石家庄一模数学24题评分标准

石家庄试一模的数学卷呢，也考完了，又是备受打击的一次考试，这次难度真的是挺大，选填压轴以及大题的最后两个，没有一个是软柿子。虽然按照往年的经验呢，试一模就是比中考要难一些，但这套卷恐怕整体分数会偏低， 分数上一百零五的就属于基本功比较扎实的同学了，一百一以上的估计凤毛麟角。难点呢主要在于三部分，一是计算量大，二是三题呢，是最为明显的。 这个题的思路其实很简单，但是从第二问开始，计算量呢，就变得非常的大，展开以后像素很多，非常考验学生的计算功底，还有考场上的心态。那还有可能在这个题上花费的时间太多呀，导致最后一题都没有时间思考。 二呢，是几何题的问法新颖，不好突破，像十一题，十六题、二十四题都是这个卷子上几何问题。这个题呢，足足有五小问，看着呢就有非常强的压迫感。 最后两问呢，确实也不好入手，但好在第三问呢，提示了一下虎 a、 d 的 圆心，如果能把握住圆心的条件会好做一些，但估计到这呢，很多人已经不剩多长时间了。所以这套卷得分率最低的一定是在几何的问题上。 三呢，是审题十八题的三进制问题，能不能读懂题目的意思。二十一题的最后一问，问的是高度而非体积，都是在考场上非常容易忽略的细节。所以这套卷呢，既考察学生们的思维，又考察做题的细节，难度一下就上来了，这就是非常残酷的数学考试。 那试一模结束后，短暂的五十多天的时间又应该如何备考呢？对于所有同学来说，我觉得必须要做的一件事情，那就是限时刷题。 现实训练的过程中，不断去挑战自己的最高分，在有限的时间内强化自己的读题和计算能力，以及高压下压轴题的思维能力。离开了时间的限制，一切都是空谈。每每做完一套卷，都要在针对卷上的错题和新颖的题目进行针对性的复习和改错。 中考前每弄懂一次错题就是一次进步。我知道现在呢，有的家长和同学比较焦虑，成绩，感觉跌宕起伏，压轴题思路不顺，但这就是初三，是对能力和心态的双重考验，心态不崩，持之以恒。 学习没有捷径，把正确的事情重复做，那就是最有效、最直接的方法。

咱们接着来讲解石家庄一模的数学二十三题和二十四题。首先二十三题一起来读一下题，如图十三点， a， b 在 直线 l， y 等于三分之一， x 上， o a 等于 o b， 那 么我们能看到的就是 o a 等于 o b 这两段。那么 a 和 b 之间的关系其实我们是可以拿出来的，就是他们的横纵坐标， b 的 横纵坐标是 a 的 二倍。 呃，抛物线 l， y 等于负 x 方加 b， x 加 c， 经过点 a， b 顶点为 m， 若点 a 横坐标为三，那么我们可以利用点 a 的 横坐标来代入到直线 l 中去， 所以说我们可以直接写出 a 的 横坐标三纵坐标就是一，而 b 的 横坐标呢？二倍嘛，对吧？ o a 等于 ab， 所以 说 b 的 横坐标是六二。 第一问啊，第一问就直接写出来了啊。第二个，第一问的第二个，求 l 的 函数表达式以及点 m 的 坐标这个地方啊，呃，我们可以直接就把 ab 两个点带入到 啊抛物线解析中去就可以了。 y 等于负 x 方加 b， x 加 c， 这个带进去就可以了。然后点 m 是 什么？点 m 是 顶点，那么我们当能写出 l 的 表达式之后，我们可以利用顶点的横坐标啊， m 是 负二， a 分 之 b， 逗号四， a 分 之四 a， c 减 b 方啊，我们可以把这个数值带进去就能得到 m 的 坐标来了。所以说第一问啊，其实还是考了一个二次函数的基础概念。 那么接着来看第二题啊。第二问，设点 a 的 横横坐标为 t， 那 么刚刚第一问是三，这一回不知道了，然后他想要求我用含 t 的 代数式表示 b 和 c 啊，让我们用含 t 的 代数表示 b 和 c， 那 么我们这个地方先去写下，此时此刻 a 是 t， 三分之 t， b 是 二 t 和三分之二 t， 这个没有问题啊， 并求当 t 为和值时，点 m 到 x 轴和 y 轴的距离相等。这个地方可能有的同学不太理解这个问题到底是怎么问的，但实际上你可以理解为 现在点 m 到 y 轴和 x 轴的距离相等，也就是说，我们翻译一下，此时此刻 m 的 横纵坐标是相等的 啊，求 t 等于多少，求此时此刻的 t 等于多少。那么实际上 m 我 们可以参考刚刚的这个式子啊，负二 a 分 之 b， 逗号四 a 分 之四 a， c 减 b 方。等一会，当我们 表示完 b 和 c 之后，直接带入到这个顶点的表达式中去，然后让这两个 x y 相等就可以了啊，就可以了，那么我们可以来呃，一起来做一下吧。那么第一个式子 把 a 点带进去啊， a 点带进去，也就是啊，负三 t 等于负梯方，加 b， t 加 c。 然后第二个式子是 三分之二 t 等于负四 t 方，加二 b， t 加 c， 那 么这两个式子分别是带入 a 和带入 b， 把这个抛物线 l 啊，把抛物线 l 带进去得到的这两个式子，然后连立之后呢？呃，去解消一个，首先能消出 c 来，然后 b 等于什么来吧，对吧？两式相减，解出 b 等于多少？我们算一下，嗯， 三分之一加三 t 的 b， ok， 那 b 等于三分之一加三 t， 呃， c 呢？等于，嗯，负二 t 方，那么我们就求出 b 和 c 来了。那么第一问的这一段我们就解决完了啊，实际上到目前为止还没有任何的呃技巧性，包括到 m 的 m 这个地方， m 到 x 轴， y 轴距离相等。那我们只需要把这个呃 l 的 解析式写出来 啊， l 的 解析式写出来 l 现在我们可以写成 y 等于负 x 方，呃，加三分之一加三 t， 括号 x 减二 t 方，那么此时此刻， a 是 负一， b 是 三分之一加三 t， c 是 负二 t 方，然后把这三样东西带入到 m 点中去，然后让 负二 a 分 之 b 等于四 a 分 之四 a， c 减 b 方就可以了啊。 那么第二问的第一个也就解答完了。那么再看一下第二问的第二个，其实这个地方才是呃所谓的压轴吧，才是所谓的压轴。那么对于这道题而言呢？嗯，分值很低。 最后这一问，可能只有一分啊，只有一分，但是呃，他的整体的计算量，他的难度是所有的题里面啊，所有的这个这些一系列的题里面是最高的。那我们一起来看一下。呃，解法不为一啊，这是我说一说我的想法， 咱们来读一下题啊。将 l 向左平移后，得到抛物线，记作 l 撇，那么其实我大致画一下，我们大致可以得到一个这样的图形， 这样的图形，然后若 l 撇恰好也经过点 a， 咱们画出来了啊，直接写出 l 撇与 l 的 另一个 焦点，我用蓝色的地方做一下标记，他让我直接写出这个焦点的坐标来啊。 嗯，首先呢，嗯，我不喜欢平移啊。首先我要说明一下，我不喜欢平移，有咱们有同学可以去移动啊，抛线 啊，抛物线， l 来向左平移，抛物线来求。那么我的做法呢？大家看一下我的做法，同学们，我的做法是这样做的，我发现 a 点 可以作为一个对称，因为抛物线是有对称性的，那既然你说 l 撇恰好经过点 a， 然后让我写出另一个焦点坐标，那么对称以下的话，那这个点是不是应该能对称回 圆抛物线 l 呢？那么圆抛物线 l 的 这个焦点，我可以利用 依次函数来解决这个问题啊，然后这个两个点，这个，呃，我们说这个 l 撇的 a 点跟 b 点吧， a 点跟 b 点的相同点是他们的纵坐标是相同的，因为他们关于同一条直线对称啊，那么他们的横坐标呢？呃，其实就是我能求出 b 点坐标来，然后把它 到 a 点的横坐标的距离求出来之后，再减一份，我就能得到 a 了，这是我的做法。那么首先啊，我要怎么做呢？ 我得先把这个式子写出来啊，这个 l 第一个啊， y 等于负 x 方，加三分之一加三 t， 括号 x 减二 t 方，这个是我们的原式啊，我们的原式，我们的 a 点坐标呢？ 看一下我们的 a 点坐标，现在第二问的第一个就都没有用了啊，没有用了。呃， a 点坐标是 t， 逗号三分之 t， 那么我现在第一件事就是要去做这个 l 撇，也就是呃，直线 l， 关于 a 这条 a 点所在直线的对称直线，那么这条直线 l 撇的特点是什么呢？呃，关于 跟 y 平行的直线对称的话，那么它们的 k 值是正负的关系啊，到负为相反数的关系，那么我们这地方就是负三分之一 x， 然后呢，这个地方是加 b 了，射 啊， l 撇是 y 等于负三 v s 加 b， 那 么代入 a 点，我们可以得到这个 b 啊。代入 a 点，我们可以得到这个 b 啊。代入 a， 代入 a t 三分之 t， 我 们可以得到。呃， b 等于三分之二 t， 所以 说 l 撇等于 y， l 撇是 y 等于负三分之一 x 加三分之二 t， 得到了这么一个东西。这是啊，我们的直线，因为抛物线平移，我不喜欢移，那么我们就先拿直线和我们刚刚求出的大 l 连立 啊， y 等于负 x 方，加三分之一加三 t， 括号 x 减二 t 方，这两个式的连立可以求出这个 b 点。 不求了啊，我求出一定能求出来 b 点，因为它们俩相交嘛，对吧，一个是 a， 一个是 b， 我 求出这个 b 点之后呢， b 点距离 b 点的横坐标跟 a 点的横坐标之差，再用 a 去减那个数值就是我们的啊，真啊，就是这个 a 点啊，这个 a 点的蓝色 a 点的 横坐标，而纵坐标呢，刚刚通过 b 点已经能求出来了，那么这个地方我就能写出来了 啊。那么对于这道题而言呢，我觉得还是挺有想法的，对于进行对于平移这件事情，呃，我的认知是，我不喜欢平移，但是呢，我可以利用一些有关平移的信息进行处理， 比如说，既然平行啊，向左平移，这个地方呢，是 y 轴啊， y 轴上是数值是不变的，那么我们不妨想着对称我，我画出关于 a 点 对称的这样的关系，我通过改变 l 来找 b， 然后对称到 a 那 去啊，你也可以呃，向左平移啊，向左平移可能会 b 和 c 的 数值会有所变化，那么呃，也是一样可以求出来的。 接下来我们啊，再来看一下二十四题。二十四题啊，依然是一道几何方面的压轴题，一起来读一下吧。如图四杠一，半圆由 o， 直径为 ab 等于十二， ab 等于十二呢，半径就是六。这个地方我们习惯性的给他做一下啊。 半径等于六， c 是 直径 ab 上一点点， d 在 半圆 o 上且角 b、 c、 d 等于阿尔法，阿尔法小于九十度，零到九十，这是阿尔法。 然后操作将半圆沿 o 先不读了啊，我大概能看出来，这个图十四杠二给了我一些信息，就是他把 c 跟 d 调换了位置，把这个半圆相当于是拧了一下啊，相当于是拧了一下，那 然后让我又做了吗？又做过地点做 a、 c 的 平行线，哦，是这条线 l， a、 c 的 平行线 l 啊，是这个线交弧 a、 d 于 p 啊，告诉我们了，发现请直接写出阿尔法与 a、 c、 d 的 关系，它俩互补 哎，因为 a、 c、 d， 你 从这个图能看出来吧，对不对？阿尔法跟 a、 c、 d 是 互补的关系，从图十四杠一就直接能写出来啊。 第二个啊，如图十四杠三，弱点 d 在 圆心 o 的 左侧， d、 o 等于二，这个地方等于二，那么 a、 c 就 等于四，为什么？因为他俩加起来是半径啊。 当 l 垂直于 b、 d 时，求阿尔法的值和求 c、 d 的 长度，求阿尔法的值，这个地方，呃，就其实等于四十五度，很容易能看出来，因为 a、 c、 d 角跟 b、 d、 c 角是互补的，然后 c、 d、 p 和 b 啊，和 a、 c、 d 也是互补的，所以说，呃，这个地点的这个位置的这两个角是相等的，然后又垂直，所以说它俩都是四十五度了啊，这是二法的值。 然后求 c、 d 的 长度，如果我们知道了这个地方是四十五度，那么延长 a c 交 b d 于啊， e 点啊 e 点， 那我其实这个 c d e 就是 一个等腰直角三角形，然后我可以连接 o c， 我 假设 c e 是 x， 我 可不可以利用垂楞定里的那个思想去解出这个 x 呀？因为 o c 是 已知的， o d 等于二，那么我假设 c e 等于 x 的 话，我是不是可以解出这个 x？ 能解出这个 x， 这个 c、 d 也就能求了，因为它等于个二 x 嘛。 接着来看下面的，如图十四杠四，若点 d 在 圆心 o 的 左侧，且 d o 等于二。还是这样的啊，还是这样 a c 等于四啊啊！连接 pc， 当 l 垂直于 pc 的 时候， 然后请在这个基础上用尺规作图，做出弧 a、 d 所在圆的圆心弧 a、 d 是， 是哪个圆？是不还是这个半圆啊？ 呃，所以说，那这个 o 点是不是依然还应该是那个弧的 理论上的元心呢？那我只需要沿着 a、 c 把这个 o 补出来就可以了吧？那它俩相距多少？我只需要做什么？使规作图？第一个延长 a c 啊，第一个也第一步，延长 a、 c， 把这个 a、 c 画个条直线出来，然后用圆规截取 d o 长度是两厘米，二二二，长度是二，然后我的 尺啊，圆规圆规的针角在 c， 然后在这做一个两个单位长度，在这里做一个两个单位长度。此时此刻，这个点就是那个 o 撇点啊，也就是我们这个题是什么圆形 g 啊？圆形 g 保留作图痕迹，保留完了，延长 a c， 然后截 d o， 用圆规去截 d o 那 个长度去啊，然后求线段 d c 的 长度。 很显然，这个线段 dc 并不在我们的日常范围之内，因为它既不是半径，也不是某一条弦，所以说我们在这里能做的事情 就是利用这个直角三角形 r t 三角形 p c d 在 这个三角形里面用勾股定律来求， 因为我很容易能发现 pc 是 什么， pc 是 这两个的，这两条 ac 跟 pd 的 之间的距离吧，是吧？然后我还能发现，如果把这个 g 点 做 pd 的 垂线，那么这叫什么？ p d 是 什么？ p d 是 弦吧，对吧？ p d 是 弦。而过这一点做 p d 的 垂线，我们可以利用垂径定理去得到 p c 的 长度以及 p d 的 长度。所以说 c d 的 长度可以在直角三角形里面利用勾股定律啊，我再重复一遍， piece 啊，我画一下图啊，这个 这个点 g 是 圆心，然后我过 g 做 p d 的 垂线啊，垂 a b c d h 吧，那 h g 等于 p c， 那 h g 的 长度可以利用垂径定律来求， 对吧啊？ p g 是 半径，然后 c g 是 什么？ c g 其实就是 d o 就是 个二，所以说这个 p d， 哎呦，其实 p d 我 可以直接求出来， p d 就 等于四， 就等于四，然后利用纯静定力求出 h g 来，然后勾股定律去求 c d 的 长度。 也已知了啊，再看一下拓展第五个，如图十四杠五，若地点在圆 o 的 右侧当弧 a d。 我 觉得二十三和二十四这两道题的难度其实比较大的啊，因为 他的题型还算是比较创新的，没有利用一些很传统的知识，他在呃题本身并不难，但是需要你在考场中去做一些 非理性的思考吧。啊，就需要你有一些创造性的思维啊。 当弧 a d 所在的圆与 b o 相切于点 d 时，弧 b c 长为 pi 啊，弧 b c 长为 pi。 那 这个地方我们是不是应该先看一眼整个半圆 长度是多少呢？长度是直径十二啊，全圆的周长是十二派，那么半半圆就是六派的六派，他占一派一百八十度的六分之一，所以说 bc 这个弧 连接 oc 啊， bc 这个弧实际上是对应的圆形角是三十度啊。 ok， 然后让我们求 cd 的 长度， 那给你这样的一个数据，他直接让你写出 cd 的 长度，你应该去怎么猜啊？这地方其实他图已经给你画的很明显了，就是 o d 跟 cd 是 相等的 啊，我们可以利用这个三十度能秒出这个长度啊， 因为 o c 等于半径是六，然后 这个角是三十度，半个就是三三，这是根号三，所以 cd 也是二倍，根号三。

四月二十九号，也就是今天石家庄刚刚考完的试一模数学卷，那么这套卷对于中等学生来说比较友好，因为大量的中等题难度都不大，但是对于学霸来说，这套卷想要取高分非常难。 崔老师今天在完成这套卷子以后啊，有一个很有意思的感受，我感觉出卷人给我们所有的考生开了一个不小的玩笑。这套卷的倒数第二道题，也就是二十三题，他的计算量非常大， 但是反而二十四题比较简单，如果从难度排布来说，二十三题反而应该放在最后位置，所以这套卷比较考验孩子们在考场上的考试策略。 当我们看到二十三题这种又复杂又怪异的题之后，你的第一反应啊，就应该是打不动赶紧跑，赶紧去做二十四题， 千万不要因为二十三题影响了心态，导致二十四题没有时间做。接下来我把这套卷有意思有难度的题目进行主题拆解，听完之后你就知道二十六年中考应该是怎样的一个趋势了。首先第十一题，这道题考察的是四边形综合的题目， 那从这道题里面我们可以看到他掺杂了非常非常多的知识点，首先他有七年级三角形的倒角，其次他有八年级的全等，再其次他有八年级的特殊三角形，也就是等腰三角形的三线合一， 最后他还有九年级的引元。第十二题考察了反比例函数，但这道题啊，他也结合了平面几何的一线三等角的边长分析，所以这道题我们会发现他是几何和代数综合起来的一个非常经典的题目， 计算量也不小，在考场上，如果心理素质不强的孩子，可能会没有信心往下做。第十六题，考察了一个多边形内三角形面积的最大。 这道题乍一看啊，可能是多边形的问题，但其实他考察的是二次函数综合。如果我们把三角形的底和高都能用同一个字母来表示，列出二次函数，那么这道题啊，难度就不大了。 这道题与往年中考压轴里面的多边形相比啊，它的难度其实没有那么大。十七到二十二这些解答题啊，都比较中规中矩， 也没有坑，也不新，如果能做好的话，是孩子上一百分的关键。接下来我来说这套卷子最坑的一道题，也就是二十三题， 他考察的是二次函数。最开始的时候，第一问非常简单，但是啊，孩子们算到第二问的时候，就会开始怀疑人生，为什么呢？当我们把点带入到这个抛物线里面之后，我们会发现那个 b 和 c 的 值非常的难看，肯定很多同学在考场上会反复验算，然后第二问的圈一， 这一问计算量非常的大，很多同学也没有做好心理准备啊。在第二问的圈一这么靠前的位置，就要用含餐的东西去求解那么多的代数式。 然后最后一问还要考察函数的平移，在平移的基础上，要含参去表示二次函数，他的计算复杂程度已经超过了很多人的想象，如果纯纯的从难度上来说，他堪比高二的圆锥曲线综合问题。 最后我们来说二十四题，其实一看到这道题，哎，是一个圆的折叠，哎，我想到了六七年前我们河北中考的一个风向啊，就是爱考这种圆的折叠问题， 但是呢，跟原来考察的方向还不一样。这道题啊，他特别的巧妙，也很新颖。这里面并没有考察经典的几何模型，而考察的是孩子们对于复杂图形的几何分析。 整套卷子分析完以后，我们可以聊一聊这套卷子和最近各地考察的一模卷对于二六年河北中考数学的指引。 首先，中档题的难度啊再降低，要让那些基础扎实，计算细心的孩子呀，能够上一百分。其次，压轴题的难度啊，要走高，要考出区分度，要让那些优秀的高中能够选拔出来自己想要的孩子。 所以，像二次函数这种初中跟高中衔接的知识，要持续增加难度。从计算量和出题角度，对于学霸同学来说，提出更高的要求。几何题的考察要破套路， 不能出现这个孩子学过就会，那个孩子没学过就不会，把大家放在统一的起跑线上去考察孩子的数学分析能力。难题压轴不用处，曲老师带你有思路！

