stolz定理张宇书里有吗

今天主播讲一下上期视频里提到的 dos 定律，这个定律在计算数列极限的时候非常好用，但是张宇的书里又没有讲， 所以我们来学一下怎么使用。首先我们最常见到的是这种分式类型的求极限，它的分子是 a n 加一减 a n， 分 母是 b n 加一减 b n。 我 们只需要满足零小于 b n 小 于 b n 加一，并且 b n 趋近于正无穷大。 也可以类似地看作 b n 是 一个单调递增的数列，那么就可以得到这个式子的极限等于 a n 比 b n 的 极限。要运用 stoos 定律，最重要的就是要找到一个 单调递增并且趋于无穷的 b n。 这里我们来看一道例子。张宇高数第二讲习题的第四题答案里用的方法是等价无穷小替换。但如果我们用 stoos 定理的话，就会发现非常简单，分子 n 的 九十九次方就等于 n 倍的 n 的 九十九次方，减去 n 减一倍的 n 的 九十九次方，而分母很明显是一个单调递增的 b n。 因此我们可以得到原式等于 lim n 趋于无穷， n 乘以 n 的 九十九次方比上 n 的 k 次方， 得到的结果是 n 的 一百减 k 次方。如果极限存在的话，说明无论 n 取多大， n 的 一百减 k 次方都是常数，所一 k 等于一百。当然这个定理也可以反过来用。我们再来看另一道例题， 这道题中并没有出现比值的形式，我们先将 lema 的 符号提到 e 的 指数上去， 得到一个这样的式子。它的分母式 n 分 子是从落引 a 一 一直加到落引 a n 上面是 a n， 下面是 b n， 那 么它的极限就等于 a n 加一减 a n 比上 b n 加一减 b n 的 极限等于落引 a n 加一比一等于落引 a。 我们在使用 stools 定礼前，一定要看清楚 b n 是 否符合条件，并不是所有这种比执行的求极限都可以用，而且由于张宇的书中没有讲，所以不建议在大题中使用。

章鱼基础三日讲到底有哪些可以不用看？前八讲的内容我已经整完了，大家可以截图保存一下，这个视频也是花费了我大量的精力，希望大家可以点点赞，点点关注，感谢各位！ 首先是第一讲的三十页，那么这一部分的话呢，大家可以不用花时间去看，因为基本是不会考的，就是这个超时速，超时速包括到一直到这里，到这个后面的屈和速度，这里其实都是可以不用看的，如果你理解不了的话，不用看啊，当然你后面如果学的还不错，你可以把这个屈和速度再拿回来看一下 这个。至于这个超时数的话，可以完全不用看后是第四十一页，这个无穷小的定义啊，这一部分完全感觉就是章鱼老师给自己写美了，他写的东西都不知道是啥。然后后面这个超时数也可以不用看啊，但是无穷小紧接着就要看了，第五十一页从 这里开始啊，这里也是，你只要只需要把上面这个公式记住，行了，下面这东西你不用看啊，还有这什么考研数学最高境界，跟你毛关系没有，但是到这里就认真看了，因为这里有一部分公式啊，这前面这些东西是可以不用看。好，然后咱们看一下第一讲最后一部分，也就是六十四页，这一部分六十四页 你只要记住这个就可以了，后面这个东西不用看，跟你半毛钱关系不用不用看，不用看。第二讲的这个海列地理可以不用看啊，海列地理不用看，虽然说这个很重要，但是你前期理解不了的话，可以不用看， 同样的竖列极限也比较难嘛，所以第二讲的第八个点，关于区域 a 的 速度问题，也可以不用看啊，这部分的一些例题呢，你都可以不用做， 如果你没有学懂的话，这部分可以不用看。关于第三讲，首先你只需要记得这个就可以了，然后这个例子，然后后面这个第六部分可以不用看啊，因为这一部分太抽象了，可以不用看。 然后是第一百零七页这个专题，这个专题的话你可以去 b 站找，直接就找 f x 与 f x 绝对值，你直接去 b 站搜就可以了，因为这一部分他在二五年是考过选择题的，而且比较难，所以有很多 up 主讲的，可以去 b 站找一下。