河西三模数学立体几何

这是南京三模的这个第十一题，也是全卷中选填最难的一道题目，那么这个题目其实呢，并不需要大家有特别强的这个空间想象力， 只要你能够去把几何的条件翻译成代数的条件，那么这道题还是可以去做的。第一问比较简单，我们就不做了，我们直接从 b 选项开始，它说 c p 方加 c， a 方加 c， b 方是等于三分之十六的，那么也就是说 c p 在 这里啊，就是 h 的 平方， c a 就是 b 平方， c b 就是 a 平方，我们要看它是否是一个定值，那么我们把所有的条件全部写下来，由于 pc 是 垂直于底面的，所以我们可以得到三角形 p c， a， 三角形 p c， b， 它全都是直角三角形，所以我们可以先写两个勾股定律的式子， h 的 平方加上一个 b 方，就等于 m 的 平方， 我们还有 h 的 平方再加上一个 a 方，是等于 n 方，然后我们有两个六十度，所以我们可以写余弦定的式子，所以我们可以得到 ab 就 等于 a 方加 b 方减四， m 零就等于 m 的 平方加上零的平方减四。好，那么这时候我们要去求证它是一个定值，那么我们就需要去找到这三者之间的一个关系， 那么三者之间的关系我们会发现一个问题啊，你看这两个式子，虽然它里面有 h 方，有 a 方，有 b 方，但是它里面是不是还混合了 m 方和盈方，所以我们就要去尽可能的去把它消掉，所以我们可以把这两个式子先加起来，我们就可以得到二 h 的 平方，再加上一个 a 方，再加上一个 b 方，就等于 m 方加上盈方， 而 m 方加上零方，是不是就可以写成 m 零再加上一个四，然后我们再把 m 和 n 替换掉，这边我们先移向移过来就得到二 h 的 平方加上一个 a 方，加上一个 b 方，再减去一个四，等于 m m， 我 们可以写出来它是根号加 h 方加上一个 b 方。 m 的 话是根号加 h 方加上一个 a 方， 那么此时我们已经得到了一个纯 a b h 的 一个式子。但是如果接下来直接平方，是不是还是挺麻烦的一件事情？因为你毕竟左边这里是四项的一个结构，所以我会选择啊，你看这里是不是就会出现一个这样的一个结构，我们可以把它替换成 a 乘 b， 所以 它就变成二 h 方加上一个 ab， 等于根号下 h 方加 b 方， 乘一个根号加 h 方加 a 方，那么这样平方是不是就会简单很多啊？所以我们就可以得到四 h 的 一个四次方加上一个 a 方， b 方加上一个四 h 的 平方 ab 就 等于 h 的 四次方加上一个 a 方 h 方加上一个 b 方 h 方，再加上一个 a 方 b 方， 我们可以把它约一约，所以我们就发现他每一项剩下的每一项是不是都有 h 方，我们可以约掉一个 h 方，然后再把它全部移向，移到左边来，我们就可以得到三 h 的 一个平方加上一个四 a b， 再减去一个 a 方，减去一个 b 方是等于零的， 而这边四 a b， 我 们是不是还可以把它替换成 a 方加 b 方减四，所以我们就可以得到三 h 的 平方加上一个四 a 方加上一个四， b 方减去一个十六，再减去一个 a 方，减去一个 b 方等于零。所以我们是不是就可以得到 a 方加 a 方加 b 方就等于三分之一十六， 那么我们会发现整个过程中是不是就是纯代数的一个计算，并没有任何的一个几何的一个啊使用，那么你几何是不是只给我们提供代数关系？所以这道题目他其实考的都有点像圆锥曲线的意思，那因为我们只要去翻译几何条件，然后转成代数关系去计算就可以了。那么我们接着来看 c 选项，他说当 h 等于一的时候，那么此时他的一个体积取到最大，那么我们看一下他的体积 v v 是 不是应该是等于三分之一乘以个 h 三角形 abc， 而 s 三角形 a， b c， 我 们肯定是用二分之一 a b sine c， 所以 像这个 a， 呃， sine 啊，我们都都可以不用管了，三分之一 sine 啊，都，这都不用管了。实际上就是要求当 h 等于多少的时候， h 乘以 a 乘以 b 这个东西，它获取了一个最大值，那么这个尺子我们肯定要尽可能的去进行削圆啊， 我们求最值，是不是肯定要变成单一元的一个最值？那么这里的 a 乘 b， 我 们是不是可以借助这个式子去替换，那么它就变成 h 乘以一个 a 方加 b 方减四，为什么要换呢？因为我们是知道 a 方加 b 方和 h 的 关系的，所以换完我们就可以彻底进行消元了。这边我们可以带进去就三分之一十六减去一个 h 的 平方，再减去一个四， 所以我们最后要求的实际上是负 h 的 平，负 h 的 三次方，然后再加上一个三分之四个 h， 要看它的一个最大值，那剩下的就是一个求导了，我们求导会发现，当 h 等于三分之二的时候，它取到最大，所以 c 选项就错了。好，然后我们再接着看最后一个， 最后一个 d 选项其实也不难啊，我们怎么去求他的一个外接球的一个半径呢？我们知道三人追的外接球，我们会先把它补成人柱，人柱我们再补成圆柱，所以我们可以得到啊，就是他的一个外接球半径，而实际上是取决于你底面的一个 外接原半径以及你的高的，所以它写下来应该是二 r 是 等于四 r 底下的半径，我们用小 r 表示四 r 方加上一个 h 的 平方再开根，这是一个最基本的模型啊，就是把三棱锥补成三棱柱，把三棱柱补成圆柱，当你把它一旦补成圆柱之后， 大家来看我们的这个圆柱的外接球直径是不是就这条线，而我们怎么去求这个二 r 是 不是取决于底下的这个两倍的小 r 和这个 h 啊？它是不会形成这样一个固定的关系啊。如果你不知道这个的话，那就说明你高一的时候学外接球的整个体系是不完整的，这是一个很基础的一个问题。 那么这接下来我们就只剩去进行一个运算了，我们只要算出它的一个这个 r 的 一个取值范围就可以了。所以我们本职场是在算四 r 平方加上一个 h 平方的一个取值范围，而 r 底面这个是一个定角对定弦引圆，它的外接圆半径实际上我们是知道的，我们第一问已经算过了，所以我们可以得到这个小 r 实际上是等于三分之二，根号三， 那么我们把它带进去，它平方再乘以四就应该是三分之十六，再加上一个 h 的 平方，所以在这里我们只剩下去求 h 的 一个取值范围了，那么我们怎么去求 h 的 一个取值范围？我们知道 h 的 平方是等于三分之十六，去减去一个 a 方加 b 方的， 那么我们就要知道 a 方加 b 方的取值范围，那么这里是不是就直接让我们使用基本不等式就可以了？所以根据基本不等式，我们可以得到 a 方加 b 方大于等于两倍的一个 a b， 在这里我们可以把这里的二 a b 去替换掉，利用这个式子我们可以得到一个纯 a 方加 b 方的一个取值范围，所以我们就可以得到 a 方加 b 方就大于等于两倍的 a 方加两倍的一个 b 方减去一个八，所以我们就可以得到 a 方加 b 方 小于等于八，而因为你自己作为 ab， 对 吧？你作为 ab， 他 是不是要一个正数啊？所以在这里的话，我们是不是可以看得出来，你 a 方加 b 方是必须要大于四的，所以我们 h 的 平方的范围就出来了， h 方应该是大于零，小于三分之四， 那么我们又有了 h 方的一个取值范围，所以我们这个整体的一个取值范围，根号下的这个取值范围就出来了，所以他应该是大于三分之十六小于三分之二十，然后我们再对他进行一个开根，所以我们就可以得到 r 的 取值范围，应该是大于三分之四根号三，小于三分之 二根号十五的，那么我们要求 r 的 范围，那么整个问题就结束了，也就是大家会发现整个这道题目里面，我们是不是根本就没有跟几何的内容沾了太多的边，全都是代数的一个运算。所以我建议大家遇到这种题型的时候，你可以考虑 把未知数设出来，把所有的关系式能列的就列出来，那么你就会头脑非常清醒，这样你就可以剥离掉你的立体几何的图形，然后进入一个纯代数的一个计算。

各位天津的高三家长同学们，今天咱们不吹不捧，实打实聊聊河西高三三模数学卷。 说实话，这道卷我看完第一感觉真的想有点吐槽。明明是考前最重要的模考卷，基础题中规中矩没亮点， 反倒是把心思花在小题挖坑，大题故意设置复杂门槛上，命题思路有点跑偏了。整张卷子基础部分没什么区分度，大部分孩子都能上手，可一道压轴题就突然拔高 题型课以求新难度，断层严重，不少孩子考完出来都懵了。平时练的常规题型用不上，大量精力耗在偏巧的社会上，完全偏离了天津高考稳扎稳打的核心方向。 很多家长也跟我反馈，孩子考完心态直接受影响，越做越没自信。这也是这套卷最让人垢病的地方。吐槽归吐槽，卷子里面三道压轴题还是有参考价值的， 分别是选择第九题、填空十四题和解答十八题。咱们挨个拆解他的创新点和做题思路。先看第九题，例题几何小题他没有考高考常考的位置关系、空间夹角，特意考了几何题。分割求体积，算是一个新考法。 很多孩子空间想象能力弱，看着切割后的图形直接无从下笔。其实解法特别简单，比死扣图形，用割补法把不规则的图形补成熟悉的正方体，楞住分开算出体积，再求笔直就行， 压根不用想太复杂。再来说第十四题，平面向量压轴这道题玩了个新花样，结合梯形背景，再加动态动点，把向量运算和几何图形绑在一起，故意绕盘子。不少同学拿着题就硬套，向量公式越算越乱， 教大家一个笨方法，也是最稳妥的方法。直接建坐标系，把所有项链全部转成坐标，计算动点参数，一步步化简，最后定值自然就出来了， 绕再多弯也不怕。最后重点讲第十八题，数量答题也是整卷难度拉满的一道题。创新点就在于把等差等比混在一起，还搞了个 g。 五项分开计算， 列项、错位相减，两种求和方法揉进一道题里，层层叠加，故意增加计算量。 解题速度呢，很直白。第一步，先求基础通项，这是送分点。第二步，按照奇偶项分组对应方法分开求和，最后再判断数列最值。 这道题不是考不会，就是故意靠繁琐计算，细碎陷阱扣分数，错项写错符号都是高频失误。总的来说，这套模考卷命题有点刻意为难学生，但这三道题的考法大家还是要重视， 就当是提前见识新题型，练手防坑。临近高考，别被一套模考打乱心态，摸透题型思路，稳住节奏才是关键。最后给大家安排干货，想要这三道题完整解题步骤、 易错点梳理和同类题型训练的朋友，评论区直接扣三模真题我整理好发给大家，帮大家把这些刁钻题型彻底吃透。

河西三模啊，有些题目大家还是要需要关注的，虽然到最后末尾了，河西区呢，以三模的形式呢，又再次检验下大家的水平。但是呢，这套卷子说白了，出的这个题啊，像狩猎的这道大题， 不可能在天津那里考，因为太简单，这都是二零年到二二年风格的，所以像数列大体啊，你会是应该的，你要不会，其实也不会影响到你高考的真实情况，但是如果高考数列考的好的人做现在和第三模的十八题，肯定做的也倍好。 此外呢，咱这里面比较推崇的是选择题的第八题，这道题呢，属于老生常谈，但是不排除在今年的正式高考里面还要考察。这个思想就是当你列双曲线小题，你不知道列什么时候，主动找一个等式，就是把某一个角放到两个不同三角形里面，列两遍一线定律 就完事了。此外呢，还有十二题这道概率题，这个概率题叫背景，能够蒙住很多学生，有的学生看完这个背景照，脑子犯懵了， 但其实你把它提炼出来，你发现这个题很好做，很好做。所以像这种被蒙住的同学啊，一定要反复去做，包括咱们外区每考核心三关的考生，要把这个十二题概率题要好好的去做一下，看看你是不是同样会被蒙住。 此外呢，还有就是导数这道题，导数这道题呢，大家要关注一下第三问的形式，虽然到咱们正式高考不会考察原封不动的东西，但是这里边的双乱形势，大家一定要去关注。记得这种题我没记错的话，应该是在 二零一八年的时候曾经考过这种双 loft 形式啊，所以大家可以连同的二一八年那道题一起来做。那么另外值得关注的就是第十九题圆锥曲线大题， 它里面的计算，计算的深度，还有里面考察的垂直平分线的这个几何翻译，这都是非常经典的，也非常传统，也是咱们圆锥曲线里面翻译当中的非常重要的翻译。所以十九题所有的考生必做， 别的题目就都很一般了，大家可以当做一个小练习进行训练就可以了。考生们如果说你现在手头还没有河西三模的试题和答案的话，留言河西三模四个字。

