西城二模数学标准答案

我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！

看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

西城二模几何的是半角模型，所有准备了手拉手和中点模型的同学，你是不是忽视了这个考点呢？我们今天用一个视频来给大家去说一说，关于西城二模的这个半角模型，我们有什么样的多解思路。首先我们来先读题，他说在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 角 b 等于 ar 法，那么就标呗， ab 等于 ac ar 法， ar 法，所以这就是二 ar 法。先都给他标好，然后告诉我们连接 cd， 并且将 cd 绕点 c 逆时针旋转，二 ar 法得到 c e， 这就是二阿尔法，没问题。好，那得到的是谁？是 c e， 所以 你看我这图一里面标好了所有的角，我能知道的啊。然后以及我能得到的线段，第一问让我们去求证点 a 是 b， d 的 终点，那我们会发现看这个图，而且让我证的是点 a 是 终点，是不是也就意味着我可以去证明一下什么 斜边中线这个东西，对吧？好，所以那我接下来怎么用？这是二阿尔法。在一个等腰三角形当中，顶角是阿尔法，所以底角就是九十度减阿尔法，这是阿尔法，所以他们俩相加是九十，那这就是直角，这如果是直角的话，这是阿尔法，这就是九十减阿尔法。所以那我们接下来就可以知道 a， c 等于 a， d 又等于 ab， 所以 点 a 是 中点。结束 能明白，这是我们的第一问，比较简单啊，但是第一问一般情况下来说都会给我们，第二问的话会比较好做。我们来看照这个图， 这个图第二遍说的是什么？告诉我们角 bfe 等于二阿尔法， bfe， 这是二阿尔法，其他条件都不变，然后让我们去证明三条线段之间的关系，分别是 a cef 和 b d， 看起来毫不相关的对不对？那我们能够想到的是什么？证明三条线段关系能够想到的其实就是截长补短的方式， 所以我会想到的是，呃， b d， 对 吧？ e f 和 a c， b d 明显是最长的，但是它又不等于这两条线段相加，肉眼可见，所以呢，这个时候就从我们的猜测结论来说是不符合提议的，没办法去做的。那这个时候我们可以从哪入手？从条件入手，因为我们知道这个角是二阿尔法， 然后这个角是阿尔法，所以他就得到这个角和这个角相加等于阿尔法，看到了吗？所以呢，我能够想到的就是半角模型的思路。半角模型思路是什么？说把它旋转过去好，那这个时候就会出现两个疑问，第一个疑问就是如果这两个角相加等于阿尔法的话，我到底是把下面这个三角形给它旋转上去，还是我把上面的三角形给它旋转下来 好？所以你这个时候就会发现我用的法一就是把上面这个三角形旋转下来的好，那这个时候我还是那个思路啊，我可以把它旋转下来，那他就会变成我法一的位置，我还可以怎么样利用我第一问的思路？第一问思路是找点 a 是 终点，构造一个直角三角形，所以那这个时候我能够想到的就是我把它延长出去， 然后做一个 cp， 让这也是九十度的直角。那接下来就会有一个问题，什么问题呢？我知道辅助线如果借助第一问的条件来说是这样做，但是做完之后我们会发现这个三角形很明显跟这个三角形不全等，所以我要去找构造全等的方式。那怎么找呢？看这个图， c e 等于 cd， 这是二阿尔法， 所以我是不是这个地方也能够找到一个二阿尔法？那我就去连接了 c f。 连接 c f 之后，我要去证明的就是这个三角形和这个三角形全等，如果能够证明，那是不是就会出现这样的结论？好，那现在我讲清楚了所有的方法对不对？好，那我们接下来来看一下条件有哪些？第一个，一条边等于另外一条边，这是一条边等。 其次，第二个，我们可以通过倒角来，怎么倒角这个二阿尔法还没有用呢？这是阿尔法，这是二阿尔法，所以这个角就是一百八减三阿尔法，那这边就也是一百八减三阿尔法。如果我设为这个角是 beta， 那 这就是三阿尔法减 beta。 好， 那接下来我要去看的是这个角，这个角怎么来的？这个角它是不是就应该等于外角，也就是这 和阿尔法相加得来的，那这是多少呢？这是二阿尔法减贝塔，那再加一个阿尔法，所以这就是三阿尔法减贝塔倒角的能力啊。好，那现在一个角等一条边等，如果我想证明全等，最好用的方式是什么？ 给它构造一条边出来，能理解怎么构造？你看我是不是现在就缺一个 e f 等于 d p， 那 我就让 e f 等于 d p， 所以 我辅助线说的是延长 b d 到点 p， 使 dp 等于 e f。 好， 那这样的话，边角边是不是两个手，两个三角形就形成全等了？手拉手，对吧？两个三角形一旦全等了之后，我就连接一下 cp， 我 接下来只需要证明这是九十就好了。好，那怎么去证呢？我们会发现，当我这样做完之后，因为他们两个全等，所以 cf 等于 cp， 这个是没问题的啊。 cf 等于 cp， 好， 那接下来我又可以知道的是这个角的度数，对吧？那这个角的度数可以怎么去表示出来？那这个角也比较好表示，为什么呢？ cf 等于 cp， 所以 两个底角等， 那这两个底角等，我们又因为全等知道 c fe 等于角屁，所以这三个角都对应相等，那这个大角是一百八减二阿尔法，被平分之后，就是九十度减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法，看到了吧？这是九十减阿尔法，这是阿尔法，这不就九十度出来了吗？能理解了啊。好，那接下来我们这了有了一个九十度之后，我们就会发现 b p 是 不是就等于我们的 b d 加上 e f， 它等于二倍的 a c？ 为什么？因为点 a 是 中点就出来了，就延续了第一问的过程，所以呢，我们就会出现 b p， 也就是所谓的 b d 加 e f 等于二倍 a c。 结束了。 好，那刚刚我还说了一个什么半角模型，另外一种旋转方式，那我们去把这种方式也讲一讲啊，这种方式是什么样子的？就是我把这个三角形给它旋转过来，那因为旋转过来，所以这个角就被转移到这来了， 那整个大角二阿尔法就会得到这个角是二阿尔法，那因为上面是阿尔法，所以下面就也是阿尔法。好，这是我第一步倒角。好，那倒完角之后，接下来我要找的是什么？我找他们三个之间的关系，对不对？那这个时候其实比较邪修啊，这个方法为什么这样去说？我们会发现的是，你可以怎么做这个辅助线？ 这个辅助线很多同学可能会选择的方式是，我把 f e 延长到点 p， 是 e p 等于 a d。 好， 那现在一条边等一条边等，一条边等一条边等，我怎么去找角，对吧？我怎么去找它对应的这个角和这个角是对应相等的。 好，我现在找这个二 r r f 有 用吗？其实没有用，对吧？因为边边角不能正全等，所以你要去做倒角啊，这是第一种。第二种你会发现我用的是平行的思路，我过点 c 做了一个 c p 平行于他，那因为这是二 r r f， 所以 这两个角就对应相等了。好，那这是第一个对应相等的。 再来第二个是什么？我们是不是可以根据这样的一个条件得到这条边等于这条边？这题目当中给的已知，对吧？现在一个角一个边了，所以我要么再去证明一下谁 cp 等于 ac， 要么再去找一个角相等就好了。但是我很明显会发现，我没办法用 cp 等于 ac， 因为这是我的结论。对，我只是做做了一个平行。好，所以呢？我最好用的方式是什么？找角， 那怎么去找角？因为我做的是平行呀，所以这如果是二阿尔法的话，这是阿尔法，所以这是不是就也是阿尔法？ 能理解吗？好，这如果是二阿尔法，他加他等于阿尔法，因为他加他等于阿尔法，所以这两个角对应相等。等了，再换一下。好，那现在一个角一条边，一个二阿尔法，一个角一条边，一个二阿尔法，所以这两个三角形角角边形成全等，全等之后就会出现 a d 等于 e p。 好，那接下来因为它们平行，对吧？平行之后这是 r r 发，这也是 r r 发，所以它就是一个等腰梯形。为什么说？很邪修，对吧？我们是不是很久没在几何体当中遇到过等腰梯形了？等腰梯形就说明腰相等，所以 f p 等于 ac 好， 那 f p 又等于谁呢？等于 e f 加 e p 好， 那现在是不是 e f 边我就找到它的关系了，它和 a、 c 的 关系了，对吧？就是 a c 减去 e p 就 等于 e f， 那 e p 又等于谁？等于 ad， 所以 a c 减 ad 等于 ef， b d 呢？ b d 等于 a， b 加 a d， 所以 我们得到的是 b d 等于 a c 加 a d， e f 等于 a c 减 a d。 因为我要保留的是 b d， e f 和 a c 的 关系，不要 a d， 所以 我这两个怎么样？相加？ 相加之后 a、 d 就 消掉了，所以 b d 加 e f 等于二倍， a c 也能做好，但这个证明过程你要给它写清楚啊。好，那这是我们所说的半角模型的思路。除此之外，在证明它的时候，有同学可能会说，老说倒角，倒不明白怎么办？倒不明白怎么办的话，你如果能够知道它们是二倍关系，还有另外一种思路是什么？找终点呀，我让 a 是 终点， c 也是终点，然后我去进行 构造中位线，能理解吧？好，那在我去找完它是终点，它是终点，它们俩是不是平行关系？所以这是阿尔法，这是阿尔法，那是不是 b、 p 和 p、 q 就是 相等的？这是不是等腰三角形？ b p 当中是不是有 b、 d？ 它又等于，它又等于二倍的 a、 c？ 是 不是这个道理？所以我要去证明的就是 d、 p 等于 e、 f 就 好了。那这个时候我再去构造这两个三角形，全等就可以了。那它的证明方式其实和它的证明方式是不太一样的，能理解吧？那这个方法我不讲了啊，因为这个方法可能就是你真的实在没有思路，证不出来的时候，你往我们学过的终点模式当中去靠的这样一个思路。好，那我就先给大家去说这么多。

