运城一模15题多种方法

二零二六运城一模的十五题啊，这道题呢，我觉得很有意思啊，大家能看到这道题，哎，突然的跟我们刚刚考过的名校联考二的那个十五题还有点像，对不对？我们不知道，是他借鉴了名校联考二出的题还是怎么样啊，那么 我们从这道题上能看出来，比我们之前的十五题是有变化的啊，但是没有说是变到了什么，要把它这个十五题的几何题变到二次函数啊，我们一定要去等官方的消息，看官方的考试他怎么出题。已经听说有两次 进组去命这个省命题中心的这个模拟考试啊，有两波老师分别去命过省命题中心的这个模考，那么具体他是考一次还是考两次，我们暂时还不知道，至少会有五月八号、九号这一次省命题中心的考试才是给我们方向的考试。好了，来，我们看看这个十五题。 在三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， a、 c 等于 b， c 等于六来， a， c 等于 b， c 等于六点 d 是 a、 b 上的一个点， a、 d 等于二倍的 b、 d。 好， 它俩的比例关系为二比一，显然全长六倍根号二，那这里是二倍根号二，这里是四倍根号二。 连接 c、 d， 将三角形 a、 c、 d 沿着 c、 d 折叠点 a 落在了 a 撇处啊，那么 d、 a 撇交 b、 c 于点 e， 则 b、 e 多长来几个思路啊？好，第一个思路还是 相似三角形的基本思路，折过来以后，这是四十五度角，这是四十五度角对顶角相等，则上面下面这俩三角形相似，我们直接按照他俩的相似比去看，这里是个六， 所以六比上二倍根号二，显然是一个三比根号二的比例关系，所以这里是根号二 x， 那 这里就是三 x， 那 么这里显然就应该是个六，减去根号二 x， 再根据三比根号二，那么六减去根号二 x 除以三，再乘以根号二，等于 二倍根号二，减去三分之二 x。 好， 那么我们就可以得到二倍根号二减去三分之二 x， 再加上三 x， 刚好是这个 a， d 是 一个四倍根号二，对吧？我们整理的算就可以了。 x 等于七分之 六倍根号二，那么我们要求的是根号二 x， 则根号二 x 等于七分之十二，搞定， 对吧？这是第一个思路。好，那我们来看到第二种方法啊。第二种方法仍然是，这里为二倍根号二，这里为六， 那我们这一次的入手点呢？从四十五度角去入手，对不对？四十五度角是不可以去做一个等腰直角三角形，在这做个垂直，给个 a， 给个 a， 给一个根号二 a， 则这边是六减去 a， 那么再然后，根据六和二倍根号二的比例关系，仍然是一个三比上根号二的比例关系。所以用根号二 a 乘以一个三分之二，那就是三分之二 a。 好， 有了这里三分之二 a 的 话，那么 c、 e 就 应该是六减去三分之二 a， 于是这时候同学们你看是不可以勾股定，你列一下， 叫做六减 a 的 平方加上 a 的 平方等于六减去三分之二 a， 整体的平方好解之，可得，这个 a 值算下来是一个七分之十八， 我们要求的三分之二 a 等于七分之十八，乘以三分之二等于七分之十二， 搞定。这是第二个思路，我们从四十五度角来打开这个问题。好，那么第三个方法，看能不能用我们的特殊角来打开，能不能用直角三角形的思路来打开啊？因为这里有一个二倍根号二和四倍根号二。呃，如果我给他做三线合一的话， 同学们注意，那显然这里是根号二，这里是三倍根号二，而这里也是三倍根号二，那么说明这个角而法他应该是个一三根号十，对吧？那他是一三根号十的话， 他的余角北塔扩大了二倍，所以这个角是谁啊？这个角就是一三根号十的余角的二倍的补角。 哈，那么换句话来说，他是谁？这个角就是阿尔法哎，补角的二倍用一百八十度减一下，那不就是阿尔法吗？ 对吧？一三刚好十二倍是谁？那不就是三四五的小锐角吗？所以当我们知道这里是三四五的小锐角之后，直接过点 e 再向下做垂直，在这我们给个点 g。 好， 那设这边为三 x， 这边为四 x， 这边也是三 x， 我们就可以得到一个七 x 等于二倍根号二 x 等于七分之二倍根号二。那我们要找的谁呢？是三倍根号二 x， 对 吧？所以三倍根号二 x 等于三倍根号二。乘七分之二倍根号二，刚好下来是个七分之十二，搞定啊，三个方法随便选，当然还有其他更好的方法，欢迎大家评论区留言。

山西中考运城一模数学压轴题十五题思路分享更多压轴题解法可以购买十五二十三题压轴题全解析！

大家好，我们看一下这个是山西运城一模的，一模的卷，呃，我们看一下这个这套卷的十五题啊，嗯，我们再录下来， 再录下来，我们先看一下题啊，嗯，他说这个三角形 a， b， c 啊，角 a， c， b 等于九度啊，直角三角形 a， c 等于 b， c 等于六，哎呦，好题呀，直角等腰三角形啊， 然后 d 是 我们上面的一点，那我们的，我们就有些条件，我们之间呢，推出来啊， a、 b 等于六倍根号二啊， a、 d 等于二倍的 b， d， 那 么所以 b、 d 啊，占了三分之一啊，所以就是二倍根号二，那么 a、 d 的 话是四倍根号二啊， 然后呢，连接 c、 d， 连接完 c、 d， 然后进行折叠啊，折叠完以后翻折过来，好多东西都相等。我们先标一下，这个是六啊，我们这个 a 片 d 啊，我们边标一下 a 片 d 的 话是四百个二啊， 然后还有些什么信息呢？哎，这个角是四十五度，所以这个角也是四十五度，那么这个角也是四十五度啊， 同学们，看到没有一组相似三角形啊，对，三角形呢，三角形啊， c， e， a 片啊，相似于三角形 d， e， b 啊， 哎，相似完以后，它有个比例关系啊，我们先把这个比例关系写出来啊，哎，就是啊，用 b， e 啊，比上个，比 e， 比上个谁 a 撇一啊，我们这个比例关系不要弄红了啊， d 一 啊，比上个 c 一 啊，那么就等于比例啊，比上个 c 二， a 啊，那么这个时候我们看一下，求出求 b 一 啊这条线段， 那我们这个 b 一 是不是出现了，出现了啊，那么这里面啊，我们看一下一些数据啊， a 片 d 我 们知道啊， bc 我 们也知道，但是我们说单拎出来又不走，那么这道题如果有经验的同学啊，觉得就很简单，那么我们直接设 b 一 为 a 啊， d 一 为 b， 那 么紧接着 c 一 等于等于六减一啊，那么 a 片 e 呢？ 哎， a 片一我们折叠过来呢，是吧？就是四倍根号二减 b 啊，那我们直接把这个四的带进去，把这些数据带进去，那么就是 a 比上， a 片是 a 片 e 啊， a 比上，嗯， a 片 e 的 话是四倍根号二减 b 啊，等于 b 比上六减 a， 那 么等于 b， d 是 多少？ b， d 是 二百根号啊，比上六，那么最后是一个三分之根号，那么这个时候我们就能拆成两个刚才，那么 这个跟后面一组合，那么就是啊，这样的 a 等于根号二分之三，那么那个呢？ b 啊，六减 a 等于三根号二分啊， 这么这么的，那我们就直接处理就行了啊，这个时候我们这这这就简化成组就行了嘛， 嗯，稍微呃，带根号不好减点，但是也我们很快就能减出来，对吧？我把 ab 啊，我们把 a 减出来就行啊，我们因为啥求 b e， 那 么把 a 减出来就行啊， 对吧？那 b 等于多少？直接就 b 等于三分之根号二倍的六减 a， 我 们把 b 带进去啊， 然后这面的 a 呢，等于三分之根号二倍的括号四倍根号二减 b， b 的 话等于这减去个三分之根号二，哎，六减来 啊，这用中括号啊，改成中括号，嗯，同学们哎，把 a 解出来就是我们的答案，那么这道题如果有经验的话，这真是分分钟就解出来这样的十五题啊，出现在中考题上，那 我觉得难度有点太低啊，有点不配啊。嗯，谢谢大家的观看啊。

应一位小粉丝的要求，让张老师讲一下今天刚考完的运城市一模的十五题和二十三题。张老师看了下这个试卷，两道压轴题确实出的挺不错，所以我们来一起讲一下。十五题是在折叠背景下的一个线段长问题。 题干说三角形 abc 啊，是个等腰直角，三角形腰长呢，是等于六，那么底边我们能算出来是六倍根号二，然后 d 点是 ab 边上的一个点， ad 的 长是等于 bd 的 两倍，所以 bd 就是 二倍根号二， ad 就是 四倍根号二。 连接 c、 d 之后，把三角形 a、 c、 d 沿着 c、 d 这样翻折过来， a 跑到了 a 撇处，那么顶点 a 撇处这个角就等于顶点 a 处的角，它应该等于四十五度， a 撇与 b、 c 相交于一点。让我们求 b 的 长法一直接解三角形 d、 e、 b、 e 即可。因为此时三角形 d、 e、 d、 b 的 长是等于二倍，根号是确定的，角 b 是 等于四十五度，也是确定的。 此时我们发现少一个条件，这个条件就是由折叠得出来的。三角形 a、 c、 d， 它是一条边是六，一条边是四倍根号，还有个夹角是四十五度。所以三角形 a、 c、 d 啊，是可解的，它可解意味着这个三角形里面所有的边，所有的角都能把它确定了， 那也就说这个角 a、 d、 c 它是确定的，那翻折过来，所以角 c、 d、 a 撇也是确定的。所以图中的这个角一，我们可以把它搞定。我们先来解三角形 a、 c、 d 过 c 点， 向底边做一条垂线段垂足，如果是 h 点的话，那么 c、 h 就是 三倍根号二， a、 h 也是三倍根号，所以我们得出来 d、 h 他 应该是根号二。顶点 c 处这个小角如果是 b， 它的话， 那么我们就知道贪婪者贝塔，他应该是等于一比三的，而此时的这个角一，他就等于两个贝塔，因为角一旁边的两个角如果是阿尔法和阿尔法的话，那么角一和两个阿尔法是互补的，而阿尔法和贝塔是互余的，所以角一是等于两个贝塔。 根据一二三四模型，我们得出来贪婪的贝塔如果是三分之一的话，那么贪婪去二贝塔，他就是三比四比五的直角，三角形中的小锐角，所以此时三角形 d、 b、 e 他 就可解了。知道两个角一条边，所以做法我们过一点向 b、 d 做一条垂线段 垂足。如果是 q 叠的话，那么假设 eq 是 三个 x， 那 么 d q 就是 四个 x， b q 是 三个 x， 七个 x 应该是等于二倍根号二， 所以要求的这个 b 的 长，他应该是三倍根号二个 x， 所以 是三倍根号二，再给它乘以七分之二倍根号二。换解之后知道题的答案是七分之十二， 反而我们也可以用相似加勾股可以把它解决。因为顶点 a 处是四十五度，翻折过来之后，顶点 a 撇处也是四十五度，所以图中的这个三角形 c、 e、 a 撇，他必然是相似于三角形 d、 e、 b 的， 他是一个反八型的一个相似 c、 a 的 长是等于 ca， 是 等于六的， b、 d 的 长是等于二倍根号二，所以我们得出了这个相似比，他应该是三比根号二。 那么接下来我们假设 c 的 长如果是三个 x 的 话，那么 d 的 长应该是根号二个 x， 不 过 d 点向 b、 c 做一条垂线段， 这个垂足如果是 h 点，那么 d h 的 长我们能读出来它应该是等于二等。那么接下来我们在 r、 t 三角形 d， e、 h 中来列个勾方程即可啊。此时 d 的 长是等于二等， b 乘也是二，所以我们得出来 e、 h 的 长，它应该是等于三个 x， 再把 c、 e 给减掉，就是三 x 减四， 然后 d 的 长是根号二个 x， 所以 我们列一下，应该是二的平方，加上三 x 减四，括号的平方，结果等于根号二倍的 x 平方。那通过一系列的化解，我们可以整理出来，此时得到了一个关于 x 的 一元二次方程， 这个方程是七 x 方减二十四， x 加二十是等于零的，我们用十字相乘法来解一下，七呢，分成一和七， 二十分成负二和负十交叉，一成正好是负的二十四，所以我们解出来第一个值应该是二，第二个值应该是七分之十。如果 x 等于二的话，这个明显是不符合题目的意思的，因为此时 e 点和 b 点就重合了， 所以我们得出来 x 的 值应该是七分之十，那么所以 b 的 长应该是等于全长， bc 是 六，减去三个 x 就是 减去七分之三十， 所以答案依然是七分之十二。榜三也是可以考虑间隙建了坐标系之后，核心这道题求的是这个一点坐标，因为 b 点坐标直接可以读出来是三倍，根号二，根号零，所以求一点坐标，我们可以通过求直线 bc 以及直线 d， a 撇可以把它搞定。直线 bc， 它与 x 的 夹角是四十五度，并且经过 c 点， c 点坐标是零度或三倍根号二，所以它的解集是 y 等于负 x， 加了个三倍根号二， 直线 d a 撇 d 点坐标是根号二，度了个零。然后与 x 的 这个夹角其实就是两个北塔。 阿尔卑塔的正切呢，是四分之三，所以他的解析式可以写成 y 等于四分之三 x， 然后怎么了？接下来把这个地点坐标带进去，这个总结句就可以搞定。然后连立起来之后求出一点坐标，根据两点间的距离公式，依然可以求出 b 的 长。 具体的算法张老师不再赘述，孩子们可以自己尝试一下。关注数学张老师，这个春季，我们一起攻克山西中考压轴题！

