苍南二模数学最后一题怎么写

接下来我们看一下二模试卷数学的最后一题，几何压轴给出已知条件，三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形， a、 b 等于 a、 c， 它是等腰三角形， 沿沿着 p c 进行折叠，沿着 p b 进行折叠，得到三角形 p b、 d， 那 也就是啊，这里面有一个折叠的动作，根据折叠的性质对应角相等，对应边相等。 好注意，第一个问，他说 p d 平行于 bc 时，去猜想四边形 b、 c、 p d 的 形状， 根据折叠的性质对应边相等，所以 p c 是 等于 p d， bc 是 等于 b、 d， 那 接下来它是是一个什么样的四边形？我们还要结合这个平行的条件， p d 平行于 bc， 那 我们知道， 因为折叠，所以 p b 是 折痕， p b 是 折痕，那角 d p b 就是 等于角 c p b， 那 又因为这两条直线平行，所以 d、 p b 同时又等于角 p b、 c。 那 通过等量代换，我们可以得知角 c、 p b 是 等于角 p b、 c 的， 那这两个角相等，等角对等边，所以 pc 等于 bc。 我 们刚刚已经说说明， pc 是 等于 pd， 而 bc 是 等于 bd。 我 们通过做相同的符号，发现 这四个边都相等，那根据菱形的定义，四边相等的四边形是平行四边形，所以第一问我们就解出来了， 这里面要注意，其实他牵扯到一个模型，什么模型呢？他给出一个两直线平行，有平行，有翻折，那翻折必然会产生折痕，而折痕就是啊，对应角的什么呢？ 角平分线，那也就是平平等的模型啊，这个平可以代表是平行，这个平是代表什么呢？角平分线等是代表什么呢？等幺三角形。哦，这里面因为这两个角相等，从而我们可以得出 p、 c 等于 bc。 这一题就迎刃而解。第二小题， 它是说当同样 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，沿着 p、 b、 d， 那 么我们得到一个新的三角形 p p、 b、 d， 那 它给出一个新的已知条件， a、 p 是 等于三分三分之一 a、 c， 那 也就是说 a、 p 比上 a， p 比上 a、 c 等于一比三。 第一，想问，他说角 a 是 等于六十度， bc 是 等于六。问 be 的 长度这题我们要明确一点， 本身是一个等腰三角形，又给出角 a 是 六十度，所以三角形 abc 是 一个等边三角形， bc 的 长度是六。所以接下来我们可以得到很多线段的长度，比如说 ab 等于 bc 等于 ac 等于六，又因为 ap 比上 ac 等于一比三，所以 a、 p 是 等于三分之一， a、 c 等于二， pc 是 等于六，减二等于四。而因为折叠，所以 b、 d 等于 bc 是 等于六。好，接下来我们要去求 b、 e 的 长度，我们应该怎么样去做呢？ 有折叠，我们可以知道角 c 是 等于角 d 的， 那角 a 和角 c 是 什么关系啊？不要看，不要忘记这个特殊的条件啊，角 a 是 六十度，一个内角是一个角，是六十度的等腰三角形，它是个等边三角形， 角 c 是 六十度，角 a 是 六十度，角 d 是 六十度。所以这两个三角形 a、 e、 p 三角形 a、 e、 p 和三角形 d、 e、 b 是 什么相似？是成什么呢？八字形相似啊，八字形相似 好，为什么？因为角 d 等于角 c， 角 c 又等于角 a， 所以 角 d 等于角 a， 这个八字形相似，还有一个对顶角相等，角 a e p 是 等于角 d e b， 所以 角角相似，这两个三形相似，而且我们通过刚才的分析，我们知道这两个三形相似的相似比是几比几， 六比二，也就是三比一。也就是说啊，注意这里面对应边不要弄错啊。 d e 对 应的边是 a e b e 的 对应边是 e p， 也就说相似比。刚才我们说的是三比一，也就说 d e 是 a e 的 三倍， b e 是 e p 的 三倍。题目问的是 b e 的 长度，那我们就可以设 b e 的 长度为 x， 设 b e 的 长度为 x， 那 么 a e 就是 多少， 是不是这个长度六减去这个 x， 也就是 a e 就是 六减 x 啊。六减 x， 那 因为 d e 是 a e 的 三倍，那所以 a e 是 六减 x， 所以 d e 是 三倍的 a e 也就是三倍的。括号，六减 x ep， b e 是 x， b e 是 pe 的 三倍， b e 是 x， 所以 pe 是 多少？三分之一 x， 那 我们又知道 p d 的 长度是等于由折叠， p d 的 长度是等于 pc 的 长度等于四，所以 两者之合等于四。从而我们得到一个关于 x 的 方程，我们可以把 x 解出来， x 等于四分之二十一。最后一题， 这个条件不变， a p 等于三分之 a c， a p 等于三分之 a c， 也就说 a p 比上 a c 等于一比三。在此情况下，另外还有一个条件， p d 垂直于 a b 啊。这里面一定要把题目已知选项标出来，标出个垂直符号去求证 b e 等于 d e 加上两倍的 a e 哦，这题我们需要做辅助线，辅助线的思路是什么呢？嗯，考虑到这里面有一个垂直 p d 垂直于 ab 啊，这垂直关系，那这里面而且还给出 ap 比上 ac 等于一比三，所以我这里面考虑构造一个什么呢？构造平行线 得相似，我们过点 c 做 c， f o 垂直于 ab 交于点 f o， 那 因为这是垂直的关系，那这也是垂直的关系，那我们知道垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，也就是 pe 平行于 c f o， a p 比上 p c， 所以 两个三平行处相似，所以三角形 a， e p 平行于三啊，相似于三角形 afc， 因为 a p 比上 ac 是 等于一比三，所以 a e 比上 af 也是等于一比三，这个一比三，这个这种感觉要，嗯有要非常敏感。一比三啊，三减一等于二，正好是等于两倍的 a e， 所以 接下来我们考虑将进行什么呢？等它代换。 题目说了 b 让我们去证明 b e 等于什么，那我们通过构造这一个直角做 垂线，那构造出了一个直角三角形，我们观察可以发现这两个三角形应该是相似的，为什么呢？因为根据折叠， bc 是 b， d 是 等于 bc 的， 那九 c 是 等于九 d。 因为三角形 a， b， c 是 等腰三角形，所以角 a， b， c 是 等于角 c， 所以 的话角，我们可以得到角 f， b， c 是 等于角 d。 同时 bc 是 等于 b d， 那 还有一个直角，所以这两个三角形，这两个直角三角形是 a a s a a s a a s 全等，所以 b f o 是 等于 d e。 题目让我们去证明 b e d e a e 之间的关系，那其实这里面 d e 已经转化成 b f o。 接下来我们只要证明出什么呢？ e f o 是 等于两倍的 a e， 这这个题目就搞定了。那 b f e f o 为什么是等于两倍的 a e？ 其实刚开始已经说明了，因为 a p 这两个三角形相似， 而且 a p 比上 p c 是 一比三，所以 a e 比上 ef 也是一比三，这个是一份，那一共是三份，那剩下的是两份，两份正好是一份的两倍，所以这题我们就证明出来了。那 关于这一点，我们还可以这样去理解，设 a e 为 x， 所以 a f 是 三 x 减 x 二 x 二 x 是 x 的 两倍啊。我这边用具体的式子 去做了， a f 等于三倍的 a e， 而 a f 是 等于 a e 加上 e f o， 所以 这两个等式一结合，我们可以得出， e f o 是 等于两倍的 a e。 最后一步，我们先写基本式时， be 被通过做辅助线的方式被人为的分割成 b f o 加上 e f o， 而 b f o 通过全等证明 可以得到 d e 是 等于 b f 的 啊，所以 b f 等于 b f 和对应的是 d e， 另外一个是 e f， 对 应的是什么呢？两倍的 a e 得正好。总结一下，二十三题的第一问，是考察的是 啊，对这个模型啊，有没有一定的认知？平平等平行线等腰三角形，从而另外考察了菱形的 判定。第二题的第一问，这里面考察了折叠的性质，还有 相似。最后一问，嗯嗯，难处在于什么呢？构造怎么样？从已知条线出发，构造出辅助线，它同样考察了三角形的相似以及全等。

好，我们来看一下庭湖盐都的五月二十二号二模的填充 c 位体，它说在菱形 a、 b、 c、 d 当中呢，边长为六， p 点是射线 a、 d 上的一点， 天津的角 a、 b、 c 呢？是四分之三，求 p、 b 比上 p、 c 的 最大值。那么线段的比值问题，通常可以去 转化成其他的一个线段之比比值啊。像这种特殊的，你比如说 p、 b 比上 b、 c， 如果说这两个线段之间其中一个线段是一个固定的一个状态，那么我们只要研究另一个线段的一个坠值，然后再转化成一些什么动点的一些轨迹问题 啊，那像这种两个线段式这种动态的啊，通常他要把它转化成其他的一个啊，两个线段的一个笔直，最好是移动和一定的这样一个状态。 那这里可以怎么去处理呢？我们可以去构造这样的一个相似啊，或者说旋转手拉手这样的一个形式， 观察一下 p 点在这个 a、 d 的 这个延长线上，然后 p 点动的时候，你看 c 和 b 不 动，我们可以围绕这个 b 点，围绕 b 点，为什么呢？因为这个地方给了一个角 a、 b、 c 的 角是四分之三，我们可以围绕这个 b 点 啊，去构造一个什么呢？就是以 b 为旋转中心啊，以 b 为旋转中心。假如说把 b、 p、 c 这个三角形绕着点 b 呢？转了某一个度数，转了某个度数，转了多少不知道，但是呢，我把它转的同时，把这个 b、 p 啊和这个 b、 a 去进行对应， 把它缩短某一个倍数啊，缩短某个倍数。好，我们假装画一下。 好，假如说就转到这个地方啊，转到地方，假如就这个 h， 也就是说你把这个 b p、 c 绕着点 b 转某一个度处，并且呢，它也缩小了多少倍啊？变成了这个 b a h 啊？ b a h。 好， 这个时候你看一下，根据我这个手拉手，我们可以去拉一下这个手啊，你看这个 h 跟 c 连接一下，然后这个 a 跟 p 连接一下 啊，这边稍微擦一下啊，擦一下。好，这时候会得到一个什么呢？