安庆二模数学第5题写法

能做上所谓的钓鱼卷，并且认真解析，巩固钓鱼卷，这是一种福报。如果所谓的钓鱼卷你做了，但没人给你讲，确实挺恶心的。但是一旦被解析了，彻底巩固了，绝对是福报。 不知道你们有没有观察到一个滑稽的现象，每次某某模拟卷一出来，只要稍微难一点，就有一堆人叫 喷来喷去，这个也变态，那个也变态。事实上，模拟题就是要变态啊，题目一点也不变态，那还叫模拟题吗？模拟题的目的是什么？不就是让你好好备考真题吗？那肯定是越变态收获越大， 只要有老师讲，就是越变态收获越大的。至于你的心态受不受的了，关我什么事啊？你自己懦弱，你管自己哭去，我堂堂一个命题人，何必在乎一条狗多叫几声？ 所以，模拟题的命题人，只要他脑子正常，首先考虑的点必须是学生能从这个试卷收获多少，而非这个卷子是否像真题。出于模仿真题目的命制。模拟题那就是下三滥。 真正主流的顶尖的命题人不考虑这一点，因为真命题已经在我的心中，所以随心所欲不拘泥地的人不考虑这一点。因为真题型已经在我的心中，所以，那我出变态点，你的收获肯定更大啊。 今天要讲的安庆二模就是如此。这个最后一题考察知识点是三角猕猕，说实话是有一点点偏高，考前把你震慑一下确实有点不合适。但是你已经刷到讲解这题的视频了， 所有的政策就瞬间合理了。因为我讲这个题只要五分钟，顺便让你了解了一个全新的知识点， 所以从此以后不要扯什么钓鱼卷，只有像我这样宁愿顶着全网喷我出钓鱼卷的骂，也要坚持搞罚题测试，老师才能教出真正精益求精的学生。正式看题，先看最后一题， 已知这个函数 x 不 等于二分之一。第一位证明是轴对称，显然它的对称轴是二分之一。 怎么证明？证明这个 f 一 减 x 等于 f x 即可。不讲第二问，不讲等第三问再讲，直接看第三问，第三问。这就是典型的三角换元在竖列中的应用。 这种知识点我系统讲过，你去洞门快餐这个整个系列就是我账号主页这个系列，你去翻第一集我就讲了，而且之后也讲了很多模型， 你自己去翻。这里我就直接讲为什么这里可以三角还原，而且一定要三角还原。 因为在这里它的条件很简单，一个是 x， 一 等于二分之一，一个是二， x n 加一等于一减根号下一减 x n。 首先我要讲为什么可以三角还原。 首先换元的本质逻辑是一一对应，为什么？比如说为什么你可以设 t 等于 x 加二？因为 x 和 t 是 一一对应的，唯一的 x 就 对应唯一的 t， 这是换元的本质。所以三角换元的本质是什么？ 只要你确定了，哎，这个 x n 它是零到一，范围跟三角一样，而且三角能统设零到一中的所有数，它就可以换元。比如我这里设 x n 等于 sin 平方 r 法 n， 因为他的图像长这样，因为他可以统摄零到一所有数，所以可以换元。但是刚才的说法只是对应，没有一一对应， 你对应是可以换元没错，但是他没有一一对应，比如说你平方了之后，那零到一，他很多角都是可以的，因为平方之后他图像大概是长这样吧。 所以三角换元通常需要一个不防射，因为我只要一段的能统摄零到一就行了。那你多段这个取过来没有意思， 所以就直接不防射，而法是零到二分之派是这样来的。所以呢，有些人呢，解析看不懂哎，你凭，凭什么不防射？就是这样不防射？因为本来是多对一，但我只要一一对应就够了，经常以， 所以他可以三角还原。那至于为什么这道题一定要三角还原，因为我注意到了， 我注意到换了之后，他有一个很优美的代数变式，这个只能靠注意力，只能靠多练， 比如在这里，你看换了之后 x 等于这个了，对吧？那恰好就能吻合这个题的式 带进去，二 x n 加一，就是二上引平方 r 法 n 加一。然后呢，因为我不防测是锐角了，所以这个根号很好开，就直接开成一减去 cosine r 法 n， 这不就是二倍角公式吗？ 这个东西它就是二上引平方二 r 法 n 啊，二分之一 r 法 n 呐， 所以这个等于这个，因为是锐角，所以好开方，好约分，所以直接搞出来， r 法 n 加一，就是二分之一 r 法 n。 因为我直接注意到了，这个式子可以在套在这个里面，所以我想到三角还原， 因为我注意到不仅可以三角还原，而且这么恰好，所以这么做。 所以问题来了，有些学生呢，我知道的，他最讨厌的就是，哎，核心出装注意到啊什么的，那么三角速列这个注意到是不是真正的玄学呢？不是， 这是一式竞赛常见技巧，我给你总结一下。其实啊，一式竞赛很多这种代数题的，凡是出现一减 x 或一减 x 方的，大多都可以扣赛赛，这是行规，这是江湖规矩。 比如说你，你看到 x 方减外方，等于一大多可以换成一个是 cosine 分 之一，一个是正切。因为 cosine 和正切有一个关系，就是 cosine 平方 x 分 之一加一，它就是 tangent 的 平方 x。 啊啊，这里这里也可以开个号，很常见的，或者只要出现一加 x 方，你就要把这个，你就要想到这个东西要换成 cosine 分 之一，很常见很常见。 至于有多常见，我没时间给你叙说，但是我要告诉你，很常见，这是一个全新的知识点，有的人高中三年都没听过，但是搞竞赛的肯定听过。所以呢，这题是不就秒了？我知道这等比数列了，那就知道 x n 的 关系了，那这个题不就简单死了，所以五分钟秒杀了。 那至于这个东西为什么大于这个，小于这个，它提示的明明白白了，这是第二问 好。所以呢，这个题就差不多了，但是接下来写过程的这个步骤还是要注意些细节，这里是大于零，对吧？他刚才我是取到零的，其实取不到，而且一也取不到。为什么取不到一？你竖归正，把这个单调性一看就行了。这我懒得说，所以 x n 直接换成上一平方 r 法， n r 是 零到二分之派，不能取零，也不能取二分之派。为什么？平方，因为这里是根号一减 x 结构，我们的行规是一减 x 方这样东西，所以 就可以得出这个 r 法 n 等于二 r 法 n 加一，这个通向成立，这个也成立。所以呢，这个是指就是根号下 x n 加一， c 个码 i 从一到 n， 根号 xi 分 之一加一。怎么处理？这里就需要一些奇思妙想， 这个呢，也就是它放十九题的原因。这个根号 x n 加一，我先画啊，这个开放直接开了，就是 sin 阿尔法 n 加一，重点是这个 c 个码，它这里的 c 个码里面是 i 从一到 n， sin 阿尔法 i 分之一加一。好，这里又有一个技巧，又有一个就是久经沙场之后的经验总结，凡是 sigma 碰到三角函数，你就要想到列项。 记住，只要 sigma 累加求和，碰到三角函数，无论是 sum 或 sum， 正切就是列项，否则没法做的，因为三角它并不是二次三次可以列 啊，可以那种很直观的列，所以你处理的方法只能是把它通过和角差角公式把它拆开再列，不然怎么累加累加不了， 所以这就是经验。那么我现在思考这个怎么列呢？首先列项是为了什么？ 列项是为了求和，那怎样才能求和？求和列项求和之后，根据经验肯定是要相消的，比如说你肯定要化简成 a n 加一减 a 的 形式，只有这样子求和 a n 从一，比如说到二零一零， 只有这样求和你才能消，否则你求和没有意义，因为这个码本身就是一大串，我化解的意义就是把一大串弄成两三个数，那你肯定要相消，怎么相消，求和怎么消？必须要弄出同共， 那这里怎么弄成同共？那肯定是要考虑二倍角关系嘛，因为前向后向就是二倍的关系，所以呢，我们就想到了如下技巧， 这个技巧说实话有点难想，这也是这个题放在十九题的原因。怎么画？首先我把它画成二倍角，就是塞二 r 法 i 加一 分之一，然后呢，这个东西我把它这样画，它是 i 从一到 n， 这个东西把它画了，画成塞 r 法 i 加一分之。 cosine r 法 i 加一，没有两倍减去 cosine 二 r 法 i 加一，然后呢， cosine 二 r 法 i 加一。你看这是不是前一项后一项就出来了，因为二 r 法 i 加一就是 r n， 我 搞出这个，那这个东西它就是这个， 不信你自己猜一猜通分一下就知道了。这就是这个题难的地方。好，这里加一弄出来，然后呢， side r 法 n 加一，所以这就化简成了， 因为这个是正切 i 加一，这个是正啊，正切分之一，余切，这个是 r 法 i 分 之一，所以累加之后，那就是 sima 从，呃，也就是 tangent 的 r 法 n 加一分之一，减去第一项，就是 tangent 的 r 法一分之一加一，然后呢，乘一个赛尔法 n 加一，因为首项它是二分之一，那开放之后就二分之二，所以 r 法一是四分之派， 所以呢，这个减一加一正好没了，你看这个设计的太拙劣了。