咸阳市二模数学 解题技巧

一天一道题，带你通关人生曲线，今天我们看到的是第四十一题，那么第四十一题我们看一下刚刚结束的二六年相二模的十八题， 这个题目考察的就是我们的比较常见的一个模型，就是我们的定制定点问题，这个第二个定值问题结合了切线的这样一个定的问题，所以大家对于这种比较基础简单的题目的话，一定要去多加练习，提高自己的运算效率。 ok， 那 我们看一下这道题目应该如何去求解呢？首先我们读题可以发现，已知在椭圆中告诉我们两焦点分别是 f 一， f 二，并且呢 n 是 负二六零的左顶点， m 是 团， c 上任意点满足 m f 一 f 二的周长是四加二倍根三，让我们求解椭圆 c 的 标准方程。第一问比较简单， ok， 那 我们首先来看第一问应该如何去求解，那么第一问我们知道告诉我们 由题可知，上顶左顶点 n 是 负二都零啊，那所以我们的 a 等于一个负二，并且呢，我们的 s 三角形的周长， m 三角形 m f 一 f 二的周长，这个周长实际上就是一个交点三型周长二， a 加二 c 是 不是等于一个四，加上一个二倍的根二，那周 a a 的 话就等于一个正二了，对吧？所以呢，我们会得到一个， 再根据我们椭圆里面 a 方等于一个 b 方加 c 方，所以我们可以直接解得，那我们的 a 等于二， b 等于一， b 等于一，所以呢，我们的椭圆的方程直接写出来就是四分之二平方加上一个 y 方等于个一，这是我们的 d 问四一的这样一个椭圆，第二个是椭圆 d 的 圆心坐标是零到二 过点呢？ n 做原地的两条切线，分别交椭圆 c 于 p q 两点，让我们证明他们的斜率之基是一个定制的一，所以我们先去画一下这道题目的图像， ok， 那 么我们的图像长这个样子，那也就是说咱现在知道了过点 n 点的两条切线，分别的椭圆交于 p q 两点，我们把 p q 两点的坐标给它写出来， p q 两点给它表示出来， 它现在让我们算的是 k n p 乘以 k n q 的 斜率，它是一个定值一，那这样的话呢，我们先去表示这个直线方程，对吧？因为我们知道这个直线方程它是圆相切的，看我们能得到一个什么结果，那也就是说第二问，那我们证明我们设这个直线 过点 n 的 这个直线，我们可以给他射出来，就是 y 等于一个 k 倍的 x 减负二，那就是 x 加二，那这个直线有了，我们知道圆心圆心地点坐标零度二，我们再去射它的这个圆的半径为 r， 圆的半径为 r， 那 我们知道了这个 r 我 们一定是小于 d， n 的 第二长度，我们知道是二倍的根号。 ok， 此时我们利用相切，那也就是说我们圆心到这个直线的距离就等于这个半径 r， 所以呢，我们直接往进带，那也就是说把这个直线方程，我们此时要给它变成一个，一般是 k f 减 y， 然后呢再加上二， k 等于零，所以呢，我们此时 r 就 等于零到二往进带，那就是零减二加 b 方，那就是根号下一加 k 方， r 等于 r 呢，此时我们会得到它的斜率就是 k 一， 它的斜率是 k 二，那刚好就是我们这个方程的两个根。也就是说，把这个式子一化解， r 乘以根号下一加 k 方 等于一个，我们这个绝对值是二 k 减二啊，二 k 减二的绝对值。那我此时两边平方把它转换成一个关于 k 的 二次方程，那么你 k 一 k 二不就是一个二次方程的两个根吗？所以此时我只需要看你的伟大定律，看它 a 分 之 c 是 不是定值一就可以了。 所以我们经过化简，可以得到我们 k 方减米系数呢，就是四减二平方倍的 k 方，再减去八 k 加四减二方就等于个零。 所以呢，此时我们知道了 k 一 k 二是这个方程的两根， k 一 乘以 k 二等于 a 分 之 c， 那 就是四减二方，分之四减二方，刚好就等于一个一。所以呢，我们第二个题，它跟直线和圆呢结合比较紧密，直接用圆心到直线，距离等于半径，得到一个 关于 k 的 这样一个二层乘，根据它的定义算出来， k 一 乘以 k 二等于一就可以了。 ok， 接下来去看它的第三问，那么第三问是存在斜率为斜率的直线 l 与 c 交于 ab 两点，他说不是左顶点，并且以 ab 为直径的圆经过点 n 点， n 是 一个负二斗零，点 n 是 一个负二斗零。 所以我们把这个图也可以给它画一下，把多余的图给它擦掉。假设我们的图画成这样，那也就是说我们 n a 向量乘以 n b 向量，它是不是等于个零？那这种题我们可以用两种方法去证， 用方法就是我们直接使用我们的斜率之机，或者拿向量 n a 向量乘以 n b 向量等于零去证。还有一种我们可以用到我们之前讲的平移加齐的证， 两种方法都可以，但是如果你使用平一加一，一定要把最终的结果整对才可以。平一加一，有兴趣的同学可以看一下老师之前的视频对平一加一的话的讲解，那这个题目呢，我们用使用正常的话进行求解。所以呢，我们先去设这个 ab 直线 把 l 的 方程，我们设 y 等于一个 mx 加上一个 t， 这样你要过定点，我们只需要找到 m 与 t 的 关系就行了。所以呢，此时我也可以把 ab 点的坐标给它设出来， a 点坐标 x 一 y 一 b 点坐标 x 二的 y 二。所以呢，我们先先去连立， 连立 y 等于 mx 加 t 和我们的四分之二平方加上 y 方等于个一，对吧，连立完了之后，得到关于 x 的 这样一个二次方程，那么会得到四 m 方加一倍的 x 平方 加上一个八 m t x， 然后呢，再加上一个四 t 方减四等于零。此时的话呢，我们可以写出它的得，它的得，算出来是一个 六十四 m 平方减去十六 t 方加十六大于零。然后此时的话呢，我们可以写尾答，那就是 s 一 加 s 二等于四 m 方加一分之 负的八 m t x 一 乘以 x 二，你发现我们的尾答是我们必须的，所以呢，大家在作图中一定要把尾答给它，求正确，求正确呢，我们后面才有 机会把它算对啊。因为以 ab 为直径的圆过 n 点，所以我们的 n a 向量是变成 n b 向量等于个零，所以我们可以写出我们的 n a 向量等于谁呢？ a 点减 n 点，那就是 x 一 减二，逗 y 一 同理，那我们的 n b 向量是不是可以直接写出来 x 二减二，逗 y 二啊？ 所以呢，你的 n a 乘以 n b， 是 不是就可以直接去算了？那就是 x 一 减二，乘以一个 x 二减二，再加上一个 y 一 y 二就可以了。 这样的话呢，我们只需要去把啊 y 一 y 二给它算出来。因为前面这个式子呢，我们展开是 x 一 x 二减去二倍的 x 一 加 x 二，再加上一个四， 那我们的 y 一 y 二是不是可以给它写成出现了 y， 我 们拿直线进行代换呀？那就是 m x 一 加 t 乘以一个 mx 二加 t， 那 我们进行一个化简，会得到的是 m 平方 x 一 乘 x 二，再加上一个 m t 倍的 x 一 加 x 二。说我们要把这个式子全部转换成韦达定律完了之后呢，我们把韦达式子，把这个式子呢韦达全都给它带入， 进行一个预算，那就是说我们接着在这预算，所以呢，我们会得到的是把 y 一 y 二呢给他带入的话，那我们算出来的就是我们 x 一 x 二减去二倍的 x 一 加 x 二，再加上四，再加上后面这一长串子。所以我们可以进行一个 合并同类项，合并同类项完了之后，会得到 m 平方加一倍的 x 一 乘 x 二，再加上一个 m t 减二倍的 x 一 加 x 二，再加上一个四加 t 方就可以了。所以说，我们只需要去把 我们的伟大定律 x 一 x 二和 x 一 加 x 二代入到这个式子中是不就可以了？所以呢，我们可以算出来，我们的 m 平方加一倍的 x 一 乘 x 二加上一个 m， t 减二倍的 x 一 加 x 二加上一个四加 t 方等于四 m 平方加一分之 四 t 方减四。然后呢，再乘以 m， t 减二，乘以 x 一 加 x 二， x 加 x 二的话呢，此时的话，我们得到的是四 m 方加一分之负八，再加上四加 t 方，就说这个东西我们知道了它等于一个零，那这个式子中我们现在它的问题转换成了只含有两个位置量， m 和 t， m 和 t 的 一个等量关系中，我们肯定能找到 m 跟 t 的 关系， 那我们现在只需要化简可得，你发现这一块的运算是特别麻烦的，所以呢，如果正常进行运算，那我们的运算要求非常的高，如果你要拿平移加棋子画运算，那说不定这会早就结束了，所以感兴趣的同学去观看看老师之前去讲到平移加棋子画应该如何处理这类问题， 如果呢，选择方法得到，也是会帮我们节省大量的时间的，那所以这个题化简出来，我们会得到的是五 t 方加上十六倍的安， t 加上十二，按平方等于零。所以呢，我们解得 t 等于一个负的五分之六 m， 或者 t 等于负二 m， 我 们把这式导进带，那就是 t 等于负的五分之六 m 的 时候。第一种情况， 那所以呢，我们会得到直线 l 的 方程，那就变成了 y 等于一个 mx 减去五分之六 m， 那 就等于一个 m 乘以一个 x 减去五分之六了，所以它过的定点是五分之六到零， 然后呢？第二种情况，当我们的 t 等于负二 m 的 时候，那我们此时 l 的 方程那么会变成了 y， 等于一个 mx 减去二， m 等于 m 位的 x 减二，所以此时他过的定点是二斗零，那与我们一致矛盾，他说不是左右零点，那么二斗零是不是右零点，所以就给它舍掉了，舍掉之后，所以我们知道了此时他过的定点是五分之六斗零点 就可以了，所以在这块的预算他是比较麻烦的啊，希望大家下去能够把这块认真去算。那么这道题就是上我们咸阳二模的十八题，实际上他的难度还是比较低的，就对于预算的 要求可能会比较高，但是我们选择到合适的方法的话，实际上做这个题也是非常快速的。 ok， 那 么今天的题就讲这有问题同学下来就跟我沟通。

