26年房山二模数学解析几何

哈哈，好玩吗？对不起，我没想到会传这么快，我马上就删。删了吧。

都怪我五月十二号发的视频，虽然把双中点放在最前面讲了，但是没有单独拿出来，同学们可能没注意到， 这不，本周的海淀二模几宗就考了双中点，再加上今年西城一模、石景山一模都考了双中点，妥妥的二零二六年北京几宗最大黑马，不能不会今天单独做期视频，以海淀二模为例，讲清楚 西城石景山的讲解，请打开合集看终点大招全集。我们先来看线段和的形式，也就是说， c 在 a b 之间， p e 是 a c 的 终点， a p 一 等于 p e， c 等于二分之一 a c p 二是 b c 的 中点 c p 二等于 p 二 b 等于二分之一 bc。 所以 p 一 p 二等于二分之一 a c 加二分之一 bc 等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 中点，那么可以得出 p 二是 c b 的 中点。再来看线段差的形式，当 c 在 a b 的 延长线上，这个结论也是成立的。 p 一 是 a c 的 中点， a p 一 等于 p e， c 等于二分之一 a c p 二是 b c 的 中点 bp 二等于 p 二， c 等于二分之一 bc， 所以 p 一 p 二是线段差，等于 p 一 c 减 c， p 二等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 中点， 那么可以得出 p 二是 bc 的 中点。来看这道海淀二膜其实就是双中点加上斜边中线的问题。 如果要我压二零二六年北京几宗，那么双中点、中位线和一线三垂，我觉得是最大概率考的。在直角三角形， a b c 中角 b a c 等于九十度角 a、 b、 c 等于 r。 二法点 d 在 b、 c 的 延长线上， e 是 c、 d 的 中点， 连接 e a。 把线段 e、 a 绕点 e 逆时针旋转一百八十度减二。阿尔法得到 e、 f 连接 b、 f 和 d、 f。 题目要直接写出角 b、 f、 d 的 大小并证明，不难猜出角 b、 f、 d 是 九十度。 证明方法有多种，核心是在中点 e 的 处理。很多同学会背长中线或者构造中位线，但标准答案其实考察的是双中点模型。 要证明角 b、 f、 d 等于九十度，可以利用斜边中线，我们取 b、 d 的 中点 m 连接 f、 m， 只需要证明 f、 m 等于二分之一 b、 d。 根据双中点模型， d 在 b、 c 的 延长线上 m、 e 分 别是 b、 d、 c、 d 的 中点，所以 m、 e 等于二分之一 b、 c。 那 怎么找二分之一 b、 d 呢？看 b、 c、 d 三点右侧 c、 d 的 中点 e 已经有了， 再取左侧 bc 的 中点 n 就 有 n， e 等于 b、 d 的 一半。所以问题就转换成了证明 f、 m 等于 n、 e。 我 们又知道 a、 e 等于 e、 f， 所以 就是要证明三角形 a、 n、 e 和三角形 e、 m、 f 全等 s、 a、 s 就 只差一个夹角相等了。 也就是我们要通过倒角证明角 n， a、 e 等于角 m、 e、 f。 下面我们来快速证明下直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以 a、 n 等于 b， n 等于二分之一 bc， 所以 角 a、 n、 b 等于角 a、 b、 c 也就是阿尔法。那么就由角 a、 n、 b 等于一百八十度减二。阿尔法射角 a、 e、 n 等于贝塔 a、 n、 b 是 外角角 n， a、 e 等于一百八十度减二，阿尔法减贝塔 角 a、 e、 f 等于一百八十度减二阿尔法。所以角 m e f 等于一百八十度减二阿尔法减贝塔等于角 n a e。 这样 s a s 三要素齐倍就可以证明三角形 a n e 全等于三角形 e m f 了。

hello， hello， 大家好呀，我是小卫。那今天咱还是用最通俗易懂的方法解决刚刚出炉的瞬移二模的几何综合。那我们来看这道题啊，他说 a c b 是 九十度， c， a b 是 阿尔法。咱快速的标一下图， 然后呢，将线段 b p 绕点 b 顺时针旋转，一百八十度减去阿尔法。也就是说这两条边是相等的，并且它们的夹角是一百八十度，减去两个阿尔法。 好，那么过点 q 作 q， m 平行于 a b 啊，那条件就是这么多。那第一问，让咱证 b a c 和 b a q 的 数量关系。 好，那咱们来看啊，这个角是阿尔法，这是九十度，所以上边这个 a b p， 它就一定是九十度减去阿尔法，那整个的大角是一百八十度，减去两个阿尔法。所以说这两个角是不是现在就都应该是九十度减去阿尔法了？ 那这两个角相等 b q 还等于这个 bc， 然后 ab 还是公共边，所以这两个三角形一定全等， 那全等之后，对应角相等，是不是 b a c 就 等于这个 b a q 这两个角就相等了啊？第一问，非常轻松，咱就解决了。好，那咱看一下第二问啊，他说 m 在 c 的 延长线上， ok， 那 还是满足题目当中大条件嘛。那咱先把图标一标 c， a， b 是 阿尔法，然后呢， b p 等于 b q 加角是一百八十度，减去两个阿尔法， 然后 pm， 呃， m q 是 平行于 ab 的。 好，那么这个就是条件就结束了。那他说用等式表示 pm 和 ac 的 数量关系，那 pm 是 这个长度， ac 是 这个长度。 那咱在考场上第一步还是要先拿尺子去量一量他们具体是什么数量关系，那哪怕咱们最后没证出来，那咱们还能蒙个数量关系吗？啊，这个是没有问题的。 好，那再结合这道题啊，咱会发现这个角是阿尔法哎，这个角是九十度，减去阿尔法是这整个的一百八十度减去阿尔法的一半， 并且呢，它也符合半角模型的这个 b q 等于 b p 的 这么一个信息啊，它也有这组边是相等的， 所以我可以先从这个半角模型引出的旋转开始作为我思考的起点。 那在这道题当中呢，我是不是可以去旋转这个 b a q， 把这个 b a q 旋转过来，旋转到这个位置，这是一种想法。那第二种想法呢，就是我去旋转这个 b c p， 把这个 b c p 咱给它转上去， 呃，变成一个类似于这样的这两个三角形是全等的。好，那么结合这两个想法来看呢，我会选择第一种，因为第一种啊，我这样构造完之后，我能最大限度的去利用这个垂直， 因为如果一旦全等了之后，哎，这边等于这边，是不是咱就直接能出来一个三线合一，对于我证这个 pm 等于 a c 这个边的数量关系，是不是非常有用啊？那 ok， 那 我去旋转这个 q a b， 那 咱看一下啊，它就旋转到了大概这么一个位置啊，大家在考试当中做图一定要标准啊，那这个点我叫做 n 点。 好，那图画完了，咱看一下这个辅助线咋书写，我就能挣出来这俩三角形全等了呢？ 那如果是我的话，我会直接去用一个倍长的思路啊，就是说我去延长这个 a c 啊，使得这个 c n 等于 a c。 那 我这样想的原因呢，就是，首先啊，我肯定是做完这道题了，那其次呢，就是我在思考这个问题的时候，我会借助于去年中考 和之前一些一模题的一些经验，因为去年中考其实就是类似于这样的一个垂直，然后呢，我却背长了啊，就使得 a c 等于 c n， 构造了一个这样的等腰三角形。 那一模当中呢，像西城和朝阳也出现了这样类似的做法，所以说我肯定在这道题当中，因为我之前做过了这些啊，所以在这我用到了一些经验。 好，那我直接去背成之后， a c 等于 c n， 那 么这个三角形 a b n 就 一定是一个等腰三角形了啊，因为这块它就出现了一个垂直平分线了嘛，啊，所以 a b 肯定就等于 b n， 那这个角如果是阿尔法的话，那它是等腰三角形了，所以我这个角 n 肯定也是阿尔法。哎，那这两个阿尔法之后，我会发现，这个角 a b n 也是一百八十度减去阿尔法，那它就形成了一个标准的手拉手，全等， 这个边等于边，边等于边。然后这个角是一百八十度减去两个 r 法，这个角也是一百八十度减去两个 r 法，所以等量减等量啊，咱就能出现这两个小角是相等的，那第一个咱就能出现一个三角形， 这个 b a q， 它就全等于三角形 b p n 啊，这个用到的就是 s。 好，那么全等之后呢，咱接着往下看啊，因为全等并不是我做题的目的啊，它能得到的边角关系才是更重要的，那么这个两个三角形全等，那首先我就能知道是不是这个 q a b 就 等于这个角 n， 它也是阿尔法。 好，那他是阿尔法可就不得了了，因为这组平行线是不是内错角相等，这也是阿尔法。同位角相等，这也是阿尔法。哎，于是咱就会发现啊，那这道题就太棒了，那棒在哪呢？就是 am 这条边是不是就等于 a q 了？ 那 a q 呢？因为全等，它又等于 p n， 所以 其实这道题咱基本上就已经做完了， 为什么呢？因为 a c 是 等于 c n 的 呀。那 c n 现在等于 c p 加上 p， n 是 不是就等于 c p 加上 am， 那 也就是这两段相加就等于 c n， 那 也等于 ac， 那 这道题咱们就得正了。 ok， 那 如果说大家听懂了的话，那感谢大家可以点赞支持，我们下期视频再见！拜拜！

