哈代公式解

当拉玛鲁金进入剑桥之后，哈带就傻眼了，他无法想象一个连基础数学知识都搞不清楚的人是如何得出这些公式的。于是拉玛鲁金又将自己的梦中经历叙述了一遍。 这一番言论极大的冲击了哈袋的世界观，自己是一个无神论者，自然不相信拉玛鲁金所谓的梦境阶梯。不过 当他看到拉玛鲁金整整两大本的数学笔记之后，又不得不相信自己作为当今数学界的代表人物，深知这些公式的伟大之处，他知道其中大多公式自己都无法解释，那这些公式到底是怎么写出的呢？他无法想象，也不敢相信。拉玛鲁金一共记录了三千九百多个公式，这些公式只有结果，却没有证明过程， 其中有很多公式在当时都无法解释，拉玛鲁金自己也无法阐述，他只知道这样是对的，但为什么这样是对的，他却说不清楚。也正因为这样，当时剑桥很多传统的数学家都认为拉玛鲁金是来自印度的骗 拉玛鲁金一面急于将自己这本记录了三千九百多个公式的数学笔记整理发表成为论文，而一面又因为缺乏证明过程常常被人质疑。鉴于这种尴尬的状况，无奈之下，哈戴让拉玛鲁金重新学习数学的基础知识，以证明过程。最终在五年里，哈戴与拉玛鲁金共同发表了二十八篇重要的论文， 所以从这里也能看出拉玛鲁金的解题方法确实就依靠直觉，他在解决一个难题时，根本就没有考虑过程，而是直接给出一个结果。不过哈戴却认为拉玛鲁金并不是没有考虑过程，而是因为他有一种说不清的独特的解题思路和超越常人的心算能力。 在遇到难题时，他在脑海中就已经描绘出了解题思路，不过他并没有将其写下，只是记下了最终的方法。到了一九一四年，恰逢第一次世界大战导致食物短缺，拉玛瑙金又是素食主义者，因为长期的营养不良与英国潮汕 的环境，使他患上了严重的肺结核疾病。不过人生本就是福祸相依，凭借着出色的研究成果，在一九一八年初，阿玛鲁金成为了第一位来自于印度的英国皇家学会会员，同年又成为了剑桥大学三一学院的会员。 一九一九年，第一次世界大战结束，身患重病的拉玛鲁金被迫返回家乡。到了次年四月二十六日，拉玛鲁金病逝于马德拉斯，享年仅三十二岁。 这一年，整个英国数学界初期的成绩，哈戴在剑桥大学的追悼会上泣不成声，在他眼中的拉玛鲁金是一位名副其实的怪才，在这几年的合作中，自己一个无神论者，从 多次被拉玛鲁金的数学直觉冲击三观。也是在这个时候，哈达说下了那句我们在开头提到的话，我们在学习数学，而拉玛鲁金却发现并创造了数学。有很多人说拉玛鲁金的公式并不完全正确，我们大起来， 他留下的公式不仅影响着当时的数学界，也影响着现在以及未来的数学界。在一九七三年时，比利时的数学家德利尼 因证明了拉玛鲁金在一九一六年提出的一个猜想，从而获得了菲尔兹奖。菲尔兹奖是目前世界最高的数学奖项，这个猜想就是三千九百多个公式中的其中一个。除此之外，还有很多公式被应用在了现代的量子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同的学科之中。 他人生之中的最后一项成果叫做模仿塞他函数也是只有公式结果，没有推算过程，甚至连他本人也不知道这项成果的意义。 目前这个 ct 函数有力的推动了用孤立波理论来研究癌细胞恶化和扩散以及海啸的运动，而且还成为了量子物理学超前理论中的重要公式之一。这个公式可以用来解释黑洞理论，但在当时甚至还没有人提出 黑洞这个概念。值得一提的是，在拉马桶金留下的公式之中，还有很多并未得到证明。所以所谓的天赋到底是什么？ 用拉玛瑙金的话来说，就神的启示。不过这个说法确实比较魔幻，按照我们旁观者的视角来看，这是一种直觉，一种无法言说的直觉。我想用直觉来解释天赋，可能是我们目前能够找到的最合适的说法了。不知道你的身上有没有这种无法言说的直觉呢？ u 哈， i love you！