然后呢，阿尔法 n 加一，就是四分之派，就是二的二次方，它乘一个二的 n 次方，所以呢，就是二的 n 加二。 所以呢，这里上以上以约掉，它就是 cosine 二的 n 加二分之派， 所以呢，这个东西只需证这个东西它大于这个小于这个就行了。那就是第二问的结论。 你看我抄一下，它就是证明 cos 二的 n 加二次方分子派小于二分之派，一减二的 n 加一次方分子一，大于一减二的 n 加一次方分子一，它就是这个吧，对吧？你看你看，把这个带进去一样的，所以呢，我就讲第二问， 所以呢，这个试卷呢，之所以被骂钓鱼卷，我觉得也是有道理的，他设计的确实很作孽，没有那种优美感， 但是起码有开启明智之功，因为他让你知道了有三角速列这个题型，虽然我这个早就讲过了。好，所以就讲第二问，证明 cosine 它是零二分之一嘛，所以我直接移 大于一加二 x 小 于二分之 pi 乘以一减二 x， 只需做这个就行了。那就构造两个函数，一个是这个减，这个我构造成 g x 等于 cosine， pi x 加二 x 减一， 求导，它等于负派。上派 x 加二，这个就是一个典型结论了，不知道有没有人看出来，但是我选择继续求导。 g 两撇 x 等于负 派方 cos 派 x x 零到分之一的时候，这肯定是大于零，所以是小于零，所以这个递减。那零点零点呢？就是 上引 pi， x 等于 pi 分 之二，这肯定是引零点，所以呢，要估计估计一下， 它总的范围是零到二分之一，所以我只能估计零到二分之一了。零带进去是二大于零，二分之一带进去是二减， pi 小 于零， 所以呢，这个引零点，它是零到二分之一的。我现在要碰到的这个正负，它这里导函数是先正后负，是先正后减的，我要正的是它大于零，所以我只去看端点，一个是零，一个是二分之一，那都是大于零啊，都是等于零的。你看零带去 零，这里是零，然后这里是一，这是一，消了二分之一带去这个是零，二分之一减一等于零，所以呢，这边就正 b 了。然后再构造另一个，就是 h x， 一般来说，一个正大于一个小于，应该有一个特别简单，一个特别难，但是这两个都特别简单，这也是命题较差的地方。所以构造 h x 等于 cosine， pi x 减去 这个二十加加 pi x 减二分之 pi x， 求到 h e p x 等于负 pi x 等于负 pi x， 这个 pi 提出来就是一减，这个一减，这个肯定是大于零。 因为三角函数 cosine 都是负一到一，所以这个递增，所以直接 h x， 它小于 h， 二分之一等于零，正 b 了。 所以呢，第二题三问就讲完了，这就是这个题，那这个题那更是吓人，更是低水平了。他说按照从小到大排列所有极点，那就是 f e p x 等于 x 分 之一减三 x， 那 也就是三 x 和反比例函数的交点。 所以呢，一画，首先就能明显看出一个规律，反比函数是这样的，他一对应的这是一，然后呢，二分之派，他是第一个取到一的，所以呢，要交于这个点，大概一画就是这样，所以呢，我就画小一点，大概就是这样画， 呃，这样子，然后这样，这样就画的更明显一点，很明显的看出这个是 x 一， 对吧？这个是 x 二，这是 x 三，这是 x 四。偶数减前一个奇数，它是小于派的， 而奇数减前一个偶数，它是大于派的，所以 a 这个结论是错的，它太绝对了。那 x 二 k 到底是极小值还是极大值？看偶数 这个偶偶数的这个 x 都有一个特点，他在偶数之前是这个善意比较大， 那也就说在偶数之前，这个比较大就是负的嘛，那就是先递减偶数之后递增，那就是这样子点，所以 b 他 是对的，然后 c， 这显然就没有那么绝对，因为一个是小于派，一个是大于派，你直接说小于二派不合适，而且有一个周期性， 你看 x 二，如果说我没有反比例函数，这样减过来，我直接平过来，那这个交的点肯定是大于 x 三的。我标成这个 x 三一撇， 他要他要思考的就是两个偶数差，那我看一下 x 四与 x 二， x 二横到这里， 那才是 x 二加二派。而正是因为 x 三一撇大于 x 三，所以 x 二加二派是小于 x 四，所以这是恒大于二分之派的， 所以 c 错，这就是基本的一个图像，没有什么高深学问。那 d 呢？很简单，这就是基本的单调性，因为所有的知识点都满足 x 三，以 x 等于一， 那么这个就可以化简了，化简成，把 cosine 化成，因为所有的偶次它都是在上移，这个下降的这个地方就是二分之 pi 到 pi 这个周期，所以 cosine 一定是负的， 所以根号要加个负号，那这样以来判断单调性就行了，因为 x 二 k 加二肯定是大于它的，结果判断出来它是单调递增的，所以答案选 bd， 这就没有任何学问可言。

安徽最近的模考题真的是要逆天，前一阵子刚考完特别难的一套江南十校，最近又来了一套安庆二模，这套试卷的难度比之前有过之而无不及。首先 x k 是 正整数， 满足这个条件以及这个等量关系，从这六个数里面任选三个组成三位数，问这样的三位数有多少个？咱们做题的时候呢，先去分析一下他的条件，六个整数随便抽都能组成三位数，那说明这六个数 一定是一到九这九个正整数构成的，因为如果他是两位数，就不可能构成一个三位数。那有了这几个数字之后，我们再来看这个条件给了之后呀，咱们要去想，我不可能去按照一个特别严格的证明去解决这么一道填空题， 那咱们就不妨试数，这六个数都取最小的一，肯定不可能。那如果有五个一，最后这个数不管是几，后面的乘积都是这个 x 六，而前面加在一起肯定比 x 六要大，也就是说不可能有五个一， 那么如果他有四个一，我们来试一下，看看可不可能前四个数呢？不是一，那就还按最小的来。假设他是二， 这几个数加在一起，大家发现没，正好是六，那六加上 x 六，就应该等于这几个数乘积也就是二，再乘 x 六，哎，此时 x 六就是一个正整数六，也就是说这六个数是 四个一，一个二，一个六，就是符合这个关系的。那既然符合这个关系，我就要把它对应的三位数的个数解出来，就应该是答案。所以我们来看一下怎么去找到这个三位数。 假设这三个数都是一构成的，那就有一种可能性幺幺幺。其次，如果这三个数里面呢，有两个一，一个二，那组成的三位数应该有 三个。接着如果是两个一，一个六，也对应的是三个。最后一种情况就是一个一，一个二，一个六，那对应的就应该是 a 三三，所以前面是七， 后面是六，加在一起是十三，最终答案就是十三。有的同学问，有没有可能是别的呢？我觉得你在考场上根本没必要往下继续想，只要我找到了这么一个特殊情况，这个题就应该是这个答案。

好，我们来看一下这样一道题，这个题是咱们二零二六届的安庆二，那么这套试卷的话，呃，我整体做了一下，感觉它的难度是比较贴近高考的 啊，希望同学们有时间可以去做一下。我们来看单选的第七道题啊， 这个三棱锥的底面为边长为一的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个啊，至少有两个是等腰直角三角形，那么三棱锥的体积不可能的是哪一个？ 那么拿到这种题目的话，咱们一定要动手做起来啊，我们不要啊，就是看着这题目去冥想，你冥想的话，肯定是啊，你想不出来的，你也猜不出来的，所以我们来动手操作一下啊。 他首先说这个三轮锥的话，里面是一个正三角形啊，我们随便画啊，画一下， 假设这个是底面，然后呢，他说有两个，三个侧面三角形中至少有两个是等腰直角三角形，我们画一个啊， 啊，这个这个地方咱们用虚线来画， 呃，底面边长是一一一一，对吧？那么有侧面得有等腰直角三角形，那我们比如说，我们以这个侧面为例， 对吧？我们以这个侧面为例，如果他是等腰直角三角形的话，应该会有什么？有两种情况，要么是他俩为腰，要么呢是他俩为腰。 呃，那我们来看一下，如果是这个和这个是幺的话，那这里是直角，对吧？那这里是直角的话，所以他们的这个两个幺的话，应该都是二分之等号二。 那题目说我们是有两个，至少有两个是等腰值的，我现在这里有一个，那我希望另外两个侧面呢？其中有一个啊，至少是等腰的，那我也是希望呃，像这两种腰相等， 跟这种一样的，所以说我们其中有一种情况，就是这里是也是二分之根号二，那这是第一种情况，那这种情况下我们体积是多少呢？