这是运程平路音膜的一个特点，那在直角三角形 a、 b c 中角 b 是 九十度，那给了 a， b 是 八， bc 是 六， ac 呢？是十和不定点，很快就求出来了，那么 c d 平分 a c b， c， d 平分 a c b 好， 同时 b e 平行于 bc， b e 是 平行于 bc 的， 那么以点过点 c 呢？做它对称点是 f， 那对称点是 f， 是 d e 的 对称点，所以说我们连接起 cf 以后，我们过延长这个 d e， 那 么这个点为 m， 我 们是不是知道这个就是对称，并且有上下是全等的，这就好比是一个方折问题一样，那知道这些，我们现在求的是 c g 的 长，求的是 c g 的 长， 因为你是方折上来的，所以，并且 d e 平行于 bc， d e 呢？是垂直于 cf 的， 对吧？所以说这个位置这个角是多少度呀？也是一个 九十度，那么这个是九十度以后，这个 a、 b 这条线就会平行于 cf， 所以 这里边呢，就会有个八字形，和向右边的这个三角形它是相似的，所以就会有 当三角形 a、 d j 相似于三角形 c j f 的 时候，我要想求 c j 的 长，对吧？所以说 a 三角形 a， d j 相似于 三角形 c f j。 要想求 c j 的 长，所以说 a j 比上 c j， 那 就等于 a d 比上 c f j 跟你相似的，要想求，哎，咱们看一下如何求 a j 是 十，对吧？所以说你要是设 c j 为 x 的 话，那么 a j 呢？是不就是十减 x 呢？也就是说在这里边，我们要能求出这里边的 c f a d 或者是 d j 或者 f j 的 差，这边的比例关系大小是不是我们就确定了，咱们看下能求哪个来，咱们看下，因为 a、 d 要和 c、 f 对 应了，对吧？那 c、 f 呢？这边是个 m 点，那么 c、 m 是 不等于 b、 d 呢？对吧？而 c、 f 是 多少？ c f 是 二倍的 b、 d， 所以 说这边的我要知道 b、 d 是 多少， 我要求出 b、 d 来，那么 c、 f 长是不是就知道了？ a、 d 长是不是就知道了呢？所以说这关键的信息就是在这求 b、 d， 我 们知道 c、 d 是 什么？ c、 d 是 一条角平分线，我们根据角平分线定力，我们是不是就知道这个 b、 d 比上 a、 d， 那 就是等于 bc 比上 a、 c 的 呢？这是角平分线定力，大家可以直接用不用在那再证明，可以节约时间。所以说 那 bc 是 多少， bc 是 六， ac 多少？ ac 是 十，所以约下就是三比五。好，那么 bd 的 长， ad 的 呢？ ab 的 长呢？是八岁时，它就是三，上边就是五，所以说 c、 f 的 长，那就是六，所以说很快就知道了。 ad 比上 c、 f， 那 就是五比六， 也就是十减 x 比上 x， 那 就是五比六，对吧？化简解出来就可以了，也就是六十减去六， x 等于五 x， 那么 x 等于多少呢？一过来是十一 x， 所以 是十一分之六十，所以很快就可以求出 c、 g 的 长来了。这题题型选的好，为什么呀？他考了一个什么呀？首先考你角平分线性质定律，看你会不会那角平分线的这个定律会不会往出正证明 这是第一个。第二个叫关于这个对称问题，你能不能想到 c、 m 和 f、 m 是 相等，并且是垂直关系，能不能得出 c、 d 和 d、 f 的 长是一样的， 这是一个非常关键的信息，还是个对称问题，再接着你能不能得到这个角是九十度，前面的问题应该问题不大，但是这个九十度这是最容易忽略的一个信息， 这个欠写，忽略了这个三角形相似就找不出来，找不出来这个题就出不来，所以大家一定要通关大局，把所有的信息给看清楚啊。那这个呢？就是这个题，大家有什么疑问可以打在评论区。

同学们大家好，今天我们讲一下二零二六年山西中考榆次一模数学卷第十五题填空压轴题的五种解题方法。我们首先先看题 十五、在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac 等于十三， bc 等于十点， d 为 ac 的 中点，连接 b、 d 并延长到点， e 连接 c、 e。 若角 b、 a、 c、 e 等于二倍的角 a、 c、 e 则切断 d、 e 的 长为多少。 通过做相关辅助线，我们可以快速的知道， a、 m 等于十二， b， m 等于 mc 等于五， d， n 等于六 m， n 等于 n， c 等于二分之五。本题考点一、等腰三角形的性质三线合一二、三角形全等的判定与性质八字相似。三、勾股定律及其逆定律四、三角形中线的性质 五、角度关系转化利用角的倍数关系构造全等等腰三角形方法一、等腰三角形的性质加勾股定律过点 a 座 a， m 垂直于 b， c 于点 m 过点 d 座 d， n 垂直于 b， c 于点 n， 则 b、 m 等于 m， c 等于五 等腰三角形三线合一， a、 m 等于十二，所以角 b、 a、 m 等于角 c、 e。 因为 d 为线段， a、 c 的 中点异正 a、 m 平行于 d， n 平行于 c、 e， 所以 d、 n 为三角形 a、 m、 c 中位线，所以 d， n 等于六 m， n 等于 n， c 等于二分之五，所以 rt 三角形 b、 n、 d 相似于 rt 三角形 b、 c、 e， 所以 c， e 等于八， 所以解 r、 t 三角形 b、 c、 e， b、 e 等于根号下 b、 c 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方等于二倍。根号四十一。依据平行线分线段成比例可得 d， e 等于四分之一， b， e 等于二分之根号四十一。 方法二等腰三角形的性质加相似三角形过点 a 做 am， 垂直于 b， c。 于点 m， a， m 交 b， e 于点 f 过点 d 做 d， n 垂直于 b， c 于点 n， 则 b m 等于 m， c 等于五等腰三角形三线合一， am 等于十二， 因为点 d 为 ac 的 中点，所以 d， n 等于二分之一， am 等于六，因为角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， d 为 ac 的 中点，所以三角形 a、 d、 f 全等于三角形 c， d、 e。 因为 rt 三角形 b， n、 d 相似于 rt 三角形 b， n、 d 相似于 rt 三角形 b， c、 e， 所以 f， m 等于二倍的 f， m 等于八， 所以解 r， t。 三角形 b， c， e， b， e 等于根号下 bc 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方，等于二倍，根号四十一，所以解 r， t。 三角形 b， n， d 得 b， d 等于根号下 b， n 的 平方加 d， n 的 平方，等于根号下二分之十五的平方，加上六的平方，等于二分之三倍，根号四十一，所以 d， e 等于四分之一 b， e 等于二分之根号四十一， 或者 d， e 等于 b， e 减 b， d 等于二倍的根号四十一，减去二分之三倍的根号四十一，等于二分之根号四十一。方法三 勾股定律将相似三角形过点 a 作 a， m 垂直于 b， c 于点 m， a， m 交 b， e 于点 f， 则 b m 等于 m， c 等于五等腰三角形，三线合一， a， m 等于十二，所以 b， a， m 等于 c， a， m 等于角 a， c、 e。 所以 am 平行于 c， e。 因为 ad 等于 cd， 角 adf 等于角 c、 d、 f。 所以 三角形 adf 全等于三角形 c， d、 e。 所以 af 等于 cd 等于 d， e。 因为 am 平行于 c， e， b， m 等于 m， c， 所以 f， m 为三角形 b， c， e 的 中位线。所以 b， f 等于 f， e， c， e 等于二倍的 f m。 设 f， m 等于 x， 则 a， f 等于二 x， a， m 等于 a， f 加 f， m 等于三 x， 所以 a， m 等于十二，等于三 x。 解得 x 等于四，所以解 r t。 三角形 b， c， e， b， e 等于根号下 bc 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方等于二倍。根号四十一， 所以 d， e 等于二分之一 f， e 等于四分之一 b， e 等于二分之。根号四十一。方法是勾股定律将相似三角形 过点 a 作 a， m 垂直于 bc 于点 m， 过点 d 作 d， n 垂直于 e， c 于点 n， 所以 rt 三角形 b， m， f 相似于 rt 三角形 b， n， e。 三边比为四比五比，根号四十一。 因为 am 平行于 c， e。 角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， 所以 rt 三角形 m， a， c 相似于 rt 三角形 n， c， d。 三边比为五比，十二比十三。设 e， n 等于四 x， 则 d， n 等于五 x， c， n 等于十二 x， 所以 ec 等于 e， n 加上 c， n 等于十六， x 等于八， x 等于二分之一，所以 d， e 等于根号四十一乘以 x 等于二分之根号四十一。 方法五、勾股定律加相似定律过点 a 作 a， m 垂直于 bc 于点 m， 过点 d 作 d， n 垂直于 a， m 于点 n， 所以 rt 三角形 b， m， f 相似于 rt 三角形 d， n， f。 三边比为四比五比根号四十一。因为 am 平行于 c， e， 角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， 所以 r， t。 三角形 m， a， c 相似于 r t。 三角形 n， a， d 三边比为五比，十二比十三。 设 n， f 等于四 x， 则 d n 等于五 x， a n 等于十二 x， 所以 a f 等于 a， n 加 n， f 等于十六， x 等于八 x 等于二分之一， 所以 d， e 等于根号下四十一乘以 x 等于二分之，根号四十一。今天的讲解到此结束，谢谢大家的收心！

