奉贤二模数学立体几何

高考一百二十加系列的收官之作，咱们来讲一讲中档题最爱考的立体几何，毕竟教育局都已经明牌了，今年立体几何难度大概率会上升。所以呢，本期视频还是基于图形确定性的分析方法，教你怎样白得十五分。 ok， 那 这期视频呢，咱们来分享这三道题目。那首先呢，再次强调一下啊，所有的立体几何体，不管放在什么地方，首先呢，都得做一波分析，而分析的核心就是这个图形的确定性， 就是你得看一下图形当中哪些点是定点，哪些点是动点，如果是定点，它是由哪些条件确定下来的，如果是动点，它是怎样运动，受到哪些限制，运动的轨迹是一个什么图形？把这些分析清楚，思路大概率就有了。 ok， 那 咱们就带着这样的分析方法，先来看第一题啊，这道题目呢，来自于二六年的宁波二摩，首先呢，给了一个三角形 abc 给出了很多条件，那这里呢，咱们自然得关注一下，这些条件之下，这一个三角形是否是完全确定的 啊？知道呢，角 c 是 六十度，知道呢， a c 是 等于四的，然后呢， bc 等于二， 各位同学，三角形两边夹角一致，这个三角形是完全确定的，对吧？同时呢，不难发现，这应该是一个直角三角形， b c 和 a c 一 比二，加角六十度，肯定是三十，六十、九十的直角三角形有没有问题？ 好，如果你要严格证明的话，那就拿余弦定力把 ab 边给它求出来，然后呢，用三边长度验证一下勾股定力就可以了。这里呢，我就不算了啊， ab 边应该是二倍根三，这个角九十度 好，然后呢，知道点 m 是 a c 的 中点，所以 amcm 全都等于二，点 m 也是一个定点。 那么同时呢，分析到这里，大家呢，不难发现，三角形 m b c 两边相等，加角六十度，这是一个等边三角形 b m 也等于二 啊。继续啊，说呢，沿着 b m 将三角形 c， m b 翻折到三角形 d m b 看一下，这个三角形做了一个翻折，那么 d m b 呢，也应该是一个等边三角形 啊。那么接下来的问题就是，这个点定是一个定点吗？哎，如果只看翻折这个条件，不一定点定呢，可以绕着 b m 做旋转，对吧？但是呢，后面给出了这么一个条件，叫做 d a 等于根号十， 那这个长度就把点 d 的 位置给它定死了，所以呢，这是一个完全确定的图形，全是定点，发现了吧， 好，但是呢，根号式这个条件不是一个特别好的条件，他没办法直接告诉咱们点 d 在 什么地方， 就是这个条件确实能确定下点 d 的 位置，但是点 d 具体在哪暂时说不清楚，所以将来呢，肯定得把这个根号式的条件转化成更容易让咱们说清楚点 d 位置的这样一个条件。 那这个呢，其实就是第一问，他让咱们证明平面 dmb 垂直平面 abm 就是 这个等边三角形和底面是垂直的，所以呢，点 d 就是 旋转到 bm 的 正上方，能理解吗？啊，那咱们来考虑一下这个面面垂直如何证明？ 那我讲两种得到思路的方法，就是后续的证明过程都是一致的，但是思考路径不太一样。 第一种方法呢，就是从面面垂直出发，想证明面面垂直，那就是要在一个平面内找到另外一个平面的垂线，咱们都很清楚，优先去找交线的垂线，对吧？那你看一下 d m b 和底面，它俩的交线就是 b m 啊，所以呢，咱们可以考虑在其中一个平面做交线 b m 的 垂线，那这个非常简单， d m b 是 一个等边三角形，那就取 b m 的 中点 o 啊，这个是中点，然后呢，把这个 d o 给它连起来， 那么 d o 呢？和 b m 肯定是垂直的，那么接下来只要证明 d o 垂直底面就可以了。好，这是第一种思路分析的方法，那么第二种分析方法呢，就是从点 d 的 确定方式出发，你看点 d 呢，是从点 c 旋转过来的，对吧？绕着谁做旋转呢？ 就是这个三角形是绕着 b m 做旋转的，但是如果你只看点 d 的 话， 那么应该是从点 d 向 b m 做垂线，这个垂足就是刚才的中点 o， 点 d 是 绕着点 o 做旋转的，应该从 c o 转到 d o， 那 你想吗？ 所以这个地方呢，肯定得把 d o 给它做出来，那么所谓的确定点 d 的 位置，其实就是确定 d o 到底旋转了多少，那你想吗？ ok， 那 么两种思路分析呢，都给大家说完了，咱们呢接着往下走啊，其实到这里就已经非常简单了，你想证明 d o 垂直底面，那就是证明 d o 和底面上的两条相交直线互相垂直，第一条呢就是 b m， 那 么第二条找谁呢？ 来，为了利用上 a d 这个条件，得把 a o 给它连起来，那么第二条呢，肯定是证明 d o 垂直， a o 用一下勾股定律，所以呢，咱们把这个三角形定 a o 给它画出来。 好，这条边呢，已知是根号十， d o 呢，是等边三角形定 b m 的 高，边长为二，这个高根号三。 然后呢，这个 a o 来，咱们呢，把底面三角形 abc 单独画出来三十度的直角三角形斜边中点为 m， 点 o 呢是 b m 的 中点，把这个 a o 连起来。那这里呢，咱们可以看一下三角形 a m o， 你看 a m 呢，应该是 a c 的 一半等于二，然后这个 m o 是 b m 的 一半等于一，那么这个角应该是一百八十度，减去角 b m c， 这是一个等边 b m c 六十度，那这个角一百二十度，所以 y 斜定律 a o 肯定能取出来，这个我就不算了，应该是根号七。 好了，验证一下，三边的平方三加七确实等于是满足勾股定律，所以呢，这个 d o 和 a o 也是垂直的，这样以来 d o 垂直底面，那么这两个平面自然就垂直了。好了，那这个第一个我说清楚了吧， 那咱们继续来看第二段。说到线段 a b 上是否存在点 p 好， a b 上有一个点 p， 使得呢点 p 在 平面 d a m 内的射影恰好落在直线 dm 上。 来理解一下这个问题什么意思啊啊？在这个平面内的射影，就是从点 p 向 a d m 这个平面做垂线，然后呢，这个垂足要刚好落在直线 dm 上，对吧？好，咱们来假设这个垂足是点 q。 哎，所以这同学，其实呢，这个条件可以换一种理解方式，咱们就从 p q 两点的确定性上出发去理解，就是点 p 是 线段 ab 上的一个动点， 然后呢，这个点 q 它得在直线 dm 上，对不对？最后呢，还得要求这个 p q 和平面 d， a m 是 垂直的。 哎，这两个点是根据这些条件确定下来的，能理解吗？啊，那么这个呢，我觉得怎么呢？就间隔器就可以了，因为确定 p q 的 这些条件在坐标系当中都非常容易表示出来， 那么考虑到这里这个角 abc 是 一个直角，所以呢，咱们可以以 b a 为 x 轴， bc 为 y 轴啊，这种呢就不给大家画了。 ok， 好， 那么接下来呢，先把 p q 两点坐标给它表示出来啊，点 p 呢，在 x 轴上作为一个动点， 咱们呢可以设点 p 的 坐标，设一个 p 零零好，点 q 呢，在这个直线 dm 上，那么想表示点 q， 得先有 dm 两点坐标，点 a 的 坐标 ab 是 二倍根三，二根三 零零啊，点 c 呢，在外轴上 b c 等于二点 c 的 坐标零二零，那么 m 作为 a c 的 中点 m 点的坐标根三一零。好，然后呢，这个点定 啊，上一个呢，咱们证明过了，定 o 和这个底面是垂直的，那么点 o 呢，是 b， m 的 中点，点 b 呢是圆点，点 o 的 坐标二分之根三，二分之一零。 所以呢，点 d 的 坐标 d， o 呢，是根号三就是二分之根三，二分之一根三。好了， d 和 m 的 坐标都有了，那咱们来表示一下点 q 的 坐标 啊，可以用下这个定比分点的公式啊啊，点 q 的 坐标呢，就可以表示成 t 倍的点 d 坐标，再加上 e 减 t 倍的 m 坐标 t 乘上这坨二分之根三 t 二分之一 t 根三 t， 再加上这坨乘一减 t， 根三减根三 t， 一 减 t 零。好了，这两个加起来那么点 q 的 坐标 根三对不起，减去二分之根三 t， 然后呢是一个一减去二分之一 t， 最后根三 t， 那 到此为止呢，这两个限值条件已经用完了。最后一个限值条件 p q 垂直，这个平面如何理解？其实呢，就是 p q 向量是这个平面的一个法向量，这里呢，有两种处理方式啊，咱们呢，先把这个 p q 向量给它取出来 啊，就是根三减二分之根三 t， 再减 p 一 减二分之一 t 根三 t 啊。第一种处理方式就是 p q 向量和这个平面上两个不共线的向量分别点乘等于零。那么第二种处理方式就是你先把这个平面的以个法向量给它求出来，这样 d a， m 三点坐标都有了，以个法向量大家肯定都会求 啊，这个呢，我就不算了啊啊，算出来呢，应该是一根三一啊，那么这个 p q 向量和这个反向量应该是平行的，对吧？ 那么两个向量平行，就是所有的坐标对应成比例 来，第一个坐标根三减二分之根三 t 减 p， 它呢除以这个地方的一，然后呢就等于 一减二分之一 t 除以这个地方的根号三，同时呢，就等于根三 t 除以最后一个坐标除以一啊，这个一呢，就不写了， ok， 那 么这样一来呢，就得到了一个关于 t 和 p 的 方程组，这个方程组相当好解，后面两个方程可以算出 t 啊，一减二分之一 t 等于三 t 一 等于二分之七 t， 所以 t 就 等于七分之二。然后呢，随便带回到哪个方程，把这个 p 给它求出来， 算出来应该是七分之四倍根三，那么 t 和 p 全都有了。最后呢，这道题让你求 a p 的 长度，来，各位同学看一下 啊， a p 的 长度，其实呢，就是 ab 减去 b p， 然后呢， ab 是 二倍根三， b p 呢，就是这个地方的 p 七分之四倍根三，所以算出来七分之十倍根三，那这道题就做完了。 好，所以大家呢，会发现，其实呢，这个分析的思路就是看一下每个点是如何被确定下来的，每个点受到哪些条件的限制，然后把这些条件合理的表达出来，就可以了，理解了吗？好了，那这道题就说到这里， 那咱们再来看这道来自于甘肃二摩的题目，图形呢，乍一看好像有点小复杂，但其实这道题啊，分析起来还是很舒服的 来，他呢，给了一个多面体，知道呢，底面 a、 b、 c、 d 是 一个矩形啊，那么看到矩形，咱们自然要关心它的长和宽是否是确定的，对吧？来到后面找一下啊，这里呢，知道 a、 d 等于二以及 a、 b 等于三啊，这边三，这边二，所以底面完全确定 啊。接下来呢，知道这个 a、 e、 c、 f、 d， 七分别和平面是垂直的，看一下 a， e、 c、 f、 d， 七，所以呢，这三条线的方向是确定的。然后呢，又给出了 a， e 等于二， c， f 等于三，这段等于二，这段等于三。 好，那么这样一来的话，点 e 点 f 这两个点也是定点，对吧？现在呢，就只剩点进是一个动点了。最后呢，知道 m、 n 分 别是 b、 d 和 e、 f 的 中点，看一下两个大中点 m n 也是定点， 所以呢，看来看去，这道题的动点只有点进这一个动点， 但是呢，这个动点的运动方式相当简单，就是在定界上上下移动，只要定界的场动确定了，那整个图形就完全确定了，发现了吧？ ok， 那 带着对图形的理解，咱们先来看第一问，让你证明 m n 平行平面 d， c f 七 m n 呢？在这个地方， d， c， f 七是后面这个平面 啊，我个人觉得这个思路还是挺容易看出来的，因为这个图形给的实在是太规整了，很明显就是证明 m n 和 c f 平行就可以了，这两条线看上去就像是平行的，对吧，那具体怎么证明呢 啊？考虑到这里，点 m 是 b、 d 的 终点，咱们可以把这个 a、 c 给它连起来，那么底面呢，是一个矩形，所以 m 同时也是 a、 c 的 终点。 好，然后呢，咱们看到这个平面 a、 e、 f、 c。 注意啊， a e 和 c f 都跟底面垂直， a， e、 c、 f 是 平行的，这四点确实在同一个平面上。 