然后就是咱们的第六讲， 第六讲的微分等式，以微分不等式这一部分可以不用学，如果你的目标在一百二以下的话，可以不用看，如果你的目标在一百三以下，那微分等式要看一下，微分不等式可以不用看啊。 然后是第两百页关于这个结论的解释，你只需要知道这个结论就可以了，一个函数求完导出他的导数可能有震荡，震荡点，哎，至于他怎么去解释的，你无需了解，你只需要知道这个例子就可以了，因为他会举一个例子，那这个例子看一下就行了，不需要去把这个东西看的很深，如果你目标没那么高的话， 那么这个就是张宇前八讲一些没有必要听的地方，那么至于其他没有提及的地方都比较重要，那么本期视频就到这里，下一周我会花时间把后面期讲看一看，然后再给大家出个视频，跟上亚瑟的节奏。

这思路啊，我们要训练一下啊，有的同学对于解析思路啊，呃，不是很呃，这个熟悉 啊，但我说这个解析思路啊，是专业的解析思路，并不是大家说的每道题的那个解析的具体思路，不是那个意思 啊，哪四种呢？你比如说，呃，第一个是常规思路，常规思路里包括正向思路、 反向思路和双向思路，这个大家就很清楚了。比如说我们中支定律的问题，往往使用的是双向思路，因为你正向往后推 啊， a 推 b， b 推 c， 最后到结果，那么这个正向思路可是正向思路，大家知道它有时候这个你没有结论，你不知道结论在考什么，你往下推就没有方向。 那么第二种是反向思路，那就是说你结果告诉我了，那我就问自己这个结果要成立，只要什么成立就可以了，是吧？然后这个要成立，他只要什么成立就可以了， 对吧？那么这样的话呢，一直往前推，那是反向思路，但是我们更多用的是什么？是双向的思路？就是你从条件稍微推一点，是吧？你觉得这个条件常用的，他考的是什么东西？然后呢，你从结论再往前推一推，这样呢，大家如果凑到中间能够接起来，那么这就是，呃，这个。

跟张宇的同学是不是学到第六章忠实定律，感觉越学越崩溃？是不是感觉不把他弄懂，心里又特别不踏实？我非常不建议大家花太多时间在第六章忠实定律上，如果你目标不是一百三十五分的话，这一章千万不要去深究他。可能很多人刚学基础就想着把每道题目都给他弄懂，这一点完全没错， 但是努力也是有方向的。你就像我去年花了很多时间在第六章中的地理上，我当时就想去弄明白，想知道怎么各种构造，各种解析。我不仅花时间把例题弄明白，然后我还把一些题都给做了， 前前后后花了我不下至少两周时间吧。但当我后期遇到那些心灵的题目，证明题还是一样没有思路，一样不会做，上了考场还是不会做。还有一点就是，大部分人上了考场，证明题基本上都是只能做出第一问的，很少有人能做出第二问， 除非是特别简单那种。考场上你也不会留很多时间去思考证明题，基本上就是看一眼有没有思路，没有就跳过。 所以至于大部分人前期学的时候，就可以完全放掉一些，把更多时间留给能够拿到的分数你。比如说像数一的话，你可以花更多时间在专项部分、无穷极数还有曲线曲面积分上，那部分虽然难，但是只要你多花时间就能够学会，你题目就能够拿分。 当然，一些定律的公式和简单的证明还是要记住的，但这就足够了，这也花不了多少时间。记住，你复习一定要把有限的时间留给收益最大的部分，所有科目都是这样的。

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二分钟让你通过一道题学会一道题，这是将以一零零零题像的一道终极定律证明题。主播感觉第二问的答案真是抽象，于是主播决定来分享另一种做法，拿到这题，我们先干什么？当然是先写证明，把题目下注，然后我们进行思考， 题目给出二阶导不等式，又给了端点函数值。第一问让我们证明 f x 的 一阶导绝对值小于等于二分之大。 m 很 容易想到利用泰勒一项放缩，那直接开始操作它。 我们将两个端点在 x 处展开相减，就得到了 f x 一 阶导的表达式，再套向绝对值，利用绝对值不等式轻松得到答案。这里的放缩看右边， x 和一减 x 都是零到一之间的正数， 那么就会越平方越小，所以这里小于等于一。当 x 等于零和 e 时，可以同时取等，所以是小于等于。