2026大连二模数学23题做法

很多家长会很慌，最后一问，数字就是没算出来，我还敢不敢报八中？敢不敢报育苗？敢不敢报二十四啊？今天呢，最后再带着大家来看一下有关于大连市中考二模的第二十三题。今年的这道二十三题是很多同学的一个几乎 必丢分项了，如果你在一模当中，或者说在平常的考试当中，基本上做不到一百二，那么这道题呢，至少要丢五分了啊，也就是你的分数可能会只不在幺幺五左右。为什么呢？因为这一个卷，我们说他的计算量。 我跟网上有些老师的评价不一样，很多老师说，哎呀，这个二模很简单，但你们我希望这些老师也好，比如说评论人也好，或者某些家长也好，您不要盲目的读信网上的 一些评价跟评论，您把自己设身处地带入到考场上，你看这些老师如果给他扔到考场上，在他的规定时间内，比如说这道题，我们做到这基本上能留出来四十分钟，三十分钟啊，有的学生好一点能留出来四十分钟，稍微差一点留出来三十分钟。那你看看你在三十分钟内能不能完成这么大计算量的一个博杂的计算题，你会不会出现你对这道题的重复检查的情况？ 为什么会这么说呢？因为这道题从第一问开始，我们就涉及到连立一个二元一次方程组，连立一个二元一次方程组，两边应减求得 b 点坐 标和 m 值，到字为止都没有什么问题。而二问的圈一，也就是说这个整个抛物线的表达式解析式中，很多同学就出现问题了啊，解的小 a 一， 我记着应该等负的九分之五，小 b 应该等于六分之十七，拿到这个数字的时候，大多数同学是难以置信的， 甚至很多同学在算这个题的时候，一遍一遍的检查，为什么？因为如果你这个简易式算错，那二问给出来这么复杂一个事，你是不根本就没法计算呢？ 至于这道题第二问的圈二，我们涉及到一个标标准准的水平底铅垂高的表达式简易式，我们在硬算这个水平底铅垂高的时候，有多少同学是把咱们复杂的表达式给重开了，出现了三次笑， 这一定要记住，三四项的因式分解，你可以想，两边三四项约不掉，那我能得到这个答案吗？得不到的对不对啊？那既然你成开了，那你两边三四项约不掉，你必须使用因式分解。而三四项的因式分解在辽宁省大连市或者说整个辽宁省范围内，是不作为考官考点出现的。所以这道题一定不要成开，要保留整体法进行因式分解。 而你们的音质文检能否做好，这就是这道题的第二步难点了啊。有的同学表达式写出来了，但是整个音质文检的东西我不会做，流程做的不好。来第三问，首先来注意一点啊，在整个辽宁省的考题当中，如果你们告诉我说老师，这个第三个我觉得我还不熟练，我给大家推荐两个心得，第一个是二零二六年初啊，一月 中山期末，跟这个题如出一辙，那中山区的期末是哪出现的呢？从哪借鉴的呢？二零二五年吉林省 省中考一定要找吉林省的省中考不是长春市的那套卷，是吉林省的省卷啊。那如果你要告诉我说，老师，我要找这种题啊，从左到右， y x 增大而减小，减小而增大，那去找什么？找这两套卷，我希望大家能够适应的找到这两套适配的习题 去练一练，毕竟中考出现过，大年是期末考试也出现过，那怎么办呢？那这种题我们没有办法做别的。记住，咱们沿着两个思路走，一个叫卡林界， 你不用管中间动态的变化，你就给我卡住碰到端点的临界值就好了。如果你对这道题考虑思路不是很清晰，那直接给我卡临界值。第二个，你卡完临界值看什么啊？看图像的中间，确定某一点，中间的看变化。如果你告诉我说老朱经历，我看看变化怎么样呢？中 中间取一个特殊点位置在两个临界值之间，所有的特殊点位置变化趋势应该是一模一样。到时候别忘了带一句话啊，在这两个点之间， y x 增大而减小也就可以了。 所以这道题我们说，如果说你掌握住了这两个点，那在平行四边形内， y x 增大而减小的这种范围，大家正常情况下应该是不会有太大的问题的， 大家可以自主画一画图试一试。我这两个主意就是卡住临界值，看看图形的变化。如果顺利的话，大家可以把这两个题 自己认真的做一下，找到题目来源，清晰题目位置，完善其题。那么整个这道题在二模当中算难吗？很多家长会很慌，那老师，我们家孩子说了， 最后一问数字就是没算出来啊，第二问的圈二就是没想出来，那我们还敢不敢报八中？敢不敢报育苗？敢不敢报二十四啊？我们认为正规中考中出现这种这么大计算量的，而且解析式我们又说比较复杂的题是比较少见的，但的确这种题 将会成为未来考试的一个重点，甚至有的老师说，那几何新定义会不会成为重点啊？大家可以打听打听啊，有的学校已经下达任务了，每个老师可能出一到两个几何新定义，关注中考最新的考向，我如果收到消息，会随时跟大家分享。那么这道题我们认为，如果各位在十一分 左右啊，你说第二第三个我知道了，但因为时间不够了啊，没算出来，那在十一分左右，我认为大家呢，报个预名八中啊，正常是不耽误的啊。至于如果想报二十四，那当然是应满进满了，尽量全满的结构啊。那么谢谢各位，希望我的分享对大家未来的报考或者说对题目的理解有效，谢谢各位！

嗯，大家好，我是沈阳教数学的大鹏，我们今天，嗯，大连二模。嗯，刚考完啊，我们分析一下它的二十二题跟二十三题， 二十二题主要是子母相似，摄影定律和或者是用核磁共振都可以求。嗯，它这道题的话主要的特点是什么呢？就是一个几何新定义。 那么你第一步就是先导角这个圈，圈圈和 r 发都是相等的，你都能导出来才行。那么第一种情况，如果说 e 在 上方的时候，那么这个时候这是怎么求呢？其实你发现没，这个角也四十五加 r 发，所以 h j 等于 h c， 这是一，这是三，那这边是根号十， 由于它是字母相的，它方等于它等它相似比是一比三，对吧？那这个是一比八，所以这整个 h c 是 八分之九倍的 h e c， 那么就是第一个的结果啊，所以第一个答案等于八分之九倍，刚好十。那么第二种情况的话，和是一百八十度，他这几个是一个 e， 那 么当你这个就是 e 点在这个位置时，也就如这个图所示。 嗯，第一种方法就是阿尔法贝特心加是四十五度弹进的，阿尔法一比三，弹进维特一比二，那么可以导到到，哎，二十分之九倍刚好十 也可以，拿谁呢？拿 a j 的 长度减去 a h， 因为 a e c 和 h 是 一个适应定律，字母相似对吧？或者说叫双垂对称都可以，你根据一和三那求高 a h 特别好，求一乘三除根号十，对吧？拿 a j 的 长度减 a h 就 完事啊，因为刚才这个 a j 也特别好求。 嗯，他这个题的话，我觉得不能考，因为他有个什么缺点呢？现在中考二十二四年，二五年的题，他都是图形给你画好了，然后让你自己去倒角解三角形，再用相似，对吧？他自己让你自己独立画图。老沈阳的题型啊，这个题反正整体还行，不是那么难啊。 所以这个题考了这几个知识点啊，这个方法挺多的啊。最后一道题出的特别好，这个是动平行加单调， 呃，第一个他计算就是往里带，第二个的话也是，就是六零和那个二分九，二分九带进去就能求出来了啊。这个的话我最开始还走半步了啊。其实你就直接拿那个 pe 乘上，呃，二分九减 m 再除二，再拿那个 pf 乘上那个六减零再除二。其实一下这个求出等于三了啊。 呃，因为我第一次没有经验嘛，就是有点那个走半步，但是这个后来我就反过来，横线中横线嘛，最后等于三哦。呃，最后一个问的话就是一个轨迹的一个动平行的一个， 呃，单调问题也叫，那么这个题的话特别好，首先的话我先过 b 做一条线，跟那个 b c 平行，因为你这个 b o q n 它这平行四边形，我从 c 杠往前走一点点，你看到没，它在内部的曲线啊。抛物线是单腰递减复合体，直到主要得为止， 那么你就拿直线跟抛线连立，求得点坐标，横坐标十分之三十三。那同样到从 h 往这边走时，你看这个时候绿色的时候和这个 b o 是 平行四边形，内部没有单向递减，但是绿色再往右走一丢，对 o 是 不就可以有单向递减了？ 所以这个时候应该是这个点是二点五啊，把这条线截出求出来，跟抛线连立，求出一点坐标，最后求出这个范围。这个我上周讲的题比他难啊，这个是挺好的一道题。