好，它俩平行，所以呢，这是一个梯形，那么 m 是 a c 的 中点点， n 是 e、 f 的 中点，所以呢，这个 m n 就是 梯形的中位线，那么梯形中位线的性质和上下底边都是平行的，那不就正出来了吗？ 所以 m n 和这个 a， e 以及 c f 都是平行的。 好了，所以 m n 呢，和这个平面 d， c， f， g 也是平行的。 ok， 第一问呢，就要结束了， 来第二问啊，说呢，点进点 e 点 b 点 f， 四点共面，求这两个平面所成角的余弦值。看一下这四点共面 啊，一开始呢，咱们分析过啊，点记呢，应该是一个动点，但是加上四点共面的条件，点记的位置就被定死了， 对不对？所以这道题呢，其实就是根据四点共面，先把定记的长度给它求出来，那只要这个长度有了接下来间隙，算坐标都是相当简单的。这道题有大量的垂直，比如说呢，这个是 x 轴，这个是 y 轴 啊，只要根据四点共面取出 d、 g 的 长度，所有点的坐标都能取出来，发现了吧？好，所以咱们来考虑一下这个四点共面如何使用呢？ 来这里呢，给大家讲三种不同的方法啊。第一种方法呢，就是非常常规的坐标的方法，这个就给大家说一下思路啊，就是你先把其他点的坐标都给它写出来，那么点 g 的 坐标呢？比如说可以设成是零零 p， 可以 吧？ 好，那么所谓的四点共面，用坐标是这么去表示的，先找到平面 b、 e、 f 的 法向量 啊，反正呢，这三点坐标能求出来，这个法向量的坐标也能求出来。然后接下来因为四点共面点进也在平面 b、 e、 f 上，所以 b、 g 向量和这个法向量 n 向量一定是垂直的，各位同学想一下有没有问题？ 好，那根据这个垂直就能把 p 给它取出来了，那理解吧。 ok， 这是第一种方法好，然后呢，第二种方法处理四点共面，咱们还可以用向量的方法 啊，具体来讲呢，就是这样的，你在这个平面之外任选一点，比如说选这个圆点 d， 然后呢，从点 d 到这四个点会形成四个向量，把其中一个向量，比如说 d、 g 向量， 用另外三个向量给它表示出来，也就是呢，表示成 a 倍的 d， b 向量，加上 b 倍的 d， e 向量， 再加上 c 倍的 d， f 向量。那么一旦表示完成之后，根据四点共面， a 加 b 加 c 系数和必须等于一，根据这个东西就能把这里的 p 给它取出来了啊，这种方法呢，给大家具体的演示一下。 ok， 那 咱们从递进向量出发，目标呢，是把它转化成这三个向量啊。首先呢，可以看到 m n 这个向量，因为 m n 分 别是 b， d， e， f 的 中点， m n 将来可以转化成这四个点。 那么上面呢，咱们证明过啊， m n 和 c f 是 平行的，所以 m n 和 d g 也是平行的，因此呢， d g 向量一定可以表示成 t 倍的 m n 向量，哎，将来只要把 t 给它求出来， d g 的 长度自然就有了。 好。然后呢，继续对 m n 向量做转化这一道呢，这些向量都是从点 d 出发的，所以把 m n 向量转化成 m d， 加上 d n。 ok， 那 么这里的 m d 注意到 m 是 b d 的 终点， m d 就是 负二分之一 db 向量，再乘 t 负二分之 t 乘 db 向量好， db 呢就有了。 然后直接说，这里的 d n 点， n 呢是 e， f 的 中点，所以 d n 向量就是二分之一，定义向量加二分之一， d， f 向量，再乘上 t 二分之 t， d， e 向量加上二分之 t， d， f 向量。 好了，各位同学，那咱们的这个目标就完成了。那么最后呢，根据系数和等于 e 这三个系数相加 啊，正好呢，就是二分之 t， 它等于一，所以呢， t 就 等于二。哎，这样以来， d g 的 长度应该是二倍 m n 的 长度， 那这个 m n 的 长度又是多少呢？那非常简单，上一个呢，咱们说过啊， m n 应该是梯形 e， a， c， f 的 中位线，那么中位线的性质应该等于上下底边和的一半， 所以呢， m n 的 长度就是二分之一 a e 加上 c f。 好 了，这个 a e 等于二， c， f 等于三， d， g 等于五 行了，那有了 d g 的 长度，接下来间隙算坐标这些东西都不困难吧？ ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下四点共面的第三种处理方法。 那最后一种方法呢？是一种纯几何方法，咱们呢，还是看到这个点 n 就是 点， n 是 ef 的 中点，所以点 n 肯定在平面 g e， b， f 上，对吧？咱们把这个平面呢设成是平面二法好，所以这样以来， g、 n、 b 三点都属于平面二法 啊。同时呢，咱们刚刚说过了， m n 和 g d 会确定一个平面， 咱们呢，假设它俩确定的平面是平面贝塔，那么这样以来， dm 两点都在平面贝塔上，那么点 b 是 直线， dm 上一点点 b 也在这个平面上，所以 gnb 三点同时也属于平面贝塔。 好了，各位同学，那么这三点同时在这两个平面上，而咱们都知道两个平面相交得到的是一条直线，所以这就能说明 g、 n b 三点共线。 好了，那看回到这个平面， g、 d， b， 你看这个 m 呢是 b d 的 中点，然后 g n、 b 三点共线， m n 和 g d 又是平行的，所以很明显点 n 只能是 b， g 的 中点， m n 就是 中位线，所以 g d 等于二倍 m n 和刚才推出的结果完全一样， 看懂了吗？好了，那这个 d g 的 长度有了，剩下的就不给大家仔细说了，说一下最终的答案，大家呢自己算一下好吧， 啊，就是接下来呢，可以算出这个平面的法向量，咱们用 m 向量来表示，是一个九十六，然后呢，这个平面其实就是 y o z 平面，法向量幺零零。那么最后呢，假设两个平面所成角是 c t， 可以 算出 cosine c t 是一个二百一十七分之九倍的根号，二幺七是一个还比较复杂的数，但是呢，这个没有什么太大的关系，因为这道题的核心就是四点共面，如何处理？这盘我说清楚了吗？ ok， 那 第二题就分享到这里， 那来看最后一道来自于深圳中学的题目，依然是基于图形的确定性去做分析 啊，这个图呢，给的不像是一个很规则的图形，咱们先看一下条件哈。啊，知道呢， p a， p d， a， d， c， d 都是二，看一下， p a 等于二， ad 等于二， pd 等于二。好，那么三角形 p a d 是 一个等边三角形，所以这个三角形完全确定。 然后呢，知道 ab 是 等于一的， ab 平行， cd， ab 垂直， ab 这个地方是垂直的， ab 和 cd 是 平行的，那咱们把底面这个四边形单独画一下。 好，这里是 abcd， 这里呢是垂直的，那么这个地方也是垂直的，知道 ab 等于一， cd 等于二， a d 呢也等于二，那很明显，这个梯形也是完全确定的，对吧？所以呢，这个多面体当中有两个面都是确定的，那整个这个多面体是确定的吗？ 哎，这个呢，还不一定，为啥呢？因为你可以把这个 a， b， c， d 给它固定下来，然后让 p a， d 绕着 a d 做旋转，相当于这两个面形成的二面角的大小还不确定，对吧？所以接下来呢，在看问题的时候，要关注一下这两个平面的夹角是否确定 好，咱们先来看第一问啊，知道呢，平面 p a、 d 垂直平面 a， b， c， d 啊，这个条件呢，给的非常好，就是刚刚提到过的这两个平面互相垂直，面板垂直加角九十度，那整个图形就完全确定了，对吧？然后呢，让你证明平面 pbc 和平面 pcd， 看一下这个平面，这个平面是垂直的， ok， 这两个平面所在的位置呢，不是那种特别好看的位置，所以我个人觉得考场上直接选择间隙就可以了，因为第一的话，有已知的面面垂直，这个坐标器会比较好见。第二，因为整个图形完全确定，所以每个点的坐标一定都能写出来，能理解吗？ 啊，那么这里间隙的思路呢啊，我个人觉得就以点 a 为圆点，这里呢是 x 轴，这里是 y 轴，可以吧？ 啊，那么点 a 坐标零零零，点 d， 坐标零二零，点 b， 坐标幺零零，最后呢，点 c 坐标应该是一个二二零好，然后呢，还差一个点 p， 你看 p a、 d 呢，是一个等边三角形，面面垂直，如果你从点 p 向底边做垂线，这个垂足应该是 a、 d 的 中点，对吧？然后呢，这个高是根号三，所以呢，点 p 的 坐标零一根三。 好了，现在呢，所有点的坐标都有了，那么这两个平面的法向量应该非常容易算出来，就不给大家仔细算了，说一下最终的结果啊， p b c 的 这个法向量， 它呢是一个二负一跟三，然后 p c、 d 的 反向量零跟三一，那么这两个向量点成显然等于零，那面面垂直就正出来了，有没有问题？ ok， 咱们呢，再来看第二问。 好，第二问呢，说 b c 垂直 p b， 看一下刚才的面面垂直就没有了，知道的是这个 b c 和这个 p b 它俩是垂直的， 然后让你求两个平面夹角的余弦值，那么这面的光线呢，还是要想清楚啊，就是因为底面的这个条件是不变的，所以 a b、 c、 d 四点一定是定点，那么此时点 p 是 不是定点？ 这它也是定点，一开始说过了，相当于啊，三角形 p a d 绕着 a d 做旋转，然后旋转到 b c 和 p b 垂直的这样一个位置，那么点 p 的 位置一定是被定死的，对吧？ 所以呢，这面的关键就是根据这个垂直条件，把点 p 的 坐标给它求出来，然后这两个平面的夹角一定就能求了，那这个坐标要怎么求呢？哎，因为点 p 是 一个定点，所以你得去找点 p 是 被哪些条件限制出来的 好，首先第一个现实条件呢，就是之前提到过的 p a d 绕着 a d 做旋转，那么如果说到点 p 的 话，就是从点 p 向 a d 做垂线垂足呢，即为 h， 那 么这个 h 的 坐标应该是 a d 的 中点，也就是零一零。 好，就相当于啊，点 p 绕着点 h 做旋转， 那么在这个旋转的过程当中，你会发现 p h 和 ad 始终是垂直的，这是第一个限制，同时 p h 始终应该等于根号三，这是第二个限制。 最后呢，再加上 b c 垂直 pb 第三个限制，三个限制就足以把点 p 的 坐标取出来了，对不对？ ok， 所以 这里呢，咱们先把点 p 的 坐标给它设出来 好，这道 p h 和 a d 是 垂直的，所以点 p 的 第二个坐标一定等于一，那就把坐标设成是 x 一 z， 这样以来呢，第一个限制就用完了。然后呢，第二个限制， p h 等于根三 来点 p 坐标点 h 坐标 p h 的 长度应该是根号下 x 方加 z 方，它等于根三，所以 x 方加 z 方等于三。好，最后呢，就是这个 bc 垂直 p b 来吧， bc 向量点 c 减点 b 一 二零。然后呢，这个 b p 向量 点 p 减点 b， x 减一，一 z 两个向量点成 x 减一加二，也就是 x 加一等于零。 行了，这样一来呢，点 p 的 坐标就有了，第一个坐标负一，第二个坐标一把 x 等于负一，代入这个方程， z 方等于二啊， z 呢，就取正的这个就可以了，根号二有没有问题？ ok， 那 点屁的坐标有了，这道题呢，其实就已经做完了，剩下的就是一些纯粹的计算环节了，所以到这里咱们再次总结一下这个思路， 其实呢，关键就是从几何的角度去分析这个点到底是不是定点，然后如果他是定点，这个点是由哪些条件的限制确定下来的，再把这些限制条件转化成方程，求出点屁的坐标就完事了，理解了吗？ 好，然后呢，最后呢，再给大家说一下这两个平面的法向量， p b c 的 法向量用 n 三来表示 啊，应该是一个二根二，负根二五。然后呢， p c d 的 法向量用 n 四来表示，应该是零 根二一。那么最后呢，这个加角的余弦值答案呢？可以告诉大家，三十五分之根号一百零五。好了，各位同学，那这三道题目我都说清楚了吗？ ok， 这期视频就分享到这里。

