2026太原市二模数学过程

二零二六太原市第二次模拟考试，那么这份卷子，尤其看到十五题，呵，看到他，我仿佛看到了我们的模考最初的样子啊，太原市的出题老师终于回归了初心啊，再次回到了我们常规的一些数据组，不再用一些奇怪的数据，是让我们去算去了。好，这道题出的啊， 非常的典型，那么就是我们的通信通法啊，各种各样的方法可能都会有。来，陈老师永远给你讲两个核心思路，第一，平行产生的相似三角形。第二，解直角三角形 啊，那么这道题里面由于它出现了这个特殊角，所以一二三组模型马上直接秒啊！来，角 b 四十五度角 ab 的 长度是三倍根号二 啊，那么 bc 的 全长是一个九点， d 是 a， c 上一点有一个 a， d 和 dc 的 二比一比例关系，点 e 在 b a 的 延长线上连接了 e、 d， 并延长交 bc 与点 f， 若 d e 等于 d a 好， 则 d、 f 的 长为多少？来，先看快速的方法啊，看到了四十五度，看到了三倍根号二，来过点 a 向下做垂直，马上这边咱们有三倍根号二嘛，四十五度角，则这边是三和三 九减三，这个长度 h、 c 的 长度应该是个六啊，有了六之后，马上能看到啊，这个角尔法角他对应的三边比例关系，三比六是一比二比刚好五的比例关系。 那么这个时候的角一，他作为外角出现，外角等于不相邻两的角和角一等于四十五度加尔法。 同学们，角一再加上一个角就是九十度，那角一本身是四十五度加尔法，再加贝塔等于九十度，是不是尔法加贝塔等于另一个四十五度？ 那就说明尔法是一比二比根号五的情况下，那贝塔肯定是一比三比根号十。所以其实角一是谁？角一就是一三根号十的大锐角 来等腰三角形，直接三线合一往下做垂直来，垂直过来，给个点 g。 好， 我们能看到这个 a、 c 的 全长应该是个三倍根号五，根据二比一的比例关系，这边应该是二倍根号五。好，那这边也是二倍根号五。 dc 的 长度为根号五，这个角 e、 d、 a 他是一三杠十的二倍，那一三杠十的二倍肯定是三四五的小锐角，所以直接来过点 f 做垂直，给一个 n 点来，左边三角形三四五，右边三角形一二根号五。 设 n、 f 的 长度为三 x， 则 n、 d 的 长度是四 x， 则 n、 c 的 长度是六 x。 直接十 x 等于根号五， x 等于十分之根号五。我们要求的 d、 f 是 五 x， 五 x 等于二分之根号五。搞定 啊！所以这道题的话，其实前面的一堆东西，只要你对于特殊角的关系是熟悉的话，能够立马瞬间判断出来啊，这个三四五和一二根号一下就出来了。方法二，还是平行线出相似来过 点 d 做平行线。为什么过他做平行线呢？因为我想把这个二比一的比例关系得用起来，所以来这边给一个点 g 啊，直接九二比一的比例关系二比三，所以这应该是一个六。 同理，三倍根号二过来二比三，那么这是二倍根号二，这是根号二。好了啊， 再接下来四十五度角直接平移上来，这边也是四十五度角过点 d 做垂直，既能出三线合一，又能把四十五度角放进直角三角形中去， 显然斜边长为六的话，那么这个 d h 啊，到这 g h 长度应该是一个三倍根号二，减去二倍根号二，这是根号二，那么这也是根号二。我们看到这个 h d 的 长度显然还是三倍根号二 啊，那么因为它跟这个 h g 相等啊，所以 e、 d 的 长度你看又求出来了，对吧？一比三比根号十，二倍根号五。 好，那这个时候直接看 e j 比 j b 等于 e d 比 d、 f， 这不就出来了吗？ 所以上半截是根号二，根号二，二倍根号二，四倍根号二比下面的根号二，四比一的比例关系，所以二倍根号乘以四分之一等于二分之根号啊！ d f 搞定。其他方法欢迎大家评论区留言。

同学们好，一起来看一下太原二模的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。 根据题中的已知信息，角 b 是 四十五度， a、 b 等于三倍，根号二，于是你过点 a 做了高，得到了一个等腰直角三角形，并且得到了这些边的数据。而整个 b、 c 是 九，那么你又得到了 g、 c 等于六， 于是又得到了 a、 c 的 长度，而 a、 d 等于二倍的 c、 d， 于是又得到了 a、 d 和 c、 d 的 长度， 最终目标是求 d、 f。 所以 你想到了将 d、 f 构建在相似三角形或直角三角形中，其中一种方法就是可以或点 d 去做 b、 c 边上的高， 这样就得到了一个小三角形 d、 k、 f。 咱们只要能知道这个三角形的两个直角边，就能求出来 d、 f 的 长度。根据题中一比二的那个信息，咱们能得到 d、 k 的 长度，因为这两三角形是相似的， a、 g、 c 和 d、 k、 c 相似，比为一比三，所以 d、 k 的 长度等于一。 目前还有一个重要的信息没有使用，就是 de 等于 da， 那 说明 da 是 一个等腰三角形，而等腰三角形能给咱们提供的无非就是腰相等、底角相等，还有三线合一，咱们这里可以借用底角相等来解决问题。 这两底角怎么分别能表示为阿尔法加四十五度，但这里是把角 c 记为阿尔法，那么角 e、 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 一个外角角 b 是 四十五度，角 c 是 阿尔法，所以这里角 e、 a、 d 就是 阿尔法加四十五度， 那么角 e 也是 r 加四十五度。利用内角和，咱们就能表示出来这个等腰三角形的顶角就是九十度减二 r 法，那么它的对顶角 c、 d、 f 也是九十度减二 r 法。 然后在三角形 d i 在 三角形 d、 k、 c 中利用锐角互余，就能表示出来 k、 d、 f 的 长度。 拿九十度减 alpha， 再减这个 c、 d、 f， 得到的就是 k， d、 f 恰好也是 alpha， 说明这个小三角形 d、 k、 f 它的三边之底也应该是一比二比根号五。而目前已经知道 d、 k 是 一了， 所以就可以顺利地求出来 d、 f 的 长度为二分之根号五。 这边左下角有针对二零二六年的中高模拟卷，有需要的同学可以点击了解一下。