今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。

这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。

题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

c 乘二模的代数综合，从难度上来看呢，并不大，只需要分析参数与二之间的一个相对位置关系，这道题呢就解决掉了，是一个非常常规的增减型问题。 各位家长同学大家好，我们一起来看一下二零二六年 c 乘二模的代数综合啊。读到解析式，我们要有一个意识，这个以解析式呢，可以进行因式分解，进而我们可以得到点 a 是 负一斗零，点 b 是 三一斗零，这个呢比较基础，大家呢稍微注意一下 呃，然后告诉我们说与 y 轴交于点 d， 那 点 d 的 坐标呢，咱们也可以把它给求出来，零到五负三 a。 第一个告诉我们，当 a 等于一的时候，直接带入到这两个点，然后我们会发现 ab 等于四，这个对大家来说呢，是非常简单的，咱们在这里呢就不做过多的赘述了。 第二个我们来读一下这道题，看一看有哪些量是需要我们稍微注意的啊。他告诉我们过点 e 做 x 轴，垂线交抛物线于点 m， 所以 对于大家来说，这个 m 点的坐标应该是轻轻松松，老生常谈的问题， 直线 b、 d 与点 n， 我 们会发现呢，你读完题目之后并不知道 b、 d 的 解析式，但是在前期咱们已经解决掉了，点 b 的 坐标是三 a 斗零，点 d 的 坐标是零斗负三 a， 所以 b、 d 的 解析式应该是 x 减去三 a， 这样的话呢，点 n 的 坐标咱们也就出来了。 好，我们接下来呢，可以感受到，他在里面说的是 m 点与 n 点之间的距离，随着 b、 e 的 怎么着怎么着怎么着，对吧？所以我们要解决的是什么？ m n 的 这个长度问题，那这也是我们非常经典的，也是现在大家一直在练的问题，我们把这个式子呢放在一块加个绝对值，对吧？最后呢我们就能得到 m n 呢，它应该是 绝对值位，绝对值里的 t 方减去三 a t， 这一点呢，大家稍微注意一下啊。好，那接下来我们看一下，有哪一个点会让大家产生疑问呢？就是在这点， e 从二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 沿 x 轴的某个方向，就相当于我们要进一步的去进行分类讨论，可以向左运动，可以向右运动，他只要满足其中之一就好了， 这个和西城一模的存在性问题啊，还是蛮像的啊，对吧？从二斗零，那么最大的问题是什么？就是这个二斗零，他到底在哪？对于很多学生来说是不清楚的，所以这道题的关键点就是解决二斗零，你只要把二斗零分析清楚了，那这道题咱们就解决了， 他说的是什么呢？嗯， m n 随着 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 绝对范围。好，那我们现在呢把这个 新函数图像呢也画出来了，画了三个图，点了三个位置，大家来看一下啊，因为点 e 呢是二到零，他一定在零的右侧，那零的右侧，我们关于终结性呢，会有三个位置， 第一个位置呢是这一段，第二个位置呢是这一段，第三个位置呢是这一段，那我们就把这个 e 放在这三个位置逐个分析就可以了。 在这里大家还需要注意一个地方啊，就是 e 呢，他是从 b， 他 是从这个二度零出发的，我们就假设一点，一出使的位置就是二度零，然后呢，让 e 去运动就好了，对吧？所以你看啊，如果点 e 在 三 a 的 右侧，他的出使， 那这个时候 e 从二度零向右运动，各位，你会发现他的图像是不是呃， m n 一 直随着这个 b e 长度的增大而增大？哎，有人说，老师， b 在 哪呢？哎，注意了啊， b 在 这，对吧？注意了， b 在 这，那你会发现，当 e 向这个方向运动的时候， m n 会随着他的增大而增大，对吧？ b e 在 增大， m n 呢，是不是也在增大的？所以他往这个方向运动绝对不行。 好，那我们现在来思考一下，当你在呃 b 的 外侧时，如果你向内部运动的话，当我们这个 e 往这个运动的话，你会发现这个 b e， 他 说的是 b 长度的增大，你会发现此时 b e 的 长度是不是先变小了，那说明这个时候他也不满足题目要求。第一种情况，直接 pass ok 吧。第二个情况，我们来看一下，来明确一下，点 b 是 三 a， 对 吧？点 b 是 三 a， 我 们来看看这第二种情况行不行。 点 e 在 这，那如果说点 e 往这个方向运动的话，哎，你会发现他俩之间的一个距离是不是在在这个地方，是不是在变小？所以说点 e 往这个方向运动是不是不行的？那如果点 e 往这个方向运动的话，好，点 e 如果往这个方向运动，那我们会发现 b e 的 长度确实在变大， 他满足第一个 b e 的 长度呢在变大，嗯， b e 的 长度呢在变大，感受一下 b e 的 长度在变大，但是我们会发现，此时 m n 呢，在这个从这个地方运动的时候，一开始这个地方也在变大，后来呢，在变小，他就是先变大 后变小，而我们题目中说的是先变小后变大，所以他不论是向右这个方向不行，向左这个方向他也不行，所以他不论是向右这个方向他也不行。所以第二种情况咱们也 pass 掉了，我们来看一下第三个， 第三个注意了，点 e 在 哪呢？点 e 在 这个位置，那这个时候我们已经知道了啊，他向左运动这个方向一定是不行的，因为他向左运动 b， e 在 减小，对吧？如果你向左运动的话，这个 b 的 长度是这样，哎，一开始这么长，然后来这么长，然后后来这么长，哎呀，后来这么 后来这么长啊，再后来这么再后来这么长，对吧？这个 b 在 变小，那他肯定不行，那我们就只能干嘛呢？我们就只能向右运动，感受一下。向右运动之后呢，我们会发现，哎，这个时候 b 是 不是在变大？你看 b 一 再往这， 再往这，再往这再变大，那一开始的时候我们会发现他是在变小的，后来呢？是不是在变大的？哎，先变小后变大，对吧？他是满足咱们的题目要求的， 所以在这里呢，我们会发现点 e 呀，他只要符合这样的一个要求就行了，就是 e 点在对称轴的左边，那也就是二分之三 a， 他 要大于我们所说的二 啊，二分之三 a 要大于我们所说的二，他说的是从点 e 啊，从这个地方开始运动，向左能不能去等呢？哎，我们会发现，此时呢，他也是可以去等号的， 对吧？那最后呢，我们就算出来 a 呢，应该是大于等于三分之四，那这样的话呢，这道题就结束了，所以说七乘二摩的代数综合呀，是非常简单的啊，也希望这个视频呢可以帮助大家更好的理解我们在后续做题的时候，一定要注意参 与数之间的分类讨论啊，这个东西才是我们代宗的最核心的内容，所以说这道题虽然不是很难，但是非常的好。

