鞍山市二模几何压轴题

学习一百道压轴题，今天学习的是鞍山二模几何压轴题，同学们大家好，我们一起来看一下鞍山市刚刚结束的二模考试当中的第二十二题几何压轴题。 那么这道几何压轴题呢？他并不是很难啊，我们在八年其实就做过此类题型，他主要考察的是一个旋转的数学思想，那其中前两问呢？主要考察的是绊脚模型以及变形啊，那么最后一问考察的是终点的用法。 好，我们先来看一下第一题啊，那第一题呢，其实就是绊脚模型的结论，这里的 e f 应该等的是 a f 再加上 c e 啊，那相信在考场的同学们一定是可以做出来的，那在这里老师就不浪费时间给大家进行讲解这个过程了啊。 好，那接下来第二问，这里的的 f 等于的是五的 e 的 长度等于的是十二，让你去求这个正方形的一个周长啊，那其实绊脚模型当中有很多结论，那其中有一个结论就是三角形啊， f e d 的 周长，它应该等于正方形周长的一半，其实也是根据我们那第一个结论得到的，因为这里的 e f 等于的是 a f 再加上 c e， 所以 我们知道这里的 a d 再加上 c d 就 应该等于的是 f， 再加上的 e 再加上 e f。 根据高普定律，我们知道 e f 的 长度应该等于十三，所以正方形的周长应该等于的是二倍的这个三角形的周长，所以应该是五，加上十二再加上十三，再给它乘以二，就是正方形的周长， 这个相信大家在考试当中也是一定可以做出来的啊。好，那接下来我们看一下括号二相当于是半角模型的一个应用啊，除了已知条件当中 m、 b， n 等于的是一个四十五度角啊。 出题者还给了一个已知条件，是这里的 c， e 和这里的 a、 f 是 平行的位置关系。 好，那接下来我们看一下求证的是什么啊？他想要得到的是这里 a， m， m， n 和 n、 c 之间的一个数量关系，那咱们用圈一、 圈二和圈三啊，也就是说这三条线段的一个数量关系啊。那还是要借助旋转的一个数学思想，我们可以把三角形 b， c， n 绕着点 b， 给它逆时针转九十度。 好，把它逆时针转九十度，其实相当于是得到一组旋转型的全等啊。好，那这个辅助线我们可以怎么样来描述呢？其实我们在八年级就会啊，应该是过点 b 去做 b k 垂直这里的 b n， 并且使 b k 等于的 b n。 好， 那接下来我们看这个全等可以怎么正啊？由于我们做完的辅助线，我们知道这里的 b k 和这里的 b n 相等。 其次我们还知道什么呢？正方形 abc 的 这个角应该是一个九十度角，那在点 b 处还有一个九十， 那咱们不妨会推导出来，这两个叉号角它应该是相等的啊，那再加上正方形，它的边长是相等的， ab 和 bc 是 相等的，所以我们会得到这两个三角形应该是一组旋转型全等， 那通过这个全等，咱们就可以把圈三这个条线段给它进行转移，转移到这里的 ak。 好，那接下来绊脚模型它一般是两次全等，先来一次旋转型的全等，再来一次对称型的全等。所以接下来我们应该把这里的 k m 连上，连上我们应该正的是三角形啊， k b m 和三角形 n b m， 它俩是一组对称型的全等。 好，我们来看一下条件，这里的 b k 和 b n 是 相等的， b m 是 一条公共边啊，那它是四十五度角，这里的角 k b n 还是一个九十度角，所以它也是一个四十五度角啊，那么 s a s 就 可以证明这种对称型全等，那么我们就可以把问题线段当中的 缺二这条线段给它进行转移啊，转移到这里 mk 来。 好，那我们会发现啊，这个问题当中的三条线段都被我们首尾顺次连接起来，组成了一个三角形啊，那我们想要探究他们的一个数量关系，不妨去猜测一下，这个三角形应该是一个直角三角形， 那我们只需要去证明这个角它是九十度角就可以啊，那正，它是九十度，还是要利用上我们全等当中的对应角相等， 由于我们的全等，所以我们知道，哎，对应角相等，圈和圈应该是相等的，对吧？那么接下来怎么去正它是九十度呢？那你要看什么已知条件你没用上。首先这里的 a f 和这里的 c e 这组平行的条件咱们就没用上， 根据他俩是平行的，再根据正方形，这里的 a e 和这里的 c f 也是平行的，所以我们不妨会得到一个平行四边形 a f， c e。 那 平行四边形有的条件应该是什么？它应该是对角，是相等的啊，所以我们会得到这两个对号角是相等的。 好，那再点 c 处圈号角加上对号角，应该等的是九十度啊，那我们再来看，再点 a 处圈加对号数也依然是九十，那我们就可以证明他是一个直角，他是一个直角三角形啊，那根据直角三角形，我们就可以得到他三边之间的一个数量关系， 应该是 ak 的 平方，再加上 am 的 平方，等于的是 mk 的 平方啊，那么 ak 我 们给它转化成这里的问题线段就是 c n。 好， 那 am 也就是问题线段不用变好，再看这里的 mk， 应该是这里的 mn。 好，那他们三个之间的一个数量关系就出来了，那么我们的第二问就解决了。好，那接下来我们一起来看一下括号三啊。括号三呢，他主要考察的是终点的用法，给了你一条线段的终点，那我们知道终点他在中考当中呢，一共有四种用法，那适应这道题的应该是有两种， 第一个呢，应该是给它背长啊，另外一个是构造中位线啊，取中点去构造中位线，而取中点构造中位线的思路是大家在考试当中能够想到的啊，但在这里老师给大家做的是背长的视频讲解啊，所以应该是延长这里的 c h 至点 k， 使得这里的 h k 应该等于的是 c h， 然后接下来把这个 k 和 n 连上，连完之后，咱们应该先得到的是一组八字形全等，应该是三角形，这里的 h c 的 全等于三角形 h k n。 好， 那通过八字形全等，咱们可以得到 c 的 和 n k 之间的一个数量关系啊， c 的 应该是平行，且等于这里的 n k。 好，那我们还知道这里的 n c 的 它和 bc 是 相等的，而 c 的 还和这里的 n k 相等，所以我们可以推得这里的 bc 和 n k 是 相等的数量关系啊。 那通过读已知条件，我们还知道三角形 b n m， 它应该是一个等腰值啊，也就是说这两条线段也是相等的，所以我们会发现啊，圈号线段和圈号线段相等，还有什么？ 竖线和竖线是相等的，那我们应该去找这两条线段所在三角形全等，所以接下来我们的辅助线应该是连接这里的 mk。 好， 把 mk 连上之后，我们应该去找这两条线段所在三角形全等，那应该是三角形 m bc 全等于三角形 m n k， 而这两个三角形全等一定利用的是 s a s， 所以 接下来我们的目的应该是找这两个角是相等的啊。 好呢，来看一下我们如何去推导出角一和角二相等，那就需要利用我们刚才得到的平行的位置关系啊。由于 c 的是平行，这里 n k 的， c 的 还是垂直 bc 的， 所以我们会得到这里的 n k 也是垂直什么呢？垂直 bc 好， 有了垂直之后，这是有一个八字形倒角九十和九十相等，对顶角和对顶角相等，我们说拿外角去倒一下就行，就会得到这里的角一等于的是角二。 好，角一等于角二，那咱们就可以得到这两个三角形全等啊。好，那全等之后，我们就可以得到 c m 和这里的 km 相等， 还会得到的是对应角相等啊。这个大钝角也应该是相等的啊。由于对应角相等，再减去这个公共的这个角，那就会得到旁边这两个小角，那就会得到旁边这两个小角啊，那他是九十，所以他也是九十啊。 好，那咱们就会得到 c m k。 这个三角形是一个等腰直角三角形啊，好，写一下。 好，那通过这个等腰直啊，我们就可以得到斜边和直角边之间的一个数量关系啊，所以这里的 c k 应该等的是根号二倍的 c m。 好， 那 c k 还是等于二倍的 c h， 所以我们可以得到 c m 应该等于的是根号二倍的 c h。 问题搞定 好，那接下来老师再来讲一个方法啊，其实这个题啊，我们在八年级就遇到过啊，那我们来看一下这里的三角形 b m， n 啊，在旋转之前是三角形 b p q， 它俩都是等腰直角三角形啊， 那这里的 bc， 对 呢，它也是一个等腰值啊，那么在旋转之前，它是一个反 a 相似，那我们把这个三角形 b q、 p 转出来之后，我们就会出现什么呢？反向构造手拉手啊，我们可以借助反向构造手拉手的方法去解决这个问题啊。 好，那接下来啊，这个反向扣到手拉手啊，他唯一的一个缺点就是这个辅助线特别多啊，但是他的思路其实特别的简单啊，我们应该是把这个三角形 m b， n 啊，应该是沿着这里的 b m 给他进行翻上去啊，那翻上去，其实我们做的辅助线就是倍长啊， 应该是延长这里的 n m 至点 e， 使得这里的 e m 等于的是这里的 m n， 然后接接下来连接这里的 b e， 连完之后，我们就会得到一个大的等腰直角三角形 b n e。 好，那再看啊，这里的 bc 的 这个等腰直角三角形啊，还是做同样的辅助线啊，应该是沿着 bc 给它翻下来啊，所以相当于是延长这里的 bc 至点 f， 使得这里的 c f 等于的是 c 的， 然后接下来把这里的 b f 连上，哎，依旧会得到一个大的等腰直角三角形啊的 b f， 现在我们会发现两个等腰直角三角形共顶角顶点，对吧？那么我们就会出现手拉手的全等啊，那接下来我们直接从这个手拉手的角度来进行切入就行， 相当于是从一个模型的角度来进行切入啊，直接来找他的结论，第一个结论应该是胳膊长度和相等，也就是说连接这里的 n f， 咱们第一个结论应该是 e 的 等于的是 n f。 好， 那接下来第二个结论应该是胳膊的夹角等于的是等腰三角形的顶角度数啊，那么在这里就是 e 的 和这里 n f 的 夹角应该等于的是九十度，所以接下来我们把它俩沿出去，让它俩相交 好，那交上之后，那接下来这个角它就应该等于的是九十度啊，也就是说第二个结论应该是角的 k f 到于的是九十度，相当于都是从手拉手模型的这个角度来进行切入的啊。好，那接下来我们再看问题，问题我们想要研究的是 c h 和 m n 之间的数量关系啊，由于我们刚才这样去做辅助线，其实又多了两个中点 点 c 应该是对 f 的 终点，同时这里的点 m 还应该是这里的 e f e n 的 终点。好，那接下来咱们根据终点，终点相连就会出现中位线，所以这里的 c h 应该等于的是二分之一 n f 同时 c h 还是平行。什么呢？ n f 的 根据中位线啊。好，那接下来再看啊，这里的 m 它也是终点，还有谁是终点啊？ h 是 不是也是终点？所以我们应该把 m h 也连上。 好，那 m h 连上之后，是不是又出现了中位线啊？所以看 m h 又平行且等于谁的一半呢？是不是应该是这里 e 的 一半？ 好，那我们还知道通过问题啊，通过我们刚才得到的这个结论，这里的 e d 和 n f 是 相等的，所以我们不难会发现，这里的 m h 就 应该等于的是 c h。 好，它俩是相等的啊，那其实咱们不难猜测，三角形 h m c， 它应该是一个等腰值，也就是说你需要正它是一个九十度角啊，那怎么去正它是九十度呢？应该借助我们刚才平行啊，因为我们知道这里的 m h 平行， e d， m h 和 e d 是 平行的，所以我们应该把这里的 c h 给它沿出去。 好，那接下来看沿出去啊，那同时还有什么平行呢？ c h 数还是平行？ n f 的 c h 和 n f 平行啊，也就是说这两条线段也是平行的，你看它俩如果平行，它还是一个九十度角，所以不难得出它也是一个九十度角，对吧？好，那再看横着的也是有一组平行，它九十是，我们不难得出它也是九十 啊。由此，通过这两个平行，咱们是可以推出角 m h c 等于九十。 好，那它如果是九十度，那么我们会得到三角形 m c h 是 一个等腰值。 好，那等腰值我们就可以得到 c h 和 m c 之间的一个数量关系啊， m c 应该等的是根号二倍的 c h。 好， 这就是我们解决第三问的方法。方法是不为一的，可以从已知条件来进行切入，或者是从模型的角度来进行切入。