好，各位粉丝啊，各位同学，各位家长晚上好啊，给大家汇报一下今天这个作战成果啊， 我觉得做题啊让人踏实呃，对于学生来说，我们要刷题，其实对一个老师来说，他是也要不断刷题的， 特别是我们带高三的这个老师啊，因为我们会碰到很多很多新题，像我们全国啊，每个月甚至每个礼拜都会出现一些新的题型，一定要紧跟我们这个高考改革的风向标 啊，题做了以后呢，我们心里面踏实，同时呢也是一种学习啊。呃，不是说咱做了几样老师，咱就不去做题啊，不是这样的一个老师啊，无论你教龄多长，无论你带多少学生啊，我觉得一定要坚持每天刷题，今天呢刷了三套题，第一套题呢是今天下午刚考的这个咸阳二模这个试卷， 想要按摩这个时间啊，这个时间，一会给大家把这个重点分析一下啊啊，下午的时候还做了个乌鲁木齐这个按摩这个时间啊，乌鲁木齐按摩时间，还有这个南宁市啊，也是这个第二次适应考试按摩这个时间啊。呃，我重点说这个咸阳按摩这个时间啊，这个我们 咸阳啊，包括宝鸡啊，包括渭南我们地底下这些市啊，他一共会有三模考试，一模已经考完了，二模正在考，然后到四月份就会进行三模的考试，那我们整个地级市大考就完了，下来可能就没有什么大考了啊。而且我们地级市啊，这个命题质量非常高的， 跟我们二卷这个难度是非常接近的，而且题目是不偏，也没有创新题啊，整个这个我觉得手感很好。 这个咸阳二模这个试卷啊，我是晚上抽时间做的，晚上拿到这个试卷啊，基本上我做了一个小时二十分钟吧。啊，这个试卷我对了一下答案啊， 我觉得我这个分数啊，应该是在一百四十左右，其中十九题第三问我，我没有算，我觉得我短时间的可能做不出来了啊，其他题目都还好，基本上答案都对过了啊， 前五个单选都是送方的啊，分别是负数集合，呃，双曲线的性质，还有这个线面位置关系以及线上的数上机。第六题呢，考的是这个古典概型以及百分位数。第七题考解三项型正余弦定律。第十第八题考比较大小， 但是这个比较大小呢，只要用到两个切线放缩就行了，一个是一的 x 方大于等于 x 加加一，一个是小于 x 小 于等于 x 减一。那这个题直接就搞定了啊，就都不用咋计算的。这个题考了个抛物线的性质，第十题考了一个利息几何，里面点线没有未知关系，我是间隙做的啊， 我也不要不知道答案上怎么做的，反正我做的跟答案是一样的，因为这个咸阳市二模他给这个答案的话，选填是没有解析的， 只有大题有解析，那么选填我们得用自己的方法去处处理它啊，都没有问题。第十一题呢啊，我刚才把这个第十一题做了啊，第十一题也非常简单啊，这个两个函数一乘，它刚好是二倍角二分之一，三 二 omega x 加三分之派，两个函数一除，刚好是 tan omega x 加六分之派，那么这个 a 是 错的，这个 b、 c、 d 都非常好判断啊，这个 c 的 话，四分之派刚好是最最高点嘛，就没有问题。非常简单啊， b、 c、 d， 然后填空题是十二题切线，十三题考熟练啊。十四题我咋一看就挺复杂的，其实我把它把它画成两个不等式以后呢，非常简单，都可以用参变量分离去处理。而且除导以后呢，比我想的简单多了啊，没啥难度。 第五十五题，考他一个等差数列和列项相交啊。第十六题，第一问考了一个二项分布，第二问考了一个 条件概率啊，条件概率最近我感觉考的特别多啊，而且特别火，你把条件概率给咱重视啊，非常简单的啊，第十七期考了个空间向量，第一问证明面面平行啊，第二问是证明这个余全值 啊，间隙处非常好处理。第三问啊，我做的跟答案做的是不一样的啊，我说的是方法不一样啊，答案上比我的简单。我确实没想到答案上他说这四点刚好在一个长方体上啊，直接用那个长方体的外接球体对角线是球的直径就简单多了。我是咋做的？我是设求的半径是 abc， 然后利用这个啊， o o e 等于 o f 等于 o d 等于 oc 啊，列了四个方程，把它也解出来了。好多人笑，你这四个方程好解不？ 这四个方程特别好解，而且我跟你说这种办法它是一种通用型的，可能这四个点刚好在一个，呃，长方体上，那如果说这四个点下次不再一个长方体上，你还得用我这个办法 把数字一列啊，非常好解，两个两个解，非常非常简单啊。这个题我看最近榆林的这个一模也考了，还有啥地方那个类型啊？也考了，这个四点共四点共球了，四点在同一个球面上。我觉得你还是要设 a、 b、 c 去做的啊，这次是个特殊，那下次可能就一般了啊， 这个方程好解，你自己一写你就知道特别好解。第十八题啊，第一问求同样的方程，第二问证明 k 乘 k， 二等于一，用的是尾答定的就行了啊。第三问，证明他过定点啊，他有方程吗？直径，直径圆过定点了，刚好是直径，因此就垂直了，利用数量基等于零，尾答往另一带一画，你就出来了啊，也没啥难度，非常常非常常规啊。 第十九题，第一问，单的单调性讨论我就不说了。第十九题，因为得讨论导数的这个正负呀，因为他有唯一的极值点，你得市值， 因为这个市值跟我我跟答案想的是一样的，他让你求 a 的 最小值，而且是正整数，那就 a 从一开始吗？一二这样试吗？试出来的吗？是吧。呃，有同学可能说，那你这个方法不太好呀，那没办法，那你不这样试咋试？你 a 肯定是从一开始试一最小吗？那可能有，有同学可能说，那答案上是个十，怎么办？ 答案上如果是个十，我觉得这个题考的就太偏了。那我从一但要试到十呢？不会不会这样的，他如果让你试的话，一般这个 a 不 会太太大，可能就是个三呀，二呀这些是吧。所以这个这个没有什么捷径，没有什么技巧，你就先假设 a 等于一，然后验证 这个题只能验证你不能，不能直接去证明你，证明 a 求不出来的，所以我们只能先假设 a 等于一看是不是符合，是不是只为几十点就行了啊？第三个，说实话，我，我没有做，我放弃了，因为我晚上时间有限，整个卷子除了这个这个第十九题第三问以外，我都做出来了啊，可能就是个， 呃，一百四十分左右啊，一百四十多分左右，这个十九题第三个应该应该能个占八九分吧。好吧，其他的题都没有问题啊，这个咸阳二模给我的试卷感觉就是基础简单， 容易上手啊，跟二卷难度接近，所以我也希望我们考二卷的考生，全国今年有十七个省啊，你，特别是陕西的考生啊，你把这个二卷一定要好好做一下，上个上个礼拜考到宝鸡二模，这个礼拜考到咸阳二模，都是好题啊， 非常稀缺的啊，到下个月三模一考结束了，你再像做这么优质的试卷都没有了。所以我也希望 第一，广大考生要及时去做。第二，咱所有的老师都要去做这个题啊，有真的有必要的啊，你做了以后呢，你才能感受到这种题目给你带来这种这种变化和感觉，而且呢，让你明白咱这个最新的这个命题方向是什么。好吧，好，谢谢大家啊。

哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下二零二六年咸阳市二模的多选压轴题。好，那么这道题其实是一个三角函数的图像性质的综合，很多同学可能看到他后面给的这个 f x 的 这一坨 h x 等于这一坨啊，就有点懵逼。但是这道题只要你把握住它里面平移之后的一个小小的变换，只要你理解这个变换，这道题其实整体来讲还是比较简单的好，话不多说，我们直接上手。首先他说 f x 等于这一坨图像平移 二欧米伽分之三派之后得到 g x， 那 我们来看下 g x 长什么样子呢？好，那 g x 就 等于 c 欧米伽 x 左加右减，减去二分之三派， 加个六分之派。好，写到这，我们思考一下，有多少同学把这个东西化简了？好，是不是有很多同学化简了，如果你把它直接进行计算化简啊，这道题大概率啊，已经有问题了。但这道题其实简单的做法是啥呢？你一看到负的二分之三派， 你是不是应该想到啥呢？是不是诱导公式？如果你想到诱导公式，那它其实就等于啥呢？是不是 cosine omega x 加六分之派？ 好，如果写到这，你会发现这道题其实就简单了，我们会发现，此时 f x， 它就应该等于 sin omega x 加六分之派，乘以 cosine omega x 加六分之派二分之一 c 二 omega x 加三分之派，这用的一个啥呢？是降低公式对吧？好，那 f x 出来了， h x， 那 是不是就更简单了啊？那 h x 它等于 c omega x 加六分之派除以 cos， 我们改 x 加六分之派，这时候同角公式，它就等于 tangent， 我 们改 x 加六分之派，所以 f x 和 h x 咱是不是都出来了？好，那直接来从第一个 a 选项开始，那 a 选项它是我们改等于一的时候， x 在 零到六分之派 f x 的 值域，那简单的很，告诉你 x 的范围，他在零到六分之派，我没敢又告诉你了，那咱是不是可以把二 x 加三分之派的范围给他搞一下，他是不是等于三分之派到三分之二派？那么 c 咱画 c 的 图像，画一个小小的草图啊，往这一摆， 好，三分之派，三分之派，三分之二派，那你会发现此时 f x 他的值域 好，最小在哪呢？最小是不是在这？那么他对应的值是不是二分之一乘以二分之三就是四分之三？好，那最大呢？是不是二分之一？ 那这道题 a 选项你会发现是不对啊，直接打叉。好，那同理，我们来看 b 选项，那 b 选项他说三分之派零是 h x 的 一个对称中心，那么欧米伽的最小值，那我们是不是还是一样的？我们把三分之派 b 选项好，把三分之派给他带进去， 那也就是得到三分之 pi， omega 加六分之 pi， 我 们思考一下， tenant 的 对称中心是啥呢？是不是二分之 kpi， 所以 整理一下，也就是三分之 pi 等于二分之 kpi 减六分之 pi， 我 们 omega 就 应该等于 二分之三， k 减去二分之一，那我们来想一下， omega 要大于零，那 k 此时取多少合适呢？ k 是 不是取一的数？那 k 取一，此时 omega 的 最小值就等于几呢？是一，所以 b 选项啊，是 ok 的。 好，那么接下来我们来看一下 c 选项， c 选项他说 f x 小 于等于 f 四分之派，那么如果一个函数小于等于一个具体的值，那意味着这个值一定是它的最小值，那既然这是它的最大值，那我们就可以得到一个关系啊，什么关系呢？ 那是不是意味着 x 等于四分之派的时候，是不是取最大值？我们往 f x 的 表达式里面代下， 好，我们往这里面。哎，给它操作一下，我们就会得到二欧米港乘以四分之派 加三分之派，啥时候取得大值呢？手就是二分之派加二 k 派的手，所以我们稍微操作一下，也就是二分之派欧米港就等于六分之派加二 k 派，那欧米港就应该等于三分之一加四 k。 好，那啥时候最小呢？那是不是 k 等于零的时候最小？最小值刚好是多少呢？是不是三分之一？所以 c 选项啊，也搞定了。好，那我最后一个也就是我们的 d 选项。好，那么接下来我们看 d 选项啊，那 d 选项的话，因为 h x 它是不是等于这坨？那么告诉你， x 在 负的四分之一到四分之一开虚线哦， 告诉你 x 在 负四分之派到四分之派，它是单调递增的，那我们就直接给它扔进去，也就是负的四分之派 omega 加六分之派多少四分之派 omega 加六分之派，它是不是应该是 tanet 的 单到递增区间？是不是负的二分之派加 k 派到二分之派加 k 派， 它的一个子极啊？那如果是一个子极的关系，那咱是不是就会得到两组不等关系？意味着负的四分之派欧米伽加上六分之派 大于等于负的二分之派加 k 派这一组第二组四分之派欧米伽加六分之派小于等于二分之派加 k 派。好，那我们因为欧米伽是大于零的。 好，我们把 omega 大 于零我也放进去求它三坨的交集，那么最终解出来 omega 它是一个大于零小于等于三分之四的值。哎，所以我们会发现 d 选项啊，也是 ok 的， 那么这道题我们也就拿下了。好。

哈喽，朋友们，今天我们讲一下二零二六届咸阳市二模的单选压轴题。好，那么这道单选压轴题其实非常的经典啊，如果这道题你是用函数构造去做的话，那肯定是难的一批，但是如果你知道泰勒展开式， 哎，那这一个题其实就是一个小学的计算题。好，那我们今天的话就直接给大家讲一下泰勒展开式该怎么用。首先的话，遇到了 e 的 零点一次幂，那我们就要想一下泰勒展开式， e 的 x 幂约等于一，加上 x， 加上 x 的 平方除以二的结成省略号。好，那么第二个， 那么 e 的 零点一，那我就想一下 e 的 零点一，它是不是等于约等于 一，加上零点一加省略号，因为这个数值是不是已经是一点一了？那加后面那坨，他肯定是大于一点一，那意味着 a 肯定是比 c 大， 第二个就是另一加 x， 那 他约等于啥呢？他约等于 x， 减去 x 平方除以二，加上 x 三次方除以三。好，一般的话我们写到这其实就可以了啊。来，那对于这个题 b 选项我们应该怎么处理？那后，前面这个一咱不用管，好，我们处理一下后面这一坨啊，那么负的累十一分之十，他是不是等于累 十分之一，那就是一加零点一。好，那这个结构是不是和前面的一样了？所以我们可以给他约等于 x 就是 零点一，对吧？减去二分之零点一的平方，所以这一坨它整体是小于零点一的， 那所以在它基础上加了个一，那是不是小于一点一？好，所以我们就会有 b 小 于 c， 所以 答案就出来了，那就是 a 大 于 c， 小 于大于 b， 直接选 c。 好， 那么这道题我们就可以用一分钟啊，直接搞定， nice！

解析就是推理第三集逆推法拆陕西二模。第十九题第三问，第三问。要证明这个不等式，左边是割线斜率，右边是终点导数。常规思路构造函数求导变形，步骤繁琐，容易乱。逆推法从结论出发， 导着推需要什么条件？要证这个不等式，先问这是什么性质，这个不等式是凸函数的性质。凸函数定义就是割线斜率大于等于终点切线斜率。要证 f 是 凸函数，需要二阶导大于零， f x 等于 ax。 一 再求导的 f x 等于 a x 啊，大于零， e x 大 于零。所以二阶导横大于零，逆推数完整了。幺正不等式需要 f 是 突函数，需要二阶导大于零，而二阶导 ax 确实大于零。逆推成功，结论得正。逆推法从结论到这推， 每一步都有概念支撑。还是那句话，不是算出来的，是想出来的规则库 o s。 解析就是推理，想了解更多内容，评论区留言。

啊，各位小伙伴啊，我们这个视频来讲一下这个 c 二零的这个圆的问题啊。啊，首先我们看下题目啊，题目讲 a b 是 一个直径，那么要注意一下，有直径就有什么垂直，对吧？ 好，然后 c 是 弧上一点， d 是 中点， d 这样是中点，所以我们的弧相等，则什么？两个弧相等， 弦也相等，并且圆周角也相等，圆心角也相等，弦心距也相等啊，这些一些连等的我们都要注意啊，至于用哪个，那就自己看了啊。好，然后过第一做切线，过第一做切线，第一与 a c 交一点，所以第一是一条切线，那么有切线我们就要干嘛？ 连半径对吧？有垂直。好，然后让我们证明 a 垂直于 a 一， 垂直于 a 一 和 d 是 不是平行就可以了呢？好，我们来看一下啊，好，第一个问， 所以第一个我们要连接 o d 这个长度啊，这个半径 o d 连起来之后，因为有切线吧，对吧？因为这个 d e 为圆的切线，所以我们的什么 o d 是 不是垂直于 d e 啊？啊，然后我们就要什么呢？有垂直了，我要它垂直，要它平行，对不对？所以现在把它平行得到， 那现在我们就看一下前面两个条件，对吧，一个直径，一个中点，那么这个中点是不说明弧和弧相等，所以啊，因为 d 为弧， bc 中点，那么有中点就有什么弧相等，弧相等是不是角相等呢？所以我们的角 c a d 等于角 d a o， 然后要注意一下啊， 我们在这圆中等腰三角形非常好找， o a 等于 o d， 所以 角 o a d 等于角， 这个 o d a， 所以 我们的角 c a d 就 等于角 o d a 了啊，所以就有平行，对吧？所以就有 o、 d 是 平行于 a、 e 的。 好，在这里强调一下啊，就通过圆周角相等得到了角平分线，所以 a、 d 其实是角平分线，然后又得到什么呢？又通过等腰得到两角相等，再通过角平分线和等腰三角形，它出现了什么平行啊？出现了平行好， 平行之后再结合上面的啊，因为 o、 d 垂直于 d， 所以 a、 e 也垂直于啊，我们的 d。 好， 这是第一问，那么第二问的话是要求长度啊，它给到的长度是哪个呢？是我们的 d、 e 也是四， b、 d 的 话是五，对吧？然后让我们求的是 a、 c 这个长度，你发现这些线段的话啊，连不起来，对吧？没，不具备连贯性，所以我们肯定要想办法把这些线段导到一块去啊，导到一块去，好， 那么由于这是终点，我们可以试着把这个长度，哎，和这个长度相等，哎，这个五数就到这来了，五对吧？这是四，这是三，对吧？那么这是一个什么三角形呢？是一个直角三角形，对吧？是一个直角三角形，然后再去求，那么我们也可以什么呢？这个图的话，其实我们如果做了中考题的小伙伴，应该非常熟啊，应该非常熟，这上面的话，我们就是二五年的中考题的话，基本上是一般左右啊，中考题可能是单元， 所以这里面的话，我们也可以借助我们按五年的中考计算方式。我们把干嘛呢？连接 bc 啊，交 o、 d 于 m 点好，我们现在把 bc 这个线连起来，连起来是不是垂直啊，对吧？因为 ab 为直径， 所以角 a c， b 等于九十度啊，角 a c b 九十度，那么现在我们知道了这个角是不是得到这两个角，所以是有矩形啊？好，然后由一得 角 e 等于角 e， d， o 等于九十度啊，所以四边形 e， c， m， d 为矩形，好，这个 m 忘标了啊，好，这样有矩形了，我们的长度是不是要导走了？那么 e 也是四，所以我们的 c m 是 不是也是四了，对吧？啊？ c m 也是四， 好，现在又因为什么呢？我们的 o 是 不是中点呢？对吧？ o m 是 不是平行于 a c 啊，对吧？因为 o a 等于 o b， o m 是 平行于 a c， 所以 o m 平行且等于啊，二分之一的 a c 啊，也就是说 b m 也等于 c m 了啊，所以相当于 o m 是 中微线啊， o m 是 中微线，好， o m 是 中位线，那么 b m 就是 四，对吧？好，现在我们要求的什么呢？求的是 ac， ac 的 话，我们求个 o m 是 不是可以了，对吧？所以我们这时候 在直角三角形这个 b d m 中，我们的 d m 是 不是应该等于 b d 的 平方减去 b m 的 平方开根号，所以它等于三，对吧？好，现在的话，这个长度是三，我们要求出 o m， 我 们设个 o m， 可不可以啊？好，所以在 直角三角形 o b m 中是 o m 等于 x， 所以 你得到什么直角三角形就长度是不可以，对吧？通过 x 来表出来，都通过，所以就 x 平方加上 四的平方等于 x， 加三括号平方就能解出来。 x 等于六分之七，所以我们的 a c 等于两倍的 x 等于三分之七。啊，三分之七， 好，这是 c 二零的这个圆的问题啊，当然其他的方式的话也可以啊，具体的话哪种方式啊？你看你自己怎么去理解啊？你要找到适合你自己的方式啊，多去想一想圆中的这种解法。好，这个视频到这。