千呼万唤始出来，石家庄的一模他终于来了！在一定意义上来说呢，石家庄的模拟考试是最能够代表我们中考命题趋势的。就我个人而言呢，这道二十四题的几何压轴题， 他的题目设置也是非常棒的，既有前问后问的联动，又考察了我们图形变化的空间想象力，和我们去年中考的那道几何钻石的那道题有意趣，同工之妙。那么好，下面我们就来详细的解析一下这道题。半圆 o 直径 a、 b 等于十二， a o 十六 o b 十六。先标上 c 是 直径 ab 上一点点搭在半圆 o 上，且角 b、 c 搭等于阿尔法，这个角是阿尔法，那么阿尔法呢，是一个锐角。第一步，将半圆 o 沿线段 cd 裁切后，得到图形 a、 c、 d 和图形 b、 c、 d 两部分， 然后保持图形啊不动，将图形 a、 c、 d 翻转，再与 b、 c、 d 拼接，然后就形成了这么一个样子，或搭点做 a、 c 的 平行线交弧， a、 c、 d 与 p 点操作说了很多啊，那么下边我们来看一看他问的到底是什么。 首先直接写出 alpha 与角 a、 c 搭的这么一个关系，在这呢，同学们要注意啊，这个 c 点和搭点，我们来整体看一下这些图，刚开始 c 点是在这个直径上边，然后搭点是在圆弧，在它翻折之后呢，第二个图给我们加上了括号，那么后边的图，然后 c 点都跑到上面去了， 所以呢，为了避免干扰，我们就把 c 点就看成是上面的点就可以了。那么也就是说求的是这个角和这个角的关系，这两个角呢，实际上在裁切之前就是这个角和这个角，那么所以直接就是啊邻补角，所以呢，就是阿尔法加上角 a c 搭等于一百八十度。好，结束。 第二问，若点八在圆心 o 的 左侧，八 o 等于二，当 l 垂直于 b 搭时，求阿尔法的值。首先我们延长 a c 交搭 b 于 e 点，那么因为呢 l 是 平行于 a c 的， 并且呢 l 是 垂直于 b 搭的，所以这个角也是九十度。 那么我们继续来看这个图。在上一问里边，我们求出来了阿尔法加上这个 a c 搭是邻补角，所以这个角搭 c e 就 等于阿尔法。 好，刚刚我们求出来了啊， a e 是 垂直于搭 b 的， 这两个角相等，所以它就是等边直角三角形，所以呢，阿尔法就是四十五度。 下面呢就是求 c 搭的长，做到这呢，已经就脱离了送分题的范畴，需要我们有一定的思考。那我们来看 c 搭，在这个等腰直角三角形 c 搭 e 中，是不是我们只要求出来 c e 或者是搭 e 这一条边，我们就可以求出 c 搭的长了， 那么好求三角形的边长。在我们的初衷阶段，大部分时间我们一定要想到勾股定里，那么想到了勾股定里，就一定要构注直角三角形， 这里有一个直角了，那么所以我们就连接 c 点和圆心 o 连接 co， 那 么此时我们就可以研究这个直角三角形 c o e 里边三条边的关系。 很显然已知条件啊，半径 co 等于六，刚刚我们。然后呢，八 o 是 等于二的，同时 c e 是 等于八 e 的， 我们要求 c e 或者搭 e 的 长度，那么不妨就设它为 x， 如果它是 x 的 话，那么 o e 就 等于搭 e 减去搭 o， 也就是 x 减二，那么到了这勾股定律的关系就出来了， c o 方等于 c， e 方加上 o， e 方 六的平方等于 x 方，加上 x 减二的一个平方解出来， x 等于正负，根号十七加上 e， 因为 x 是 大于零的，所以舍弃它的负根， 所以呢， x 就 等于根号十七加一 x， 也就是 c e 的 长度。那么我们要求的是 c 搭在等腰直角三角形中，斜边的长度等于根号二倍的直角边，所以 c 搭就等于根号二， x 就 等于根号三十四，加上根号二。 坐到这，老师再提醒一句，在考场上相信自己，无论你做出来的答案多么离谱啊，这个数感觉多么不可思议，那么只要你验算正确，它就是正确的。好，那么我们继续来看下一问，下一问呢，就开始有了一定的难度，而且它的关联性非常的强。第三问和第四问关联性非常的强，如果你没有用合适的方式做出来第三问，那么第四问你将会做的非常困难。 当点答在圆心 o 的 左侧，且答 o 继续是等于二啊。连接 pc， 连接 pc， 当 l 垂直于 pc 时，这里是九十度。 在这个图的基础上，用尺规做出啊弧 a 八所在圆的圆心。一般来说，尺规做图的题老师是不愿意讲的，呃，因为他都非常的基础，只要你记住了这图怎么做，那么就一点难度也没有。这道题老师要着重的讲一下，为什么咱们乍一看啊， a 八 p 是 圆上的三点，那么求这个圆的圆心，三点求圆心 实际上是非常简单的三点求圆心，实际上就是我们的套路啊，连接两个弧，分别做他们的中垂线的焦点就是圆心，如果你按照这个方式做，那么后边的第四问，嗯， 你将会面临非常大的困难，这也是这道题的一个巧思之处，我们来一起思考一下啊。被切下来的圆的这一部分， a c 搭和原来的这个八 c b， 这两个图形我们可以是看成两个在不同位置的全等圆的一部分，既然说到了全等，那么它们的位置关系都应该是全等的。 好，我们翻回头来看原来的这个圆啊，这个时候我们可以看成是两个圆重合在一起， a c 明显是直径上的一部分，所以呢，延长 a c 一定是过圆心的，所以当这个圆变换了位置之后，你延长 a c， 那 么它一定也是要过圆心的， 所以我们就可以延长 a c， 然后呢，交啊，交大 b 于随便的一个点，我们可以说是一个一点， 再以 a 为圆心与半径 o， b 为半径，然后在这个 a e 这条线段上画一个弧，这个焦点 b 此时就是圆心。好，做到这这一问就结束，那么下边我们再来看下一问，我们把图放大来看一下啊，此时我们所知道的已知条件有什么？ 首先只有一个啊哒 o 等于二，半径是六，我们再来思考一下，看看有没有什么隐藏条件。来思考一下， c g 的 长度是半径 ga 减去 a c 的 长度，对吧？在这个图里边能够看得出来，那么翻回头来看原来的图，这个哒 o 这一段是不是也是半径减去 a c 的 长度， 那么所以 c j 就 等于搭， o 就 等于二。好，此时我们找到了一个隐含的一个条件，再来看题，求线段搭 c 的 长，求线段的长一定是在直角三角形中利用勾股定力来计算， 那么明显啊， c 搭就是在这个直角三角形 p c 搭中，我们发现除了 c 搭之外的两条线段， p c 和 p 搭我们都不知道是多少，但是呢，我们知道 p 搭是这个圆上边的一条弦好，看到弦就想到垂径，定里就过圆心做弦的垂线 过这一点做 g h 垂直， p 搭于 h 点。像这种看到弦啊，要求弦的长度，一定就要想到垂镜定力，想到做垂线，这个一定要形成我们的肌肉记忆，这个一定要形成我们的肌肉记忆。辅助线不是凭空出现的，它是通过条件推着你往前让你自己画出来的， 不管你知不知道这个题下一步怎么解，先把必要的辅助线画出来好了。我们看这个图，做了 g h 垂直于 p 搭之后，这里有一个垂直，这里有一个垂直，这里还有一个平行。所以很容易的，我们就可以知道 p c g h 是 矩形好， p c g h 是 矩形， c g 是 等于二了，那么所以呢， p h 等于二， p 搭是弦，根据垂径定律，那么所以呢， p 搭呢，就等于四好，此时我们是不是在这个三角形里边我们找到了一个条件，下边呢，我们再来找另外一条边 p c 的 长度， 我们已知了 p h 的 长度，这里是直角，要求 pc 的 长度，那么还是想到了在直角三角形中利用勾股定律求解，所以直接就连接 ch。 再强调一遍啊，辅助线不是凭空出现的啊，不要问老师，你为什么这么画辅助线，是因为条件逼着你这么画的！ 连接 ch， c h， c h 的 长度我们不知道，但是呢，我们知道 pc g h 是 矩形，所以 c h 的 长度就等于 p g 的 长度， 而 p g 的 长度 p 是 圆上一点， g 是 圆心，所以 p g 的 长度就是 r 就是 六。好了，条件已经摆在这，我们就可以来求 p c 的 长度了。根据勾股定律， p c 的 平方等于 h， c 的 平方减去 p h 的 平方，那么就等于六的平方减去二的平方就等于三十二，那么所以呢， p c 就 等于 四倍根号二， p c 的 长度有了， p 搭的长度有了，哎，在直角三角形 p c 搭中，所以呢， c 搭的平方就等于 p c 的 平方加上 p 搭的平方就等于三十二，加上十六就等于四十八，那么 c 搭就等于四倍根号三。解题完毕， 解完之后，老师再强调一遍，不要问辅助线为什么这么画啊，是题目中的条件推着你这么画的。所以呢，老师在这也跟大家多说一句啊，你现在面临中考，你需要记得不是什么大招，不是什么模型，而是啊，看到了一些的条件，立马要想到的。下一步，我们要把题目分解成我们数学学习中最基础的知识点，以及他最基础的逻辑， 当你把这些最基础的逻辑掌握清楚之后，我们就可以如刨钉解牛一般，把这道题顺畅的解出来。好，那么下边我们再来看最后一问，若点答在圆心 o 的 右侧，当弧 a 答所在的圆与 b o 相切于八点时，弧 bc 的 长为派，直接写出线段八 c 的 长，还是放大来看一下吧， 看看题目中给了我们什么条件，是怎么推着我们去画辅助线的。当弧 a 搭所在的圆与 b o 相切于搭点时，看到相切一定要想到圆心连接点，那么好，我们就找到这个弧 a 搭所在圆的圆心 b， 然后连接 g 搭，所以这个角一定是直角。 这条辅助线画出来了，然后弧 bc 的 长为派。弧 bc 是 在原来的圆心 o 和 c 点第二条辅助线画出来了， 我们再来看弧长， bc 为 pi， 那 么弧长怎么计算？弧长就是弧 bc 比上 c 周长就等于圆心角 c o b 比上三百六十度。弧 bc 是 pi， 然后它的周长 pi d d 是 十二十二 pi， 所以呢，我们就可以解出来 角 c o b 是 三十度。在这呢，我们也设它为阿尔法啊，方便我们在图中进行标注，这个角 c o b 是 阿尔法， 此时呢，还需要我们翻回头来看一下，原来没有切之前的图，那么我们的这个 alpha 角在原图中就相当于这个角， 那么翻折后的这一点，我们就假设它在这个位置啊，就相当于是这个角，这一点呢，也就是原来的 o 点。那么这两个图形同样是对着 c 搭这条线段的，这两个三角形一定是全等的。大家来理解一下图形的一个翻转， 因为三角形 g c 搭是三角形 o 搭 c 翻转而来的，那么所以它们两个一定是全等的， 所以角 d g c 一定就等于角 c o 搭 d g c， 所以 这个角也是二等，这两个角相等啊，根据这个八字模型对顶点相等，所以这里也是九十度，所以呢，这个对顶点分别都是六十度。好了，通过这两个三角形啊，它是全等的， 老师在这就不正了，那么如果他是全等的，这里我们设一个点 e 啊，那么所以呢， ec 就 等于 e 哒， ec 等于 e 哒，那么这两个角就是相等的， 也就是角 ec 哒等于角 e 哒， c， 同时呢，六十度是他们两个的外角，所以他俩都等于三十度。三十度也就是我们的阿尔法角，所以他是阿尔法啊，他也是阿尔法。好，有了这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，那么我们就可以得出 o 哒等于哒 c， 那么因为 l 平行于 a， c 角 a c o 这个角是直角，那么所以这个角角 a e， c 也是直角。好，有了直角，有了三十度，那么在在直角三角形， c 搭 e， 中角搭 c， e 等于三十度。 根据等腰三角形中三线合一，搭 e 是 高，同时呢，搭 e 也是中线，那么 c， e 就 等于 o， e 就 等于二分之一， c o 就 等于 三。好了，直角三角形中一个角是三十度啊，长的这个直角边是三，那么很容易就可以求出来， c 大 等于二倍，根号三。做到这解题完毕，同学们，在考场中你做出来了吗？没有做过这道题，或者是没有做出来的同学，经过老师的讲解，你听懂了吗？