大家好，我是家园老师，今天分享二零二六大连中考二模的二十三题， 我们来看。第一问，求点 b 的 坐标，点 b 是 抛物线与 y 轴的交点，那么令 x 等于零， y 就 等于三，于是点 b 的 坐标就是零。三 好，为了求 m 的 值，要看点 c 的 横纵坐标都是 m， 它在抛物线上，那必须要往抛物线里代入，那就可以得到的是 a， m 的 平方加上 b， m 加三等于 m， 这是一个关于 m 的 等式， 题目中还给了一个关于 m 的 等式，把它俩进行啊合并处理， a m 方加上，把这个括号去掉，也就是 b， m 再加 m， 再减六，就等于零。我们对比一下 啊，等式的右边是零，我们可以把上面这个等式进行移向变形，把 m 从等号的右边移到等号的左边，那么也就是减 m 等于零，这样非常明显，这两个方程可以减法， 可以减法就可以消掉 a m 的 平方，还有 b， m， 我 们用下边减上边，也就是二， m 减九等于零，那么二 m 就 等于九，于是 m 就 等于二分之九，我们求出了 m 等于二分之九， 那么于是点 c 的 坐标呢，就是二分之九，二分之九，然后呢，第二本增加的点 a 的 坐标呢，是六斗零，它们俩都在抛物线上，于是带入抛物线就能得到方程组， 也就是二分之九，等于的是四分之八十一， a 加上二分之九， b， 然后再加三，另一个呢，就是零等于三十六， a 加上六， b 再加三，那么消元 啊，就可以求出 a 和 b， 在 这里直接公布一下结果， a 是 负的九分之五， b 呢是六分之十七， 这样的话，解去式就可以解决了，是 y 等于负的九分之五， x 的 平方加上六分之十七， x 再加三。继续来看圈二，点 a 的 坐标是六度零。 第一问，我们求出的点 b 的 坐标呢？是零度三，以及点 c 的 坐标是二分之九，二分之九。 然后动点皮是在抛物线上，它的横坐标大于零，小于二，大致就在啊 b 的 右上方这个位置。那么接下来是过点 b 做 x 轴的垂线，我们垂下来垂在 x 轴上，交 o c 呢，于点 e 交直线 a b 于点 f。 好， 继续求的是三角形 p c， e， 我 们把这样式 p c， e 给画出来。 三角形 p c， e 啊，于三角形 p a、 b， 我 们把 p a、 b 给画出来 p a、 b， 它们俩的面积比。面积比是一个式子，四分之九减去二分之一一，求的是 p e， p f 的 比。那么这道题用的是整体思想，我们把这俩面积列出来。 三角形 p c， e 的 底啊，是 p e 好， 它的高呢，就是点 c 到 p e 的 距离，也就是二分之九，减去点 p 的 横坐标 e， 那 么也就是高是二分之九，减去 e， 然后底乘高，再乘以二分之一。 好，那么继续比上三角形 p a、 b 的 面积。三角形 p a， b 的 面积。我们要这样来看，用 p f 将三角形 p a、 b 分 成两部分，右侧的呢是三角形 p f a， 它的底是 p f 啊，高呢是这个 ak， 高是 ak， 然后除以二，再加上左侧部分是三角形 p f b， 它的底呢也是 p f。 高呢是 ok， 高是 ok， 然后除以二，它们俩合起来，我们就可以将 p f 提出来啊，然后乘以 ak， ak 加 ak 加 ak， 也就是 o a， 也就是六，也就是 p f 乘以六除以二。 好的，那么再往这里放三角形， p a b 的 面积也就相当于是 p f 乘以六，再乘以个二分之一，那么这俩面积的比，它等于的是 四分之九，减去二分之一 e。 这个代数式下面就是化解好二分之一和二分之一可以约掉。那么整体思想， p e 比上 p f， pe 比上 p f， 就 等于右侧的是四分之九，减去二分之一除以这部分就是六分之二分之九减一，也就是乘以它的倒数，那么就用它来乘以 啊。二分之九减一分之六，六乘以四分之二十七，六乘以二分之一是减去再 e， 然后用它呢？再除以这个二分之九减一。非常明显，二分之二十七是二分之九的三倍，减三一是减一的三倍，于是结果就能等于三。前面我们已经得到了 abc 的 坐标以及抛物线的解析式。 接下来圈三点 q， 它从 c 出发，点 q 从 c 出发，沿着两段，一段是 c h 啊，另一段是 h a， 我 们现在研究 c h， 那 么 不管点 q 在 哪里，都以 o b 和 o q 为邻边做平行四边形好，我们来画平行四边形，叫做 b o， 然后呢是 q n 好，那么利用平行四边形对边平行斜相等，我们可以知道 q n 的 长度就等于 o b 等于三。 要求是在平行四边形内部的抛物线必须是下降趋势，现在的位置平行四边形内部的抛物线就是下降趋势 好，那么随着点 q 的 运动，这个平行边形会缩小，那么当缩到 q 点落在抛物线上的时候，这个时候它内部就已经没有抛物线了，也就不满足了，所以我们接下来要计算的就是这个时候点 q 的 横做比较低， 点 q 不 管在哪里，横坐标都是 d， 于是呢，点 n 的 横坐标也是 d。 点 q 是 在 o c 上可以轻松得到， o c 的 解析式是 y 等于 x， 于是点 q 的 纵坐标呢，它也是 d， 那么点 n 的 坐标呢，就是 d 加三，所以将 d d 加三代入到抛物线，就可以得到的是 d 加三等于负的九分之五 d 的 平方加上六分之十七 d， 然后再加三解这个方程 啊，在这里直接公布答案。我们能知道 d 的 值，它是等于十分之三十三好，那么看图像，也就是说，当 d 是 十分之三十三的时候，矩形是现在这个大小，那么它内部就没有抛物线了。所以说 d 的 取值范围，第一个就应该是它大于十分之三十三，同时要小于等于二分之九，在这个范围内都满足。 平行四边形内部的抛物线是下降的。下面来看，当点 q 位于 a h 上时， 那么由于 a h 所在的线呢，是 ab， 我 们先要求出来的是 ab 的 解析式是负的二分之一 x 加三好，那么点 q 的 横坐标呢，它是 d， 纵坐标就始终是负的二分之一 d 加三 好，我们再来画这个平行四边形，那么当点 q 与 a 重合时啊，我们把它画出来就是 b o q n， 这时你会发现在平行四边形内部的抛物线恰好是下降趋势，所以这是满足的。所以说那么 d 的 曲值范围的一段就应该是 d 小 于等于六好，那么我们继续看， 当点 q 在 a h 之间的时候，会导致这个平行四边形呢，它在变化，我们再画一个叫 b o， q， n， 这时候你会发现 啊，你会发现这个摁离抛物线越来越近了，这个时候呢，平行四面形内部的抛物线还仍然处于下降趋势，还是满足的，但是你会发现，当摁到达抛物线的时候啊，那么就不满足了，那我们再来画一种，大约是这样的， 大约是这样，那我们就需要求出来，当点摁落在抛物线上时，这个时候 d 的 值 好，那么再看 q 和 n， 它们俩的千锤距离始终是和 o b 相等，等于三，于是就可以知道点 n 的 坐标呢，就是 d 逗号，负的二分之一， d 加三，再加三，也就是加六， 于是呢，把这个点带到这个跑线解析式里去，就能得到的是负的二分之一 d 加六， 等于啊，负的九分之五， d 的 平方加上的是六分之十七， d 再加三。那么解这个啊方程就能得到的是 d 的 值。在这里直接公布一下答案， 也就是五分之十五，加减三倍的根号下十。当 d 的 值在这里取加号的时候，就是图上的这个位置， 如果取减号的话，这个数非常小，它应该是在左侧这个位置，也就是抛物线和直线 a b 它们俩之间的铅垂线段等于三，有两个位置，一个是在这里，另一个是在这里 啊，那么所以呢，把这个位置给舍去，所以啊，最终的结果， d 的 取值范围就应该是大于五分之十五，加上三倍的根号加十，然后且小于等于六，你学会了吗？下次再见。

同学们大家好，接下来给大家讲一下大连二模的第二十三题。首先这道题呢，又回归了二次函数，然后这道题也是本套试卷中 啊最难的一道题，尤其是这个计算量比较复杂，对于很多学生而言，可能做到这个第一问呢，就有点感觉，还有到扩二第一问的时候，算完这个表达式呢，可能都会有点压力，这个数呢比较不正常。 然后还有这个科二科三呢，其实很多都是计算跟计算能力相关，所以呢，中考考察什么呢？咱们这些基本能力，尤其是计算能力，还一些理解题目，这道题本质上来讲 理解题不难，但是计算量确实比较复杂，你要耐着心，并且冷静下来做这道题还是有可能能做出来的。具体呢，我们来看这道题，如图，抛物线 y 等于 ax 方加 b， x 加三跟 x 轴 y 轴呢，分别交于 ab 两点 点 c， m 到 m 也在抛物线上，且满足这个 a， m 方加 b 加一，括号 m 减六等于零。这个看上去呢，可能就会把很多同学吓到，直线 o， c 与 ab 交于点 h， 第一个求点 b 坐标以及 m 的 值，那点 b 比较简单嘛，所以直接零， x 等于零， y 等于三，所以这个点 b 坐标零度三。那么 m 呢，是只需要带进去吧， x 等于 m， 那 y 就 也就是 m 就 等于 am 方加 b， m 加三，然后呢，再满足写到后面来， 等于 m， 然后呢，接着满足 am 方加上 b 加一，括号 m 减六等于零。然后呢，我们来结合一下这个圈一圈二，解方程组吗？圈一，把这个 m 给它挪过来，就是加上括号 b 减一， m 加三等于零啊，圈三，然后用圈二减圈三， a m 方抵消了上减下，那就是二 m 嘛，负六减三，那就是负九等于零，所以能九求出来， m 等于二分之九，所以这样的话，这第一个就搞定了，那么 c 的 坐标就是二分之九到二分之九， 好，第二个给了 a 的 坐标，那给了 a， 我 们看啊，写在这， a 的 坐标是六斗零， b 的 坐标零斗三，那我把它带进去吧。 还有 c 的 坐标二分之九都二分之九。那首先这条直线是不是出来了？ y 等于 x， 那 这条直线呢？ y 等于负二分之一， x 加三， 然后把点带进去， a 点带进去，那就是三十六， a 加六， b 加三等于零，错啊。 其次，把这个二分之九带进去，二分之九的话，平方就是四分之八十一，四分之八十一， a 加上二分之九， b 再加三等于二分之九。 好，这样的话呢，我们把这个 a 和 b 呢给它算一下，嗯，这个算出来， a 就 等于负的九分之五， b 呢等于六分之十七。 那很多同学算到这一步呢，可能就有点怀疑人生，我们只需要确定我们算的数没有错，然后呢，中间当然你要检查一下，发现你没有算错，那就没问题，所以这个 y 就 等于 负九分之五， x 平方加上六分之十七， x 加三。你要是不放心的话，咱们可以完全可以把另外一个数 带进去，你可以把六到零带进去，或者你把二分之九到二十九带进去，检验一遍，发现没问题，这是圈一。 然后我们来看圈二点 p， e 到 f 在 抛物线上，然后呢，给了个这玩意点， e 的 范围是零到二，所以呢，既然我们已经把抛物线求出来了，那我们得大概知道一下这个顶点 顶点是多少。那对称轴 先算一下啊，对称轴，那就是直线 x 等于负二， a 分 之 b， 那 就是 负二乘一个负的九分之五，这个六分之十，然后呢，下面是九分之十，那就等于六分之十七乘一个十分之九吧，那结果呢，就是 这个六和九约调，下面是二，上面是三，也就是二十分之五十一，这条线二十分之五十一，嗯，对准轴是比二大的吧，那现在他说点 e 的 范围是零到二，说明这个 横坐标是在对称轴的左侧， y 轴到对称轴左侧之间，大概呢，就这段范围还没到对称轴。接着我们再看过，点 p 做 x 轴垂线过，点 p 做 x 轴垂线。 然后呢，分别看啊，分别交直线 o、 c， 点 e、 a、 b， 点 f， 这个下面是点 e， 这个是点 f， 那 当然也有可能跑到 h 的 右边来。我们这里面先算一下 h 的 坐标， h 的 坐标那就是 负二分之一， x 加三等于 x， 那 么算出来 x 正好等于二吧，那也就意味着正好这条线不会超过 h 啊，不会超过 h。 确定 好，这个时候我们再接着看，将三角形 pce， 三角形 pce 连上与三角形 pab， p a 也连上， 这两个三角形的面积分别记作这两个三角形 s， p， c， e 以及 s 三角形 p a、 b。 现在呢，给了它们的比例等于这一大坨， 求 p e 比 p f。 那 么首先我们来研究一下这两个三角形 p c， e 和 p a、 b 这两个三角形。首先我们要知道三角形的面积都可以用二分之一水平宽乘前垂高， 那也就意味着我们这里面可以把三角形 p c、 e 的 面积给它表示出来吧。呃，点 p 的 坐标，横坐标 e， 纵坐标负的九分之五 e 平方加上六分之十七， e 加三。然后呢点 f， 红坐标是 e， 纵坐标就是负二分之一 e 加三，这个 e 呢，红坐标 e 纵坐标也是 e 吧。 所以首先 p c e， 那 就等于二分之一底乘高啊，直接二分之一 p e 啊，乘以 c， 也就是横坐标二分之九减 p 的 横坐标 e， 这是 p c， e 好， p a b 同样的二分之一水平宽， ab 的 水平宽是六铅垂高是 p f。 然后呢，我们把它带进来啊。这里面同学们在刚开始做的时候呢，很多同学会把 p g， p f 算出来，没问题，我们可以算出来，带进去算，但是呢，也可以不带去算啊，你算的过程不影响， 可能就是多多费点时间。那我们看这两个比例，也就是二分之一 p e， 然后呢，乘以二分之九减 e， 比上二分之一乘以六乘以 p e， 等于这个给它通分一下啊。四分之九减二分之一，也就减了四分之二一，九减二一。那大家喊这种情况下来，二分之一约掉吧。下面是 p f， 然后这个二分之九 e， 二分之九减 e 和九减二 e 是 不是正好约掉乘二，后面是两倍，然后这个六两边同乘六，所以呢， p e 比 p f 就 等于几， 正好等于上面六约完剩二为四，也就等于三约掉正好等于三 啊。当然这题啊，刚刚说了，同学们在做的过程中，我可能会把这个 p e 给算出来， p e 呢，等于动作标上减下，那就等于负的九分之五 e 平方，加上六分之十一 e 再加三。 然后呢， p f 同样的算出来，等于负的九分之五一平方，嗯，加六分之十七，减二分之一，也就加六分之三吧，等于负的二分之一，加六分之三，加六分之二十，加三分之十一。 当然你把这个带进去算也是一样的，只不过这个算出来可能让同学们心里面压力会比较大，但是你认真研究一下这个，把后面化成 这个空分之后，把二分之九减一和九减二正好能约掉。所以呢，我们就没必要 把这个展开去算，就算你把它算出来之后，你肯定也不可能展开去算，正好发现它能约掉，所以这个也考察同学们的心理压力， 这个算出来也是一个整数。三、接下来我们看圈三点 q， 从 c 出发，沿着折线 c h h a 运动到点 a 停止， 以 o b o q 为邻边构造平行四边形 b o q n 设点 q 的 横坐标为 d， 在 平行四边形内部不含边界，这个抛物线从左到右下降， 求点 d 的 曲率范围。我们看一下这个点 q 呢，是在两条线段上的，一是 c h， 一 是 h a， 所以 我们看当它在 c h 上运动的时候， 就这样吧，然后以这个去构造平行四边形。第一种情况是这样的，这是 q， 这是 n， 然后呢，它要求的是在这个平行四边形内部，就这一段吧，是下降的图像， 是下降的图像。好，当然它我们研究一下 q 从 c 往下走，这个图形，它会 平行四边形慢慢慢慢的从这开始慢慢慢慢变小了，所以呢，临界状态就这个点 n 呢，正好落在抛物线上的时候，此时平行四边形内部就没有所谓的下降，所以呢，这就是临界状态。 好，这第一种情况，而第二种情况，如果这个 q 在 a h 上，对吧？那么我们看啊，这个平行四边形从这开始慢慢慢慢往下往右走吧，所以呢，某一个时刻，临界状态是不是正好落在这临界状态？ 点 n 同样的正好落在 c 啊，点 n 正好落在抛物线上，这个时候呢，没有，那么当它走到某一个位置，过了这个临界点，我们看这种情况下， 在它内部的抛物线是不还是下降的，这是 n， 这是 q， 所以呢，我们只需要干嘛？只需要找到这个两个零件位置，那第一个零件位置在这儿，标过其他颜色了 这个，然后这个零件位置在这儿， 所以我们只需要把这两个零件位置算一下就可以了。好，第一种情况， 第一个这个点 q 在 c h 上吧，所以点 q， 我 们可以记作 d 斗 d， 那 么点 n 就是 d 斗 d 加三， 因为 o b 等于三， d 斗 d 加三。所以第一种情况就是当 q 在 o c 上时，点 n 落在毫伏线上， n 在 后线上， 我们只要带进去 d 加三，就是红坐标是 d 带进去， 这个负九分之五 d 平方加上六分之十七 d 再加三，正好等于 d 加三。 那我们来解一下这个负的九分之五 d 平方加上六分之十一， d 等于零吧。把 d 提出来，负九分之五 d 加六分之十一等于零，所以算出来 d 一 等于零，这个就是舍去吧， 在圆内那个位置，第二个第二，那就是负的九分之五 d 加六分之十一，等于零吧，那九分之十五，九分之五 d 等于六分之十一，这个 d 呢，就等于六分之十一，乘以一个五分之九，也就等于十分之三三， 所以呢，这个位置的时候， d 正好等于十分之三十三，那么大家看什么时候会有呢？这个时候 d 是 不是大于十分之三十三，取不到等号？取到等号的时候，正好这个 零点，这个平行四边形就和抛物线有一个交点吧，此时不包含啊，他说了不含边界，所以取不到等号，那后面呢？正好再点 c， 也就是二分之九 二，零九是可以取得等号，所以这是第一段。好，接下来我们算第二段。这个当 q 在 h a 上时，上面不是 o c， n 应该是 h c， 这是 h a。 呃，此时我们看一下点 q 的 坐标，那就是 d 负二分之一 d 加三，那点 n 的 坐标 d 负二分之一 d 加三，再加三吗？加六。同样的，这个时候点 n 在 抛物线上吗？只需要带进去算 负的九分之五 d 平方加上六分之十一 d 啊，六分之十七 d 再加三等于二分之一 d 负二分之一 d 负二分之一 d 加三加六。 ok， 那 我们代进去算，这个就是负的九分之五 d 平方负二分之一，移过来加上六分之三吗？也就是六分之二十三分之十 d， 然后把六移过来，减三等于零，两边同时乘以 负的负九，咱们同时负九五地方减三十 d， 然后加二十七等于零。好， d 就 等于 d 一 啊二 a 分 之，也就十分之负 b 加减根号，下 一个是减 b 方，减四 a c， b 方呢是九百，减去五百四，三百六，三百六呢就是六倍根号十，那就是减六倍根号十。约 我们先把这个 d 送出来， 所以呢，这样的话求出来 d 一 就等于五分之十五，减三倍根号十， 以及 d 二等于五分之十五，加上三倍根号十。好，具体我们来看一下，这个 落的上面是不是同样有两个，那我们取右边这个吧，左边一个，右边一个，我们取右边这个，所以呢左边这个舍去，那么求出来这个 d 的 范围就是大于五分之十五， 加上三倍根号十，小于等于 a 的 坐标横坐标六，所以这样的话呢，就是通上两个答案，这一个和这个 这样的话就是这道题。现在回过头来看一下这道题，你要理解它其实挺简单的，但是整个过程中就是计算挺麻烦的，这个计算可能在圈一的时候 就会把很多同学吓住，所以呢，这个对于同学们的心理压力还是挺大的，如果你能够冷静的坚持做下来，那这题还是相对来说难度不大的，所以呢，回过头来看中考更多的是考察同学们的基础能力。 好，这个呢就讲到这啊。

