高数中如何判断可导性和连续型

这是用定义来判定可导性，这是重点，这也是难点。我们再来看，比如说像这种问题，在下列函数中啊，在零点不可导的是 就这四个函数，谁在零点不可导，那么大家注意，他们都带有绝对值，要看他的零点可导不可导，那一般都应该使用定义啊。 那么在这呢，我们几个方法都用一下啊，因为是选择题，我们用直接法、排除法，首先我们用直接法，那位同学说，那直接法你怎么看出哪一个一定是在零点不可倒呢？ 但是这个有一个分析过程啊，就是我们一开始呢，一般应该从第一个往后面看，但实际上呢，这个地方大家注意啊，我们说这个， 那些同学说，你怎么知道这个呢？你看按照这个导数的定义，它在零点按导数定义写，是不是应该是这个极限就是 x 去向零，然后呢， f 减 f 零， f 是 谁？ f 是 cosine， 正好 x 绝对值减 f 零， f 零是 cosine， cosine 等于一啊，然后除以谁 x。 那么这个时候我们要熟悉这个键呢，就是 x 去向零的时候，我们知道一减 cosine， x 等于谁？二分之一 x 平方，那么所以这个分子应该等于谁？它是减一，它就等价于 这个负的二分之一，谁根号 x 绝对值的平方，这下除以 x， 那 这个应该等于谁？负的二分之一？ x 趋向于零，下面是 x， 上面是谁？根号 x 绝对值平方，就是 x 绝对值。事实上我们知道这个极限应该是不存在的，为什么？因为它这个极限应该 x 如果趋向零，从大于零的边去里边是正一，那这就是负二分之一， 这样就是诱导数，如果 x 呢？从小于零的边去向零，那这个是负一，那这个就是二分之一，那这说明这个函数在零点左右倒数存在的不相等，当然零点不可倒啊，这是直接说明这个啊是不可倒。

这道题呢，他给了我们一个参数方程，按照我们判断，这个函数呢，在零这一点是否连续，然后呢？是否刻到，怎么考虑呢？参数方程检验连续性和可造型，之前也没做过这种题，是吧？那怎么办呢？碰到这种情况啊，还是回到核心的四个字，这叫不忘初心。 你先别想别的啊，就说你拿的这种题，你看它里面你该做什么你就做什么就行，按照正常的一般的思路去做就可以。比如说我们看外侧有个变现气温，气温变的是油，但是括号里面有个 t， 碰到这种情况是不得先做一个变成代换令他这个括号里面整个等个 h 吧。那这个是 f h d u 是不是等于以 t 分之一 d h 上下线变成零到 t， 当我们这样一写，你发现点成这样，是不是得要求 t 不等零啊？那 t 等于的时候呢？ t 等于很简单，你把那个零带进去里边，是不就是零到一 f 零的积分， 这个结果是不就是 f 零？ f 零能不能算出来了？题目里面说了，这个 f x 是连续的，那 f 零是不是等于 limit x 区域零时候 f x 极限，这个极限是 a， 那么它分子上那个 f x 啊，是不是它就应该是趋近于零的？所以这样我们就把 y 呢，写成了这样一个分段的形式。那接下来我们再来判断， 让大家想想啊，这种连续性和可导性放到一块考的题，我们先检验什么呀？如果你对命题老头有点了解的话，这种题一般不要去检验连续性，直接检验可导性去了，因为他的题目啊，一般不大可能把这个函数啊设计成是不连续的，我们先检验可导性，有些时候能节约点时间。 那怎么解决可导性呢？还是不忘初心呢？回到最原始的定义上去。那你说 y 撇零等于什么？那是不是就等于 x 区域的时候，这个 y x 减去 y 零除以 x 减零啊？只不过呢，这道题这个 y x 啊，他不是直接给你的，他是通过这个参数方能给出来的。所以接下来我们要做一些转换。首先大家想想啊，这个 y 零是多少？注意啊，这个 y 零的含义是 x 等于是 y 的值啊，你要做一个转换，那你想 x 等零的时候相对 t 是多少？ 你看这个是怎么？ x 等于这个对吧？它要等于零，那 t 是不是只能等于零？所以这什么呀？这就是零， y 零是零，这是第一件事你要做的。然后呢，还要做转换， x 区零相当于 t 区域是多少？ 刚才分析过啊，你看只有 t 等于数， x 等于零，所以说呢， x 区定零，相当于 t 也区定零。然后呢，你把 y x y x 不就是 y 吗？等于这个带过来， x 是什么？ x 是什么？那个 t 加 line， e 加 t， 那拿过来是不是变成了 t 区域零这个极限？哎，那你看这样思路是不是一下就清楚了，我们接下来只要求这个键就行，这个键 存在，外撇零就存在这个点，不存在，外撇零就叫不存在，那这个点咋求啊？首先分母这两个是不是同阶相加，并且系数和不为零，可以等替，那么等替完了之后，下面变成二替方，然后呢，这个是不是落一下就行？ 落完了之后呢，结合已知条件， x 分之 f， x 当 x 区域定数极限是 a， 那我们这个极限就是四分之 a， 这个极限存在，那就说明这个函数 y 等于 y， x 在 x 等于处是看到的。

好了，郭同学，我们来看二零二四年四月三的这道题啊，这道题呢，它通过这个极限的形式给了我们一个函数 f x， 然后问这个 f x 呢，它在一和负一这两点啊，它是我们连续。 那我们考试里面啊，经常会这样说啊，就是通过一个极限或者别的一些间接的形式来告诉你函数 f x， 然后再让你考察连续性呢，可导电内都可以。那这中间的问题什么呢？就很多人会谈到这种题目是不是混乱的啊？往往会觉得不知道如何下手 啊？他这个函数你当然要求极限，那等于又是一个极限，对吧？那个数字怎么理清楚呢？注意啊，首先第一步，你得知道这个 f x 等于啥，就是你要把这个极限算完，那你要算这个极限，这种注意什么呢？你看这个极限是定 n 区无穷的求， 所以说你要注意什么呢？就是你这个极限是你们这个 x， 咱们怎么看这个 x 啊？咱是把它看成常数的啊，你注意啥？所以你先求极限。记住啊，求极限的时候 把 x 看成常数，当然呢，这个常数取不同的值的时候呢，它这个极限计算的结果可能会不一样，所以就会设什么呢？就会设计分类，最后呢，这种情况求出来这个函数 f x 呢，一般来说啊，它都是一个分段函数。 好，那你比如说啊，你看这道题，我们重点要讨论什么呢？重点要讨论的其实是这东西根母上这个 n 乘以 x 的 二次方， 这个结是多少？我们先说这个啊，就是你这个 x 的 二 n 次方，它的结是有三种情况，哪三种情况呢？如第一种情况， x 的 绝对值大于一， 它的绝对值大于一，那它它 n 次方， n 次方是不是越乘越大？那这就会确定什么呀？就会确定无穷是不是？好，那第二种情况是， x 的 绝对值如果小于一啊，越乘越小，那结论就应该是零， 是这样子吧。好，这是两头的，那中间还有，那就是当这个绝对是等一的时候，等于，你看这是什么？这就是一的 n 次方，一的 n 次方，那是很等一的，大概是这样子。好，所以这个 x 的 n 次方的极限有这样三个， 那它再乘个 n 之后呢？那你，那你过来看，乘个 n 之后，如果 x 的 角值大于一的话，那你这个 n 是 趋于无穷的，那后面也确定无穷，那整个还是无穷。那然后你当这个 x 的 角值等于一的时候呢， 那其实也是无穷的呗，因为你后面是一嘛，前面这个 n 去无穷的，对吧？好了，那当 x 的 绝对是小一的时候呢， 注意了啊，这个时候前面这个 n 是 确定无穷的，后面这个 x 的 二次方确定为零，这个零和无穷乘起来是多少？ 