好，同学们，我们来看一下二零二六年太原市二模重点题目讲解，在这里呢，我重点讲解第十题，十五题、二十一题，二十二题、二十三题，那么请同学们呢， 重点听一下第十五题，二十二题的第三问，尤其是二十二题的第三问啊。呃，然后呢，二十三题你也可以重点听一下。好，我们先来看一下第十题，这个其实没有什么太多说的哈，就是讲的这个， 只要那个平移，那么在这里请同学们注意一下，如果说你我们的什么以及这次的考试题目里面都出现了这样的一个平面直角坐标系的这样那种新题型啊，嗯，所以你要注意下，如果最近做这种题目不是太理想的话，那你要找一点这种题目做一下 啊，把三角形这个 a， b， c 啊，呃，沿着这个啊， x 轴的正半轴向正方向啊，沿着正半轴来进行平移， a 点坐标告诉我们了是负三斗零，那么所以在还还告诉我们平移之后的那个 f 点的坐标呢， f 点坐标是我们的 a 斗 b， g 点的坐标呢，是我们的 c 斗 d， 这个呢，就是说你就算是你不会做的话，你也应该能排除出来选项哈。首先第一个，你要知道 b 和 d 的 关系，它俩是互为相反数，所以相加为零，所以 a 和 c 是 不对的，所以在 b 和 d 里面去选，那 b 和 d 里面去选呢？比较特别的就是你看 a 等于 c 等于三，和 a 等于 c 小 于三 啊，那这个 a 是 什么东西呢？你要知道 a 就是 我们的这一角的长度， bf 的 这个长其实就是我们的平移距离啊，他说的，他说这个一点在三角形内部啊，一点在三角形内部，说明这个平移距离应该小于三。哈，这第四题， 第十五题啊，当我拿到这个题目的时候，我看到这个里面有一个四十五度，有一个根号二的时候，其实我可能就隐隐约约想到了啊，可能一二三四五模型能行 啊，就我看见这两个条件的时候，我估计就一二三四五模型能行啊，那你们要注意啊，同学们在第十五题的时候看到四十五度啊，我们想到等腰值和一二三四五模型 啊，自己加三数模型是什么啊？不知道同学你自己去搜一下。好吧，那题目上告诉我们的角 b 呢，等于四十五度，告诉我们的 ab 的 长呢，等于三倍根号二，告诉我们的 bc 的 长呢，等于我们的九，那这样一来的话呢，我们的 ac 的 长马上就要能求出来，要求 ac 的 长呢，我们做一个高 a h， 那 么得到 b h 等于三， a h 也等于三，那么 h c 就 等于六，看见没有，一比二， 哎，一比二比根号，我看啊，一比二比根号五，一比二比根号五， 所以我们的 a c 的 长呢， a c 的 长就多少， a， c 的 长就是三倍根号五啊， a c 的 长就是三倍根号五。而题目当中又紧跟的告诉你，他说 a d 呢，等于二倍的 dc， 相当于 d 点，四点是一个靠下的三等分点，所以我们的 a d 的 长就等于二倍根号五啊， dc 的 长呢，也等于啊，就等于根号五了， 所以这样一来，我们这些场子求出来了啊。然后呢，题目当中还告诉我们了， d 一 是等于 d a 的， d 一 等于 d a， 那 说明它也是等于二倍根号五，所以在这里我们发现了一比二比根号五，说明 c 这个角是多少度啊？ c 这个角是我们的二十六点五度 啊， c 这个角是二十六点五度，那么这样一来的话，这个里面所有的角度都能求得出来，题目当中让我们去求 d f 的 长，题目当中让我们去求 d f 的 长，那么的目标是什么呢？啊？那么怎么做呢 啊？同学们，这个告诉我们 d a 等于 d 一 了，这是三项合一，对不对？三项合一，我们可以考虑做垂直吧， 可以考虑做垂直吧，其实做完垂直之后啊，我们这方标个字母 m， 做完垂直之后，我们就能把 am 和 m 一 都能求出来，这怎么求的？同学们， 呃，我们的角 c 是 二十六点五度，角 b 是 四十五度，所以我们 a e， a c 这个角度，我们就知道 啊，一 a c 这个度数呢，是我们的这个啊，一 a c 这个度数啊，是我们的这个，呃，四十五度加上二十六点五度，那所以我们的 m， d， a 这个角的度数我们就知道了，是多少呢？ 啊？是我们的，呃，这个十八点五度，而十八点五度的上面比例关系是多少呢？是一 比三比根号十，看见没有？所以这样一来，我们的 am 的 长就求出来了， am 长等于多少呢？等于二倍的根号五，比上一个根号十正好就等于根号二啊，所以我们的 m 一 呢，也等于根号二 啊，这些长度你求出来了，那你老是求第一啊，你还没求第一啊，好这个地方呢啊，我觉得其实方法上来讲还是挺挺挺挺好理解的哈，因为题目当中很重要的突破口就是 a、 d 等于二倍的 d、 c， 这是个比例关系，这个比例关系我们做什么呢？我们做一个平行， 做一个水平线 啊，做一个水平线，我们这个地方标一个 n， 那 做完这个水平线你会发现啊，呃，做完这个水平线之后，我们的 a、 n、 d 呢，也是等于四十五度呀， a、 n、 d 也是等于四十五度，说明 m、 n、 d 是 一个点二值二上行。 是一个点二值二上行啊，而且我们刚刚也求了这个 am 了啊，包括我们这个 m、 n 呢，也是三倍的根号二， 对吧？啊，所以这个里面我们就可以利用我们的这个 a 字形的这个比例，就是 e、 b 以上，我们的。呃， e、 n 以上，我们的 n、 b， e、 n 以上，我们的 n、 b 就 等于 e、 d 以上， d、 f、 d、 f 就 求出来。而 e、 n 的 长是多少呢？ e、 n 的 长就是三倍根号二加根号二，是四倍的根号二。嗯？ e、 b 呢？ e、 b 呢？啊？ e、 b 这好求啊啊，因为我们的 a、 n 也能知道，因为我们的 mb 是 三倍根号二，而我们刚刚求了 m， a 是 根号二，所以 a、 n 呢，就多少？ a， n 就是 二倍的根号二，而我们的 a、 b 呢，是三倍的根号二，所以我们的 b、 n 呢，就是根号二 啊，根号。你不要觉得说，老师你这个好复杂，同学们，这个计算没有没有量哈，只有计算没有量，没有计算量啊，然后 e、 d 是 多少呢 啊？ e、 d， e、 d 是 我们的二倍的根号五，那除以我们的 d、 f， 那 所以我们的 d、 f 就 出来了，等于二倍的根号五，除以个四就等于二分之根号五，当你知道这一些关系之后啊，那你可以衍生出来的方法就太多了啊，那衍生出来的方法就太多了 啊，我们在这里也可以干嘛呢？也可以做了这个三线合一之后啊，延伸出来的方法就很多了哈，我们也可以这里做完这个三线合一之后，我们在这里再做一个垂直 啊，用这个解，只要上学的这个思想呢，来解决我们的 d f 啊，这是一点问题都没有的，这是一点问题都没有的，用完用完这个锤子之后，你会发现啊，你会你你，你，这个地方也是可以去求吗？啊，这里面的每一条长都能求得出来 啊， d c。 知道我们在这里呢，我们可以把 m c 呀， d m 呀这些都能求得出来，当然也可以过一点往下做垂线，这都是可以的啊，这个地方 a 这方做垂线之后啊，所以思路就有蛮多了哈，思路就有蛮多了，你不要觉得老师你在这里写了一大坨啊，真的是计算没有量哈， 所以这个呢，我觉得在应试状态之下，嗯，我觉得是完全可以出来的，当然呢，这个地方我也可以给大家提一点。嗯，你这个地方呢，你可以看一下，你学过一个东西叫飞鱼模型。没有 啊，飞鱼模型胡乱做平行啊， 当然我在这里我就不拓展讲了哈，我给你把飞翼模型给你放这，你不清楚的同学你截个屏好吧。啊，这就是这个飞翼模型，就是这个飞翼模型，你看这俩图是不一样啊，看见没啊？看这俩图完全一样，看见没？ 这俩图完全一样，然后做的辅助线里面有这样的一个辅助线，看见没？鲱鱼模型胡乱做平行，所以衍生出来的很多很多方法衍生出来很多很多方法。这好好， 那个你可以截个屏啊，你可以截个屏，你可以去了解一下啊。当然我们这一届初三没有给大家讲过哈，没有给大家讲啊，这后面下一届就可以可以讲，放到我们相似里面去讲。 好，第二是议题呢，这个我其他的不想说了，有第一问，第二问没有什么说的，我重点就是想说一下第三问， 因为我们在。呃，我们在五一的时候啊，因为当时上课人比较少，呃，就是给同学们去答疑的时候，有同学讲述这种材料阅读题不知道怎么做， 当时我就把二零一六年考的那个阿金彼得哲学给大家拿出来给大家说了一下，说，哎，这种，嗯，这一类型的材料阅读题怎么做？这种类型的材料阅读题就是题目怎么说，我怎么做，题目怎么说，我怎么做。 那这道题目你看一下第三问是怎么说的呢？你，你这个里面有很多同学可能被这个最短路线给搞晕了 啊，你就按照我们图二教你的这个方法去做就可以了。它是不是把我们的 a 点和对称中心 o 一 连，然后呢？做这个对称对不对？但在这里我们的正方形没有，没有，没有星啊？刚才是计算没有亮，现在这里是啊，没有星。 正方形的对称中心是很好的，很好做的嘛，啊，一个圆，一个正方形，所以呢，我们只需要把我们的 a c 和我们的 b d 一 连，那这个点就是我们的 o， 就是 我们的圆里面那个点，然后呢，我们需要做的事情就是什么呢？把我们的 c o 一 连，然后呢？加倍一延长 啊，加倍延长。当然我这个地方是水手画的哈，那这个地方就是 p 一 撇儿点，然后呢？然后呢？我们再把这个 p 一 撇儿和 q 一 连，然后做这个 p 一 撇儿 q 的 垂直平分线 啊，做垂直平分线做垂直平分线，然后呢？和它相交于 一个点啊，相交于这个点，那当然和这个这个点不，不在同一个地方啊，不一定在同一个地方，因为这是我随手画的哈。呃，这我随手画的，还是给大家适当画的，适当的画的标准一点。我先把这个垂直平面线画出来啊，大概应该是在这个下边这个位置 啊，划出的屏幕线，然后这个点就是我们要的。呃，这个什么点？ q 到 n， 这个点就是我们的 n 点，然后再过 n 点连，这个对，正中心啊，移过来 啊，相交这个点就是我们的 m 点，所以我们再把这个图连起来啊，这个图连起来就长这个样子， 所以你说，嗯，老师，我这个为啥你不需要为你，当你通过第一问和第二问，你可能隐隐约约知道也知道是为啥了 啊，在这里你就仿照我们的图二去画就可以了，仿照我们的图二去画，当然呢，图二是要在你在第二问里面用此个做的方式把它画出来之后，你才会画。第三问的 好，所以这个地方注意下，就是纯纯的造猫画虎，纯纯的说造猫画虎 啊，你不能多想你不能多想啊。好，这是第二十一题，二十二题计算量稍微大一点点。当然呢，这道题目呢，我一问，第二问不讲，但是我第二问，我想提一句， 写哪一句？同学们，你注意刁文的问法，我上课时候专门给大家讲了，我们说什么呀？他让我们求这个收费金额最大时的房价是多少？最大时有没有让你去求最大值？ 没有啊，那有很多同学，他算完之后，他把这个一百八，他就带到这个里面去，把这个最大值算出来，你算它做什么呢？所以在这种题目当中，你一定要搞清楚题目让你求的是什么东西，他没有让你去求那个最大值，只是问你最大时那个自变量 x 等于多少， 对吧？肯定有同学就把这个一百八带上去，哐呲哐呲一顿算啦他，他这个算完之后，觉得老师这个计算量好大呀！同学，你做的是无用功，你没有人证读题 啊。在上上课的时候专门给大家强调这个问题，有的时候是最大值，有的时候是最大十啊，再给大家写一遍，最大十和最大值 不一样的，你自己去体会啊。当然呢，我的方法，我就是这样去，我就是这样去写的哈，我是用这种方法去写的，去求这个最值的。在这里我们说一定要注意自变量的取值范围，因为我们这个对正轴必须在这个 取值范围里边的时候，我们才能说在这个对正轴这个地方取的最大值 啊，所以，所以，所以你们要注意一下啊，这个范围必须得带啊，这个范围必须得带啊。那么关键是要讲的是什么呢？关键是要讲的是我们的第三问。 第三问好，我不先讲一下第三问的考点考的是啥？同学们，这就是我在寒假课的这个版书哈，你看我通知，通知找了半天，我把寒假课的版书找出来了， 我平时也不拍照，都是助教拍的啊。我突然间发现，哎，我讲这次的时候，这个版书居然是我拍的，要是助教拍的，我就下不下来了啊，照片都过期了。那是正好是我拍的。所以，你如果不懂这道题目怎么做的？同学，来，你把这两道题目做了， 这两道母题，你把它做了，你截个屏，你看下你会不会做这种题目。 这是我们讲述什么典型的动轴动区间问题。动轴动区间里面，在我们初中会考到的只有两种，一个叫动轴定区间，一个叫定轴动区间，大多数常考的就是动轴定区间。那这种题目，所以同学们注意一下。 好，那我们来看具体来讲是什么意思。他说酒店为了为入住客人啊，客房赠送当地的特色礼品，每间房赠送一份，每份礼品的成本为 m 元 m 小 于二十，这里面自己有个范围，已知已知每间人每间啊，每间入住客房的固定成本，他有个固定成本为三十块钱。呃，酒店希望在房价不超过二百块钱的时候，房价是什么？房价就是这个地方的 x 自变量， 那说明这个地方有一个隐含条件，就是 x 不 超过，就是小于等于二百。说日毛利润仍随房价的增大而增。 直接写出礼品成本 m 的 范围。请问龙提醒你了，日毛利润怎么算？好，我们说日毛利润为 w 等于多少？等于日营收金额，日营收金额是我们的第二个，里面的东西 有多少呢？负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x。 好， 减，固定总成本，减礼品总成本，固定总成本。每间房呢？ 多少间房？多少间房？就是我们这个第一问里面那个空口啊。第一问里面那个空口，所以呢是多少呢？是负的五分之三 x 加上二百一十六， 乘以每间房有个三十块钱的成本，对不对？每间房还有一个 m 的 成本，就是礼品的成本，我把它加到一块了，加上一个 m， 这个你们懂， 所以这个就是我们的后面这两个成本。好，这个整理一下， w 等于多少呢？ w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x 加上五分之三 m， x 加上十八 x 减去二百一十六 m 减去六四八零。好，整理一下， w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百啊，二百一十六，加上个十八是二百三十四， 加上一个五分之三 m， x 减去个二百一十六 m 减去个六四八零。好，它要求什么？它要求 x 在 小于等于二百这个范围内的时候 不超过二百块钱吗？在这个范围的时候，我们的 w 应该随着 x 的 增大而增 啊。我们说一定要借助图像来看来，这是一个什么图像？这是一个开口向下的一个二次函数，但是是，呃，对称轴，不确定在哪里， 但是我现在范围是知道的，我现在需要啊，就是要求同学们要求 x 小 于等于二百的时候， w 要随 x 的 增大而增大，从图像上来看就应该是向上的一个范围，向上的一种情况，那我们来看，所以我们这个时候把图像画出来啊，我们先画这个范围， x 小 于等于二百，就是这个范围， 意思是什么呢？意思就是说 x 在 这个范围内的时候，我的图像都要怎么办？都要往上跑，都要往上跑。那你想一个二次函数在这个范围里面的时候，它的图像要往上跑，那具体是什么情况？ 具体什么情况？我们说我就让这个二次函数对准轴从左往右来调整，你看在这边的时候，你看一下满不满足啊？行不行啊？不行吧？因为你在 x 在 零到二百这个范围内的时候，你是往下逃的， 你是往下跑的，所以这种情况不行，这种情况不行来临界状态是什么呢？临界状态我们看一下，正好等于这个时候，行不行？你看这个二字函数画出来成这个样子 行不行呢？也不行，因为在这个范围的时候也是往下跑的。那再看，如果我现在对准轴正好在零到二百之间的这个范围呢？我画一个，你看一下 行不行呢？你会发现在零到二百这个范围的时候，他图像有往上跑的这部分，看见没？也有往下跑的那部分，说明这也不行。那所以极端情况是什么呢？极端情况就正好对应轴就是二百的时候， 那你看图像满不满足呢？哎，你就会发现正好这个图像在零到二百这个范围内，就是往上跑的，没有往下跑的部分，那我对准轴在二百的右边行不行呢？那你来看图像画出来大概长这个样子。 图像画出来大概长这个样子啊，画的就比较长了啊。图像画出来大概长这个样子啊。重新在这画个图吧， 零到二百这个范围，我的对准轴现在在二百右边。那你看图样画出来大概长这样，那你会发现在零到二百这个范围，它就是往下走。那所以这样呢，我们就知道了，我们的对正轴应该怎么样呢？对正轴应该在二百或者是二百的右边就可以了， 所以对正轴是大于等于二百的，那我们来求对正轴，对正轴 任意角 x 等于负的二乘以 a 负的五分之三 b， 也就是二百三十四加上五分之三 m， 它应该怎么样？它应该大于等于二百，然后再去算它就行了。 那所以呢，这个是我们的啊，符号和符号就没了啊。那就是二百三十四加上一个五分之三 m 大 于等于，嗯，二百乘以。嗯，二百乘一个多少乘一个五分之六。 好，呃，计算过程，计算过程挪出来，那就是二百三十四加上五分之三 m 大 于等于。呃，二百四， 那就是五分之三 m 大 于等于二百四，减二百三十四就是六，所以 m 大 于等于十。好，这是 m 的 下限，你看，那你答这个方法行不行？不行啊，因为题目当中有一个 m 小 于等于二十，所以我们最后这个方法就是 m 大 于等于十，小于等于二十。 典型的什么题目？嗯，动轴定曲线啊， 当然，没学过的同学啊，你现在补还来得及啊。没学过的同学，你现在补还来得及啊。来补。怎么补？就通过这两道题目来补啊。通过这两道题目来补啊。 好，你截个屏，把这恶补一下，好吧。嗯，有啥不懂的可以再私信我哈。然后我们再来看第二十三题， 二十三题题目当中告诉我们一个平行四边形啊，长边是短边的二倍，然后呢，又找了一个长边的一个中点，然后做这个平行第一问，让我们证明这个 a、 b、 e、 o 的 形状啊，是个菱形啊，这没啥说的啊。 好，我们看第二问，在第一问的基础之上，把我们的 d、 e 一 连和我们的 ab 呢延长线相交于点 f， 然后再连接到我们的 c、 f， 然后再把 a、 e 一 连延长和我们的 c、 f 相交。有点记，那我们判断什么呢？判断这个 a、 e 和 e、 g 的 数量关系好，这个数量关系呢？嗯，你可能猜不好猜啊，你猜不好猜，尤其是不会的同学啊，我们说猜不好猜啊，那你就拿圆规去卡一下拿圆规去卡一下，嗯， 让我们来看一下，在这里我们怎么来做呢？怎么来做呢？呃，又到处都是重点哈，而且这个地方形成了个八字形的，全等哈，这些都要清楚啊，这些都要清楚，那么我们要把这个图形里面的关系呢？我们把它整清楚啊，先把这个图形里面的关系整清楚， 因为我们的 a、 b、 e、 o 和我们的 o、 e、 c、 d 都是菱形，都是菱形，那么我们看一下啊，这可以标一下，都是 a 啊，没问题啊，这都是 a， 这都是 a 啊， 啊，这都是 a， 然后呢， 你有没有发现这个地方有啥啊？而且是个菱形啊，菱形叉角等于叉角，菱形圈角等于圈角，说明这个地方是个九十度，这个地方是个九十度，所以呢，看见这个九十度呢，可以联想到我们做一下，连一下我们的 o c， 连项目都 c， 这个地方我们标个 a、 b， c， d， e 啊，标个 m 吧。那么我们发现啊，这个时候，你看，你也要知道，我们的 e f 呢，和我们的 e d 呢，也是相等的，而这个地方呢，又是个呃对角线，所以呢，这个地方有个关系啊，有个关系， 有关系是 e m 等于 m 一 啊，等于，然后呢，我们的 e f 是 它的二倍， e f 是 它的二倍，那所以我们得到了我们的这个地方也是个垂直的，所以我们的 e g 啊，和我们的这个 m， 和我们这个 mc 的 比，我们是知道的哈。哎，这个地方，这个图有点小哈，大家给大家说一下吧，因为本身确实也不难哈，我不知道哪些同学在反映这道题目难嘛？啊， 当然有其他方法啊，我们先讲一下这个方法。呃，我们这样吧，我们说这个是 a， 这个是 a， 这个是二 a， 看见没有？那所以我们的 e g 和 e c 的 比就是多少呢？啊，就是我们的二比三嘛，是不是二比三，而呃，不叫 mc 啊，不叫 e c， 叫 mc 啊， e g 和 mc 的 比 十二比三，而 m c 又等于什么？ m c 是 不是又等于我们的 o m， 对 吧？而这个地方呢，因为是个呃平行四边形啊，这个 a e c o 可以 去简单的说明一下，平行四边形，所以得到我们的 a e 就 等于我们的谁啊，等于我们的 o c 啊，啊，这个地方啊，你要知道，我们的 m c 又等于我们的 o m 啊， m c 等于 o m， 那 么所以我们的 e g 比上谁呢？比上我们的这个 o c 就 相当于等于二比六， 而 oc 又等于谁呢？ oc 又等于我们的 a 一， 那就得到了 eg 比上我们的 a 一 等于多少呢？等于二比六，也就是等于一比三啊，所以呢，我们就要知道哈，我们这个地方的 a 一 是等于三倍的 eg 的。 好，这是这个方法啊，这是这个方法，当然呢，参考答案呢，你们看了之后呢？参考答案的方法也挺好的啊，参考答案的方法就是把我们这个 o e 啊 e 延长， 先交这个地方，我们说个这个 n 吧，那就说这个 n， 那 这个时候我们要知道哦，我们的这个， 我们看一下我们的这个比例关系啊，看一下这个比例关系 啊，因为我们的 b 一 和我们的 e c 是 相等的，而我们的这个 o n 呢，又和我们的这个 a f 呢是平行的，所以呢，这个 e n 呢是个中线， e n 是 个中线，那所以呢，这角是一份的话，这个就是二份， 而我们的我们刚刚正八字形的时候，我们又知道我们的 b f 的是等于我们的 cd， 也等于我们的 ab 的， 所以这个也是二份， 对吧？ 啊？然后再去求我们的 a e 和我们的 e g 的 比，那是多少？看能不能反应过来哈，看能不能反应过来 呃， e n 和 a f 的 比是一比四，那么所以 e g 和 e a 的 比就多少呢？就是一一三啊，这方法导一下比例啊，这方法导一下比例啊，过程，看你怎么样去写哈，如果不会写过程的，你看一下那个参考答案的过程来参考答案的过程 啊，其实通过这个比例我们得到是什么呢？我们得到是 e g 和我们的 g a 的 比是一比四，然后再倒这个比例一比三，再倒这个比例一比三。好吧，我们重点看一下这个最后一页哈，重点看一下最后一页 最后一位啊，说这个还是在图前面图的基础之上叠加了一个特殊条件，你看，正好我们这个星期上课的时候啊，正好我们这个星期上课的时候也是有这样的一个题目，也是有这样的一道题目，呃，同学们都要去构图，我说可以不用构图，我说可以不用构图 啊，当然这道题目呢，也可以不用构图，因为首先第一个幅二给到我们这个图和这个 c d g 为直角上，行，你看， 那我们说第一个 c 点这个角是个直角，是吧？挺像，对不对？非常像。而我们刚才我们其实要知道，就是说我们中间这个地方啊，是一个九十度啊，刚才我讲方法一的时候讲了，叉叉角等于叉叉角，圈角等于圈角，所以叉加圈等于九十度，所以这地方是个九十度。 而我们的这个 c d 呢，和我们的这个 a f 呢，又是个九十度，所以这地方有个啥呀？这地方有个什么？这地方有个射线点， 同时你还要观察到同学们，我们的 e、 f 等于 d f， 这个地方又是个垂直的，那说明这个地方不光有个摄影机里还有个什么，还有个帧型， 其实 af、 g、 d 是 帧型，就这个图形呢，在变化过程当中，我们这个 g f 呀，和这个 g、 d 是 相等的，我们的 a f 呀，和我们的 ad 也是相等的，所以这个地方是个啊，帧型 啊，为什么要这么讲？一会我们在第二种情况里面，我们要知道哈，第二种情况你们要知道，所以当我们知道这个地方有这样的一个摄影地理和这样的一个帧型的时候， 和这样那个帧型的时候，我们这个题目就比较好做了啊，这地方摄影地理，而我们在第一问里面，我们知道，我们知道 eg 和我们 a 一 的比是一比三 啊，那么我们就知道了，我们 e、 f 的 比是多少？射线定律， e、 f 的 方等于什么呢？等于我们的 e、 g 乘以我们的 a、 e， 所以 它的比是根号三， 而 e、 f 和我们的 e、 d 是 相等的，也是根号三，所以我们的 d 一 比上，我们的 a、 e 就 等于多少呢？呃， 这正好就等于我们的啊，三分之根号三，三分之根号，这第一种情况，我们的角 e、 c、 g 等于九十度啊，所以这个图不需要画 好，那这种情况呢？正常来讲是可以做得出来。然后第二种情况就是说，呃，我们还有个角 g， 或者说角 d 等于九十度，对不对？有的同学就考虑，老师这个图我怎么构造啊？我的图怎么构造？第二个就是我们的角 d、 g、 c 等于九十度，我的图怎么构造？ 其实你在这个地方，你可以理解为我们利用的是平行四边形的不稳定性来构图， 它不是我们大家理解的说有个点在运动啊，有个点通过通过什么旋转在运动，通过折叠在运动，而这个地方是因为什么呢？它们的比例关系存在，然后因为这个四边形，平行四边形 a、 b、 c、 d， 它一个的一个不稳定性 啊，他可以往下，那可以往往往左边压，就压成了。我现在这个图他也可以往右边压啊，形成另外一个图，所以通过这个平行四边形的不稳定性啊，来出来的这样一种图形 啊。当然呢，就是说如果你知道了这样的一些关系之后 啊，有构图也是可以的，但是构图你就要考虑到这是个平行四边形的不稳定性，那么我们啊，把这个平行四边形 a、 b、 c、 d 往左边压到无限的这个窄的时候，我们这个图就构造出来了， e、 g、 c 等于九十度， 那在这个过程当中，我们还知道九十度的关系仍然存在，一比三的关系仍然存在， 一比三的关系仍然存在，真形的关系仍然存在，那就是说我们的 d、 g 和我们的 f、 g 是 相等的，那这个时候你有没有发现我们的 d、 g、 c 等于九十度，说这个地方也是个九十度，说明我们的 d、 g、 f 是 个等腰直角上弦，而 e 点又是个中点，所以正好这个地方是两个等腰直角上弦， 那所以 e、 g 就 等于了谁啊？等于了 e、 d 啊，它也是一分，所以这样一来，你看没有计算量，所以 d 一 比上我们的 a 一 就等于多少，一比三，零比三 啊，没有计算量，就是说你需要把这个图弄清楚，当然呢，你就在我们这个题目，在这个原图上面，我们也是可以去处理的，只要你知道了这些关系之后，你在这个图上啊，这个时候这个角点九十度，这个角点九十度，那说明在这个点上知道，行吧啦吧啦是一样的 啊， c 压的啊，所以同学们注意一下，那第三种情况，就是我们 g 这个地方这个角是个九十度，当然呢，你可以通过 把这个平行四边形向左压去勾个图，向右压去勾个图，那么你就会发现这个 d 这个角啊，是不可能是九十度的啊， d 这个角啊，它不可能是九十度 啊，你比如你可以画一个向右的一个图，大概给它大概画一个 啊，你可以，你可以这样画一个，你可你看一下趋势， 你看一下趋势，你看向右的时候，我们的这个 c 这个地方这个角，它变成钝角更大了啊， 而往左再去再压的话，你就会发现 d， g、 c 就 变成钝角，所以 d 这方角啊，它不可能是个九十度啊。 好，这个就是我们的这个太原市二模的这个题目，那么其实呢，这个我觉得哈，嗯， 你不会做这个二十三题的，这个第三的时候也是可以，也是一定要把答案猜上去啊，吸取一下我们什么那次考试的这个经验嘛，你当时有可能猜对答案了，就说不要空，不要空，哪怕画出来我的第二个图之后，我拿 元哥去卡一下，我也我我我卡，观察不出来这个图形，我在这个动点过程当中，我没有找到固定不变的这种啊，线段关系和角度关系这种几何关系的时候啊，我去卡一下，大概差不多我也能猜啊，好，同学们，再见。

