新高考一卷数学试卷立体几何球心

这是新高考全国一卷的立体几何简答题，一起来看一下到底难不难。题中条件给了 pa 垂直于平面 abcd， bc 是平行于 adab 是垂直于 ad 的第一位证明。 因为这里的 b a 是垂直于 a 的。又因为 b a 是垂直于 p a 的。因为 p a 垂直平面 a b c， d 当然是垂直于 b a 的， p a 交 a 的等于 a， 所以 e a 垂直于平面斜的。 又因为 b a 属于平面 p a b， 所以平面 p a， b 垂直于平面 p a 的。呃，看一下第二疑问的第一小问。这里给了 p a， a， b 的边长 a 的 b， c 的边长 p b， c 的在同一个球面上直接建立坐标系，建立坐标系 黑杠 x y， z 找到点的坐标， 射球星为 x y z， 我们再表示出 o p o b o c o 灯的长度。 又因为 o p 四代与 o， b 四代与 o， c 四代 与欧德的。这里我可以剪的 a k 四等于零， y 等于一， z 等于零。所以 o 在平面 a， b， c 内 后第二一小位。求 a， c 与直线 p o 所乘角的余弦值，找到 a， c 的向量坐标等于根二二零，找到 o， p 的向量坐标等于零。负一根二 科三，以 a c 向量与 o p 向量的夹角等于负二的绝对值，除以根六，再乘以根号三，等于三分之根二。

啊，同学们，我们来看一下这个二零二三年新刻标一段啊，一个有关 呃立体几何的问题啊，呃我们呢这个问题啊，我们使用向量的方法来求解啊，这个向量啊在立体几何中有重要的应用啊，比如说你判断 垂直于平行呐啊，计算夹角啊，计算距离啊等等啊，都可以使用向量 啊，所以这个向量啊是我们解答那个立体几何问题的一个非常有用的工具啊， 我们下面呢来看一看这个向量在我们这个问题中的呃一些应用，我们在讲的时候哈，呃有一些细节的地方啊，我们尽量给大家讲清楚 呃，因为呢用向量去求解这个立体几何问题啊，它的方法一般来说比较容易想得到啊，就是说 我们需要注意的是呢，在一些细节的地方啊，或者一些计算的地方啊，我们要呃要注意的，不要出错啊，这个计算性的东西不要弄错 啊，所以这里面有些细节啊，我要和同学们呢仔细的说一下啊。 呃首先呢我们我们把这个题看一下啊，他说这是个正四棱柱， 所谓正四棱柱就是他那个底是一个正方形，然后这个侧棱和这个底是垂直的啊，所就是所谓的正四棱柱， 然后它这里面呢，按照它这个条件哈，它说 a b 等于二，那也就是这个底呀，是一个边长为二的正方形，然后这个测棱 a a 一 是四 啊，另外呢它还告诉我们啊，这个 a 二 b 二 c 二 d 二是这个测相应的这个测棱上的点，另外呢，它还告诉我们 a a 二等于一， b b 二，还有 d d 二等于二， c c 二等于三啊，告诉我们这句长度，然后呢，它有两问啊，第一问呢，要我们证明 b 二、 c 二 平行于 a 二、 d 二，这是第一问，第二问呢，它说这个点 p 在这个棱 b、 b 一 上，就这个点 p 哈，然后二面角 b a 二 c 二 d 二，这个二面角其实也，其实也，也就也就这个二面角啊，这个二面角，这个二面角是多少嘞？是一百五十度 啊，一百五十度，然后要我们算 b 二 p 啊，就就求这个长度。好，下面呢，我们来看我们怎么样用向量的方法来做啊。 那么首先呢，我们我们看哈，因为这个底面啊，这个 a、 b、 c、 d 这个底面它是一个正方形， 然后这个侧棱和这个底是垂直的，那意思就是说同学们 d、 a、 d、 e 是 两两互相垂直的吧。 好，那么因为它们两两互相垂直，所以呢，我就可以建立这样的一个直角坐标系， 比如说我用用这个 da 做 x 轴，用 dc 做 y 轴，用这个 d、 d、 e 呢做 z 轴， 这是因为它们是互相垂直的嘛，就可以这样来做好。那因此 我们就可以啊，因为哈 d， a、 d、 c、 d、 d、 e 互相垂直， 所以呢，可建立如图所示的 这个空间直角坐标系。 好，呃，我们建立这样的一个空间直角坐标系之后啊，我们现在呢，可以把这些，这里面这些点的坐标 啊，我们呢都写出来，写这个点的坐标啊。啊，这里面呢，我和同学们说一下啊， 啊，有方法的啊，我们如果按正确的方法来写啊，又快又准啊，具体是个什么样的方法呢？