好，我们继续来讲海淀初三按摩的这个几种体啊。第二个方法，我们说这种体的话，他其实我们在看到这个图的第一反应，对吧？他是有一个双垂直共切边问题，对吧？我们先观察啊， 来看一下题，题目当中 b、 a、 c 是 九十度，就知道是一个九十度， a， b， c 是 一个阿尔法点， e 是 一个终点，这个角是一百八减二阿尔法，连接 e a， 把 e a 的 话，绕着点 e 逆时针旋转一百八减二阿尔法，然后得到个 e f， 现在让你求成它这个九十度， 我们刚刚说过，对吧？它第一反应是有个双垂直共斜边问题啊。所以如果大家要是有这个方向的话，我们就可以延长 b a， 把它给延长，然后过点 d 向它做垂直，这里要来一个 s， 取什么呢？取 b d 的 中点 q， 然后连接什么？连接 s q， 对 吧？把它给连接起来，我再连接什么？再连接 f q， 我们需要做的就是你要去挣什么呢？挣的是上下两个东西，一个翻折的，所以我们在这缺条件，缺哪个条件呢？还需要连接这个东西， 这是考验大家对于几种的一个功底了，对吧？好，我再重复一下思路啊，也就是我们第一步要想用双垂直空斜边的话，我们首先要构造一个直角三角形，对吧？我取中点嘛，如果这个边等于这个边，对吧？等于他，等于他，这肯定是个九十度， 那么这个边是等于它的，对吧？我再连接下它嘛，只不过这根线不太好想，我只需要证明什么呢？这个边 等于 a， 对 吧？只要证明它们两个边相等，我是不是就可以得出也等于它 对不对？那如果要是等于它的话，中间一个公共边，再找一个夹角，上下两个三角形全等，这题就结束了。但是我们怎么样去证明这两个边相等是这个题的一个难点， 对吧？这个时候我们回头看，题目当中有个条件我们还没用，点一是个终点，所以我们可以干嘛？可以去背藏，背藏哪个东西？大家看好啊，我们需要背藏这个东西， 倍长 e， 倍长 e， 然后呢，把它也给延长了， 它们两个交于点 t， 也就是说我在这个地方再构造一个直角三角形， 对吧？与什么呢？就相当于是延长 a e 与 s d 的 延长线交于点 t， 大家要注意注意哪个地方？这两个线是一个平行关系，平行加重点出八指，所以说这两三角形是个全等， 那么它就相等了。所以我先给大家写下过程啊，过点 d， 做一个 d， h 垂直于 b， a 于点 h 取 bc 取 b d 的 中点 q 连接 q f 和 q h， 对 吧？还要连接谁？连接 h e， 对，我们把 h e 也给连接起来，好，我们还要干嘛？这个时候我们是得出这两个线的个平行吗？平行加中点出八字，我们还要延长 a e 交什么了？ h d 的 延长线与点 t， 所以 这两个线平行有一个，这两个边相等，有一个夹角，一个内错角，我们是有一个八字全等 三角形 a、 c， e 全等于三角形 t d e， 我 们也就得出 a e 等于个 t， e 等于个 h e， 对 吧？为什么？因为这是一个直角三角形，又一个斜中线， 所以说这就把这个边转到这了，还转到这了，对吧？中间一个公共边，我们只需要证明这俩加角相等就行。好，那么这俩加角相等的话，应该怎么处理？可以跳角，这是一个 bet， 这是一个九十度减 alpha， 对 不对？所以说这个角就是九十度减 alpha， 再减 bet， 那 么它的对顶角， 这个对零角的话，也是一个九十度减二法再减摆头，对吧？那整个大角多少度呢？是一百八减二法，所以说下边的话应该是九十度减二法加摆头。 好，大家完了吗？没有，大家要注意，这个地方是有一个摆头，上面也是有一个摆头，对吧？因为这是一个直角三角形，里边呢有一个摆头，对吧？因为这个角是二摆头， 所以我们是能够得出二 bet， 加了一个九十度减二法减 bet， 是 等于九十度减二法加 bet， 下边也是九十度减二法加 bet。 我 们通过导角 是能够得出角 h e q 等于一个角 f e q， 对 吧？这两个角相导，然后呢？ s a s 去证明三角形 h q e 全等于 f q e， 那 么也就得出 h q 等于 f q 等于 b q d， 所以 角 b f d 等于九十度，这是我们通过斜中线的一个角度去思考的啊，当然它不是那么好想，对吧？没有我们的中线好想啊，好，这是我们的方法。二。

大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。

大家好，那今天来看一下二六年房山初三下一模的几何综合的题目啊。这道题给他的分类是中点模型的一个题型，呃，那么首先来看他， 呃，因为的话他比较容易做出来图也比较简单，我们把它放在右边的位置，然后 ab 等于 ac 过点 a 做 ad， 垂直于 bc 作为 d， 点 e 和点 a 分 别在呃 b c 的 两侧连接 c e， 然后有一个关键条件是 c， e 等于二倍的 a d。 另外一个关键条件呢，是 e 和 f 关于点 a 对 称 连接 af 和 f b。 那 么首先那个弧 e 要给他补全一下图形，然后额外给了一个条件呢，是这个角 b a， c 等于一百二十度， 那么画完之后就很容易能看出来，这个 a e， c 应该是一个等边三角形。呃，然后像 a b， c， a， c b 这些角都应该是一个三十度角，然后， 呃，但是现在这个角 d a c 是 个六十度啊。嗯，但是这个 a e 等于 c e 或者是 a e 等于 a c， 这些我们还需要再去找一下条件，那么这个条件就落在这个 c e 等于二倍的 a d 上了，那么 c e 等于二倍的 a d， 然后我们可能会想要证明 a e 等于二倍的 a d， 然后发现有点绕， 那这个主要是由于这个三十度角带来的一个二倍关系，应该是 a c 也等于二倍的 a d， 所以呢，就是 a c， 它就等于二 a d， 然后也等于 c e 加上这个角 e a c 就 能够得到这个三角形 e a， c 是 一个等边三角形， 等边三角形呢， a， e 就 等于 a， c 也等于 ab， 那 么 a e 还等于这个 af， 所以呢， af 就 等于 ab， 看它的第二问啊，图二条件还是跟刚才一样， ab 要等于 ac， 然后 ad 垂直于 bc， 那 么这个时候这个 c e 等于二倍的 ad， 这个条件就开始变得很难用了。 然后另外一个呢，是 e 和 f 关于点 a 对 称，也就是 a e 等于 af， 这个用起来也非常的奇怪， 那么最奇怪的还是他这个问的问题，他问的是角 b c、 e 和角 c、 b、 f 之间的一个数量关系。如果去量一下这个图的话，会发现 b、 c、 e 大 约十六度左右吧，然后这个 c、 b、 f 的 度数呢，大概在五十三度， 这两个度数之间很难想象他们有一个什么样的数量关系。嗯，太像是二倍或者三倍也加起来等于一百八之类的。 唯一能够想到和这个稍微有一点点关系呢，是我们在比如说初一的时候会写出两个角的数量关系。比如说一个角是四十五度，减去二分之一 r 发，另一个角度假如说是六十度加 r 发，那么呃，第一个角 乘以二，再加上这个第二个角，它就能够等于一个一百五十度，然后有可能会给他进行一下调整一下，然后他能等于一个一百八十度， 比如说呢，把第二个角给他变成九十度加二八，这样呢，第一个角的二倍，再加上第二个角，他就能等于一个一百八， 那么这两个角他很有可能也是一个类似的一个关系，那也就是说我们可能是需要去设一个角，再把这两个角分别用这一个角来表示出来，最后再把这个角给它消掉，需要设一个字母， 那么呃，肯定是需要一些倒角的条件的，里面的条件呢？呃， a e 等于 a f 是 一个中点， a d 等于 c e 的 一半，这个条件也看起来好像是要用来做中点的， 那么我们如果想要去用中点模型呢，那可以想到的有非常中线法，让边中线 还有呢三线合一，另外呢还有中位线，那这是两个角度的关系，再加上这么多的二倍关系，感觉上应该会用到中位线，那么中位线呢？呃， 不管是中位线也好，还是说，呃直角三角形的斜边中线也好，或者是被长中线证明的全等也好，我们都是会涉及到边的条件的，也就是说我们肯定会涉及到三角形全等或者是等腰，其中被长中线法呢，肯定会涉及到全等的。呃， 中位线呢，会得到一个线段的二倍关系，这个线段的二倍关系呢，我们肯定是需要再去结合一下全等，或者结合一下等腰三角形的，然后斜边中线呢，我们会出现的是一个两个等腰三角形，然后会出现一个倒角， 也就是说我们现在在做中位线的时候，应该尽可能的得到一个等腰三角形。呃， 中位线呢，我们现在过点 a 的 线呢， ab， a e 和 ad 三条线，那么最容易想到的话，我们可能会考虑先把这个 d a 先给他延长一下，这样延长之后呢，这个线段还就等于 c e 了， 但延长之后会发现没有什么太大的作用，因为延长之后呢，要么是这两个三角形乘等，乘等完之后都看着也没有什么太大的用处，而且这边这个点他还在这个虚空的位置啊。呃，然后 另外一个思路呢，是把 e、 d 和 f， 比如这个这、这个 g， 这个连起来，看起来好像有一点点用，但还是这个问题，这个点在虚空上这两条线段呢，离得太远了， 就是这个 d、 g 和 c、 e 离得太远，要想用上的话肯定得用全等三角形，那么这两个三角形想要用全等也是非常非常的困难，所以呢也是逃，也是去掉这个思路，所以我们就放弃，对 啊， a、 d 这样的一个延长啊，然后这里还有一个终点，是这个点， d 也是一个终点，它是这个 b、 c 的 一个终点，然后有可能会考虑说把 a、 d 往下延长。延长之后呢，还是同样的一个问题，它延长之后和 c、 e 相等， 那这两条边呢，他就没法正全等，因为他俩不在一个三角形里头，没有办法进行等腰，然后没有办法正全等，那就等于说就是被长中线的之后，就中位线的这边的条件就废弃掉了。 e、 a 这条线呢，没有必要延长，因为他延长之后就是 e、 f 就只能延长 b a 了。延长 b a 之后的，因为我们刚才知道 d 也是一个终点，那你就会把这边连上，连上之后这地方应该就垂直，垂直之后的话会发现 这里还有一个直角三角形的斜边中线，那就这么多的巧合放在一块应该不是巧合了，那我们就应该是要延长 b a 到 g， 那 这边应该会有一个中线， 非常中线呢，应该是要么把这个 e、 g 连一下，要么是把这个 b、 e 和 f g 都连一下，感觉应该还是连一下 e g， 而且呢我们刚才这个 c g 它其实是应该是 a d 的 二倍的，它还应该 c e 也等于 a d 的 二倍，然后我们就会发现出现了一个等腰三角形 c e g， 所以 这个 e g 本来它就要连上了， 那么连上之后就有一个 b a f 这个三角形和 g a e 这个三角形是等的，那么感觉上这个辅助线咱们应该是做对了，那么没事我们就得考虑一下了，这个 b c e 和 c b f 这两个长得就非常偏的，这两个角要怎么处理呢？ 那么我们尽可能去找和它们有关的比较特殊的三角形，那么这个角 bce 给您就是看这个三角形 c e g 那 么这个角 cpf 呢？嗯，就可能就就，我们实际上就发现要么把 cf 连上，要不干脆就没有和它有关的一个 三角形，所以呢，最好是把它进行一下拆分，正好我们这边有个对称中线，所以这个角 f b g 他 应该是能够等于角 b g e 的， 所以这个角 c b f 我 们可以考虑把它变成角 b g e 加上角 a b c 或者是角 a c b， 那 么现在呢？ 呃，如果是想要求一下这个 ecd， 呃 bce 这个角呢，我们应该是可以用这个角呃 ecg 减掉一个九十度，那么这个 ecg 要怎么求呢？应该得看 c e g 和 c g e， 那 么 c g e 和这个 b g e 能够组成这个角 b g c b g c 和 b a d， 它在这个三角形 a b d 里面就是加上角 a b d 能等于九十度，这个 a b d 呃，或者是 abc， 我 们和这个角 c b f 就 能够产生关系，那我们就接着进行一下，呃，角 啊， ecg 呢？我们就把它变成一个呃，一百八十度减去二倍的角 egc， 再减掉一个九十度，那么就应该是等于的是九十度减去二倍的角 egc。 那 现在还要看的是这个 bge， 这个 cpf， 这个角， 那么 b g e 看起来应该不是特别好倒了。呃，然后这个角 a b c 呢？我们应该是能够等于角 b g c 再减去一个角 e g c 的， 那么现在要么把这个 b g c 给它去掉啊？还有一个 b g e， 那 么 b g e 也是需要去进行处理的， 那么现在有 e g c b g e 和 b g c， 需要去掉两个角，呃，然后这个角 b g c， 它应该是能够等于角 b a d 的， 也是等于这个角 a b c 的， 这个 abc 的 话，应该是等于 a c b， 或者是它应该不是等于这个角这个 eg c 的 啊， b g c 减去角 eg c， 应该等于的是这个角 b g e， 所以 我们应该是把 b g e 给它换掉了， 然后呃，这个 abc 我 们是可以不用动的，那这样呢？呃，我们还剩下这个，然后这个 abc 加上角 bgc， 我 们会发现正好应该等于九十度啊，所以他应该是等于一个九十度减去角 egc。 那 么现在这两个角的数量关系呢？你要想给它抵消掉呢？呃，一个是九十度减去角 egc， 所以这个得是角 b c e 减去二倍的角 c b f， 它才能去掉这个东西。应该是角 c b f， 要减去二倍的角 b c e， 然后算完之后是等于个负九十度，所以应该得反过来就是二倍的角 b c e 减去角，这，呃， c b i 呃，看这个角应该是不太对啊。然后我们再看一下这个，我刚才求的这个角 c b f 应该是等于角 b g e 再加上角 abc， 然后这个角应该等于的是角 b g c 减去角 eg c abc 加上角 b g c 应该确实是等于 九十度的。那么这边这个角 b c e 呢？ b c， e 应该是等于角 e c g 减去一个九十度， 然后 ecg， 它等于一百八十度。减去二倍的角 egc 后应该等于九十度。减去二倍的角 egc， 那 么这两个角好像没有求错， 嗯，然后 cdf 是 九十，对，这个 cdf 是 才是九十度？减去角这个 egc 是 吧？那我们应该得用 cdf 减去那个 cbe， 减去二倍的角 cdf， 然后会等于一个负的九十度， 那么呃，它等于负九十度，所以应该给它反过来就二倍的角 c b f 减去一个角 b c e 应该是要等于一个九十度。 好，正好跟咱们这个五十三乘以二减去十六，正好应该是能对对唱的。最后这个结果应该就是二倍的角 c b f 减去这个角 b c e 等于九十度。