因为我是自己去构造的啊，我是构造了这样的一个蓝色的三角形 啊，其实就是跟这个 bcp 是 相似的啊，是相似的，那相似的话会得到一个什么结论呢？手拉手你会得到一个全新的相似三角形，这个 bhc， 它跟这个 bap 是 相似的，这样有一个好处，有一个好处就是你这个 bap 这个角头它是一个固定的， 虽然具体大小不知道，但是我知道它的补角，它的补角的这个啊，正切值是四分之三，那也就是说这个 b h c 这个角，它实际上是一个固定的，因为它补角是一个确定的角嘛，对不对？虽然度数不清楚，没关系，那 b h c 是 一个固定的角，那我们就可以知道了。 很明显这是一个引圆问题，那圆心大概在这个 b c 的 垂直平分线上啊，我们随便标一下啊，假如 o 点在这边大概画一个圆， 好意思一下。好，那这样有什么用呢？那 h 就是 在上面运动啊，在上面运动，那你想一想， 再想，那你想一想，你要求的是这个 p b 比上这个 p c， 对 吧？它不就转化成了这个 a b 比上 a h 吗？而 a b 是 固定的六，那 a h 只要研究它的一个运动状态就可以了， 那他要求他的最大值，那是表证什么？ a h 最短的时候，那么 ab 比上 a h， 他 就是一个最大的一个状态，那所以要求 a h 最小的时候，那就很明显一箭穿心吧，对吧？一箭穿心就可以了。好，那现在就是我要去求这个 啊，这个 a 点到 o 的 一个距离，然后再减去这个半径啊，再减去半径。好，那现在你看一下，那刚才已知知道的条件就是这个 b h、 c， 它的这个补角 啊，他的正切值是四分之三，对不对？好，那我们想一想，你这边是 b、 h、 c， 这个是一个圆周角，那说明他的这个这个角度，他应该是什么？应该是他的一个互补的角度，对不对？那连接 b o、 c 这个角度呢？是这个角的两倍啊，我们可以标一下， 假如说这个叫阿法，那连接 b o、 c， 这个就是二阿法，对吧？二阿法，那这个角度又跟他阿法是 什么互补的？那它的这个补角，这个角也是阿法，也就是这个 a b、 c 就是 阿法，对吧？好，那做了这边之后呢，我们可以做一下垂直啊，渐弦做垂线啊，那这个角度就是， 就是阿法啊，所以说这边就是一个，他是四分之三啊，所以说他就是啊，他比上这个啊，就是一个四分之三。好了，那么现在 bc 是 一个什么？ bc 是 六吗？他是菱形，菱形 bc 六，那所以一半是三，那这里面就是四， 那所以它就是五啊，所以圆的这个半径呢？是五。好，现在就差一个。什么？就差一个这个 a o 的 一个啊，它的一个直了，一个长度直了啊，好，那这个地方我们可以看一下 啊，要求 a o 的 距离的话，可以做垂直啊，做垂线，做垂线 啊，可以再延长出去。也没关系啊，过 o 点再做这条垂线的垂垂直啊，我们去求这个长度和这个长度就可以了。好，那这边我稍微拿一下，稍微拿一下。这边呢？太好处理， 我们把这个长也拿出来，把这个 a b 啊，假如这这边是 h 点吧，这这边啊是 q q 点 啊， q 点，我们把 a q b 给他拿一下啊， a q b 给他拿一下，这边要稍微处理一下。 a q b 给拿出来啊， a q b， 然后这个地方 a 这个角度，他的正切，这个是六，对吧？他是四分之三啊，所以相当于他是三份，这是四份， 那这是五份，对吧？所以一份就是五分之六啊，所以这个长度就是五分之十八，那他就是啊，五分之二十四啊，五分之二十四，五分之二十四有什么用呢？五分之二十四就是这个长度，对吧？那所以再减去这个三，那这个就是五分之九， 所以这边是五分之九，那这个地方是什么？是四，对吧？它高度是一个五分之 十八，五分之十八。好，所以现在购物厅你可以做了，可以去做了啊，五分之十八，加上一个五，加上一个五分之，加上四啊，五分之二十，也就是五分之三十八。他的平方加上一个五分之九的平方，然后开根号 啊，这边就算一下就可以了，答案应该是五分之根号下三十八的平方加上八十一。好，这边算一下啊，三十八平方进六位啊，三零，然后三八二四进二位， 好，加上一个八十一 啊，一五二五，也就是根号下一五二五啊。这边的话很明显二十五倍数，你可以去提一个二十五出来啊，提一个二十五出来 啊。这边除完之后是五分之再除以五啊，就是一个六十一啊，六十一， 所以除二十五就是五又六十一啊，所以说它就是根号六十一啊，根号六十一啊。好了，那么这个长度就求出来了，根号六十一，那所以说 a h 的 这个最小值就是根号六十一减去五啊，减去五。 好，根号六十一减去五，那它的这个最大值就可以用这个 ab 六除以根号六十一减五 啊。所以说它上面就是六十一减去二十五，然后上面是六倍的根号下六十一加上五啊，根号六十一加上五， 这边除完之后是十一减去，它是六去掉微啊，这边是三十六，哎，三十六，那就是六分之啊，根号六十一加五啊。

好，这个是贪婪的第二次模拟卷啊，二六零的。那这个是平阳的啊，平阳的那个模拟卷，恶魔的模拟卷，科学卷啊，两个试卷都拿过来了，那两个试卷去对比的话，其实， 嗯，整体难度都不是很高。都不是很高啊，那我们贪婪卷，我选择题那十五题就没有一个题目是难的， 这应该是全部要要对的啊，全部要正确的。然后填空题啊，填空题的话整体难度还行，就是个别题目会灵活一点点。那有同学容易 错的啊，就是他小孩子也圈出来了这个第二次题的第三小题，那这个的话它的一个化学性质 蚕丝巾炖草，那这个应该是高温，高温的话易分解或者易病质，那这个易懒应该是不对的啊。然后这个第二个就是靠我们的那个位置，就是我们运动的一个定义，就是位置的改变，那其实这个都是靠定义型的东西啊。 啊？整体我觉得难度还行，还行啊。啊，这些都不难啊。然后这个第四个，第四个的话就是这个是应该少了个瞳孔的结构，那瞳孔就是应该是改变观的一个进入的多少的，那可并观圈啊，这个题目应该他也是有点问题啊。 呃，其他的，其他的，这个第二十六题的，其实第四小题啊，这个会容易 容易扣分啊这个容易扣分。呃，其他的我看了一下，这些都不都不会很难啊，都不会很难。 那整体的话应该来说中等的孩子一百四十分左右应该问题不大 啊，一百三十五到一百四十分应该问题不大的。然后好一点的孩子啊，这个最后一个也是杠杆啊，这个也是一个常规题，一点多不会难啊。那好的好的，孩子要一百五十五左右。那要的， 然后我们来看一下这个平仰卷，平仰卷的话，选择题最后一题其实说实话还是有一点点难度的。那这个他考的有点偏啊，有点偏考我们的那个，呃，太阳，太阳直射的一个角度的问题了， 这个会有一点点拼音啊，有很多同学会错的啊。然后 填空题，填空题，其实我看一下它，它的难度不高，也可能比那个参展卷可能还会相对来说会简单一点点。 嗯，就这个题目，我觉得二十题啊，他他们说答案选 b、 c， 那 其实 a 也有道理的。我觉得 a b c 啊，这个 a 也是有点道理的。那这个的话可能有会容易扣分，很容易扣分， 那其他的我觉得难度都不会很高。还有个这题，这个第三二十三题的第三小题。 嗯，这个有这个的，这个的话就是采取的方法，有些孩子一下子可能想不到，有可能啊，就是把它缩小，把这个把这个空格缩小，让它精确度变高啊。这个是有些孩子一下子想不到， 其他的我觉得都不多，都是能全部得过来的啊。能全部得过来的，这个每个题目我要去刷了一下啊。呃，题目题来讲的话可能参难卷，探求题可能参难卷，参难卷的话可能会更灵活一点点。 那这个分数我觉得一百四十分以上都比较好考的啊。好的孩子应该要一百五十五左右。好吧，一百五十分以上啊。

好，我们来看一下庭湖盐都五月二十二号阿尔摩的最后一题啊，他说对这个二次函数图像的一个相似探究，他说发现过远点的两条正比例函数图像呢，与二次函数图像交于 a、 b、 c、 d 四个点， 这四点与圆点 o 呢？构成的这样的一个两个三角形是相似的啊。猜想这个 a o 比上 o b 等于这个 c o 比上这个 d、 o 啊，而且在集合这个对顶角，所以得到这两张也是相似的，你看一下他是怎么去说的啊？好，第一问呢， 他取了一个特殊的一个例子，他说这样的一个两个含二次函数啊，都是过圆点的，过 o 点做直线， a、 b y 等于二 x 交函数啊。图像于 a、 b 两点，是求 a o 比 a o 的 一个值，那这个求 a o 比 a b o 的 一个值，这个很简单啊，它是一个直线，对吧？还过圆圆点 o 啊，对吧？所以我们只要求什么呢？你可以过 a 点做它垂直，过 b 点做垂直， 实际上只要求出这两个 b 跟 a 的 它的什么横坐标的绝对值之比就可以了啊，这相似的啊，相似的这个大家自己去正啊， 那直接往里带啊，往里带，二 x 等于二 x 方，二 x 等于负四 x 方，这个第一个解算是 x 等于一，这个第二个解算是 x 等于负二分之一， 那所以说 b 点的这个横坐标是负二分之一 a a 点的这个横坐标，他是一，对吧？那所以 a o 比上 b u 啊， a o 比上 b u 啊，就是 a 点的这个横坐标啊，去比他就是一比上这个绝对值啊，用绝对值长度啊，一比上这个二分之一，答案就是二，答案就是二啊，这个很简单。 好，然后呢，他又说了这样的一个啊，一般的，一般的就是，你不是举一个特殊例子，道理还是一样，跟前面这个结论是一模一样的，没有什么太大区别。而且人家已经规定好了， m 跟 n 都是正数 啊， m a 都都正数啊，那那交于这个 a， 交于这个地方是 a 点，交于这边是 b 点啊。根据刚才的结论，我们可以猜测一下啊，你刚才是什么？是 a o 比上 b u， 那 它是什么？它是这个， 呃，交的这个地方啊，这个这个抛物线啊，这个抛物线是 y 等于二 x 方，下面这个啊，是 y 等于负四 x 方啊，负四 x 方。然后你用的是什么？是这个，这个 a 比上这个 a o 比上这个 b o 啊，实际上你会发现其实跟这个系数是有一定关系的啊，系数是有一定关系的啊，你用 a o 比上这个 b o， 实际上就是这个四比上这个二啊，我们可以通过这个一般的去研究出来啊，一般的去研究出来，你可以画一下大概的样子， 画的胖一点，画细一点都可以，随便啊，这个这边我画的稍微像一点啊。 好，假如说上面这个啊，嗯，下面这个我用蓝色的画出来。 好，这条线啊，这个是线，就是 y 等于 k x， 然后这个蓝色呢？就是 y 等于啊，它是 mx 方啊，下面这个红色的就是 y 等于负 x 方，对吧？ 那交于 ab 两点啊，交于 ab 两点，那这个就是 a 点啊，这个就是 b 点， 这就 b 点。那我们可以把这个 a 跟 b 的 坐标给它表示出来吗？