我们说解高阶导数啊，你们手上的方法啊，起码有三个吧，第一个叫什么？叫归纳法，第二个叫莱姆尼兹，第三个是泰勒公式对比。那么我们说这道题目，他给的函数是不是只有一个函数？一个函数让你在 x 零处的 n 阶导数。 那么我们我我推荐这道题的做法呢？是第一个方法跟第三个方法对吧？你归纳的话也行，这归纳也不难啊，你就求导，哎，外一撇，哎，外两撇，外三撇，你求，我觉得这个东西，这个方法我也不用讲，你肯定能求出来，所以这道题呢，我讲的话肯定讲太乐，是吧？解，这个是三步骤，第一步你把 f 抽象展开， 你不在零处吗？那我就展开到零处，麦克劳林展开时是吧？第二个步骤就是你题目要求的是这个函数，我怎么样具体展开。第三步比较细数，我们来写一下，这道题就是这样的来，第一步，任何可导函数 x 都可以被泰勒写成，谁加上 f 一撇零，再加二的阶乘分之一， f 撇撇零乘以 x 方一直写，是不是写到 n 的阶程分之 f， n 接到零， x 的 n 字方继续加，这是所有的科导函数都可以这么写啊。那么比方说啊，给你举例子，比方说这个 lawn 一加 x， 他的泰勒展开是怎么来的？有同学说你要背，你不会背，我就带你算怎么来？第一项一定是 f 零， 也就是说这个人你带零进去，你带零进去，请问乱一是不是零加第二项，第二项是，你求个岛乘以 x， 你求个岛是一加 x， x 分之一带零进去是一，一乘个 x， 第一第二项就是 x， 对吧？然后呢？你这一项是啥呢？哎，我就不给你算了，一定是减去二分之 x 平方，你应该你自己会背，是不是？然后加上三分之 x 三次，他是这么来的，哎，一直写写写，写到后面这叫什么？ 负一的 n 减一次 n 的分之一 x 的 n 次方，对不对？然后一直往下写啊？你验证一下，这个地方有的时候可能自己也会配错， 那因为你看你这是积数四，前面是正的，那假设我，恩取个积数的话，积又取个啥？取个七七减一是六， ok， 首数是正的，没问题， 对吧？所以你要知道所有的这可导函数的这样的展开一定是一样相等的啊。所以我要问你， lawn e 加 x 这个函数，假设我的 y 是等于他的，我想问你 y 撇撇零等于几？你的两种方法是直接，一是方法把它算出来，第二个是直接对比，由于你的 x 平方向的前面的系数含有 f 撇撇零， 所以也就是意味着什么？意味着 x 平方前的系数应该是相等的，也就是这一坨应该是等于这一坨啊，我们就可以得到啊，有这件事情可以得到二的阶层， f 撇撇零，它是等于负二分之一的，对吧？所以我们就可以得到 f 撇撇零就等于负一， 这不两边同时乘以二嘛，这不是负一啊，也就是说如果这个函数求二级的把零带进去，就应该是负一好了。那这样的话呢，我们就来看第二步，我们现在给的函数是不是叫 y 等于 low n 一减二 x， 我们要把它具体展开，那具体展开的话，我们是根据上面这个公式会比较快一点，对不对？那就直接写啊，那就是，呃， x， 那就不是 x 了，就是负二， x 作为第一项 啊。对，对着写啊。然后第二项是啥？减去二分之负二， x 平方吗？ 是不是？哎，一直写，我们就写到第，我们写找那个 x 的 n 次方钱的系数，那就找到这叫负一的 n 减一，然后是 n 分之一来叫负二 x 的 n 次方， 继续往后加，那么我们现在就知道了，哎，第二步搞定了，他具体展开第三步呢，就是比较系数，哎，我要求的是他的 n 阶段，那我就看 x n 前的系数，也就说明这 这个人一定和这个人相等，对吧？我们就来第三步。所以 n 的阶乘分之一， f 的 n 阶倒代零。哎，你再乘个 x， n 也行啊，不乘也行，是不一定等于负一的 n 减一，然后 n 分之一这边有个负二的 n 次方， x 的 n 次， 这两个人一定相等，你推出 f n 街道，你去算它这两个人约了嘛？ 啊，然后呢，我们怎么再操作一下呢？这边就还剩个 n 的阶层，就方程两边同时乘以 n 的阶层，看会得到什么？ 会得到负一的，这是 n 减一，这不负二的 n 次方吗？是不是有个负一的 n 次，是不叫 n 上面是 n 的阶层，然后是二的 n 次，而这一项议程是负一的二 n 减一，二 n 减一是永远 是基数次，而基数次的话就都是负的，对吧？所以他就等于负的这个 n 的阶层除以 n。 啥东西啊？ n 的阶层可以写成 n 乘以 n 减一的阶层， 对吧？再除个 n， 那约掉之后不是 n 减一的阶层，所以它就是负的 n 减一的阶程，再乘以二的 n 次方。