体积该怎么算呢？ 我们可以看一下这里这个三角形和下面这个三角形，其实它们是共了一个底边的，并且是 大家都是等腰三角形共了个底，那我们很容易想到去取他们这个公共边的这个中点，我们把这个点起来， 那么这样的话，这条线和这条线是垂直的，也会和这条线是垂直的啊，这条线和这两条线都是垂直的关系， 所以的话，我们三角啊，这个三棱锥的体积，我们完全可以用三分之一的这个面积去乘以这个高啊，去乘以这个高，这是可以的，我们来写一下啊，假设是 a、 b、 c、 d， 然后这个点我们叫 e 点吧， 那这个时候三棱锥 v、 a、 b、 c、 d， 其实就可以写成是三分之一个 s， a、 d 去乘以 b、 c， 那 么我们现在 bc 长度是知道的， bc 长度是一，那么关键是要求出这个 a、 e、 d 的 长度， a、 e、 d 的 面积， 那么我们可以分析一下这个 a、 d， 它我们找三角形面积啊，其实我们可以把这个三角形的三个边长给他找到，这样我们去求它的面积是比较简单的， 我们来看一下 a、 e 的 长和 b、 e 的 长其实应该是相等的，因为它这个侧面是一个这样一个等腰直角三角形二分之根号，二分之根号， 这里是直角，我们做垂直之后，那么其实这两个长度是一样的，所以这里是二分之一， 那么底面呢？底面这个是一，这个是二分之一，这里是垂直的。那根据勾股定律，咱们可以算出这里是二分之根号三，所以我们可以发现这个三角形它边长我们都算出来了，我们可以看一下 这个三个边长，我们一看其实它是符合一个勾股定米的，一比根号二，比根号三， 所以我们确定这里它是个直角三角形，这个三角形 a、 e、 d， 它是直角三角形 啊，它的面积就是二分之一个 a、 e， 再乘以 a、 d， 那 也就是二分之一个二分之一，再乘以二分之根号，那就是八分之根号。把它代入到这个体积公式中 啊，就是三分之一乘以八分之根号，再乘以 bc， bc 是 一，所以这个算出来是二十四分之根号，所以这样算出来 c 选项，是啊，是可以的，是体积是可能的，他问的是不可能，大家注意一下。 好，那这是第一种情况，第一种情况大家注意一下。好，那这是第一种情况，我们认为的是等腰直角三角形， 那我们还有什么情况呢？我们刚才讲了，我们还可以以这两个作为幺啊，那我们继续画一个类似的图， 所以这个题肯定是分情况讨论的。 呃，这是 a、 b、 c、 d 啊，这是第二种情况。呃，我们现在假设这是以这个底面都是一啊，我们现在假设是以这个 为等腰的，就是 a、 b 等于这个 bc， 那 么它，呃，那假设它是等腰直角的话，那这是一，这是一，那这个 a、 c 的 长就必须是根号二了， 那我们还缺少一个等腰直角三角，那我们可以想到我们可以擦拭等腰的直角，也可以是里面这个是等腰直角，那我们这个情况是不是又可以分两种情况呀？ 好，所以我们如果假设是这个是一个等腰直角三角形，那他的这个腰的话，他只能是，呃，他只能是这个， 如果，如果这个这两个是，如果是这个等于这个的话， 那这个三角形肯定不是等腰，那是根号二，根号二比一嘛。所以这条边他其实啊，我们可以认为是一，假设啊，这边是一的话，那这样的话这个三角形和这个三角形都是等腰直角三角形， 那这个时候他的这个体积该怎么去计算呢？我们还是跟刚才一样的思路，其实我们可以发现这里啊， 这里他是一个等腰三角形，或者是他是等边呢？一一一，这个下面也是一个这样一个等等腰的，所以我们仍然是可以去取这个 b、 d 的 终点 连接连接，那么其实我们可以证明 b、 d 这条线既垂直 a、 e， 又垂直 c e， 那 b、 d 会垂直于这个 a、 e、 c， 所以 这个时候三角形，呃， 这个三棱锥的体积可以是三分之一个 a、 e、 c 去乘以 b、 d。 同样的 b、 d 长度是知道的，那么 a、 e、 c 这个三角形的面积，我们还是去看它的这个边长， 看它的边长，它的边长是什么呢？那么这个边和这个边其实长度应该是一样的，因为这两个里面都是一个边长为一的等边三角形， 所以我们可以算出它是应该是二分之根号三，二分之根号三，所以这个 a、 e、 c 这个三角形，它是这样一个三角形， 这是二分之根号三，二分之根号三，还有这个是根号二。 呃，我们做垂直，因为这是等腰三角形呢，所以这个长是二分之根号二，那这个长应该就是二分之一，一比根号二，比根号三， 所以这个时候我们可以算 s 三角形 a、 e、 c， 它应该是二分之一个底，底是根号 a、 c， 高是这个二分之一，所以这里它是四分之根号， 我们再把这个面积带入到这里，那我们可以算出多少呢？ 十二分之根号，十二分之根号。好，这是第二种情况，那我们再来看一下第三种情况。 第三种情况就是说我们现在他刚才第二种情况，他是等腰的，那也可能是里面这个是等腰直角三角形，所以我们再来画一下 这个图，大家一定要去画啊，考试的时候一定要去画这样，嗯，你要分类去讨论的话比较简单一点啊， 还是刚才一样，我们认为这里是一，一根号二，那我们希望里面是一个啊，希望里面是一个等腰直角，那里面的这个三角形 b、 d 一， c、 d 是 一， 里面 abd。 要想成等腰直角三角形，那只能是 a、 d 这条边是根号二了。好，那这样的话又可以满足是至少是两个是等腰直角三角形， 那这个时候体积该怎么去计算呢？我们仍然去找两个共底的等腰三角形， 那么我们发现这个他俩是，他是等腰的，以这个为底，同样是他是以这个为底，所以我们可以取 cd 的 中点， 取 cd 的 中点啊，为 d 点，那这个时候体积可以是三分之一个 a、 b、 e 去乘以 cd， 那这个时候我们只需要去算出这个三角形 a、 b、 e 的 面积，那还是一样，我们去找他的边长啊，这地方 b、 e 的 长，我们写一下是二分之根号三， a、 e 的 长，他是这样，这是根号二，这是二分之一，那我们可以根据这个勾股定律算出来，他们他是二分之根号起啊， 所以 a、 b、 e 这个三角形，它就是一个这样一个三角形， 那这里我们可以简单的口算一下，这里满不满足勾股定律，这里其实是啊，呃，一的话，对吧？这边是一的话就是二分之二， 把它平方一下，把这个也平方一下，就是四加三正好是几，所以这里也是一个等腰直角啊，直角三角形，直角在这里啊， 呃，所以他的这个面积的话，他的面积就是二分之一个一，乘以二分之根号三，这里是四分之根号三，把这个再带入到体积公式中去啊，所以就是十二分之根号三。 所以这个地方我们算出了有这三种情况啊，三种情况，一个是这个，一个是这个，一个是这个， 所以的话正好对应的是 a、 b、 d， a、 b、 c 这三个选项，这个体积是可能的，所以你选不可能的，那答案就选 d 选项。好。 呃，我们这里给大家说一点啊，就是说我们算三根锥的体积，很多时候其实都是三分之一个某个面，然后乘以 另外一个顶点到这个面的距离，那么其实我们三轮锥的话，体积也可以像我这三种情况一样 啊，我们这个底面我们取作是这里面的这一条面，然后这个棱这个高呢？是某一条，这个棱长啊，但是前提是这条棱必须要垂直于这个平面啊。 大家，呃，可以用什么方法来证明呢？就是把切割嘛，相当于切割成两个小的三轮锥来合并一下，其实就是这个面积去乘以这个高 啊，也有点像什么呢？也有点像我们在求这个三角形的面积的时候， 求三角形面积的时候，我们不一定每次都是用底乘以高，我还可以这样，我可以在三角形中随便取一条线， 随便取一条线，那我以这条线为底，然后再以它两之间的呃，就是要做一个距离啊，就这样 就是说我可以以这个为底去乘以这个高， 然后再除以二，就是类似这个意思啊。好，这个这道题咱们就讲到这里，大家这个安庆二模这套试卷大家一定啊要去做。