大家好，我们来看一下这一次松江区二十三题的第一问啊，是一个跟菱形相关的题目，我看到很多同学用的方法过于复杂了，所以我在这里分享一个非常简单的方法给大家，我们一起来看一下啊。 这个呢，他说，首先这是一个半圆，那么对于圆来说，他的半径都是相同的，这个必然我们一会要用到，他给了我们一些条件啊，是这个样子的，大家看啊，他说 d e 比 b， e 是 一比二， c e 比 a， e 是 一比二。哎呦，你们一看到这个条件，他比他和他比他，你不就能知道这两个三角形是相似的吗？因为这里又是对顶角，那么一说到他俩相似，大家其实就知道了，那么 dc 和 ab 也就平行了， 同时在这个地方，他不仅跟他平行，他和他是不是也是一比二的关系啊？那么大家来看， dc 比 ab 是 不是就相同了？那么大家来看啊，这条边就等于这条边了。好了，他俩既平行 又相等，那么大家看，最后让我们求什么呢？求 b、 d 和 oc 是 垂直的，那么你们看什么时候它这个里面的线会是垂直的呀？必然要证它是菱形啊，菱形的对角线是垂直的，那么这个时候我们先给他把这个菱形画出来啊，一定要表示出来。这个时候我们连接一下这个 d o， 再连接一下 bc， 大家看啊，那这个时候这个菱形里面是不是怎么正？它的对角线是垂直的， 这个又平行了，我们只需要再正一个邻边相同，它就是菱形，很简单的，邻边相同就在这 o b 是 不是等于 o d 啊？因为都是圆的半径，所以说先正它是平行四边形，又正了邻边相同，那么这个时候它就是菱形了，那么它的对角线必然就垂直了。题目就出来了，大家学会了吗？

同学们好，杨浦区二模的第六题，很多同学卡了五分钟，其实一条辅助线直接秒解，因为鼻翼是角平分线，首选的辅助线是角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以我们来做 e 极垂直 b、 a 的 延长线于点极 e h 垂直 b， c 的 延长线于点 h。 又因为 c、 e 呢，又是角 a、 c、 d 的 角平分线，所以我们也来做 e、 f 垂直 a、 c 于点 f 角平分线上的点到角两边的距离相等，所以这三条线段都相等。 要我们求的角 c、 a、 e 就 等于角 e a、 g。 现在你是不是已经清楚了，我们应该知道哪一个角就可以把这个角求出来啊？ 聪明的你一定选 c 角 b a、 c 知道了这个角要求的角 c、 a、 e 的 度数就出来了。 这道题还有一个解法，因为 b、 e 是 内角平分线， c、 e 呢，是它的外角平分线，所以点 e 呢，是三角形 a、 b、 c 的 旁心， 旁心一定平分角 b、 a、 c 的 这个外角。所以要想知道角 c、 a、 e 的 度数，我们一定要知道角 b、 a、 c 的 度数。选择 c。 关注我，更多的亚洲题等着你来学习！

大家好，那今天看一下二六年的东城高三二模的椭圆压轴题目啊。呃，那么第一问要求椭圆的方程的条件是右焦点和椭圆上的一个点， 那么正常情况下，我们可以看一下这个点和两个焦点的距离之和，它应该等于二 a， 但这个负一减根号三的平方它也不是很好算 啊。那可以把这个 a 方把它换成 b 方加三，然后解一下一个二元方程，把 b 方求出来，最后解出来的应该是 b 等于一等于二。这个椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方除以一等于一，那么过程我们就不写了。 第二个，我们看一下这个图片，边看图一边读这个 t， 这个点 a a 逗零的话，应该跟上面这个 a 是 一样的，也就是这个 a 是 二逗零，这个 t 的 就是我们这个实际上的一个字母 t 不 等于正负一， 这直线 x 等于 a， 就是 x 等于二，分别与 y 等于一和 y 等于负一交于 m 和 n， 那么 m 这个点呢？就是呃，二逗一，然后 n 这个点的话呢，就是二负一，然后直线 m， t 和下面这个 y 等于负一交于点 p， 然后 n， t 和 y 等于一交于点 q， 这个 a 和 t 它和果园交在另外一个点 r， 然后证明这个 p q， r 三点共线。那么整道题目思路还是比较容易想到的，就是把 p q， r 都用 t 来表示出来，再证明一下。呃， p r 和 p q 的 斜率相同，或者是 q r 和 p q 啊，这三个点选出两个求斜率，然后证明它的斜率相同。那么整道题最大的特点就是计算量比较大，计算的长度比较长，中间比较容易出错， 我们首先可以先把 m 和 t 先连立，然后得到 mt 的 方程，然后再把 y 等于负一带去求一下 p 点的坐标。 那我们用同样的办法把 p 和 q 的 坐标都求一下，用 m 和 t 两个点的坐标求出 m t 的 解析式啊，然后把 y 等于负一带进去之后求出 p 点的横坐标，是 t 减一分之二， t 加二，然后 q 的 话呢，应该是 t 加一分之二， t 减二比较对称， 然后这个 p 和 q 的 坐标我们就都能够求出来。那我们现在还差一个点的坐标，就是 r 点的坐标，那么 r 点坐标是应该是直线 a t 和椭圆的交点， 那么因为 a 点的坐标是固定的，所以我们正常情况下，如果设一个直线的方程的话，我们只能求出 x c 加 x r 和 x c 乘以 x r。 但这道题呢，我们是可以直接求出 x r 的， 那么把 x r 带到 a t 的 这个式子里面，我们可以求出 r 点的坐标来，我们接着补一下 r 点的坐标的过程啊。 那我们现在把这个 p 和 q 求完之后，再用 a 和 t 得到一个 a t 的 一个解析式， 呃，然后应该是负的二分之一 t， x 加上 t， 然后把它带入这个椭圆方程里面，然后会得到一个 t 方加一倍的 x 方减四， t 方加上四， t 方减四等于零。 然后这个方程我们不用真的去解，也不用去算它的根的判别式，因为我们已经确定它有一个根肯定是二的，所以它肯定是可以进行一次分解的，然后一定也会有两个根，然后他这 求完之后应该是，呃，如果因式分解的应该是 x 减二，呃，乘以的是梯方加一的，乘以 x， 再减去一个二倍的梯方减二，就能求出这个二点的横坐标是梯方加一分之二梯方二，梯方减二，这个地方是这样子的， 就是二乘以二 t 方减二，应该是等于四 t 方减四啊。然后把这个 r 点的横坐标求出来之后，再带入到这个 a t 这个直线里面，然后就可以求出 r 点的纵坐标是 t 方加一分之二 t， 那 么 p q r 三个点的坐标就都求出来了。 那么接着我们就需要算一下这个 p q 它的斜率或者 q r 的 斜率。可以看到 p r 和 q r 它的格式应该是非常像的，算 呃算起来的话应该差不太多，但是 p q 的 话应该会好算一点。可以先算一下 p q 的 解析式，然后再看一下和 p r 的 呃算出来的解析式是不是，呃斜率是不是是一样的。 理论上的话呢， p q， p r 和 q r 三个两个点连立算出来斜率应该都是相同的。那接着我们去算一下 p q 还有 p r 的 斜率啊。 那么求出这个 p q r 之后，我们可以先算一下 p q 的 斜率啊，算完之后会发现，嗯，它减完之后是四 t 分 之一减 t 方， 然后 p r 的 斜率的话呢，就整道题计算量最大的一个部分，嗯，然后算完之后可以发现，它其实也是四 t 分 之一减 t 方啊，然后呃，因为两个都是四 t 分 之一减 t 方，可以发现，当 t 要是在一和负一之间，然后 呃，如果 t 等于零的时候，我们可以去算一下 p q r 它三个点的坐标，然后就会发现它都在 x 等于负二上面，然后，呃，那么最后 p、 q、 r 这三个点就始终是共线的。

