怎么根据逻辑式画出真值表

研究怎么样来判定一个推理形式是不是有效推理形式第一种方法叫做针织表法，那么我们已经知道了一个推理形式，他会对应一个复合命题形式，比如说这个推理形式就对应这个复合命题形式， 推理形式是不是有效的呢？是不是所有情况下都是真的呢？一个推理形式呢？他可以是有效的，也可以是无效的，如果他是有效的，那么他一定是重言式。所以我们本来是要研究这个推理形式是不是有效，那么问题呢？就转化为这个复合命题形式，他是不是重言式？因此对一个复合命题推理形式 是不是有效这么一个判定呢？问题就转化为对一个复合命题形式是不是重言式这么一个判定。也就是说我们想知道他是不是有效推理形式， 我们只要看他是不是从严市，怎么知道他是不是从严市呢？我们做他的真职表，我们看这里有几个不同的基本名题，只有一个，这个批批有几种真假情况只有两种，真或者假。然后我们看这个批跟这个批是一回事，所以这个批的真假确定以后，要把这一列给他 照抄到这个下边来。你这个批是真的，那么这个非批呢？如果他是真的，那么这个非批就是假的，批是假的，非批就是真的。那我们再看这是一个括号啊，非批的否定你非批是假的，那么这个非非批就是真的，非批是真的，非非批就是假的。所以真的和假这一遍也给他写上，这个相当于前提，这个相当于结论。最后我们要来看蕴含了蕴含的假只有一种情况， 前真后假是假的，其余都是真的。因为前面是一个括号，他最后一步是在这里，所以这一列代表了这个括号最后一步的这个真值，而这里呢？真值在这里。我们这一列，对于这一列我们来做蕴含真对于真蕴含是真的，假对于假的蕴含也是真的。也就是说他的这个真值表是这样的，因为这一个蕴含是这一个复合命题形式的最后的一步， 因此这个下面的一列就代表了整个这个复合命题形式的针织。我们发现在任何情况下，一共有两种情况，整个这个蕴含式都是真的，他是重年式，从而这个复合 啊，这个复合命题的推笔形式是有效推笔形式，双重锁定。为什么是对的？这个对是经过证明的，这个证明就是就是这样做的。好到这里呢，我们就把这个用真值表法来判定啊，一个，呃，复合命题形式是不是从严试这个方法，把它哎写出来，列出某一个命题形式中命题边缘的全部真值或真值组合。因为他如果只有一个批的话，那就是真假两种情况， 如果是有两个的话，那么就有四种情况，如果有 pqr 三个，那就有八种啊，有八种，这个针织组合要写八行。第二，根据命题边缘的针织和相关命题连接词的性质，逐步写出在命题边缘的各种针织或针织组合下，该命题形式的针织 就是我们刚才一列一列，一列一列，最后把最关键的那一那一列写出来了，那最关键那一列就是整个复合命题形式他的真值。那么第三步，如果一个命题形式在命题边缘的全部真值或全部真值组合下，他的真值都是真的，那就证明这个命题形式是重言式，看那一列是不是全部真，如果全部是真，重言是至少发现一个假，那他不是。 这个针织表法是一个很好的方法，我们说叫做一个能行的方法。什么叫能行？能行就是一定可以做，我们有严格的标准。第一，用机械的方法，刚才已经看到了，每一步怎么写，你是不需要找窍门的，他有一定之规，你按着这个一定之规一步一步走下去就是了。所以是一种机械的方法啊，不需要找窍门，不像我们正定理，正定理的时候，你先要看我先用哪条功底啊，上哪画条辅助线呢？那个不是机械的方法， 要找敲门的。第二步骤是有限的，就是说我们写了以后啊，真的假 t 和 f 你，你写多少个？有限的不会让你无限制的写下去， 是有限的，而在这个有限的步骤做完之后，这个结果一定是可以得到的。呃，这里呢需要呃解释的机械方法，呃，大家很明白了。然后有限的步骤，这个有限的步骤 我们看，比如说这里我们写了真假，真假写了多少个，我们还没有写的时候，你事先可以算出来，因为这里要写多少行，要写多少劣是可以算的。因为他只有一个基本命题，只有一个命题变原，那么他的真假只有两种情况，所以一个命题变原的话，这两个是一样的，就一个命题，一个命题变原的话要写两行，那 多少列呢？多少列？你看他这里出现了多少个命题电源，包括重复的出现多少个命题电源，多少个命题连接词，我们看一二三四五。好，那么啊，这个本来这是一个前提，这是一个，这是结论啊，前提是一二三三个符号，结论是一个符号，四个符号，然后呢，前提和结论之间加个蕴含，所以是五个符号， 这里是五列，五列两行，那么就是十个啊。你还没有做这些判定的时候，你看这个式子，我预先就可以知道我要写十个 真和假，这个判定要写十个，那么一些是可以知道的，需要多少个？再比如说这个要多一些啊，这是一个前提，这是一个前提，这是一个结论。那么这里真和假，真和假要写多少个也是一些可以算的。这里呢，我们看有两个命题边缘， p 和 q， 他有两种情况，他也有两种情况，所以组合起来有四种情况。 那么我们问，如果是 p、 q、 r 的话怎么样？ p、 q、 r 的话，那就是二的三次，那么也就是要写八行啊。所以你这里要写多少行，就看有多少个不同的命题边缘，然后这个行数就是这个命题边缘的个数。命题边缘的个数如果是 n 的话，那么他 行数就是二的 n 次方。所以如果是一个名批变员，二的一次方两行，甚至两个二的二次方四行，如果有三个二的三次方二行，如果 pqrs， 那么就是二的四次方，那么就是 多少列呢？仍然是这样的，每一个前提的结论里面有多少个命题边缘，包括重复的命题边缘和命题连接词，一二三四五六七，然后不止一个。前提的话你加一，因为他要做一个合取啊，所以是一二三四五六七 七，加一八，再加一个运，还是九，所以这里是四行九列，三十六个，我预先就可以知道要做三十六个，真合假要做三十六。所以呢，就是刚才说那机械的方法，在有限的步骤内，这个步骤是有限的，我还没有做真合假。 t 开复我还没写，我预先可以知道我需要写最多需要写多少个 t 开复我预先知道，因为它是一个有限的数字， 而且这个有限的步骤做完之后啊，我这个有限步骤做完了，做完以后一定有结果的。你只要看这一列，这里这一列有没有假，这个很容易辨别。这个也是啊，完全是机械的。

你学过的，背过的所有的逻辑公式，全是由这张表推出来的。他厉不厉害，不信你看。你学过肯前，得到肯后吧？是因为肯前的情况下，命题要成立后，一定得为真。 你学过否后则否前吧，是因为否后的情况下，命题要成立前，一定要为假。你学过否前后不确定吧，因为否前 命题就一定成立了，所以后不确定。你学过啃后前不确定吗？因为啃后的情况下，命题一定成立，则前不确定。我们再来看更多的。你学过逆否命题吧，是因为逆否命题，你看， 和原命题是完全一样的真值表幺零幺幺。你学过肯前且否后是否定命题吧？是因为肯前且否后，他的命题正好和原命题零幺零零完全相反。 你学过货推转换吗？因为非货非币和 a 推币的增值完全一样，幺零幺幺，所以他们可以等价转换。你学过二难推理吧，二难推理一定会得到一个 a 推非。 通过这个真知表可以知道一推零是不行的，所以一定是零推一。还有更多的你不知道的逻辑的推论，全由这只这张真知表得到。你觉得他厉不厉害？想不想学？

