20度三角函数

老铁们大家好啊，今天我们来讲一下三角函数，如果说现场我们 想做一个特殊角度的，我们来说一下怎么去算啊。我们先画一条线， 这个点六十，再画一个直角 三角函数，如果说想做一个二十度的，怎么去找到这个点， 我们用继弹器，这是六十是吧？距离为六十。到这个点想算算一个二十度的 啊，那你就摊进他二十，先按一个二十，然后去摊进他，记住用正的，这是摊进的，按一下 rnd， 然后摊进的， 弹进的零点三六三，然后再乘乘多少乘六十。 二十一点八啊，二十一点八三 啊。我这个不清楚啊，尺子啊，从一开始吧，从这个一公分开始，二十一点 八三，就是将近二十二了，二点八三。然后这个点连接起来，这个角度他就是二十度 啊，二十度我们就可以连一下，拿连角器，正好这条线正好是二十度啊，这就是二十度这个角。如果找的这就是利用三角函数了，这个是二十二十一点八三， 我们来算一下这个是不是二十度。用手机，这是苹果手机啊。这个算的时候就跟安卓的不一样了，我们先 二十一点八三，二十一点八三，二一点八三，他除他 除六十等于多少？零点三六三，再按一下，反正切把这个 r n d 我们按一下，然后反正切弹进它负的 十九点九九，十九点九九，就是二十度就算出来了啊。这种手机跟安卓的不怎么一样啊。所以说一定要知道他是怎么去算的，像学习管控的可以学习啊。

今天我们来讲一下三角函数任意角度，任意角怎么去计算？我们先画一个，画一条直线吧， 从从这开始画啊，画一个五公分的直线，五十五十毫米， 再画一个直角，嗯，直角画的时候这个线九十的，这个直线和这根直线对直，画一条线，这个就是九十度，九十度，知道了， 我们来搞一个二十度的角度，如何去找到这个点，就是这个点在哪， 画到哪个地方是二十度。计算一下潘金的正确二十括号，然后乘上五十，乘乘五十 等于一十八点，一八点一九等于十八吧， 十八 他就是一个二十度的，就这个角二十度可以按一下， 那正好是二十度，指的是二十这个地方，二十度的这个角是二十度，算 的时候呢？这个是十八点一算的时候呢？归零算二十度的话就要用反正切了 第二功能，反正切十八点一，一八点一，除，除以除五是五，零等于一十九等于十九点九就是二十度，他就是二十度的，这就是三角函数的画法以及 计算，就这么计算的。在学习广告的双击加关注啊。

今天我们要学习的是三角函数的定义。很多同学在学习三角函数的时候，脑袋里总会有这么一个问题，为什么要学习三角函数？ 其实三角函数的作用呢，是沟通了代数和几何，说白了就是他研究的是边长和角度的关系。生活中只要涉及角度和距离的问题，都要用到三角函数，例如铺设电缆或者楼间距的计算，或者呢是救生员营救等问题，都和三角函数相关。 初中呢，我们也学习过三角函数，当时呢是放在锐角、直角三角形中的，这里边有三条边，对边、零边、斜边。 我们在计算三 f 的时候，是对边比上斜边，可算 f 是零边比上斜边，他用的 f 呢，就是对边比上零边。这是初中的 三角函数的定义。高中讲的三角函数是在初中的基础之上进行了扩展。第一个不同呢，就是角度定义的不同。 高中讲的任意角是转出来的，在直角坐标系中，以 x 轴的非负半周为开始的一个边来，然后拿着这个边开始转，如果往上转的话，他转过的角度呢，我们可以给他系为正的，也就正阿发。 如果往下转，他就是一个负的，往下边呢，他就是一个负阿法，这是第一个不同。现在要计算三阿法，考三阿法，他现在阿法。结合初中奖的定义，我们需要构造一个锐角之角三角形。 在直角坐标系中，我们拿着这个中边上随便找一个点 p， 点 p 的坐标呢，即有 x 斗外要构造锐角直角三角形的话，我们过点 p 呢，做 x 轴的垂线，垂 足迹为点 m， 那这里边在三角形 pom 中，那 pm 的长呢？他就是 y， om 的长呢，就等于 xop 的长呢？我们可以利用勾股定理，他就是根号下 x 方加外方， 那在这个锐角直角三角形里面，我们算三阿发，他就是对边比上斜边就等于外除以根号下 x 方加外放考三阿发呢，他就等于零边比上斜边就是 x， 除以根号下 x 方加外放， 他的 r 法就是对边比上连边，也就是外出 x。 这就是高中奖的三角函数的定义。 刚刚画的角度是第一象限的构造，锐角直角三角形的画很容易，那现在呢，我们把中边画在第二象线，看看他的三角函数该怎么计算。这里边 这是他的中边，那他转过的角度呢？这个角呢，我们可以给他系为杯，他在这上面呢，随便找一个点劈，点劈的坐标呢？是 x 斗外，还是用刚刚的那个公式在算扇背他的时候呢，就等于外出一根啊，下 x 方加外放 科三贝塔 x 除以更换下 x 方加外方，他用的贝塔等于外除以 x。 那这样来看，其实这个角度，他构造的直角三角形应该是我们这个紫色的这一部分。但是细心的同学呢，会发现一个这么一个问题， 这样来看，我们再算这个散贝塔可算贝塔 tent 的贝塔的时候，跟我们这个散阿法可散阿法 tenth 好像差不多，但是呢，这两个角度很明显是不一样的，为什么感觉算出来的三角函数会一样呢？其实这两个角度的三角函数是不一样的，因为不同象限的 坐标首正负的。再举一个具体的例子，我们可以来看下边这两个角度，我们先来看这个锐角， 如果是我从这个开始的这个边一直转到了这个边上这个角度呢，我们可以给他系为 f， 在这中边上呢，我找了一个点 p， 点 p 的坐标呢是一斗一。