大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。

大家好，我们现在来看一下，嗯，刚结束的这个太原市二模的一到十四体一个简单的分析，然后整个来说这个这次太原二模的话，嗯，总体的一个 题型情况都比较正常，然后题型的话也没有什么太偏太难的，个别个别的地方啊，细节上发生了一些变化。比如说第十题他没有考咱们那个常见的阴影部分的面积啊什么的，他把 圆这块呢放到十四题，这有一个弧长的一个计算，然后总体的这个选择题来说，他这个难度的话，一到五题的话就是一星的难度啊，一颗星他基本上是顺分题，就是最最基础的一些定义啊，运算什么的啊。然后 六题开始到九题吧，就有一点的灵活度，需要计算的计算量也有需要你思考一下才能去选选出正确的答案。然后第十题的话， 第十题的话就是稍稍有一点的综合度了啊，而且有一点点就是给你挖的那个陷阱的意思，就是你不小心会掉到那个他挖的坑里头啊。这个是总共选择题的部分，那填空题的话是 十一十二都是比较简单，十三题的话 需要我们简单的进行一些计算，它是一个反比零函数，在以实际问题为背景下的一个对准问题的计算啊。 然后十四题的话，原理头弧长的计算问题，但是它结合了这个五边形，它比较综合啊，它这里面要涉及到你求弧长的话，会涉及到一些 圆心角啊，半径，需要结合起它具体的背景啊。咱们从第一个来一个个来看一下啊。第一个第一题的话， 第一题它是一个考察一个答案的有理数的绝对值问题，这个很明显啊，很明显这个答案就不用说了，它绝对值越小，然后它的型号越强啊，也就是数字看起来越小的。 然后第二题是他考察的是个轴对称图形，那轴对称图形简单的来说他就是对折起来能重复的图形，这个图形就是轴对称，所以我们不要局限的就认为他只能是横平竖直的去对折的时候 才能是轴对称图形。像正确选项 a 的 话，它是需要沿着这个外框线这个正方形的对角线去对折的话，它才能两边图形的两侧才能完全重合，才是轴对称。然后第三题的话是 密运算，乘方运算，简单的一个结果啊，就是密的本质运算是到底什么 mx m 个 x 的 话，他就是 x 的 m 次方啊，然后他又算了的逆匀算的乘方，匀算到底最后是什么？这个是七年级的时候学的啊。然后第四题的话，第四题他考察了三十图三十图，这里面需要注意的就是 b 和 c 肯定都能一下看出来是 bc， 但是这里头不一样的， b 和 c 就是 实线和虚线条数的区别， b 是 两条虚线， c 是 一虚一实，所以这这个需要我们去学会去判断，一般的这种三十图的选项里头都会 考到这个虚线的问题啊，所以他虚线就是你最后要求的是左视图嘛，对吧？所以要要求的是左视图，那叫他从这个左侧去看过去，左侧看过去的话，他会有挡的地方， 挡的地方比如说这个这条线他是挡的地方，他就是虚线，然后还有另另外一条像这这块的，他从左边这个视角去看，他也是虚线，所以应该是选项 b 两条虚线啊， 所以他主要考察的是这个虚线的识别，至于这样子外观的话，我觉得 一下都能看出来。然后第五题就是啊，你会发现最近几次的考试啊，他这个科学计数法不是单纯的就是直接来一个数字，让你把它表示出来什么，他会融入一个什么简单的一个计算，需要我们简单的进行一个预算以后 得出来的数字，再用正确的科学计数法去表示，所以这儿是你看他写的是每秒可处理数据这么多条，那运行三千六百秒后， 这个最后的处理的数据量用科学计数法表示。所以我们这个先需要我们去计算什么，二点五乘以十的六次方，再乘一个三千六，需要把这个东西算完以后啊，再去选，那最后就是九乘十的九次方条啊。然后那么前面这五道题的话，就是 基本上算是顺分题啊，大家应该一般是没什么问题。然后第六题的话需要你进行一定的几何计算，咱们仔细看一下这个第六题啊，第六题是一个三十度角直角三角板的 a、 b、 c 和一个长方形的直角， 然后摆放出来一个图形里头的一些度数的计算，角 b 等于九十度，这个地方是九十度，然后角 c 是 三十度啊，这是个三十度角的直角板，他们两个分别为，嗯，直尺的一条边交于 d 和 e， 然后告诉角 r、 f 是 五十度，这个是五十度， 然后要求的是 a、 d、 e 的 度数啊，要求的是 a、 d、 e 的 度数。 我们现在的话就是要求这个度数的话，我们要么是把这个三角形 a、 d、 e 中另外两个角的度数算出来，用一百八去减掉，利用内角和一百八啊。再一个要么就是求这个角，对不对？ 你要求 a、 d、 e， 它这个是个和，它 a、 d、 e 是 个对零角，所以如果这个角求出来，那 a、 d、 e 也算，那这个角你会发现这个地方是个直角， 你能不能看出来？看出来这个地方有我们学过的一个模型，什么模型啊？你看包括这个线和这个直角，然后到这个地方就把从从这儿 开始往这边呢？咱们不看啊，咱们不看，给他放起来，他是不是咱们学过的这个主体模型这个样子啊？这两个线是平行的，然后呢？这个角是九十度，对吧？这个角是九十度，然后这个要求的是这个角，所以我们如果知道这个角的话，那这个也求出来了， 现在的话就转移到求这个角啊，这个角再看他和这边也是个对顶角，所以就这个知道了，他就知道了，那么接着来往后推， 那这够了， r 角是五十度，那五十度可以很明显可以看成是什么，这个角和角 c 的 一个外角，所以五十度等于角 c 加上这个角，角 c 是 三十度，那这个角就是多少度，就是二十度，那转移到这他就是二十，他这二十的话，用猪蹄模型， 这个朝右开口方向的角等于左边这两个角的和，那这个是二十度了，那这个就是多少度啊？就是七十度啊，这个也就是这个地方的角就是七十度，他和所求的 a、 d 是 一个 对顶角，所以最后 a、 d、 e 就是 七十度啊，这里头考察一个平行线常见的一个模型，主体模型。然后第七题是概率问题定义的一个理解啊，他一般以某一事情发生的概率是二分之一，那这个二分之一怎么去理解啊？ 那 a、 a、 b、 c、 d 的 话，这很明显啊，该事件一定会发生五十次，肯定不是第一次没有发生，第二次一定会发生，这也不是啊，这也不确定该事件必定会发生一次，这是一个意思啊， a、 b、 c 其实是一个意思，然后我们回归到概率的 本身的，他是怎么定义概率的就能知道了，他是频率啊，概率是一重复做一个事情，他的频率稳定在多大，那说明这这个事情发生概率就是多少，所以最后是选项 d 啊。第八题是考察了圆， p 是 圆外的一点，然后而且考察这里面什么出现了切线啊？ pc 和 p b 都是切线， a、 c 是 圆 o 的 直径，那这都是常规的圆考察的一个，嗯，点啊，就是点，那考察了圆的直径啊，圆的直径就会想什么 直径所对的圆周角是直角，对吗？还有一个是切线，那切线就是已知的切线，我们肯定是要去找他的半径，去找他的半径，所以我们现在的话，那肯定是 pp 是 他的一个切线， p、 c 也是切线呢， a、 c 已经连起来，所以现在的话我们就会去想先把这个起来，这是 p、 b 的 切线，连起来半径以后，它 o、 b 就 垂直于 p b， 对 吧？然后还有一个就是 a、 c 是 直径，我们会去想着去连这个 b c 啊，连起来它所对的圆周角就是直角， 那这样的话，我们需要的就通过已知条件想到的都给他，把这个辅助线就是水到渠成的就给做出来了。做出来以后咱们先再看他要求的 p 的 度数， 你看这辅助线连完以后， o p 垂直于 p b 对 不对？ o c 垂直于 p c， 这都是两条切线得出来的结论。那这样的话， p b、 o c 这个四边形一组对角是加起来一百八，说明他们 四点是共圆的啊。 p b、 o c 四点共圆，也就是另外一组对角共圆的四边形的任意组对角都是一百八，所以它和角 p 就是 和，就是一百八， 那要求角 p 呢？这个角求出来角 p 就 知道了，这个角又是什么？这个角是不是又等，又是它的 aob 这个三角形的外角，它和它的和就等于角 boc， 那 看再看这个 a 角，这是多少度啊？角 a 是 六十五度，对吧？那 o a 和 o b 又是半径，所以角 b 这个地方也是六十五，那总共这个外角就等于它俩的和的话，就是一百三了，对不对？一百三十度了，那它们和 p 又是互补，那就是五十了啊， 这样的话就是 c 选项就出来了，然后第九题，第九题就是简单的一个图像的理解， 这个题的话他其实难度也啊没那么大，然后仔细看图的话都能选出来。 a 选项是碳酸钠的溶解度随温度的升高而增大，你会发现他是一个曲线有下降的时候，所以他不是一直 增大的，这个就不选二十摄氏度是氧化钠的溶解度大于碳酸钠的溶解度，这个是很明显，是不是二十度的时候，碳酸钠在这，氧化钠在这，所以这个 是正确的。绿化，那的溶解度随温度的升高而显著增大，这个明显是基本上趋近于一条直线，所以他不是显著增大， 这是很明显的错误。绿化，那他和那的溶解度相同的时候，他的温度是三十度，那这个虚线他指的是相同的 一个点，那这个时候他还不到三十度，所以这个是不对的，这个很正，很明显的就能把这个正确选项 b 选项就选出来了啊，其实是很好办排除的，就是你仔细的去看图，就能选对这个图题。 然后第十题，平面坐标系统三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 x 轴负半轴上，顶点 b、 c 在 y 轴上，且关于 x 轴对称，将 a、 b、 c， e， x 轴正方，正半轴方向平移，那说明这道题是以考察的是平移这个知识点啊。我们看到这个平移的话， 我们就会就去想，平移有几个要素啊？平移有两大要素啊，一个是平移的方向，对吧？平移的方向， 再一个是平移的距离啊，平移的这个两个要素要知道了，我们就能知道从什么地方去下手。 abc 的 对应点分别为 e、 f、 g， 那 就是 abc， a 平移到 e 上， b 平移到 f 上， c 平移到 g 点上。所以还要知道 平移过程中每一组对应点它平移的距离是相等的啊，每组对应点平移的距离相等，所以我们来看完以后，它 f、 a、 a 点的坐标是个负三零啊，这个地方是负三零， f、 g 坐标分别为 ab 和 cd， 然后怎么去看这个选项啊？ 你要知道 f、 g 分 别是由 b 点和 c 点平移过去的对应的两个点，原来 b 点和 c 点它是什么？关于这已知条件都说了， b、 c 是 关于 x 轴对称啊， 在外轴上，并且是关于 x 的 对称，那既然是关于 x 的 对称，说明它 ob 和 o c 就是 相等的，而且是一正一负的，一正一负的， 那它平移到 f、 g 这个这个地方的时候，那仍然是关于 x 轴对称，所以它俩的重坐标啊，它俩的重坐标 b、 d 肯定不可能相等，对吧？一个在上面，一个在下面，首先我们可以通过这个， 我们把 a、 c 这两项就排除了，对吧？ a、 c 这两项就排除了，那剩下的测 b、 d、 b、 d 的 话， 那 b 加 d 等于零，这个没问题啊，它关于 x 走对称，它它一正一负加起来，是啊，抵消了。然后 b 和 d 的 区别就是 a， 一个是 a 等于 c 等于三，一个是 a 等于 c 小 于三，这就是考考你什么平移距离， 平移距离的话啊，咱们很明显的是 x 走上的这个啊，从 a 点到 e 点，从 a 点到 e 点的坐标是负三到零，也就 o a 的 长度是个三， 那 o、 a、 e 他 要求的是什么？这有一个细节啊，一定要看，当点 e 在 三角形 a、 b、 c 内部的时候，说明什么？ a、 e 肯定是小于三的，是吧？如果这个 e 点 a、 e 要是大于三的话，那他就跑到外头了，是不是大于三的话，就跑到外头了？因为 o、 a 是 个三吗？所以从这就能确定他是小于三的选项 d 是 正确的啊，这就是前面的一到十题的选择题，咱们接着看填空题， 填空题的话，第一题是要简单的一个二次根式的化简，这个不用说了，这个二维根式我觉得大多数都能一眼都能写出来。然后再看十二题，是考察统计中的一个简单的判定好坏的一个填空题，然后给了四个同学，要 从中选出一名成绩好且发发挥稳定的同学参加最后的比赛。最合适的是什么？ 成绩好且发挥稳定，那成绩好这个首先是他们是从什么地方，从方差和平均数这两个这两个角度去考察，那成绩好的话，首先平均数一定要是好的，对吧？平均数要好，然后发挥稳定的话，就是方差要小的， 那么咱们去咱们去比较，就是他横轴表示的是平均数，重轴是方差，然后那平均数首先要有好的，那 甲乙是在前面啊，在前面，那肯定就把甲乙这个排除了，对吧？剩下就有丙和丁来去判断哪个好，那方差小，方差小就是越低是越小的，所以 丁也排出来，对吧？仔细一下，丙这个就是丙同学最合适参加比赛。这个第十二题，第十三题的话，第十三题是一个考察了我们一个反比例的 表达式的运算啊，他一开始是匀速行驶的，速度是三米，然后前引力是 二十，那首先根据题的话，他这个前引力是和速度是成反比例的关系呢？就是 v v 分 之 k， 先把他正常这个你说这个 k 的 话，就应该等于 f v， 那 f 是 二十， 对吧？ v 是 三，所以这个 k 就是 六十，这样的话我们把这个表达式就能算出来是 f 等于 v 分 之六十。 然后最后问你的是，为保证这个耕地的效果，牵引力 f 不 能低于四十牵牛，然后拖拉机的速度的最大值它不能低于这个。这个地方啊，有一个大小关系是不低于，就是 i， 说明 f 是 大于等于四十， f 大 于等于四十，在这就是它大于等于四十，是吧？反过来推出来就是 v 小 于等于四十分之六十，那换讲一下就是等于二分之三啊，答案就是这就是二分之三啊，这个是十三题， 然后再看十四题啊，十四题刚才一开始就提到了它这个考察一个五边形和圆弧的一个结合， 那要求最后要求什么？他这个对称图形啊，他是由两个五边形和两组弧构成的，那他 啊告了一个边长，五边形的边长是个四后这个轴对称图形的周长，也就是最外圈的这一圈的周长。那你先观察他这个周长是由哪些线条构成的啊？你看会发现他是由 一个边、两个、三个、四个、四条五边形的边长加上两个上下两个圆弧构成。所以我们现在 四条边长的话是四四十六，这个就不用说了啊，十六加上主要是两个弧长，两个弧长要求弧长最关键的就是把它的半截和圆形角确定了，那这个要确定它的圆形角的话， 就要涉及到什么，谈谈就说这个角二 c、 a、 d 要确定它圆形角，因为两个上下两颗是全等的，所以我们算出来一个乘以二就可以了。 求它的圆形角会发现它是和五边形的两个内角加起来是总共是三百六，所以我们这里头又考察了五边正五边形的一个内角的计算啊， 那他五边形的内角和的话，就是五减三乘一百八，他是五百四，这是五边形的内角，那内角和除以五就是一个的，那算下来是一百零八，对吧？一个一百零八，两个就是二百一十六，三百六减去二百一十六，他是算下来是一百四十四，对吧？ 圆心角是一百四十四，那弧长公式的话，就是等于一百八十分之 n， 一 百四十四乘以派，再乘以它的半径就是五边形的边长乘以四，那这样圆一下就算出来啊，分之三十二派，那最后就是十六加 五，分之三十二派，就它的周长啊。好了，这就是前面的一到十四题的一个简单的 说明啊。总的来说这个题还是比较中规中矩的，就是灵活度以及结合实际问题的。这个这个题比较侧重了，就是 灵活性增强了，不光是比较死的，就是概念记住就可以了。比如说像这个第五题这个地方啊，他需要我们去简单的一个计算，而不是说是看到一个科学计数法直接就给你写完。

二零二六太原市二模的这个二十三题啊，二十三题又是一道，哎呀，看似很复杂，但其实很简单啊，想多了就超难做，想简单点就超好做的一道题来吧！ 说如图一，已知平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 的 长度是二倍的 ab 来， a、 d 是 二倍的 ab， 点 e 是 b、 c 边上的一个中点来，它俩相等 过点 e 做了 a、 b 的 平行线。好，平行线分线段成比例，则这边他俩也相等好。 e、 o 交 a、 d 边，于点 o 判断四边形 a、 b、 e、 o 的 形状，并证明你的结论来 判断四边形 a、 b、 e、 o 的 形状。好来啊！首先，两组对边分别平行出平四好，平四出来之后， a、 d 是 二倍的 ab， 那 么 在由于点 e 是 终点做平行线，平行线分线段成比例，说明点 o 也是终点，则 a、 o 和 ab 相等，邻边相等的平行四边形是菱形。好，第一问搞定来看到第二问，在图 e 的 基础上连接 d、 e 并延长交射线 a、 b 与点 f。 同学们， 平行线间夹中点延长过来，必出他俩八字全等，所以啥也不用说，这是一，这是一，这是一，这是一，这也是一。连接 a、 f 并延长交线段 c、 f 与点 g 好， 探讨下列问题，第一个啊，图二中 a、 j 和 e、 g 的 出量关系，并说明理由。哎呀，这个太简单了对吧！注意这是什么点？终点看到终点三件事，中位线斜边中线八字全等来八字全等我们已经用过一次了，直接啊，延长 o、 e 交这边于点 h 则有啊，因为点 e 是 中点，做平行线，继续出三角形 e、 h、 c 和大三角形 b、 f、 c 的 相似，则能产生这个 e、 h 应该是二分之一 答案。这个题里面呢，没有给我们具体数据，那我们就把它看成 a a a a a a 这里有个二分之一 a， 然后我们就能看到啊，这个 e h 比上 af 是 一比四的比例关系，所以， 那么 e g 比上 a g 也应该是个一比四的比例关系，所以 e g 比 a e 就 应该是一个一比三的比例关系啊。所以来这出来， a e 等于三倍的 e g， 好。 第二题，若以点 c、 d g 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出 d e 和 a e 的 比例关系啊。同学们，这道题 看似很复杂，其实很简单啊，来，先把 d j 连一下，找到这个三角形，找到之后你要去分析，对吧？这三个点啊， d j、 c 要想让他们构成直角三角形，要么点 d， 要么点 c， 要么点，这为直角顶点。但是同学们想一想，如果点 d 为直角顶点，这是九十度， 那说明九十度加尔法必然比九十度大啊。菱形的对角线互相平分，则这边也是一个九十度加尔法，整个合起来，这是一个比一百八还大的角，可不可能呢？不可能啊，所以点 d 不 可能是直角顶点，那下来就是点 c， 或者是点这位直角顶点， 对吧？那么点 c 的 这种情况我们已经画出来了来，同学们已经知道点 c 为直角顶点，此时他俩又平行，所以往下走 啊，你看到点 f， 这也是直角啊，同方内角互补。再然后，同学们，你应该能看到这是一一，这是中点，对吧？等腰三角形，三线合一，这要出垂直 啊。所以其实这个 a g 就是 f、 d 的 什么线垂直平分线啊，所以三角形 a， f、 g 和三角形 a、 d、 g， 它俩是关于这个 a、 g 怎么样对称的， 所以点 f 是 直角顶点，则必定带来了点 d 也是直角顶点啊。那如果点 d 是 一个直角顶点的话，那同学们，那你就应该能想到，这是一份，这是三份 啊！在这又有垂直显然射影定律，对吧？一比 x 等于 x 比三，那这个 x 一定是根号三，所以第一个 d， e 和 a e 的 比例关系等于根号三比三 啊，所以三分之根号三。第一个答案就出来了，第二个答案，大家想想啊，如果点这是直角顶点，还是这个问题啊？你又看到了， 由于 f g 和 d g， 它永远要相等呀，这是 f， 这是 d， 对 吧？这是点 g， 如果点这是直角顶点，那不就是告诉你，哎，隔壁这也是直角吗？ 啊，那如果隔壁也是直角的话来，那现在的 f、 g、 d， 它不就是一个等腰直角三角形吗？再然后，我们刚才一直说啊， a、 j 是 f、 d 的 垂直平分线，来这边有一个 等腰三角形，这是一份，这是三份。所以此时你再看到来 e、 d 是 啥？ 显然 f、 d、 j 是 等腰直角三角形的情况下，这里有四十五度角啊，那么这个 e、 d 和 e、 j 是 不肯定也相等， 对吧？所以啊，这应该也是 a， 所以 出来这个 d， e 比上 a， e 是 一比三。第二个答案出来了，就不需要任何复杂的内容，你只要把这个图大概一画，这个题马上出来，答案。