好，各位同学，各位粉丝啊，晚上好，今天呢，咱说两套试卷，一个是还没考的，一个是还已经考的啊，呃，昨天下午呢，我们考这个 宝鸡的这个二模的这个试卷应该就这两天考的啊，昨天还是前天哎，我们说我们的地方是包括宝鸡，咸阳，渭南，商洛啊，汉中，安康，他们一共就三模啊，这三模的这个试卷质量是非常高的，我们一定要珍惜每一次考试啊。 宝鸡这个二模这个试卷呢啊，我是昨天跟今天抽时间啊，把这个题过了一遍啊，跟各位去把这个题呢分享一下，我还是那句话啊， 我不做题，我一般不分享题。这个宝鸡这个题啊，第一题集合，第二题复述，第三题充分必要条件就是不等式啊。第四题函数图像，第五题是考线面平行垂直，这些题呢，都非常非常简单啊。第六题考了个条件概率啊，也没啥难度。 第七题呢，考了一个三角形形状的判断，本质还是化解，那也比较简单。第八题呢，考了个双曲线的一个 最值问题。这个题呢，我跟你说，你用第二定义做非常方便，就说双曲线在右之上， x 方角外方等于双曲线右之上，这个弦长是六，问你弦的这个横坐标的这个最小值啊，你用双曲线定义做啊，很很简单很简单啊， 多选择题。第九题，考数列没难度。第十题考了是函数的基基本性质啊，也也挺容易的。这第十题考了个三角函数啊，这个十一题相比我们这个模考题啊，他难度是大大降低啊，这可能也就是二卷的一个特点吧啊，然后填空题， 十二题，十三题呃，向量的一个共线模长计算，十三题考函数单数性。呃，这个第十四题呢，考了一个 哎，圆台的两个内切球啊，我第一次还把这个算错了。这个题其实，哎呀，没啥没啥什么大的一些方法，其实就是考相似啊，你又利用这个相似，你把这个圆台的上下两个圆的半径算出来就行。我第一次算错了，因为我把相似比考错了啊，比的时候比错了。 你只要认真计算啊，把两个半径算出来套起一共是一套就完了啊。第十五题是一个空间立体几何啊啊，没啥难度。第十六题是竖列。呃，第二问呢，考了一个什么呢？考了一个等差乘等比错位相减啊，最近我看考了好几次了，也简单。 第十七题呢，考了一个导数切线。第二问，证明啊， f x 小 于一啊，就是证明这个 c x 比 x 小 于一。在零到二分之派上，这个题放在第二个，我感觉跟送分一样，是吧你，你构造一个函数求个导就行了啊，因为我们在零到二分之派上， 我们经常给大家去说，是吧，有三个非常重要的关系， tangent x 大 于 x 啊，大于一个三 x 啊，你可以用不等式证明。第十八题，这个题呢，很有意思啊， 是一个概率，第一问，第二问都没有问题，第三问，我做的跟答案不一样，可能是我这把这个题没有理解好啊 啊，你们有时间可以去看看啊，最近我也正在研究这个第三问啊，就是我的理解这个思路啊，跟答案完全不一样。最后一个题，十六题啊，第一问就不说，第二问是把这个坨，把这个 只要坐标系啊折起来了，变成那个 x y z 坐标系。呃，这个第一问第二问都没有啥难度啊，就计算，呃，太奇怪了，数字太奇怪了，还真对着呢，我算了一个 五分之十六，减去根号下一百一百六十六，我都不相信这是对的啊，我昨天昨天的时候答案还没流露出来， 今天的时候答案出来了。我，我看一下，我，我很很很诧异啊，确实是这个答案，还有第二题，这个第二问我暂时没有做出来，我再试一下。好吧，整个卷子上 还是有两道题，我觉得我不太确定，我还要再拼一下。呃，也希望把这套卷子呢推荐给咱学生啊，你有时间呢好好去研究一下整个的这个难度啊，适适中，特别适合二卷的考生去研究， 再过四五天还有一套好试卷，就是咸阳二模。那这个咸阳二模呢，也是让我们很期待的啊，因为它命题质量也非常非常高， 那么你有时间一定要关注这个视频，我到时候也会把这套试卷，需要的话啊，咱分享一下，然后到了这个四月份就收尾了，那我们整个陕西省所下下的这些市，像咸阳、宝鸡、渭南，他们会进行三模的这个考试， 五月份可能就没有大考了啊，因为三模考完基本上就倒计时了，我也希望大家注意这个节点啊，现在就剩七十多天了，一定要注意啊，我们一定要注意这个得分思想，该放弃放弃啊，现在最后这七十多天，有些问题你接受不了，得，得不了放就放弃， 把基本分拿到手，我们的基本分就是九十到一百分，我认为这个是分数，是一个大多数学生能够到的一个分数，只要你啊，你你你你，你努力一下，拼搏一下能得到，好吧，就通过你的这个汗水能换来，然后一百分往上啊，那不光是汗水，那可能还需要一点点智慧。好吧，谢大家啊。

哦，沙师弟，你看。

二模结束了啊，我知道很多孩子会在这个节点出现两种状况，一种是觉得大局已定，提不起劲。另一种是着急了，开始盲目的熬夜刷题。其实二模最大的价值，恰恰是帮助那些把最后几十天的方向照清楚了。 下面这四件事啊，如果你能陪孩子捋一遍，比多做十道卷子啊，都有管用啊！第一个啊，把二模的错题变成私人的提分清单啊。二模不是宣判，而是一次精准的体检与新的分数。叹惜，不如和孩子一起做一件事，把十分的题目分成三类，一类啊， 粗心，时间不够的练手感，练节奏。第二类，质练模糊的，回课本，把那一小块吃透啊。第三类，完全不会的，如果是亚洲难题，果断暂时放下啊，就这段时间减分，比学新东西效率要高的多啊！第二大点， 回课本，尤其对中等级以下分数段的孩子，很多孩子到冲刺期反而眼高手低，专攻偏难怪题啊。但高考百分之八十以上都是基础和中档题， 可以让孩子做一个小实验，找一张答题卷，把那些看着眼熟但做不顺畅的题圈出来，去课本上找对应的例题和概念重新过一遍。这一步做扎实了，分数上涨比算难题要快多啊。 第三步啊，真题不是做完了，而是研究透，研究近三年到五年的高考真题是最近出题思路的材料啊，不用贪多，哪怕只精做几套，也要做到每道题考哪个知识点，选项、干扰项是怎么设计的， 同类题型的解析步骤能不能形成固定套路，这样一套顶十套啊！第四个，状态比时尚更重要，做减法才是最高效。这个阶段啊， 孩子最怕的不是不够努力，而是无效努力熬夜到两三点，第二天课堂上是浑浑噩噩的，孩子达成一个共识啊，每天保证六到七小时高质量睡眠，比多刷两张卷子划算的多啊。做了运动，固定的休息都是给大脑充电。最后呢，给大家说一句啊， 按摩之后啊，孩子需要的不是一个监工，是一个能帮他啥，而是一个能帮他把焦虑传上具体动作的人，你稳住，他就能稳住。如果你觉得这几点有用啊，可以把这篇转给孩子，或者挑其中一两点先试着做起来，在评论区了解一下你家孩子啊，现在卡在哪个点，哪一步啊？我们一起来想办法。