咱们辽宁二模大部分城市也都考完了，金老师呢，也汇总了各个城市的卷，总结一下啊，沈阳这一次的卷可以说是最难的，适合咱们孩子进行八高，尤其是这个数学的大题啊，二次函数，还有几何综合 朝阳的卷呢，咱们孩子也可以做一做。如果说咱孩子需要查缺补漏，那你可以做做偏基础的，像本溪卷啊，葫芦岛卷啊，铁岭卷。如果孩子计算问题比较多，那你就做一下鞍山卷，因为他比较重计算。这一次二模啊，可以说辽宁每个城市出的题都很有代表性，我也都会总了， 很适合咱们各个阶段孩子去做，可以看一看其他城市都是怎么出的题。如果说啊，咱们家长需要回复二模全部试卷发送给大家。

hello， 大家好，我是苏苏老师，苏苏老师今天在湖南长沙有一场考试，所以说呢，这一周的给九年兼职生讲的压轴题， 这周就得停课了，但是各位刚刚考完二模，所以苏苏老师在酒店紧急的给大家录制一个我们九年这回考到二十三题的这样的一个视频，我们一起来看一下这一道题 究竟有什么样的高中方法能让他解决的更好，以及我最重要的，我每一次课都跟这些九年的各种的大榜第一第二，区榜第一第二都说我说我们学这个东西不是单纯的为了解这一道题， 为了真正我们考试的时候遇见那道题，假如说是我们知道的涉及到的高中知识点，我给你讲过，你是不是上手起来会更加容易， 而且有一些粗高衔接的内容我们掌握起来，对于不管是几何题还是代数题，解决起来都会更加的节约时间。好，来，我们一起来看一下这一回二模的这道亚洲题到底涉及到了什么？好，各位展厅自己读一下题，我就直接开讲， 整个这道题涉及到的是什么呢？涉及到的就是一个平移的过程。好，我们把平移的知识点回忆一下， 第一个哦，第一个平移，初中的平移。各位给我说一下口诀什么来的大家都超级知道，叫做左加 右减，上加下减，这是初中的口诀 ok 吗？好，来宝贝各位告诉我，左加右减针对什么？左加右减针对什么？ 左加右减针对 x， 也就是针对我的字变量行不行，针对字变量上加下减针对什么？ 上加下减。很多人说老师上加下减针对长竖向，宝贝，你一定这么回答，为什么？因为我教太多年了，教了十几年了。初高中衔接的时候我问各位，因为我到时候一定会讲高中的图像平移。我到当时就问各位，我说你上加下减针对啥？大家都说长竖向，为什么？因为你们研究的都是啥，都是二次函数。 你说这个函数，你说老师，我想向上平移，说对长竖向加一。你说老师，我想向下平移两个单位，对长竖向减二， ok 吗？好，现在你还能说长竖向，但是到高中我们就不说长竖向了。我们说上加下减针对的是什么？针对的是整个函数， 上加下减针对的整个函数。我举个最简单你们都了解的例子，宝贝，这个函数我想向上平移一个单位，我想向上平移一个单位。各位，你哪有常数项？ very 就 常数项没有啊，你是不对整个函数加一，我想向下平移两个单位，对整个函数减二， ok 吗？好，未来上高中我们还会学各种各样的函数，比如说我们非常熟悉的这种赛引叫正弦函数。我想向上平移一个单位，对函数加一。我们未来要学的就是这个假期会学的只对逆函数，对数函数长这样， 我说想上哪有长数项？没有想上平一个单位，对于整个函数 ok 吗？现在就把这个事给拓展起来，初中学的不叫不对，初中学的比较窄，学的太少了，所以你们可能那么说，高中可能学的更广泛，我们要换一种方式叫整整个函数， ok 不？好？左加右减，上加下减，这个一点没有问题。 好，这道题里面还涉及到第二件事，就是对坐标来说，比如说 a 点坐标 m 都 n 在这，假如说这是 a 点坐标 m 都 n， 我 说我想向右平移一个单位，向右平移，向右平移三个单位吧，远点向右平移三个单位，那 b 点坐标 m 加三都 n。 好， 因为图像上就非常非常的直观，没有什么左加右减，上加下减，没有这个事，你就看图，你自你坐标变大了，你就变大， 你坐标没变就没变，你说老师，我想向上平移一个单位，向上平移一个单位， ok 吗？对于坐标的平移来说就是直译，你就看图就好了，你加还是减的，行不行？好，这个东西就是这道题讲的两件事可以。好，当然 我还有第三个。对于高中我都说了，我们拓展讲，如果今天你的新定义或者你的陈述型的这样的语言讲的不止这个，再给你换种方式讲，你该会还得会， 对吧？为什么要学初中的思维解高中的问题，就是因为你的新定义也好，你的陈述性就是这种大长段的讲述题也好，你有的大多数讲的都是高中的方式和方法，你要会的话，你可能看起来你就理解的更好，对不对？好，来，高中还有一个图像平移，还有一句话叫做 左加右减，上减下加好，左加右减，上减下加， 能看出来不一样。好，他针对的是什么？他针对的是什么？针对的是因为我们高中有一些曲线啊，不叫我们高中初中一样的。来，宝贝，我给你举个初中例子，咱先不拿高中举例，初中例子就这个 y 等于 x 加 e， 这是一条直线， 对吧？好，你说。我想向上平移一个单位，向左平移三个单位，先说左加 对不左加右减上加，是不是再加一个单位？所以整个函数加一对不对？整个这个函数变到了 x 加五 是不？ ok？ 没有问题。好，来，我们再看这个。如果今天我把这个函数不写成这个样，写成这个样，写成这个样，我首先问第一个问题，这俩是一条直线告诉我。先告诉我这个问题，这俩是一条直线吗？ 是不是一条直线？好，来，我对这个函数上移一个单位，左移三个单位。宝贝，咱先别说结果什么样？别，别说怎么做的？你告诉我结果是不得一样？同样一条函数，同样的变换，结果是不得一样， ok 吗？好，来，这个就用这个口诀，叫做左加右减，上减下加上减下加， 针对 y， 左加右减，针对的是自变量 x， 所以 宝贝向上平移一个单位叫 y 解一。 向左平移三个单位，左加右减针对 f。 三减一等于这么写 ok 吗？你整理一下。你先，你先整理一下这是多少？这是减五等于零，是不是长这样？来看一下，这两条直线是一样的吗？ 对吧？刚说完平移完的直线，你能不一样？那不闹笑话了吗？ ok 吗？好，他俩一样的，你说为啥不一样？你说为啥口诀不一样？各位老铁来，如果这是我秘书课的话，我一定会让大家说的哦，主播今天录的视频 来，各位老铁，各位的什么区榜第一第二全是第一第二的，校榜第一第二的来告诉我这两个差别在哪？你得自己发觉。高中数学是一个寻觅的过程，贼爽好不一样的东西在哪？如果你左加右减上加下减，针对的是 自变量在一侧，因变量在一侧就是 x y 各在各的地方， ok 吗？ x 在 一边， y 在 一边，但是你左加右减上减下加针对的是什么？针对的是你的 x， y 在 同侧，你的阴变量自变量在同侧 能懂吗？在同侧的时候你必须得是左加右减上减下加好这个东西也非常好理解。如果说对于这个函数我向上平移一个单位是不搁后面减一 我是搁后面减一啊我向上啊 sorry 搁后面加一向上平一个单位是不是在后面加一？那挪到这面对 y 是 不是就是减一挪到这对 y 是 不是就减一？所以宝贝上减下加针对于 y 这辈子一定成立 可以吗？有的人会说，老师，这有啥用啊，一点用没有的东西。你说老师啊，那你你就我就大不了我遇见这种造型的，我给编成这种造型的不行吗？我还用左加右减上加下减， 我还是那会学了，一定有用。为什么有一种函数你整不成这造型的有一种函数你整不成这造型的呀，好什么函数？为什么我今天要讲这个函数 就是因为各位一定能遇得到哦不能叫各位这回考试一定能遇得到。就是你你你的中考是一定能遇得到的，只不过看他说不说。什么东西呢？叫圆方成 圆方程？宝贝，不可能的，你说谁？你说老师我不讲这张卷纸不考圆，那不疯了吗？啊宝贝给大家拓展一下圆方程。什么叫圆方程？叫 x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方等于 r 方圆的方程。圆心坐标 a 到 b 半径为 r， ok 吗？为什么要拓展？还是那句话，如果你的压轴新定义给你定义这个东西，我给你讲了，你不读起来不更方便吗？ ok 吗？好，圆心坐标 a 到 b 半径为二。那你说来，宝贝， x 减一的平方， y 减二的平方等于四，告诉我圆心坐标多少？ 圆心坐标一到二半径为二。圆心坐标一到二半径为二， ok 吗？好，来，但是这些我觉得太难了，你们不能考，你们能考的是什么啊？ x 方加 y 方等于一。 首先告诉我这是不是圆方程首先告诉我这是不是圆方程？符不符合谁的方？什么玩意的方？ x 的 方减加上 y 的 方，括号里面 ab 随便。好，等于 r 方。满不满足是不满足？好，圆心坐标告诉我一下形式，满足就是这个方程。圆心坐标 零到零，半径为一。这个东西有个非常好听的名字，非常常用，叫做单位圆， 它叫单位圆， ok 吗？好，就是你像它单位长度，你刻度尺上单位长度，这叫单位圆。圆里面的最小单位了也 ok 吗？还有一个标准量叫单位圆，可以吧？好，来，今天这个单位圆怎么画图呢？ 圆心坐标零斗零半径为一，单位员， ok， 好， 现在我想把这个单位员啊，我现在想把这个单位员干什么呢？上移一个单位，左移右移吧。右移两个单位行不行？上移一个单位，右移两个单位。 好，来，宝贝啊各位老铁，别跳步来跟我说，首先， x y 是 不是在等号的同侧？ x y 在 等号的同侧。宝贝，这种函数是涉及不到就整不了 y 等于啥的。你说老师，我要把它 x y 掰开，你掰不开 这东西哦，这掰不开，掰不开。当然它也不叫函数，它叫一个图形哦，正常讲，它不叫一个函数，它叫一个图形。什么叫函数？咱们九年升新高一这个假期给大家讲， ok 吗？好，但是你说，老师，我想把 x y 掰开，掰不开， 你咋掰？这掰，这不叫，这不叫函数。宝贝，这不叫函数。你想把 y 单独剔出来，单独剔出来你还得开根号，开根号还得再正负， ok 吗？好，我不跟你纠结什么叫函数，什么不叫函数，因为这个题就讲多了，我说这个图形行不行？咱重新说一下，这叫图形啊，你说这个图形你掰不开呀？宝，你掰开掰成俩函数， 多乱呢， ok 吗？所以这 x y 掰不开，掰不开怎么办？用刚才那个口诀，刚才那个口诀。再给我说一遍，刚才那个口诀是什么来的？好，刚才那个口诀叫左加右减，针对 x， 上减下加针对 y， 行不行？来，整吧。上移一个单位，右移一个单位， 向上平移一个单位，叫 y 减一的平方。右移一个单位叫 x 减二的平方形。不行，半径是不变的，你不可能一个圆动来动去，半径是变了，是不？还是这样？ ok？ 不？ 哦，是不还长这样， 可以吗？来，宝贝，你看这是对不对？怎么看？这是对不对？宝贝，你变换这个东西，你告我原心坐标多少？看，他告诉我原心坐标二到一半径为一，对不对？来，宝贝，从图像上看，在这回看图了啊，图，原心在零，原来在零度零。 圆心这个点叫向上平移一个单位，向右平移两个单位来，圆心到多少？向上平移一个单位，向右平移一个单位。圆心是不是叫变的？二度一，对不对？对吧？半径没变，哎哎哎哎，半径没变。 这俩图能不能交上？我就先不管这个问题啊。先不管，这应该是肯定是交不上的，但是这就涉及到多了， 是不是长这样？ ok 吧？是不是长这样？好，所以宝贝，你看圆心对不对？半径对不对？ ok， 它符合的口诀就应该是左加右减，上减下加。 记住，宝贝，这个东西针对的是什么？针对的是 x， y， 如果在等号同侧的话，你就只能长成这个样子，可以吧？好，就这一块给你出一个什么文字题，完全没有问题，完全 ok。 我 给你讲了，你可能如果真的遇见就会更更清晰，行不？这个 ok 吗？好，这个错的， ok， 好， 来，如果 ok 的 话，我们如果你这些都没有问题的话，咱们一起看。这个题真的是白给的题哦，对，题里面还有一个，另一个其实也很好用的知识点就是这块 哦。来，你看一眼，他说呀，这块说，我给你拿这块来。宝贝，对于 y 等于二 x 这条这个曲线来说， 他什么系数？是 k， 那 就相当于上移一个单位。上移一啊，叫什么？右移一个单位，上移一个单位， ok 不好？这上面有个点坐标长成这样，移完事了， b 点坐标长这样是不没有问题？右移一个单位，上移一个单位，是不就长这样？左加右减？对，然后他给了一个这样预算， 他给了一个这个运算哦，但这个运算我觉得你爸可不必这么运算哦，但是我也得给你讲，万一你在别的地方遇见了呢，这个运算是什么？我再把这个给你拓展一下， ok 吧？好，他说的是什么事呢？就 y 等于二， x 上面有个 a 点坐标叫 m 到二 m， 是 不没毛病？好说，这个点坐标啊，叫什么？右移一个单位，上移一个单位。那这个点坐标 右移一个单位， m 加一，上移一个单位二， m 加一行不行？好，然后他说，哎，我能得到的原来就是得到这个叫 b， b 所在的方程变成了什么样？他有个这样的运算好。看，这这 好，他算出来一个 b 所在的方程关这个方程起个名字叫不移关联函数。 就这词我都不知道啊。不用知道，这事都不一定真的假的，能看懂题最重要哦，宝贝，最新定义吗？新定义不是让你说，他只是给他起了一个新的名字，但事绝对是正常的事，而且很多都是高中的事。宝贝，他说的是什么意思呢？ 这个运算他有个名字哦，他说把 b 变成这个样子了，问 b 所在的方程是什么样的？他干了一个事，叫做 x 等于 m 加一， y 等于二， m 加一， ok， 不？好，这个东西有个名字叫做参数方程。 好，我不知道这个东西初衷讲不讲啊？来，宝贝，这个东西叫参数方程。参数方程的运算方式是什么样的呢？参数方程的运算方式就是把 m 搁这里面换出来，往里，往第二个里带好，所以隔第一个能知道。 m 等于 x， m 等于 x 减一， 往这里带叫 y 等于二倍的 x 减一，再加一。所以你新得到的直线方程叫二 x 减一。哦，就这么简单，你设得新得到直线方程，这个它有个名叫参数方程， 行不好哇？