看这道奉弦的耳膜真题说这是一个直角梯形， a c 和 b c 这里还垂直 b c 方等于 c e 点上 c a， 因为让我们证 f a 等于 f e， 那 我们看一下啊，我们先把这个式子改写 b c 方等于 c e 点 c a 除一个 b， c 到右边，再把 c a 除到左边，我就得到 b c 去除以 c a 就等于 c e 去除以 bc。 那 这是哪两个三角形列出来的比例式呢？应该是三角形 c b e 和三角形 c a b 它俩列出来的比例式。另外它俩也有这个公共角啊，这个直角，所以这两个三角形是相似的，那么它俩相似之后，我就能得到打勾的这个角等于这个角， 这叫相似。三角形的对应角是相等的，那么打勾的角和这个打叉的角加起来应该是九十度，而这个角跟这个打叉的角是对顶的，所以这个角也是打叉的角， 那么这个角和这个打叉的角加起来也是九十度，所以这个角也是个打叉的角，所以这两个角都是打叉的角。那么根据等角对等边，我们就能得到 f a 就 等于 f e。 那 么第一份呢？我们就剩完了。 然后我们再来看第二位，第二位让我们证 f g 垂直 a c 于 g。 那 么先这样做一个垂线， f g 垂直 a c 于 g， 让我们证 c e 方等于 a e 点上 a g。 那我们还是一样把这个乘法式子改写一下，改成除法。比如说我们可以怎么办呢？比如说我们可以把 a e 除到左边，再把 c e 除到右边，我们就能得到 c e 去比上 a e， 就要等于 a g 去比上 c e， 那 么第一位我们得到的 f a 等于 f e 的 话，那么这个 a g 其实是跟 e g 是 相等的，因为我们说这个 f g 呢，它是三线合一的啊， f g 是 三线合一的，这是等腰三角形的一个性质。 那现在我们看一下，为什么左边相比等于右边相比呢？那么 c e 比上 a e 是 什么呢？其实 c e 是 比上 a e， 因为我们现在有三角形 ecf， 它是相似于三角形 eab 的， 那么其实 c e 去比上 a e， 就是 这两个三角形的相似比，它还等于什么呢？它应该还等于这个啊，作为这个三角形的相似比，它应该还等于 e f 去比上 e b， 那我们看等号右边这里它等不等于 e f 比上 e b 呢？它也是等于的，因为这个比例啊，它可以看作哪两个三角形的相似比呢？它可以看作三角形 e g f 和三角形 e c b 的 相似比， 那 e g f 和 e c b 的 相似比，它也等于 e f 去比成 e b， 所以 等号左边和右边都等于这个，所以等号左右就相等。然后我再把它写成乘法的形式，就是这个式子，我们这道题就整完了。