我们来看一下二零二六年三月陕西省二模这道单选第七题，这道题考察的是平面向量的问题。好，我们来直接读题，已知平面向量 ab 满足 a 向量的模式跟三 b 向量模式一， ab 向量垂直， c 向量满足这样的一个等式，让我们求 c 向量模的最大值。好，考虑到 a 向量 b 向量垂直，它们两个模又知道，所以的话呢，我们就可以想到这个题可以使用坐标化去处理好，我们首先画一个平面直角坐标系 啊，感受一下，对吧？好，那相当于就说 a 向量的话，这就是 a 向量，是吧？这个减 a 的 作法式呢，就是根三，逗号零，那符合 a 向量的模长是根三，同样的 b 向量模是不是也可以画出来， 是吧？ b 向量，那这是 b 点，那所以这个 o b 向量实际上就是我们的 b 向量，那这个点作法就是零一点，那也就意味着我们这样的一波操作就可以直接写成根三，逗号零， b 向量就可以写成零一啊，它的坐标都知道了，对吧？它呢又符合垂直啊，魔长也有了，那接下来的话呢，关于 c 向量，就我要求它的魔长的最大值了，那我们直接就把 c 向量的坐标给它设出来就可以了， 写成 x 到 y， 那 这样子的话呢，你会发现这两个向量乘积为零，那我不妨把 c 向量减 a 向量的坐标给写一下， c 向量减 a 向量，那就是 x 减根三 y， 然后呢，再写出 c 向量减 b 向量， 那实际上就是 x y 减一，由于 c 向量减 a 向量和 c 向量减去 p 向量，它俩乘积为零，那就是坐标横乘加纵乘除等于零，那就意味着 x 减根三 乘上一个 x， 加上 y 乘以 y 减一，那就等于零。好，把这个式做一个简单变形，那实际上变成了 x 平方减去根三， x 加上 y 平方减 y 等于零。 看到这个式子，我们联想到这是一个圆的标准方程，于是呢，我们把它进行配方啊，这是一般方程，把它进行配方， 变成标准方程，那就变变成了 x 减二分之根三的平方，减上四分之三来，这个就变成 y 减二分之一的平方，再减上一个四分之一，等于零。 好，那接下来的话呢，变成 x 减二分之根三的平方，加上 y 减二分之一的平方，那就等于一。好，最后你会发现，我们这个题是让我们求谁？ 求 c 向量的模长，对吧？求这个 c 向量的模长，哎，求 c 向量的模长，那么此时的话呢，就可以直接把这个 c 向量的模长表示出来， c 向量坐标有了，在这儿，那它就等于根号下 x 方加外方。 好。看到这儿的话呢，我们想到了这个方加这个方等于一，那我们马上就想到了三角还原，我可以令 x 减二分之根三， 它是一个 cosine theta， 令它就是一个 sine theta。 于是的话呢，这一块马上写出来，那就是 x 就 等于 cosine theta 加上二分之根三，这个 y 的 话呢，就等于 sine theta 加上一二分之一。好，那往这里边带，我们就直接把它进行整理就可以了，那这样就可以写成 这个 cosine theta 加上二分之根三的平方，再加上 sine theta 加上二分之一的平方。这里边我们可以看到 这里边有个靠方，这有个 c 方，所以它加起来实际上就是一。再加上这一块，这是平方，是四分之三，这是四分之一。再加一个一，这有个二倍的交叉项，这里边也有个二倍的交叉项，所以的话呢，在这一块， 这里边的二 a b， 那 事实上我们就需要再加上一个 sine theta， 好， 当然这里边还有个交叉项，那就是根三倍的 cosine theta。 好， 写到这的话呢，我们已经发现了 这两个，一加是个二，这两个注意是一个辅助角公式，那就是二倍的 c 也 set 加上一个三分之派，注意我们要求它的最大值，这个 set 是 任意的，所以的话呢， c in set 加三分之派，最大值是上是一，那所以它就小于等于，这小于等于一，那小于等于根号下 四，所以就是二。比如说我们求得这个 c 的 模，它的最大值是二。好，这个题我们牢牢树立坐标化的意识。

啊，各位同学大家好，四二零的教育联盟按摩的第十题是整张卷子，这个题是什么？可以说是最难的，很多同学十个里面有八个人可能不会做 好。来听听张老师的解析思路，答案的话比较什么复杂和繁琐。好，你听张老师的思想，来一起来看题啊，第十题，那第十题桌讲什么呢啊？ ab 与 ac 是 相等，对吧？说明这是什么？等腰三角形，等腰三角形一定会想到什么呢？会想到是三线什么合一对不对？哪三线高对吧？然后呢？ 中线对吧？中线和什么角平分线对吧？角平分线对不对？看到这些你就会想到这结论，然后 d 呢？是什么？ ac 的 中点，说明这是什么？一半一半， 然后这个呢？ b e 对 吧？是什么？是 e c 的 啊？ b， e 是 e c 的 二倍，也就是这个是 e， 这个是二倍，对吧？假设啊，然后呢？ b， f， e 对 吧？这个啊，然后等于什么？ b a， c 就 这两个角干嘛相等？ ok 啊，好，这两个角相等， 让你球是判在下面的， a b， c， d， 如何来球啊？首先看到中点的话，我能想到什么呢？各位同学，我们除外。学的最常见的叫什么叫做 啊？我不知道你们有没有忘。叫做截长，什么补短啊，截长补短来构造什么？全等三角形啊，全等三角形对吧？这是他的什么解题的思路啊？来构造看到终点吗？对不对？ ok， 那 第一个 d c f d， c， f 和什么？和 d b c， 它叫这两个角是否是相等，是不是相等？好，我们来证明一下啊，看一下啊。 ok， 那 这个角， 这两个角是不是相等，如何来证明呢？感觉没办法来转化，也没办法倒角， 缺少什么？缺少 r t 三角形，那如何呢？我们知道，如果说两个三角形，两个，对吧？三角形干嘛呢？相似，那相，相似的话啊？ 相似，那相似的话，里边是不是角比较什么？都相等了呀？对不对？相似，那我是不是就要证明这两个角相等？是不是证明这两个三角形干嘛？ 相似就行了？这两个角对不对？那如何来证明呢？看到啊，那这个三角形和这三相不相似，明显相似。什么形？子母形，对吧？共边， 对吧？还有一个共角，那这个三角形和这个三角形是不是也是相似的？是什么形？也是字母形，对不对？也是字母形，共角，共边，对不对？所以 好，根据什么相似来进行什么突破点来， ok， 那 有一个公共角了，对吧？ ok， 那 你看啊，这是这，这角和这角相等，对不对？ ok， 那 我说这是 x， 行不行，对吧？那这个呢？ 是多少？是 y， 那 说明这个角什么？扇形外角是 x 加 y， 对 不对？因为这个角和这个角相等，说明这个角也是 y， 对 不对？能，能跟上吗？能不能？所以呢，这个角是 y， 这个角呢就是 x， 呸， 嗯，这个角是 y， 那 这个角呢？也是 y， 好， 我们再走一遍啊再走一遍，好，我是注意听啊，注意听，我说这个角为 x 吧，好吧，这个角为 y， 对 不对？那这个外角呢？是多少？ x 加 y 行不行？对吧？因为这个大角和这个角什么相等，所以说这是 x， 那 这个角不是这个，是 y 了，这个一定是什么？ x， 对不对？这下是一定是 x， 所以 什么？这是 x， 这是 x， 说明什么？有一个角相等了，还有公共角，对不对？所以这个三角形和这个三角形干嘛呢？就相似了， 对不对？两个角相等就证明什么？这两个三角形干嘛相似？那相似的话，是不是公共边的部分，是不是就 a、 d 的 平方就等于什么？和 d 有 关的，是吗？是 d、 f 乘以什么？乘以 d、 b， 对 不对？和 d 有 关的啊？ ok， 对 不对？ ok， 那 再来看啊，再来看那 d， 继续走啊，继续走啊。我，我先画一下，我先写一下，三角形相似的话，就是 a、 d 的 平方，就等于，对吧？ d、 f 乘以什么？乘以 d、 b， 对 不对？ ok， 那 因为这是中点，对吧？所以说 a、 d 就 等于什么？ d、 c， 对 不对？所以说 c、 d 的 平方也等于什么？ d、 f 乘以什么？ d、 b？ ok， 这个题的好处好在这里，它能够转化，对吧？因为它两个是相等的， 大家看一下，对吧？那 a、 d 啊，不是什么？是 d、 f 乘以 d、 b 就 等于 a、 d 的 平方是不是相似三角形的？什么叫逆？叫什么？ 逆定律对不对？叫逆定律。只要 a、 d 存在什么，它乘以它，就能证明这两个三角形干嘛 是相似的，对吧？逆，一定。我们知道，如果说这两个三角形相似，那有什么？ c、 d 的 平方等于它，乘以它逆过来，对不对？ ok， 那 明显的这两个三角形干嘛呢？就相似了啊？就能推出什么，就能推出三角形，什么 c、 d、 f， 对 不对啊？相似于三角形什么 b， d， 什么 c？ 那 相似过后，你看这个三角形和这三角形相似，这是公共部分，你说这个这个角和这个角相等，相同吧？这个角就是什么？就是它，对不对？这个角呢？就是它，所以 a 呢，就做出来了呀？ ok 啊，轻轻松松能听懂吗？利用是什么两个三角形相似来进行转化啊？ ok， 好， 再复盘一下，主要是要想求出这两个角相等，只要证明这个三角形和这个三角相似，对不对？如何来证明呢？那证明这个三角形和这个三角形相似，相似过后呢？存在什么 d， 对 吧？那 a、 d 的 平方就等于什么 d f 乘以什么 d b， 那 同样的 a、 d 就 等于什么 d， f 乘以什么 b、 d， 对 不对？所以用这两个三角形去相似，相似的话，对应角是吗？相等就解决了 a 选项没问题吧？ ok， 那要想证明什么？角的平分线， ok， 就是 角的平分线。那看到啊，各位同学， 我为什么会做这两个呢？因为我们知道角的平分线到两边的垂直距离干嘛是相等的，对不对？所以呢，我就什么 延长他，因为是终点，截长补短，对不对？然后呢？延长他做垂线，延长他做垂，为什么做垂线？因为要想证明角平分线，我就想做垂线，这是什么？他的逻辑思维在里面对不对？那 目前这我要想证明什么？ f、 c 是 平分与，对吧？平分与 d f e， 我 只要证明什么两边对吧？ 垂线距离相等不就行了吗？到这两边距离相等，就就能证明它是角平线，这是它的底层逻辑，对吧？能，能听懂吧？底层逻辑再来，那如何证明这两个三，这不如何证明这边和这边相等呢？各位同学 啊，这是一个正点对吧？这是一个正点，来看一下啊，那这是什么？这是做垂线了，对不对？这是做垂线，这是做垂线，对吧？ ok， 好， 还有呢还有呢？那。嗯，如何来证明呢？ 好，好不好？整，好整，对吧？然后呢？这条边我是怎么来呢？我是什么啊？ a， b， c， d， e， f， g 吧，好吧，这个是 g， 好 吧？ ok， 那 做的什么？ c g 平行于 ab 啊？平行啊，平行过来的，所以这个三角形和这个三角形 想全懂。为什么全懂？如果全懂后就能证明这两个边相等，这两个边相等就在什么角平分线上， ok， 就 能证明了。如，对吧？如何来呢？ ok 啊，有一个直角了，对不对？有一个直角了，还有了， 对吧？明显的是什么呢？明显的是这个是多少？哦，我设置是 x， 行不行？可以吧。这是 x， 对 不对？那这个，那 x， 对 吧？ ok， 那 这个角和这个角相同，这个是什么？平行对不对？所以说这个角和这个角看嘛也相同，这个角是 y， 对 不对？是不是啊？ ok 啊， 好，这个角是 y 啊，因为平行嘛，对不对？这个平行对吧？ ok 啊，这 y 啊，这是 x， 这是 x， 对 不对？那这个呢？这是 x， 这 x， 对 吧？ ok， 好， 来，那这个两个三角形干嘛？ 相不相似？有两个角相等，对不对？嗯，他比他是他的爱倍，那他，那他比他也是他的爱倍，所以说这是 x， 说明这就是 x， 对 不对？ ok， 好， 这就是 x， 对 不对？所以呢？所以这是一个直角，这是一个直角，这是 边上 x， 这个呢？边上 x， 对 吧？还少一个条件证明两个三角形全能，还少哪一个呢？再找一个角吧。这个角吧。 哪个角啊？这个角？这个角。这是 y， 对 不对？这是 y， 对 不对？这是 x， 对 不对？那这个角和这个角是什么？对，顶角对不对？说明这是多少？ 这是 x， 嗯，加 y， 对 或 x 加 y， 对 吧？是不是？或者这样的，对吧？ ok， 这两个三角形内角等于这个外角，对不对？对吧？这是 x， 说明这多少？这一定是 y 的 外角嘛，对不对？说明这个角是吧？这个角是 y， 那这个角是 y， 又对角，说明这个角是多少？这个角是 y， 对 不对？是不是？ ok 啊，好，这个角是 y， 那 来了，对吧？这个角和这个角是 y， 这是垂直，这是垂直，对吧？这个边和这个边是多少？ 是 x， 对 不对？叫做什么？叫做这两个三角形全等啊？画一下这两个三角形就全等了啊？ ok， 这两个三个全等用的是什么？用的是 s， s， 呃，是 a， s， 对 不对？两角加一个边，对吧？全等过后，所以说什么这条边和这条边干嘛， 对吧？对应干嘛？对应就相等，那这两边相等的话，垂直的话，一定在什么他的什么角平行上就能推出来了，简单吧？ ok 啊，这第二小问， ok 啊，第二小问 好，第三小问的话，如果证明是九十度也比较简单，来，我们看一下。要想证明 b 啊 ac 为九十度，对不对？那这个角是不是就等于这个角，对不对？我们知道这个和这个是平行的，对吧？我做出来平行，那平行线的话，他们的内角干嘛？说互补对不对？也说这个大角和这个角加起来等于多少度？ 等于一百八，对吧？是一百八十度，对吧？那这个角和这个角相等，所以说这个角加这个角也是一百八，对不对？那这个角加这个角呢？平角是多少？也是一百八，所以呢？我推出来他加他等于，他加他也等于一百八，所以说什么？ 他加他等于一百八，对吧？他加他也等于一百八，所以说减去公部分，所以这个和这个什么就相等，看到了吗？ ok， 又因为有有上一位，我知道这个角和这个角是是相等的，为什么？因为这个三角形和这个三角形干嘛？ 是全等，对不对？那全等过，所以说这个角和这个角呢？是相等，那这公共部分，所以说这个角加这个角等于他，那这个角加这个角等于他，所以这个大角和这个大角相不相等，是相等的，对不对？所以这个角加这个角也等于多少？多 等于多少？多等于一百八，对不对？等于一百八，那等于一百。嗯，这个角加这个角是等于一百八的， ok 啊，那看，嗯，再来。 嗯，其实我看到这个直角，这个直直角就会想到什么共圆，对不对？是不是？各位同学，其实第二小问也比较简单，对吧？如果是四点共圆又是什么？ f 这个点，这个点，这个点四点共圆了，对不对？那这个角和这个角干嘛？ 这个边和这边相等，相等的话，那对应的圆周角也相等，对不对？你看，思路又来了，对吧？展开的思路又来了， ok， 好， 再来，好，再来啊， 那刚刚已经推到哪了？推到哪了？推到是这个角，对吧？然后这个角加这个角是多少度？是一百八十度，对不对？ ok 啊，好， 那这个角和这个角相等，对不对？那，那这个角加这个角也是一百八，对不对？所以说什么？这两个角是什么是相等的？那这个角和这个角是什么是相等的？所以说这个角加这个角是多少？ 一百八，而且是什么？是相等的，对不对？所以这两个加加起来是一百八，而且是相等的，所以说什么？这是多少？ 嗯，所以说什么？各是九十，对吧？相等加起来一百八，所以说这就多少度？九十度，那这是九十度，那这是多少度？也是九十度。因为这个角和这个也相等，所以说这个也是多少度？也是九九九十度，对吧？是不是？ ok， 其实绕了对不对？那这个角已经是九十度，那这个角也是九十度，因为什么？因为是。 呃，平行互补。直接就等于几直接就等于九十度，对吧？一题多解，轻轻松松，能跟上吗？能不能啊？这题就选什么选到四 d 啊。我讲的就是什么？思想啊？思想 逻辑思维啊。思想。好，再复盘一下，再复盘一下。对，大家再复盘一下。那这个角有题目已知条件，对不对？这个角和这个角是相等的，对不对？那平行的话，说明这个角和这个角是什么？ 加起来是多少度？是一百八，对不对？那这个角加起来这个角是也是一百八，这两个相等。你说这两个相不相等，相等对不对？那这两个角 这两个角相等。因为这个角和这个角什么是相等？加一公部分，所以呢，这个大角和这个大角呢是相等，所以说这个大角和这个角呢也是相等的，而且呢， 加起来等于一百八，为什么？因为更圆，对不对？更圆，这是九十，这个九十加起来是一百八，那这个角加起来这也是一百八，而且两个都相等，就是 x 加多少 就等于几？一百八， x 就 等于几，就等于九十。 ok， 又复盘了呀？ ok， 好， 今天呢，就讲到这里，大家辛苦了，拜拜。记得给张老师点点关注点点赞。