你每一个点我都敞开给你讲，你万一遇到哪个呢？我一直都是这个主张，行不行啊？来那，但是我们大可不必这样的呀。为啥大可不必这样的？我们可以直接写，从他直接又移一个单位，上移一个单位。宝贝，又移一个单位， 左加右减上一个单位不也是二 x 减一吗？ ok 吗？不也是二 x 减一吗？所以可以不转圈转，就可以不用参数方程转。但是还是那句话，如果这个你未来的题里面说定义什么，什么是参数方程，它的处理方案是什么样的，你自己看不懂，你听我今天讲，是不是能看懂了？参数方程永远怎么做， ok 吗？那再可以举个例子，再可以简单一点的，比如说参数方程， x 等于二， m 加一， y 等于 i， m 分 之一参数方程就是引入一个共同的参数， ok 吗？引入一个共同的参数 m， 我 x 也用 m 表示， y 也用 m 表示，然后通过 m， 我 可以建立 x y 之间的关系， ok？ 不？好。方法就是搁 x 里面转出来 y， 然后这叫 x 减一，比上二等于 m， 行不行啊？往这里一带，所以 y 等于 x 减一分之二，就这么简单， ok 吧？好，你说老师，这个函数，这个函数怎么画图？宝贝，很明显很明显，这是平移来的很明显，这是平移来的。这个图像，这不是 x 分 之二，往哪平移？对于它来说， x 二，我一个箭头画的不对，应该这样式， x 二往 右平移一个单位，是不就它左加右减针对 x 吗？左加右减哦， x 分 之二，又一个单位变成它，但是错的太多了。哦，不错，那么多不错那么多，这事行不行？ ok， 不好，这图像变换的话，我们有机会的话，周日晚上和周四晚上，因为我现在开了两个尖子班。哦，两个尖子班， 我有机会的话，我把再把图像平移好好说一说， ok 吗？好，如果这些都知道的话，这个题真的是非常非常之简单啊。我，我把这个查了。 我把它查了啊，因为呀，我今天没我我在长沙没带熟悉版呃，我只能拿 ipad 给大家讲。 行，来，宝贝，咱看一下这道题啊。我把这涉及到有人会说，啊，有，到高中了，很多人都会说，叔叔你讲课，讲课怎么讲的？就是一节课讲的慢。为什么讲的慢呢？很多人觉得我讲的多，因为有的人就会觉得讲的慢。能听懂我的课的人就会觉得我讲的多。因为一道题拓展所有的税点我全给你展开讲，全部都展开讲，就很多人就觉得我讲的多， 但有的人为啥讲的慢呢？他不愿意听拓展，他只想把这道题答案等于几，听到那就会觉得有讲慢，因为可能对于这种大题来说，一节课就讲三四道，那可不慢咋地？因为一个点都拓展讲一个点就讲，哎，就讲好长时间，上高中也是这样的，但是你如果真的会听高中数学的人真的是知道我讲的 东西价值在哪啊。好，所以各位九年级小宝贝认真听，我讲的永远不是针对这道题，针对的是你可能从这道题身上引射出来的那个知识，也还能出别的题身上。那我们一起看一下这道题啊。他说第一个问呢，这个函数第一个问，这个函数 上面有一个 a 点坐标 m d n， a 点坐标 m d n， 然后他说不移系数是负二，那就相当于整个的叫右移一个单位，下移两个单位， ok 不？ 右移一个单位，下移两个单位。让我算，呃， b 点的重啊，算 b 点的重坐标。宝贝， b 点的重坐标。首先你对 a 怎么移？对这个点坐标向向右移，右移是不是就加一？因为还是看图，坐标的移是直接硬直接移啊，不需要有任何加工。你向右移就坐标加一，然后向下移， 是不是就长这样， ok 吗？好，但是这里面啊， m n 是 有关系的，为什么呢？因为他要用 m 来表示。 m n 之间的关系是什么？ a 点坐标在直线上，所以宝贝， n 等于负 m 加四， n 等于负 m 加四，往里一带， a 点坐标， m 加一，都负 m 加二， ok 吗？这是 a 点坐标。哎，这不应该叫 a 点坐标，应该叫 b 点坐标， ok 吗？好。然后他第二个问问那个 y 一 的关联，那个什么什么函数啊？来，宝贝，还是不用转圈儿算，直接移就行。 y 等于负 x 加一，干什么呢？右移一个单位，左加右减，右移一个单位， 好，然后整个向下平移一个单位，向下减二，所以宝贝，这叫负 x， 这是几？负 x 加三，整个这个关联函数就是 y 等于负 x 加三， ok 吗？好，这第一个完事了。来看第二个，他说在一的条件下， y 小 于等于四，在一的条件下，在一的条件下， 这是四到零，这是零到四，这上面有一点 a， 好， 这上面有 a， 故 a 做 x 轴的垂线，垂到 c， ok 吗？好，平移完事。这叫 y 等于负 x 加三， y 等于负 x 加三，可能 这句话，这第二条直线，嗯，这 l 一， 这是 l 二， ok 吗？好。然后 b 点 b 点是怎么来的呢？向右平移两个单位，向右平移两个，一个单位向下平移，这是 b。 好，咱先这么画着。宝贝，咱先这么画着。这里面也有细节啊，咱先这么画啊。我大致画在这啊。然后像 b 过 b 做 y 轴的垂线，垂带特，垂带特 好，大点画垂带特， ok 吗？好，然后连接 a、 b 和 a d， 连接 a、 b 和 a、 d， 这时候已经有问题了，看， 连接 a、 b 和 a、 d。 宝，这已经开始有问题了，问题在哪？谁能告诉我？他说平行四边形 a、 b、 d、 c， 宝贝，这顺序不对是不？咱都知道转圈念，念四边形名的时候必须得捋着转圈念， ok 吗？来，这应该叫 a、 d， b、 c， 他观察叫做 ab 个 c， 就 说明这图画的不对，能看懂吗？图画的不对，你这么画图就不可以能看到这里有细节啊。所以宝贝，那我把这个图重画一下吧，来，重画一下，画大点， 这样行不行？好，这上面有个点 a， 这是 a 点，往右平一个单位，往下平一百分之 b， 你 看，这就好，这就好了啊，往下。因为 你读到这道题的时候，你脑袋里是不是也能想到他？有可能 b 点坐标点在上头， b 点坐标点在下头，你脑袋里反应出来没，但是点在下头的时候，不符合他的出题的这样的一个命名规则，这事各位要一定要注意。所以，宝贝， a 点坐标垂到 c， b 点最标垂到的， ok， 不 再读连接 a 的 啊，连接 a、 b 和 a 的 这一点你看，然后他说把四边形 a、 b 的 c 顺溜了，分成二比三，那不用比了，这肯定是二比三哦呢，我数一下， ok 不？ 这就顺溜了。宝贝啊，你考试的时候，你是脑袋里能不能反映出来他有不一样的情况，但是你其他情况要被折掉，这个东西是你自己反应的。数学是一个逻辑问题，数学不是一个硬背答案的问题。 如果有人跟你说，老师，有人跟你说，宝贝啊，这一定是啊，这么画图的，你得问他为什么，一定，你是怎么判断出来的？当你判断不出来，这所有东西，你都得问他为什么，懂不懂？好，这是我上高中，我跟我学生，所有学生说，你的每一步必须知道，因为，所以不知道，张嘴就问，不问就是自己 吃亏， ok， 好， 来，宝贝，这玩意完事了，这太简单了哦，图画成这样，那也太简单了。这边的面积是二，这边面积是三的话，那谁比谁是二比三？那就重作标之笔呗。就底之笔， ok 吗？就相当于 b 的 比 a， c 等于二比三， ok 吧？好，那这个 a 点坐标，哎，宝贝， a 点坐标是多少呢？叫 m 都 n 加二啊。但是这个叫 m 加一，都 m 加一。逗， n 加二，改成的是 n 加 n 减 n 减二，负 m 加二，行不？这个点坐标叫 m 逗，负 m 加四， ok 吧？好，你的比例太简单了， 可以吗？他让我算，算成算 m 的 值。宝贝，你重坐标得用 m 来表示哦，重坐标用 m 来表示。所以，宝贝，你的 a、 c 是 不是就相当于是负 m 加四？比上负 m 加二等于三比二， ok 吗？ m 一 解就解完 m 等于负二，解完 m 等于负二， ok 吗？好，我们接着看第三个问，然后第三个问叫 y 一 等于， 这变成了一个二次函数，但是没有关系，前期的基本的功，你知道的话，这变成不管是一次还是二次的，你整个反比例你都一样，会，对不对？他现在是相当于右移一个单位，上移 t 个单位得到 y 二，那 y 二右移一个单位，左加右减，上加加 t， 行不行啊？然后他又给了一个 y 三。 y 三是一个分段函数，这个在尖子班里面都讲过了，分段函数要求分段看，就自己段管自己的就行。所以 x 大 于等于负一小于三，这叫 x 减三的平方减三加 t， x 大 于等于三，行不行，这是 y 三， ok 吧？好，第一个问，他说 t 等于一的时候， t 等于一的时候，那就相当于这边的函数变成了 x 减三，哎， x 减三的平方加减二，我就不写了，我知道它等于三，行不行咱就不往上写了， ok， 然后他跟我说什么啊？让我算最大值和最小值， 太简单了，咔咔，简单白给分来。这个函数对称轴是二，对称轴是二，最小值是负三，最小值负三，零往这里边带，零往这里边带，等一，零往这里边带，等一， 那相当于零的就涂这么厚。然后三往这里带，等于负二，叫什么？叫三斗负二，二斗负三，是不是这样？好，来，继续啊。一负一往这里带，这叫负一斗负一斗六， ok 吧。好，大于三这段大于三这段的解析是指 x 减三的平方减二，这个 t 等一。好来，宝贝，那你大于三，三往这里来，是负二，哎，迎接上的看到没？迎接上的另一个端点是五，从负一到五吗？五往这里待，五往这里待，是二，所以宝贝这下这么好，哎哎哎， 这个角五得二行不行？这个点它接上了，这图长成这个样子， ok 吗？好，那这最大值最小值那也不用写呀，那不用看呐，最小值是不叫 x 等于二十， y 三等于负三，最大值 x 等于五十， y 三等于二。哎，哦，不是， sorry 啊，别听我瞎说， 整个函数的最大值角 x 等于负一时 y 三等于六，最小值负三，最大值六， ok 嘛？分段函数，分段画图， ok？ 好， 来，宝贝看 q 二 q 二，他说啊，问我负一到五的时候是否存在 e 能使 y 三有三个不同的焦点？ 好，宝贝，这个时候 t 已经变了， t 已经不是一了，就是原始的 t， 还这个函数，那我还得画一个图，但是前半俩是一样的， 这是二斗负三，这是三斗负二， ok 吗？这个这边是这样的，另一半呢？相当于是什么画图呢？另一半叫三到五的时候是这个解析式，三到五的时候是 x 减三的平方，减三加五，三往这里面带叫做 t 减三，三往这里面带叫 t 减三。但这个 t 减三不知道在哪呢？我随便画一个 t 减三， ok 吗？好，五往这里面带，五往这里面带， t 加一， ok 不？好，现在我不知道这个函数的就是 t 减三， t 加一是多大，我只是草草的画了一个图感受一下， ok？ 不， 但你肯定单列递增，因为你对称轴是三，你三到这五取三，你三到五肯定是个递增的， ok， 三到五肯定是长成这样。然后他问我是否存在 e 能有三个焦点，就这么画图，有没有三个焦点的时候，你告诉我， 就这么画就有三个焦点是吗？他有了，这不一拉线就啥焦点吗？ y 等于三一条水平线，一拉线就啥焦点。好，来，他说什么时候有啥焦点？来，宝贝，你这个红色的紫色的是不能动的，只有红色的动，你告诉我红色在哪的时候他不能有三个焦点？红色在哪不能有三个焦点？ 宝贝，红色反正是一条递增的线吗？我这的时候来，在这的时候有三个焦点吗？红色在这的时候有三个焦点吗？画一下喽，这玩意哪有三个焦点呢？这不最多俩吗？对不对？好，来，红色我把它收了。 红色我告我问你在这的时候有没有啥焦点？就红色 t 减三 t 加一在这的时候能不能有啥焦点？哦，这个紫色的和下面这个能有啥焦点吗？我上哪有啥焦点去， ok？ 不？好来，宝贝，什么样的时候能有啥焦点？来回答我这个问题， 什么时候有三个焦点？嗯，你得要求你的这个 t 减三得比这个点要低， 你往上，不管到哪，你肯定有地方有三个焦点。如果你这个点要比这个点要高，从这往上甩，你薄不薄的不能有啥焦点，看到没，你薄薄的不能有啥焦点。所以你要求这个点要比这个要低， 但是你也得要求这个点要比这个点要高，这个七加一要比它高，因为还是你要太低了，我是不是也没有啥焦点， ok？ 不？ 就说白了，我俩得有点重合地方，你不能一点重合地方都没有，你从这到这行，只要你这个点能比这个最低点高那么一点点，咱俩就撒娇点， ok？ 不？ 这不就动态的调节过程吗？完事了吧，白给分来。什么要求？这叫要求？叫七减三，你得小于负二， t 加一你得大于负三啊。结果就是 t 小 于一大于负四， ok 吗啊宝贝，到这的时候其实已经可以得满了，一就就太非常简单，但是学数学你得严谨。我就多问一句，所有人都得多思考三分钟， 带不带等？我就问你一句，带不带等来我的那群大神们，你们带不带等，一定要严谨啊 宝贝，带不带等不是空口白牙拍脑门喊的，你得实际往上去画啊。来，你带不带等这个，这个绿色的行，如果我梯解箱刚好卡这了，就这样。你告我有没有可能有三个焦点， 你告诉我有没有可能？这眼瞅着没有可能吗？每一个地方都是俩焦点，是这样的吗？ ok 吗？所以这边这个取点是取不到的，可以， 如果这个 t 加一跟他一平齐，从这往下甩，能不能撒撒焦点是不还不能， ok 吗？所有的端点位置，各位兼职生，你就差那一分两分干满的这些人啊， 必须在函数里面注意端点是否能取得到。你说老师我要差十几分满，你说这事关不关注到你，你可能都答案写不到这步，但你就差那一两分两三分满的人，所有的，尤其是分段函数端点位置一定要单独考虑， ok 吧？这是展现一个人数学的严谨性的问题，可以吗？好，这道题结束了，就这么简单，太简单了， 这题太简单了啊，还是说，还是那句话，我讲一道题不是为了让你会这道一道题没有用，我让你会这件事以及这件事散发出来的所有的点你都得搞定，这才是这道题对我们的指导性意义， 好不好啊？那今天我就这个视频就讲到这里，各位还有一个月就中考了，加油，我在高中等你。