石家庄市的初三一模还是很有参考价值的，一起来看一下。第一题，考的是代数式的加减，这里我们只需要注意符号，非常简单基础的啊。第一题，第二题，依然是考三式图，这个和张口的一模是一样的啊。 呃，如果你想求稳定，我们就画一下三十图，如果说能有空间想象力的话就不需要了。第三题，科学计数法，查小数点，掰手指头。第四题，这是一道白送的概率题啊！ 第五个，平行四边形对角线， a、 c、 b、 d 交于点， o， a、 c 垂直于 ab， 那 么 a、 b、 c 是 一个直角三角形，那我们这里想求 o、 f 已知 a、 e， 那 a、 e 作为 三角形， a、 b、 c 的 斜边中线可以是斜边的一半，然后 o、 f 是 中位线啊，这两个知识点， 那就能求出 o f 来，应该和 a、 e 是 相等的。第六题，呃， m、 n 是 正整数，这是一道考密的乘法的啊，初二的啊，初一下学期的知识。第七题， 这是一道求角度的，那我们可以在 c 处做一条平行线，在上面我们用同旁内角互补，下面我们用内错角也能求出来啊，一下就求出来了。呃。第 八个，定义新运算这种定义新运算的题，不需要你动任何的脑子，你只要做就是他干嘛你干嘛，听话就能做。对啊，两个选项。 第九题，等腰三角形， a、 b、 c 周长为二十四， d， e 是 底边 a、 b、 a、 b 的 三等分点，然后让我们求 f、 g、 h 的 周长， 他给我们提的信息是 d、 e、 c 做 b c， a、 c 跟 ab 的 平行线，得到的这个三角形，那么我们需要注意的地方其实就是那个 d、 e。 因为等腰，所以我们并不知道边长，具体的边长和 比边的边长数值是多少我们是不知道的，那么我们一定是成比例关系的，得到 fgh 的 周长，那么我们需要观察到 d e 这个边跟 f g 这个边是一比四的关系，剩下的事情我们就计算就可以得了。 第十题，呃，这是一道考列方程的题，如果不会列方程，不会去做列方程做应用题的话，呃，这个地方我们再专心练一下啊，是很简单的一道第十题啊。 第十一题，这是算是开始呃，选择的压轴了。那么对于第十一题来看一下啊，边长为四的正方形 a b， c d 相交于 o e 在 o a 上， 然后让我们看这四个结论啊。第一个， o c p 等于 ob e 这个地方我们可以用 o c p 跟 ob e 这两个三角形相似得到。第二个 o e 等于 o p， 嗯，这个地方我们可以用三角形 ob e 全等于三角形 c o p 来得到。第三个， c e 等于 c b 十 b p 等于 e f b p 等于 e f， 这个不可能啊，这一定是不对的。呃，因为我们明眼都能看出来，如果 c e 等于 b c 的 话，应该 e f 应该等于 f b， 而 f b 跟 b p 又在一个直角三角形里面，所以说它俩不可能相等的啊，斜边跟直角边是不能相等的，所以第三个是错的。第四个， a 与 f 之间最距离最小值。哎，我觉得这道题其实还不错啊，做的这个出的挺不错的。这个第四题 问才是这道题的呃，得分点，因为前两个都很简单，也就是说我们最少能选出二 b 来，而 b 又不选，所以说其实就这第四个能不能判断一下？那么点 a 与点 f 之间的距离最小值为二， 被根号五减二问我 a 与 f 之间距离最小值，那么这个地方我们需要看出这个 c b f 是 一个直角三角形，那么 f 点在哪里？那个动点 f 的 位置其实是在以 bc 为圆啊， bc 为直径的圆上，因为 bfc 是 一个 dc 是 定长，而 f 是 一个直角，所以说 f 无论怎么动都一定在那个圆上。所以说我们只需要连接 a 到 bc 的 终点，然后求解就可以了啊，求解那个长度就可以了，再减去二百半径，减一个半径就是 af 的 距离最小值了。 第十二题如图七啊，直角三角形 o a b 中 o b a 等于九十度， o b 等于 ab 啊， a o b 是 一个等腰直角三角形，然后让告诉我们， a 和 b 都在反比例函数 y 等于 x 分 之 k 中过点 a 做 am， 垂直于 y 等于点 m， 然后让我们求 am 比 o n 是 吧？那 a m 实际上是 a 点的纵坐标， o n 实际上是 b 点的纵坐标，那么我们这个地方可以利用反比例函数，它的式子比较简单，我们可以直接假设啊，比如说我假设 b， n 等于一， 然后此时此刻 o n 就 等于 k， 对 吧？然后我们可以借此来求解， am 是 多少啊？ am 可以 利用这个等腰直角三角形去推导一下，我们就很容易能得出来。呃，这个 am 比 o n 实际上就是 y， a 比 y b 能得到一组，我们来看一看一下啊， y a 实际上就是我们刚刚设的 k 减一，然后呃， o n 就是 k 呗，这是 k 减一比 k， 然后我们接下来需要用到 反比例函数图像啊， a 跟 b 两个点的具体坐标来 解出 k 来就可以了啊，因为 b 点是一逗号 k 啊， a 点是呃，像 k 减一，逗号 k 加一嘛。啊，这个我们就能解出 k 来，然后我就能求出这个 y 比 y b 是 多少了。 整体来说，计算量这道第二题的第十二题的计算量稍微大那么一点点，但是并不是做不出来啊，他们的思路都不难， 看一下，填空第一个时数范围内有意义啊，根号下非负。第二，呃，十四题，直角三角形 a， b， c 角 c 等于九十度， a， b 等于五， b， c 等于三，这是一个三四五的直角三角形。把 tan 写出来， 基础分解因式一定注意啊，分解因式一定要分解到最最最分解开的形式啊， 你这地方肯定有个三倍我估计啊，我估计可能有同学会什么根号三 m 加什么根号三 m 减什么了啊，那这地方我们就要提出来啊，把这个三先提出来再算。 十六题，正六边形 a， b， c， d， e， f， a， b 等于六啊， p、 q， r 为正六边形任意三点，且 p q 平行 e， d， o， 那么想让我想让我求 p q， r 什么时候面积最大？已知 p q 是 一个平行于 e、 d 的， 那么我们很显然能知道这个 r 在 ab 边上移动的时候，这个三角形是最大的，那么这个地方我们蒙也蒙， p q 是 中位线啊，这个 f、 c、 d， e 的 中位线。呃，秒杀啊，这种是秒杀就就没有什么可说的了，蒙也这么蒙，就没有理由去写别的数值 啊。这个此时此刻 p q 啊，和这个 r 到 p q 的 距离的乘积是最大的就可以了啊。十七题解答我不说了，计算和化解啊。 十八题，这是一个哦，挺有意思的，很有意思的一个数学理解。嗯，给了我们三进制 啊，可能有一些同学就在读题方面啊，可能就不能理解这个地方，那三进制遇到这种我们书本中没有出现过的，呃，数学概念，那我们需要做的事情就是照着做， 他做什么，我做什么，不要有自己的乱七八糟想法。比如说他给我们举例子了，二百二十一三进制，实际上就是二的 二乘以三的平方加上二乘以三的一次方加上二乘以三的零次方等于多少。那么我们在第一问里面，三进制数转化为十进制数的时候也这么做啊，一乘以三的平方加上二乘以三的一次方加上一乘以三的 零，四方等于多少是多少就是多少啊。照抄题干题，让你干啥你就干啥。然后第二问，已知一个三进制的四位数对应实进数能被三整除，求 d 的 值。 很有意思啊，这道题你越想越难，因为我们能很显然的发现，三进制的数， 十位、百位、千位，各种各样，所有的前面的位数都是由于被删除进所得到的。所以说，实际上这一个三位数，别说是三位数，就是三百位数 啊，他要被能，能被三整除的前提就是最后一位他的个位数能被三整除，他就能被三整除。也就是说，实际上这道题秒杀啊， d 等于零，只有等于零，因为他只能等于零一或者二三个数值， 因为三就进位了啊，那一不能背三整除，二也不能背三整除，那只有零空着啊，才能背三整除，只和 d 有 关。这道题其实是，呃判断三进制的意义啊，这个地方我们只需要去判断三进制的意义就可以了。 十九题啊，调整成绩是吧？那我们这一道题可以根据第一问和第二问，我们可以根据这个优秀占百分之三十二，然后有十六个人这件事情去把啊第一问，第二问都做出来，都能做出来 中位数所在等级，那中位数就是百分之五十的那个同学在哪里啊？呃，应该是良好，应该是良好啊，这个优秀加良好就百分之七十二了。第三个，按比例求呗，合格以上啊。 第四个列表或画树状图，抽到一名男生和一名女生的概率啊，这种概率就不用你计算了，你画图就可以了呗。那就照做啊，一男一女，两男两女啊，两男两女的。 二十题，如图十，这两个三角形我估计是全等的啊，看就能看出来，但咱们读一下题，角 a 等于角 b 可以， 角一等于角二可以。 那么求 a、 e、 b 的 度数， a， e、 b 的 度数。我们需要利用三角形 a、 o、 d 相似于三角形 b， o， e， 可以 利用角角相等啊，一个对顶角，一个等角，提供提供给我们的条件， a， a 啊，得到 这个度数 a， e， b 就 跟角二一样啊。第二个， e， d， c 等于角 c， e， d， c 等于角 c， 这是一个等腰三角形，我们可以 d， e 等于 e、 c， 这是一组边。那么求证。哎，果然他让我们求证全等了， 那全等就用 a， a， s 来求啊， a， a， s 来求两角连一边啊。二十一题。 我们看到二十一题，这道题很抽象，他跟我们日常所见到的东西全都不一样，实际上这是一道一次函数的题，但是他用了一个非常抽象的图形给你，吓你一跳。那我们来看一下啊，实际上哦， 求 a 与 x 之间函数表达式，他都告诉你满足一次函数关系了，两个点，对吧？两个点就能求出一次函数的表达式给我们两个，一个五，一个一百，一个十，一个一百五十呗，对吧？那我们就能用 y 等于 k， s 加 b 来代出来， 当探针进入页面以下十二厘米的时候，求代数第二个。当探针与页面刚接触的时候，此时此刻 s 等于零，求页面高度，也就是求 b 呗。这个函数依次函数只要写出来，剩下二三问就全知道了。

我们继续来看石家庄一模第二十四题，这道题看起来是比较虎人的，把一个半圆我裁剪，然后再翻转过去，再拼接回去。像这种题往常是做的比较少的，但是仔细做完这道题的同学会发现，这道题也仅仅是看起来虎人而已。 我们一起来做一下这道题。半圆 o 直径 a、 b 等于十二，直径十二，所以半径是六， c 是 直线，直径 a、 b 上一点点 d 在 半圆上，并且角 b、 c、 d 为 r 法，角 b、 c、 d 为 r 法，那角 a、 c、 d 作为它的邻补角，自然就是一百八十度减 r 法。 操作，将半圆 o 沿线段 c、 d 裁剪后，得到图形 a、 c、 d 和图形 b、 c、 d 两部分，这两部分然后保持 b、 c、 d 不 动，把 a、 c、 d 翻转后，再与图形 b、 c、 d 拼接成一起， 并且过点 d 做 a、 c 的 平行线。提到平行线，那自然再次会看出一个同旁内角同旁内角是互补的交 a、 d 与点 p。 第一个直接写出阿尔法与角 a、 c、 d 满足的数量关系。在第一个图中，我们已经知道角 a、 c、 d 就 已经是一百八十度减阿尔法了，所以角 a、 c、 d 就 等于一百八十度减阿尔法，它与阿尔法是互补的关系。第二个如图十四杠三点 d 在 圆心 o 的 左侧 d、 o 是 二，那 d、 o 是 二 o、 b 还是半径六？ 当 l 垂直 b、 d 时，第一问让我们求阿尔法的值，那我们不妨先在这个图里边把我们知道的数据先添一下。比如角 b、 c、 d 是 阿尔法度， 角 a、 c、 d 是 一百八十度减阿尔法。我们又知道 a、 c 和 l 是 平行的，所以同旁内角互补那角 p、 d、 c， 那 这里是不是也是阿尔法？ 并且 d o 是 二 d？ 呃， d o 所对的 a c d o 和 ac 拼起来是不是就是半径？所以 ac 这是不是应该也是四？在后面我们也需要注意这个问题。 来看第一个求阿尔法的值，阿尔法我们已经知道 l 是 垂直 b d 的， 并且这里是二阿尔法，所以二阿尔法等于九十度，那阿尔法自然就等于四十五度。第一问来，第二问求 cd 的 长， 我们来看一下 cd， 我 们这里虽然考察的是圆圆里边求线段长度，我们是不是优先要看一看它是不是弦？如果是弦的话，是不是要去用垂静定力？如果不是，我们是不是在考虑其他的几何的方法 来看这里 cd 它是不是不是弦，那不是弦，在这里用垂静定力是不太行了，那我们来看看有没有其他的一些突破口？ 上一问，我们刚刚得知阿尔法它可是四十五度，那四十五度有四十五度了，那见到四十五度，我们是不是就应该想想，我把它放到直角三角形中，那是不是三边比就符合一比一比根号二， 那往哪边放？四往哪边放直角三角形中呢？因为两个是都是四十五，我们可以试一试，我们是不是也可以 p 往这边做垂，但是 p 往这边做垂，你会发现 p d 我 们是不知道的，这边是不是也不知道？那同时如果连接了它，我们这样的话是不是把 d c 分 成了两部分，但是是不是每条边儿是都是不知道的？嗯，所以 p 往这边 c d 做垂不行，那 p 不 行，那我们是不是也可以试一下 o 往 c、 d 做垂， o 往 c、 d 做垂之后，我们就会可以发现 o、 d 的 长度是二，比如垂足为 h， 那 这样的话，三角形 o、 d、 h 是 不是就是一个等腰直角三角形？三边比一比一比根号二，并且斜边是二，那 o、 h 是 不是根号二？ d h 是 不是也是根号二？所以我们已经 解决了 c、 d 的 一部分 d、 h 是 不是也是根号二？所以我们已经解决了 c、 d 的 一部分。 d、 h 是 不是只要解决 c、 h 就 可以了？ 那 c、 h 是 不是也可以继续放到直角三角形中？是不是可以放到直角三角形 o c、 h 中？ 因为我知道这个半圆的半径是六啊，所以 o c 也就是六，那这样的话，利用勾股定律， c、 h 是 不是等于六的平方减去根号二的平方再开根号，所以是六六三十六，减二，根号三十四。 这样的话 c、 d 的 长就是两部分组成，一部分是 d h， 一 部分是 h c。 最后答案就是根号二加根号三十四，其实跟圆的关系不是特别大，还是几何中？求线段长度。 下一个探求，如图，十四杠四点 d 在 圆心 o 的 左侧， d o 是 二，那 o、 b 是 不是还是那个半径六， d、 o 和 ac 是 不是一共是半径？所以，所以 ac 就是 四？这个是我们要知道的，连接 pc， 当 pc 垂直 l 时，这里是不是垂直的？那 pc 垂直 l 本身 l 和 ac 也平行，那所以这里角 acp 是 不是也是九十度？ 如图三。呃，第三个，在十四杠四的基础上，用尺规作图，做出弧， a、 d 所在圆的圆心 g 知道一段弧，给你一段弧，让我们去找圆心，这是不是我们九年级学的知识？ 圆找圆心，我们是不是只要知道这段弧上两条不平行的弦，分别做他们的钟垂线交点，是不就是圆心了？在这里我提前把图画好了，我们来一起看一下这个图。 做了 p d 的 钟垂线以及 a p 的 钟垂线，它们的焦点就是点 j， 所以 保留作图痕迹，我们需要保留的是这些小弧， 这这些东西，这是我们需要保留的部分，以及这两条线的焦点。其实做的时候你就可以发现，因为本身 a、 c、 d， ac 是 不是就是直径上边的一条一一小段线段，所以他那个圆心自然就会在 a c 的 延长线上，自然会在 a c 延长线上，就是第一个使规作图，就是简单的钟垂线的画法。第二个，最后第四个啊，求线段 dc 的 长，线段 dc 的 长 还是求线段长度？这里在虽然在圆中，但是它也不是弦，所以不能用垂径定里，那我们就用几何方法求线段长度，放直角三角形中，是看勾股定里，三角函数等等行不行？ 很明显这里 c d 其实就在直角三角形 c p d 中，那我们只需要知道 p d 和 pc 的 长度，再进行勾股定定里，求 c d 是 不就可以了？那 p d 和 pc 分 别是多少呢？我们来看一下， 我们知道 o d 是 二， ac 是 四，那我补全之后，整个半径是不是也是六？那这里是不是 c g 的 长就是二？ c g， p c d 以及这条钟垂线是不是其实本身就围成了一个矩形？ c g 是 二，那 p d 是 不就是二的两倍？所以左边 p d 就是 四，就是，所以 p d 解决了，接下来看 p c， p c 怎么解决，我们来看啊，我们在这里做一条辅助线，我们连接一下 p g， p g 是 不是已经是半径了？ p g 就是 半径六，那现在 p c 已经在直角三角形 p c j 中，那 p c 的 长就是六的平方减二的平方开根号，也是根号三十二，也就是四倍根号二。 现在 p d 和 p c 都解决了，直接在直角三角形 p c、 d 中勾股定律，四的平方加四倍根号二的平方开根号。 最后答案是四倍根号三。 这是第四问来第五问，如图十四杠五，点 d 在 圆心 o 的 右侧，前边儿做的几问都是点 d 在 圆心 o 的 左侧，最后一问跑到了右侧。当弧 a、 d 所在的圆与 b o 相切于点 d 时， 哎，见到这个词是不是应该非常警醒？见到相切连接圆心切点标垂直，所以我们直接连接圆心切点 标垂直，圆心还为 g。 弧 bc 的 长为 pi， 弧 bc 的 长为 pi， 弧长公式一百八十分之 n pi r 半径 r 就是 六。 n 是 不是这段弧所对的圆心角？那圆心角我们是不是需要连接一下 c o， 所以 角 b c b o c 是 不是那个 n？ 所以弧 bc 的 长就是一百八十分之 n？ 派 r 半径 r 为六，它等于派，我们是不是就可以求出来， n 就 等于三十度，所以在这里角 boc 它就是三十度。那我们知道角 boc 有 三十度有什么用？我们可以间接的知道其他的一些角呀，比如说角 c、 j、 d， 它是不是也是三十度？它其实还原回去，它所对的弧是不就是弧 bc 以及角 a、 j、 d 是 不是一百五十度？另外本身 a、 c 和 l 是 平行的，所以这里这个角角 p、 d、 a、 p、 d、 g 是 不是也是三十度？ 这是利用三十度我们可以求出来的角度。后面让我们直接写出线段 d、 c 的 长，写出线段 d、 c 的 长。其实我们如果细心的同学观察图就可以发现这个三角形好像有点像等腰三角形，那我们看一看这是不是三十度？ 我们知道这里九十，这里三十，所以总共是不是一百二十度？并且在前边我们还知道角 b、 dc 是 阿尔法的话，那角 pdc 是 不是也是阿尔法？所以在这里二阿尔法的角度是不是就是九十度加三十度， 所以阿尔法就等于六十度，阿尔法六十度，那剩下左边三十剩下的角 gdc 是 不也就是三十度？所以三角形 gdc 是 不就是一个以顶角为一百二十度的等腰三角形？ 顶角为一百二的等腰三角形？三边比一比一比根号三。我们还知道 g、 d 的 长是半径是六，所以 c、 d 的 长直接六除以根号三，所以 c、 d 的 长就是六除以根号三 等于二倍根号三。所以这就是二十四题。这一道题做完之后是会发现他其实没有看起来那么吓人，也仅仅只是一些几何里面的求线段长度，求角度。

在石家庄市一模数学面前，一个月前的各区一模简直就是弟弟。不知道这次一模数学考完后，有多少初三考生心态崩了，反正我下午做的有点头昏脑胀。具体手写版解析过程可以看上一条视频。 这次考试难以区分非常明显，做完就感觉没啥中档题，像开车一样。走了半天平坦大道，突然来了个大陡坡，心也跟着一起提到嗓子眼。每每到了压轴题，必然来这么一两次，真是对实力和心态的双重考验。 所有压轴题都是函数和几何思路好想的计算量大，比如第二十二和二十三题，尤其第二十三题，那计算篇幅，一个题解析过程就得将近一页。最让人生无可恋的是让你压根没思路的大题， 比如第二十四题，直接整个五小问，尤其夺命后两问，本来圆的折叠就已经很考验空间想象能力了，结果出题老师是一点活路不想留 那辅助线，叫一个难想。不过考场上看完最后这两问才崩溃的应该不多，因为大多数人都来不到这一步。还有选择压轴第十二题和填空压轴第十六题，那是难想又难算，一马平川的大路上，总得来点刻骨铭心的大难关。 不过吐槽归吐槽，考试完了，咱们把破碎的心缝缝补补，还得继续上路。其实换个角度想，一模出题老师也是用心良苦， 来一套难题，不仅考验答题能力，更是对考试心态和答题策略的多重考验。这次考的不好的同学，大概率是心态和答题策略都出了问题。 因为选择填空压轴题一共六分，大题后两个压轴题有难度的总共也就十分，所以咱们基本功没问题的同学，考一百分以上完全没问题。 考场上遇到难题不慌，没有思路的题目果断放弃，留出来的时间，把其余能拿下的分数全拿到手。按照这个策略应该还有不少时间， 这个时候再努力攻下一两个难题，上一百一十分也有希望了，那这个分数就已经相当有优势，肯定会有同学不服气你这不是事后诸葛亮吗？把你扔考场上，你能这么冷静的选出最好的策略吗？ 我想说的是，同学，如果你已经做好了充足准备，那你一定要对自己的实力自知且自信。 你要相信我，没有思路的题目，别人也很难有思路，我做的不顺利，别人也一定不轻松。这个时候你跳过难题，先做其他，就是最正确的策略。所以调整心态和策略可能是这次一模对你来说最大的意义。