伽林三模的第十八题，考场上做真的太难了！如果我们间 c 的 话， p 点的坐标怎么设是一个大问题，直接设字母，或者说通过夹角去设它，最终都会有很大的计算量。今天我想用几何法来讲一下这道题，做起来又快又简单。 先来看条件，在平行四边形 a b c d 当中呢？ a c 是 e， b， c 也是 e， a c 垂直于 b c。 将三角形 a c， d 沿着 a c 翻折点 d 翻折到了 p 点的位置，形成了三人追 p 杠 a b c 现在 pp 上有两个点， m 点 n 点满足啊，这两个面面垂直非常关键。 第一问，我们就不看了，来看第二问，在翻折过程当中，当点 n 是 线段 p b 上靠近点 b 的 三等分点，求点到平面 a c p 的 距离。这道题用几何法做，关键就是画出二面角的平面角。 比如说 p a、 c 与 a c b 所成的二面角的平面角，我们该怎么画呢？可以过 a 点做 a q 平行且等于 bc 啊，也就相当于这里形成了一个矩形 a c b q， 那 也就得到了 a c 垂直于 ap， a c 垂直于 a q 角 p a q 就是 p a c 这个面和 a c b 这个面所形成的二面角的平面角。再连接 p q。 怎么画 p a c 与平面 a c n 所形成的二面角的平面角呢？我们可以把面 a c n 延展一下，过 n 点呢？做 n h 平行于 a c 连接 a h。 根据刚刚我们已经推得 ac 垂直 ap， ac 垂直 a q， ac 自然会垂直于平面 p a q， 所以 ac 垂直于 a h， 所以 角 p a h 就是 平面 p a c 与平面 a c n 所成二面角的平面角。 根据题干说的平面 a c p 和平面 a c n 是 垂直的，所以角 p a h 就是 九十度 n 点是 p b 上的三等分点，那根据 h n 和 b q 是 平行的， h 点就是 p q 上靠近点 q 的 三等分点。 再来看看我们要求的点， n 到平面 acp 的 距离。由于 n h 平行于平面 acp， 所以 说 n 点到 acp 的 距离就相当于 h 点到面 acp 的 距离， 而 h a 垂直于 a c h， a 垂直于 ap， 所以 h a 垂直于平面 p a c h a 就是 我们要求的距离。 接下来就很简单了，我们把线段长度标一下， bc 是 一，那 a q 也是一， ad 是 一， ap 也是一。把平面图画出来 如图所示啊！我们就可以设 h q 是 x， p h 是 二 x。 把角屁呢，分别放在三角形 p a h 和三角形 p a q 当中呢？利用角屁的余弦值得到等量关系 口算，以 p 等于一比上二 x 也等于一加三 x 的 平方减一比上二乘一乘三 x。 这个方程解一解，很快得出， x 等于三分之根号三， 所以 p q 呢，整个就是根号三啊。所以角 p 就是 三十度， a h 的 长度就是 三分之根号三。再来看第三问，在翻折过程当中呢，是否存在向量 m n 等于四分之一向量 p p 若存在，求出 a c p 与平面 abc 所成角的余弦值， 那也就是求角 p a q 的 余弦值呗。这里我们可以仿照 n a g 的 做法扩展平面 a c m 做 m g 平行于 a c 连接 a g。 那 么平面 abc 与平面 a c m 所成角呢，就是角 g a q， 因为 a c 垂直于 g， a， a c 垂直于 a q。 再根据题干说的面 a b c 垂直于面 a c m， 所以 角 ga q 就是 九十度条件中的向量 m n 等于四分之一向量 p b 也可以同步转换成向量 g h 等于四分之一倍的向量 p q。 我 们也画出平面图形来分析一下，如图有 h， a q 是 直角，角 p a g 是 直角。再设 h， g 是 y， p q 的 长度就是四 y， 可以通过正三角形 p a g 和三角形 q h 全等得到 a h 等于 a g 啊，同理， p h 也等于 g q， 所以 p h 的 长度呢，就是二分之三 y g q 也是二分之三 y。 如果能把 y 求出来，角 p a q 的 余弦值就可以求出来了。做 af 垂直于 h g， 根据 a h 等于 ag， 得出 h f 等于 f， g 等于二分之一外， 再得出 p f 等于二外。那 af 呢，就是根号下一减二外的平方四外方 a g 呢，就等于根号下 p g 方减 pa 方， p g 是 二分之五 y， 也就是四分之二十五 y 方减一 af 有 了 a， g 有 了 f， g 有 了各五。定义一下，就可以把 y 求出来。 计算得出 y 等于五分之根号五，所以 p q 就 等于五分之四，根号五 口算一角 p a q 呢？用余弦定理直接求出来。最后答案就是负五分之三。几何法做这道题是不是超级简单， 再总结一下，关键哦，就是把 b c 平移至 a q， 把所有平面的二面角全部转移至平面 p a q 当中。如果这个视频对你有帮助的话，记得点赞、收藏加关注哦！

好，我们通过这道题来讲一下几何的存在性问题。 这道题来源于这个五月份南京刚考完那个南京三门啊，但南京的题目都是比较的，当然创新性比较好。我们先看一下题目，在平面上做 v 中椭圆，然后呢， 椭圆上存在两点，这边你看已经有个存在，就是关键字存在两点 a b 使得 o a 跟 o b 是 垂直的，同时 o a 等于根号三倍的 o b 啊。讲，这边我们先看一下， 虽然你们大部分老师都讲过代数的猜想性问题啊，就在你高一的时候，你们就经常碰到了，比如说存在一个 x， 那比如说我们现在存在一个 x， 使得 f x 大 于等于九。这题题以前我们怎么做的呢？是不是转化成最值 存在，找最有利的？以前你们老师在说时候这样给你讲呢啊，哎，你只要有一个就行了，所以我只要保证我那个最大的能够比你这个来的大，是不是就行了 啊？横乘利呢？横乘利，找出最不利的，如果是任意 s f s 要大于零九，那你你要所有的，所以我要找出五个那最差的给你比啊，我那最差的跟你比都比你来得大，那我是不是所有的都比你来得大？所以接下来就是转化成最小值要大于零九 啊，它代数可以实现几和 a 是 一样的道理啊，你不注意，我们把这道题翻译一下，实现这道的意思就是椭圆上存在于两个点，一个点 a， 一个点 b， 难道这个角是九十度的？最后让它满足 o v 比等于根号三的 o b， 那 么给它翻译过来，实际上就是 o v 比 o b 要等于啥？要等于根号三，意思就是存在一个点 a 跟点 b 同时满足这个角度要九十度，还有那这个比值等于根号三， 如果我把这个比值给它看成一个函数 x， 看成函数 x， 你 看你理解上你就比较简单了，意思就是有这么一个函数值要等于根号三，那你一个函数值要等于根号三，我们是不是只要让它的最大值大于等于根号三就可以呢？ 对吧？转化成存在的问题，所以我们就要求出这个函数最大，那这个函数的最大意思就是 o a 比 o b 什么时候最大？ 如果你想到这个时候，接下来是 b 就 简单了， o 比 o b 要最大，那最简单的想法就是让分子最大，分子最小，大概分子要最大， o a 什么时候最大？是不是当点 a 在 这个左端点的时候，这边是最大的， 这时候 o a 等于 a， 此时此刻刚刚好， o b 最小， o b 最小等于多少？ o b 最小刚刚好等于 b。 因此就知道这个函数 o a 比 o b 的 这个最大值就等于 a 比 b， 那 我们只要让这个 a 比 b 大 于等于根号三就可以了 啊。那 a 比一大于等于三，接下来剪下来就是展开掉，这个我就不说了，正确最后答案就是写 先比，这就是存在性问题啊，你可以停下来，你先思考一下啊，但我跟你说一下，我这边埋了个坑，我先不讲啊，你去思考，看你能不能想得明白。 所以存在性问题跟代数问题，实际上就是转化成最值问题，你不是要让我有一个， 那我这个能够等于根号三吗？存在一个值等于根号三吗？所以呢？我让我的最大值比你来的大是不是就可以了？ 哦？是不是就可以了？嘿，我刚说我给你买了个坑，就在这，你你自己去想后面，我后面我们会接着想。那这是一个一系列问题。啊 啊？这道题先。

首先我们要理解，数列就是一种函数，指它的数量有取之限定。 a 的 a n， 它用函数怎么去理解呢？就是 f 的 这种感觉，负函数就负函数，求通求解一式 已知 a n 是 个是什么？已知 a n 是 个等差数列，所以你可以令 a n 就 得是 d n 加上 m， 意思函数嘛，那么 a 的 a n 项就得是 d 的 d n 加上 m， 再加上个 m 啊，这就是个什么？这就是个自倍量嘛。 那么在这里面整理一下，这是什么？就是地方 n 再加上 dm， 再加上 m。 现在我已经告诉你它的结果，它的结果是什么？结果是四 n 减三。那么我们就可以解方程啊， 它的地方得是几四，为什么？是个对应的吗？那么在这里面，它的 dm 再加上 m 就 得是几？负三， 那么你就可以解方程啊， d 等于几？ d 等于是二或者什么？ d 等于是负二，当他 d 等于二的时候，他的 m 是 几？ m 是 负一，当他的 d 等于负二时候， m 是 几？ m 是 三，那么这时候 a n 就 等于是二 n 减一，或者是 a n 就 等于是负二加三。 因为你这个对于是每一项都有意义。就有人会问艾老师，他每一项都有意义，什么意思？就是你的 a n 啊，他就告诉你了，提示你了， a n 他 必须得是个什么数？正整数吗？那么 a 的 a n 这个地方就得是个正整数啊。 那么去想，他可能是个正整数吗？不可能啊，因为他的 d 是 负二，他最后肯定是个负数，所以这个就舍了， 对吧？所以在这里面是什么？你的 a n 得属于是个正整数，所以是说 a n 就 只能等于是谁，只能等于是二零减一啊。那么 a 的 二零二六项就得是几？二零二六乘以二，再减去一四零五一。本题选 c。

来，我们看一下核心三门选择。第八题其实难度并不大，依然是一个横向双曲线，它告诉你左右焦点分别为 f 一、 f 二，在这里面的话呢，把双曲线画一下， f 一 f 二 o v 坐标原点过 f 二，做一条近近线的垂线，垂直画出来，垂作 a， 与双曲线交点为 p， 其中它告诉 p 为 a， f 的 中点， 那么这个中点的话，我们可以联想到什么知识点？那很明显的话就是中点坐标公式呗。 间接地线的间接地线是什么？ y 等于是 a 分 之 b x。 那 么这个 af 二这个直线呢？可以快速去求一下。 y 等于是负的 b 分 之 a x 减 c， 可以 吧，两者连立之后，你的 a 点坐标可以出来了。 a 点坐标是几？ a 点坐标是 c 分 之 a 方到 c 分 之 a b。 因为你现在已经知道 f 二的坐标是 c 到零，所以说根据两点，根据正点坐标公式相加除以二，就能到 p 点坐标二， c 分 之 a 方加 c 方到二， c 分 之 ab， p 点有了， p 点在哪？ p 点在 p 点在双曲线上，所以说你可以往双曲线上带， a 方分之二， c 分 之 a 方加 c 方的平方，再减去 b 方分之二， c 分 之 ab 的 平方等于是一， 那么这个式子化简整理之后的话是二。 a 方 c 方再加上 c 的 次方， 等于是四倍的 a 方 c 方。那么这道题问的是 e 啊， e 等于什么？ e 等于是 a 分 之 c 啊，所以这个式子左右两边同时除以谁啊？同时除以 a 的 四次方， 二倍的 e 的 平方再加上 e 的 四次方，就等于是四倍的一方，可以吧，那么在这面左右两边同时约 e， 你 的 e 就 可以得到了。 e 是 几？ e 是 根号。二本题型。

我们现在来讲一下最新省实验三班的第十五题，这个第十五题出的比较绝，它确实是融合了将军引马，融合了一箭穿心，融合了垂线段最短的这样一个最小值。首先我们看一下题目，这个题目上是说 角 a、 c、 b 等于九十度，然后呢，角 b 是 三十度， ac 等于四 好，这个 m n 是 m， n 是 ab 和 bc 上的动点，而的呢，也是 bc 上的动点，以 c 的 为直径，做了这个黑色的圆，然后 连接 f 的 交圆与 f， 连接 f， m 和 mn。 那我们看一下啊，从我 f n 的 角度来说，那么动点是在 a、 b 上 这样一个基本结构呢，我们就想到了将军印码，所以我们做点 n 关于 a、 b 的 对称点 n 撇，那么我们知道这个角度呢，也是三十度， 所以我们就把 f、 m、 n 撇顺次连接了起来。那么 f m 加上 m、 n 撇什么时候最小呢？就是当 f、 m、 n 撇三点共线的时候 最短，但是此时我们这个 f， 它也是一个动点，因为咱们点的是在动， 所以我们需要找到动点 f 的 运动轨迹。那么我们来看一下连接 c f 之后，因为 c 的是直径，直径对直角，那么咱们角 c、 f 的 等于九十度，那么咱们的角 c， f、 e， 这也是九十度， 所以我们动点 f 的 运动轨迹就是在紫色这个圆上，于是我们就向 n 撇 m， f， g 四点共线，那么此时咱们只需要求这个 g n 撇的长度 减去半径 g f 就 可以了。但是呢，我们这个 g n 撇也不太好求，它没有在 直角三角形中，那么于是我们就延长 n 撇儿 g 射线与 b 的 射线交于点 p， 那 么这个时候我们来看一下条件当中给了我们 a、 c 是 四， e 是 中点，那么也就是说咱们 e、 g 的 长度以及 g、 h 的 长度都是一根据三十度，这个也是三十度，那所以我们的角 p 就是 三十度， 三十度所对的角边等于斜边的一半，那么我们 p、 g 的 长度就是二， p g 的 长度是二， p、 h 的 长度就是根号三。因为我们 a、 c， 这个 c 和 h 重合了，这个 a、 c 是 四，那么咱们 bc 就是四倍的根号三。那么此时我们 b p 的 长度就等于四倍的根号三，加上根号三就是五倍的根号三，那么 b p 的 长度是五倍的根号三。 我们就可以求出 p n 撇的长度，它就等于五倍的根号三，乘以二分之根号三， 就等于二分之十五，那所以我们最小值 f m 加上 m n 撇，实际上就是 f n 撇的值。 f n 撇就等于 p n 撇减去 pg， 再减去 g f， 那 么就等于二分之十五。减去 p g 二减去 g f 一 就等于二分之九，又是它的最小值。

