开普勒第三定律公式以及适用条件

学习了两天半海萌终于学会了万有引力。万有引力是两个物体彼此吸引产生的作用力，对自然接种任意两个物体都适用，比如太阳和地球之间、地球和月球之间，鸡和篮球之间都存在万有引力。 万有引力定律指出，这一两个质点由通过连线线方向上的力相互吸引，该吸引力的大小与他们的质量乘积成正比，与他们距离的平方成反比，与两物体的化学本质或物理状态以及中间物质无关。 这就是万有引力的公式，其中即是引力常量大小，一般取六点六七乘以十的负十一次方牛米平方，每千克平方。 现在我们不妨来计算一下篮球和鸡之间的引力，假设篮球质量为零点五千克，鸡的质量为八点五千克，他们之间的距离为十米。带入公式，计算出引力的大侠位， 八点三三乘以十的负十三次放牛，可以发现这个力太小了，对机和篮球都没什么影响。那如果机和篮球的距离区域零，万有引力会区域无穷大吗？其实并不会，当距离无限小时，两个物体就不能简单的看作这点物体表面靠近并非之心的无限靠近，而在微观层面， 分子圆子的制性距离也不可能为零。外游引力对篮球和鸡这种质量小的物体影响较小，所以大多数时候都是用来进行天体相关计算。我们知道行星绕太阳的运动轨迹并不是圆，而是椭圆。遵循开普勒三大定律， 英语指出，所有行星让太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，对任意一个行星，他与太阳的连线在相等的时间扫过的面积相等，所有行星轨迹的半长轴的三次方跟他的公转周期的二 二次方比都相等。虽然行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，但在高中阶段，我们一般会将它简化为圆周运动进行计算。比如在这个环绕模型中，行星绕重心天体做圆周运动。圆周运动的向心力由万有引力提供，这是万有引力的公式，这是行星做圆周运动时向心力的公式， 万有引力等于向心力，这样我们就能进行一些相关的计算，比如计算中心天体的质量。当我们知道环绕行星与中心天体的距离以及行星的公转周期，热量的一测量的量，就可以计算出中心天体的质量。可以发现，公式中环绕天体的质量被约去了， 所以只能计算中心天体的质量，而不能计算环绕天体的质量。我们也可以通过环绕模型来计算地球质量。假设已知地球的半径为大啊，一颗卫星的轨道离地面的距离为小啊，卫星绕地球一圈的时 间 vt， 那么我们就能轻松计算地球的质量。当我们知道了地球的质量，就可以反过来求卫星的速度。当卫星离地面的高度很小时，我们可以极端一点，假设卫星是贴着地面飞行的，那么想要去玉林带入地球的质量和班级，可以得到卫星的速度大约为七点九千米每秒。 当然，如果是贴着地面飞行，可以金丝看作重力，提供卫星的向心力，同样也可以计算出速度约为七点九千米每秒，这个速度就是物体在地球附近绕地 求做匀速圆周运动的速度，叫做一宇宙速度。随着轨道半径的增加，卫星需要克服引力作光，需要的发射速度越大， 所以第一宇宙速度是卫星的最小发射速度。对于环绕速度，轨道半径增加后，卫星的速度会减小，所以第一宇宙速度又是卫星的最大环绕速度。当卫星的速度大于七 点九千米每秒时，轨迹将会变成椭圆。当卫星速度达到十一点二千米每秒时，那他就会克服地球引力，永远离开地球，这个速度就是第二宇宙速度。这时卫星还是会被太阳的引力束缚， 如果要离开太阳系，那他的速度需不低于十六点七千米每秒，这个速度叫做第三宇宙速度。总结一下，我们简单介绍了万有引力、开普勒三大定律、环绕模型和宇宙速度怎么样，有没有感觉自己又学习了一些无用的知识？