来到剑桥后，哈戴发现拉玛纽金的数学知识极其的匮乏，但是他就是能够写出那些奇妙的公式与定义。拉玛纽金告诉哈戴，他所写的所有公式都来自于他梦中的女神， 只要虔诚的冥想，女神就会告诉他答案。在剑桥的五年里，拉玛鲁基与哈戴共同发表了二十八篇重要论文。年轻的拉玛鲁基震撼了整个数学界。 然而，一战的爆发，奉行素食主义的拉玛女金在战争时期根本无法满足自身的营养需求，导致身体十分虚弱。终于，在身体和心里的双重折磨下，拉玛女金病倒了，并变得愈发抑郁起来。 一九一九年四月，他回到了印度的家里，可他的身体已经垮了。四年四月，拉玛努金于家中病逝，年仅三十二岁。在这短暂的生命里，数学天才拉玛努金留下了三千九百多 公式，密密麻麻写满了他的笔记本。但让人感到奇怪的是，拉玛鲁金的公式没有推倒，过程只有结果，就连拥有一定数学基础的人都很难参透这些公式。由于所得公式的推导全无步骤，拉玛鲁金饱受争议，有人大骂他就是个骗子，也有人说他是个来自未来的穿越者。

一加一等于二这道三岁小孩都能解的题，却难倒了全世界的数学家。这其实并不是一道普通的小学题，他脱胎于世界三大数学难题之一歌德巴赫猜想。 一七四二年，德国数学家格德巴赫偶然发现了任意大于二的基数都是三个质数之和，但是他自己无法证明这个公式，只好去联系十八世纪最杰出的数学家欧拉。 欧拉给他的回信中提出推论，任何偶数都可以是两个质数之和，也就是所谓的一加一等于二。但令人非常遗憾的是，欧拉一直到自己生命的尽头也没有证明出来这个猜想。 两位聪明绝顶的大数学家都失败了，可见一加一等于二是难到了极致。数 百年来，世界上无数数学家耗尽毕生心血也没能证明这个猜想。直到一九六六年，我国数学家陈景润先生经过不懈努力，终于挣出一加二等于三。这是迄今为止最接近哥德巴和猜想的一个答案，震惊了整个数学界。 为了证明一加二，陈景润当时凭借一支笔，一个人足足用了几麻袋的草稿纸。在那个没有计算机帮助的时代，这十分令人敬佩。 对于数学家来说，一加二等于三不仅仅只是一篇文章，还是让数学界看到解开哥德巴赫曙光的指路灯。 这篇论文啊，也被称为城市定理。陈景润无疑是一位伟大的数学家，可惜的是，陈景润先生因为过度劳累拖垮了身体，历史上的今天，他因病离开了我们，享年六十三岁。 有人曾这样评价，可惜诺贝尔没有数学奖，不然这个奖一定是为中国人设立。

方法三，泰勒展开三部曲， y 等于 x 三次乘以三，让你求 y 的六阶道，我是不是三步走？第一步他是不是可以写成第二步给我把这个具体展开，其中 x 三次你不管，请问三引泰勒展你会吗？按照这样的规律来的，但是我们在这我问你，我是不是想对比 x 六次方前的系数，是不是展到第三阶就 ok 了？ 后面不用写，因为你转到三阶乘以前面的三次方就变成六次，哎，所以呢，他就变成啥啊？ x 四减去六分之一 x 六，那么根据展开应该是一样的，也就是说 x 六次方前的系数应该等于 x 六次方前的系数固。第三步，对比系数就可以了， x 三次方，泰勒展开 x 三次方，本身它就是密函数，没法再变成密函数了，所以它要保留。直接是这个题啊，让你求他在这点的 n 阶倒数，哎，在零点我们可以直接 算啊，用我们的那个求导公式去算。