刚刚拿到这个大连市第二次模拟考试的数学试卷啊，然后呢，我也做完了这套试卷。然后呢，我首先说一下整体的结论，我认为这套试卷的难度没有大连市一模的难度要大， 但是很多学生都说这套试卷比一模还要难，但具体什么原因导致的呢啊？首先咱们看这个填空选择，它其实难度并不大，考的都很常规很基础。 这玩意这些题的话，好学生你应该十分钟就能做完了吧， 不好的学生半个小时内也能做完了吧，是不是？那你看下写答题的那个十六，十七十八，十九，二十，是不是都是挺常规的基础题？ 是不是倒是挺常规的基础题？其实我认为十六题这两道题出的不太好啊，他把他考了一个整式的计算，还考了一个分式的计算，我觉得不能这么考啊。 然后呢，十七、十八十八题，这个数其实你得犹豫半天，因为你算出这二分之七十五，你可能违背你的常识啊，可能会格登一下的。 这个第十九题其实就是模仿去年中考的二十题了，是不是他模仿第三，尤其是第三位在模仿这个事呗，还第三位差，模仿那个去年中考的第一问呗。二十题的第一问呗，是不是？ 这题你仔细算一算也没什么难度啊，这二十题更是考的臭死烂够的。那个解三角，三角形嘛，是不是 你做个垂线，做两条垂线就出来了吗？你注意过程的书写啊。二十一题的括号一其实也没啥难度，就是一个纯倒角问题是吧？倒角角相等，然后倒边呗。第二十一题的括号二，他这道题就可能出现难度了啊，因为他涉及到这角 相当的角有挺多的，然后你你还得去算这些线段，然后在复杂的途中，你要碰到相似，而且而且或者是运用到锐角三角函数， 然后实现实现角的转化的同时，然后你可以去解边，对吧？这个 b、 e 等于一，其实不太好算， 这个问开始才算真正意义上的有难度。这个二十一的的括号这种难的圆的，第二问也得会做。然后那个第二十二题其实是 吐槽点比较大的一道题，因为这道题把我们常见那个相切，这个圆的相切放在了这个压轴体几何压轴体的位置上， 然后很多学生就蒙蒙了啊，就瞅这图挺复杂的，又一个三角又一个圆的，指定 难受啊，心里指定难受。那你仔细读一读这个题，他其实并不难。你仔细读这道题，其实并不难。你看第一问，他不就是一个典型的圆的切线的性质吗？ 你导到这个直角直接勾股定力，不就把 b、 c 求出来了吗？那第二个的时候，他这道题他告诉你 b、 e、 c 等于九十度，你就根据那个问题挺近的一行，你能算出这个 c， e 也是九十度， 那 c a 是 定点， c 也是定点，那 e 来回动，那是不是 e？ 有 两种可能性，你图是不是你一定能画出来，你仔细分析分析，然后剩下来不就是倒角，然后 利用全等，例如相似，是不是去解呗，那有什么难度啊？只要你静下心来做这道题，它并不难，甚至是是说你画一遍图的时候，两个图全能解出来， 然后你这个二十三题其实挺常规的一道题，第二问的第二小问，其实它很巧妙啊，但是呢，这道题的唯一一个难点就是数太难算了，结果很不规整，你敢不敢算？是不是？ 预算能力其实挺重要的事。那整个试卷看下来的话，其实考的非常常规啊，常规方法，然后着重预算能力的考察。 然后呢，遇到新题型，你中考的时候也会遇到一些新的题型，那你一定要劝好自己，稳下心来去答， 你别被这题给吓到了。好吧，那祝大家中考。

二零二六年大连二模数学这套卷命题点出的决绝子，贴合今年辽宁中考的命题趋势。先说基础部分，选择填空前八题全是核心基础加易错陷阱，不偏不怪，但想满分，必须系心 中党题。十六到二十一题，重过程、重逻辑、重书写，特别强调步骤分，这和沈阳、大连近几年中考完全一致，重点看压轴二十二题几何综合、二次函数，完全是新情境加旧模型， 不考死套路，考的是知识迁移和临场发挥建模能力。这和杨老师第八期初中数学压轴题群的视频一脉相承。尤其是二十三题二次函数结合几何变换和二零二五年辽宁中考压轴题高度同源，但更灵活，整体难度、基础不送分， 中档不卡壳，压轴不偏怪，非常符合二零二六年中考稳中有变、素养保向的打方向。距离中考还有三周，想冲一百一十五加辽宁考生跟着杨老师第八期数学压轴题群的节奏，最后三周冲分，加油！