这歌呢，听谁的？哎， x 的 二 n 次方啊，它是个指数函数，指数函数收敛的速度呢，是要快于 m 函数的 啊，是吧，我，我就说了，这不是 m 函数嘛，注意，和我们这里谁是变量？ n 是 变量啊，对不对？ x 是 看成常数的啊，所以这是一个关于 n 的 指数函数 啊，前面是一个关于 n 的 逆函数啊，这个指数函数收敛速度啊，要远远快于逆函数，所以这个之前呢，应该是零。 因此呢，我们把这个最后讨论完，你看，就是 x 绝对是大于等于这个一的时候，它的结是无穷吧，对不对？ x 等于小于的结是零， x 大 于等于一，这是无穷。 x 小 于等于负一，这也是。 好了，那所以说你拿过来这个 f x， 它就等于什么呢？你看 x 如果大于等于一，或者是 x 小 等负一，这是多少？ 这个趋近无穷，那整个极限呢？它分母趋近无穷，分子是个长处，对不对？那整个就是零嘛，然后 x 在 负一到一之间呢？你这一部分趋近于零，好，那整个往里一带，是不是 f x 就 等于 x 减 啊？所以你看啊， f x 它的解析式，哎，咱们就求出来。好，那然后呢，我们就来判断这个一和负一这两个点的连续性，那这就比较简单了是不是？那你看啊，一这一点我们一算，右极限是零，左极限是二， 左一点不相等，说明什么？说明不连续。那负一这点呢？你看求右极限的时候， x 从负一的右侧去拿的时候， f x 等于 x 加一，这个算的是零。 然后呢？左极限和函数值这里也都是零啊。那这三个值相同，说明什么？说明 f x 在 x 等于负一， z 里啊，它是连续的。哎，所以这道题呢，怎么出来了？应该选 d。

大家好，我是负责 ap calculus 的 olivia。 今天我们来讲另一个很基础但也很容易被混淆的概念，可微性 different ability。 首先，函数在某一点可微的核心定义是函数 f x 在 x 等于 a 处，可微等价于这个函数在 a 点的导数存在。也就是说，这个 ppt 上展示的极限也存在。换句话说，左右导数都存在且相等。 接下来我们讲可危与连续的关系。第一条非常重要，可危，必定连续。也就是说，如果函数在某点可危，他一定在该点连续，但是反过来并不成立 连续的函数不一定可危。常用的逆否定题是，如果函数在某点不连续，那么他一定不可危。这一条可以帮我们快速的排除一些点。然后是 ap 经常考的三种不可危的情况。 第一点，函数不连续，比如跳跃间断和可去间断，这种情况下，导数的不存在尖点或角点。呃，左右导数不相等，所以不可谓垂直切线导数趋向于无穷大也算不可谓。 总结一句口诀，导数存在即可微，可微必连续，连续不必然可微。记住这句话，可以帮助你在考试的时候判断函数在某点是否可微。那么今天的内容就到这里，同学们，我们下期再见！

极限式中同时出现了 n 和 x， 看清本质是关键挑战期末不挂科一百题之二十四题来看这道题目，这道题目已知一个函数 f x， 它是由一个极限来定义的，那这个里面呢？又有 n 又有 x， 我 们去看一下谁是变化的？ n 是 趋无穷的， n 它是变化的。当我们对这个函数的自变量 x 负一个值的时候，带到这个极限里面，它就是个常数。所以说这个问题，其实它算的是 n 趋无穷时的一个极限。那我们来看一下这个极限呢？我们应该是对它比较熟悉的，可以看出来这个极限值和 x 的 范围是有关系的。 当 x 的 绝对值大于一的时候，那我们这个 f x 呀，它就等于做一个变形向下同时除以 x n 次方， 很明显， n 趋无穷的时候啊， x 绝对值大一的时候，这个 x n 次方分之一，肯定是趋于零的，所以最终结果呢，就是一。那当 x 绝对值小于一的时候， 这个 f x 小 于一， x 绝对值小于 x n 次方，它就趋于零，所以它最终结果就是负一。那还有两个点我们没有讨论，当 x 等于一的时候，当 x 等于一的时候，你把 x 等于一带进来， 分母它是一加一，分子就是一减一，结果就是零。那当 x 等于负一的时候，我们发现如果 n 它是等一个基数，那分母就为零了，所以 x 等于负一，它是没有定义的。 f x 在 x 等于负一的时候，它是无定义的，无定义的。 然后我们看这个函数 f x， 我 们就可以给它具体的写出来了。 x 绝对值如果小于一，它的函数值就是负一， x 如果等于一，函数值就是零， x 如果绝对值大于一，那它就等于一。好，那么这个函数 f x 呀， 我们就可以给它具体的写成这样一个分段函数的样子。下面来看函数 f x 它的连续性。那么我们通过这个分段函数可以知道啊，它在负一到一这个区间上，它是一直等于负一的，小于负一大一的时候是等于一的，那也就是说 f x 它在 负无穷到负一，负一到一开区间，在并上一到正无穷这个区间， 它都是连续的，因为是等两等于两个长值函数，对吧？在这些地方它都是连续的，那我们需要关注的是在一和负一那两个点，在 x 等于一的时候， x 等于一的时候，我们要去看它在这点的连续性，当然就是用的连续性定义了 f x 在 x 零点的连续性，我们就去看它在这点极限值是否等于它的函数值。那来看一下 x 去一的时候，它的极限值。 f x 在 x 去一的时候，它的极限值。由于在一的两侧，它的函数是变变化的，一个是等于负一，一个是等于一的，所以我们这就分两侧来看了啊， x 从左侧去一的时候，你的 f x 带的应该是第几段？应该是第一段函数就是负一，对吧？ x 从右侧去一的时候，你带的应该是第三段函数，它的极限值就是一，那很明显左右极限不存在，所以 f x 在 一这点极限也是不存在的，不存在的，那么它在这一点就是 f x 在 x 等于一是不连续的，不连续的，那又由于 f x 它在 负一，这点它是无定义的，所以 f x 这个函数，它在 x 等于负一的时候也是不连续的，不。

开始大学数学救命课第十五期，今天我们来说一下函数的连续性。函数的连续性非常非常简单，如果我说 f x 在 x 等于 x 零处连续，那他一定有这三个连等式， 就是 f x 在 x 零处的函数值等于啊，这个符号叫 f x 在 x 零处的左极限，意思就是比 x 零稍微小那么一点处的极限，这个符号叫 f x x 零处的右极限，意思就是 x 比 x 零稍微大那么一点。 如果这三个东西都成立，那么我就可以说 f x 在 x 等于 x 零处连续。 但凡这个式子有一点点不一样的地方，我都不能说他连续。举个例子， x 等于 x 零数，假如说没定义，那就不连续， 或者说这两个极限不相等，那也可以说不连续。这个我们后续会会介绍，这叫间断。好，大家把这件事背起来，这三个连等式相等，等价于 f x x 等于 x 零处连续。题目非常简单，只会考两种题， 第一种题型像例题一，这样啊，让我们证明某一个函数在某一点处是否连续。第二种题，像例题二，这样啊，就是告诉我们连续，让我们求参数的值，非常非常简单，就按照我们这个函数连续性的定义求就行了。第一件事啊，例题一， f 一 带入到第二个函数，非常简单，等于二，然后紧接着分别求一处的左极限以及一处的右极限。 一处的左极限，那肯定要比一要稍微小那么一点点，那肯定要带入第一段函数。