高中物理动画第一集开普勒三定律上个视频说到辟谷将二十年的行星观测记录交给天才数学家开普勒。开普勒经过漫长的研究，总结出了行星运行的开普勒三定律，那他究竟是怎么做的呢？ 开福勒先研究地球的轨道，他按照戈拜尼的观点，以太阳为参考器进行计算。这样一来，地球的轨道就非常像一个圆了。但美中不足，圆心与太阳的位置有些偏离。刚开始，开福勒用了偏心圆的模型来解释，也就是地球的轨道仍然是圆，只不过太阳不在圆心。 那太阳偏离的方向有什么特点呢？开福勒发现，地球离太阳近的时候运动快，离太阳远的时候运动慢。根据计算，他将这个规律总结为连接太阳和地球的连线在相同时间扫过的面积相等。 举例来说，这两段时间相等，扫帚的面积就相等。从图上容易看出，此时这边经过的距离更大，也就是速率更大，符合近日点速度快的现象。开普勒将这个最先总结出来的定律叫面积定律，后来叫开普勒第二定律。 为什么先总结出来的叫第二定律呢？听我接着说。地球研究清楚之后，开普勒接着研究火星，没想到遇到了大麻烦。 他假设火星也是天心圆，并满足面积定律。但是他计算的结果与地壳的数据总是存在误差，至少有八分。前面说过，地壳数据的精确度是两分，现在误差这么大，说明理论肯定有问题。在尝试调整了各种参数之后，凯弗洛确信天心圆模型不可能成功。 最终他发现，如果使用椭圆轨道计算，结果就符合事实了。进一步的计算表明，其实地球轨道也是椭圆，只是比火星更像圆。 接下来，开福勒将研究结果推广到所有星星，终于得到了开福勒第一定律。所有星星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，并且太阳处在椭圆的一个焦点上，这个定律又叫轨道定律。根据轨道定律，开福勒对面积定律进行了修正， 从偏心圆基础上的面积定律改进成了椭圆基础上的面积定律。因此，面积定律虽然先出生，只能去居第二了。 到此，凯弗勒已经知道每一个星星都遵循轨道定律和面积定律，但它并不满足。它有一个信念，既然所有星星都围绕太阳运转，它们之间一定还有相关的规律。经过十年的计算，它终于发现这个规律存在于轨迹的半长轴和周期之间。它将其总结为凯弗勒第三定律。 所有行星轨道半长轴 a 的 三次方与公转周期 t 的 二次方的比值是一个常数 k， 这也叫周期定律。这个常数 k 与行星无关，只由太阳质量所决定。 其实，开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。像行星这样绕着别人转的叫做环绕天体，而像太阳这样背绕着的叫做中心天体。开普勒第一定律就可以表述为环绕天体做椭圆运动，中心天体在椭圆的一个焦点上， 第二引力就可以表述为在相等时间内，中心天体与环绕天体的连线扫过的面积就是相等的。 而第三定律中的常数 k 只与中心天体的质量有关。例如对绕木星运动的所有卫星来说，长量 k 只与木星质量有关系，所以卫星门的这个比值一定相通。好了，以上就是开普勒三定律，也就是轨道定律、面积定律和周期定律。

开普勒三定律里藏着一个魔幻术，法国天体物理学家沙龙日给他起了这个名字。他不是魔法，是数学，但用起来真的像魔法。在太阳系里，如果拿年当时间单位，天文单位，也就是日地距离当距离单位， 那么开普勒第三定律就变成了一个超级简单的公式，周期的平方等于距离的立方，地球自己就是验证周期一年距离一天文单位一等于一成立，这个一就是太阳系的魔幻数。 有了它，只要知道一个行星的公转周期，就能算出它离太阳多远。木星周期十二年十二等于十四万四千一百四十四 k 立方约等于五点二。木星到太阳的距离就是五点二个天文单位，差不多七点八亿公里， 不用飞过去量算就完了。这套玩法换个中心照样灵。以地球为中心，用小时做时间单位，万千米做距离单位。地球的魔幻数是七点六，月亮周期二十七点三二，天和六百五十六小时 六百五十六除以七点六，约等于五万六千六百二十三，开立方三十八点四。地月距离三十八点四万千米， 跟实际值言丝合缝。更绝的是，它能算出人造卫星该放多高。想要一颗挂在赤道上空不动的地球同步卫星，它的周期必须跟地球自转同步二十四小时代入公式二十四乘以七点六 等等。公式是，周期平方除以魔幻数等于距离立方二十四等于五十七万六千五百七十六除以七点六，约等于七十五 八开立方四点二三。这是卫星到地心的距离，单位万千米，所以是四点二三万千米， 减去地球半径零点六三七八万千米，得到三五十九万千米，约三点六万公里。我们今天用的通信卫星电视转播就悬在那个高度， 一动不动的盯着地球。你看开普勒四百年前写下的公式，到今天还在帮我们把卫星送上天算月亮在哪找木星的位置。它不是魔法，但它比魔法更厉害，它是宇宙的密码，被人类破译了。