下面我们一起来看二零二六年石家庄市一模数学卷。呃，从简单的，从简单的到难的一起说。 首先选择题，选择题从第一题甚至到第十题，基本上都是白给分的题，特别特别的简单， 降低，记作负，降低二，这两天的变化在这咱们需要把题审清楚啊，这两天的变化并不是第二天的变化。呃，所以这两天降低二，所以记作负，二，所以是二 b。 第二个题 有六个大小相同的，如果增加一个同样的正方体心几何体的主视图，不改变，主视图也就是这样去看，不改变，那意思是说我在一上面再搭一个的话，我能 看到二，前面这个就看不到二了，所以只有这一个选 a 选项，在其他地方再搭建的话都能看得到。 第三题，这个是科学技术法的考法，最最最简单的一种。 呃，估计中考的时候按理说不应该这样考啊。科学技术法现在考的都比较热闹一点，可以说都考的比较热闹一点。这个没有这么简单 啊，这个用科学计数法来表示，向左平移一二三四五，所以是二点零零七乘以十的五次方。第四题 一共有五个扇形，面积都相等，涂成了这些颜色。他说转动一次，中奖的概率指向红色区域是中奖，意思是指向红色的概率，那就是五分之三白给分的题。 第五题，第五题也算是。呃，五六七都是白给分的题啊，都非常非常的简单。 在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中，对角线 a、 c、 b、 d 交于点， o， a、 c 垂直于 ab， a、 c 垂直于 ab， 这是垂直的平行四边形，所以这也是垂直的 ef， 分 别是中点 e、 f， e 是 中点， f 也是中点，那我们在这平行四边形的交点 o o 也是中点，所以 o f 是 三角形的中位线， 所以他会等于一半底边的一半，所以这个和这一段和这一段相等，那么他告诉我们 a 一 等于六， 这个等于六，这是直角三角形的中线，所以底面底边长，这个是六，这个也是六，所以这也是六， o f 是 六。 第六个题也非常非常非常的简单啊，我在这用了好多，非常的确是，前面基本上就是白给分的题，你把前面的基础知识能拿上分的话，也少不了啊。九十上九十分差不多。 这个是考察了同底数密的乘法，三的底数不变，指数相加，所以是三的三 m 次方，那这个就是密的乘方，所以等于三的二 n 次方，也就是三 m 等于二 n 三三 m 三三 m 等于二 n， 选择 a 选项，就这么简单。 再看第七题，这个背景比较新颖一点，他也给出来了这个图形，呃，然后他说角细的度数，这个就是七年级的问题吧。平行线 做平行线一百五十度，所以这个角是三十度，然后八十度，所以这也是八十度，八十度加三十度等于一百一十度， 就这么简单。就是我们这样的题完全靠蒙也能蒙对，你去量一下，肯定比九十度大，他是个钝角啊，然后比一百度大一点，一百一十度啊，就是蒙完全也可以蒙对。 第八题新定义的一个计算，新定义就是这个星 星，这是啥意思嘞？当 a 大 于 b 的 时候，等于 a 减 b 分 之三，当 a 小 于 b 的 时候，等于 b 减 a 分 之 b 啊，反正就这么两个数来回倒，那我们就一葫芦画瓢，这是三，这是 x， 那它的值是二，那是三大还是 x 大 呢？我们不知道，所以说我们要设，如果是三大于 x， 那 它就等于你把三替了，把 x 弄上来，然后直接让它等于二 啊，这是一个方程。然后如果是三小于二， 三小于 x， 如果是三小于 x， 那 么 b 是 x， 它就等于 x， x 减三，然后这个式子是等于二的， 把它俩一结，最后结果是六或一点五啊。你解完以后，你再看一下是不是满足后边这个。 继续第九题，等腰三角形 abc， 它的周长是二十四，意思是这个边加这个边加这个边，一共是二十四。然后第一是底边的三等分点， d， e 是 三等分点，这三段是相等的，分别过 d、 e、 c 做 b， c， a、 c、 ab 的 平行线，过 d 做平行线，过 e 做平行线，还过 c 也做平行线。 好，然后得到了三角形 f g h， f g h， 这个边平行于这个边，这个边平行于这个边平行于这个边。呃，那我们就可以得出来，这个三角形会和这个三角形是相似。他问你，三角形 fgh， fgh， 这个大三角形的周长是多少？嗯，我们可以得出来。 可以得出来什么？这个边等于等腰的这个腰，然后这个边等于等腰的这个腰， 等腰的两个腰，这是等腰的两个腰，相当于是。然后这这个边看一下这个边等于这这个边， 这个边等于这这个边。哎，也就是又等于了这这个边多出来了一段这个边，那也就是说这个大三角形 比这个小三角形多出来，是看能换一个颜色吗？多出来这个边和这个边和这个边，那这三个边多出来的是多少呢？ 这个三角形和这个大三角形是相似的，它的相似比应该是一比三 啊。因为这个这两条线平行，所以可以得到角相等，这个角 等于这个角等于这个角，这俩角相等，然后这个角等于这个角 啊，所以这两个这两个三角形是相似的，相似比就是这个比，这个是一比三，所以这个小绿三角形的周长应该是八， 大三角形的周长就应该是八，再加上二十四， 所以最后结果是三十二啊。这个题蒙也非常容易蒙对， 看看录制了吗？第十题，第十题也是一道非常非常简单的，这是方程的问题，我们大概需要搞明白的是他列出来这个方程，这这是到底是个什么东西？ 我们接着来看前边，你不用管他，你直接看这今有人合伙买羊，若每人出五千，还差四十五千，若每人出七千，多三千。问合伙合伙人数，羊的总价是多少下来说法错误的是， 那我们就一个一个去看，如果是社合伙人数是 x 的 话，合伙人数是 x， 一个人出五钱，那就是五 x， 他 说还差四十五钱，意思是说你再多出来四十五就够洋的，那意思就是这个就是那个 羊的总价钱啊。然后看看等式的右边是不是羊的总价钱，每人出七钱， x 个人一共出七 x， 多出来三钱，那减去这三个钱就是羊的总价钱， 所以左右两面都是羊的总价钱。正确 b 选项设羊的总价钱为 y， y 加上四十五， 羊的总价钱，这是差四十五就等于了这个羊的总价钱。差四十五，意思是他加上四十五， 每人出五钱，加上四十五钱，就应该等于羊的总价钱。 然后这个是啥意思？羊的总价钱应该是减去四十五，应该是减去四十五除以五，这就是人数， 这就是这个人数， 加上还是减去。 再看一下，这，这个每人出七钱，那就是七 x， 呃，整个这个羊的总价钱是 y， 呃，多出来， 多出来三钱，对，多出来三钱，那意思是说他这个七，这个加上 呃多出来三，减去三，应该等于总价钱，意思是总价钱加上三除以七，这就是人数， 这个是人数，这个也是人数，所以这个是正确的。那相对 b 选项来说就是错误的，所以选择 b 选项啊。对于这个来说， y 等于五 x 加四十五，这个都是就是第一个的 y 是 总价钱。 有的时候反不太清气的时候，你就想的稍微慢一点。十一题，十一题也不难，十一题稍微难一点的是第四问，在边长是四的正方形当中， 边长是四正方形对角线， a， c， b， d 相交于点 o， e 在 o a 上，点 e 在 o a 上连接 b e， 然后做，这很重要啊，做 c， 点 e 在 o a 上， 点 e 在 o a 上，它没有说在哪，所以它在 o a 上可以是一个动点，然后做 cf 垂直于 b， 这始终是垂直的，做的是垂直，然后交它于点 p， 这是那个点 p。 对 下来四个结论，第一个一二非常好，容易判断。第一个角 o c p， o c p， 角 o c p， 这一个角等于角， o b e 等于角， o b e 等于这个角， 这个角等于这个角啊，完全正确。为什么？ 为什么同角的与角相等？这两个角，角都是这个角的 与角啊，这是九十度，所以它是与角，这是九十度。这个正正方形的对角线互相垂直，所以这也是它的与角。同角的与角相等。然后 o e 等于 o p， o e 等于 o p， 那 我们就看 o e 和 o p 所在三角形是不是全等，这个三角形会和，再画个绿色会和，这个三角形全等 啊。咱们刚才得到了一个角相等，然后有个直角相等，然后还有一个就是 o c 和 o b 相等，所以这个相等。 然后下一个，当 o e 等于 o b， 呃， c e 等于 c b 时， c e 等于 c b 时， 然后他说 b p， b p 等于 ef， 这是垂直的。如果他俩相等的话，这是个等腰三角形。等腰三角形的高，底边上的高也是底边的中线，那应该是 e f 等于 b f 才对。但是他说 b p 等于 e f， 而不是 b f 等于等于 e f， b f 应该是等于 e f 的， 但是 b f 又不等于 b p， 所以 这个是错误的。 点 a， 第四个点 a 与点 f 之间的最小距离，呃，之间距离的最小值是二倍，根号五减二。 这个橡皮擦擦一擦，咱们再重新看谁和谁的距离，这个稍微的难那么一点，点， 谁和谁的距离。点 a 和点 f， 我 们知道 a 是 个定点，点 f 是 个动点，点 f 会随着点 e 的 动而动，那点 f 到底怎么动？那我们知道在这做的是垂直，意思是它始终是一个直角， 那所以我们就能想到它应该是以 bc 为直径的圆，它应该在以 bc 为直径的圆上面，那这个圆应该刚好也会过点 o， 这大概是个圆心吧。好，这一次是说点 a 和点 f 的 之间距离的最小值呢，就是连接 这个啊，这个点是点 f 的 时候，这个时候是最小的，那最小值，这是二。半径是二，这是二，那这个是四，那这一个，这叫 g 吧。 aj 就 等于四的平方加上二的平方，然后再开方，这是 aj， 减去二就是 a f 了，所以这个是二倍根号五减二是正确的，这一共是三个是正确的，选择 c 选项。 继续十二题，十二题，我把答案弄出来了啊， 这个答案放到这了。呃，先不看这个答案，先来看我认为比较简单的一种做法，在直角三角形它当中，这是 o b 等于 ab， o b， o b 等于 ab， 然后这又是直角，这是个等腰直角三角形，它都在反比例函数它当中，过点 a 做垂直，过点 b 也做垂直，那么 o m 等于哎， o m 比 o n 的 值是多少？ am， am 比 o n 的 值是多少？那我们知道是都在反比例函数的图像上，所以这个三角形的面积和这个三角形的面积相等呗。 好，然后我们大概看一下啊，这个 am 比较短，这个 o n 比较长，然后你第一眼看过去，需要排除的是 b 选项 啊，都是负的，那不怎么可能呢，对吧？然后第二个需要排除的，那应该是 c 选项 啊，这是二点多，这是三，这个 a m 小， o n 大， 那，那怎么可能是分子大，分母小嘞，对吧？直接排除掉，那是 a 还是 d 呢？然后我们再简单的做一个判断， 我们知道这两块面积是相等的，这两三角形的面积相等，意思是二分之一，它乘以它等于二分之一，它乘以它， 那这个比这个，它就等于 b n 比上 o m。 那 我们再大概的去判断一下啊，我做一条垂线，你会发现这一段比这一段 好像要比二分之一要小，哎，意思是上边应该小于一， 上边应该是小于 e 的， 但是这个上边大于 e 了，所以排除掉， 所以选择四 d。 有 同学说，老师，如果这是一个填空题，那我该怎么办呢？那好，如果是填空题的时候，我们这么办，我再擦一下啊，简单擦一下， 好，我们设 点 b 的 坐标为 a， 逗号 b， 我 延长 n， b 延长 ma。 因为这有一个等腰直角三角形啊，等腰直角三角形，所以它就会成为一个一线三等角，一线三垂直啊，也就是这是 a， 这是 b， 这是 b， 这是 a， 这两个三角形是全等的。好，所以我可以得出来，点 a 的 坐标是点 a 的 坐标是 a， 加上 b 横坐标，那就是这个的长度，纵坐标就是这个段的长度，也就是 b 减 a。 又因为这两个点都在反比例函数的图像上，所以 a 乘以 b， 就 等于它俩相乘啊，所以我就得到这样后边的这样一个关系。 得到这个关系以后，然后怎么办呢？我看一下我们的目标，目标是，我要求 a m 比上 o n， 也就是 b 减 a 比上 b， b 减 a 比 b， 也就等于 e 减去 b 分 之 a， 我 设这个 b 分 之 a 为 t， 那么我只要能导出 b 分 之 a 来看这个式子，我让两边同时除以 b 方，两边同时除以 b 方，那就导成了这个就变成 b 分 之 a， 也就出来 b 分 之 a 了。我让它设它为 t 啊，这样子好解一点， t 等于一减 t 方，那我去解这个二次方程。解出来以后，我要的是这个正根 啊，因为 t 不 可能是负数， t 是 两条线段的比值，它不可能是负数。 a， a 和 b 是 两条线段的比值，不可能是负数，然后再把 t 带进来，得出来，最后结果， 哎，这个也出来了。填空题，填空题的前三个就是完完全全百分百的白给分的题，就就是纯纯的白给分的题。 呃，简单看一下实数范围内有意义啊。说了实数范围，咱们初中阶段也就是实数范围，那 x 取值范围根号底下大于等于零，这个东西还竟然有错的啊。那就是二， x 大 于等于一，也就是 x 大 于等于二分之一，这个东西竟然还有错的，有没有取等号的？ 在直角三角形，这个没有给出图来，所以需要我们去画图。直角三角形 a b c 当中，他说角 c 等于九十度，那你就画呗。 然后 ab 等于五， bc 等于三，那这是 b， bc 等于三， ab 等于五， 那就是三四五的关系呗。这是 a， 然后问你碳 a 等于多少，那咱们需要知道是碳， 碳是谁比谁，别弄混了，这就是一个纯纯的一个简单的小概念的问题，你只要知道这个概念呢，这个题就百分百的能拿上三分啊。碳等于对比零，三比四， 就这么简单啊。这个题也有错的，问题在哪？不是你不会画图，是你忘了碳到底是谁比谁了。碳三扣三，然后他们都是谁比谁，我们要搞清楚了， 十五题分解音式，这个也是纯纯纯的白给分的题啊。但是有的同学只会提公音式，提出公音式来以后， m 方减四，我就是认不出来 啊，这是一个平方差公式，所以你得再来一步啊，他就等于三乘以 m 加二，乘以 m 减二，这不就是一个白给分的题吗？所以这样子的是错误的啊， 稍微难一点的是十六题啊，你得有点难度吧，是吧，你都白给分，大家都能拿满分，就无所谓什么好学生差学生了。 来看这个正六边形，正六边形，正六边形比较特殊，他的每一个内角都是一百二十度啊，如果有圆心的话，圆心去连接都是个等边三角形好，然后他说 ab 等于六 点， p q 二， p q 二为正六边形上任意三点，然后 p q 平行于 e d， p q 平行于 e d， 当 p q 等于多少的时候，这三角形的面积是最大的。 那这三个点都是动点，那动到哪的时候是最大的呢？啊？那肯定是你，大概你去看的时候，你会感受到二在上面的时候 它是最大的。那这个 p k l 它在最底下的时候是最大的吗？在最底下的时候， p q 是 p q 的 长度是最小的，高是最大的，但是如果往上的话，是 p q 的 长度增大，高减小，那 p q 一 直在增大，高一直在减小， 那到底在什么时候它俩的乘积是最大的呢？所以我们在这怎么做啊？我连接 a e 啊，连的不太好。连接 a e， 然后我设这一段为 x， 我连接 a e 以后，这是一百二十度，所以这是三十度，所以这条边就是根号三 x， 那 同理， 我在这做垂直吧，那这也是 x， 这也是根号三 x， 这 d e 是 六，所以这也是六，也就是 p、 k、 l 就 等于六，加上二 x， 那这个二在 ab 上的时候面积是最大的，然后这个高三角形的高，就是这个是六倍的根号三。给你，这是六，这是六啊。这一百二十度，你可以做垂直，这是，呃， 三倍的根号三，这是六倍的根号三啊。所以 h 就 等于就是这段六倍的根号三。减去根号三 x， 所以 面积就等于二分之一底乘以高 啊。在这你可以把它画出来，画出来以后你去算它的 x 取什么的时候取最大值，那这个时候稍微难算一点，所以我们怎么着比较好算？我找对称轴去。 x 在 对称轴上的时候，这是开口向下的一个抛物线， x 在 对称轴上的时候是最小，这个面积是最大的。意思是说我令 s 等于零，求出来两个根，一个是负三，一个是六，那当 x 等于这个的时候 是取的最大值，对称轴的时候，那带进来 p、 q 等于九的时候是取最大值。 一口气说完吧。计算题，计算题就是纯纯纯白给分的题啊，但是这样子题也有错的，这三分，这个二分。这你先把除法变成乘法， 然后能分解因式的分解因式啊，你也可以它乘以它，减去它乘以它，这样子去算啊， 没什么含金量。白给分的题。十八题，十八题。简单说一下， 这是个三进制数，三进制数用零一二来表示。那咱们首先要知道什么叫几进制数，我们最常见的，咱们现在用着的叫十进制数。十进制数是什么意思呢？ 逢十进一啊，意思是他从他用零一、二、三、四、五、六、七、八、九这九个数来表示，你看到十的时候，他就用一个一和一个零来表示。十一的时候是一个一和一来表示 啊，意思是说他用零一二三九来表示，那三进制数就用零一二来表示啊，后边也都是三进制数，你一定要知道，三进制数是用零一二来表示，也就是 abd 里边全是零一二 啊。这个题求的时候，最后这一问，有很多同学就说 d 是 三的倍数，所以它是三六九啊，这样子的东西啊，你首先要明白， a、 b、 d 它都是零一二组成的， 它化成实记日数怎么化？这已经给出你例子来了，这也修正了一下啊，这是一 啊，这个二是谁？二是这个二，这个二是谁？这个二是这个二，这个一是谁？这个一是这个一啊，然后三的二次方，三的一次方，三的零次方啊，这样走的好。第一个 看结果，直接看结果，一就是这个一，二就是这个二三，这个一就是这个一，然后三的零次方，一次方，二次方，最后结果是十六。但是这个题有很多同学出问题，计算错误。 什么意思？他三的零次方他不知道是多少，他说是零，最后结果得出来十五啊，有的时候写到这了有可能会给你二分，写到这会给你二分 啊，但是我们要小心啊，这样的题既然会，你就要让他完完全全拿上分，不要在这些小的细节里边丢分。三的零次方，任何非零数的零次方都等于一， 计算错的也有一大堆。好，然后底下这一个，那就是咱们跟刚才这个做法是一样的， a 就是 这个 a， b 就是 这个 b， c 二这个后边就是二，二是这个二， d 是 最后边这个， 最后边这个乘以三的零次方，然后三的一次方，二次方、三次方，你从最小的零次方往左边这样排，你就知道乘以多少了 啊。他说这个能被三整除，那你就把它整理一下，或者有的同学说，三的一次方能被三整除，三的二次方能被三整除，三的三次方也能被三整除。前三项都能被三整除，所以最后这一项也应该能被三整除。你这样解释也可以啊，就你要只要把它解释清楚，了，解透了就可以了。 好，这是用语言去描述的，但我们尽量的去用代数语言去描述，说的会更清楚。你看这是这个代数语言， 这意思就是能被三整除，整个能被三整除，所以 d 应该也能被三整除 啊。他能被三整除，若他能被三整除，只需要 d 被三整除就行了。然后又因为 abd 是 零一二当中的数，所以 d 只能是零。 在这 d 取错值的也有很多人啊，好多人写的三六九，要把这个题的本质搞清楚。 十九题直接看结果吧，挺简单的， 这就是白给分的题。咱们两个图，一个条形图，一个扇形图，优秀百分之三十二，然后良好不知道，合格也不知道，不合格也不知道啊。所以我们只能靠 优秀，优秀十六和优秀百分之三十二。十六个人占百分之三十二，意思是百分之三十二乘以那个总人数等于十六，所以是十六除以百分之三十二就应该等于总人数，是让求总人数了吗？ 啊？没有求，但是咱们也得求出来啊，求出来总人数是多少来着？总人数是 五十，总人数，总人数是五十个人。他问你的是让你补全调整图量，好是百分之四十，所以五十乘以百分之四十等于二十个人。二十个人， 你就这样一杠就行了啊，注意你上面写上数，要不然你画的不标准，人家不知道你是多少。 然后圆形角 n 的 度数，意思是合格的度数，合格是十个人，十个人占这五十个人的百分比，那就是这么多，那他是三百六十度里边的多少嘞？啊？一算就出来了七十二度， 然后他说本次成绩的中位数一共是五十个人，那中位数应该是二十五，二十六，二十五，二十六，二十五，这是十六，这是二十三十十二十五，二十六，应该在量好这 啊，所以这是良好。第三个，该校九年级学生有五百个人，那咱们这个统计图啊，就是为了用样本来估计，总体 总体是五百个人，样本的比例关系和总体的比例关系是一样的。他说据测试结果估计九年级成绩达到合格级以上。合格级以上这么多呗，对不？这么多，这是十个人， 你要是愿意这么算，就这么算，当然方法有很多，然后除以五十再乘以五百，那就是了，这是最直接的方法，计算量也是最大的方法啊。你也可以说五十个人有四个人，那五百个人 啊，就应该有四十个人，所以成绩达到合格的四百五十个人，然后四百六十个人。 好，然后第四个在不合格四名学生当中有两名男生，两名女生啊，你要在这分清楚啊， 两个男生，两个女生，这两个男生你给他区分一下是吧？你不能叫人家这个男生叫那个也叫男生，他俩就都叫男生，区分不开，所以分成男一男二 线，从中随机抽取两人进行强化训练，用列表或画双人图的方法，然后求恰好抽到一名男生，一名女生概率抽俩人， 这是第一个人，这是第二个人吧。那如果你第一次你抽到了男一，第二次你肯定不能再抽男一了，所以在他们里边抽第一次抽男二，第二次可能抽男一，可能抽女一，可能抽女二。那我们把这个表列出来以后，一共是十二种，等可能结果满足提议的。 哎，除了这个，除了这个，还有除了女女都是啊，一共有八种，所以是概率是三分之二。 就这么简单啊，这也是一个一道纯白给分的题，一点不该丢前面的分啊，一点不该丢啊。这个，这个证明题更简单，直接上，直接上吧。角 a o d， 角 a o e 对 顶角相等，然后他说角 a 等于角 b， 然后角二等于四十度，若角二等于四十度， 呃，这样子的话，这个角就会等于角二，就会等于角一啊。因为这两个三角形，这两个三角形其中的两对角都相等了，所以这个角会等于角一，就因为角二等于角一等于四十度，所以这个角也等于四十度，算求这个角吧。 a 一 b 啊，出来了，就这个三角形全等的话，你要十分注意的是，因为咱们在阅卷的时候会发现有这样一些现象啊，角二等于四十度，他仍然沿用。这是一个若，也就是第一问就不成立了， 第一问不成立。若角 e、 d、 c， e、 d， c， 这个角等于角 c， 若这个角等于角 c， 让你去证明， 让你去证明。三角形 a、 e、 c 全等于三角形 b， e、 d， 这个还存在，这个还存在啊，这大条件。角 a 等于角 b 啊，这个还存在。 那我们来看一下这个角等于这个角，所以这条边等于这条边，我们只要再找着啊，这有一个相等的角， 我们只要再找着一个角就可以了。哪个角相等呢？我们再看一下哪个角相等 这个角， 这个角等于这个角加这个角。 呃，忘了怎么解了，这个角， 呃，由一可得得出来了，一个角 a、 b 等于角二啊，那直接用这吧， 角 a、 e、 b 等于角二，所以他们在都加上中间这个公共角，这个角就会等于这个角，我们又得出来一个角，两个 a， 一个 s， 所以 三角形全等。 你最好写的规范一点啊，这样子的话，一看就不会扣你的分。 二十一题，二十一题，前两问完完全全是白给分的题。第三问有一点难度，但是第三问，你知道当探真鱼他刚接触的时候是啥意思，那也能拿上二分 来看这个。他说探针以下的长度进入页面以下的长度是 x， 装置内的体积是 v， 这个设置是干啥用的？用顶部数值悬置的探针，可监测 装置内页面的高度啊。刚开始我审这个题的时候，我不太明白这是什么意思 啊？为什么他这个探针就能测出来页面的这个高度呢？ 这个探针怎么就能测出来页面的高度呢？后来我突然想起来， 就是经常这个，我这个车平时开的这个汽车，呃，要换机油的时候， 我会让这个师傅给我判断一下，我说我这机油该换了吗？然后他就抽出来这个，这个碳针相当于是一个碳针，他看看这个高度，进入液体的这个高度，如果进入液 体的高度就少了，你该换了。如果进进入液体的高度大的话，那意思就是底下这个高度 就会打，所以这个时候不需要换啊。所以这个题有实际经验的话，你会一下子会明白过来。 那我们来看一下这个探针 x 长度，这是页面以下的探针 x， 这个是装置液体的体积是 v， 他 说 v 和 x 满足一次函数， 这需要小心一点啊。有的同学认为成了是正比例函数，所以他设的时候设的是正比例函数的关系啊。我在这 包括讲题，包括大家出现的问题，有的时候我都会一并带出来了啊。求 v 与 x 之间的函数表达式。既然是一次函数的关系，那我们就设 成一次函数的关系。设 v 等于 k， x 加 b， 设必须要设，不要上来就带就得到它 必须要设，而且设的是 v 等于 k， x 加 b， 有 同学设 y 等于 k， x 加 b， 这样子扣分了啊。 好，然后再把这两组值五逗号一百以及十逗号一百五啊五，一百和十一百五都带进去，得出来 k 和 b 得出来。解析式，这四分拿到了， 你看二十一题就这么简单。第二问更简单，当探针进入页面以下的长度是十二厘米的时候，求体积，那就让他带入十二，得到一百二十， 就这么简单，六分就拿到了，然后继续当探针与页面刚接触时，刚接触时，意思是 页面以下探针的长度应该是零，哎，也就是当 x 等于零的时候， v 是 等于五十，你看这又拿到了七分，到这就拿到七分了。 但是我们要求的不是 v， 是 装置内页面的高度。页面的高度，那这页面的高度跟和 v 有 什么关系呢？页面的高度我们知道 v 是 五十， 那意思是说我只要用 v 体积比上比面底面积，就可以得到这个页面的高度。底面又是多少呢？题干里边一句也没提，所以我们需要通过我们的这个知识去判断出来。那咱们看一下啊， 当探针的进入的体这个深度是五的时候，他说体积这个时候是一百。当探针进入是十的时候，意思是他在上升五 是十的时候，意思是这也有五，那这个时候体积是一百五， 那意思就是上边多出来的这一段的体积是五十倍，体积是五十，探针的深度是五， 这一段是五，体积是五十。所以 s s 啊， s 等于十啊，或者以它这个 x 每增加一厘米，体积增加十， s h 等于五十， k 等于十，所以它啊，意思你终归要求出这个来 s 来，然后把 h 求出来，九分拿到 二十二题，二三二四不讲，有两个非常好的小视频已经发下去了， 菱形两次对折并按并顺次连接各边中点，中点，中点，中点啊，有同学这样解的啊，我认为也正确，几何体有很多种方法 啊，就是说这是整个是二十四，因为是对折，这是十二，然后这是五，所以这是三。同理，这啊，这是十三，同理，这是十三，这是十三，这是十三啊，所以他就是菱形兵沟啊。也对啊 啊，或者你还可以怎么去解，我连接对角线，连接对角线中点中点中微线，对不？所以它平行且等于它的二分之一，那然后这个也平行，且等于它的二分之一， 它和它平行。平行四边形，然后这个也平行且等于它的二分之一。因为它是矩形，所以对角线相等，所以这个和这个也相等，所以它是菱形。 第二问，求 c e 的 长来上答案 上南 c e 的 长， a、 d 是 平行于 b c 的， 然后角 c a d， 角 c a d， 它是对折了一下，等于角 c a b 等等于角 c e， 然后角 c a e 这个角又等于这个角平行，所以它俩相等，所以这两边也相等。翻不了身。 a 等于 c e 啊，它俩相等，因为平行，所以它俩相等，然后所以它俩相等。咱们在这有角平分线加平行，会得到个等腰三角形， 然后直角三角形 a b e 当中 ab 又等于十，然后 e a 等于 c e， 所以 e a 的 平方等于等于 ab 的 平方，加上 b e 的 平方。 呃，就是他这写的，我认为这个比较乱啊，他让求 c 的 长，是吧？咱把这设成 x， 这也是 x， 这个就是二十四减 x。 根据勾股定律，十方加上这个的方等于 x 方得出来， 最后解出来是十二分之幺六九，就起了这个面积。面积。 呃，也不难求。最后得出来，他，你不用去化成这个小，这个不用化成整数去啊，直接比关系就可以了，因为你再化成整数 大概约等于多少的时候，你万一算错了怎么办，对吧？是一百四十一还是一百四？算错了怎么办？所以不约啊，你就直接得最后得到他大于一百二。嗯，这个的面积好求一点。 哪个面积？这个面积好求，求一点，二分之一的它乘以它啊，所以这个等于一百二，然后 c、 e 是 已经求出来了，等于十二分之一百六十九，所以它的面积就等于二。这个底乘以高呗。这个乘以十，那就是这个的面积。他他他咋求的？他怎么求这么热闹啊？ 就直接等于十乘以它就可以了呀，对吧？底底边乘以高，底边乘以高，就是这个平行四边形的面积，这可以不用写啊， 这可以不用写，底边乘以高，底边已经求出来了，底边求出来， c、 e 求出来了，底边乘以高等于它，所以最后这个面积大。好，我们就讲到这。