我们真正求极限的时候，你肯定还是要带入 x 等于一的，所以比一小一点，在这个函数里带入 x 等于一，那就是二 比一大一点，肯定要带入第二段函数，那带入 x 等于一之后还是二这三个东西相等，我就可以下结论，所以 f x 在 x 等于一处连续就可以了。好，再看一下第二个题，一样的道理，先求一下 f 二 带入第二段函数等于五，然后求一下 f x 加 x 等于二处的左极限，比二稍微小那么一点点，肯定带入第一段等于这个 紧接着求 x 等于二处的右极限，比二稍微大那么一点，肯定带入第二段 还是五。好，我们让这三个东西都相等，直接求得 a 等于一就可以了啊，怎么写过程呢？因为这个切 啊，这个 f x 连续，对吧？在 x 等于二处连续，所以这三个东西相等，所以 a 等于一。再看一下例题三，我们说这个分段函数在 x 属于 r 上连续。还是那句话啊， f 零 以及 f 在 零处的左极限，以及 x 等于零处的右极限，这三个东西务必相等。 s 等于零处。 f 零这个玩意等于 a， 左极限也好，右极限也好，肯定离不开第一段函数。我们说对付这样的一个函数，你肯定不能直接带入球，怎么办啊？根据我们之前学过的知识，我们把这个 x 给他拿到大分数线的底边，横等变形，没有任何区别， 无论你趋近于左极限还是右极限，这都是 x 趋近于零嘛。 x 趋近于零， ok， 这是什么？这是不是典型的零比零型的极限啊，对不对？零比零型的极限。我们说，哎，我们 sine 三分之 x， 当 sin 里头这一堆玩意趋近零的时候，我们根据等加无穷小的替换这个 sin 这一堆是不就等价于啊 sin 里头的那一堆啊，对吧？好，那我就把 sin 三分之 x 换成三分之 x， 因为 sin 里头这堆玩意趋近零嘛，我就可以这么换。 好，那三分之 x 除以 x 直接就是三分之一吗？无论你是左 x 趋于零负，还是 x 趋于零正，都是这个样子。好，那既然这样，我们说左极限和右极限都是这个数， 因为 f x 在 这个区间上连续，所以说直接让这三个值对应相等就行了，最终 a 的 值等于三分之一，非常简单。所以说对于函数连续的知识，大家把这个事背下来就行。

同学你好，我们来看一下第十一题，第十一题呢，它是泛 x， 具有一级的连续导函数， f x 呢，是等于泛 x 跟这个函数的乘积，那么泛零是等于泛零等于零是 f x 在 等于零处可导的什么样的条件？那在解这道题之前呢？我们先来看一下一千题中的第二题，这我们前面讲过的一道题， 它是 f x 等于它两者的乘积，其中呢， f x 是 连续不可导的，但是 g x 是 可导的。先让我们判断，在 f x 等于 f x， 在 x 等 a 处，它是满足可导的前提条件下， 那 g a 他 是满足什么样的条件？或者说是 g 撇 a， 他 满足什么样的条件？也就是说，则一定有哪个选项。当时呢，我们利用的知识点是成绩函数的可导性，如果是一个可导，另一个不可导的话，那么 函数可导的成立的条件是不是一定是 g x 零等于零啊？因为当 g x 零不等于零的时候，它一定是不可导的。是不是就跟第二题中的 题干矛盾啊？因为题干是要求 f x 在 x 等 a 处可导，然后再去判断 g a 的 符号， 所以如果是这种情况的话，它是一定不可导的，所以一定是有 g x 零等于零的，这样的话，它的可导才能够可能成立， 然后需要进一步验证呢？我们当时在解析过程中也写了详细的思路，这是第二题跟第十一题的关联性。那我们再来回归到第十一题， 它这道题又有什么不同呢？第十一题， f x 它是也是两者的乘积，但我们先来看一下，一加小于 一加 x 绝对指这个函数，它是否可导呢？很明显，在 x 大 于零的时候小于一加 x， 它是不是大于零呢？所以呢， 我们可以设 g x， 它是等于一加上来一加 x， 那 它 g 撇 x 是 不是就是一加 x 分 之一啊？那在 x 小 于零呢？我们看来一加 x 它是什么呢？我们画一个函数图像，这是来 x 的 函数图像，那来一加 x 呢？是不是这样子的？ 我们很明显可以知道， x 小 于零的时候，拉一加 x， 它是小于零的吧？所以它的绝对值是什么呢？是不是负的 拉一加 x 对 不对？所以 g x， 它这个时候就等于一减去拉一加 x， 那 g 撇 x 是 不是就等于负的一加 x 分 之一，对不对？所以呢，可以知道， g x 和 g 撇 x， 它中间呢是相差的一个符号，也就是说在 x 等零处呢，这个一加来一加 x 的 绝对值，它是不可导的。 所以呢，是不是对于乘积的乘积函数的可导性来说，它是不是仍然满足是一个可导，一个是不可导的？那现在就是 f 零，现在就来判断 f 零等于零是它可导的什么样的条件？如果 f 零是不等于零的呢？那这个函数是不是就是根据第二题的结论？我们是知道它是一定不可导的， 这是跟第二题的关联性。那我们现在来看第十一题，它的解题思路是怎么样的？ f x， 它是具有 一阶连续导数这个条件，能够得出什么样的结论呢？是不是就是泛 x 在 x 等零处 可导的对不对？但根据可导 b 连续，我们是可以知道隐含一个连续的条件的。那 f x 是 等于什么呢？是不是泛 x 跟一加上蓝 e 加 x 的 乘积啊？ 啊？ line 加 x 绝对值的乘积 在 x 等于零处， 在 x 等于零处，那 f 零是等于什么呢？ f 零是不等于 f 零乘以一加 line 一 加零，对不对？所以呢，它是不是等于 f 零啊？ 也就是我们写全，写全的话，也就是罚零乘以一加上来一的绝对值，它其实就是罚零。现在我们先来验证它的充分性。 充分性是什么呢？若 f 零它是等于零的，现在能不能推出它可导我们来展开写一下。首先， x 趋近于零的时候， f x 减去 f 零 比上 x 减零，这是什么导数定义对不对？那它是等于什么呢？是不是 far x 乘以一加上 line， 一 加 x 的 绝对值 比上 x？ 因为 far 零， f 等于 far 零是等于零的，所以呢，我们 f 零就可以不写。 好，接着往下写， x 趋近于零的时候，它这里是什么呢？展开的话，是不是 far x 加上 far x 乘以 line 一 加 x， 它的绝对值比上 x， 那 是不是就是 x 趋近于零的时候， far x 减去 far 零比上 x， 对 不对？ 那？嗯， 那它这里如果我们凑导数定义的话，它是应该怎么写的？是不是 x 趋近于零？是 far x 减去 far 零比上 x， far 零是等于零的。所以呢，后面再乘以一加上 lie， 一 加 x 是不影响它的结果的，因为反零等零，反零乘以后面的这一部分，它也是等零的，但是反 x 乘以它这一部分，是不是就是这个式子啊？ 你这里加一个中括号，所以呢，它是不是就等于谁呢？ five 撇零乘以 x 去进零的时候，一加上 line 一 加 x， 它的绝对值， 它是什么呢？ s 去零的时候，我们可以知道它虽然不可导，但是它是一个连续函数，对不对？那连续函数它有什么特点呢？是不是它在该点处的极限值 是等于在该点处的函数值，对不对？所以零呢？是可以直接代入的，零代入它是不是就是等于 five 撇零乘以一，那是不等于 five 撇零啊？ 所以呢，在这里这个极限是不是存在的呀？极限存在证明什么呢？是不是证明 f x 它在 x 等零处是可导的？ 这是，这是不是它的导数定义啊？那我们再来验证它的重要性。 