同学们好，一起来看一下运城一模的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。根据题中的已知信息，咱们知道三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，并且沿 c、 d 进行了翻折，你得到了这三个相等的角， 最终目标是要求 b、 e。 你 想到了直角三角形或相似三角形， 然后你发现这有一组相似的三角形，并且根据题中已有的信息得到了这两个边的长度。 这两组三角形中目前有且只知道这两个边的长度，并且知道 a 撇 d 和 b、 c 的 长度。你想到了设未知数。 如果设 b、 e 为根号二 x， 那 么根据比值关系， a 撇 e 就是 三 x， 再利用和差关系就能表示出来 c e 和 d e， 那么 c、 e 与 d e 的 比也应该是三比根号二。这里的三比根号二是六比二被根号二化解之后的，由此就能解得 x 的 长度，进而解得 b、 e 的 长度，最终结果为七分之十二。 视频左下角有针对二零二六年的中考练习题，有需要的同学可以点击了解一下。

幺六运城市初三一模啊。呃，今天有同学正好问到了这套卷子的十五题，给大家讲一下。呃，我们看一下十五题啊， 十五题是个折叠的几何，求线段长度问题啊，一起来读一下题。呃，他说呢， a、 c， b 是 九十度， a， c 等于 bc 等于六，所以这是个等腰直角三角形， d 是 ab 上一点 a， d 等于两倍的 b、 d， 所以 d 是 一个三等分点，连接 c、 d， 然后沿着 c、 d 把 a 点折到了 a 撇点 啊，交 bc 于点 e， 求 b、 e 的 长。那咋拿到这个题，哎，怎么来分析呢啊？怎么来分析？第一个，你要知道这个是四十五度啊，这个角是四十五度。呃，这条边是知道的，如果我能知道 这两个角的其中一个，那我就一定能在这个三角形里面进行解三角形啊，这是我们第一个思路。第二个思路，角 a 是 四十五度，角， a 折到这里也是四十五度，那这个时候有个很明显的反八相似，反八相似， 还有折叠的这个折叠的角分线可能加平行数等。幺，这些都是我们的思路，我们一个一个来看啊啊，先说第一种思路，我们先说反八，对吧，反八，因为反八，大家好理解一点，四十五度和四十五度相等，对顶角和对顶角相等，说明这两三角形相似啊。反八相似， 也就三角形 c， e， a 撇是相似于三角形这个 d， e、 b 撇的。那这个时候我们直接列式子啊，假设我们要求的这个是 x， 那 a， c 是 六，那这个就是六减 x。 而我们知道 ab 应该是六倍根号二，它是三等分点，所以这个是二倍根号二，这个是四倍根号二，所以 a 撇 d 也是四倍根号二，所以我再假设一个，我假设这个是 y， 那 这个就是四倍根号二减 y。 我 们列个式子啊， x 跟谁对应啊？ x 跟这个四倍根号二 减 y 对 应，二倍根号二跟谁对应啊？跟 c a 对 应，跟这个六对应，除以六 啊，所以得到一个这样的式子啊，化简一下，就是三分之根号二，所以我用这个式子根三分之根号二。还有用第二个式子，根三分之根号二，可以列出两个式子啊，我们找个地方写一下啊，第一个式子可以列三 x 应该等于啊，八减根号二 y 啊。第二个式子应该可以列三 y 等于六倍根号二减根号二 x。 这样的话，我要求的是谁？我要求的是我们的 x， 所以 只要想办法把 y 消掉就可以了， 对吧？想办法把 y 消掉就可以了。那一个 y 应该等于三分之它，然后带进去有三 x 会等于八减去根号二乘以三分之，这个也就是十二减去 二 x， 同乘个三啊，同乘个三变成九 x 就 等于二十四减十二加二 x， 所以 七 x 等于十二， x 等于七分之十二。 ok， 这是我们的第一种方法，直接啊，反八相似。这个我们应该讲过两到三道这样的反八相似解的题了啊，直接能解出来七分之十二啊，七分之十二， ok， 这是第一种方法啊，第一种方法比较好想，但有一些计算量。好吧，哎，希望大家可以去试一试， 来说一下第二种方法。第二种方法啊，我觉得也是可以的啊，如果你发现了的话， 比如说我想求 c d 的 长，怎么办呢？你肯定会把 c d 往直角三角形里面一坐，这么一坐啊，假设这个是 q， 你 就会发现一个东西，什么东西呢啊？这个是六，这个是三倍根号二，这个是根号二，这个是二倍根号二，这个是三倍根号二。你会发现这个三角形是一个 什么三角形？这个三角形它会是一个一比三比根号十的三角形，一比三比根号十的三角形。 ok， 那 这个时候 它比较特殊啊，这个小角。假设我标成 alpha， 这个角啊，它比较特殊啊，这个角看见了 alpha 啊，一比三，这个时候你瞬间会发现这个角啊，这个角会是多少度？这个角会是 r r 度，为什么啊？给大家推一下啊，用习惯的同学应该能知道啊，比如说这个是角，是 b a r r 加 b a r 多少度 啊？我标一下啊，这个是贝塔，阿尔加贝塔是九十度，那这个角也会是贝塔，因为它是哎折过去的，所以这个角一定会是阿尔法，因为阿尔加阿尔才会是九十度，所以这个角会是阿尔法。 而我们知道，根据一二三四五模型，不知道大家还记不记得 tangent 是 一比三，那 tangent 二就会是三比四啊，三比四，好吧，三比四比五的三角形，那如果这块你会，那我们就出来了啊， 给大家放大一下，为什么出来呢？因为这个角你知道了它是三比四，而这个角是四十五度， 能理解我的意思吧，所以右边又是个等腰直角三角形，所以你做个垂直啊，假设交于点 i， 假设这个是三 x， 那 这个就会是四 x， 那 这个就会是三 x， 而这个就会是五 x， 而我们要求的是谁？我们要求的是这个啊，不对，不是五 x 啊，三比四比五，应该是三倍根号二 x， 我 们要求的是三倍根号二 x， 所以 只需要想办法求 x。 怎么求 x 呢？这个 d、 b 的 长度，它是七 x， 而它等于二倍根号二， 所以 x 是 七分之二倍根号二，而我们要求的 b， e 等于三倍根号二乘以 x， x 是 七分之二倍根号二， 所以是七分之二乘三得六，再乘二七分之十二。是不是跟我们的答案是一样的？这种方法找的是哎，特殊角，特殊角。好吧，这是法二，找特殊角来解三角形，我觉得也没有啥问题啊，也没有啥问题。法三 还能不能有？有啊，正好有个同学用的就是法三，给大家讲一下啊，这个法三能理解啊，但是不好算啊，不是最简单的一个方法，他是怎么算的呢？他说，老师，我想求出 b、 e 的 长， 我现在知道 bc 的 长是六，我只要知道 e 是 几等分点，而我想知道 e 是 几等分点，那我肯定要构造一个八字，而正好这里又有个角分线，角分线加这里的平行啊，过 d 延长 d， a 啊， 交于假设这个点啊，交于这个点，这个点假设是 q， 那 这个时候既有角分线 啊，加平行出的这个等腰，又有这里我要想要的八字相似，所以我只要知道 c、 q 和 d、 b 的 比是多少，就能知道 c、 e 和 b 的 比是多少。那 b、 d 我 们是知道的是二倍根号二，所以这个题就转化成了，求什么 求 c q 啊，它是过 c 做 c q 平行 ab， 交 d， a， 撇延长线 于点 q， ok， 于点 q， 那 这个时候怎么求 c、 q 的 长呢？还是要利用到这个阿尔法，它是特殊角， 特殊角，那怎么求这个特殊角啊？还是跟刚刚一样的，如果你把这个阿法往直角三角形里面一放，你会发现他会是一个这个三角形，会是一个 啊，一比三比根号十的三角形，而这个阿法啊，这个阿法是三比一，所以这是个等腰加特殊角，所以你可以往这里再做一个垂直 啊，那这样的话，这个三角形它会是一个一比三比根号十，这个三角形也是一比三比根号十。来啊，这个是根号二，这个是二，三倍根号二，那这个就是根号十，所以这个长度是根号十，是吧？一比三比 根号十，不对，根号二，十啊，根号二的根号十倍，根号二十，也就是二倍，根号五。 c、 d 的 长是二倍根号五，那 c、 h 的 长就相当于是根号五，根号五，一比三比几， 一比三比根号十，所以是根号五十，也就是五倍根号啊。所以我的三角形 c、 q、 e 相似于三角形 b、 d、 e 就是 这个八字相似， 它的相似比是五倍，根号比上二倍，根号，也就是五比二，也就是我们的 c、 e 比上 b、 e， 它是五比二的二，它是五份，它就是两份。所以 b、 e 占了整个 bc 的 七分之二， 而 bc 是 几， bc 是 六，所以是七分之二乘以六，也就是七分之。哎，十二，好吧，这是目前徐老师能想到的，呃，很容易想到的三种方法啊，如果你有更简单的，更快速的方法哎，欢迎分享在评论区。