这个视频咱们来回馈一下，必修二，行星的运动这一小节，首先，地心说认为地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕着地球转动。 地心说代表人物是古希腊科学家托勒密，这个外国人翻译过来，名字读起来有点拗口，别写错了， 陀螺蜜、哈密、瓜蜜。也就是说，在古代，人们都是以自我为中心，认为这个地球就是整个宇宙的中心， 也很正常，是吧？后来，呃，有一个学说更先进了一些，就是日心说认为宇宙中心是太阳，所有行星都围绕着太阳做匀速圆周运动。 当然，这呃就目前来看，实际上后来证实也是不对的，对吧？日新说代表人物是戈白尼， 但是他比日新说更进步了一下。再到后来一个关键人物开普勒发现行星运动规律， 开普勒他总结了地壳的数据，总结出开普勒三大定律。我们来看一下 开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，并不是一个非常完美的圆。 关于椭圆，正好右下角有一个图，我们来看一下，椭圆实际上有两个焦点，一个焦点，一个焦点，哎，然后呢，这是一个椭圆，那么太阳呢？它实际上处在椭圆的一个焦点上。 比如说，我们看这个第七奇的图，正好是符合这个场景，行星绕中心，天体逆时针运动，这样转动啊，那 m 点呢？就是太阳，相当于它指在这个位置。 好，我们看开普勒第二定律，对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过了，面积相等。 根据这个开普勒第二定律，我们有一个推导定律，也就是说行星在近日点， 哪个是近日点离太阳最近的点，那就是 a 点， a 点的速度是最大的，远日点离太阳最远的点啊，也就是 b 点， b 点离速，这个相对来说这个速度是最小的。 我来给大家解释一下啊，开普拉第二定律，首先什么意思？ 比如说物体现在处于 m 点，那么它通过相等的时间和太阳的连线扫过的面积是一样的。 这句话有点长，其实很好理解啊，他和太阳的连线，比如说经过一个月的时间，他跑到这里， m 撇，那和太阳的太阳的连线围成了这个阴影部分的面积是这个图形，对吧？ 那在其他任意位置这个轨道上，假如说 m 现在处在这个位置，它和太阳的连线同样的，经过一个月，哎，它和太阳的连线扫过的面积是这个面积， 然后这两个面积要相等，这就是开普勒第二定律。至于这个推导结论它是怎么来的，其实证明也很简单， 我们看一下，假如说物体现在它处在这个点上和太阳的连线，哎，如果在时间极短的情况下，在 a 点的附近啊，它跑到了这里， 这个时候其实围墙的图形近似就是一个三角形，那同样的，如果他跑在 b 点附近，经过相同的时间，他和太阳的连线 就是这样一个三角形。这里面我再把 a 点这边应该得稍微画的宽一点，因为它俩面积要相等， 这边的面积应该是这样啊，然后这两边的面积要相等，假如我们计算按照三角形去处理的话，三角形的面积是不是等于二分之一乘以底乘以高 s 吧， 然后对于底来说，我们可以近似认为是直线， 那么二分之一乘以这个速度乘以时间，是不是可以描述底边的长度，然后乘以这个高？你看一下，因为这两个三角形的面积要一样， 在 s 相同的情况下，二分之一又是一样的情况下，时间又是相同的情况下，所以说它和太阳的连线就是这个高越大，它的速度就会越小。 很明显，在整个椭圆里面，最长的一个高就是 b m 的 长度，所以说相对应的，在 b 点的时候呢，这个 v b 速度就是最小的。与此相反，在 a 点的时候， i m 这个高是最短的，那 h 最小，那它相对应的这个速度就是最大的。所以说我们说近日点速度大，远日点速度小，这个结论就这么来的。好了，下面我们继续来看 开普了第三定律，所有行星轨道的半长轴， a 的 三次方跟它周期 t 的 平方的比值都相等， 这个每条定律都有点长，给大家解释一下，把这个擦掉一下。