我们在计算三 f 的时候呢，那就是外除以根号下 x 万加外方化解一下就二分之，根号二 考三 f 呢， x 除以更换一下 x 方加 v 还是二分之更好？二胎心的 f， y 除以 x， 一除以一呢，最后最终的结果呢，就等于一只算这个角度他的三角函数。那现在呢，我们如果 这个中边转到了第二厢线，那他转过的这个角度呢？这个就是阿法。在计算，算阿法的时候，我们还是拿着刚刚那个公式来比较一下右边这三个值，还有左边这三个值， 他们的正负号是由些许的不同的。总结一下，高中讲的三角函数与初中的第二个不同的地方就是三角函数是用坐标来表示的，根据角的中边所落在的不同象线算口算，他现在的直是有正负之分的。 那我们现在呢，再来看刚刚的那个公式，三 f 呢，是等于外出一根号下 x， 三加外方这个分母有一个根号，根号肯定是一个正直，所以我们这个三 f， 他的正负呢，就跟我们这个分子 y 是相关的。考三 f， 他的正负呢是跟 x 是相关的。胎音的 f 的正负呢，就是跟 x 跟 y 的比值相关。 x 跟 y 他们两个如果是同号的话，对应的胎音的阿发就是一个正直，如果他们两个 e 号对应的胎音的阿发呢，就是一个副直，那根据这个规律 我们就可以判断，如果脚他落在了不同的象线，对应的他们的三角函数的正负三 f 看的是外直，第一第二象线的外直呢，是正的，第三第四象线的外直呢，是负的。所以第一第二象线的三 f 呢，他是正的， 第三第四项线的三 f 呢，是负的。考三 f 呢，看的是 x 值在第一，还有第四项线考三呢，他都是一个正的，第二还有第三项线考三呢，他是一个负的。再来看这个 ten 的 rf 胎音的 f， 他的正负呢，是跟 x 跟 y 这两个 到底是同号还是一号相关，他们两个同号也就是在一三项线，他们两个同号对应的这个胎纳阿房的就是一个正的。在二四象线 x 跟 y 的是一号的，所以胎纳阿房呢，是一个 副持。只要理解了这个推导过程，正负号的判断应该不难吧。三角函数还有很多其他的公式，我们接下来会慢慢讲。公式虽然多，但只要理解了其中的逻辑关系，记住这些公式就不是难事。那今天的分享就到这里啦。

很多同学都不明白三角函数啊，什么叫赛音，什么叫口赛音，什么叫弹进它，什么叫口弹进它？完全搞不明白，只知道背啊。对边比林边，林边比斜边，斜边比什么啊，有太多太复杂了，根本记不清楚，而且就算记青也容易记混。那我来教你一遍，看仔细。 所有的这些三角函数啊，都源于一个东西，叫做单位圆。好，我们在单位圆里呢画一个角，哎， 这个角就是 alpha。 我们这边是 a， 这边是 b， 这边是 c 啊，我们假设是这个样子，那什么叫 say 呢？ 记不住没有关系，我们要形象一点啊，稍微形象一点记，不要找那些特别学术的东西。什么叫做赛亚阿尔法？就是你就站在阿尔法这个位置，你先能看到的是谁呀？你先能看到的是不是你对面 一条边？那比上谁呢？比上你脑袋上这条边，也就是 a， 比上 c， 这就叫塞尔法，你站在这看到的比上抬头的这个 啊，当然并不是说纯粹抬头啊，而是说这样斜边，因为这两条叫直角边，这是个直角，这条叫斜边。那口无塞牙阿尔法是什么东西呢？口无塞牙阿尔法跟他是一对那，但是一对也跟他有所不同，而是他旁边这条边，比上脑袋上这条，也就是 b 比上 这俩一对。那还有一对叫弹进的阿尔法，是个什么鬼呢？弹进的阿尔法呀，跟脑袋上这条斜边没有关系了，跟天花板没有关系，就对面的 和脚底下这一点好了。那弹进他，很显然你猜是对面比脚底还脚底比对面啊，肯定一进屋先看的是对面这堵墙，所以 a 比上 b， 对面的比上脚底下这个，那头弹进的阿尔法跟他是一对， 脚底下的比上眼睛前面能看着的。这个好，我们随便举一个例子啊，假设就拿晒二晒三十度来举个例子吧。 好，来看，我们在这个位置画一个三十度的角，那这边是一，这边是二，这边是根号三，这是啊， 基本的一些知识。好了，那他的 sign 三十度等于多少呢？ sign 三十一进屋，我站在这， sign 三十是对面的笔上天花板的这个，所以是 二。当然其实啊，严格点说叫做对边比上斜边好了，那口散三十度呢？口散三十度跟他是一对，但又跟他不一样，所以是你站在这 脚底下这条直角边比上天花板，这条斜边也就是根号三比上二，那弹进的三十度呢？弹进的三十度跟鞋的这个天花板还有关系吗？没关系了，谁比谁一比上根号三，是对面这堵墙比上脚底下这个，所以画， 哎，画一下点成刚好。三比三，那口弹进他三十度，口弹进他三十度不考啊，但是他俩是一对的关系， 眼睛前的比上脚下的已经比过了，那头弹进去呢，就反过来灯号三比上一，说白了就等于灯号三好了。现在你会三角函数了吗？