大家好，现在我们来看一下这个逻辑函数的描述方法，这个增值表我们已经看到了，逻辑时啊，我们也看到了逻辑图，波形图、卡洛图，这个我们来看一下这增值表了，这个我们都是零一哈， 看逻辑时，就是那个逻辑表达时，逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，他其实就是跟逻辑电路直线相对应。我们到时候逻辑电路的时候，我们看到 这个波形图就这个样，卡路图，等下我等一下，这个马上我们就可以看到他这里有，还有 eta， 这这个因为数字电路可以用这个，这个 这个这个东西啊，这个一叠进行进行这个设计实现一叠工具工具软件哈，进行设计实现。现在呢我们要用这个，要用前面的这个方法来设计 一个裁判电路。裁判电路什么意思呢？我们看到这个啊，这个电路啊，他表示的可以表示这样的一种意思，就是假设有两个副裁判，一个主裁判，这两个副裁判里面呢，必须要有一个同意，至少一个同意，这个主裁判呢，必须同意 这个举重，这个才有效。那这个就是一种裁判电路，我们把这个裁判电路的增值表写出来，就是这个样子，然后他的表达史就是这个样子，他的电路就是这个样子，那么这个就是增值表，这个就是谋，其实 这个是母鸡图，那我们来看一下这个，这个这个判别机偶判别函数增值表，所谓的增值表啊，就是他有几个变量，就要把所有的组合都都先写出来，你比如这三个变量，三个 变量，那就有八种组合，把它全部写出来，然后再看他的输出是什么。现在我们这个是判断机偶判别， 那什么意思呢？就是这三个变量里面如果有两个一，那么他这个结果就是一，有偶数个一，哈就是他的结果就是一。我们看到这两个一，对吧？两个一啊，其他的啊，都是都是零，包括零个他也是零，他这个就是一种机油判别的，这个这个啊，针织表， 那么由增值表怎么来导出那个逻辑时呢？很简单，就是找出增值表里面是外等于一的啊，输入变量其其其值组合， 每组输入变量起资对应一个成绩下，然后一的写原变量，零的写反变量，再把这些变量相加就得到外，然后把输入变量起资的所有组合逐个代入逻辑，始终求出外列表。 我们看到这个这个输出变量里面他有一、二、三，有三个一，对吧？有三个一，那么这个呢？因为这个是反，这个是零吗？就写反变量，就是这这一个输入端，他就是 appc， 这个就是 abpc， 这个就 abcp， 所以这个按照按照这个方法，按照这个方法他他这个外了，他就等于这三个，这三个组合相加，这个就是他的逻辑表达时， 然后我们再看逻辑时，到逻辑图，这个这个就这样。首先这个是这个是雨门嘛？这个是货门嘛，对吧？这画出来这个呀。另外一个是逻辑时，到逻辑图 也是这个样子啊，我们看到这个这个外外，他就等于这这一个加上加上这一个，对吧？啊？算出来了，他其实这个就外，就是一个易货门，易货门的表，那个那个逻辑图。

这个题目是根据逻辑电路图，那么已知我们这个逻辑电路图呢？已经知道了，第一个要写出逻辑表达时， 第二呢，要化解这个表达时，第三呢，根据表达时呢，把这个增值表就是写出来。第四呢，要说出这个电路是何种逻辑功能 好，这个题目我们来做一下啊。首先我们做根据电路图写出他的逻辑表达时结 第一步表达史， 那么这个表达式我们看一下啊，那么这里呢是一个 a 和 b 的与非，这里有一个 a 非 b 非， 然后呢 a 非比非，再与非，然后再和这个呢进行再与非，那么这么这个怎么写？我们来写一下，那么也就是说是这个，就是说 f 等于什么呢？我们看一下第一个就是 a b， e， c， a， b 与非，是这个 a 和比与非好。然后呢就是说 a 非比非， a 非比非，我们看一下是 a 非比非好， a 非比非，是这两个。 那么我们看一下 a 非 b 非，再进行雨非好， a 非比非，进行雨非，是这样一个。那么也就是说这个逻辑呢，是这个好，那么它的输出呢？再和这个进行雨非。 那么我们在上面再加一个好，再再解释一下啊，首先这是一个 a b， a， b 与 c， 然后是一个 a c b 飞，然后他们进行雨飞，那么是进行这一条的，然后他们的输出呢，就是说这个输出和这个输出呢，再进行雨飞，那么是这一条，也就是说这个门店路，那么这个门店路是一个最长的一个门店路是这个。 那么这个呢，我们就是把它的逻辑表达实，根据电路图案把逻辑表达实写出来了。第一步，那么第二步我们化解一下。 watching。 好，我们化解一下。我们看一下原石等于什么呢？是 a 于 b 进行与 c， 然后呢就是说是 a， c， b， c， 再 c。 好，然后上面这一个翡，那么原石是这样。好，我们来把它化解一下。 我们还是利用就是说摩根定理吗？我们看一下划成，那么我们就是说这里是乘，我们变成，就是说加好，我们来做一下。我们利用摩根定理，也就是说 a 与上 b， 那么 a 上给我们看一下，这里是就是说是乘，我们变成加，那么变成了 a 非 b 非非。好，那么我们看一下，这里是就是说成变加长帽变短帽，那么这里原来就是说有一个， 就是说是雨菲吗？那么是我们把这一根就是说最长的一根呢，变成短毛，那么这里呢也变成短毛。 好，我们知道 a 非 a 非两非，是等于 a 吗？ 好， a 非两非等于非，那么这个就会变成了，就是说 a 与上 b 或上，那么这上面就是说非两非变成了 a 非 比飞。好，这个呢我们就化解成是我们利用摩根定理乘法变加法最长的一个长帽变成短帽， 那么这里变成了 a 飞两飞吗？就是 a b 飞两飞等于不飞了。那么这里也就是说是这里变飞两飞，那么变成了 a 飞比飞的鱼 好。第二步呢，我们进行化解，把这个题目呢做好了。好，由于这个视频比较长，我们分两个视频讲。好，这个题目就分析到这里，谢谢。