各位同学大家好，我是大泽老师，运城一模啊，前几天刚考完最后那道几何压轴题啊，很多同学反应都非常难。然后呢，我看了一下，这道题呢，的确比咱们中考的那个几何压轴题的难度要大一点，但它是一道非常经典，值得咱们去反复研究的一道好题。 所以呢，咱们今天加更一期视频，专门用咱们的这个逆向思维的方法来把它拿下。嗯，我不敢说听完视频人人都能秒杀吧，但是只要你的几何定律记得很牢，跟着我的思路走， 前两问十一分，绝对没有问题。话不多说，咱们直接看题啊，这个地方是要咱们探求旋转，旋转的话，同学们第一反应啊，咱们有三个重要的点，第一个，旋转中心要找到， 要找旋转中心。第二个呢，咱们要找咱们的就是对应的图形，把某个图形从旋转到某一位置了，是吧？然后呢，第三个就是咱们的旋转角要找到，咱们来往下读，一定要注意这三个点，三角形 abc 是 边长为四的等边三角形，很重要的信息， abc 是 等边三角形，边长是四， 然后呢角 a、 d、 b 是 九十度，图上给我们标注了，把 a、 b、 d 绕点 a， 所以 说旋转中心这个地方点 a， 你 可以写这儿对图形，咱们三角形 a、 b、 d 旋转多少度？六十度，所以说旋转角是六十度，那具体旋转角谁是六十度，咱等一下再找 得到。三角形 a、 c、 d 撇，所以说你最后旋转成的是 a、 c、 d 撇，这两个图形是全等的关系，你可以这样，我这样写出来。然后呢，写，你也可以把这个 呃两个三角形全等写成对应边相等，对应角相等的形式写出来那样，不过就列的比较多一些了。然后旋转角是六十度。这里有个问题，有的同学不会找旋转角，首先咱们先找好旋转中心，像这个地方我把旋转中心戳出来，然后呢，这个时候来看，哎，是 abd、 b、 a 正好这个可旋转中心连起来了，它旋转完以后对应的边是 a、 c， 所以 说这个时候 b、 a、 c 就是 旋转角，而 b、 a、 c 正好也是咱们等边三角形 abc 的 一个内角嘛，所以说它就是六十度是吧？然后呢，咱们还有 a、 d， 我换个颜色的笔啊，咱们 a、 d 旋转到了 a、 d 撇，所以说角 d、 a、 d 撇也是六十度。这个时候不知道同学们有没有发现，其实三角形 d、 a、 d 撇也是等边， 它两边 a、 a、 d 和 a、 d 撇相等，角 d、 a、 d 撇也是六十度。这个时候你都可以把这些信息写在旁边。这个时候呢，咱们发现 it 没有什么信息了。让咱们猜想角 b、 a、 d 和角 c、 e、 d 的 关系，咱们可以标一下 角 b、 a、 d， 咱们标成角一，角 c、 e、 d 在 这个位置，角二 c、 e、 d 看过去感觉是相等吧，咱们就猜嘛， 就猜上是要证明角一等于角二，咱们证明角一等于角二，证明两个角相等。咱们优先去考虑全等或相似。有的同学那不是还有特殊图形，就比如说 特殊的四边形里面平行的性质啊等三角形都可以正。那我为什么你优先考虑全等和相似，因为咱们全等和相似呢？能给咱们带来就是能考察咱们的点更多，所以说相对来说他们靠就你要思考的话，就比优先考虑他们 啊，那如果它不行呢，咱们再去考虑其他的点。那这个时候咱们来看角一、角二所在三角形，角一是在三角形 a、 b、 d 中，这个时候我可以咱们把这个三角形 a、 b、 d 中， 角二呢是在三角形 e、 f、 c 中，当然它也在三角形 e、 c、 d 撇里，但是 e、 c、 d 撇是个对角，三角形跟咱们 a、 d、 b 貌似 联系不上，而这个时候咱们看这两个三角形，他们有可能相似吗？肯定不全等，那这个咱们怎么来判断他们是否相似？咱们看这个垫这个角，这个角呢？是六十度吧，我标的这个绿色这个角，然后呢这边这个角呢，他明显是比六十度要小的， 是吧？所以说呢，咱们这两三角形肯定是不相似的，不相似的话，那他们两个联系不起来，那这个时候提的貌似也没有什么条件可以指向了，让咱们去指向，这个时候呢，你就是老师会卡你这个点让你很容易忽略旋转，如果你不把我上面这些信息标出来， 你就很容易忽略。哎，感觉没有条件了就做不下去了，这是老师们看的第一个点啊。那这个时候咱们来看，既然有旋转的话，咱们这个地方还角一还和角三相等，是吧？角一和角三相等。哦，那这个时候我们就考虑有没有可能我让角二和角三相等了， 那么角一不就等于角二了吗？如果有没有可能让角二等于角三呢？那这时候咱们来看角三在三角形 a、 c、 d 撇里，但是呢，咱们把三角形角二在的三角形描出来以后，咱们角三在的三角形 是不是有一个跟他哎有对顶角的三角形，那这样的话有，有对顶角的三角形的话，他们不就哎相似的可能性更大一些了吗？那咱们就来盯着这两个三角形，看他们有个对顶角相等，是不是 对顶角 e、 f、 c 等于 a、 f、 d 撇，那如果这个时候我们能找到，能找到这两个角相等，也就是 f、 c、 e 和 a、 d 撇 f 相等的话，那么这两个三角形不就相似了吗？两个三角形相似，那角二又等于角三了，那么又因为角一等于角三，那角一就等于角二了吧，咱不就哎这个思路就通了， 那咱们现在所有的目光都聚焦在让这两个角相等上，那么仔细观察，角 fce 多少度？六十度呀，是不是 fce 是 六十度，那这个地方 a、 d 撇 f 是 六十度吧？我咱们刚才在分析咱们旋转的时候，咱们已经标出来了，咱们刚好咱们 d、 a、 d 撇是等边三角形，所以说这个角也是 六十度，咱们不就思路就通了吗？第一问，所以说这个地方，第一问卡咱们的最重要点是什么？就是一个旋转的性质的一个应用，是会让你感觉到条件少， 咱们再来看第二问。第二问呢，咱们体概念的条件，刚才旋转啊，等边三三角形， a、 b、 c 是 等边三角形，咱们旋转六十度，角 a、 d、 b 九十度依旧 可以用。然后呢，第二问是说什么？他发现啊， d 是 平面的任意一点，只要满足角 a、 d、 b 等于九十度 点， e 始终是线段 bc 的 中点，这地方让咱们借助图二去证明，证明什么？点 e 是 bc 的 中点，也就是让咱们去证明咱们的 b， e 等于 ec 吧，证明这两条线段相等。 这个时候第一反应，哎，他们也不在，感觉不在同一个三角形里，等腰没法用，然后呢，好像也不在什么 能能证明全能的三角形里，这个时候思路就感觉断了，而且呢，提的条件也指也没法去指向这两条边，有没有发现提议的？咱们第一问就是用的那些条件等边三角形， 然后呢，旋转跟这两条边指向不了，能用的就就是三角形 a， b， c 是 等边三角形了。我给同学们看一下咱们答案上这个辅助线啊，说实话，我做的时候我没有想到， 我压根就没有往这个方面去想，而且这也是很多同学说难的点，就是他们说根本画不出来辅助线， 这为什么画不出线？辅助线就是因为你觉得题的条件让你无从下手，同学们想想你做题的时候是不是这种感觉，那这也是我做这道题的一个原因，我给大家做成视频的原因就是因为第二问，用咱们的逆向思维能够很明了的就去解决到这个问题， 辅助线的问题能给你解决掉，咱们来看一下啊，咱们来分析一下，就是我们要证明 b， e 等于 e， c 是 咱们的大方向， 从我的第一角度来说， b、 e， e， c 是 b c 边上的终点， e 是 吧？ e 是 b c 边上的终点， b， c 呢，又是三角形 abc 的 等边三角形，那既然它是等边三角形的话， e 是 你 e 边上的终点， 你就想你学的等边三角形、等腰三角形，你看到中间你第一反应是什么？你给我说是三线合一是不是？我就问你是三线合一吧？所以既然是三线合一，我的第一反应就是我把 a、 e 连起来，我只要能证明 a、 e 垂直于 bc 或者 a、 e 平分角 b、 a、 c， 然后我就不就可以说明 a、 e 是 bc 的 中线，也就是 b、 e 等于 e、 c 了吗？是吧？所以说我的辅助线就连去连的 a、 e， 很 自然的原因我给大家说清楚了，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， 我就考虑到了三线合一。那连完以后呢？咱们来看，有两个方向证明 a、 e 是 角平分线，也就是 b、 a、 e 和 c， e 是 三十度。还有一个证明 a、 e、 c 是 九十度，我是先去从角 a、 e、 c 等于九十度的角度去考虑的，那 a、 e、 c 是 九十度，我就看了，我就盯着这个位置看， 会发现 a、 e、 c 是 九十度的话，它是由两个角构成的， a、 e、 f 和角 f、 e、 c。 而 f、 e、 c 啊，我用个绿线来给咱们大家标出来， f、 e、 c 是 咱们上一问刚证明的，它和谁相等？是和角 b、 a、 d 相等的，是不是它和角 b、 a、 d 相等？ 哎，而且你有没有发现三角形 a、 b、 d 是 直角三角形啊，是吧？也就是我们 b、 a、 d 加 a、 b、 d 是 九十度。咱们第一问是证明了角 b、 a、 d 等于咱们的 f、 e、 c 的，是吧？如果咱们能证明，哎，这会发现了 a、 e、 f 如果能等于 a、 b、 d 了， 那么咱们因为 a、 b、 d 加 b a、 d 是 等于九十度。然后如果证明 a 这个角和这两个红线的角相等，这两个绿线的角相等，那咱们的 a、 e、 f 加 f、 e、 c 不 就等于九十度了吗？ 是不是感觉跟咱们提的条件全靠上了，全指向咱们的有用的条件了，所以咱们的方向应该是没有错， 那咱们的目标现在就变成了要去证明咱们的 aef 等于 abd， 咱们要证明两个角相等优先，刚才说了优先考虑全等或相似，是吧？那这个时候咱们先来看 aef 和 abd， aef 所在的三角形就一个三角形，我给它描出来 就是这个三角形，然后 abd 在 的三角形 怎么看都和它是不相似的， abd 在 三角形，如果咱们硬要非要描的话，你 abd 是 这样，三角形肯定跟它不相似，也就是这个三角形了。这个三角形，你这个这个位置啊， 这个位置，我用红点这个位置，甚至连个字母都没有，所以说咱们肯定优先不考虑 abd 了。如果说你要证明它俩角相等，你不考虑 abd， 那 怎么办呢？这个时候咱不要忘了你这个题是什么旋转，你还有一个跟 abd 相等的角哦，我这个时候已其实已经给大家列出来了，就是这个位置， a、 c、 d 撇，如果 a、 c、 d 撇能和 a、 e、 f 相等，那 abd 自然也就和 ab 咱们的 a、 e、 f 相等了。那在带带这个 a、 e、 a、 c、 d 撇的 三角形有谁呢？在 a、 e、 c、 d 撇的三角形，我们来看一下，看着和它相似的是不是这个，咱们用红色的这个框出来的，红色的框出来，咱们第一感觉就是肯定没有错，为什么？首先他们有个对顶角， 对顶角方向大概没错，因为咱们现在就是往这个方向去靠吗？有个对顶角正他们相似。哎，我这个地方有个对顶角，有个对顶角的话，咱们是不是还要再找一组角，再找一组角，或者说再用他们的什么？对，就是这个角的两边成比例，再找一组角的话，你只能找 我用黄色的啊，只能找这一组角相等是吧？只能找这一组相等。题里有条件，还有条件去支撑你这两个角相等吗？我现在就问你题里有条件吗？没有， 题里没有条件去支撑咱们这这两个角相等。题里剩下旋转了，根本就没有指向过这里，没有指向过这里，这个时候你就不要在这个角上死磕了，因为题里没有条件，你怎么做都没条件。但是你有没有注意，咱们证明相似，除了两角相等，两三角相似，咱们还有个定力。二、 什么？两边乘比例且夹角相等，这个时候呢？咱们这两条边 c、 f， 还有咱们的 e f， 咱们的 d p、 f 和 af 是 不是你第一问证的这两个三角形的边呢？你是不是可以列出来它们乘比例 可以列出来吗？你这里是不只要列出来了，就可以推出咱们的 e f 比 c f 等于 af 比 d p f 推。哎，这个时候两边乘比例加角相等，两个三角形 相似，两个三角形相似，咱们想要的所有的东西都可以得到，咱们逆向的去往回推就可以了。三角形相似是吧？证明三角形相似，从而咱们得到 这些角相等呢？然后又因为 b a d 加 c e d 呃，等于 c e d b a d 加咱们的 abd 是 九十度，所以咱们的 a e f 加咱们的 f e c 也就等于九十度，等于九十度的话， 那他是等边三角形是不是？等边三角形的话，你是高，也就是底边上的中线，所以说 b 的 e c 是 不是比答案上的那个 那个辅助线思路更明确一点，也更好做一点？这就是我今天呢，想要给同学们从这道题呢，给大家传达的一个 呃，信息是啥？就咱们逆向思维啊，只能这样一倒推，你的思路就很明确，看似复杂压轴题啊，他的背后都有一条很清晰的逻辑链，关键的就在于你能不能找到那个倒推的起点，我之前也说过这样倒推呢，咱们的呃有一个很 重要的，就是你需要达到的一个标准，就是你必须得对咱们的这些几何定力背的特别熟。所以说呢，就是他其实是有一个要求的，就是要求咱至少等同学们几何定力背的很熟，有些同学几何定力没有背熟，这样是也是做不到的。 然后呢，咱们今天呢就把这个说到这，下节课咱们继续回归咱们材料阅读题，这个老大难。嗯，大嘴老师呢，手把手教你如何快速的抓取这个关键信息，把这一类题的分数呢稳稳拿在手里。 我是大嘴老师，关注我啊，带你从容应对中考，咱们下期再见！