学习一百道压轴题，今天学习的是鞍山二模代数压轴题。大家好，今天为大家带来我们刚结束的鞍山二模代数压轴题啊，对于整张试卷啊，相对于一模来说啊，可以对同学来说是比较友好的，相对来说啊，整体的一个难度啊，要略低一些 啊，比之前一模啊，可能会稍微简单一点。对于我们最后的一个代数压轴题啊，这次他来了一个新定义啊，那很长时间没练新定义了啊，那我们一起来看一下，整个是题啊，其中我们通过啊，这个新定义给我们的一个内容，我们不难发现我们更多的结合的是什么。是我们的一个啊， 平移啊，包含了我们左右以及我们上下，其中第一部分啊，可能是我们的点平移啊，那我们要求出来我们平移后的一个函数，也可以用我们的平移大法啊，我们左加右减自变量上加下减常数项来去求解我们平移后的函数解析式， 无论一次函数还是抛物线都可以啊。那来，首先第一个啊，那他给了我们这个平移，咱得知道他是怎么来的啊，对于我们无论怎么样一个点，他要求出来我们不宜关联函数，我们可以看到 不变的东西是什么？是我们一直都是向右平移一个单位，对吧？然后在数值方向我们去平移 k 个单位长，对不对啊？所以无论接下来他给我们 k 是 几，那我们一定别忘了，我们一定要先向右平移一个单位长， 对不对啊？来，首先啊，这里面括号一给了我们 y 一 等于负 x 加四啊，上面给了我们一个点，横坐标为 m， 纵坐标为 n， 那 既然这样的话，那我们可以把 a 用只用含 m 的 代号式，我们给它表示啊， a 点的一个坐标，也就是 m 到负 m 加四。 接下来别忘了一件事，我们怎么样向右平移，那也就是横坐标做加法。接下来啊，那我们的一个纵坐标呢，那我们要去看啊，那他是上下平移，对吧？所以接下来啊，那我们得看这 k 到底是几 k 减二，直接减掉一个二，得到我们对应的 b 点坐标 m 加一到负 m 加二。接下来那我们要去求我们的一个 y 二的函数解析式，我们可以仿照着前面来，那这里老师就不带你去带了啊，那我们用一个高级一点的方式，我直接我能不能求出来我们平移后的函数解析式呢？ 对不对啊？那对于我们，嗯，点平移，那所有的点如果都进行平移了，那意味着整个直线，那我们是不是也是平移的，对不对？所以那咱们借助刚刚老师所复习的啊，我们平移的口诀啊， y 一 等于是负 x 加四， 这回我们向右移动，应该是自变量做减法啊，那 y 二等于负的 x 减一加四， 对吧？然后接下来啊，那我们的 k 等于的是负二，所以意味着我们的长项部分直接减掉一个二，对吧？把它这个括号打开整理之后，我们得到最终我们的 y 二解析式等于负 x 加三，前面整体难度不大啊，那接下来我们再看一下括号二 啊，括号二在括号一的一个条件下，也就是我们 ab 这两点的一个坐标，那我们还能用啊，给了我们 x 大 小于等于四啊，所以那我们可以先把坐标系啊，咱给它划出来 a 点，我们知道它是在 y 等于负 x 加四这根线上，那我们可以画一个大致的图像啊，啊，这是 y 等于负 x 加四，接下来那我们的一个 b 点呢？啊，它是在 y 等于负 x 加三这根线上。 好，接下来那 a 点的一个坐标啊，那咱们可以不妨随便去啊，给它标一下啊，随便找一个 a 点，对吧？小于等于四，四在哪四其实就在这， 对吧，在他的一个左边呗，对吧？随便标出来我们一个 a 点啊，他如果记作 a 的 话啊，横坐标是 m， 重坐标负 m 加四，接下来干一个什么活？过 a 点，我们做 a c 垂直于我们的一个 f 轴 啊，那所以 c 点的一个啊，坐标我们也能给他拿下 m 豆零，对吧？然后往下来那 b 点的横坐标，刚刚我们说了啊， b 点的一个横坐标是 m 加一，所以那意味着 b 点应该在 a 点的一个右侧啊，我们随便标一个啊，此时比方说就是 b 过 b 点，也依旧是向下去做垂，我们得到我们的一个对点，对不对？好，接下来啊，咱们关注一件事，它的四边形， 之前我们的一个课上啊，咱们也提到过啊，四边形它的一个字母顺序很重要，是 a， b， d， c， 而现在 a， b， d， c 满足我们的一个条件， 所以接下来啊，那咱们现在是可以来做题的。接下来我们是线段 a， 对， 把我们整个四边形的面积，我们给它分为二比三的两部分，相当于变成了左右两个三角形， a c 对 和我们 ab 的 它俩之间的面积之比是二比三啊，那但是我们发现，由于是平行线， 对吧？ a c 和 b 的 平行，所以意味着这两个三角形我们可以看出它俩高是不一样的，对吧？所以面积之比就变成了我们的一个边之比， a b， a c 与我们的一个 b 的 之间的比值对不对？好，接下来啊，那咱们不难发现啊，那 a c 肯定比我们的一个 b 的 要长，对不？所以接下来啊，那我们的 a c 比上我们的一个 b 的 等的是，呃，三比二 对吧？那这 a c 和 b 对， 其实对应的就是我们 a 点和 b 点它俩的一个纵坐标， ok， 对 吧？所以能得到负 m 加四比上刚刚 b 点的纵坐标，我们也表示过啊，负 m 加二等于的是三比二，最终我们不难把这个 m 算出来， m 等于的是负二。 那有同学想，哎，老师，那难道说只有这样的一种情况吗？咱们考虑 a 点是不一定在上方，所以 a c 一定是这个造型，但是由于他是在我们这样的 x 小 于等于四的这部分，相当于啊，在他的一个左边，那我们的 b 点是不有可能在他的下方， b 点在他的一个下方，好不好使呢？ b 点向我们的 a 轴做一个垂， 得到我们的对儿。现在我们再去看刚刚老师说的字母的顺序， a d， b c， 那 如果按照 a b d c 来去看，那是不是成了一个八字形了，那不是我们的四边形了，对吧？所以那我们此时这种情况我们就不用再考虑了，不存在 对不对？你算完之后，那我们也可以把它的一个结果给它锁掉了，对不对啊？然后接下来那对于我们的一个括号三啊，它更多的可能会是和我们的啊分段函数相结合，对吧？它给了我们这样的一个范围， 对吧？其实对于我们的一个新函数，它就是分成两部分，一部分它等于 y 一， 另一部分它等于我们的 y 二，对吧？根据不同的一个自变量的取值范围，那我们得到的其实本质啊，就是一个分段函数，对吧？好，那接下来那我们可以把这分段函数我们给它写出来，对吧？第一段啊，这个 y 三 等于的是，第一段，我们应该是由于最后我们要求的是负一到五，对吧？所以第一段，当 x 大 于等于负一小于三的时候， y 三是等于我们 y 一 的啊，也就是 x 减二或 y 平方减三，对应的是负一小于等于 x 小 于的是三， 而 x 大 于等于三小于等于五，这部分我们要和 y 二相等，所以意味着那我们需要去表示一下我们的 y 二，对吧？那既然是它的不移关联函数，我们可以利用刚刚的方式，我们把这个函数直接给它做平移，对吧？ y 等于 x 减二或 y 的 平方，再减掉一个三，对吧？它怎么样？自变量是不应该是减一的，对吧？向右平移啊，左加右减，在此的一个基础上减一，对，不对啊？然后接下来后面我们应该是加上一个 t， 对不对啊？因为我们这里面的 k 啊，其实就跟我们的 t 相等了啊，那我们最后要求跟 t 相关，所以我们把所有的 k 啊都换成 t 就 好了，对吧？对应的，那我们第二段啊， x 减三，括号 y 的 平方，然后加上我们的 t 减三， 对吧？那就是我们整个这个括号三，我啥也不考虑的一个情况下，对不？当然啊，那我们的圈一比较简单啊， t 值是给好我们的，对吧？应该是等于一的， 所以对于我们圈一来说， y 三应该等于的是 x 减二括号 y 平方减三和 x 减三括号 y 平方，再减掉一个二对应的两个取值范围。 这里面我们拿图像来去分析啊，其实是最直接最简单的啊，那对于分段函数，我们最关心的点是什么？数就是分段的位置，也就是 x 等于三的时候 啊， x 等于三的时候，我们不难算得，对于我们这两段函数来说，那我们都是相同的函数值，也就我们此时的点的一个坐标，同样都是三，都负二， 这我们可以往里面去代值啊，咱们去检验一下对不对？好，接下来我们需要在负一到五的一个时候，我们研究我们的最大值和最小值，由于它整体啊是都是向上的，那我们的最小值的情况，对于第一段来说，那我们最小值应该是在我们的一个顶点的位置，此时对应的应该是二到负三， 对吧？对于第二段来说啊，那我们三数他的一个对线轴，所以三斗负二其实也是他的顶点，对不？所以我们 pk 一下，好，第一段啊，那我们的顶点会更低一点，对吧？所以我们得到咱们想要的最小值， 最小值应该就是负三，对吧？那最大值，那我们最高的时候，那意味着那我们就得看两多了， 对不对？第一段啊，我们是在负一的时候，离对伸轴越远，他说对应的函数值越高，对吧？所以此时应该是负一，我们把横坐标我们给他带入进去，能得到我们此时对应的函数值，应该是六， 对吧？然后对于我们第二段来说啊，那我们五是不是离对伸轴会更远一些，对吧？所以相 等于把 x 等于五，我们把它带入，带入之后，我们不难算得此时对应的是二，所以对于这两段来说，我们的最大值，一个是六，一个是二，那谁是最大的，是不是六，对吧？那我们对应的最大值 为六，对吧？这画图来分析啊，咱们是最快最简单的啊，这个是圈一，接下来对于我们的一个圈二啊，那我们就得借助我们刚刚所表示的这样一件事了啊，来， y 三等于的是 x 减二，括号 y 平方，再减掉一个三啊，对应的 x 大 于等于负一小于三， x 减三，括号 y 的 平方啊，加上一个 t 减三，对应的就是 x 大 于等于三，小于等于五。 好，接下来我们不难发现啊，那对于我们的第一段啊，负一到三的这一部分，他是不是一个定函数，对不对？我们可以把它啊固定下来了啊，带有取之范围啊，我们给它固定住不变，对吧？谁是变化的？代参数的这部分，我们是变化的， 他是变化的，对吧？那对于变化的位置，那我们可以分析啊，是不是就是我们的长项部分，对吧？其实对应的啊，那我们梯值来去改变的同时变得是什么？是上下的一个位置， 对不对？其实就是我们上下去平移，而由于我们刚刚分析过啊， x 等于三是他的对称轴，对吧？所以意味着啊，那他相当于是整个抛物线的右半部分啊，那咱们上下平移只不过是到三到五的这一段， 对吧？然后在我们 x 等于三，他的一个左右进行一个上下平移， 对吧？其中是这样的一部分啊，老师给你动态演示出来啊，其实就相当于我们这一部分啊，在右边我们是上下进行一个平移的，对吧？所以我们需要明确到底什么时候是我们的三个不同的焦点，对不对？只要这样，我们分析明白了啊，剩余的活都减了，对吧？来接下来啊， 对于我们这样的一个常数 e 啊，其实我们不关心他到到底是什么啊，我们只关心到底有几个焦点， 对不对啊？那由于刚刚分析过啊，那对于我们左半部分他是一个勾形，对吧？右半部分他只是对称轴的右半部分，对吧？那我们想要取得三个焦点，只能是什么样的情况？是不是左边相当于有两个 焦点，而右边我们是不还得再提供一个，对吧？相当于左边有俩，右边有一个， 对不？其余的情况说不好使，不可能右边两个，左边一个，更别说我们左边有仨了，对不对啊？所以往下来，那我们再考虑的时候，他如果在特别高的一个位置，可能有我们三个焦点吗？肯定不能， 对不对？我们现在保持左边有俩，那右边这边没有，不好使，我们只能找到现在的一个位置，我得保证啊，那我们的右边得有焦点， 对吧？那也就是什么样是临界情况呢？是不是我们这两个点啊，也就是我们刚刚的圈一那个时刻，那位于我们的特殊位置，也就他俩完完全全拼在一起了， 对吧？此时啊，那我们对应的只有两个焦点，对不对？而现在这种情况，我们是不是有几个？有三个，对吧？意味着，那我们此时对应的一个顶点啊，三斗七减三，他说得比我们这个是三斗负二 用 d 的， 对吧？所以对应的啊，那咱们 t 减三，他是要小于我们的负二的，也就意味着啊， t 是 小于一，这是第一个前提， 对吧？比一大包使，此时我们对应的是 t 大 于一，对吧？ t 等于一，咱们拿刚刚我们圈一的那个图，我们来去看，是不是也是能验证啊？咱们不满足提议的， 对吧？首先第一段啊，我们第一考虑这个，对吧？接下来还得考虑什么？难道说我这样的一小段我能一直往下平移吗？不能，因为我们右边的不是完整的函数，它只是三到五的这一段，对吧？所以，那接下来啊，那我们向下平移，平移到什么时候为止呢？ 正常来讲啊，那我们在这边是不是都会有我们的三个焦点啊，对吧？那直到啊，我们往下移移到什么时候为止啊？左边啊，恰好有一个， 右边还有焦点，也就意味着，此时那我们的 e 相当于与我们顶点的横坐标保持一致。 零点的纵坐标啊，老师，刚才口误了啊，那此时，那我们得保证什么？是不是我们右边相当于当 x 等于五的时候啊，那我们把它不妨，我们给它带入进去，那此时对应的一个啊，纵坐标，我们能给它求转， 对不对啊？相当于把五带进去，应该是啊，四加 t 再减三，也就对应的是 t 加一，而此时我们对应的啊，刚刚求过了，是二到啊，负三，那我们右边的是不是要比我们的负三要高，比他再低，你想啊，比他再低 这一部分还会形成我们三个焦点吗？说肯定不会了，对吧？说意味着他不能比他再低了，对吧？所以对应的，那我们最后啊，这个临界情况应该是 t 加一大于我们的一个负三， 对吧，也就是 t 是 大于负四的，既要小于一，又要大于我们的负四，所以最终啊，我们冲上 t 大 于负四小于一，对吧。对于整个啊，我们这道题啊，可以说是跟之前我们的分段函数研究的大差不差啊，并且相对来说啊，他的一个难度是啊，不太高的，因为他只是我们的平移啊，恶心点，还会有旋转呢，还会有我们的对称 啊，所以对于此类分段函数类问题啊，跟课上老师讲的是一样的，我们要干嘛？多画图，让我们这样的一个平面图形啊，咱们给他动起来， 这样的话方便我们来去分析解决我们的题目啊，相信大家在二模的考试当中都会取得好成绩，我们下次再见。