椭圆里面最长的一条线段叫长轴，在这里面啊，就是 a， b 的 长度， 那么长轴的一半，我们叫半长轴，给它起个名字叫 a， 所以 说 这个主语，这个 a 就是 这个 a， a 的 三次方比上它转一圈公转周期 t 的 平方等于比值 k， k 是 一个定值，是与中心天体的质量有关，这就是开普勒第三定律。好了，下面我们来巩固一下啊，看一个第七题。 首先速度最大点呢，很明显是 a 点，速度小是 b 点。根据开盘的第二定律结论啊，从 b 到 a 的 过程中，这个是逆时针转动啊，从 b 跑到 a， 哎，从这跑到这，正好它是 这个速度啊，因为首先这个速度是逐渐变大的，因为逐渐在靠近太阳中心天体啊，靠近近日点，那 a 到 b 的 时间正好是二分之七， 从得到 c 的 时间，这里面很多同学会容易错，从得到 c， 从这里跑到这里，这个时间是要小于二分之七的。为啥？因为 从得到 c 虽然说是整个椭圆周长的一半，但是从得到 c， 相对来说 平均距离是比较靠近于中心点的，它的速度会比较大，那因此 它走过这个半圈用的时间就比较短。那与此相反呢？从 c 跑到 d， 因为整体相对来说是离 m 比较远，所以说它用的时间就比较长，速度小，时间长了， 那因此从 a 跑到 c， 这个时间，它就要小于四分之七，小于四分之一个周期了啊， 因为从 a 跑到 c， 相对来说速度比较大，那么与此相对呢？你比如说你从 c 跑到 b， 哎，你这个用的时间，你要大约四分之一个周长，四分之一个周期了啊，啊，因为相对来说，这边的 速度比较慢一些啊，同样跑四分之一个弧长，它用的时间比较长。 好，下面作为一个选择判断题啊，开普拉运动定律，适用于仅适用于行星绕太阳，那就错了啊，它是整个宇宙天体行星绕中心运动的普遍规律。 第二题，所有行星行星都在同一椭圆轨道，那不就会撞了吗？对，错了啊，它是在不同的椭圆轨道中心天体一样而已。第三题， 嗯，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，对的啊。第四题，太阳位于木星运行轨道的中心，我知道你可能会认为它是对的，但是我告诉大家这一题，它是错的。 太阳呢，虽然说质量比较大，它占整个太阳系百分之九十九点八，一样啊， 嗯，但是还剩下百分之零点二呢，那就是其他星体的质量。所以说呢，木星运行轨道的中心是 太阳系的质心，但是太阳系的质心并不是太阳这个球体的正中心，它只是在太阳表面，太阳离太阳比较近而已。 你说太阳动吗？其实太阳他也是在动的，根据万有引力，那你太阳吸着其他气体，那其他气体不也吸着太阳。所以说太阳呢，他也在轻微的动 啊，并不说，就是在固定他，他的那个几何中心，那不动他，他也是在表面啊，稍微动一点啊。所以说这个轨道中心是太阳系的中心啊，不等于太阳的几何中心 啊，只是在太阳的表面附近。第五题，在相等时间内，火星以太阳扫过的面积等于木星以太阳扫过的面积，这不胡扯吗？你这一题做错的同学，你要仔细看一下 这个开普勒第二定律到底是怎么说的。我们往上看啊，说的是 任意一个行星来说，同一个东西在相同的时间扫过的面积是一样的啊，那你不同的星体相同的时间扫过的面积，它是不一样的， 轨道半径都不一样，对吧？最后一题，在这个公式里面啊， k 是 一个五官的质量啊，止于中心，天地质量决定，这是对的。

如何使用开普勒三大定律求解速度大小？这是粉丝提问的，他们高三一摸卷里的题目挺有意思的，大致意思是某中心天体质量为 m 一， 卫星沿椭圆轨道运行，近地距离为 r， 远地距离为三 r， 让求解卫星距离中心天体二 r 处的速度大小。先假设近地速度、远地速度以及要求解的速度分别为 v 一、 v 二、 v 三。 我们用两种方法来解析一下。方法一是开二定律拓展公式，结合能量守恒。由开普勒第二定律拓展公式可以知道 r v 一 等于三， r v 二，再就是能量守恒。能量由卫星的动能和卫星与中心天体之间的势能组成。动能大家都知道，天体之间的势能呢？ 势能等于负的，大 g， 大 m 乘以小 m 再除以距离二。请大家思考一下，为什么势能是负的？打在评论区写出能量守恒公式， 连立两个公式，可以求出 v 一 和 v 二。