石家庄中考一模多少分会被重点高中签约选走呢？本月底，也就是四月二十八日、二十九日和三十日这三天呢，石家庄全部初三学生进行一模考试，就是所谓的初三质检 中考一模真的太重要了，重点高中会根据一模成绩提前签约，分配生资格争取也会参考一模的成绩。 重点高中提前签约方面，如果一模成绩优异，全是为此前百分之四估分七百七十分以上，可能会收到二中、一中、二南精英等重点高中的提前签约通知，锁定重点班或者实验班的资格， 中考成绩达到学校录取线就可以进入相应的班型，成绩中上等全是为此前百分之十估分七百六十九到七百五十分，可以重点关注二中、西一中、东润德等学校，咨询重点班的签约的条件， 分配生资格争取上面校内排名靠前的学生。强效生前百分之十，普校生前三到五名，可以尝试申请省级示范高中的分配生名额。关注点赞赵老师，希望所有的孩子都能考出一个好成绩！

今天的那个一模的试卷呢？计算量太大了。八十分吗？去年比的话有很多是一模考个六十来分的，七十来分的中考都上了一百分。你说这道题还是有难度的，思维不怎么难。思维，就最后一道题的思维比较难，倒数第二题的思维。 一儿子放的邱哥公社。我也想出来了，就是数算错了，我扣那数扣半天。计算量太大了。我计算的话我只能用了好多张，一般的这个算的，发一张发一张，大的，冲口，不是草稿纸不够能找老姨要。对，但我就怕他到时根本就算不完。我从来不会出这种。 这个说不清楚，今年中考比较难。难在什么地方呢？可能竞赛量比较大。再就是你意识的理解题目的意识的理解难度系数零点六。啊，对，不会看这个了。什么意思呢？就是一百分考平均分考六十二分，一百二十分就七十四分多一点。前几年难度系数都是零点六，越接近一级越容易。 这个八十分不算那么差的，你可以跟班上比较一下，因为有很多四十一中的，上次考试考一百一以上的都是九十来分，上一百分的不多，很多同学是九十六到一百分之间，所以八十分呢？这个差不算差，但好还谈不上。对，还要加油。

石家庄初三试一模，成绩出来之后啊，很多主播开始拿试排名推算能上什么高中，但是不同的机构估算的其实差距挺大的。其实家长不用太盯着这个试排名，这次试一模没有参考价值，因为这次一模是各校自己老师阅卷的打分标准不一样，要看的还是孩子在学校的校排名，因为分配生跟校排名有关系。 至于试排名呢，等真正中考的时候，会有一个一分一档表出来，那个试排名才更靠谱。再说了，现在距离中考还有一个多月不到，最后你永远不知道结果是什么样的。所以家长现在不要瞎焦虑了，重点不是关注一模的试排名，而是之后怎么做，怎么在中考前的这一个多月的时间里，让孩子往上再提一提分。

石家庄长安区一模数学这科在最后压轴出场真是有原因的，如果放到前面，不知道多少同学考完心态就崩了。做完一遍感觉这难度，这计算量，对于一轮复习还没结束的同学来说，又是一场噩梦。 最近考完的三个区，桥西区最简单。个人感觉长安区与育华区数学难度相当，但是侧重点不同。育华区一模卷有几个题干涉及到其他学科， 题目显得很新颖，对考生材料题阅读理解能力要求更高，但这类题读懂题后反而更好上手一些。 说回长安区，这套卷最大的特点就是特别务实，不搞花里胡哨的东西。对于反复强调的重难点考察的更多，比如填空压轴十六题和解答压轴二十四题，都是往期常考的线段最值和二次函数图像动态问题。再说两个区选择填空的对比， 裕华区选择填空难度区分更明显，除了个别两个题目难处理一些，其他应对起来应该是比较轻松的。反观长安区的 好几个小题，虽不在压轴位置，但极容易出错，比如选择四六八十十一，填空十五、十六，尤其十一、十五两个次压轴题都跟函数图像有关， 出错率会比较高。解答题二十二、二十三计算量非常大，要么数特别大，要么结果非常奇怪。反正我是半夜刷的题，还有点感冒，算起来总是不断的怀疑自己，这点跟玉华区差不多。 还有一些共同点，两个区解答题中都考到了折叠问题，都考到了尺规作图的操作，还有都有半圆相切问题， 这些可以作为接下来初三学生重点复习的方向。最后再说说长安区这套卷多次重点考察的地方，首先就是分类讨论，选择第四题和解答题后两个都用到了。再就是动态变化问题，选择后两道，解答题后两道也都有涉及。 简单总结一下，长安区这套卷整体设计还是非常不错的，尤其是在这个阶段，非常适合大家用来查漏补缺，所以我更推荐所有考生都做一下。 最后，石家庄马上就要试一模了，关注大帅老师有关择校和中考的消息，大帅老师给您最靠谱的解答，跟着大帅成长更快！