如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于六， b、 c 等于六根三点 p 是 边 a、 d 上的一个洞点。连接 c、 p， 将三角形 c、 d、 p 沿 c、 p 翻折，得到三角形 c、 e、 p。 射线 p、 e。 交射线 c、 b。 于点 f 设角 p， c、 d 为 r 法角三等于九十度减 r 法角一等于九十度减 r 法角一等于角二，即可得正。 第二问，当点 e 恰好落在矩形 a、 b、 c、 d 的 对称轴上时，求线段 d、 p 的 长矩形有两条对称轴。如图所示， 点 p 运动图形如动画所示，根据图中的数量关系，容易得出角 e、 c、 b 等于三十度得出一， n 等于一， m 等于三，进而得出一 p 等于二根三 点一恰好也在 a、 b 的 中垂线上，则情况一与情况二 d、 p 均等于二根三 点 p 继续向左运动。如图， c、 n 等于三根三， e、 c 等于六，则角 e、 c、 b 等于三十度 角 e、 c、 d 等于一百二十度角 p， c、 e 等于六十度角 e、 p、 c 等于三十度，得出 p， d 等于六根三。如图，连接 a、 e、 b、 e 写出 a、 e 加三分之根三比 e 的 最小值。 根据三分之根三，提示数据于六比六根三相等猜测式 r 是 圆问题 c、 e 与 b、 c 的 夹角是角 e、 c、 b。 那 么我们在 c、 b 上截取 c、 g 等于二根三， c、 e 等于 c、 d 等于六。同时画一个以点 c 为圆心，以 c、 d 为半径的圆。 根据两边乘比例，夹角相等，就容易得出三角形 c、 e、 g。 相似与三角形 c、 b、 e。 根据相似三角形的性质，得出 e、 g 比 b、 e 等于根三比三， 进而得出 e、 g 等于三分之根三 b、 e。 当 a、 e、 g 共线时，两线段之和最小，进而得出答案。

大家好，今天为大家带来我们刚结束的鞍山二模代数压轴题啊，对于整张试卷啊，相对于一模来说啊，可以对同学来说是比较友好的，相对来说啊，整体的一个难度啊，要略低一些 啊，比之前一模啊，可能会稍微简单一点。对于我们最后的一个代数压轴题啊，这次他来了一个新定义啊，那很长时间没练新定义了啊，那我们一起来看一下整个是题啊，其中我们通过啊，这个新定义给我们的一个内容，我们不难发现我们更多的结合的是什么。是我们的一个啊， 平移啊，包含了我们左右以及我们上下，其中第一部分啊，可能是我们的点平移啊，那我们要求出来我们平移后的一个函数，也可以用我们的平移大法啊，我们左加右减自变量上加下减常数项来去求解我们平移后的函数解析式， 论一次函数还是抛物线都可以啊。那来，首先第一个啊，那他给了我们这个平移，咱得知道他是怎么来的啊，对于我们无论怎么样一个点，他要求出来我们不宜关联函数，我们可以看到 不变的东西是什么？是我们一直都是向右平移一个单位，对吧？然后在数值方向我们去平移 k 个单位长，对不对啊？所以无论接下来他给我们 k 是 几，那我们一定别忘了，我们一定要先向右平移一个单位长， 对不对啊？来，首先啊，这里面括号一给了我们 y 一 等于负 x 加四啊，上面给了我们一个点，横坐标为 m， 纵坐标为 n， 那 既然这样的话，那我们可以把 a 用只用含 m 的 代号式，我们给它表示啊， a 点的一个坐标，也就是 m 到负 m 加四。 接下来别忘了一件事，我们怎么样向右平移，那也就是横坐标做加法。接下来啊，那我们的一个纵坐标呢？那我们要去看啊，那他是上下平移，对吧？所以接下来啊，那我们得看这 k 到底是几 k 减二，直接减掉一个二，得到我们对应的 b 点坐标 m 加一到负 m 加二。接下来那我们要去求我们的一个 y 二的函数解析式，我们可以仿照着前面来，那这里老师就不带你去带了啊，那我们用一个高级一点的方式，我直接我能不能求出来我们平移后的函数解析式呢？ 对不对啊？那对于我们，嗯点平移，那所有的点如果都进行平移了，那意味着整个直线，那我们是不是也是平移的，对不对？所以那咱们借助刚刚老师所复习的啊，我们平移的口诀啊， y 一 等于是负 x 加四， 这回我们向右移动，应该是自变量做减法啊，那 y 二等于负的 x 减一加四， 对吧？然后接下来啊，那我们的 k 等于的是负二，所以意味着我们的长项部分直接减掉一个二，对吧？把它这个括号打开整理之后，我们得到最终我们的 y 二解析式等于负 x 加三。前面整体难度不大啊，那接下来我们再看一下括号二 啊，括号二在括号一的一个条件下，也就是我们 ab 这两点的一个坐标，那我们还能用啊，给了我们 x 大 小于等于四啊，所以那我们可以先把坐标系啊，咱给它画出来 a 点，我们知道它是在 y 等于负 x 加四这根线上，那我们可以画一个大致的图像啊，啊，这是 y 等于负 x 加四，接下来那我们的一个 b 点呢？啊，它是在 y 等于负 x 加三这根线上。 好，接下来那 a 点的一个坐标啊，那咱们可以不妨随便去啊，给它标一下啊，随便找一个 a 点，对吧？小于等于四，四在哪四其实就在这， 对吧？在他的一个左边呗，对吧？随便标出来我们一个 a 点啊，他如果记住 a 的 话啊，横坐标是 m， 重坐标负 m 加四，接下来干一个什么活？过 a 点，我们做 a， c 垂直于我们的一个 x 轴 啊，那所以 c 点的一个啊，坐标我们也能给他拿下 m 豆零，对吧？然后往下来那 b 点的横坐标，刚刚我们说了啊， b 点的一个横坐标是 m 加一，所以那意味着 b 点应该在 a 点的一个右侧啊，我们随便标一个啊，此时比方说就是 b， 对 吧？过 b 点也依旧是向下去做垂，我们得到我们的一个对点，对不对？好，接下来啊，咱们关注一件事，它的四边形。 之前我们的一个课上啊，咱们也提到过啊，四边形它的一个字母顺序很重要，是 a， b 对 c， 而现在 a， b 对 c， 满足我们的一个条件， 所以接下来啊，那咱们现在是可以来做题的。接下来我们是线段 a 对， 把我们整个四边形的面积，我们给它分为二比三的两部分，相当于变成了左右两个三角形， a c 对 和我们 ab 对， 他俩之间的面积之比是二比三啊，那但是我们发现，由于是平行线， 对吧？ a c 和 b 的 平行，所以意味着这两个三角形，我们可以看出他俩高是不一样的，对吧？所以面积之比就变成了我们的一个边之比， ab ac 与我们的一个 b 的 之间的比值对不对？好，接下来啊，那咱们不难发现啊，那 ac 肯定比我们的一个 b 的 要长，对不？所以接下来啊，那我们的 ac 比上我们的一个 b 的 等的是，呃，三比二， 对吧？那这 a c 和 b 对， 其实对应的就是我们 a 点和 b 点他俩的一个纵坐标， ok， 对 吧？所以能得到负 m 加四比上刚刚 b 点的纵坐标，我们也表示过啊，负 m 加二等于的是三比二，最终我们不难把这个 m 算出来， m 等于的是负二。 那有同学想，哎，老师，那难道说只有这样的一种情况吗？咱们考虑 a 点是不一定在上方，所以 a c 一定是这个造型，但是由于他是在我们这样的 x 小 于等于四的这部分，相当于啊，在他的一个左边，那我们的 b 点是不有可能在他的下方， b 点在他的一个下方，好不好使呢？ b 点向我们的 a 轴做一个垂， 得到我们的对儿。现在我们再去看刚刚老师说的字母的顺序， a， d， b， c， 那 如果按照 a， b， d， c 来去看，那是不是成了一个八字形了，那不是我们的四边形了，对吧？所以那我们此时这种情况我们就不用再考虑了，不存在 对不对？你算完之后，那我们也可以把它的一个结果给它锁掉了，对不对啊？然后接下来，那对于我们的一个括号三啊，它更多的可能会是和我们的啊分段函数相结合，对吧？它给了我们这样的一个范围， 对吧？其实对于我们的一个新函数，它就是分成两部分，一部分它等于 y 一， 另一部分它等于我们的 y 二，对吧？根据不同的一个自变量的取值范围，那我们得到的其实本质啊，就是一个分段函数，对吧？好，那接下来，那我们可以把这分段函数我们给它写出来，对吧？第一段啊，这个 y 三 等于的是第一段，我们应该是由于最后我们要求的是负一到五，对吧？所以第一段当 x 大 于等于负一小于三的时候， y 三是等于我们 y 一 的啊，也就是 x 减二或 y 平方减三，对应的是负一小于等于 x 小 于的是三， 而 x 大 于等于三小于等于五，这部分我们要和 y 二相等，所以意味着那我们需要去表示一下我们的 y 二，对吧？那既然是它的不移关联函数，我们可以利用刚刚的方式，我们把这个函数直接给它做平移，对吧？ y 等于 x 减二和 y 的 平方再减掉一个三，对吧？它怎么样？自变量是不应该是减一的，对吧？向右平移啊，左加右减，在此的一个基础上减一，对不对啊？然后接下来后面我们应该是加上一个 t， 对不对啊？因为我们这里面的 k 啊，其实就跟我们的 t 相等了啊，那我们最后要求跟 t 相关，所以我们把所有的 k 啊都换成 t 就 好了，对吧？对应的，那我们第二段啊， x 减三，括号 y 的 平方，然后加上我们的 t 减三， 对吧？那就是我们整个这个括号三，我啥也不考虑的一个情况下，对不？当然啊，那我们的圈一比较简单啊， t 值是给好我们的，对吧？应该是等于一的， 所以对于我们圈一来说， y 三应该等于是 x 减二，括号 y 平方减三和 x 减三，括号 y 平方，再减掉一个二对应的两个取值范围。 这里面我们拿图像来去分析啊，其实是最直接最简单的啊。那对于分段函数，我们最关心的点是什么数就是分段的位置，也就是 x 等于三的时候 啊， x 等于三的时候，我们不难算得，对于我们这两段函数来说，那我们都是相同的函数值，也就我们此时的点的一个坐标，同样都是三，都负二， 这我们可以往里面去代值啊，咱们去检验一下对不对？好，接下来我们需要在负一到五的一个时候，我们研究我们的最大值和最小值，由于它整体啊是都是向上的，那我们的最小值的情况，对于第一段来说，那我们最小值应该是在我们的一个顶点的位置，此时对应的应该是二到负三， 对吧？对于第二段来说啊，那我们三数他的一个对线轴，所以三斗负二其实也是他的顶点，对不？所以我们 pk 一下，好，第一段啊，那我们的顶点会更低一点，对吧？所以我们得到咱们想要的最小值， 最小值应该就是负三，对吧？那最大值，那我们最高的时候，那意味着那我们就得看两多了， 对不对？第一段啊，我们是在负一的时候，离对称轴越远，他说对应的函数值越高，对吧？所以此时应该是负一，我们把横坐标我们给他带入进去，能得到我们此时对应的函数值，应该是六， 对吧？然后对于我们第二段来说啊，那我们五是不是离对称轴会更远一些，对吧？所以 当于把 x 等于五，我们把它带入，带入之后，我们不难算得此时对应的是二，所以对于这两段来说，我们的最大值，一个是六，一个是二，那谁是最大的，是不是六，对吧？那我们对应的最大值 为六，对吧？这画图来分析啊，咱们是最快最简单的啊，这个是圈一，接下来对于我们的一个圈二啊，那我们就得借助我们刚刚所表示的这样一件事了啊，来 y 三等于的是 x 减二，括号 y 平方，再减掉一个三，对应的 x 大 于等于负一小于三。 x 减三，括号 y 的 平方加上一个 t 减三，对应的就是 x 大 于等于三，小于等于五。 好，接下来我们不难发现啊，那对于我们的第一段啊，负一到三的这一部分，他是不是一个定函数，对不对？我们可以把它啊固定下来了啊，带有取之范围啊，我们给它固定住不变，对吧？谁是变化的代参数的这部分，我们是变化的， 他是变化的，对吧？那对于变化的位置，那我们可以分析啊，是不是就是我们的长项部分，对吧？其实对应的啊，那我们梯值来去改变的同时，变得是什么？是上下的一个位置， 对不对？其实就是我们上下去平移，而由于我们刚刚分析过啊， x 等于三是他的对称轴，对吧？所以意味着啊，那他相当于是整个抛物线的右半部分啊，那咱们上下平移只不过是到三到五的这一段， 对吧？然后在我们 x 等于三，他的一个左右进行一个上下平移， 对吧？其中是这样的一部分啊，老师给你动态演示出来啊，其实就相当于我们这一部分啊，在右边我们是上下进行一个平移的，对吧？所以我们需要明确到底什么时候是我们的三个不同的焦点，对不对？只要这样，我们分析明白了啊，剩余的活都减了，对吧？来接下来啊， 对于我们这样的一个常数 e 啊，其实我们不关心他到到底是什么啊，我们只关心到底有几个焦点，对不对啊？那由于刚刚分析过啊，那对于我们左半部分他是一个勾形，对吧？右半部分他只是对称轴的右半部分， 对吧？那我们想要取得三个焦点，只能是什么样的情况？是不是左边相当于有两个焦点，而右边我们是不还得再提供一个，对吧？相当于左边有俩，右边有一个， 对不？其余的情况说不好使，不可能右边两个，左边一个，更别说我们左边有仨了，对不对啊？所以往下来，那我们在考虑的时候，他如果在特别高的一个位置，可能有我们三个焦点吗？肯定不能， 对不对？我们现在保持左边有俩，那右边这边没有，不好使，我们只能找到现在的一个位置，我得保证啊，那我们的右边得有交点， 对吧？那也就是什么样是临界情况呢？是不是我们这两个点啊，也就是我们刚刚的圈一那个时刻，那位于我们的特殊位置，也就他俩完完全全拼在一起了， 对吧？此时啊，那我们对应的只有两个焦点，对不对？而现在这种情况，我们是不是有几个？有三个，对吧？意味着，那我们此时对应的一个顶点啊，三斗七减三，他说得比我们这个是三斗负二 要低的，对吧？所以对应的啊，那咱们 t 减三，他是要小于我们的负二的，也就意味着啊， t 是 小于一，这是第一个前提， 对吧？比一大包尺，此时我们对应的是 t 大 于一，对吧？ t 等于一。咱们拿刚刚我们圈一的那个图我们来去看，是不是也是能验证啊，咱们不满足提议的，对吧？首先第一段 啊，我们第一考虑这个，对吧？接下来还得考虑什么？难道说我这样的一小道我能一直往下平移吗？不能，因为我们右边的不是完整的函数，它只是三到五的这一段，对吧？所以，那接下来啊，那我们向下平移平移到什么时候为止呢？ 正常来讲啊，那我们在这边是不是都会有我们的三个焦点啊，对吧？那直到啊，我们往下移移到什么时候为止啊？左边啊，恰好有一个， 右边还有焦点，也就意味着此时那我们的 e 相当于与我们顶点的横坐标保持一致。 顶点的纵坐标啊，老师刚才口误了啊，那此时，那我们得保证什么？是不是我们右边相当于当 x 等于五的时候啊，那我们把它不妨我们给它带入进去，那此时对应的一个啊，纵坐标，我们能给它求出来， 对不对啊？相当于把五带进去，应该是啊，四加 t 再减三，也就对应的是 t 加一，而此时我们对应的啊，刚刚求过了，是二到啊，负三，那我们右边的是不是要比我们的负三要高，比他再低，你想啊，比他再低 这一部分还会形成我们三个焦点吗？说肯定不会了，对吧？说意味着他不能比他再低了，对吧？所以对应的，那我们最后啊，这个临界情况应该是 t 加一大于我们的一个负三， 对吧，也就是 t 是 大于负四的，既要小于一，又要大于我们的负四，所以最终啊，我们冲上 t 大 于负四小于一，对吧，对于整个啊，我们这道题啊，可以说是跟之前我们的分段函数研究的大差不差啊，并且相对来说啊，他的一个难度是啊，不太高的，因为他只是我们的平移啊，恶心点还会有旋转呢，还会有我们的对称 啊，所以对于此类分段函数类问题啊，跟课上老师讲的是一样的，我们要干嘛？多画图，让我们这样的一个平面图形啊，咱们给他动起来， 这样的话方便我们来去分析解决我们的题目啊，相信大家在二模的考试当中都会取得好成绩，我们下次再见。