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初三同学，大家好，咱们看一下十五题里边遇到折叠问题的时候，大家如何处理信息，尤其是遇到多个三角形相似的时候，咱们如何简单的把问题给简单化了？摆在三角形 a、 b、 c、 d 中，那么 a、 d 是 平行于 bc 的， 这是个梯形，这是九十度，这也是九十度。 bc 是 六， ab 是 四，高是个四， ab 是 三，这是三，下边是六。把上边的虚线部分方折下来， d 点就和这个 e 点恰好是重合了， 这个 b、 m、 e 这个角是等于角 c 的， 这是所以说遇到这种问题的信息非常简单， b、 m、 e 很 明显是一个直角三角形，角 c， 你 在看到的向右的图形里边是没有直角三角形的，所以很简单的方法就过点 d 做一条垂线出来。 看到这个直角题型啊，你可以做一条高出来，就是割出来一个直角三角形来了，所以角 c 等于角 b、 m、 e， 那 么很明显相似就问题就出来了， a、 d 是 三，那么这个垂足假设是一个 p， 我 们知道 b、 p 的 长是不是也是三，所以 c、 d， a、 b 是 四，所以是 d， p 是 不是也是四，所以这个 c、 d 呢？就是五，这就是三、四、五这个三角形的比例关系， 所以到的这个 b、 e、 m 这个三角形里边，它也是三、四、五的关系，所以说我们直接根据正弦或者根据相似可以设边长就可以了。你要想求 b、 e 的 长号，那我就设 b、 e 是 三，那就是这是四 x， 那 么 b m 就是 三 x， 那 那个 m 引就是 x。 而所看到的这个三角形 b、 m、 e 和上面的这个三角形很明显它也是一个相似的，那既然相似，我们下面设的是 x， 上面我们可以试一下 y 等量关系，就是这里的 a a b 的 长和这个 e f 的 长， e f 只等于 a b， 所以 试一下。那根据对应表，我说 f m 就是 三 y， f j 呢就是四 y j， m 呢就是五 y。 好，那么方折下来， a g 长和这个 f g 的 长是一样的，所以它也是个四 y。 那 到了这一步，我们可以列两个等式出来解方程组就可以了。 所以是 e f 的 长是等于 a， b 的 长是等于三，所以它是三 y 加上五 x， 那 就是等于三 ab 的 长，那是四。还有几共组成一个四 y， 一个五 y， 一个是三 x， 所以 这个九 y 加上这个三 x 呢，是等于四， 好，解出 x y 来代表这个地方，那这个题是不是就解出来了？这是我们设的两个位置数，有的同学就只设一个位置数，也可以表示出来的，根据相似比也可以表示出来的。当时 计算过程就比较复杂了，没有我们直接这样来，直接来的，直接了当就减一个二元一次方程组就可以了，大家学会了吗？大家有什么疑问可以打在咱们的评论区。

今天呢我们就用我们的金字塔模型或者我们的万能公式来解一下这个题呢，应该怎么去做，怎么叫万能公式呢？万能公式呢就是我们在给同学们在讲压轴技术，我们讲过的系统，系统包括第一层条件，第二套呢是模型，第三套呢就是系统， 就是我们之前一直给大家讲的金字塔模型当中，我们用这一套思想可以解决所有的事物题，包括我们可以解决我们的二十三题，所以说这一套思想如果你学会之后，基本上你的机会没有任何问题的。 我们先看一下这个题的条件，首先他给我们条件呢是三角形， b、 c、 d 是 直角上去，我们先做一下简单的标记，这个地方呢是直角， b、 c 等于几？ b、 c 等于二，好做标记， b、 c 等于二， c、 d 呢等于三。 那么一旦 bc 等于二， c 等于三之后，相当于我们可以用勾股定律知道 b、 d 的 长度，二平方三平方，根号减，这是个根号十三， 对不对了？那么我们在讲金字塔模型所讲过，一旦出现直角三角形，而且知道每条边的长度之后，首先你第一要确定的就是你知道什么东西啊？你知道不是边长，而是知道了三角函数值， 你把你知道的三角函数值，我们把这个地方查一下，三角函数值是我们条件里面的其中一个非常非常重要的条件，三角函数， 明白吗？你知道很多三角函数，比如说我们起这个名字叫 alpha， ok， 这个叫呢叫 beta 是 吧？我们清楚 alpha 和 beta 的 三角函数值，因为在实物题当中，我们可以通过角的相等来传递三角函数值，如果你没有建立三角函数值的概念，那么你这种题呢肯定是做不好的。 你把，所以说我们条件当中一个非常非常重要的条件就是三角函数值，而这个不仅仅包含边长相等或者角相等，最重要是你要理解三角函数值。 ok， 在 第一个，我们今天往后看，这里面给我们一个角，说什么？说 a、 d 呢？是平行 bc 的， 这里面出现个平行， 然后又说角，平分线，是吧？对，角线必定呢，平分角 a， b、 c， 也就是这里面又出现个角，这个角叫 off 票，哎，我们把相同的角用相同的字母进行表示， 这是我们经常讲的一种方式吧，这叫什么？这叫作标记，你看这就是我们整个系统里面的一个工具，叫作标记，而我们作标记推荐的方法呢，就相同的角用相同的边长来进行表示。好了，这，这个， 这是我们系统里面的其中一个工具。 ok， 这个呢作标记属于我们系统里面的其中一个工具。紧接着我们再去想， 我们说这里面有模型，这两个角相的又出现什么？又出现了平分，哎，平分加平行，是不是我们经常讲的什么东西啊？经常讲的三，经常讲的一个模型叫平行加平分等于等幺，所以说，好， 这就出现我们的模型叫平行加平分等于等幺， ok， 那 么这个是二百票， 对吗？因为呢 a、 d 和 bc 平行，所以说我们这个地方就有个角呢，也叫 ar， 对 吧？我们可以起个 ar 双片， ar 双片， ar 双片，有了之后你会发现 ab 和 ad 相等， ab 和 ad 相等， 那么 ab 等于几？ ad 等于几？我们清楚不清楚，我们并不清楚，对吧？但是我们说 abd 就是 我们常见的一个模型里面的三角形模型，你看我们到现在为止出现几个模型，出现了 两个模型，这叫三角形模型。好，所以说我用这节课时候呢，就把我们的万能公式呢给大家讲一下，那么这里面属于三角形模型里面哪个模型呢？叫 a s a 模型， 因为 r 片和 r 双片呢，它的三角函数值都清楚，都等于谁？都等于角， r 的 三角函数值再加上 b d 的 长度确定的，所以说这就我们的 a s a 的 模型。 ok， 当 asa 模型清楚之后，那么以我们对三角形模型的理解，我们是可以很容易求出谁求出 ad 的 长度， 包括 ab 长度。哎，所以说你看 ab 和 ad 是 我们因为有了这个模型，它是一定能够求出来东西，所以说我们把一定能够求出来东西，其其实呢就可以把它当做一个已知条件。 那么到现在为止，我们先假定 a d 呢？是一致的，对吧？因为 a d 和 a b 相等，所以说这两个都是一致的。你可能会问，那老师究竟是等于几啊？究竟等于几不是我们现在要做的事情，我们现在要做的事情，要把整个解题的流程要梳理清楚，那么一会要算的时候，我们再去算它究竟等于几。 所以说因为三角形模型 a s c， 所以 说我们很清楚 a b 和 a d 是 可以求出来，究竟等于几？一会再求，现在不着急，现在我们要搞清楚这个题究竟要怎么去做， 对吧？好，这第一个第二呢，他又说 a、 d 和谁相等了？ a、 d 和 d 相等，对吧？那又出现什么？角和角相等，那比如说我们把这个角呢，标成一个杠，对吧？那另外一个角呢？也标成一个杠票， 对不对了？那么在前面的时候，我们已经知道 a、 d 的 长度，那么在三角形 a、 d、 e 当中又出现了三角形模型，你看这第几次出现了？这是第二次出现了，只不过这个时候三角形。谁？三角形是 a、 d、 e， 对吧？那么在三角形 a、 b、 e 当中，阿尔法和阿尔法票清楚，你说老师我不知道它的三角函数值，怎么办呢？对不对了？你把阿尔法和阿尔法和阿尔片的三角函数不清楚怎么办？这个很容易求出来的， 那非常容易求出来。当然我们说你如果要求出来，我们只需要做一条垂线就 ok， 比如说啊，过点 d， 对 吧？过点 d 做 a 的 垂线， ok， 或者你不求，或者你不用它也可以啊，因为这个地方正好是我们不用到它，所以我就不讲这个了啊。那么一旦出现， 一旦出现等腰之后，我们会想到什么了？会想到你把这个中垂线要给它列出来，或者三线合一呢？给它列出来，比如说或点 d 做 a 的 垂线，交于一个点 a 字吧。 ok， 我 们标一个垂字符号， 这个时候，好，我们现在来看，其实呢，这就是我们的一个三角形模型， ok， 三角形模型，只不过这个三角形是 a、 d、 e， 那 么这个角阿尔法，他的三角函数怎么去求呢？你可以放在 a、 b、 d 当中去求， 只不过这个题呢，他不要用到阿尔法或者三角函数值，所以说我们就不用去管他了， ok， 不 用去管他了，那么我们现在来看一下这个题呢，怎么去做？ 这个题怎么去做啊？开始解了，现在辅助线有了吧，就是给我点 d 做 a、 e 的 垂线，交一个点 h， 然后我们有两个模型，第一个是平行加平分等于等腰，第二个呢是 a、 s、 e 三角形模型。 这这完全是在我们之前讲题当中，我们整个扁平化的金字塔模型里面的，没有逃出我们的范围，无论你怎么变，我们这个模型都能够给它解出来，而且非常的快。现在我们来解下这个题应该怎么去做？ 首先我刚才说在三角形 a、 b、 d 当中，我们是可以很容易求出，可以很容易求出 a d 长和 a b 长，那么三角形模型当中我们怎么去求边长呢？我现在把这个图呢给它转过来啊，这个是 a， 这个是 b， 这个呢是 d， ok， 这个角呢叫 alpha 对 吧？这个角呢叫 alpha 片。然后呢，我们知道 b、 d 长度等于根号十三，现在呢，我要求 a、 d 长度，怎么去求呢？很简单，我们只需要做垂线就 ok 了。三角形模型呢，我讲过，你要这个垂线怎么去做呢？就做两个角之间的点就可以了。做垂线， 因为 alpha 片的三角函数可以求呢， a、 d 长呢，就等于谁？比如说这个点是个点 o 吧， a d 糖是不等于个 o d 除以谁了？ o d 除以个口舌二百票，对不对？ o d 除以口舌二百票， o d 等于谁？ o d 等于个二分之根号十三，因为呢是一个终点，是吧？所以说其实这个辅助线这样来做啊， 你看，如果你放在这个图当中，我是这么做一条辅助线，对吧？那么如果我不想做一条辅助线呢？也无所谓， ok， 也无所谓啊，因为呢，我可以把它单独的拿出来，对吧？我可以把它单独的拿出来，我就拿到这个地方去算，所以说我就省了一条辅助线，我把这条辅助线额外拿到一个局部去算它。 所以 a d 长等于谁？ a d 长呢？等于个 o d 除以一个 cosine 二片，你说老师，那也就是等于几呢？就等于个呀，这个地方不太够了啊， 这个地方不太够了，我就说下思路吧，好吧，好， o d 呢？ o d 等于个二分之根号十三，那 cosine 二片等于谁呢？ cosine 二片我们可以通过 cosine 来算，而 cosine 二等于个根号十三分之二， 所以说 o d 除以一个口算二十二片，我们是可以很容易算出 a d 的 长度，对吧？那么 a d 的 长度有了之后，相当于这 ab 长度是也有了，那也就说这个长度， 这个长度我们是可以很容易求出来。 o d 长等于几？等于个啊？等于几呢？二分之根号十三，是吧？ 除以几，除以一个口径 alpha 口径 alpha 等于一个根号十三分之二，所以说你可以算出来应该等于个四分之十三，对不对？这是 a d 的 长等于一个四分之十三， a d 的 长等于四分之三，所以说 ab 的 长呢，也等于个四分之十三。那么 ab 有 了之后，我们再看下这个图形， 你看，因为 alpha 和 alpha 不 相等的，对吧？然后呢，这里有个垂直，所以说我们可以很容易看出有一个全等的三角形，叫 d h、 b 和 d c， b 是 一个全等图形，那么 c、 d 等于三，说明这个长度也等于三， d、 h 长度也等于三， 是吧？第一次长度也等于三，那么第一次等于三之后，你包括，哎，你会发现这个长度是不是也可以求出来这个长度也这个长度等于二，那这样的话，我们用四分之十三减去二是不等于个 a h 长度， a h 有 了之后， a h 长度 和这个长度是不相等呢，对吧？和这个 h 是 不相等，因为它是一个，因为 h 是 a e 的 一个终点，明白了吗？终点那么好， 那么我们现在知道 a、 e 长度，是不就可以很容易求出谁求出 b 的 长度？现在你要让我算 d b 的 面积， d， b 的 面积就顶层高，我们只需要做一条垂线就 ok 了，做条垂线对吧？所以说他问的是我们， 他问的是我们这个三角形 d、 b 的 面积，其实是问的谁，其实问的是我们 n、 e 的 长度， 因为我们说 b、 d 这个底是清楚的，那只要你求出 n、 e 的 长度是不 ok 了？现在我们已经知道 b、 e 的 长度，那么求 n e 是 不是很求好求，我们只需要用 b e 乘以什么， b e 乘以一个 c e 二个片就可以算出 n e 的 长度，那么 n e 算出来之后，底乘高乘以二分之几，是不是很容易算成面积， 对吧？所以说这个题简单不简单，非常非常简单，我们几乎连一分钟都用不了，我们整个思路就有了， 为什么呢？首先我们说第一步，因为他跟我们二三，我们就知道了吗？这个三角形 b、 c、 d 他的所有属性，比如说他的边长根号十三，以及他每一个角的三角函数值， 这第一个我们是很容易分析出来，这第一第二呢，我们说好，因为你角和角相等，所以说出现角平分线，再加的平行线，得到我们第一个模型叫平分加平行得到等腰，这是不是我们的模型？ 好吧，你有了两条等腰了吗？那我就出现了 a、 b、 d 这个三角形，那么在 a、 b、 d 三角形当中，因为 r 和 pi， 它的三角函数值是确定的，所以说我们就得到第二个模型，三角形模型叫 asa， 当我们有这个 asa 模型之后，我们是可以很容易求出什么求出 ad 长度的，我们只需要把这个长度呢拿到局部去算，放在这个地方去算就可以了，所以说完全可以把 ad 和 ab 当做已知条件来。 第三，你又告我什么了？ a、 d 和 d、 e 相等。好，那我们是直接做什么？做三线合一，我知道点 h 呢？是什么？是这个 a、 e 的 终点，这条辅助线是不是我们很容易算出来的， 对吧？那我们当有了这个辅助线之后可以知道呢？ b、 c、 d 和 b、 d、 e 是 一个全的图形，那么全的时候也就相对的边长给他放过去，比如说三放在这个地方，二呢，放在这个地方， 这样的话，我们刚才所有思路已经这么讲过了，我们可以求出 a、 h 长度，也可以求出 h、 e 长度乘以二，就知道 a、 e 的 长度，然后我们用 ab 减去 a、 e 长度，是不是得到一个 b、 e 的 长度？ 当我们有了 b、 e 字母，你让我们求三角形 b、 d、 e 的 面积，其实就相当于求这条高 e n 的 高 e n 高是不是好求啊？因为你 b e 有 了 b e 乘以个 c r 片，是不是可以知道高，所以整个题没有任何的卡顿 迷茫？那么只要你按照这个系统去做，或者我们这个万能公式来做这种题几乎就一分钟用不了，思路全部出来，而且计算量并没有那么大。 但如果你不懂这套万能公式，我估计你这道题啊，可能会做的比较麻烦一些，所以说，大家一定要做这种题，一定要用万能公式来做，对吧？当你用万能公式时候，实物题基本上对你来讲，那就已经属于降维了，降了两个维度， 明白了吗？将来两个维度，如果你不懂万能公式，你会做很多的辅助线，而且会非常非常的绕。所以说给我们所有的同学一定要谨记，做这五题，一定要去用万能公式。 当然呢，如果你想学万能公式啊，可以在我的评论区打一个万能公式，我会呢，教你怎么去用万能公式。好了，这呢就是我们第十五题的一个讲解。 goodbye！