题二点五，列出下列逻辑函数的增值表。第一个 y 一等于 a、 c、 b 加上 b、 c 加上 a、 c、 d、 c。 首先我们观察该逻辑函数，它有几个变量，我们发现一共有 a、 b、 c、 d 四个变量。也就是说一共有二的四次方，共十六种组合。 所以说在列增值表的时候，首先就需要把这四种输入变量 a、 b、 c、 d 的十六种组合先写出来。 由于一共有十六个，所以说我们分成了两页。第一页我们写的是 a 等于零， 零的时候，对应的 bcd 从零零零到一一一的八种组合。我们要列它的增值表，就会发现外衣呢，实际上是由三项相加。也就是说做货运算构成的 分别是 acbbcacdc。 所以说我们可以把 acbbcacdc 单独做一列。最后再把这三者相加，算出一个外衣。 首先看 a、 c、 b 它的取值。 a 非 b， 要求的是 a 为零， b 为一的时候，取值为一。我们观察发现 aba 零 零 b 一，后边这四行都满足要求。所以说 a、 c、 b 前边是四个零，后边四个是一。 接下来算 b、 c、 b、 c。 要求是 b 和 c 同时为一。我们在观察就会发现 b、 c 同时为一的只有后两行，所以说只有后两个 b、 c 是一，其他呢都是零。 最后再看 a、 c、 d、 c、 a、 c、 d、 c。 要求的是 a、 e、 c、 e、 d 零。 由于我们这个表呢， a 都是零，所以说 a、 c、 d、 c 前八个都是零。在得到这三项之后，我们再算 y 一。 由于是货运算，所以说只要三者中有一个取值为一，他的输出就为一。我们就会发现 后边四行出现了一。因此的话，对应的输出外一就都等于一了。 这样子的话呢，我们把 a 为零的八种情况增值表就列出来了。接下来再列 a 等于一的 a 取为一。 b 呢，仍然是从零零零到幺幺幺八种情况。便利一遍 算 a 非 b 呢，是 a 零 b 一。这个地方 a 等于一，所以说 a 非 b 肯定都等于零。第二个算 b、 c、 b 和 c 同时为一。我们也会发 线，只有在最后两行同时为一。所以说 b、 c 最后两行为一。 a、 c、 d、 c 是 a 为一。满足要求 cdc， 也就是后边 ced 零，输出为一。我们只需要在 c 和 d 中找一零就可以了。第三行一零， acdc 为一。 再往下找第七行一零， a、 c、 d、 c 输出为一。于是的话，我们就把这三个成绩项对应的增值表列出来了。最后再把这三者做一个货运算。 仍然是只要有一个一出现，输出就为一。我们发现第三行 有一个一，输出为一。再往下找第七、第八行出现了一，所以说输出为一。我们把 a 等于零的和 a 等于一的这两个合并到一起， 就可以得到该逻辑函数。一个完整的增值表。只不过我们一页放不下，所以说拆成了两个表。 接下来看第二个例子。 y 二等于 a 非 b 非 c、 d 非，加上 b、 e 或 c， 括起来的非乘以 d， 加上 a、 d。 仍然是。首先观察有几个输入变量，我们发现一共有 a、 b、 c、 d 四个输入变量。所以说一共有十六种情况，与之前一样，仍然是他由三个沉积项构成的。所以说，我们需要 首先把每一个成绩项求出来，然后再做货运算，算出最终的输出。 与前面一样，我们仍然是拆成了两个表格。前边的表是 a 为零的，后边的表呢？是 a 为一的，对应的都是 b、 c、 d。 从零零零到一，一一便利所有可能性的。 首先我们算的是 a 非， b 非 c、 d 非。它的曲折应该说是在零零一零的时候取到 一。我们发现第三行零零一零，只有这一个 a 非、 b 非、 cd 非才取为一，其他的都取为零。 接下来再看第二个 b、 e 或 c 的非乘以 d， b、 e 或 c 的非 e 或取反应该等于铜货。也就是说这一项取 e 的情况是 b、 c 铜货， b、 c 相等， 且 d 为一。我们只需要去找 b、 c 相等。 d 为一的输出为一。第一行 d 为零，不行。第二行 b、 c 同为零， d 为一，所以说输出为一。第三行 b、 c 不等，第四行 b、 c 不等，五六也不等。然后再看第七行 b、 c 相同，但 d 为零，也是零。最后一行 b、 c 相同， d 为一，满足要求，所以说输出为 e。 最后一个 a 乘以 d， 那就是 a 和 d 同时为一的时候为一。我们发现在当前的表格中， a 全为零，所以说 a、 d 在 a 等于零的时候全为零。 最后再把这三项做一个混算，只要有一个为一，输出就为一。我们就会发现第二行、第三行以及第八行出现了一，所以说输出也为一。 到此为止，我们把 a 等于零的八种可能性就讨论完了。接下来再列 a 等于一的八种可能性。 呃，列完之后，我们还是要去把每一项算出来。 a 非 b 非 c， d 非零，零幺零。这个 a 都等于一了，不可能出现。所以说这一个八个都是零。 第二个 b、 e 或 c、 c 乘以 d， b、 c 相同， d 为一。去找 b、 c 相同，且 d 为一的第二行零零一可以。 第三、第四、第五、第六 bc 都不同，第七 bc 相同，但是 d 为零也不行。 最后一个 b、 c 同地为一，所以说数除为一。然后再看 a、 d、 a、 d 呢要求是两个同时为一。由于 a 已经是一了，所以说只要看 d 他为一，那么 ad 就等于一了。所以说对应的 ad 他的表达是 呃和 d 的它的这个是一样的。零幺零幺零幺零幺。所以说 a、 d 也是零幺零幺零幺零幺。 得到这三项之后，我们再做货运算，仍然是早。只要这三项中有一个一输出就为一。我们发现第二行输出为一，第四行输出为一，第六行输出为 一，最后第八行输出也为一。于是的话，对应的把前边的 a 等于零的八种可能性和 a 等于一的八种可能性合并成一个表格，就得到了该逻辑函数他的增值表了。

啊，我们继续看，这个由逻辑函数表达，是话术流迹图，比如说这样一个，那 a， 这个，这个我不用，咱们自己试一下啊， a 货币，那 aa 在这里啊， a 啊，他用他的好了， a 货币， 这是 a 啊，这是 b， 那 a 与 b 的飞， a 与 b 的飞，是不是两个写完了？两个写完他俩的结果是吗？再来个雨门是吧？把它连上线， ok 了，这是把函数表达式变成逻辑图，那么我们上一个是把逻辑图变成函数表达式， 那含虚物，嗯，含逻辑函数是与针织表的转换啊，那这个把式子弄出来，然后列个表格，零零零零零一零一零，就把这二斤数，你，你发现他这个是二斤数， 你看零零零零零一零一零零一一，那这是零，这是一，这个进位的是二，二加一是三啊，二加一是三，三完了再加一，这是四，那八，四啊，这位是不是四，这是四，这是二，这是一，你看 最高位是七呢，幺幺幺三个幺一起，这个是七，这是二。四加二是不是六，那四加一是不是五，这个是不是四？二加一是不是三， 这个一个等于二，这一个是一，这是零，就是零。一二三四五六七，一共八种可能。是不是啊，他都给你列出来了，这个就是我们搞的这样的一个式子啊，这是针织表，他把这个所有的可能都带到这个函数 数十里算，哎，最后得到一个结果，写到这个歪裂就完成了。 