跟着曹策走，方法你都有。大家好，我是曹晓老师，我们来看一下这次西城二模的带中题啊，那他的考点啊，方向啊，跟我们的二五年的中考卷其实是不变的，和我们西城一模的带中，他的考点呢，方向也是不变， 只是我个人认为西城二模的带中题，他比西城一模的带中题难度要变小了一点啊。那我们一起来看一下这道题啊，带中问题， 那有没有发现这一次呢？曹瑟给大家不同的点就是把详细过程给你写出来了，因为我们其实是按步骤得分，所以我不希望同学们就是明明就会做，但是由于我们的步骤他扣分了，那就得不偿失了。所以呢，我给了你一个参考的答案。 那同学们，我们一起来看一下这道题啊。这道题的第一问，我觉得很简单，只要把 a 等于一带进去，那么就可以把 ab 两点做标带就可以求出来，对吧？然后 ab 的 长度就出来了。 重点是我们这道题的第二问，同样是在 x 轴上有一个 e 点，这个动点过，这个动点呢，做了一条数值线，和抛物线交于 m 点，和我们的直线交于 n 点。那同学们注意了，到这里你就可以停一会了，我们自然而然就可以表示出 m、 n 之间的距离，这段数值距离。同学们，你们看一下图， 我们把相应的图形画出来了，我们准备工作都做好了。第一个准备工作就是我们的抛物线写成焦点时，那么 a、 b 点的坐标， d 点坐标就知道了，那么 b、 d 形成的直线方程我们也可以求出来了，然后画出一个这样的草图， 那么由于我们的 e 点是在 x 轴上运动，你不知道 e 点在哪，你过 e 点做了一条竖直线，那么它交直线与 n 交我们的抛物线与 m， 你无法知道 m 和 n 谁高谁低，也就是说无法知道是用谁的纵坐标减谁的纵坐标，一般是用大的纵坐标减小的纵坐标就可以，不需要绝对值符号。但是同学们，你看下这个 e， 如果在这个位置，你画一条数值线，这个是 m， 这个是 n， 那 么这个时候是 m 高， n 要低， 所以无法知道到底是 m 点纵坐标减 n 点纵坐标。 我们剪完动作标之后呢，加上绝对值符号，保证非负就行了。然后我们的做题习惯一定要注意了啊，我们把这个一般式化成我们的焦点式，你就可以知道这个抛物线与 x 轴交 t 轴了，因为自变量是 t 了， 以 t 轴交于零，零交于三， a 零对不对话？出符合题的绝对值函数，好吧，然后我们接下来再继续读题，他说啊， e 点。同学们，现在我们要开始慢慢审题了，有些同学这个题读不懂啊，他说，当 e 点从二零出发， 沿着 x 轴的某个方向运动，注意它不一定非要沿着 x 轴的正半轴，它也可以沿着 x 轴负半轴。 那么现在呢，就是你沿着这个方向，要使得 b e 的 长度是在增加的啊，而且 b e 的 长度在增加的过程当中， m n 的 距离会随着 b e 的 增加，它怎么样啊？它有两个变化趋势，先变小后变大。完了，老师我就不知道怎么做了。 那同学们，我觉得这道题首先你要注意的两个点，就是第一个点，你要注意的就是我们的， 哎，我们不是把 m n 的 表达式写出来了吗？ m n 的 图像写出来了吗？它的横轴是 t 轴，它的纵轴是长度是 m n 的 大小吗？ m n 的 大小对不对？只是我只画了横轴，没画纵轴而已。 然后这道题说的是 m n， 它的距离随着 b e 长度的增加而变小，那么 b e 两个点，你得把它放在咱们的这个图形当中才行啊。 好，那么 b 点坐标，我们知道是三 a 零，所以同学们看三 a 在 这里，所以其实 b 点坐标已经知道了，对不对？好，那这个二零在哪呀？二零在哪？ 同学们，你们看一看，在这个图中当中，你们看一下二零在哪，二在哪？那么二肯定是在这个零的右侧， 在这个零的右侧，其实就可以包括三段二可以在左焦点和对线轴之间，还有对线轴和右焦点之间，以及右焦点的右边三种情况分类讨论。你想想看，如果说我们的二在右焦点的右侧， 同学们，这个时候，那么这个时候同学们一点，首先跟二零重合吧，然后要使得 b 长度增加，那么 b e e 点是不是往右运动？ e 点在往右运动的过程当中， b e 长度增加，那么你看一下，我们的 m n 的 长度是增大的哎，它是增大的哦，所以呢， m n 随着 b e 的 长度增大而增大，我们是先变小后变大呀，显然舍去看到了吧。要这么分析，然后你再分析一下这段，如果二在我们的 对称轴和右焦点之间，那么我们的 e 点首先是跟二零重合吧，然后同学们再看一下我们的 e 点是不是要往左运动才能使得 b e 的 长度变大呀？好在 e 点往往左运动的过程当中， b e 的 长度增大，那你看对应的我们的 m n 的 长度呢？ m n 的 长度是不是先增后减呢？是不是先增加后减小的过程啊？看到了不？哎，先，你看，从二零开始出发，他先增，增完再减。 哎，我们是要先变小后变大，所以同学们，这个也不符合题，所以也舍去。那么最后一种情况，其实就是二在零和对称轴之间， 那么这个时候一点，首先跟二零重合，然后继续往左运动，使得 b 的 长度怎么样啊？变大，在 b 长度变大的过程当中，你看啊一点，在这里对应的 m n 是 这个时候，然后呢， m n 的 长度是不是先变小 后变大？复合题，所以就是这一段二在零和对数轴之间复合题，然后还会有一些细节问题，就是这个等于号能不能要， 能不能等？我总说那句话，能不能等，等了再说，你看看，如果是二在零和对数轴之间，左边那个等于号不能要啊， 零怎么可能等于二呢？对吧？那你看一下，如果二等于这个对线轴，二和对线轴重合，那么一点，首先在的位置是不是就在对线轴这个位置，然后往左运动， b e 长度增加，那么对应的我们的 m n 是 不是还是先变小后变大？ 哎，所以同学们要了这个等于号就要了，所以你看再看别的能不能等，等了再说，对，不能不能等，等了再说，自己去同类按照这个思路去来一遍， 好吧。啊，所以这道题我认为带宗题呢，难度不大，而且呢，这个正是我们，而我们在考前的前一讲，我们就讲了带宗这个中考冲刺啊， 所以我认为这个题跟我们所讲的那些题而言，其实是小卡拉米啊，难度不大。但是有同学最近在跟曹思说啊，老师，我平时一做就会考试，一做就废， 然后呢，老师，我平时时间很充裕，但是我考试总是时间不够，那是因为什么原因呢？是因为你平时锁链跟考场环境下锁考它是完全不一样的，这就导致同学们，你们锁链和锁考脱节了。 所以呢，曹森呢，在此呢，也是做了一次这样想举办一次公益模拟考试活动啊，咱们这一次公益模考的活动是干嘛的呢？只有一个目的，公益模考只有一个目的，就是帮助同学们在考前 多模拟一次考试的时候多拿几分。我们有四个年级，有初二，有中考，有高一高二四个年段的模拟数学模拟考试，这是我们四个年段的时间，我们是线上模拟考试，那么这次模拟考试你可以收获到什么呢？第一个， 你可以收获到咱们这一次考前的押题，如果是期末考就期末考的押题，如果是中考呢，就中考的押题讲义， 然后呢，配套的详细答案，以及我曹瑟辛苦录制的啊视频讲义啊视频讲解，每道题从接触题第一题到最后一题我都会给你讲到位， 然后呢，后续还会有批改复以及一对一的学情诊断。然后再次强调一下，这次模拟考试是公益的，是不收任何费用的好吧，目的就是帮助同学们在考前多考啊，多模拟考一次，让你考试的时候啊，多拿几分。 如果你感兴趣的话，那么你可以后台私信私信我，私信曹操啊。然后呢？呃，跟我联系，那我会拉你进群，然后进行模拟考试的一些准备。好吧，如果说感兴趣和我联系，拜拜，期待同学们的加入。 好，如果有对这次公益模考感兴趣的同学，那么可以跟我联系啊，欢迎参加。