方法不对，努力白费。今天给大家讲一下八年级期末考试的压轴难题，这道题目初二和初三的同学都可以做。首先先讲一下初二的方法， 那么用初二的解析方法去研究这个题目，思路特别多，但是我们如何寻找到一个最简洁、最容易想到的方法，那我们就需要找到这道题目的一个突破口。首先条件给了正方形 abcd， 看到了 b、 d 是 对角线，那从辅助线的一个长引的方法来看，我们很容易想到的就是把它的另一条对角线 a、 c 也连上。 因为正方形最特殊的是什么呢？就是它对角线的性质。这里 a、 c 和 b、 d 相等，互相垂直， 并且互相平分。那么每一条对角线所在的直线都是正方形的对称轴， 所以我看到 b、 d 上有一个 m， 自然想到的就是把 m、 c 也连上。那么我们异正 m a 和 m、 c 是 相等的， 那我们可以通过啊 b、 d 两侧的三角形存在一个翻折全等的关系，推出 a、 m 和 m、 c 相等。那再看一下条件，条件给了一个互补， 那这个互补有什么用？好，一个角是角 a m、 d， 另一个是角 a、 n、 c， 而这个位置也存在一个互补，所以我就看到了内错角相等于是可推 b、 d 和 c n 是 平行的， 那么就可以把刚才的这个对角线的直角可以导到角 a、 c、 n， 所以 我就看到了一个直角三角形 a、 c、 n， 同时看到了等腰三角形 a、 c、 m， 那 么等腰三角形的底边恰好是直角边，所以我能推什么呢？啊？我根据倒角可知，看等边对等，角擦角相等， 根据沪语可知，叉角加点角等于九十，这里的叉加这个点也是九十，于是推出两个点角相等，那么 m c 跟 m n 也相等， 所以 m a 等于 m c 等于 m n， 那 也就意味着我能推导出 m 是 a n 的 终点。 好，我能够推导出 m 是 a n 的 终点。好，那接下来我们继续来看此题。给了正方形的边长，还给了两条边的关系，它是 dm 和边长的关系是根号二比三。 那我们发现 dm 跟 ad 有 关， d o 跟 ad 也有关系，那于是就可以推出 dm 和 d o 的 关系。好，那在这不妨我们利用这个比例设一下两条边， 我们设比的一份为 x， 那 么 dm 它就可以表示为根号二 x， 而 ad 可以 表示为三 x。 进而呢，我们看到等腰直角三角形 a， d o 可以 表示出 d o 是 二分之三倍，根号二 x。 好 的，那么 dm 和 d o 都含 x， 所以 我就可以求一下两条边的一个比值，也就是 dm 比上 d o， 它就是根号二 x， 比上二分之三倍，根号二 x， 那么经过月份化简，我们可以把它化成二比三，那就意味着 dm 是 两份， d o 是 三份。那不妨我就在 m o 这个位置标记一份，所以就说明 m d 是 m o 的 二倍。 好，那请同学们继续再来看。刚才导出 m 是 中点， o 也是中点，那 m o 就是 a n c 的 中位线，所以我发现 c n 也是它的二倍。 那于是我们就可以推出这里的 dm， 它和 c n 的 一个关系。是什么关系呢？平行且相等。好，于是就可以导出这个四边形， m d n c， 它是一个平行四边形啊，这是一个平行四边形，那么这如果是个平行四边形，说明什么呢？它的对角线互相平分，那就意味着点 e 既是 m n 的 终点，也是边长的终点。 好了，那么导出点 e 是 终点之后，此题要求 n f， 那 么我们还是需要把 n f 进行一个转化。好，那么在这里 n f 可以 转化到哪去？根据平四的性质特点，它和这里的 啊 m 这个点，我们设它一个字母，设它为点 q， 它和 m q， 通过八字形全等可以推出它俩是相等， 所以我们要求 fn， 其实就是求 m q， 那 m q 又该如何求呢？大家观察一下，你看 q 这个位置，这个角，这个黄色的角，像不像一个直角呢？ 好，哎，我们发现这个角特别像直角，于是呢，这道题目你看它的关系特别多，这里既有数量关系，又有位置关系，都是通过我们题目当中的条件挖掘出来的。 好，所以当你这个位置大胆的提出一个猜想，我猜想他是九十度，那我们就要啊去推导出他为什么是九十。 好，那首先请同学们在这里观察一下这个叉角和这个叉角的关系。好，那这两个叉角的关系是相等的啊，根据刚才的一个等幺三角形等边对等角好了，然后这里这个角和这里这个角 是不是都是四十五度，于是就可以得到圆圈角和这个圆圈角什么关系呢？ 那这两个角就可以推出相等啊，这两角推出相等。而在这里大家又看到这里点 e 是 c d 的 一个中点，所以 a d e 和这里的 b c， e， e 正全等，所以上边的圆圈可以倒下来。 好，那圆圈下来之后，这个圆圈和这个圆圈相等，这里存在一个正方形的一个直角，所以摄影型出来，因此我们在这里可以移正一个九十度。 当然你想推这个九十度，还有其他的方法，你去通过这个 o b、 e、 c 啊，这个八字形推导出这个角，也是一个叉角，完全也可以推导出来一个垂直啊，所以这个推导垂直这块，大家可以在这运用不同的方法去推 好。当我们导出这是直角之后，我发现 m b 的 长度是可求的啊，它怎么求呢？我们知道了，大家看边长二倍根号五，我们知道边长是二倍根号五，于是就可以求出 o a 的 长度， 拿二倍根号五除以根号二，就是 a o， 那 么 a o 的 长度可求，它是根号十 好，而这里的 o m 是 o d 的 三分之一，也就是 o a 的 三分之一，所以 o m 它是三分之根号十啊，剩下的就都是计算好，那于是我们就可以求出，用勾股定律在二 t 三角形 a o m 中求出 a m 的 长度三分之十 啊，求出 am 三分之十，好，那接下来 am 的 长度当然也就是 cm 的 长度啊，所以这条边长度可求 好，而这里的 bc 是 二倍根号五。刚才我们说 bm 可求，它怎么求？看这两份， 三份啊，那这个也是三份，三份，一份四份，上边两份，下面四份，说明 m d 和 b m 的 关系就是一比二，那因此这里的 b m， 它就是整条对角线的多少呢？三分之二对角线是二倍根号五，乘根号二，也就是二倍根号十， 再乘三分之二，这就是 b m， 所以 它的结果就是三分之四倍的根号十。好，于是我看到 b m 可求 b c， 已知 c m 以求，所以这个黑色三角形知道了三条边，并且我们在这个位置看到了一个垂直的关系，所以我就想到了三角形 m b c 可解 啊，那么我们要求 f n， 就是 求这里的 m q， 所以 我不妨把 m q 设为 a， 我把 m q 设为 a， 那 么啊 q c， 它就可以表示为 m c 减去 a， 那 就是三分之十减去 a， 所以 我就可以利用这条边，也就是 b q， 利用这个公共边的平方，双勾股列方程。 好，所以我们列出的方程就是 m b 的 平方，那就是三分之四倍，根号十，括号 y 平方减 x 的 平方， 结果就应该等于 b c 二倍，根号五的平方减去三分之十减 a， 括号 y 的 平方。好，这里换成 a， 这是 a， 哈， 这是 a。 好 了，那于是我们根据这个方程，方程中仅有一个未知数 a， 那 我们去掉括号，最终求得 a 的 结果等于三分之四，而 a 是 三分之四，那 fn 就是 a， 所以 它的结果也是三分之四。 好了，那么这道题目呢？老师，从初二这个年级啊，这个阶段啊，从我们平时解决这个问题藏隐的辅助线套路，以及我们经常使用的一个推导方法，把这道推的思路给大家从头到尾啊捋了一遍。 好了，那么在初二这个阶段，除了可以用这种方法以外，我们还能够想到一个特有的方法是什么呢？好，那这道题目我们还可以运用建立坐标系的方法，也就是间隙。 好，当我们学习了一次函数以后，好，那这道题目你看我们可不可以建立一个坐标系，就是把这个正方形放在坐标系中。 好，那比如说我如何间隙呢？我可以以这里的点 c 为坐标原点，以 c b 所在的直线为 x 轴， c d 所在的直线为 y 轴，那我们建立这样的一个坐标系，那我建立这个坐标系的目的是什么？题目要求 fn 的 长度，那我就想办法把 f 的 坐标求出来，我把 n 的 坐标也求出来， 那么如果用间隙的方法去解决这个问题，就不需要推导那么多的关系了啊。你看，比如说 f 的 坐标怎么求呢？我只需要用到这个点， e 是 终点。好，当我推出这里这个点 e 是 c d 中点以后，根据正方形的边长，我可以求出 e 点坐标零度，根号五，根据边长可知， b 点坐标是负二倍，根号五都零，所以 e b 知道，那么 b e 的 解析式就可求了。 好，再来看我求 b e 的 目的是什么？我是为了要求出点 f 的 坐标，那 f 是 b e 跟 d n 的 交点， 那么 d 点的坐标知道是零到二倍，根号五，那么 n 点的坐标又该如何去求呢？好，那下面我们来看一下，刚才在这个位置我们发现了一个什么呀？平行四边形， 对不对？通过平行四边形，我们可以知道这个叉角和这个叉角是内错角，因为这里是四十五度，所以这个叉角也是多少度呢？这个叉角也是四十五度。 好，那么这个叉角是四十五度，我如何去求点 n 的 坐标呢？那我肯定得过点 n 向坐标轴画一个垂线啊，假设这个垂足为点 p， 那 也就意味着只要我求出 p n 和 c n 的 长度，我就能够表示出 n 点的坐标。 好，那 n 你 要求 n 坐标，你怎么求这两条直角边呢？那你就得知道 c n 呢？ c， n 跟谁相等？跟 md， 那 md 肯定可求啊，知道 ad， 然后 md 和 nd 的 关系有了，是不是这条线段可求？拿到这来用， 放到 r t 等腰直角三角形中，可以把这两条黄色的直角边都求出来，进而求出 n 的 坐标。那有了 n 的 坐标，就可以求出直线 d， n 的 解析式， 那么 d， n 的 解析式如果也求了，让它和 b e 连立相交，求出 f， 所以 它们俩就可以求出 f 的 坐标， f 的 坐标知道， n 的 坐标，也知道，那么两点之间的距离，就可以利用勾股定底来求。你看过点 f， 向它做一个垂线啊，设这个垂线啊，设一个字母为点 f 啊，点 f 有 了， 设这个垂足为点 s。 好， 那么在这个 r t 三角形中，根据 f 和 n 的 坐标，那么 sn 和 f s 都能求，最后勾股求一下 fn 也是可以的 啊。所以说，我们可以用一种尝试，一种新的方法，就是建立坐标系，然后去求两点间的距离啊。这是针对于初二的同学啊，我们采取的以上不同的两个思路，那么这道题目如果拿给初三的同学去做啊，那就容易得多。 好，来，我们看一下这道题目如果用初三的方法该怎么做呢？啊，我们在这里可以用到相似对不对？好了，我们也可以用到三角函数。好，那这道题目由于它的关系，你看特别多，这个关系既包括数量关系，也包括位置关系。 好，首先我们前面推导过这两条直线，什么关系呢？平行，我们导过这个 m、 d 和 c、 n 是 平行且相等的，所以说这对三角形我们异正，它是一个八字形的全等，所以可得点 e 是 m、 n 的 中点，因此这两条边的比就是一比一。 前面咱们通过推导线段知道 m、 d 和 ad 的 关系，那么我们就可以得到 m、 d 和整体 b、 d 的 关系。所以前面咱们也用到过这个关系，它俩字比是一比二，它俩字比是一比二。那么此题要求的是 fn 的 长度， 那么我不妨求 d、 n， 再求 f 分 d、 n 的 比啊，再求它俩的一个比啊，那这样的话是不是就可以求出 n、 f 的 长度了啊？那辅助线我之前还要用到这一条， 也就是说这里还是一个平行四边形，你 am 等于 mc， 根据平四 mc 就 等于 d、 n， 所以 咱们前面求出来的 am 是 三分之十，那就意味着 n、 d 就是 三分之十。那接下来就只需要求出 f 分 d、 n 的 一个比例关系就可以了， 在这里看到一比一，在这里看到一比二啊，所以 b、 d、 n、 m 啊，包括这里这个 b、 f， 老师把这几条边给大家描述一下啊，有 b、 d， b、 d 上有比例 好， d、 n 上的点， f 这个节点是带求的， m、 n 上有比例关系，一比一。 那接下来我只需把这个 b、 f 再连上。大家是否也看到了咱们鞍山市试模十五题出现的那个飞镖模型，在这个模型当中总共有四条边，两条边上有比例，就能求出七与两边上的比例关系。那么当时讲这个问题的时候，老师讲了十二个方法，十二个方向， 那我们在这里随便选一个点，我们可以做什么呀？平行啊，来运用平行线的啊，相似的基本模型去解决这个题。由于这道题目天然存在一个平行，而这个平行 c n 平行的恰好是黄色的边 b d， 而且这个 c n 恰好过飞镖模型一个点，所以我这道题不需要格外的做其他的辅助线。 好，那我们就只需要把你做的这个平行线让它和谁相交，让它和这个飞镖模型的第四条边 b f， 你 看你是选择了 m n 这条边上的 n 啊，你用到的是这个平行， 那么你就让这条平行线，嗯，它平行的是 b d， 让它和 b f 延长相交即可。那这个交点我们设它为点 q 啊。好了，在这里再说一下 n 是 怎么形成的？ n 是 m n 和 d n 的 交点，所以这个线段 m n 作为第一条边 d n， 第二条边 b d 第三条，那么 c n 平行第三条，那么跟第四条 b f 相交 啊。好了，那么交完之后，大家观察这个位置存在一个一比二，那不妨把这个边设为 a， 这个边设为二 a， 所以 整条边就可以表示为三 a。 好， 那再看到这个位置点 e 是 m n 的 一个中点，有中点，有平行，那我们在这可以得到一个八字形的一个全等， 大家看这个三角形和这个三角形，这俩是一个八字形的全等，所以 b m 是 二 a， 那 么 n q， 它的长度也是二 a， 它也是二 a， 那 么这个是二 a， 整体是三 a。 那 接下来请同学们跟老师再看一个八字形，也就是 b， d， n、 q， 看这个八字形，在这个八字形中，你不是想求 f 分 d、 n 的 比例吗？那么这两条线段的比其实就是二 a 比三 a， 也就是二比三，所以在这我可以求出 n， f 和 df 的 比等于二 a 比三， a 二比三，所以你要求的 n、 f， 它就是 d， n 的 五分之二，所以五分之二乘以三分之十啊，轻松的可以解出来，最后答案就是三分之四。 当然老师只讲了一种方法啊，之前说过，在这个黄色的飞镖模型当中，点 d， 点 m， 点 b， 包括这里这个点 e， 点 n， 还有这里这个点 f， 一 共有六个点啊，四条四条线段，两两相交，一共有六个点，这六个点过任何一个点向七与两边做平行，那么交第四条边于一个点，都能够把这道题解出来，所以这十二个方法大家有兴趣的可以去挑战一下。 好了，那这道题目呢，老师分别从初二和初三不同年龄段的同学给大家讲了不同的方法啊，希望同学们能够把这道题目 吃透，因为这道题目他逻辑性特别强，答题方法特别多啊，希望同学们能够用一题多解的方法来从中归纳一下，哪个方法更适合你呢？好了，这点这道题就给大家分享到这。