由针织表写出逻辑式啊，针织表在这呢， ab 之一啊，这个其实是最复杂的啊， 针织表在这啊，根据他写他，那你 a 零零一啊，两个是零的时候，他出来是一，这一看很明显 是一个雨菲啊，你再看第二个关系，他和他放一起，然后就出来一个零啊，他和他放出来也是零，他和他，你最后通过你的观察发现两个都一样的时候，哎，你看两个都一样的时候，出来是一，两个不一样的时候出来零， 这是比较经典的一个，一个一个，这个叫同货啊，他是一个，他是，他也是一个。复合逻辑门店录的有同货，其实还有易货啊，与非或非 啊，同货易货就相同的时候，是一啊，两个都是一或两个都是零，都行啊你，但你只要不一样啊，他就出零了， 那这是逻辑图又变成他啊。成吉象用雨门实现，河向呢，用货门实现，明白了吧？就是这叫成吉象，用雨门来代替成这个点，用这个 盒，用加号来实现货。这个，这个东西啊，这是波星图画给你的时候，哎，你就能把它每一时刻的东西，这个针织表是不是就出来了？针织表出来了以后，哎，你就写就行了。 然后这个张 ppt， 他讲的是国际符号，曾用符号啊，美的符号啊， ab， 这个是 and 啊，曾用五号是趁这个已经啊，相当古老了，你就不用看了啊。这个东西呢，还是比较常用的啊， 尤其是在一些仿真软件里边，你很经常的会看到这种东西，然后他的仿真原件的名字呢？这个就是 and and 啊，这个， 这个是 o r， 这个是 not to all and not。 然后呢？我们这个咱们国内的啊，就是 and 啊，这个是大于或等于吗？大于或等于就是和啊，一完了这个画个圈，这个就是非与或非，就是这样的一个逻辑符号对照 再来一组啊，这个叫雨菲，这个叫霍菲，这个叫 同货啊，这个，这个不知道是什么意思吗？刚刚刚说过的哪去了，看到没有？同货啊，相同的哎，就有了啊，不 相不相同的就没有了，就这个意思啊，这个叫同货 啊，对应的老美的符号呢，就在这了啊，这个其实大家很经常用的，还是这种 意思，都一样啊，那么再下一次呢，我们讲这个组合逻辑电路，它是由若干个门电路、复合电路组成的一系列电路，比如说触发器啊、技术器啊等等一系列电路啊，这个真正有意思的东西来了啊，欢迎关注。

大家好，我是清风。呃，今天这节课我们来讲一讲这个增值表，写成逻辑式。我们这个增值表是这样啊，我们有三个面料， a、 b、 c、 y。 因为上节课大家说我用两个变量，太简单了，我们用三个变量，就稍微复杂一点，我们看这个东西，我们看这个三个变量，我们通过这个表，其实两个变量和三个变量，包括四个变量，五个变量，随你多少个变量，其实他的方法都是一样的，对不对？那么我们来重点来看一看这个啊。 那么首先我们这个增值表，我们首先先分析他，他有多少个变量，首先是三个变量对吧？好。然后我们在这个增值表中间找出他的输出这个 y 等于一的这一行对不对？找出等于一的这一行是什么意思呢？就 说等于一的这一行是他的增值对吧？就说真正输出的他要求真正输出的是这个等于一的这一行对吧？啊，这是他的增值对不对？也就是说这几位加减乘除以后等于一 对不对？我们就把这个等于一的先把它找出来对不对？嗯，把这个等于一的找出来以后，这个我们就好做了。我们就嗯，然后你看啊，比如说我们找到这个等于一的，那么我们就把这些东西全部把它拿出来对不对？ 一个两个，三个，那就是我们中间肯定是三个三个四字相加，他们之间是相加的，就是每一行这个一都是加上这个一，加上这个一对吧，这一行的四字，加这一行的四字，加这一行的四字。那么他们之间的关系呢？是相乘的关系， 知道吧，他们这是相乘的关系。比如说我们看这个带一的，这是第一行啊，那么第一行是个什么呢？ a 在这一行里面，他是零，对吧？那么我们就把它写成 a 非对不对？ 他是为零的，我们就写成 a， 非为一的就写呃，为零的就带飞，为一的就不带飞。就这个意思。一就是 b 对不对？ 然后四也是也是一。有人说这个四字写出来以后啊，我们让他都是一对吧，你比如说 a 四零，我分一下，就变成了一对不对啊？我们再来看第二行，第二行是这个啊， 这第二行，这第一行的。我们这第二行的第二行什么呢？ a 是一，这个时候 a 是一了，那就不用飞了，对吧？那就是 a 第二行。这里 bb 是零， c 也是零，那么 c 和 c 和 b 都是非，对不对？那么就是 b 非 c 非。再看第三个， 第三个，三个全是三个全是一，那么就是 a、 b、 c。 然后我们把这三个四加起来， a、 c、 b、 c 加上 a、 b、 c、 c 加上 a、 b、 c， 那么这个式子就是整个这个增值表的式子，对吧？那就是整个这个增值表的式子。那我们就可以这样来表示他，对吧？就是 a c b c 加上 a、 b、 c、 c、 b、 c、 c 再加上 a、 b、 c。 就这样。那么我们在分析这个这个表的时候啊，这个针织表的时候啊，那么我们只需要看他等于一的这一行等于零，这一行没有，不用看对吧？等于零这一行我看了也没用，我们主要是看等于一这一行，我们就找他有几个等于一的项，对吧？这里有三个等于一的项，然后再把每一项的 每一个因素全部提出来，相乘等于零的，这一项的因素我们就给他飞一下，不等于零的就不用飞啊。这个就很清楚。 a， 这是 a 飞对吧，然后 bcbc 是没有飞的，然后再到这 a 是不飞的，然后 b， c 飞对吧？ a， b， c， c， 嗯，然后最后最后面一个都都不飞，都是零一，那么就是 a， b， c 就这样的。然后把这三个式子，把我们找到的这几项的式子， 然后把它相加，得出的结果就是这个 y 的逻辑表达是，那么 y 就等于等于这个，嗯，就这样的啊。那么我们通过这个试卷 我们也可以看出来对吧？我们如果设计设计这个电路的话，我们通过这个试就可以设计出来对不对，这就很简单了， 三个加法对不对，然后前面有飞的对不对，然后前面三个， 这里三个加法就完了，后面是一个，后面是一个 y， 一， y 二， y 三，这是一个货门对吧？输出，这就是 y 对不对。然后我们再再分别设计这三个， 这个图我们就可以分析出来对不对。其实这个也比较简单。呃，所以我们这个之间我们要灵活的掌握，一个是这个针织表，一个是这个逻辑四，一个是逻辑图对吧？ 这三个地方，我们把这三个地方掌握清楚了，把它转换之间的关系全部搞清楚了，那么就很简单了。这个这个，这个逻辑设计，这是非常简单的事情， 因为逻辑设计，逻辑设计，这个数字学习，呃，这个数字电路学习，其实相对于这个我们所说的那个模拟电路来说要简单很多。 嗯，但是那个数字电路呢？他就要求还是要有一个逻辑性对吧？模拟电路呢，就是说模拟电路也有逻辑性，但是模拟电路的参数很多对吧？模拟电路的参数非常多，而且他的参数都没有定值对不对？你比如说他有一个三伏的电压，他有三点几 对吧？三点七伏，三点六伏，中间还有一个从零伏到三伏还有变化对吧？你像逻辑电路就没有这些东西，就只有零和一， 你不是零就是一，不是一就是零。