倒计时第十三天，我们今天打卡复习的是立体几何的内容，今天这道打卡题目来自二零二六年东北三省三校二模的第十六题，我们看一下这道题的话有两个小问，第一问是证明面面垂直，第二问是求我们的线面夹角的正线值。我们在正面面垂直之前，先简单的复习一下面面垂直证明方法。 我们面面垂直的话，用到的是面面垂直的判定定里面面垂直判定定力的话，说的是当一条直线，一条直线垂直于一个平面的时候，那这条直线它如果包含在另一个平面内， 我们就能够说两个平面是互相垂直的。那在正垂直之前，我们回想一下以前我们做的题目当中能够出现垂直的模型有哪些？ 首先第一个就是提杆自带的一些，比如说线面垂直线，垂直面上所有的直线，或者是面面垂直，两个面互相垂直产生一条交线，那任意一个平面内的直线，它只要是垂直交线的都垂直，另一个面则垂直另一个面上所有的直线。第二个就是咱们的这个空间几何体里面，它自带一些正方形、矩形， 它们的菱边是互相垂直的。再者如果出现了一些等腰等边三角形的话， 我们的中线和底边也是互相垂直的。常用到的垂直模型有这一些，那有时候我们会发现，当我们在做正名垂直题的时候，往往需要两组垂直，当我们考虑完一二三四四种条件过后，好像还差一组垂直条件，那这个时候往往我们的这个勾股定律 容易被咱们忽略掉，而且这种题有什么特质呢？一般题干会给特别多底边的一些边长，或者是自带一些什么等腰、等边三角形，它的边长之间是可以互相转化的，这个是容易被我们 忽略的。那讲完这个，我们再回到这道题本身，这道题考了一个斜楞柱的问题，他要正的是平面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 我 们在做这种题的时候，老师建议同学们带一把直尺，带一支铅笔进到考场上。我们 在正式写过程分析之前，你先用铅笔把这个面稍微给它轮廓勾画一下，以免我们给看晃眼了。 面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 要证面面垂，用面面垂的判定力里需要一条直线垂直一个面，那这条直线如果包含在另一个面上，两个面互相垂直，那我们来找一下题干，他说这个四棱柱 a， b， c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， d， e。 底面是一个菱形， a 有 菱形，这个地方我们紧抱拉起它，可能是对角线互相垂直。我们再接着往后读，他说，角 a， b， c， a， b， c 是 三分之派，也就是六十度，这个角是六十度的话，同学们想一下，我们连接我们的这个 a、 c 连接 ac， 你 底面是菱形，这个地方是六十度，那整个菱形就会分成了两个等边三角形，有等边三角形，就会自带中线垂直底边的这么一个垂直条件。然后又说了这个侧面 a， d， d， e， a， e 是 一个矩形，矩形的菱边也自带垂直关系。那 读完题过后，我们会发现有垂直的，第一个有菱形，对角线垂直。第二这个地方根据菱形六十度，有一个等边三角形会自带垂直，这地方矩形也自带垂直。那我们想一下，如果我找到这个 a、 d 的 中点，找到 a、 d 的 中点，比如说这个点是点 n， 这个点是点 n， 我 们连接一下这个 c， n 连接 c， n， 这个时候会有一个什么效果呢？ c、 n 一定是垂直 a、 d 的， 又因为题干说 a、 d， d， e， a， e， 它是一个矩形， 那矩形的话，我连接中点 m 点和 n 点 m、 n 两个中点，它一定是平行于我们的这个 d、 d， e 的， 那 d， d， e 垂直 a， d。 同理，我们的 m、 n 也垂直 a、 d。 所以 对于 a、 d 而言，对于 a、 d 而言， a、 d 垂直 n， c， a， d 垂直 n， m， n， c， n， m 相交于 n 点，那 a、 d 直接就垂直平面 n， c， c， e， m 也就是垂直我们的平面 c， c， e， m， 那 a、 d 垂直整个面的过后， a、 d 是 包含在底面 a、 b， c、 d 的， 所以两个面互相垂直。所以这个题我们可以通过题干，菱形自带对角线垂直，加上六十度，出现了等边三角形，等边三角形自带中线垂直底边，外加我们的这个矩形 邻边互相垂直。两组垂直关系得出一组线面垂直，那线垂直面线包含在另一个面上，我们就能够得出这个平面和平面之间是互相垂直的。 ok， 这个是咱们的第一问，然后第二问，我们来看一下，他说若平面，我们把这个清空一下， 若平面 a， b， d， e， a， e 和这个平面 a， b， c、 d 所成二面角的平面角为六十度，我们先不往后面读，先研究一下面和面所成的这个夹角面面所成的夹角，如果用我们的这个几何法来找角度的话，该怎么找呢？我们复盘一下这个内容， 通过一个面上的点做另一个面的垂线，产生一个垂足，通过垂足做两个面的交线的垂线，再次产生一个垂足，连接起点和第二个垂足，形成的这个夹角就是咱们二面角的平面角。那我们想一下， a d， d e a e a b c d， 这两个面的交线是 a d， 交线是 a d。 然后通过刚才第一问的分析，我们是知道这个 m m n， 它是垂直交线 a d 的， 而底面 是一个菱形，被拆成了两个等边三角形， n 是 中点，我直接连接这个 n c， 直接连接这个 n c， 它也是垂直 a d 的。 那这个时候我们会发现你的这个两个平面所成的夹角其实就是咱们的 m n c。 所以 第一句话我们能够得到的这个结论就是角 m n c， 它是我们的这个平面里面的这个角度三分之派。一定注意，当我们在用空间向量法再找一些夹角问题的时候，比如说提杆，它自带一些二面角是多少度，或者线面角是多少度，那这个地方大概率都是用我们几何法先把这个角度找出来，那我们再看它给了一个 a a 一， 也就是我们的 侧棱的长度是根号三，然后提杆已知底面，这是 a d， 底面是一个菱形，所有棱长都是二，然后给的这个 abc， 这是六十度， 他求的是 b 一 d， 这个是咱们的 b 一 点 b 一 d 这条黑色的虚线和平面 m a b 所呈假角的正弦值。我们先复盘一下，我们先复盘一下，利用空间向量法求线面角的一个步骤，第一步，建立坐标系。第二步，找到直线的方向向量，也就在直线上任意找两个点，把方向向量找出来。第三步，找平面的法向量，然后第四步是一个易错点， 线面角的正弦值 sin theta， 它对应等于平面的这个直线的方向向量。比如说举，随便举个例子啊，比如说这是 e f 向量，是方向向量，然后以及平面的法向量所乘角的弦值。 根据公式， e f 向量点成 n， 向量，比上 e f 的 魔长，点成 n 的 魔长。最后不要忘记了整体夹绝对值，因为线面角的范围是零到九十度的一个范围，所以夹角余弦值必须得是正的。 ok， 那 我们看一下这道题，这道题在间隙之前，我们看一下，这是一个斜楞柱， 这是一个斜楞柱。我们刚才通过第一问已经知道了这个 m， c， c， e 和底面是互相垂直的关系。 m c， c， e 和底面是互相垂直的关系。这地方我们可以怎么去间隙呢？这地方我们可以怎么去间隙呢？我们刚才说了底面这个菱形，它其实就是两个正三角形构成的 两个正三角形构成。通过第一问，我们刚才在这个 a d 的 中点位置找了一个 n 点，然后连接了一个 c n， c n 的 话，它本身是垂直，我们的 a d， 你 底面是菱形，这个 c n 垂直 a d 就 相当于是 c n 垂直 ab， 那 大概率我们这个坐标系的话，可能都会以这个 c n， c b 为我们的这个 x y 轴。那知道了这个 x y 过后，我们怎么去找这个 z 轴呢？ 我们想一下。第一问，我们已经正到了这个平面 m n， c c e m n c c e 和底面是互相垂直的，结合面面垂直的性质定律，两个面互相垂直产生交线，任意一个面内的直线，只要垂直交线都是垂直另一个面的， 那 m n， c， c， e 和底面的交线在于这个 c n 上，我只要垂直 c n 就 能够垂直底面，那这个地方我们直接在这个坐标原点 c 处 做 c n 的 垂线，这条线它必然是包含在我们的这个面 m， n， c c 里面的， 我们只要保证这条线是垂直 c n 的， 就能够保证这条线垂直底面，垂直底面就垂直底面所有的直线，那他就能够当我们的 z 轴。那同学们一定要注意，我们在考场上的时候，像这种不是自带垂直关系的时候，一定要通过两三句语句的描述写清楚你是怎么去解析的，这个咱们是有过程分，我们写一下啊， 在这个平面 c， e， c， m， n 内，我们过 c 点做这个 c z 垂直 c n， 因为咱们的 a d 是 垂直平面 c， e， c， m， n 的， 然后 a d 是 平行 bc 的， 所以我们可以得到这个 bc 是 垂直平面 c e， c n m， 那 所以我们的这个 bc 垂直 c z， 然后所以 c z， 它是直接就是垂直我们的整个平面 a b， c， d 的 c z， 然后我们的 c n， 还有我们的这个 c b 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。一定注意，一般来说，第一问，我们得到的一些结论，比如说垂直线面，垂面面垂，它一定是能够用到我们的第二问的间隙过程当中。 ok， 那 我们再接着看。 我们建好细了过后，刚才说了，通过这个二面角的这个分析，我们知道了这个角 mnc 这是六十度，然后给了一个测棱 a a 一 的一个长度等于根号三，那我们要找 b、 e、 d 的 法向量，以及 m a、 b 的 一个 our third 客户，我们要去找 b、 e、 d 的 一个方向向量，以及平面 m、 a、 b 的 一个法向量。在找具体的向量之前，我们先找点坐标，一个一个来。首先我们的这个 n 点， n 点，它在这个 x 轴的正半轴上，我们知道 a、 d 的 长度里面是一个等边三角形， a、 d、 c 这里长度为 题干，已知长度为二，那等边三角形的这个中线长度直接就可以出来，所以 n 点坐标这个地方就应该是根号三到零到零。同样的，这个 b 点坐标 b 点在 y 轴上， a、 d 长度为二，那 c、 b 长度也为二，那 b 点坐标直接就是零二零。 那同理，我们把我们的这个 a 点坐标、 a 点坐标找到 a 点坐标的话，这个地方分别做 x 轴、做 y 轴的垂线，做 x 轴的垂线垂足在这个位置，那它对应的横坐标的长度应该是这个 c、 n 的 长度，然后做纵坐标的垂线对应的长度的话，就是 a、 n 的 长度。所以 a 点坐标这个地方应该是根号三到一到零， 那 d 点坐标， d 点坐标，我们看一下在哪个地方跟刚才找 a 点坐标是完全一样的。过 d 点做 x 轴，做 y 轴的垂线，它在 x 轴的正半轴，但是是在 y 轴的负半轴，所以 d 点坐标这个地方应该是根号三，逗负一逗零这几个点是比较明显的。 那再结合我们刚才分析的平面 a、 d， d e a e a e 与平面 a、 b， c， d 所成夹角为三分之派， 我们其实得到的是这个角 m n c 即为二面角的角 m n c 等于 三分之派，那知道了这个长度，呃，知道了这个角度，然后题干又给了我们这个 a a 一 侧棱的长度，这是根号三，那我直接过 m 点做垂线，就能够具体找到它们的一些长度关系。这个 m n 是 等于 a a 一 等于根号三的， 所以 m 点的这个坐标，我们可以给它写成做垂线，垂下来，这个是 c n 长度的一半，横坐标是二分之，根号三。然后你在这个 x 轴上那纵坐标的话，直接就为零，它的竖坐标，竖坐标也是通过这个三角形里面六十度的这个夹角以及边长给它算出来，这个高度的话是二分之三， m 点的坐标就出来了。 那 m 点坐标出来过后，我们还有一个这个 b 一 点的坐标，不知道这个地方特别强调一个小点，比如说像找这种斜楞柱里面的 特殊点坐标的时候，当我们拿不准你这个点投影投下来到底在哪个位置，那就不要去猜，我们通过一个方法，什么方法呢？向量相等的这个方法去找对应的点坐标，比如说我拿不准这个 b 一 点，它投影下来具体投到哪个位置，那我完全就可以利用。比如说 b b 一 向量是等于咱们的这个 n m 向量的 相等向量，它的概念就是大小相同，方向相同，这个是棱柱，棱柱的所有的侧棱都是平行且相等的，那长度这些相等，大小方向都相同， 向量相等。那我们可以把 b 一 点，比如说设设成 x b 一， y b 一， z b 一， 那 b 点坐标在 y 轴上，我们已经找出来了， n 点， m 点的坐标都出来了，通过坐标表达向量，最后找出我们的这个 b 一 点的坐标。用这种方法去找特殊点坐标的话，虽然说过程可能稍微慢一点，但是一定是万无一失的。 所以这个地方我们可以把这个啊 b 一 点这些坐标给它找出来。那我们接着刚才的这个讲，这个 b b 一， 它等于的是 n m n 点坐标，这是看一下啊， n 点坐标，这是根号三，逗零逗零， 那 b b 等于 n m 的 话，我们的这个中点减起点 x b 减去 b 点坐标零， b 点的横坐标零，然后 y b 减去二，逗号 z b 减去零，它等于的是 n m n 点坐标揣了， m 点坐标揣了，我们把 n m 写揣一下， n m 的 话是二分之根三减根号三，这是负二分之根号三，零减零等于零，二分之三减零等于二分之三。那这两个要相等的话，我们可以解出这个 b 一 点的坐标对应相等，负二分之根号三， 逗号 y b 一 减二等于零，那 y b 一 的话，直接就等于二， z b 一 直接就等于二分之三，所以 b 一 点的坐标就揣了 b 一 点坐标出来， d 点坐标有了，我们直接把我们需要的方向向量表达出来， b e d 向量， b e d 向量，这个是根号三，减负的二分之根号三，那直接就是二分之三倍根号三，然后负一减二，这是负三，零减二分之三，负二分之三，我们的 b、 d 一 向量就出来了，有用的，第一个 b、 d 一 向量就出来了， 那第二个要去找平面 m、 a、 b 的 法向量，要找 m、 a、 b， 我 们找法向量的步骤，第一步找到平面上的三个点点坐标。第二步任意找出两条相交直线对应的方向向量， 那比如说我们就找这个，找一个啊，比如说找一个 ab 向量，然后找一个 am 向量，用点坐标表达我们的这个向量 ab 向量的话，这就是负根号三，负一，负零 am 向量，这就应该是负二分之根号三，负一，负二分之三，然后去 设我们的这个平面，用 ab 的 法向量为 n 向量，直接设成 x 到 y 到 z。 这个地方我们都不需要看图了，直接根据我们的这个方程组向量，点成我们的 方向向量，结果是等于零的，因为是互相垂直关系，所以负根三 x 加 y 等于零，然后负二分之，根号三 x 减 y 加二分之三， z 等于零。 这地方的话，我们邻域方程组在复值的过程当中，我们可以直接令 x 等于一，令 x 等于一，从而去把我们的这个 y、 z 给解出来，这个地方解出 y 等于根号三， z 也等于根号三，所以这个平面的反向量 n 向量的话，就可以写成一逗根三，逗根号三。 那知道了法向量，知道了咱们的方向向量，直接套用最后的公式。前面强调了线和面所成夹角，它的正弦值等于的是这条直线所对应的方向向量 与平面法向量所成夹角的余弦值。根据公式 b、 e、 d 向量点成 n， 向量比上 b、 e、 d 魔长点成 n 的 魔长，注意最后一定要加一个绝对值，我们把所有的数据这个地方给他带下来，最后的结果等于的是十四分之根号下四十二，这道题就结束了。 在讲这道题的过程当中，提醒一下同学们，今年的二模真题里面有大量的试卷都出现了这个斜楞柱的问题，一定注意斜楞柱这个是属于不规则几何体的，一个间隙 多加小型底面是否自带垂直，比如说底面是否是菱形，是否出现了什么等腰等边三角形，然后我们再找这个竖坐标，再找 z 轴的时候， 一定要注意，可以结合一下体感可能现成的一些线面垂直，或者是面面垂直关系。然后第二个需要注意的就是斜楞柱里面有些特殊点，就比如说我们的这种，像 c 一 b 这种点，当你拿不准它投影下来，到底投在具体哪个位置的时候，我们直接借助相等相等 的方法，相等相等法一定注意一定是大小方向都要相同，谁剪谁不要剪错了。然后再一个就是求线面夹角的时候，观察清楚体面法向量与平面法向量所成夹角的余弦值这个地方，我们就 把这个题结束了。然后再提醒一下同学们今年的考试重点，因为会考我们的跨模块融合题，所以立体几何的话特别容易出到一些，比如说和我们的解析几何结合，比如说和什么椭圆呀这种题目进行结合，那同学们可以 以拔高为前提去参考一下咱们二零二六年苏北七十二模的一个十八题，这道题的含金量也非常高，这地方我们就不在我们的这个打卡题里面再去讲了，同学们可以重点去再看一下这道题，跨模块的融合题，它在立体几何里面可以怎么去考？