来看一下陕西省二模这道解三角形大题，我们来直接看题面，题面当中给出了我们两个条件，哎，这是第一个条件， 这是第二个条件，第一问让我们求角 a 的 大小，当然这个第一问的话呢，比较直接，我们会发现在这个式当中有 a 有 b， 所以 我们优先想到了 c 影 a 扣 c 影 b， 加上根三倍的 c 沿 b， c 沿 a 右侧就是 c 沿 c。 好， 我们经过简单观察，在一个式当中同时出现了 abc 三个角，那我于是想到了减圆，我们可以利用 内角和镜里，把 c 沿 c 就 写成了 c 沿 a 加 b， 这样一来，我们把左右两边同时打开， 哎，把右边打开是吧，那就是 c and a cosine b 加上 cosine a c and b， 这样一来的话呢，我们会发现这两块就消掉了， 这个里边有 c and b， c and b 也消掉了，然后呢一整理，那就变成了摊点， a 等于三分之根三，这比零大，所以显然 a 是 锐角，这里边的话呢， a 的 值我们就直接写出来，就是六分之派。好，那接下来的话呢， a 的 值出现之后的话呢，我们来看一下， 我们在第二问当中给出了 c 的 值。这个题让我们求三角形的面积，由于第一问得到了角 a 的 大小，所以我们在选面积公式的时候，我们尽量选择二分之一 a b c c a， 那就是二分之一 bc， c 六十度，呃， c 三十度，那就是二分之一，也是四分之一 bc， 所以 我们如果把 b 和 c 能求出来，那这个问题也就结束了。好，那这里边我们怎样去处理？我们来看一下， 由于第二个式当中给出了 a 等于二 b 的 这样一个结构，所以我很快就能写出来。 c 等于二倍的 c 小 于 b， 所以这个 c 沿 b 也就出现了。 c 沿 a 是 二分之一，所以 c 沿 b 的 话就是四分之一。好， c 沿 b 有 了， 接下来我们再去看，我们事实上还得去求 c 沿 c， 因为这里边 a 等于二 b， 所以 b 肯定是锐角，那所以 cos 沿 b 也就能写出来，有四分之根号下十五 好。 c n b 扣 c， n b 出来了，所以我们就优先把 c n c 可以 算出来， c n c 就是 c n a 加 b， 我 们用合角公式把它展开，那 c 靠加，靠 c 好， 我们直接代入就行了。 c n a 是 二分之一 扣 c n b 是 四分之，根号十五扣 c n a 是 二分之，根号三 c n b 是 四分之一，所以就是八分之根号十五加根三好。 c n c 出来之后，我们由正弦定就得到了 c 比上一个 c n c 就 等于 a 比 c n， a 等于 b 比 c n b 好， 我们写一下 c 的 话呢，那么告诉我是根号下十五加根三，比上 c n c 八分之根号十五加根三，那实际上就八，所以的话呢，这里边我们就把这个 b 的 值可以求出来， b 的 值我们就可以写出来，那就是八倍的 c and b c and b 刚才求出来是四分之一，所以 b 就是 一个二， b 是 二，那这里边的话呢？我们的 c， 哎，这里边已经有了， 所以的话呢， b 有 了， c 有 了，所以这个面积我们就直接写出来，就是四分之一， b 是 二， c 的 话呢，是根号十五加上根三，所以就是二分之根号下十五加根三。 好，刚才我们在这个式当中采取的主要是角的转换，事实上这里边我们还可以走一下边的情形，比如说我们把这个 cosine b， 哎，直接给它换掉啊？我们可以去尝试去做一下。好，这个问题的话我们就说到这儿。