之前讲的我们说的锐角，那中边是落在第一象限的，如果是其他角呢？比如说我们钝角其他超过一百八十度角，比如说这个中边落在第一象限的时候，中边落在第一象限，那焦点为这里，那我们把这个点的坐标射出来 s 一还有 y 一 下来这条线，然后做垂直，这个刚好是 y 一，这个刚好为 s 一，那就跟我们锐角三角函数一样，去求了这个阿法角。那如 如果是这个时候呢？你看一下他是一个钝角，钝角的话，我们是做不了直角三角形的，这个时候怎么办呢？在下线里面，我们把这个钝角所对应的这个直角三角形，就作为我们要求的三角函数的三角形。 这里我们设他为 s 二， y 二对应的边，那这个就刚好是 y 二，这个边刚好是 s 二，他的 三角函数就跟这个对应的边，然后进行比就可以了。比如说这个角，这个时候我们做指甲三角形，就是一这个点引垂线好做出这个三角形，比如说是这个 y s 三跟 y 三这个边对应的就是 y 三，这个边对应的就是 s 三，那我 我们的三角函数就以 y 三、 s 三去表达，实际上这个角的三角函数就变成他所对应的这个锐角的三角函数。看一下 第四镶嵌，第一次镶嵌角其实也一样的，第一次镶嵌角是这个角，然后这个角所对应的这叫三角形，就从这里好，这里设定为 s 四啊， y 四隐 垂线得到这个边为 y 四，这个边为 s 四，这个时候我们就可以用 y 四跟 s 四去表达他的三角函数了。那我们来回顾刚才看到的那对应的三角函数，直接就是算阿法会等于 y 一，然后扣散阿法对应的就是 s 一，然后喷卷阿法对应的就是 y 一，比上 s 一，因为这个角刚好是在第一镶线里面的，对应的 s 一、 y 一，他都是正的。好说散阿法是正直，扣散阿法也是正直 阿法是正的，比上正的，得到的是正的值。第二象限的角，那三阿法依旧对应的是什么？ y 二，然后抠散阿法对应的是 s 二，然后摊位阿法对应的是 y 二，比上 s 二， 因为 y 二在第二项线，那这个值是正的，也就是算阿法，它是一个正值，然后 s 二对应的是负值。好，所以扩散阿法是为负的。判决阿法是 y 二比 s 二，那是正的，比较负的，得到的也是负的，所以在第二项线，散阿法 是正值，扣三阿法是复制贪句阿法也是复制第三，相信角也是一样的，那我们三阿法就等于 y 三，扣三阿法就等于 x 三贪君阿法就等于 y 三，比三 s 三，第三 相信的角对应的 y 值，它是负的，对应的 s 三也是负的，负的比上负的，那得到就是正的好。所以第三象限对应的三二法是负值，后三二法是负值，然后摊卷二法是正值。第四项也是这样分析的，我们散阿法就等于 y 四， o 赛阿法就等于 s 四，然后摊军阿法就等于 y 四，比上 s 四，第四象限我们对应的 y 值也是负的，那对应的 s 值是正的，对应的 y b s， 那就是负的，比上正的，那就很 会得到负的。所以我们中间落在第四象限的角的三角函数，对应的三指是负的，扣三指是正的，三指指也是负的。比如说我们随便举个例子，假如我们要得到一个角两百三十度，一看这个角就是在什么。在第三象限，那 对应的坐标就是分别为负的好，说对应的正弦值是负的，于先知也是负的好。然后正确值就是负比负，他就是正的好，马上就得到了对应的三角函数。比如说他说单举二百三十度的符号，马上就是负比负，他就是正的，马上就出来了。

大家好，今天我就来讲一下三角函数的定义，其实就是这个三角函数线更加容易理解，咱们来看一下。首先是三角函数定义，相信大家已经非常清楚了，那教材上对于三角函数的定义是怎么说的呢？是这么说的， 在直角坐标系中，假设 r 可是一个任意角，然后 r 和中边上任意点，这个点 p 的话，我们可以画一个什么？画一个圆，但这个圆的话，圆形必须在圆点处啊，其实这个 op 的长度就是 r 了，可以这样来写， 然后呢，他跟远点的距离，这不就是半径吗？那么接下来我们就可以定义三角函数了。初中对于三角函数正前于前，正题的定义是画在一个什么？画在一个直角三角形里头的，比如说 ab， 斜边是 c， 然后这个 r 呢？啊，三 r 就等于这个对边比上斜边，他是这样来定义，包括这个余钱和正确。 但是到了高中以后，我们发现这个 rf 不可能永远是个锐角吧？是不是你可以是任意角，可以是钝角、平角、周角，任何一个角都有可能，甚至有可能是负角，那这种情况下定义就变了，这才是严谨的三角函数的定义。首先说这个正弦，这个 f 的正弦值，它等于什么？ 等于点屁的纵坐标，比上 o p 的长度啊，实际上就是比上半径。那么其实咱们写出来就是谁啊？就是这个纵坐标，注意啊，他指的是点屁的这个纵坐标在这呢，然后再比上这个半径，你写上这个 o p 的长度，其实也可以， 那口算的话等于什么？那口算的话，他当然就等于点屁的横坐标在比上这样一个半径了，我们写上 o p 也行，因为 o p 本来就是个半径嘛。那正切呢？正切，正切。他的定义是这样说的，摊着拿阿尔法， 他等于什么？等于点屁处的纵坐标在笔上横坐标就这样一个定义。那么根据这些定义的话，咱们可以得出一些有意思的结论来， 比如说根据三角函数的定义，我们可以得出这个中边啊，就是阿尔法这个任意角啊，他在任意不同的象限呢，所对应的三角函数的正负。那其实看这个图就能看出来，这个下边的话，我们其实最好写上阿尔法，他写的是 x， 其实也行吧， 好比如说怎么理解这个图呢？先看摊子呢，那就先看摊子呢，如果说这个中边 rf 的中边在第几项线？在第三项线， 在这个点屁的横坐标和纵坐标是不是都是什么？都是附点贪震他阿尔法等于点屁的纵坐标外比上横坐标 x， 我们发现第三项线 x 额外都是负号吧，负数比负数，他当然大于零，大于零，所以第三向前嚼，我们最终呢摊着的就写了一个什么，就写了一个正好，就这么来理解。那比如说怎么理解这个三按呢？三按也好说，如果你这个 rf 是第四向前嚼你这个点屁的话，也是在第四向前 xy， 显然根据三角函数正弦的定义，它是等于点屁的纵坐标，再比上半吊耳半， 肯定是个正数，不用多说了，这个 y 是什么？这个 y 是一个复数啊，所以最终他小小于零。 所以说如果你这个 rf 是第四向前叫，那就是负。