呃，比如说啊，同学们，我们假设 x 轴上 这个单位向量 i， 这个 y 轴上有个单位向量 j， 然后这个 z 轴上有个单位向量 k， 那 么我们怎么样去写向量的坐标呢？那么假设一个向量 r， 它等于 x 倍的 i 加 y 倍的 j 加 z 倍的 k， 那 么这个向量 r 的 坐标就是 x y z 啊。也就是说，同学们一个项链 r 的 坐标，那就是要把这个项链用，用这个 ijk 表示出来，那个 ijk 前面的那个系数就是它的坐标 啊。好，同学们，有了这个，那现在我们就来看一下， 比如说，那这个向量 d a 二的坐标是多少啊？ d a 二， 那这个 d a 二应该等于 d a 加 a a 二吧？ 这个 d a 跟哪个平行呢？ d a 是 跟 i 平行的， 所以这个 d a 可以 表示成表示成多少倍的 i， 对 不对？它多少倍的 i 呢？你看 d a 有 多长， d a 多长啊？ d a 长为二啊，所以 d a 等于二 i 再加上 a a 二，你看这个 d a d a 哈，加上 a a 二，就是把这两个项链手尾相连嘛，是吧？ d a 加上 a a 二 就是 d a 二好， d a 是 r i a a 二呢？ a 二， a a 二跟哪个平行呢？ a a 二跟 k 平行， 跟 k 是 平行的，那它是多少 k 呢？你看有多长？ a 二， a a 二长是一，所以 a 二应该等于一 k 等于一 k， 哈，那这个就是这个就是向量 d a 二的坐标 啊。而我们看哈，同学们，我们因为我们所建立的这个空间直角坐标系，我们是用哪个做软点的呀？用 d 二做软用用，用这个 d 做软点的，这个 d 是 软点， d 是 软点哈！我们知道，同学们一个向量，如果它的起点在软点 啊，一个向量起点在软点啊，那么这个向量的坐标和它中点的坐标就是一样的。 好，所以啊，同学们，这个 a 二的坐标是多少嘞？二零一，你看它的坐标二零一其实就是什么呀？就是 ijk 的 系数，你看 i 的 系数是不是二呀？ j 的 系数是零， k 的 系数为一，这就是 a 二的坐标，这就是 a 二的坐标啊。 好，同样的，我们来写一下这个 b 二的坐标，为此我们来看一下 d、 b 二等于多少？ 看看 d、 b 二等于多少哈。那为此呢，我们就要看 d、 b 二等于哪个呢？ d、 b 二应该等于 d a。 注意下朋友们项链加法哈，把这些项链首尾相连， d a 加 a， b 加 b b 二，你看 d a、 a、 b、 b 二，你把这三个项链加起来， 你看 d a、 a、 b、 b 二， 你把这三个项链首尾相连，然后它们一加，是不是就是 d、 b 二啊？所以这个 d、 b 二就等于这三个项链的和。但我把这三个项链分别写出来， d a 等于 r i， a、 b 等于二 j b、 b 二应该等于二 k， 是 不是？那也就是说，向量 d、 b 二的坐标是多少啊？向量 d、 b 二的坐标就应该是二二二， d、 b 二的坐标是二二，那那么 b 二的坐标呢？ b 二的坐标就是二二二啊，这个跟我们刚才说的是类似的，呃，一个一个向量哈，如果它的起点在软点， 那么这个向量的坐标和这个向量中点的坐标是一样的。就像你看，你像我们这儿这个 d、 b 二， 它是等于二， i 加二， j 加二 k， 那 么这个向量 d、 b 二的坐标就是二二二，那么 b 二的坐标呢？也就是二二二了啊， 那么我们可以类似的哈，写出这个 c 二和 d 二的坐标啊，这个类似的啊，我就不再像刚才那样的，呃，仔细说了哈，这已经类似的写出来，那下面呢，我们就可以， 我们这个问题呢，它不是要我们证明 b 二、 c 二平行于 a 二、 d 二吗？好，那现在我就，我就把这个 b 二、 c 二这个向量坐标写出来， 那么这个向量坐标是什么呢？啊？这个向量坐标就是把这个起点，把这个终点坐标减去起点坐标就可以了，是不是？好， 你看啊，这是，这是 c 二的坐标哈，这是 b 二的坐标，现在我们把 c 二的坐标减至 b 二的坐标就可以了，那应该是负二零 一，是吧？这是 b 二 c 二。我们再来看一下， a 二 d 二 a 二，第二等于多少嘞？那就是把第二的坐标减去 a 二的坐标，那多少嘞？负二零一呀，是吧？那，那这两个向量， 这个 b 二 c 二等于 a 二 d 二，这两个向量相等，这两个向量相等，它当然平行的，是吧？所以 向量 b 二 c 二平行于向量 a 二、 d 二，那也即什么呀？