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屏幕前的各位家长同学们，你们好，今天咱们精讲二零二六新疆自治区二模单选择题第五题， 好，我们先审一下题，有五俩车停放在一排五个相邻的车位上，若假车与已知相邻的停放，则不同的停放的方法总数是多少？ 好，那么很多同学一看到这种题，一个一个数啊，想的是一个一个数，那么太费时间了，那么今天教你捆绑的方法，三步直接秒出答案，那么学会这道，那么所有的相邻的问题都能搞定了。好，首先呢，我们回顾一下这个捆绑啊，他的这个方法的 核心技巧，那么遇到必须相邻的元素，那么咱们就把它们绑成一个整体，那么就像他说假车与已车相邻的停放，那我们把这个假车和已知给它滚放到一起。 好，那么啊，在这呢，我把这个甲乙两个车看成一个超级车。好，那么啊，他的这个内部排列呢？ 啊，我把这个超级车可以写成一个甲乙或者是什么乙甲，所以在这边有两种排法啊，两种排排列的方法，那么这一步千万别放，那么很多同学他是丢分，就在这里了。好，然后我们现在呢，把这个超级车和其他的车啊排到一起， 那么我剩下的这个车是普通的车，是三个码一个超级车，那我的排列的方法是应该是 a 四四，那 a 四四，那它是等于二十四码，好，那么在这呢，我们用分布这个乘法原理，那二乘二十四， 它是等于四十八，那它对应的位置是应该是 b 答案，好，那么我们总结一下这一道题，那么这道题的核心是一句话，那么相邻的问题先捆绑 啊，内部排列，别忘记整体再做全排列。好，下次遇到谁和谁必须挨着的题，直接套着这三个方法，那么三个步骤，那么十秒可以做出你的答案，再也不用傻傻的去数， 那么听懂的同学在评论区扣个一懂了啊。那想听更多的二零二六自治区二模的数学的整体解析，赶紧点关注啊，我每天带给你一个拆解一道高频题，好。

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安徽安庆的高三二模数学卷是安徽三月地市模考中质量最高的一份，虽然难度不如江南学校大，但质量更高，更有模拟考的价值。单选第七题和第八题都是比较优质的中档题，尤其是第七题，对例题几何构造的分类讨论，多选第十题有计算量，但比较常规。 第十一题比较创新，考察数列性质与函数单调性。第十四题的整数方程与排列组合又需要媒举求解，解答题主要是最后两题有难度。第十八题三问层层递进，从切线条件到直线方程再到切线性质体现解析，几何推理列。第十九题函数对称性证明，不等式放缩递推，数列与三角换元结合，层层深入，出的很棒。

各位安静的学生和家长，大家中午好，我是陆老师，我们安静按摩的官方划线终于定了，物理组的本科线是三百九十六分，特工线呢是四百三十九分，比预想的都要低一点，然后历史组的本科线是四百二十一分，呃，那个特工线是四百五十八分，都比去年要低十到十五分左右。 我之前在呃这个作品里面是给大家做过一些未知转化的，我当时是这样分析的，因为我们江南职校的本科线物理组是呃三百八十三分，三百八十八分，特工线呢是四百三十五分，因为我从收集到的大多数学生的成绩而言，呃，我们氨气按摩的孩子的成绩呢，都比江南职校要高十分左右， 所以我就是把这个江南职校的这个特工线做了一个参考，所以呢，就加了一个十分左右，就变成了我们这个 氨气按摩的这个本科线和特供线。从现在的公布的结果来看，是非常准的，是比较准的，所以之前给大家里面换算的那些位次数据都是相对比较准确的，都可以给大家做参考的。好，这是呃这样的情况，如果大家对本次这个按摩考试的这个位次或分数有什么呃问题，或者想进行高考的位次转化的， 可以在评论区留言对我，但是我接下来要上课，等我有空的时候会给大家回复的。好，谢，感谢大家点点关注，感谢大家。

大家好，我是徐老师，中考倒计时八十一天，一天一个小技巧，今天有同学问 c 二零按摩考试的填空题，最后一题怎么写 啊？其实这一题呢，徐老师写的时候，嗯，因为想要限定时间快点做完，所以我用的是辣麻卤金的瞪眼法啊，注意到， 当然了，为了给大家讲解，那么我来用方法来做一下。其实徐老师在做这一题的时候，我们来看一下第一个选项啊，第一题， 那么他说 a 大 于零，求 b 的 范围，那也就是说跟这个 c 没有什么关系，直接干什么？把 c 带进去，然后令 a 大 于零，即可求出 b 的 取得范围。 这两分很多同学啊，都能得到，但是第二个呢，很多同学觉得看不懂，比较复杂，但是呢，我当时写的时候，我大概花了两分钟啊，我就想了一下，然后我就直接写出来结果了，但是呢，为了帮助大家去了解，那么我们来写一下，那这个地方有很多方法，比如说我觉得比较简单的方法，直接带入胶原即可，比如说这个地方有 a 加 b， 也就是说 a 加 b 减十等于 i c， 那 这个地方是 i c 平方，我可以两边同时乘以 i， 也就是 i a b i a b 减一百就等于 i c 平方 啊，就等于 a 加 b 减十的平方，对不对？这样的话，我们展开一下，它就等于 a 平方加 b 平方啊，加上一个啊，一百，对不对？然后呢，加上一个 i a b 减去一个二十 a 减去一个二十 b 就 可以了，然后把这个二 a b 呢减一百，那么二 a b 和二 a b 就 约了，那么减一百可以移过来，就是加一百等于零，也就说这个式子， 那这个式子有什么用呢？那么很容易知道的是，这个地方我们可以写成，比如说这个地方把 a 平方减二十， a 放在一起，把 b 平方减二十， b 放在一起，对不对？那这样的话，这个 这个一百我们可以来凑一下，一百可以分成什么？这个地方我们把一百可以分一下，比如说这个地方是按十 a， 我 们给它加上一个 啊，多少呢？这个地方我们也加上一个，这里有个一百，这里有一个一百，那也就给他一个十的平方，给他一个十的平方，对不对？这样的话等于零， 所以就等于 a 减十的平方，加上 b 减十的平方等于零，所以呢，我们就知道 a 是 等于 b 等于十，那 a 等于 b 等于十，那 c 就 等于什么？负五，所以就秒了，对吧？啊？当然我写负五的时候没有这么复杂，我当时因为我也花了两个小时的想要做一下，看看怎么样啊，我就花了大概两分钟啊，我是用纳马鲁津的这个注意到啊，直接就写了负五啊， 好，那么接下来呢，还有同学问了我们八年级五中的这个周测的这张试卷的这个十三题啊，这题很多同学是不会写，那么徐老师讲过，带根号的这一种式也可以，但是如果你另，我们直接另 根号下 x 减二等于 a， 根号下 x 减四等于 b 的 话，这样最简单，因为 a 加 b 就 等于三，但是我们知道如果它平方减，它也就 a 平方减 b 平方直接它减，它应该就等于二，对不对？那么这是平方差公式，就等于 a 加 b 乘以一个 a 减 b， 题目说 a 加 b 什么？这个是等于三，所以 a 减 b 就 等于什么三分之二啊。所以这个徐老师写这个直接用这样的方法啊，换元就可以，当然你直接他乘它用平方差公式也是可以的。这个地方徐老师给大家留一个啊，举一反三，大家可以做一做。好，就这样，拜拜。

好嘞，然后，嗯，只能这样了。然后第四个题就是直接求导嘛，把这导数求出来，三个字方减掉。 x 等于零， 然后算一下的话，是不是 x 一个是等于零，一个等于二？它不是差两个奇值吗？两个奇值不就是加起来等于二吗？直接选 c d。 然后第五个题算阿尔法加贝塔的这个角度多少？阿尔法加贝塔的角度平时是直接算不了的，所以要用那个公式去代。什么公式用 给它去转化一下。我们算出来这个三一环三一二法加贝塔，它等于一个什么数是吧？比如说等于三分之派呀，等于四分之派呀， 不是，它应不是等于三分之派？应该是等于三分之派，是不是等于二分之根？三三用四分之派是不是等于二分之根？二是不是就这样算的？就这样去带那。嗯，那我们是看一下三英贝塔等于三分之四， 考三阿尔法等于十分之二。先来个简单的，我们要算这个值是吧？是不是要算一个三阿尔法考三英贝塔，这要自己记哈。考三阿尔法，三英贝塔 对不对？这是给技术不好的学生去讲一下，所以我会写的稍微全一点。然后的话是三阿尔法减贝塔，不是，那他不就是三阿尔法考三英贝塔 减去三幺二发，三幺贝塔考三幺二发，对不对？然后还有一个 cosine 嘛， cosine 夹是相反的啊， cosine 跟这号是相反的。 考三幺二发减贝塔等于考三幺二发啊，考三幺贝塔，这是加对吧？这要写减三幺二发三人贝塔， 然后这是考三英阿尔法减贝塔等于，哎，考三英阿尔法，考三英贝塔加上三英阿尔法三英贝塔。 考试的时候咱要是实在想不起来啊，咱们直接可以去带个数的，比如说这阿尔法加贝塔，就给它带成三英三十度加上三英三十度呗，对吧？它不就等于个三周就是二零三呀， 是不是？他如果等于三也三十多，考三也三十多，多少啊？三也三十多，考三三十多，是不是啊？是不是二？是不是四分之跟三？等于四分之跟三，加上四分之跟三，对不对？ 