所以逻辑电路中间他就会很少，就会有这种失真的情况对吧？他就不会丢失，他的数据，不会丢失 对吧？他丢了也就丢个一或者丢个零，然后通过后面的补码或者是其他的编码设备，我们还可以找回来对吧？但是速度，但是那个那个模拟电路就就做不到。模拟电路他就会有失真啊，有的电压的高低不稳定，他就会产生失真。 而数字电路在这一块就有他的优点。所以为什么现在这个数字电路这么盛行？你包括现在我们所说的模拟电路中间的很多东西都已经数字化了对吧？你包括电位器，现在有数字电位器 对吧？他也通过零一零一来转换你的音量大小，这个他他也是一个定量，他就是一个数值，所以这个数值是没法变对不对？这个数值他不会损耗掉对吧？他只是他的信号的强弱，但他不会损耗对不对？ 因为他还是有一个范围，他零有一个范围，一他也有一个范围，你在这个范围之内，那都没有问题啊。那模拟电路就就没有这个优点，这就是他们之间还是有差距。嗯，那么在今天这节课 结束以后，我们就把所有的逻辑电路，逻辑电路的公式，逻辑电路的图，呃，他的怎么设计的？然后他的这些转换，包括二进制，包括每一个的逻辑门都跟大家讲完了。 呃，如果有小伙伴还有没听懂的，也可以给我提建议，或者是我哪个地方没有讲好的，大家也可以提出来啊，我们可以共同来学习。那么这一个章节结束以后，我们后面就要讲到一些组合逻辑电路的分析与设计了。 那么就讲到一些设计了。那么这些设计里面包括一些什么东西呢？我大概先跟大家讲一讲啊。那么这个他逻辑组合电路，他任何时刻的输出只由当时的收入来决定，而电路的状态 与电路的状态没有关系，电路是没有记忆功能的，也就是说你输入什么，输出什么，就是当时就决定了你，跟这个状态没关系，他这个电路没有功能，没有记忆功能，就是你输入什么，输出什么，然后你输入一一拿掉以后， 手速马上就结束，就这样的，就就这么一个功能。呃，那么呃，这是逻辑组合电路。那么后面还有还有一些电路，就是说一些触发电路对吧，一些带记忆功能的电路对不对？比如说我们的触发器 对吧？很多记忆电路都是由触发器组成的对吧？呃， i 四触发器，然后那个低触发器对吧？有很多很多种。嗯。那么逻辑电路里面我们常见的有哪些东西呢？有这个编码器，有编码器，溢码器， e 码器，我们也叫解码器对吧？记有编码器，有解码对不对？然后有加法，加法运算器有数字比较器对吧？ 数字比较，然后数据选择即有效应，这个东西我前面都跟大家讲过了， 对吧？嗯，编码 e 码就编结码，这是，这是一对的对吧？你有编码，你就必须有结码，这是肯定的啊。然后你加法器对不对？你必须加法的话，就这个数字相加， 然后数字比较轻对不对？比小哪个大哪个小，比较大小对吧？有比较一个大，比比较那个，呃，哪个数字大哪个数字小。 还有数据选择器，数据选择器我就不写了。数据选择器，那么就说选择我这一个，这个，这个锻炼我，我只需要这个数字，那么我可以通过选择器我们把它选择出来。 还有基友教练器，基友教练器我在前面已经跟大家讲的编辑码这个地方我就跟大家已经讲过了。基友教研，什么是基友教研，那么就是为了减少出错的对吧？我校验这个这一组，这个数字里面有几个零几个一对吧，就起这样的一个功能 啊。那么说了这么多，嗯，我前面这个这一段时间的课程就结束了，嗯，希望大家呢能够继续支持我，我是清风，谢谢大家。

那么从这节课开始呢，我们就会介绍这个数字电路的相关的一些方式方法， 那么我们要引入几个概念，第一个概念叫真指表，第二个叫逻辑函数表达是，第三个叫逻辑符号。那么我们以前学的这个三极管呢，是画一些奇奇怪怪的符号，那么现在开始我们就画一个正方形， 然后上面写一个 and 这样的一个符号，这个就叫与逻辑。那 a 和 b 是输入端， y 这个是输出端 啊，这个叫真指表，真指表就是 ab， 这 a 就代表这个 ab 就代表这个 ba 是零， b 也是零。就是两边都是零的时候，输出的是零，有一个是零，有一个是一的时候，输出 是零，一个是零，一个是一个是一。一个是零的时候，数数是零，两个都是一的时候，数数是一，这个叫真值表。他把所有的可能都给你列出来，然后把所有的输出可能都对应的输入可能也给你列出来，这个叫真值表。 那么他的逻辑表达是呢？就是这样的一个真实表，所对应的逻辑表达是就是 a 乘 b 的关系，你看零乘零等于零，零乘一等于零，一乘零等于零，一乘一等于一，所以说他都是与的关系，就是一个乘的关系， 所以他写成数学表达式的形式就是 y 等于 a 乘 b， 那这个就是他的电路图形符号，这个就是雨门。

this video will demonstrate how to construct a truth table for a compound bullion expression now notice that this expression has three distinct variables that means we need to consider all possible assignments of zeros and ones to these three variables and one easy way to denote all the possibilities is to simply count in binary so we'll start at zero meaning a zero for each entry then we'll add one and then we add one again to get two and one again to get three and add as we continue this process going up to the point where we have all ones we will have filled out every possible assignment of zeros and ones to these three variables now a good self check is that the number of rows in this table should be two raise to the number of variables， so we have three variables so we should have two to the three equals eight， rows and sure enough we do now i could conceivably jump straight from these possible assignments to the resulting value for this experience， but the reason i've left this space here is that it's usually easier to calculate the value and expression like this if we first tackle its individual sub expressions， so let's separate these values from the first or rather innermost sub expression here which is b or a？ so b or a is a simple expression but we have to make sure that the results we put in this column correspond to the values and the way， they're ordered in these columns here so we're going to completely ignore the c column and only compute b or a so here zero or zero zero and zero or zero is a zero and here we have zero or one is a one and zero or one is a one and now note that because of how i've written out these values counting and increasing binary order all of the last four rows have a one in the a column so we're computing an or so one one is sufficient to make the whole expression have a result of one， so that means i can quickly fill these out without having to look at the individual rose now the next expression is b or a negated now recall that this overbar corresponds to logical not and i can put over a whole expression to indicate to negation of that expression and since we've already computed b or a it's very easy to compute its negation it's simply the opposite so i will separate this column and then just put the opposite values here and from this point i have the negation of b or a and c so now i can jump ahead to the final column which is a bit removed and i can compete this by ignoring this intermediate result that i computed i'm only going to compare the c column and this sub expression i just computed and i'm going to use logical and to determine what the result is so zero and one will be a zero？ one and one will be a one and then we can already see that all of the remaining entries in this column are zero so i don't even need to know what c is i know that a single zero in a logical and will lead to a final result of zero so i can simply fill out the remainder of this column very quickly so here is an example of how you would compute the truth values for a compound expression using a truth table now as you can see if i add more and more variables， this table will get much larger and more tvs to compute if the expression is much more complicated than this than there are many more intermediate steps so in the next video， we will find out how to simplify expressions like this algebraically。