接下来我们看第二问，题目已经给出两个零点，第二问又加一个零点，然后就让我们把小于等于变成严格小于来证， 哈哈哈哈哈哈。那么既然有三个相等的函数级，我们可以考虑先写出罗艾定律，得到两个异界岛等于零，然后继续思考怎么得到严格小于。 我们知道终极定律得到的终极是在开区间内的，而开区间和 b 区间与严格小于和小于等于好像有些许联系。 我们可以通过 b 区间向的 x 与开区间向的终极作恰得到严格小于区间长度，那么我们继续操作它。当 x 小 于零到二分之一时， x 减一太一是严格小于二分之一的。 再用一次拉格朗逸终极定律可以分离出 x 减一太一就可以放松得到严格小于二分之大 m， 那 么当 x 小 于二分之一到一时，同理。最后写综向所述，每每交界。

你好，我们来看一下这期的视频，这期视频是一个总结视频。首先来看定积分的概念性质，如果一个 f x 它是有界，那在 a 到 b 这个区间内，我们把 a 到 b 这个区间 划分成 n 个小区间的话，计算 x 一 x 二一直到 x n， 那 么每一个区间长度的它 x i 是 不是就等于 x i 减一，减去 x i， 哦，应该反过来， x i 减去， x i 减一，这是每个区间的长度，那在这每个小区间内， 也就是 x i 减一到 x i。 以这个为例的话，我们取一个可三这个点，任取这个点，然后去作和式 s 等于什么呢？ i 从一到 n f， 可三 i 乘以到它 x i， 对 不对？这是我们取的一点，这是各区间的长度， 区间长度我们能够表示出来，取的这个点也知道是哪一个点，那么既拦不达是等于这个区间长度的最大值的话， 当这个 length 趋近于零的时候，也就是说这个区间长度最大的那个值是趋近于零的时候，我们对这个 s 求极限，它就等于 a 到 b 上 f x， 它的定积分， 也就是这个式子，这就是定积分的定义。而定积分的值它跟什么有关系呢？它是不是只跟被积函数还有积分区间有关？它跟积分变量是无关的， 那它的几何意义是不是就代表 y 等于 f x 与 x 轴以及 x 等 a， x 等 b 所围成的区别梯形的面积啊？对不对？ 那以一千题第八章的第一题为例，这道题在上一个视频中我们已经讲过了。以这个为例的话，我们来看它的可三根的它 x i 是 怎么取的？可三 i 是 不是就是括号里面 直接说那 delta x i 呢？可再取到一点，我们有了，那它这个各个小区间的长度应该怎么计算呢？我们刚才说的是不是用后面的这个区间点减去前面的这个区间点啊？所以呢，我们以选项 a 为例， d k 个小区间减去 d k 减一个小区间，它的长度的话，是不是就是它这个的它 x i 的 长度对不对？所以呢， a、 b、 c、 d 选项怎么去判断？是不是？就是看它的各区间长度跟它选取的点是否能够匹配一致，对不对？这是第一题。 再看下一个知识点，是一个定积分的存在原理，如果小 f x 它在 a 到 b 上连续，只要连续，那么它就是可集的， 那如果没有给出连续这个条件呢？我们就要看它有界，如果它有界，再加上它的间隔点是有限格的话，那么它也是可可集的。 这里加了一个注解，我们要去区分不定积分存在，定力跟定积分存在，或者说是跟可集之间的关系， 他中间的区别是什么呢？前者是什么呢？元函数存在，他是只要存在间断点，当然是正当间断点除外，那他就不存在元函数。 所以说就只要是除了这个正档间断点之外，只要他有间断点不连续，那么他就不存在原函数。因为存在原函数的话，代表是他这个原函数是可以等于一个数，原函数他是这样子，等于一个数，他经过某一个数 求导之后，是等于他的，对不对？那如果是可导的前提的话，是不是必然是连续的，对不对？ 所以呢，它这里是存在间断点的话，是不是代表它不连续，那也就是不存在元函数？当然正端的间断点是特殊情况，而后者呢，就是可极呢。 根据可极定积分存在定律，我们是不是发现只要它是有界的，也就是说即使它是存在有限个间断点， 它不连续的情况下，定积分也存在。