哈喽，大家好，我们今天一起来讲解一下大连市二模的几何压轴题，它的难度没有一模大，主要考察的是解三角形。那接下来我们一起来看一下。那首先第一个问号非常简单，这里我们就不讲了，主要看一下第二个问号。 那第二个问号的话，首先我们先画图，先确定 e 点的位置，那 e 点的位置根据题干 b、 a、 c 加上 e， a、 c 等于一百八十度，所以非常好想的就是第一种情况，就是 e 点是在 b a 的 延长线与原 a 的 交点， 那 e 点确定完了之后，再去做直线 c， e 和 g、 h 它们的交点 h 属于此图可画。 那除了这第一种情况之外，还可以有什么情况？就是此题还有一个特殊角 角 b、 a、 c， 它是九十度，那它是九十度角， e， a、 c 也是九十度，所以 e、 a、 c 是 九十度的话，我们这个 e 也可以是线段 b、 a 与原 a 的 交点，所以我们还有第二种情况。 那首先我们先来看一下第一种情况，那第一种情况的话题干给了 a、 b、 c， 它是一个等腰值，所以底角是四十五度， 我们先标上，因为这个特殊角我们后面解三角形可能会用上它，所以这里先标上啊，然后还有 a， b 等于 a， c 等的是三， 然后还有半径是一， a， e 等于 a 对 等于一。那标到这了之后，我们就可以发现三角形 a、 b 对 和三角形 a、 c、 e 全等 判定应该是边角边不多说，那全等了之后，我们去推对应边，去推对应角，那首选的是和已知条件和问题有关的边和角，所以已知条件给了一个角 a b 对， 等于角 b a g 点角，所以我们可以把这个点角转移了，可以拽到角 a c e 啊，那我们这三个点角都相等了之后，我们还是可以去找一找有没有其他的等角，那此时我们可以发现，角 a g c， 它应该是四十五度加点，而我们的角 h c a， 它也是四十五度加点，所以这里面角 g a c a g c 等于的是角 h c a h c 啊，等于四十五度加点，而这两个角它是在同一个三角形当中，所以我们就可以得到 g h， 它等于 h c， 而这个最 h 的 话是我们要求的，所以我们就转换成去求这个 h c， 那 想求 h c 怎么办？我们有两个角度，第一个角度就是找 h c 所在三角形，然后去找相似， 第二个角度就是去找它所在的三角形，去解三角形，那此题都能做，我们先来看方法一， 方法一的话就是去找 h c 所在的相似三角形啊，那这个是好解的啊， 那 h c 所在三角形 h c a， 那 它的相似三角形呢？啊，是不得有这个点角，还得有 h 角的，所以有这个 h 角呢，它所在角形应该是 h a e， 还有 h g c， 那 明显相似的应该是 h a e 啊，有一个公共角，还有一个这个点角，那是不得等于这个 h a e， 而这个 h a e 是 不对顶角，所以它是点 啊，所以我们可以发现啊，这里应该是一个指母形的相似三角形， h a e 相似三角形 h c a， 那 它俩相似了之后，我们去找对应边乘比例，就应该是 a e 比 a c 等于一比三，那就等于 h e 比 h a 还等于 h a 比 h c 啊，所以我们先设啊，这个 h e， 它是 a， 那 这个 h a， 它就是三 a， 那 它是三 a 了， h a 比上 h c， 是 不是也是一比三，所以它就是九 a， 那它如果是九 a 了之后，等量关系出来没啊？出来了吧？我们可以看到这个九 a， 这是 a， 而这个 ec 呢？ ec a 一 比三比根号十，所以我们就可以得到这个九 a， 它等于 a 加 根号十，所以我们就能算出来这个 a， 它等的是八分之根号十，而 a 是 八分之根号十了之后，我们要求的 h c 就是 a 加根号十， 所以这 g h 等于 h c 等于 a 加根号十，那就等于八分之九倍根号十。 那这里还是再次强调一下，看到这个边乘比例的一比三，我们可以方程思想去设它啊， a 和三 a， 那 这是方法一。接下来我们再来看一下方法二，那方法二的话，就是找 h c 所在的三角形去解三角形 啊，解三角形也是我们去求线段长非常重要的一种方法啊，很重要，那 h c 甩角形应该是 h c a， 所以 我们可以解三角形 h c a， 那 看一下它能不能解， 那我们想要解它 h c a 明显有一条边， a c 是 三，然后还有一个角嘛？是不是这个点儿角？我们找这个角，要么是特殊角，三十度、四十五度、六十度，要么是知道三角函数值的角，那想要知道三角函数值，它就得在直角三角形当中的， 所以这个点儿角，它在 e a c 这个直角三角形当中，所以它是三分之一的角， 所以它是已知角啊，那还有谁呢？它是三分之一，那 h a c h 还是 a 呢？应该是 a 点处，这个点角等于这个点角，它是不是也是三分之一？ 那它是三分之一，这是度，这是九度角吧，所以这个角是不知道。那有的时候这钝角是多少？我也不知道啊，那钝角我们找它的补角， 就这个补角是这个三，它俩互为，所以它应该是正斜值，是三的角，那它是三的话，所以 h a c 两个角一个边可解啊，那这个解三角形我多说一下啊， 那这个解三角形怎么解？我们应该是做垂直，将知道的角都放到直角三角形当中，所以要把这个三分之一，还有这个三都放到直角三角形当中，所以应该是过 h 向 c a 做垂直。 好啊，那做完垂直了之后啊，比如说这是 m， 那 我们这个三分之一是不就是在直角三角形 h m c 当中，而这个三有没有在呀？这个三我们去找它的对零角， 相当于我们这个钝角 h a c， 它的补角除了这个 c a g， 是 不还有 h a m 啊？说我们找这个对顶啊，它是三，所以这三和三分之一都放到了直角三角形当中，而边长又未知，我们可以方程四小相，先找较小的这个直角三角形啊，我们可以设它是三 m， 它是 m， 然后，呃，再来看这个 hmc， hmc 的 话正切值是三分之一，所以是三 m 比上 m 加上三，等于一比三吧，所以 m 也能求，所以 hc 就 可以求啊，这里我再不多说了。啊。 啊，那这是解 h a c， 我 再多说一下，我们解三角形的话很重要啊，那刚才解的是 h a c， 那 其实我们还可以解谁呢？我们要求这个 h c， 你 观察一下上边 e c 是 不已知的，所以是不只要求 h e 就 行， 所以我们也可以去找 h e 所在的三角形，所以相当是解三角形 h e a， 那 这个 h e a 能解吗？啊？这里看一下。那 h e a 知道这个点角三分之一，然后还知道 a e， 这里是一啊，那我们还知道什么呢？ 是不还是知道 a e c 这个钝角的补角，这个 e 对 吧？这个 e 的 话，它是在 e a c 这个直角三角形当中，所以它的正切值应该是三， 所以三角形 h a e 也可解啊。然后那这个三角形如何做？垂直？是不和 h a c 一 样，将三分之一和这个三都放到直角三角形当中，所以过谁做呀？所以还是过 h 向 a e 做垂直。 嗯，然后我们这个三分之一是不是就在这个直角三角形当中？然后这个三是不还是对顶过来？在这个直角三角形当中，剩下的和刚才一样啊？这里不多说了，那这是第一种情况， 那接下来我们再来看一下第二种情况，那第二种情况就是线段与圆的交点，那如何做啊？仿照着上一个问号，我们大多数的时候，多种情况都是雷同的，所以上一个问号找到了，三角形 a b 对 全等于三角形 a c e 判定是边角边，那看这个图存在不啊？仍然存在，因为 a 对 等于 a， e 等于一， a b 等于 a， c 等于三，还有一个公共角，所以还是边角边全等。那全等了之后呢？仿照了，刚才我们还是去推角， 所以这俩点角相等，已知条件等于角 b a 锥啊，这三个点角相等，那这三个点角相等之后，点加圈等于九十度，所以点加圈是九十度，所以这个 h 它就应该是一个直角， 那 h 是 直角，我们就可以发现，这三角形 a、 h、 c 是 不就是一个可解三角形 a、 h、 c 啊？它是直角 a、 c， 这里是三，而这个点儿角呢，是不是在 a、 e、 c 当中，正切值是三分之一，所以我们就可以求出来这个 a h 一比三比根号十，所以它是三除以根号十，等于十分之三倍根号十啊，或者说啊， a、 e、 c 斜边上的高利用面积啊，都可以啊。嗯，这是它，那 a h 求完了之后，这里要求的是锥 h， 那这个 gh 如何求呢？我们观察一下啊，知道的是 a h， 它和 a h 共线吧，所以我们这个 gh 就 应该是 a 锥减去 a h， 那 这个 a 锥如何求呢？啊？我们可以借助前一种情况，方法一啊，摇第一种情况， 由第一种情况的话，这个 a 锥，我们可以看到它应该是由 h 锥减去 h a， 而这个 h 锥的话，它是不是等于 h c 啊？等于的是八分之九倍，刚好十，刚才算完了 啊，而我们这个 h a 呢，是不是三 a， 我 们刚才也算出来这个 a 了吧，所以这个三 a 也知道啊，所以我们的 a 锥， 它就应该是啊 h 锥啊，八分之九倍根号十， 减去那个三 a a 是 八分之根号十，所以减去八分之三倍根号十，所以就等于四分之三倍根号十啊，这是方法一啊，借助前面问号啊，借助前面的情况，那方法二， 我们要求这个 a 锥啊，你就不怕麻烦？再来一遍，那我们想求这个 a 锥的话，还是可以找 a 锥所测三角形，去找相似或者解三角形。那此题我们还是解三角形 a 锥所测应该是 a 锥 b， 所以 我们可以解三角形 a 锥 b， 而 a 锥所测还有 a 锥 c， 所以 我们也可以解三角形 a 锥 c。 那看一下 a 锥 b 啊，能不能挤点儿角，是不等于这个点儿角，所以它是三分之一的角，然后我们还知道 a、 b， 这是三吧，知道一条边， 然后 a、 b、 c 等腰值有一个四十五度角，所以角边角，两个角，一个边可挤， 那还是将这两个角放到直角三角形当中，所以过锥去做垂直，然后方程思想，对吧？设这是 m 三 m 啊，这是 m 等腰值，所以四 m 等于三是不可以算的，对吧？ 好多说啊。然后 a 锥 c 也是一样的，知道这个角是四十五度，然后上面这个圈是不是在直角三角形 a， e， c 啊， a， h， c 当中，所以这个圈号角的正弦值应该是三吧。 啊，所以 a 锥 c 四十五度，正切值是三个角，还有 a、 c 也可解啊，所以怎么做都行，这是 a 锥，那 a 锥求完了之后，所以我们的 h 锥，它就等于 a 锥减 a h， 再减去这个 a h 啊，是十分之三倍，根号十，所以最后的答案等于二十分之九倍，根号十。啊，那这是我们此题的答案，那我们本次讲解就到这里了，拜拜。

大连二模的数学刚刚考完，我也马上做了一下，来跟朋友们分享三件事。第一个，整体的难度预算量到底怎么样？第二个呢，总结一下这后两道压轴有哪些点命题命的特别好 啊。第三个，还是看一下最后阶段咱们孩子该怎么冲刺啊。首先，难度预算量上，我觉得中规中矩， 从几何题的辅助线分类，到他的方程构造，以及二函数里的分类，包括二函数里最后那两个临界点啊，逻辑深度都不是特别深啊，但是不是特别好算，他植入了复杂运算和函数运算，并且在两个问里边都有比较巧妙的变形， 对大家的准度和速度有一定的要求啊，会拉开差距啊。这个具体来看后两个压轴吧，因为前二十一题真的是比较友好，没有任何难点前置，大家踏踏实实做和复习就行了。 后两道大题，首先几盒编的比较好的几个地方，第一个，这个二级条件就特别好，大家审完题有没有发现这个斜中， 如果你审完题第一反应就看到了学生二级条件挖掘的行，审阅能力还可以啊。第二个，考的好的地方，我们的几何终于，终于植入了什么分类讨论， 这个圆都不是亮点，因为圆没有难度啊，但是他终于考了分类啊，这是之前沈阳在动态几何特别爱考的， 我们大连经常考的都是静态的几何啊，有分类讨论特别好，虽然分类不难，但一定会增加它的运算量和书写量，答的慢的同学仍然会吃亏，准度不够的同学更会吃亏啊。 那在分类的时候，分类之后，这里的辅助线逻辑和思路都是基于什么解三角形，大家看到双比例了吗？ 所以这整体编的特别好的地方就是在思路层仍然用双比例去架构等量关系，基于解三角形提供什么方程，用方程思想解决最后的什么线段长度， 还是那套命题逻辑。辽宁一直都不怎么变啊，挺有本地特色的啊。双比例又出现了，一比一比刚好二和什么，一比三比刚好十，跟我给大家预测的比例基本都一样吧啊，还有一比二比刚好，五和三比四比五仍然可以加进去啊，所以今年中考谨防双比例，谨防啊！ 二函数这块我觉得第一问就出的非常好，会让很多同学稍微愣一下啊，吓人，但不咬人，把胆小的给骗走了是不是？我们第一问第一反应就是把这点带进去，带进去你会得到一个三元二次方程组 啊，吓着了。首先只要思路清晰，你要求的是 m， 那 就削 ab 呗，两式一减， m 的 值就出来了。第一个我觉得第一问编的也很好啊，第三问圈，第二问这个圈二，我觉得是编的最好的地方。 求两根线段的比值，虽然给的是临界面积，虽然给的是一个有铅垂线的三角形啊，但是他要的那两根线段比刚好就是啥？ 那 p e 和 p f 不 刚好就是两根千锤线吗？所以这里做了一个巧妙的含参运算，这是啥？ 它直接就能整体求出比值，不用设它俩的坐标，不用上边减下边求解一式 去设这个，呃，千锤线只要那么做的都绕了很远，所以你看它编题编的非常好，这度就够了啊，这度就够了啊，非常好的中考逻辑， 然后圈三圈三命题，呃，难度不高，这个分类啊，大家只要找到这两个临界位置就行了，对不对？上边一个下边一个，因为他就是一个长度固定的铅垂线段平移的事， 把端点卡在线段和抛线上就 ok 了啊。难度不大，有一定的运算量，因为它的解析式都是分数。第二个呢，我觉得植入了运动分类和待机综合这件事很重要，这是特别好的命题点，我觉得也是今年二六年辽宁中考的热点啊，值得一做， 质量非非常高啊，其他城市的同学都可以算一算。然后我们最后看看自己的冲刺，给大家两个建议吧。第一个，从多项提示来看，复杂运算和韩餐抽象运算一定要做专项的训练， 一定会重视，中考一定会重视啊。第二件事，大家不要揪着某个热点题型去练， 从沈阳九区的区模到市二模，到我们大连的一模、二模，到各地的考试，你都能看出来，考察是很全面的。 函数图像运动有分这个分段，函数有函数，焦点有参数，不等式有参数范围，最大值、最小值，待几综合全都有。所以最后这几十天，大家在冲刺的时候，记住，一定要做题型、方法、逻辑的全面训练，而不是揪着某个点使劲去练。 大家不用想那些热点，什么所谓的这个精准方向啊，或某一个小道消息都不靠谱。中考一定是新体，一定是活体啊，一定是有一定难度的啊。如果你最后阶段说老师我这个复杂预算不会练， 或者你不知道这些压轴该怎么做全面的复习和覆盖，或者你想跟着何老师一起把二函数和几何的瓶颈突破。好，你找我，我告诉你怎么整啊，私信我或者是在评论区直接扣一个一，我告诉你怎么干啊，一起加油，最后冲刺开始了。

沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频用了两种不同的方法给大家讲解的第二问，我相信大家收获一定会非常大，那么今天给大家讲解第三问， 那这个第三问，我也是用两种不同的方法给大家讲解，也是非常经典的模型。而当角 a、 b、 c 等于一百二十度， ab 的 延长线与 fe 啊交汇记点。 第一问，他让我们求角 b、 g、 e 的 度数，因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么这个角是不是等于六十度啊？ 我们要求这个角的度数，那不就是要求 b、 e、 g 的 度数吗？因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，所以我们可以得到角 a、 d、 c 等于六十度，因为这两个角是互补的，又因为 ad 等于 dc， 所以说这个三角形它是一个等边三角形，那么三角形 d、 c、 f 也是一个等边三角形，所以我们可以得到角 a、 c、 d 也是六十度，角 d、 c、 f 也是六十度，那么这个角是不是一百二十度？ 所以我们很容易得到角 b、 a、 c， 它是等于角 e、 c、 f 的， 因为它们两个加上角 a、 c、 b 都是等于六十度， 又因为 a、 c 等于 c、 f， 那 么这个时候啊，就出现了一个非常经典的模型，一边一角，模型 就是一条边相等，并且有一个角它是相等的，那么这个时候我们很容易想到使另外一条边相等，构造全等三型，那我们很容易想到延长 c、 e 使得 c、 m 等于 ab， 那么这个时候是不是构造的全等三角形？三角形 b、 a、 c 和三角形 m、 c、 f 是 全等的，那么全等之后是不是可以得到角 abc 等于角 m 等于一百二十度，并且 bc 它等于 f， m， ab 等于 c， m， ab， 它又是等于 b、 e 的， 那么跟第二个问题是不是一样， c， m 等于 b， e， 又因为有一个公共边 c， e， 那 我们就可以得到 bc 等于 fm， 又因为 bc 等于 fm， 所以 我们就可以得到三角形 e， m， f 是 一个等幺三形，又因为这个顶角 m 等于一百二十度，那我们就可以得到角 f， e， m 等于三十度，所以说这个角 b、 e、 g， 它也是三十度， 那么最终我们是不是可以得到角 b， g， e 等于九十度，那么这个就是一边一角模型啊，是一道非常经典的模型，大家一定要掌握啊，在中考当中啊，考的非常多，尤其我们辽宁的中考啊，多次考察，大家一定要掌握。我们再来看一下第二问， 他告诉我们 ab 的 长度等于八， f， c， g 等于一百五十度，让我们刚刚已经得到了这个角为一百二十度， 这个角 b、 g， e 等于九十度，那我们是不是可以把角 ac g 求出来一百八十度，减出一百二十度，再减出一百五十度，是不是很容易得到角 ac， g， 它等于九十度啊？这个地方非常关键啊， a， b， c 等于一百二十度，所以说角 e， b、 g 等于六十度，大家发现没有，这个一百二十度，六十度啊，都是非常好的角。又因为三角形 a、 c、 g， 它是一个直角，三角形告诉我们 ab 的 长度， 那我们是不是很容易想到，我们要过 c 点向 a、 g 做垂线，因为 ab 等于八， e 也是等于八，那我们是不是可以解三角形 b g e， 那 我们就可以求出 b g 等于四 g， e 等于四倍的根号三，他让我们求 b c 的 长度，那我们现在设一下 b h 为 x， 设一个最小的线段， 那么 bc 就是 二 x， 那 我们要求 bc 的 长度，那我把 x 求出来就行了。那我们是不是要建立一个等式？三角形 a c， g 是 一个直角，三角形 c h 是 高，那么这个时候我们会出现相似，出现相似之后啊，那我们就可以用射影定律， 那么这个时候是不是可以得到 a c 的 平方等于 a h， 再乘以 a g， 这个哈是收敛定理哈，我建议初中的学生啊，一定要掌握，就这个定理啊，非常好正，你用一下相似就出来了，但是我们知道他，那我们这个思路一下子就来了，那么这个时候我们就可以读到 a c 的 平方，他应该是等于八，加上 x， 再乘以 a g， a g， 它应该是八，加上四等于十二，所以我们就可以得到九十六，加上十二 x， 那 我们要列一个等式，那我们是不是要想办法把 a、 c 用其他方式再表示出来，然后它们两个相等。 三角形 b h， c 当中 c h， 我 们是不可以求出来，这个角为六十度，那么 c h， 它应该是等于 b h 乘以贪金六十度， 所以说 c h 应该是等于根号三 x， 那 么在三角形 a h c 当中，我们可以用勾股逆理把 a c 的 平方也表示出来， 那么 a c 的 平方，它应该是等于 a h 的 平方，就是八，加上 x 的 平方，再加上 c h 的 平方，就加上三 x 平方，那么这两个式子它肯定是相等的。好，那我们把它展开，所以我们就可以得到 六十四加上 x 平方加上十六 x 加上三 x 平方等于十二 x 加上九十六，四 x 平方加上四 x 再减去三十二 等于零，所以我们就可以得到 x 平方加上 x 减去八等于零。那我们再用一下求根公式，就可以把 x 解出来， x 等于二， a 分 之负， b 加减根号下 b 的 平方减去四 a c， 所以 它应该是等于二分之负一加减根号三十三，负值舍掉啊，所以我们就可以得到二， x 应该是等于 根号三十三减去一，那么最终 b c 的 长度就等于根号三十三减去一。你看这个题是一道非常好的题吗？他首先用了一下三角函数，然后用射影定律和勾股定律啊建立等式关系，那么最终我们可以解出 x， 那 么这个题大家听懂了吗？ 关注孔老师，那么下期视频孔老师讲解第二种方法，这个方法不一样，它是完全不一样的思路，也是非常经典的模型，我们下期视频见。

我们一起来看一下今天刚刚考完的这个大力士二模数学哈。这张卷，呃，这张卷整体的难度我觉得是比一模要稍微难一点点的哈。 然后，嗯，我把这个小压轴做了一下，还行，然后我们一起来看一下啊。呃，第十五题的话，就是一个二次函数的问题，比较简单，就是一个开口向上，然后对称轴， 然后这个没有任何变量哈，里仁在这个位置，二在这离对称轴越远的，哎，最大值最小值带进去求出来就是四哈，这是十五题， 其他题都比较常规哈。嗯，十八题考了一个这个二元一次方程组的应用，哎，这个初一下学的也比较经典的哈。然后十九题考了一个一次函数和反比例函数，哎，这个也比较常见啊。 然后二十题考了一个三角函数，然后二十一题的话，这个圆相对来说还是挺简单的哈。第一个问，他让你求边等，那肯定要倒角对不对？你可以设小角为 r 法，这是，嗯，这个是 r 法，这就是阿尔法。 然后呢，我可以把谁连上呢？连不连都行。这个同弧所对，圆周角相等，这个角就是 r 法，哎，这个是 ab 是 直径，直径所对，圆周角是九十度，它是 r 法，这就是九十度减 r 法，这是二 r 法，这是九十度减 r 法。倒角就能倒出来，它是九十度减 r 法。等角对等边， dc 和这个 d、 b， 它就是相等了， 这是二十一题的括号一哈，然后去看括号二，括号二的话，他给了角 a、 e、 d 等于角 cbd， 哎，来看一下角 cbd， 刚才不正好角 cbd 等于这个角吗？ 对不对？然后他说这个角等于它，那你把这个 d a 连上， d a 一 连上的话，同弧所对的圆周角是不是相等？那说明这四个蓝色的角是不是相等？哎，这是一个等腰三角形，这也是一个等腰三角形， 嗯，绕着一个公共顶点，这是不是手拉手全等吧，对不对？所以说这两个三角形他就应该是全等的。那在这个直角三角形中，我知道 ab 是 四，这个是刚好十五，那 ac 长应该是多少？ ac 长是不是应该是一吧？ 哎，所以说一个全等就能得到我的 b 一 长就是一，哈，这是二十一题。然后来看一下二十二题， 二十二题的话，这个题的第一个问的话，他给了 ab 等于 ac 是 一个等腰三角形哈，然后 a d 长给的是一，哎，他说以 a 为圆心， a d 长为半径画圆，这个把圆和这个几何题给它结合到一起哈，我觉得这个还是蛮好的，考的还是挺挺好的哈。 然后呢？说这个延长，然后相切，相切的话，就说明这块是垂直的，哎，那这个长是一，这个是三倍刚，这是三，这是垂直，这是不是二倍杠二啊？那在这个三角形里面，我是不是就可以列勾股定力， 他的平方就等于什么？哎，三方减一方就能得到，他是二倍杠二，然后再在大三角形里面，大直角三角形里面再列个勾股定力， bc 是 不就可以解出来了，对不对？哎，最后 bc 就 等于二倍杠六啊， 这是括号一，然后来看括号二，哈，括号。他说将这个特殊化后，哎，提出如下问题，给它变成九十度了，那你的画图还要沿用第一个哈，就不能用括号一的，嗯，这个是怎么呢？ 依然是点 e 在 这上，然后他俩加一起等于一百八十度。那你看这个角 b a c 是 不是九十度啊？这是九十度，那说明角 c e 是 不是应该也是九十度？他是九十度，这是九十度，哦，给他延长在这上啊，那 e 可能在这边， e 是 不是有可能在左边？所以说 e 有 两种哈，我先画第一种， e 在 这个位置的时候， 然后他又说了什么？他说，呃，并做直线 c e， 这是直线，这也是直线，并做直线 c e 和这个 a g， 哎，相交于点 h， 相交于点 h， 哈，然后让你求 g h 的 长，哎， g 在 这， h 在 这，我给他一延长之后，你就会发现这里边，你看这是不是有等腰直啊， 对不对？哎，这两个角还相等，这块给了角 b a g 看没看到角 b a g 等于角 a b e d。 好， 这个角和这个角是相等的哈，然后你一延长出来，这不就像在这个边和这个边相等，这是直角，这是直角，然后 ab 还等于 ac， 那 这两个三角形是不是相当于是全等的了？他俩一全等的话，那这个角和这个角是不是应该是相等了？ 这就是那个点角，哈，这个就是相等了，哎，然后他一相等之后，我就可以知道很多事情了。 嗯，那比如说这个边是一，这个边是三，这个边肯定是根号十，哎，同理哈。然后现在让你求的是谁场？求的是 j h 场，哎，求这个场。 第一个，我可以先把 a g 长求出来，我怎么去求 a g 长？我知道这个角这个大的 abc 是 不是应该是个等腰值啊？我就它是四十五度，看见四十五度可以往这边做个垂，对不对？做个垂之后，这个是不是应该是个小的等腰值？我就设它是 x， 这个也是 x， 哎。然后你看在这个小三角形 a m g 和 a e c 这里边，这个点角所对的弹键的值是不就是一比三呀？那我就设它是 x x， 这是不是三 x？ 所以 说总长是不是四 x？ 四 x 是 不应该等于我这个三吗？这不一，这是二，四 x 等于三，所以我就可以把 x 解出来，就等于四分之三， 那 x 等于四分之三，这是一比三比，根号十吧。所以说他是不是就应该是 a j 上就应该是四分之三倍，根号十，哎，可以的。然后我再利用右边这个小三角形和这个三角形他俩相似，他俩一相似的话，你去看相似比，是不是应该是他比他， 因为它比它比上它，等于它比上它，等于它比上它，这不还是这个弹性的值吗？所以说是不是应该是一比三，那我就设它是 y， 这是不是三 y， 哎。然后这个三角形和大三角形相似，是不是就应该有它的平方，等于它乘它呀？ 我就可以把这小 y 解出来就是八分之二十。小 y 解出来的话，你可以把 a h 的 乘，实际上是不就是 a g 加 a h， a g 长是刚才求出来的，四分之三倍，刚好十。而我的 a h 是 不是三倍的 y 呀？也就是八分之三倍，刚好十哈，哎，合在一起就是八分之九倍，刚好十，八分之九倍，刚好十哈。这是第一种情况，第二种情况，我把这图画一下，一样的，就是 e 在 这个位置，它说 c e 和 a g 相交于点 h， 我第一个先把 a h 求出来， a h 的 话，你可以用等面积法，对不对？哎，一乘三是不是应该等于刚好十？乘以 a h， 你 就可以把 a h 解出来，就是十分之三倍，刚好十哦， 哎。然后你用 a g 减去 a h， 是 不是 g h， 哎，刚才 a g 也求出来了， a h 也知道一做叉是不是就是二分之九倍刚好十啊？ ok 哈，这道题我觉得整体考的还是挺好的哈。嗯，首先考了你这个画图能力，还考了圆和这个几何结合在一起哈，然后我们来往下看哈。所以说你看这这张卷的正常单独出的这个圆相对来说简单一点，二十二题结合了个圆，哎，他就稍微加了一点点难度哈。 然后我们来看一下这二十三题哈。二十三题的话，他说抛物线这道题，我觉得这个二次函数题是难的哈，难在哪？他的计算量就求这个解释，求完之后的话，你的心里都没有底， 就觉得这个解释跟我们平常练的求解释的数不一样，你做的时候你就很慌哈。呃，要反复检查，把那个点带回去，然后验证一下成不成立啊。他说他抛物线，他与 x 轴、 y 轴分别相交于点 a 和点 b， 哎， c 点在抛物线上，满足这个式子， 那这个 b 点坐标一定是 x， 一定是 x， 等于零去解 y 啊，对不对？ b 点坐标是零到三，然后他让你求小 m 值，第一个你可以把这个 m c 点坐标带回去，得到一个关系。 第二，你把它打开，你可以对应系数相等啊，是不是三减 m 就 等于 m 减六，我的 m 是 不是等于二分之九？ 哎，这个第一个就出来了哈，第二个他说是给点 a 的 坐标，是六斗零两个点，你知道那个 c 点坐标，你还知道这个 a 点坐标，你是不是就可以把这个小 a 小 b 给我解出来了？哎，你解出来这小 a 小 b 竟然是一个是负九分之五，一个是十六分之七，看着就很奇怪哈，但是就是这个答案， 嗯，带回去就是他哈，然后这个圈二哈，非常的具有迷惑性，这个圈二出的我觉得真的挺好的，看着很复杂哈，你做到最后的话，你会发现 还行，还可以算哈，他说过点 p， 我 做 x 轴的垂线与 o， c 交于点 e 与 b， a 交于点 b， a 交于点 f， 大 概这么画，那这三个点他的横坐标可能都是小 e 啊，他给你这个东西就没有让你去求他的意思， 然后他说三角形他的面积和他的面积分别是这个，然后比完之后是这个，这看着好复杂呀，我这我的第一想法是能不能把它表示出来，然后椰汁分解，然后那个约掉一些哈，然后把这小一解出来再带回去， 哎，但是你在算的过程中我尝试了一遍哈，我发现算的过程中他因式分解不了哎，然后后来我一想，那可能不不是这么做哈，那可以怎么办？我看一下这个 pce， 这个三角形，哎，这个 pce 他 肯定是以 pe 为底， c 往这边做垂线为高吧，哎，你这 pe 是 多少 pe？ 不 就是你看他是不给你要求的 pe， 那 这个 c 往这边做高，实际上是不是二分之九减去 e 啊，哎，二分之九减 e 哈，而你看右边这个，你可以给他通分，通分完之后，是不是四分之九减二， e 和这个二分之九减 e， 其实他是可以约掉的哈。 然后你这个 p a b， 这个三角形，哎，这个三角形 p a b， 他 是不是可以以 p f 为底？哎，这不也要你求 p f 吗？是不是？他往这边做垂线为高，他往这边做垂线为高，那是不是就他俩的水平的距离，哎，也就是六哈，也就是六二分之一以 p f 为底，然后做完差就是六， 哎。然后给他表示出来之后，你会发现二分之一，二分之一可以约掉，对不对？而右边这个四分之九减二分之一，其实你可以提出个什么， 你提出一个二分之一好像就会更简单，我不这么提，我提个二分之一看起来会更舒服一点啊。我提二分之一这块是不是就是二分之九减一？这样的话，你二分之九减一是不是直接就约掉了？ 哎，二分之九减一哈，哎，直接约掉了，那左边这个分母剩个六一乘过来，是不就是剩三了？哎，六除以二，剩的是不就是三？ 这个题就很巧妙哈，这个圈二很巧妙哈。然后来看圈三圈三，他说当点 q 从点 a 出发， 点 q 从点 a 出发，哎，沿着折线 c h h a， 那 他肯定分两段，对不对？他说以 o b 和 o q 为边做他这道题的难点在于，他没有让你直接写出， 你还得写过程，对不对？求 d 的 曲值范围哈。那首先我就要去分析一下，当 q 在 这个位置的时候，你要按照顺序哈，他说的是平行四边形， b o q n b 在 这， o 在 这， q 在 这， n 肯定在上面，不可能跑到下面哈，他是 要么你是顺时针，要么逆时针哈。那我就想第一个，我想的是找到什么临界值，这临界值就是当我这个 q n 等于三的时候，这是不是临界情况， 哎，这个时候这条直线肯定是 y 点 x， 我 就说 q 点坐标是 t 对 t， 那 你这个 n 这第一个哈 q 一 n 一 点的坐标一定是这块加个三就是 t 对 t 加三，你把它带进去，能解出两个 t 值， 一个 t 是 零，这肯定要折了，就是这哈，另外一个 t 等于十分之三十三，哎，这是一个界点临界的情况，那我在想他往左还是往右，往哪呢？你如果要是往左，你会发现和他都没有没有这个抛物线吧， 只有你往右，哎，你往右，你看这块是不是就会有抛物线，它是不是就会向下，哎，它就会向下的哈。这个题正常情况下，你要算一下这个 h 点的坐标，你会发现它是在对称轴左边，所以 当你 q 往这边走的时候，它不可能有 y 衰的增大，而增大它都是从左到右都是下降的哈，然后你去看，哎，当它到哪块的时候，当这个 q 和 c 重合的时候，在这块， 哎，你看这里边是不是还是下降呢？而且这个点是能取到的，刚才这个临界的情况，这个取不到，这个连上的话，这里面没有没有二次函数图像，没有抛物线，对不对？所以说就是十分之三十三到二分之九，右边是可以取，等，左边取不到等哈。 然后第二种情况啊，就是在这个 q 点在 h a 上哈， q 点在这块的时候啊，我可以哎列一下， 然后我依然要找借点哈，我就往上做一个平行 y 轴的直线，让这个长度是三，这条直线可求哈，这条直线是 y 的 负二分之一， x 加三，它的坐标就是 t 到负二分之 t 加三上面，那是不是 t 到负二分之 t 加六啊？哎，你把这个点给我带进去， 带进去之后你就会解出两个 t 值，那 t 左边的肯定不要了， t 三减去五分之三倍，刚好十，这个不要， 哎，然后我只要右边这个哈，右边这个，那我现在想知道他和这个二分之九，因为你的 c 点的坐标不是二分之九都有二分之九吗？我要去看这个二分之九和他俩谁大谁小。我做个叉之后，然后你去比较一下，你发现他大于零，他大于零就是说明他比二分之九大呗， 他比二分之九大的话，那他跟刚才那就合不到一起去了，他俩就该分开，哎。到哪块到六，你往下面走，你看你这块，如果 q 跑到这了，哎，你看这是不是可以啊？在他俩之间的这一部分是不是都是 y 衰的增大而减小，从左到右是下降的趋势， 哎，你再往这边就不行了，你再往左边，你左边这块，你看你做平行四边形一组，对边平行且向等，中间没有抛物线肯定不行，哎，那就是这个界点 q 的 情况，往右走可以啊， 你看你这往右走是不是就可以的，这里边就都有，哎，你接着往右走，这个就是临界情况哈，就是当他在这块的时候， 就过 a 点的时候， a 点这块是几是六六又可以取到，所以说分类讨论了，那你要把这两种情况给他综上一下，合到一起就可以了哈。 呃，整体来说，我觉得这个大连二模题考的还是挺好的哈，就是有难度。然后，嗯，也给大家一点点这个得分的空间，就是你把你能力范围内该做对的做对就行了哈。拜拜。关注刘刘丹老师，我们下期再见。