大家好，我是姚老师，昨天有同学私信我，让我更新一下立体几何，然后今天老师给大家带来了江南十校立体几何的大体啊，这是一道非常好的空间向量的题目，大家可以跟着姚老师后面一起把这道题看一看，写一写。 在视频的开始前，各位同学如果有想听的题目和题型，可以在这条视频的评论区留言，或者直接私信我， 下一个视频我会更新相关的题型。好，我们话不多说，直接开始第一题，我们读题目，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b， c 等于二。将三角形 a、 b、 d 沿矩形对角线 b、 d 翻折至 s、 b、 d， 而这个时候这个 a 点就变成了 s 点， 使得 s 点在底面 b、 c、 d 内的投影点在什么呢？在 o 在 c、 d 上，那这个 s、 o 就是 垂直于这个底面的啊，一定要记住它，基础的知识必须得知道 m 为 bs 的 终点。第一个求证 s、 d 垂直 mc 啊，这个我们说送分题一定要拿到啊，不能，千万不能因为这种题目扣分！ 好，杨老师带大家写一遍啊，就相当于学习一下格式吧，证明好，因为 s、 o， 它是不是垂直这个平面 b、 c、 d 的， 所以你这个 s、 o 是 垂直什么垂直 b、 c 的 吧，因为 b、 c 是 在 b、 c、 d 内的嘛，对吧？又因为什么？又因为你这个 b、 c 是 不是垂直什么垂直 c、 d 的， 对吧？然后且这个，呃， s、 o 交这个 c、 d 啊，它是等于什么？等于 o 点，所以我们可以得到这个 b、 c， 它是垂直这个平面 啊， s、 c、 d 的 啊，一定要记住，如果一条直线垂直于两个就是相交的直线，那么这个直线就垂直于这个平面啊，一定要记住啊。好，因为什么呢？你这个 s、 d 它是不包含在这个平面， 是吧？ s， c， d 内的啊，所以我们可以得到这个 bc， 它是垂直什么？垂直 s， d 的， 对吧？然后又因为你那个 s， d 它是垂直什么呢？它是垂直 bs 的。 为什么？ ssd 垂直 b s， 那 不就相当于 ab， 呃， b s 啊，那不就相当于 ab， 呃，垂直什么？垂直 ad 吗？对吧？不是矩形吗？垂直于 b s 的 啊，且什么呢？且，这个 b s 交什么？交 bc 啊，它是不是等于 b 点， 对吧？ bs 是 交 bc， 等于 d 点，所以你这个 sd 它是垂直什么垂直平面？ sbc 吧，是不是？然后又因为你这个什么，你这个 mc， 它是包含在平面 啊， sbc 内的，对吧？所以我们可以得到这个什么 sd， 它是垂直什么啊？ mc， 对 不对？这样是不就搞定了 啊？这，第一问，送分题啊，这作为第十六题，十五分出现，第一问，将近五分啊，大家一定要拿到啊！第二问，姚老师啊，觉得这个题也也比较简单啊，大家可以在考场上，考前可以练练手。 好，然后这个题目的话，有两种方法啊，这里我，我就用大多数同学啊都能接受的方法，也就是间隙去做啊。如果你说老师我，我就用大多数同学啊都能接受的方法，也就是间隙去做啊。如果你说老师我，我想用那个几何的知识去写的话， 嗯，你也可以跟你姚老师沟通一下啊，如果可以的话，我们私信我，单独给你讲一下这个几何的方法怎么去写。但是为了这里适应绝大多数同学，我们还是用间隙的方法去写吧。啊，好，他的求二面角 d， 呃， mc 杠 s 的 余弦值啊，这个就是常规的那个题目，那怎么写呢？首先我们间隙啊，你 s o 现在是不是 这个 s o 啊？呃，它是不是垂直这个底面，这个底面，这个，呃， b c d 的， 对吧？那我们肯定以这个为 z 轴，对吧？那你这样垂直的话，那我们可以以这个为什么？好，我们可以以这个为 x 轴， 那 y 轴怎么办呢？那我们是不是以平行过 o 点做什么？平行什么？平行 b c 的 直线为 y 轴，对吧？这样是不是就就可以了，对吧？这这个东西啊，间隙是非常好建的。然后就是剩下的标点的坐标啊，那我教一下各位怎么去标标点的坐标啊，一定一定要细心一点啊。 好，接下来我们要求一下各边的长度啊，这样的话才能标点的坐标。好，我们看一下，首先 s b 是 不是等于 ab 等于四，对吧？ s d 是 不是等于 b？ c 是 不是等于二？ b d 是 不是等于？ 呃， b d 是 不是用勾股定算一下？是不是得更换一下什么啊？是不是更换一下那个 s b 的 平方加上什么 s d 的 平方？ 对，二倍根号五吧，是不是啊？好，然后啊，你看啊，我们第一问是不是证明了这个 sd 啊，垂直这个，这个 sd 是 垂直这个三角形，这个什么 sbc 的， 对吧？啊？ sd 是 垂直三角形 sbc 的， 那我们是不是可以得到 sd， 它是垂直于 s c 的， 对吧？好，然后你这个 c d 是 几啊？你 c d 是 不是四啊？对不对？所以你这个 s c 等于几啊？是不得更换一下什么？呃， c、 d 的 平方减去什么 s、 d 的 平方等于什么？是不得二倍杠二三呀， 对吧？也就是说这个 c、 s c 算下来等于二，等于二倍杠二三。 s o 是 多少？ 我们用什么求？用等面积求啊。你在这个 r t 三角形 s、 c、 d 中，你是不是有这个 s c 乘一个 s， d 是 不是等于四？ cd 乘一个 s o， 对 吧？是不是这样子的？所以你这个 s、 o 等于什么？是不是 s c 乘 s d 除以一个什么？除以个 c d， 那 就相当于二乘一个二倍根号三，再除以四，等于等于根号三。哎，这样是不是等于根号三， 对吧？那这是几，这是一，那这是几？这是不是三，对吧？那这样所有所有的点是不是都标出来了啊？一定要利用初中学的这个几何知识就可以把这个点给他标出来了。好，那我们写下点的坐标吧。啊，那这相当于大功告成的啊。 还有就是姚老师这里插一个闲话啊，就是各位高三的同学一定要注意身体啊，你们马上高考，千万不要感冒了啊。姚老师最近有点感冒了啊，你们一定要这段时间身体很重要，一定要坚持住啊。好，我们看下点的坐标怎么求？ 所以你看啊，我们需要的这个点 c 的 坐标是什么？ c 的 坐标是不是叫？呃，对，我们用蓝色笔去写啊。 c 的 坐标是什么？ c 的 坐标是不是叫三零零， 对吧？然后 s 的 坐标是什么？是不是零零？根号三，对吧？然后 d 的 坐标是什么？ 叫负一零零啊？ b 的 坐标是什么？是不是叫三多号负二啊？零啊， 横坐标是三嘛，然后重坐标的话是 b c 的 长度是二嘛？然后它是负半轴的话，是不是叫负二的方零，对吧？那 m 的 坐标 m 是 不是叫 s 和 b 的 中点呢？是不是叫 s 的 坐标和 b 的 坐标相加除以二，对吧？就是二分之三啊，负一，二分之二三， 对吧？啊？这是不是就点了坐标是不是标好了，然后是不是求返现量？其中一个返现量是不是很知道呀？对吧？因为你看啊，呃，你这里是不是两个面，第一个面叫什么？叫面？呃， s m c， 第二个面叫什么？叫面 d m c？ 我问你啊，这个面 smc 和这个面什么呢？ sbc， 它是不是同一个面？所以你说白了，面 smc 的 反向量其实就是面 sbc 的 反向量嘛？面 sbc 的 反向量是什么？它的反向量是什么， 对吧？我们第一问是不是证明了是不是就是 sd 啊？因为 sd 是 垂直什么平面 sbc 的 啊，就是 sd， sd 向量使得吗？我们拿 d 减去个 s 得出来，使得吗？呃，我们我写个写，写个这样吧，写个 ds 吧，是不是 d 就是 ds 向量 电子量是什么？所以就一零根号三 s 减 d 嘛，对吧？这样的话是不是好算一点，避免了负数，对吧？好，那我们现在是不是相当于只要求这个这个，这个面叫什么？叫 dmc 就 行了，对吧？那我们可以设 dmc 的 反向量是什么呢？是 n 向量叫什么呢？叫 x y z， 对 𠲎。 好， 那我们这里需要标什么呢？标 mc 向量。 mc 向量是什么？你减一下不就行了？二分之三啊，一负了二分之三， 再标一个什么呢？再标一个 md 向量啊，你说老师我标 dc 向量行不行？都行啊，随便你啊，负了二分之五啊，一，负了二分之三，是吧？这样是不啊？二分之三，不好意思啊，负了二分之三， 对吧？这样是不就搞定了，对吧？那你这个乘一下 n 向量，乘一个 mc 向量是不是等于零，对吧？ n 向量乘以什么？乘一个 md 向量是不是也等于零啊？ 对不对？好，那这边可以得到什么呢？得到二分之三倍的 x 加上个什么呢？加上个 y， 减去个二分之根号三倍的什么？呃， z 它是等于什么？等于零的，然后负的二分之五倍的什么？ x 加上个 y， 对 吧？然后减去个二分之二三 z 它也是等于零的，对吧？啊，然后，那这样怎么办呢？然后这样呢？是不是可以拎一下，对吧？好，我们可以。怎么怎么拎呢？呃， 我们可以拎。呃，这一层的话，呃，这个，这个要会讲， 我们可以得出来这个 n 向量是什么呢？ x 是 零啊， y 是 杠三啊，这个你自己带进去算一下啊。 z 可以 令它等于二，对吧？我们这样就可以成立了，对吧？ 好，这样是不是就就直接是最好的接法？所以 i 向量是是零二三二，对吧？好，所以它的口算值。那这个口算谁呢？等于什么？是不是等于 i 向量乘以什么乘以 d s 向量啊？ 打个绝对值符号下面什么是 n 的 模，乘以什么乘以 d s 的 模，对吧？算出来点什么呢？等于七分的根号二十一啊，这里这个指大家自己去算一下啊，然后就不带大家这个计算，计算一定要过关啊，这是我们讲的这道题。