给它表示出来，那你这边直接列完那 k x 等于这个， 呃， m x 方啊，那 k 就 等于 mx 啊，那个零就不用看了啊，那 x 就是 m 啊， m 分 之 k 啊， m 分 之 k， 对吧？啊，这个地方他的重读标其实不需要求啊，不需要求啊，你求的话你可以带进去自己去求一下啊。这边不需要，因为我只需要做什么？做这个 a 跟 b 做垂直，求出这个横坐标的这个比值就可以了啊。好，然后 b 点这边也是一样，那么就是负 a 分 之 k， a 是 正数啊， a 是 正数， a 是 正数啊，然后这边啊，我这边是假定 k 是 大于零的啊，假定是 k 大 于零， 因为它是对称的嘛，你 k 小 于零，这边道理是一样的，你研究出 k 大 于零的时候，那，那小于零这个道理是一样的啊，对称的，不用不用考虑啊，就考虑大于零就行了啊，根据对称性，到时候直接说明一下啊。 好，那么这个地方啊， b 点这个横坐标就是负 a 分 之 k 啊，坐标我也不用求啊，不用求，那么它的这个 a u 比上这个 b u 啊，它就等于 x， a 的 绝对值比上 x b 的 绝对值 啊，它就等于 m 分 之 k 啊，比上这个 a 分 之 k 啊，最后化解完之后就是 m 分 之 a 啊，所以说你看下 a 比上这个啊， a o 比上这个 b o， 它实际上是什么？是这个下面抛物线的这个，它的一个这个啊，这个 a 的 绝对值比上这个上面的这个它的 a 的 绝对值。 对 𠲎， 所以 这个结论对下面也是一样适用的啊。好，也是一样适用的。好，我们来看一下下面 操作二次函数归哪结论啊？二次函数图像经过通过这样的一个几何变换化为顶点，在坐标原点的形式， 结合位四的定义以及探求过程可知，上述图像为位四图形，位四中心为这个坐标原点位四呢，为某一个常数，换言之的话，任意两个二三数图像都什么啊？都相似啊，这个就很简单，好，相似。好，我们看一下第四个，我们去运用起来。 好，看到这个二次函数，我们可以先把它画成顶点式啊，顶点式这边就是 x， 减去二分之三的平方啊，这边就加四分之，加四分之九，但是你还要减五呢，所以合并完加四分之九，你，你还要干嘛？你就是减四分之九啊，减四分之九啊， 因为这里面会多出一个啊，这个加四分之九，对吧？你要减去四分之九，然后再减五，所以合并完之后就减去四分之二十二十九啊，减去四分之二九，所以他的顶点坐标就是二分之三。逗号负四分之二九 好了，然后以 a 点这个二零为为四中心啊，为四中心，将二次函数按一比二放大，那我们先把这个顶点先求出来啊，顶点先出来，我们在旁边去画出他的他大致的样子。先求顶点啊，放大之后啊，为四之后的一个啊，坐标， 那这个位置中间是二零，然后这个地方是二分之三负四分之二九，所以第一种情况是往下的啊，往下的，注意啊，他原来头像是这样子，大概是这样子啊，那第一个图是往下的，往下的时候他形状是 放大啊，放大，放大两倍吗？一比二吗？对不对啊？那相当于这个这个点，这个二分之三负四分之二九，其实就是中点吗？所以根据中点公式可以求出这个点坐标。 这个点，这个大概是啊，乘二，这边就是一乘二，它就负二分之二九。好，往上去的话，大家在这边 啊，这边就是相当于是什么啊？这边相当于什么？就是二，零是二逗号，零是中点，对吧？然后这个这个点关于它的这个对称点啊，可以求一下，这边就是三啊，三逗号这个， 呃，二分之二十九啊，三到二分之二九。好，那么两个顶点坐标求出来了，那他图像大概是什么呢？下面这个图像大概是这个样子， 上面这个图像大概是这个样子啊，开口向上和向下啊，开口向上和向下。好了，那么你这个地方要注意问题，就是你图像放大的时候，根据刚才这个结论啊，你会发现你放大的时候，他是按一比二放大的， 对不对？但是他这个 a 是 什么？根据刚才的这个结论，你会发现他是一个啊变小的这样的一个状态啊， a 要除以二， a 要除以二，所以他这个图像原来这个地方是 a， 值是一，那所以到这边的话就是 a 就 等于啊二分之， 那上面的话就是负二分之一，所以我们分别去带就可以了，我分别去带就可以了。那下面这个减一就是 y 等于二分之一 x 啊，顶点是 x 减一的平方减去二分之二九， 上面的就是 y 等于负二分之一 x 减三的平方加上二分之二十九。 好，这边就整理一下啊，就是你仅仅是写也可以啊，不，不拆也可以啊，拆开的话就是一个 x 方减去六 x 加九，然后乘以负二分之一，就是负二分之一， x 方加上三 x 减二分之九，那就是加十啊。加十啊， y 等于负二分之一， x 方加三分三， x 加十，这是第一个，第二个就这个展开是 y 等于二分之一， x 平方减 x 加二分之一， 加二分之一的话再减去二分之。呃，二十九，那就减二分之二十八，那就减十四啊。所以两个式子啊，两个答案啊。

分享一段很激励的话，理想的风会吹进现实，熬过的夜也会变成光。在你曾经走过的看似普通的每一天，那些所积攒的能量，沉淀的知识会散做满天星，照亮你脚下的路。所有努力都在慢慢变得清晰， 那些看似波澜不惊的日复一日，总有一天会看到坚持的意义，而那些反反复复的否定，也会得到肯定的答案。一切未知，努力的事情都会有浪漫的结果，我们终将上岸，阳光万里。

好，我们来看一下雅理二模的最后一题，二十五题哈。呃，提高呢，就不带大家看了，它大概说的是个什么意思呢？就是这个地方有一个二次函数， 好，然后这个二次函数上面呢，我去随便到上面去找一个点，然后把它和顶点连接起来，那么它就会与对正轴存在一个夹角，那么这个夹角呢，就是这个点的轴偏角。 ok， 那么第一问呢？第一问他说弱点在这个抛物线上面求这个轴偏角的度数，那么首先这个抛物线比较特殊嘛，因为他的 b 也等于零， c 也等于零，说明什么呢？说明， 哎，他的这个顶点呢，一定在哪里呢？坐标原点，对吧？然后呢，还说明一个什么事情，他对称轴呢，就是这里的 y 轴，那顶点在坐标原点，好吧？好，然后呢，让我们去求这个轴偏角的度数，那么这个轴偏角的度数该怎么去求呢？ 首先，哎，给了你它点的横坐标， a 点的横坐标，然后又给了你抛线的解析式，你是不是可以把它的纵坐标给算出来呀？带进去嘛。那所以呢，它的纵坐标 y 就 应该是等于二乘以四分之三，对吧？应该是等于二分之三， 所以呢，这个点 a 点的坐标呢，就是二分之根号三。逗，二分之三，那也就说明这条边这一条边是二分之根号三啊，这一条边呢是二分之三，那么我将它和这个顶点连接起来，这个 c 它角 应该等于多少呢？那肯定去看它的 tan 值嘛，那么 tan 值的 theta 呢，是不是应该等于二分之根号三，去除以这里的二分之三呢？哎，约一下，那就是三分之根号三嘛，所以 theta 角呢，就是三十度。所以第一问呢，还是比较的基础的。 第二问，他给了我们抛物线呢，是 a x 方加 b x 加 c， 然后告诉我们 a b c 相乘不等于零，也就是 a b c 都不为零。哎，也就是说这个图像没有上面那个图像那么特殊了， 它的这个对称轴呢，不可能是 y 轴，它的这个顶点呢，也不可能是坐标原点，那么他说它的顶点为 m， 然后与 y 轴的交点是点 c 点。好，我们大致把这个图像画一下。 好，因为这个这个题目呢，也没有告诉我们，就是说它这个抛物线的 a 是 大于零还是小于零的。所以呢，你大致画一下就可以了， 你向上画，向下向向下去画呢，都可以。呃，算出来的结果应该是一样的。好，那这个点呢，就是与 y 轴的交点是 c 嘛？好，然后呢点 c 的 这个轴偏角是四十五度，也就是什么呢？也就是说 这个地方我们把它和顶点连接起来，它有这个对称轴的夹角呢，这个角呢，应该是等于四十五度。 好，接下来他说，呃，直线 cm 和两坐标轴围成的平面图形的面积是这么多。好，你要搞清楚这个 cm 围成的这个平面图形的面积是哪里，是不是应该是这一块啊？ 啊，好，那这个图形呢，其实也蛮特殊的，因为这个地方是四十五度嘛，那这里肯定也是四十五度嘛，对吧？因为这个内错角嘛。 好，所以也就是说这个三角形呢，是一个。什么？是一个等腰直角三角形嘛？啊，那这条边呢，这条边应该等于多少呢？是不是应该等于 c 啊？这个 c 是 什么？这个 c 是 这个抛物线，这个 c， 哈，不是 c 点好，那这条边呢？应该也是 c 好，那所以说呢，它的面积呢？怎么算呢？是不是就是二分之一的 c 方就会等于一十二减去四倍根号五了？ 好，那有些同学卡在这个地方说算了半天，哎，这其实就是初二的一个东西嘛，对吧？因子分解嘛。那么 c 方呢，是不是应该就等于二十四减去八倍根号五啊？那这个地方怎么操作呢？先提个四嘛， 或者说你先提个八，提个四，都可以，这样，我们提个四吧，那提个四的话，那就是六减去多少呢？ 二分之根号五，对吧？好，然后把这个六呢给它拆成两部分，第一部分呢是五，那减去二倍根号五，好，然后呢，再在后面加个一， 对吧。那为什么要这么猜呢？因为这里就是一个完全平方公式嘛，所以说呢，他就是应该等于四倍的，呃，根号五减一， 对吧？他的平方，所以呢， c 呢？两边同时开平方，那么 c 呢？是不是应该等于正负？呃，两倍的根号五减一， 好，那么也就 c 一 会等于什么呢？假设他取正，那就是二倍根号五减二。好，那他取负呢？那就是应该等于这个负二倍根号五 再加二，我们接下来再去算谁呢？是算这个 b 对 不对？好，那这个 b 怎么算呢？其实这个地方，呃，也挺常规的，对吧？因为这个地方它是四十五度嘛。那我们假设说连这么一条弧度线 好，那也就意味着什么呢？这个三角形呢，也是一个等腰直角三角形，那么上面这条边呢，就会等于这里的这条边。 好，那么上面这一条边怎么去表示呢？它是不是应该就是对称轴的什么呢？对称轴的绝对值嘛，表示边长嘛？ 好，那下面这一条这个边长怎么去表示呢？是不是应该去用这个 c 点的纵坐标，对吧？ c 点的纵坐标去减去 m 点的纵坐标嘛，那 c 点的纵坐标是多少嘛？ c 点的纵坐标是不是就是 c 啊？小 c 嘛？ 嗯，所以呢，呃，然后这个这个顶点的重坐标应该是多少呢？用顶点坐标公式嘛， 也就是四 a 分 之四 a c 减 b 方，对吧？好，我们把它写下来，那也就是说这里假设是 h 点啊，这里 c h c h 会等于什么呢？是不是应该就是负二 a 分 之 b 的 绝对值？ 好，它应该等于什么呢？这个 h m 嘛，这个 h m 呢，就是 c 点的这个纵坐标，也就是这里的 c， 对 吧？然后就减去什么呢？ 这个 c， 大家要知道啊，还是说的是这个抛线的这个小 c， 好 吧，好，那么这个 c 呢？