好，包括呀，你这个 rf 如果是第三向前叫，实际上这个三人指也是负的，这就不用多说了吧。其实详细补充出来的话，我们也可以发现，如果你这个 rf， 他的中边在哪， 他的中边就在 x 轴上，我们发现这个点屁，他的横坐标不用多说，纵坐标就是零吧。也就是说，其实我们这个 x 轴上， 准确的说应该标一个零的，这个能知道吧？那如果外轴上的话，你自己研究一下，这就是一了，准确来说应该这样来，那 再继续来说的话，那还是一零。这个口三这个一零怎么理解？我举一个例子吧，比如说你这个阿尔法啊，阿尔法他的中边是在 x 的什么轴上， x 的非正版轴上，此时点 p 的话，横坐标就不多说，纵坐标的话肯定是零，对吧？ 根据口算的定义，它是等于点 p 的横坐标在笔上这样的 o p 的长度的。那显然因为点 p 是在副板轴上，所以 x 其实此是恰好等于负的， o p 的长度，最后等于负一。严格来说，如果你想标权这一个图 图的话，咱应该在副板轴上写一个副仪，是不是包括这个三案，这个位置也是个副仪，这就不要全了。也就是说，对于三案来说，你这个 rf， 他的中边在外周副半轴上，那你这个值就是副仪。如果在外周正版轴上，那就正义一位，这就不要全了。 那再继续，咱来做一道题。这道题什么意思啊？他就是说这个 cat 是第几向线角的时候，这个三和口三他是同号的，同号要么就同正，要么就同负呗。其实我们看这个图就可以了， 你想啊，现在的话，大家可以看出来吧，这个三的话，它不就是点屁的纵阻表比上 r， 这个口散的话，不就是点屁的横坐标比上 r， 因为两个 r 是正数，你大于零，完全等价于什么？完全等价于 i x y 大于零，也就是点屁的横坐标。纵坐标要么同正，要么同负。你肯定 rv 要么是第一项弦，要么是第三项弦角嘛。 此时点屁是不是同复了我画的这样一个点屁 x 和 y。 所以呢，我们横向应该写第一或者第三项线，这答案就出来了，很简单，看定义就行。那么第二题的话，他是这么说的， 已知经过点，你把这个点写成点屁，马上就出结果了。显然我们先算一下半径吧，半径就是圆点和点屁的距离啊，根据两点之间距离公式，咱直接算，他正好是等于一的。 所以说你说这个三 s c 的等于什么？他等于重坐标二分之一，点屁的重坐标啊，在比上半减一，他就是二分之一啊，包括这个口三按的话，那是不是就负二分之 根号三？那这个摊子呢？我们写一下吧，摊子呢， c 的是等于点批的重坐标二分之一，再比上横坐标负的二分之根号三的经过整理之后，就是负的三分之根号三。第三个横向写这个就行了。 最后我们对一下答案，果然是对的，一定要掌握三角函数的定义，正前余弦还有正切。那接下来我们想过你这道题，有没有想过这样一个问题啊，如果我这个半径正好等于一的话， 我这个横坐标就是扣三，我这个纵坐标他就是三。哎呦，那有趣啊，那我这个贪正的 c， 他不就正好得出来他永远等于三，比上扣三吗？ 所以半径等于一还是挺有用的。那接下来我们就让他这个半径等于一嘛，在三角函数的定义中，是不是有一个圆心在圆脸处的 圆呀？刚才这个半径是任意的，现在我们让这个圆的半径就变成一，他就变成什么圆了？变成单位圆了，就是半径等于一的圆。那接下来好表示了吧。现在呢， 我们过这个点屁，点屁这个 x y 的话，你标就标，不表也没问题，咱过点屁，做 x 轴的垂线，垂足是点 a， 然后点 b 的坐标。一定要注意好了，点 b 的坐标他永远就是那个单位员跟 x 正半轴的焦点一号零。 然后我们过点臂呢，再做一条垂线，他跟中边这条射线啊，交于点 q， 就这样一个图，注意这俩位置呢，都是垂直的。那做完这些辅助线之后的话，我们就先来看这个括号一啥意思啊？为什么你这个三他就正好等于 ap 呢？你看点 p 的动作， 你说懂不懂？ a p 啊，他就等于 a p 啊， a p 比上半径半径等于一嘛，你比上一不就得这个结果。 但是呢，他后边为什么说当这个 ap 方向向下的时候，这个三按就变成负数了？也好说，那索性咱们就画一个第几项眼角啊，画一个第三象线角吧，咱们聊一下这个 bate。 嗯，看我画的这个红色的点屁啊， 这个红色的点屁的话，你看我们过点屁是不是应该做一个垂足，做一个垂直，此时 ap 方向，我画的这个 ap 方向他是不是向下呀？ 请你直接告诉我，三按杯他是正的还是负的？那肯定是负的啊，那此时三按杯他，他等于负的多少呢？等于负的，那不就正好是 ap 的值，实际上呢，就是点 p 的纵坐标就是 负的 ap 的值，然后再比上半径等于一，半径等于一的话，咱们直接写负的 ap 就行，是不是就符合这个结论了？那后边的话都是一个道理，俩口 口算的绝对值就等于 oa， 当这个 oa 什么 oa 向右的时候呢？他这个口算就是正的，正的 oa。 如果说，比如哈，我来了一个 bade， 来了个 bade， 这个是我画的点 p， 这个是新的点 a， 那此时我画的这个 oa 他是不是向左的呀？向左的话，请你告诉我，此时这个口算碑他是正的还是负的？因为 ov 向左，所以口算为负数，那 扣三的值等于多少，它就等于负的 oa 的绝对值好，也就是 oa 的长度。现在应该懂这个意思了吧，那么再继续往后那摊着呢呢。最后 最后一个不好理解我们呀，画一个第二向前角，还是看这个杯的好吧，这个杯他的话一定要注意，此时并不是在负一多少零这个位置呢，我们画一个不是他应该反向延长这样的 pu， 红色的 pu， 然后呢，跟过点臂这条垂线，看我画的这个点 q 啊， 也就是说这种情况下，我们观察一下这个 pq 在这呢啊， bqbq 是不是向下了？