今年高三最后一套官方的模拟卷儿，河西三模儿它来了，这刚刚考完，我们看一下这一套的根和零点，说 f x 等于一个分段函数， x 小 于 x 大 于 a， 对 于任意的 x 的 话都有 f x 大 于等于 k， x 是 横成立的， 求 a 的 取值范围依然继承了咱们最近的三门的所有的一个特点，什么特点呢？就是双餐问题，我们看这个双餐问题，上次的和呃，这个叫什么？和平三门出的也非常精彩。我们看这个题，这个题的话呢，说带的 k x 横成力，然后呢求 a 的 取值范围， a 的 话呢，是任意的， 我们其实这块有可能有的同学有疑议，如果说 a 带些特殊的值进去，这个题能不能依然获得普通解呢？这个老师呢，目前不敢断言，我觉得跟这个题本身的设计有关，所以呢，大家不要贸然的尝试， 可以看一下前半段，这种的话呢，这个求 x 小 于 a 大 于等于 a 的 这种分段的，我有两种建议，第一种建议呢，我们可以试试打包换元，如果说能提前前瞻性的看到了，就可以去换着试， 如果说潜在性没有看到，你画完了之后式子会更加复杂，那你一定要去谨慎。第二种的话呢，就是分而治之，所以这个题的话，甚至我们都可以纯代数记，甚至都是可以纯代数记，就不用几何记，我们从几何代数角度都可以去考虑，比如说看这个题， 这个题的话，如果我们考虑一下数形结合的解法，这些零点的问题，还是喜欢这样。拿到这个的话呢，我们先把这个前半拉这个函数 x 小 a 的 函数，先简单的处理一下，目测的话，应该是一个对勾函数的平移式，我们试一下，就是这个叫做 a 减 x 分 之什么？这叫做负，呃，这叫 x 方减 a 方加上二 a 方等于负的括号啊，负 x 减 a， 加上一个 a 减 x 分 之二 a 方，再整理一下，应该等于 a 减 x 加上一个 a 减 x 分 之二 a 方加个几加个二 a。 来看，这个在平面直角坐标系中的话呢，应该表示的是什么？一个对勾函数它在第几啊？它在第三象限的一个开口向下的一个图形。 然后呢话呢，我们要的是什么？要的是这个东西正比例切线。 哎，看明白了，那这种的话呢，处理起来比较方，比较比较容易，我们先比较希望的话，他是个最值，有两种，第一种的话呢，直接我们对这个对括号函数进行求导，然后说他这个叫，这个叫 x 零处的导。这个切方程过的问题 和这个叫什么？坐标原点和坐标原点的连利呢啊，和坐标原点的这个正比例函数这个斜率呢相等，可以把这个差量算出来。第二种呢，可以用初衷的做法，我们直接算什么？算他的临界就让原式完全不出力，连利得它等于零。 原式就是 x 方加上一个 a 方，除以 a 减 x 等于 k x， 哎，我们直接按等号处理，我们要它临界 x 方加上 a 方等于就叫做 a k x 减 k x 方，整理一下，它就是一个 一加 k 倍的 x 方减 a k x 加上 a 方呢，等于零，你看它的得它得它 b 方 a 方 k 方 减四 a 方倍的 k 加一得它呢？考虑等于零，我们只要它的临界。哎呦，太好了，这个题 a 方真的笑了，像老师刚才说的，如果说上来之后我们来把它变成一呢？这种二好算的，和我们能算来答案是一样的。然后呢，这样的话就是 k， 我们叫做嘚他看这个临界，临界的话，我们样式让他有焦点还是没焦点呢？这个题应该是，呃，应该是他能够被他盖得住，应该是嘚他小于等于零。嘚他啊，算了，我们直接按等于零算吧。算算临界，临界的话呢，也就是这是 k 方减，这叫做什么？ k 减二，整体的平方等于几呢？等于八， k 的 话应该等于正负的二倍，根号二加二。我们看一下我们图示所中的斜率的话呢，应该是一个 图式所示，写的应该是一个负的，所以呢，要这个叫做什么啊？ k 等于几呢？二减二倍根号二。我们看一下，我们是比这个东西大还是比这个小呢？这边是一个负的，要想能够盖得住第三项形，另一个增根硬是在第一项线的，所以应该是这个叫做呃， k 应该怎么样呢？ k， 这个应该叫呃，比它这个什么数？比它小，整体呢就比它大。然后呢，这一段就完事了，它的零件是 二倍二减，二减，这个叫做什么？二减二倍，根号二。我们看另一段，另一段话是不是也可以如法炮制呢？我们整理一下。呃，第二段就是 x 怎么样呢？ x 大 于等于 a， 当 x 大 于等于 a 的 时候，那就是二 x 减 a 减去根号下的 x 方，减去 a 方。 嗯，大于等于 k， x 整理一下扔过来，二减 k 倍的 x 减去一个 a， 应该大于等于根号下的 x 方减去 a 方。好， x 方减 a 方了。老师往往期的视频介绍过这个东西，这叫什么？上半等轴双曲线啊，你看，已经听说过上半的等轴双曲线，我们拿到这个之后呢，我们先看它的几何 e 的 话呢，左侧应该表达的是个横过零度负 a， 零到负 a， 那 么上面的东西如果大家看不明白，让它等于 y， 让它等于 y， 你 看两侧平方平换之后的 x 方减去外方等于 a 方，也就是 x 方比 a 方减，外方比 a 方等于一，让它 a 呢，正好是它的，这个叫左右顶点啊 a， 这是这叫什么？叫时半轴啊？时半轴，而且进记线是多少呢？进记线是四十五度，但是这个题是 x 大 于对 a 的， 换句话说是只有幼稚。过哪个点呢？过这个点的斜率，这个点的斜率和他如果是被他盖得住就好了。我们上来找了这个连接是一，那另外的话呢，我们现在想要的话呢，是这条什么？ 这条这个线应该完美的盖得住这个上半双曲线，我们从图中来看，从图中来看，也就是这个，我们这个这个题的斜率 k 呢，是真实向量的二减 k， 所以呢，应该相切，这个东西好像目测也能连立，但是等于零，像上个题做法一样。呃，我换着做法，我们试试，求导啊，试试求导 这个点呢？这个切点设成为 x 零到什么？根号下 x 零的平方减去 a 方，这个点坐标呢是几？零到什么？ 零到负 a 两点所形成的斜率，两点所形成的斜率就是根号下 x 零的平方减去 a 方，加上一个 a 和 x 零应该等于该点的岛，该点的岛呢，应该是二分之一倍的， 这个东西的负二分之一次方，那就是根号下 x 零方减 a 方分之内部的倒二。 x 零好交叉相乘，那就是 x 零的平方，这次交叉相乘， x 零的平方减去一个 a 方，加上 a 倍的根号下 x 零的平方 减一方消掉，拿过来之后，那就是 a 等于根号下 x 零的平方减去 a 方。 x 零显然等于什么？等于根号二 a， 为什么呢？因为说 a 是 个正数且 x 比它大的 x 零是根号 a， 那 切点呢？ 切点的话呢，应该就是多少呢？哦，我们应该要他的 k 就 行， k 呢就是 x 零就是根号二， a 除以什么？ 下面的话呢？是下面的话呢，是除以什么？除以。这个叫做 a 等于几等于根号二，所以我们下面临界的斜率也就是我们想要的，这叫做二减 k 的 临界，他应该是要想盖得住他得大于等于根号二扔过去，那就是 k 呢？小于等于什么？ 二减根号二。哎，我们再看刚才这块，刚才有点乱了，刚才有点乱，那拿到这个之后的话，我们想让这个斜率也是比它盖得住，盖得住的话呢， k 应该什么数值应该比它平缓，所以 k 的 话呢，应该叫做什么？ k 应该 叫大于等于二减什么？二倍根号二。哎，综上所述的话呢，我们答案的话呢，应该是这个叫做二减二倍根号二的必须线。 老师也发现了一个问题，但是这我觉得属于后知后觉，如果说老师上来之后直接让你把 a 特殊猜量成 a 啊，这种好算，但不能是零哈。呃，我觉得有点，这个叫什么先扔靶子后射箭的这个协议老师也在探讨，可能我觉得是出题的一个用意， 哎也但是的话呢，我们做一些难的题的话，也可以有类似的这个，比如说考场上的一个突发的发点，他没有提到这个 a， 而且的话呢，整个过程中啊，最后求的是 x 这种双参的处理方式的话呢，出敌人设计的。我觉得这个题设计的很不错， 反正老师做完了之后呢，虽然说难度呢，并不是很大，但是做完之后呢，也没有真实想明白他这几个数到底设计的为什么那么好。整体算下来之后虽然是器械，但是和残两 a 没有任何的关系。

hello， 宝宝，睡不着吗？来听课吧。今天我们要讲的是芜湖市第十一中学三模的几何压轴。 我们先来读一下题，它说如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 对角线， a、 c 上一点连接 b， e 过一点去做 e、 f 垂直于 b， e。 好， 角 b， e、 f 是 一个直角，我们在图当中把它表示出来啊，交于点 f， 连接 b f， 交 a、 c 于点 g， 将三角形 e、 g、 f 沿着 e、 f 翻折至三角形 e、 h， f 点 h 与点 g 关于 e、 f 对 称，好，那根据这个题干，很像我们昨天讲的那道去年的 压轴真题，它也是一个正方形的一个情境，加上我们一个折叠的 问题啊，二折一个结合，嗯，第一次我们是让我们去求证，角 b、 e、 c 等于角 abg。 啊，它让我们去，嗯，求证角 b、 e、 c 等于角 abg。 好，可能我们拿到第一手觉得这两个角相等，那可不可能找到两个三角形，好像是全等的，然后，好像啊，好像，但我们分析一下，好像不，又不是这样的。我们再结合这个题目当中，角 b、 f 是 这个直角的话，那么一下子就想到 一个四五，就是倒角，因为角 b、 f 是 直角，而 abc 也是直角，所以如果我可以导出来角 c、 d、 f 等于角 c、 e、 f 的 话，那我是不是就得正了 啊？所以我是根据题目当中给的已知条件， e、 f 垂直 b e 这个等于九十度。然后我想到倒角去转化啊，转化去证明另外两个角相等，那去证明另外两个角相等的话， 我想要去正这两角相等， ok， 那 么我们很自然而然的就可以看出来，很自然而然的可以看出来这两角应该是相等的，因为双直角模型 b、 e、 f、 c 四点，它们是共圆的，那共圆的话，相同的弦所对的圆周角是一样的， ok 啊，于是我们得到角 c、 b、 f 等于角 c、 e、 f， 那 么等角的与角是相等的，可以得到角 b、 c 等于角 a、 b、 g。 这我们应用的条件是定力是等角的与角相等， 这个定力啊，它的一个知识的考点是我们的四点共圆，是一个双垂直的 啊，模型，双垂直的模型啊，这是我们整体的一个思路。 ok， 那 具体的这个过程啊，由大家自己去完成，我们主要是把这个题目当中的一些基本的思路怎么样去构思的，去帮大家给梳理清楚。好，第二小问，若 a、 e 等于二十， c、 g 等于二十一，求 c、 f 的 长， ok， 好， 那么我们还是第一小问，我们证明，这样证明说明了这个四点共圆，那看肯定是有用的啊，肯定是有用的，那如果四点共圆的话，这个是直角， 我想要去求 c、 f 的 长，这时候我会发现，发现什么呢？我的角 a、 c、 d 啊，它其实是 什么呢？四十五度，那我自然得到这个也是四十五度，所以我发现 b、 e、 f， 它是一个等腰直角三角形，而我们非常关键的一个信息就是我们得到角 e、 b、 f 是 等于四十五度， 那在结合他是一个正方形当中啊，我们立马就想到了他应该属于我们的哪一种考点，叫绊脚模型的考点。那对于只要是涉及到绊脚模型这个考点的话， 我们无脑去做一件事情，旋转，手拉手旋转啊，叫做手拉手旋转 全的无脑去做这样一件事情啊，刚们分析出来就四十五度，我们将三角形 a、 b、 e 以点 b 为旋转中心去旋转九十度，得到三角形 b 一 撇 c， 好， 得到三角形 b 一 撇 c。 以后我们这比较 重要的一个目的是在于得到得到转化啊，一个转化得到一个直角三角形啊，转化，因为题目给的是 a、 e 和 c、 g， 我 要把这两用上， 通过这个手拉手旋转全能，我把 a、 e 转化成 c、 e 一 撇，那这个 a、 e 就是 二十， c， g 是 二十一了，那我这个角是四十五度，这个角也是五度，所以九十，那我把 g 一 撇一连接， 哎，我就得到了一个直角三角形。所以题目为什么要给 a、 e 等于二十， c， g 等于二十一，我需要把它们俩建立起一个联系，而建立起联系的基础就是通过十二求全，等得到这么一个 c、 g、 e 一 撇是一个直角三角形 啊，而这个前提，现在你分析出角 e、 b、 f 是 四十五度，它属于半角模型的，这个啊，题型 对吧？ ok， 好， 所以我这也是可以求出我们这个记一一撇的这个长度的。 ok， 好， 那么得到这个记一撇的长度有什么用？记一撇，我们先把它算出来，根号下二十一的平方，加上二十平方就等于根号下， 嗯，二十一乘以二十一，一二得二，一二得二得四啊，四四一加四百 等于根号下八四一，那八四一的话，这个一我们开应该是二十九，二十九乘以二十九，八一二九十八，二十六，二九一十八，二二六四五一八四一，所以是二十九 啊，那我们可以得到是，嗯，记一撇，记一撇的这个长度是二十九，好， 那么得到它的长度有什么用呢？哎，因为它里面还有个全等，就是我们的这个啊，三角形啊， g b e 撇和我们的三角形 e b g 这两个三角形应该是怎么样的？全等的对不对啊？四十五度啊，边 边这样上去完全是全等，边角边是全等啊，所以可以得到这个 e c 啊，啊，它也是等于我们的 g e 一 撇的，等于这个二十九，好， 这是我们根据分析出来这半角模型，我们这是我们之前分析半角模型当中常用的一个手把手旋转全等，还有一个这个全等把，这样全等一用，它有什么用呢？是我们得到了这个 a c 的 长，应该是 a e 是 二十，加上二十九，加上二十一，它七十 啊，我们得到 a c 的 长有什么用呢？ a c 的 长有用，当然有用，因为我们可以这样子正好得到 ab 的 长，就正方形的边长七十除以根号二，就是三十五倍的根号二。 好，为什么想要得到这个三十五倍的根号二呢？这个正方形的边长， 因为我们说过这个正方形经常结合我们全等和这个相似去考察，这也很明显，求 cf 的 长，你有一个八字模型在这里面吗？就我三角形 a b g 和我们的这个 g f c a b g 相似于三角形，借 c g f 的 啊， c f g 啊， c g 这样三角形是相似的呀， 八字形相似嘛，那这样相似的话，不就可以得到 c f 比上这个 a b 三十五倍的根号二，等于我们的这个 c g 啊，是二十一，比上我们的 a c， 比上我们的 a g， 哦，应该是二十，加上二十九就四十九，所以可以得到 c f 应该等于我们的三十五倍的根号二乘以二十一，除以四十九，那四十九可以拆成七乘以七，这约掉一个七， 就剩五至预要期是三十五倍的根号二啊，所以我们就可以得到这个 c f 的 场是等于十五倍的 根号二的。 ok 啊，得到它是个十五倍的根号二。很好啊，这面就是一个手拉手拳的，所以我们第二小问它就属于一个半角模型啊，半角模型，正方形当中的这个半角模型，正方形当中的 中的半角模型 啊。然后考察是我们的手拉手旋转全等，加上我们的这个八字形相似， 好，考察是这两个东西结合在一起，就是这题，所以需要我们对这个半角模型，正方形，半角模型当中有非常灵敏的感知能力， 因为我们之前讲过正方形一般如果你去考察的话，一个是我们这属于半角模型，一个就是我们的这个等边去转换嘛？ 等边转换，那我们待会这第三小问就会涉及到这个等边转换的思想。 ok， 好， 我们来看第三小问，这个第三小问的话， 它说当 f 是 这个 cd 的 终点的时候，好，当 f 是 cd 终点， f 是 c g 终点时，连接我们 d h， 连接我们的 d h。 求证 c g 是 两倍的 d h， ok 啊，很完美啊， c g 是 两倍的 d h 的 话，那我们看到 c g 是 在这个属于三角形 b c g 中， 而 d h 是 在三角形 d h f 中，又因为 f 是 c d 中点，而我 c d 是 等于我们的 bc， 那 我立马就考虑，我，正啊，我思路分析得 要正，三角形 d f h 相似于三角形 b c g 啊，我们去正，这样三角形相似。好，那这样三角形相似，如何去正啊？如何去正？ ok， 好， 那我们来看，首先我们应当是可以得到一个角啊，一个角相等的，因为我们在前面的 两小问当中也证明出来，这个角 e f b 是 四十五度，那因为折叠，所以角 h f e 也是四十五度，那么这个角 b f h 是 九度，所以 d f h 加上 角 d f h 加上角 b f c 等于九十度。又因为这个角 c b g 加角 b f c 等于九十度，于是 我可以推出来角 d f h 是 等于角 c b g 的。 好，好，这一个角相等，那我想要去证明出来，这个 d f h 和 b c f， 呃，不， b c g 这两三角形相似，我们要么再导出一个角，要么 啊，或者再导出一条边。因为我已经知道了，这个 b c 啊，比 d f 已经是等于二，所以我只需要再证明出来一个，它要导 c g 等于二倍的 d h， 所以 我只要去再导出来这个什么再证 啊？ b g 等于两倍的 f h 即可 啊，我只要再去证明出来，我这个 b g 是 等于我们两倍的 g f 的 话，就可以了啊，好， b g 等于两倍的 g f。 啊，两倍的 f h。 哦，我要证明 b g 点用两倍的 f h 即可。那很简单啊，我是不是要用等边转换？因为折叠 f g 和 f h 是 相等，所以我只需要正，只需，只需正 b g 等于两倍的 g f 即可啊，我又转化成 b g 等于两倍的 g f。 好， 那你看啊，当我要乘 b g 等于两倍的 g f， 我 立马转化为 八字形相似，或者说 x 形相似，是吧？我三角形 a b g 是 不是相似于三角形 c f g 这两三角形是相似的，因为 ab 啊，哎，因为 ab 比 cf 是 二，所以我的 bg 比 cf 是 不等于二 啊， bg 比 cf 是 二，那么也就意味着 g b g 比 f h 等于二，就 b g 等于两倍的 b g 比 f h 等于二，所以边角边三角形 d f h 和三角形 b c g 这样三角形是相似的，那么相似，我是不是得到这个 c g 等于两倍的 d h， 我 就可以得证了， ok 啊，这就是我们去证明的这个一个思路和过程啊。思路和过程，那其实我们就是一个啊，我们这个思路的分析是一个反向推导的过程，那我们正常的在做的时候啊，你就完全 可以，嗯，先啊，由 ab 和 c f 是 平行的，对吧？你去 ab 平行于 c f， 你 推出三角形 abg 是 相似于三角形，这个啊， cfg 的，是 吧？这这一组相似，然后你可以得到这个啊，啊， bg 啊，比上一个 gf 啊，等于我们的二 啊，等于我们 b g 比上一个 h f 啊，再结合我们的 b c 比上啊， d f 等于二的，然后再去再去证明我们这个角 d f h 等于角 c b g 等于四啊，这两个角是相等的，于是我可以得到三角形 a d f h 将是三角形 b c g， 是吧？然后我就可以推出这 c g 是 等于两倍的 d h 了啊，就是这样的一个过程 啊，我们正常的，这是我们简单的一个思路过程啊，具体的详细的过程我们大家自己去完善就行了。好，我重要的是把这个思路去分析清楚怎么去证明的。所以呢，我们这里第三项呢，它也是考察的 这一点，是连环相似的问题啊，连环的相似问题啊，连环相似，这要占两次相似啊。这两次相似过程当中，我们依旧要使用到正方形的这个等边 转换的思想啊，我们正方形当中的等边转换思想是非常重要的。 ok， 好， 那我们今天的视频到这里就结束了，大家晚安，拜拜。