减去什么呢？减去这个四 a 分 之四 a， c 减 b 方，减，哎，减 b 方， 对吧？它的绝对值。好，你要去解它呢，那我们首先去绝对值嘛，两边同时平方一下嘛，那左边就会是四 a 方分之 b 方， 然后就应该会等于这边。哎，这边这个地方也比较特殊，对不对？因为 c 呢，也可以进行一个通分嘛， 那是不是变成四 a 分 之呃，这个四 a c 了，那么减完之后呢？是不是就指余下一个四 a 分 之 b 方了，它的它的平方啊， 对吧？好，那么这个地方，呃，就是四 a 分 之，那四 a 方分之 b 方，就会等于一十六， a 方分之 b 的 四次方，对吧？ 好，约一下，这里约一下，这里还剩个 b 方，然后这里一十六呢，跟这里四约一下，这里是四 a 方， a 方约了，那也就是说明什么呢？说明这个 b 方是不是应该就等于四了？那所以 b 呢，就会等于正负二嘛？ 所以说 b 乘以 c， 它是不是就存在两种情况啊？对吧？第一种情况呢， b 乘以 c， 应该是等于什么呢？是不是应该就等于四倍？根号五去减四？好，第二种情况呢，这个 b 乘以 c 呢， 是不是应该会等于这里的四减四倍刚好五啊？所以这个第二问呢，就是这么做的。其实这个题目的思路还是蛮常规的，在我们以往接触的压轴题里面，这个算是比较的基础的了。好吧，好，我们接下来呢，再来 看一下第三问。 好，第三问，那么他现在告诉我们，这个抛线 y 一， 然后 y 二， 然后它们的开口方向是相同的，顶点是公共的。好，那么我的学生应该就知道了，这个顶点公共，你怎么去处理啊？那我是不是 y 一 呢，就直接变成什么 a， e， x 去减去 h 的 平方加上 k 啊？好，那这里 y 二可以写成什么？ y 二是不是应该也可以写成 a 二，然后 x 减 h 的 平方再加 k 啊？对吧？这个 h k 它俩就是表示的这个抛物线它的顶点，然后它们两个是相同的，对不对？ 这样的话可以简化你的计算步骤，就这个 b 和 c 呢，你就不用管了。好，那么这里的 p 呢，它不是在这条抛物线上面吗？也就是说可以带到这个式子里面来呗，那也就是 a e 呢，就会等于 呃 a 一， 然后 x 一 减 h 的 平方呢？再加 k， 对 吧？然后呢，这个地方的 q 点呢，就可以带到这里来嘛，那也就是 a e 呢，就会等于 a 二，然后 x 减 h 的 平方呢，再加 k。 好， 那么现在它告诉我们什么呢？就是点 p 点的这个偏轴角呢？是 alpha， 然后 q 点的偏轴角呢？是轴，偏角是 beta， 对 吧？好，那么 tanq 的 alpha 比上 tanq 的 beta 呢？等于？这个问的是 a 一 比 a 二 好，大家要先搞清楚一个东西，就这个 time 的 算法怎么算，对吧？我们得往这个已知条件上面去靠嘛，那么这个 time 的 算法怎么算呢？其实刚刚呢，我们已经画过图，然后大致的讲了一下，对吧？我们再画一遍吧。 好，就比方说这个地方是 p 点， ok， 那 p 点的坐标呢？是 x 一 到 a 一， 然后这个顶点的坐标呢？就是我们这里设的 h 到 k， 对 吧？好，然后把这两东西连起来，然后它与对准轴呢，就会存在一个什么呢？存在一个夹角，对吧？这个夹角呢 是阿尔法角，那么这个 tangent 的 阿尔法怎么算呢？它是不是就等于这条边呢？假设这里是 h， 是 不是应该就是等于 hp 比上这里的？呃， 比方说这里还是 m 吧，好吧， h m 对 不对？好，那么 hp 怎么算呢？是不是就是谁啊？是不是就是 x 一 去减去这个 h 它的一个绝对值啊？好，那这个地方其实已经出现了这个东西，对不对？你看这里是不是已经出现了，那么这个它是带平方的嘛？所以说我们等会儿呢，去把它开平方，然后取那个正根，是不是就可以表示这条边 hp 了？好， 那么这个竖的这条边怎么表示呢？竖的这条边是不是用 a e 减去这里的 k， 然后再来个绝对值就好了？好，那么我们来看一下吧，先表示这个 h p 吧，那这里的 h p 呢？是不是就是？ 好，我们就把这个东西呢，直接写成 hp， 好 吧，直接写成 hp， 那 么，呃， hp 的 这个平方呢，是不是应该就等于什么了？ ae 减去 k， 然后再除以 a 一 啊？好，那么也就是 hp 呢， 会等于啥？是不是根号下这个东西？ ok， 然后呢，它的这个 hm 呢？ h m 呢？是不是应该就等于什么呀？ a e 减去 k， 然后呢？再来一个绝对值了？ 好，那么接下来呢，就是算那个 tanq 的 嘛？ tanq 的 阿尔法嘛，那么 tanq 的 阿尔法是不是应该就等于这个东西比上这个东西啊？那也就是根号下 a e 减 k， 然后这里是 a 一， 然后呢，除以 a e 减 k 的 一个绝对值嘛？ 好，那么同样的道理嘛？同样的道理，你放到这个 y 二里面，是不是同样的算法呀？对吧？这里就，呃，不再重复讲了。好吧，那你最后算出来的这个第二个 tangent 的 贝塔呢，应该等于多少呢？应该是这么一个式子， 你看 tangent 的 贝塔呢，应该是 a e 减去 k， 然后除以 a 二，然后一样的，这里是 a e 减去 k 的 绝对值，对吧？大家可以动手算一下。 好，那么这两个式子它不是比一下得到它吗？好，那它俩比一下，你看下面这个东西带绝对值这个东西是不是约掉了？好，那也就是说 tanq 的 alpha 比上 tanq 的 beta 了， 应该等于什么呢？是不是应该等于根号下 a 一 减 k， 然后 a 二，对吧？然后比上这里根号下 a 一 减 k， 然后去，哎，这上面应该是 a 一 啊，不好意思，那下面呢，应该是 a 二，好， 然后他们，他俩比完，对吧？他俩比完最后应该是什么东西呢？是不是应该是根号下 a 二去比上 a 一 啊？哎，那根号下 a 二比上 a 一 看是不是就是二分之根号五减一， 对不好，那么它就是这么一个东西的话，那你现在要求的不就是 a 一 比 a 二吗？大家肯定都会算了，对不对？我们把两边同时去平方一下，那平方一下呢，就会得到 a 二了，比上 a 一 呢，就会应该等于四分之， 那这个地方呢？呃，应该是这个五减去二倍根号五再加一，对吧？好，然后 这个他问的是 a 比 v 二 a 二嘛，所以我们把它翻一下呗，翻折一下，那也就是说 a 一 比上 a 二呢，应该会等于六减二倍根号五，然后比上四，对吧？好， 呃，接下来把分母有理化就完事了，那么也就会等于这里的上下同乘一个 这个二倍根号五，那这里是六减二倍根号五，这是四乘以六加二倍根号五， 那也就会等于什么呢？这里是三十六吗？三十六减去二十，那就是一十六吗？一十六跟上面的四约一下，那就是四分之六加二倍根号五，然后呢，就应该等于，哎，二分之三加根号五， 那么这个题目呢，就解决了，对吧？所以呢，整张试卷呢，其实呢，它的这个难度呢？ 呃，不是特别大，对吧？你看后面的这个，就算最后一题他的思路也比较的明确，就是你哪怕说，你哪怕说啊，你没有想到说把它化为顶点式，然后去简化计算，你把这个东西直接，对吧？带到这个式子里面来，这个东西直接带到这个式子里面来， 对吧？也能算，无非是计算过程比较复杂一点，对不对？但是我们也能算，我们也能去拿到一定的这个步骤分，所以说整张卷子，呃， 要给大家传递的一个信号，就是说你基础的这种压轴题的类型呢，一定要会，好吧，你一定要会，一定要比较的熟练， 那么，呃，考高分的同学呢，也不要去骄傲，对吧？因为，呃，我实话实说，这张卷子呢跟中考就是往年的那五年的那个中考卷子的难度呢？压轴题难度呢？是没有那么匹配的，好吧，好，那么就讲到这里吧。

数学压轴不用愁，老师带你找方法。欢迎来到魏老师的压轴题小课堂。那这一次呢，我们来看一下娄底二模的最后一道题啊，这道题啊，用了这个特殊的四边形啊，特殊平行四边形了哈，来看一下啊，在菱形 a、 b、 c、 d 当中 啊，角 abd 呢，它是个一百二十度哎，那这个菱形还是比较特殊的啊，六十二一百二的， 那在这个 c、 d 上取了点 e， 哎， c e 是 得 e 的 两倍啊，点 f 呢，是在 b、 c 上连接 e、 f 沿沿着这个 e、 f 呢，翻折了个三角形 c， f， e 啊，点 c 的 对应点是点 p 啊， 问第第二小，第一小问，还是舍掉了啊？第二小问啊，这个 p f 垂直于 b、 c 时，哎， p e 与 p b、 d 之间的这个大小关系啊，嗯，这个比例关系啊，这个时候非常简单啊，那垂不垂直的这个比例关系，它会变吗 啊，我们 pe 肯定等于，谁说就等于这个 c、 e 啊啊，我们来表示一下啊，假设 c e 啊，它是一个二 a， 那 根据比例关系得 e 呢，它就是 a 啊，整个 c、 d 是 三 a， 那 b、 d 的 长度是多少 啊？咱们直接做个垂直啊，直角三角形当中，哎，这是，这是三 a 乘以，谁说三 a， 整个三 a 是 乘以三 a 六十度啊啊，那乘一个二分之根号三呗啊， b、 d 的 一半是二分之三倍根号三 a， 那 整个 b、 d， 它就是一个根号三 a 啊，三倍根号三 a 啊， 好，那我们要求的是 p e 与 b d、 b、 d 之间的这个数量关系啊。哎， p e 比上 b、 d 啊，就是 p e 是 二 a 等于 c e 嘛，比上三倍号三 a。 哎，你化简得到九分之二倍的号三呀， 二九乘二倍到三，这他的比例关系啊，这个非常简单啊，那其次是还要我们求位置关系啊，那这个位置关系该怎么求啊？看这个样子哈，应该是什么关系？应该是要平行哈，应该是要平行的，那不然他也不会问啊，那我们来看一下，我们去求，嗯， 怎么去求这个关系呢啊？那这里面咱们可以去构造一下这三角形啊。构造三角形，那咱们可以用相似啊，或者说这个角相等来做啊，我们连接 cp 啊，那并且延长交 b d 于点 q 啊， 好，做完这样的一个三角形之后，我们来看一下啊，能做到什么那个关系呢啊？找找角度的角啊，这里呢？它是一个三十度角啊， 如果说这块也是一个三十度啊，这就好说了呀，就好办了哈。嗯，那来看一下这块是怎么求呢啊？或者说我们来看下面是吧。这个 p f 垂直于 bc 是 咋还没用呢 啊？这里如果垂直了的话，那这块是多少度？这是多少度角啊？刚好是一个四十五度啊，哎，那么 p c e 是 多少度了？整个一百二减四十五度，就剩下一个七十五度啊，七十五度啊， 好，它是一个七十五度啊，那么咱们因为翻折对称这块也是七十五度啊，角 c p e 也是七十五度 啊，那这个角 c q d 呢？ c q d 哎，这块是七十五度，这里三十度，那一百八减去这两个度数角，哎，是不还剩下一个七十五度啊？啊，咱们推导出来这个角 c p e 啊，是等于角 c q d 的 啊， 它来作于七十五度是吧？那推出哎，是咱们 p e 是 平行于 b d 的 啊。嗯， 用好已知条件啊，这里面关键的啊，就是咱们要求这个位置关系用到这个垂直啊，那垂直 p f 跟 c f 相等嘛，那肯定有四十五度啊，四十五度，那隔壁这个角啊，这个 p c e 就是 七十五度，因为整个 b a d 一 百二嘛，那 b c d 也是一百二啊，它七十五度，因为反折对称，是吧？那这块也是七十五度啊，那它是七十五度了，那整个在 q d c 当中，哎，一百八减七十五减三十，还剩下一个七十五度啊， 这是同为角相等，两直线平行了哈。嗯，好，这第二小问啊，那么马不停蹄来看一下第三小问啊，若折叠之后点 p 恰好位于菱形的对角线上啊，那这里没说哪条对角线，那有几种情况？有两种情况啊，对角线有两条啊。 好，请在备用图中补全图形，并求出 c f 比 b f 的 长啊。那大家想一下，最简单的是哪个呀？啊，可以记个作图啊，最简单的是落在了这个对角线 a c 上呀。好，我们 a c 连一下， 好连接线的 a c， 然后怎么去做这个图啊？大家做图的话一定要带圆规啊，老师，这里的话呢，这个圆规很难调出来啊，那么大概画一下怎么画的啊？因为翻折批落在 a c 这个 a c 上啊，咱们一定有哪哪些线段相等的关系啊？ 是一定有 p e 等于 c e 啊。哎，那这里咱们是以点 e 为圆心啊， c e 长度为半径，说画弧就可以了，跟 a c 交于点 p 啊。好，那我们这画一下啊，或点 e 啊，好，大概相等啊，大概是在这样的一个位置上，嗯， 好，这个是点 p 啊，那然后咱们去找点 f， 这个点 f 该怎么去找啊？啊，那这里啊，是咱们翻折之后哎，这个对称点所列线段一定会被对称轴，怎么样， 这个一定记住啊，反折里最常考的就是这个垂直了，这一定会被对称轴垂直平分呀。啊，那么对称轴就 e f， 那 肯定要垂直于 p c 啊，那这里我们是要做 p c 的 垂线呀，过点 e 做 p c 垂线啊，大概是这样的，嗯，好，那这个点这点 f 呀，哎，我们再连接 p f。 好，这道题的话呢，是一个作图题啊，那图这个大家思路一定要清晰啊，怎么找这几个点坐标啊，那肯定是根据对称来这个线段相等来的啊，哎，首先一个这个 pe 一定等于 c e， 那 么知道 pe 是 在 t， 点是在 a c 上， 那么我们就以点 e 为圆心， c 长度为半径画弧，哎，交 a c 与点 p 啊，然后找点 f， 是 因为这个 p 和 c 翻折嘛，翻折就对称啊， p c 关于 e f 对 称，那么对称点所连的线段必定会被对称轴垂直平分呀， 啊，或者说你直接找到 pc 中点是吧，连接延长就可以了。那现在的话呢，我们要求 cf 比 bf 啊，那这个时候非常简单呀，啊，我发现啊，这个 cpe 和 cfp 它都是什么三角形 啊，翻折完之后，咱们知道这这个菱形的对角线是会平分对角啊，哎，那这里是六十度啊，这里呢，也六十度，哎，因为翻折这个 c e 也等于 p e c f 等于 p f 啊，那这样的话， c p f 和 c p e 是 都是等边三角形啊， 哎，那咱 c f 是 等于 c e 啊啊，那如果设 c e 为二 a 的 话呢，那整个 c d 就是 三 a 啊，那 f c 也二 a 啊，哎， b f 时候就是小 a 啊， 第一种情况啊，就是当点 p， 它是在线段 a c 上时啊，好，那这时候我们要的 c f 比上 b f， 哎，二比 a 比 a 就是 二啊，这第一种情况非常简单啊。好，那我们来看一下第二种情况啊，第二种情况就是点 p， 它落在了线段 b d 上呗， 这个数会稍微难一点啊，我们先把 b d 连一下啊。好，然后呢，找到点 p 的 位置也是啊，说咱们以点 e 的 圆心 c e 的 长度为半径去做弧啊，那这里漏出来是点 p， 然后连接 p c 啊， 过点 e 做 p c 的 垂线啊，并延长交 b c 于点 f， 然后再连接 p f。 嗯，这个思路一定要清晰啊，做图思路一定要清晰。嗯，好了，那现在我们还是要求 c f b 和 p f 的 长啊，那这该怎么去求呢？ 嗯，那这里咱们也沿用前面用的啊，说 c e 我 设为二 a， 那 么 d e 就是 一个小 a 啊，哎，那么 b c 长度的话呢，整个也是一个三 a 啊，那这块的话，我们来看一下啊。 呃，那如果说 c f 和 b f 都能用这个 a 表示出来啊，那是不是这道题就解出来了呀？那看怎么去表示呢？ 那咱们就设未知数吧，还是设未知数啊？ b f 设为 x， 那 c f 有 多少三 a 减 x 呀，那翻折过来以后， p f 也是三 a 减 x 呀，啊，那怎么去找这这样的关系呢？哎，一定要注意啊，题目中给这个一百二十度角别忘了呀。 哎，一百二十度的这个菱形的一个条件，千万别忘了那 b d 这个对角线一做，这个角度是多少？三十度啊。哎，有这样的一个三角形，里面有个三十度，想到什么了，说肯定要做构造这个直角三角形啊，那么过点 f 做个垂直啊， 垂过来。好，那这里假设是点 m 啊，那 fm 的 长度是多少？ 根据这个共顶点啊，或者说这个应该是三角函数啊。哎，那就是二分之一 x 啊。哎，这是二分之一 x 了啊，那咱们就把这条边也用 x 表示出来，或者 x 加 a 表示出来。 哎，说这个三边是就组成一个共顶点了呀，那就好说了哈。好，这是二分之一 x 呢， bm 是 多少？ bm 就是 二分之根号三 x 呗。 好了，那现在啊，我们知道整个 b d 的 长度，那是多少？就等于三倍根号三 a 呀。哎，我说减去 p d， 再减去 b m， 哎，这就可以了，那 p d 长度多少啊？那别忘了，这里是不是也有个三十度角啊，那咱说还是做个垂直啊。 好，这里呢，有个 n 啊，就是点 n， 那 么 n e 的 长度就是二分之一 a， n d 的 长度呢？是二分之根号三 a 呀。哎，好，那现在这个 p n 怎么求啊？ 那是不也简单，刚才说过很多遍了，说 p e 长度一定等于 c e 啊，这块是个二 a， 再根据勾股定律啊，这是四 a 的 平方，减去四分之一的平方是四分之十五 a 的 平方啊，那开根号是二分之根号下十五 a 吧。 好啊，那这样的话呢，我们这个 p n 长度也有了。哎，那下面是咱们拿这个 b d 减去这三段就可以了啊，那我们整个 p m 的 长度啊，就等于多少三倍根号三 a 啊？减去二分之根号三 a， 减去二分之根号下十五 a， 再减去一个二分之根号三 x。 好， 这样的话我们得到了个 pm 长度。那又知道了， m f 和 p f 都用 a 和 x 表示了啊，这样的话是得到一个方程了呀。

hello， 大家好，我是苏苏老师，苏苏老师今天在湖南长沙有一场考试，所以说呢，这一周的给九年兼职生讲的压轴题， 这周就得停课了，但是各位刚刚考完二模，所以苏苏老师在酒店紧急的给大家录制一个我们九年这回考到二十三题的这样的一个视频，我们一起来看一下这一道题 究竟有什么样的高中方法能让他解决的更好，以及我最重要的，我每一次课都跟这些九年的各种的大榜第一第二，区榜第一第二都说我说我们学这个东西不是单纯的为了解这一道题， 为了真正我们考试的时候遇见那道题，假如说是我们知道的涉及到的高中知识点，我给你讲过，你是不是上手起来会更加容易， 而且有一些粗高衔接的内容我们掌握起来，对于不管是几何题还是代数题，解决起来都会更加的节约时间。好，来，我们一起来看一下这一回二模的这道亚洲题到底涉及到了什么？好，各位展厅自己读一下题，我就直接开讲， 整个这道题涉及到的是什么呢？涉及到的就是一个平移的过程。好，我们把平移的知识点回忆一下， 第一个哦，第一个平移，初中的平移。各位给我说一下口诀什么来的大家都超级知道，叫做左加 右减，上加下减，这是初中的口诀 ok 吗？好，来宝贝各位告诉我，左加右减针对什么？左加右减针对什么？ 左加右减针对 x， 也就是针对我的字变量行不行，针对字变量上加下减针对什么？ 上加下减。很多人说老师上加下减针对长竖向，宝贝，你一定这么回答，为什么？因为我教太多年了，教了十几年了。初高中衔接的时候我问各位，因为我到时候一定会讲高中的图像平移。我到当时就问各位，我说你上加下减针对啥？大家都说长竖向，为什么？因为你们研究的都是啥，都是二次函数。 你说这个函数，你说老师，我想向上平移，说对长竖向加一。你说老师，我想向下平移两个单位，对长竖向减二， ok 吗？好，现在你还能说长竖向，但是到高中我们就不说长竖向了。我们说上加下减针对的是什么？针对的是整个函数， 上加下减针对的整个函数。我举个最简单你们都了解的例子，宝贝，这个函数我想向上平移一个单位，我想向上平移一个单位。各位，你哪有常数项？ very 就 常数项没有啊，你是不对整个函数加一，我想向下平移两个单位，对整个函数减二， ok 吗？好，未来上高中我们还会学各种各样的函数，比如说我们非常熟悉的这种赛引叫正弦函数。我想向上平移一个单位，对函数加一。我们未来要学的就是这个假期会学的只对逆函数，对数函数长这样， 我说想上哪有长数项？没有想上平一个单位，对于整个函数 ok 吗？现在就把这个事给拓展起来，初中学的不叫不对，初中学的比较窄，学的太少了，所以你们可能那么说，高中可能学的更广泛，我们要换一种方式叫整整个函数， ok 不？好？左加右减，上加下减，这个一点没有问题。 好，这道题里面还涉及到第二件事，就是对坐标来说，比如说 a 点坐标 m 都 n 在这，假如说这是 a 点坐标 m 都 n， 我 说我想向右平移一个单位，向右平移，向右平移三个单位吧，远点向右平移三个单位，那 b 点坐标 m 加三都 n。 好， 因为图像上就非常非常的直观，没有什么左加右减，上加下减，没有这个事，你就看图，你自你坐标变大了，你就变大， 你坐标没变就没变，你说老师，我想向上平移一个单位，向上平移一个单位， ok 吗？对于坐标的平移来说就是直译，你就看图就好了，你加还是减的，行不行？好，这个东西就是这道题讲的两件事可以。好，当然 我还有第三个。对于高中我都说了，我们拓展讲，如果今天你的新定义或者你的陈述型的这样的语言讲的不止这个，再给你换种方式讲，你该会还得会， 对吧？