也即 b 二 c 二平行于 a 二 d 二。 呃，两个向量它相等，当然是平行的。其实呢，两个向量平行等价于什么呢？等价于一个向量是另外一个向量的一个倍数 啊，但如果倍数是一，刚好相等啊。呃，不相等啊，是其他的倍数都可以啊。你比如说，假设我们有两个向量哈， b 向量 a， 如果 b 等于，那么大乘 a， 那 么这个 b 就 平行于 a， 这个，那么等于一，当然可以，那么等于一，它们两个相等 啊，那这个，其实这个东西是我们判断两个向量平行的一个基本的方法哈，就是你把一个向量乘上一个数，那么这两个向量就是平行的啊， 你像我们这里面这个 b 二 c 二等于一倍的 a 二 d 二，就这两个项链，它不光平行，它长度还是一样的，是不是？呃，好了，这个第一个我们就证明好了哈， 那么下面呢，我们再来做第二问哈，第二问呢，它是说，呃，这个，这个 p 啊，是这个测冷 b b 以上的一个点啊，然后呢，这个二面角 b a 二 c 二 d 二啊，这个二面角啊，是一百五十度， 然后呢，要我们计算这个 b 二 p， 就 计算这一段的长，呃，其实呢，我们要算这个 b 二 p 的 长，其实我们只要只要知道这个点 p 的 坐标就好了，是不是啊？ 呃，那为此呢，我们就设设这个 点 p 的 坐标是二二 c 啊，你看，同学们，你看哈，我就我这再说一下哈，你比如说 d p， d p 是 什么呀？ d p 这个项链，那应该是二 i 二 i 加二 j， 再加加，这个长度是 c 哈，是不是加 c k 啊？二 i d p， 你 看 d p 啊，同学们， d p 应该等于 d a 加 ab 加 b p， 是 吧？ d a 是 二 i ab 是 二 j， 假设 b p 长为 c， 再加个 c k， 好， 这个 d p d p 哈，等于二 i 加二 j 加 c k， 那 么 d p 的 坐标就是二二 c 点 p 的 坐标就是二二 c 吗？这个 c 实际上是什么呢？ c 实际上是 b p 的 长 啊， c 圈 b p 的 长啊。好了，那这样，那这样呢，我们马上可以写出来哈，哦，对了，然后我们前面已经算出 a 二 b 二 c 二 d 二的坐标啊，我已经把它写到这来了， 现在呢，我们马上就可以写出来 a 二 c 二这个项链，它应该是负二二二啊，呃，那个 a 二 p 这个项链的坐标啊，那你就把点 p 的 坐标减去点 a 二的坐标就可以了，这个是零 零啊，二 c 减一。呃，你看啊，同学们，我们下面需要做什么事情？哈，我们下面需要做这个事， 这个二面角，二面角呢，我们可以算这两个面的反向量， 所以也就是我们要算哪两个平面呢？算 a 呃，这个 p a 二 c 二 这个平面的法向量还要算哪个？ d 二 a 二 c 二，也就是我们要算，要算这个平面 以及这个平面，我们要算这两个平面的法向量，然后，然后呢，这两个平面的法向量的加角就是就这个二面角了 啊，那么我们为了算这个平面的法向量，我们怎么算呢？啊？比如说啊，同学们，我们要算这个 p a 二 c 二，算这个平面的法向量，那我只要在这个平面上，我取，我取两个向量，比如我就取 a 二 c 二这一个， 还有 a 二 p 这个啊，取这两个向量，我现在只要找一个向量和这两个向量垂直就可以了 啊，好朋友们，现在这个 a 二 c 二，它的坐标啊，还有 a 二 p 这个向量的坐标我们都知道了，下面呢，我们设平面， 呃， a 二 c 二 p 的 法向量 为 n 一 啊，它的坐标嘞是 x 一 y 一 z。 好，那么这个平面 a 二 c 二 p， 它的发向量是是是，这个我们知道啊，同学们，一个平面的发向量应该和这个平面上的每一个向量都垂直，是不是？那则 它垂直啊，就是那个数量就等于零呢？所以呢，呃， n 一 点乘 a 二， c 二应该等于零，因为它们两个垂直嘛， 这个这个算的是负二， x 一 加二， y 一 加二， z 一 等于零，然后 n 一 点乘 a 二 p， 这个等于二， y 一 加上 c 减一， z 一 等于零啊。好了，那么我们这个向量 n 一 的坐标要满足这个 满这个就可以。当然了，满足这个是有很多的啊，我们取一个就可以了，比如我取这个， 当然，我这里面呢，给大家说一下这个是怎么取出来的哈，这个项是怎么取出来，也就是说，首先大家要明白一点呢，就是说这个这个法向量啊，它不是唯一的啊，我们知道法向量啊，它方向当然是呃 呃，是固定的，当然，其实严格来说呢，应该可以取两个相反的方向啊。 