学数学难吗？一点都不难。大家好，我是 banana， 不 难老师。今天呢，咱们来看一下上午刚刚考过的太原市二模的最后一道压轴题，也就是第二十三题。 呃，首先这道题呢，第一问是非常简单的，大家根据这个题里边的一些信息就可以直接的推出来啊。然后第二问呢，其实在之前大家做十五题的时候， 经常会见到这种啊，过一个关键点啊，过终点呀啊，或者说过一些等分点，做一些平行线，然后去构造两次相似，求这个比例关系的，所以这个第二问的话，大家有一定的积累啊，应该也是能做出来的。 第三问的话，可能就是需要大家稍微的分类讨论一下，然后，呃，也是利用这个相似的这个比例关系，或者一些一些特殊角的这个关系，就可以进行求解了。 来，咱们来看这最后这道题，已知平行四边形 a、 b、 c、 d 当中已知了 a、 d 等于二倍的 ab， 然后点 e 是 b、 c 的 中点过点 e 做了平行线。然后第一问呢，是让你判断这个 a、 b、 e、 o 的 这个四边形的形状，那从这个图里边看来的话，它应该就是一个菱形了啊，因为平行四边形是很好正的啊。 呃，咱们知道这个 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形啊，所以说，呃，这个上下两条边是平行的，然后又过点 e 做了 ab 的 平行线，所以左右也是平行的，所以他就是个平行四边形啊。然后接下来呢，咱们再呃看一下这个题里边边的这些条件啊，给了 a、 d 等于二倍的 ab， 所以 说，呃， bc 呢，其实也等于二倍的 ab， 而点 e 又是这个 bc 的 中点，所以 bc 呢，又等于二倍的 b e， 那 bc 等于二倍的 b e 又等于二倍的 ab， 所以 ab 就 等于 b e 零边相等，所以这就是一个菱形了。 那做完第一问以后，大家一定要多去思考一考。呃，思考一下啊，分析一下这个题里边有没有值得大家再利用的一些条件或者关键的一些信息呢？有的，因为右边这个三角，右边这个四边形，同样它也是菱形啊， 政法也是同样的，这个我这就不赘述了啊。所以这其实得到两个关键地方啊，题里边说了， e 是 终点， e 和 o， 他 其实都是终点啊，那在第二个里面可能会对大家造成一些呃影响啊。来，咱们来看第二个， 在图一的基础之上，连接 d e 并延长啊，然后再连接 a e 也延长，其实它就是延长了一些对角线，首先把 d e 延长，和 ab 的 这个延长线相交于点 f， 然后又把 a e 延长，和这个 c f 的 这个这条线呢，也相交于点 g。 然后接下来让你研究 a e 和 eg 的 这个数量关系啊。首先从这个图里边看到的这个数量关系肯定不是相等的，那很有可能就是比如说二比一啊，或者三比一这样的这个数数量关系。 那如果不是相等啊，那相等的话，大家可能首先想到的是全等啊，那如果不是相等的话，那大家首先想到的应该是什么？哎，要么就是特殊角啊，要么就是相似，那他俩又不在同一个三角形里边啊，那所以咱们就分析相似就可以了，而在这呢，又得到一个特殊的 条件啊，点 o， 点 e， 这都是终点，对吧？那这既然都是终点的话，那这有没有什么特殊的地方，咱们值得去分析一下的呢？有的，首先平行线夹终点啊，那咱们就可以得到一个八字形的全等，那所以左右这两个三角形，他俩是全等的， 而上下的这两个上面的这两个图形呢，它都是菱形，所以咱们在这可以标一下啊，因为这个题呢，是需要写过程的，所以咱们这就假设一下，比如说它是 x x x， 那 这个也是 x， 那 下边这个，呃，这几条边啊， 这些大家能见到的它其实都是 x， 而 b f， 这呢，它其实也是一个 x 啊，这几条边就都是 x 了。接下来呢，咱们要这个研究 a e 和 e g 的 这个数量关系，那其实就是去给他构造一个包含他俩的 相似就行了啊。那这个大家在十五题当中其实见到过很多了，而且构造相似一般都是出现两组相似啊，大家才能进行求解的，那这怎么办呢？其实最简单做法啊，当然做法不，不一定啊，不，唯一这平行线有很多种做法，那最简单做法，咱们直接把这个 o e 进行延长就可以了， 比如说交，呃，下边为点 m 啊，为什么要延长呢？因为这个 o e 是 平行于下边这条边的，那如果延长出来的话，这个 e m 也平行了，那这样的话就会产生两组相似，这样的一组 a 字形的，还有另一组 a 字形的相似。而结合刚才这个中点来看的话呢，这个 e m 长度就应该是等于 b f 的 一半，所以这个 e m 的 长度应该等于二分之 x。 好， 那接下来这个比例关系就有了，放在这个大的相似里边呢，咱们就可以知道，他俩的相似比应该是二 x 比上二分之 x， 也就是四比一的这个比例关系。那么 a e 和 e g 的 比例关系就应该是等于四减一等于三啊，三比一的这个比例关系了，所以说 a e 他 就应该等于三倍的 e g 啊，那第二位也就解决了。 呃，所以第二个的话，大家其实有一些这些几何分析的基础啊，还是能把它做出来的，他，他其实就是考的这些平线的一些用法啊。好，再看第三问， 若以点 c d g 为顶点的三角形是直角三角形，请写出 d e 和 a e 的 这个比例比例关系啊。 d e 比 a e 好， 仍然是让大家写一个比例关系，那咱们在分析之前呢，还是来分析下这个图啊。首先这道题是不需要写过程的，所以咱们就直接写。呃，这个长度为一一一一一啊，这 几条边呢，都设为一。好，再从这个图里面看看有没有大家能得到的一些关键的信息，后边可以用到。有的啊，因为从 o 出发，大家发现有三条相等的线段。那首先这四点，呃，这三点是 共圆的啊，他应该是在以 o 为圆心的这个圆上，那由此呢，就可以得到啊，这是一个直角，因为直径所对的这个圆周角是九度，或者呢，大家可以用斜中半的这个逆推的这个办法也可以得到啊。 呃，所以这是一个九十度啊，那这个推理的办法就是，这是一个等腰三角形下边，这也是个等腰啊，两个等腰啊，打对勾，两个圈，四个角合起来是九十，他俩合起来就是九十，那这是一个关键地方，这是 垂直的，而且点 e 还是一个关键点，什么点呢？它是一个中点，对吧？也就是说在这这个 a e 呢？其实或者说 a g 呢？其实应该是 d f 的 这个垂直平分线啊。好，接下来 咱们再来看，让你求 d e 和 a e 的 这个比值啊，然后这是 c d g 这个三角形，所以咱们得连接一条线，把这个 d g 连接起来。 好，刚才得到了一个关键的信息，这个 a g 呢，其实是 d f 的 垂直平分线，那所以咱们可以得到 g d 是 等于 g f 的 啊，这永远都是相等的，也就是两个关键信息，这永远都是个九十度，那这两个也是永远都相等的。那接下来咱们站在这个直角三角形的角度去分析这个 d e 和 a e 的 这个比例关系， 那得到这个直角以后，这个直角以后，这个问题其实就好分析了啊，为什么？因为他放在直角三角形里边了，那得到他俩的比例关系，其实我只要能得到某一个角的这个三角函数值就可以了啊，那一般来说的话，他应该是一个 特殊的这个角度啊，那究竟多少度呢？从这个图里边看出来，可能是一个呃，三十、六十、九十的，对吧？但是这个因为他这个直角是不固定的，所以答案不一定唯一，所以咱们站在角的角度来分析，那第一种情况呢，可能是从这个图里边来看的话，这个 c 这更像是一个直角，所以咱们就先让他为直角啊，第一种情况就是角 角 d c g 啊， d c g 他 是等于九十度的啊，那咱们来进行一个分析，如果角 d c g 是 九十度的话，那再结合 呃，刚才这个点 e 是 终点这个条件，那咱们在下边呢，又会发现这有一个斜中半，对吧？也就是说 ec 的 长度和这个 e d 的 长度和 e f 长度，它们三的长度都是一，那都是一的话，大家发现这个大三角形就是一个什么三角形，就是一个等边三角形了，那这样的话三线合一，所以上面这个角它就应该是一个三十度角， 那这样的话， d e 和这个 e g， 呃， d e 和 a e 的 比例关系就可以很快的写出来，他应该等于，呃，太阳三十度啊，等于三分之根号三啊，这第一种情况就快速的得到了啊， 所以这呢就是得结合咱们刚才分析出来的一些条件，比如说直角呀，或者是说这终点呀这些条件进行分析啊。好，接着再来看第二种情况，那可能这这个角， 咱们再来分析一下，上面这个角就是角 c d g 啊，角 c d g 等于九十度啊，那这种情况可不可以呢啊？这种情况从图里边看出来 是有点困难的啊，那咱们来分析一下他行不行的，如果这个角是九十度的话，而上面这是一个菱形，这就是一个钝角了啊，那也就是这个角是大于九十度的，那这钝菱形的对角线呢？它是平分两个， 嗯，分别平分这两个角的，所以说这两个角的话，他各自都是一个钝角，那他俩合起来就应该大于一百八了，那这个 dc 就 撇到外边了啊，那这种情况的话，他就，呃不可以了啊，所以这个就舍掉了。 呃，那这是第二种情况啊，那第三种情况的话，那咱们来分析一下，就是最后的这个角 dgc 啊，角 dgc 等九度，那这种情况， 呃，他给了备用途啊，那所以这个情况的话，他应该是至少有两个的，所以 dgc 是 九十度，这个是成立的。那大家来求一下那两种办法啊，一种办法大家可以凑合的来看这个图，另一种办法呢，也可以在后边重新画一下啊，当然这个自己画出来，这个也不一定标准啊，所以大家其实就可以在这个图里边先看一看， 看一看这个图里边这些关系啊。那首先咱们来看一下啊，如果这个角 d g c 为九十度的话，所以左边这个角呢，它就也变成一个九十度角了。而刚才说过了，这条线 a g 应该是这个 d f 的 垂直平分线，所以说 d g 是 等于 f g 的， 那这个三角形下边这个小三角形，它就是一个等腰三角形了。 而上边这，呃这是个直角，那所以他就变成一个等腰直角造型了，那此时的度数咱们就可以给他标出来，这是一个，呃，这是一个四十五度，而这又垂直，所以 e g 这呢又是三线合一，那那这就是四十五度， 所以此时就可以得到这个 d e g， 它就比较特殊了，它就是一个等腰直角三角形。那咱们现在分析 d e 比 a e， 那 其实就是分析 e g 比 a e 嘛，而咱们刚才已经求过了， a e 和 e g 的 比应该是三比一的比例关系啊，所以说 d e 比上 e a e 它就很简单啊，等于三分之一的这个关系了啊。 呃，所以最后这一问呢，其实就是利用了一些特殊角啊，以及这个斜边中点啊，等腰三角形的这些特征去进行求解的啊。所以这道题呢，其实还是考察大家最基本的这些几何的模型啊，几何的这些定律的一些应用，不知道大家在考场上有没有把它做出来？关注我，布南老师帮你解决所有数学问题。

哈喽，各位家长大家好，大神年年有，今年特别多啊，我们来一起看一下刚考完的二零二六太原市二模的第十五题，那么我们各大培训机构的这些大神们都给出了他们的一些答案，今天老师把各个流派啊的大神 给大家做一个拆解，看看他们的一个方法到底顶不顶，牛不牛。好，现在我们来看第一位老师和 d c 的 布拉布拉读图。 哎呀，建议大家不要用这种大的曲线啊，不要给圈二圈一代表比例关系就可以了啊。优化一下，这地方看到了四十五度，看到了三倍根号来过点 a 向下做垂啊，他采用一个常规的套路，什么呀， 看到四十五度做垂线啊，重新来啊，有了六之后马上能看到啊，这个角， r 角，他为什么要看 r 角？哎，这个比较跳跃啊， r 角一般同学不可能由边三六关注到 r 角，对吧？这个得需要有三角函数的思维能力，那么这个时候的角移，它作为外角出现外角等于 这地方我就奇怪了啊，这个怎么样他就把目光移到角移上去呢？这个给我们的逻辑其实是不连贯的啊，我们很多同学不可能直接能想到关注到角移，这么一个角 是一比二比根号五的情况下，那 a 他 肯定是一比三比根号十，所以其实角一是谁？角一就是一三角十的 w 角， 这个其实我们在一二三四五模型的变形当中就是，说什么呀，四十五度加一比二的角就等于三比一的角啊，这是个结论。来，等腰三角形，直接三线合一往下做，垂直来，垂直过来啊，常规的三线合一二， 给个点 g 好， 我们能看到这个 a， 然后利用角一的三比一，后面就简单，对不对？点 f 做垂直给一个好，完了以后过点 f 做垂直， 用意是什么？其实老师讲应该讲清楚，说一二三套路，设 n， f 的 长度为三 x 则 n， 嗯，就是解直角三角形的套路，已知两角和什么，一边去解直角三角形，这句话在教学过程当中一定要说出来，告诉孩子，对吧？这个三角形是可解的，让孩子有这个判断力啊， 出来了吗？哎，老师的第一个方法已经出来了啊。这位老师，就这道题的话，其实前面的一些东西，只要是对特殊角的关系熟悉的话，能够咱们话不多说，直接看老师。第二种方法，过点地做平行九二比一。那我跟大家说一说是为什么啊？因为我想把这个二比一的比例关系用起来， 他说他想把二比一的比例关系用起来，那么他就要过点地做平行线，这个逻辑关系 有一点点问题啊，哎，我们想想，如果你要把二比一的比例用起来，你怎么做平行线？你想啊，我们来看，那一定是有，我们现在来看 a、 d、 c 有 三个点，那意味着每个点都可以做平行线，而且我们看点 a 啊，拿点 a 来说，点 a 可以 像 水平方向做平行线，平行于 bc， 那 么也可以向平行于 ef 做平行线，因为点 a 只有两种平行线，方法总得讲出来吧，对不对啊？咱们再看啊。第二个，中间这个点 d 也是应该有两种，第一种，就他说的过点 d 做 bc 的 平行线，对吧？第二个呢，是过点 d 呢？做 b、 e 的 平行线， 又是两种嘛？来，咱们看再看。还有一个点是点 c， 我 们可以通过点 c 做 b 的 平行线，或者通过点 c 做 e、 f 的 平行线，这不就是有六种平行线吗？那么这个老师我们看就是 显著的一个特征是他做题比较快，但是好多的这个逻辑，就为什么要这样做，我建议多讲讲这个， 他做辅助线也好，找角也好，等他代换也好啊，他为什么是找的这个角？这个思路是从何而来？这个我觉得应该多讲一讲会更比较好一些。好吧，好嘞，我们再看一下下。一位老师 学数学难吗？一点都不难，大家好，学数学难吗？一点都不难啊，这个这一位老师特点，接下来呢，又给了 a， 一 开始都是在解直角三角形啊，这是通用解法，不注意说了一样啊，过点地做这个 bc 的 水平的，这 怎么又是过点滴做，凭什么过点滴做？没人说这个事是不是畅通，好的方法都一样，而且是二比一，所以四十五加二十六点五度，他应该是等于二十六点五。确实用，老师是这么教的啊，把一比二的角 让学生背会背成二十六点五，这个花招可借鉴啊，仅可借鉴，同志们请慎用啊， 不要去这些什么二十六点五，七十一点五，一百一十六点五都出来了啊，同志们， f、 d、 c 这个度数咱们也可以去了啊，这两个加起来就是，呃， 很辛苦的一位老师啊，百四十三度啊，他俩加起来是一百四十三度，那所以这个角度就三七度三，一百四十三度也出来了三十七度，所以这个题就可以进啊，目的是为了代换出来这个角是三十七度，但是我说但凡有能力做十五题的人 不会这么多，你说做这么长的炼炉，哪有这个时间呢，对吧？哎，还是得用一二三四五模型，要么你就别不会的话，要么就别做这道题，对不对？你想功课十五题，你不学一二三四五模型，那能行吗？ 啊，不要用这些，呃，这些方法，这些方法真正到了中考当中没人用，用也用不出来，时间不允许啊，怎么方法都如出一辙，我特别期望哈，有个老师有一种很精彩的讲法，我们再看看有没有其他的老师，我不相信所有人都是一种解法，这个不是我们说的，是今年大神特别多吗？怎么 好，我们再来看看第四位老师，这条边不是跟 f 共线吗？所以我们赶紧过了地铁，也做一个 d h 这块关于啊角度的一个换算，并且又做了一条 d h 垂直于 f， 迄今为止已经做了三条垂线了。 已经做了三条垂线了，哎，垂直 bc， 那 这个小小的 r t 三角形 d， 哎，是一种方法啊，是一种方法，就是自然也是一个一比二比根号的。来，我们说到这 d h 已经那么小的高了，实际考试当中， 那个时候很多同学会看不清楚的，那么小的三角形，还要再利用一些小线段之间的比例关系，确实 思维相对简单，但是要求这个临场的，这个对眼神的考验比较多。再看题 a， 你 a g 三等于三，你就简单了，不断地利用直角三角形的相似的 b d 去做，哎，时间耗费会很长哦， 好，这位老师结束了，我们再看看有没有，难道真的一个老师连比较新一点的方法都找不见了？咱们再看一下啊，这个老师纯用黑板书写一看， 但是我们看到他的方法和前一位老师的方法仍然一模一样，你看都是做了两个直角，第三步都一模一样，看到没有？也是在做相似，做垂直找 a 字型，我们就看到这吧， 方法还是一样。老师，看完以后呢，我这么说吧，第一个由二比一先抓住这个，因为我们经常是考的终点，对不对？过终点做平行线，那么我们来看一下二比一的方法也是需要做平行线啊，刚才刚才老， 刚才老师在这道题当中已经告诉大家，二比一可以做六种类型的平行线，而每种类型平行线都要用到两次，要么是 a， 要么是八，对不对？要不是 a 和八，那么总之呢，通过数量的代换都可以啊。前面的步骤就不说了，咱们看看还有没有什么其他的方法， 比如说当我们得到这个是三比一的角的时候，这个也是三比一角的时候，我们在这个 b e、 f 这个三角形当中啊，我们看到有两个角和一条边，这就可以解三角形了吗？对不对？怎么解呢？ 过点 f 对 不对？做垂直吗？那么这个时候呢，我们就又可以用角边角去解直角三角形，我们就可以求出这条边来啊，是二分之五倍，根号五，那么又其实就是耶，求出的是 e f 来，然后再减去 e d 就能得到 d f， 对 不对？这种思路会更加直观，就是在解直角三角形，一个方法从头用到尾，对不对啊？我们也不需要做平行线，也不需要在这做垂线，再用什么呢？我们就直接这个大三角形啊，去解直角三角形就可以了。好，这是第一个， 我们再来看看有没有更高级的解法。我们这样做十五题，能做出来的孩子一定是学习成绩非常不错的孩子，对不对？他们掌握了很多拓展的知识和课外的一些做几何题的小技巧。那么我们说 啊，除了一开始我们必然做垂直去解这个直角三角形以外，我们能不能不做辅助线了？ 不做垂线，不做平行线怎么解？其实呢，我们要用到一个叫做什么正弦定力，为什么要用正弦定力？大家来看啊，这个角是已知一比一的角，对不对？然后这个边呢？是我们说五倍根号二啊，刚才我们已经解释过了。好，那我们来看这个角， 因为我们现在想，其实特别想求出来 dm 啊，我们已经知道这个是二倍根号五，二倍根号五，那我们用最简单的 正弦定例就可以得到五倍根号二，就这一条线比上什么 sine 这个角，问号，这个角， 它会等于什么呀？等于这条边 e、 f 就是 二倍根号五，加上 m 比上什么三以 b， 三以 b， 就是 三以四十五度二分之根号二嘛，对不对？这是第一个，我们再来看， 我们再来看这一块，这个小三角形 d、 f、 c， 同样啊，我们知道，呃，这个角 c 呢，是一比二的角，所以说角 c 的 散影值就是一比根号五，所以说我们就得到了什么呀？ 这个是一个，刚才得到了这个是一个根号五哈，根号五就是 c， d 比上什么散影它 啊，根号五比上 sin 这个钝角，其实这个钝角就是这个 sin 根号等于 d f 就 也就是 m 嘛，比上 sin 角 c， 那 sin 角 c 就是 啊，一比根号五。 这是第二个方程，其实通过三以问号做一个等量代换，就能得到三以问号等于什么？等于什么呢？由第一个式子能得到三以问号就等于，呃，这叫五比上二倍，根号五加上 m， 第二个三以问号等于一比 m 啊，因此我们就能求出 m 是 等于二分之根号五啊。一条辅助线也不要动，但前提是你得会挣钱定力吧。你说会做实物题的孩子，嗯，有一大部分其实都会挣钱定力啊，这个是属于高中知识一种拓展补充啊。 今天我们详细的拆解了以上四位老师的方法，但是我们会发现一个共性的问题，就是这些老师对于为什么要找这个角，为什么要做角之间的等量代换啊？为什么突然要找一个外角，为什么突然做平行啊？为什么要要做垂直？这个前置的逻辑 好，基本上老师都没有讲到，但是我们往往问题就在这，你只有给他讲清楚为什么他以后碰到相似的题型他才会做。 所以说老师最忌讳的就是直接讲题，把他的解析步骤说出来，学生压根看完以后是看似会了，根本就没有了解其中的含义对不对。而且有的三老师这个思维过于跳跃啊，一会找这个角，一会找那个角啊，一会用这个做垂直用，一会用那个做平行。老师最后讲的两种方法，其实就是 把解直角三角形用透了，对不对？我们也不做平行线了，对吧？也不做垂直了 啊，就是有见直角三角形，我们就去解见直角三角形，只要满足可解性，那就去解它就能出来结果。 要么我们就掌握到一个更先进的啊，这个方法用正弦定力，因为用正弦定力我们会看到好多辅线其实不用做的，对不对啊？直接套公式，只需要你找到用哪两个三角函数 用做挣钱定力就可以了。那么当然这个方法是很高级的啊。嗯，并不是所有的同学都会好，同学也不一定他们学过，对不对？所以这个需要我们涉及到一些高中知识的一个拓展补充。好，我们今天就讲到这，各位老师再见啊，各位家长再见。