西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。

北京中考数学的选择压轴题很看重技巧，因为从二零二三年开始，这道题型就改成了从一系列结论中选出正确结论序号的这种形式，这种形式就有很强的推理技巧存在。 出题老师在出题的过程中也会考虑到学生可以使用技巧，因此有些选项故意设置的比较难，而我们可以绕开它。如果你没有使用技巧，很容易产生浪费时间的现象。以西城二模的这道选择压轴题为例，我们看一看。首先第一个 结论是比较容易判断的，我们通过观察 m 点，从 a 点运动到 b 点，再运动到这个外轴上交点，这个过程中间这条线 o b 最长，也就是 m 和 b 重合，此时比较容易算出来它是长度为二，因此第一个结论正确。此时我们要结合选项了，这是我们讲的常用技巧， e 优先结合选项。因为通过观察选项，我们发现一和三、一和四是搭配的，没有和二进行搭配， 二不用看就知道 b 错，然后三和四不要着急，从三开始，我们经常讲你要去选那个比较容易下手的选项开始观察可得。三是反比例函数问题。大部分同学对于反比例函数，它的熟悉度不如纯几何，因此我们可以优先从四 入手观察四这个选项。第一个 d 大 于 b， 说明啊 m 点不可能在这一段，否则它的坐标就比 n 高好，那因此 o m 和 o n 都只能在 a b 上， o m 又等于 o n， 说明什么？找到对称轴，一个是 o n， 一个是 o m， 他 俩必然对称，只有这样才能够满足他俩相等。由此我们就可以得出这两个点他俩的纵坐标相加 等于中间的这个点 p 的 纵坐标二倍，他俩的横坐标相加等于中间这个点 p 的 横坐标的二倍，而这个 p 点的坐标很容易判断， 它的横坐标是二分之三，因此 m 和 n 的 横坐标之合就是三四是对的。由此我们快速选出本题答案为 b。 这就是我们常讲的常用技巧，一是优先选择易判断的结论，二是结合选项进行判断。 类似的技巧在我们的元东带东、几东新定义中都大量出现，大家只有把这些技巧掌握了，在考试中才能更好更快的做出这些题。

a 二零二六届西城高三二模圆锥曲线压轴体 等基问题，很多同学不具备等基变换的思想，一同疯狂计算，结果壮志未酬。事实上，这两个三角形 b p n 和 b p f 它们是共底，要证明它们等高。也就是说， n 点到 b p 的 距离与 f 点到 b p 的 距离相等， 要计算两个点线距离，当然计算的有点大，因此面积的割补很有必要。高考嘛，考一点初中知识很合理，高中初中不脱节吗？好，我们具体来看。 第一问很简单，椭圆的方程。第二问，我们将 b p 延长与 n f 交一个点 t， 刚才我们要证明 n 到这个之间的距离与 f 到之间距离相等，其实就是证明 n t 等于 tf。 现在我们用等级变换的思想，如果能够证明 t 是 n f 中点，那么 n pt 与 f pt 这两个三角形等底共高，而 ntb 与 f t b 这两个三角形同样是等底共高的，这两组三角形一减，不就是题目中那两个三角形面积相等吗？ 哎！于是我们通过等级变换，设那条直线与 x 轴交于点 t， 横截式取点力带入销元整理，由判别式大于零。两根和两根基。注意到，这个两根和与两根基显然有一个简单的关系，这个关系后面一定会用到 对于 b p 的 直线方程。另外，等于零就可以求出 t 点坐标， 经过简单的代入计算，可以得到 t 就是 n f 中点。由刚才那两组三角形面相等作叉，可得到所求的这两三角形面相等问题解决。 当然，我们还可以有另外一种思想，把刚才的 a p 延长交于 b f 与 q， 如果 p 是 a q 的 中点，那么这个三角形和右边这三角形又是等底共高的，下面这个三角形和这个三角形等底共高， 把这个这个加起来，等于这个加这个，就是这两个三角形面积相等。哎，这是把原来两个大三角形分割。于是呢，我们有这样的正法， 把那个焦点交到 q， 仍然是横截式，支取连力，带入消元，整理两根和两根基， 把那个点求出来，证明它是终点，然后两组面积相等，它们的差，当然面积相等 好。其实对于这道题而言，它的高等几何背景是，调和线数平行截终点，极点，极限 过极点。做一条直线，与椭圆交于两个点，与极限交一个点，加上极点。本身四个点，调和点列，现在再找一个点与调和点列四个点，得到调和线数四条直线， 现在第五条直线与其中一条平行，那么与剩下三条相交。哎，中间这个点就是另外两个点的中点， 这是高等几何的背景。调和线数平行截中点。看一看我们这几年的北京高考题。二零二零年， b 是 p， q 的 中点，二零二二年， d 是 mn 的 中点，二零二四年， h 是 b， d 的 终点。好，对于等级变换，如果题目当中出现两个三角形的面相等，我们要从变换的思想或者它们共底等高，或者分割拼补。 当然，他的高等级和背景是调和线数平行。接重点。好，这是我们高考数学考前视频更新计划，欢迎关注分享！二零二六高考，我们创造辉煌！

这是一道旋转模型边的题，那这组边一定是全等的对应边，那我们找到四点共圆，外角等于内对角，那我们就找到了对应角，加出弧线， 那有一组边有一个角，那再把第三边连上，那自然而然这就是那全等三角形。 好，在辅助线迅速的时候，我们可以根据条件来选择，这个我们可以找 边角边。