解析就是推理。第二级消元思想，拆陕西二模第十九题第二问，第二问讨论。零点个数 a 是 参数问有几个零点。常规思路解方程， a e x 等于 x， 求两个函数交点，要解超越方程很麻烦。消元思想， 不求 x， 只看最小值，把 x 消掉。由第一问知道，最小值点在 x 等于减 l， n， a 代入得 f 下滑限温等于一加雷 n a 零点个数由最小值决定，最小值小于零，两个零点 等于零，一个零点大于零，没有零点。一加 l n 小 于零时， a 小 于一异两个零点等于零时， a 等于一。除以 e 一个零点 大于零时， a 大 于一 e 没有零点。图像上看， a 小 于一 e 时，穿过 x 轴两次， i 等于一 e 时，相切一次， a 大 于一二，一时在 x 轴上方没有交点。 消元思想，消去 x， 只留最小值。复杂问题变简单，还是那句话，不是算出来的，是想出来的。下一集逆推法讲第三问，不等式证明。关注我，解析就是推理。

触感在线，逻辑不偏。大家好啊，今天我们来看一下三中的二摸的这个小压轴，整体呢，难度不是特别大，但是呢，非常有代表性，是一个转化面积的问题，我们一起来看一下啊。说在正方形 a， b， c， d 中， e 是 对角线 a、 c 上一点，并且呢， e、 f 垂直于 b e 啊，交 c， d 于点 f， 然后当四边形 b， e， f， c 的 面积等于三分之一正方形面积的时候，问我们 e c 比 a、 c 的 值是多少，对吧？好，题目大概是读完了，读完之后我们简单的分析一下，因为我们会发现这个 e 呢是一个动点， 因为 e 的 运动呢，会导致 f 的 这个位置发生变化，所以 b， e、 f、 c 这个四边形的形状它会发生变化，所以我是不太好做的。 所以呢，再理解一下这个题目里边的关键的什么条件是四边形的面积等于三分之一正方形面积，因为正方形是个确定的东西，所以它的面积是个定式， 所以我能够确定四边形 befc 的 这个面积，我是可以通过一些方式把它表示出来，但是表示出来之后，你发现 befc 这个四边形是一个不规则的四边形，所以到这之后的话，我们核心思路呢，要么通过割补 来求对吧？要么通过什么转化来求，而割补的话，你发现就无论你怎么割哈，就是你把 b、 f 连接起来，因为 f 的 位置在变化，所以你还是不太好求这个四边形的面积，所以呢，我们把割补先设掉。 那么第二个呢，就是什么转化了，而这个转化呢，是指的是我把这个四边形 b， e、 f、 c 的 面积变成另外一个规则形状的面积，那么这样的话就会好求很多了。所以我们再读一下这个题目，你会发现 a、 b、 c、 d 是 一个正方形， a、 c 是 一个对角线，那么对角线正方形对角线是什么？是平分了 b、 a、 d 和 b、 c、 d 两个角的，对吧？那么这个时候呢，我只需要过点 e 往下做垂线垂足记做 m， 过点 e 往右做垂线，垂足记做 n， 那 么很轻松的就能得到三角形 b、 e、 m， 它必然全等于三角形 f、 e、 n， 这个全等的证明很简单哈，如果这地方是角一，这地方是角二，角一加角二是九十度啊，好，这是个角二，因为 b、 e、 f 是 个九十度，所以这地方必然是角一，两个角一相等，再加两个垂直直角，对吧？再然后呢，是什么？是这个 e、 m 和 e、 n 必然是相等的，因为 a、 c 是 角平分线，角平分线的性质 e、 m 的 e、 n 好， 所以通过这些条件，我能直接得到这两三项全等。那么全等完了之后呢？其实这个面积就已经转化完了啊，就是我四边形 b、 e、 f、 c， 它就等于 b、 e、 m 加上四边形 e、 m、 c、 f， 对 吧？又因为 b、 e、 m 呢？和什么 f、 e、 n 是 相等的，所以呢？ e、 m、 c、 f 好，那么这两个这个三角形和这个四边形加起来，我们通过图形你会发现它正好是 emcn 这个四边形面积，所以也就是四边形 emcn 的 面积好，所以我们通过这样的一个转换呢，是把一个不规则的四边形面积变成了一个规则的面积，而这个规则图形 emcn 是 一个什么正方形 啊？它是一个正方形，对吧？而此时你会发现，要求的是 ec 比 ac 的 比值，对吧？ ec 比 ac 的 比值，到这呢，其实就是一个很简单一个 a 字相似了吧，对吧？ 那么就是这个 e、 c、 d 这个三角形比上另外一个三角形 e、 c、 n 好， 就是这一组相似三角形的相似比嘛，对吧？所以呢，其实本质上就是这两个三角形的相似比，而这两个三角形的相似比怎么得到呢？你会发现， 这个四边形 b、 e、 f、 c 比上正方形 a、 b、 c、 d 的 面积，它就等于四边形 e、 m、 c、 n 比上正方形 a、 b、 c、 d 的 面积， 它也就等于两倍的三角形 a、 d、 c 比上两倍的三角形 e、 n、 c， 对 吧？也就是 s 三角形 a、 d、 c 的 面积比上 s 三角形 e、 n、 c 的 面积。两个三角形的面积之比是三分之一，所以它们的相似比呢，就是 e、 c 比上 a、 c 等于 根号，下三分之一等于三分之根号。三好结束，对吧？好简单整理一下这个题啊，整体难度上不算特别大，但是呢，一定要记住两个字叫转化。当然，遇到这种面积相关的问题呢，我们核心思路除了转化之外呢，还有一种办法叫做什么叫做割补。 但这个题呢，跟割补的关系并不大，前两天刚刚做过的交大附中的有一个填空小压轴，这个题是用到了一个割补的办法 来求这个最值的。当然，这个三中的这个题呢，给发现好像没有特别好的思路，所以说考虑用转化。而这个转化的核心逻辑呢，是因为 a、 c 是 正方形的对角线，所以我此时过一点做两个垂线，这两个垂线必然相等， 所以我可以构造出来这一组关键的什么全等，有了这一组全等之后呢？这个题其实基本就解决掉，好吧？嗯。

亲爱的家长们，听我一句啊，二模考完过几天成绩就出来了啊，我就问问你们是不是已经开始坐不住了啊？是不是已经在心里盘算着我家娃能考多少，能不能上一本？我今天就把话撂这，二模不是终点，是体检，考的好的别飘，考的差的别崩，别让一次考试毁了孩子最后几十年的心态啊。 先说说考的好的家长，是不是已经开始飘了，觉得稳了没问题了？我告诉你，这是最危险的信号！二模考得好，只能说明这段时间复习的对路，不代表高就一定能稳啊，让你家孩子觉得我已经够了，别让他松懈，高考的题 比二模难，先松一秒，高考就可能丢十几分。别骄傲，别嘚瑟，赶紧让孩子把错题复盘，把漏洞补上，这才是真的稳。 再说说考的差的家长，是不是已经开始焦虑崩溃，骂孩子是不是已经在想完了，孩子没救了？我告诉你，你这是在毁孩子！ 二模考的差不是能力，不是能力不行，是暴露问题，是让你知道哪里没学好，现在犯漏洞总比高考发现强一百倍。 别骂别吼，别让他跟别人家比，孩子现在比你还难受，你一骂他直接躺平，你一吼，他直接崩溃。稳住，帮他分析错题，把丢分的问题一个又补回来，这才是逆袭的机会。 我见过他的孩子二模考的好，最后告我翻车，也见过他的孩子二模考的差，最后呢？逆袭成黑马，关键不在分数，在心态，看着没？别把自己的焦虑 传给孩子啊，惯着们，别把自己的焦虑传给孩子，别让一生二磨决定孩子未来，考得好，别骄傲，继续冲，考得差别气馁，继续补，高考还没到，一切都来得及，最后几十天拼的不是分数，是心态。稳住啊，别慌，我在咸阳陪你们一起等高考大捷！