我们今天来学习一下这个普通二模二十二题啊，就是说我们说目前如果模考的分数在一百， 在一百分到一百二十分的同学，如果希望自己的稳分数稳定一点，或者说能够更上一个层次的话，一定要把二十二题到二十四题的分数 给，嗯，给我拿一下文来，我们看一下这个二十二题，他到底这是一个什么题目呢？首先这是一个时间用题， 一个正方形纸片，正方形纸片干嘛呢？他说要把一个正方形纸片对折再展开，然后呢折横交 a、 d 于点 e， 我 们看看图， 一个正方形纸片，你折了之后再展开，那我们很明显这个 e 就是 我们的二等分点。 再看一下他要交 bc 于什么点？ f 点 e、 f 呢？就是二等分点，在第一次对折之后，同向再对折一次，就是说从图一变到图二对折再对折，那二等分点呢？也就变为我们的什么四等分点。然后我们看一下这个题目， 他说这个我们这个空填上去应该是一个对折再对折，那就是四等分点，按照这样的方式对折 n 次，对折一次是二等分点，对折两次呢？四等分点，那对折再对折一次呢？那不就八等分点吗？因为二乘四， 四乘二等于八。然后呢再其次呢，就是十六等分点。我们找到规律了吗？二的一次方，二的两次方，八呢？就是二的三次方，那我们现在对折 n 次，那岂不就是二的 n 次方？我们在写这个二的 n 次方的时候要注意啊， 因为这个 n 是 个什么指数，一定要给我写在右上角，不要写的太大了，写成二 n 了。这次模考很多学生就因为这个写的不规范导致扣分啊，明明题目做对了，写的不规范也会扣分。那我们接下来往后看， 他问我们能否得到一个三等分点，我们知道偶数的等分点好找，那基数的等分点呢？现在小三位同学提出他们的见解啊，现在小明，小华，小海提，嗯， 他们找的方法什么，干嘛主要是看小海啊。他说，将我们前面的点 b， 将点 b 沿着直线翻折点 e 处好，点 b 就是 原来这个右左下角的这个顶点呀， 沿着直线 g h 翻折了点 e 处，然后再折横，折横是谁？折横不就是我们的 g h 吗？分别交正方形的边于 g h 两点 b c 边呢？教我的 cd 交于什么点 m， 他 说题目中什么？小海说的是 m， 就是 我们的一个三等分点。那到底这个方法对不对呢？我们来验证一下。首先第一问，我们做完了填两个空。第二问，求 a g 的 长度， a g 是 谁？我们来看一下啊， a g 是 在在这，你右左下角是点 b， 点 b 翻折完之后变为点 e 了。我们知道翻折的特点就是什么，翻折前后对应边是不变的， 嗯，对，对应的角呢，也是不变的，所以说点 b 翻折之后变为 e， 所以 说我们可以知道我的 bg 的 长度， bg 的 长度呢，是相等的， 我们看一下这个 a g e 这个三角形，这是一个直角三角形，我们知道哪些信息呢？角 a 等于的是九十度。然后呢，我知道 a e 的 长度不二等分点吗？那不就是六吗？我们还知道什么呢？我们还知道我这一个 a g 加上我的 g e 的 长度就等于边长呀， a g 加 g e 不 就是我的十二吗？一个三角形，我现在知道三个元素了，一个角， 一个角，一个边，还有一个边的关系，那不就相当于三个元素吗？三个元素我们能干嘛？解三角形啊，三个元素不就解三角形，妥妥够了的啊，怎么解我们，我们可以把我们要求的 a g 设为一个。什么设为一个 x， 那就是 x 平方，这一段呢，就是十二减 x 啊， a g 设为 x， 那 x 平方加上一个六的平方，就等于我们的这个十二减 x 的 平方。 解一下方程啊， x 平方加上这个学生应该是没有问题的， 我就写一下就行了，这个应该我们来看一下。二十四个 x 等于一零八， x 解出来就是一个二分之九。好，那第二问， x 就是 我们的 a g 啊，那我们就把 a g 算出来等于二分之九，单位是 c m， 这个就是什么？利用直角三角形的勾股定律，然后呢，利用三边的关系，可以找到一个什么，解除一个方，得到一个等量关系，求出我们的 a g 的 长度。接着我们往下看，第三小问， 他问我们判断小海的折法是否正确？先把题目的意思弄懂，小海的小海得出的结论是什么？小海得出的结论就是我们的 m 就是 c d 的 三等分点。什么叫三等分点？ 你把 c d 分 成三等分，那我们可以知道这个十二的三等分，十二的三等分，那不就岂不是？如果我能够证明这一个 dm 等于八， 也就是我只要证明这个 dm 等于八的话，那它就是三等分点，因为十二除以三乘以二嘛。我们看 dm 到底是否等于八？仔细观察这个图三，我们可以发现什么呢？这一我们把前面做完的擦掉啊。 我们可以看到角 a 是 个什么角 a 是 个直角，你角 b 翻折过去的角 e 呢？仍然是直角，角 d 也是直角。一条直线上我们出现了三个直角，我们非常的自然而然的想到了什么，一线 三垂直，这是个考的概率很大的一个模型啊，考的概率很大，一线三垂直。一线三垂直用来干嘛？用来正相似呀？ 怎么个相似法呢？我们看一下，倒一下，他们是否已经相似呢？一线三垂直肯定是可以正相似，怎么正？首先角 a 等于直角，那我这两个角圈和叉是互余的关系， 圈和叉互余，那我们再看这个，因为角 e 呢？ g， e、 c 也是个直角，所以我这个什么这边也是一个叉。我们观察一下 a， g， e 和 b e， d， m 两个三角形， 直角和叉角两两对应，所以说两个角相等，那就是用判定的 a a 来证相似啊。 这三角形 a、 g、 e 相似于三角形什么？我们可如果严，如果需要严格一点的话，我们最好对应按顺序写啊， a， g， e 对 应的顺序就是什么 d， e， m 那 两个三角形相似了，我们呢对应边乘比例，给它比出来，我的 a e 比上我们的这个什么呢？ dm 就 等于我的这个 a g 比上一个 什么？我们的 d e， a， e 比 dm 等于 a g 比上 d e 啊，那我们现在为，嗯，我们现在只有哪条边不知道这个地方是二分之九，这是一个六，这也是个六，我们不是我们的目的，不就求 dm 吗？把已知的线段带进去啊。 这一个六比上一个 dm 等于一个二分之九，比上一个六，这个 dm 我 们算出来是多少呢？ dm 就 等于三十六，去乘以一个九分之二，那也就等于一个八， dm 等于八，那 dm 等于八， dm 等于 c， d 乘以三分之二。 所以说我们的 m， 所以 我们就得到了什么它 m， m， 为什么 m 为这一个 cd 的 三等分点，说明什么呢？三等分点 说明我们小海的这个策略是对的啊。好，以上就是这个题的一个解析思路。 那写，我们写同学们写过程的时候可能要写的更详细一点啊，我们现在主要是理一个思路。

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

我错了，我错了，四边形在中考中的分量比我想象的还要重要啊！昨天晚上，我特意这个统计了一下去年二模的数据，结果呢，让我大吃一惊啊，重新认识了四边形的地位。 去年哈全上海十六个区的二模卷，几何证明压轴这个位置，卷卷的第二十三题，有十五个区考了这个特殊四边形，仅仅就一个黄埔局例外，就这一只漏网之鱼。 其中菱形考了出现了八次，正方形出现了三次，等腰梯形出现了两次，平行四边形出现了两次，那数据不会说谎，可以说，这个四边形几乎占据，几乎占据哈整个几何证明压轴的舞台。 那也正因为它如此重要，所以我们年前的其实就已经进行了系统的复习。但这个四边的知识点，一个最大的特征就是内容多， 各种性质判定啊啊，动辄就是每一部分都是四五条。传统的复习方式，大概是扔给你两张类似这种的密密麻麻的图标，要求一个个去背诵，去记，但是纯背必然是枯燥的痛苦的，光枯燥痛苦不说，还很容易遗忘，所以说实话，连我自己都不不大想去看。 所以呢，我设计了一张思维导图，把散落的各种性质判定都串联到了一起，成为一个体系。那也希望让孩子们能够记，记忆的这个更轻松一点，更牢固一些。 你比方说这个平行四边形，它有一个定义，四个判定，我如何这个用符号学来表达，把它梳理，希望大家能够见到符号就能识别定型啊。包括这个平行四边形如何进化为矩形、菱形，它需要添加哪两件装备？ 那再比如说这个普通四边形，你如何一步到位过渡到这个矩形或者菱形？那再比如说这个矩形菱形，你俩如何相互融合成为这个终极形态？我说这叫天选之子的正方形， 还有这个包括梯形啊，梯形五种常见的辅助线，你看在下面都罗列了，也总结在上面。遇到题目时，你如何去联想 好，包括这个特殊的题型，怎样题型你的这个判定性质啊，如何正向反向的灵活运用？希望通过借助这张图呢，帮助孩子们能够更清晰的理清四边形的这个知识脉络。 再往远一点说，其实希望大家在答题的时候能够有路可循，脑海中能够回想起这些这个图，然后一个个去尝试，遇到题目的时候就不至于无从下手了。 四边形这一块内容其实是一个缩影，其实我是一直在琢磨的，包括各种其他的东西内容，圆呐，或者说啊，而函数如何通过更清晰的方式把这个知识体系转化为， 我把它定位为叫思维通道，就转化为你们拿起来就能用的这个工具。所以说你也需要这份思维导读的这个原版，可以留言或者私信我，我觉得是很有价值的，我愿意分享给更多的认真对待学习的孩子们。