二零二六太原二模十五题和二十三题压轴金角这两道题的话，十五题相对来说难度中规中矩，二十三题要更难想一点， 接下来我们来看一下这两个题。十五题已知三角形 a、 b、 c 中角 b 等于四十五度， a、 b 等于三倍根号二， b、 c 等于九。 读到这里你会发现给的三个条件正好就是一个三角形的两边一角， 这里自然就要想到几三角形，我们可以得到更多的信息，所以这里选择过 a 点做 bc 的 垂线，左边是一个等腰直角三角形，那一比一比根号二，两个直角边都是三， 右边九减三等于六，所以能看到这是一个一比二比根号五的三角形，所以这个小角比较特殊。同时呢，还能求出 a、 c 的 长是三倍根号，就是我们从这三个条件得到的更多的信息。 题中还给了 a、 d 等于两倍的 dc， 这个地方上是二比一，那么三倍根号五就可以写成 a、 d。 二倍根号五和 cd 是 根号五。 继续 e 在 b、 a 延长线上连接 e、 d， 并延长 bc 交于点 f， 然后 d， e 等于 d， a， d、 e 也是二倍根号五。 这个题到此就结束了，所以图中所标出来的信息就是这个题条件整理以后的样子。最后求一下 df 的 长。 从大方向上来考虑的话，这个题应该得有两个最基本的思路，一个是解三角形，因为题中给出的四十五度以及我们通过解三角形发现这里有一个阿尔法一比二比更好的特殊角，所以解三角形是一个很好的思路。 第二个思路就是比例问题，因为 a、 d 等于二 d、 c 本质上这个条件就是在传递一种比例的信息，所以这个题只要围绕这两个思路去做就够了。 最后还有一个特征， a、 d 等于 d、 e， 这是一个等腰三角形，那看到等腰三角形，我们还可以考虑三线合一， 基本就是这么多想法，我们最后把它整理整理，这个题就做出来了。来，先以第一个大的思路去做解三角形，最直观的解法就是三角形 d、 c、 f， 目前来看的话，有一个一比二比根号五的角和根号五一条边，一边一角已知还差一些边或者角，那这个题我们就可以尝试去寻找其他的边和角。 比较简单的想法就是我们可以通过二倍角模型，还有一二三四五模型快速推得一些角。 由于这个题中有阿尔法一比二比一个号四十五度，那么很容易联想到可能存在一比三比更耗时的角，那么在三角形 a、 b、 c 中，根据外角的话，角 e、 a、 c 就 等于阿尔法加四十五度， 所以在一二三四五模型加持下，那么角 e、 a、 c 就是 一比三比更耗时的角， 这个正切值应该等于三。而另一边，由于是等腰三角形，底角是一比三比根号时的角，那么顶角就应该是一比三比根号时小锐角的二倍， 那再根据二倍角模型，一比三比根号时的小锐角翻倍以后就是三四五的小锐角，所以 tangent 角 a、 d、 e 就 应该等于 三比四，这样的话我们就可以得到角 f、 d、 c， 它的正切也是三比四。那你要解的这个三角形 d、 c、 f 其实就是两角一边，已知了，接下来只需要做垂线即可。过 f 点向 d、 c 做垂线， 上半部分是一个三四五，下半部分是一个一比二比根号五，那我们就可以设这条垂线段长是三 x， 那 这个就是四 x， 所求的 df 就是 五 x， 然后这是一比二比根号五，它就应该等于六 x， 一 共是四 x 加六 x 等于根号五，因此 x 就 等于根号五除以十，然后我们要求的 df 等于五 x， 所以给十分之根号五乘上一个五就可以了。最后答案就是二分之根号，这就是第一个思路， 其中用到的模型会偏多一点。一定会有同学问，那如果我们没有学过这些模型，因为学校老师可能就没讲过，没有学过这个模型，那我能不能用这个方法去求解三角形？ 只不过我们在思考的时候可能只一至了一角一边，对吧？少一些边或者少一些角，没关系，少的部分我们可以通过三角函数的定义去求解， 你想求某个角的三角函数，你只需要把这个角放在 rt 三角形中就可以了，你去求这个 rt 三角形的三个边长， 这样也能反过来求三角函数，所以我们来看一下啊，不用一二三四五，不用二倍角模型如何去解三角形？ 首先我们想求这个角 a 处的三角函数，那我就应该把这个角 a 放到一个 r t 三角形中，然后去求它的三边吗？这个题比较好求的一种方式是过 c 点 向 a、 e 做垂线，因为这样做垂线能把四十五度这个条件给它利用起来。那么在这样一个三角形中，分二直角，斜边是九，那直角边就可以除了是二分之九倍根号二， 这个边长也是二分之九倍根号二，然后减去这里的三倍根号二上面的部分就是二分之三倍根号二。我们就可以看到这个三角形三边二分之三倍根号二，二分之九倍根号二，那就是 一比三的一个状态，所以这个三角形就可以定下来，它是一比三比根号的三角形。当然了，定得到这个角的正切就是三比一， 所以 tangent 角 e、 a、 c 就 等于三，这就是我们通过三角函数的定义去求 e、 a、 c 的， 求出来以后，再回头看这个等腰三角形，它的底角已知正切是三，然后两条边一只，两边一角一只，就可以解这个三角形了。所以我们可以选择直接过地点向它做垂线， 垂线一做，这是三线合一，他是一比三比根号十的三角形，所以用二倍根号直接除以根号值就是这段的长，这个结果等于根号二，那三线合一，上半部分也是根号二， 因此 a、 e 长度整个就应该等于二倍根号二。现在就可以进一步去解三角形了解谁呢？不是刚才那个小不点了，我们可以换一下解三角形 b、 e、 f。 在三角形 b、 e、 f 中有一个角是四十五度， e 处的角和 a 处这个角是一样的，它都是一比三比根号时的大锐角，还有一条边，五倍根号二是已知的两角，一边已知就可以解三角形了。 所以做法直接选择过 f 点向它做垂线，上面是一比三比根号十的三角形，设这条边是 x， 这个是三 x， 下面是等腰直角三角形，那这条边也是三 x， 一 共四 x 就 等于五倍根号二，所以解得 x 就 等于四分之五倍根号二， 然后再算一比三比根号十， e、 f 就 等于根号十， x 也就等于二分之五倍根号五。 再把 d、 e 减去，就是 b、 f 了。 b、 f 就 等于二分之五倍根号五，减去二倍根号五，最后是二分之根号五， 这就是传统易上减三角形。解的过程中，我们也尽量避开了用一些特殊的模型。当然了，你也可以从相似角度去解这个题，因为核心条件还给了个 a、 d 等于二， d、 c 相当于给出了一个比例。 不过前提还是得像刚才一样，在解三角形过程中，把 a、 e 的 长度算出来是一个二倍根号二，把这个东西求出来，才能进一步往下去相似。就你不去解这个三角形 b、 e、 f 了，我用相似去做， 因为构造型相似，它一定得已知两个比例去求第三个比例。只有这个 a、 d 等于二， d、 c 是 不够的，我们得求出 a、 e 来以后，才能发现这里的比值是三比二，已知两个比例好，剩下的比例就可以求了。所以 d、 e 和 d、 f 的 比例一旦求出来，那么 d、 f 就 能求 了。那我就选择其中的一种平行线来给大家做一遍。我可以选择过 d 点做 b、 e 的 平行线， 这个平行线一做，我们可以看到两个 a 字模型，一个是 b、 c、 a， 然后带了个平行线，还有一个是 e、 b、 f 带了一个平行线。在这两个 a 字模型里面去导比例， dc 比上 a、 c 是 一比三，所以这个地方比上 a、 b 也是一比三，就能快速求出来它的值是根号二， 然后根号二比上五倍，根号二一比五，所以 d、 f 比上 f， e 也是一比五。 这样的话，假设 d、 f 是 x， x 比上 x 加二倍，根号五就等于一比五，那么 x 就 等于 二分值更好。当然了，相似能解的地方，梅尼老师的定义一般就也能解，只不过这里我们要选择两次啊。用两次梅尼老师定义， 第一次是在三角形 a、 b、 c 中，然后以 e、 f 作为媒视线，我们去列一下，应该是 e， a 比 e， b 乘上 e， f 比 f， c 乘 c， d 比 d， a， 这个结果等于一，然后往进代值， e， a 比 e， b 等于二比五， b， f 比 f， c 为值， c， d 比 d， a 是 一比二，这个结果等于一。求得 b， f 比 f， c 就 等于五， 就得到了，这边是五倍，这边是一倍。好，再来一次平面老师。最后是以 b、 f、 e 为三角形，那么这个 a、 c 为内实线， 再列一次，列出来是 e， a 比上 a， b 乘 bc 比 c， f 乘 f， d 比上 d， e， 这个结果等于一。 往其代值 e， a 比 ab 是 二比三，乘上 bc 比 c， f， 这是六了，刚才是五吗？对吧？ bc 整体一比就变成了六，再乘上 f， d 比上一个 d， e 是 二倍，根号五，最后结果等于一，最后得出来 f、 d 的 值也是二分之，根号五。 这就是十五题。大的核心思路是两个极三角形和构造相似。接下来看二、三题。如图，已知平行四边形 a、 b、 c， d 中 a、 d 是 两倍的， a、 b， e 是 bc 的 中点，然后过 e 点又做了个平行线。问你这个四边形的形状， 首先你做的就是平行线，原来也有一份平行线，因此肯定是平行四边形， 那要正菱形的话，还得再加一个菱边上的信息。关键在于 a、 d 是 两倍的 a、 b， 那 a、 b 如果是 a 的 话， a、 d 就是 二 a， bc 也是二 a、 e 点呢？是中点，所以 b、 e 等于 ec 都等于 a， 所以 就会有菱边相等了。 第一问其实难度不大，我们看第二问，在 e 的 基础上，把 d、 e 连接和 a、 b 延长，线交于点 f， 然后再把 a、 e 延长和 c、 f 交于点 g。 这样一幅图， 问的是 a、 e 和 e、 g 的 数量关系。其实我们平时做题看到数量关系，一般来讲绝大多数是相等的， 但现在的 ae 和 e、 g 一 看就不相等，那退而求其次，如果不相等，就要考虑它是不是二倍关系，因为二倍关系很有可能是通过倍长以后变得相等，再去挣两个钱的相等。 但很明显，你连接 o、 b 菱形，对角线互相平分，那这一段和这一段看起来好像还是上面长一点，所以这关系二倍也不是。如果既不是相等，也不是二倍，这个时候我们首选的考虑 他们之间的关系，很有可能就是普通的乘比例，而乘比例这个题的核心工具应该是 相似，所以我们得从相似三角形入手来解这个题。怎么构造相似呢？目前来看， a、 e 和 eg 所处的三角形不太好找，但是我们可以稍微变一下，因为最简单的相似不就是 a 字和八字吗？ 稍微变一下，把 a、 e 移到 o、 c 这个位置，其实这两个线是完全一样的，得到了，这是个平行四边形， 所以 o c 一定是平行且等于 a、 e 的。 而挪到这个地方的好处就在于，此时 o c 和 e、 g 是 平行的，我只需要把 o e 延出去，就可以看到一个 a 字模型的出现。 我要求 eg 和 ae 就是 和 o、 c 的 比例关系，只要把这个 a 字模型的比例搞定就行了。由于 e 点本身是一个中点，你顺势延长 oe 以后和 abf 平行， 那么这就产生了一条中位线，所以这条线其实是 bf 的 一半，如果它是 a， 它就是二 a， 而 b、 f 又是怎么来的呢？它是 b 点经过 e 点延长出去的，也就是平行加中点模型，那这里就会形成一对全等三角形。 所以这个 b、 f 的 长，它其实和 dc 的 长是一样的，和 ab 的 长也是一样 的。于是这样的话， a 字模型的比例就得到解决，这是一比二。当然了， 上比全就是一比三。逆极比上 o c 就 等于一比三，所以数量关系，逆极就等于三分之一的 o、 c， 当然了，也就等于三分之一的 a 一。 这是第二问，可以通过构造 a 字模型的相似得到它们两个的关系。最后来看第三问，若以 c、 d、 g 为底边的三角形，让你写出 d e 比 a e 的 值， 这个题需要我们对条件和结论做一个深度翻译。 c， d、 g 是 直角三角形，在图二中我们连接 d， g， ok， 那 很明显是三种情况吗？ d 处、 g 处、 c 处各自为一次直角不就可以了吗？ 这是三种分类讨论，然后你再对结论去翻译，请直接写出 d e 比 a e 的 值。你从图中来看， d e 比 a e 这个角看的像直角，如果是直角的话，那不就是求这个角的正切值吗？ 它是直角吗？我们可以做一个简单的推导啊，由于左边角阿尔法阿尔法是相等的， 对吧？由于右边其实这个东西也是个菱形，应该能看出来左右两边是全等的嘛。所以这个位置是北塔，这个位置也是北塔，菱形对角线平分对角，因此我们可以看到两个阿尔法加两个北塔是一百八， 那一个阿尔法加一个北塔就是九十嘛，所以剩出来的这个角就是一个九十。 所以这个题要翻译啊，要翻译，最后它求的是 d e 比 a e， 其实求的就是 tangent 尔法。 想明白这一点以后，我们就可以开始做题了。那题中有三种分类， d g c 各是直角，而这个图二中 c 这个角长得本身就挺像直角的，那对于这种题，我们就少画一幅图，直接把 c 当成直角来用图二就好了。 那 c 是 直角能带来哪些特殊的信息？我们要仔细看一看。 c 是 直角，所以平行线之后 f 处也是直角，那你求 tanthan 阿尔法，这个角也是阿尔法，求 f g 比 fa 就 可以了。 而由于这个地方也是直角，所以一个直角三角形斜边上出现了高线了。我们其实比较容易想到一个定律，叫做射影定律，再加上第二问的第一小问，求出来 e g 和 a e 的 关系是一比三，它是 x， 它是三 x。 那这不典型的摄影定律的结论吗？摄影定律有一个推论，两条直角边的平方比等于它们投影在斜边上的线段之比， 那如果用字母去表示的话，就是说 f g 的 平方比上 af 的 平方就等于 eg 比上 ea。 背后的逻辑肯定是相似，只不过用了摄影定律，我们做的更快一点。那 e g 比 e a 是 一比三， 所以 e g 比 a f 就是 根号下三分之一，也就是三分之根号三，而 tanthan 阿尔法正好就是 f g 比 af， 所以 第一个答案就出来了， 三分之更好下。如果你不想用数学推理，那就是用纯粹的相似解题，我们可以证明这个三角形和这个三角形它是相似三角形，所以写相似比 x 比上 e f 就 等于 e f 比上三 x， e f 的 平方就等于三 x 的 平方， e f 就 等于根号三 x， 再点出来， e f 是 根号三 x 还等于它 r 不 也是根号三比三吗？ 一样的，你用相似做肯定是可以的，用任意定理的话，就相当于做的更快，能够秒杀。然后剩下的两种需要我们自己来画图，当角 d 是 直角时，来看看这个图应该怎么画。 如果 d 处这个位置是直角，哎，我们可以清楚的看到角 edc 是 比 gdc 大 的， 而你一旦这个地方是直角，说明 edc 是 一个大于直角的钝角。而菱形对角线平分对角呀，你这个角是钝角了，这个也是钝角，那么它的加起来就会超过一百八。 一个菱形内角超过一百八很显然是不合适的，所以你可以自己尝试着画一画，你就可以发现不断调整原来的 a、 b、 c、 d 的 形状，画着画着你就发现其实 d 处为直角，这种情况是不存在的，也是画不出来的， 所以就只剩下来一种情况，记处为直角。我们要重新更新一下 a、 b、 c、 d 这个平行的形状，原来画的还挺饱满的，对吧？感觉我们可以把它画的再 扁一点，看看会发生什么情况，看能不能把 g 给它压成一个直角。画完以后连接 d、 g 一 看，哎，这个图形中长得还比较像，我们要求不高，接近就可以了。 d， g、 c 接近直角。然后就从这个图中进一步去思考，在 d、 g、 c 为直角时，它整它 r 法应该是多少？好，我们重新整理条件，这个角也是 r 法，这里是直角，这边也是直角。 其实这两个三角形 a、 d， e 和 a、 f， e 就是 一对全的三角形，所以这个 a、 e 其实并不只是垂直于 df 垂直平分线， 那 g 点在垂直平分线上，那自然就有 g， d 等于 g、 f， 再结合这个角是直角直角，所以这边也是直角。因此 d、 g、 f 它就是一个等腰直角三角形。放到上面这里也是四十五度， 到了这儿也是一个等腰直角三角形。结合上一小问， eg 比上 a， e 是 一比三 x 和三 x， 这又是一个等腰直角三角形，所以 d， e 也是 x， 那 因此 type r 就 等于一比三。 第二个答案就是三分之一。这个题就两种情况，叫地是直角，不存在，主要还是画图上稍微难了一点。画出图来以后，在计算推导过程中，相对来说就没有那么难了。今天讲解就到此结束。