好，先把这部分擦掉，这是它的充分性，我们已经验证了，再来验证它的重要性。 重要性的话，它是不是？如果把它翻译成文字描述的话，是不是就是若 f x 它在 x 等零处可导， 然后去推能，然后去看能不能推到 f 零等零？那现在假设 f x 在 x 零处可导的话，那它的左右导数是不是必定是相等的呀？ 也就是左右导数必定相等。那我们看它的左右导数是什么呢？当 x 趋近于零正的时候， 我们刚才已经解释过了 line 一 加 x 它是为什么大于零的？那 f x 它是不是就等于 find x 乘以谁呢？一加上 line 一 加 x， 这是去绝对值之后， 再来看它在零处的诱导数，根据导数定义，它是不是就是 find x 乘以一加 line 一 加 x， 然后减去 find 零比上 x。 那这个极限应该怎么做呢？我们展开写的话，是不是 far 零等于零？我们现在不考虑 far x 乘以一加上 far x 乘以栏，一加 x 比上 x 好，我们现在来看，这个应该怎么解决呢？ find x， 它这里是不是又可以减去一个 find 零，然后比上 x 导数定一对不对？然后再乘以 find x 乘以栏？一加 x 啊，这里应该是加号， 然后再比上 x， 前面呢，它是什么？ 前面这一部分它是不是就是反撇零啊？那后面这一部分呢？是不是 x 去进零正的时候这个式子的极限啊？ 那 x 去进零正的时候任意加 x， 它等价有什么呢？等价有 x 对 不对？所以呢， x 跟 x 是 不是可以约掉？它是不是就剩一个 x 去进零正的时候反 x， 它的极限？ 所以呢，它是不是就是 five 撇零加上 five 零好，再来看 x 去零负的时候，我们刚才也解释过了，来一加 x 是 为什么小于零的，那现在 f x， 它是不是就等于 five x 乘以谁呢？ 一减去 line， 一 加 x， 因为去掉绝对值之后，前面要加一个符号，那这样怎么把它的左导数表示出来呢？现在代入的是哪个表达式？是不是就是反 x 乘以一减 line？ 一 加 x 比上 x， 它这里其实还要再减去 f 零呢？但是呢， f 零等于零，我们现在可以写上去，但真正计算的时候，这一部分，这一部分是不是就直接把它当零了？那这一部分跟这一部分的计算，它相差一个什么呢？ 所有都是一样的，是不是相差一个符号呀？也就是复号，一个是加上 lan， 一 加 x 乘以 far x， 一个是减去 lan， 一 加 x 乘以 far x， 所以呢，它是不是就是 far 撇零减去 far 零啊？ 那现在如果左右导数必须相等的话，也就是 five 撇零加上 five 零是等于 five 撇零减去 five 零的， 那这个时候是不是就只能得出罚零是等于零的呀？因此呢，充分性和必要性我们都来验证过了，那答案是不是就选 a 呀？它是充分必要条件。那我们来总加这道题，解这道题的关键呢？一个我们要分析出来它的不可导性， 然后去联想成绩函数，联想成绩函数 他的可导性判断是不是就是取决于什么呢？他是当一个函数不可导的时候，成绩函数的可导性是由另外一个函数在该点处的取值来决定的。如果这个败零他是不等于零的话，是一定不可导的。 如果败零是等于零的，但他的可导性是需要进一步验证的。但是在十一题中呢，我们是要判断败零等于零是 f x 在 是是这个 f x 在 x 等零处它可导的什么样的条件？那现在我们是不是就得出了结论，它是充分必要条件，所以的这个证明思路我们要理解。还有就是出现这种成绩函数的可导性呢， 它的知识点也要知道，这道题我讲解的，这里感谢你的使用，如果觉得这个视频对你有帮助的话，请给我点个有用。 同学你好，我们来看一下第十二题。十二题呢，给出 f x 是 可导的 x n 呢，它是等于三 n 分 之一加上 n 平方分之一，现在让我们求这个极限，那这种题它是什么类型题呢？它是不是很明显是导数定义 加上等价无穷小这种题型呢？在一千题前面我们也讲过很多，尤其是一千题前几题的时候都是用导数定义，然后来求 极限，它用的是不是一个是等价无穷小，还有就是等量代换，这两种方法对不对？ 好，现在来看这个题目导数定义的话很简单，那我们就后边的这个导，后面的这个极限往导数定义上凑就可以了。那前面呢？我们怎么去考？怎么去考虑它这个等价无穷项？ 首先我们先来看题目中给出的信息， n 是 去尽无穷的，那在 n 去尽无穷的时候， x n 是 等于三 n 分 之一加上 n 平方分之一。那我们先来分析 x n 的 极限， 先分析 x n 的 极限， n 去尽无穷的时候， n 分 之一是趋近于零的吧，所以呢，三 n 分 之一是等价于 n 分 之一的 n 平方分之一，它是不是趋近于零的呀？因此呢， x n 它是不是等价于 n 分 之一啊？并且呢， n 趋近无穷的时候， x n 的 极限是不是等于零？同时呢， 三 n 分 之一，它是等价有 n 分 之一，这是分析 x n 的 极限。接着我们再来看后面要求的这个极限，我们再把这个分子拆分成两部分， f x 零加上 n 分 之一减去 f x 零减去 x n 比上 三 n 分 之一。拆成两部分的话，怎么拆呢？ f x 零加上 n 分 之一减去谁？是不是减去的是 f x 零啊？比上是谁呢？ 比上的还是三 n 分 之一，这个三 n 分 之一先不变，那我们看后面呢， f x 零减去 x n， 然后再减去 f x 零， 这样是不是就跟原来的式子相等了？那它等于什么呢？是不是 f x 零加上 n 分 之一减去 f x 零 比上三 n 分 之一，再减去 f x 零，减去 f x n 啊？减去 x n， 这里的小括号应该去掉这里， 再减去 f x 零，比上三 n 分 之一。接着我们再分别计算这两部分的极限。首先对于第一个式子呢， n 去极无穷的时候， f x n 零加上 n 分 之一减去 f x 零，它是什么呢？是不是就是 f x 零加上 n 分 之一，减去 f x 零，比上谁啊？ n 分 之一对不对？ 然后再乘以谁呢？ n 分 之一比上三 n 分 之一， f x 在 x 零处可导，那证明是什么呢？ f 撇 x 零，它是存在的。 那我们再来看后面这个式子的极限， n 分 之一比上三 n 分 之一，这个 n 分 之一当做一个方框的话，这个方框是不是趋近于零的？那在趋近于零的时候，三 x 是 不是等于 x 的 呀？ 所以呢， n 分 之一跟三 n 分 之一，它是不是一个等价无穷小？对，所以呢，它是一，也就是 f 撇 x 零乘以一，那是不是仍然是 f 撇 x 零啊？所以第一部分极限是它。那再来看后面这个式子的极限， f x 零减去 x n 减去 f x 零， 比的是三 n 分 之一。但是如果我们凑到是定义的话，分母应该是负 x n， 对 不对？所以呢，它是要再乘以负 x n 比上三 n 分 之一的。 现在如果我们令 h 等于负 x n， 那 当 n 趋近无穷的时候， h 是 不是趋近于零的呀？在前面我们已经验证过了，所以呢， 前面这一部分它是导出定义 f x 零。后面这一部分呢？它是不是负 x n 比上三 n 分 之一负 x n， 它是什么呢？是不是负三 n 分 之一加上 n 平方分之一啊，然后再比上三 n 分 之一， 那这个式子我们看它是 f 撇 x 零，乘以谁呢？