好，今天来给大家讲一下河西三魔的这道数列大题啊，他们来讲这道题其实不是很难，难度只能说中规中矩，因为他考的这些内容，这些知识点呢，其实我们都已经练了太多次了啊， 什么错位相减啊，列项相消啊，是吧，这些技巧我们都已经很多同学都已经很熟悉了，包括一些成绩，可能 啊，就是这个能力可能中等的这些孩子啊，对于我们说提到这些名词啊，都能已经能做到耳熟能详了啊，你看到什么这个题目都已经知道啊，该用什么方法了，这道题非常传统啊，他们在讲在三毛这个时候，就是应该出这种 能够特别考验基本技巧，基本功的这种题，所以这道题我认为还是比较好的啊。第三问呢，稍微有点难，对于大家这个分类讨论的能力要求的比较高，所以我们整体来解析一下这道题。 第一问，我们假设，如果假设啊，等差数列的公差如果为 d 的 话， b n 为 q 的 话，根据这个 它所提供的这三个式子啊，我们列两个关于 d 和 q 的 方程，解方程就行了啊，解得 d 等于二， q 等于二，所以 a n 的 同样公式，哎，就等于二， n 减一 等查还是比较容易的啊。第一问， b n 的 通项公式， b n 乘以一减去 q 的 n 减一次方，就是二的 n 减一次方， ok， 搞定，这四分轻轻松松到手啊，还是，哎，还是非常容易的啊，这高考，你说你在真高考的过程中， 哎，你考场上这种四分这种题就是纯纯的送分题啊，只要大家认真仔细去算就行。有些同学 总是担心算错，老师，我这个计算能力不太不太强，那怕算错算错怎么办？ 哎，你带回去检验呀，你看啊，现在 a 一 等于一啊， a n 等于这个公式啊，你就算几个数把你算错，这个结果啊，带，往回带，往这些式子里边带，这三个式子里边往里边带，如果三个式子都成立， ok， 那 你肯定算对了， 这就是。所以说这四分就是纯纯的送分题，包括椭圆的那道题的第一问也是啊，你算完这个椭圆方程，你如果没有把握的话，你可以按照他提议的。呃，那个那些要求啊，你就检验一下不就行了吗？对不对？好了，第二问， c n 等于 a， n 乘以 b n， 当 n 为基数的时候，而 n 为偶数的时候，是三倍的， b n 除以 b， n 加一乘以 b， n 加二加一啊，哎，这分奇偶了，我们分奇偶，这种情况还是挺常见的啊，先看看他让你求什么吧。 竖列 c n 的 前二 n 项和 s 二 n， 它奇偶的表达式又不一样。哎，那不就是奇数项加奇数项，偶数项加偶数项吗？ 是不是奇数项一共二 n 项，那奇数项是不是就 n 项啊，偶数项也是 n 项啊，所以这个题分奇偶 啊，去求和，单独求和，最后你把奇数项的结果和偶数项的这个求和结果加起来就行了啊。所以奇数项，我一看这个形式啊， a n 乘以 b n 那 一个等，差乘一个等，比 b 也特别相近啊。 啊，有些同学可能学的在网上学的这个什么技巧还挺多的啊，什么苹果公式啊，这个，哎，我们就不推荐了，在这啊，我们通常有标准的做法去咱们去做就行了啊。来，错位相减 a 等于 c， 一 加 c， 三加 c， 五加 c， 七加加加，加了 c， 二 n 减 e。 最最后一项啊，这是奇数。哎，不是，不是说啊，最后一个奇数项一共二 n 项，那你最后一个奇数项二 n 是 偶数，他前面一项二 n 减一项，是不是就是奇数啊？ 哎，这个下角标可不要搞错了你如果你下角标搞错，最后求最后，你求和的时候肯定求错了。好，依次往里面带，把一三五七以及二 n 减一往上面这个式子里边带啊。每一项 带完以后，好老师最后强再再强调一下，你带这的时候一定要小心，这个 n 带的是二 n 减一，所以啊，就是二的二 n 减一减一，然后你乘以 二的二 n 减一减一啊，所以最后的最后一项的结果是四 n 减三，括起来乘以二的二 n 减二。哎，这点确实还是有点。嗯，那个容易出错的啊。 好，接下来错位相减的话，乘以公比对不对？公比是二的平方就是四。好，乘完之后一和二是相减呗。这没什么好说的啊，负三 a 负三 a 得到一乘以二的零次方，加上四倍的二的平方加四的二的四次方，加加加加，加到末项啊，就是四乘以二的二 n 减二次方，减去最后一项。注意啊，不要把最后一项给丢了啊，减去四 n 减三乘以二的二 n 次方。来观察一下，我们得到这个式子啊， 首先一乘以二的零次方这个撇 a 边吧，因为它跟后面凑不到一块啊，所以来这个是不是成了一个等比啊？你把四提出去更好算啊，它就是一个关于公比为二的平方的等比数列吧。 好，最后一项找找抄下来就行啊。不过我们需要强调一点的是，我求这个等比数列的前项和的时候，老师更推荐使用这个公式啊， s n 等于 等比数列的求和公式啊，一减 q 分 之 a e 减去 a n q 啊，用这个公式去求啊，为什么呢？来看 二的，你如果把四提出去之后，就是第一项就是二的平方，那最后一项是二的二， n 减二次方，这个时候你去确定它的像素的时候又很麻烦，所以我们就不去用那个这个公式。 s n 等于一减 q 分 之 a 一 乘以一点 q 的 n 次方。这个公式呢，需要去研究一下这个项一共有多少项，而上面这个公式呢，不需要研究你项是多少，你只需要确定出手项和末项就行了。所以我们更推荐用这个公式啊，第一个求和公式往里边带， 哎，最后一项，那写完之后呢，我们到这把负三啊，注意，把这个负三给它除过来，就变成了负三分之一，加上这么一串，好通分，最后的结果， 这是 a 的 啊，所有基数项，你加完的结果就是这个样子。然后看偶数项，偶数项一看，哎，这种形式的列项呗，闭眼列项啊。不过列项的时候，老师要提示一点，因为这个是偶数项的相加 偶数相，两个偶数相之间错个二吧，这个序数是错二的啊，相邻两个偶数之间错的是二。因此我们列项的时候，列项的时候，你的这个列项的序数啊，是不是也得间隔二 哦，可不能再列成二的 n 减一二的 n 次方正间隔一，这种形式了啊， 你间你列成间隔二，这样的话，偶数相加的时候，前后才可以抵消，对不对？好，这是我们的 标准假设形式啊，看到上下都有指数形式的，那你就去按标准列项思维，你就按照那个思路去走就行了。分子小的放前，大的放后，然后，呃，这是分母，然后分子呢？我们统一假设一个 x 啊， 假设 x 最后通完分之后，使用待定系数法把这个 x 求出来， 哎，这里算的 x 等于一，最后，哎，一个非常漂亮的结果啊。好，所以我们就得到这样的列项结果了。哎，老师再强调一下，我们的列项序数是相隔二的，为了是前后两个偶数能接上啊，能消掉，所以 g b 等于 c 二加 c 四加 c 六，一直加到 c 二 n。 注意啊，人家最后一项偶数的最后一项是不是二 n 呐？啊，那我们往里面带的时候，这个 n 一 次可以带二四六一，直到二 n。 好， 带完之后就是这么一个结果啊。 来看相消的情况啊，前后两项是不是前面这个相消掉了，所以你还要保留 最后一项啊，没有削掉的是这个项和这个项，第一项那就是三分之一减去二的二 n 加一次方加一分之一，所以最后你把 a 和 b 啊，奇数项和偶数项分别算出来的和给它加起来，就是 这个通分整理啊，老师推荐一定要化为最简形式啊，就是给那个那个阅卷人啊，让他一看到啊，就是我想要的结果，不要让阅卷人再去给你转换，看一下给答案一样不一样，这个时候，嗯，那如果阅卷人他心里边 他他他他他心烦的话，他他有可能会认为你算错了，知道了吗？所以我们都推荐啊，化成标准的最后的结果最简形式啊，你该通分的一定给人家完成啊，该合并了一定要跟人家合起来。好，这是第二位，第三位 分基欧。哎， d n 分 基欧啊，是因为负一的 n 次方，是不是在 n 为基和 n 为偶的时候，他的形式不一样啊？ 所以当 n 为奇数的时候，前面带一个符号呗。 n 为偶数的时候，前面没有符号啊，但是不管有没有符号啊，这个符号这个东西是不是共同存在的？二 n 减一比上二的 n 加意思嘛？也就是 a n 比 b n， 它在奇数项和偶数项里边是不是都有啊？ 啊，我们要注意到这件事情啊，那当 n 为奇数的时候都是负数， n 为偶数的时候都是正数， 所以不用说了， d n 的 最大项必然出现在偶数项中，因为偶数项才是正数啊，对不对？ d n 的 最小项必然出现在极数项中，因为极数项它都是负数，你只有在负数中是不是才能找到可能的最小值啊？ 哎，所以我们首先要注意到这一点事情啊，那刚才说奇数项和偶数项差个符号，那我们 这样我们统一来讨论啊，他们共有的部分，也就是令 t n 等于二的 n 减一，次方分子二 n 减一。注意啊，由于我们统一讨论的，所以 n 属于 n 星，不再分 j 了啊，最后你一会你看老师怎么处理就行啊。 好，我认为第三个，我写的这个比标准答案给的清晰太多了啊，比那个，那他给的那个官方给的答案里边。哎呀，那写的那叫一个一个别扭啊，好多同学 看不懂，看不明白。好了，那么注意我们基数项和偶数项你去讨论的时候是不是又是间隔二，是不是？所以我们在这里啊，也给他都间隔二 好不好？来间隔二啊。我也就说，我们算一下 t n 和再算一下 t n 加二啊， 来 t n 加二的这个形式是二的， n 加一，次方分之二， n 加三，所以 t n 加二除以 t n 等于 他俩相处。我们为什么相处呢？是想考虑啊，哎，他可能会有单调性对不对？那也就是说，如果 t n 加二除以 t n 大 于一的话，那也就是说他从某项开始，他会具有单调性，递增或者递减。所以如果假如啊， t n 加二大于减，也就是说 递增的时候，我们得到这么一个不等式二， n 加三大于四倍的二， n 减一，解得 n 小 于六分之七，那也就说 n 小 于六分之七，由于 n 处于 n 星，那只有一个数符合呗，是不是？所以也就说 t 三是大于 t 一 的啊。 那也就是说，进一步，如果我们反过来的话，当 n 大 于等于 t 一 的时候， t n 加二是不是应该小于 t n 了？ 哦，他是横成立的是不是？所以对偶数项来说，当 n 为偶数的时候，最大项其实就是 第二，原因是为什么呢？当 n 大 于等于二的时候，他的后一项比前一项还小，递减，那最大不就是偶数？那最大的偶数最大项是不是就是第二了？ 所以代入 n 等于二，求得这个值是二分之三。来接下来讨论基数， 由于基数项啊，其实就是这个 t n 乘以负一的结果，是不是我们引用啊刚才这个结论，当 n 大 于等于二的时候， t n 加二小于 t n， 然后再把 t n 加二小于 t n， 这个这个不等式呢，给它乘一个符号， 变成负的 t n 加二大于负的 t n， 你 加个符号以后不就变成 b n 了吗？所以，哎，我们变成了 b n 加二大于 b n， 那 也就是说，从 n 加二，从第二项开始啊， b n 加二大于 b n， 单调递增啊， b n 开始递增了。对于基数项中，它都是负项，而我们要找的是不是它的最小项啊，那也就说，其实你应该找第一和第三吧。哎， b 一 和 b 三项这两项， 哎， d n 啊，这，这里是 d n， 也就是 d d 一 和第三项，是不是啊？我们算完第一 第三，把第一和第三算出来，谁最小谁就是最小呗。所以算完之后，第一等于负一，第三等于负的四分之五，所以啊，第 n 这最小项，那就是第三喽，等于负的四分之五。 好，这道题我们就讲完了啊，好，总结一下，这道题其实并不难啊，这道题考的非常传统，都是我们 以前练的快，练透的。这个练透了的这个技巧啊，错位相见，列向相交，不过列向相交这里稍微有点有点难，就是原因，就是因为他列向的时候要求你的这个间隔啊，相的系数间间隔是二 啊，如果没注意到这件事情的话，你去硬列的话，会列列不对的。好，这道题就讲完了，哎，觉得老师讲的好的话，给个点赞或者关注吧！好，谢谢大家！