this is a fairly large truth table the point of it is to show that this bullying expression and this bullying expression are equivalent， not， the or and c will always equal this expression not and d negated and the and not c negated you can confirm this by noticing that this column which corresponds to this expression and this column which corresponds to this expression have the same values you should pause the video and make sure that it makes sense to you and that you yourself create this truth table？ if you had to however， what we'll be shown now is how to show these expressions are equivalent using the logical identities we learned in a previous video， this sequence of operations will constitute a proof that this expression is equivalent to this expression i will be using justifications for each step and the level of detail will be a bit more than a typical necessary since this is one of the first proofs you've seen in this type， i will start with the more complicated expression not a and b negated and the and not c negated i want to simplify this expression using the laws from the previous video hopefully you can see that the morgan's law can be applied to both of these sub expressions this sub expression transforms into not not a or not b and this sub expression transforms into not be or not not see the two applications of the morgan's laws i put the name of the logical identity i'm applying at the margin of the expression now， we have two variables here with double negations we're going to remove those using double negation law so we'll be left with a or b and not me or see and double negation is the justification the next step， i'll be doing is an application of the distributed laws however， the form of the distributive laws you saw in the previous video was a bit simplistic i'm going to distribute this expression across this expression the same way that you would foil variables in an algebra expression so i'm distributing multiplication over plus， or rather and over， or and the result is that i have a and not b， or a， and c， or not be， and not be， or not be and see this is simply repeated application of the distributivity laws which once again is similar to foiling like so now from here i can go forward and eliminate or rather reduce this repetition of not be to simply one occurrence 啊对 the law that allows me to do that is identones which says that if anything is ended with itself， it is equivalent to itself now the next step is to rearrange things in a form， that will make it easier to simplify things further it may not be completely obvious why i choose to organize things in the manner？ i do but when i'm finished we'll work backwards and see why this step makes sense？ so i'm going to reorganize this expression so that i have not be over here then i can also flick the order of the individual terms here so i can have not b and a and here i have not d and c and then finally a c this is simply multiple applications of communitivity specifically， i swapped the a and the knot b and then i took that whole expression and moved it to the other side of knot b so this expression moved here this ac move to the end this not b came over here and this not b and c came over here so all of the components are still present simply reorganized now the reason that i wanted to put the not dna or not dnc together was so that i could use the distributivity law again what i'm going to do is take the not be out in a manner that looks similar to factoring so i'll have not b and a plus c so this is the strictimity wall again and it's worth pointing out that if you don't understand any of these individual steps， you should look closely at the definition for the logical identity and make sure that you see how it can make sense？ so here i factored out would not be now i want to to eliminate all of this expression because i'm working remember towards this one i want to show that this expression and this expression are equivalent so what i'm going to do is add in a one next to this not b using the identity wall so remember that these laws can be used not only to simplify expressions but to make them more complex so i introduced an and one where there wasn't one before all of the laws go in both directions so now that i've done this i can factor out the not be again leading me with not be and one plus or or a or c then i still have this or a c at the end so this was distributivity again so i sat it out and not be to get to this point i introduced a one using the identity log and then i fact it out to not be again and here is the payoff one or with anything is simply one that's a domination law that will allow me to eliminate this whole expression this whole sub expression so let me continue the proof over here to have not thee and one or a c so this is justified by the domination wall or one of them specifically one or a， or c or really one or anything is simply one so this whole sub expression was reduced to one now i can use the identity law again to get rid of that one and i'm left with the expression that i was working towards so this form of proof is known as a linear proof with a justification for each step and each of the justifications is one of the logical identities one of the laws of bullion algebra。

前面我们已经介绍了雨门逻辑和雨门的电路模型，今天来看或门逻辑，这是或门的电路符号。或门，顾名思义就是或者的意思， 只要输入中有一个满足条件，就能有效输出。为了方便理解，我们来看一个电路，这个电路中两个开关 a 和 b 并连，当开关 a 闭合时，灯会被点亮， 当开关闭闭合时，灯也会被点亮，当开关 a、 b 同时闭合时，灯也会被点亮。 只有当两个开关同时断开时，灯才是熄灭的，这就是或门逻辑。由此我们可以得到或门的真值表，由表格可以看出，输入中只要有一个，一输出就为一，只有两个输入 都是零时，输出才是零。那么后门的电路模型该怎么搭建呢？来看二极管搭建的后门模型。假设二极管的导通压降为零点七伏，电瓶大于等于三伏为一，电瓶小于零点七伏为零。 当 a 输入为五伏， b 为零伏时，二极管第一导通第二截止 f 点的电压为四点三伏，所以 f 输出高电瓶一。 当 a 输入为零伏， b 为五伏时，二极管第一截止第二导通 s 点的电压为四点三伏，所以 f 输出高电瓶一。 当 a 和 b 同时输入零时，二极管第一和第二都是截止的， f 点的电压为零伏，所以 f 输出低电平零，这就是或门的逻辑，是不是很容易理解呢？