那此时你告诉我这个贪婪的 batt 是正的还是副的吗？第二是象线点屁横坐标纵坐标一号，所以肯定是复数。 那摊着的杯子小于零，那摊着的杯子的值等于多少？摊着的杯子的值，他肯定等于这个 bq。 有同学说，老师，我不知道为什么一定等于这个 bq 呢？好说呀，原始定义里头，咱们就看图中这个 r 吧，他是不是等于点屁的 纵坐标比上横坐标，此时你这个纵坐标就是多少。哎，此时你这个纵坐标实际上就是 ap 的值嘛， 坐标的话就是 oa 的值。我们发现这个三角形，谁三角形 oap， 那肯定是相似于三角形 obq 的，这个好处根据平行的得出来了， 那箱子的话， a p 你看啊， a p b 上 o a 不就等于 b q b 上 o b o b 是几？ o b 是一呀， 所以你看它的值等不等于 bq 的长度。等于啊，当 bq 向上的时候，摊着拿阿尔法就是正数。当 bq 这个线段向下的时候，摊着拿阿尔法，一定要加一个负号， 理解了吧？这个就是三角函数线，三角函数线有一个大前提啊，他这个圆的半径必须恰好等于一，那么这个三角函数线有什么好处呢 呢？马上你就知道了，我们来做第一题。第一题这么说啊，当这个 r 和为锐角的时候，我们求证这个不等式，它红成立。为什么呢？你画一个单位圆吗？利用三角函数线了啊。 显然，如果我连接图中的 bp 的话，一定有什么，你直接看都能看出来，这个三角形谁的面积最小啊，这个三角形 obp 面积他肯定是小于谁小于这样一个扇形啊，哪个扇形呢？我就直接写上了扇形 obp， 这个没问题吧？然后扇形 o、 b、 p 呢？它的面积呢？肯定有小于这个三角形 o、 b、 q 的面积，那现在这个面积跟这个三角函数包括这个 r 和有什么联系？那我们写了，你看嘛，这个三 r 我们左边 是不是等于二分之一？谁乘谁啊？二分之一 ob 的长度以 ob 为底，你这个高是不是就是 ap？ 根据三角函数线，你这个 ap 向上， ap 的值不就是那个三吗？同学们，所以我们为什么不写成三 f 呢？行，直接写成三 f， 包括这个 ob 等于几？ ob 他等于一啊。同学们， ob 的长度是半径一，那我们就直接写这个二分之一多少了？二分之一三 r 不就行了？包括这个扇形 扇形面积怎么求来着？它等于弧长成半径嘛，你这个半径就是一，我就不多说了啊，你说这个弧长是多少？ 胡长？胡长，别忘了我们高中对于任意角的定义，他是怎么定义的啊？他是等于这个 bp 的胡长，再比上半径吧，这个半径正好等于一，是 就是 bp 这个胡长，那我们写这个 bp 的胡长不就行了吗？啊？ bp 胡长？ bp 的胡长实际就是谁？哎， 刚才咱已经说了， bb 的胡长其实就是这个 r 和因为是正数，我们直接去掉绝对号是没有问题的， 也就是说 bb 的胡长啊，直接写成了 rf 了，然后再干嘛？最后一部分？最后一部分的话，我肯定是希望以 ob 为底，对吧？然后以谁为高？以这个 bq 为高？我们先看啊， bqbq 在第一向前，他实际上就是摊着那 f 的值， ob 不就是半径一吗？那么最后一整理，其实第三部分他就是二分之一，贪着呢， r 分，你每一部分在乘个二倍，所以最终就得出来三， r 和小鱼， r 和小鱼摊着呢， r 分，你说三角函数线有没有用，大有 用处，我跟同学们说一下，到了高等数学里头，嘉宾定理也会学这个东西的，那往后看吧。还有 请大家求一下，人家可没有规定。注意第二题，人家这个 rf 是任意教啊，这个 rf 可正可负可为零。现在呢，让你求 r 中边的范围，这个时候我们必须画一个什么呢？画一个图才能理解吧。 点屁是什么呀？点屁的坐标，我们一开始是不是标的就是 x 的话， y 啊，横坐标总，哎，对了，如果我这个是单位员的话，如果我是单位员的话，那不就意味着三 f， 他实际上就是点屁的纵坐标，比上半径一，这样就是 y 啊，注意，这个 y 是点屁的纵坐标。 然后同理啊，这口子按阿尔法就是点屁的横坐标吧，我们只需要让点屁的坐 动作标大于横坐标。哎，你找一个临界值嘛， y 等于 x， y 等于 x， 这条线它是四十五度倾斜的吧， 那向上的话，这个位置是多少？其实就是一个四分之派，那向下的话，相当于赚了四分之五派，这个度数的话，肯定是没有问题，但是因为是任意角， 实际上你这条线往上的部分不都是 y 大于 x 的部分吗？所以你说阴影部分，也就是说我这个半圆啊，只考虑这条直线 y 等于 x 以上的部分，那你说往下应该怎么写阴影部分这样一个中边的范围呢？或者说我先写一个四分之派 小于阿尔法，然后又小于什么？然后又小于四分之五派，这个肯定是没有任何问题的。但是权了吗？没有权，因为阿尔法是任意教。我们是不是应该体现出 k 倍的三 百六十度，也就是二 k 派了呀？二 k 派加上他，再来一个二 k 派加上他，这个就可以了。因为解急解急，我们需要写成集合的形式，所以最终的话写成这样一个集合就行了。 但是别忘了，最后一定要写可以是整数啊，可以是正整数，可以是负整数，也可以是零。然后呢？这个第二题就解完了。 你说单位员这三角函数线有没有用？大有用处？一定要记住三角函数线。以后我希望大家用三角函数线来理解三角函数的定义，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨班老师，下集和再见！