我们来看一下 c 乘二模的几宗啊，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 两条红色的线段是相等的 角， b 等于 r 发，马上标一下角度，哎，等边对等角，那我也是 r 发，顺带我要把哎能标的角我尽量的都标出来啊， 那么这一个角是不就是一百八十度减二 r 发呀，那这个外角哎，就等于二 r 发？好，我把第一个三角形都已经处理完了，我继续往下看， d 呢，为 bc 延长线上 b， a 延长线上的一点连接 cd， 并且将线段 cd 绕点 c 旋转，二 r 发，得到 cd。 好， 那么我们得到了一个旋转的角度， 就是二 r 发，并且还能得到两条相等的线段，就是 c、 d 等于 c、 e。 我 们来看括号一，如图一， 当点 e 在 线在 a、 b 上时，求证点 a 是 b、 d 的 终点，哎，想求点 a 是 b、 d 的 终点， 说白了，我就是要求证 ab 等于 ad， 对 不对？好，那么接下来我们来观察一下点 a 啊，因为点 a 是 主角嘛，对吧，我先看一下它，哎，点和点 a 相关的有两条线段，一条是 ab， 一 条是 ac， 它们两个已经是相等的了。那好，如果我要是证明这个 a、 c 呢，还等于 a、 d 的 话，那我的点 a 是 不是就是 b、 d 的 中点，对吧？ 想要求证 a、 c 等于 a、 d， 说白了，我就是要去证明三角形 a、 c、 d 是 一个等腰三角形，对不对？哎，或者有的同学说，老师，我看这里很像九十度啊，那能不能去用斜边中线呢？ 无论你用什么，说白了，第一问，是不是都是倒角啊，对不对？哎，那么我们就去倒一下角呗，好不好？ 好，我们来看一下啊，因为啊，咱们的，呃，这里是二 r 发，对吧？ 呃，然后呢，我们的旋转角度是二 r 发好，那么说明我的这两个底角是相等的，因为 c d 等于 c e 嘛，所以每一个底角的度数都是九十度减 r 发， 这里也是九十度减 r 法啊。接下来我们来关注三角形 a c、 d， 因为这里是 r 法，这里是九十度减 r 法，所以我想求得这个角的角度的时候，我就用一百八十度减 去它，再减去它，那么我也得出来这个角的度数是九十度减二而发等角对等边，所以 a d 就 等于 a c 了，对吧？哎，你的 a d 等于 a c， 你 的 b a b 也等于 a c， 所以 我的 a b 就 等于 a d 了。那第一问，点 a 是 b d 的 终点，我们就非常 easy 的 就求出 好，我们来看第二个问，如图二，当点 e 在 b d 的 下方的时候，点 f 在 ab 上，若角 b f e 等于二 r 发。好，这里是二 r 发，用等式去表示 a， c， b， d 还有 e、 f 之间的数量关系，并证明。那么我们这三条线段的数量关系啊，通常是两短等于一长，对吧？ 那么这道题我用肉眼也知道啊，我肯定是两条短的，是要大于一条长的，对不对？哎，那到底它们之间有什么样的数量关系呢？我现在有点猜不出来，猜不出来的时候，请你再整理一下题干的信息， 把该标的去标出来啊，看看题干能给我什么。首先， ab 等于 ac 角 b 是 等于 r 发的，那说明我这个角也是等于 r 发的。 然后 c d 又等于 c e 两条蓝色的边相等，并且 c d 和 c e 之间的角度是二 r 发，哎，坐到这的时候，请你停一下吧， 关注一下，中间的这个小角是 r 发哎，外面的整个的大角是二 r 发，你会发现，哎，这不是一半的关系吗？也就是我们所谓的绊脚模型，对不对？哎，遇到绊脚模型的时候，那我应该怎么去做辅助线呢？ 因为我们北京的中考是必须要求这个三角形的全等的，对不对？那给了一个绊脚模型，我们应该怎么去做全等三角形呢？来，老师把这个绊脚模型拆到这里啊，来，大家一起看看， 我两条红色线段之间的夹角是 r 发，两条蓝色线段中间的夹角是二 r 发， 你会发现，哎，这是我们的 r 发，等于二 r 发的一半，所以叫做半角模型，并且这个二 r 发被拆开了，中间占了一个 r 发，剩余的 r 发被拆成了两个部分，对不对？ 好，那么我们令其中的一个小角为点角，另一个小角为叉角，那么我们应该怎么去构造全等呢？孩子们， 半角模型其实就是在提醒我们去做旋转呢，什么意思哎，我这里有一个完整的 r 发，如果我把这个点角和这个叉角，他俩也等于 r 发，把他们两个合到一起， 我是不是我这两个角就相等了，对不对？哎，那我应该怎么去合呢？孩子们，也就是我要把上面的这个三角形哎旋转到下方来，对不对？这样我就能构成全等三角形了。那我们来看一下怎么去旋转。 首先这有一条蓝边哎，那么我让这条蓝边这样逆时针的旋转，和这一条蓝边重合，嗯，然后呢，我让 这个三角形啊里的这条红边呢，也这样逆时针的旋转啊，然后来到了这里， 大家看一下啊，我让他，哎来到了这里，好，然后我再去连接这两条线段的端点， 我们来看看这两个三角形是不是就是完全全等的了，而且这里，哎，这里的叉角现在已经转化到这里了， 那么点角加叉角是不是等于 r 发呀？对吧？那么我的这个 r 发角就做出来了，并且 我我第一个啊，是让点角和叉角合成了一个整个 r 发，而且我做出了两个全等的三角形，这就是我绊脚模型的一个做法啊，那好，回到这个题，我也是这样啊，假设这里就是一个 点角，好吧，那我用别的颜色去画啊，这里是一个点角，这里是一个叉角， 整个为二 r 发，中间为 r 发，那说明，哎，我的点和叉加起来等于 r 发，对不对？好，那么我现在遇到绊脚模型，我的想法就是让我的点角和我的叉角 是要组合在一起的，形成另外一个 r 发酵，对吗？那我应该怎么去做辅助线呢？因为我要旋转呢，我要使得这两个三角形是全等的呀，对不对？哎，那么所以我做辅助线，我可以延长 f e 之 k， 使我的 e k 是 等于 a d 的， 对不对？好，那么我的这一条蓝边 c d 是 不是已经旋转到 c e 的 这个位置了？ 好，那么现在在这两个三角形中，有两条边是相等的，一组蓝边，一组 a a d 和 e k， 现在还缺一个角，所以接下来我就是要进行倒角了，对不对？好，那么我把能标的角我现在都标出来，好不好， 我们来看一下啊，因为它等于 r 发，它也等于 r 发，所以作为外角的这个角，它是等于二 r 发的，对不对？好，那你这个角呢？是 r 发，这个角是二 r 发，那么我们的这个角第三个角 是不是就等于一百八十度减三 r 发，对吧？对，顶过来这个角也是一百八十度减三 r 发。好，那么这一个角我应该怎么去求呢？这一个角是不是整体为 二 r 发呀？对吧？哎，你要减去中间的这个 r 发，还要减去点角，那也就变成了 r 发减去一个点角。 好，那我们来看一下啊，这一个角，哎，这一个角是不是一，他是他等于一百八十度减三 r 发，再减去啊，再加上 r 发减点角，对不对？ 所以他得出来的是一百八十度减去二 r 发，再减去一个点角， 好，我把这写在外面吧。啊，这个角度等于一百八十度减去二二发减去点角，那么我们这个角呢？大家看看，你这里呢？是二二发，对不对？这里是点角，所以这个角也等于一百八十度减二二二发，再减去一个点角， 所以，哎，我们的这两个角也相等了，那两组边相等，两组角相等，所以 a s， a s 这两个三角形全等了，对不对？好，那么这两个三角形全等了之后，我把没必要的辅助线给它擦一下， 这两个三角形全等了之后，咱们就能得，哎，这个点角是不是等于这个点角，对不对？哎，那刚才这里是叉角吧，对不对？你的叉加点是不是 r 发呀？ 然后这里是提利给我的 r 发，所以我整个的这个大角就是 r r 发啊，整个的大角就是二 r 发， 我再重新画一遍，啊，整个大角是二 r 发。好了，那么因为刚才全等，说明我的这个角和我的这个角也是相等的，对吗？你刚才的这个角，它不是等于 r 发加上 r 发吗？对不对？它等于二 r 发，那么这个角也是二 r 发。好，现在同学们关注一下啊， 你等于二二发，我也等于二二发。并且孩子们，刚才啊，这里是二二发，这里也是二发，二二发。所以我们出来了两条线段是平行的， 对不对？哎，两条线段平行，并且我们这个角也是二二发，哎，两个底角还相等，这是不是出现了一个等腰梯形啊，对不对？哎，等腰梯形的底角相等，并且两条腰是相等的，那也就是说明我的 f k， 我把它重新描一下啊，我的 f k 就是 等于 ac 的 啊，我的 f k 是 等于 ac 的。 那有的同学说，老师啊， 我这这老师能用吗？我也没学过这等腰梯形，这这两条边相等，我不知道能不能用。那如果你觉得不能的话，咱保险一点啊，咱可以这样去做， 我做两条垂线啊，也就是从点 f 出发，哎，向这里向 c k 做一条垂线，从点 a 出发，哎，向我的 c k 去做一条垂线， 那么我们来看，这里是垂直，这里是垂直，并且呢，我的 b d 还平行于 k c， 说明上面的角也是相等的，对不对？ 那也就得出了中间的这个四边形是一个矩形，对吗？矩形我们可以得到的就是边是相等的，对不对？哎，矩形的对边是相等的。好，我把这里面给他标上字母， 也就是能得出我的 f m 是 等于 a n 的 啊， f m 是 等于 a n 的， 并且我这里有一个二 r 发，这里也有一个二 r 发，还有直角，那么我的这两个三角形也就是全等了啊，也就是咱的 f k m， 哎，也就全等于 n c a n c 了啊，这两个三角形全等，那你看是不是就解决了刚才咱们的疑问，就是 f k 和 ac， 如果我不能用等腰梯形去说明他俩是相等的，那么我是不是可以用全等三角形就能得出来这两条边是相等的了，也就是 f k a 就 等于 ac， 那所有该证的我都证完了，接下来我就可以干什么了，开始去导边了呗，对不对？我们来看，因为结论边里有 b d， 那 么我们先来看一下 b d 等于什么？ b d 是 不是等于 ab 加上 ab 啊，对不对？哎，好， ab 又等于谁呢？往结论边上去看啊，结论边里有 ac， 所以我赶紧把 a b 给它换成 a c， 对 不对？那么此时我的 b d 是 不是就等于 a c 再加上 a d 了，对吧？但是我的结论边里并没有 a d 是 有 ef 的， 那所以我需要把 ad 换成和 ef 有 关的，对不对？好，因为刚才三角形全等，我们能得出来 ad 是 等于 e k 的， 没问题吧？所以第一步我先把 ad 换成 e k， 那 么 e k 又等于谁呢？ e k 是 不是等于 f k 再减去 ef 啊，对不对？哎，也就是这里是 f k 啊， f k 减去 ef， 嗯，好，那么 f k 又和谁相等呢？我们第二次全等，是不是证明了 f k 是 等于 a c 的 呀？ a c 正好是结论边需要的哎，所以我把 f k 又换成了 a c， 那 么此时我的 e k 就 变成了 a c 减去 e f， 对 吧？那么接下来我就把所有的最后的导边的结果写出来， b d 也就等于 a c 再加上 a c 再减去 ef， 那 最后的结论是不是 b d 就 等于二倍的 a c 减去减去 ef？ 那 么这道题我们就做。