但是如果你泰勒贝的时候的话，你告诉我第一步是不叫抽象展开， fx 等于 f 零，你背熟了吧，加上 f 一撇零， x 来一直加，我们就直接。你要找的是 ng 岛是不？给我找的是 x n 次方前的系数，所以找的是这个东西，对吧？先抽象展开之这来第二步，给我把这个 low 一减去二， x 具体展开，我们常备的那个叫什么？也就是说，如果我的 n 取偶数，他是负的，取积数是正的，那么你猜这个地方是不是应该来个负一的 n 减一？如果我取偶数 是不是六六减一是五，哎，负一的五次方是负的，没问题，把所有的就是 x 改成负二 x 就 ok 了，那也就意味着这个系数就是负一的 n 减一 n 分之一负一， 一的 n 次二的 n 次 x n 次。第三步，对比细数来三，我就让谁让 fn 接到。我问问你，负一的二 n 减一是不是基数次？那基数次是不都是负的？所以这块是不是纯负的？那其实他就是负的，能懂吗？ 我给你改成负号行吗？那你告诉我，我是不是相当于把这个 n 的阶层再乘过来？那就推出了 f n 接到零，他就等于负的 n 的阶程 b 上 n 再乘以二的 n 次 n 的阶层除以 n 是什么？ n 的阶层可以写成 n 乘 n 减一的阶层，对不对？那再除以 n， 哎，再乘以二的 n 次添个符号，那不就约了吗？哎。所以最后答案就是，这就是你们想听的，泰勒为什么让他俩相等？因为抽象展开和具体展开 展开的是是不变的，展开是不变，那也意味着 xn 前的系数必须相等。好，如果你还没学会，第十题继续来看，要求 n 阶导带零的话，一定是泰勒公式的方法。第一步，抽象展开，我给你今天给你写了第四遍了，请你给我背下来。第二步，给我具体展开，我现在是谁？ 我现在是这个玩意，那这个玩意给我写在这， x 平方乘以 low n 一减 x。 好，我问问题，请问 x 方要不要动不动？因为它本身就已经是密函数了，你动它干嘛？我泰勒公式就是为了把所有的不是密函数的函数给我变成密函数，你怎么能动它呢？所以它不动。 那既然我要找 n 次方前的系数，请问我要把它斩到几阶？我要斩到几阶？斩到 n 减二阶。答，对了，怎么能斩到三阶呢？当然斩到 n 减二阶了，你要找 n 次 方，前面已经有平方了，你攒到 x n 减二跟前面的 x 方一乘不等于 x n 吗？你把这个 x 负的提出来，你看负的 n 减二跟 n 减三一乘是不是永远都是负的？ 你就按规律看，你能看得出来，第一项是负的，第二项还是负平方。你是负的，一次方也是负的，说明永远都是负的。所以我们第三步对比系是负的 n 减二答案就推出了 fn 阶的。没懂。第十一题，这题做过了，莱布尼做过了，记得吗？第十一题在哪里？在这，还记得他答案吗？ 这个答案在这里啊，叫我们给你复制过来，看对不对？两个函数相乘来，第一步，抽象展开， fx 给我展成，接下来具体展开。我要求 n 阶岛 这有个平方，我是把它斩到 n 减二阶。那斩到 n 减二阶的话怎么办？这个我不会斩啊，我只会斩 e x。 兄弟， e x 我会啊，一加上 x 加上二分之 x， 平方一直加哦，加到 n 的阶层， x 的 n 次再加下去，这是 e x， 那二的 x 怎么办？二， x 跟这种区别很简单， 你不是会做指数变换吗？这不是 u 的 v 字方吗？它不写成 e 的 v low on u 会不会？所以它是不是可以写成 e 的 x low on 二，哎，找到了吧？找到了 x 哦， x low on 二，所以我只需要把 x 改成 x low on 二就行， 好不好？所以会了啊，那他就应该展成一加上 xlon 二，哎，加上二的二分之一 xlon 二的平方，当这个再加一直加，他就应该写成是这样吧？你给我第三步对比，细数来对比吧。 f n j 导零比 以上， n 的结成要等于 n 减二的结成来，那把这个 n 的结成除过来，而 n 的阶成可以写成 n 乘 n 减一，再乘 n 减二的结成二次方。以上就是我们的高阶导数的题目。