这时候肯定有同学会想继续用开二定律让 r v 一 等于三， r v 二等于二， r v 三求出 v 三， 大家想想这样对吗？当然不对啦，咱之前的视频里讲过了呀，开二那个公式用的是切向速度，并不能等同于核速度，所以要想求解，还得使用能量守恒。在这个能量公式后面继续写二 r 处的能量，由此便可算出 v 三的大小。 把你们的答案打在评论区，我们能不能搞出来一个通式呢？假设近地距离为 r 一， 远地距离为 r 二，中心天体质量为 m， 求解距离中心天体 r 时的速度大小。利用刚才的原理列出如下公式，经过一年的计算，终于可以得出系统总能量 e 等于负的大 g， 大 m 乘以小 m， 再除以 r 一 加 r 二，也就是椭圆长轴， 以此作为二级结论，然后根据能量守恒写出任意位置的总能量等于 e， 快 速求出速度了。方法二用的是开二面积定律，结合能量守恒，由面积定律可以知道，卫星与中心天体连线，任意时间扫过，面积与时间的比值是相同的。 这个方法需要用到一些几何知识。我们先取整个椭圆面积，这个方法需要知道椭圆的短半轴 b， 椭圆面积为 pi a b。 至于周期 t 嘛，之前的视频也讲过了，把椭圆等效为圆周长，圆周的半径为椭圆的长半周。由牛顿第二定律万有引力等于用周期表示的向心力公式求出周期。 我们假设卫星在近地点位置时，让连线转过一个极短的时间， t 对 应角度为 c 的 沿线扫过的面积可以看成扇形，而扇形的面积等于二分之一， c 的 乘以半径的平方而角度， c 的 又等于弧长除以半径，而弧长等于线，速度乘以时间。一连串公式连立起来，面积除以时间又可以等于二分之 v 一 而一， 最终可以算出来 v 一。 最后再利用能量守恒，也可以求出来距离为二而处的速度大小。

关键的一次翘级，直接把天文学和玄学编出了科学。在高中近点历学的整体体系中，它是实现行星运动规律描述的核心工具。掌握它，你就能在面对卫星轨道旁听其回关、行星公转等复杂运动时 离去直接胎坑运动规律的麻烦，照你旁观起核与周期，就能看懂听体运动的本质。接下来我交代你逐步考定它。我们接下来所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳处在椭圆的一个焦点上。第二，行星与太阳的连线在僧额时间内扫过的面积削倒。第三，所有行星轨道半朝轴的立方公转周期的平方之比为常数。那这三句话是什么意思呢？ 我用地球公转给你举个简单的例子。我们都知道地球绕太阳公转时是离太阳近，有时离太阳远。如果我们只探某一时刻的位置，那就很难判断他的运动。 二定律告诉我们，在近略点地球跑的最快，在远热点讨的最难。如果你把地球和太阳的连线在交拢时间内扫户的面积划出来， 它们是完全相等的，而这就是面积定律的直观体现。那现在问题就来了，我们怎样才能分析出某个天体 叫轨道上任意位置的速度周期，或者从一点到另一点需要多长时间呢？它除了给出了一个新的视角，我们可以采用轨道参数的招法，将天体运动的几何关系转化为周期、半长轴、速度等可计算的物理验，以此来描述天体运动的节奏与范围。 那这时我们就能推导出开普勒第三定律的公式，我们设安是轨道半长轴， t 是 公转周期，好尔是一个与中心天体有关的常数，那我们就能得到这么一个公式，其中 i 指轨道半长轴，代表天体运动的范围， t 指公转周期，代表天体运动的节奏 和 a 值与中心天体质量有关的常数，横这里的既为引力潮量，还为中心天体的质量。哈住整个公式的作用就是该死，我们所有绕同一中心天体运动的形仙，它们的轨道大小和 运行周期之间存在着确定的数据关系。也就是说这个公式把天体运动的空间特征和时间特征联系了起来。那在了解了这些号，我们看到它是怎么应用的？以这道题为例，和根据开普勒 g 三定律一亿步先求椭圆轨道的内长轴 a， 那 我们就能得到这个。同时由周期定律我们能得到哪 个？接着第二步带入数值求解椭圆轨道周期移带入圆轨道半径，从而得到这个展开计算，接着开方化解， 我们就得到椭圆轨道的公转周期。而后我们求飞船托 i 到 b 的 运动时间期，飞船托 i 点到 b 点，恰好是椭圆轨道了一半，我们也就轻松得到了它的时间，轻松触打。