下班了，做套卷子放松一下啊。二零二六年西城二末 第一题，集合集合， a 是 这个，集合 b 是 这个，那么看选项应该是 a 和 b 之间的关系。那我就只能把 a 先写一遍， 当 k 等于零的时候，要的是 n 啊， k 等于零的时候是一，公差是四，所以是一五九十三， ok， 差不多了。集合 b 是 这个，所以很明显 b 不 应该在 a 里头，所以 a 排除。 那 b 在 a 的 补集里头嘛，很明显也不在，所以 b 也排除。 a 交 b 等于 b， a 交 b 等于 b， 很 明显也不对，所以这道题选 d。 第二题，嗯，比较简单的方法啊，我把二 i 挪到右面去， i z 等于三减二 i， 然后再除以 i 的 话，除以 i 的 话，它也会除以 i， 然后它这把 i 把 i 消掉， 所以三除以 i 的 话，就是负三乘以负一，除以 i 消一个，所以等于 负二减三 a， 所以 选 b。 当然还有别的方法啊，按照咱们上一套题海量题的做法，把 a 提出来，然后有一个 z 加二等于三，所以乘 a 是 正转九十度，嗯，后续的你们自己算就好了。 第三题，双曲线，这个的右顶点一零，其渐近线，渐近线化一为零， y 等于根三 x， y 等于根 x 是 六十度，所以大概是这个样子，然后这个点在这里，所以跟根号三应该有关系吧，所以这里边只有 c。 第四题，平面直角坐标系，嗯，求贪心的二阿尔法。那我现在就要贪心的，贪心的等于负二，所以上面是一个负四，底下是一个一减四等于三分之四，选 a。 第五题，函数这个东西， r 上单调递增， ok， 设一个三 x 减五，比如说它是单调递增的， 那么 f 负 x 就 应该是负三 x 减五，然后减去一个三 x 减五，就变成三 x 加五，所以等于负六 x 负六 x 是 奇函数，所以偶排除。单调递减，所以增排除。选 c。 第六题，长方形四比一。好，大概画个图， a， b， c， d， e 是 b， c 边。哦，画错了。嗯，那这就是 b， 这就是 d， e 是 b， c 边上一点问 e， a， e， d 向量。哦，那终点当且仅当，嗯，那最小值应该是在中间的时候，然后它的和应该是这，所以应该是二，所以第六题选 b。 第七题设函数。这个东西啊，要求倒吗？ 若不等式 f x 小 于零的解集为空集哦，那就是恒大于或等于零。 但是这个东西它是一个单增的一次函数，这个东西是一个对数函数， 怎么可能恒正呢？除非它俩的零点合并了，它俩的零点合并了的话，那就是 x 这边是 a， 然后这边呢？如果让这是一的话，因为找零点嘛，这是一，那么所以 x 就 应该等于负 b 加 e， 也就是 e 减 b， 这俩相等， a 加 b 等于一， a 加 b 等于一的话， a 排除， b 排除。哦，考均值啊，所以选 c。 第八题，这是正方体 o， m， g 和平面二 f 八个顶点存在六个 到平面 alpha 的 距离相等和平面 alpha 将正方体 omega 分 成体积相等的两部分，八个顶点，我大概画一下，八个顶点有六个。 嗯，这个让我想起来以前的一道题，就是圆上有几个点到直线的距离相等，比如说我们现在画一个这个，那这只有一个点，两个点，三个点，所以我现在想到的是这个，我就可以 画一个怎样的面呢？ 这样的一个面，那这个面有几个点到它的距离相等？注意，面是无限大的，所以一个点、两个点、三个点、四个点、五个点、六个点，所以就是有六个点到它的距离相等，但是它也没有分正体积相等的两部分， 那肯定不是充分。那分成体积相等的两个部分的话，一定吗？这个我们反过来思考一下，体积相等的两部分一定是，那一定不啊？呃，不一定啊，所以我们其实 这个就是随便划了嘛，对吧？嗯， 体积相等的两个部分，那就这样嘛，对吧？中间这个面这样的话只有一个点，两个点、三个点、四个点，或者是这四个点，这四个点是零，这四个点是，嗯，一样的，反正 肯定是既不充分，也不必要。第九题啊，又开始讲了，对不起，速算，速算。 某工厂二零二三年的产值为 a， 然后定制一个时间规划，预什么巴拉巴拉，促使年平均增长是百分之 x， 然后以期二零三三年的年产值到达它的四倍，所以会有一个 a 乘以一个 一，加上百分之 x 的 十四方等于四 a 出现。然后实践中因为逐步向好，年增长率超过预期 工厂二零二五年。所以这道题数字很重要，二零二五年恰好达到二零二六年的即定目标。也就是说他两年干了三年的活， 两年干三年的活的话，那应该是， 嗯，哦， ok， 他 问的还是二零三三年，所以问的是这个东西。也就是说我把 a 给他，大概的消一消，十次方等于四，十五次方等于。嗯，先开方嘛，所以五次方等于二， 那十五次方就等于八，所以八 a 选 b。 第十题已知，无穷数列 a、 n 的 各项均为正数，且对于任意的 i， 正整数 i 对 不起，挡住了正整数 i 总存在，总有正整数 s t 满足 a i 等于 a， s 加 a t 则， 嗯，看选项， a 可能是常数列， b 可能是等差数列，那常数列其实就是等差数列啊，所以 a 要对的话， b 肯定就对了，所以 a 不 能对。逻辑排除法， 如果他要是等差数列的话，各项均为正，而且是个无穷数列，所以他的 d 必须得大于等于零，等于零的话就是常数列了，所以就只能大于零。那大于零的话， a 一 就是最小值， a 一 最小值的话，是没办法满足 a 一 等于谁加谁的，所以 b 也错。 c 不 可能为等比数列， d 可能为递减竖列。这两个肯定有一个是对的，哪个是对的呢？假设 c 是 对的，它不可能为递比等比竖列，那 d 就 错了，它结果就是也不可能为递减竖列。 那这道题问什么呢？所以我猜一下，如果 d 是 对的，可能为递减数列，那 c 就 不对，也就是说可能也为等比数列。 既递减又等比的话，我们， 嗯，假设 a 一 等于 a 二加 a 三，那么 a 二的话就是 a 一 q， a 三的话就是 a 一 q 方， 然后 a 一 消掉，也就是出现了一个 q 方加 q 减一等于零。求根公式二， a 分 之负， b 加根号五。 嗯， q 是 正的吗？如果是负的话，就是摆动数列，所以如果是这个的话，我看一下能不能做到。所以 a 一 还是一， a 二的话就是二分之根号五减一， a 一 a 三的话就是它的平方四分之六减二倍，根号五消一下，好习惯 a 一， 那这样的话我把 a 二和 a 三加一下，它等于二分之根号五消掉了。三减一等于二，所以刚好等于它，所以不可能等等比数列是错的，因为这个就是等比数列，那可能为递减。 那咱们看一下这个东西是不是递减 a 一 二分之，根号五减一，零点六一八。 嗯，是 dj 雪地。