好，下面我们来看一下十九题一道竖列的题目，已知满足竖列， a 一 等于二， a 一 等于二， a n 加一等于二， a n 减一，这个 a n 加一， a n 显然是一道符合递推形式的一个数列，所以我们就一步步算就好了。你看，你首先把这个 a n 加一看成是 a 三，它说求 a 三吗？那好，我们看一下斜着啊。十九题， a 三， 那这个是 a 三，那 n 就是 n， 不 就是二吗？对吧？那等于二 a 二吧，二 a 二减一，是不是这样？ 那现在我们现在 a 二还是不知道对不对？ a 二不知道 a 二要通过什么，你看还是通过这个递推式， a 二是等于二 a 一 减一 实现吗？所以这个 a 一 是知道的，是吗？ a 一 是知道，那我们二乘上二减一，不就是等于三吗？ a 二等于三，往哪带？是往这里带，是往这带带进来吗？是吧？就等于二乘三减一，是不是就等于五，是吧？这道题就做完了呢？等于五， 会不会啊？会了吗？就是这样递推的形式，慢慢算就可以了啊，慢慢算就可以了。第二十题， 已知数列 f x 等于 x 方 g x 等于 x 点一，那这个这种形式我们应该很熟悉啊，这种情况下，就是要从里边往外拨，里边先算里边的， 那就是 g， 是 吗？五 g 五在哪？是不是在这？是不是在这？好，那就是五减一等于四，是吧？那好，那 f g 五应该是不是等于 f 四啊？ f 四就等于四的平方等于十六啊？这个答案就是十六， 可以吧？啊，就是这么简单，然后继续二十一题。二十一题是一道 随机辩论的题目，同学们，关键是你要看懂这个东西，这是一个正态分布，正态分布这个是谁？这个叫什么？这个叫 muse 呗。 m u 的 话就是它的对称轴嘛。所以说我们在这二十一题要怎么去处理二十一题，我们画出的图应该就是这个样子，它是零吗？ 这位置是零，知道吧？ m u 是 零，就说明它对称轴是这个，所以它大致画出的图像就是这样， 就这样正态分布，是吧？好，同学们看一下，他说大于二等于零点二，二，比如说在这 二，比如在这，那大于二这部分，他说是零点二，这部分零点二。那我问你，他要求的是零到二，就是他要求的是这部分啊，他要求的是这部分，这部分 的蓝色部分等多少？ 首先一点我们要理解的一点就是我们这个全部加起来，就是说这个 p 全部加起来啊，这部全部的 面积加起来应该是等于多少？是一个是等于一，对不对？然后正态分布，左边通过对称轴左右输入对称，所以我们要推出什么？所以我们的 p x 要在大于等于零，就这边右边大于等于零，这种情况应该等于多少？是不是等于零点五？因为它左右对称啊，左边这部分 跟这部分全部数对称的，所以大家总的是一吗？那你这个一半不是零点五吗？好，这零点五，然后这部分大于二的这部分是不是？这不这一半是零点五吗？所以这个是零点二，这部分是零点二，所以 我们这个 p 零小于 x， 小 于等于二等于多少数等于零点五减零点二呀？零点三 就做完了， index 是 不是这样做？所以在这里我们的正态分布你要抓住一个性质，就是说关于 x 的 new 对 称， 对称，也就是关于没有左右的面积是相等，还有个要抓住一个点是什么？总的 p 全部加减，应该是一个完整的一啊，这是解答道题非常关键的一点，好吧，好，二十二， 二十二题，这个是非常简单的，对吧？纯粹就是一个代公式的题，那我们正确的合公式把它弄出来，这是谁？这要背是吧？ can 法加 can 背它 一减去 ten， alpha 乘以 ten 比特，对不对？所以把它带进去，那就是二加上 ten， 是 吧？四分之派， 一减去二乘上 ten 四分之派，那 ten 四分之派是多少？不是一吗？ 啊？上面是三，下面是负一，答案是负三，听见吗？没问题吧？啊，这个题目就是这样，继续 二三题。二三题，某几何体的三式图，这里有个三式图，那显然，同学们，你通过这个三式图你看出这是什么几何形吗？则该几何体你的侧面积为多少？你首先得确定一点，这是什么图形，对不对？ 三式图推出什么图形，就原图是什么原图，你看它的主式图是个三角形，左式图也是个三角形， 而且是完全全的那个三角形，那上面往下看是个什么？上面往下看是个圆，同学们，你能能得出它是什么吗？ 你能想象一下吗？左边是个三角形，左边看的是三角形，右正面正面看的也是三角形，这三角形相等 是什么？是不是一个圆锥啊？同学们，是不是一个圆锥？那你这个东西圆锥肯定要看出来啊，圆锥看不出来，那题目没法解啊，对吧？所以这要去想象的，对吧？想象，然后就，而且有时候你通过一些题目，你可以去进行一个 总结啊，那好，那我们圆锥已经出来了，那圆锥的侧面积等于什么？第二部分就是计算了，那就计算那圆锥的侧面积应该是 s 锥， 错啊，应该是等于什么？ i r l， 那 你这个是不是要记住 r 是 谁？ r 是 半径， l 是 什么？ l 是 母线，对吧？母线，母线是哪一条？母线就是这一条， 慢慢算， r 是 不是知道了 r， r 知道了没？ r 不 就是这个吗？这个的圆 r 是 等于三，对吧？母线等于什么？母线，我们要算一下，母线是这里，这个是等于四， 那这个下来这部分等于三，那这部分就是五了，对吧？这是一道填空题嘛，所以母线是五，所以这答案就是 pi， 乘以三乘以五就等于十五个 pi， 答案是十五个 pi， 是 不是就是这样子， 对吧？所以说这个三轮他还是比较简单的，他没有搞一些啊，特别稀奇古怪的东西，对吧？新奇怪，而且非常常见的圆锥，对吧？圆锥，那这次考的圆锥，下次有可能是圆柱， 是吧？所以说这个东西以点带面去复习的时候，你每每一个知识点，你要去去猜，去看，就是我们要考的这个不同的点，你都得去复习，以点带面的去复习，不是说你这次考的圆锥，弄了圆锥，那下次考圆柱，圆柱又不会了，对吧？啊？ 继续抛物线，这个，这是作为填空题的压轴题。嗯， 老师看了一下，难度还行啊，但关键是说你自己要要要要，会画这个图啊，要看出这个审题要审清楚是什么意思啊？抛物线 c 外方等于二 p x， 这里这个， 那你这个出来之后，它交点为 f， 你 首先这个图你说出来自己要感受一下，外方等于二 p x p 大 点，你这个图画出来应该是不是这个？这个抛物线要朝向哪里？ 是不是要朝向我们的 a k 四轴的正方向啊？我大致画一下，比如长这样，长这样啊，我大致画一下，好，画好了，它说有个焦点是 f， 对 不对？焦点是 f， 交点是 f， 然后点 n 在 准线上，点 n 在 准线 l 上斜， m n 是 垂直的，我们准线先画一下准线，比如说在这儿，哎呀，不是特别好啊， 这画的有点歪了，准线在这儿，是吧？然后这有个 n 是 不是这里是不是 n？ 然后他说 m n 垂直于他，那 m 都是在这， m 是 在凹线上吗？然后这个娃要过来，他说这个是垂直的，对吧？然后这里有个焦点叫 f， 这个连起来，再把这个连起来，哎呦， 画的太丑了，这样对吧？他说这个三角形叫什么？叫做等边三角形，同学们， 等边三角形呢？肯定三条边都相等了嘛。所以我们这里马上就会得到一个点，叫什么，是不是 m n 要等于 m f 要等于 n f 是 不是这样？所以我们现在他现在看一下我们要求的是什么，求的是 m f 比上 p， 就 这一段。 那我们说你这个 p 在 哪儿？我们应该说根据我们的抛物线的性质的话，你这个 p 应该是不是这段？应该是不是这段， 是不是我们的交点到准线的距离，这个叫 p 啊，这个是不是叫 p， 对 不对？这个叫 p 啊？ 那好，同学们，我们要看一下角度上，我们再看一下角度上。角度的话，你这个是等边啊？等边啊，那这个角多少度？这个角是不是六十度？ 这个角是不是六十度，对不对？那既然是六十度，那这个角是多少度？那这个角是不是就是三十度，对吧？因为它这个是直角啊，它垂直啊，直角就三十度。那好，你看这个也是垂直的， 那这个是 p。 同学们，那你能不能通过我们的，比如说这个是 a 点，那我们这个 a 点 a f 等于 p， 你这个 a f 等于 p， 是 吧？然后这个等于 p， 然后这个又是直角三角形，这个又是三十度，那三十度所对的边是不是等于斜边的一半啊？ 是吗？啊？角 a n f 等于三十度，角 n a p 等于九十度，你这三个弄出来，我们是不是得到这个 n f 就是 等于两倍的 a f 就是 等于二 p 啊？同学们， 这个能理解吗？我们关键是利用这个直角三角形的角度，三十度，三十度，因为这个是直角吗？然后这个六十度，这三十度，然后利用这三十度去求得 n f 等于两倍的 a f 等于二 p， 是 吧？那既然 n f 等于二 p 啊， n f 等于二 p 啊，那这个 m f 是 不是也是二 p 啊？是不是也是二 p？ 所以 f 除以 p 应该是等于二 p， 除以 p 对 二。好，这个答案就是我们这里是利用到了，就是我们 你要观察到这个这个图形的这个角度之间的关系啊，三十、三十、六十，以及找到它比例关系。这道题是这么去解啊，所以说我们解这类解析几何的题目，画图其实比较重 画图，因为画图可以让你从抽象 啊，具体的一个过程，有些同学是因为有些同学的空间想象能力比较弱啊，你要把它画出来啊，画出来，然后再去利用一些性质去计算的，这是需要一个积累的过程。 然后这是我们的填空题， 我们这节课先上到这。

试卷分享，高三全科二模咸阳二模陕西省咸阳市二零二六年高考模拟检测二试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

山西省二模第十九题十七分导数综合一分钟讲透三问。第一问，单调区间 求导 f， p， a 等于 a， e， j， x 减一令它等于零，解得 x 等于负的 l， n， a 左边单调递减，右边单调递增，减区间负无穷到负， l， n， a 增区间负， l， n， a 到正无穷。第二问，零点个数 不求 x， 只看最小值，把 x 等于负零， n， a 代入得到 f， 最小值等于一加零， n， a 用它和零比较，小于零时， a 小 于一， e， e 两个零点等于零时， a 等于一。除以 e 一个零点大于零时， a 大 于一， e， e 没有零点。第三问，不等式， 先求二阶导 f， p， x 等于 a， e， a 大 于零， e， x 大 于零，所以二阶导横正。这说明 f 是 凸函数，凸函数有个性质，割线斜率大于等于终点切线斜率， 原不等式直接得正。这道题用了三种思想，第一问，参数拆解，第二问，销元思想，第三问，逆推法。一道题练三种方法，这就是规则过 o s 的 解析系统还想看哪道题？评论区告诉我？