大连二模这套试卷当中，几何题仍然是传统的解型思想，如果你解型能力达到一定的程度，这道题简单倒一下角思路，很快就能获得。那么这道题我们应该如何通过解型解决这道题呢？这个视频老李告诉你。 首先这道题的最后一问告诉我们，三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形，并且它的腰长是三圆， a 这个圆它的半径是一， 且点 e 在 圆上，且 a、 c 这个角加上角 b、 a、 c 这个角等于一百八，那么从而我们就可以画出两幅图， 这里的点 e 可以 在这这个时候这两个角都是九十度，相加是一百八的，同时点 e 在 ab 上的时候， e、 a、 c 也是九十，它跟角 b、 a、 c 相加也是一百八。所以这道题一定是有两种情况的， 并且这道题又给了我们这两个角的度数是相等的，那么从而我们会发现这个阿尔法角他正好贪 j 的 值等于三分之一，也就是说我们看到了一个已知角，那么有已知角，我们的想法就是要倒角，但是倒角之前我们要知道， 这道题既然圆的半径是一，那这个边是一，那这个边它也是一，那这两个边一定是相等的，并且这两个角又都是九十度，这两个边也都是三，所以我们看到了一个全等， 这个全等能帮助我们更好的倒角，我们会发现那这个是 r， 这个角也就一定是 r 了呗。同时这个角也就是九十减 r， 那 这个角也就是九十加 r。 首先我们知道这里的 r 的 摊 j 的 值是三分之一，那自然这里的九十减 r 的 摊 j 的 值就一定是三了，对不对？并且对顶角这个角也是 r， 所以 首先我们就看到了，并且这两个角它都属于一直角， 自然 a h 的 长度，两角一边我们可以把它解出来。同样的等腰直角三角形里面还有特殊角四十五度，所以说这个角它是四十五度，那么自然阿尔法是已知角，这个四十五度是已知角，这条边又是三。那么在这个三角形里面，我们通过解三角形也能把这里的 a g 这条边求出来， 求了 a j， 再求了这里的 a h， 那 自然 j h 不 就可以知道了吗？首先我们先解一下三角形 b a j， 我 们会发现四十五度和 alpha 都是一致角，所以我在中间做个垂，我们会发现，根据 alpha 的 摊 j 的 值 x 三 x， 根据四十五度，这个就是 x， 而且一比三比根号十，那这条边就是根号十 x， 从而你会发现四 x 等于三 x 的 话，也就等于四分之三，那这里的 a j 正好是根号十 x， 所以就是四分之三倍的根号十。那 aj 求完了以后呢，我们再去求这里的 a h 就 可以了。我们会发现，由于啊这个角九十加 alpha， 他的补角是九十减 alpha， 所以 我们在做垂的时候一定是要往外做垂的，所以这个垂直我们要向外做， 向外做完垂以后呢，这个角就一定是九十减 alpha 了。根据九十减 alpha 的 值是三，所以我们设这个边为 x， 这个边就是三 x， 我 们再根据 alpha 的 贪婪的值，等于的是三分之一，所以这个就是九 x， 对 不对？那你会发现九 x 减去 x， 刚好也就是这条边是八 x， 那 你就会发现八 x 等于一 x， 也就是八分之一了，同时呢，这是三比九比根号十啊，对不对？所以这条边就应该是三倍根号十 x， 那 x 我 们都知道，那这里的 a h 也就应该是八分之三倍的根号十，有了 a h， 有 了 aj， 那 么自然这道题 j h 的 长度也就是把它们俩相加，对吧？也最后就是八分之九倍的根号十了。带着同样的思想，我们再去做下一种情况，其实一样很简单， 我们会发现当点 e 在 这的时候，你会发现，由于圆的半径都是一吗？所以我们能得到一个对称的全等。 当这两个三角形全等之后，方便我们去倒角，你会发现这个是 r， 那 这个角一定也是 r， 根据全等对称性，这个角它还是 r， 那 从而你会发现这个是 r， 那 这个是九十，那这个角也就应该是九十减 r， 然后我们连减三角形都省了，你会发现这是九十减 r 法，那这个就是九十了呗。所以我们会发现，在这个三角形当中，他一定满足的是一比三比根号十啊，对吧？所以我们用一去除以根号十，就能求出 e h 再乘以三，那也就是 a h 的 边就等于十分之三倍的根号十， 那么有了 a j 减 a h， 也就是说 a j 是 刚才求的四分之三倍根号十， 再减去一个十分之三倍根号十，那这道题我们也就可以轻松解决了，刚好就等于二十分之九倍的根号十，那么这道题轻松搞定，同学们，你掌握了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！