呃，我们呢，这个发性量它不是唯一的。你现在你现在就是要找一个发性量，要满足，要满足上面这两个式要满满足这两个式子， 你看啊，我们先看下一个啊，同学们，你看，要满足这个式子，那我可以把外移取多少？是不是可以把外移取成四减一啊？ 把 y 取成 c 减一，那 z 一 呢？ z 一 取个负二就可以了， z 一 取个负二，那前面这个不就是两倍的括号 c， c 减一吗？ 啊，两倍的括号 c 减一，而而我这里把这个 z 一 取成负二， z 一 取成负二，那这个不就是负二倍的括号 c 减 c， c 减一，是不是它连加就等于零吗？ 所以哈，同学们，我们跟着后面这个式子，哎，那你就你就，你就可以看出来，我把 y 一 取成 c 减一，把 z 一 取成负二，就把这个式子，然后你把这个 y 一 用 c 减一， z 一 用负二带到，带到上面一个式子里面去，就把 x 一 算出来，就这个，如果 a 一 取这个的话，就满上面两个式子，那么这个是什么呢？这个就是这个平面 a 二 c 二 p 的 法向量 啊。呃，这里面呢，为了节约一点时间哈，我就直接写哈， 我们可以类似的算出平面，因为这个是完全类似的啊，我就我就为了省一些时间啊，为了同你们更快的把这个问题看完啊，我就我就，我就直接写了 这个 a 二 c 二 d 二，这个平面它的法向量 n 二，它应该等于什么嘞？它应该是等于一负一二的。 好了，那么这两个平面的法向量你都知道了哈，我们知道了，同学们，两个平面的法向量的加角就应该是那个二面角啊，但这句话有点不准确啊，严格的说是这个样子的啊，同学们， 两个平面的法向量的加角 等于二面角 或二面角的 补角， 就是两个平面的那个法向量的加角啊， 它可能是跟那个二面角相等的，当然也可能是那个二面角的补角啊，因为我们知道法向量的方向啊，其实它可以可以相反 啊，如果那个法线的法线的方向啊，你取的合适，那刚好等于这个二面角， 如果那个法线的方向啊，你取成一个反方向的了，其实这个时候法线的夹角它就不等这个二面角，它等于二面角的补角， 那现那现在也就是说，那其实现在我们就可以知道嘞，呃，这两个项链啊，这个项链和这个项链，他们的加角可能是一百五，也可能是一百五的补角。 我们知道哈，两个项链啊，两两，两个角啊，两个角嘞，如果他是互补的话，互补的话啊，他的鱼弦是怎么样啊？鱼弦是相反的， 与弦值相反，与弦值相反呢？这绝对值是一样的呀，是不是它绝对值是一样的？所以啊，同学们，我们可以肯定的是这个 n e 与 n 二加角，这个表示它们的加角哈，这个余弦，这两个加角的余弦，它的绝对值 肯定是不变的。多少啊，应该等于 cosine 一 百五十度的绝对值，就是说因为因为这两个向量的夹角要么是一百五，要么是三十度 啊，就就这个 n 一 和 l 的 夹角啊，要么是一百五，要么是三十度，但它绝对值是一样的，是吧？绝对值是一样的啊，多少呢？应该是啊，二分之二十三 啊，扩散一百五十度的角质值应该是二分之二三啊，好，同学们，下面呢，我们再把这个式子哈具体写出来，因为我们知道两个向量加角的余弦等于多少啊，应该是 n 一 点乘 n 二， 再除以 n 一 的模，乘 n 二的模， 这就这两个项链加起来的余弦呢，然后它起绝对值，起绝对值哈，要等于二分之二三。 好，下面呢，我们把这个式子写出来， n 一 点乘 n 二， n 一 点乘二，就是，这就就就是把这两个项链坐标对应相乘嘛，再加起来嘛，所以下面这个式子写的就这样子的哈，结果就这么多，就是六 除以根号下二 c 的 平方 减八， c 加一十四乘差，根号六。上面这个哈，就是 n 一 点乘 n 二的绝对值就是六，这个是 n 一 的母，这个是 n 二的母，等于二分之根号三。 然后呢，我们去，我们把这个一平方啊，把这个设置一平方，然后就可以去解啊，我们就解除这个 c 呢，有两种，有两个值等于一或者三， 这个谁等于一或者三呢？好，那也，那也就是说这个 b p 是 等于一或者三的， b b 二等于多少呢？ b b 二是等于，实际上，实际上也就是把点 p 的 这一坐标， 把点 p 的 这一坐标减去点 b 二的这一坐标就可以了。点 b 二的这一坐标是是二啊， 十二哈，那么这个 b 二 p 的 长， b 二 p 的 长，就是把点 p 的 任意坐标减去点 b 二的任意坐标，是绝对值就可以。