今天我们来看一下拉马路军是如何靠灵感来解放增大。有一个方程， x 加更换 y 等于七，更换 x 加 y 等于 c， 要求出 xy 啊，大家可以挑战一下。 首先你所当然的拉毛乳精是用瞪眼法猜出了答案，但是他如何写过程呢？他这样写的， 用这个一四二四二四减一四，得到根号 x 加 y 减 x 加上根号 y 等于四，然后把根号放到一起啊， 把 y 写成根号 y 的平方， x 写成根号 x 平方，那么它就是根号 y 减根号 x 乘以根号 y 加根号 x。 把这个 提出来，他就会写成根号 x 减根号 y 乘以一，减去根号 y 加根号 x， 然后看到这个 yx 都大一点啊，所以他把它变相 写到这一步。要想继续算下去啊，不管是老师也好，还是同学也好，肯定算不下去了，这个结不出来。但是拉门如今却经常从另类的角度思考问题啊，他说假设他解决出来，而且是整数结， 他应该可以写成一乘以四，然后让根号 y 减根号 x 等于根号 x 加根号 y 减去一等于四啊， 两个相加，求出二倍的根号 y 等于六， y 等于九， x 等于，然后把 xy 求出来。 那这个实际上从最开始他就用瞪眼法瞪出来， x 等于四万等于九啊，不然不会这么解。而且他在解题过程中是有问题的啊， 他没有排除其他的答案，他是否有其他的减呢？我们看一下严谨的调节过程啊，我们不喜欢带根号的，索性就把它去掉，让 x 等于 a 方， 让 y 等于 b 方，而且 a b 都是大于零的啊，大于等于零呢？为了方便这种计算吗？掉落原式就是 a 方加 b 等于七， a 加 b 方等于 c， 由这个得到 b 等于七，减 a 方带入这里啊，就是 a 加上七减 a 方的平方等于 c， 把这个化解啊。 a 的四字方 加上四十九，减去一十四倍的 a 方加上 a 减一， c 等于零，也就是 a 的四十方减一十四， a 的平方加上 a 加上三十八等于零。我们求这个一元四方程，好像不太好求啊，用四根法看他有没有根， 正负一不行，正负二。试了一下，二可以啊， a 等于二可以，或者最开始的时候，我们就应该用瞪眼法看一看找完的秘方。数一是词里面的 有一四、九，就这三个啊，刚好带入进去啊。外等于九的时候， x 是完全平方数四啊，四加三等于七，这个是二加九等于十一，没有错啊。如果从最开始就想到用完全平方数去 四的话，用瞪眼法得到答案，那么求解这个方程还是有可能的啊，或者耐心一点，用四根法也能够求出他的根啊。那其他方式有没有可能呢？没有可能啊，所以这个题目考察的就是数感，猜出 a 等于二是他的一个解了，那么 a 的四方 减去四， a 方可以配出二，减十， a 方加上二十， a 可以配出二啊。减十九， a 加三十八，可以配出二，他可以配成 a 方乘以 a 加二，乘以 a 减二，减十 a， a 减二， 减去是九， a 减二，提个 a 减二出来，那这个该怎么求呢？有没有什么技巧呢？这个无法再因此分解了，我们只能用求婚公司把它求出来， 这个一元三次方程的求婚公司可以翻看这段视频啊，我们用计算器把它按出来啊，求解。这个方程的话，解出他的根是三个，两个负值，一个正值三零一三，负值舍去啊， 那么这个正值 a 等于三点一三，后面好多个，那么 a 方肯定大于九了， a 方是 x， 那么这个时候更换个小，你呢？不可能啊， 所以说这个值也不成立，他只有唯一的减， a 等于二，这个时候 x 等于四， y 等于九啊，这是唯一的一组解啊。 ok， 更多的有趣的社会问题，可以翻看我的合集和订阅我的身单，关注我，让学习变得更有趣一点。