是不是后面这个式子的极限啊？我们要想下去，是 n 趋近于无穷的时候， f 撇 x 零乘以谁呢？看这一部分，负 x n 分 之一比上三负的三 n 分 之一，它是不是负一啊？ 是乘的是负一再减去 n 去尽无穷的时候，负一减去 n 去尽无穷的，是 n 平方乘以三 n 分 之一分之一，对不对？ 那这个式子的极限后面这一部分呢？ n 是 去尽无穷的 n n 平方， 它是不是一个无穷大呀？无穷大。然后后面是三 m 分 之一，它是一个有界函数，一个无穷大乘以一个有界，它的倒数，它的极限是什么呢？是不是一个无穷小，也就是零啊？所以呢，后面这个中括号里面，它是趋近于负一的， 那它是不是等于负的 f 撇 x 零，对不对？合并一下结果， 合并结果。那这样原式，它是不是就等于 f 撇 x 零减去这个负的 f 撇 x 零， 最终是不是等于二倍的 f 撇 x 零啊？所以结果呢？是二倍的 f 撇 x 零。那我们来总结这道题，解这道题的关键呢，首先我们要看 n 趋近无穷的时候， x n， 它的极限是趋近于什么呢？ 然后再根据它给出的这个分式连效的导数的定义，所以做一个下来，它其实是一个导数定义加上等价无穷小 类型的题目。对于这一类型的题目呢，它的解题方法要掌握，那这道题就讲解到这里，感兴趣使用。如果觉得这个视频对你有帮助的话，请给我点个有用。 同学你好，我们来看一下第十三题。 f x 在 x 等零处，它是一个奇函数， 给出一个奇函数呢，我们要联想到奇函数的定义或者它的性质。首先呢，它的图像肯定是关于原点对称的， 如果是从图像的角度来说呢，关于原点对称呢？很明显能够得出 f 零是等零的，所以呢，这个性质非常重要，我们要牢记。如果从数学角度的话，那我们这里也给出一个证明，是因为 怎么得出这个 f 零等于零呢？是因为 f 负零是等于负的 f 零，这是极函数的定义。那 f 零是不是就等于负的 f 零啊？那现二倍的 f 零是不是就等于零？那是不是就能够得出 f 零等于零？这是从数学的角度， 所以呢，如果是要记忆的话，还是从图像的角度，记忆是来的比较方便的。总之呢，基函数是一定 f 零等零的。我们现在再来看后面的这个极限，他是要求这个极限，那按照常规的操作，是不是就要分成两部分， 然后分别求极限啊？所以呢，我们来看一下它这条题的解题思路是什么样子呢？首先呢， f 零是等于零的，接着要把这个极限拆分成两部分， 拆分成 t， x 比上 x， 再减去 x 去进行零时，五 f x 比 x。 既然已经得出了 f 零等零，那是不是就是直接 f t x 减去 f 零比上 t x， 然后乘以谁呢？是不是下面多出一个 t， 然后上面再乘一个 t， 再减去 x 去进零的时候 五 f x， 那 减去五倍的 f 零比上 x， 是 不是不影响它原来的结果呀，如果我们令 h 等于 t x， 那 x 取进零的时候，这个 h 它是不是也是取进零的？所以呢， x 取进零的时候， f t x 减去 f 零比上 t x 乘 t 的 话，它是不是就是 h 趋近于零的时候， f h 比上 h， 然后乘以 t 啊？ 所以呢，它是不是等于 t 倍的 f 撇零啊？那后面这个式子呢，它是不是直接就是五倍的 f 撇零啊？ 所以原式它是不是就等于 t 倍的 f 撇零？减去五倍的 f 撇零，也就是等于 t 减五 f 撇零。所以这题其实它还是比较简单的，直接凑导数的定义就可以了。 可你好，我们来看一下第十四题和第十五题，这两种题呢，它其实都是求分段点出的可导性判定，只不过类型题目是不一样的。 那我们先来看第十四题，第十四题呢，它是给出一个 f x， 这个 f x 它是一个 最执行分段函数， x 是 属于零到四，并且呢告诉我们 f 撇 a 是 不存在的，先让我们求着 a 是 什么。那我们先来分析一下它这个 题型。首先呢，要判断分段点处，他可导性的判定的话，首先要找到分段点，也就是我们这道题中的分段点，然后写出他的分段表达式，接着先判连续，再判可导， 因为可导的话是必连续的，如果他不连续的话是一定不可导的。既然我们再利用，如果他可导的话，就可以利用导数定义，然后然后来计算左右导数。在前面我们求分段函数的 导函数的时候，是已经明确讲过分段函数的导数是一定要用导数定义来计算的，而这种分段 函数的可导性呢，它是有两种题型，一种呢是十四题的最直行分段函数， 那这种题解析技巧呢，就是要找这两个函数的交点，也就是二 x 和 x 平方这两个函数的交点，交点就是他们的分段点，然后来写它的分段表达式，如果是第二种，就是极限型分段函数，也就是第十五题中 所设计的类型的话，关键是什么呢？我们要找到底数为一的点，然后再来划分它的区间，然后根据它无穷大无穷小的性质，计算出极限之后，就 能够得到它的函数表达式。函数表达式出来了，那是不是只要讨论它分段点的连续性跟可导性就可以了？好，我们现在来看第十四题应该怎么做呢？ 我们先把前面写的给去掉，来看一下第十四题的解体步骤。 首先刚才我们说了，它是要先求两个函数的交点，令二 x 等于 x 平方，那是不是就能够得到 x 乘以 x 减二是等于零的，那是不是就得到它的交点 是零或者是等于二的？那在区间零到四内，它的分段函数 是它的表达式是什么样的呢？首先 f x， 它在大于零，小于二的时候，谁比较大？是不是二 x， 那在大于等于二小于四的时候，是不是 x 平方是比较大，所以这是它的函数表达式。那在分段点 x 等于二处，它的左右导数是什么样呢？ 左导数左导是二 x， 它求导的话，是不是直接是二呀？ 那它的右导数呢？这是它的左导数，右导数是不是就是 x 平方求导， x 平方求导呢？并且还要代入 x 等于二 x 平方求导，它是不是二 x， 那 x 等于二的时候，那它的右导数是不等于四？所以呢，我们是不就可以得出左导数是不相等， 左右导数不相等的话，那证明就是 f x 它在 x 等于二处是不可导的， 因此呢，是不是就可以说是 f 撇 a 是 不存在的，那 a 是 不是就得出了是等于二的呀？这十四题的 解析的步骤，我们再来看第十五题。第十五题呢，其实刚才我们也是把所涉及的知识点给讲解的差不多，也就是说它的解析技巧已经讲解的差不多。现在就我们直接来做题 来看，十五题它应该怎么做呢？先写一个解， f x 它等于这么长，那我们先来分析它里面包含的指数函数 e 的 n 乘以 x 减一的极限情况， 分情况讨论。首先我们刚才说的是求底数为一时的讨论极限为一时的情况，讨论底数为一时的情况。首先是当 x 小 于一的时候， n 是 趋近无穷的，那 e 的 n 乘以 x 减一，现在 x 小 于一， 那 x 减一是不是就是小于零的，对不对？小于零的话，它是等于什么呢？是不是就是 e 的 负 n 次方， n 取进无穷大，那它是不是就是 e 的 n 次方分之一啊？ n 取进无穷大，那是不是一个无穷大的 倒数，那是不是一个无穷小？所以呢，它是趋近于零的，那这个时候 f x 是 等于什么呢？是不是我们分析完它的情况之后，来看它的极限情况， 那是不是就是零加上 a， x 加上 b 比上五加零啊？那就是 ax 加 b 比上五。好，现在再来讨论，当 x 等于一的时候， x 等于一， e 的 n 乘以 x 减一次方，那它是不是等于一的零次方是等于一的，对不对？