今天呢，我们来看一道在三模考试之中呀，非常非常精彩的一道立体几何问题。这道题目呀，既兼顾了传统的几何法， 也给我们使用空间直角坐标系法留了足够的空间。我们一起来看一下这个题目。如图，在菱形 a、 b、 c、 d 之中，角 b、 a、 d 呢，是六十度，这个位置呀，是一个 六十度的角。这就意味着一个问题，那就是如果我们把这里的 b、 d 给它连接起来， 假设这个焦点为 o， 那 么三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 d 呢，都是等边，三角形 d、 o 的 长度呢是一， b、 o 的 长度也是一。我们继续读题，把这个三角形 abc 沿着 a、 c 啊翻折到 a、 p、 c 连接成一个四棱锥。第一问，让我们去证明 a、 c 垂直于平面 p、 b、 d， 那 这一问还是非常非常的简单的。 菱形呢，它的对角线是互相垂直的，在翻折之前， a、 c 它是垂直于 b、 d 的， a、 c 作为翻折的轴，那么在翻折之后，我们仍然可以得到 p、 o 呢， 仍然是垂直于 a、 c 的， 那么 a、 c 既垂直于 po， 又垂直于 b、 d， 而且 po 和 b、 d 呢，它是相交直线，所以我们很容易得到 a、 c 这条线，它就垂直于平面。 ppt 第一问非常的容易，接下来我们着重研究它的第二问，如果二面角，它的余弦值是负的三分之一。第一问，让我们去求 p、 b 的 长， 那么我们首先呢就要搞清楚什么是二面角的平面角，二面角的平面角， 他的概念非常非常的简单。假设呢，两个平面，他们的交线是这个 l， 我 们在 l 上找一个点，然后呢向着上边的这个半平面呀做一条线， 假设这条线是 m， m 是 垂直于 l 的。 然后呢，我们再向着下面的这个半平面呢，再做一条线 n， 这个 n 也垂直于 l， 此时这两条线所加的角 就是二面角的平面角。所以说我们想要解决好二面角的平面角，第一要先确定交线，第二在交线上找一个点，第三分别向着两个半平面去做这个垂线去。 现在我们看他给我们的二面角是 p a c 杠 b， 那 交线毫无疑问就是 a c 这条线，那么我们在 a c 上找一个点，既要向着 p a、 c， 同时又向着 a、 b、 c 之内做两条线，这两条线呢，还要分别垂直于这个 a、 c。 那 结合第一问呀，我们很容易发现，这个 p、 o、 b 这个角 就是我们要找的二面角的平面角，也就是说它的余弦值呢，就等于负的三分之一。 那么我们想要去求 p b 的 这个长度，它就非常非常的容易，因为在翻折之前，这个 d、 o， 它的长度是一，翻折之后呀，这个 p o 的 长度 仍然是一，而这个 o b 的 长度呢，它也是一。现在我们确定这个角的余弦值是负的三分之一，我们想要去求这里 p b 的 长度，那就非常的容易了。我们使用余弦定理， 负的三分之一就等于一加一减去 p b 的 平方比上一个二乘一，再乘以一。所以说这里啊， p b 的 长度呢，它就等于三分之二 b 的 根号六。这一问呀，也非常的简单。 接下来呢，我们研究它的最后一小问，假设 p 它在底面 a、 b、 c、 d 上的摄影为 q， 直线 c q 呢与 a d 交于点， e f 是 p b 的 中点，让我们证明 ef 平行于平面 p c d。 在解决这一问的时候，很多同学呢，他习惯于使用空间直角坐标系法完成对于这个问题的计算，所以呢，我们先研究怎样使用间系法去做这个题目。那刚才我们已经分析了一个问题，就是这个 p o b 啊，它是一个钝角，我们想要建立空间直角坐标系。现在我们研究这样一个问题，就是底面之中 o a 与 o b 呢，是相互垂直的直线， 既然他俩相互垂直，我们不妨呢就以 o a 作为 x 轴，然后呢，以 o b 作为 y 轴。 我们现在要确定的唯一的问题就是 z 轴怎样去建立，以及 p 点的坐标怎样进行求解。那既然坐标原点他是 o， 那 么这个系啊，我肯定要向上引一条线，拿着这条线呢来当 z 轴， 而这个点 p， 它在底面上的投影 q， 这个 q， 它一定是落在了坐标轴 y 轴之上的。 那我们该如何去找这个 p 点的坐标呢？这个问题啊，也是非常的容易思考的，我们来看右边的这个图，现在呢，我们寻找到的这个 z 轴，它是沿着这个方向的， 我们已经知道了角 p o b， 它的余弦值是负的三分之一，那么向着这个方向，我们找到它的补角，这个角的余弦值呢，它就是三分之一。接下来我们向底边来做一个投影，这个呢就是 q， 那 么 o q 的 长度，它就等于 p o 的 长度乘以一个夹角余弦值三分之一，所以这个 o q 的 这个长度呀，它就是三分之一，这就说明点 p， 它的横坐标为零，而纵坐标呢是 负的三分之一。接下来我们求它的竖坐标，竖坐标也非常的简单，就是 p o 去乘以这个角的正弦值，它的正弦值是三分之二倍的根号二，所以说它在数值方向的高度就是三分之二倍的根号二， 这样的话呢，我们就确定了这个 p 点的坐标。确定完 p 点的坐标之后呢， 这里的 f 点还是比较容易的，我们只要搞定这个 b 点的坐标就可以了，而这个 b 点的坐标它非常非常的容易，因为这个长度呢，它是等于一的，所以它的坐标就是零一零，那么我们使用中点坐标公式 f 点，它的坐标就是零 三分之一，三分之根号二， f 点的坐标呢，我们就确定好了， 我们想要证明 ef 平行于 p c d， 只需要证明 ef 向量与 p c d 的 法向量是互相垂直的。那么本题之中最为关键的一个问题就是如何去找这个 e 点的坐标。 前面呢，我在给同学们讲解立体几何问题的时候呀，经常性的传递一个观点，就是如果我们在某一个面上有特定的问题呀，很难寻找到解决的答案，我们不妨呀将这个面进行平面化， 现在我们把底面 a， b， c， d 做一个平面化的处理，这个位置呀，它是 o o a 呢是我们选择的 x 轴， o， b 呢是我们选择的 y 轴。我们现在要解决的核心问题就是点 e 的 坐标，它是什么？ 那我们怎么去求这个点 e 的 坐标呢？这里呀，我提供两种方案， 第一种方案我们使用三角形相似的办法，这里的三角形 e、 q、 d， 它一定是相似于三角形 b、 q、 c 的， 而且我们能够确定这个位置的这个长度是三分之一，这个位置的这个长度呢，它是一，那这个位置就是三分之二， 所以我们能够确定 d q 比上 q、 b 就 等于一比二，这样的话，我们就确定了相似比，也就是说 e、 d 的 长度比上 bc 的 长度呢，就等于一比二， 而这个 bc 啊，它是等于 a、 d 的， 也就是说 e、 d 比上 a、 d 等于一比二，那么点 e 一定是 a、 d 的 中点，我们找到 a 点， a 点，它的坐标根号三零零 d 点，它的坐标呢是零负一零。由中点坐标公式我们就能够确定点 e 的 坐标呢，就是二分之，根号三 负的二分之一零，这是第一种确定一点坐标的方式，第二种方式，第二种方式与第一种方式比呢，他就相对而言啊，有一点点的麻烦。但是这个解决方式呢，却更加的直接了， 这个位置是 x 轴，这个位置是 y 轴，那么刚才我们已经确定了，这个 c 点的坐标呢，是 负，根号三零，我们不用去写它的数坐标，这个 q 点呢，它是零 负的三分之一。所以我们就可以利用 q 点和 c 点写出 q、 c 的 直线方程。我们先搞定它的斜率 k、 q、 c， 它就等于负的九分之根号三， 那么我们就可以写出它的方程，它的直线方程就是 y 等于负的九分之根号三， x 减去一个三分之一，这是 c、 q 的 直线方程。然后呢，我们再写出 a、 d 的 直线方程， a 点是 根号三零， b 点呢是零负一，我们使用截距式，就是 x 比根号三，加上 y 比上 负一等于一。那么有了 a、 d 的 直线方程和 c、 q 的 直线方程，只要把这两个直线方程进行连立，就可以找到 e 点的坐标， 那现在我们有了各个点的坐标，接下来只需要去证明 e、 f 垂直于 p、 c、 d 的 法向量即可。那么我们先写出这个 pc 向量， pc 向量呢，负根号三，三分之一，负的三分之二倍的根号二。再写出 pd 向量， pd 向量零，负的三分之二，负的三分之二倍的根号二。 我们假设 p、 c、 d 的 法向量呢，是 n 向量等于 x， y、 z， 那 么由 n 向量乘以 p、 c 向量等于零，我们可以得到这样一个方程， 负根号三， x 减加上三分之一， y 减三分之二倍的根号二， z 是 等于零的。第二个方程呢，就是负三分之二， y 减去三分之二倍的根号二， z 等于零。 那观察我们很容易知道，我们可以啊，让这里这个 z 呢是等于根号二的，当 z 等于根号二的时候， y 呀，它一定是等于负二的。然后我们把 z 等于根号二， y 等于负二呀，带到这个方程里边，就可以得到 x 呢，它是等于 负的三分之二倍的根号三，这就是法向量 n。 接下来呢，我们写出这个 e、 f 向量， e， f 向量呢，负的二分之根号三，六分之五，三分之根号二。下面我们算这两个向量的数量积，它们两个相乘是等于一的， 纵坐标相乘，负的三分之五，竖坐标相乘呢，三分之二。 很显然这个数量级恰好是等于零的，所以说 e、 f 就 平行于平面 p、 c、 d 这样的话呢，我们就使用间隙的方式完成了对于这个问题的证明， 这个证明过程啊，相对而言呢，还是有那么一点点的崎岖和坎坷的，但是呢，它符合了我们很多同学解决立体几何第二问的一个基本解题习惯。 接下来呢，我们再使用传统的几何法完成对于这个题目的证明，这个也是非常非常的简单的，他需要用到刚才我们在证明的过程当中证明的一个结论就是 e 呀，这个点他是 a d 的 终点， 那么有了这个终点的信息，现在我们采用构造的方式来完成线面平行的证明，我们找到 pa 的 终点，假设这个点呢是 h 点，然后呢，我们连接 f， h 以及 eh 这两条线，那么由 h 和 e 都是中点，那么 h e 一定是平行于 pd 的， 而这个 h f 呢，它一定平行于 ab， ab 呢平行于 cd， 所以 我们就得到了 h e 平行于 pd， h f 平行于 cd， 并且呀， h e 跟 h f 是 相交的，而 pd 和 cd 也是相交的，相交线平行于相交线，所以面面平行，那面面平行呢，自然就可以得到线面平行。 其实这个纯几何法它也是非常非常的简单的，只不过在考试的过程当中呀，同学们呢，精神是高度紧张的， 当我们看到立体几何这个问题的时候呢，就是你会不自然的去想一个问题，就是这个题啊，它极有可能需要我们建立空间直角坐标系，所以呢，这个题目呀，我用两种方法呢对它进行了一个简单的讲解。