是不是等于二分之跟三？就这意思啊？然后所以说求这角度，是不是要求这个这个这些玩意？那题目不是都给了吗？ 给出来一个看啊，给出来一个什么 cosine 二法的值数到它 cosine 二法值，我相信许多同学都是会的，都是很聪明的，对吧？ cosine 二法的值是不是等一个根号下一减 cosine 平方二法 是不是这个值？嗯，那他最后化简出来是不是十分之七倍根二，这个不能再不会了吧啊，都高三了啊，然后的话下面是弹性的被它比上三分之四， 那 tenant beta 等于啥呀？这个一定也会哈，我相信大家一定也会，不会就完蛋了，是不是等于这个玩意？是不是啊？那它是不是等于个五分之三分之四，是吧？三分之四， 不好意思啊，三分之四，四分之三，三分之四，三分之四，然后当然技术好的同学肯定会看出来啊，三英贝塔等于五分之四，考三英贝塔等于五分之三，对吧？但是不会啊，看不出来怎么办？咱们笨，咱们就用笨方法吗？ sin 贝塔加上啊，三亿平方贝塔加上考三亿平方贝塔是不是等于个一？嗯，你把它俩连立连理解一下是不是也能咱也能做出来，是吧？三亿贝塔等于五分之四， 考三元贝塔等于五分之三，是的吧，是不是这个值？嗯，那咱们直接给带进去吧，是吧？直接给带进去算，这反正会算吗？咱们知道三元二法，知道考三元二法了，知道三元贝塔了，知道考三元贝塔了。那咱们是不是要直接去回带？带进去算，是不是就可以算完了， 然后最后算下结果啊，就给大家写一下吧。塞亚尔法，塞亚尔法是不是十分之哎？七倍根二，然后考塞维塔，考塞维塔多少？五分之三 加上十分之十分之十分之根二是吧？十分之根二多少？五分之四 是吧？他不是等于一个五十分之三。七二十一，二十一倍跟二。加上啊，五十分之四倍跟二吗？ 是不是等于一个五十分之二，十五倍跟二，二十五倍跟二换算多少？哎，多少？是不是？哎，二分之二二中按多少？三影。阿尔法加贝塔等于二分之二， 对吧？有些人就直接去写四分之派了。所以说我这就故意给大家去写三赢的啊，如果用考三的话就收不着到这一步。你看哈 锐角，阿尔法贝塔满足这个， tanthan 贝塔满足这个。这题我们理应来说是可以选 a 和 d 的， 但这是单选择题啊。这是单选择题，看了吗？这就是选择题啊，只有一项是符合要求的，不能选 i d 啊， i d 没有分啊。所以咱们算 cosine 的 值 对不对？算，算 cosine alpha 加 beta， 但为啥不算直接算这个 alpha 加 beta 呢？我们用这一项算出来的时候， cosine alpha 加 beta 这个值算出来的时候是负四分，负二分之根二，对吧？对不对啊？负二分之根二是几啊？是四分之三派， 这就是一个取舍啊。我我觉得这题啊，应该是有人走巧路子，没想起来用散印，没想用烤散印做，是用散印去算的这个值。用散印算的这个值是二十分根二，对吧？是不是二分之根二啊？用烤散算的值是四分，是负二分之根二， 对不对？用负二分根二算的话，是不是四分之三排这一次选四 d 的 是不是选四 d？

我们来看一下同学们最近刚考的这个苏南五市，那同学们都说很难，那我们来看一下题目，那如果同学们有需要试卷的，那可以点击评论区进群找置顶领取。那对于我们看一下第一题，那第一题还是老样子集合， 那集合 a 是 指的 x 大 于五，集合 b， 那 这边给它化简一下，那是不是 x 加一大于六，或者说 x 加一小于负六， x 小 于负七， x 大 于五，对不对？那这不一看，那 a 就是 b 的 子集啊。那所以第一题就送分题选 a， 那第二个向量平行，那对应成比例，三比负一等于负四， b m 交叉相乘三， m 等于四，那 m 是 不是等于三分之四？那所以第二题选 d， 那 第三题设 a 属于 r， 则 a 等于零，是直线垂直的，这个什么条件？那首先你要搞得懂， a 能推到 b 叫做充分， b 能推到 a 叫做必要， 对不对？那不能推到就是不充分，那后面推不到前面就是不必要，那我们看这个两个直线垂直，那对应 a 一 乘 a， 二加上 b， 一 乘 b， 二等于零，对不对？那对应我们这个 a， 一 乘二，加上四乘 a， 那 就是二， a 加上 对应的这个四， a 等于零。六 a 等于零， a 等于零，那题目说 a 等于零，可以推出后面垂直，对不对？那对应我们后面垂直，也可以推出 a 等于零啊。那所以我们第三题是重要，那选 c， 那 第四题复数还是老样子，那首先我们先把贼的共讧，还是老样子，那首先我们先把贼的共讧，所以乘以他的共讧， 那分子分母同乘一减 i， 那 对应我们的这个分母，也就是一的平方减 i 的 平方，那分子二 i 减去二 i 方， 那我们看到 i 的 平方就要想到负一，那这里替换成负一，那一减负一是不是二，那对应这边我们也提个二，这边 i 的 平方， i 减 i 的 平方，是不是负一，那对应我们这边画出来是 i 加一，对不对？ 那大家最好写成 a 加 b i 的 形式，那不管用，不用得到有一加 i， 那 求模嘛？那我们 z 是 不是就是一减 i， 那 求它的这个模，这个很简单，不就是根号下 a 方加 b 方，一加一等于根号二， 那所以我们这个选 c， 那 这边不就涉及到一个求模的公式吗？那如果同学们有需要公式的，那也可以进入群聊。那第五题，那二项式，那第三项大家告诉我 r 等于几？是不是二？第七项 r 等于六，那展开式的长数 项，那对应不就是 c， 那 我们这边首先要求出它的这个 n 是 多少，对不对？那我们可以得到 c n 二， c n 二就等于 c n 六，那 n 是 不是等于二加六，也就是八，对不对？那这个你一定要会算，那对应题目让我们求常数项，那 n 都等于八了，那列一下 t， r 加一等于 c 八二，那对应 x 的 八减二次方，那 x 分 之一的二次方，对不对？那我们化简一下， c 八二， x 的 八减二， x 分 之一的二次方，不就是 x 的 负二吗？那等于 c 八二， x 的 八减二， 那常数项不就令这个未知数为零吗？对不对？令这个为零，那 r 等于四，那对应就让我们求 c 八四，那 c 八四不很简单吗？ 八乘七乘六乘五，除以四乘三乘二乘一，那抵消一下，抵消一下，那算出来是七十，对不对？那所以答案选 d， 那 这个不就考了个二项式吗？那接着我们看第六题，那第六题一定要读得懂题目，那一个圆柱，那么在这搁这画一个， 一个圆柱，还有一个这个圆锥， 那还有一个是球， 那换一种颜色给大家。那题目说一个圆柱和一个圆锥的底面直径，是不是这个和它们的高，底面直径和高都与一个球的直径相等， 那我们这边我们就假设这个底面底面这个半径为 r， 那 对应。 大家看一下，一定要现在读读得懂题目。那题目的意思就是我这三我画蓝色的这条线都是一样的，那这个是 r， 那 这个就是二 r， 这个是 r， 那 这个对应是 r， 那 我们对应，求一下他们的体积，那这个是不是底面积乘高，那是不是 派 r 方乘以二 r 对 不对？那中间这个三分之一派 r 方，三分之一底面积乘高吗？那第三个，那对应我们圆的体积公式，三分之四派 r 的 立方，那大家求一下这个比值是多少？ 那我给大家简单的求一下，那首先二方，二方二的三次方嘛，对不对？全都抵消掉，那对应我们的派也可以抵消掉，对不对？那第一项剩下一个二，这边剩下一个三分之一，这边剩下一个三分之四， 那我们二还能再抵消一次，这边还有个二，二再抵消掉，这边是不是还剩二，那两边再重出三，那这边他不就剩下三吗？这边剩下一，这边剩下二，所以三比一比二，大家看一下选什么，那不就是选 a 吗？对不对？ 那其实这个不就考了一个公式吗？你首先要理解题目，那对应我们看一下第七个已知双曲线的离心率，那你首先要理解题目，那对应我们看一下第七个已知双曲线的离心率。应该想到什么？ 还是用红笔？那是不是 a 分 之 c 等于根号三，那接着我们看抛物线的一个焦点，那这个抛物线你首先要知道是这么画对不对？ 那接着焦点零，逗号，二分之屁，那到双曲线的渐近线的距离为三，那我们双曲线是不是有两条渐近线，它指的是哪一条呢？这里一样的，你随便取一条 y 等于 a 分 之 b x， 我 们就取这一条，就取上升的这一条嘛？那对应是不是 b x 就 等于 a y， 那 b x 减 a y 等于零，那题目说焦点到渐近线的距离等于三，那我们给他写一下那点到直线的距离的公式， d 就 等于根号下 a 方加 b 方，那横坐标是零吗？