所以啊，同学们，这个 b 二 p 就 等于 啊三减一的绝对值，或者是 或者是什么嘞？呃，哦，三减二啊， 因为这个，因为这个减减 b 的 z z 坐标是二或者是多少呢？或者是一减二啊，这个都是多少？都是一，都等于一的， 都等于几号？因此 b 二 p 等于多少等于一。哎，这问题我们就做完了，大家看哈， 我们这问题啊，用向量来做就非常方便啊，非常方便啊，那么关于这个问题，呃，我再回个头来哈， 总结，回过头来呢，总结一下，第一个啊，我们用向量来解决问题啊，你要建立那个空间直角坐标系， 建立空间空间直角坐标系呢，一定要注意呢，你用来做坐标轴的那三条直线要两两垂直哈， 这这个条件一定要注意。另外呢，你把这个坐标系建立之后，你要写向量或者点的坐标，向量的坐标怎么写嘞？ 好，你假设 i， 那 个那个 x 轴， y 轴、 z 轴上的单位向量是 i， j， k， 那 么一个向量，一个向量啊，如果它能够表示成 x 倍的 i 啊， x 倍的 i 加 y 倍的 j 加 z 倍的 k， 那 么这个向量 r 的 坐标就是 x， y， z 啊，这个是我们我们用来写向量坐标的一个一个非常简便的方法啊。另外呢， 另外啊，如果一个项链它的起点在软点处，那么那么这个项链的坐标和这个项链中点的坐标就是一样的，这个我们利用这种方法来确定一个点的坐标啊，是又快捷又方便 啊。另外呢，我们这个问题里面呢，还有一个就是说啊，又是第二问呢，我把第二问说一下啊， 你要求一个二面角推个二面角嘞，你怎么求啊？你把这个二面角，他的两个平面的法向量算出来啊，那么这个，这个 你可以通过这两个法线的夹角啊，来计算这个二面角啊，这是第二问。好。那么同学们呢？后面啊，你再花点时间啊，把这整个问题你再仔细捋一下啊， 就是把这个相关的方法把它掌握好。好了，这个问题呢，我们就讲，就讲到这里。

我们看一下这一道立体几何，首先我们先把这个四四面体画出来，以 p 为顶点， a、 b、 c 为底，他说 p b 垂直于 p c， 然后角 b， a、 c 等于九十度， 六十度，然后呢？ b、 c 等于二。问，我们这个立方体的就是四面体的锥体的那个体积最大值是多少？那我们体积的话就是公式就是，嗯，三分之一的底层高， 对吧？所以说我们先去看它的底，再从那么怎么求以 c 为底，很明显就是以三角形 a、 b、 c 为底嘛，对吧？三角形 a、 b、 c 为底，因为它知道量，这个只能知道它的角跟边，那我知道一角跟一边的话，我们要想到用什么呢？那只能用弦定力喽，对吧？现在 a、 b、 c 上呢？我们用弦定力， 那么圆定的话，五把它写成为 c 边，这个是 b 边，这边是 a 边，要对角 a 有 圆定力，比如说 a 平方会等于 b 方加 c 方减二 bc 乘以口塞 a， 那 就是说四会等于 b 方加 c 方减 bc， 这个东西要达到，那我们去看一下他怎么去取它面积，那它的面积的话，对吧？就我一只角 a， 我 们就是二分之一， b， c 乘以塞 a， 那其实上 a 就是 二分之根号三就是四倍分子，根号三 bc， 所以 我这里要把这个加法给它变成乘法，那我们就运用减不等式来说，对，对，这个 b 方跟 c 方用加减模式可以得到十二 bc， 那就是减 bc， 所以 很容易得到四会大于等于 bc， 所以 这个面积最大值就是小于等于根号三， 你，你乘以四嘛？四约掉了，那高呢？什么时候取得高的最大值？也就是说我这个 p 点上至最高的位置，那我们看一下 p 点它满足什么条件？ p 点它满足的是那个 b p 等于垂直于 p c， 怎样是令这个东西一直垂直呢？比如说我 p 点的话，要是在一个圆周上，圆周上我们直径所对的圆周角是直角吗？对，我们的圆，那我们直径 直径所对的不管是在哪里，它都是九十度。所以我们这里的话，我们 p 点的轨迹其实就是以 b c 为直径的一个 球面，这个的话，因为 p 点它不在平面当中，它是在力当中的，所以说点 p 的 轨迹 是以 b c 为直径的球面。 那我们什么最大呢？也就是说当明当这个平面 p b c 垂直于底面的时候，也就说明当就它垂直的时候，它的高的最大值 其实就会等于这个圆，这个球的半径也是二分之一 b c， 那么就可以得到是一，那我们三角形三等锥的面积等于三分之一，底面积最大是根号三，对吧？高最大也是一，所以答案就是三分之根号三。 