首先这套卷子呢，一到八题，一到八题啊，其实都是常规题，一到八题，第一个啊，卷子组成选择的一到八啊，就是一些常规题，基础常规题 啊，主要考察的有也就是一些基础的运算，或者是几何里面比较简单的定律，或者是稍微做一个简单的辅助线，就是啊，平行线遇到拐点了，我们做平行线构造内错角或者同胞内角，这些都挺基础的。那第八题是一个定义类问题啊，他涉及到了分类讨论，但是这题也不难， 但是第八题呢，有的同学算错了，这道题出错率还是蛮高的，但是这道题其实他也是常规题啊，非常明显的一个分类讨论啊，结合了一个基础运算。所以说，如果你发现孩子这一到八题里面出错了啊，他做错了，第一 啊，他的基础可能不是很扎实，你看孩子是什么原因导致出错的啊？那么第一个，如果说孩子说没看清出错了对不对，那他就是没有养成一个检查的习惯。但是如果孩子说啊，确实是某些知识点当时没有记忆起来，或者是没有熟练的去运用，那还是基础上面是有一些问题的。所以我建议咱们啊，在针对这部分，比如说哪个部分出错了，比如说第五题出错了 啊，这是一个三角形的那个斜边中线的斜边一半的性质定理，结合了我们平行四边形对角线的焦点对角线，中点也结合中位线啊，简单的结合。如果这道题做错了，那咱们建议再把啊三角形和四边形的基础定理再让孩子梳理一遍，然后再让他做一做相对应的专题， 然后八题以后呢？第九题啊，第九题出错率也比较高，是一个相似类的题目，结合了啊，周长，第九题是相似，结合了三角形周长的问题，考察的就是什么呢？周长之比就等于相似比，对不对？但是好多同学他可能没有看出来啊，觉得比较复杂 啊，像这样啊，就是其实就是一个灵活运用啊，就是一个灵活运用啊，那么像这种的话呢，它是几何，其实也并不是很难啊，如果说第九题出错了啊，以第十一题、十二题、 九十一、十二都是较难的一些几何，但是第九题相对来说比较基础啊，十一十二是选择里面的压轴啊，是两个几何问题。如果这道题孩子孩子得分率不高的话，那我建议建议我们再去刷一些较难的几何问题 啊，比如说咱们刷套卷的时候，我们就针对性的刷啊，选择里面的啊，压轴的这些几何类问题，然后让孩子去拓展一下他的思维，对不对啊？因为有的时候你看这几何跟函数结合，有的时候他明显的是 跟相似结合啊，结合里的相似啊。那第十一题呢？我考察的一个引援问题，对不对啊？像这种问题吧，其实比较常规，考察频率也挺高的，但是确实有点难度，所以可以让孩子进行一个专项的练习。 然后就是第十题啊，第十题错率也挺高的，第十题是一个方程的问题啊，昨天有同学啊过来，然后对答案，然后发现第十题做错了，我就说咱第十题啊，就算你不理解，咱们也能看出来 bc 选项它是矛盾的对不对？ 所以我们要快速的去，不能说啊，做题就陷入一个固定的思维，我们还是要脱离去，脱离出来加上一些技巧，对不对？ b 就 选择题嘛，对不对？那 b c 选项是互相矛盾的， 我们再看 b c 选项谁是满足等量关系的不就可以了吗？对吧？啊，所以说我们做一道题的时候呢，还是要说这个思维要灵活。数学就是考察的基础知识，还有你啊深层次的一些问题，加上一个知识的灵魂运用啊，所以第十题的话， 如果做错了就是方程，第一个掌握的不不很扎实，第二个啊，就是我们这个灵活程度，还有我们检查的一个能力并不是很强，所以可以让孩子啊，专项的去刷一刷较难的一些方程类题目啊，就是集中出现在九题以后的这类 啊，这类题啊，如果说孩子一到八题完成很好，我们就尽量的尽可能的尽量让他刷一下九到十二题，拓展一下他选择题的一个多维度解析能力，还有一个几何题的与各章知识结合的一个解析能力 好，这是第一个选择题，选择题总体来说啊，就是十一，十二确实比较难啊，但是十一题的话，如果你咱们孩子们知道引元那个问题啊， 能识别出来他啊，掌握他要求的是我们对定理的一个深层次的把握，所以十一相对来说是稍微简单些，但是十二的话，确实啊，运算难度或者说技巧性会更强一些啊，所以我们可以选找 ab 的 坐标，结合了一线三角模型再去列方程啊，所以他考察东西很多的啊，如果哪一个环节没有衔接上，这道题基本上就做错了啊。但是好多同学还是 蒙对了的，因为这道题他有技巧，因为他最后求的是两个线段的长。那咱可以看一下，咱家孩子如果选 b 了啊， 那就是纯纯粹瞎蒙，因为 b 选项是一个负数，线段与线段的比值不可能是一个负的，对不对？然后 c 选项选择的选 c 选项，同学他肯定也是没有 没有审题或者直接就蒙了啊，因为 am 比上 o n 的 话明显短，是他比这条小。一，如果咱家孩子选 b 或者选 c 了，你可以看一下，带他去捋一下。如果选 b 选 c 了，就是没有依据的瞎蒙啊，那么选 a 选 d 的， 你选错 a 了，还情有可原吧啊啊，还是有点依据的。还有 a、 d 是 比较接近的，而且是符比较符合这个图形的。 所以说，这道题如果同学们反能排除 b， c 选项，就算解不出来，排除 b， c 选项， a、 d 里面你答对的概率也到百分之五十了。所以昨天还有很多同学虽然不会这道题，但是也做对了啊。所以说，我们选择题的话，就算你去蒙，你也要有依据的去蒙，我们先排除到特别离谱的选项，再去蒙。呃，再好的，那么选择题我讲完了，然后咱们再看一下填空题啊， 填空题的话呢，第十三题比较基础，就考察了一个啊，取值范围问题啊，根号底下的代数式要代等于零啊，也就二次根式的非复性啊。但是还是有同学不少同学做错了啊，所以说还是基础内容掌握的不够扎实啊，就是它的非复性。十四题的话，这个题正确率还是蛮高的， 就是我们直接画三角形啊，竖形结合啊，三比四比五的三角形啊，摊着的 a， 只要知道定义就是对比零啊，直接出答案。所以十三十四啊，到十五这三道题啊，基本上只要是基础稍微扎实一点的孩子都是能拿分的。这三道题啊，这九分，这九分啊，如果咱家孩子这九分还丢了一部分 啊，说明基础内容啊，练习的还是不够好啊，还是不够扎实，它也是基础 啊，这个分数也是基础的九分。然后第十六题的话，第十六题的话呢，它确实比较复杂，是正六边形，但是结合了三角形面积的最值问题。那结合了最值问题呢？ 它是二次函数里面的最值啊，咱们叫首尾数，列方程了啊，列函数了，找函数解析式找最值了。所以说十六题的话呢，确实稍微复杂一些，但是是几何加函数啊， 就是我们要把啊，像这样比较复杂的集合问题，如果我们啊与函数去结合，反而我们弄最后求出来这个问题啊，或者是我们啊，在有的同学可能也听说过，用间隙法可以解决比较复杂的集合问题，因为有的时候确实做辅助线，辅助线不好想，但是如果我们 啊接触到一些与函数的结合啊，对不对？我们把复杂的集合去转化成啊简单的函数问题，其实相当于说有的时候会很简单。所以我们啊，其实总结来说，我们 初中这三年在数学里面学过的最大的两个模块就是几何和函数啊，非常有力的就是函数，函数，而且是我们高中学习的重点，所以我建议咱们把函数问题啊，让孩子重点的再去夯实一遍啊。 好，那么就是函数解析的一个思想，用函数解决复杂的几何问题啊。所以说啊，选择填空题里面呢，就是啊，这几道题稍微比较难吧，也就九九题到十二题，以及十六题稍微比较难啊，其实九十十一，十二也就是十二题啊，十二和十六是最难的啊 啊，如果咱家孩子呢啊，也就这两道题，不是啊，不是特别掌握的不是特别好的话，那就建议啊，我们就去重点的去刷选选填的压轴题 啊，掌握多一多的方法，去答题的一个思路。然后如果在其他部分丢分了，还是基础啊，或者是各章的那个中等基础上面是有些问题的，建议让孩子集中的去刷一刷相对应的连线题啊，进行一个专项练习。 好，然后我们再看十七题，十七题就是一个简单计算，就是一个啊，有理数的运算，还有一个分式的啊，混合运算啊，如果这道题那做错了，说明细节掌握的不够好， 或者说考试的时候他没有养成一个良好的检查习惯。其实这个题的啊，得分率应该会挺高的，但是我看到还是有不少同学做错了，这题是最基础的，最基础的题了啊，考察都是初一初二的内容了啊。好，那么这七分，如果咱家孩子丢了啊，丢了其中的某一个 啊，两个题，如果其中某一个扣分了，或者两个都扣分了，建议让孩子刷一刷基础的预算啊，尤其是数与式模块，再去进行一个嗯，二次的一个专题学习。好吧好，然后就是后面的啊，第二道大题的话，第二道大题啊，同学们可能比较新颖，觉得啊，十进十进制和三进制啊，十八题， 十八题，上次去一门考了一个规律问题，但是这次考了一个禁止啊，同学们可能有点读不懂啊。有同学第一问，第一问还是能套题干里的那个模板，直接算出来是十六 啊，第二问的话，大部分同学好像都没有做出来。所以说这个题呢，还是考察你的一个审题，还有你的一个发散思维的一个能力，对不对？他与代数式的结合，又结合了我们上次的规律问题啊，就是题个三，然后结合了一个，最后求 d 的 值。好吧，只要读懂了这道题，其实还有还是有不少同学能做出来的。但是这道题 虽然平时没见过啊，虽然是一个新型的定义问题，但是其实我们读懂题，审题能力，审题能力，还有发散思维的能力，就是举一反三能力，通过这个题，我们衍生出来了跟代入式的一些结合问题啊，其实这道题也是能拿分的，所以综上所述呢啊，就是选选填以及大题的前两题，大概是这样的啊。 嗯，好，那我们再看后面的题，后面的就是第三道大题，十九题啊，十九题，这次啊，出的比上次简单，太简单太多了 啊。十九题也是一个统计题，上次我们也考统计了，但是上次统计的得分率很低，因为上次的统计结合了方程，然后最后一，最后一问的那个啊，数账图啊，跟咱们平时画的不一样，好多同学都蒙了，但这次的很常规啊啊，这八分 如果丢了的话，说明统计的基础都掌握的，有一些问题的，建议让孩子再专项的刷一刷统计的题啊，刷到满分为止对不对？好，那么我们啊览一览，前面已经出现了选择的前八道题，二十四分， 填空的前三道题九分，以及大题的第一题七分，第二题啊八分，第三题八分，这都已经很多分了对不对？好，让我们再看第二十题， 二十题，这题也很简单，二十这题啊，这个可以啊，第一问的话啊，有同学用相似来解决，有同学用八字模型来解决都可以。第二问就是一个全等，而且完全都不用让你啊倒倒角或者怎么着的啊，直接就对应过去，就就全等了啊，就是一个 边啊，等角对等边，然后找找到一组边，直接全等就可以了，没有什么别的坏心眼。二道题，二十题，二十题是一个基础非常基础的集合啊，八分好，这八分啊，也基本上也是没问题的，只要咱基础稍微过关一些，对不对？这八分也是没问题的。然后就是二十一题， 二十一题呢，是一个一函数啊，前两问嘛啊，只要咱们别审错题啊，只要我们看对，这个表格是横着看的，哎呀，我遇到一个同学竖着看， 结果算出来的 k 是 什么，五分之九十几几十分之几十几啊，审题都没审对，所以说审题一定要看清啊，就是如果是在审题上遇到问题了，下次以后一定要提醒孩子，咱先读懂题再去算，或者你都算出来这么离谱的数了，你就会 再思考一下，是不是审题出现了问题对不对？咱们做题的时候要有点心眼对不对啊？咱们要怀疑一下，这才二十一题呢，是不是啊？那后边的话怎么会数这么大呢？是不是你再检查一下？而且我强调，我很多次 遇到函数解析式的问题啊，你算完以后一定要再把点带进去再检查一遍，所以正题一定要反复的去看了啊，从二一题往后啊，一定要认真的去审题，认真去看了啊，题干都开始变长了 好，二十一题的话呢，就是简单的啊，一函数，但是第三问，第三问，好同学都没做上来，为什么？因为他没有审清这个题干，人家问的是页面的高度，好同学都算成了液体的体积啊，甚至有的同学可能看到页面的高度，但他不会求体啊，他根据体积不会再倒成高度了啊，这都是一些问题啊。但是这道题呢，前六分， 前六分是好拿的啊，前六分很简单，因为前两问嘛，六分就是求个解析式待定系数法啊， v 点 k s 加 b 啊。第二问就是把十二往里一带，就很简单吧，对不对？这六分还是非常好拿，如果这六分也没拿，哎呀，一定是审题有问题了啊，再强调一遍，审题啊，那第三问呢，其实也并不是很难 求页面的高度，那高度的话，在我们小学都学过，圆柱体的体积其实就是高度就等于呃，那个圆柱的体积除以底面积，在这里只要我们分析出来底面积就可以了， 而底面积我们也可以根据前面给我们的两组数据啊，他的意义去推啊，其实这个 s 就是 啊，液体体积的变化量，比上高度的变化量啊，就是一厘米 对应的那个底面积，对不对啊？一厘米对应的那个啊，液体的底面积其实就可以求出来了啊，所以我们再用此时啊，刚接触的时候啊，液体的体积除以我们的底面积啊， v 比上 s 就是 就是那个 h 了就可以了啊，好的好，所以这题还是啊，最后疑问的话，看我们那个灵活运用能力啊。好，然后我们再看二十二题， 二十二题这道题呢，跟上一次区一模啊，上次区一模，玉华区那道题，从呃矩形里面找最大的菱形那道题，那不基本上一模一样吗？ 就是运算量稍微大了一点，那如果孩子确实没做出来，那就是上次可能如果说咱刷到玉华区的卷子都没有吃透，所以说如果孩子遇到啊，不会的题了，咱们一定要及时去总结啊，及时总结，尤其是这种大这种大思路的题，对不对？他一道题中心思想不就是菱形 啊，平四边形啊，那弄那些特殊的四边形那些东西吗？而且结合了一个什么的问题呢？折叠问题对不对啊？折叠问题也是孩子们特别薄落的一些地方，所以遇到这些问题咱们要及时去总结对不对啊，尤其是现在遇到的每一套卷子，咱们一定要做完以后就让他吃透了， 吃透了里面是哪些地方没有掌握好，可以带着他去总结一下错题，总结下这次，哎，哪个哪个知识点没有掌握好，哪个哪个地方或者哪个地方没有想到不够熟练或者审题不仔细什么的问题，让他自己尝试去总结一下啊，出错的问题让他自己去说，让他自己说下次怎么去改啊？下次考试之前我们，呃， 这次考试完了，到下次考试之前我们该怎么样去对待每一套卷子啊？怎么样去进行一个突破对不对啊？好，那么第二十二题的话就是一个，嗯，四边形中等吧，只能算中等， 他不是压轴的题啊，他不是压轴题其实得分率还是比较高的啊啊，只是相对前面来说得分率略低一点，因为从这道题开始的话计算量确实很大啊。第二问就是还是老思想啊，就首尾数列方程因为设到菱形四边相等吗？首尾数列方程的思想，那么最后，呃，第二问算出来个一百十二分之一百六十九 啊，从这好多同学都开始不相信自己了。第三问好多人都蒙，这俩面积相等，那就是做题，做题做的太少了， 你这面积你看看这两个怎么可能相等呢？第一个菱形占了矩形的一半，来第二轮算出来了个底底乘高啊，明显比第一个要大的对不对啊？因为我们这两种做法下，其实我们要找到里面的最大的一个菱形的话，其实是啊，十二杠二，就这个图的话是我们玉华区里做到过的，就是这么去这么去找啊。所以说啊，这个题还是要考察我们的什么呢， 运算能力啊，方程方程去解决几何问题啊，勾股定律里面的啊，首尾数列方程的思想，还有我们四边啊，特殊四边形，特殊四边形的基础基础知识的掌握情况啊，其实特殊四边形只是一个引子对不对啊？但是他后边考察的其实就是 特殊四边形，只是它的一个背景啊，在里面我们结合到了方程还有一些复杂的运算，所以考察的能力就开始多维度的能力了啊，如果一个能力没有达到，那这道题很可能还是丢了不少分啊，很可能只拿到了第一问的分啊。 好，那么但是第一问的话，前三，呃，前三分还是好拿的。其实这题整体来说呢啊，也是我们之前遇到过的题，但是这次如果再错了啊，反正反反映出来一些问题，可以带孩子去总结一下啊，这道题总体来说拿个六分左右啊，也不成问题，不是很困难好吧。啊， 好，然后就是二十三题了啊，肯定有肯定，如果要孩子跟咱们聊这次考试的一个情况了，那二十三题肯定是他们抄点最多的，因为计算计算量太大了，就算孩子会啊，然后那个坐标也求错了，解析式也求错了，导致 而且第一问用的时间首先很长，然后又算不对，又耽误了后边题的运算，然后还没拿分啊，就是肯定是抄点最多的这道题啊，二十三题运算量特别大 啊，其实这个二次函数啊，确实是压轴题，但是他其实思想来说啊，就是他考察到的一些函数的思想并不是很难，其实都是一些常规的思想，但是确实运算量很大。从第二问开始啊，那解析式就变成了什么 啊？负 s 方加三分之二十八 x 减十八，这个也还好，然后最后的坐标就是那个顶点坐标。相对去年来说运算量并不是这一问，相对于去年的试一模来说，运算量并不是很大。去年的试一模也是一样的， 就是求解一式，然后让你求定点坐标啊，那个运算量也很大呀，什么负五分之十八豆啊，负二十五分之二百五十六啊这种数啊。所以啊，但是孩子们还是说考场上的时间太紧张了，他一紧张稍微哪一出错他又注意不到，又着急做后边的题，导致可能这道题他都 稀里糊涂就过去了啊，导致分都丢了。所以说，嗯，平时的练习里面可能孩子做的比较准确，但是一考试就不行，说明还是对心态上面或者是高压下的一个运算他一紧张啊，还是说还有点紧张，所以还是让他进一个现实刷题，这是一会我要强调的 好。那么然后第呃，这道题二十三题的第二大问呢？其实也不难啊，孩子们也做了，有的孩子也做了，还是能做出来的，但是后边确实时间也不够用了 啊，就算你压轴题有心想做了，已经无力了，因为时间已经慢慢流逝了啊。好，而且最后一问哈，又涉及到了什么焦点问题啊，然后你你就要什么结合了，平移又焦点啊，后边得到什么三项式乘以二项式就项数特别多啊，符号要特别 符号特别注意，而且又结合到了焦点问题啊，就挺复杂的。但是啊，思路不难，但预算确实比较复杂，所以这题看是预算能力，预算量 运算能力加上二次函数的二次函数基本思想啊，运算能力比较强的孩子，这道题拿个七分左右肯定是不成问题的，因为第一大问就占七分啊，不知道同学咱们家长们看没让孩子对不对答案 啊，咱们那个解析里面不都有对应的那个多少分多少分吗？对不对啊？第一大问就占七分了，只要你运算过关，基础过关，你看这道题也就丢四分，虽然是压轴题，对不对好？然后最后就是二十四题，二十四题的话呢，他考察的却是一个圆的复杂积分啊，这道题得分率肯定是最低的， 确实比较复杂，还平时很少见是复杂的圆里面裁剪，然后又拼接上了。第一个是时间不够用了，第二他复杂，你需要 抓紧时间限时去把它完成，所以啊，考察的能力还是比较强的，所以孩子们这道题得分率是最低的。但是其实啊，这一共是五问，前三问啊，都不是很难。 前三问的话，只要咱们几何的基础过关，然后基本的辅助线过关，这三问还是好拿分的。而且这三问应该占了六七分左右啊，占了大概一半多一点的分。而且第三问其实他在引导我们四五问的一个做法，因为第三问让我们找圆心， 而圆里面最重要的不就是圆心吗？可以用半径输入向量结合怎样三角形，怎样三角形里又会衍生出来新的辅助线，思路就是三线合一啊，去创造三线去，然后再构造新的直角三角形去求，最后去求这个 d c 的 长，对吧？所以说啊，这道题来说，确实综合 很综合，但是前三问很常规啊，前三问很常规啊，只是他考察的你的形式比较新颖，就是 把把这个圆，把这个半圆裁剪，然后又拼接了一下啊，好，又考这个内容了。所以总体来看，你看啊，最后两道题，咱们只要基础预算能力过关的话，拿个七分左右，然后最后一道题拿个六分左右。你看孩子基本上啊，如果他基础过关的话，以上能拿到这些分，那说明什么了？ 说明首先预算能力差了一截，基础啊，知识的掌握也差了很多，所以说我们可以专刷啊，基础，专让孩子刷基础。然后我建议咱们家长们让孩子进行一个现实训练，因为你可以发现，因为咱可能发现平时孩子在学校的小测，或者说啊，在平时的作业练习里面都完成的可好了 啊，都算的可对了。但是咱们这只是啊，时间是随便去设置的对不对？他想完成到什么时候，完成到什么时候，但是真正的中考是我们与时间在赛跑对不对啊？所以我们要， 我们，我们要进行一个高压下的一个练习，让让他在单位的时间内，在规定的时间内尽可能的去拿分，每次考试中遇到一些问题，再让他自己去发现问题，去解决问题啊，别人强调只是别人强调的，强调的他有没有记在心里，有没有真正运用过去，那才是孩子需要掌握的一些能力。 好吧，那么啊，我就希望咱们，呃，可以抽时间的话，让孩子进行一个一个小时，比如说一个小时就让他刷基础，对不对？如果他这次根据他这次考试的一个分数吧，就让他刷基础， 然后比较好的同学咱们就刷压轴。但是压轴的话，嗯，也是得限定时间，对不对啊？你不能思考那么长时间对不对？因为真正的中考可不是没，可不是有那么长时间的，对不对？所以还是要考考验我们强压下的一个啊，思维能力，还有我们的一个预算能力。好吧，那以上就是我们这次试一模的一个数学分析，如果有什么问题的话咱们可以再联系，好吧？好，再见。