手指法，秒记三角函数，让你一辈子都忘不掉！三人三十度往下数一根手指写一，三人四十五度往下数两根手指写二， 三于六十度往下数一，二，三，三根手指写三口三于三十度往上数三根手指 口深四十五度往上数两根手指 扣三，六十度往上数一根手指， 是不是非常简单？

每天一道数学题看一个啊，这个上面还是直立运算。考三十五度减去三十五度，比上考三十五度加上三十五度。这种怎么做这种呢？其实有两种方法。其实有三种方法啊，第一种方法就是 分别把这扣三十五度，还有三十五度求出来对吧，把书带进去就可以了。然后第二种方法呢，就是括号，整体平方，再开根号。咱们说我重点说第三种方法啊，也是比较简单的， 这是个分子分母对吧，让分子分母同时乘以。我那写一下啊，靠三十五度减去三十五度， 下边是超赛十五度加上赛十五度，括起来啊，分别乘以啊，乘以 上下都乘一个高三十五度加上三十五度，你就知道为什么了啊。咱们先写高三十五度加上三十五度，拖起来。下边也是啊，分别乘以。他是连上了 高三十五度加上三十五度。然后化解一下就知道了啊。 相当于是 a 减 b， 乘以 a 加 b， 是不是等于 a 方减 b 方，就等于 cos 十五的平方减去 c 考赛房的十五度啊，减去赛房十五度就等于。上边我再写一下吧，等于考赛房十五度减去赛房十五度，这能看懂吧。然后比上下边的是 相对 a a 加 b， 乘以 a 加 b， 就等于 a 方加 b 方加上二 a b 就等于。我写一下啊，下边就等于分组就等于抛赛方十五度加上赛方十五度加上二倍的赛十五度。 写的字不好看不好看了。考赛十五度啊。就等于。再化解一下，上面考赛方十五度，减赛方十五度就等于考赛三十度， 这个知道吧，二倍角公式吧。下边呢，靠伞放十五度，加塞放十五度就等于一，然后再加上二倍的塞十五度，靠塞十五度就等于塞三十度啊，到这就会做了吧。靠伞三十度是吧，三十度就会 过了啊，三十五度你可能不会。靠三十度就等于二分之跟二三比上一加上三，三十度等于二分之一，一加二分之一等于二分之三对吧。比上二分之三就等于二，一小等于三分之 根号三啊，答案就是三分之根号三。我觉得这种方法还是比较简单的啊。嗯，这三种方法你都可以自己试一下，看看答案是不是一样啊。听懂的点个赞。同时呢，我们也开发了一套咱们博学堂的一道题库啊，上万道题 啊。然后呢，数学语文加上职业测试上面都有啊，比较适合咱们在家自选啊。后期呢，就得疯狂的刷题啊，有想了解的评论区找我。

同学们好，这节课我们学习的是三角函数的概念，看这个概念之前，我们先看一下啊，在初中里，我们已经学过锐角的三角函数， 只不过是在学锐角的三角函数值的时候，我们是给定了一个直角三角形，直角三角形，两个直角边分别是 ab， 斜边为 c， 那么三阿拉法等于 bbc， 也就是 对边比上斜边，然后扣三阿拉法，他是 c 分之 a， 这个是零边比斜边，那么太难了， 法是 a 分之 b， 这是啥？这就是对边比零边背，这是初中我们所学过锐角它三角函数的概念。 那么在高中阶段，我们已经把角的范围从锐角扩展到了任意角，那么如果是个钝角，你显然阿拉伯，如果是个钝角，你显然就不能构成锐角塞就行了。这个时候他的正穴一旋，正斜直，我们怎么研究呢？ 看下边的内容啊，就是首先啊，比如说给这个圆，你注意下这这个 a 点，他标示的坐标是一零，也就是欧 a 的长度是个一八。像这样的啊，我们给一个单位圆的概念， 什么叫单位圆？也就是这个圆的半径饵等于一个单位长度，这个一个单位长度可以是我们要一厘米，一米包括一分米都行， 只要是他的半径是一个单位长度，那么这样的圆就叫单位圆。你看啊，给了单位圆之后，第一，当阿拉法等于六分之派，也就是三十度，是吧，此时屁一点的坐标是啥？ 阿拉法等于三十六啊。阿拉法等于三十度时，按照我们的原则，取坐标圆点为角的顶点， x 轴， a 角的使边，那么逆时针旋转三十度，就得到三十度的角，大概啊，旋转之后 大概是这么一个位置，这个位置我就说在这个图形中，那么角的中边与单位的交点是 p， 然后这个你发现，只要角的中边给定，那么这个 角的中边，哎，只要角的大小给定，角的中边与单位的交点是确定了，而且确定的，这个屁点他的横纵坐标也可以写出来吧。我们求一下怎么写啊？你看， 就是这个时候，很显然，我们可以过屁点做 x 的垂线，假设垂足是 m， 因为这个角是三十度。然后我们说在这个直角三角形中，斜边 op 是个一，所以三十度角所对的边长是斜边的一半， 那么 mp 的长度他对应的应该是这个横纵做高中的纵作标吧，就是 mp 的长度是二分之一，也意味着屁点他的纵坐标就是二 二分之一了。然后斜边是个一，一个直角边是二分之一，那么 om 的长度就是另外一个直角边有固固定理，你会发现他就应该是一个二分之根号三了吧，对吧？二分之三， 这是一个，这是一个。之后，那么后边又给了一个。当阿拉法等二分之派或者三分之二派时呢？我们明确一下， 只要角的中边给定了，那么这个角与单位圆的角的中边与单位的交点显然给定了，比如说阿拉法等于二分之派，显然这个角是九十 九十度的话，那么角的中边应该露在外轴上与单位面的焦点。此时这个啊，刚才说出 p 一，这个其实就是一个 p 二， p 二，他的点坐标就应该是零一这个点了，对吧？