今天我们分享一位神奇的数学家，为什么说他很神奇呢？因为他用公式证明了神的存在。 有人说啊，他是数学家，为什么能用公式证明神的存在呢？数学家不是无神论证吗？恰恰相反， 这位是一个有神论者，而且他比较出名。为什么出名呢？因为他的好多公式都推动了数学物理的一个发展，但是他本人呢，并没有证明，或者说并不能证明这些公式是怎么来的。那有人问他啊，你的灵感来自于哪里？他说， 我来自于我的女神拉玛卡尔。许多人疑惑了，拉玛卡尔是谁呢？原难道是他暗恋的对象吗？不是啊， 是印度的一位女神啊。我们来分享一下他随手啊给出的一个公式啊，这个原来的公式呢，是都是有数字的啊， 把一个数抽出来了，实际上这是一个竞赛的试题啊，随便抽出来一个数字，让学生去做，大家给挑战一下，看能不能完成这个有趣的问题， 我们看他随手丢失的公式中的 x 到底是什么？ 我们仔细观察，这个是啥？这个三的更换二，这个三的更换二，而这个是三的更换的平方，这个一跟这个一又很像，我们能不能设他是 a， 他是 b 啊？也就是说，三次根号二等于 a， 一等于 b， 那么这个元式就可以写成 a 减 b， 三次根号等于 b， 加上这个是 a 的平方，再减去。 哎呀，除以 b 是等于一的，这个 b， b 的平方， b 的三十方， b 的四十方都可以写啊。 这个 a 也可以看成 a 乘以 b 乘以 b 的平方， a 乘以 b 的三次方，或者 a 除以 b 啊，我们就填成这样啊， b 的平方 a 乘 b 啊，他的只是不变的。那这个公式是不是跟那个 a 的三次方加 b 的三次方的一个音是很像啊？是比较像啊， 但是呢，这个题目却无法这样配啊，只能说知道这个公式对解这个题目有一点帮助。我们把两边同时三次方，他是 a 减 b 等于 a 的平方加 b 的平方减 a， b 的三次方除以 x 三次方，我们一项之后， x 三次方等于 a 的平方加 b 的平方减 ab 的三次方除以 a 减 b 啊。 啊，怎么把 a 给求出来呢？就是把这一边求出来吗？这边好像很繁琐啊，我们适当的去化解一下，上下同时乘以 a 加 b， a 加 b， 那么他就等于啊， a 的平方加 b 的平方减 ab 的平方， a 的三次方加上 b 的三次方除以 a 的平方减 b 的平方，这个 a 是等于三次更换二的，他的三次方式等于二啊，他加一等于三啊，也就是这个四是等于三倍的， 那现在该怎么办呢？只能代入了一下，无法再继续化解呢？然后把它带入进去， 最终化减速的结果是，三倍的乘以三倍的三次根号二十平方减去一，除以 三次根号二的平方减去一啊，也就是等于九啊， x 方等于九，求出 x 等于三次根号九啊， 是不是很神奇啊，让我写规范一点啊，也是说，我们需要经过几分钟甚至十几分钟的运算才能得到结果啊，他可能只需要几秒钟就能够把它写出来啊，为什么呢？ 啊？因为有啊，因为他对数字，特别是整数极其敏感，他的一个数学家朋友曾经说过， 每个整数都是他的朋友啊，可见他对数字是有多么的敏感啊。举个例子啊， 他的朋友做了一个出租车，一七二九，知道车牌啊，跟他抱怨了一下，说这个车牌一点也不好。 而他马上回答的朋友说啊，这个车牌的数字挺好的，他是等于一十二的三次方加一的三次方这两个美妙的数字，也是十的三次方加九的三次方这两个美妙的数字啊，也就是说，他只需要在脑子里思考 两三秒钟，就能够得到跟许多整数相关的公式，那他的这种能力到底是来自于他还是来自于谁，就不得知了啊。 ok， 今天关于这个有趣的事子，我们就分享到这里，关注我，让我学习变得更有趣一点。