为什么要学初中的思维解高中的问题，就是因为你的新定义也好，你的陈述性就是这种大长段的讲述题也好，你有的大多数讲的都是高中的方式和方法，你要会的话，你可能看起来你就理解的更好，对不对？好，来，高中还有一个图像平移，还有一句话叫做 左加右减，上减下加好，左加右减，上减下加， 能看出来不一样。好，他针对的是什么？他针对的是什么？针对的是因为我们高中有一些曲线啊，不叫我们高中初中一样的。来，宝贝，我给你举个初中例子，咱先不拿高中举例，初中例子就这个 y 等于 x 加 e， 这是一条直线， 对吧？好，你说。我想向上平移一个单位，向左平移三个单位，先说左加 对不左加右减上加，是不是再加一个单位？所以整个函数加一对不对？整个这个函数变到了 x 加五 是不？ ok？ 没有问题。好，来，我们再看这个。如果今天我把这个函数不写成这个样，写成这个样，写成这个样，我首先问第一个问题，这俩是一条直线告诉我。先告诉我这个问题，这俩是一条直线吗？ 是不是一条直线？好，来，我对这个函数上移一个单位，左移三个单位。宝贝，咱先别说结果什么样？别，别说怎么做的？你告诉我结果是不得一样？同样一条函数，同样的变换，结果是不得一样， ok 吗？好，来，这个就用这个口诀，叫做左加右减，上减下加上减下加， 针对 y， 左加右减，针对的是自变量 x， 所以 宝贝向上平移一个单位叫 y 解一。 向左平移三个单位，左加右减针对 f。 三减一等于这么写 ok 吗？你整理一下。你先，你先整理一下这是多少？这是减五等于零，是不是长这样？来看一下，这两条直线是一样的吗？ 对吧？刚说完平移完的直线，你能不一样？那不闹笑话了吗？ ok 吗？好，他俩一样的，你说为啥不一样？你说为啥口诀不一样？各位老铁来，如果这是我秘书课的话，我一定会让大家说的哦，主播今天录的视频 来，各位老铁，各位的什么区榜第一第二全是第一第二的，校榜第一第二的来告诉我这两个差别在哪？你得自己发觉。高中数学是一个寻觅的过程，贼爽好不一样的东西在哪？如果你左加右减上加下减，针对的是 自变量在一侧，因变量在一侧就是 x y 各在各的地方， ok 吗？ x 在 一边， y 在 一边，但是你左加右减上减下加针对的是什么？针对的是你的 x， y 在 同侧，你的阴变量自变量在同侧 能懂吗？在同侧的时候你必须得是左加右减上减下加好这个东西也非常好理解。如果说对于这个函数我向上平移一个单位是不搁后面减一 我是搁后面减一啊我向上啊 sorry 搁后面加一向上平一个单位是不是在后面加一？那挪到这面对 y 是 不是就是减一挪到这对 y 是 不是就减一？所以宝贝上减下加针对于 y 这辈子一定成立 可以吗？有的人会说，老师，这有啥用啊，一点用没有的东西。你说老师啊，那你你就我就大不了我遇见这种造型的，我给编成这种造型的不行吗？我还用左加右减上加下减， 我还是那会学了，一定有用。为什么有一种函数你整不成这造型的有一种函数你整不成这造型的呀，好什么函数？为什么我今天要讲这个函数 就是因为各位一定能遇得到哦不能叫各位这回考试一定能遇得到。就是你你你的中考是一定能遇得到的，只不过看他说不说。什么东西呢？叫圆方成 圆方程？宝贝，不可能的，你说谁？你说老师我不讲这张卷纸不考圆，那不疯了吗？啊宝贝给大家拓展一下圆方程。什么叫圆方程？叫 x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方等于 r 方圆的方程。圆心坐标 a 到 b 半径为 r， ok 吗？为什么要拓展？还是那句话，如果你的压轴新定义给你定义这个东西，我给你讲了，你不读起来不更方便吗？ ok 吗？好，圆心坐标 a 到 b 半径为二。那你说来，宝贝， x 减一的平方， y 减二的平方等于四，告诉我圆心坐标多少？ 圆心坐标一到二半径为二。圆心坐标一到二半径为二， ok 吗？好，来，但是这些我觉得太难了，你们不能考，你们能考的是什么啊？ x 方加 y 方等于一。 首先告诉我这是不是圆方程首先告诉我这是不是圆方程？符不符合谁的方？什么玩意的方？ x 的 方减加上 y 的 方，括号里面 ab 随便。好，等于 r 方。满不满足是不满足？好，圆心坐标告诉我一下形式，满足就是这个方程。圆心坐标 零到零，半径为一。这个东西有个非常好听的名字，非常常用，叫做单位圆， 它叫单位圆， ok 吗？好，就是你像它单位长度，你刻度尺上单位长度，这叫单位圆。圆里面的最小单位了也 ok 吗？还有一个标准量叫单位圆，可以吧？好，来，今天这个单位圆怎么画图呢？ 圆心坐标零斗零半径为一，单位员， ok， 好， 现在我想把这个单位员啊，我现在想把这个单位员干什么呢？上移一个单位，左移右移吧。右移两个单位行不行？上移一个单位，右移两个单位。 好，来，宝贝啊各位老铁，别跳步来跟我说，首先， x y 是 不是在等号的同侧？ x y 在 等号的同侧。宝贝，这种函数是涉及不到就整不了 y 等于啥的。你说老师，我要把它 x y 掰开，你掰不开 这东西哦，这掰不开，掰不开。当然它也不叫函数，它叫一个图形哦，正常讲，它不叫一个函数，它叫一个图形。什么叫函数？咱们九年升新高一这个假期给大家讲， ok 吗？好，但是你说，老师，我想把 x y 掰开，掰不开， 你咋掰？这掰，这不叫，这不叫函数。宝贝，这不叫函数。你想把 y 单独剔出来，单独剔出来你还得开根号，开根号还得再正负， ok 吗？好，我不跟你纠结什么叫函数，什么不叫函数，因为这个题就讲多了，我说这个图形行不行？咱重新说一下，这叫图形啊，你说这个图形你掰不开呀？宝，你掰开掰成俩函数， 多乱呢， ok 吗？所以这 x y 掰不开，掰不开怎么办？用刚才那个口诀，刚才那个口诀。再给我说一遍，刚才那个口诀是什么来的？好，刚才那个口诀叫左加右减，针对 x， 上减下加针对 y， 行不行？来，整吧。上移一个单位，右移一个单位， 向上平移一个单位，叫 y 减一的平方。右移一个单位叫 x 减二的平方形。不行，半径是不变的，你不可能一个圆动来动去，半径是变了，是不？还是这样？ ok？ 不？ 哦，是不还长这样， 可以吗？来，宝贝，你看这是对不对？怎么看？这是对不对？宝贝，你变换这个东西，你告我原心坐标多少？看，他告诉我原心坐标二到一半径为一，对不对？来，宝贝，从图像上看，在这回看图了啊，图，原心在零，原来在零度零。 圆心这个点叫向上平移一个单位，向右平移两个单位来，圆心到多少？向上平移一个单位，向右平移一个单位。圆心是不是叫变的？二度一，对不对？对吧？半径没变，哎哎哎哎，半径没变。 这俩图能不能交上？我就先不管这个问题啊。先不管，这应该是肯定是交不上的，但是这就涉及到多了， 是不是长这样？ ok 吧？是不是长这样？好，所以宝贝，你看圆心对不对？半径对不对？ ok， 它符合的口诀就应该是左加右减，上减下加。 记住，宝贝，这个东西针对的是什么？针对的是 x， y， 如果在等号同侧的话，你就只能长成这个样子，可以吧？好，就这一块给你出一个什么文字题，完全没有问题，完全 ok。 我 给你讲了，你可能如果真的遇见就会更更清晰，行不？这个 ok 吗？好，这个错的， ok， 好， 来，如果 ok 的 话，我们如果你这些都没有问题的话，咱们一起看。这个题真的是白给的题哦，对，题里面还有一个，另一个其实也很好用的知识点就是这块 哦。来，你看一眼，他说呀，这块说，我给你拿这块来。宝贝，对于 y 等于二 x 这条这个曲线来说， 他什么系数？是 k， 那 就相当于上移一个单位。上移一啊，叫什么？右移一个单位，上移一个单位， ok 不好？这上面有个点坐标长成这样，移完事了， b 点坐标长这样是不没有问题？右移一个单位，上移一个单位，是不就长这样？左加右减？对，然后他给了一个这样预算， 他给了一个这个运算哦，但这个运算我觉得你爸可不必这么运算哦，但是我也得给你讲，万一你在别的地方遇见了呢，这个运算是什么？我再把这个给你拓展一下， ok 吧？好，他说的是什么事呢？就 y 等于二， x 上面有个 a 点坐标叫 m 到二 m， 是 不没毛病？好说，这个点坐标啊，叫什么？右移一个单位，上移一个单位。那这个点坐标 右移一个单位， m 加一，上移一个单位二， m 加一行不行？好，然后他说，哎，我能得到的原来就是得到这个叫 b， b 所在的方程变成了什么样？他有个这样的运算好。看，这这 好，他算出来一个 b 所在的方程关这个方程起个名字叫不移关联函数。 就这词我都不知道啊。不用知道，这事都不一定真的假的，能看懂题最重要哦，宝贝，最新定义吗？新定义不是让你说，他只是给他起了一个新的名字，但事绝对是正常的事，而且很多都是高中的事。宝贝，他说的是什么意思呢？ 这个运算他有个名字哦，他说把 b 变成这个样子了，问 b 所在的方程是什么样的？他干了一个事，叫做 x 等于 m 加一， y 等于二， m 加一， ok， 不？好，这个东西有个名字叫做参数方程。 好，我不知道这个东西初衷讲不讲啊？来，宝贝，这个东西叫参数方程。参数方程的运算方式是什么样的呢？参数方程的运算方式就是把 m 搁这里面换出来，往里，往第二个里带好，所以隔第一个能知道。 m 等于 x， m 等于 x 减一， 往这里带叫 y 等于二倍的 x 减一，再加一。所以你新得到的直线方程叫二 x 减一。哦，就这么简单，你设得新得到直线方程，这个它有个名叫参数方程， 行不好哇？你每一个点我都敞开给你讲，你万一遇到哪个呢？我一直都是这个主张，行不行啊？来那，但是我们大可不必这样的呀。为啥大可不必这样的？我们可以直接写，从他直接又移一个单位，上移一个单位。宝贝，又移一个单位， 左加右减上一个单位不也是二 x 减一吗？ ok 吗？不也是二 x 减一吗？所以可以不转圈转，就可以不用参数方程转。但是还是那句话，如果这个你未来的题里面说定义什么，什么是参数方程，它的处理方案是什么样的，你自己看不懂，你听我今天讲，是不是能看懂了？参数方程永远怎么做， ok 吗？那再可以举个例子，再可以简单一点的，比如说参数方程， x 等于二， m 加一， y 等于 i， m 分 之一参数方程就是引入一个共同的参数， ok 吗？引入一个共同的参数 m， 我 x 也用 m 表示， y 也用 m 表示，然后通过 m， 我 可以建立 x y 之间的关系， ok？ 不？好。方法就是搁 x 里面转出来 y， 然后这叫 x 减一，比上二等于 m， 行不行啊？往这里一带，所以 y 等于 x 减一分之二，就这么简单， ok 吧？