好，我们来看西城二模的这道带宗啊，它还是有一些创新的，我们一起来看一下 在平面直角坐标系中抛物线啊，这个抛物线，哎，但是在这里面要注意的是， a 大 于零，哎，抛物线开口是向上的， 它与 x 轴交于点 a 和点 b， 并且又给了一个限制，点 a 是 在点 b 的 左边， 那么一会我们在画图的时候，一定要分清 ab 啊，与 y 轴交于点 d， 好， 那么括号一，当 a 等于一的时候，求 ab 的 长， 因为 a 等于一，所以我把 a 等于一带入这个抛物线啊，那么抛物线就变成了这个，对不对？哎，那么我想去求 ab 的 长，我就把点 a 和点 b 的 横坐标我们给表示出来呗，因为 ab 是 一条横着的线段，所以我用大的 横的坐标减去小的这个 a 点的横坐标就得我们 ab 的 线段长就等于四啊，但还是非常的轻松的。 但是我做到这里的时候，我还是会把我们的原本的抛物线进行一个因式分解，给它整理一下啊， 用十字相乘法把它整理成这样，那么我就可以得出，哎，我这个抛物线与 x 轴的交点，第一个是 x 等于负一，第二个是 x 等于三 a， 并且因为 a 是 大于零的，所以三 a 一定是在负一的右边好吗？哎，我们做到有备无患啊！好，接下来我们来看第二问， 过点 e， t 到零做 x 轴的垂线交抛物线于点 m， 在 做第二问的时候啊，你的图一定是要画出来了，我们要看清楚，我们要研究谁，好吧，一句话一句话的去画 好，那么因为点 e 不知道在哪，所以我随便的找了一个点 e， 它的坐标是 t 豆零。然后我做一条垂线，交抛物线与点 m， 我 已经看到点 m 了，对吧？ 交直线 b d， 说明我的点 b 和点 d 是 要连接起来的，哎，于点 n， 好，那么既然已经提到我们的直线 b d 了，一会呢，我们还要研究这个线段的长，所以我首先先把 b d 的 表达式先给求出来，因为它是一条直线，所以我设直线 b d 的 表达式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。 然后将点 b 的 坐标也就是三 a 逗零和点 d 的 坐标零逗三 a 代入之后，那么我们的这条直线的解析式啊，就求出来了，是 y 等于 x 减三 啊。那好，我的刚才的这条垂线呢，与我的直线交于点 n， 这个点是点 n， 我 又看到点 n 了， 好，接下来，当点 e， 呃，从点二到零出发，沿 x 的 某个方向运动时，若 b e 的 长度逐渐增大，且点 m 与点 n 的 距离随 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 取值范围。我的天呐，太乱了是吧？ 没事啊，太乱的时候一句一句去翻译，当点 e 从点二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 这就是我们这道题与平时的题不一样的地方，这是创新对不对？好点 e 啊，现在我在途中，我把点 e 标在了这里啊，那他向某 x 轴的某个方向运动， 要么就是往左，要么就是往右呗，是不是这个意思啊？现在我已经知道了，方向只有两个，左和右。好 b， e 的 长度逐渐的是增大的。那我们来看啊，点 b 是 谁呀？ 点 b， 这不正是我抛物线与 x 轴的一个交点吗？对吧？点 e 的 横坐标是三 a， 好， 那我们的 b e 想逐渐的去增大，那是不是 a 也是在告诉我们，要么你向左走，要么你向右走， 那么到底向哪走呢？我们继续看一下啊，点 m 和点 n 的 增大，先变小后变大。 好，这里面你要提炼出两个东西，第一个就是我 b e 的 长度要持续的增大 啊，接下来点 m 和点 n 的 距离要发生，哎，两次变化，先变小后变大，看到了吗？所以我要满足这两点呢。那好，那说白了，到现在为止， 我是不是还得把我的 m n 的 距离去表示出来啊，对不对？那表示 m n 的 距离，那不是我经常练的吗？对吧？那也就是用点 m 的 呃，纵坐标减去点 n 的 纵坐标，因为不知道谁上谁下啊。在这里面还要注意下 我的点 m 和点 n 在 上吗？也未必啊，你让他走一走，你会发现，哎，点 m 会上的， 所以因为不知谁上谁下，我需要加一个绝对值。好，那么我们需要把点 m 和点 n 的 纵坐标都表示出来，最后就得到了 m n 的 长度应该等于 t 方减三 a t 的 绝对值啊，好， 那么接下来我的点 m n 我 已经表示出来了，我已经知道了啊，这个解析式就是关于 m n 长的线段长的新的函数，对吧？那就画新函数的图像呗，对吧？首先它的开口也是向上的， 并且呢，它与 x 轴的这个交点，一个是零，一个是三 a， 三 a 大 于零嘛，所以三 a 一定是在零的右边的， 并且我心抛物线 a， 它的对称轴 t 是 等于二分之三的，而且我找到了我的点 b， 我 的点 b 的 坐标红坐标不就是三 a 吗？正好就在这里，对不对？点 b 的 位置我是确定的，接下来我再去看点 e 啊，点 e 是 怎么回事呢？他是从二斗零开始出发的，要么向左走，要么向右走，也就是我点 e 的 这个横坐标二到底是在哪里呢？ 他是不是可以在这里啊？那有的人说，老师，他可以在这里吗？当然不行了，这是零啊，你怎么能在零的左边呢？所以，首先你的点 e 一定是啊，他是在零的右边，那在零的右边一共分成了三段区域， 这是对称轴。零到对称轴，这是第一段区域，对称轴到三 a， 这是第二段区域。然 然后三 a 的 右边，这是第三段区域。那我就进行一个分类讨论呗，对不对？哎，好，当我的点 e 就 在这的时候，我们看看符不符合。首先先看 b e 啊，它 b e 的 长度不是要增加吗？ 好，我们来看一下点 b， 你 是知道的，点 e 现在在这，那往左走，我的 b e 是 增加还是向右走？我的 b e 是 增加的呀， 如果我向右走的话，那 b e 是 不是离得越来越近呢？所以我知道了啊，我向左走就可以了。哎，那我的这个 e 点就可以向左走了。 那好，我们来看看。首先我确定了点 e 要向左走，我再去关注一下 m n 之间的距离是否是先变小再变大。好，来，我们看往左走，是不是 m n 先变小，然后再变大呀？符不符合要求啊？ 这是不是符合的呀？对不对？哎，那说明这一段是符合的，那也就能得出来，在这一段里， 我的点 e 的 横坐标二是要小于等于二分之三 a 的， 对吧？要小于等于对称轴的，那么得出来，我的第一个 a 就是 大于等于三分之四的啊，这是符合的。 好，接下来我们让点 e 来到我们的第二个区间啊，来到第二个区间，哎， 稍等片刻，好让他来到第二个区间好了，那么接下来再去先分析 b e， 再分析 m n 啊，要做到有序的分析，我们看这个 e 要往哪走？这条子线是往左走还是往右走，它能 一直是增大的呀，是不是还是要往左走呀，对不对？哎，想啊，他是要往左走，那好，分析完 b e 之后，再去分析 m n 是 否先变小再变大。 我们来看 e 在 移动的时候， m n 是 不是先增大呀，然后再减小再增大呀，对不对？不符合提议啊，不成立，所以第二段区域，哎，他就是不成。 好，那么当我的这个点 e 啊，来到区域三之后，我们先确定 b e 的 运动方向向左走还是向右走才能一直增大啊？假设他现在向左走，他是不是要 先减小再增大呀，对不对？不符合。那么向右走呢？哎， b e 确实是一直增大了，然后，哎，确定 b e 的 方向之后，向右走之后，我们再看 m n 是 否先变小再增大。我发现，哎，不行啊，一直增大，一直增大， 也就是我的 m n 一 直在呃，这条上升的这条线上，所以是不符合的，那么他也是不成立。所以，综上所述，只有第一种情况是成立的，那么 a 就是 大于等于三分之四。