我们来看一下郓城市刚结束的一模考试的第十五题，那么这道题目呢，它是和折叠结合起来了，稍微有一些变化， 那我们也来练练手，看看这个新题还是老规矩，我们去翻译已知条件，根据已知条件的提示去寻找答案。好似图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c、 b 等于九十度 直角三角形 a、 c 等于 bc 等于六，说明是等腰直角三角形点 d 是 ab 上一点，且 a、 d 等于二倍的 b、 d、 a、 d 等于二倍的 b、 d。 那 因为是等腰直角三角形，所以 a、 b 是 等于六倍根号二的，那 a、 d 比 b、 d 是 二比一，那说明 a、 d 是 四倍根号二， b、 d 是 二倍根号二， 连接 c、 d， 将 a、 c、 d 沿 c、 d 折叠，点 a 落到 a 撇处，那折叠大家要注意啊，折叠前后的图形是全等的，对应边相等，对应角相等，那也就是 c、 a 撇也是六， a 撇 d 呢也是四倍根号二。好，我们接着看。 d、 a 撇交 bc 于点 e， 求 b、 e 的 长度 b、 e 在 这里，那么我们想要求线段的长度，要不放在直角三角形当中，要不放在相似三角形当中。那么不知道大家有没有注意到，它有个隐藏的条件， 就是这个角是四十五度，所以折过来它也是四十五度，这还有一组对顶角， 所以三角形 d、 b、 e 和三角形 a 撇 e、 c 是 相似三角形， 所以我们可以利用这个相似三角形去进行求解。那并且呢，它的相似比 b、 d 比上 a 撇 c 是 等于二倍根号二，比上六的，也就是根号二比三。 所以这个时候我们可以设 b、 e 为根号二 x， 那 b、 e 为根号二 x， 则 a 撇 e 就是 三 x， 那 么我们知道 bc 是 等于六的，所以 c e 也就等于六减根号二 x。 而 a 撇 d 呢，是等于 ad 的，是四倍根号二。所以 d e 呢，就是四倍根号二减三 x， 而 d e 和 c e 也是相似三角形的对应边，所以存在 d e 比上 c e 是 等于根号二比三的，所以 d e 是 四倍根号二减三 x 比上 c 是 六减根号二 x 是 等于根号二比三的。那结下会得到十二倍的根号二减九 x 是 等于六倍，根号二减二 x， 那这样的话会得到七 x 等于六倍根号二 x 是 等于七分之六倍根号二。那么 b e 是 根号二 x， 所以 是 七分之十二。怎么样，同学们，你还有更好的方法吗？在评论区里展示一下吧。