然后我们看一下第二题，他的球，他的外接球表面积，那我们要知道外接球的球心会在哪里？他是在两个平面上面的中心引发的垂线的焦点就是他的球心。 我们看一下点 a 在 球面上，点 b 在 球面上，点 c 在 球面上。我们看一下，假如我假设球心为 o， 对吧？那我们就要连接哪一个面的中心会更好找呢？哪个面的中心会更好找？我要找到一个面的洁面圆的中心， 洁面圆的中心，你这个 p 它是动的， 它自动的，所以说我们不要考虑这侧三个侧面，我们考虑底面 a、 b、 c 的 球心会在哪里，对吧？底面，假如底面 a、 b、 c 的 球心为 a 撇， 那么底面这个这个底面 a、 b、 c 三角形 a、 b、 c 的 外接圆在哪里呢？就是它处在平面的洁面圆， 我们是不是已知它的 a 边跟角 a 是 六度，所以说外接圆半径我们可以走到 我们记为小 r 会等于 a 比去三， a 除以二对乘以二分之一，那么带进来的话就是二除以二分之根号三乘以二分之一，就等于根号三分之二。 然后我们看一下，就是我这个这一个 外界圆圆心 o 撇，它这个就是它的角 r， 那 我们要求它球的半径呢？我要求球的表面积表面积，而球的话 就是会等于四拍二平方，那我们连接，也就 o、 c 就是 我的 o， c 就是 我的球的半径， 对吧？那求的半径怎么求呢？ 这是直角，比如说求的半径二平方会等于小二平方，加上 o、 o 撇的平方，那也说明我这一个小二是固定的，当我们 o、 o 撇取得它的最小值的时候，我这个二取得最小值， 对吧？有时候我们看一下什么时候 o 撇角值啊？就它们重合的时候， 就是 o 与 o 撇点重合，也就说明当我以以 abc 这个三角形为这个球的半径所在的结面啊重合， 那所以就可以知道 r 撇会等于三分之四，三分之四就 r 的 平方减三分之四，那它的这样面积就是三分之十六派。 所以说这一道题的话，它其实主要还是靠直观，直观想象，那我们要知道一个动点的轨迹就是一个圆圆周上运动，那在地理当中是个球面， 然后呢？外接球的半径，其实它的思路也挺固定的，就是要找球，找那个三角形所在平面的中心，连接球心去构造直角三角形，用勾股定力去做。

每日一题，内切球问题。立体几何中的内切球一般要用到等体积法，像这题，首先用等体积法就可以求出大内切球半径， 这也是一个好用的结论，正四面体内切球半径就等于高的四分之一，对于小球直接求半径似乎很难。不妨假想一个小正四面体，这样就变成了另一个正四面体内切球。通过相似可以发现， 相似比为二分之一，这样我们就得到半径了，你学会了吗？

那年我双手插兜，不知道什么叫做别看答案，你能做对吗？这个题让我们求的是 三棱锥 p、 a、 b、 c 体积的最大值，那我们根据三棱锥的公式， v 等于三分之一 s h 可以 得到， 因为它的高是一定的，因为上下底面的高是垂直，它是固定的，所以我们现在的话，只要算出它的高，然后呢，根据它底面这个三角形 a、 b、 c 面积的最大值，就可以算出咱们体积的最大值。所以第一步应该是先算这个三轮锥的高，因为他告诉了你三轮锥外界球的表面积，那么可以用咱们外界球的表面积就是 s 等于四派 r 的 平方就等于 五十二 pad， 这样的话，我们可以算出外接球的半径就是根号下十三，因为它这个屁在上面这个圆上运动，然后呢 abc 在 下面这个圆上动，但是呢， 你不管怎么动，你还得满足这个三棱锥的表面积永远是定值五十二块，所以我们就可以得到一个结论，这个三棱锥外接球，也就是这个圆柱的外接球，因为只有这样上下底圆， 它的上面所有的点都在这个外接球的球面上，所以它的屁不管到哪，它组成的三棱锥的 表面积他永远是五十二派。所以的话呢，那我们就可以把这个圆柱的外接球画出来。现在我们可以发现这个三能锥外接球的球心刚好就在这个 o 一 o 这个直线的中点部分， 比如说是 q 点，因为只有在这一块的时候，他到上下两个圆圆弧上的距离才能一样，那我们就可以算一下 这个 o 一 o 的 一半是多少？然后呢再乘以二就可以了，因为我们刚才算出来，它外接球的半径是根号下十三，所以 q c 就 等于根号下十三。我们现在要算一下这个底面 a、 b、 c 外接圆的半径， 因为我们知道这个 ab 等于二， a、 c， b 是 三十度，我们可以利用咱们的正弦定力， ab 除以 c 音角， a c， b 就 等于二，除以 c 音三十度就等于 二。 