这道题的重点呢，第一个就是看到周期加半径的时候，马上要想到开普勒第三定律，而我们高中天体里边唯一一个圆和椭圆都同时适用的就是开普勒第三定律。第二个要知道在同一点上，只要轨道半径相同，他们的加速度就都是一样的。 第三个就是要记住一个口诀，加速离心，减速向前。最后就是我们常记得这个近快远慢，高轨低速大周期。我们来读一下这道题，整个这道题呢，前面这些话都是没有用的，我们这道题直接从这个位置开始读就可以了。如图所示， 假设在地球附近存在着圆轨道微型一和椭圆轨道微型二， ab 两点为两轨道交点， a 距离地心为 r， 也就是说这个时候距离地心的距离为 r， 然后 b 距离地心为三 r c 距离地心为二 r 这一段为二 r， 也就是说外边这个卫星一，它的轨道半径为二 r， 卫星都绕地球逆时针运行下来，说法正确的是第一个 a 选项。卫星二和卫星一的周期不同，我们看到了轨道半径， 又问了周期，所以这个时候我们第一反应一定要想到的是开普勒第三定律，也就说在天体里边，如果是周期加半径， 题干里边一定要给出了周期加半径。我们马上要想到开普勒第三定律，开三定律。那开三定律在说什么呢？就是 r 一 的立方比，上一个 r 二的立方等于 t 一 的平方比，上一个 t 二的平方，也就是说同一个中心天体 半径的立方比等于周期的平方比。那我们现在看啊，对于一而言，对于一而言的话，现在这个 r 一 是不就是一个二 r， 对 吧？所以它就是一个二 r， 那 对于二而言呢？对于二二的话，你会发现这个时候它是一个椭圆，我们要知道开普勒第三定律，它适用于圆加椭圆， 它是唯一一个在天体里边圆和椭圆都可以用的。那对于二，微型 r 二，这个时候等于多少？是不就等于二分之 r 加上一个三 r， 对 吧？这个它的是它的轨道半长轴，那也就等于 r r， 我 们会发现 r 一 和 r r 相等，所以这个时候 t 一 是等于 t 二的，那么两个微型的周期一定是相同的， a 不 对， b 选项。卫星二和卫星一在 c 点加速度不同，天体里边的加速度怎么求？是不是外有引力 提供向心力？这个时候大 g 大 m， 小 m 比 r 方等于一个 m a， 所以 a 等于大 g， 大 m 比上一个 r 方。 也就是说天体里边加速度只与它的半径有关，因为你同一个中心，天体大 g 相同，大 m 相同。那我们发现现在 在同一个 c 点，如果都在 c 点的话，这个时候 r 一 是等于 r 二都等于一个 r， 对 吧？距离 d 心的距离，所以这个时候 a 一 是等于 a 二的。 也就是说微型二和微型一在 c 点的加速度相不相同呢？是相同的，所以 b 不 对。然后我们再来看 c 的 选项，这道题呢，我们先来看的选项，因为的选项可以反推 c。 好， 我们先来说的， 若卫星二在 a 点适当的点火加速，即可在半径为 r 的 低轨道绕地球做圆周运动， 现在我想在这一点做一个半径为 r 的 圆，这个圆大致就是这个绿颜色的圆，那现在我把这个轨道标个序号，这是一轨，然后这个是二轨，这个是三轨。 我们看如果说现在他要是想从二轨的 a 点进到一轨的 a 点，这时候他是不是要做一个减速运动？这里边有一个口诀叫做加速离心，减速向心。我们知道 在天体运动当中，他万有引力提供了向心力， f 一 等于 f， 向 万有引力大小是固定的，大 g 大 m 小， m 比上一个 r 方等于 m v 方比 r， 你 在同一个点 f one 是 固定的。当你这个时候如果要是减速的时候，你的向心力需求小了，但是万有引力它的大小不变， 所以这个时候是不是就做了一个向心运动？反之，当你的速度增加的时候，你的向心力会需求变大，而这个时候万有引力他不变，那么你 万有引力给不了那么多了，那此时就要做一个离心运动，所以我们要把这个口诀记住，加速离心，减速向心。 好，那我们看啊，这个时候从二轨当中的 a 点，要想记录到一轨当中的 a 点，是不是做了一个象形运动，所以从二轨到一轨的话，我们要做一个减速运动，那也说这个时候二轨上的 a 点 要大于一轨上的 a 点的速度，那他说这个加速就错了，应该是做一个减速， 那就剩一个 c 了， c 是 对的。