辽宁朝阳、鞍山，辽阳初三二模已经考完了。那这三套试卷的含金量最大的啊，就朝阳试卷了。那这次考试呢，真是临近中考前最重要的测试的。那像沈阳大连啊，其他城市还没有考呢。 那朝阳试卷呢，非常贴合中考，且有变化。那像语文的自因自省考察，放在了情景化里边，综合出题，那必得分的古诗文啊， 竟然也放在了情景题里边啊。那数学哈，也没有那么多的纯计算了。那物理化学更是了，实验探索和情景化题型也变多了。 可预判啊，这次中考，大概率情景题啊，将会成为主流。那没有进行二模考试的城市啊，赶紧把这个试卷拿回去做一做，有需要的哈回复初三二模，把这个试卷全部发给你们。

我们一起看一下沈阳刚考完的二模考试卷，这个题的考试核心呢，也是一线三等角的证明和构造。我们看第一问啊，第一问呢，想让我们证明 b、 c 和 e、 c、 f， 这里我们先通过导角，之后 通过三等角常见的一些导角思维，哎，一个圈加一个叉，加上这个一百二十五减二，一百二十五减二法，同样这个位置也是用一个圈一个叉加一百二十五减二法，这个就是一线三等角常见的一些证明方式啊。然后第二问呢， 它还是利用了一千三角角的证明方式，同时当它为九十度的时候，我们可以借助这个手把手构造去轻易地证出这个 b、 e、 g 等于四十五度。 我们先连接 a、 e， 为什么连接？因为题中给了一个五十度角， a、 d、 c 等于九十后呢， b、 e 还等于 a、 b， a、 d 等于 d、 c。 当然呢，我们能得到两个等效值，是 a、 c、 f 为等效值，同时呢，这个 a、 b、 e 也是等效值，那么两个等值我们一旦呃 是公 a 点啊，连接 e 啊，公 a 点，就能得到一个相似，这里的相似指的就是这个 a、 b、 c 和 a、 e、 f 是 相似的，那么得相似之后呢，这个 a、 e、 f 就是 九十度，同时这个 a、 e、 b 是 四十五度，那么 b、 e、 g 就 等于四十五度，这个就很轻易我们就得到了，所以 b、 g 和 b、 e 啊，就非常轻松的找答案。看下最后一问，最后一问呢，当 a、 b、 c 等于一百二十度时， a、 b 的 延长线和 f、 e 的 延长线交于点， g 连接 c、 g， 让我们求 b、 b、 g、 e 的 度数来分析题。根据上一位，我们连接 a、 e 构造一组手拉手，利用手拉手去倒角，那么这一位我们同样去连接 a、 e 啊，这个 a、 b、 e 呢？它是一组呃，一百二十度等腰， a、 c、 f 同样也是一百二十度等腰，那我们就先得到一组相似，这里的相似指的就是 a、 b、 c 相似于 a、 e、 f， 那 我们把表示的边都标标好，角度呢也都标好。然后呃，我们能得到 a、 e、 f 等于一百二十度， a、 e、 b 等于三十度， 那么这样 b、 e、 g 就是 三十度，同样的 e、 b、 g 呢，是六十度，那么垂直我们就答完了，所以答案就是九十度。然后最后一问，我们来看一下啊，它给了 a、 b 的 八， f、 c、 g 等于一百五十度，求 b、 c 的 长。 由于我们前面一直在证明一个三角角，所以最后一问呢，我们可以把一个三角角给它构造出来，我们也可以延长 c、 e 到点 h， 把 f、 h、 e 呢给它画成一百二十度。这样呢，我就拼成了一线三等角，这个一线三角呢，就是 a、 b、 c 和 c， f、 h 呢，就是全等的啊，全等的。然后我们来分析， 他说题中给的八，让我们求 b、 c 的 长度上一问，我们九十度依然能用，那么叠加了这个一百五十度之后，能得到什么新的东西呢？我们先做好准备工作，由于 f、 c、 g 等于一百五十度， a、 c、 f 等于呃，这个一百二十度，所以新加的内容就是什么呢？就是这个九十就是角， a、 c、 g 等于九十度。好，那我们来倒推，如果它是九十， 我们设这个角为角圈，那么这个角叫 c、 g， a 就是 角叉，由于 b、 g、 e 横为九十度，所以这个角就角圈好，也就意味着 a c g 等于九十。我们能倒推出这个角和这个角都是角圈，那么由于三等角的原因，这两个角是相等的啊，所以我们又能倒推， 倒推出什么？这三个角相等，那么也就意味着我们能倒推出，想证明出这个 b、 c、 f 相似即可，顺着这个线去找相似， 那好，找相似的话，那我们看一下这个，呃，三角形 c、 e、 f 和 f、 c g 中我们能有哪些边？呃，在这里呢， 我们需要先求一下这个 b g 和 e g 的 长度啊。这个我们通过连接 a c， 由于 a b e 呢是一个三一八度的等腰，所以我们能列出式子，我们可以先设 b g 等于 a， 那 么 e g 呢？就是刚好三 a， 然后我们再利用 e g 比上 a g 等于一比高三， 因为这里 a g e 呢，它是一个三十度的直角三角形，然后我们就能轻易的得出这个 e g 呢是等于四倍高三，那么 b g 就 等于四啊，这个比较容易啊，好，然后我们想求 b c， 这里我把 b c 设为二 x 了，方便求值。那么 c g、 c e 的 长度呢？就是八减二 x， 八减二 x， 然后接着往下推 e h 呢就是二 x， 那 么我们能推出这个 e f 呢，就是二倍根号三 x。 好， 那么我们在这组相似里，现在有对应的边是 e f 呢？就是二倍根号三 x。 好， 那么我们在这组相似里，现在有对应的边是 e f 比上 e f， 那么 c e 比上 e f 等于什么呢？它和 c g f 相似，它能推出 c e 比上 e f 就 等于 c g 比上 c f。 我 们知道 c f 是 等于 ac 的， 所以我把 c f 换成 c 后呢，这个 c g 比上 e c， 它俩现在是没有对应边的，我们还需要再再次转化。这里我过 c 点向 a g 做一个垂线交汇点 m， 刚才我们设 b c 为二 x， 那 么 b m 就是 x， c m 呢？就是杠三 x， 然后 c g 比上以 c 接着转化，转化成 cm 比上 am。 这样呢，我们就能得到串联的一个式子，这个 c e 比上 e f 就 等于 cm 比上 am 啊，这个式子里是我能利用上这个边长。最后我们列出比例式，求出 x 值，就是二分之二三三减一。由于我们设的 b c 为二 x， 所以 二 x 呢，就是二三三三减一。