r， 我 们可以得到 r 呢就等于二，所以它外接圆的半径是二，利用勾股定律就可以得到。 o， q 就 等于三， o o 撇就等于二倍的 o， q 就 等于六，这个 o、 o 撇的话，那也就是咱们三轮锥 p abc 这个体积固定的高。现在的话，我们就需要去算一下这个 s 的 面积什么时候最大，然后把下面这个底面可以给它拿出来。 那我们这个 abc 在 运动的时候，什么时候它的面积最大？这个 ab 是 定弦，然后呢角 c 是 动角。 利用我们初三学过的知识点，什么时候这个 abc 的 面积最大？在 ab 的 垂直平分线上，且过圆心与圆的交点上，所以我们就可以把 c 放在这个地方。角 c 是 三十度，我们呢可以连接 a、 o 和 o、 b， 那 可以得到 a、 o、 b， 它就是一个等边三角形，那这一段是一，这一段呢就是根号三，所以呢我们可以写出 s 三角形。 abc 面积的最大值就等于二分之一， ab 乘以， 这是根号三加二，等于根号三加二为 p， a、 b、 c， 它体积的最大值，那就等于三分之一， s h 就 等于三分之一，乘以六， 乘以根号三加二，就等于四加二倍根号三。这题最难的就是需要知道三能锥外接圈，就是圆锥的外接圈，那就简单多了。好，你学会了吗？

如图，在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 垂直于底面 a， b， c， d， p a 等于 i c 等于二， p a 等于 i c 等于二， bc 呢？等于一和 ab 等于根号三 啊。那么我们发现这个 a、 b 方加上这个 bc 方，哎，它正好等于 a、 c 方，哎，这个要发现这一点，所以三角形 a、 b、 c 呢？它是个直角三角形 r t 三角形啊，那所以这个角 a、 b、 c 呢？是九十度？ 好，第一问，若 id 垂直于 p b， id 和 p b 垂直，证明 id 垂直于平面 p b， c， id 垂直于平面啊，平行平面 p b， c 这个第一位呢，就是证明这个线面平行啊，线面平行呢，我们往往给它转化到这个线线平行啊，线线平行，那么 id 呢？看是否和 bc 平行。 首先 bc 和 ib 垂直了啊， bc 和 ib 垂直的，那么另外一个 pi 和底面垂直，所以 pi 垂直 id， 而这个，而这个 id 呢，和 p b 也垂直，所以 id 垂直于平面 p i b， 那 进而 id 呢，和 i b 也垂直，那么因此 id 和 bc 啊，是同一平面内垂直于同一条直线的两个直线，所以说 id 和 bc 确实是平行的。 那整个证明过程中呢，涉及到线面垂直的性质，线面垂直的判定啊，以及线面平行判定。好，我们来具体整理一下第一问啊。 好，我们先整一下这个角， a、 b， c 是 直角啊，因为 a、 b 等于根号三， pi 等于 i c 等于二，那么 bc 呢，它是等于一的，所以 a、 b 方加上 bc 方等于 i c 方，所以三角形 a、 b、 c。 是 啊，直角三角形 啊，直角三角形，且角 a、 b、 c 呢，等于九十度，所以 bc 它是垂直于 ab 的。 那么接着我们整一下 a、 d 也是垂直 ab 啊，先说因为 pi 垂直于平面 abcd 啊， p h 和这个平面 a， b， c， d 垂直，而且且 id 呢，包含于平面 a， b， c， d， 那 么所以根据线面垂直的性质，所以 id 和 pi 垂直 啊，这是线面垂直的性质。那么又因为啊，又因为这个 id 呢，垂直于 p b， 且 p b 交 p a 等于 p 啊，所以 id 垂直于平面 p i b， 那 这个呢，就是线面垂直的判定。然后接着用一下线面垂直的性质啊，因为 ib 是 包含有平面 p a、 b 的 啊，所以 id 呢，它垂直于 ib 啊，那么所以这个 id 平行于 bc， 同一平面内，垂直于同一条直线的两个直线是平行的啊。那再说一下，因为 id 不 包含于平面 pbc， 然后 bc 呢，包含于平面 p b， c， 所以 id 平行，平面 p b， c， 那 这个呢，就是线面平行的判定了啊。 第二问，若 id 垂直于 d c， id 和 d， c 是 垂直的啊，且二面角 a， c， p d， i， c， p d 的 正弦值为啊，七分之根号下四十二，求 id 的 长， 那么求 a， d 的 长。