来高考百日百科的试卷好题精讲系列啊，咱们今天继续讲讲这个哈，三中三模 这个第十八题啊，出的非常好，也是我平时上课啊，总跟大家强调的这种间隙困难的几何题啊，应该怎么办？万一间隙不好算咋办呢， 是吧？当然，如果大家还有哪道题想让我讲一讲的话啊，可以在评论区留言啊，也希望大家多多点赞关注啊。当然，我也加入了抖音精选高考应援联盟，里面有很多的高考内容，大家可以去抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课 来，废话不多说，开整来，咱们先读题啊，在一个斜的三棱柱啊，他就告诉你了啊，这个本身的三棱柱是斜的，也就是说侧棱啊，跟底面不垂直，对吧？他说 a b 啊，等于二，然后 a c 呢，也等于二 角 b a c 等于九十度，也就说底面啊，这个，哎呦，我这个直角啊，画的也是非常够意思啊，但是呢啊，咱们就凑合看吧，是吧，他说 a a 一 侧棱啊，等于三 啊，然后呢，这个 a e a b 啊，这个角啊，是六十度啊，这是告诉你了的。然后呢， a e a c 啊，也就是说另外一个测棱啊，它这两个测棱之间的夹角是六啊，是谁的啊？不知道 啊，当然第一问呢，他告诉你，当谁的等于六十度的时候啊，他让你证明这个 a a e 点出发的三条棱两两之间的角度， 对吧，也就是说 a b 与 a c 的 夹角，我知道是直角 a e a 啊，与这个 a b 的 夹角我知道是六十度，然后呢， a e a 啊，与这个 a c 的 夹角也知道也是六十度，比如说这个点出发的三条棱两两之间的夹角，我全知道，只不过呢，有不是九十度的， 那么这种题我们呢？又如果要是想用间隙的话，那么我们就不知道，就比如说你想数值间隙，那么这个 z 轴与 a a 一 的夹角多少度啊？你不知道 a a 一 跑到哪去了你也不知道，所以说这种题啊，不适合间隙，那么间隙啊，实际上是一种特殊形式， 什么特殊形式呢？你必须得是 x 轴， y 轴 z 轴两两之间夹角必须得是九十度，对吧？但是我们如果能够用空间向量的模的运算的话，那不需要九十度啊，你两两现在夹角爱多少度多少度，我只要知道你具体的角度，我都可以算。 所以说解决这种啊，邪不愣登的啊，几何体的相关问题的时候，我们的法宝是什么啊？就两点，第一点就是空间向量的模的计算啊，我不用坐标计算不就完了吗？第二个就是三余弦定律啊，对于这道题来说，这两个法宝全都能用，派上用场，而且非常非常好用， 对吧？来，咱们看一看。那么这道题啊，他想让我证明 a a e 垂直于 bc， 我 看 我们要直接用模的运算呗，也就说这道题他想让我证明的是啥？ a a 一 与 b c 向量的乘积等于零啊，就这意思， ok， 那 就 开整，对吧？第一问啊， a a 一 向量乘以 b c 的 向量，那么我们怎么去求呢？因为我们都知道 a 点出发的三条零两两这个角度， 所以说我们一定要把 b c 往这个 a b 与 a c 还有 a a 一 上转化，那么很明显， b c 向量是否可以等于 a c 减 a b 啊？哎，这样的话，我们就直接啊，然后呢，乘的还是 a a 一， 就是这三条棱了，那就解决了吗？就这么简单点事，对不对？所以说啊，它等于 啊， a a 一 啊，向量乘以 a c 减 a b 呗，对不对？那么乘以 a c 减 a b 打开，那就是 a a 一 向量，乘以 a c 向量，再减去 a a 一 向量，乘以 ab 向量啊，就等于这个。那么 彼此啊，每条棱棱长知道不知道，假角知道不知道，那就模棱计算开整，对吧？那 a a 一， 那就是三，对吧？乘以 a c 二 啊，乘以它们之间夹角多少度啊？六十度啊，口算六十度，再减去 a a 一 三， a b 二，乘以它们之间夹角也是六十度，那你说能不等于零吗？一定等于零， 马上就挣完了，你看多简单呐，对不对？ ok， 那 么既然我们能够证明 a a e 是 垂直于 bc 的， 那么也就是说明 a e a 啊， a e 这个点呐，到底面的投影，也就是说，这个点 o， 它一定是在这个 b a c 的 角平分线上。 而对于这道题来说啊， b a c 这个三角形，它是一个等腰直角三角形啊，虽然说画的非常离谱啊，这是直角， 因此它你就可以取 b、 c 的 中点啊，就假设啊，哎，我们连接 a， 对， 也就是说 a、 e 的 投影啊，一定是在 a 对 上的 啊，一定是在 a 对 上的，也就是说，其实这个 a 点，虽然说它不是数值的，它是偏的，但是它偏，也并没有偏离这个三角形啊。 a b c 的 这个中轴线， a 对， 并没有偏离这个 a d 上，也就是说，它并没有以 a、 d 为中心，往左偏或者往右偏，它都没有往左偏往右偏，它就一直都在 a、 d 上啊， 那我们再来看这个第二本呢，他说啥？他说过 a e 啊，做这个 a、 e、 o 啊，垂直于底面，相交底面于 o o 点呢，一定是在 b a、 c 的 内部。 然后呢， a o 向量与 a b 和 a c 向量， a o 的 向量与 a b 与 a c 的 向量分别啊？假角分别是一个，是 r 法呢，这是 r 法，这是贝特啊，我画一下 换个色哈，那就相当于是这个是 a o 是 吧？哎，然后呢，这个角是 r 法角啊，这个角呢？是贝特角啊，这两个角分别是 r 法跟贝特。那么我们称 啊， int 的 r 法和 int 的 被它相减比上，它们俩相加的绝对值是它的投影偏差率。其实你看，跟我说的这个刚才说的这个意思是一样的，也就是它俩是其实是没有偏差的，它一投影点一直在啊，这个 b、 c 的 就是在三角形 a b、 c 的 这个 这个中轴线上，他一直在这条线上，所以说他俩肯定 r 法角跟 b 角是相等的啊，这俩角一定是相等的，那么怎么做呢？哎，那你看这俩角那相当于啥呀？这不就是三余弦定里吗？就是三余弦定里啊，那好多同学都都忘了啊，啥叫三余弦定里啊？哎，那咱们简单说一说啊， 比如说这是一个平面啊，然后呢，有一条线啊，这是直线 l 啊，那么相这个直线呢，跟这个平面呢，相交于点 a 啊， ok， 那 什么叫线面角啊？是不我得在这个直线上啊，找一个点 b 做这个平面的这个投影啊，我管这个投影叫 b 撇，那么我连接 a b 撇，是不？这个假角，我管它叫角 c， 那 这个角是不是有线面角啊？ ok， 那 么假如说平面上呢，还有一点点 c 啊，在这个平面里，然后呢，我管这个 b 撇 a c 的 假角呢，叫做角 b 它， 然后呢，我再把这个直线 l 与这个 a c 的 夹角叫做角蛤蟆，那么这三个角啊，就有三余弦定律，也就是说 cosine 蛤蟆一定是等于 cosine theta 啊，乘以 cosine b theta 的， 一定有这个，这就是三余弦镜比，也就是说，从这个角度来看，这个大角一定，那余弦值一定是等于这两个小角的余弦值，其中一个小角就是线面角，另外一个小角就是这个。这个线啊，其中一个点到底面的投影的一条线和任意一条线所 加了这个夹角叫夹北的啊，他们一定有这个，那么我们看这道题啊，看到这道题，那你看这个 a e、 a o 啊，就这个角啊， a e a o 这个角是不是就线面角？那你看这是线面角，然后呢，它这个角是角 r 法，就是 a o 与 ab 的 夹角是角 r 法。 而整个这个夹角我们还知道，也就是说 a e a b 这个夹角，我们还知道它是六十度，这不就正好构成了三余弦的三个角吗？ 那么另一边也一样啊，这是角贝特，然后呢， a e、 a o 呢，是线面角啊，这个线面角和角贝特这两个角都是分别是小角，而 a e a c 这个角是大角。这个角啊，在第一问的时候，他也是六十度还是六十度， 所以说这个三鱼弦呢，在大题当中也可以直接用的啊，没有问题啊，所以说这道题太简单了。第二问，如果你大家想到了三鱼弦啊，那这道题就纯纯白给，对不对啊？第二问的第一小问啊， ok， 根据啊，咱们先设一下这个线面角，比如说设啊，这个角 a e a o 啊，我管它叫这是阿法，别的谁的都有了，那叫角蛤蟆啊，我管这个线面角叫角蛤蟆啊，然后怎么的，根据三鱼弦定律， 那么就有啥呀，哎，有两个对吧？第一个就是什么？就是 cosine 角 a e a b 啊， a e a b 就是 这个大角啊，它一定等于啥呀？一定等于 cosine gamma 啊，也就是线边角再乘以 cosine alpha 啊，这提的给我的这个 alpha， 它等于多少啊？因为这个角等于六十度嘛，所以说它等于二分之一， 对不对？然后我还能列出来一个，就是 cosine theta 啊，对于数学题来说，这 cosine theta 不 就还是大角吗？它也应该等于 cosine gamma 乘以啊， cosine beta， 因为这个第一位第一小问里边 theta 等于六六十度，所以说它还是等于二分之一，因此我们能发现怎么的？ 因为虽然说我不知道 cosine gamma 多少，但是这干么都能约掉啊，所以说 cosine 算法跟 cosine beta 一定是相等的， 所以说 cosine alpha 一定是等于 cosine beta 的， 你看用三域协定一下就挣出来了，对不对？而且又因为 alpha 加 beta 等于九十度，所以说 alpha 等于 beta 就 等于四分之二， 对不对？因为它俩相等，只能 alpha 等于 beta， 因为这两个角都是这个锐角，对吧？那么 alpha beta 等于四分之一，那我们是不也能把 cosine 算出来啊，也就是线面角，也就是说这个 a e a o 的 角，那 cosine 角有多少啊？大到任何一个式子里边都行，因此 cosine 角啊， 应该等于二分之一，再除以 cosine， 那 相当于乘以一个根号二呗，是不是 cosine 等于四十五度嘛？二分之根号二，那相当于乘以根号二，因此它也等于二分之根号二。也就是说，线面角，也就是说 a e a 啊，与底面的夹角，实际上是四十五度 啊，也就是说 a e a o 啊，这个角啊，它这个夹角是四十五度， ok， 那 么知道这个了，那我们就其实啊，先算它有用啊，后边有用，是吧？来，咱们继续，我们就先算它的这个投影偏差滤得呗，是吧？因此啊，得 啊的应该等于绝对值啊，弹进的 alpha 减去弹进的比特啊，那它俩都等于四十五度，还是得相等，那就肯定等于零了，对吧？弹进的比特啊，写一下啊，它等于零，完事了， ok， 然后呢，接下来他还让我求什么呀？求啊，此时平面 a e b c 啊，平面 a e b c 啊，这个平面啊，与，这是 a e b c 与底面的夹角， ok， 那 你告诉我，你现在能不能知道？当然这道题啊，其实间隙也行啊，但是我觉得间隙太麻烦，因为这两个角很明显就能看出来。首先， a e b 和 a e c 他 俩这两条线一定是相等的，为什么相等？因为在这个三角形 a e a b 里边，这是三，这是二，这是六十度。 所以说 a e b 不 管多长和在这个三角形当中，就是在 a e a c 里边，这也是二，这也是三，这也是六十度啊。所以说 a e a c 跟那 a e c 和 a e b 它俩一定相等， 那么既然相等，那如果我连接 bc 的 终点得，哎，我连接 a 一 得，那 a 一 得一定垂直于交线，对吧？然后呢，又因为底面是个等腰直角三角形，因此 a 一 得也一定垂直于 bc， 因此啊，这个夹角就是这两个平面的夹角， 对吧？当然，这个角如果他是钝角的话，那么这个角的补角就是这两个平面的夹角啊，因此，我们很容易就能把这两个面的夹角做出来，那我们就求他就行了，那求他的话，我们知道这是二，这是多长啊？因为底面啊，是一个等腰直角三角形，所以说这是根号二吗？ 所以说就差这了，那这个长怎么求呢？这个角我知道，刚求的线面角，这个角是四十五度啊，啊，所以说这是四十五度，因此我可以这不两边一个角吗？于先定底，直接求 a 一 对就完了， 那么 a， e， d 求完，我再求这个夹角，这题就完事了，对吧？所以说这题非常简单。当然，我们首先呢，得一定得先连接一下 a， e， b， 是 吧？然后呢，连接这个，这个点就叫点 d 啊， bc 的 中点。然后呢，我再连接 a， e、 d， 那么这个角啊，就是这两个平面的假角啊，就是 a 一 对 a， 是 吧？然后再连接一下 a， c， a， e， c， ok， 那 这是一个等腰三角形啊，对吧？刚才我说的这个东西都得正啊，都得正一下，是吧？ ok， 那 么咱们写呗，那么再三角形 留着啊，在三角形谁呀？ a 对 a 一 种啊，在三角形 a 对 a 一 种啊， a 对 a 一 种？对啊，根据余弦定律， 我可以先求这个 a 一 对的长度啊，那么可以得到啥呀？啊？ a 一 对啊，它就应该等于啊，根号下啥呀啊，根号二的平方，那么二加上三的平方九，减去二乘以根号二 乘以三，再乘以个它们之间的夹角线边角啊，二分之根号二，啊，二分之根号二，对吧？这一乘完之后，这是啊，十一减六，根号五， 因此 a 一 的等于根号五。那么所以说，我们要假设啊，我们要求的这个二面角，我说角的这个都射没了呀，是吧？ 那我就射这个角的角 k， 是 吧？所以说 q 三 k 啊，哎，他就应该等于，哎，绝对值。 q 三 a 一 的 a， 对 吧？ a 一 的 a 这个角就是这两个平面夹角啊，他应该等于 算一下，那就加绝对值啊，分子加就行了。那么应该是等于根号二的平方，加上根号五的平方，再减三的平方， 然后呢，这底下是二乘以根号二乘以根号五，对不对？所以说应该等于就是上面二二约掉了十分之根号十呗，对不？ 哎，因此啊，它等于十分之二十，所以说这个第二问里边，这个第一小问就算完了。然后我们再看这个最后一个小问，最后一小问，他说呀，这个的是关于角谁特的一个函数解析式， 那角谁特，那现在的这个角是角阿法跟角贝特的，所以说这道题你想变成贝特，找到阿法贝特与谁特之间的关系啊，你得找到阿法贝特与谁特之间的关系， 若存在两个不同的锐角，谁的一，谁的二，使得它俩相等，证明口算谁的一，乘以口算谁的二，等于四分之一。 ok， 那 么首先不管咋地，你得先找到阿法比特与塞特之间的关系，从而把这个的这个表达式 的里边的阿法跟比特全都换成塞特，就这点事，那么根据第二问啊，我们知道了这个， 知道这个，对吧？我还知道他，我知道这两个，那我们知道这两个的话，我们就可以直接看出来啊，对吧？虽然说现在这个角谁他啊不等于二分之一了，但是我可以通过这个啊，能够判断出来 cohen beit 啊，哎啊，先算他吧，先算他 是不？ cosine 比特应该等于 cosine 比特除以 cosine 算法啊，那个嘎嘛啊，是吧，换个色啊，这个第二个小问啊，根据 啊，这个一中可得啊，对吧？三余弦呐，我们可以得到啥呀？ cosine 比特是等于啊， cosine 比特比上 cosine 嘎嘛的就在这嘛，对吧？ 这虽然说他现在不知道不不等于二分之一了，因为这个等于二分之一六十度呢，是第一小问里面告诉我们现在第二小问没有这个条件了啊， ok， 我 们还知道啥？根据他，因为这个角是一直等于六十度的啊，这是可以用的，对不对？所以说通过这个里边我可以把这个 cos 阿法表达出来，对吧？我还能知道 cos 阿法，对吧？它等于啥？等于啊，二倍的 cos 伽玛分之一， ok， 那 cosine 赶上没有用，所以说我们怎么两式相除就可以了啊，则 cosine beta 比上 cosine alpha， 它就应该等于这一除完之后就等于二倍的 cosine theta 啊，对吧？等于二倍的 cosine theta。 而又因为 alpha 加 beta 等于九十度啊，这是 alpha， 这是 beta， 它整个是直角啊， 所以说又因为 alpha 跟 beta 是 九十度，所以说 cosine 等于啥呀？是不等于 c in alpha 啊，它就等于 c in alpha， 所以 说 就可以写成啊，它又等于 c in alpha， 比上 cosine alpha， 哎，那所以说它正好等于贪心的 alpha 至此。哎，这个原来的这个的这个式子里边的弹进的阿法，我就可以用二倍的口算谁的来表达了。又因为阿法跟比特他俩是互余的，所以说弹进的比特就等于弹进的阿法分之一，所以说我就全可以换了。 因此，那这道题我是不是首先我就可以表达出来这个的谁他了啊的谁他，哎，他等于啥呢？ 先把原式抄下来啊，原式是看一眼，弹进的 r 减弹进的比特比上他俩相加 啊，弹进的 r 减去弹进的比特，那就相当于减去弹进的 r 分 之一是吧，然后比上弹进的 r 加上啊弹进的 r 分 之一，这样的话，先把这个比特整没，然后呢， r 弹进的 r 跟口在谁的关系？在这往里套啊，那就等于 这是二倍的 cosine theta 减去啊二倍的 cosine theta 分 之一。其实这道题啊，跟这个式子跟这个立体图形也没有关系了，变成纯函数的问题了， 对吧？减去啊，加上二倍的 cosine theta 分 之一就得这个，那么这个式子分子分母还都有分式，所以说肯定得先同乘一个分子分母同时乘以一个二倍的 cosine theta， 是 吧，然后就变成了， 这是四倍的 q 方 c 减一啊，然后比上这是四倍的 q 方 c 加一，那四倍的 q 方 c 加一，它肯定是正的，所以说这个绝对值啊，只有分值有 啊，只有分子有。那么他说呀，这个式子啊，存在着两个不同的锐角啊，锐角 c 特一和 c 特二，然后呢，使得的 c 特一就这个式子相等啊，这两个式子有两个式子相等，那么怎么能让这俩式子相等呢？那就肯定是一正一负嘛， 对吧？这才能相等。所以说这个题就很简单，当然写这口在 c 特一， 然后呢，再令 t 二呢，等于口方 c 二，因此啊，这个式子一定有啥呀，分子一定是一个取正，一个取负，也就是说啊，则 这个四倍的 t 一 减一，比上四倍的 t 一 加一，就应该等于一减四倍的 t 二，比上四倍的 t 二加一， 那就交叉相乘呗，对吧？那就是十六倍的 t 一 t 二减去左上乘右下啊，减去四倍的 t 二，加上四倍的 t 一， 再减一，就应该等于 四倍的 t 一， 减去十六倍的啊， t 一 t 二，再加一个一，再减一个四倍的 t 二。约分啊，不不，那个和平同乐像这都约掉了， 没有了，那就剩啥了？那就剩三十二倍的 t 一， t 二就应该等于二，所以说， t 一 乘以 t 二，应该等于十六分之一，而 t 一 乘以 t 二等于啥呀，在这呢，对吧？所以说，换回来，那也就是说， cos 方 c 特一乘以 cos 方 c 特二啊，应该等于十六分之一。又因为这个，这两个角啊，都是锐角啊，都是锐角，所以说它一定都是正的，所以说，开根呢，就是正的。 所以说，哎，我挣完了，扣三 c 的 一乘以扣三 c 的 二确实等于四分之一，你看这道题有啥难的，对吧？所以说，我们在做这种邪不愣登的图解析困难的题的时候啊，记住两大法宝， 第一个就是这个三鱼弦定律，第二就是我们可以用空间向量的模的运算，有了向量的拆分并不一定非得间隙啊不要，可这一棵树上吊死啊，对不对啊？所以说这道题总体来讲， 如果大家能够掌握三文先定礼和这个模拟算，那么这种题啊，还是白给 ok 啊，如果想让我再更什么哪道题，可以这个评论区告诉我啊，拜拜朋友们。