所以呢， f 先 x 等于，那其实就直接算 f 一 就可以了，是不是一的平方乘以一， 加上 a 乘以一，加上 b 比上五加一，也就是六分之 a 加 b 加一。再来分析，当 x 大 于一， 当 s 大 于一的时候， n 是 趋近无穷的，那 e 的 n 乘以 x 减一次方，它是趋近于什么呢？现在 x 减一是大于零的，那 n 乘以一个大于零的数，它是不是一个正的呀？那 e 的 n 次方，它是不是就是趋近于正无穷的呀？ 那这个时候，我们根据无穷大、无穷的小的性质，现在决定这个极限，它的项是哪一项呢？是不是这个一的，是不是这个 最高的无穷大这一项来决定的呀？根据前面我们求极限的时候，有最高项，最高次无穷大的话，也就是最高级的无穷大的话，那我们是不是分母同除以这个最高阶的无穷大呀？ 所以是分子分母横除以 e， n 乘以 x 减一次方，那这个时候 f x， 它是不是就等于 n 趋近无穷的时候， x 平方加上 a， x 加 b， 比上 e 的 n 乘以 x 减一次方，比上 e 的 n 乘以 x 减一次方，分之五啊？再加上 e 这一项，是不是 a， x 加 b 比上一个无穷大？高阶无穷大。 下面是高阶无穷大，它是不是取进零啊？那这一项呢？高阶无穷大， 高阶无穷大，然后它的倒数再乘以一个常数五，是不是仍然是均以零的，对不对？所以呢，它其实就剩一个 x 平方比一了，也就是 x 平方， 那这样的话，函数表达式是不是出来了？综上，函数表达式 为 f x 等于 a， x 加 b 比上五，这是 x 小 于一的时候， x 等于一的时候是 a 加 b 加一比上六，那 x 大 于一的时候和明显是 x 平方。 那现在讨论它的连续性跟可导性。首先呢，在 x 不 等于一的时候， 它是不是均为负等函数啊？ 它是不是就是连续的呀？那在 x 等于一处连续的条件是什么呢？我们来写一下 连续性讨论。 首先呢， f x 在 x 不 等于一时均为负等函数， 它是连续的。 那在 x 等于一时的连续的条件是不是就是 x 趋近于一负？也就是说，在一处的左极限是要等于它在 一处的右极限等于 f 一 的，那它左极限是什么呢？ x 趋近于一负时， f x 的 函数表达式是不是 ax 加 b 比上五啊？也就是等于 a 加 b b 五，对不对？那它在一出的右极限是什么呢？是不是 x 平方的表达式啊？ 那是不等于一。所以呢， f 一 又等于 a 加 b 加一比上五。综上的话，我们是不是就能够得出 我们令起一 这些都去掉。 所以呢，综上所述，连续性的条件是不就出来了？是不是 a 加 b 比上五等于一， a 加 b 加一比上六等于一， 也就得出了 a 加 b 是 等于五的。再来看它的可导性，可导性讨论在 x 等一处 可导的前提是连续，因此呢， a 加 b 是 等于五的。那现在再来看它的左右导数，左导数是什么呢？是不是函数对，它是 a， x 加 b 比上五的导函数啊，这个是不是 x 等于一， 那是不是等于五分之一？那它的诱导数呢？诱导数是 x 平方的导函数仍然是代入， x 等于，那是不等于二。那可导性的话，可导性它要求的是什么呢？是不是做诱导数 存在且相等， 也就是 a 比上五是要等于二的，那这样 a 是 不是就等于十？ a 加 b 是 等于五的，那代入到 a 加 b 等于五中，是不是就得到 b 等于负五？因此呢，当 a 加 b 等于五时，这是它连续的条件。 那可导呢？是不就是当 a 等于十，且 b 等于负五时， f x， 它是在 x 等于一处可导的，这就是 f x 的 连续性和可导性，以及与 a 和 b 的 关系。 那到这里呢，第三张我们已经结束了，后面视频呢，我们会再总结第三张所涉及的知识点，这道题就讲解在这里，感谢您的使用，如果觉得这个视频对你有帮助的话，请给我点个有用。

来看二十三年天津的第十三题。已知函数 fx 等于这么一个表达式。然后呢，他又是告诉你连续，让你求 ab 啊。连续性的题，你就记着，左极限等于右极限，等于函数值。所以说，这时候我们先列左极限， 厘米塔 x 趋向于零负 fx。 啊，这是左极限。左极限列出来以后呢，这里是零负。零负是啥呀？零负是比零小一点点。所以说我们把零负就是把零负的表达式往里带。比零小一点点也是比零小。所以我们要带小于零的表达式进来。 那就是 a， 加上这里是三，比上一个 x。 好。那这个极限怎么算呢？这个极限我们可以拆成两部分来算。这里是厘米塔 x， 取向于零负 a 加上一个厘米塔 x， x 趋向于零负。晒引 bx 比上一个 x。 那我们知道晒引 bx 可以等价代换成 bx， 利用晒引无穷小等待成无穷小分子，等价代换成必备的 x。 那 bxbx， 那后边落一个谁？落一个 b， 前边落一个 a， 后边落一个 b。 所以说这个极限等于 a 加 bok。 这是左极限。好，左极限算完以后呢，接下来我们算右极限啊。右极限怎么算呢？右极限就是 limitax 趋向于零正 fx。 零正是什么呀？零正就是比零大一点点，然后比零大一点点，也是比零大。所以说我们把大于零的表达式给他带进来。大于零的表达式是这个表达式给他带进来。那就是八 x 比上一的 a 方 x， 然后这里整体再减一 一，然后加上一个 b。 好，把表达式带进来。以后呢，我们把它算一下。那这个表达式呢？也是拆成两部分去算， limit x 趋向于零，正前边是八 x 倍的一的 a 方 x 减一。后边呢是 limit x 趋向于零，正 单独捞一个币。有的人说老师，为啥你要拆成两部分去算呢？因为在专升本中，如果你不给他拆成两部分的话呢，这里是没办法等价代换的。我们会发现，这里呢有一个等价代换公式，一的无穷小减一可以等待成无穷小。 如果你不拆开，这里是没办法直接等价代换的啊。所以说现在呢，我们必须要先拆开，再等价代换。那拆开以后，这里就可以等价代换了啊。不拆开为什么不能等价代换呢？是因为加减法不能等价代换啊。所以说这里我们就变成了这个式子。 然后后边是加上厘米塔 x 取向于零，正单到一个 b， 其实这里就是一个 b， 我们可以直接把它算出来，那这就是一个 b。 然后这道题前边呢俩 x 约掉了，俩 x 约掉，前面剩了一个 a 方分之八，后边剩了一个 b。 ok， 写到这里以后，我们右极限也算出来了，是 a 方分之八加上一个 b。 那这时候我们应该知道什么呢？就是我们左极限得等于右极限，还得等于啥？还得等于函数值。所以我们把函数值也求一下函数值。 f 零等于几啊？ f 零在这呢。啊。题刚告诉你了， f 零等于零 啊， f 零等于三呢， f 零等于三。所以说这时候我们就可以左极限等于，右极限等于函数值。那么就是这个式子等于这个式子等于这个式子。那这时候我们 ab 就能解出来，那就是 a 加 b 等于 a 方分之八加 b， 然后再等于一个三。啊。这时候其实我们可以先把 a 解出来， a 怎么解呀？这两个式子一连力就能解， aa 加 b 等于。我们直接在这算一下，一会擦掉啊。嗯， a 加 b 等于 a 方分之八加 b， 那也就是说这两个 b 不就消掉了吗？那就是 a 等于 a 方分之八， 那 a 等于 a 方分之八。把 a 方乘左边来，那就是 a 的三次方等于八。那谁的三次方等于八呀，二的三次方等于八。所以说这时候我们能解出来， a 等于二， a 等于二， b 等于几啊？ a 加 b 等于三， b 等于一。好，那这时候你就解出来了， a 等于二， b 等于一。所以说大家记住啊，就是以后你们但凡遇到这种连续性的问题，就列啥 左极限等于右极限等于函数值啊，他都是固定的题型，只要你极限别算错，别抄错题。那么这种题呢，就没有问题。