那零乘 b 还是零，那对应我们这边有一个负 a 乘以二分之屁，因为是绝对值吗？这个符号就不写了， a 乘以二分之屁，那等于，那我们先给他化解一下。你想 a 的 平方加 b 的 平方开根号，那因为是双曲线，那不就是 c 的 平方开根号吗？那不就是 c 吗？那 a 那 二分之屁，那我们 a 和二分之屁都是正的吗？所以我们直接直接去掉， 那大家看一下这个是什么？ c 分 之 a， 那 c 分 之 a， 什么离心率对不对？离心率是 a 分 之 c， 那 c 分 之 a 不 就等于根号三分之一吗？对不对？ 那所以这个我们不就化简了吗？根号三分之一乘以二分之屁，那对应等于我们题目说的三， 那屁那一眼看出来，那不就是六根号三吗？对不对？大家告诉我选什么？那是不是选 b， 那 就这么简单，那所以这一题他主要考了个离心率，那还考了一个这个接近线，对不对？ 那第八题，那第八题的话其实也不难，首先你要先搞懂，大家可以先读一下题目，回忆一下，那大家可以先暂停，那对应这个相切，那相邻切点，举个例子，比如说我们正弦函数 是这样的，对不对？给大家多画几，那对应，比如说我们，嗯，换个颜色， 这边画的不是很标准，大概是这样的，这边是有交点的，那对应这个就可以说是 y 等于 m， 那 这个就是两个切点，大家告诉我两个切点之间的距离为 pi 是 什么意思？ 大家看一下两个切点的距离是不是一段、两段、三段、四段，其实这个就告诉我们是周期， 那对应我们就可以得到 t 等于 pi， 那 omega 分 之二， pi 等于 pi， 那 omega 是 不是等于二？那所以我们得到这里是二分之一二 x 加六分之派，那其次又考到一个对称中心，那正弦函数的对称中心是什么？大家想一下，那是不是 k 派，然后逗号零，对不对？那这个大家一定要知道对称中心，那如果不知道，同学呢？可以自己回忆一下，那这个很重要， 那对应我们这里就可以得到，那其实这边是零嘛？比如说这个点零，这个是零加一派嘛？零加派，零加二派，对不对？那所以我们可以得到这里二 x 加六分之派，这个整体就等于 k 派， 那对应二 x 就 等于负六分之派，加上 k 派，那 x 就 等于负十二分之派，那加上二分之 k 派， 那因为题目给了我们这个范围，对不对？那我们当可以取一的时候，那大家算一下 x 等于多少，那对应是不是十二分之五派，那所以我们选 b， 其实这题呃也没有难度吗？那不就是考的这个，呃，三角形的这个图像吗？ 那对应我们看一下，其实都是回归最本质、最原始的那个基础的嘛。你首先你知道正弦的这题你就会做，那我们看第九题， 那这个，哎，嗯，这个如果大家熟悉的话，其实考了个定点问题，你不管你没读后面的题目，都应该看得出来。我们这边提一个 t 出来， 变成二 x 减二减 y 加一等于零，那令二 x 减二等于零，那 x 是 不是等于一，那对应这一项为零了以后， y 是 不是也等于一，那所以我们可以得到它过定点一一 那其次与这个圆相交于两点，求 ab 的 最小值，那得给大家画个图，我们画在左边 一一，那对应什么时候才能最小？那给大家举个例子，那比如说我现在我这么画，给大家换个颜，我们把图画大一点， 那对应我们换种颜色， 那比如说我们随便取一个点，那他首先肯定是过一一的嘛，对不对？比如说我就取这个，那对应我们是求弦 a b 的 最小值，那你看什么时候最小？ 这样这样，或者说这样什么时候最小，那其实我来告诉大家，那对应我们求出定点一一，那是这个点的时候，这样的时候最小，垂直的时候 垂直的时候最小，这样的时候才是最小的。那对应。那我们要求此时的弦长 a b， 那 我们这个距离，那这条直线是不是可以是这个？那对应 我们的半径是多少？那通过这个不是可以得到圆心是零零，半径是二吗？对不对？那我们用蓝色的笔，那对应，我们可以得到 这个也就是二，这个只是我画的比较不是很标准，那所以这边恰好在落在 y 轴上，那对应这边是二，那这边点到直线的距离是垂直的，那大家可以观察一下， 那这个点我们刚刚是不是求出来是一一，那圆心是零零，那大家告诉我这个是多少？ 那两点距离公式不是根号二吗？那对应这边那勾股定律，那还是根号二，那根号二加根号二，不就是这个弦长 a b 吗？那所以答案就是两倍根号二，那选 c。 大家自己一定要理解一下，为什么取一这个点的时候，它这个 a b 就 最小， 那大家可以自己去画个图，多画几遍，你可以发现只有这个取这个垂直的时候才是最小的，不然其他都会比它长。那对应第十题，那这个一看求最值，那大家记住我们求最值只有两种，一个是一元二次方程，那一个就是这个均值定律， 那对应我们这边以那看到 a 加 b 等于一，大家的第一反应就应该是想到乘一法，那对应我们这个式子，你这么复杂，我们先给他画个减吗？分离常数，那是不是可以得到是 a 分 之 a 分 之二 a 方，那对应不就是 a 分 之二，那给大家写出来，那对应不就是二 a 吗？对不对？那加上 a 分 之一，那对应再加二 b， 那 再加 b 分 之四， 那大家看一下，那我首先先把这个二 a 跟二 b 写到一起，再加 a 分 之一加 b 分 之四，那大家熟不熟悉？那不就是基础题吗？ a 加 b 等于一，那所以这是二，那对应这边我们用什么法？ 乘一法对不对？那平时的题没有练过，那 a 分 之一加 b 分 之四，那乘以一还是本身吗？把这个一替换成 a 加 b， 那 乘出来， 那是不是一加 a 分 之 b 加 b 分 之四， a 再加一，那等于二加上，那对这个进行均值定理，我们用蓝笔来写， 那是不是大于等于二根号下 a 分 之 b 乘以 b 分 之四， a 抵消抵消抵消抵消，那大于等于二根号四，也就是四，对不对？那对应我们这边求出来是四，那是不是这边是二加四 啊？我们这边大家是注意啊，我们这个地方求出来这个应该也是四，对不对？ b 分 之四乘 b 不是 四吗？所以我们这个地方是五， 那所以我们这边五加四，是不是求出来是九，那对应这个最小值就是九，那最后二加上九，是不是十一？那对应我们答案选 b， 对 不对？ 那这个就是我们整个选择题，那我们第一题考的什么？集合，对不对？第二题向量的平行，那第三题直线的垂直，冲要冲要那个冲要冲，要条件嘛？那第四个负数， 第五个二项式定律，第六个这些体积公式嘛？第七个圆锥起线，第八个三角函数第九个，那对应这个考试，这个圆的这个弦长过定点问题，那第十个均值定律， 那大家看一下，如果有不理解的地方呢？都可以在评论区提问，那如果同学们想需要这个资料的，那可以也可以进群。

啊，这题我们上次讲过了，但是有同学说，老师这个题我听懂了，但是我可能下次考试还不会做，那这是正常的，那怎么办呢？我就把这题读出来，从多个角度，多维度 啊，以点带面，辐射开来。呃，反正这个题就是说，但凡这一个知识点和这个题在哪边啊，我都把它拎出来讲，好吧，可能时间有点长，那这个题讲的是它这个地点是终点，对吧？地点是终点，然后呢？ e 点是三等分点， 呃，这个角和这个角相等啊，那它这个等腰就没有其他的。我们先不看这个 a b c， d 是 选项是讲的是啥，我们就盯着这个图形去看。 我是个学生呢，你看我设置，假如说你考试啊，你设这角是 alpha， 可以 吧？比如说我设这个角是 alpha， 我说这角是贝塔，那这角是阿法加贝塔，这是外角吗？是阿法加贝塔，这是。呃，这个角是贝塔啊，那这个角就是阿法，对不对？因为这这两个角是一样的，那我就知道一个非常关键的信息啊，阿法，阿法， 你看到了什么？是不是字幕相似对不对？好，就是说，呃，这个条件对吧？你要学会倒角，你要有这个习惯，你把这个 就擦掉啊。就是，我知道这个是 r 放，这是 r 放，像这一步其实很多同学也能看得出来，这非这个是非常基础的啊。字幕相似看出来之后，它可以列出一个乘积式，叫 d a 方，等于这个 d f 乘一个 d b， 下一步往下走怎么办呢？他就用到了个代换，那这一步会卡住了一些中等偏下的学生，中等偏下的学生啊，这一步操作有一部分学生是没想到的啊，你是把，你看，你把这个 d a 换成这个，这个 d c 啊，能满足 d c 方等于 df 乘 d b。 