那么三分之二派史呢？还能发现不了吗？假如说就是这个吧，三分之二派史， 注意啊，三分，此时这个角为三分之二排的话，你得注意下细点坐标，我们也可以求出来。怎么求？这么看就是啊， 发这是三分之二派，那么很显然，我们如此构造这样的一个直角三角形，就是根据这一块构造一个直角三角形。 阿拉法是三分之二派，那么这一块这个角就应该是三分之派对应的这这个角，这就是六分之派了吧。六分之派斜边是个一，这一段啊，角是指 m 片的 西边是个一，六分之半就是三十度，三十度所对的直角边是西边的一半二分之一，然后这个那个，这是二分之一，这是一这个边的长度 m。 这啊，此时就说 p 三吧， p 三，他的 mp 三的长度，这就是一个那个二分之正好三了吧。但是一定要注意，此时 p 三所代表的点，他在第二象限，第二象限横纵坐标都是负的，因此他这个坐标用长度表示 那个绝对值的话，最后这个点的坐标可以写成是，横坐标为负二分之一， 纵坐标为负二。哎，纵坐标啊，这个横坐标是负的，纵坐标是正的，刚才说错了，纵坐标是二分之根号三，对吧？就是这个图里边 确定这个范围啊，也就是只要角的中边角的大小给钉，那么这个角的中边与单位元的交点，他是唯一确定的。 为什么在这里反复强调这个，那是因为这个，既然脚的中边和这个单元的焦点唯一确定，那么这个 角的中边与单与的交点 p， 他的横纵坐标 x y， 也就唯一确定了吧，对吧？唯一确定。那么这个时候咱们看这么一个啊，这边一个情况就是 这就是把这个角可以扩展到任意角这个范围之内，但是我也是以第一象限咱们这么说了，也是以第一象限 他这个角来举例，此时假如说一个角阿拉法，他与在第一象限内与单元的焦点是 x y， 那么这个时候按照我们这个三角函数的定义，那么此时一定有私人阿拉法， 他就等于一个什么？如果是这看着直角三角形的话，三角形的话，他就等于对边笔斜边，即 pm 的长度 b 商 op 的长度，因为 op 的长度是一 pm 的长度，完全可以用重组被表示，所以三样的话，他就等于一个万，对吧？ 同理，扣三啊法呢，他就等于啥？就是零边比斜边，即 om 的长度比上 o o p 的长度，同理，用坐标表示， om 的长度对应横坐标 x， 对吧？在 后就是太真假了哈，他不就是零边对边比零边吗？即 pm 的长度比上这个 om 的长度，他就等于对答 pm 长度用 y 来表示， 那个恶的上都用 x 来表示，所以他就等于外笔 x 吧，这是啥意思？也就是 我们说啊，阿拉法在阿拉法如果是个锐角，与这个角的中边交于敌相线，这个时候他对应的三角函数值显然可以用我们常见的初中的三角函数来解决，但是如果把角扩展到任意角呢？在这我们解释一下， 为了便于记忆，你要明确一下，你记住这一个就行。就是现在我们明确高中阶段三角函数，第一就是这个狮子，不管这个角的中边与单位元交在哪个象限， 第一不管他交在哪个象限，第二不管 x y 的正负。当然在保正气啊，必须得保证父母不为零的前提下，他的三角函数值，只要给定的中边角的中边与单位圆的交点，那么重选值就等于外 于选值就等于 x， 正确值就等于外笔 x， 其中 x 这等于不等于零就行。由这一个题，我觉得对于高中的三角函数的定义我们就 解决了啊，在那再明确一下，看这个图案就是前提啊。 如图，阿拉法是一个任意角，那么阿拉法属于阿二，他的中边 op 与单里的焦点 p 为 x y， 注意，这个是没有强调角的中边在哪个象限呢？ 正选的第一，把点 p 的纵标外叫做讲阿拉法的正选函数，记住，三亚拉法及外等于三亚拉法。把点 点 p 的横坐标 x 叫做阿拉法的语选函数，记住扣三拉八记 x 等于扣三拉法。行了，把点 p 的纵坐标与横坐标的比值外比 x 叫做阿拉伯的整，切记住，胎儿拉法，也就是外面， 你看了吗？当然保证 x 不等于零，对吧，不等于零前提啊！最后，总的来说，共兴 正选与选正切都是以角为资连量以单位原声的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将 正选函数、余选函数和正间函数统称为三角函数。这个就像就是就记住一点， 虽然刚才我是以第一象限举例，但是为了好运，便于理解，那么不管脚的中边落在第几象线都是 c 阿拉法哎，等于 y 扣三阿拉法等于 x 排整体阿拉法等于 y 里 x， x 不等于 也就行了。好吧，这就是任意角三角函数的定义。有了这个之后啊，我们再看一下这个解释吧。解释 律师，咱们说前提啊，别烦别嫌烦，强盗一下。正选的焦点是正选，就是焦点的纵作标，注意这个焦点吃的值得。可是 这个角的中边与单位圆的交点啊，强调正弦是交点的纵坐标，这个交点可是与单位圆的交点，那么余弦就是交点的横坐标，正切就是交点的纵坐标与横坐标的笔直。 因为正选与选都是个表达式。然后再一个啊，他的正选函数与选函数，总有一位是 有这句话，那么你看就是正切，他这是一个分式，分式就要求 x 不等于零，那么你看这个图， x 什么时候等于零呢？就是角的中边落在外轴，正半轴和负半轴的时候，这个时候 x 等于零吧。 几 x 等于零，那么此时那个将阿拉法落在外轴上时，第二批的横字波等于零，此时正气值无异议。 那么这个时候这个对应的角是多少？就是这个，咱们说过，角的中边露在一条直线上，就是 k 派，加上第一个满足题的角外二分之派，这就出来了。 