博的大学长，关注我，带你开心读研！

这做题啊，一定要细心，这叫一念天堂，一念地狱啊。老师，我又秒了一道题，秒了一道题，你别被秒了哈。 你看，还真是，你看我这乌鸦嘴啊！这道题啊，在讨论正态分布阐述的变化。你想到标准化是没有问题的，但正态分布的标准的功是什么样子呢？当 x 服从 mucifa 得到什么呢？ s 减没有除以 c 网，他是服从标准在哪？你看我在强调什么啊？你看这道题，这个 a 是什么呀？这个 a 是 c 网方啊。搜索标准化公式应该怎么写啊？是不是应该是 x 减 a 除以根号才 a？ 他是服从标准。真的 是不是做错了吗？按照这个标准化的故事呢，我们算了之后，这个概率是什么？概率等于 f 零，减去 f 二倍的刚好 a。 然后呢，再根据 fx 的性质， f 零等于二分之一， f， fx 等于一减 fx 可以得到。注意看这个 啊，这个答应是什么呀？应该是随着 a 的增大而增大的。选 a。 完了，五分没了。所以做题啊，一定要细心。这就要一念天堂，一念地狱啊！办公内神，事业超神。