大家好，之前呢，我们已经把比较核心的关于极限的纯计算问题，几个比较常考的这种未定时极限的问题都已经讲到了。那从本期视频开始，我们来讲利用极限来判断函数的连续和间断的问题。 本期视频呢，我们来聊这样的一种题型，比较基础的一种考法，已知某某某函数连续求函数里面的未知参数的问题， 这一类的问题应该说难度呢都不大。那涉及到连续的问题，那我们的做法其实都只有一种，就是利用连续的定义来转，没有其他的一些方式。那连续的定义呢？总结起来其实就是这样的八个字，就是极限值等于函数值 啊，极限值等于函数值。要要判断 f x 在 x 零这一点处是否连续，那我就算这一点处的极限，如果极限值和 f x 零相等，那么它就连续啊。如果在呃跟 f x 零不相等，当然就表示在 x 零处呢，间断也就是不连续的意思 啊。比如说我们来看呃这样的一道例题，这道例题的话，其实是呃幺八年数二的一道，一道考题，一道真题，那相对来讲是比较容易的，它是作为一个选择题来考察的 好，如果是一个函数也可以，或者说分段函数也可以。一般来讲要考察连续的话，呃都是分段函数居多，并且呢会跟我们第二章的导数联系起来，那就是问连不连续，问可不可导这样的问题。比如说我们来看这样的一个题，设函数 f x， 它是一个两段的分段函数， g x 是 一个三段的分段函数，若 f x 加上 g x 在 二上呢，是连续的，也就是任意一个点处它都连续，任意一个点处连续，然后问这个 a 等于多少， b 等于多少， 那 f x 加上 g x 的 话，就是两个函数相加啊，这个呢，我要先解，先解出来。在求解的时候，首先我要先把这个表达式先要给出来， f x 加上 g x， 这个直接是两个函数相加，比较容易啊。后面呢，我们可以单独除以，其就是如果是两个分段函数复合，怎么来求这个复合函数的表达式？我们可以单独来除，以其相加的话就比较容易。 相加的话呢，按照这个分段来写的话，首先如果 x 小 于等于负一的时候，那就应该是负一加上二减 a x， 那 就是就应该是一减 a x， 这是第一段。 然后呢，负一到零的时候， x 呢？大于负一小于零的时候， f x 是 负一， g x 呢是 x， 所以 说是 x 减一。 x 大 于等于零的时候， f x 是 一， g， x 是 x 减 b， 所以 说是 x 减 b， 然后再加上一，这个直接写就可以了。后面我们可以出一个复合的情况，写了表达式之后，我们再根据连续 他的定义去求，那我要求解分段函数，我要考虑连续性的话，其实我们只需要考虑分段的点，只需要考虑分段的点，那这个分段的点其实就是负一和零，只需要考虑这两个点，其他的地方他都是初等函数，那么在定义域上他都是连续的，所以说我们只需要考虑 好，只需要考虑 x 等于负一，还有这个 x 等于等于零，其他的地方它自然而然是连续的，那么我们只需要让负一和零这两个点连续，我就能保证 f x 加上 g x 在 整个时数域上它都是连续的。那我就根据我们连续的定义， 极限值等于函数值，那极限值等于函数值的话呢，那这个极限就要分左右极限。在我们之前有讲到过，分段函数的话，如果左右两侧表达是不一样，那肯定是要分左右极限的。所以我们现在来出，我写到这旁边啊， 好，写着第一个呢，我们先来算 x 等于负一的情况下吧，函数值的话呢，我我把它记为一个大 f x 吧，然后我就免得一直在写这个加。好，那我就记为大 f x 大 f 负一的话呢，应该是这个地方是 大 f x 大 f 负一的话呢，是卷取的第一段 x 大 于负一，就是一加上 a， 这个是我们的函数值，然后要算左右极限。算左极限的话，其实就是一加上 a， 我 就不写了，主要是算右。呃，这个右极限的话呢，是 x 趋向于负一正的时候啊， x 趋向于负一正就是比负一呢要大一点点 好。那么表达式应该选的是 x 减一，那带进去的话呢，就是负一减一就是负二，那极限值肯定要跟函数值相等，所以说一加上 a 应该要等于负二，那么 可以算出 a 这个值啊，即 a 应该要等于负三，再马上从负一的连续性可以得到 a 呢，是等于负三的，然后第二个 x 等于零， x 等于零的时候，函数值大 f 零，应该是第三段好，也就是我们的一减 b， 函数值是一减 b， 当然右极限的话呢，仍然是在第三段，所以右极限也是一减 b， 那 我就不写右极限了，然后我们来算左极限就可以了。 左极限的话呢，是 x 趋向于零负，也就是比零呢，小一点点 好，比零小一点点也是带的 x 减一，带进去的话是零，减一就是负一，那所以说一减 b 应该要等于负一 好，然后，然后这个右极限我就没写了啊，左极限是负一，那左极限肯定要跟函数值相等，我才能保证整个极限都跟函数值是相等的，那从而算出这个 b 呢，应该是等于二的， b 应该是等于二的，所以说根据我们的极限的定义，其实算极限的哦，算连续的话呢，其实都根据连续的定义来的，就是极限值和函数值相等，那这个是分段函数的情形，如果他是一个函数， 里面含有一些比如说左右极限不一样的项，那肯定也是要分左右极限来算的啊。但是一般来讲是分段函数居多，去考察分段的点，他的一个连续和间断的一个情况，这应该是属于比较基础一类的题型了。 可以看到这个幺八年，虽然说隔得确实有一点有一点久远了啊，但其实这个题的难度应该也是比较偏低的，也是比较简单的。好，这，呃，本期视频呢，我们。

同学你好，我们来看一下第九题，第九题呢，是给出 f x 在 x 等一处可等，那是不是就是 f 撇 f 撇一是存在的， 并且呢， delta f 一 是 f x 在 增量为 delta x 时的函数值增量。现在让我们求这个式子的极限，那我们先来分析一下题干中给出的有效信息。 首先呢，它给出的函数值增量，那我们是不需要理解微分的定义啊，函数值增量是什么呢？它是不是就是 delta y 是 等于 f x 零加 delta x 减去 f x 零的 微分的定义是这样子的，如果存在与 delta x 无关的一个常数 a， 使这个式子成立的话，那么我们就可以知道是 f x 在 x 零处是可微的。 还有就是对中间的变量 a 乘以它 x 是 函数在 x 零处的微分，也就是它的线圈主部 d y 它是什么呢？它是 a 倍的它 x。 注意这里， 根据这已知的这几个式子，我们是不是就能够总结出来，单调 x 与 dx 它是完全一样的，也就是这两样是相等的，可以替换。但是呢，单调 y 和 dy 它是有区别的，单调 y 是 等于 dy 加上一个 高阶无穷小。总结下来就是 delta y 它是等于 a 倍的， delta x 加上一个高阶无穷小，等于 f 撇 x 零乘以， delta x 加上一个高阶无穷小。其中呢， d y 它是等于 a 倍的， delta x 乘等于 f 撇 x 零乘以的。