好，我们接着来讲海淀初三二波的这个几种题啊，这个几种题的话出的非常好，对吧？猛一看他有点像二三年的北京中考题的一个改编，但这个题的话给大家提供三个方法啊，可能待会会录三个视频， 呃，就看大家考场上能不能反应过来，如果这个题能反应过来被藏的话，其实只要抓一个方向，对吧？这个题就可以迎刃而解啊。好，我们来看一下题目当中说的，他说的是角 b， a， c 是 九十度，我们直接看第二个啊， abc 呢，是等于一个 r， 点 d 呢？在它弦上，然后点 e 是 一个中点，连接 e， a， 把 e a 绕着点 e 转了个一百八减二， f， 就 这个角是一百八减二， f 得到一个线段， e f 连接 b， f 还有 d， f 直接写出它这个大小，它肯定是个九十度，对吧？而且这张是有一个相等的边，我们第一个方法的话就可以想被藏去构造中微线 法一，通过背长去构造一个中卫线，其实这个知识点的话，应该是八年级下册，对吧？你们的几中需要强化一下啊，就是现在学校进度都比较快，都忙不到，就是在讲那个初三的东西，其实中卫线和斜中线这两中应该强化一下啊。 好，我们应该怎么构造呢？就是把它给延长，把它也给延长这个地方， 然后呢？把它给连接起来，把它给连接起来。你这样子的话，好像是有一个手拉手， 对吧？有一个手拉手啊，我把它写成一个 q， 把它写成一个 h， 因为这个边 是等于这个边，对吧？他们两个相等，然后还有一个什么呢？我只需要证明这两个边相等，这个里是不是就迎刃而解了， 对吧？他俩就迎刃而解了啊？那所以我们再来看这个地方是有一个中点吗？对吧？我们背插完了之后，我们刚说要出中微线，所以还需要连接它， 然后呢？还需要连接它，你这样的话是不相当于就构造出来一个中微线，对吗？因为什么呢？因为这个边等于这个边，所以我们是可以得出 h、 c 呢？是等一个 q、 d， 对 吧？把它们连接起来，那这个地方就明显的是有一个，什么有一个手拉手的啊？ 那么手拉手的话，我们要抓什么？要抓夹角，因为这个地方是有一个九十度减二法，这个地方是有一个 b， 它 我们利用外角，对吧？它是一个掰它，我们为什么要用外角啊？因为我们要要去正，这个夹角是和这个夹角相等，而这个夹角等于谁？又等于个它， 那么利用外角的话，这是九十度减 f， 这是掰它，所以说这个角的话应该是九十度减 f 减 b， 它它们俩之间是有一个平行，所以说这个角 也是一个九十度减二法减摆它，因为这张是有一个中微线，然后这个大角总共是一百八减二法再减去它，所以说这个角应该是九十度减二法加摆它和这个角完美的相倒，所以我们再去勾手拉手， 因为这个手拉手的话怎么去正啊？因为这个边等于这个边，这个边等于这个边，它俩平行，所以说这个地方九十度减二法加摆它， 所以我们用这个 s、 a、 s 可以 去证明三角形 q、 b、 d 全等于三角形 c， b、 h， 所以 是不可以得出 h， b 等于个 b、 d 三线合一 叫 b， f、 d 等于九十度，对吧？这题就搞定了啊，这是我们的第一个方法。

昌平二模的几宗也在考察边与角构造全等，大家在做题的时候不知道是否有导出我们的核心角度。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年昌平二模的几何综合题目里告诉我们这个边旋转 r 法度得到这个边，然后让我们去求这个角，这是一个老生常谈的问题了， 旋转三等幺，我们会发现呢，在这道题当中，它是一个等腰三角形，这个呢是一个等腰三角形，这个呢也是一个等腰三角形，尤其是后面这两个等腰三角形有一套壳的形式，我们用这个大的等腰三角形的底角，减去小的等腰三角形的底角，就能求出咱们的已知角。所以说第一题相对来说呢是比较简单的，我们快速的说一下这个结论。好在等腰三角形 a、 d、 b 中，我们可以求出角 a、 d、 b， 它应该是等于呃六十度，减去二分之二法。第二，在等腰 三角形 a、 d、 c 中，我们可以发现角 a、 d、 c 等于九十度，减去二分之二法，所以角 c、 d、 b， 它应该就等于三十度。 好了各位，我们算出来这个角是三十度，这个时候我们心里就应该要想到这个三十度，它很特殊呀，它对于我们来说应该是比较重要的，在我们做的第二题当中，应该要用得上这道题的思路，有点类似于咱们东城一模的思路，我们来看一下第二本，第二本呢告诉我们就是 a、 e、 c 和 d、 b 三边的关系。 我们首先呢可以去猜测下这个结论，发现呢不是很简单的那种 a 加 b 等于 c 的 模式，那接下来我们要去思考这三个边到底怎么才能把它给联系起来，然后呢还能配上这个角度， 当然我们在这个地方呢，还有一个等号三角形，它就到了这个三线合一，对吧？这个时候你会发现 e c， 它应该就等于 d 的， 那对于很多学生而言，我们在这种情况下可能就会想到，你要往通过点 c 往这边做了一个垂直，这样的话呢，你会发现这条边和这条边它的关系就建立起来了，那我们只要再去证明这一边和这边的关系，我们这个思路 也相对来说比较清晰啊，这是我们所说的叫做 plus 版的截长补短模型。好，那我们如果要是从另另外的个角度来看啊，这里边大家要注意，你现在会发现你拿到这个信息啊，其实可以把它更加的全面一点，尤其是角度信息， 在圆综和几何当中隐藏的会比较多。我们会发现这个角它是六十度减去二分之 r 法，那这个角它也是六十度减去一个二分之 r 法，这个角就应该是二倍的 r 法。好，那这样的话呢，我们再来看一下啊，题目中还有哪些角是我们所说的二倍的 r 法呢？它连了一个，它做了一个 a e， 你会发现旋转的原本是阿尔法，你又是一个等腰有一个三线合一，所以这个角也是二分之阿尔法。好了，各位，这个边和这个边是相等的，这个角和这个角是相等的，你在这里做了一个垂直，那很明显我能快速的想到什么，我也去做一个垂直，对吧？找葫芦画瓢，我们在这个 c 处做一个垂直， 这个时候你会发现两者的思路就完全联系起来了，此时你就能得到什么呢？我们就能得到三角形 c h b， 它就一定是全等于三角形 呃， d a e 的 啊，进而我们能得到这样的两个信息啊，第一个是 c h， 应该等于 d e， 等于这个 e c 的 好。第二个呢，我们还能得到这个 a e， 应该是等于 h b 的 好，这是在这个图形当中。然后呢，我们在 r t 三角形 c， d h 中啊， c d h 中，我们又会发现角 c， d h 又等于三十度，所以这条边它应该就等于这边的根三倍，对吧？那这样的话呢，我们就能得到什么叫做 d h， 它应该等于根三倍的 c h， 那 就等于根三倍的 c e， 把这里面的这个东西呢还给往这个边条啊。这个时候呢，我们就能得到这样的一个信息了，用蓝色的笔让大家看的更清楚一点，把它给放过来，对吧？然后呢，我们又知道的是 a e 啊，他又等于这个 h b， 所以 这道题的最终的结果就是 d b， 他 就等于一个 h b， 加上一个 d h， 就 等于 a e， 再加上一个根三倍的 e c， 那 这样的话呢，咱们这道题就做出来了，总体上来说呢，思路还是比较清晰的，根据边与角去构造全等。 但是在考试的过程当中有两个问题，第一个问题，大家可能依旧是模型思想，导致自己思路受阻卡住。第二个 他在这里边，在第一问当中，虽然说给了三十度我们能想到要用，但是呢，第一个问题当中能给我们带来的角度信息并不多，可能很多学生没有进一步的去导出一些隐藏的角度，导致自己的思路受阻。 大家以后要注意了，在做几宗问题的时候一定要注意角度它的重要性啊。如果说你的思路受阻了，你可以去尝试着倒角，看看有没有等量关系辅助我们解决问题。

朝阳的二模几何考的依旧是手拉手的问题，各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年朝阳二模的几何综合这道题呢。第一问相对来说呢，是比较简单的，因为它告诉我们这个角 b 这里边呢是一个 r 法， 然后呢这个角就知道了是九十度减去一个 r 法，它又告诉我们这个 a e 和 a d 之间呢，是一百八十度减去二倍的 r 法。所以第一问呢，我们就可以直接得到角，这个 d a e， 它应该是等于二倍的角 b a c。 这个对于我们 提示啊，还是非常明显的，哪怕他没有给我们这个角度提示。按照我们的常规思路，大家也能想到，在第二遍的时候，你可以把这条边给他给背长出去 啊，就我们什么都不用去思考，这个时候呢，你就能想到背长出去，你背长出去之后呢，此时我们就能得到这样的一个状态，就是手拉手全等，这样的话我们就能得到这样一个状态。好，我们来看一下这个第二题。第二题他说，呃，点 d， 在 外侧把这个 e c 呢给他加倍延长啊，延到我们所谓的 f 处， 连到 f 处之后，连接这个是 c f 等于这个 e c， 然后连接 b f 和 b d。 好， 这个 b d 呢？其实我们在自己脑子里用手拉手的逻辑啊，已经能把它给联系起来了，我们假设这个是 m， 所以 这个三角形和这个三角形呢，它直接就通过手拉手能得到，它俩是全等的， 所以这个思路对于我们来说呢，还是蛮清晰的。这个角是阿尔法啊，这个角是九十度减去一个阿尔法，他问的是什么？问的是 d a e， d a e 在 哪呢？我们把它给标一下啊， d a e 这个角在这呢， d a e。 然后第二个问我们的是谁呢？叫做 db f， db f 在 哪呢？ db f 在 这呢？咱们要去猜的话啊，大家现在应该也能猜到两个角相加的和应该等于一百八十度。那我们在证明的时候呀，你通过手拉手的这个全等，我就可以假设这个角是 贝塔，那么这个角也是贝塔，这个大的角大家应该知道是多少度，应该知道是阿尔法，所以我只需要证明这个角等于这个角，那这个角是不是也就是阿尔法减贝塔了呀？那 这样的话是不是阿尔法阿尔法了，对吧？那我们这个该怎么正呢？哎，你会发现这个题目设置的比较简单的点就在这了，这个呢是边等于这一边的，这一边等于这一边的，这有一个对顶角，所以我们可以快速的得到这一个三角形， 和这个三角形是全等的。那你这个角呢，是不就是阿尔法减贝塔？那我这个角呢，是不是也是阿尔法减贝塔？所以角 d b f 就是 等于二倍的阿尔法， 角 d a e 就是 等于一百八十度减去二倍的阿尔法，所以他们这段关系就是角 d b f 加上角 d a e 就 等于一百八十度。长的。这道题呢，总体来说还是比较简单的，希望这个视频呢可以帮助到大家。