我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。哎，我这有一个免费的公益课，你可以加我报名参加，如果你是新初三的同学哎，你可以咨询牛哥的暑假课程哦。好，我们回到这个确定性， 其实确定性方法就是考试多题一解的秒杀大招，比如这道西城二模的解冻，这道题正常做逐步分析，至少十五分钟啊。那么利用确定性呢？利用确定性这个题只需要把图形看明白就能秒，而且我还能给你讲出两种方法来， 就从图形来看就行了。哎，我们看啊，这个图形中有这么几个神奇的角，这个角 r alpha， 这个角 alpha， 然后这个角 alpha， 你 看到了什么？图形里边是不是看到了两种情况，第一，在 c 处有半角模型， 在 c 处有半角模型。第二呢， f 和 c 处有对角互补， 它两个有本质的区别哦，半角模型两侧全等，一次对称，一次旋转，你看确定性哦，确定性就是这个套路，然后对角互补就是手拉手。 好，那么我们就从这两种方式入手呗。哎，我们先做，其实对角互补最简单哦，答案也用的对角互补，那我们就非得先做半角半角模型好，半角模型的话，哎，是不是？你看，就是 c 处一个阿尔法，一个阿尔法，那我就把它， 我就给它，把它，把它呃搞成二倍角，把 a c 沿着 b c 对 称到这个位置上，这个点点点 p 吧，这个点是点 p？ 好， 哎，你看对称过来之后，对称过来之后看角啊，是不是就很容易能够证明三角形 c a d 全等于三角形 c e p 啊， 非常容易证明， ok， 证完了之后，哎，这俩角相等，这俩角相等，这俩角相等的时候，哎，这是多少度啊？这是阿尔法，因为这是阿尔法，所以这是阿尔法， ok， 哎，好巧啊， f 处又是 r， 所以 能进一步做出 a b 平行于平行于 pc 啊，而且是不是 a c p f 是 等腰梯形啊， 等腰体型，哎，所以是不是 a c 等于 p f 啊，然后接下来投边就行了，投边就行了啊， p f 等于 e f 加上 e p e p 是 不是等于 ad 啊？由全等做出来的， ok， a d 是 不是等于 b d 减去减去减去 ab 啊？是不是它等于啊，等于 ac 啊， ab 是 不是又等于 ac 啊？哎，所以你看答案就出来了， e f 加上 b d 等于二倍的 ac， 这个用的是八角模型，还可以用什么？还可以考虑对角互补啊，对角互补更简单，它就是手拉手，对角互补就是手拉手，所以，哎，因为因为对角互补，所以这个地方我就直接连接 cf， 连接 cf 之后把它进行手拉手的旋转，延长 b d 到 q 连接 c q， 所以 这个对角互补啊，所以对角互补就有三角形 c e f 全等于三角形 c d q 啊， ok 吧，全等完了之后，是不是也就 b d 加上加上加上加上，呃， d q 就 成了一加 e f， 然后他两个就贡献了贡献，我们就是不是相加呀？然后再就用看看他和 ac 的 关系精测量，发现他等于二倍的 ac， 这是结论，结论，然后接下来我怎么去证明他呀？哎，你会发现，做完图之后，你就会惊奇的发现，三角形 bc q 是 r t 三角形啊， 那 r 贴三角形的时候证明它就行了。怎么证明？非常简单，因为手拉手，所以啊，所以手拉手之后就有就有角 f c q 等于二 r f c q 等于二 r f 又因为 c f 等于 c q 啊， 所以 q 是 九十减 r 法， b 是 r 法，所以 c 出的角 bc q 是 九十度， bcq 是 九十度 a c 等于 ab， 所以 点 a 是 斜边中线啊。不是，点 a 是 斜边中。点 a， c 是 斜边中线，所以斜边中线等于斜边一半，所以答案就出来了。两种方法， 只要从图形入手，就结束了。这道题。从图形入手，当然这道题我个人认为比比一模题要难了那么一丢丢啊，难了那么一丢丢一模，只要做个对称就结束了。好啊，这个整体不是很难 用。确定性，一切从确定性入手，只要把图形看明白，这个题就没有了。所以确定性。牛哥说的确定性就是考试方法的一种高度总结。