好， 知道他知道，他马上就能反应到啊，反应出来就是 d f c 和 d c b 是 相似啊，比如说我们这是贝塔吧，那这叫是贝塔，在这里我点一下啊， 中等偏下的学生这一波操作，没想到是因为什么呢？啊？是因为我猜测啊，就是假如说你以前老师教我们这个字母相似嘛，对吧，需要老师多说， 就正向运用啊，比如说这是 a、 b、 c d， 你 马上就知道 ab 方等于 ab 乘 ac， 你 也非常熟练，但是如果说告诉我 ab 方程，就是告诉我 ab 方，比如说是 ab 方等于 ab 乘 ac 的 话， 能不能反向判断 abd 和 abc 相似呢啊？这个有同学可能就不是很熟练了啊，在这里我点一下啊，撤掉，我点一下。这步操作，你问自己啊，你可熟练往下走啊，这两是相似，相似之后呢呢？这是阿法，贝塔，这两，这两个底角是一样的，这个角也是阿法。 不对啊，这个题，到这一步啊，我们是，我们是没有做任何辅助线的啊，也就是说你看这个，其实你分析到这一步，你这个 ab 就 出来了，你这个 dcf 和这个 dbc 是 不是一样啊？是一样的啊，就不选嘛，那是对的。 这个啊，这个 b 选项啊， b 选项是角平分线， f c 是 角平分线，这个怎么判断啊？这个就是你到这一步之后，你就倒角就行了，你看你这个角怎么表示，怎么表示？这个角是 afc 的 一个外角，阿法加上贝塔， 这个角也是阿法加贝塔，哎，这也是外角，那这个 fc 呢？就是平分线啊， c 选项， a 选项是这个题最难的，我看这个题呢， 我的第一想法是什么？我把这擦掉了啊，我的第一想法，我们先讲第一种方法啊，就我最直观的啊，我这个学生，假如我是个学生，背长中线，因为这里是地点，是中点啊，我只想到背长中线， 我选择把这个，把这个 f d 啊，把它，把它背长，可以吧？哎，背长，这是，哎，这是我当时我我的第一印象啊，比如说教育这个 m d， 好， 我现在换个颜色啊， 啊，被上置换，我这个是 r 法，我这个角是不是 r 法啊？哎， r 法贝塔， r 加贝塔，我发现这个 m f c 啊，它是一个等幺啊，被上中线之后， 呃，这，其实这里还产生了个 a 字形，对不对？有全等，还有个 a 字形，这个 e c 比上 b， e 是 一比二，就比如说我，是啊，怎么说呢？比如说，我说这是 x， 这是二 x 吧，这是二 x， 我现在干什么呢？我设，我接下来干什么呢？我设这个 b f 比上 fm 也是一个，是一个二比一，我，那比如说我是一个二 a 吧，行不行？二 a， 行不行？二 a 啊，那这个是二 a 的 话，那我这个是几 a， 那 我这就是 a， 那 我这个 fm 就是 a， 那 我这个就是零点五 a， 这也是零点五 a， 对吧？哎，好，这里就用了个 a 字形，然后这个 m c， m c 也是多少？ m c 就是 一个 a， 他 就是一个 a， 好 了，这个是 a， 那 你背上中线嘛，你占了个全等，对吧？那我这个 a f， 他 也是 a a s a， 然后呢？做到这步，可能有东西其实已经看出来了啊，已经看出来这个这个相似了啊，但是还有东西看不出来。好，那行，我们用一个数据去辅助一下，因为这个 d 点是终点，比如说我是 a， d 是 一，那我这个 a、 b 是 不是二？行不行？ 你看这个阿法两边啊，阿法两边是 a 比一，你看 a 比一，看到了吗？哎，你看，你再看这个 b、 a、 f b， a、 f， 看到了吗？ b、 a、 f， 阿法两边是不是二？ a 和二也是 a 比一。好，一个角两边成比例。 你发现了什么？同学，你就发现了一个很关键的线索，就是三角形啊，这个 b、 a、 f 是 什么？我看下这个对应角啊， 啊，这个 a、 d、 f 啊， a、 d、 f， 哎，他，他们俩是相似的，那他们两个是相似，那我就知道这个角和这个角是什么关系，还是相等，那你这题就出来了， 对吧？那我问你，你这个时候能不能，能不能证明这个 b、 a、 c 的 九十度？当然可以，你看你这个 b、 a、 d 当中，你看一，一个红点，一个红点，一个阿法，一个阿法，那我就可以知道这个角就是多少度啊，就是九十度。 当然我这里，我这里讲，讲的是个解决思路啊，啊，你背长中线是可以解决的，完了，背长中线啊，有同学会这么做，但是学生听到这个方法觉得，哎，你这个方法听懂了啊，但是我不是这么想的啊， 我是这么想的，有同学可能是他可能会这么做啊，因为每个人的四步不一样，习惯不一样啊。比如说有同学他是怎么做呢？他是这么做，比如说他是过这个延长 a e， 延长 a e， 过 c 点做这个 b、 d 的 一个平行线， 那这样做我们还是先把这个角度标记出来啊，然后好一点。 哎，做它的平行叫一个 m 点，那我这是贝塔，你看我这角是不是贝塔，是不是？那我这角也是阿法加贝塔了啊？也是阿法加贝塔， 这个 ec 比上这个 b、 e 是 一比二，一比二，那比如说假设我设，我看一下，我设这个是 a， 行不行？我设 a， d 是 一， dc 是 一，这是二 a， 这个应该是没问题，对吧？一个八字相似， 嗯，然后呢？这个 f， 你 这样做这个平行车的话，你这个 f m c 啊，他也是个等腰吗？阿法贝塔，阿法加贝塔吗？那我这个长度也是什么？你也是 a， 这个 fm 是 a， 你 d 点是中点， f d 和 mc 平行，你说你这个 f、 d 是 不是 amc 的 一个中位线？是不是？同学？是不是啊？那你说，那就说明我这个 f 点其实就是 am 的 中点，你这个是 a， 我 问你这个是不是 a， 对不对啊？其实你做到这里和第一种最后的那个最后阶段的操作是一样的啊。你看这这个，这个，这个 ar 放大两边是一，和 a a 比一，那这个 ar 放大两边也是 a 比一，所以左右两个三角形，就是说 b、 a、 f 和 f、 d 他 们是相似的， 对吧？那就意味着这个角和这两相等啊。那你看一个阿法，一个阿法，一个红点，一个红点，一个红点加一个阿法，那一定是九十度，因为它加起来是一百八嘛，对不对？就是阿法加上两个红点点，对吧？等于一百八，其实阿法加红点就等于九十度啊，这个阿法加红点就是 b、 a、 c， 那 是不是也可以啊？ 行不行，对吧？那我假如说我从这个角度出发的话，我就不是从这个被当中行啊，我是想着就是通过这个这个 b、 e 和 e、 c 的 比，勾到八字形行不行？哎，勾到八字形 那些有同学可能他的做的习惯他也不一样啊，他也不是这么做，也不是一般当中线，他是怎么处理的？哎，可是他这么做啊，咱们也再擦掉啊，咱们从再从另外一个角度来说啊，从另外一个角度来说，那是阿法，这个角度咱们得用上啊， 哎，这个角度用上他是他是怎么处理的？他也是想到用到这个比例， b 一 和 e 四比，他是延长，延长之后呢？哎，他不是过四点做平行，他是过 b 点做平行，行不行？行不行？你看他是过 b 点做平行， 这么做肯定要，或者其实我反这个方法其实也差不多，但是这个我感觉这么做可能稍许麻烦一点啊，但是也能做出来，你这是 alpha， 我 这角是不是 alpha 啊？然后呢？就是这是，你看这个角呢？这个角，哎，这个角是等于这个角。好来，这是一杠，这一杠不要忘记了，这是这个是题目给的啊，这是题目给的。 然后呢？你看你有一杠，一杠，你有阿法加倍上，阿法加倍上，对吧？那这个 abc 啊，和这个 bc 的 这个点是 m 啊， 这个 abc 和这个 bfm 是 相似啊，其实就是说这个 bfm 他 也是等腰，他也是等腰，对不对？那我比如说，那我这个角就可以写成阿发加贝塔，有没有毛病？哎，没毛病 啊。其实讲到这里可能会有同学说，哎，这个老师你这样一做平行，感觉到这个好像是有点像那个，这个相似手拉手啊，其实没错的啊，他就是相似手拉手。 还有同学说，哎，老师，我还看到了森林公园啊，你看，你这是阿巴加贝塔，哎，你这也是阿巴加贝塔，那我这个 a b m c 就 森林公园啊，对，也是森林公园，你看你，其实你这么，你看啊，同学啊，就是你看你，你，其实你坐到这里，哪怕这个题目你没做出来， 对吧？你在无形之中已经将这个什么相思手拉手啊，四年公园就是在在进行一个梳理和复盘了，是不是啊？假设，比如说有四年公园，咱们就干什么？我就连接 mc 吧，连接 mc 行不行？ 