刚考完的昌平二模几重题确实比较简单。第一，小问有两种方法，方法一，就是结合题目中所给的条件，看到我们要所求的角其实是两个等腰三角形底角做叉可的一个等腰三角形在这个位置，一个等腰三角形在这个位置。这两个等腰三角形的底角 如图所示，只要求出它们俩相减即可得。它们俩又和题目中给的 alpha 六十度高度相关，也就是顶角可值。所以在等腰三角形 d、 a、 c 中，我们可以求出第一个角 a、 d、 c， 它的大小用 alpha 表示。在等腰三角形 d、 a、 b 中，我们可以求出第二个角， 用 r 法表示，由此相减可得，我们所求的角是一个确定的不变的度数。三十方法二，由于题目中明确说到等边三角形和旋转，因此这三条线相等。由此我们可以得出点， a 为圆心， a、 d 为半径的圆，同时过 c 点和 b 点， 这么一来，四点共圆，那么这么一来，三点共圆。三点共圆，我们就可以得出我们所求的角其实是个圆周角，它等于圆形角的一半即可求得。这就是第一小问。再看第二小问，第二小问呢？题目让我们去求三条线的关系，这是 a， 这是 b， 还有这条线 c。 这三条线先要看到的其实应该是 c， 因为 c 作为等腰三角形的底边的一半，我们马上想到求出整个这一段 与 b 与 a 的 关系一样是可以的。只要看到这种情况，我们就能想出它和第一小问的三十度高度关联了。为什么？因为这条线和底下的这个 a 只要做一条垂线段，就可以把二倍的 c 给它转移到我们所找的 b d 上面去啊。那这样一来，得出 这是根号三倍的小 c， 剩下的就是找什么小 b 和这个假设这点是 h， 那 小 b 和 b h 之间是什么关系呢？看起来他俩就像是差不多相等，然后他俩又在同样是直角三角形中，根据我们题目前面的条件，就想着如果能再导出一组角， 就可以得出它们全等吗？倒一下角，我们在第一种求角的方法中可以得到这个位置的这个角其实是六十度减二分之阿法，那整个大角减去底下的小角 即可得出上面这个角是二分之阿法，刚好和这个位置二分之阿法，它俩是相等的。由此可以得出这个三角形和这个三角形它们俩全等，进而得出 a e 等于 b h。 所以本题 b d 的 长等于根号三倍的 c e 加上 a e 即可。

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

我们来看一下 c 乘二模的几宗啊，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 两条红色的线段是相等的 角， b 等于 r 发，马上标一下角度，哎，等边对等角，那我也是 r 发，顺带我要把哎能标的角我尽量的都标出来啊， 那么这一个角是不就是一百八十度减二 r 发呀，那这个外角哎，就等于二 r 发？好，我把第一个三角形都已经处理完了，我继续往下看， d 呢，为 bc 延长线上 b， a 延长线上的一点连接 cd， 并且将线段 cd 绕点 c 旋转，二 r 发，得到 cd。 好， 那么我们得到了一个旋转的角度， 就是二 r 发，并且还能得到两条相等的线段，就是 c、 d 等于 c、 e。 我 们来看括号一，如图一， 当点 e 在 线在 a、 b 上时，求证点 a 是 b、 d 的 终点，哎，想求点 a 是 b、 d 的 终点， 说白了，我就是要求证 ab 等于 ad， 对 不对？好，那么接下来我们来观察一下点 a 啊，因为点 a 是 主角嘛，对吧，我先看一下它，哎，点和点 a 相关的有两条线段，一条是 ab， 一 条是 ac， 它们两个已经是相等的了。那好，如果我要是证明这个 a、 c 呢，还等于 a、 d 的 话，那我的点 a 是 不是就是 b、 d 的 中点，对吧？ 想要求证 a、 c 等于 a、 d， 说白了，我就是要去证明三角形 a、 c、 d 是 一个等腰三角形，对不对？哎，或者有的同学说，老师，我看这里很像九十度啊，那能不能去用斜边中线呢？ 无论你用什么，说白了，第一问，是不是都是倒角啊，对不对？哎，那么我们就去倒一下角呗，好不好？ 好，我们来看一下啊，因为啊，咱们的，呃，这里是二 r 发，对吧？ 呃，然后呢，我们的旋转角度是二 r 发好，那么说明我的这两个底角是相等的，因为 c d 等于 c e 嘛，所以每一个底角的度数都是九十度减 r 发， 这里也是九十度减 r 法啊。接下来我们来关注三角形 a c、 d， 因为这里是 r 法，这里是九十度减 r 法，所以我想求得这个角的角度的时候，我就用一百八十度减 去它，再减去它，那么我也得出来这个角的度数是九十度减二而发等角对等边，所以 a d 就 等于 a c 了，对吧？哎，你的 a d 等于 a c， 你 的 b a b 也等于 a c， 所以 我的 a b 就 等于 a d 了。那第一问，点 a 是 b d 的 终点，我们就非常 easy 的 就求出 好，我们来看第二个问，如图二，当点 e 在 b d 的 下方的时候，点 f 在 ab 上，若角 b f e 等于二 r 发。好，这里是二 r 发，用等式去表示 a， c， b， d 还有 e、 f 之间的数量关系，并证明。那么我们这三条线段的数量关系啊，通常是两短等于一长，对吧？ 那么这道题我用肉眼也知道啊，我肯定是两条短的，是要大于一条长的，对不对？哎，那到底它们之间有什么样的数量关系呢？我现在有点猜不出来，猜不出来的时候，请你再整理一下题干的信息， 把该标的去标出来啊，看看题干能给我什么。首先， ab 等于 ac 角 b 是 等于 r 发的，那说明我这个角也是等于 r 发的。 然后 c d 又等于 c e 两条蓝色的边相等，并且 c d 和 c e 之间的角度是二 r 发，哎，坐到这的时候，请你停一下吧， 关注一下，中间的这个小角是 r 发哎，外面的整个的大角是二 r 发，你会发现，哎，这不是一半的关系吗？也就是我们所谓的绊脚模型，对不对？哎，遇到绊脚模型的时候，那我应该怎么去做辅助线呢？ 因为我们北京的中考是必须要求这个三角形的全等的，对不对？那给了一个绊脚模型，我们应该怎么去做全等三角形呢？来，老师把这个绊脚模型拆到这里啊，来，大家一起看看， 我两条红色线段之间的夹角是 r 发，两条蓝色线段中间的夹角是二 r 发， 你会发现，哎，这是我们的 r 发，等于二 r 发的一半，所以叫做半角模型，并且这个二 r 发被拆开了，中间占了一个 r 发，剩余的 r 发被拆成了两个部分，对不对？ 好，那么我们令其中的一个小角为点角，另一个小角为叉角，那么我们应该怎么去构造全等呢？孩子们， 半角模型其实就是在提醒我们去做旋转呢，什么意思哎，我这里有一个完整的 r 发，如果我把这个点角和这个叉角，他俩也等于 r 发，把他们两个合到一起， 我是不是我这两个角就相等了，对不对？哎，那我应该怎么去合呢？孩子们，也就是我要把上面的这个三角形哎旋转到下方来，对不对？这样我就能构成全等三角形了。那我们来看一下怎么去旋转。 首先这有一条蓝边哎，那么我让这条蓝边这样逆时针的旋转，和这一条蓝边重合，嗯，然后呢，我让 这个三角形啊里的这条红边呢，也这样逆时针的旋转啊，然后来到了这里， 大家看一下啊，我让他，哎来到了这里，好，然后我再去连接这两条线段的端点， 我们来看看这两个三角形是不是就是完全全等的了，而且这里，哎，这里的叉角现在已经转化到这里了， 那么点角加叉角是不是等于 r 发呀？对吧？那么我的这个 r 发角就做出来了，并且 我我第一个啊，是让点角和叉角合成了一个整个 r 发，而且我做出了两个全等的三角形，这就是我绊脚模型的一个做法啊，那好，回到这个题，我也是这样啊，假设这里就是一个 点角，好吧，那我用别的颜色去画啊，这里是一个点角，这里是一个叉角， 整个为二 r 发，中间为 r 发，那说明，哎，我的点和叉加起来等于 r 发，对不对？好，那么我现在遇到绊脚模型，我的想法就是让我的点角和我的叉角 是要组合在一起的，形成另外一个 r 发酵，对吗？那我应该怎么去做辅助线呢？因为我要旋转呢，我要使得这两个三角形是全等的呀，对不对？哎，那么所以我做辅助线，我可以延长 f e 之 k， 使我的 e k 是 等于 a d 的， 对不对？好，那么我的这一条蓝边 c d 是 不是已经旋转到 c e 的 这个位置了？ 好，那么现在在这两个三角形中，有两条边是相等的，一组蓝边，一组 a a d 和 e k， 现在还缺一个角，所以接下来我就是要进行倒角了，对不对？好，那么我把能标的角我现在都标出来，好不好， 我们来看一下啊，因为它等于 r 发，它也等于 r 发，所以作为外角的这个角，它是等于二 r 发的，对不对？好，那你这个角呢？是 r 发，这个角是二 r 发，那么我们的这个角第三个角 是不是就等于一百八十度减三 r 发，对吧？对，顶过来这个角也是一百八十度减三 r 发。好，那么这一个角我应该怎么去求呢？这一个角是不是整体为 二 r 发呀？对吧？哎，你要减去中间的这个 r 发，还要减去点角，那也就变成了 r 发减去一个点角。 好，那我们来看一下啊，这一个角，哎，这一个角是不是一，他是他等于一百八十度减三 r 发，再减去啊，再加上 r 发减点角，对不对？ 所以他得出来的是一百八十度减去二 r 发，再减去一个点角， 好，我把这写在外面吧。啊，这个角度等于一百八十度减去二二发减去点角，那么我们这个角呢？大家看看，你这里呢？是二二发，对不对？这里是点角，所以这个角也等于一百八十度减二二二发，再减去一个点角， 所以，哎，我们的这两个角也相等了，那两组边相等，两组角相等，所以 a s， a s 这两个三角形全等了，对不对？好，那么这两个三角形全等了之后，我把没必要的辅助线给它擦一下， 这两个三角形全等了之后，咱们就能得，哎，这个点角是不是等于这个点角，对不对？哎，那刚才这里是叉角吧，对不对？你的叉加点是不是 r 发呀？ 然后这里是提利给我的 r 发，所以我整个的这个大角就是 r r 发啊，整个的大角就是二 r 发， 我再重新画一遍，啊，整个大角是二 r 发。好了，那么因为刚才全等，说明我的这个角和我的这个角也是相等的，对吗？你刚才的这个角，它不是等于 r 发加上 r 发吗？对不对？它等于二 r 发，那么这个角也是二 r 发。好，现在同学们关注一下啊， 你等于二二发，我也等于二二发。并且孩子们，刚才啊，这里是二二发，这里也是二发，二二发。所以我们出来了两条线段是平行的， 对不对？哎，两条线段平行，并且我们这个角也是二二发，哎，两个底角还相等，这是不是出现了一个等腰梯形啊，对不对？哎，等腰梯形的底角相等，并且两条腰是相等的，那也就是说明我的 f k， 我把它重新描一下啊，我的 f k 就是 等于 ac 的 啊，我的 f k 是 等于 ac 的。 那有的同学说，老师啊， 我这这老师能用吗？我也没学过这等腰梯形，这这两条边相等，我不知道能不能用。那如果你觉得不能的话，咱保险一点啊，咱可以这样去做， 我做两条垂线啊，也就是从点 f 出发，哎，向这里向 c k 做一条垂线，从点 a 出发，哎，向我的 c k 去做一条垂线， 那么我们来看，这里是垂直，这里是垂直，并且呢，我的 b d 还平行于 k c， 说明上面的角也是相等的，对不对？ 那也就得出了中间的这个四边形是一个矩形，对吗？矩形我们可以得到的就是边是相等的，对不对？哎，矩形的对边是相等的。好，我把这里面给他标上字母， 也就是能得出我的 f m 是 等于 a n 的 啊， f m 是 等于 a n 的， 并且我这里有一个二 r 发，这里也有一个二 r 发，还有直角，那么我的这两个三角形也就是全等了啊，也就是咱的 f k m， 哎，也就全等于 n c a n c 了啊，这两个三角形全等，那你看是不是就解决了刚才咱们的疑问，就是 f k 和 ac， 如果我不能用等腰梯形去说明他俩是相等的，那么我是不是可以用全等三角形就能得出来这两条边是相等的了，也就是 f k a 就 等于 ac， 那所有该证的我都证完了，接下来我就可以干什么了，开始去导边了呗，对不对？我们来看，因为结论边里有 b d， 那 么我们先来看一下 b d 等于什么？ b d 是 不是等于 ab 加上 ab 啊，对不对？哎，好， ab 又等于谁呢？往结论边上去看啊，结论边里有 ac， 所以我赶紧把 a b 给它换成 a c， 对 不对？那么此时我的 b d 是 不是就等于 a c 再加上 a d 了，对吧？但是我的结论边里并没有 a d 是 有 ef 的， 那所以我需要把 ad 换成和 ef 有 关的，对不对？好，因为刚才三角形全等，我们能得出来 ad 是 等于 e k 的， 没问题吧？所以第一步我先把 ad 换成 e k， 那 么 e k 又等于谁呢？ e k 是 不是等于 f k 再减去 ef 啊，对不对？哎，也就是这里是 f k 啊， f k 减去 ef， 嗯，好，那么 f k 又和谁相等呢？我们第二次全等，是不是证明了 f k 是 等于 a c 的 呀？ a c 正好是结论边需要的哎，所以我把 f k 又换成了 a c， 那 么此时我的 e k 就 变成了 a c 减去 e f， 对 吧？那么接下来我就把所有的最后的导边的结果写出来， b d 也就等于 a c 再加上 a c 再减去 ef， 那 最后的结论是不是 b d 就 等于二倍的 a c 减去减去 ef？ 那 么这道题我们就做。