每天一道题，轻松学数学，各位同学们大家好，今天我们一起来看一下刚刚考过的太原市二模的第十五题。首先如图，三角形 abc 中角 b 是 四十五度。好，我们先标好角 b 四十五度， a， b 是 三倍根号二， bc 是 九点， d 是 a， c 上的一点，且 a、 d 等于二倍的 d， c。 好， 我们首先看到了这个四十五度以后啊，我们肯定会画一个辅助线，这是我们的突破口哈，所以呢，我们过点 a 去做 bc 的 垂线啊，把它分成了一个四十五度的等腰三角形， 所以呢， am 就是 三， bm 也是三，那么 mc 就 变成六了，对吧？好， mc 就 等于六。 好，又，因为我们 ad 和我们 dc 的 关系是二倍关系，所以我们现在可以算出来， ac 是 三倍根号五，所以 ad 就是 二倍根号五， c、 d 就是 根号五。好了，那么继续往后读题点， e 是 在 b、 c 的 延长线上连接 e、 d， 那 么且 d， e 等于 d a， 那 么这也是一个二倍根号五，它是一个等腰三角形。 好了，这就是我们所有的条件。问， d、 f 等于几啊？先说我们如果看到这个题上的数据，我们首先要想到的是要使用 特殊角的方法，那么他有没有特殊角呢？当然有了，对吧？我们除了能够看到一比一比根号二的这个数量关系以外，还看到了一个什么 三比六，那就是一比二吧，那一比二的特殊角就是二十六点五度。 好，遇到特殊角，那我们首先需要把这道题当中的所有有关于角度能求的都求出来哈。好，那我们来看一下这个等腰三角形的角度， d， a、 e 多少度？那这个又是四十五度加二十六点五度，好，七十一点五度， 所以角 e 也是七十一点五度，好。通过等腰三角形，两个角是七十一点五度，所以可以很快的得出来角 e、 d、 a 的 度数就是三十七度。 好，为了方便我们后面计算啊，所以因为看到了等腰三角形，我做一下三线，好，那每一个都是十八点五度，那也就是一比三的关系，对吧？一比三比根号十好，所以二倍根号五。我算一下，除以根号十，正好是根号二 好，那么 n、 d 的 长度就是三倍根号二好， n、 e 也是根号二好。其，此时这个题我们其实早就能做完了哈，我们把这个对顶角三十七度用好了，那么关于底下 d、 f、 c 这个三角形 两个特殊角了，是不是可以去列一个方程了？好，我现在使用放大镜啊，我把这个三角形给大家放大了， 好，这个是 d、 f、 c， 好， 这是三十七度，这个是二十六点五度，所以过点 f 去做 d、 c 的 垂线， 好，那我们可以去设一个未知数啊，三十七度所对的边是三倍的关系，所以我设是三 a 好， 四 a， 所以 这个是我来一个 g 啊，那 g、 c 的 长度就应该是一比二的关系，那么他就应该是六 a， 好，所以我们可以很快算一下啊，四 a 加六 a 等于根号五，哎，我们可以把 a 解出来啊， a 就 等于十分之根号五 好。最后的问题问的是 df， 那 df 在 这块是五 a， 所以 df 就 等于五乘上十分之根号五，所以答案就是二分之根号五 好，那我们这个题就是利用好了我们特殊角，把它解完的。好，我们接下来再来看第二种方法。那么我们学校里呢，老师呢，讲了很多种关于定比分点做平行的方法啊， 因为题目当中出现了这个二比一的关系，所以一定会用到相似三角形。好了，那怎么做呢？把前面条件我先都标好了哈，接下来我可以过点 a 去做 e f 的 平行线 啊，当然也可以过点 b 啊，去做 e d 的 平行线。哎，也可以，也可以过点 d 去做 bc 的 平行线， 也可以过点 c 去做 e f 平行线，方法太多了。好吧，那么李老师给大家先演示几种哈，比如说我就过点 a 去做 e f 的 平行线吧。当然同学们也可以将自己的方法我们写在评论区啊。好比如我教于点 m， 那么这样做完以后，我们来找找相似三角形吧。好，三角形 a b m 和 e b f 相似，这是一个。还有呢， a m c 和 d f c 好， 这是一个。好了，那相似比，并且我现在都知道，对吧？先来看这个小的 c d 比上 c a， 它的比是一比三，对吧？好，那 c d 比 d a 就是 一比二了。好，那我现在比如说我设 f c 是 a， 那 m f 就 应该是二 a 的 关系。 好，那我们再来看左面，左面的话， a e 比上 ab 是 二比三，所以 f m 比上 b m 就 也应该是二比三吧。好了，那我现在呢就知道了，这个就是三三 a， 又因为知道 bc 是 九，是不是我们可以把 a 求出来？好了，那我来列一下三 a 加二 a 再加 a 等于九，所以很快 a 就 等于二分之三。好了，我们就做出来了啊，那么问的问题是啊， dmdf， 所以 我首先得先把这个 am 是 不是先求出来？好，那 mf 等于几啊？ 因为三 a 三 a 的 话是 b m 三 a 减啊，咱就先算三 a 吧， 所以是二分之九，那 m n 是 不就知道了？就是二分之九减三，所以二分之六，那还是二分之三，对吧？所以 n m 就是 二分之三。 好，那我现在去求一下 am， 这是一个一比二的关系，所以算出来它是二分之三倍根号五。 好，再根据我们的相似比，是一比三的关系啊，所以 df 我 们就可以求出来了，那就是二分之根号五。好吧，那这个我们就用了两次啊，相似三角形好，再比如说，我们再换一种啊，看看同学们还有没有其他的方法好，我们再来一个。 好，还是这些条件啊？比如说，刚才李老师还说了一下，我还可以过点 c 去做，当然差不多了啊，做一下 b， 做一下 e f 的 平行线吧。 好，咱们这交于点 m， 我 们还是先去找一下这个相似三角形。 好，大家找到了吗？啊，先来看这个大的，对吧，这个大的肯定毫无问题哎，它是相似的，还有没有啊？啊，还有没有相似哎，这个小的也是一个 a 字，相似三角形，所以我现在要干的事情要想求 d f， 肯定是 e f 减去 e d， 哎，这么求， 对吧？好，我们先来看第一种啊，先看这个像素三角形，我们搞出来，因为是二比一的关系嘛，对吧，所以我可以算一下 em 的 长，对吧？因为这个是二，这个是一，所以这个是二，这个是一，所以这是二倍根号二，那我就知道了， em 就是 根号二， 好，它就根号二好，接下来我们再来看，还知道啥？ f c m c 是 不是也能求出来，对吧？因为这是二倍根号五，哎，这个是不是也就可以算出来，所以它是二比三的关系嘛？所以它就是三倍根号五，好，我们把已知能求的都算一下啊，三倍根号五， 好，接下来我们再来看另外一种，我再来看大的啊，我给大家画一下，好，这个大的 a 字三角形， 好，找到了相似比了吗？对吧？是不是在这块啊？我们可以给大家画一下，这是 好，这个是五倍根号三好呢？全场是六倍根号三，所以是一个五比六的一个关系，对吧？所以这是三倍根号五，它占的是六份，那 e f 是 不就能求出来了？所以我先去求一下 e f 的 长度。 好，那就是三倍根号五，乘上六分之五，好，正好我们约一下， 答案就是二分之五倍根号五，对吧？二分之五倍根号五。最后问的是 df 的 长，那么 df 就 应该等于 e f 减去 e d 二分之五倍根号五，再减去二倍根号五，所以正好答案还是一个二分之根号五， 所以也一样，对吧？他们的做题逻辑其实是差不多的，所以接下来同学们可以自行去操作啊，想怎么做怎么做，我只需要定一笔分点去做平行就可以。哎，你比如说我这样做， 对吧？我这样做的话，把这个擦掉了啊，好，那这样做的话，那我可以啊，看一看这个相似三角形也是 ok 的， 对吧？首先这是一个啊， a 字相似三角形，那还有没有啦，对吧？我们可以再找一下， 可以了吗？其实这个就现成的了，一步到位，我发现因为这个可以用特殊角，对吧？这个是可以用我们的特殊角度的啊，因为这是二比，哎，在这块啊，这是二比一的关系，所以这块呢，也可以算一下啊。好，那我把这个也算一下，这个是二倍根号二， 好，那这个就是根号二了，对吧？好，那我们就可以找到了这个相似比了，这是二二倍根号二，二倍根号二，四倍根号二，再比上根号二，对吧？那就是四倍根号二，比上五倍根号二，那还是四比五的关系，那所以这边也是四 比五的关系。好了，所以我们可以很快的求一下 df 乘好，那 df 就 等于二倍根号五， 应该是除以四是不就可以了，算出一份，对吧？所以就是二分之更好。好，也是可以做出来的。好了，同学们，如果你们有更好的方法，可以给李老师打在评论区。好，我们每天一道题，轻松。

学数学难吗？一点都不难。大家好，我是布纳纳，布纳老师，今天呢，咱们来看一下上午刚刚讲过的太原市二模的填空压轴题，也就是第十五题 啊。首先这道题呢，还是给大家分享两种不同的办法啊。第一种办法呢就是常规办法，那这种常规办法呢，它是具有一些难度的啊，就是可能大家在这个辅助线的构造方面啊，不一定能想得到，或者说需要大家有比较深厚的功底才行啊，有大量的这个练习的基础。 那第二种办法呢，就是利用咱们刚刚讲过或者讲过好多遍的这个特殊角来进行解决啊，那这个就可以很轻松啊，也相对快速的把它算出来。 那如果还不知道这种方法的这些同学呢，大家一定要在最后一个月要抓紧了啊。呃，来，咱们来看具体来看一下这道题啊。首先讲第一种最基础的办法啊，去构造平行构造相似的办法来进行解决， 第一个的话，角 b 等于给了个角 b 等于四十五度啊，然后 ab 等于三倍根号二，然后 bc 等于九啊，所首先看到这两个条件啊，大家有感觉的同学，或者是说做的比较多的同学就应该能知道，这个 a c 就 能求出来了啊，怎么求呢？过点 a 做垂线啊，你得把四十五度放在三角形里边， 这样三角形里边，那这样的话就可以得到这两条边分别为三，那右边这个就是一啊，一二根号五的三角形，所以 a c 的 整个长呢，就是 三倍根号五。呃，接下来呢，又给了 a d 等于二倍的 dc 呢，所以说 a d 的 长就是二倍根号五，然后 dc 的 长就是根号五啊，那这个长度就得到了，然后点 e 在 b a 的 延长线上连接 e、 d 并延长交于点 f， d， e 等于 d a， d e 等于 d a 的 话呢，这也是二倍根号五了。 好，目前来说的话题里面的这些长度咱们就都标出来了，那接下来，呃，要进行分析的就是这个 d、 f 的 长度，对吧？那要放要求 d、 f 的 长度，一般来说得把它放在这个直角三角形里边啊，那第一个俯仰法就是放在直角三角形里边 好放吗？或者说好做垂线吗？啊？目前看起来好像不太好做啊，过点地往下做，或者往往这上面做都不太好去进行。那接下来呢，咱们再来分分析一下题里边的这些关键的信息，还有哪些没用啊？第一个就是四十五度啊，刚才稍微的用了一下，那第二个呢，就是这个两倍的关系啊， 这两倍的关系又应该怎么用呢？首先大家要注意啊，虽然说刚才这两个长度已经求出来了，但是这种线段的比例关系，在给你求长度的同时，可能还会带来一个比例关系，就是相似比， 也就是说咱们在这很有可能去需要你去构造一些相似三要素啊，比如说做一些平行线啊，比如过点 a 座，或者说过点 d 座啊，或者是过点 c 这样做啊，这做平行线的方法也有很多种，大家都可以去尝试一下啊，但是这个方法之间呢，也存在优劣性。嗯， 那究竟应该怎么做辅助线呢？别着急，咱们再来看题里面还有一个条件，就是 d e 等于 d a， 也就是说这是一个等腰三角形，这个等腰三角形的条件也要关键的要利用到啊。那看到等腰三角形 最先想到的，或者说大家十有八九都要做一条辅助线，就做这个垂直，对吧？比如说这个垂足了，那这个垂足了，那这个三角形啊，这两个三角形能不能求解呢？求解不出来，条件没有啊， 所以接下来大家就要结合刚才咱们分析过的东西啊，第一个就是二比一的相似，另一个就是四十五度啊，这三个条件结合起来，那怎么做平行线是最好的呢？过点 d 做这个 bc 的 水平的这样的一条平行线，为什么这样去做呢？因为首先第一个可以把这个四十五度转换的上面啊，这得到一个四十五度。 另外一个的话，咱们也可以利用刚才那个二比一的这个比例关系啊。呃，咱们知道这个 a d 和 dc 的 比例关系是二比一，所以说的话呢，呃，这个 a d 和 a c 的 比就是二比三啊，也就是说这两个三角形的相似，比呢，他就应该是二比三，所以 n d 的 长度就可以求出来他是六了。 n d 的 长度是六，那咱们就知道 m n 的 长度，这是一个等腰直角三角形，所以它就是三倍根号二了，那咱们刚才知道这个 a b 的 长是三倍根号二， m n 的 长也是三倍根号二，哎，所以说这个 b n 和 a n 和 a m 的 长应该是一样的，那它俩都等于多少呢？这个能不能进行一个计算呢？ 啊？也是可以的，咱们可以利用刚才的这个相似的关系啊，刚才这个比例关系是二比三的比例关系，而整个这一部分呢，就是二倍根号二， 所以这个 b、 n 的 长就是根号二啊，这是二倍根号二。再往上这也是根号二啊，那由三线合一又可以得到 m、 e 的 长也是根号二，所以整个这条边的长度合起来应该是根号二，根号二，二倍根号二，根号二啊，合起来应该是五倍根号二了啊，好，我把这个条件擦掉， 有整个这条边的长度，他应该是一个五倍根号二啊，那最后 d、 f 的 这个长度能不能求呢？能，因为这样的话也可以放在一组相似的三角形里边啊，咱们知道这个上下的这个比的话，这应该是 五倍根号二啊，比上上边这一部分是四倍根号二，也就是说右边的这个 e、 d 占四份， d、 f 占一份，所以是四比一，那用二倍根号五乘四分之一，等于二分之根号五，所以 d、 f 的 长就求解了。 但是这种方法呢，就需要大家进行一些分析，或者说具有一些这个呃，这个做题的经验啊，还有对于这些相似的构造呀，这些会 理解深刻一些啊。大家可能能想到这些辅助线的做法，那有没有更轻松的办法呢？有，咱们来具体的来用特殊角来解一下啊。刚才呢，已经分析出来了，过点 a 是 往下做了一个垂线啊， ab 是 三倍根号，这 b， 比如说这是 h 吧啊，那这是三，这是三，然后右边这是六，所以这斜边这是二倍根号五，这是根号五啊。那大家发现右边这个三角形，它是一个什么三角形呢？是一个一二根号五的三角形，所以这个角 c 的 度数，咱们就知道他应该是等于五十二度的，呃，这个五十三度的一半啊，应该是等于二十六点五度， 二十六点五度啊，那这个是标出来了，那咱们要求这个 d、 f 的 长度，那还得在首先想到的就是放在这个三角形 d、 f、 c 里边进行分析，那这个三角形里边有没有其他的角或者其他的长度还能再得得一些的呢？是有的，咱们再往这个图里边再标一标， 标一标就有了啊，别忘了刚才这是个等腰三角形啊，所以这个也是个二倍根号五，所以说这个上面这个角度也可以标了啊，这个角呢，是下面这个大三角形的外角啊，因为左边这是四十五度，所以四十五加二十六点五度，他应该是等于七十一点五度，所以这个角 e， 这也是一个七十一点五度。 好，接下来这个 d、 f、 c 这个角度呢，也可以求出来，因为它是这个左边这个三角形的外角啊，它的度数就等于等于四十五度，加上七十一点五度，那它就是七十一点五，加上四十五五啊六，然后就是一百一十六点五度， 呃，这个角度呢，就是一百一十六点五度啊，那角 d 啊，就是 f、 f、 d、 c 这个度数咱们也可以求了啊，这两个加起来就是，呃，一百四十三度啊， 他俩加起来是一百四十三度，那所以这个角呢，就是三十七度。哎，三十七度三角形，咱们也知道他很特殊，他是三四五的直角三角形，所以这个题就可以进行求解了啊，包含三十七度是三四五，包含二十六点五度是一二，根号五，所以过点 f 往下做垂线， 这个垂完之后呢，咱们就可以知道这个上面这个三角形是三四五啊，比如说这是三 x， 这个就是四 x， 斜边呢就是五 x。 好， 下边呢是一二，根号五呢，一份是三 x， 那 所以两份这就是六 x， 那 这样的话合起来整个就是十 x， 也就是说根号五对应的是十 x， 那 么一份就是根号五除以十， 然后最后咱们要求的是五份啊，那所以直接拿根号五除以十再乘五，也就是根号五乘二分之一就可以了，答案就是二分之根号五。 这种办法呢，对于大家而言，这个思维压力，或者是说这种对于大家基础能力或者辅助线的构造的这个要求呢，就会相对的低一些了啊，大家就可以利用这个特殊角的办法把它解出来，不知道大家在考场上有没有把它算对啊？关注我不丹老师，帮你解决所有数学问题。