我们先设 a， d 为 m， 是 一个字母，然后构建空间直角坐标系，利用这个二面角的正弦值为七分之，根号下四十二这个条件啊，算出这个参数 m， 我们用向量的方法，首先构建适适当的空间直角坐标系，然后求出平面 a， c， p 和平面 d c， p 的 发向量，那这个发向量肯定含有参数 m， 然后再利用它的正弦值为它， 它的正弦值为七分之，根号下四十二，那么它的余弦值就是啊，七分之根号下七，就是根号下七的平方减四十二啊， 那么二面角的平面角的这个余弦值呢？和两个发向量的余弦值，它的绝对值是相等的， 因为二面角的平面角和这个两个半平面的反向量的夹角要么相等，要么互补，因此它们的函数名是一样的啊， cosine 值的绝对值相等啊， 好，现在我们就看怎样去构造这个空间直角坐标系，其中给了提示说 a d 垂直于 d c， 那 有可能就是这个地点就是圆点了，然后再过地点做里面的一个垂线。 好，如图，构建空间直角坐标系 dx， y， z。 接着呢，我们写出这个啊， a， c， p 和 d 这四个点的坐标 好，我们先设 id 等于 m， 因为 id 垂直 d， c， 所以 如图啊，建立空间直角坐标系 d， x， y， z 则好， d 点坐标就是零，零零啊， 嗯， i 点的坐标， i 点的坐标就是横，坐标就是 m， y 就是 零， z 也是零， p 点坐标 m 零 p f 二二， 然后 c 点坐标零。好，这个 d， d， c， 这个 d c， 它的啊，就是根号下 i c 方减 id 方四减 m 方。 好，然后再写出这个，呃，两个半平面内的两个向量啊，所以这个 ip 啊，就是零零二， 嗯， p c 负 m 根号下四减 m 方负二啊， p c， 嗯， d c 零，根号下四减 m 方 来零。好，接着呢，我们去找这两个半平面的法向量， 说平面 a， p c 的 一个发向量 啊，发向量为啊， p x 一 y 啊 z 一， 因为向量 p 点成 i， p 点到 ip 啊，点到 ip 只剩个二， z 一 等于零。先将 p 点成这个 p c 负 m， x 一， 加上根号下四减 m 方， y 一 减二， z 一 等于零， 所以 z 一 呢，是等于零，这一项为零了。那么接着我们对 x 一 或外移给它赋值，求另一个啊， 啊，令，这个 令 x 一 啊，我们写 x， 写 x 令外移啊，令外移等于 m 啊，则 x 一 等于根号下四角 m 方 好， y 等于 m， 这一项给移到右边去。移项编号啊， 那 y 一 和这个 m 就 约去了啊，这 x 一 值，所以向量 p 等于 根号下四减 m 方 m， 然后这个零好。接着求另一个半平面的反向量。我们设平面 d p c 的 一个 啊，发现量为 q x 二 y 二 z 二则 好，则这个向量 q 点成 d c 啊，向量 d c 等于根号下四减 m 方， y 二等于零，那这个 y 二为零了好，然后 q 变成 p c 啊， p c 负 m x 二加上根号下四减 m 方，就这个 y 二减二， z 二等于零， 所以 y 二呢，它是 y 二等于零，这下为零了，那它俩给它负下值，嗯，我们利用这个 x 二等于啊， x 二等于二， 则 z 二等于这个这个负二。 z 二跟一的运变来了啊，那 x 二等于 m， 那 呃， x 二等于二呀，那么 z 二呢？就是负 m 啊，就负 m 啊，所以，呃，这个向量 q x 就是 二， y 是 负 m 啊， 好，因为因为这个二面角 a c p d 的 正弦值 为七分之，根号下四十二，所以可算这带个绝对值。 p q 等于 p 点成 q p 的 模 q 的 模啊，然后给它代入 这来， p q 点成一下， 好，嗯，后两下为零了，前两下这个前面是个二倍根，下四减 m 方 好，这个是它的模，根号下它的三个的平方和，就是根号下四了，开出来就是二，这呢，就根号下 m 方加四， m 方加四啊，等于七分之根号七好解得 m 的 值 好，我们来在纸边算一下啊。嗯，这个二约去了两边平方，上面四加 m 方， 下面是四加 m 方，这边是七分之一交叉相乘，四加 m 方等于四七二八，减去七 m 方，所以 m 方 等于三，所以 m 等于根号三。 好过 id 呢？它的长就是根号三了啊。 好，重新看一下。好，这个第二问主要就用这个向量的方法来做的啊。