同学们好，我是江涛，我们对二零二六山西中考运城市一模几何压轴进行视频分享，考点涉及到利用全等构造以及特殊角来确定线段长，那么一起看一下本份试卷几何证明。二十三题 问题十三分综合于探讨问题情境。在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探索活动，如图一，三角形 a、 b、 c 是 边长为四的等边三角形，点 d 是 三角形 a、 b、 c 内部一点且满足角 a、 b、 b 等于九十度。 将三角形 a、 b、 d 绕点 a 逆时针旋转六十度，得到三角形 a、 c、 d 撇连接 d、 d 撇并延长交 b、 c 于点 e， 交 a、 c 于点 f。 那 么对于这道题，属于旋转全等变换，旋转当中最需要我们关注的就是旋转角， 那么说当然对应边对应角都是相等的，我们看猜想证明第一问，猜想角 b、 a、 d 和角 d 撇、 e、 c 的 数量关系，并证明你的猜想。先回答问题相等，我们来开始证明。 那么由于旋转，我们说这个题目当中 b、 a、 d 这个锐角，它对应的就是谁呢？就是我们的角 c、 a、 d 撇，也就是说现在咱们只需要证明 c、 a、 d 撇这个角一和角 c、 e、 d 撇这个角二相等就好了。 那么由于题上说 a、 b、 d 绕着点 a 逆时针旋转六十度，那么哪个角是旋转角呢？ b、 a、 c 同样也是 d、 a、 d 撇，那么由于 b、 a、 c 是 六十度，所以 d、 a、 d 撇和它相等也是六十度。 那又因为 a、 d 等于 a、 d 撇，所以三角形 a、 d、 d 撇是等边三角形。那么同学们这个时候我们会发现这个图形当中出现了一个八字形的相似，那我就可以把角一和角二的数量关系证明出来。我们观察， 由于证出来 a、 d、 d 撇是等边三角形，所以在内角 a、 d 撇 d 是 六十度大 等边三角形 a、 b、 c， 它的内角也是六十度，还有对零角相等，所以得知八字相似，所以重名 角二等于角一，从而等于角 b、 a、 e。 这是我们的第一问啊，我们也要注意，这是这个题整个的逻辑，可能在后面的问题当中，要用这个结论。好，我们来看第二问。 善思学习小组经深入研究，发现点 d 为平面内任意一点，只要满足角 a、 d、 b 等于九十度，点 e 始终是线段 b、 c 的 中点，请你借助备用图进行证明。 那么来发现这个图形当中，我们说无论怎么正， b、 e 和 c、 e 都是相等的，这已经是事实了，那我们就发现它俩是共线的状态，所以没办法正等腰，那只能正全等。 我们会发现 b、 e 是 在三角形 b、 d、 e 当中，我们说 c、 e 如果能够放到跟它形状相同的图形当中，那就构造辅助线成功了。那如何构造呢？ 我们说全等构造可以通过旋转，可以构造截长补短，也可以做平行线。我们选择过点 c 做 b、 d 的 平行线，交谁呢？交 d 撇， e 的 延长线与点 k 啊。如果大家熟悉这个做法的话，其实跟二五年的省事硬的几何证明题是非常相似的。好， 我们说做完这个辅助线，我们来观察一下这两个三角形，如何就能全等呢？好，既然做的是平行线，所以产生角等，角一等于角二， 然后还有对顶角，那么现在唯独缺的就是正这两个三角形没有边等。那么同学们到底是证明 e、 d 等于 e、 k 呢？还是 b、 d 等于 c、 k 呢？ 如果同学们是通过截长补短或者说是倍长的 e、 d， 你 会发现你根本就凑不齐全等的条件，所以这个时候怎么办呢？我们应该正的是 b、 d 和 c、 k 相等， 可是通过旋转，我们知道 a、 b、 d 和 a、 d 撇 c 是 全等的，这个 b、 d 等于的是 c、 d 撇。 所以如果大家想证 k、 c 等于 b、 d， 那 就不得不先证明 k、 c 等于 c、 d 撇，那也就是得证明这个角二等于角三 啊。我们捋一下思路哈，现在我们要证的是角二等于角三，可是现在通过平行线构造，我们知道的是角一等于角二呀，角二等于角一呀！那么同学们，也就是说，现在我们已经知道了角一和角三相等， 如何证明一三相等呢？我们会发现，哎，角一和角四是互余的，平角减去中间的直角，角三和角五是互余的，因为角 a、 d 撇 c 对 应角 a、 d、 b， 也就是四五相等呢。同学们，因为旋转 a、 d 等于 a、 d 撇等边对等，角四五相等，所以等角的余角。角一等于角三， 又因为角一等于角二，所以角二等于角三，所以 c、 k 等于 c、 d 撇，从而等于 b、 d， 那 也就是现在全等的理由就凑齐了。哎，对顶角对应相等，角一对角二，还有 b、 d 对 c、 k 啊！同学们，通过辅助线构造，我可以挣出来 b、 e 和 c、 e 所在的三角形全的。当然同学们也可以这样构造。怎么办呢？我们说我们一开始把 c、 e 放在哪个三角形当中呢？我能不能把 c、 e 放到 c、 d 撇 e 当中呢？ 那我就应该辅助线构造，将 b、 e 也应该放到这样的三角形当中。怎么办呢？我们同学们选择过点 b， 做谁呢？做 c 撇 d 的 延长线与点 k。 那么同学们来看一下，是否能够证出来这两个三角形是全等的呢？其实理由是一模一样的。好， 我们假设这个点是 k， 我 们来开始证明，首先因为我们做的是平行线，所以这个角一等于这个角二， 然后还有对顶角相等，所以现在还是跟上的方法一样，缺的是边。那么到底是证明 b、 d， 到底是证明这个 b、 k 等于 c、 d 撇呢？还是 e、 k 等于 e、 d 撇呢？老师刚刚说过了， 截长补短，你是被长的中线，你发现正不出来的，所以我们选择要证明的是 b、 k 等于 c、 d， 那 我们就不得不先证明 b、 k 等于 c、 d， 那 就得证明角一等于角三。 可是现在角一等于角二呀，那就得先证明角二等于角三。好，我们来看，跟刚刚一模一样，角三和角四是互余的，角二和角五是互余的。 四五等边对等角，两个底角相等，所以同等角的余角二三相等啊，二三证了相等啊，二又等于一， 所以一三相等，从而得出 b、 k 等于 b、 d， 从而等于 c、 d 撇全等。理由，对零角角一对角二 k， b 对 c、 d 撇全等。这是我们的第二问。 第三问说拓展延伸，在点 d 为平面内任意一点的条件下，直接写出 c、 d 垂直于 a、 b 时线段 d 的 长。那么好多同学在这一问当中呢，是用了十五度的三边关系，让计算量变得非常大，是因为没有结合上这个题本身提供的逻辑关系 好，那么我说这是旋转的专题，它一直就是我们中考的高频考点，那老师提醒大家，我们二零二六年山西中考五一假期专项学习，我们进行五月一号，五月二号现场直播，十点到十二点进行旋转折叠专题的学习， 分别是初等幺以及旋转折叠三、四、五型三角形，全部都是二零二六年全新的压轴题，多方向新维度进行专题分析讲解。 同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号、抖音或小红书、江涛数学，或者通过主页添加江涛微信，或者也可以添加江涛个人微信、江涛幺三九零三四加入到我们五一假期专题学习当中来。那么回到这个题目当中，我们来看一下第三问题 上本身说点地为平面内任意一点，但是我们要保证整个题上的题干说角 a、 d、 b 这个锐角始终是九十度， 那么还有附加的条件是 c、 d 要垂直于 ab， 那 么大家想一想， c、 d 垂直 ab， 那 意味着 c、 d 两点确定的直线和 ab 是 垂直的， 而 a、 b、 c 是 一个等边三角形，那么同学们等边三角形要过点 c、 c、 d 所在直线要垂直于 ab， 那 不就是等边的三线合一吗？我们把这条辅助线给它画出来， c、 d 垂直于 ab， 好哎，我们说就是这个样子，并且要求呢，哎，同学们啊，点点 d 呢？是这得在这条三线合一上才能保证 c、 d 垂直于 ab 呀， 那么本身还要保证角 abd 是 九十度呀，那么大家会发现，这个时候的 abd， 它将会变成一个什么三角形呢？等腰直角。同学们，这是为什么呢？因为我们来分析啊，特别简单， 好，大致就是这个样子。然后呢，我们说，既然 c、 d 是 a、 b 的 垂直平分线，等边的三线合一， 所以垂直平分线它的点到线段两端点的距离 d、 a 等于 d、 b， 且 a、 d、 b 是 直角，所以 a、 d、 b 是 等腰直角。我们把条件标上 等边的边长，一开始以为是四，一半是二二，哎，我们会发现，然后呢，大家也不要忘了这个锐角，哎，等边三线和一角平分线，它就是三十度， 三十度，三边关系一比根号三比二，所以 c、 o 是 二倍，根号三。也别忘了，等腰直角的底角是四十五度，所以 b、 o、 d 也是等腰直角，所以腰长 o、 d 也等于二。好，这个时候我们来看， 他要求 d、 e 啊，那 e 是 怎么出现的呢？他说将三角形 a、 b、 b 绕着点 a 逆时针旋转六十度，也就相当于旋转三角形 a、 b、 d 让 a、 b 和 a、 c 重合。 我们还记得吗？我们在第一问的时候，出现了一个 a、 b、 d 撇是个等边三角形，把它画出来哎，因为旋转角对应相等， d 撇 a、 d 和角 b、 a、 c 相等，那这个时候呢？ d、 d 撇跟我们的 bc 交于点 e， 哎，大家还记得吗？我们在第二问当中，我们说人家题上也说了，无论怎么转点 e 都是 b、 c 的 终点，所以这个终点的方式跟第二问一样，我们不再重复讲解。好，既然是终点，那我们标上 b、 e 和 c、 e 长度为二，这个时候让求第一。大家来看，这就是这个题最神奇的地方了。大家会发现，哎，这个长度是二，这有个三十度，要求第一。如果我们知道这个锐角是个特殊角，那我就求出来了，那这个锐角是多少度呢？ 大家会发现，还记得第一问用了一个八字形的相似吗？在这一问当中依然成立。我们说，因为旋转六十度， d， a 等于 d， a， d 撇 a， 并且六十度的等腰，所以变成等边，所以角 d 撇是六十度，对应角 a、 c、 b， 并且有对顶角相等。看清楚，对顶角相等，所以八字相似了。我们来把这个八字相似给大家框一下啊，哎，这个八字形的相似出现了 c、 e、 d 撇 a， 那 么意味着这个 e 这个地方的这个锐角和我们的角 d 撇 a、 c 是 相等的。 而大家不要忘了，这个 d 撇 a、 c 其实就是 b、 a、 d 转过去的啊。你也可以这样理解，这是六十度，这是六十度，减去中间公共的这个角等于这个角啊，你看图一就好了啊，这个角一始终和它是相等，因为这两个三角形全等， 而这个角此时是多少度呢？同学们，等腰直角的底角，这个锐角是四十五哎，所以它也是四十五，所以下面也是四十五。你看，这提出的真的太棒了，双层比例关系，直接过 d 做垂线。好，同学们，我们即将求出 d 那 d 的 长度，我们假设垂度是 k 的 话，它就是 d， k 的 根号二倍，那 d k 又如何算呢？它是三十度，所对直角边是 c、 d 斜边的一半，那 c、 d 是 多少呢？ 大家观察在 c、 o、 b 当中，因为含有三十度，六十度，一比根号三比二，它是二，整个是二倍根号三，所以剩下的 c、 d 这一节是二倍，根号三减二，它所谓的直角边 d、 k 是 它的一半，根号三减一， 所以 d、 e 长度是它的根号二倍，那就是根号六减根号二。但是切记啊，题上说这是点 d 是 平面内任意一点， 那你要保证它在 ab 的 垂直平分线上，可以在三角形 abc 的 内部，也可以在三角形 abc 的 外部，所以我们来画另一种情况， 怎么办呢？我们来画哎，要求这个 c、 d 要垂直平分 ab， 并且要保证 ab 是 个直角， ab 是 个直角， 我们先把它画完，我们来调整啊，其实挺像的啊，我们把这个点设为点 d， 我 们依然能把该求的长度求出来啊。 这个既然是提上，我们再分析一遍啊。提上要求 a、 d、 b 是 直角，并且 c、 d 要垂直于 ab， 我 们设一个点是 o 的 话，既然垂直平分，所以 d， a 等于 d， b 得等腰，等腰直角，所以底角是四十五度， 而且我们也知道是什么呢？ a、 b 长度边长为四，一半是二二，哎， d、 o、 b 也是个等腰直角，所以这也是二。 左边呢，这个直角三角形呢？哎，它是一个含有三十六十度的直角三角板，哎，这个锐角是三十度，所以呢， c、 o 是 二倍，根号三。好，我们求出来了， 这个时候呢，要确定 d、 e 它是怎么办呢？是将三角形 a、 d、 b 绕着点 a 逆时针旋转六十度，我们来开始转让 d， a 逆时针转六十度， 我们来调整。哎，说 d、 d 撇呢？跟 bc 交于点 e， 我 们在第二问当中证明过，这个点 e 始终是 bc 的 中点，这个地方我们不再重复赘述。好，这是 d， d 撇，这是 e， 这个时候让求的是 d， e 的 长，那么同学们要注意观察了啊，这个时候如何去求呢？不要忘了， e 是 b， c 的 中点， b， e 长度为二。哎，我们会发现，哎，怎么样就能求出 d、 e 的 长呢？会不会跟上一问，哎， e 依然出现八字形的相似呢？是的，没错，在哪里？ 大家看 a， d 转到 a， d 撇转了六十度等边三角形，所以这个锐角的作为等边的内角六十度大，等边 a， b、 c 内角六十度依然出现，还有对顶角， 所以八字形的相似，我们依然给大家描一下，是三角是 d， a 啊， b， e， 所以同学们，大家会发现，角 e 这个地方所在的 d、 e、 b 这个锐角和哪个角相等呢？看，对顶角六十度，对六十度，所以这个锐角等于我们的 d， a、 b 等腰直角的底角四十五度。 哇，太棒了啊，这个是四十五度，那么同学们大家不要忘了，还有什么条件能够把 d、 e 求出来呢？啊，这个时候怎么办呢？如何求 d、 e 的 长度呢？既然这个锐角是六十度， b， d， a 是 九十做叉，我们会发现，哎，这九十减六是三十，又出现了双层比例关系，所以我们选择过点 b 向 d， e 做垂线，我们把这个图稍微清理一下哈，因为描这个八字，它就会比较晕了哈。 回到这个图，哎，做垂线，因为出现了双层比例关系。好，我们假设垂足为 k 的 话， 因为下面这个底角是四十五度，所以 b、 k、 e 是 等腰直角，所以拿二除根号二，所以 b k 是 根号二，这是根号二， 而这有个三十度，同学们三十度的长直角边是短直角边的根号三倍，这是三十度的反正弦，所以 d k 是 根号二的根号三倍，那它就是根号六。所以这个题的答案 d e 等于 d k 加 e， k 等于根号六，加根号二，所以这一问来说，它其实综合程度还是比较高的哈。然后如果利用上十五度的话，计算量会将大大增加，而且还有可能出现根号套根号的情况， 所以这才是这个题出题人希望大家发现的逻辑关系。我们这道题分析到这里。