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

鞍山二模物理六七十分数段的同学们，咱们的基础分已经拿的差不多了，中等偏上以及有难度的题目前还是存在短板的， 想要分数再往上冲一冲，有所突破，就一定别再猛刷基础题型了。限阶段核心监控两大板块，一是跨学科综合实践，二是目理模型的建立。这类题型呢，灵活度变也是拉开分叉的关键。 在接下来的学习中，要理清原理，并且能够进行数据处理以及探究思路的分析， 吃透各类物理的经典模型，学会拆解题型受力分析以及运动的逻辑关系，一定要把握好。 做题时呢，要多理解解析思路，归纳同类题型，跳出固定思维，把这两类难点逐一攻克中档题，稳稳拿分，难题抢分，稳冲中考高分段。

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

距离中考呢，还有不到一个月的时间了，时间非常紧迫，那么辽宁沈阳、鞍山本溪等多地的初三按摩卷啊，已经新鲜出炉了。面对海量的试卷，别盲目的刷题，我们要按照学生的层次，针对性的选择，我们才能高效的提分。首先冲刺高分的学生呢，我们一定要抓趋势，破陷阱，练新题，补细节， 我们通过刷题来拓展思维，我们把控命题方向。首先沈阳卷呢，作为省会核心的试卷，命题紧扣中考大方向，我们能帮助学生快速的摸清中考的命题趋势。然后锦州卷呢，适合锻炼学生的审题精度和逻辑 思维辨析能力，避免因为初心而丢分。营口卷呢，能有效的提升学生在真实情境当中运用知识的能力，应对中考灵活考题。 朝阳卷呢，可以查缺补漏，我们把知识体系里的小漏洞逐一堵上。那么中等生呢，我们现在要稳基础，补薄弱、防粗心。这类学生呢，需要在巩固基础的同时，针对性的突破短板。 安神卷呢，能帮助学生稳固基础，熟练的掌握核心题型和答题思路。盘锦卷可用于补充薄弱题型的练习，逐步补齐知识短板。朝阳卷能提醒学生关注答题细节，避免因粗心导致的不必要丢分。那么最后基础薄弱的学生，我们的目标是补漏洞，练计算、攻基础。 这类学生呢，我们需要从底层的知识开始砥砺，逐步建立答题的信心。本期鞍山盘锦卷，我们可以先聚焦课本基础的知识点，再把漏洞主义补上，再强化基础计算的练习，确保简单题不丢分。然后最后我们主攻中档题和基础题型，然后逐步提升解题能力。可以结合盘锦卷啊，适应考试的节奏，培养时间管理和答题策略意识。 不同城市的试卷考察的侧重点是不一样的，盲目刷题效率就比较低下了啊。那么在最后的时间呢，同学们如果有需要的话，可以抓紧去刷。按摩的试卷需要二零二六年辽宁沈阳各市初三按摩试卷电子版的家长们可以直接在评论区啊打上辽宁按摩啊，我会回复您。

鞍山九年二模物理，你家孩子考的咋样？快来听听周老师分析一下整张试卷。首先先说一下整张试卷的难度分布，整体难度中等偏上，梯度清晰，区分度强，还是比较贴合中考选拔定位的。 整张试卷看下来还是基础为王，覆盖全面，不仅立足于了教材的核心知识点，更聚焦了物理观念的考察。 首先先说一下选择天空和作图，整体还是基础题为主，选择题、电学压轴题难度不大，天空题的杆秤问题略有难度。不过很庆幸周老师带着周老师的学员练过。原题数都一样哦。 实验题的水沸腾实验以及透镜相关实验还是比较基础的，没有特别刁钻的题目。 密度计的这一个题，前面几个空其实相对来说还是很好答的。最后两个空略有难度，不过只要理解了密度计的工作原理，耐心计算，朱老师觉得还是能够算出来结果的。 电学的实验题难度不是很大，都是一些常见的问号。最后一个问呢，他涉及到了一个小灯泡的电阻变化的判断以及电流变化的判断。不过朱老师相信，很多孩子在之前的练习过程中应该也是做过 这一类的类型题的，所以难度不是特别大。整张试卷的最后综合应用部分的两个计算题，照比一模计算量稍微大一些，但是整体的难度不是很大，应该是尽量要拿到满分的。 材料。分析题这一次考的题干所谓是相当清晰简洁了，信息也比较明确，考察的是从生活到物理的转化能力。只要 在这个题里注意，电源电压始终相等，基本上所有的问题还是能够解决的。屏幕前的家人们，你们的孩子考的到底怎么样呢？留言给周老师吧！

鞍山九年二模物理五六十分数段的同学注意了，这个分数段不是你笨，核心问题只有一个， 基础不牢，地动山摇。虽然本次考试试卷难题的比例增多了，但是仍然大多数的题还是基础题， 抓住这部分基础题不丢分，也能达到一个比较不错的分数。二模五六十分数段的同学一定有这样的特点，概念模糊、公式既混，审题不仔细，基础分抓不住，难题又啃不动，成绩自然也就上不去。 在接下来的冲刺阶段呢，这部分的同学一定不要再死磕压轴题和难题了，要立刻回归课本，吃透概念、公式定律， 一定要注意搞懂公式的适用条件。另外呢，要做到每天练基础题，加简单的实验题，选择填空实验基础题都是占大头的，保证这部分题不丢分，那么也是能拿到一个比较不错的分数。 另外呢，就是要及时整理错题本，将错题反复的练，避免重复出错。其实五六十分数段提分是最容易的，只要把基础练扎实，中档题稳拿分，中考物理还是能考出历史新高的。

大家好，那今天看一下二六年的东城高三二模的椭圆压轴题目啊。呃，那么第一问要求椭圆的方程的条件是右焦点和椭圆上的一个点， 那么正常情况下，我们可以看一下这个点和两个焦点的距离之和，它应该等于二 a， 但这个负一减根号三的平方它也不是很好算 啊。那可以把这个 a 方把它换成 b 方加三，然后解一下一个二元方程，把 b 方求出来，最后解出来的应该是 b 等于一等于二。这个椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方除以一等于一，那么过程我们就不写了。 第二个，我们看一下这个图片，边看图一边读这个 t， 这个点 a a 逗零的话，应该跟上面这个 a 是 一样的，也就是这个 a 是 二逗零，这个 t 的 就是我们这个实际上的一个字母 t 不 等于正负一， 这直线 x 等于 a， 就是 x 等于二，分别与 y 等于一和 y 等于负一交于 m 和 n， 那么 m 这个点呢？就是呃，二逗一，然后 n 这个点的话呢，就是二负一，然后直线 m， t 和下面这个 y 等于负一交于点 p， 然后 n， t 和 y 等于一交于点 q， 这个 a 和 t 它和果园交在另外一个点 r， 然后证明这个 p q， r 三点共线。那么整道题目思路还是比较容易想到的，就是把 p q， r 都用 t 来表示出来，再证明一下。呃， p r 和 p q 的 斜率相同，或者是 q r 和 p q 啊，这三个点选出两个求斜率，然后证明它的斜率相同。那么整道题最大的特点就是计算量比较大，计算的长度比较长，中间比较容易出错， 我们首先可以先把 m 和 t 先连立，然后得到 mt 的 方程，然后再把 y 等于负一带去求一下 p 点的坐标。 那我们用同样的办法把 p 和 q 的 坐标都求一下，用 m 和 t 两个点的坐标求出 m t 的 解析式啊，然后把 y 等于负一带进去之后求出 p 点的横坐标，是 t 减一分之二， t 加二，然后 q 的 话呢，应该是 t 加一分之二， t 减二比较对称， 然后这个 p 和 q 的 坐标我们就都能够求出来。那我们现在还差一个点的坐标，就是 r 点的坐标，那么 r 点坐标是应该是直线 a t 和椭圆的交点， 那么因为 a 点的坐标是固定的，所以我们正常情况下，如果设一个直线的方程的话，我们只能求出 x c 加 x r 和 x c 乘以 x r。 但这道题呢，我们是可以直接求出 x r 的， 那么把 x r 带到 a t 的 这个式子里面，我们可以求出 r 点的坐标来，我们接着补一下 r 点的坐标的过程啊。 那我们现在把这个 p 和 q 求完之后，再用 a 和 t 得到一个 a t 的 一个解析式， 呃，然后应该是负的二分之一 t， x 加上 t， 然后把它带入这个椭圆方程里面，然后会得到一个 t 方加一倍的 x 方减四， t 方加上四， t 方减四等于零。 然后这个方程我们不用真的去解，也不用去算它的根的判别式，因为我们已经确定它有一个根肯定是二的，所以它肯定是可以进行一次分解的，然后一定也会有两个根，然后他这 求完之后应该是，呃，如果因式分解的应该是 x 减二，呃，乘以的是梯方加一的，乘以 x， 再减去一个二倍的梯方减二，就能求出这个二点的横坐标是梯方加一分之二梯方二，梯方减二，这个地方是这样子的， 就是二乘以二 t 方减二，应该是等于四 t 方减四啊。然后把这个 r 点的横坐标求出来之后，再带入到这个 a t 这个直线里面，然后就可以求出 r 点的纵坐标是 t 方加一分之二 t， 那 么 p q r 三个点的坐标就都求出来了。 那么接着我们就需要算一下这个 p q 它的斜率或者 q r 的 斜率。可以看到 p r 和 q r 它的格式应该是非常像的，算 呃算起来的话应该差不太多，但是 p q 的 话应该会好算一点。可以先算一下 p q 的 解析式，然后再看一下和 p r 的 呃算出来的解析式是不是，呃斜率是不是是一样的。 理论上的话呢， p q， p r 和 q r 三个两个点连立算出来斜率应该都是相同的。那接着我们去算一下 p q 还有 p r 的 斜率啊。 那么求出这个 p q r 之后，我们可以先算一下 p q 的 斜率啊，算完之后会发现，嗯，它减完之后是四 t 分 之一减 t 方， 然后 p r 的 斜率的话呢，就整道题计算量最大的一个部分，嗯，然后算完之后可以发现，它其实也是四 t 分 之一减 t 方啊，然后呃，因为两个都是四 t 分 之一减 t 方，可以发现，当 t 要是在一和负一之间，然后 呃，如果 t 等于零的时候，我们可以去算一下 p q r 它三个点的坐标，然后就会发现它都在 x 等于负二上面，然后，呃，那么最后 p、 q、 r 这三个点就始终是共线的。