好，你说老师，这个函数，这个函数怎么画图？宝贝，很明显很明显，这是平移来的很明显，这是平移来的。这个图像，这不是 x 分 之二，往哪平移？对于它来说， x 二，我一个箭头画的不对，应该这样式， x 二往 右平移一个单位，是不就它左加右减针对 x 吗？左加右减哦， x 分 之二，又一个单位变成它，但是错的太多了。哦，不错，那么多不错那么多，这事行不行？ ok， 不好，这图像变换的话，我们有机会的话，周日晚上和周四晚上，因为我现在开了两个尖子班。哦，两个尖子班， 我有机会的话，我把再把图像平移好好说一说， ok 吗？好，如果这些都知道的话，这个题真的是非常非常之简单啊。我，我把这个查了。 我把它查了啊，因为呀，我今天没我我在长沙没带熟悉版呃，我只能拿 ipad 给大家讲。 行，来，宝贝，咱看一下这道题啊。我把这涉及到有人会说，啊，有，到高中了，很多人都会说，叔叔你讲课，讲课怎么讲的？就是一节课讲的慢。为什么讲的慢呢？很多人觉得我讲的多，因为有的人就会觉得讲的慢。能听懂我的课的人就会觉得我讲的多。因为一道题拓展所有的税点我全给你展开讲，全部都展开讲，就很多人就觉得我讲的多， 但有的人为啥讲的慢呢？他不愿意听拓展，他只想把这道题答案等于几，听到那就会觉得有讲慢，因为可能对于这种大题来说，一节课就讲三四道，那可不慢咋地？因为一个点都拓展讲一个点就讲，哎，就讲好长时间，上高中也是这样的，但是你如果真的会听高中数学的人真的是知道我讲的 东西价值在哪啊。好，所以各位九年级小宝贝认真听，我讲的永远不是针对这道题，针对的是你可能从这道题身上引射出来的那个知识，也还能出别的题身上。那我们一起看一下这道题啊。他说第一个问呢，这个函数第一个问，这个函数 上面有一个 a 点坐标 m d n， a 点坐标 m d n， 然后他说不移系数是负二，那就相当于整个的叫右移一个单位，下移两个单位， ok 不？ 右移一个单位，下移两个单位。让我算，呃， b 点的重啊，算 b 点的重坐标。宝贝， b 点的重坐标。首先你对 a 怎么移？对这个点坐标向向右移，右移是不是就加一？因为还是看图，坐标的移是直接硬直接移啊，不需要有任何加工。你向右移就坐标加一，然后向下移， 是不是就长这样， ok 吗？好，但是这里面啊， m n 是 有关系的，为什么呢？因为他要用 m 来表示。 m n 之间的关系是什么？ a 点坐标在直线上，所以宝贝， n 等于负 m 加四， n 等于负 m 加四，往里一带， a 点坐标， m 加一，都负 m 加二， ok 吗？这是 a 点坐标。哎，这不应该叫 a 点坐标，应该叫 b 点坐标， ok 吗？好。然后他第二个问问那个 y 一 的关联，那个什么什么函数啊？来，宝贝，还是不用转圈儿算，直接移就行。 y 等于负 x 加一，干什么呢？右移一个单位，左加右减，右移一个单位， 好，然后整个向下平移一个单位，向下减二，所以宝贝，这叫负 x， 这是几？负 x 加三，整个这个关联函数就是 y 等于负 x 加三， ok 吗？好，这第一个完事了。来看第二个，他说在一的条件下， y 小 于等于四，在一的条件下，在一的条件下， 这是四到零，这是零到四，这上面有一点 a， 好， 这上面有 a， 故 a 做 x 轴的垂线，垂到 c， ok 吗？好，平移完事。这叫 y 等于负 x 加三， y 等于负 x 加三，可能 这句话，这第二条直线，嗯，这 l 一， 这是 l 二， ok 吗？好。然后 b 点 b 点是怎么来的呢？向右平移两个单位，向右平移两个，一个单位向下平移，这是 b。 好，咱先这么画着。宝贝，咱先这么画着。这里面也有细节啊，咱先这么画啊。我大致画在这啊。然后像 b 过 b 做 y 轴的垂线，垂带特，垂带特 好，大点画垂带特， ok 吗？好，然后连接 a、 b 和 a d， 连接 a、 b 和 a、 d， 这时候已经有问题了，看， 连接 a、 b 和 a、 d。 宝，这已经开始有问题了，问题在哪？谁能告诉我？他说平行四边形 a、 b、 d、 c， 宝贝，这顺序不对是不？咱都知道转圈念，念四边形名的时候必须得捋着转圈念， ok 吗？来，这应该叫 a、 d， b、 c， 他观察叫做 ab 个 c， 就 说明这图画的不对，能看懂吗？图画的不对，你这么画图就不可以能看到这里有细节啊。所以宝贝，那我把这个图重画一下吧，来，重画一下，画大点， 这样行不行？好，这上面有个点 a， 这是 a 点，往右平一个单位，往下平一百分之 b， 你 看，这就好，这就好了啊，往下。因为 你读到这道题的时候，你脑袋里是不是也能想到他？有可能 b 点坐标点在上头， b 点坐标点在下头，你脑袋里反应出来没，但是点在下头的时候，不符合他的出题的这样的一个命名规则，这事各位要一定要注意。所以，宝贝， a 点坐标垂到 c， b 点最标垂到的， ok， 不 再读连接 a 的 啊，连接 a、 b 和 a 的 这一点你看，然后他说把四边形 a、 b 的 c 顺溜了，分成二比三，那不用比了，这肯定是二比三哦呢，我数一下， ok 不？ 这就顺溜了。宝贝啊，你考试的时候，你是脑袋里能不能反映出来他有不一样的情况，但是你其他情况要被折掉，这个东西是你自己反应的。数学是一个逻辑问题，数学不是一个硬背答案的问题。 如果有人跟你说，老师，有人跟你说，宝贝啊，这一定是啊，这么画图的，你得问他为什么，一定，你是怎么判断出来的？当你判断不出来，这所有东西，你都得问他为什么，懂不懂？好，这是我上高中，我跟我学生，所有学生说，你的每一步必须知道，因为，所以不知道，张嘴就问，不问就是自己 吃亏， ok， 好， 来，宝贝，这玩意完事了，这太简单了哦，图画成这样，那也太简单了。这边的面积是二，这边面积是三的话，那谁比谁是二比三？那就重作标之笔呗。就底之笔， ok 吗？就相当于 b 的 比 a， c 等于二比三， ok 吧？好，那这个 a 点坐标，哎，宝贝， a 点坐标是多少呢？叫 m 都 n 加二啊。但是这个叫 m 加一，都 m 加一。逗， n 加二，改成的是 n 加 n 减 n 减二，负 m 加二，行不？这个点坐标叫 m 逗，负 m 加四， ok 吧？好，你的比例太简单了， 可以吗？他让我算，算成算 m 的 值。宝贝，你重坐标得用 m 来表示哦，重坐标用 m 来表示。所以，宝贝，你的 a、 c 是 不是就相当于是负 m 加四？比上负 m 加二等于三比二， ok 吗？ m 一 解就解完 m 等于负二，解完 m 等于负二， ok 吗？好，我们接着看第三个问，然后第三个问叫 y 一 等于， 这变成了一个二次函数，但是没有关系，前期的基本的功，你知道的话，这变成不管是一次还是二次的，你整个反比例你都一样，会，对不对？他现在是相当于右移一个单位，上移 t 个单位得到 y 二，那 y 二右移一个单位，左加右减，上加加 t， 行不行啊？然后他又给了一个 y 三。 y 三是一个分段函数，这个在尖子班里面都讲过了，分段函数要求分段看，就自己段管自己的就行。所以 x 大 于等于负一小于三，这叫 x 减三的平方减三加 t， x 大 于等于三，行不行，这是 y 三， ok 吧？好，第一个问，他说 t 等于一的时候， t 等于一的时候，那就相当于这边的函数变成了 x 减三，哎， x 减三的平方加减二，我就不写了，我知道它等于三，行不行咱就不往上写了， ok， 然后他跟我说什么啊？让我算最大值和最小值， 太简单了，咔咔，简单白给分来。这个函数对称轴是二，对称轴是二，最小值是负三，最小值负三，零往这里边带，零往这里边带，等一，零往这里边带，等一， 那相当于零的就涂这么厚。然后三往这里带，等于负二，叫什么？叫三斗负二，二斗负三，是不是这样？好，来，继续啊。一负一往这里带，这叫负一斗负一斗六， ok 吧。好，大于三这段大于三这段的解析是指 x 减三的平方减二，这个 t 等一。好来，宝贝，那你大于三，三往这里来，是负二，哎，迎接上的看到没？迎接上的另一个端点是五，从负一到五吗？五往这里待，五往这里待，是二，所以宝贝这下这么好，哎哎哎， 这个角五得二行不行？这个点它接上了，这图长成这个样子， ok 吗？好，那这最大值最小值那也不用写呀，那不用看呐，最小值是不叫 x 等于二十， y 三等于负三，最大值 x 等于五十， y 三等于二。哎，哦，不是， sorry 啊，别听我瞎说， 整个函数的最大值角 x 等于负一时 y 三等于六，最小值负三，最大值六， ok 嘛？分段函数，分段画图， ok？ 好， 来，宝贝看 q 二 q 二，他说啊，问我负一到五的时候是否存在 e 能使 y 三有三个不同的焦点？ 好，宝贝，这个时候 t 已经变了， t 已经不是一了，就是原始的 t， 还这个函数，那我还得画一个图，但是前半俩是一样的， 这是二斗负三，这是三斗负二， ok 吗？这个这边是这样的，另一半呢？相当于是什么画图呢？另一半叫三到五的时候是这个解析式，三到五的时候是 x 减三的平方，减三加五，三往这里面带叫做 t 减三，三往这里面带叫 t 减三。但这个 t 减三不知道在哪呢？我随便画一个 t 减三， ok 吗？好，五往这里面带，五往这里面带， t 加一， ok 不？好，现在我不知道这个函数的就是 t 减三， t 加一是多大，我只是草草的画了一个图感受一下， ok？ 不， 但你肯定单列递增，因为你对称轴是三，你三到这五取三，你三到五肯定是个递增的， ok， 三到五肯定是长成这样。然后他问我是否存在 e 能有三个焦点，就这么画图，有没有三个焦点的时候，你告诉我， 就这么画就有三个焦点是吗？他有了，这不一拉线就啥焦点吗？ y 等于三一条水平线，一拉线就啥焦点。好，来，他说什么时候有啥焦点？来，宝贝，你这个红色的紫色的是不能动的，只有红色的动，你告诉我红色在哪的时候他不能有三个焦点？红色在哪不能有三个焦点？ 宝贝，红色反正是一条递增的线吗？我这的时候来，在这的时候有三个焦点吗？红色在这的时候有三个焦点吗？画一下喽，这玩意哪有三个焦点呢？这不最多俩吗？对不对？好，来，红色我把它收了。 红色我告我问你在这的时候有没有啥焦点？就红色 t 减三 t 加一在这的时候能不能有啥焦点？哦，这个紫色的和下面这个能有啥焦点吗？我上哪有啥焦点去， ok？ 不？好来，宝贝，什么样的时候能有啥焦点？来回答我这个问题， 什么时候有三个焦点？嗯，你得要求你的这个 t 减三得比这个点要低， 你往上，不管到哪，你肯定有地方有三个焦点。