二零二六运城市一摸的二十三题啊，这道题又是一道老题新出啊，但是他这个第三问出的挺有意思，那么他的第二问呢？跟我们二五年建文园版本那个省市硬性考试的压轴题， 以及二五年效益一模的那压轴题那是一模一样啊！这类问题已经有了一个固定的套路了啊，我们在寒假的时候原本本本的讲过这类题型。好，我们来看一下啊！问题请听。在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转活动，如图一， 三角形 a、 b、 c 是 边长为四的等边 c， 角形点 d 是 三角形 a、 b、 c 内部的一个点，且满足角 a、 d、 b 等于一个九十度，将三角形 a、 b、 d 以绕点 a 逆时针旋转六十度，得到了 a、 c、 d 片连接 d、 d 片并延长交 b、 c 于点 e、 角 a、 c 与点 f 啊。猜想角 b、 a、 d 和角 d 撇 e、 c 的 数量关系，并证明你的猜想来猜想角 b、 a、 d 角一加角二六十，旋转过去，角二加角三六十一、三相等，我们会发现 这个角四和这个角五，他俩是不是都是等边三角形的六十度角，对吧？因为这里的旋转加六十度啊，等腰加六十度出 a、 d、 d 片是等边，所以四和五都是六十度角， 再加上这里一对对顶角相等，所以角三和角六相等，所以角一和角六相等 啊，老套路了，来，我们看第二题。善思小组经过研究发现，点地为平面内的任意点，只要满足 a、 d、 b 等于九十度来，同学们有一个点永远满足 a、 d、 b 等于九十度，说明这个点在哪里？ 那不就是在以 ab 为直径的圆上吗？对吧？什么时候能够保证永远九十度直径所对 b 直角呢？ 啊？那就是 ab 永远是直径，那他就永远九十度点一始终是线段 bc 的 中点，请借助图二进行证明。来两种方法啊。我们先来看方法一， 方法一就是我要证明他俩相等，这不中点吗？我们中点的三件事，中位线、斜边中线，八字全等，但在这显然不是中位线 啊，也显然不是斜边中线，所以八字全等。好，那么怎么构造八字全等？平行线间夹中点 b 出八字全等来做 d 撇 c 的 平行线交 d 撇 e 的 延长线于一个点啊，咱们给他一个点 p。 好， 那这个时候我们看，做完了这个点 p 之后，我只需要证明这俩三角形全等，那么点 e 就是 中点了 啊。那要证明这两三角形全等，大家可以看到我做的平行线显然有角屁和角一他俩内错角相等，以及角二和角三他俩对邻角相等，我只需要一条边相等就可以了。而角一是多少度角？角一，因为我们看到上面这有六十度角 啊。来，我们给他标一个角四，角四是天然六十度角，所以角一肯定是三十度角，那么角屁这肯定也是三十度角。好，再加上角五是六十度角，那么角六又是一个 三十度角，所以俩三十度角满足了等角对等腰，所以 b、 p 等于 b、 d， 那 么又由于叉加圈等于六十度圈，加叉等于六十度。 a、 b 和 a、 c 等， a、 d 和 a、 d 撇等。三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 撇。这俩三角形是一对手拉手的全等，所以 b、 d 等于 c、 d 撇， 所以 b、 p 等于 d 撇 c 啊，那么有二三等，有一 p 等，所以俩三角形全等。 好，从而证明点一为中点啊。这是第一个方法。好，我们来看第二个方法，就是我们要正这个中点，是不是其实就是要正等腰三角形三线合一，我只要正这里是个垂直就行，那我要正这里垂直的话，来，同学们，我已经知道 角一和角二这俩角都是六十度角，又知道角三和角四是对顶角，所以我们知道角五和角六相等 好，此时我们能证明三角形 a、 d 撇 f 相似于三角形 e、 c、 f， 那 这俩三角形相似，满足对应线段成比例。 a、 f 比上 ef 等于 d， 撇 f 比上 c、 f 好。接下来我们把竖直笔改横直笔，也就是能够导出来 a、 f 比 d 撇 f 等于 e、 f 比上 c、 f， 再加上这边一对啊，角七和角八的对顶角相等，则左右俩三角形又相似。 左右俩三角形 a、 e、 f 和三角形 d 撇 c、 f， 他 俩三角形相似，他俩一相似，角九和角十就相等。我们知道五和六相等，那现在九和十又相等，再加上这里的九十度 啊，我们可以得到五加九等于九十度，所以十加六也是九十度，所以等边三角形垂直三线合一出终点。看，这两种方法都可以啊，老套路。 好，来，咱们看最后一问，说在点 d 为平面上任意一点的条件下，请直接写出当 cd 垂直于 ab 时，线段 d 的 长来。我们刚才就说了点 d 是 平面上的任意一点，那么点 d 的 轨迹 就是以 ab 为直径的圆。好，那么现在我们画出来了以 ab 为直径的圆，现在要求什么呢？当 cd 垂直 ab， 那就是哪条线是 c d 垂直 ab， 那 无非是过点 c 做 ab 的 垂线，这不就是两个点 d 就 出来了吗？这是第一，这是第二， 对吧？当 c、 d 垂直 ab 的 时候啊，这边有垂直，显然三线合一，这个点是一个中点，咱们标个点 o 正好是这个圆的圆心 啊。那么边长为四的等边三角形，这是二，这是二。好求 d e 的 长来， e 在 哪里？ e 是 b c 的 中点，那么一定满足 a e b 是 个直角，所以这个点 e 也在这个圆上啊。所以我们这个时候你要求的是谁？你要求的就是这两条线段长， 一条线段长叫第一 e， 一 条线段叫做第二 e， 你 已经看到了这个第一第二就是这个圆的直径，对吧？那我要想办法求第一和第二 e， 他 就已经在一个直径所对圆周角等于九十度，已经在一个直角三角形里了， 我要求的是这个直角三角形的两条直角边长，他的斜边长，也就是他这个直径长度。这边二，这边二，显然是个四啊。那这个时候怎么办？来，同学们，一个辅助线搞定。哪个辅助线呢？过点意向 它这儿做个垂直，你一做垂直，马上就能看到。由于点 e 是 中点，对吧？那么 o b 的 长度如果是二的话啊，根据 e h 也垂直于 o c， 显然 e h 是 一条中位线， 所以 e h 长度一定是个一。设 h 第二为 x， o h 的 长度一定是个根号三，所以你就应该能够得到 x 比一等于一，比二加根号三。摄影定律 ok， 解之可得。 x 等于二，减根号三，有了 x 等于二减根号三，所以马上能够得到啊，第一个长度叫做第一 e 啊。第一的长度等于啥？等于根号下来一的平方加上二加根号三的平方。第二，一，第二等于啥？等于根号下一的平方加上二减根号三，整体的平方。 好，你往开算就可以了啊，当然，这个算的过程中呢，需要你再去配错完全平方才能开一个双根号啊。那这个题一定要这么做吗？有没有更简单的方法呢？有，同学们，他让我们 直接写出第一场，对吧？这是一个典型的十五度角的直角三角形啊，为啥他一定是十五度角？来连接一下 b、 d、 e。 同学们， o 是 什么点？ o 是 ab 的 中点呀。所以你要知道这个三角形 o、 b、 e 这个三角形，这不就是个等边三角形吗？对不对？这是等边三角形的话，这就意味着 b、 o、 e 一定多少度啊？六十度，这是个圆心角，圆心角是六十度，说明圆周角多少度啊？圆周角一定是三十度而不用说啊，这个等腰直角三角形 b、 d、 e、 o， 对 吧？三角形 b、 d、 o 是 个等腰直角三角形，那么这个 b、 d、 e、 o 这个角是四十五度角减三十度角，这里一定是十五度角，所以你就知道了，三角形 d、 e、 h、 e， 这不就是一个十五度的直角三角形吗？ 再根据一比二加根号三，这不也是典型的十五度的三分比的关系吗？所以你都不用算来一比二加根号三，比上根号二加根号六十五度的三分比，这不就直接出来了 啊。那这个一的二怎么算呀？还是十五度的三边比吗？对吧？那这个时候的一占的是二加根号三份除以二加根号三，再乘以根号二加根号六， 二加根号二加根号六，分子分母同时乘以一个二减根号三来二减根号二加根号六，划到最减，发现根号六减根号二， 搞定，对吧？上一个是根号六加根号二，这个是根号六减根号二，完了，两个答案啊。那么上面的这个 d e 二怎么算啊？我们简单的去给大家展示一下。一，一加上这边的四减去四倍根号三再加三，最后结果是根号，下一个八减四倍根号三 啊，我们要给他在这凑一个完全平方出来啊。怎么凑呢？凑一个六减四倍根号三再加二，等于根号六的平方减去二乘根号六，再乘根号二，再加根号二的平方再开放， 对吧？显然这是一个根号六减根号二，整体的平方在开放，等于根号六减根号二的绝对值等于根号六减根号二，搞定。

哈喽，大家好，我是韩老师，我们运城初三一模已经结束，很多家长只看分数，根本不知道孩子的漏洞在哪里。 最后冲刺阶段的话，我们是乱复习，时间不会分配才是我们中考的一个最大的隐患。一模的话就是一个最大的预警，哪科薄弱，哪些题型容易丢分，全都暴露的明明白白， 盲目刷题只会白费功夫，精准的规划时间，针对性的去补短板才会快速提分。想要一对一专属的学习规划，还有我们全套的中考复习资料的家长们，评论区扣一我立马拉您进群。