思路一模一样，二零二六年海定二模的几何综合与二零二五年海定二模的几何综合是一个思路。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年海定二模的几何综合。 第一问呢，相对来说呢就比较简单，他在这里告诉我们 a e 旋转九十度得到这个 e f， 所以呢我们在这里就可以，呃，假设这个角是阿尔法，那这样的话这个角呢咱们就能得到了，然后呢告诉我们这个点 e 是 中点，所以这个边，这个边，这个边，这个边，甚至这个边这五个边呢都可以标成阿尔法。 好，那这样的话呢，我们就可以通过这个三垂啊，三垂这个全等，然后呢得到这个 c f 是 垂直于 bc 的 第一个呢，咱们就直接快速的跳过，我们来看一下这个第二个， 这个第二个呢让我们去正这个角 b f d 的 一个大小，这个 b f d 的 大小，如果让我们去猜的话，应该是九十度。好，这里边呢大家看一下啊，你这个三角形是一个直角三角形， 这个三角形是一个直角三角形，这个三角形呢是一个要正的直角三角形，他们有一个公共的锐角点 b， 那 我们就可以用我们所说的思路了，就是直接倍长得到 双等腰，然后利用这个双等腰出手拉手来解决这样的一个问题。好，我们来看一下，按照这样的一个逻辑，我们可以把这个 c a 啊给它给加倍延长啊，变到这个位置，假设这个点呢是 m， 这个时候第一个等腰就出来了， 然后呢我们把这个 d f 呢也加倍延长，然后此时就能得到第二个等腰了，假设这个点呢是 n， 这两个等腰画在这，大家也能感受到，他应该是要着手拉手的，所以我们要把这个拉手线给他给画出来。第一个啊，等腰的左手点在这，他的左手点呢在这，所以呢我们就去连立 n c， 这样的话呢，得到的这一个三角形 和第二个等腰三角形的顶角点在这，以及这个顶角点在这，得到的第二个等腰三角形的手拉手，也就是说我们只要证明这两个三角形全等，那咱们这道题就做出来了。好，大家现在来看一下啊，我们在构造出这样的一个情况的时候，你会发现这个点 e， 它呢？这个终点也都被我们中位线给用上了，大家现在可以去复习一下，二零二五年海淀二模的来到几宗，你会发现一模一样，那在这个时候我们的条件用哪些呢？用黑色加粗的笔给大家标一下啊。首先呢是这个， 这个 b m 和这个 bc 啊，它是一个明确的等腰三角形，这是我们拿到的第一个条件。第二个条件是什么呢？我们会发现这个 md 它和这个 a、 e 是 中位线的关系。然后呢，这个 c n 它和这个 e f 也是中位线的关系，所以我就能拿到 md 等于 c n 了，两个边咱们都知道了，那我们接下来就要把所有的精力放在这个角度上了，这个角度好不好正呢啊？其实 通过大家对于咱们这个几何的了解，我们会发现核心就在于倒角了，题目里告诉我们这个角是阿尔法，这个角呢，它也是阿尔法，那我们现在呢，能想到，呃，怎么把这个角度给它给传递过去？这个对于我们来说是很很重要的，这是第一个关键的信息。 第二个呢，他又告诉我们这个地方旋转的是一百八十度减去二倍的阿尔法啊，这里一百八十度减去二倍的阿尔法，好，这个地方我们干嘛呢？我们现在呢，在这里假设这个角是 c 塔角， 那如果这个角是 c， 它角的话，大家看一下，那么这个角就是一百八十度减去二倍的阿尔法，再减 c， 它因为你有中位线，所以这个角它也就是一百八十度减去二倍的阿尔法，减 c， 它 好，第一个角咱们能表示出来，那你这个第二个角讲道理和它应该是一模一样的，对吧？那我们现在能知道是这边这个小角在直角三角形中，所以它应该也是一个九十度减去一个阿尔法，因为你这里边呢是 c， 它角，所以这个角 它是不是应该就是九十度减去阿尔法，再减 c 塔，再配合着咱们的中位线的这样一个逻辑，所以我们就能得到这个角它也是九十度减去阿尔法，再减去一个 c 塔。那你现在把这两个角合在一块，我们就能得到这个大角是一百八十度减去二倍的阿尔法减 c 塔和它相等。至此我们就得到了三角形 m、 b、 d， 他 就全等于三角形 c、 b、 n， 那 他俩全等之后，我们就能进一步的得到，所以 b、 d 就 等于 b、 n。 这样的话呢，我们再根据三线合一的这样的一个性质可以得到 啊， b f 是 垂直于 f d 的， 进而可以推出角 b f d 就 等于九十度。呃，这个题目的思路呢，在我们 二三年中考之后一直在考察啊，在这两年呢，考的也比较多，也是我们所说的三线合一或垂直倍长。海淀二零二五年的二模考的也是这个思路啊，希望这个视频呢可以帮助到大家。