如果你这个点要比这个点要高，从这往上甩，你薄不薄的不能有啥焦点，看到没，你薄薄的不能有啥焦点。所以你要求这个点要比这个要低， 但是你也得要求这个点要比这个点要高，这个七加一要比它高，因为还是你要太低了，我是不是也没有啥焦点， ok？ 不？ 就说白了，我俩得有点重合地方，你不能一点重合地方都没有，你从这到这行，只要你这个点能比这个最低点高那么一点点，咱俩就撒娇点， ok？ 不？ 这不就动态的调节过程吗？完事了吧，白给分来。什么要求？这叫要求？叫七减三，你得小于负二， t 加一你得大于负三啊。结果就是 t 小 于一大于负四， ok 吗啊宝贝，到这的时候其实已经可以得满了，一就就太非常简单，但是学数学你得严谨。我就多问一句，所有人都得多思考三分钟， 带不带等？我就问你一句，带不带等来我的那群大神们，你们带不带等，一定要严谨啊 宝贝，带不带等不是空口白牙拍脑门喊的，你得实际往上去画啊。来，你带不带等这个，这个绿色的行，如果我梯解箱刚好卡这了，就这样。你告我有没有可能有三个焦点， 你告诉我有没有可能？这眼瞅着没有可能吗？每一个地方都是俩焦点，是这样的吗？ ok 吗？所以这边这个取点是取不到的，可以， 如果这个 t 加一跟他一平齐，从这往下甩，能不能撒撒焦点是不还不能， ok 吗？所有的端点位置，各位兼职生，你就差那一分两分干满的这些人啊， 必须在函数里面注意端点是否能取得到。你说老师我要差十几分满，你说这事关不关注到你，你可能都答案写不到这步，但你就差那一两分两三分满的人，所有的，尤其是分段函数端点位置一定要单独考虑， ok 吧？这是展现一个人数学的严谨性的问题，可以吗？好，这道题结束了，就这么简单，太简单了， 这题太简单了啊，还是说，还是那句话，我讲一道题不是为了让你会这道一道题没有用，我让你会这件事以及这件事散发出来的所有的点你都得搞定，这才是这道题对我们的指导性意义， 好不好啊？那今天我就这个视频就讲到这里，各位还有一个月就中考了，加油，我在高中等你。

今天讲一道温州、苍南等学校联考的中考二模科学题，这道题错误率很高，我们直接来拆解一下。先看 a 选项，白气是水蒸气，属于气化。错，水蒸气是无色透明的，肉眼根本看不见。咱们看到的白气是水蒸气喷出后遇冷液化成的液态小水珠，属于液化现象，不是气化。 再看 b， 限压阀跳动时，重力方向不断改变。错，核心考点重力方向永远竖直向下，不管物体怎么动，方向都不会变。再看 c 选项，限压阀跳动过程中，水蒸气的内能全部转换为限压阀的机械能。错，能量不可能百分百转换，一部分内能会通过热传递丧失到空气中，不可能全部变成机械能。 再看多选项，高压锅能更快煮熟食物，是因为锅内气压升高，导致水的沸点升高。完全正确，气压越高，水的沸点越高，高温环境下食物自然熟的更快。所以这道题的正确答案就选多！关注我，每天一道中考易错题，科学满分不是梦！

同学们好，我们今天来讲解二模的最后一道计算题，我们先来读题，如图十九所示，电源电压不变， r 一 的阻值为四十欧，滑动变阻器 r 二标有五十欧，两安 两电压表的量程均为零到十五伏，电流表的量程为零到零点六安闭合开关 s 调节滑片至最右端， 电压表 v 二的示数为十伏。求第一问。通过电阻 r 一 的电流，我们先来观察电路，从图中可知， 这是一个串联电路， r 一 和 r 二串联电流测的就是串联电路当中的电流电压表 v 一 测的是 r 一， v 二测的是 r 二。 我们来标一标已知量。我们知道 b 和开关 s 调节滑片至最右端的时候， r 二应当等于五十欧， 此时 v 二的示数为十伏。所以第一问，我们的电流计应当等于 u 二，比上 r 二，也就是十伏，比上五十欧等于零点二 n。 接下来我们再来看第二问。 第二问求的是电源电压，因为这是串联电路，所以电源电压的话应当等于 r 一 两段的电压。 此时我们已经知道 r 二两段电压为十伏。如果我们知道 r 一 两段电压的话，我们就可以求出电源电压了。 那 r e 两端电压它应该等于 u 一， u 一 就应该等于 i 乘以二一，也就是零点二 n 乘以 r e 的 阻值。是前面说了是四十欧，所以应当乘以四十欧就等于八伏， 所以我们的电源电压就等于 u 一， 加上 u 二就等于八伏，加上十伏等于十八伏。 接下来我们再来看第三问，我们先来读题。用电阻 r 零替换 r 一 电流表，改接零到三 n 的 量程， 其他各处连接不便，闭合开关 s 在 电路安全的条件下，调节滑片，使两电压表的示数均能达到最大值。求满足上述条件的 r 零的取值范围。我们来先思考一下， 什么情况下 r 零取到最小值，什么时候 r 零可以取到最大值？如果我们搞清楚了，是不是我们就可以求出 r 零的取值范围了， 那我们来想，当 r 零取最小值，其实电路当中的阻值应当也是最小的，那什么时候就应当是 r 零两侧的电压十五伏时，通过 r 零的电流也是两安的时候，同时满足，那 r 零就取到了最小值。 我先来写一下，那我们 r 零的值就应当等于它的电压比上电流，也就是十五伏，比上两安就应当等于七点五欧。 那何时 r 零的阻值可以取到最大值呢？是当滑动变阻器完全接入电路时，全部接入的时候，它应该是五十欧，它两端的电压应该也是十五伏的时候，此时可以 r 领取到最大值。 r 零的最大值，我们需要知道， u 零的电压比上此时的电流，而我们 u 零的电压的话，就应当等于三伏，因为是串联电路， 那它此时的电流我们想了，这个 i 应当等于 u 二，比上 r 二，它是十五伏，比上五十 o， 就 应当等于零点三 n， 所以 的话 r 零的电流就应当等于零点三 n， 也就是十 o， 所以 的话 我们 r 零的取值范围应该为七点五欧到十欧，所以综上 r 零的取值范围为七点五欧到十欧。好，这道题就讲解到这里。

今天与大家分享的是浙江温州乐清的二谋填空压轴题，我将从图形确定性的角度带大家熟悉辅助线的添加方法，听完之后你一定能够掌握几何。辅助线为什么不是随便添加的？图形的确定性是什么意思呢？ 它指的是一个图形的形状和大小都能够用确定的数字表示出来的性质。比如这个图中 由四十五度的角、垂直 a、 f 长度三个已知条件就能够保证三角形 a、 c、 f 的 确定性。由平行四边形这个已知条件我们可以确定点亦是 a、 c 的 中点，图中还剩下点 b、 点 d 和点 h 三个点没有确定。 怎样确定这三个点的位置呢？这就要从题目里唯一还没有使用的已知条件 b、 d 等于二、 b、 c 入手，由这个条件我们可以判断出 b、 c 等于 b， e 等于 d e。 有 这个结论，大家暂停思考一下，我们可以首先确定哪个点的位置呢？ 聪明的你应该发现，点 b 是 首先确定的， 因为 bc 等于 b、 e， 所以 点 b 是 线段 c、 e 的 垂直平分线与 a、 f 的 延长线的交点，而这两条线段是已经确定的。 确定了点 b 后，连接 b、 e， 确定了点 h 并延长 b、 e， 使得 d、 e 等于 b、 e， 我 们确定了点 d， 这样我们就把所有的点的位置就确定了。 我之所以要这样分析图形的确定性，目的就是在分析的过程中，你能找到有效的辅助线的做法，而不是随意乱画。 对于这道题，有一条重要的辅助线，就是等腰三角形 bce 底边的中线，我们很容易得到这些线段的长度。在这个直角三角形中，由勾股定律得到 b e 和 bc 的 长。 题目让我们求 e h 的 长，我们看图没法直接求出。根据我们前面图形的确定性分析，点 h 是 点 b， 确定了以后连接 b e 产生的，也就是说 e h 和 b h 的 比值是应该可以求出来的。 我们做垂线 e i 容易得到。这三条线段都是二，所以这个比值就是 f i 比 f b 等于一， 所以 e h 等于二分之一的 b， e 等于根号五。

一法解千题，还是三角函数和勾股定律来破局，这是南二外二模前后小压轴。首先还是开发条件，在正方形 a、 b、 c、 d 中 四边等长，四个角都是九十度，又已知 b、 e 等于 d、 f。 给出不相邻的两条线段。等长是让我们政权等的，所以可以快速地锁定 e、 b、 c 和 f， d、 c 这两个直角三角形。判定的方法就是边角边对称等，倒边得到 c， e 等于 c， f。 倒角得到 e， c、 f 是 九十度，所以这是个等腰直角三角形。又已知 m 是 e、 f 的 中点， 看到中点就想把中斜三 e、 f 在 两个直角三角形中。先看上面的直角三角形 a、 e、 f 有直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到 a， m 等于 e， m 等于 f， m 都等于五。在下面的等腰直角三角形 e、 c、 f 中连接 c、 m。 利用斜中定律可以知道斜边上的中线 c、 m 的 长等于斜边的一半等于五。再有等腰三角形，三线合一得到，这是直角，所以 e、 c、 m 也是等腰直角三角形 e、 c 等于五倍根号二，已知 a、 b 等于七，也就是正方形的所有边都是七。由 b、 c 等于七，在直角三角形 b、 c、 e 中结合勾股定律算出 b、 e 的 长等于一等于 d、 f。 此事标图传染， a、 e 等于七，减一等于六， a、 f 等于七，加一等于八。到这最关键的一环来了，就是见直角就开发。隐藏的三角函数已经讲了很多遍了，一定要记住，六和八所在的直角三角形 a、 e、 f 中 得到 tangent alpha 等于 a、 f， b， a、 e 等于八比六等于四比三，而等边对等角，所以角 e， a m 也是 alpha 最后一个条件。角 a m， n 等于四十五度标好，再把问题问的 m n 描出来， 我们会发现，不管是开发出来的条件还是已知条件还是问题，都集中于一个三角形 a n， m 中，这两个角的三角函数值已知，要放到直角三角形中，所以过 n 做 n h 垂直 a m。 先看左上部分的直角三角形 a n h 根据它的函数等于四。比三设 n h 等于四 x， 则 a h 等于三 x。 再看右下方的等腰直角三角形 n h， m 得到 m h 等于四 x， m n 等于四倍根号二 x 啊 a m 等于五，利用起来得到三 x 加四 x 等于五，借得 x 等于七分之五，所以 m n 等于 四倍根号二， x 就 等于七分之二十倍根号二。这也就是最后的答案了。 show case 哪里？