所以呢，如果对中间变量它中间 表达的含义不够清楚的话，我们还是要多去课本的这一部分多理解理解，因为在计算这类题目的时候，是需要我们对函数值增量，还有就是 delta y， delta x 理解的特别透彻， 那现在回归到题目本身，我们来看一下它这道题应该怎么做呢？首先呢，它给出 f x 在 x 等一处刻到，那就是 f 撇一是存在的，那 delta f 一 这个函数值增量应该怎么表示出来呢？是不是就看我们这里啊？ delta y 它的函数增量是等于 f x 零加上单调 x 减去 f x 零的，那这里的单调 f 一 的话，是不是就知道这个 x 零是等于一啊？所以呢，它是等于一加上单调 x 减去 f 一 的。 那我们再观察一下后面这一部分，后面这一部分 f 一 加单调 x 减去 f 一， 这是不是在前面的 计算中，我们常用的导数定义它的分子形式？所以呢，如果我们把右边凑成 f 撇一的话，应该怎么做呢？是不是下面要除以一个分母，也就是 delta x， 然后两边 同时除以 delta x， 再求极限， 那这个是不是是不是就变成了 delta x 去进零时， delta f 一 比上 delta x 等于 delta x 去进零时， f 一 加 delta x 减去 f 一， 比上谁呢？比上 delta x 对 不对？ 那是不是就等于 f 撇一啊？现在这部分我们是把它表示出来了，用 f 撇一给它表示出来了，那现在 要求的这个式子是什么呢？是不是这一项跟这一项他两项的差呀？那是不是就要把这部分再表示出来啊？那 d f 一 他是不是就是在我们前面写的定义中的 d y 对 不对？那它是等于什么呢？我们来写出来 delta x 趋近于零， d f 一 比上 delta x， 它是什么呢？ 这个 d f 一 我们应该用什么东西把它替代表示出来呢？是不是也想办法把它往 f 撇一上凑啊？因为我们现在 得出一个 f 撇一，然后想办法把它往导数定义上凑，而且呢，在前面我们已经写了 d y， 它能够表示，用什么样的 式子表示出来呢？是不是 ab 的 得它 x 和 f 撇 x 零得它 x， 而得它 x， 它又是什么呢？它是不是就是 dx？ 这两个是完全一致的对不对？ 所以呢，它是不是就是 f 撇一得它 x， 也就是 d x？ 或者是我们直接写成得它 x， 然后分母呢，也是得它 x， 这样得它 x 跟得它 x 是 不是就约掉了？ f 撇一是不是就跟得它 x 没有关系了？所以呢，它是不是也等于 f 撇一啊？物元是， 它是不是就是 f 撇一减去 f 撇一啊？是不是等于零？所以答案是不是选 d？ 那 我们来总结这道题，在微分的概念中，我们是不是就能够得到的它 y 是 等于 a 倍的 x， 加上一个的它 x 的 高液无穷小，然后呢，还能够得到 dy 是 等于什么？ a 倍的 x 对 不对？还等于什么 f 撇 x 零的 x， 然后呢，由 delta x 等于一乘以 delta x， 再加上一个 delta x 的 无穷小，能够知道 d x 是 等于一乘以 d x， 也就这就是 delta x 与 d x 完全一致的由来。 所以呢，微分的定义要理解的特别透彻，在后面的总结视频中，我们也会再详细的介绍这一部分的知识点，那这个题就讲解在这里，感谢你的使用。 同学你好，我们再来看一下第十题。第十题呢，在有一个合集里面， 也就是简单题里面，一个合集经常有这一部分的内容，就是对于可导与连续的知识点总结。 那对于可导与连续的定义呢？我们在前面视频中已经总结了很多，所以现在呢，我们直接来做题。那对于这道题呢，我们首先先分析连续性， 不管是连续性还是可导性，对于分段函数呢，我们是不是都要分它的左右极限啊？对不对？所以呢，我们先来看它的在零处的右极限是等于什么呢？首先 不要求右极限的话，是不是代入的就是在 x 大 于零式的函数表达式，那是不是 f 三次方乘以三 x 分 之一？注意看这里，它是什么呢？它是不是一个有界函数？ 有界函数是谁呢？是三 x 分 之一，对不对？然后乘以谁呢？乘以一个无穷小，也就是 x 的 三次方，注意， x 三次方为什么是一个无穷小？那是因为 x 是 趋近于零正的，所以呢，它最终的极限是不是也是零啊？ 我们再来看它的左极限，左极限呢，是不是代入的是 x 平方这个表达式，那它是不是也等于零？因为 x 平方它是个连续函数，连续函数的话， 是不是就可以零直接代入，所以还是零，故左右极限 相等。那 f 零是等于什么呢？ f 零是不是就直接是零带到 x 平方里面，是不是等于零啊？且等于函数值， 在 x 等于零处的函数值， 那是不是就得出了连续？再来看它的可导性， 再分析可导性， 首先呢还是求它的左右导数，那它的右导数是不是就是 x 去近零正，使 f x 减去 f 零，注意分段函数求它的 可导数的话，是必须用导数的定义的，也就是 f x 现在是谁呢？是不是 x 三次方乘以三 x 分 之一比上 x， 那 现在是不是 x 平方乘以三 x 分 之一？它仍然是一个有一节函数乘无穷小吧，那还是等于零。再来看它的左导数呢？ 左导数仍然是用函数的导数的定义，那现在它的表达式是什么呢？是 x 平方对不对？ x 平方比上 x 减零，那最终是不是得出来一个 x 也是零吧？五左右导数是不是相等的呀？ 那 f x 它在 x 零等于零处是不可导的，并且呢，我们还可以知道 f 撇零是等于零的。因此呢，函数 f x 它是不是既连续又可导啊？ 既连续又可导。那这样的话，我们排除的哪个选项呢？不连续的选项， a 选项和 b 选项。 好，现在排除完 a b 选项，我们现在是不是接下来就来判断它的导函数是否连续， 导函数是否连续呢？我们来看怎么判断。我们再起一， 现在已经知道了 f 撇 x 是 等于什么呢？ 首先，它是在 x 大 于零的时候，是谁呢？是不是对 x 三次方乘以三 x 分 之一求的？那它是不是三倍的 x 平方乘以三 x 分 之一，再减去 x 乘以 q， 三 x 分 之一，是不是根据 乘积的导函数？那在 x 等零处，我们刚才已经求出来了， f 撇零是等于零的，在 x 小 于零的时候，它是不是二 x？ 再来看导函数的连续性，那是不是仍然是求它导函数的左极限？ 那在零处的导函数呢？我们先来看它的表达式是不是二 x， 二 x 的 话，在 s 去进零负的数是不是仍然是等于零的，所以呢，它是等于 f 撇零的。再来看它的诱导数，诱 导数，它的函数表达式是三 x 平方乘以三 x 分 之一，减去 x 乘以 cos x 分 之一的。 那我们知道，不管是前面这个函数还是右后面这个函数，它是不是都是连续函数？连续函数的话，我们零就可以直接代入，因为对于连续函数， 它的极限值是等于在该点处的函数值的，所以我们零可以代入，那是不是仍然是等于零啊？误导函数，因为它左右极限都相等，并且等于 f 撇零，那是不是导函数也是连续的呀？ 因此答案选 d。 那 我们来总结下这道题，解这道题的关键呢，有几个点，一个就是连续，它是 左极限等于右极限，也就是极限存在，极限存在，并且等于在该点处的函数值。而它的可导性呢？首先要用导数定义，那就是左导数等于右导数， 左导等于右导才是真正的可导。 然后再来判导函数连续，导函数连续是不是跟判断 f x 连续是一样的呀？都是求它的左右极限。那这道题讲解在这里，感谢您使用。