一起来看一下二六年二模考试的二次函数这个问题啊！第二十二题，问题情境，随着旅游热度上涨，来山西游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加， 某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大的利润啊！经过前期调研，获得如下信息，我们来看一下这个报表，第一列是对应的日期，第二列是对应房价，第三列是对应的客房入住数啊，好，那么建立模型，酒店经理发现， 入住房间数、营收金额都会随每日的房价变化而变化，那这是肯定的，是不是？设每日房价为 x， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 那 么其中 x、 y、 z 均为正整数，那其中呢？ x 的 取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四的。 那根据报表所提供的信息，让你去解决下列问题。后面有个注意事项啊，日营收金额等于房价乘以客房入住数，这也要注意了啊，解决问题第一个啊，第一题啊，客房入住数是房价的什么函数？那么我们观察这个表格啊，从一百六到一百七， 房价上涨十元，他的这个客房入住率会减少六间，那么以此类推，一百七到一百八客，呃，这个房价上涨十元，客房入住率仍然是减少六间，对不对？ 那它这个变化量是一样的，所以它们之间是一次函数关系啊，求 y 和 s 之间的函数关系式，这个就是求一次函数的表达式。那么我们用代定系数法， y 等于 k， x 加 b， 是 吧？然后我们接下来带入两组对应值就可以了，比方说，哎，我可以把一百六十到一百二十带入，把二百到九十六带入， 求解就可以了，是不是？好，那么在这里啊，算出来这个 y 和 x 之间函数关系是为什么呢？哎，我们写一下啊，是 y 等于负五分之三， x 加二百一十六，好，这是 y 和 x 之间的关系。来看第二题啊， 当酒店客房日营收金额 z 最大时，求这一天客房的房价，我们来看一下，前面他有给备注啊，日营收金额等于房价乘以客房入住数，那么房价是 x， 入住数是 y， 所以 x 和 y 的 乘积是不是就是 z 呀？好，所以我们在这里可以写啊， z 等于 x 乘以 y， 那 我用负五分之三 x 加二百一十六代入，是不是啊？ x 乘以负五分之三， x 加二百一十六， 那我们去掉括号等于负五分之三， x 的 平方加二百一十六 x。 好， 那么 z 和 x 它是一个二次函数的关系，而且二次项系数是负的五分之三小于零，开口向下有最大值， 那他在这里说了啊，日营收金额 z 最大时，求这一天客房的房价，也就是让我们去求顶点坐标，对不对？那之前我们讲过啊，去求顶点坐标，两个比较好用的方式是从一般式到顶点式 哎，或者是直接套我们顶点坐标公式就可以了是不是？那么接下来我们将这个一般式啊转化为顶点式， 用配方法啊，将一般式转化为零点式，那在这里老师就不写过程了啊，写出是 y 等于负五分之三倍的 s 减一百八十的，一百八十的平方 加一九四四零，那也就是说在这个二次函数关系中，当 s 等于一百八十的时候， z 最大，最大是一九四四零，是不是？好，那么我们看一下这个一百八十，它是在自变量 s 取决于范围内的对不对？ ok， 所以 它符合实际情境 对不对？好，也就是说，那这一天客房的房价就是一百八十元了。嗯，好，那这个问题咱们就解决了啊。 第三题，为吸引顾客，酒店决定入驻房客啊，赠送当地的特色礼品。每间客房赠送一份，每份礼品的成本是 m 元。在这里， m 是 小于等于二十的啊， 以至于每间入住客房的固定成本啊，还有保洁费啊，水电费这些的，每间呃，客房他的固定成本是三十元。若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大啊。咱们来先看一下这个日毛利润究竟等于什么？ 在这里啊，他给出日毛利润等于日营收金额，就是我们的 z， 是 不是然后减去固定的总成本？大家想啊，一间客房固定成本是三十，而这里客房入住数是多少呀？是不是 y， 所以 我们要减去怎么样？三十 y 还要减去礼品的总成本，那每间客房的礼品支出成本在 m 元，那有外间入住客房是不是就是 m y 呀？ 所以在这里啊，我们可以假设日毛利润是 w w 是 不是等于 z 减去三十万，再减去 m y 呀？哎，所以我们来呃，表示一下，这个 w 啊， w 等于呃 z z， 我 们用前面的这个一般式来代入啊，负五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后再减去三十外啊，三十减去三十外，再减 m y 是 不是就是减去什么呀？三十加上 m 倍的 y， 这也可以理解，是不是每间入住客房它成本有礼品的钱，还有这个固定成本，对不对？好，然后把 y 用含有 s 代数式给它替代啊。 加二百一十六 x， 然后减去三十加 m 乘以 y y 我 们前面已经表示出来了，在这呢，是不是 y 等于负五分之三 x 加二百一十六啊，然后乘以 负五分之三 x 减二百一十六。好，接下来我是不是要整理一下合并同类项吗？是吧？这里，这里有 i 含有 x 的 项，这里也有含有 x 的 项，我们整理一下啊，是负五分之三 x 的 平方，然后再加上什么呢？哎，他俩整理想一想啊，比方说我用这个负的三十负的括号，三十加 m 和负五分之三相乘的话，是负负得正，是不是了啊？是二百一十六啊，然后加上五分之九十 啊，然后还有五分之九十加上三 m， 这个整体的 s， 对 吧？它乘以 s， 然后再减去二百一十六和三十加 m 相乘，对不对？二百一十六乘以三十加 m， 好，我整理成这个样子了，对不对？当然了，你也可以把这个二百一十六呃和五分之九十加三 m 进行通分合并，也可以，或者说我把这个五分之九十转化为，哎，九十除以五写成整数的形式是不是？ 好，都可以啊，那在这里啊，这个负五分之三是二次项系数啊，那这个呢？是一次项系数，后面这个属于常数项了啊， 然后这个是我们的毛利润啊，日毛利润啊。好，接下来我们说啊，看一下他这个问题，就让你直接写出这个礼品成成本 m 的 取值范围。那我们来看一下限制性的条件啊，限制性的条件是什么？在这呢， 若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，那这是不是一个关于二次函数增减性的问题啊？ 那我们想二次函数的增减性，它是在对称轴的左右两侧，增减性是不同的，那这个日毛利润的这个二次函数，它开口向下是吧？开口向下，那么在对称轴的左侧， 它是 w 随着 x 的 增大而增大的，那在对称轴的右侧，它是 w 随 x 的 增大而减小的，那要满足在这个房价也就是 x 啊， 不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大。大家想想看这个二百和对称轴之间怎样的关系？ 思考一下，当这个对称轴只要大于等于二百的时候，只要这个对称轴大于等于二百的时候， 那你看是不是就符合房价在不超过二百元的情况下，它是 w 随着房价的增大而增大的，是不是？哎，所以在这里啊，是对称轴，只要满足大于等于二百就可以了啊。那对称轴，我们回顾对称轴的公式是什么来着？我们换个颜色啊， 对称轴，哎，我们讲对称轴的时候，一定要强调什么呢？直线啊，对称轴是直线， x 等于负二 a 分 之 b， 是 不是了？直线 x 等于负二， a 分 之 b， 那 在这里 a 是 负五分之三， b 是 二百一十六加五分之九十加三 m， 是 不是？我把这个 a 和 b 带进去算一下这个 x， 好， 那么这个对称轴它要满足大于等于二百，是不是？ 所以在这里啊，它是大于等于二百，大家可以带进去算一下这个范围， 那么算下来 m 啊，我们把它俩带进去以后， m 是， 呃，大于等于十的，那结合前面的条件，它给出 m 得小于等于二十，所以在这里啊， m 的 范围得大于等于十，小于等于二十。 好，这个问题我们就解决了啊。

二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。

hello 同学们，今天给大家讲一道上午刚刚考完的二零二六山西中考太原市二模的二十二题二次函数的实际应用。下面我们来看一下这道题目。 随着旅游热度上涨，来山西的游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加。某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大利润。经过前期调研，获得了下表信息， 建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化。设每日房价为 x 元， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 其中 x、 y、 z 均为正整数，且 x 大 于等于一百六，小于等于二百四，然后注意日营收金额等于房价乘客房入住数。 接下来我们来看一下第一问，客房入住数外间是房价 x 元每间的什么函数？也就是 y 是 x 什么函数？咱们来观察一下， x 一 百六， 一百七，一百八，一百九，二百。也就是说房价是越来越多的，是十元。 然后客房的入住数由最初的一百二十间，然后开始减少到一百一十四间，减少六间，然后又减少到了一百零八间，又减少六间，然后又减少六间，变成一百零二，又减少六间，变成了九十六。 所以我们会发现 x 每增加几， y 就 对应的是减少几，所以它满足的是一次函数。 然后接下来我们求一下这个一次函数的关系式， y 等于的是，那我们刚才发现房价每涨十元，那么对应的客房入住数就减少的是六间，所以我们很容易求出 k 就 等于的是负的。 根据 x 一 减 x 二分之， y 一 减二，可以求出 k 是 负的，五分之三是负的，十分之六约分就是负的五分之三，然后 x 再加 b， 那么这个时候我们把第一天的房间数以及房价带进去，就可以得到一百二十，就等于负的五分之三乘一百六，再加 b 五和一百六，约分，剩下三十二，三十二乘三就是九十六，就得到了一百二，就等于负的九十六加 b 了，所以可以求出 b 等于的是一百二加九十六，也就是二百一十六。 所以我们就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式，即为 y 等于负的五分之三， x 再加上二百一十六。好，这是第一小问， 那么接下来我们来看第二小问，当该酒店客房日营收金额 z 元最大时，求这一天客房的房价，也就是求 x 等于的是多少。那我们通过刚才的关系式，就是日 营收金额等于房价和客房入住数，所以日营收金额 z 就 等于的是房价。我们刚才已经知道了，它表示的是 x， 然后乘客房入住数，也就是我们刚才求出来的 y， 所以 乘起来呢，就是 x 乘上一次函数表达是负的五分之三， x 加二百一十六， 所以我们就可以化简求得是负的五分之三， x 的 平方加二百一十六， x 通过观察就得到了 z 是 关于 x 的 一个二次函数，而 a 等于的是负的五分之三，它又是小于零的，所以抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， 所以来我们计算 x 就 行了。那 x 等于的是负的二 a 分 之 b， 那 就等于负的二乘负五分之三， b 是 二百一十六， 负负得正，二乘五分之三是五分之六，也就是二百一十六，除以五分之六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘五，那就等于的是一百八十。 好，这样我们就求出了那么对应的这一天的客房的房价在对称轴处取得最大值是一百八。但是这个时候我们要注意， 题目当中给了我们房价的取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四，所以我们观察到这个时候对称轴在这个范围内，所以在对称轴处取得最大值是符合题目要求的，所以这一空的答案 x 等于的是一百八。 好，这是第二小问。那么接下来我们继续来看第三小问。为吸引顾客，酒店决定入住客房赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本价为 m 元，并且告诉我们这个成本价是要小于等于二十。 已知每间入住客房的固定成本含保洁、水电等为三十元，这是每间的，这是每份礼品的成本。若酒店希望在房价不超过两百元时，也就是 x 小 于等于二百的时候， 日毛利润仍能够随着房价的增大而增大，也就是直接写出礼品 成本 m 的 一个去值范围。大家注意注意的事项，日毛利润等于的是日营收金额。日营收金额咱们来可以看一下前面我们求过的日营收金额是什么？日营收金额就是我们刚刚所求出来的这个 z， 也就是这个二次函数的表达式。 好，咱们来写下 z， 然后减去固定总成本，固定成本的话，咱们来看每间客房的固定成本是三十元，而现在我们对应的是有 y 间客房，那就是说明是三十 y 啊，减去三十 y， 然后礼品的总成本，每份礼品的成本是 m 元，所以外间客房那么每间客房赠送一份，那么就是 m y 了。 好，这个时候我们可以去设一下，这个日毛利润是 w 元，对，设它，从而我们就可以得到一个关于日毛利润的一个关系式， 咱们来一起算一下，那就是 w 等于的是 z， 我 们刚刚算出来是负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后减去三十 y， 我 们刚刚也求出来了，是负的五分之三 x 加二百一十六， 所以负的三十乘上负的五分之三 x， 加上二百一十六，然后再减去 m， 乘上负的五分之三 x， 加二百一十六。好，这个时候咱们先来把关于 w 的 这个关系式先化解一下，负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后负负得正，那就是加他俩约分，剩下六人就是十八 x， 然后再减去二百一十六，乘上一个三十，这个最后结果算出来的是六千四百八十。 好，这个化解完，然后化解最后一个负负得正，那就是加五分之三 m x， 然后减去二百一十六。 好，我们进行合并二次项负的五分之三 x 平方一次项是这三项，我们合并完二百一十六，加十八 x， 那 就是二百三十四， 然后再加上五分之三 m 获注 x， 然后减去六千四百八十，再减去二百一十六 l 观察我们会发现日毛利润 w， 它是关于我们的房价 x 的 一个二次函数， 所以要想这个二次函数随着房价的增大而增大，那这个时候我们观察到这个二次函数的抛物线开口是向下的，这是对称轴 x 等于多少，咱们暂时间不知道。要想 w 随 x 的 增大而增大，那这个时候我们的对应的房价必须应该在对称轴的左侧， 也就是要小于对称轴。而通过题目我们分析， x 小 于等于二百，而前面给了我们 x 的 取值范围是大于等于一百六十，小于等于二百四十，所以结合这两个的 x 的 范围，也就是房价的范围，我们可以得到 x 是 大于等于一百六， 小于等于二百的，也就是说这个曲值范围要在我们对称轴的左边的时候就能够满足 w 随 x 的 增大而增大，所以这个时候我们只需要求一下这个抛物线的对称轴即可了。那 x 就 等于的是负的二 a 分 之 b， 我们来计算一下，负的二乘 a 是 负的五分之三， b 的 话就是我们刚才算出来的二百三十四加上五分之三 m。 好，负负得正化简，那就是二百三十四加上五分之三 m， 握住横上一个六分之五即可，然后我们分配二百三十四乘六分之五，然后再加上五分之三 m 乘六分之五， 好继续化解。二百三十四乘上六分之五，这个可以约分咔，约掉一个十一，这个是一个三十九，三十九乘五，又是一个一百九十五， 然后后面的话约分就得到了，是一个加二分之一 m。 好， 我们就求出来这个抛物线的对称轴就是一百九十五加上二分之一 m， 所以我们只要让这个范围在这个对称轴的左侧，也就是说对称轴一百九十五加上二分之一 m 要大于等于这个范围的最大值，也就是大于等于二百即可。满足日毛利润随房价的增大而增， 来解下这个不等式，二分之一 m 就 大于等于一项等于五，然后 m 就 大于等于的是十了。 但是这个时候大家不要轻易的把这个 m 的 取值范围写上，因为题目当中还有一个限制条件，这 m 是 小于等于二十的，所以综上所述，我们就得到了 m 的 范围是大于等于十，小于等于二十。好，这就是这个题的最后答案。 那么其实这个题的话，整体的思路的话也不是太难啊，尤其是前两万基本上就是送分题。 第二问也没有让大家去求这个日营收金额的最大值，所以这个计算量也不只是求一下对称轴即可。而最后一问的话，相当于还是我们的老问题了，构造一个新的二次函数，有关新二次函数的一些最值了，或者是一些范围的问题， 所以这个题大家应该是解起来比较容易就行了。呃，注意计算细心点即可。好，以上就是我们这个题目的讲解，大家可以把它积累起来。

太原二模第十五题我们说三种方法，题中知道了 a、 d 与等于二倍的 d、 c 知道比例，我们做平行线， 做了平行线，我们就可以知道 a、 d 与 a、 c 的 比是二比三，那么 d、 j 的 长我们就知道了，它等于 六，因为 b、 c 是 九， a、 j 和 b、 j 的 长也知道了 a、 j， 它就等于二倍根二， 那 b、 j 就 等于根二。 我们又知道 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等等腰三角形三线合一，或者我们发现角 b 是 四十五度角， d、 j、 e 也是四十五度见四十五度向等腰直角三角形。所以我们过点底做垂线， 它就有多重作用。 b、 a 长是根二， 那 d、 a 长是六等腰直角三角形，就可以知道 d、 f 的 长， d、 f 的 长就是三倍根二， 那么 a、 f 的 长 就等于根二， g、 f 是 三倍根二， a、 g 是 二倍根二， a、 f 是 根二，那么它就等于 ef 的 场三线合一。 在三角形 ef 地中，利用勾股定律就可以求出 e、 d 的 场是二倍根五， 而 j、 d 平行于 b、 f 利用平行线分线段成比例， e、 j 比 j， b 就 等于 e、 d 比 d、 f， e、 d 知道， e、 j 知道， g、 b 知道，所以 d、 f 的 长就求出来了， d、 f 就 等于二分之根。 这是第一种做法。 第二种做法，我们知道角 b 是 四十五度， 角 c 不知道，那么我们可以设角 c 为 r， 那 么这个角角 d、 a、 e 的 度数就是四十五加 r 了， 那么角 e 的 度数和角跌液度数相等也是四十五加二法 利用三角形内角和定，就可以知道角 d、 f、 b 的 度数是九十减二法 见四十五度构造等腰直角三角形，所以我们过点 a 做 b、 c 边的垂线， 我们就会发现角 c、 a 这个度数也是九十减二法， 这里就出现了相似三角形，而 ab 的 长是三倍根二， 那么 a、 j 等于 b， j 就是 三，那么 c、 j 的 长是六，所以 a、 j、 c 三边 b 为一， b 二 b 根，所以我们这个时候再过点 d 做这四边的垂线， a、 d 是 二倍的 dc， 所以 dc 与 ac 的 比是一比三，那么 d、 h 的 场就可以求出来是一，而三角形 d、 f、 h 和三角形 c、 a、 j 相似，所以一比二， b 跟五，所以就求出了 d、 f 的 场是二分之根五。 方法三、间隙法，我们要求 d、 f 的 长，只需要求出 d 点和 f 点的坐标， 而如图所示，间隙我们知道了 b 点的坐标， a 点的坐标直线 b、 a 的 表达式就有了， 所以我们重点是要求 d 点和 e、 f 点的坐标， 其中知道了 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等，所以我们在这里会可以想到过点 d 做 y 轴的垂线， 过点 e 做 x 轴的垂线，过点 a 做这条轴的垂线。 因为 ad 与 dc 的 比是二比一， ad 与 ac 的 比是二比三，所以就可以求出 d 点的横坐标是四， 二比一，又可以求出 d 点的纵坐标为一，所以 d 点的坐标就有了。其中知道 ad 的 长和 d、 e 的 长相等，而 ad 的 长它是二倍根五，那么 d、 e 的 长也应该是二倍根五， 所以要求一点坐标。我们设一点的横坐标为 x， 因为这里是个等腰直角三角形四十五度，所以这条边也是 x。 利用 e、 d 的 长和 a、 d 的 长相等，所以我们需要这个题，它是 x， 那 么这段的长 d i 的 长就是四减 x， 这一段长是二，这一段长是 x， 所以 e i 的 长就是二加 x， 利用勾股定律就可以求出 x 值为二， 那么它的纵坐标就是五， e d 直线有了，所以 f 点的坐标也就求出来了， 那么就可以求出 d f 的 长。