肠胃方法做的话，我觉得真的是很痛苦的一件事情，反正我是肯定不会在那，一般来说，我在处理这类问题的时候都有自己的妙招，就是你，你注意看啊，他说矩形转，那矩形转的话有四个点啊，绕着 a 点转，那三个点都在转，那我绝对是把自己转晕了， 那我肯定是不会这么做的，作为一个聪明人，我怎么可能干这种蠢事，因为他最终说了，这个地点要落在 b b b 一、 c 一 上， ok， 然后他求的是这个。好， 那我就可以让 a 的 转起来，让这个矩形固定不动，绕着 a 点转，也就是这么着转，转的话他就是一个圆。好，我给大家画一下这个圆，嗯，稍等一下， 好像有一点点不听话。好，就这样，就是他这个圆是长这个样子的啊，允许我简单粗略的画个圆。好，然后我就把这个焦点给画出来，画出来，哎， 超级简单，绝对很哇塞的一个解法，送给我们亲爱的同学们好了。然后呢，就说，因为这个题目啊，他是在这个，就是 在江浙的一些题目里面啊，我觉得应用起来，就这个方法用起来可以解决很多很多好的题目，我也提倡大家可以把它用起来，也要把这个举一反三的能力给拿回去。好， 这个地方就应该是第一，这个地方就应该是第二。 ok， 那 我问一下大家，这个三角形 a 得得一与三角形 a、 b、 b 一 之间什么样的关系呢？因为它是等于十七的，所以这两个三角形是八比十七的关系，也就是说，当我算出来这个 d d 一 啊， 我这个 b b 一 也就出来了，比如说我，我这个 d d 一， 这个是 b b 一， 哎，写反了啊，十七比八，十七比八啊，这个边是十七，这个边是八，对吧？我把它算出来除以十七，也就是说算出来乘以个十七分之八，我就算出来了，一比一， ok， 我 先把它摆出来嘛， 对吧？ ok， 完美。真的好开心哦，当我到了这一步的时候，剩下的事情我就随便飙一飙了，不相信你跟我一起来。他是等于八的，他等于十七的，他等于十五的，他等于十五的。我的天呐，怎么能这么顺利，他是一比四，比上一个 根号十七。像这种题目我从来不会用购物定你的，只要老子抽风了也购物定你。他是等于一个两倍根号十七，千万不要被人带到沟里去了。所以我这个地方他就应该是两倍根号十七，也就是说等于个十七分之二。八一，十六，十六倍根号十七，完美。那这个 b b r 呢？ 一比二也就等于一个，哎，我算一下嘛，十七分之八算一下好了，这个也很简单啦，也超级简单啦， 就是我把它连接起来嘛，还是一样的，你看这是八，这个长是多少？ 三十二，所以他仍然是一比四比上一个根号十七，所以我就应该是八倍根号十七， 于是他就应该等于十七分之六十四倍根号十七。那么我就很完美的把这道题目给解决了。大家有没有觉得这个方法真的是超级的，哇塞，超级的帅，不允许 不接受大家的反驳。那么如果说你也觉得非常好的话，那么评论区你也可以写一道题，写到你觉得动静互换用的非常哇塞的，颠覆你三观的让你觉得 非常非常快乐。一道题，那今天我们就到这里了，同学们再见。散会如果说大家有什么希望我帮你解决的主题，也可以在我的评论区告诉我，拜拜，给大哥点点关注。

呃，我们考的是 复数啊，复数的几何 e。 其实复数最近几年我们高考下来再考简单的那种送分题，第一题，第二题，对吧，按计算器就可以解决了。现在我们的复数都跟解集几何几何 e 法相关的。 yale 这里 这平方加平方表示到，呃，这个是负六零，这是零八的距离的平方吗？这个 z 表示什么意思？ z 表示扩散斯特加 i 散斯特，它表示单位上的一个点嘛， 就也就是单位上一个点到。呃，这个，呃，这个点一个动点到。嗯，负六零和零 零八的一个距离之和的平方嘛，就距离的平方和的取值范围。所以我们本题考的是啊，几何意义法。几何意义法，我们可以呃，先设 z 等于 cos theta 加 i 乘 sine theta， theta 属于零的 upi 所对应的这个点 p 红坐标是 cos theta， 纵坐标是 sine theta 啊，用负数的几何 e 来做 梯形啊，负数的几何 e 来做 步数的几何 e 啊。最近几年考的比较多啊，它是个热点问题，热点问题， 我们一定要保证前一到十一到九题全对啊孩子，不然他很难突破一百分啊。感觉好像这几天没来，好像数学好像有点那个啊，那我们就射吧。嗯，呃，射。 z 复数啊，对应的 cosine theta 加 i 乘 sine theta 啊，对应的点，对应啊，当然是负平面内的啊，对应的负平面内。我们现在讲的是负平面内啊。 点 p 啊，是 cosine theta sine theta。 那 显然点 p 是 在单位圆上。对啊，显然啊， 点 p 在 单位圆上，在单位圆上。单位圆谁呢？ x 方加 y 等于一 啊，在这上，因为它的红坐标的平方加纵坐标正好等于一嘛，你看扩散 c 大 方加 size c 大 方是不是等于一？ 老师，那这样的话我已经会了。呃，那这样的话它就表示什么意思？表示你只要从这个圆到这个两点的平方，那而且这个点它是要在这个圆上面的 取最值的时候。嗯，那好，那你就带进去嘛。嗯，那就是。所以，哎，好，我就按照您的思路啊。所以 z 加六 括号平方加上 z 减八 i 的 平方。呃，即我们的 x 是 等于扩散 c 的 y 是 等于 size 的 啊，那我带进去吧。那它应该是直接平方了啊。我就没没没写的。那应该是 x 什么加六的平方加上 y 减零的平方，那就 y 加上 x 方 加上 y 减八的平方，是不是这个这个最最传统的做法就全部展开化简，嗯，死算，对吧。 这个是 x 方加十二， x 加三十六，对吧？同学们，加 y 方加 x 方加 y 方减十六， y 加六十四。好，我们自己整理啊。自己整理的范围是二 x 平方加上二 y 方， 然后加十二 x 减十六 y， 呃，一个长值还比较大呢。加一百，然后再把 x 和 y 换成扩展 c 大 和散 c 大 带进去。在这 c 大 有范围的啊，咱们 c 大 是在零的二派的啊。 c 大 是大约等于零二派好带入啊。 嗯，那就带进去，那就是二不动。这里面应该是写紫色笔的刚才是吧。 cosine theta 的 平方加上二括号 cosine theta 的 平方对吧。 加上十二乘上 cosine theta 减十六乘上 sine theta 加一百啊加一百。哎。前面的两倍扩散 c 大 方加，呃。加加加两倍扩散是不是二啊啊。这个可以等于二二加一百，那就一百零二是吧。我就直接写了等于一百零二啊，那就是一百零二加上。呃十二扩散 c 它 减十六 c 它，哎，这个后面可以用辅助角公式合在一起。可以。呃 可以提取一下吗？呃提取。那我就减吧。一百零二减括号。因为我习惯写 size 的 在前面啊，减十二倍的扩 size 的， 然后十六个十二可以提取啊。提取个四对吧。 那就一百零二减四里面是四倍塞塞，减三倍扩塞塞。哦这个可以用辅角公式吧同学们，那就一百零二减四乘上什么三四有勾股数嘛。四乘五四五二十啊，那就乘五倍括号 啊。这个五我们是单独写另外一种颜色笔啊，写黄色笔。那四除以五乘上三 c 叉，嗯乘减三除以五乘扩散 c 叉然后你可以念其中一个为 这里面啊这里面可以念成，呃这个念成扩散 five 这个念成 seven 啊。 这个是扩散法，这个是塞塞，所以正余减余正。所以本答案出来了所以本答案是一百零二减四五二十是吧。二十塞塞特减 five 就 行了。然后写下其中啊， 其中 sine 是 谁？扩散法是谁？要说一下顺便把 tangent 写一下。五分之三扩散法是五分之四， tangent 的 法是四分之三啊，四分之三， 所以你要求它的最值。问题，呃这不去取正负一吗？取正一的时候是多少？取正一的时候一百零二减二十是八十二。如。呃所以 答题答案啊应该是，呃八十二，一百二十二答题答案就是八十二到一百二十二就是取正负一的时候 啊，等于负一是最大值，等于正一的时候是最小值吧。一百零二减二十。那答题答案就是这个啊，所以它的取值范围就是八十二到一百零一。一百二十二啊，一百二十二，所以这道题要注意一下。嗯，解一下，把答案备注一下。嗯，还没到。嗯， 八十二到一百二十二。除了这种方法有没有其他的方法？有啊，我们讲另外一种方法啊，稍等一下啊，同学们不要着急做题啊，反正提前做的还好一点。那我们看另外一种方法啊。嗯， 可能用一些我们的复数的公式啊，我们来看一下，通过结果啊导向来看啊，以结果。你看他教我们求的是 z 加六模的平方啊。 呃，加上 z 减八 i 的 平方，对吧？我们可不可以这样做呢？可以把它写成 z 加六的平， z 加六乘上 z 一 杠减六这样子。 这不就公式嘛，平方差公式嘛。呃， z 减八 i 和 z 一 杠等于共和数啊，加八 i 这个可以吗？嗯， 就转成我们的。呃哦，加六加六，写错，就是 z 加六乘上 z 一 杠，就它共个负数，加六不就表示它魔的平方吗？啊，就魔平方，然后 z 减八和 z 一 杠加八。嗯嗯，就是把它转化一下，转化一下之后呢？然后我们重开啊，重开 啊，成开以后，然后你会得到这样的一个式，就是 z 模的平方加六 z 加六 z 一 杠，嗯，加三十六。 呃，然后再加 z 模的平方减八 i z 一 杠，嗯，加八 i z， 然后再加六十四啊，然后把 z 等于多少？ z 等于 cosine 加 i 乘 sine sine 嘛，带进去啊，因为， 因为已知给的 z 是 等于 cosine 加 i 乘 sine sine sine， 所以 我们的 z 一 杠是 cosine 减 i 乘 sine sine， 并且 z 乘 z 一 杠都出来了，来，嗯， z 乘 z 一 杠啊，全部出来， z 乘 z 一 杠是多少一是吧？然后 z 模的平方不就是扩散 c 大 方加扩散大方等于一啊， z 模的平方等于一，然后 z 加 z 一 杠也出来了， 就是两个扩散 set， 你 看这里，全部出来了， z 减一 z 一 杠等于两倍扩散 i 可以吗？就是把它们全部相加相减磨平方再相乘。所以我们本题答案上面答案就出来了，则所求的答案啊，所求的 z 加六的平方加上 z 减八 a 的 平方，嗯，它其实等于几啊？等于一加上六乘上 z 加 z 一 杠。就说带进去嘛，合并同类项啊，加三十六， 加一加八 i 括号啊，就是把刚刚那个值把它放在一起，八 i 放在一起，再加六十四，你看，我们就可以代入上面这些已知条件。你看 z 加 z 杠是什么？两倍 cosine theta， 呃， z 减 z 杠是什么？两三次的乘 i 对 吧，我们全部可以带进去了。我复制了啊，直接复制，然后把里面改一下吧。嗯，我们看一下 z 加 z 杠是谁？ z 加 z 杠是两倍扩散替换啊。呃， z 减 z 杠是谁？两倍扩散的乘 i 对 吧？ 嗯，乘 i 对 吧，然后化简，化简以后你会得到这个式子，嗯，就得到刚刚那个式子啊，不过麻烦了一点，得到一百零二 加上十二乘括号 c 它，嗯，减十六 c， 它后面就不做了，跟刚刚一样啊。那就通解法一了。这里用了一个公式啊，通解法一，嗯， 可以吧，这样做也行啊，这种是俯角公式，和刚才一样啊，提取个四，然后取正负一的时候用合并一下，对吧？后面就接着这样做，一样的，后面就跟这个一样。那还有解法也简单一点哈，所以这里用了个公式啊，用了个公式拆了一下，拆了一下， 就这个公式拆的时候要注意一下，这样我感觉我还是会。