然后啊，第三个，由于角的集集合与实属集可以一一对应，这就是咱们为什么把角度至挺好的，角度至要转化成弧度至的原因。 角度集合与十数一对应，那么数与数的一个对应关系就可以看成函数了吧，就是三角函数就可以看成字变量为十数的函数，这个实数实质反应的也是一个角的变化。好了，这就是 三角函数的第一，归根到底就是这个式子，散阿拉法等于外扣散阿拉法等于 x， 太整体阿拉法等于外边 x。 这个啊，要求有意义的话，要求阿拉法不等于这个 k 派加上二分之派吧，对吧？ k 派加二分之派，这个到这了啊，到这到这之后啊，因为我们说已经把这个成为函数了。函数，我们熟悉的还是这种 y 等于 约二， x 加三，用 x 表示外吧，所以说刚才那种 y 等于一个 c 阿拉法，我们就可以把这个阿拉法用 x 来表示一下吧， 对吧？记，正确函数 y 等于三， x 等于二。 ex 函数 y 等于扣三 x， x 等于二，正确函数 y 等于摊的 x。 注意，这个 x， 可是这个矫正范围 x 不能落在这个外轴上。记， x 不等于二分之派加上 k 派， k 属于 z。 好了，三角函数的第一页我们有了，有了之后啊，我们看一道习题吧，求三分之五派的一个正悬枝于选这个正斜枝怎么求？只要能够求出三分之五派这个角他与单位圆的这个交 点的横纵坐标就行了吧。那么咱们这么说三分之五派他是在哪？很明显，三分之五派加上一个三分之派等于二派吧，所以说三分之五派就是再转，三分之派就是二派，因此三分之五派打开， 哎，应该在这个位置了，对吧？这个位置，这就是这个点，可以产生屁点与单元的交点，那么正常，这么三分之五派这么移过来之后，那么这个角形大小啊，这里的角形大小绝对就是一个三分之派了吧。 求屁点坐标怎么求？很显然，过屁点做这个 x 轴的垂线垂足是 m， 这又得到一个直角三角形，这是三分之派，这显然是这个角显然就是六分之派了吧。 斜边是个一六分之派，所对的直角边是斜边的一半，所以 om 等于二分之一，一二分之一，斜边平面的长度等于二分之二三吧。因为屁点在第四象限，所以横坐标为正二分之一， 纵左边为负，即负二分之跟上三。因此，有了这个点的坐标之后，直接写吧。我们说 c 三分之五派，他得等于外，等于 负二分之根号三口省三分之五派，他得等于 x， x 等于二分之一。然后弹针期三分之五派。 哎，他就等于啥？等于外边 x， 也就是负二分之隔号三比上二分之一， 妥妥的等于负根号三吧。到这正弦余弦正切直，结合单位元，显然取出来了吧，对吧？这个与此类推， 不管给的角的中分在第几象限，只要能把这个屁点坐标求出来，这就没问题了。好了，这节课我们就到这了。

好了，这里我们讲一下三角函数的应用，三角函数是在一个直角三角形中，如果有一个角度告诉你，然后再告诉你一条边的长度，比如说这个角是五十度，这条边长度是二十，那我们可以借助这两个数据去推算出其他边的一个长度，这种公式叫三角函数啊，度他是必须要有角度的， 三角函数的公式有这三个叫正悬。 c， a 等于对边除斜边。 cocy a 等于零边，除斜边， ta 等于对边除零边。我们在背这个公式的时候，你就不要去记他的名字，你只需要记住 s 开头的公式是等于对边除斜边， c 开头的公式等于零边除斜边。 t 开头的公式等于对边除零边。这个方式去把它寄过来就可以了。 然后我们是怎么使用的嘞？比如说这个图中啊，我们算这条边，算这个，我们这里给他做一个小 a 啊，我们算 a 这条边。那首先第一步啊，第一步 先找边，什么意思嘞？角度对面的这个边，我们给他起个名字叫对边。角度相邻的这条边，我们起个名字叫零边。最长的这条边，我们起个名字叫斜边， 这里是三条边啊，我们现在要算的是对边，已知条件是斜边，根据未知条件跟已知条件进行找公式， 找公式，所以对边斜边。看一下哪条公式中同时存在对边跟鞋边。我们看过来第一条公式 s， s 开头的是等于对边处斜边， 所以既有对边也有斜边。第二条公式是 c 开头的，没有对边，只有斜边。第三条公式只有对边，没有斜边，所以这里我们选用第一条公式啊，我这里写出计算过程，写出计算过程的时候，我们先把公式先抄下来， sira 等于对边 出斜边。首先三条公式中都有一个 a， 这个 a 它表示角度，所以 s n a 角度我们是五十度的，五十度写进去啊，所以第三个步骤就是填数字啊， 把数字填进去，对边是没有数据的，对边我们是以 a 来表示啊，我就写一个小 a， 或者是打个问号也可以，所以斜边，斜边是二十 等于好，现在公式已经比较清晰明了了， c a c 五十度等于问号除二十， 所以我们现在需要把问号单独挑出来啊。问号单独挑出来，这里就涉及到了一个除数被除数商的一个关系，我们在算除数的时候用两边的相乘啊，用这个商跟被除数相乘，就可以得到这个除数了，所以问号是等于二十乘 c 五十度。 接下来打开手机计算器进行计算。好的，这里打开计算器怎么按啊？手机，我们安卓手机一般是要打开横屏啊，打开横屏 这里我们输入二十，然后乘按 sin 在这里啊， c 按进去，五十 按进去，括号括回来。好，这里计算出结果。十五点三二零八八，在这里我们要四舍五入留两位小数，就是说小数点后面留两位。第三位四舍五入，小于等于四舍掉，大于等于五往前进一位，这里为零，所以我们的最终答案是十五点三二， 这里就是啊，当我们计算出对面，就是按照这样的公式去进行验算的。如果本期视频点赞超过二十六，我们将立即更新下一期视频。