所以定积分的存在的必要条件就是可记函数的话，它是必定有界的，也就是说定积分存在的话，能够推出它这个被记函数是有界的。 那这就说明一个问题，如果 f x， 它在 a 到 b 这个区间上无界的话，那么 f x， 它在 a 到 b 这个区间是不是就是不可极的？也就是定积分是不存在的。那后面我们学的反常积分，有时候 f x， 它在 a 到 b， a 到 b 上无界了，但是我们也能够求出来， a 到 b， f x， 他 是收敛的，这是为什么呢？因为他这个时候就已经不是定积分，他是反常积分。而上面这个结论呢，他在反常积分中也也是仍然是正确的。那现在就有一个关系， 定积分存在什么样的条件呢？是不是就是一个是连续，另外一个有界，加上有限个间隔点，对不对？ 并且呢，如果是可集的话，能够推定积分存在，定积分存在的话，也必然可集。但是定积分存在呢，它是能够推 f x 在 a 到 b 上有界。注意这里是一个必要条件，不是重要条件， 所以它是一个单箭头。那举一个例子，在 a 到 b 上 哦，我们以第二十三题 b 选项举例 b 选项的话，我这里举了一个反例，这也是在第八章的讲解视频中出现过的例题。 f x， 它是 等于一个，它是一个分段函数，那这个分段函数呢？我们知道它是在负一到一这个区间上可记，但是它是没有原函数的，因为它这里是存在跳跃键的点，但是呢，它是能够可集的，所以说就是能积分的话，只是代表它面积存在 啊，没有元函数呢，它存在跳跃键的点，是不是就代表它是没有人能够导出来它的？所以就是元函数不存在，对不对？ 而这里呢，我上一期视频我们也讲过，连续是一定可极的，并且还是一定有元函数的，有跳跃键的点的话，它就不连续，但是面积存在，也就是可极，所以可极的可极只要满足函数有键，在 函数有界，再加上有限个间隔点即可。而连续函数呢，才能够保证一定有原函数跟一定可极的这个条件。 再看积分函数，它的三大性质，它三大性质是不是就有界性，基有性跟周期性啊，对不对？那先来看一下它的基有性，基有性我们就完全可以做一个总结，求导呢，它是一定改变基有性的，而基函数求导 积分，它都改变奇偶性。如果一个可积函数 f x， 它是一个偶函数的话，我们这里它就存在两种情况，一种情况是零到 x 上 f t 的 积分，它是一个奇函数，但是呢，从 a 到 x 上 f t 的 积分，它就不一定 是一个奇函数，所以就是可奇函数 f x， 它如果是为偶函数的话，那么 f x， 它所有原函数中至少是有一个奇函数的，因为奇函数我们都知道它是关于原点对称的，是必过零零点的。 再看它的周期性，周期性呢，我这里写的比较简单， f x， 如果它是以 t 为周期的话，它的导函数也以 t 为周期。而可极函数 f x， 它以 t 为周期的话，那么它的原函数也是为，也是以 t 为周期的。所以， 但是呢，它这里有一个重要条件是什么呢？就是零到 t 上 f t， 它的定积分是等于零的，所以如果没有这个条件的话，那么它原函数的 周期性的话，我们就要再去用定义推导。可极函数 f x， 它如果以 t 为周期，那么从 a 到 a 加 t 上 f x， 它的定积分就等于零到 t 上 f x 的 定积分，这说明是什么呢？是不是周期函数它在一个周期上， 它的积分与起点是没有关系的。而可极函数 f x， 如果它以 t 为周期呢？从 t， 注意它这里的起点是 t， t 到上 t 到 a 加 t 上 f x 的 定积分是等于零到 a 上 f x 的 定积分呢？再看它的有界性， 有界性的，它总结下来就是一句话，就是两句话，在无穷区间上， f x 跟 f x 导函数的有界性，它是没有必然的联系的。而在有限的区间上， 这这里是一个有限区间，一个无穷区间。在有限区间上，它的导函数的有界性是能够推它原函数的有界性的。而有关这部分的知识点呢？ 在一千题第八章的二、三题中， c d 选项，我们这里是不是就做出了一个有关定义的推导，对不对感兴趣的同学可以看一下这期的视频。 