我们来看一眼 c 选项，卫星一在 c 点的速度小于卫星二在 a 点的速度。好，我们看啊，我们对比一下，一和三这两个轨道 都是一个圆，有一个结论叫做近快远慢，高轨低速大周期。如果这个结论要是都不知道的话， 那么就说明你天体这一块的基础非常非常差，一定要回去自己再练一练。这个时候一轨的轨道比三轨的轨道要低，所以一轨上的速度比三轨上的速度要快，那也就是得出了这个时候一轨的 a 点要比三轨上的 c 点速度要大。 而我们刚才又知道，二 a 进到一 a 的 时候要做减速，所以这个时候 v 二 a 又大于了 v 一 a 大 于 v 三 c， 所以 c 是 对的。微型一在 c 点的速度要小于微型二在 a 点的速度，那么这道题选 c。

大家好，新的一期咱们又见面了，今天跟着温 sir 来探讨万有引力定律的内容，咱们先探讨开普勒的三个定律啊，有第一定律、第二定律和第三定律，那么开普勒万有引力定律这一章的内容主要沿用到咱们这个天体上，以太阳系为例啊，以咱们的太阳系为例， 咱们都知道咱们生活在太阳系当中啊。以太阳系为例，太阳系当中，太阳是一颗恒星，有八颗行星绕着太阳都在做椭圆运动，那么这八颗行星，水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星，最后加一个地球啊，这是太阳的八颗行星，那么这八颗行星都在做椭圆运动啊！通过咱们的观察 和计算能得到，八颗行星都在绕太阳做椭圆运动，而太阳在椭圆其中一个他们的公共焦点上。那么在数学上大家都学过椭圆啊，假设这是一个椭圆 a 到 b 之间的距离，这叫它的长轴，这一段红色的距离叫做它的短轴，那么最中间那个点叫做 o 点，那么 o a 就是 它的长半轴，而 o b 就是 它的 呃，也是长半轴，那么这两段就是他的短轴的一半，叫做短半轴。那么每一个椭圆都有两个焦点， f 一 和 f 二。那么对于这八个椭圆来说，八颗行星对应的八颗椭圆来说，他们有一个公共的焦点啊，他们公共的焦点重合了，而太阳就在这一个公共的焦点上。假设在这个位置， 那么以地球为例，地球做的也是一个椭圆运动啊，地球做的也是个椭圆运动，那么绕着这个绿色的轨迹，绕着这个绿色的轨迹，以太阳为其中的一个焦点，他在做椭圆运动，那么这个点就是他 a 点就是离太阳最近的点，也叫做近日点 啊，叫做近日点，而 b 点是离太阳最远的点，也就叫做圆日点，所以地球绕着太阳就做这样一个椭圆运动，那么其他的咱们的七颗行星也绕着太太阳在各自不同的轨道上，有些轨道大一些，有些轨道小一些，都在绕太阳做椭圆运动，那么太阳在其中一个八颗椭圆里面其中一个工作的焦点上，这就是咱们的轨道啊， 这是咱们的太阳系当中，行星绕恒星运行的轨道定律，那么近日点离太阳最近，远日点离太阳最远，所 也地球绕着太阳做这个公转的过程当中走一圈，这就是一年时间啊，一个公转年，那么近日点离太阳最近，远日点离太阳最远，那么这个温度上就有差异，所以就出现了冬至、夏至、春分和秋分，也就是这就是咱们一年四季啊， 咱们经常所说的一年四季，这就是咱们的太阳的一个轨道啊，八颗行星都是绕太阳做椭圆运动，那么后期咱们万有引力定律学完之后，在径四处理问题的时候，我们都当成匀速圆周运动去处理，但是实质上他做的都是椭圆运动啊，这就是第一定律，也叫做轨道定律，即就是他们的轨道都是椭圆啊，椭圆。 第二一个是咱们的面积定律啊，它又名叫做面积，那么这是啥意思呢？就是对于同一颗行星来说，还是以地球地球绕这个椭圆运动的过程当中， 在相同时间内，他与太阳的连线啊，我用红色的笔给大家，为了区分划出来地球与太阳的连线，在相同时间内扫过的面积是相等，那么假设他从 a 点走到了 b 点啊，他从 a 点走到了 b 点啊，这是他的运动轨迹，然后扫过的面积就是这样阴影部分的这部分面积， 那么某一时刻，他走到了这个位置啊，走到了这个位置，那么这就是地球仪的连线，那么扫过的面积想相同点扫过面积如果想跟这个红色的这部分面积要相等的话，那么这一部分的弧长应该要短一些，那么这一点记住 c 点，这一点记住 d 点。