很多同学啊，强烈要求曲老师来讲一下石家庄一模这二十三题，就这道坑题啊，曲老师带你来添平它，我们一起来看题。点 a 点 b 在 直线， y 等于三分之一 x 上啊，就这有条直线，它是 y 等于三分之一 x， a 和 b 给我们了，且 o a 等于 ab， 那 说明什么呀？ a 点就是 ab 的 中点抛物线， y 等于负 x 方加 b， x， c 经过点 ab 顶点为 m。 好，那么第一问呢？告诉我们说 a 点的横标是三，你可以马上得到一个信息，既然 a 点的横标是三，那么由钟点公式 b 点的横标是不是应该是六啊？他让我们直接写出 ab 的 坐标，这个还是很爽的啊， a 点坐标，横坐标是三， 那纵坐标我们往这直线方程里一带就行了啊，所以他应该是一 b 点呢，刚才老师说了，他的横坐标应该是六，我们口算都能出来，然后纵坐标六带进去呢，就应该是二。第一问，人畜无害。再来看第二问，如 l 的 函数表达式及 m 的 坐标，那我们知道啊， ab 两点在这个抛物线上，我们 应该把这两个点往里带，对吧？好，我们现在来带一下 a， 先带进去，一等于负九加三， b 加 c， 然后 b 带进去，二等于负三十六加上六， b 加 c。 好， 这个式子我们就可以解出 b 和 c 了，下面减上面一等于负二十七，加上三 b， 所以 这个 b 啊，它很难看啊，它应该等于 三分之二十八，我们再把 b 代入到一式里面，就可以求出 c 啊， c 应该等于负十八，所以第二问，哎，我们的抛物线就有了， y 应该等于负 x 方加上三分之二十八 x 再减去一个十八。 接下来题目中还问你 m 的 坐标， m 是 顶点，那我们可以用公式法来做 m 点，它的横坐标就应该是负的二 a 分 之 b， 那就是负的二乘负一分之 b 三分之二十八，也就是说它的横坐标啊，其实就是三分之十四，那么它的横坐标是三分之十四，我们把它往里带，就可以算出它的纵坐标，你就不用那个四 a 分 之四 a c 减 b 方那个公式了。那把三分之四往里带，就是负的三分之 十四的平方，加上三分之二十八，乘以三分之十四，再减去一个十八。如果到这啊，你强行给它打开算，确实也能算，但是计算量是不是很大呀？你要算十四的平方，你要算二十八乘十四。 但是，哎，我们这里面有一点点小技巧，你会发现，二十八就是十四的两倍。如果我们把二十八这个二提出来，我们是不是可以写成这样， 负的三分之十四的平方，加上两倍的三分之十四，再乘一个三分之十四，那就是三分之十四的平方，再减一个十八。哎，那我们就发现了，这个东西加上两倍的他，其实就是一倍的他嘛，所以他就等于三分之十四的平方减一个十八， 把他算出来就行了，对吧？哎，这一步化简非常重要啊。好，那他的应该等于什么呢？三分之十八，那你减去十八通分 九乘十八。好，这个数呢，应该等于九分之三十四。好，我们的 m 点坐标纵坐标就算出来了，应该是九分之三十四。好，算到这啊，你就会发现这个数其实挺怪的，很多同学可能在考场上也会担心自己算不对， 会再复查一遍，到这为止啊。这个圈二确实会浪费我们一些时间，我们继续来看第二本。设点， a 的 横坐标为 t， a 和 b 的 横坐标是有关系的， 那 b 的 坐标是不是就应该是二 t？ 逗什么，对吧？好，还有说用含 t 的 代入式表示 b 和 c 啊，那没有别的办法是吧？我们只能带入， 所以你现在呢？你就只能把 a 点的坐标和 b 点的坐标全部都用 t 来表示 a 点的坐标应该是 t。 逗，我们把它带进去三分之一 t， 我们再把 b 的 坐标它应该是二 t， 然后纵坐标三分之二 t， 这两个坐标都求完了之后， 跟刚才的计算方式一毛一样。但是含 t 计算量非常大啊。我们再来一次，三分之一 t 等于负梯方，加上 b 乘以 t， 再加上一个 c。 三分之二 t 等于负梯方，等于负的二 t 的 平方，也就是四梯方，然后加上二倍的 b t 再加 c。 好， 计算方法跟刚才一样，还是用下式减上式。三分之一 t 等于负三梯方，加上 b t。 别忘了题目中问我们什么，问我们 用 t 表示 b 和 c 是 吧？所以你现在要求 b， 要求 b 这个整个这个式子，哎，我们能不能同时除掉一个 t 啊？化简一下，可以，因为 t 不 为零啊。 好，那就是三分之一等于负三 t 加上一个 b， b 就 有了， b 应该等于三分之一加三 t。 好， 那 b 有 了，再代入到一式里面再去求 c 啊。我们打一个小草稿， 三分之一 t 等于负梯方，加上三分之一加三 t 乘以一个 t， 再加一个 c， 把这个式子打开，负梯方加三分之一 t， 加三梯方加 c， 左边是三分之一 t， 我 们会发现三分之一 t 和三分之一 t 抵消了啊，所以 c 其实就等于什么呢？把这个合并二 t 方，再移过去负二 t 方。好，那么 b 和 c 的 值我们都已经求完了，没完。题目中说呀，并求当 t 为和值的时候， m 到 x 轴和 y 轴的距离相等。 那你现在要干什么？跟刚才还是一样，你要用含着这个 bc 的 这个式子给我去求顶点。这个解析式就应该是， y 等于负 x 方加上 b x， 也就是三分之一加三 t 倍的 x， 然后再加一个 c， c 就是 负二 t 方。好，解析式我们就求完了，别忘了还要求 m 到 x 轴和 y 轴的距离相等，其实就指的是它的恒动坐标相等，对不对？ 那它的恒动坐标箱呢？我们先求一下 m 的 坐标啊，你现在要带着 t 去求 m 了，所以它的 m 的 横坐标还是用刚才的公式，负二 a 分 之 b， 那 就是负的二乘以 a， 负一分之 b， 三分之一加三 t， 我 们把它化简一下， 它就是六分之一加上二分之三 t。 再来，那你的 m 的 纵坐标，我们还可以把这个横坐标往这个抛物线里面带，就这一步运算起来会比较麻烦。等于负的六分之一加上二分之三 t， 然后再加上三分之一，加上三 t， 乘以六分之一加上二分之三 t， 再减去二 t 方，占个平方啊，好。然后这个式子啊，又跟刚才曲老师说的差不多了，为什么呢？因为六分之一加二分之三 t， 这就有， 然后这个是六分之一加二分之三 t 的 两倍，你还可以按照刚才那样去操作， 它俩又可以合并，就等于六分之一加二分之三 t 的 平方减去二 t 方。好，我们把这个括号打开，再化简一下，它应该等于四分之一 t 方 加二分之一， t 加三十六分之一 m 的 恒动坐标都有了距离相等列方程，六分之一加二分之三， t 等于四分之一 t 方加二分之一， t 加三十六分之一。 好，有的同学看到这，哎，可能倾向于，哎，我要去分母左右同时乘以三十六，没有问题，不过呢，我们可以稍微先化简一下啊，那你看，我可以把这二分之三提。呃，我，我可以把这二分之三移过去，那就是四分之一 t 方减去一个 t， 然后三十六分之一减去一个六分之一。那是什么呢？那应该是负的三十六分之五啊，你乘以三十六，这方程也不好看， 怎么办呢？我们可以用配方来做，我呀，把这个式子呀，我不同时乘以三十六，我乘以四，变成 t 方减四， t 减去九分之五等于零。 那你看，我现在再去配方， t 方减四 t 就 非常简单了啊，他就应该等于 t 减二的平方，然后这边呢，九分之五移过来，再加上一个四，这个九分之五加四等于什么呢？应该等于九分之四十一， 所以 t 减二其实就等于正负根号下九分之四十一，所以我们的 t 啊，就应该等于二加减三分之根号四十一，对吧？那你到底取正还是取负呢？哎，我们来看一下题目中的要求， 他说 t 大 于零，所以我们只能取正，所以我们的 t 就 应该等于二加三分之根号四十一，你看这个数多恶心是吧？ 还没到最后一问，同学们，眼神不要迷离，打起精神，我们来看最后一问，就差一点了。他说，将 l 向左平移，得到抛物线，记作 l 撇，若 l 撇恰好经过点 a， 哎，那他怎么 移动经过点 a 呢？我觉得这个还是比较好想的啊，直接往左平移，平移到右侧的这个曲线，它经过点 a， 对 吧？那我们想知道的是，你这个 l 撇的解析式应该如何去求？你其实要算的是它是怎么平移的， 对不对啊？那它平移了多少呢？哎，我们可以这样去想，我们过 a 往这边做 x 轴的平行线交于这边一个点，比如说我把它叫做 a 撇吧，其实抛物线是不是就是从 a 撇移到了 a， 它移动的距离就是这段长度？那好，我们就需要求出 a 撇的坐标，对吧？那 a 撇的坐标怎么去求？千万不要再带点去求值了，我们可以根据对称性来做，咱们刚才啊，已经求出来了它的顶点的横坐标，这就是对称轴啊。所以你现在知道它对称轴的横坐标是 六分之一加上二分之三 t， 你 又知道它 a 点的横坐标是 t， 那 我们给这个对称轴乘以二，然后减去 t 不 就完了吗？哎，就是 a 撇点的横坐标，它的横坐标就是 给他乘以二三分之一加三 t， 再减一个 t， 也就是三分之一加二 t。 所以 我们就知道了，原来他是从三分之一加二 t 移到了 t， 他 移动了一个什么三分之一加 t， 现在我们给这个抛物线啊，往左平移，同学们还记得吗？函数的向左平移应该叫左加右减。好，那既然我们现在已经知道它怎么平移了，哎，咱们其实啊，就可以得到我这个 l 撇这个顶点，我们把它叫做 m 撇， 哎，那它应该是 m 的 横坐标往左平移了三分之一加 t， 对 吧？好，那我们用六分之一加二分之三 t 减去一个三分之一加 t， m 撇儿就应该是六分之一，就应该等于二分之一 t 减去六分之一，那么我们现在就可以把 l 撇的方程写出来了。 l 撇，也就是 y 等于负的 x 减去二分之一 t 加六分之一的平方，然后再加上它顶点的纵坐标，这是一样的。 算完 l 撇之后，我们来看一看题，问我们什么？他说 l 撇与 l 的 另一个焦点的坐标，哎，我们现在可以把另外一个焦点设成 p， 这个屁和这个 a， 如果你想求它的关系，我们肯定要让这个 l 撇和这条直线进行连立，连立了之后，你要求出屁，你现在已经知道 a 了，对不对？你要求屁，那我们要想到什么呢？用伟大定律，你千万不要再用求公公式了，很麻烦啊。用伟大定律的话，我们来聊一聊啊。 假设我们设 p 点的横坐标为 x p， 它与这个 a 点的横坐标也就是这个 t， 我 们其实知道什么它们俩的乘积，或者它们俩的和，假设它们俩的 和就应该等于负的 a 分 之 b， 那 你就应该关注你连立之后的那个式子的 a 和 b。 好， 如果是乘积的话，那你应该关注的是 a 和 c， 对 吧？好，我们要关注什么呢？哎，曲老师这边啊，我关注的是 a 和 c， 因为我觉得 a 和 c 简单。好，你来看看，这个式子 和 y 等于三分之一 x 连立，我们最后画的那个连立式，它一定是 a x 方加上 b， x 加 c 等于零的形式。我们现在要的就是这个 a 和这个 c， 那 a 是 什么呢？它只可能是这个抛物线提供 x 方， 所以其实就是负 x 方， a 就是 负一。我们再看 c， c 是 什么呢？ c 是 这个式子的常数项和这个式子 a， 它没有常数项，所以只看它的常数项，对不对？ 好，那他的常数项是什么呢？我们应该把这个括号啊，就这一部分给他，打开之后跟他合并，然后再来看。我们打一个小草稿，应该是负的二分之一 t 减六分之一的平方加上四分之一 t 方加二分之一 t 加三十六分之一。 这个式子把它打开之后，跟这个四分之一 t 方正好抵消了啊，他就没了，然后他俩相乘，再乘以二，那就是二倍的二分之一 t 乘以六分之一， 然后再加上这个二分之一 t， 这个东西等于什么呢？我们会发现，它不就是六分之一 t 加上二分之一 t 吗？ 那它就是六分之一加三，那它不就是三分之二 t 吗？好，还有什么呢？还有减去三十六分之一和三十六分之一，又抵消了，哎，其实就是它，对不对？那我们就发现，哦，原来 a 是 负一， c 是 三分之二 t， 我 们把 a 和 c 给它往里带，那也就是 三分之二 t 不 就是负的三分之二 t 吗？咱们刚才说了，其中 a 的 横轴标是 t， 把它除过去，所以 p 点的横轴标就是负的三分之二。 好，终于 p 点的横轴标求完了，纵坐标你再带入到直线里面就好了，所以 p 的 纵坐标就应该是负的九分之二。这道题我们终于做完了， 算了这么多是吧，掺杂了这么多技巧是吧？这意思，所以它性价比非常低。难题压轴不用出，曲老师带你有思路。

石家庄长安区一模数学卷，这份试卷呢，我认为是完全贴合河北中考新趋势的，没有难题、怪题，但是呢，却能精准的拉开分层。那这套试卷的核心优势呢，在于稳梯度、重素养贴。中考基础题、中档题、难题的比例在七比二比一，和河北省中考命题基本是一致的。 呃，一份好的试卷呢，绝对不是越难越好，那种为了难而难考，孩子没有学过的偏题，其实意义是不大的。真正的好题呢，是从出题角度，知识深度去设计，考的是孩子的思维能力，并且能够真正的去拉开层次。 我们来分析一下这套试卷，这套试卷的第十九题，第二十一题是新题型，完美契合了中考改革方向，是我们现在备考的一个核心重点 啊。然后整个试卷的梯度设计是比较科学的，基础题，稳拿分，中考题灵活应用压轴题，尤其是最后一道，考的是深度迁移。 以第四题为例，第四题放在选择题的第四个，确实给到孩子的心理压力比较大啊，因为这道题稍微有一些难度。再来看一下第八题， 八题，概率加正方题。这道题呢，不是再单纯的去算概率了，而是几何和概率的综合建模，这也是我们中考的新趋势。 再来看一下第二十三题，第二十三题呢，是圆和角、直角、三角形的结合，猛的一看，感觉这个题挺常规的，但是呢，第二问的计算量非常大， 这道题主要考的是计算的准确率和几何的空间版，很多孩子呢，都栽在栽在这了啊。第二十四题呢，定义了一个新运算叫好点，那这道题的原型是结合了二三年中考的第二十五题的第二问， 主要考到的是知识迁移和动态思考能力。那么给大家几点备考建议。第一个， 我们在基础题里面一定要做到零失误，像选择题的前十道，填空题的前三道，解答题的十七题到十九题， 这些都是必拿分的，不能因为粗心丢分。第二个，压轴题要抓不轴分，像二次函数、几何、动态都是河北省的高频考点，我们一定要先保前两问，再冲最后一问， 步骤要写完整，那么即便是结果不对，至少我们能够拿到过程分。第三重点去补两大模块，像几何综合里面的尺规作图、 翻折旋转，这些也是河北的高频考点，定义新运算加综合实践。呃，方案选择、生活情境建模啊，这些呢，也是最近几年非常常考到的。 另外呢，我们要注意心态和节奏，这套试卷的难度要比像桥西区、玉华区的难度要高一些，所以没有考好呢，千万不要气馁，我们接下来调整好心态。总体来说，长安区的这套试卷难度是比较大的，那么建议大家至少要做两遍以上， 把每道题的陷阱，压轴题的思路去摸透了。对于基础薄的孩子，一定要先抓基础，再啃中档，一步一个脚印。

河北区一模数学刚刚考完，质量不错，十七题难度爆表。纵观整套试卷，范围，贴合中考部分题目，计算量较大，具有挑战性。这套试卷能上一百一十的孩子，中考差不多也能稳一百一。这二题考了今年大热门动点问题， 二十四题是一道相对常规的折叠问题，二十五题是计算偏大的二次函数常规题。而整套试卷里重点关注的是十七题。这道题综合了勾股定律、三角函数、中位线模型和划斜为直模型，综合性强，计算量也很大。这套题可以使用间隙法去做， 以 d 为圆点， c， d 所在直线为 y 轴，间隙求出 m n 的 坐标，再用两点间的距离公式就能搞定这道题的答案。数字比较怪啊，算出来一定要相信自己， 下去的孩子一定要试试，对你的综合能力训练有很大的帮助。总的来说，这次河北一模难度比和平难开更低一些，但比河东虹桥要更难一些，是一套非常适合中等生查漏补缺和拓展综合计算能力的试卷。各区所有试卷都打包好了，领取方式老样子，点点关注看评论！