今天呢，我们来看一道和平高三三模数学当中的选择压轴题， 这道题呢，延续了和平一模和二模一如既往的平面图形立体化的一个立体几何的小题 啊。作为选择压轴题来说呢，这个题呢，对于一部分学生来说啊，不算特别难，但是对于有的啊，一百二三十分的学生来说，如果空间想象能力没有那么强的话，这道题可能就会难倒一少部分人。 我们来看一下这道题啊，经典的矩形 a、 b、 c、 d 长是二倍，根号二，宽是二。沿矩形对角线折叠的问题，将 abc 三角形折起来成为一个四面体， a 变成 a， 一 问四面体 a、 e、 b、 c、 d 的 外接球体积，我们知道要求外接球或者是内切球的体积的话，直接就是求球的半径 r， 那 么球的半径 r。 在 这个题里边，我想介绍的是一种双垂法，因为利用双垂法的话，你的视觉效果会非常直观的看到本来是一个平面图形的矩形， 经过 a 和 c 做 b、 d 的 垂线，因为它是折痕，我们利用做双垂线，也就是和以前学这个二面角的时候用的方法是一致的。 通过添加二面角啊下边左边这个图，你就会把这个平面图形本来是长得一模一样的，但是通过添加这个二面角之后，你会看到 a、 c 啊，立马变得立体化了，如果这时候还觉得没有那么立体的话，那可以看一看下边这个。 通常你想把一个平面图形变得立体化，我的画法是，首先你右下角这个折痕的一部分保持不动，也就是说它的 b、 c、 d 的 部分可以 保持不动，然后呢，另外一部分本来是 d、 a、 b 这个三角形，那我们只需要 a 点本来靠的是 左下侧，我们把 a 点靠刀右上侧，这样的话，你会让它的图形立马变得立体化，这时候再把 a、 c 连接，就能够利用想象能力想象出这个图形了。所以左边这个图形就是这样子画出来的啊，应该双垂法用虚线来画比较合理。 当画出来之后，这个题其实就已经迎刃而解了，为什么呢？因为所有的答案都在这两个图中，我们一定要利用思维想象一下 圆心啊，也就是球心到这个 a、 b、 c、 d 的 距离是相等的。这四条线平面图形上来看，矩形的对角线互相平分，那很明显半径其实就是 o、 b 啊，四条线段都相同，以 o、 b 举例，那矩形的对角线的一半很容易求二二倍，根号二考的是一根号二和根号三的关系，所以它的半径就是根号三。那放到立体图形中来看 啊，右上角这个图呢，我们也能看到，从 o 点出发，因为你外接球到四个点的距离都是相等的，所以这些半径啊，应该和啊这个根号三都是一致的。 我们怎么去想象呢？因为你这个球心到每个点的距离都相同，那我只需要看 在每一条线段的中垂线上啊，不论你从中垂线出发，也就是说下边这个直角三角形，这不是斜边中点吗？那你中垂线的焦点就在斜边的正中点，这是我们很经典的结论。那另外一边 a 和这个 o 自然而然也在斜边中点 连接 a、 o 这个中线都可以，那么我们这个半径就是 o c o b o a o d 任意一个啊，这样来看的话，如果知道半径是对角线的一半，那这个题的啊，外接球的体积就变得非常简单，利用外接球体积公式啊，就可以迎刃而解了。