也就是说， 在相同时间里，这一部分扫过的面积和这一部分扫过的面积要相等。那么很明显，白色这段距离要远远大于红色这段距离，那么 x、 a、 b 应该远远大于 c 的 这段弧长。 又因为他俩所用的时间是相等的，所以 v 八 a b a、 b 这一段的平均速度就应该等于 x a、 b 比上一个 t， 而 v 八 c、 d 这一段的平均速度应该等于 x c、 d。 除以 t， 即在相同时间内所围面积相同，那么时间一样。而 x a、 b 远远大于 x c、 d， 那 么 v 八 a、 b 应该也就大于 v b c、 d。 也就是说 a、 b 这一段的平均速度应该大于 c、 d 这一段， 那么如果这一段非常小，这段也非常小，那么我就可以用这一小段的平均速度来代替这一段中间某一点的顺时针。 所以由此可以得到一个结论，就是在近地点上啊，在近地点上，假设这是 m 点啊，近地点离太阳是最近的，那么离太阳到 呃地球到太阳之间的距离也是最短的，那么要想扫过的面积和最远处记作 n 点，在非常短的一段时间扫过的面积相等，那么这一段的弧长应该要长与这段的弧长，所以这一段的平均速度大于这一小段的平均速度，而这一小段的平均速度可以代替该点的升值速度。由此可得，这一点的速度远远应该比 n 点的速度更大。 那么综上所述，咱们就可以得到一个结论，就是在做椭圆运动的过程当中，同一颗行星在做椭圆运动的过程当中，近地点它的速度是最大的 哎，近地点速率是最大的，而远地点他的速率应该是最小的，那么他从近地点到远地点运行的过程当中，他的速率应该逐渐在减小，而在远地点往近地点运行的过程当中，速率应该逐渐增大，所以动能在减小，动能在增大， 那么减小的这些动能去哪里了呢？因为他要远离太阳，所以要克服太阳对他的引力做工，所以可以把它转化为势了。而整个过程当中，机械能他是守恒的啊，这就从能量角度来考虑这个过程， 这就是咱们的开普勒第二定律，也叫做面积定律啊，也叫面积定律。最终证明到的结论就是，一个行星在绕恒星做椭圆运动的过程当中，它的速率是发生变化的，近日点速率是最大的，而远日点速率是最小的。那么再从近日点往远日点运行的过程中，速率逐渐在减小，远日点往近日点运行的过程中，速率逐渐的增大，那么如果是地球的一颗卫星也一样， 那么卫星绕地球做匀速的时候，就有近地点和远地点啊，那么近地点速率就是最大的，远地点速就是最小的。好了啊，这就是开普勒的 第二定律啊，对同一颗行星，先听一下解释啊。对同一颗行星绕着这颗母星做同样运动的过程中，那么第三定律，这是后期咱们用的比较多的一个定律，就是对于同一母星啊，对于同一颗母星来说，同一母星也就是同一大 m， 那 比如在太阳系当中啊，在太 阳系当中，咱们的母星啊，这个母星就是太阳，太阳，太阳是不是保持不变啊？对同一颗母星来说， 八颗行星对应八个轨道，也对应八个周期，且对应八个长轴和短轴，那么对于这八颗行星来说，他们各自得到结论。我先说结论啊，对于各自的长半轴，如果我记作 a 啊，也就是对于这一段长度来说，其这是其中一个行星的长半轴，它长半轴的三次方， 假设对它记作 a 一 啊，记作 a 一 次，其中一颗行星的长半的三次方比周期的平方的比值，应该等于另外一颗行星长半轴的三次方和周期的平方的比值，等于第三个咱们的行星长半轴的三次方和周期的平方比值，也就是它 长半轴的三次方和周期的平方的比值，应该是个定值。前提条件是同一颗母星啊，同一个母星，这个后期要用到咱们的万一定律当中，也要把它归归结到一起啊，在圆周运动当中，咱们就没有长半轴和短半轴之分，我们就直接看轨道半径，而在椭圆运动里面，如果轨迹是椭圆，就是长半轴的三次方和它运行的周期的平方的比值是个定 前提条件是一模一样。那么比如太阳系当中就满足这样一个情况啊，这就是开拓了通过实验啊，通过计算得到的这样三个结论啊，在后期咱们做题的过程当中，直接当成结论去用就 ok 啊，也为咱们的万有引力定律的提出砥砺了，非常好的一个基础啊！砥砺，非常好的基础，好，今天咱们就到这跟着温色学物理不迷路，咱们下期再见。