石家庄初中数学一模考试上午刚刚落下帷幕，那么这套试卷的难易程度如何？又给县级段正在准备中考复习的同学们带来哪些启发？下面追梦老师给大家做一个详细的分析。 嗯，一模考试呢，其实大家要理解好它的核心价值。追梦老师认为一模考试主要是让我们展露自己的问题，从而找准定位，调整我们的考试方向以及适应大考的考试节奏。 这次考试分数是一个参考，通过排名可以给自己做一个大致的定位。另外通过各科的考试，大家一定要梳理自己的错题，复盘才是关键。 所以同学们，无论这次考试大家觉得自己发挥的如何，我们一定要做一个全面的科学的复盘。哎，给自己接下来的备考哎，调整好节奏， 那接下来追梦老师给大家说一说咱们这次考试的一个详细情况。本次数学试卷的结构和咱们去年中考的数学结构是一样的，因为我们今年是中考改革的第二届，选择题有十二个，填空题有四道，解答题八道， 分别对应的分值是三十六分，十二分、七十二分，总分合计一百二十分。那么我们这套试卷的难易程度属于中等偏上，它的梯度非常的明显，重基础，强综合。这个试卷有几个更 明显的特征啊，首先第一个板块就是基础题的陷阱化，他考察的就是大家对这个基础知识的一个呃，掌握的扎实程度以及审题的严谨性。第二个板块明显感觉到就是几何的权重增多， 像这次考试里面的静态几何的证明加动态几何的分析，哎，他们是占比分值还是比较大的。再有就是函数也是这次试卷的一个拉分点，尤其是咱们倒数第二道题的这个二次函数，这道题的整体计算量非常的大 啊，前边在选择和填空当中也出现了函数和几何相结合的一个数形结合思想啊。第四点就是情境化的事体增多，文字阅读量大。这个从咱们这两年的呃中考数学数学试卷当中有一个明显的感受，也就是说更加注重了同学们 数学建模的能力，提取信息的能力，这里面读不懂题等于做不出题，所以说提取信息转换成数学模型非常的关键。 好，那么整个试卷的咱们梯度啊，它的分布向选择的前面一到八题属于比较基础的部分， 中档题位于在选择的中间九到十一，像填空题的前面三道，十三到十五，解答题的前面几道十一到二十一。 偏难的部分就是选择最后一个十二，填空最后一个十六。还有咱们最后三道的解答，尤其是最后两道解答题，属于一个拉分点，整体符合了就是基础全员得分，然后优生拔高分的一个命题逻辑。 接下来追梦老师给大家讲一下咱们这套试卷里面的几个易错题型。像选择题的第十一题，尤其是里面的第四小问，这个大家判断得 关键是确定好 f 所在的轨迹是一个引圆，因为 c f 它是垂直， b e 的 bc 所在的直线，嗯，它是固定，所以我们在这属于定长加定角组合，那点 f 应该在以 bc 为直径的圆上， 这样判断好，那这个最值其实就非常明确了。所以在这里边我们最终用一箭穿心来求垂直啊。确定好圆心位置，然后点 a 和圆心进行连接，当 f、 o 撇和 a 三点共线式，此刻处最小值。哎，这是咱们课上经常强调的一个引元轨迹。 那第二道题呢？给大家说咱们这套试卷里的最后一个压轴大题。这道题有五个问题，那么前面两小问大家做起来还相对不错啊。第一个问题就是判断他们是互补关系，两个角的互补关系。第二小问就是确定 通过倒角倒边，我们发现是个等腰直角三角形。这样判断阿尔法四十五也就得到了等腰直角。第二角圈里面求 c、 d 的 长，就利用等腰直角三角形的结论，再结合勾股定律，然后列方程。 好，这是前两问。第三小问他让我们来画一个，呃，也让我们来画一个圆的圆心啊。这个我们可以直接用不共线的三点确定一个圆来找圆心的方式，这个做法是不为一啊。大家，呃，这个判断一下自己的画图方式，做法不为一。 好，那么接下来我们去看四，四和五是一个铺垫，通过作垂，我们会发现 这是圆心啊， k j 是 垂直于直线 l 的， 那再通过其他条件，我们可以判断出上面的 cp 和 l 垂，因为平行 c 位置 p， c， j 也是直角，所以上面这个三角形是一个矩形。好是矩形又有圆心，所以接下来我们把 d j 给它做个连接，这样其实是构造了一个直角梯形啊，它在这里边让我们求 c d 长，所以我就在直角三角形里想办法用勾股定律来进行结合就好了。 所以大家做的过程中，哎，注意好咱们确第三小问的这个铺垫啊。最后用勾股结合第五小题这道题。首先大家先通过弧 bc， 它的弧长是 pi， 我 们来确认一下它所对的这个圆心角，弧 bc 所对圆心角是三十度。 好。另外呢，我们再结合弧 bc 和弧 a d 是 圆完整的一个半圆，所以我们可以判断弧 a d 所对的这个圆心角，那就应该是一百八，减去三十，一百五十， 一百五十，那么它所带的这个圆心，我们通过相切 d 是 在呃，是切点，所以我过点 d 作弊 o b 的 垂线。啊，我这样确认好圆心 o 的 位置啊，刚才我们的一百五十度角，我们就可以判断在这个位置上 好 o 撇，那旁边这个角度我们记为三十度啊，临补角，这样的话我们可以做判断，有了半径，有了三十度，所以我可以做垂直，比如说我做 c 向下做垂，我可以求对应线段的长度啊，比如说 c h 垂直，那么因为它的半径是六，所以 c h 三十度左对直角边斜边一半等于三。这样 下来，其实我们又出现了一个直角梯形，同学们有思有发现吗？ o 撇 d h c 是 个直角梯形，所以我继续过直角梯形，我向下过点 c 向底边做垂，我继续构造矩形和直角三角形的思路啊，比如说我做 c m 垂直， o 撇 d， 那么这样我对应的线段长，咱们就可以知道像 dm， 它的长就是三，因为 o 撇 d 又是半径，那上方的长度也就是三。 好，我再利用三十度，一比二比根号三，我可以计算一下 c m 是 根号三，这样的话，我就知道 d h 为根号三，所以 c、 d 的 长度最终我有勾股定律就可以算了，它应该等于根号三的平方，加上 三的平方再开方，最后结果应该等于二倍根号三。好，这是咱们解答题的最后一个。 然后接下来我们再看，就是函数板块的部分啊，就是咱们这个反比例函数是选择题的最后一道。这道题呢，其实它的特征非常的明显，主要考察给了一线三等角， 等腰直角三角形，又给了一个直角，所以说在这的特征非常明确，一线三等角，所以我给他构造一线三等角模型啊，延长 n， b， 延长 m， a， 延长 m， a 这个位置是垂，另外两个边相等，所以我可以判断三角形全等。那么接下来大家可以用设参的方式，这个设参呢，也有一点点的小技巧，如果我把 o n 的 长度设为一的话， 接下来大家的计算量要小一些。当然，如果你没有想到我直接设成了 a b 或者 x， y 也是 ok 的 啊。如果我假设 o n 的 长是一 n b 长，我可以用反比例函数啊，因为它的点 b 的 坐标纵坐标就是一了，横坐标就是 k， 对 吗？所以点 b 的 坐标就是 k 到一。 好，再利用咱们全等三角形，那我可以判断这个边是一，这个位置是 k， 那 对应底下这个点 a 的 坐标，我们也就知道了， a 的 横坐标是 k 加一，那纵坐标我可以用一减 k 来表示。 接下来我就由 ab， 它们都在反比例函数上，它们的乘积是等于相等的。哎，都是 k， 所以 是 k 乘一，应该等于 k 加一乘上 一减 k， 也就说是一个平方差公式啊，这样我们最终去做计算，求解 k 的 值。嗯，题干中，它最终让我们求的是 am 比上 n o， 那 么 am， 大家注意它是一减 k， 所以 我们求出 k 值之后再代入做计算就 ok 了。 好选择的第十二题，接下来我们再看填空题的最后一道，这道题是一个正六边形和一个二次函数最值的问题。嗯， p q r 是 六边形上的任意边上的任意三点，大家不要被图干扰，它说的是任意三点，也就是说 p q 和 e d 是 平行的。那如果我把 p q 位置 定好，那么 r， 因为它最终要求让三角形的面积最大，那 r 应该离 p q 最远，所以 r 的 位置应该在 a b 上。 大家思考一下，不要在 b c 上，因为我要构造一个面积的最大状态啊， r 在 上方。好了，那么这个三角形 p q r， 它就应该是底乘高，除以 r。 所以 接下来咱们就直接设线段长，然后我去表示它的面积就可以了。 线段长，因为 p 和 q 它是个动点，具体长度我不知道，所以我可以做个假设啊，正六边形，它有一百二十度角，所以在这我们整理，我过点 f 向 p q 所在的直线作垂 啊作垂，那么这样我可以判断这是一个特殊的三角形，三十九十，那么它的斜边我设为二 a 直角边啊，就是因为有三十度，设二 a， 它的直角边是 a， 另外一条直角边就是根号三 a， 所以 对于这个 p q 它的表示我就可以用，用什么呢？ afc 的 长度减掉两端的 afc 的 长度是正六边形边长的两倍，哎，这个咱们讲过啊，所以它的长度应该是十二减去二 a 长度有了， 然后对应的高就是 r 向下作垂， r 向下作垂这条高我完全可以看成是 a 向下作垂， 对不对？ a 向下做垂，那我怎么办呢？哎，围到这个部分，我已经知道了一个根号三 a， 所以 我过点 f 向右做垂，底下有一段 根号三 a， 上面这一段因为正六边形的边长有，然后我做了垂之后又出现了三十度，所以说他数值的那个直角边我也就知道了三倍根号三。 那么接着往下是咱们倒数第二道解答，他是从求表达式，求坐标啊，到平移啊，到几何相结合这道题，其实整个思路下来，大家的思维还是比较好理解，但是这道题的特征就是计算量特别的大， 所以同学们在考场当中，这个时候考试的心态啊，以及考试的技巧，你是否要在这道题当中耗时到最后，然后我再去做最后一道题啊，也是对大家提出了一个灵活考察的一个考验能力啊。所以同学们，嗯，这个点课下你在 重点自己做个计算，计算量是非常的非常锻炼大家能力的。好，然后接下来就是情境化的题目，像跨学科啊，成题干，这也是咱们这几年河北中考当中的一个考察关键啊，就是读题成了一个关键，读不懂题等 等于做不了这道题目，所以说注重大家的这个文字转化能力，数学建模能力，从复杂的信息当中提取数学信息的能力。这个板块对同学们来说是我们接下来，哎，你自己如果这一块做的不是特别好，是我们的一个练习重点。 好，下面给大家说一说接下来我们的中考，中考考察的肯定是规范性，细节易错部分，这肯定是占到了一个很大的比重。另外就是通过咱们的 不断的测试，大家会发现常见的一些模型，哎，固定模型的应用，还有一些动态的创新相结合啊，数形结合思想，哎，就函数的综合提升， 再有就是咱说到的情境化题目，阅读化的，素养化的这期题目的考察，化学科题目的考察啊，数学文化思想的一个植入等等，所以同学们做题当中自己对各个板块自己掌握的情况做一个对标。 好，那么接下来呢，这位老师再说一说咱们初三的数学课堂，咱们课堂上的目前的核心授课内容就是 几何模型，函数板块，方程应用、概率统计、计算专项，也就是说整个完全和咱们的一模考察内容完全匹配。所以说接下来课上强调的这些重难点，希望同学们做一个强化巩固啊，分类讨论思想， 几何的辅助线思想，哎，方程思想，建模思想，包括答题的规范性，在课上咱们都在一一做 重点强调。另外就是咱们突破重难点大题的突破性训练，呃，几何的综合大题，函数的综合大题，也是咱们这次考察以及中考备考的一个重点方向 啊，所以希望同学们对课堂内容做一个好的吸收和消化啊，有问题随时和认可老师进行沟通就可以了。 嗯，一模考后，那么接下来这段时间，同学们从哪几个方向做备考？追梦老师也从 四个方面吧给大家做一个简单的梳理。第一个板块就是我们一定要抓基础，其实中考大部分板块还是在基础部分，只要我们做到基础零失误，这个数学试卷的分值我们就可以稳住，所以说我们一定要抓死基础分，杜绝 第一级的这种，哎，小失误出现啊。另外就是专项核心的重难点突破，精准突破哎，包括课上咱们讲到的几何的综合大题，函数的综合大题，他的解析思路，前后的条件辅助线的创建啊， 大家一定要认真理解和吸收。再有就是答题规范性，现在同学们一定要重点去练习我们答题的规范程度，也就完整的大题，我从会到表达出来， 我会完整规范的表达。再有就是硬式的时间分配，科学答题，我是否死磕一个小的压轴题啊？还是我去做完所有的解答题回来我再来解决我中间不做的不是特别好的跳过的题目，也就大家适当的跳题，也是一个科学的分配， 这个同学们在考试当中自己逐渐去做摸索啊。好，最后呢，咱们送给所有同学们一句话，一模其实是一个练兵，他不是定局，所以希望同学们整理好我们的心态，深耕自己的错题，中考全力以赴。

我的妈呀，曲老师从来没有这么快过啊！这道题是现在正在考试的石家庄一模数学的题，曲老师挑了一道十二题，我觉得它比较有意思， 我们来看一看。如图七，在 r t 三角形 o a b 中， o b a 等于九十， o b 等于 ab， 哦，这是一个等腰直角三角形啊，然后点 a 和点 b 分 别都在反比例函数上过，点 a 做垂线，过点 b 做垂线。 然后现在问我们 am 这一段小长度和 o n 这一段小长度的关系。一拿到题之后啊，同学们可能会有点蒙圈，因为这里面没有任何的一个已知边， 我们只知道你一个等腰直角三角形，对吧？好，怎么分析呢？可能有的同学会去想，老师，这块三角形的面积和这块三角形的面积相等，对吧？而且我们知道他们的边长比，这个是一份，这个是根号二份。我们能不能求出来这两个三角形的一些关系，然后再去求边呢？哎， 发现不太行，原因是什么？这两个三角形它不相似啊，它不相似，所以它的边长你没法去比。但是同学们，等腰直角三角形，你看到它，你在直角坐标系里面，你第一个反应就应该是一线三等角。相信很多同学都理解我在说的是什么， 那我们可以延长 n b， 延长 m a 交于点 h， 你 马上就会发现，既然这是一个等腰直角三角形，这个三角形和这个三角形就应该全等。接下来啊， 我们如果要分析这个题，我们还要调用一点点这个反比例函数的知识，它既然在反比例函数上吗？我们可以设一下点 b 的 坐标，去推一下点 a 的 坐标，比如说我们就设 nb 的 长度等于 m， 那 b 点的这个坐标啊，它的横度标就是 m， 它的纵度标你可以代入到反比函数里面，就是 k 比上 m， 那 么也就是说这个 n o 的 这个长度就是 k 比上 m。 再来我们看看能不能推回到 a 点的坐标。这个三角形这条边应该等于 o n， 所以 它这就是 m 分 之 k， 这个长度就是 m。 那 么现在你要求 a 点坐标能不能求？可以吧。 am 的 长度应该等于这个长度减去这个长度，所以 a 点的纵坐标应该等于 m 分 之 k 减去 m， 那 么它的横坐标是什么呢？ o m 的 长度就是上面这两条边相加，也就是 m 加上 m 分 之 k， 那 么我们如果要求 am 比上 o n， 我 们求的是什么？我们先看看。 am 就是 这个长度， o n 就是 这个长度。 分子打开化简一下，他应该是一减去 k 分 之 m 方，所以其实我们求的是什么？就是这个比值，我们要把它当做一个未知数去放到一个方程里面去求解 啊，假设他就是 t 啊，我们现在求的就是这个 t， 那 这个 t 可以 怎么求呢？咱们在这个图里面要找到等量关系，等量关系，哎，既然他在反比的函数里面，我们知道这个三角形和这个三角形面积应该相等， 所以，哎，我们根据面积相等去列一个等式。左边这个三角形 m 乘以 m 分 之 k 二分之一，我们就不写了。右边这个三角形 o m 的 长度应该是 m 加上 m 分 之 k， a， m 的 长度应该等于 m 分 之 k 减去 m， 我 们把右边打开化简一下，它其实就是 m 分 之 m 方加 k 乘以 m 分 之， k 减 m 方，那你会发现左边是 k， 右边是这么一个式子，咱们一定要去分母把 m 方乘过去，然后分子我们再看啊，你仔细看，你发现它其实不难，它是一个平方乘公式，它是 k 加 m 方， k 减 m 方，所以它应该等于 k 方减去 m 的 四次方， 然后这边呢是 k m 方，别忘了我们要干啥，我们要求的是 m 方比 k， 这个式子能不能出现 m 方比 k 呢？可以，我们发现，如果我们给这个式子同时除以 m 的 四次方，它就是 k 比 m 方，等于 k 方 比 m 的 四次方，然后再减一。哎，我们会发现这个东西其实就是 t 分 之一。好，那我们不妨设一下这个 k 比 m 方等于 s 啊，所以这个就是 s， 这个就是 s 方减一， s 方减 s 减一等于零，我们就能算出来， s 应该等于二分之。用求根公式，一加减根号得它得它就是五 s， 现在算完了是吧？那 s 到底是取正还是取负呢？因为我们知道啊， s 我 们设的是 k 比 m 方，在这个题里面， k 也是正的， m 也是正，所以这个 s 应该取正，就等于二分之一加根号。 好，那我们再看 s 和 t 有 什么关系啊？ s 和 t 应该是互为倒数，所以 t 就 等于一加根号五分之二 啊，我们给他油理化一下就是。哎，你可以把根号五放前面，同时乘以根号五减一，那就等于四分之二，根号五减一， 也就是二分之根号五减一，然后我们最后再把这个 t 啊给他带回来，最后的结果 a m 比上 o n 就 应该等于一减去二分之根号五减一，也就是二分之二减根号五加一，最后结果二分之三减 根号选 c d。 好 了好了好了好了，就这么着吧。难题压轴不用处，曲老师带你有思路。

石家庄初三的同学们注意了，玉华区呢，率先开启区一模考试的第一枪，今天我拿到卷子呢做了做，给大家简单点评一下这条试卷。首先呢，这个卷子的风格，大家可以认为是把二四年和二五年的中考卷做了一个融合，难度呢也介于这两套卷子之间，但属于偏难的这种。 那么二四年我们的中考卷里边印象最深的应该就是那个大钻石的问题。好，那这个卷子上呢，第十一题，再次考察了图形的简拼，可以找到入手点。 那再者呢，这个卷子中涉及到的生活情景题也非常多，主要集中在我们的大题上，比如说二十题，二十二题、二十三题， 那其中二十二题和二十三题还跨学科做了综合和物理知识做了一个结合，都需要大家去耐心审题，读懂题才是第一步，也是近几年中考的一个大趋势，要大大的体现数学和生活的紧密相关。另外二十一题也需要自己动手的去进行。史归做图， 二五年的二十三题也呼应上了，所以要求大家呢，对常见的几种尺规作图必须熟悉，且能够独立自主完成作图。最后一题，他的计算量呢，比较大，但是思路比较清晰易懂，考察的就是直角三角形中的分类讨论和函数工具的结合，只要时间足够，且提前接触过两锤一元的题目，我觉得还是能做出来的。 好了，这就是这套卷的大概的一个情况，总结一下，难度中等偏上，审题应该是偏紧张，还没有进行曲目的同学赶紧来做一做吧！

石家庄市一模成绩满分六百分，考了五百零六点五分，中考八百分满分，怎样才能考到七百五十分？因为七百五十分是孩子中考中 能上优秀高中和普通高中的分水率。如果咱家孩子能考到七百五十分以上，那上一个好高中，考优和大学，以后能找份好工作，那相来说这条路非常平坦，如果低于了七百五，能选择的好高中概率很小，这条路向来说比较困难，所以很多家长也会让孩子等选择七百五。 根据咱家孩子成绩可以明显看到是数，这物理有了一定差距。那如何在短短四十天让孩子成绩能快速提升呢？如果大棋有问题，这样棋称非常好提升呢？怎么办？ 就是狠刷这个大棋，找到解析思路和方法。因为数学重点考的是第一建模思维，第二逻辑分析， 如果把这项能力提升了，大器没有问题。而物理最难的是历学和电学，这也是一个建模思维。孩子能考到这个分数，说明没有问题，知识缺乏名师指路，找到好老师给了方法，一定没问题。如果孩子是到处都有扣分点，这种孩子要小心了。为什么他属于基础知识有问题，书本上的东西 记忆不清晰，知识不够精准，需要回归课本，这样分数才能大幅度提升。所以中考前一定不要乱补，有难点找好老师，基础点，不会找课本，这样才能达到七百五十分。也祝愿我们的孩子如果能考到七百五十分，孩子的高中名校、 九八五二幺大学以及好工作，这条路很平坦，也祝愿咱们孩子能文化成功，高好工作能够成功的。