再看有关反常积分的知识点，一个是无穷区间上的反常积分，无穷区间上反常积分的话， 如果正负无穷到正无穷上 f x， 它是收敛的话，那么就代表负无穷到 c 上 f x 的 定积分跟 c 到正无穷上 f x 的 定积分是同时收敛的， 只要有一个发散，那么负无穷到正无穷上 f x， 它就是发散的。而对于无穷区间上的反常积分，它的判连呢？一共是有两种方法，我们可以看一下第十五题， 在第十五题中已经总结出来了比较判别法跟极限判别法啊，这里是比较判别法，还有一个极限判别法。极限判别法应该是跟我看下有没有极限判别法，没有，那我们就来补充一下极限判别法。 极限判别法它这样子的，如果 f x， 它是属于 c， 这个 c 呢，是 a 到正无穷的， 那么 a 到正无穷 f x， 它的定它的反差积分就有两种情况，如果存在 k 大 于一的时候， x 去进行正无穷的时候， x k 次方 f x 存在，那么它就是收敛的。 第二种情况呢，如果存在 k 小 于等于一的这种情况，使 x 去进正无穷的时候， s k 四方 f x， 它是等于 d， 这个 d 是 不等于零或者是等于无穷的话，那么它就是发散的。而 k 取多少合适呢？它是一眼能够看穿的，这就是极限的基本功。还有一个知识点，它就是判连的时候是有关一个绝对收敛的。 绝对收敛呢，它是这样子的， f x 属于 c， 这个 c 是 属于 a 到正无穷的。如果 a 到正无穷上 f x 的 绝对值是收敛的，那么我们能够推出来 a 到正无穷 f x， 它是收敛的，但是反推呢，是不可以的。一般如果我们遇到单角函数， 遇到三角函数的时候，优先考虑比较判别法跟绝对收敛。其余情况的话，我们统一用极限判别， 这是它的判理。而无限函数的反常积分呢，它是不是要找瑕疵，对不对？ 就是无界函数的反常积分，我们是要找瑕点，无无穷区间上的反常积分呢？由于区间它是为无穷的，所以是很醒目的，但是无界函数的反常积分呢， 它没有那么醒目，所以要注意判别区间上是否有瑕点，一般呢是分母为零的点为瑕点， 而瑕点的判别呢，它是是这样子的， f x， 它属于 a 到 b 的 话，瑕点为 a。 如果它是存在一个 k， 使 x 去进正无穷的时候， x 减 k 的， x 减 a 的 k 次方乘以 f x 等于 m 零，也就是说它存在的话，这个极限存在，那么 k 小 一的时候是收敛的， k 大 于等于一的时候，它是发散的，或者是呢，斜点出现，斜点是，也就是是上极限的剩。 那如果存在这个 k 是 x 去近于 b 的 左极限， b 减 x 的 k 次方是等于 m 零存在的话，那么如果 k 小 于一的时候，它就是收敛的， k 大 于等于一的时候，它是发散的，这是它的判连方法。 而反常积分呢，它通常有六个重要尺度，也就是一到正无穷上 x p 次方分之一。 它的连散条件是不是就是 p 大 一的时候收敛， p 小 等一的时候发散，以及零到一上 x p 次方分之一 d x。 还有就是一到正无穷上，那 x 比上 x p 次方，是不是就是我们这里 总结的对不对？所以呢，它是需要背的。还有就是零到一，也就是说零到一来， x 比上 x p 次方，它的连散条件跟零到一，还有一到正无穷的时候， x p 次方分之一，它的连散条件， 以及我们还有常出现的 e 的 正无穷上 x 乘以 l x 括号 p 次方分之一，它的连等条件，所以是就需要去背的，这就是反反常积分判连的几种方法。而反常积分的计算呢， 在一千题、十四题往后它会也有出现反常积分，让我们去计算它是否收敛的，通常它给出一个对称区间的话， 对于对称区间上，我们能不能直接用奇偶性呢？它是不可以的，因为要先考虑它是否收敛，如果收敛的话，只有确定它收敛的话才可以用， 才可以用奇偶性，所以是要先判连，再去用奇偶性去计算这个反常积分。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