我们可以看到这一次的几何压轴题，比较新颖的点是把一个三角形和圆进行了结合，其实它最主要的考点在于旋转全等，和子母形相似。好，那带着这个考点，我们来看一下这道题它是怎么出的。首先告诉我 abc 是 一个等腰三角形， a d 也就是我的这个半径为一，圆的半径为一，其实也就在隐藏的告诉我 a d 和 a e 的 长度都为一。 还有一个隐藏的条件，也就是 c a e 加上 b a c 等于一百八十度。首先我们来看图一这个条件，其实也就是告诉我们 b a e 三点共线。 好，那第一问，现在又知道 c e 和圆 a 是 相切的，让我们求 bc 的 长度对不对？相切我们知道这里是一个直角，但是这个地方一定要注意，根据相切的这个切线能够要写的这些步骤，我在这里带大家回顾 一下。因为 c e 与圆 o 相切， a e 是 半径，一定要这么描述啊，所以 c e 垂直 a e， 所以 能够得到角 a e c 等于九十度。有些同学想当然的说好，因为它是切线，所以直接下结论， a e c 是 九十度，这种直接跳步的证明是不可取的，在真正的考试的时候，这个会容易扣分啊。好， 第一问的话就很简单，也就是让我们解一个直角三角形就可以了，对不对？我们来看第二问，第二问的话，它是将这个角 b a c 特殊化，也就是 b a c 这个角度多少不知道了， 那么这个点 e 在 图 e 里面，它非常特殊的告诉我们了，这个 e 是 在 b a 的 这个射线延长线上。这个题首先告诉我的是 b、 a、 j 和 a、 b、 d 这两个角相等，其实也就是这两个角相等，让我们自己找点 e 的 位置。 这道题我们就要想了，因为 e 在 圆上，所以 b、 a 和圆 它有两个焦点，对不对？所以这道题一定要注意，我们要分情况讨论，如果想当然地去延长了 e 在 b、 a 的 延长线上，那么我们就会失去一个讨论情况。 所以这道题首先是图二和我下面的这个备用图。我们看 e 有 可能是在 b、 a 的 延长线上，也有可能是在 b、 a 的 线段上。首先这个题就是涉及到了两种情况，我们再来看这道题，它涉及到了什么？ 这里其实还是考到了几何的本质倒角，因为角相等， b、 a、 j 和 abd 相等，那我们不妨试它们都是 y 或者都是 x 吧，都是 x， 因为这是九十度， b、 a、 c 是 九十度，所以这是个等腰值，对不对？那么根据外角的定理，我们能够得到角 aj、 c 等于四十五加 x， 对 吧？好， 到这为止，我们再来看 a、 b、 a、 c 这两条边相等， a、 b、 a、 c 相等，还有一个圆半径作为隐藏条件， a、 d 和 a、 e 也相等，这还有相加等于八十度。所以这里有一个旋转型的三角形，全等三角形 a、 b、 d 全等于三角形 c、 a、 e 全等啊，刚刚写成相似了，全等于三角形 c、 a、 e， 那 么这个时候 a、 e、 c 这个角也叫 x， 对 吧？ 那我们能够发现这里出来一个等腰三角形啊，也就是说，我的 a、 j、 c 和 e、 c、 g 这两个角相等，那我们求的 j、 h 是 不是转换成 ch 了？ j、 h 进而转化为 ch， 好，那我们现在目标就是来求 c h 了。来，我们来看一下，这里涉及到了一个子母型的相似，三角形 a， e、 h 和三角形 c a、 h， 这两个三角形相似是不是包含在里面？它们有一个公共角 h， 三角形 a、 h， e 相似于三角形 c h a。 那 这里啊，我们来看吧，是不是把三条边的比例关系找出来，那么就可以求出 g h 也就是 c h 的 长度了，对吧？ 好，讲完第一种这个思路，我们来看第二个 e 在 b a 的 线段上，那这个地方是不是还是涉及到了一个旋转型的全等三角形 a， b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 对 吧？通过旋转全等能够得到角相等，那么 x 还是设角 x x 对 不对？来，这个时候我们发现， 通过第一种情况，我们能够知道这里是隐藏了一个子母形相似吧。来，我们来看这个题，我倒完角之后，是不是这里也隐藏了一个子母形的相似，也就是 a e c， 哎，那我们来看一下这道题哪有子母形相似？ 首先角倒完了 x x， 已知 b a、 c， 这里是九十度，对不对？所以角 a、 c、 e 加上角 a、 e， c 是 不等于九十度，因为它俩相等，所以能够得到。 看好了，激光笔画的这两个角相加是不等于九十度，从而能够得出 a h、 e， 它是九十度的，这里跟上没有来，在这里如果没跟上的话，我们再来标注一下啊，角一、角二， 来辅助大家角一、角二、角三，因为 b a、 c 是 九十度，所以角二加角三等于九十度。通过刚刚我们得到的旋转形全等，还有角互导，能够得到角一和角二相等， 所以角一角三相加等于九十度，能够得到 a h e， 它是不是一个九十度的角，从而能够看到这两条线是垂直的？这里是不是也隐藏了一个子母型的相似，或者是说摄影定律， 对吧？好，那我们来看一下啊。所以我们能够得到三角形 a h e， 它是相似于三角形 c h a， 也相似于大的这个三角形 c a e， 那 我们求 g h， 通过相似我们是不是能够求出 a h 来？然后我的目标是不是在解直角三角形，把 a j 求出来就可以了，对不对？那么 a j 这种求法有很多种，首先我的一种思路是不是就可以过点 a 往下做垂直？ 根据 amg， 这是一个直角三角形，是不是解出 aj 来？所以我的主要目标求 jh 的 目标就是求 aj 减 h， a h， 通过相似来 aj， 通过减三角形即可。好，所以说这道题新颖的点就是在于三角形和圆进行了结合，把 边等隐藏在了圆的半径上，所以这个地方有个旋转型全等，很多同学就掉到坑里了。

沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频第二问用到的一线三垂直模型，那么今天我用第二种方法给大家讲解 共顶点等腰相似模型，在中考数学当中也是一种非常常见的非常重要的模型，我们来看一下，因为角 a、 b、 c 等于九十度，又因为角 a、 b、 c 加上角 a、 d， c 等于一百八，那么这个角也是九十度， a、 d 等于 c、 d 啊。这两个三角形是折叠过来的三角形，所以我们就可以得到这个角为四十五度，这个角也是四十五度，那是不可以得到角 a、 c、 f 就是 九十度， 并且 ac 等于 cf， 那 我们是不是可以得到三角形 acf 是 一个等腰 r t 三角形，对吧？同理，又因为 ab 等于 b、 e， 那 么三角形 a、 b、 e， 它也是一个等腰 r、 t 三角形， 那我们是不是要连接 a、 e 啊？那么大家发现没有，两个顶角相等的等腰三角形，并且共了一个顶点，那么这个模型是不是跟手拉手模型很相似？ 但它不是手拉手模型啊，手拉手模型的话是共顶点共这个等腰三角形的这个顶点，那么一般会出现全等， 但这个模型很相似哈，我命名为共顶点等腰相似模型，那么有什么奥妙？我们来看一下，因为这两个等腰三角形顶角都是九十度，那是不是说明这两个等腰三角形肯定是相似的？ 所以说三角形 a、 b、 e， 它要相似于三角形 a、 c、 f 相似之后，我们是不可以得到边乘比例，那我们就可以得到 a、 b 比上 a、 c 等于 a、 e 比上 a、 f。 大家发现没有 a、 b、 c、 a、 e、 f， 那 不就是这两个三角形 a、 b、 c 和 a、 e、 f 的 两条边吗？对不对？又因为角 b、 a、 c 等于角 e、 f 顶角相等，并且夹这个角的两边成比例，那我们是不是可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 f 就 相似的，你看是不是非常非常妙啊？ 共顶点等腰相似模型，它这个顶点啊，是这个等腰三角形的底角的这个顶点，那么这个时候就会出现两个相似，你看是不是非常非常的妙？那么这个时候我们是不是可以得到角 a、 e、 f 等于角 abc 等于九十度，这个角为九十度， 那我们是不是可以得到角 a、 e、 c 也为九十度？又因为 ab 等于 b、 e， 所以 这个角 a、 e、 c， 它应该是等于四十五度。那么最终我们是不是可以得到这个角 b、 e、 c 也等于四十五度，那么最终我们是不是可以得到 b、 g 等于 b、 e？ 好， 我把过程大概写一下，大家看一下这个方法是不是非常的妙，这个模型是不是也是很重要？ 这同样是第二问，我们用的不同的方法来做完全不一样，所以我希望大家在平时的学习过程中啊，尽量用到一题多解的思想。那么你做了一道题目，是不是相当于学了很多内容，那你能力肯定会提高，关注彭老师，那么下期视频啊，给大家讲。第三问。

hello 同学们，我是杨老师，今天给大家讲解一下昨天刚刚考完的大量二模几何压轴二十二题。好，咱们看这道题啊， a、 b 等于 a， c 都是三， 然后呢？对，在圆上，以 a 对 等于一，以 a 为圆心， a 对 长为半径画圆点 e 也在圆上角斜 e 角 c、 e 加上角 b， a、 c 等于一百八十度，然后第一步延长 b， a 与圆相切于点 e， 那 么这个位置应该是直角， 对吧？相切直角啊，然后找到一个点 e 的 位置呢？连接 c、 e， 进一步发现呢， c、 e 跟这个圆是相切的，可以求出 b、 c 长，那么咱们现在看三角形， 在 r、 t 三角形 a、 e、 c 中，对吧？ c 是 能求出来的啊。 c、 e 应该等于根号下三方减一方，等于二倍，根号二，然后再看 r、 t 三角形 b， c、 e， 对 吧？这个 b、 c、 e 啊，就可以把 b、 c 求出来。 b、 c 等于根号下 四方加八，对吧？二倍，根号平方，所以答案应该是二倍，根号六。这是第一问，然后第二问，第二问呢？ b、 a、 c 等于九十度，那么这个位置得九十度的话，看题干啊， 它是九十，说明角 c， e 也是九十 c， a， e 是 九十，然后 e 是 圆上一点，所以 e 应该有两种情况，对吧？ c、 a、 e 有 可能在上方，或可能在 a、 b 线上线段上啊，所以咱们先把这种情况画出来 研究。 e 在 a、 c 延长线上，然后连接 b。 对， 然后这上面 b、 c 上有点坠啊，使 b、 a、 g 这个角等于角 ab 对， 嗯，它俩相等， 然后找到符合点的条件点 e， 然后并作 c 直线。 c， e 与 a、 g 交于点 h， 所以 连接 c、 e， 然后延长一点与 a 锥延长线， a 锥延长线交于点 h。 好，这啊，共线的啊，然后咱们看看这个条件啊，这个条件，首先这个 c e 这块直角，那么大家发现没，这是一，这是一。然后题干啊，最上方 a b 等于 a， c 等于三，所以这个里面有一个全等， 对吧？三角形 a、 b 的 全等于，三角形 a、 e、 c 它俩全等，全等完以后呢，咱就可以把这个题干给的特殊角二发倒过去，这就是二发全等可得。然后再去看看，什么呢？ 这个里面呢，除了全等以后呢，还有特殊角，这个角 a b c 和角 a c b， 它俩都是四十五度， 对吧？然后你还会发现，如果这个角四十五度的话，这个角 a、 g、 c 应该是四十五，也是加二发，会发现有个全等，这里面的 h g 就 等于 h c， ok， 然后再看他最后要求的就是这个 h g 啊，那咱们开始从这个已知边出发啊， ab 等于三，然后你再观察啊，这里面弹进的二发， 注意观察啊，弹性的二发等于 a， d 比 ab 等于一比三，所以相当于。最后你会发现什么呢？三角形 a b g 可解，三条线可解，咱们可以把 a g 给求出来，对吧？所以咱辅助线应该是过 g 做一个垂，你可以设这个 b q 等于 g， q 就是 x， 然后弹性的二发是一比三，所以相当于 a， q 是 三， x 相当于四， x 就 等于 三，所以 x 应该等于四分之三。然后这个 a g 这个图里面的 a g 啊，一三刚好十，它应该等于四分之三倍，根号十是 a g 长，这个应该是四分之三倍，根号十。求出来了， 然后咱再去看啊，要求的是 g h， 那 么 ag 咱解出来了，还差 a h， 对 吧？然后看 a h 这三角形，再仔细观察啊， 这个位置对顶过来也是二发，对吧？那这时候呢，二发一和二发二相等，你会发现有一个字母形相似， 对吧？那字母形相似的话，咱肯定会想，那他的那个结论是是啥呢？是 a h 方等于 h e 乘 h c， ok 吧？然后这里面呢，你还会知道什么呢？这个 c e 长是根号十， 然后 a 最长呢？刚求完四分之三倍刚好时，那咱啊，咱解释一下啊，设 h e 是 x， 那 么 h e 要是 x 的 话， 这里面的 h c 等于 h g 都是 x 加根号十，然后你刚才导的 a g 是 四分之三倍根号十，所以这个 a h 应该是 x 加上四分之三倍根号十，减去 x 加根号十啊，应该是 x 加根号十， x 加根号十减到四分之三倍根号十，应该是 x 加四分之根号十， 这是 a h， 然后就可以把到把它带到这个堆积形式里面，所以 x 加上四分之根号十的平方等于 x 乘上 x 加根号十，一元一次方程啊，解得呢， x 应该等于八分之根号十， 所以最后这个里面的答案，这个最 h 等于 h c 应该等于根号十加八分之根号十，应该是八分之九倍根号十，这是第一种情况，然后看第二种情况，第二种情况是这个图一点应该在这， 对吧？然后呢，连接 c e 交 a g 于点 h， 所以 这个位置是点 h， 然后同理可得，方法跟刚才是一模一样。咱把这个倒这个角标上啊，也有全等，但是这个全等呢？在里面，三角形 a b d， 对 吧？三角形 a、 b、 d 跟三角形 a、 c、 e 它俩交叉全等，所以这时候二发是它，对吧？然后你会发现个什么呢？有个摄影定律，有个直角，这个位置有直角， 对吧？倒下直角。那倒完直角以后你还有结论呢？ a h 方应该等于 e h 乘 h c， 对 吧？所以咱是能把 a h 用什么方法呢？最基本的面积法对吧？一乘三除以十，底乘高 等于底乘高等于十分之三倍，刚好使。这是 a h。 那 最后 求的是 h g 啊，那也没用到圣经里，那直接咱就 g h 就 可以啊。直接求 g h， 就是 拿刚才求完的 a g 四分之三倍根号十减掉十分之三倍根号十，应该等于二十分之 九倍根号十。好，这两答案啊，那个答案是另外一个答案啊。所以中上这道题的 g h 应该等于二十分之九倍根号十，或者是 八分之九倍根号十。

是关中王来了。

沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们来看一下这个第一问，它就是一个倒角的问题， 一般是在这个几何压轴的第一问考察比较简单，我们来看一下它是在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 大 于 bc， a、 d 等于 c、 d 啊，这是一个等腰，并且角 a、 b、 c 加上角 a、 d、 c 等于一百八十度，这两个角互补连接 a、 c 将三角形 a、 b、 c 沿着 c、 d 折叠到三角形 f、 c、 d， 就这两个三角形他是翻折过来的，那么这个时候我们是不是可以得到这个角等于这个角，又因为他是翻折过来了，所以说这个角跟这个角也是相等的，那么这四个角是不是相等的，对不对？ 它延长 bc， 使得 b、 e 等于 ab， 就是 这个等于这个线段。好，第一问它让我们证明角 b、 a、 c 这个角等于角 e、 c、 f 等于这个角， 那么像这种题目哈，我们啊最好的方法啊，就是最简单的方法，我们可以用倒角来做，我们可以设一个最小角， 那我们观察一下，我们设这个角为 x 是 不是比较好，那么这个角设了之后，我们可以将相关的角表示出来，那么这个就是设角的好处，那么这个角也是 x， 这个角也是 x， 对 吧？ 那么这个角就是一百八十度减去二 x， 因为这个角跟这个角互补，所以我们可以得到角 b， 它也是等于二 x。 现在让我们要求这个角等于这个角， 那我们把这个角 a、 c、 b 设为角北的，那么这个角 b、 a、 c 是 不是等于一百八十度减去二 x 减去角北的， 同理角 e、 c、 f 是 不是也是等于一百八十度减去二 x 减去北的，那么这两个角就相等了吗？ 对不对？那么这个第一问就完事了，这个倒角啊，大家一定要掌握哈，我们设一个角之后，那么其他角很容易表示出来。好，我们来看一下第二问， 那么这个第二问他考察的是一线三垂之法，那么这个第二问我用两种不同的方法给大家讲解啊，是一道非常经典的题目， 它是角 abc 等于九十度。因为这个题目已经告诉我们的角 abc 和角 adc 是 互补的，那我们是不可以得到角 adc， 它也是等于九十度， 他是翻折过来的，那么这个角 c、 d、 f 也是九十度，又因为 a、 d 等于 dc， 所以 说三角形 a、 d、 c 是 一个等腰 r、 t 三角形，那么这个角就是四十五度，这个角也是四十五度， 这个角也是四十五度，那我们是不是可以得到角 a、 c、 f 等于九十度啊？他现在让我们证明 b g 等于 b e， 那 不就是让我们证明一下这个角为四十五度吗？对不对？我们看到等腰、 r、 t 三角形，就看到这个模型，是不是马上想到一线三垂直模型， 所以我们很容易想到，我们要延长 c、 e 过 f 向 c e 做垂线，我们由一线三垂直模型是不很容易得到三角形 abc 和三角形 c、 g、 f 是 全等的， 那么这个全等啊，我相信啊，绝大多数学生啊，都没有问题。那么全等之后，我们是不是可以得到 bc 等于 f g a b 等于 c g。 好， 我把过程写一下，又因为 ab 等于 b e， ab 又等于 c g， 那 我们是不是可以得到 c g 等于 b e？ 因为 c e 是 一个公共边，那我们是不是可以得到 bc 就 等于 e g， 又因为 bc 等于 f g， 那 我们是不是可以得到 f g 就 等于 e g， 那么这个时候是不是可以得到角 f e g 为四十五度，那么这个时候我们就可以得到角 b e g 就 等于四十五度的，所以我们就可以得到 b e 等于 b g。 你 看这个题是不是一道非常好的题目呢？就看到这种图形哈，我们可以想到一线三垂直， 你看这个理是不是非常的妙？关注彭老师，那么下期视频给大家讲解第二种方法。第二种方法完全不一样，也是一种非常常见的常考的经典模型，我们下期视频见。