大家好，请看下题，英式分解 x 平方减掉五， x 加一，具体怎么分解呢？具体分解的时候，请大家一定要仔细想一想， 他是在什么范围之内分解。 好，现在我们分析这一题，我们在冲动阶段讲英式分解，一般的都是在有理说范围之内， 采取的方法有分组分解法、配方法、十字交叉相乘法、天相拆相法等等。 那么这一题我们看 x 平方减五， x 加一，我们发现 似乎采取任何方法都不行，什么原因呢？具体如果我们对这种形式比较熟悉，比较了解的话， 具体分解英式的方法，他不是在有理数范围之内，他实际上是在实数范围之内， 那么我们怎么分解呢？我们现在跳出这样一个圈子，我们假设 x 平方减五， x 加一，他假设等于零，是一个方程的话， 那么这个方程他肯定有两个根在十处范围之内，假设的两个根是 x 一 x 二的话， 那么我们把 x 平方减五， x 加一，这个柿子，在这个柿子做化减的时候，他一定会化减成这样两个柿子 x 减掉 x 一乘以 x 减掉 x 等于零，所以这样 x 一和 x 二才是 x 平方减五， x 加一等于零的两个根。 那么这个 x 一 x 二我们是用什么方法求的呢？我们是用求根公式 好，按照这个思路的话，那么我们这个 x 平方减五， x 加一，是不是就能够分解成 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二？好，所以我们首先拧这个式子 等于零，他的两个失错根，一个是 x 一，一个是 x 二， 那么我们根据这个求根公式就能够算出来， x 一 x 二等于复闭，就是五十五，加减根号 b 平方减四， s 负五的平方二十五减掉四， s 就是二十一出现。 所以 x 平方减五， x 加一，他就能够分解成 x 减， 减掉五，加根号二十一除以二，乘以 x 减掉五，减根号二十一 出现。所以这批分解仪式，他最后的答案就是就是这个。 这题实际上大家如果能够跳出分解因式这个框子与 一元二次方程结合起来的话，与求婚公式结合起来的话，这题是很简单的。但是因为我们的初中阶段讲的是因式分解，他的范围是有理数范围之类，而这一题是在十处范围之内，所以 我们有很多人都不会做这一题。好，这题就讲到这里，谢谢收看，再见！

第三层侧面只有一个 u， 其他都是乱的，这种情况下用这个 u 靠右手 里面，对自己右靠右手一定要靠右手，靠右手的时候这个右 他现在是橙色的，下面两层是什么颜色都可以，因为他和第一层、第二层是没有关系的，所以只要这两个 靠左，你的右手就可以。右一百八抵一百八， 右下顶右右上一百八，右下顶左右下 一个 u， 用反二公式操作完之后再观察他的侧面肯定发生变化了， 现在有一个 u， 有一个整， 有一个 u， 有一个 u， 也就是说刚才是一个 u， 现在操作完之后他变成了三个 u 了。

邵老师，有没有什么冷门的数学技巧？还真有，我高一的时候发现一个数学公式，这个公式可以秒掉一类高考英语压轴和初中竞赛题， 也是四 x 方加五外方等于一，求三 x 方加二 xy 加外方的取值范围是不等式中最难的一类体型。常规的做法是使用三氧化源或者超高的拉杆导致手术法大概也就需要十分钟，不过由我来教大家十秒钟解决这个问题。第一步， 像我一样把技术定到一个二次方程上，写出来四 t 减三乘以五 t 减一，右边等于二分之二的平方。第二步，解这个方程的根对应为最大值和最小值，怎么样，简单吧。

我们做了一个关于欧拉长寿的十三个公式的证明，那个成就我用了两周左右时间吧，我给做出来了。这乎这个问题将近一年没人解了，刚学会了搭 tex 那种编程语言，所以想拿他就试一试，一把手熬夜熬到晚上两三点，然后我就憋着一股劲给他做出来了。 我现在正在做一个更大的项目，李曼猜想呢，到现在应该是不到两百年了，一直没有人解决我说不好听的，只要是我不死，我都会研究这个方向，我可能会为他奉献一生的。 参加阿里巴巴数学竞赛，我大概是从二零二零年开始了解到的。二零二三年阿里巴巴数学竞赛我还是个人认为有点难度的，所以用了两三个小时吧，其实对个人最大的帮助就是开拓事业。当初学数学就是 一种纯粹的觉得有意思，解说一道数学题是多么开心的事，是一种享受。我承认数学使人孤独，这种孤独感使我感觉到勇往直前的快乐。