如果你是跟章宇的同学，那么你可能学到第六讲的时候，会学的非常吃力。因为中知地理这块本来在真题当中就是去出证明题的，所以大家学到这里的时候，如果实在听不懂就不要去听了，就直接跳过这章节。像我的话，虽然我是二五考研考了一百三十六分，但是证明题和 中知地理这块我就没有去学过。因为我当时前期是跟的汤家峰的零基础学到了第八讲，第九讲的时候才去换了章宇，然后 唐家凤老师，他的零基础是没有讲过增值定律的，所以我在基础阶段就没有去学，然后在强化阶段我也没有刻意的去学。就是如果你遇到这道题，你去做就行了，如果不会，你也不用太担心，顺其自然就好，能听懂讲解你就听，听不懂就放掉。 因为这种题目他是给那些一百四以上的人去出的。但是有一点，像拉格朗日、增值定律和科技不等式，这些公式你要会去记去用，然后像那些压轴的证明题，你就不要浪费时间去写了。如果大家还有其他问题，可以加我粉丝群或者私信问我。

基础三十讲是把大家所有学到的知识点完全达到了考研的要求，三十讲里面大部分题目都是在考研的完全相同的水平上，因为这个呢，我是在讲知识，给大家知识有个特点，什么叫讲知识呢？第一讲知识的特点就是第一个先讲的是概念，定义，公式，然后呢定律等等吧。讲完之后第二个讲 讲例题，然后呢用不同的题型去讲这个例题。这个内容我在前面给大家做完了，虽然我是希望大家能够提前，因为现在很多同学也知道数学这个东西呢，因为现在这个考试的这个趋势下，大家还是要多花点时间去自己做这个题目，这个听课啊，这个时间不能太长。

主播主播，中执定律大题，我也想拿点分数，但是这些辅助函数好难背，是不是学霸有什么坟绝藏着没讲，有的兄弟，有的这大学长五分钟教会你听不懂随便喷。 好，这个视频的话，给你讲一下我们中执定律怎么样去找他的一个辅助函数。其实我们都知道中执定律的话，你把辅助函数做出来，这道题目也就做出来了， 然后我相信像这种总结你一定见过，或者这种这种各种总结你都见过，但是呢，他其实并没有告诉你这些东西他到底是怎么记忆的，他只是，呃，有些同学可能错误的会认为这些东西我们都是靠把它背下来，那其实并不是的 啊，其实五中祥老师他也讲过这种方法，就是说我们通过微分方程把这个元函数给它反解出来，那我们来看一下具体是怎么样， 就是说，呃，这个结论的话，基本上可以解决百分之九十以上的那个终止定力。辅助函数这一类题的话，你只需要把那个题目看成是常微分方程，然后再求解，将最终的解的话表示成 就是我们解出来这个函数等于 c 的 这个形式，那我们的这个 f x 就是 我们所需要的辅助函数，然后两边求导之后的话，就是我们原来题目中所给的一个表达式，然后这个视频的话讲完之后再给你讲两种特殊的情况，然后这一类题目你基本上 呃可以从那个百分之九十变成百分之九十八，百分之九十九这样子，所以说一定要看到最后。那我们来首先来看第一个， 根据我们的结论，比如说他的结论是告诉你，我要证明这个东西，那我们的辅助函数怎么构造呀？辅助函数其实就是这样子，你把这个东西看成是微分方程， 这个是外一撇，这个是外嘛？然后求解这个微分方程。当然如果说你没有学到微分方程的话，你可以先收藏一下，等到微分方程学完之后再回过头来看。 然后呢？有了这个东西之后，像这个方程其实很好解的，解出来是 y 等于呃 c 乘以一的负 x， 然后我们的目的是什么？我们的目的是这样子，就说我们要把它构造成 f x 等于 c 的 这个形式， 那我们就把这个东西给它乘过来，乘过来之后是不是就是变成一个常数了？那我们的辅助函数就是大 a 小 f x e x。 然后这道题目我们辅助函数就找完了，然后我们可以对照前面看一下，就是它这里的话，其实对应的就是这个形，看一下，其实就是这种形式嘛，你会发现求出来是一模一样的。 好，然后接下来我们看下一个，下一个，就比如说像这样子的，那我们还是一样，我们通过呃这个公式嘛，用那个求通解的这个公式把它解出来，然后我们还有一个目的，就是说我们要把常数变成 c， 对 不对？ 