连接 mc 连接 mc 之后四点公园倒角，比如说这是阿法加贝塔，哎，那么这个桥也是阿法加贝塔，哎，这个是阿法，那这个桥也是阿法加贝塔啊，这个不要忘记了啊， 哎，我发现您把这个 m c 连起来之后啊，这个 f c m 它还是个等腰，哎，它还是个等腰啊，那接下来怎么去做呢？啊？ 好，之前不是有同学说，哎，这个东西是相似手拉手啊，你连起来除了四内空间，我还看出这个 b a f 和这个 b c m 是 相似啊，就是说他是说这个 b a f 和这个 b c m 啊， b f 和这个 b c、 m 是 相似啊，是相似，那相似之后，我就想用他们的相似比，那行，那你用用相似比之前，你得设参，怎么设参呢？你，你这个 c e 比上 b e， 是， 是不是一比二？假设啊，假设我设 fc 是 a， 那 这个是不是 a 八字相似，我这个 b m 是 不是二 a 是 不是二 a？ 好， 我就开始用它们相似啊，这个 b c m 和这个 b a， 这个 b a f 啊，它们是相似的。哎，你这个和这个是一比二，那我这个 a f 比上 b f 也是几笔写， 是不是也是一比二？是不是一比二？哎，假设我是把这数字设出来，假设他是一啊，那是一，一二，一比二。我比如说我是 x 嘛，这是 x， 那 我这个 b f 是 不是二 x， 好， 你做到这，你题目做到这里，你也出来了 啊，跟之前也是一样的啊，你这个 afd 呢？ r 两边是一比一和 x 一 比 x， 那 就说我这个 af 和这个 afd 它们是相似啊， 相似的话就是说这个角和这角相等啊，后面就啊，就不说了啊，前面已经说很多遍了，很容易证明这个 b a c 它是九十度，那行不行？哎，我这么说行不行啊？这是一个角度啊，行，那还有同学是什么角度呢？ 继续用这个 e 点啊，也是过道平行啊，他是怎么去处理的呢？再擦掉，再擦掉 啊，它是过这个利用这个比例啊，它是过 c 点做 a b 的 一个什么键平行键啊，哎，它是，哎，是这个角度，这个角度， 那比如说它是一一二，对吧？一一二。然后这个呢？你这个 e 点是 e c 比三， b， e 是 一比二，我这个 b a 是 二，那我这个 c m 是 不是一 啊？你这么做的话，就是有一批同学就非常激动啊，哎，老师，我看出来是全等啊，这个太简单了，这个 b a、 d 和这个 a m、 c 全等，那有一个二，一个一，他有二，他有一，这是算法，你之前不说这是算法，这是算法吗？哎，能不能挣全呢？同学 啊，这个是不能挣全等的，因为他这个是 s s a。 但是啊，在这里我讲一下，其实是可以挣全等的。那有同学说，老师你一下子挣一下子可以，一下不可以，到底行不行？ 这个题是就是 s s s a， 挣全等是挣不了的，但是因为他这个题目的图是给出来了，图形是固定的，是存在的，所以你可以通过辅助线去做 s a c， 肯定是挣不了的啊， 我是说可以挣全等，但是不能用 s s a， 正好现在我现在不做，就是说你之前做出来之后，我的线下的工作就是说想知道 b a， d 和 c a， m c 是 不是全等，能不能挣， 怎么挣啊？你不能直接说，我现在为了方便你们去看，我现在把这个图画出来啊，画出来一个 b， a、 d 在 这边，对吧？那你就是 b a， d， 还有一个是， 还有，还有一个在这边啊，我画小一点吧。啊，画小一点，画小鸟不行，画小鸟不像，嗯，画小鸟不像，那就画这里，画这里， 画这里啊。啊，这个是一，这是二，这是一，这是二，那这是 alpha， 那 这个角也是 alpha， 这是 a a c m， 好，这么绕全等，我们过 a 点往这边做个垂线行不行？你看我做，你如果说硬想挣钱的啊，可以做垂线，这个这个垂线你得做，比如说这是 p， 这是 q， 那 我现在问你啊， 你看左边和这个上面这个三角形，你有 r 法，我有 r， 你 有直角，我有直角，你有个二，我有个二，这个和这个我问你是不是全等，那肯定是全等嘛？ 这个肯定是全的，这个是没问题的啊，那这个边和这个边可相等，相等。好，这一块和这一块红色，这一块用 h l， 同学，能不能挣全的？这个也是可以挣全的， 挣完全了之后我就知道这个 p d 和这个 q m 是 一样啊，之前是叫什么呢？之前是 b p 和这个 a q 是 不是相等啊？最后 我用三 s。 我 同学，呃，我用三 s。 同学，我问你，我能不能证明全的是可以证明全的呢？就是说假设你过 c 一 点做这个 a v a b 的 这个平行线之后啊，你，你知道 c m 是 一的话，你可以强行证明全的，但是你得做垂线 啊，但是你在，但是这个方法做这个题就有点不是太好，因为他这里已经就感觉像垂直，就你做这个幅度线可能会干扰你思考，而且这个方法其实也不是很主流啊，我只是提一下是可以正确的， 好假，但假设有同学就是说这个方法，我哪能想得到呢？对吧？因为老师明确的告诉我， s s a 是 占不到全等，对吧？就是我这个路子我已经放细脚了。那行，我们就顺着这个过 c 点做了一个平行线，之后做了平行线之后我们再往下讲，好吧， 好，接下来，好，接下来就是那个标准答案的做法啊，标准答案的做法看了一下，虽然说有点复杂，但是也不是一个好的思路啊。当时过 c 点往这里做了一个平均线啊，比如说这个是阿法，阿法把这个角再标一下，标记一下 啊，那比如说这个角和这条相等啊，那这两个角肯定是相等的啊。之前在这个 b 选项也证明出来了，这个是这个 r 法加上一个比特，是不是这也是 r 法加上一个比特 啊，他的意思是什么呢？他看到这里有个角分线，看到了吗？哎，看到角分线有个常用的一个辅助线方法， 那什么呢？就是，哎，过这个点往这个搅拌线两边做什么线？做垂线吗？是不是啊？这个是经常用，也是非常常规的啊，所以咱们都要学习啊，都要学习四步打开， 我们就是往这里做一个垂线啊，我们也往这里也做个垂线，行不行啊？这是可以的， 做水线，做水线，比如说这是 p， 这是 q 啊，我们就马上知道了这个角，这个其实这个点，这角分角，分线上的一点到角两边绝对是相等的。然后呢？你这个 d、 c 是 一啊，这里边这个一，不要忘记了。 好，这，这个往两边做垂线目的是什么啊？这个标准单它的目的是什么？它是想证明这个和这个是全能，对吧？是不是全能 h l， 对 吧？毋庸置疑啊。 好，那你正全的，你就要用全档吗？你看这是一个圆，这是一个圆，那这，那这个角，你看这个角是，是不是也是一个蓝色圆？那对顶角也是个蓝色圆啊？你看你在这个 b、 a、 d 当中，你有两个圆，两个阿法，那圆加阿法是不是九十度？哎，它也是证明出来了，哎，也是个好的方法啊。 啊，基本上就是说证明这个九十度啊，我们就讲完了啊，就讲了好多方法，那么这个过程当中呢？我们复习了哪些东西？我们通过这个题复习了哪些东西？比如说这个叫什么？被藏中线，对不对啊？ go， 这是个证明，全等，对吧？证明全等 什么？这个构造八字倒角，对吧？构造八字构造相似，我们可以理解成构造相似，对吧？然后呢，就是说这个字母相似 啊，字母相似这个笔不是太好写啊，字有点丑啊，你们能看懂就，你们能看懂就， 呃，就就就可以了。字母相似是不是还有什么其实字母相似啊？这里面又讲了一个，就是正反运用啊，正则正则用，反之用你都要会。然后呢？这个角分线的性质啊，对不对？角分线的性质， 对吧？角分线的性质，还有个就是什么呢？就是这个相似 a s 判定 稳定就是很多啊，啊，大字我就写这么多吧啊，这个就是我们的终极目的啊，我们的终极目的啊，是我的复习啊，是我的复盘总结啊，在进步 啊。有同学说，老师你这个 d 选项还没讲呢，你这个 c 讲了这，这个，这个这么长时间，你这个 d 为什么是错的呢？你这个 c 出来的，这个这个 d 就 有了啊，这个 d 就 有了，你这，因为你这个是九十度吗？对不对啊？擦掉了啊，那 d 也说一下啊， 我说他是一，一，他是不是二，你这个 e 点是二倍的根号二，是不是？那我这个就是三分之二倍的根号二，我这是三分之四倍的根号二。 c、 d 是 一份，你 e、 c 是 三分之二倍的根号二份，你说他们能相等吗？那不肯定不相等啊，对不对啊？所以这一题最终答案选的是 d。 好， 那这个视频我们就讲到这里啊，来，讲的时间有点长啊，讲了将近将近这个二十二分钟了啊， 啊，我们就讲到这里，同学们一定要仔细看好，不然真的我讲这个题就讲这个视讲，这个视频我都讲累死了啊。你们要是还不好好学的话，那是真没办法了啊，用心听啊，用心复牌。