那么二零二六年大连二模数学考完了啊，这个二十二题真的是比较偏啊，那么这些年没见过哪些啊？这个本来是几何亚洲题，换成了圆，这不不是南方的考法以及哈尔滨的考法吗？根本不是咱们辽宁省的考法啊。一会我们具体来看， 首先啊，这道整个试卷里边可以需要做的题啊，四五七八十五，二十一，二十二、二十三，这几道题是这套卷的精华所在啊，咱们其他城市的只要把这几道题领就开始做一下子咱们就可以啊，领取的咱们留言按摩。 那么前面这前五道题啊，这个第四题，为什么第四题第五题容易去做呢？这是给那种基础偏下的小孩去准备的， 他们啊，对于我们这个啊，销售类问题啊，还有我们这个外角啊，可能把这个定底忘了，那么通过这两道题，帮他们小孩把这个基础想一想啊，你这块之前你怎么基础分，该抓就抓住，然后再寻求拔高啊？ 后边的这个，我们这个七八也是如此啊，如果这个基础比较过关的小孩，做正题肯定是没问题啊， 对于我们就是能上一百分的小孩，可以说做前十道题根本用不了十分钟，你甚至再加上我们这个十一、十二、十三、十四、十五，他也用不了五分钟啊，这个十五题根本也是没达到拔高题的难度啊， 正常我们这个呃，其他城市的十五题都会比这个难，这不就相当于是一个二三数图像，你绘画给了你一个这个固定的区间，你这不都是固定的定轴定区间问题完起过大支，起过最小支，这这都打了个八高题，顶多算一个中等题的难度啊。 所以说前十五道题对咱们辽宁省的小孩来讲，十五分钟啊，高手就能解决完了，并且你不能出错，出错不行，然后就是其他的小孩，你也不能超过二十分钟把，这题都得答对啊，咱们个拿着出来可以做个检测， 十六题啊，简单百几分的，完了，十几题也是这个这种这个概率的问题啊，呃，最后别忘了写一不写一可能扣分啊。其他的统计图啊，都比较简单， 然后像这个啊，这个方程的问题，这也是人怕你读不懂，后边还给你解释了，按照正常咱们现在的语言给你解释的啊，然后十九题也没达到一个正常的一个难度，这个前两位，这不就白给分的吗？你给现在的班级小孩他也会做呀。 完了，这个第三问啊，这两个边相等，你正做垂线利用三利用那个什么，呃，一个购物典礼什么的都可以去做啊，这都比较简单，这都是白给分的啊。 然后二十题也是啊，这个应用问题啊，应用问题也不难啊，这个都是百分的。那么二十一题啊，这个圆稍微有点难度啊，孩子们得意识到，这个这个已知条件，怎么去用啊？第一问，第二问呢，这个稍微有点难度，这个我需要咱们去练一练。 然后主要是二十二题罕见的出现了啊，我们二十二题本来是一个几何压轴题，你看这咔嚓整圆上来，孩子当时不就懵了吗？ 如果，而且是这种开放性的，类似于开放性的问题，然后让你这个啊，让你找出一个完了适当的相切啊的时候，然后你求边长，这也没这么考过呀，还那么容易蒙啊，这种题后期啊，我明天开始，老师会陆续的把这些压轴题这个视频给他录了啊，咱们小孩可以听下老师的视频讲解。 然后我们这个二十三题啊，就偏常规一些了，上面是这个二三数，然后结合了一元二次方程，然后前两段都偏简单， 从这个小球二和小球三上面上有难度啊，这块一个面积的一个问题，完了，后边这块是一个啊，平行四边形，然后结合着这种图像变化，然后找焦点啊，求这个距离的问题啊，这个题老师也是后后给大家录视频讲解。 那么总体来说啊，我大连这套试卷啊，前边啊，前二十道题都是偏简单的，二十一题，二十二题，二十三题上有难度， 特别是二十二题，有点跟咱们正常考试不太一样啊，后边两道大题，老师一定会录视频讲解的，其他程序的家长啊，建议把这张卷给他领回去啊，咱们这个留言按摩。然后压轴题老师会录视频讲解。

大连二模数学刚考完，大家觉得难度怎么样？今天我给大家分享几何压轴题目，很多学生看到这道题目有一些懵，他们看到几何压轴题目和圆一起考察啊，觉得很难， 其实这道题目跟圆基本没有多大关系。好，我们来看一下。在三角形 a、 b、 c 当中， ab 等于 ac， 等于三 点 d， 在 a、 c 上， a、 d 等于一。以 a 点为圆心，以 a、 d 的 长度啊为半径，我们画一个圆点 e 在 圆 a 上，并且角 c、 a、 e 加上角 b， a、 c 等于一百八十度。 好，我们来看第一问，但是分界小组通过延长 b， a 与这个原 a 相交于点 e， 他 找到了一个符合条件的点 e 的 位置，连接 c、 e， 进一步发现，当 c、 a 与原 a 相切的时候，我们可以求出 bc 的 长度， c， e 和 圆 a 相切，又因为 a、 e 是 半径，那我们是不是很容易得到角 a， e， c 为九十度，因为 a、 e 是 半径，那我们是不是可以得到 a， e 的 长度也是等于一， 又因为 a、 c 是 等于三，那我们用勾勒你是不是很容易把 c、 e 勾出来？那么 c、 e 的 长度应该是等于根号下九，减去一， 就是等于根号八，那就是二倍的根号二。然后在三角形 b、 e、 c 当中，我们是不是可以再用一下勾定你啊，就可以把 b、 c 的 长度求出来， b、 e 的 长度等于四， c， e 的 长度等于二倍根号二。所以说 b、 e 的 平方就是四的平方，再加上二倍的根号二，括号的平方， 他应该是等于根号下十六，加上八等于根号下二十四，就是等于二倍的根号六。那么这个第一问啊，比较简单啊，只要大家把这个题目读清楚啊，把这个条件全部挖掘出来，那么这个第一问就是一个送分题目， 我们来看一下第二问。瑞斯小组将角 b、 a、 c 特殊化后，提出如下问题， 它是角 b、 a、 c 等于九十度啊，是一个直角三角形，连接 b、 d， 使 b、 a、 g， 这个角等于角 a、 b、 d。 比如这个角，请你在这个圆 a 上找到符合条件的点 e 的 位置，并做直线 c， e 与直线 a、 g 相交于点 h， 让我们求 g h 的 长度，那我们先把这个点 e 的 位置找到，我们看一共有多少个点， 因为这个题目告诉我们的角 c、 a、 e 加上角 b a、 c 等于一百八十度，而角 b、 a、 c 等于九十度，那我们是不是可以得到角 c a、 e 也等于九十度，那我们很容易得到这个 e 点 在这个 b a 的 延长线上，并且在这个圆上，所以说这个 e 点应该是在这个地方。第二种情况，这个 e 点是不是在这个地方啊？对不对？你看是不是一共两种情况啊？那我们先把这个图画出来，那么这个 e 点一共有两个位置，一个是在这个地方啊，一个是在这个地方，然后我们连接 c e 与这个 g a 相交于 h 点。好，我们先看一下这个图，它让我们求 g h 的 长度，那么 g h 的 长度，它应该是等于 a g 加上 a、 h 三角形 b， a、 c 等于九十度，又因为 ab 等于 ac， 那 么这个三角形就是一个等腰 r、 t 三角形，所以说这个底角它应该是四十五度，因为 ab 等于 a c， a、 d 等于 a e， 角 e a、 c 也是等于九十度，那我们是不是很容易判断出来三角形 abd 和三角形 a、 c、 e， 它应该是全等的，就这个三角形和这个三角形应该是全等的，因为 ab 的 长度等于三， ac 的 长度等于三，那么 a、 e 的 长度等于一， ad 的 长度等于一。 在三角形 b a、 d 当中，我们可以把 b、 d 勾出来，那么这个 b、 d 应该是等于根号十，所以我们可以得到 c e 的 长度也是等于根号十。 这个题目告诉我们的，角 b a g 等于角 a b、 d， 那 么这个有什么用呢？我们刚刚是不是已经得到一个全等了？所以我们可以得到角 a、 b、 d， 它应该是等于角 a、 c、 e， 又因为角 b a、 g， 它应该是等于角 h a e， 它是一个对顶角，那么这个时候是不是出现了一个子母相似啊？就是三角形 h a、 e 和三角形 h c a， 它应该是相似的，因为这个角 h， 它是一个公共角啊。角 h a、 e， 它等于角 a、 c、 e 相似之后，我们是不是可以得到对应边乘比例？所以我们就可以得到 h e 比上 h a， 它应该是等于 h a 比上 h c 等于 a e 比上 a c。 大家发现没有， a e 的 长度等于一， a c 的 长度等于三，那我们是不是可以得到这个相似比，就是一比三。那么这个时候我们可以设 h e 为 m， 那 么 h a 就是 三 m。 有这个式子，我们就可以求出 h c， 它应该是等于九 m， 所以 我们就可以得到 c e 的 长度应该是等于八 m， 又因为 c e， 它是等于 a d 等于根号十，那么这个时候我们是不是可以求出 m， 它应该是等于八分之根号十， 所以我们可以得到 a h 的 长度，它应该是等于八分之三倍的根号十。我们要求 g h 的 长度，那我们是不是还需要求 a g 的 长度？ 因为这个地方角 a b g 等于四十五度，而这个角的三角函数值是不可以求出来啊， 这个角等于这个角，这个角的三角函数值应该是贪金，这个角等于三分之一。那么在一个三角形当中啊，已知一个角，另外一个角的三角函数值也是已知的， 又因为 ab 的 长度，它是等于三，那我们是不是很容易想到我们要过继点向 ab 做垂线，这个地方非常妙哈，大家一定要去体会。 那我们可以设 mg 等于 a， 那 么 b m 是 不是也是等于 a？ 又因为贪金角 b， a， g， 它是等于三分之一的，那我们是不可以得到 a m， 它应该是等于三 a， 所以 我们就可以得到四。 a， 它应该是等于 a， b 的 长度就等于三，所以我们可以得到 a， 它应该是等于四分之三。那么在三角形 a， m g 当中，我们用一下勾股定律就可以求出 a g， 它应该是等于根号下 九 a 的 方加上 a 的 方，所以说 a g 应该是等于根号十， a， 它应该是等于四分之三倍的根号十，所以我们就可以得到。第一种情况， g h， 它应该是等于四分之三倍的根号十，再加上 八分之三倍的根号十，等于八分之九倍的根号十。好的哈，那我们再来看一下第二种情况，如果这个 e 点在这个地方，那么这种情况和这个第一种情况是不是类似的？ 因为这个角 b a g 等于角 a c e， 又因为 e a c 等于九十度， 那我们是不是可以得到角 a e h 等于角 c a h， 就是 说这两个三角形是不是相似的？为什么呢？因为第一种情况是三角形 h a e 和三角形 h c a 是 相似的， 所以说我们要看一下第二种情况，这两个三弦是不是也是相似的？那通过我们的分析，这两个三弦也是相似的，所以说这个式子还是成立的。那么这个时候我们可以设 h e 等于 n， 那 么 h a 是 不是等于三 n， 那 么在三角形 a h e 当中，我们用勾定你，那我们就可以得到 a e 的 长度，应该是等于根号十。 n， 又因为 a e 它是等于一的， 所以我们就可以得到 n， 它应该是等于十分之根号十。我们要求 g h 的 长度，那我们要把 a h 求出来， 那么 a h 它应该是等于三 n， 所以 a h 等于十分之三倍的根号十。因为 ag 和这个第一种情况的 ag 是 不是相等的？因为这个图形没改变呢？所以说 ag 它还是等于 四分之三倍的根号十，那我们就可以得到 g h， 它应该是等于 ag。 再减去 a h， 他应该是等于四分之三倍的根号十。再减去十分之三倍的根号十，他应该是等于二十分之九倍的根号十。 那么这个就是第二种情况，所以说最终的答案应该只有两个啊，第一个是八分之九倍的根号十，第二个是二十分之九倍的根号十。 那么这道题目大家听懂了吗？其实大家做起来哈，一点也不难哈。大家如果想要大连市二模的数学试卷，大家可以在评论区留中考冲刺。好，我们下期视频见。