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

普通这张二模卷，估计不少人考场拿到卷子的瞬间都愣住了的，密密麻麻的文字，二十二题，折纸类的材料题，二十四题呢，新定义类的二次函数都是创新点，有点头疼，但是呢，坐着坐着就很舒服了，长嘘一口气，普通还是普通，并没有很为难大家，难度上还是相对温和的。 来，咱们具体看看重点的题目，选择题第六题，特殊四边形的判定每年都有规律了，每年都有五六个区考这种题的，考察孩子们关于四边形判定方面的基本功。比方说去年的杨浦、虹口、 金山、静安等等，大家一定要对平行四边形以及特殊的平四，包括菱形、矩形、正方形，还有就是梯形等腰梯形。就这些，对他们的性质和判定一定要门清， 包括各种的异同点，包括他们常用的辅助线，都得弄明白。我之前整理过一张思维导图，待会呢分享在评论区，供大家参考。复习填空十七题，考察圆内接正多边形的问题，这道题很简单，注意把握住对称性就行了。 好，十八题，十八题考察的是动源于三角形三边公共点的个数啊，关键在于锁定临界状态。 好，锁定临界状态这里呢，要注意到，圆 e 和边 a、 c 还有 b、 c 始终都是有一个公共点的，那么他说的三个公共点，剩下的一个点在哪呢？只能在 ab 上产生于两种情形，它有两种状态， 一个是圆 e 边 ab 相切，另外一个呢，是圆 e 刚好过点 b 好。 这两种状态呢，都符合提纲要求，注意千万注意，一定不要漏解 类似的动源于三角形焦点问题的题目，前年二模考了好几道，包括长宁的十八题，这个青浦的十八题，还有金山的十八题等等大题部分。二十二题啊，以折纸为背景考察三角笔，跟今年杨浦二模的二十五题背景框架是类似的，其实操操作起来很简单，纯纯的纸老虎， 跟着题干，文字逐步的去理解就行了。注意这里第二问用了一个勾股定律，第三问用到一线三垂直，这个很长，考的一个点。 二十三题几何证明它是圆圆相交为背景的圆圆相交提醒过大家很多次了，我们脑海中立马条件反射出什么圆圆相交的问题，一定会考察连心线垂直平分公共线一定会考察这条，这条定律。 有了这样的一个理念，针对这里的第二问，绝对是秒杀的存在。这个定律经常在二十五题结合圆圆位置关系做计算的，只不过这里普通考了证明题而已。 那第一小文利用的是锤定理。这个类似的让我印象比较深刻的题目有二十四年浦东的二十五题，还有二十四年松江的第二十三题， 二十四二次函数。今年浦东考的是新丁一类的，也算是跟上潮流了，去年闵行，前年杨浦二模都是二次函数考的新丁一类，一模有很多的去考的这种，说实话，这道题的参数还真挺多的，考孩子们全卷做到这里，如果没有十足的耐心，可能会有点焦躁。 这里的第二问理解题干后，我们需要先求出 m n 之间的关系，然后结合题干给的平行四边形计算平移量就行了， 计算来说的话是不难的。第三问，根据两个一次函数一一对应点的坐标，结合问题给的这个七十五度，以及题干隐藏的这个四十五度，这里需要合理的转化，转化为角 p m o 的 范围，根据坐标列正切值相等啊，列正切值就可以了。 是二十五题，这个几何压轴，不得不说框架出的很好，非常正统。为什么这么说呢？就是他跟近几年的中考卷二十五题的风格非常相近，比方去年中考卷的这个二十五，前年二四年中考卷的这个二十五，包括二二年中考卷的这个二十五，你们感受一下。所以小朋友们，你们考完以后一定要好好的琢磨这道题， 近几年中考都是这种特点，他的线条不会非常复杂，作图呢也不会非常的难，但是，但是就看你能不能结合最基本的 a 字八字啊，挖掘出关键性的关联点。 第一问，正相似就不多说了，边角边或者角角相等都可以正。第二问是球面积比，本质上就是球底边的比，他给的是对称，对称，我总结的初中几何辅助线上，怎么说呢，见到对称或者说中垂线，你一定要连接等腰，这里连了等腰以后，还可以得到一个一组共边相似， 再结合八字形延长，可以就可以求出比例关系了。第三样，我们给了两条线段之间根号五的比例关系和提杆的正切值，根号五完全一样，这里提示的不能更明显了，大家一定要学会观察数据特征啊，他两个肯定有关系，就看你能不能善用，能不能挖掘出来？ 好了，全卷的分析就到这里，特别提醒孩子们，大家考后一定要好好的复盘这个二十五题，好好的琢磨琢磨线段间的比例关系是怎么转化的，怎么去锁定相似的，还有他的角度是怎样具有传递的，这道题非常有价值。

家长们注意了啊，合肥包河的这个二模数学呢，已经考完了，我呢也是第一时间就拿到了试卷，从头到尾的分析了一遍，从题型分布、难度设置来看的话，跟二五年中考基本上贴合度非常的高，直接就是中考命题趋势的风向标。 这张试卷呢，有一个关键变化，家长呢一定要听清楚了。压轴题的顺序换了近五年中考的话，一直都是几何压轴，在前是占十二分，函数压轴呢在后是占十四分，但是这一次二模直接把顺序掉了，分值呢也都跟着变了， 这可不是小事啊，二零二一年之前就是函数压轴在前，时隔五年，这很可能预示着二零二六年中考要重新回归老顺序，这个对中等生来说的话，是个巨大的机会，也是个隐藏的坑。 以前孩子做函数压轴题，最后时间不够了，心态也崩了，往往最后就只能做出来前两个小问，最后一问直接就选择放弃了。 但是这一次二模的函数压轴难度明显下降了，只要平时练到位，考试多花两分钟琢磨一下，完全有机会拿满分的。 强烈建议剩下来的备考时间，一定要把函数压轴的几大题型包括二次函数性质、综合区间、最直线段、焦点面积问题、图形存在性问题、角度存在性问题这些吃透，这是中等生逆袭的绝佳机会。 反过来，几何压轴直接从十二分涨到了十四分，难度呢也上来了。这几年安徽中考一直在考相似综合线段比值问题，二一年、二三年、二四年都考到了 二零二六年，考察概率也是非常的大，孩子平时如果只刷简单题，不练几何模型和辅助线思维的话，很容易在这道题上直接就丢分了。 一句话总结这次二模给我们的信号，函数压轴题难度在降，分数越来越好拿。几何压轴题分数在涨是拉分题，别再按照老套路备考了，跟着趋势调整重点，才能在中考稳拿高分。

太原市二模数学的卷子啊，刚刚写完，给大家做一下试卷分析。先说一下难度分级和题型。第一部分是基础题啊，难度是一颗星，题号是一到五题，选择题，十一到十二题是填空题，十六题是计算题。特点的话主要考察公式直接应用，比如说科学技术法，二字根是化简啊，或者说那个简单的几何性质轴对称的图形选择题里有什么题啊？ 积分建议，确保每天有十分钟进行速算的训练，避免粗心有分啊。第二部分的话是中档题，难度的话是两颗星，题号的话是六到八题，分别考了角度、计算，圆的性质。十三到十四题，嗯，是考的反比例函数和几何周长。十七到十九题呢，考察的是几何的证明和方程的应用啊， 特点是需要综合知识，比如说三角形相似函数建模。第十九题的话，琉璃摆件比较结合咱们情境化的实际性问题，题分建议要及时的整理错题本，重点的话通过反比例函数和统计图表的一种分析题。第三部分是压轴题，难度等级的话是三颗题，题号的话是第十题啊，第二十二题还有第二十三题，第十题考察的是坐标系平移 啊。第二十二题考察的是二次函数。最值二十三题的话考核的是菱形与三四三角形的综合，特点的话是第二十三题呢，需要多步的推理，涉及到分类讨论一个问题。 第二十二题的话，要求建立二次函数模型，求出利润的最大值。提分建议，每天要坚持有一个三十分钟，专门来练这个压轴题，掌握拆分条件，到逐步验证这样一个答题的逻辑。顺便呢给大家讲一下这个针对性提分的策略，基础薄的同学主攻第一到十二题，确保呢基础题能拿到满分。每天呢要完成一道中档应用题，比如 说第十九题这样题型练习，那咱们成绩中等的学同学啊，需要突破第十三到二十题，强化几何辅助线，添加技巧，比如说第十七题， 那咱们想拿高分的尖子生的同学啊，要钻研好是二十二级到二十三级总结动态几何与函数建模的共结法，比如 说函数法，还有那个坐标系法。总体来说呢，这次二模的数学试卷，整体的话难度梯度是合理的，压轴题区分度比较高。这次试卷的话注重了数学建模与 逻辑推理，建议咱们孩子们能结合自己的错题本，强化薄弱的环节，然后并且能关注咱们山西本土化的文化背景题。比如说第十九题那个琉璃摆件啊，成本计算，包括咱们酒店的房价去计算啊，提升咱们化学课的动力。如果需要真正性的提分策略，可以在评论区留言，需要我把整理好的策略发给你。