常数变成 c 的 话，那我们怎么做呢？把这个乘过去，哎，这个再挪过去是不是就变成 c 了呀？那我们的辅助函数就是 ex y 减掉一个 long 的， 然后后面这个我们再来看，比如说像这个这么复杂的，对不对？这么复杂我估计你背都不想背。但是呢，我们可以这样子，你看把这个变成微分方程，然后把它给解出来，对不对？解出来之后 像这个的话，我们可以换元嘛，又一撇，减掉又啊朗的又等于零，然后用我们的求解公式把它给解出来，又 解出来等于 c e 的 朗的 x， 那 么我们的 y 减 x， 然后这样子之后呢，我们可以把这个 c 给它反解出来，把这个挪过去，把这个除过来，对不对？那我们的 c 就是 这个，所以说我们的那个辅助函数就是 f x 减掉 x 乘以 e 的 负零的 x， 对 不对？ 好，然后接下来的话是下一个，下一个的话是像这样子，如果说是两个变量的，其实也是一样，我们把它看成这样子的一个微分方程，然后把它的呃，把它的一个 解啊，我们用公式给它写出来，写出来之后，然后我们把这个除过来，除过来之后那是不是就是变成一个常数呀？那我们的元函数就是左边的这个东西非常的快啊。 然后呢，像中像中的话也是一样，就是你看 y 一 撇加上 y tangent x， 这个的话，其实就考验我们求呃原函数的一个功底嘛。你看像中的话，我们就给它分离变量， 分离变量之后，然后两边分别求解，这样的话我们就可以求出来 f x 等于 y 除以 y 三 x 了，对不对？好，然后最后的话讲一个特殊情况，就是说有的时候我们微分方程解出来会有两个常数，就比如说像这种方程， 这种方程我们解出来是不是两个，两个常数呀？两个常数我们解解决的方法就是说我们通过求导去消余，消除多余的常数，我们把它变形变成这样子，然后这样子我们是不是两边可以求导了？两边求导之后，然后我们再把这一部分给它除过去， 那是不是就得到了这这么一种形式？这种形式的话，那左边是不是就是我们大 f x 啊？然后这道题目我们就做出来了，当然有同学说，学长，那你这个，呃，我把 c 一 求导可以，那我这道题目我们就做出来了。当然有同学说，学长，那你这个我把 c 二求导掉可以吗？ 那当然也可以，这种地方的话，变形它是不唯一的，我们可以按照我们具体的一个情况来调整，然后再来第二个情况。第二种情况的话就是说如果你这个东西是带积分的，带积分的话，那我们直接给他换原了就可以了。你看 像这种东西，这种东西不是我们常见微分方程它的一个形式，但是呢，我们可以通过把这一整个积分变成一个 g x， 那 是不是这个就熟悉了？熟悉了之后，然后我们通过要通过那个分离变量，我们就可以求出来 g x 等于 x 分 之 c， 那这样的话我们就可以知道我们的大 f x 等于什么呀？大 f x， 呃，就是我们的 x g 嘛？ x g g 是 什么？ g， 是 不是就是这个积分呀？好，然后这个视频就给大家讲到这里，如果有想拿到这个电子奖励的，可以进一下我的粉丝群，好，谢谢大家。

有的学生打游戏特别厉害，一次性的大量的攻击，这个老怪就直接就给干掉了，可是大部分人吧打两下就跑了，因为什么？他怕那个老怪打到他，这样的话你始终打不败他。这个是谁提的？新闻提出来这个方法要连续作战，不怕疲劳，连续作战。 数学没有定计划这一说啊，不像英语单词，英语单词你想一下背五千个那是不可能的，他不符合科学规律。但是数学这个东西，你如果说我这个中智定力，我是确实觉得难，或者树立起我觉得难，我们有办法的。什么办法？大运动量的工作，我经常在课室跟你们说，你们导师进了实验室十六十七个小时不出 出来，那可都是六十岁以上的年轻人了，他为什么十六十七个小时不出来？这个不能停的，这个东西只要一断掉，你知道一个人的思维能力啊，他在进入这个状态以后，他是高速的旋转，那个效率是极高的。那个数据出来以后，那么你这个思考是不能停的。你像那个追刑法，始终顶着一个地方，他已经开始打出来裂痕了，已经有痕迹了， 这个时候一定要连续出击，这个学数学的方法。