二零二六太原模考第二十三期我们来看第二问和第三问。 第二问判断 a、 e 与 e、 j 的 关系。从题中我们知道 e 是 bc 的 中点， o 是 ad 的 中点，所以我们知道 o、 e 是 三角形 a、 d、 f 的 中位线， 那么 o e 是 af 长的一半，而 o、 e 又和 ab 相等，所以 b 是 af 的 终点。 见到终点，我们会想到做平行线，做 b、 h 平行于 f、 g， 那么根据平行线分线段成比例，我们知道 a、 h 的 长和 h、 j 的 长相等， e 是 b、 c 的 中点，终点，它俩平行，所以我们知道了 e、 h 与 a、 e、 j 长是相等的。那么设 e、 h 长为一份， e、 j 长为一份，那 a、 h 长是两份，就可以得到 a、 e 与 e、 j 的 比是三比一， 这是第二个。第三个。当 c、 d、 j 为顶点，三角形是直角三角形时，求 d、 e 与 a、 e 的 比值。 c、 d、 j。 我 们把这个三角形找到，我们来看它的变化。 我们会发现，在变化的过程当中， 角 d、 c、 j 可能为九十度，角 d、 j、 c 也可能为九十度。我们先来看第一种情况，让角 d、 c、 j 为九十度， 我们知道 d、 c 与 a、 e 是 平行的角 d、 c、 j 是 九十度，那么角 a、 f、 j 肯定也是九十度。 三角形 b、 f、 c 和三角形 d、 c、 f。 我 们容易证这两个三角形全等 九十度，九十度公共边，然后 dc 和 b、 f 是 相等的，那么全等就说明 bc 的 长和 d、 f 的 长相等，那么三角形 a、 d、 f 就是 一个等边三角形， 那么角 a、 d、 e 的 度数就是六十度，那么角 d、 a、 e 的 度数是三十度，要求 d、 e 与 a、 e 的 比值，这是垂直，所以是根三比三， 这是第一种情况。第二种情况，角 d j c 为九十度， 那要想让角 d j c 为九十度，那么角 d j f 也是九十度，而 d j 和 j f 的 长相等，那么这是一个等腰直角三角形，而 e 又是 d f 的 中点， 所以我们知道 d e 的 长与 e g 的 长相等，那要求 d e 比 a e 就是 求 e g 比 a e。 我 们第二问已经求过了，是一比三，所以两种情况，一比三和 跟三比三，那情况三是转过来，它为九十度。情况四 和前面情况一和情况是一样的。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面杠！哈喽，各位同学，终于来到这次二模考试的最后一题，二十三题了， 这道小题我们要做的话呢，一共可以说也是三小问啊，非常经典。第一题，判断四边形的形状，那我们知道啊，这个平行四边形当中呢，还有一个长是宽，我们攒起这么说吧啊，长边是短边的二倍， 那还有 e 点是 b c 的 中点右过点 e 做平行线，那当然了，我们一定得说清楚啊，同学们，你比如说这个，呃，做平行线了，如果说你要用到欧式 a、 d 中点的话呢，是不可以拿来直接用的啊，必须得说明这个平行线分线段成比例的感觉，这才可以啊。 所以这个小题的话呢，我们得注意感受。同志们，首先判断 a、 e、 b、 e、 o 的 形状，那我们知道呢，你最特殊，最特殊也就是个菱形了，怎么证明菱形呢？首先我们看一下，根据题目当中已知的条件， e o 是 平行于 a b 的， a o 是 平行于 b e 的， 所以两组对边分别平行，你首先就是一个 平行四边形嘛，那紧接着呢，离菱形就差一组边相等了。这个也非常简单，由于一点是中点，那么 b e 就 等于 bc 的 一半，而 ab 呢，也等于 bc 的 一半，所以第一问是非常简单的，第二小题它开始上难度了啊，让我们猜想在图二当中， a e 与 e g 的 数量关系。那么同学们，这种题目我们已经见过很多遍了，一般来说，最后一问直接写答案的过程啊，直接写答案的题目直接要用到第一题的结论呐，对吧？ a e 与 e g， 我 们来感受下这种题到底该怎么做？ 在图一的基础上连接 d e 并延长，那么同志们得注意了啊，这 d e 相当于就是这个菱形的短对角线， 连接 a e 并延长的这个 a e 相当于就是菱形的长对角线，这个我们一定要分析清楚，那么只要你连的是长对角线和短对角线这么一连呀，同学们，你会发现这个角注意 o 永远是直角对不对？题目当中也有着大量的中点， o 是 终点， b 是 终点， e 是 终点等等等等这些东西啊，同学们，那么有终点的话呢，我们就知道可能会有，比如说，哎，背长中线的这种旋转型的全等还会有呢？中位线还会有呢，比如说这个像什么与终点相关的啊，各种各样的斜边中线地理都可能有。 那么这个题目当中咱们到底该怎么做？我们首先来感受一下，首先看主人公他要我们找的是 a e 和 e g 之间的数量关系， 那同志们点 e 作为终点的话呢？在这里我们来简单的思考一下，比如说呢，过点 b， 老师在这里做一下啊， c f 的 平行线，假设交 a g 于点 h。 好 了， 那这里我们知道啊，同学们由于点 e 是 中点，很容易得出三角形全等来啊，就是一个一百八十度的旋转型全等，比如我只要做一条平行线，我们就能得到三角形 b e h 一定是全等于三角形 c e g 的， 那如果两个三角形全等的话呢，我们自然也能知道 h e 的 长度就等于 e g 的 长度。 那么换句话来说，由于点 b 是 a f 的 终点，当然了，这个地方肯定同学们就得问了，说老师，这题上也没说呀，你平常就说它是终点呢，这就是需要大家证明的过程。同学们，那比如说在这个题目里头啊，我们会发现， 你看怎么证明它是个，呃，这个，这个终点，呃，其实在这个题当中呢，我觉得方法还是比较多的。同学们啊，比如说呢，这两个三角形，他们肯定也是啊，像这种什么 呃，全等啊。比如说，你看 b e 等于 c e 对 顶角啦，两直线平行的内错角啦，也是类似于这种倍长中线的一百八十度的啊，旋转型的全等。 如果这两三角形全等以后呢？那当然 c d 的 长度就等于 b f 的 长度喽，也等于 ab 长度，所以 b 是 中点嘛，虽然简单好正，但我们一定得说清楚 好，这样一来呢， b 点是中点，那由于平行线分线段成比例啊，所以这 b h 其实就是中位线了吗？大家也知道啊，当然，我们这里用到的还不是 b h， 我 们就知道 a h 的 长度 啊，就应该等于 h g 的 长度，而 h g 的 长度呢，又等于二倍的 e g。 那 其实这样一来，同学们，你想想 a e 是 什么？ a e 就是 a h 加上 h e 等于三倍的 e g， 这样一来，数量关系就有了三比一。那么注意，这个数量关系，同学们，应该在后面的每一种情况当中都是成立的， 大家这个地方得注意啊。那么接下来看第二小题，说，如果 c d g 是 一个直角三角形的话，让我们写出 d e 比上 a e 的 值。还是那句话， 这个地方是直角，同学们，永远存在，永远成立啊。那接着图二呢，我们其实可以更好的分析清楚这个直角，那我把角 c 当成直角顶点，如果 d c g 是 一个九十度的话，接下来怎么办呢？同志们，方法其实很多啊，你要找的是 d e 比上 a e， 那 我们首先来看 好，如果你这边是一个九十度，根据斜边中线定里点， e 是 中点吗？这 d e 的 长度就等于 ec 的 长度，而我们又知道这 ec 的 长度呢，是等于 c d 的 长度的，所以你一看呀，这个三角形就是一个等边三角形了， 那这就简单了，这就是六十度，这就是三十度。你说这短直角边比上长直角边是多少呢？一比根号三，也就是三分之根号三搞定了，那像另外一个图的话呢，可能会相对来说难画一些啊，老师这边也给大家画出来了，当角记为九十度的时候， 当角记为九十度的时候呢，我们依旧可以得到三角形 d g f， 它是一个等腰直角三角形 啊，你说老师他是个直角三角形，我知道等腰从哪来的呢？其实也一样啊，同学们，斜边上的中线等于斜边长度的一半，大家注意啊， 那这个时候呢，你要注意，这是直角，这个地方也是直角，所以说对于这样一个直角啊，对这样一个直角三角形而言的话呢，其实我们很快可以发掘出来啊，他应该是一个等腰直角三角形。那么此时此刻， d e 比上 a e 的 长度就是一比三，就是三分之一 啊。这个题的两个答案是出来了，但是有同学可能会不会好奇啊，说，老师，为什么角 d 在 这里不能是直角顶点呢？大家想想，角 c、 d、 g 能不能是九十度？不可能的，同志们啊，因为我们得明白一个道理，角 a、 d、 c， 他被 d、 e 这条角平分线给他平分开了。角 a、 d、 c 呢？那就是一个钝一个钝角吗？对吧？同学们，如果说你把它角平分开了以后呢？连着角 c、 d、 e， 他 都是永远小于 九十度的啊！同志们，所以这个角 c、 d、 g 的 话呢，应该比九十度还是要再小一些的啊，那不可能是等于九十度的啊！因此，这个题目只有两种情况，两个答案，你 听懂了吗？白来拐本期视频我们就到这里，祝愿大家中考旗开得胜，下个视频不见不散！

二零二六太原市二模数学第十五题首先我们来看这道题他给了哪些条件，第一个条件，角 b 等于四十五度。第二个条件， ab 等于三倍，根号二， bc 等于九。第三个条件，他给了 ad 等于二倍的 dc， ad 是 两份， dc 是 一份。 最后一个条件， d， e 等于 d， a， 最后让你求 d、 f 的 长。当我们看到第一个条件角 b 等于四十五度的时候，想到什么呀？等腰直角三角形， 所以大部分同学都可以想到过点 a 做 a g 垂直于 bc， 这样就构造了等腰直角三角形，就可以得到 a， g 等于 b， g 等于三啊，因为它是一比一，比根号二还可以得到角 b， a、 g 等于四十五度，给了 b， c 等于九，紧接着就可以求出来 c， g 就 等于九减三等于六，那么求出来 a g 和 c g 的 长，紧接着就可以求出来 a c 啊，也是 r t 三角形 a、 c、 g 中 a、 c 的 长就可以根据勾股定律求出来，也就是说它等于根号下 a g 方加 c g 方就等于三倍。根号五，第三个条件， a， d 等于二倍的 d， c， 哎，它给的是两个线段之间的这个数量关系， 我们也可以想联想到相似，对吧？最后他让你求 d、 f 的 长，那么我们可以联系相似去解决 它给的这个 cd 和 ad 的 这个数量关系，我们就容容易想到，哎，去构造相似，构造什么相似呢？构造 a 字形相似，也就说我们可以过点 a 做这个 a、 h 平行 e、 f， 它就可以得到三角形 c， d、 f 相似于三角形 c， a、 h 可以 得到 d， f 比 a h 等于谁呀？ c， d 比 a c， c， d 是 一份， a， c 是 三份，直接可以得到它是一比三，所以我们只要求出来 a、 h 的 长，就可以求出来 d、 f 的 长，那么 a、 h 如何去求呢？我们还有一个条件没有用，那就是 d e 等于 d a 好，那么 d e 等于 d a， 我 们想到了什么？等腰三角形的三线合一，等边对等角，比如说我们利用等边对等角，我们可以得到角 e 等于角 eac， 我 们又知道角 eac 是 三角形 a b、 c 的 外角，也就它等于角 b 加角 c 好，角 b 呢是四十五度，角 c 呢，我们比如说说它是而法吧，那么它就等于四十五度加而法，所以这两个底角都是四十五度加而法， 再结合两直线平行，可以得到同位角相等，也就是说可以得到这个角 b a、 h 等于角 e， 是 吧？也等，也就是等于四十五度加而法， 这样的话，我们就角 b， a、 h 呢，又等于角 b a g 加角 g a h， 也就是说角 g a、 h 等于 r 法，角 g， a、 h 和角 c 就 相等了，又又可以得到 一对三角形，相似谁呢？那就是三角形 g， a、 h 相似于 三角形 g c， a 可以 得到 a h 比上 c a， 哎，等于 a g 比 c g 就 可以求出来 a h 等于 二分之三倍根号五。最后我们再把 a、 h 带回去，刚才相似比是一比三的这个比例式中就可以得到 df， 就 等于二分之根号五， 所以正确答案是二分之根号五。最后我们再总结一下，看到四十五度，我们要想到等腰直角三角形以及边角关系，根据勾股定力去求出来一些应用的线线段。当我们看到等腰三角形的时候，我们要想到什么？等边对等角三线合一， 哎，当我们看到两条线段的数量关系的时候，可以联想到相似，最后构造相似，根据相似去求出 e、 f 的 长。

hello 同学们大家好啊，今天上午大家刚考完的这个二模这个题啊一考完就有很多同学问我这这套题啊， 第一，整个这套题的难度还是挺大的，二十一题，二十三题难度也挺大，二十二题计算量也很大。然后这里面我要挑一个二十二题给大家重点讲一下，因为这个题有歧义很多同学都过来问啊。二十二题， 呃，看一下这个二次函数的，呃压轴题二十二题这个二次函数压轴题前两小问是没有啥疑问的啊，它给了一些数据啊， x 指的是，哎房价也就是这个啊， y 指的是 根据房价不一样它对应的各方人数这个时候你会发现它是个均匀变化的啊，均匀变化的，所以你只要带两个点进去就能求出它的依次函数的解析式啊，它是依次函数 好吧你自己去算一下啊他是一次函数怎么判断他是一次函数呢？你看啊，从一百六涨到两百涨了四十但是客方人数就少了多少少了二十四涨四十少了二十四所以涨十他就少了六， 对不对？现在它降价时又多了六这不刚好是均匀变化的吗对不对？从一百七涨到一百八也是少了六这就是个均匀变化均匀变化它就是依次函数啊，找其中两个点带进去求解析式就可以了啊。解析式求出来是 y 等于负的五分之三， x 加上二百一十六。 好吧，这个可以自己去算一算啊，随便带两个点进去就能行。然后第二小问 第二小问求金额最大金额等于什么呀啊金额肯定是呃你入驻的价钱乘以入驻的间数嘛，也就是 x 乘以 y 嘛， x 是 负的五分之三， x 加上二百一十六嘛。乘 y 是 这个嘛，再乘个 x 就 这个，所以它是个二次函数。 二次函数？那问你，呃什么时候最大？二次函数求最大那肯定就是在顶点的时候吗？当然一般过程你要写成这个配方法写吗？负的五分之三， 这个 x 方加上二百一十六 x 等于负的五分之三，括号 x 方减去三百六十 x 配一个一百八十的平方再减一百八十的平方啊，等于负的五分之三括号 x 减一百八的平方， 哎，再加上五分之三乘以一百八的平方，五分之三乘一百八的平方。哎呀，自己去算一下好吧。一百八乘一百八再这个除五除以五乘以三 啊，也就是一万九千四百四十啊，所以最终是负的五分之三，括号 x 减一百八十的平方加上一万九千四百四十。前两问大家肯定是要写的啊，当 x 等于一百八十的时候 啊， y 就 会等于什么一万九千最大啊啊，这个这个时候不叫 y 叫 z 啊， z 叫最大啊， z 最大就是一万九千四百四十啊。这个时候 i 他 求的是什么？他求的是这一天客房的房价，那就是一百八啊，求的是 x 那 就是一百八。写一百八就行啊。这个 day 还没浪求啊。所以写不写后面无所谓啊，一百八要写主要是这个第三问哈。第三问 尤其是这个平时学的比较好的孩子啊，考虑的比较多啊啊我说实话考虑的比较多是 应该的啊，是严谨的，实际上是这个题目出的不是很严谨，我们一起来看一下这个题啊。这个题怎么做的呢？呃，他说酒店为了这个当地厕所要送一份礼品，然后还要去除固定成本三十块钱。呃，问， 毛利率啊，仍能随房价的增大而增大，在不超过两百的时候，那假设啊，设毛利 论啊，为 w 啊， w 毛利润等于什么呢？等于每天赚的嘛，每天赚的就是今天的这个房价 x 减去成本三十，再减去送的礼品的成本 m 再乘以 啊，此时它的，呃，住房的这个房间的数量，对吧？也就是 y 负的五分之三， x 加上二百一十六啊。这个时候其实我教过大家，这个不要用这个展开，用顶点式。呃，太麻烦了，太麻烦了。我们这个时候用焦点式啊，提一个负的五分之三，前面不变啊， x 减三十减 m， 后面是 x 减去 啊，三百六，所以顶点很明显啊，开口朝下啊，它的焦点啊，焦点是它的焦点，一个是三百六，一个是三十加 m， 所以 对称轴。是啊，对称轴就可以直接看出来啊，对称轴 就是相加除以二啊，就是 x 等于三百九十加 m 除以二 啊，这是对冲轴。那这个接下来看什么呢？看这个啊，接下来看这个，各位，他要满足，在房价 也就是 x 不 超过两百元的时候，毛利润能随着房价的增大而增大而正常，是什么考虑的啊？很多同学可能会这么考虑啊，这个是对冲轴， x 等于二分之三百九十加 m 啊，我只要让两百在哪里啊？在左边就可以，是不是两百在左边就可以？这个时候随的 x 增大啊， 它这个毛利率永远会 y x 增大增大，所以只需要列个两百小于等于二分之三百九十加 m 就 可以，是不是这个样子？注意这个啊，我觉得是错的啊，是错的，标准答案应该就是以这个思路来写的啊。 用两百小于等于这个，为什么我觉得是错的呢？因为我们之前做过两道，对吧？我也给大家讲过两道这个题。呃，他这么做有个前提。什么前提？就是这个 x 啊，就是哪个点都取得到，每个点都取得到 啊，什么意思呢？他可以取整数，取分数，取小数啊，每个点都能取得到啊，这样的话，他就满足了 这个东西，那就 ok 了。但是这个题有问题啊。什么问题呢？他给了一个 x， y z 均为整数，均为整数，这个有个什么问题呢？你比如说我先考虑 x 为整数哈，各位， 我先教大家考虑一下 x 为整数，因为上次我给大家讲过一个题，就是 x 为整数的题，我记得我也录了视频啊，大家可以回头翻主页上翻一翻啊。 x 如果是整数，所以指示的这个二次函数 啊，它就不是一个连续的二次函数，它就是由一些整横坐标为整数的点组成的啊，能不能理解这个意思啊？就是这些点组成的，所以如果你要满足它增大的增大，你两百在右边一点点也可以，这个时候让一百九十九在左边。 这个能不能理解我的意思，当一百九十九大概在左边啊，因为你从一百九十九到两百啊，中间一个点没隔。为什么呢？因为你要满足 x 为整数，所以只要满足一百九十九，对的这个横坐标比两百 x 等于两百对的这个横坐标啊，对的这个重坐标要小就行。能不能理解这意思？这个时候只要取一九九和两百的平均数， 一九九和两百的平均数也就是一九九点五啊，让这个一九九点五在对称轴的左边就可以了，就二分之三百九十加 m 啊，左边的话呢，就大于一九九点五，那此时能不能去等呢？不能啊，如果这两个点的中点啊，也就是平均数中点，如果等于一九九点五的话， 那会干嘛呢？那会导致一个东西就是一九九和两百啊，它对的 y 啊，它是相等的，相等的它就不是增大而增大，所以一定是大于，不能去等，这个时候你就会列出来三百九十加 m 大 于一，这个三九九， ok 的 啊，一九九点五，三九九，哎，对， m 就 会大于九， m 就 会大于九，对吧？我看的有问我的同学，他写的是 m 大 于九 啊，小于二十，说老师我写的是这个，呃，跟标准答案写的不一样啊，能不能给分啊？注意，如果你到了你写了这个的话，你写的这个的话，我觉得啊，就是你 至少把上次我讲的这个题听懂了啊，但是这个也不是最严谨的，为什么呢？因为他这个题太坑了啊，我感觉他改卷老师出题的时候他注意自己 出题，老师出题的时候都没想到这个东西啊，就是 x、 y z 均为整数， x y z 均为整数，要保证 y 为整数， x 一定得是五的倍数呀，能不能理解？如果你要保证 z 是 整数，只要 x 和 y 都是整数就行了吗？你要保证 y 是 整数，那 x 一定得是五的倍数呀，那 x 得是五的倍数。它 小于等于两百的时候，它就不是一九九和两百了。它分开的点两百都多少我不知道 啊，但两百斗多少？前面这个点就不是一九九斗起了，而是一九五斗多少了。能不能理解这意思？所以他这个题啊，出的我感觉有点坑啊，有点坑，从他的标准答案来看的话，老师都没 考虑到这个问题。他们，好吧，一九九点五，如果在这里，两百在这里，同样的道理啊，就是找他俩的平均数，平均数应该是一九七点五，你只要让这个一九七点五在最正轴的左边就行，所以是二分之三百九十加 m 大 于 这个。看一下啊，最近有大于一九七点五，也就三百九十加 m 要大于三九五啊，所以 m 要大于五。 m 要大于五 啊，得保证这个，保证这个，然后又要小于等于二十，所以合起来是 m 大 于五，小于等于二十啊，我是这么理解了哈，如果你要最严谨最严谨的话，应该是这么去写的。但是哈，但是，就是 如果这么考的话，我就觉得这个题太难了啊，对大家来讲太难了，几乎很少有同学去呃，考虑的到。 好吧，能考虑到那个大于九，小于这个二十小于等于二十的都已经很不容易了好吧， 所以这个题啊，就是大家就是参考一下就行啊，参考一下就行。