来啦来啦来啦！海淀二模几何综合几何来咱们一块看。在三角形 a、 b、 c 中角 b， a， c 等于九十度角 b， a， c 等于九十度 角 a， b、 c 等于阿尔法。嗯，角 a， b、 c 这个角等于阿尔法，对吧？点 d 在 b、 c 的 延长线上，点 d 在 b、 c 的 延长线上， e 是 cd 的 终点， e 是 cd 的 终点。非常好的一个点， 有终点。我们要想到什么呀？什么斜边中线了，什么背长中线了，还什么中位线了，脑海里面都过一遍好吗？接着往后看，连接 e a 啊，它给我们连好了。连接 e， a， 将线段 e， a 绕点 e， 将线段 e， a 绕点 e 绕点 e 逆时针旋转一百八十度减，阿尔法一百八十度减，阿尔法 得到线段 e、 f 嗯，它旋转的是线段，所以它们俩就是相等的。如图一， alpha 等于四十五度， alpha 等于四十五度，那这个角就是四十五度喽？ c， d 等于 b c， c d， c， d 这个边啊，还等于我们的一个 b c 啊。然后点 c 就是 重点喽。连接 c f 连接 c， f。 求证 c， f 垂直于 bc， 求证 c f 垂直 bc 怎么正？同学们怎么正？首先，我们从头看 这个题的辅助线都有哪些，你觉得我们应该怎么做？辅助线做几宗？一般情况下，他会让我们去正全等，对吧？画这么一个辅助线，然后证明出来他是全等三角形，通过这个全等，然后最后去解题，对吧？嗯， 那这个全都怎么找？全等怎么找就找等边。哪些等边呀？ ab 等于 ac 啊， ac a e， 然后还等于 ef， 对 吗？主要就是 a e 等于一个 ef， 我 们是不是可以看到 abc 是 一个等腰值？那我过点 a 做一个垂线， 常规的辅助线，哈，常规的辅助线，如果没有思路，那就做等腰三角形的，什么等腰三角形的三线合一，就这么个垂线把它给做出来，做出来之后，肉眼可见的 三角形 a、 k、 e 是 不是跟三角形 f、 c、 e 应该是全等的吧？那我们就正一下喽，对吗？怎么正啊？那这个角加这个角是不是等于九十啊， 对吧？啊，然后这个角，然后他加他啊，是不是也也等于？就是，那我们是不是出来，哎，这个角是不是等于这个角了？哎，两个角相等了，是不是还有一条边，哎，这个边是不是也相等一条边一个角了？一条边一个角，要么找 a k， 然后等于一个 c、 e， 哎，咱们看一下， ak 好 像还真就等于 c e， 为什么呀？因为 ak 等于 kc， 对 吗？然后 cd 等于谁啊？ cd 等于 bc， 那所以 k、 c， 那 不就等于 c、 e 了吗？然后它就等于 ak 喽。那第一问，三角形 a、 k、 e 全等于三角形 e、 c、 f， 那 所以，所以 c、 f 就 垂直于 bc 喽，对吧？那这就做完喽，这就做完喽。第一问，然后第二问， 如图二，连接 b， f， d， f 连接 b， f， d， f 已经给我们连好了，直接写出角 b、 f、 d 的 大小，同学们， 直接写出角 b、 f 的 大小数分体，对吧？多少度啊？九十度，对吧？九十度非常好，九十度看着像就写， 然后他让我们去证明，难的呀，就是这个证明，让我们证明啊，我们从头读一遍题，好吧，角 b， a、 c 等于九十度。角 b， a、 c 这个角等于九十度。 角 abc 等于阿尔法角 abc， 这个角等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上，点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c d 的 终点， e 是 c d 中间这个边，然后等于这个边 连接 e a， 将线段 e a， 将线段 e a 绕点 e， 逆时针旋转，一百八十度减二、阿尔法。同学们，这个是非常重要的一个东西啊，把它给标出来， 一百八十度减去个阿尔法，一百八十度减阿尔法，他减的是阿尔法。那这个角是不是这个角是不是等于阿尔法呀？对吗？如果有两个这个角，我是不是把它减去，就是这个角呀？倒角会用它脑子里面过一遍， 然后得到了线段 e f， 哎，好像没有了，他现在让我们正的是谁？让我们正的就是他的这个角等于九十度。角等于九十度，那我们这个辅助线应该怎么做呢？同学们，正九十度，咱们一般怎么去正啊？ 什么斜边中线，勾股定里，对吗？还有一个非常常用的是什么？就是给咱给他背长，然后做一个等腰三角形，看他如果是等腰三角形，那么他是不是就是我们要求的这个直角啊？三角合一，对吧？好，怎么做？ 怎么做？ 将我们的 d f 倍长，嗯，好了，倍长之后，我们是不是再连接上？连接上这个，连接上这个边，嗯， 假如这个角是 k， 嗯，好了，延长 d f 到点 k 是 f k， 然后等于 d f， 对 吧？现在我只需要证明 b k 等于 b d 就 可以喽。嗯， b k 等于 b d 就 可以。那我们怎么去证呢？ 怎么去证？咱们这个题里面是不是还有一个条件是 角 b、 a、 c 也等于九十度，对吗？那咱们要不不妨给角 b、 a、 c 也给他做一个等腰，可以吗？那如果给他做一个等腰，是不是就出现那个传说中的手拉手了，是吧？哎，手拉手，那就好说了。来，我们做完之后，这个角是点 q， 这个角是点 q， 然后三角形，现在三角形扣 bc， 是 一个等腰三角形，对吧？然后这个角是 r 法，还有那这个角是不是也是一个 r 法？那这个角也是一个 r 法？ 然后是不是如果，假如角，假如三角形 k b 还有 d 是 一个等腰三角形的话， 那么他俩就是一个手拉手喽。那手拉手我们是不是可以反着去证一下？如果全等，那他就是等腰三角形，对吗？那谁跟谁拉手啊？ 谁跟谁拉手？是不是我得连接 kc 呀？ 还得连接谁啊？还得连接 d q， 对 吧？嗯，还得连接 d q。 现在我们需要去证谁？现在我们需要去证明三角形 bkc， bkc 全等于三角形 b d q。 那如果他俩全等，如果他俩全等，然后 b k 就 等于 b d 喽，这个题就做完喽，对吗？那咱们怎么正呢？咱们怎么正？咱们正全等，先看有没有相等的边相等的角，哪些边相等呢？ 现在只有一个 bc 等于 b q， 对 吧？ bc 等于个 b q。 嗯，好了，咱们接着看其他的，先不要钻进角尖，咱们先看一下我们这个辅助线做出来有什么用哈。哎，刚才我做了个辅助线，呃，怎么做的来着？ 是不是这个边等于这个边？那所以 ef 是 不是等于 ef 等于谁啊？ e f 就 等于二分之一的谁，二分之一的 k c 喽。嗯， e f 等于二分之一的 k c。 哎，那 e a 呢？这是不是也是这个是不是也是终点？这个也是终点，那所以呢？所以 e a 等于二分之一的 d q， 哎，等于二分之一的 d q， 那 现在是不是 k c 就 等于个 d q 了啊？又有一个边了，是吧？哪个边？这个边跟我们的这个大边相等了， 对吧？这两个边相等，这两个边，呃，相等。这两个边相等。还有就是哪两条边相等，是不是 b c， 呃，跟我们的一个 b 口相等啊？好了，两条边相等。现在我要证的是谁？现在我要证的是。 现在我要证的是 b d 等于 b k， 所以 说边边边是不能用的，边边边是不能用的。那现在只有倒角的一个问题，对吧？倒角的一个问题，我要倒哪个角等于哪个角啊？我现在是不是就需要去证明这个角，然后等于我们的这个角？ 好了？倒角问题，倒角问题。刚才我们是不是挣了一个 c f 平行于 c k， 对 吧？他们是平行的，那平行的话，我先这个角是等于这个角是不是等于一百八十度减二法呀？那我可以假设这个角是背他喽。 是吗？那如果他是贝塔的话，那这个角等于多少度啊？一百八十度减二 f， 然后再减去一个贝塔，对吧？嗯，然后我还能知道哪些角的度数啊？这个角是不是二？ f， 这个角是二。我现在只需要证明这个角等于一百八十度， 一百八十度减二法减倍它就可以喽，对吧？那这个角是，这个角是贝塔，这个角是贝塔， 然后这个角是不是也是贝塔？为啥？因为 a e 跟这个边是平行的，两直线平行同位角相等，对吗？那所以这个角不就等于一百八十度减去一个阿尔法减倍它吗？ 那这个题不就做完了吗？所以哪两个角相等？所以角 b q d 然后就等于角 b c k b c k 那 所以三角形 b k c 全等于三角形 b d q 啊，那所以，所以哪两条边线呢？然后，所以 b d 就 等于一个 b k 那 所以 b f 就 垂直于 k d 喽。好了，非常非常完美。 做完了，手拉手反着推了一下，对吧？做了两条中位线，然后用利用三角形的内角和倒了这么一个角好了。

太原市二模数学的卷子啊，刚刚写完，给大家做一下试卷分析。先说一下难度分级和题型。第一部分是基础题啊，难度是一颗星，题号是一到五题，选择题，十一到十二题是填空题，十六题是计算题。特点的话主要考察公式直接应用，比如说科学技术法，二字根是化简啊，或者说那个简单的几何性质轴对称的图形选择题里有什么题啊？ 积分建议，确保每天有十分钟进行速算的训练，避免粗心有分啊。第二部分的话是中档题，难度的话是两颗星，题号的话是六到八题，分别考了角度、计算，圆的性质。十三到十四题，嗯，是考的反比例函数和几何周长。十七到十九题呢，考察的是几何的证明和方程的应用啊， 特点是需要综合知识，比如说三角形相似函数建模。第十九题的话，琉璃摆件比较结合咱们情境化的实际性问题，题分建议要及时的整理错题本，重点的话通过反比例函数和统计图表的一种分析题。第三部分是压轴题，难度等级的话是三颗题，题号的话是第十题啊，第二十二题还有第二十三题，第十题考察的是坐标系平移 啊。第二十二题考察的是二次函数。最值二十三题的话考核的是菱形与三四三角形的综合，特点的话是第二十三题呢，需要多步的推理，涉及到分类讨论一个问题。 第二十二题的话，要求建立二次函数模型，求出利润的最大值。提分建议，每天要坚持有一个三十分钟，专门来练这个压轴题，掌握拆分条件，到逐步验证这样一个答题的逻辑。顺便呢给大家讲一下这个针对性提分的策略，基础薄的同学主攻第一到十二题，确保呢基础题能拿到满分。每天呢要完成一道中档应用题，比如 说第十九题这样题型练习，那咱们成绩中等的学同学啊，需要突破第十三到二十题，强化几何辅助线，添加技巧，比如说第十七题， 那咱们想拿高分的尖子生的同学啊，要钻研好是二十二级到二十三级总结动态几何与函数建模的共结法，比如 说函数法，还有那个坐标系法。总体来说呢，这次二模的数学试卷，整体的话难度梯度是合理的，压轴题区分度比较高。这次试卷的话注重了数学建模与 逻辑推理，建议咱们孩子们能结合自己的错题本，强化薄弱的环节，然后并且能关注咱们山西本土化的文化背景题。比如说第十九题那个琉璃摆件啊，成本计算，包括咱们酒店的房价去计算啊，提升咱们化学课的动力。如果需要真正性的提分策略，可以在评论区留言，需要我把整理好的策略发给你。

各位同学大家好，我是二厨师，今天呢，给大家分享一下二五到二六年太原二模考试的几何压轴题。第二、三题来，我们先看题目本身哈，第一个，已知平行四边形 a， b， c， d 中 a d 呢，等于两倍的 ab， 就是 这条边是条边的两倍，点 e 呢，是一个 bc 边的中点，过点 e 做了一条平行线， 与这个 a d 呢，交于点 o， 判断四边形 a， b， e o 的 一个形状。那我们能知道的点是两倍关系，加上中点呢，这两条肯定是相等的对吧？零边相等，上下是一个平四。所以呢，我们能得到的信息就是，第一问它就是一个菱形， 这个呢，我们就不去多强调它了哈，相当于是一个送分的题哈。接下来看第二个，它说在图一的基础上呢，连接 d e 并延长连接这个 d e 并延长交射线的 a b， 呃，相当于就是把这个中点呢进行了一个背长中线， 对吧？然后连接完之后呢，呃，他说交 c f 以点 g 就是 a e 呢，还连了一下交这个点呢，与点 g， 呃，猜想图二中线段 a e 和 e g 的 关系，就是这一段和这一段的一个数量关系，并说明这个理由。 好，那既然 d 点是个中点，还是延续我们以往做辅助线的方式哈，就是做平行线，那我们能知道 d 点是 o e 已经和它是平行关系了，对不对？那我们只要把 o e 延长一下就可以了，那这样的话呢，这 c， d， a f 和这一段呢，全部都是这个 平行的关系。我们假设哈这点为点 m， 那 由于刚刚是相当于是被成中线的，也就是说这个长方形 d e c 和 b e m 数肯定是一个全等的关系，这样的话呢，我们得数量关系，可以假设这段是一份，那它就是两份，对吧？那被长中线完之后呢， d c 和 b f 相等也是两份， ab 呢，也是一个两份，这样的话，那我们就可以把这个比例求得出来了， 对不对？那这样的话呢，就可以得到 e g 比上 ga 这一段的长度呢，等于一比四，那换一句话说， a e 和这个 e g 的 长度比就是三比一，所以呢，我们可以得到的一个信息是 a e 等于三倍的 e g， 对 不对？这是这个题目本身的一个条件啊，而且呢，这个条件会非常非常有用哈，一定对于后面做题呢有一定的帮助的。好，我们继续往下进行哈，看下后面还有什么条件。他说若以 c d g， c d g 这三个点为顶点的三角形是直角三角形，写出 d e 比上 a e 的 这个比值。好，我们把这幅图呢先清理一下哈，大概呢，我们先看啊，呃，一般情况下呢，前面的一幅图大概是能用的，我们先看好这幅图，大概就可以去用。 现在呢，我们知道了，这个角是一个直角，对吧？要想求 d e 和 a e 的 一个比值关系，那我们大概呢可以得到的信息是第一个， 嗯，首先呢， a d 和 af 是 相等的， e 点呢，又是这个 df 的 中点，所以呢，我们可以推得出来，这个信息是，这儿一定是一个直角， 对吧？这个是显然成立的一个信息哈，那继续往下哈，我们要想求比值关系，那我们不妨呢，假设这个题里面的一些线段长度哈，比方说 a o 一 份，这个一份，这个一份，这个一份，这是我们全部可以得得出来的， 对吧？同时呢， o e 也等于一份，然后 c e 也等于一份，由于这个三角形呢，已经成为一个直角三角形了，对不对？那我就能知道哈，斜边上的中线等于斜边的一半，那倒过来的一句话就是说， b f 的 长度呢是二， 而 e 是 中点呢，说明这个是一，这个呢也是一个一。那这时候呢，这就是第一种情况就可以求得出来了，就是当这个角 d c g 等于九十度的时候，对吧？当它等于九十度，那这些边都可以求得出来，我们就能知道它是一个等边三角形。那换一句话说呢，这个角度是不是三十度，对吧？那它是一个三十度呢？我们这个题目呢，就可以去求解出来了，这样的话， d e 比上 a e 的 比值，我们就可以求出出来是一个一比根三，也就是三分之根号三。那第一种情况呢，我们就可以去求解完了，对吧？那我们肯定是分三种情况讨论嘛，那每个角都有可能等于九十度，对不对？这是第一种情况， 好，继续呢，我们看第二种成立的情况哈，那第二种成立呢，我们不妨去检测这个角是直角， 我们可以假设这个 d g c 这个位置是直角，那大家如果不想画图的时候啊，就可以假设这个位置是一个直角了， 对吧？它如果是直角的话，那根据刚刚的一个条件和信息，我们能知道 e 是 一个中点，且这儿呢是个垂直的关系，对不对？所以呢，我们可以得到的信息是，这条边肯定等于这条边， 对吧？那说明什么呢？说明这个三角形就是一个等腰直角三角形，对不对？那接下来的一点呢，我们去讨论 这个比值关系就可以了，既然这边是直角，那说明左边这个位置呢，也是一个直角，那为了计算的方便呢，我们不妨就假设 这段长度为一，那这样的话呢，这个是一，这个是根号二，呃，同样的，我们刚刚已经求出了 a e 的 长度是 e g 长度的三倍，所以这段呢，等于的就是三，所以这就是第二种情形的时候，就是当这个 角 d g c 等于九十度的时候，那我们可以求得 d e 和 a e 的 比值，也就是一比三，就是三分之一，对吧？这就是这两种情况了哈。当然大家也可以把这个图去进行画一下哈，当然画一下的时候呢，这个角度就会更偏一些， 呃，大概的样子长的是这样哈，那我给大家稍微的画一下， 对吧？这个是 a， 这个是 d， 对 吧？题目中呢，连接 a e 并延长 对不对？还有一个连接的延长，这个 a b 和 d e 的 一个交点是负，对不对？那连接起来，它俩这儿呢有一个 g， 那这样的话呢，就是这个位置大概可能是直角，可以画的再稍微的扁一点，就会得到这种结论了，这也是可行的哈。当然还有第三种情况哈，虽然计算情况不成立，我们看看哈，计算情况为什么是不成立的？还是呢？把这幅图清掉， 那如果想证明的话，那肯定得连接这个哈，那连接 d g 之后呢？第三种情况就是这个角是不是可能是一个直角 对不对？那它可能是直角吗？我们去看一下哈。嗯，因为呢，刚刚我们可以得到哈，这三条线段是一个平行的一个关系，我们不妨干嘛呢？连接这个 b d， 那连接 b d 之后呢，显然我们可以求得这一部分和这一部分一定是一个全段的关系，说明呢一点就是一个中点，且刚刚我们推出来的这是一个垂直关系，就是这一段呢，等于这一段，且垂直意味着叉和叉角是相等的，那这个如果是直角的话，那 就可以得到一个信息哈，这边是不是也应该是一个直角？由于第一问之中呢，我们证明它是菱形，所以这个角和这个角呢，你就会发现最后的这两个角是相等，那这样的话，你会发现角 a d、 c 是 不是大于一百八十度了？ 所以第三种情况呢，当角 gdc 等于九十度的时候，就会推得出来一个信息，角 adc 就 比一百八还大了，那比一百八大肯定不是四边形了啊，所以这种情况呢是不成立的，我们把它舍掉就可以了。最后呢， 我们就可以求得啊，答案一共有两，一个是三分之根号三，一个是三分之一。好了，今天呢就给大家分享这么多有需要讲解的部分，欢迎大家评论区留言。