山东五月齐鲁大联考数学标准答案

好，各位同学，我们接着分析二零二五二六年五月七日到两口第十七题，咱们先读一下题， 椭圆的左右焦点告诉了你， c 等于二，现在点 m 形成了焦点，三角形，有内切圆。 这题目读到这，有有同学会说了，他和我们平时的习惯不一样，那么求这个曲线方程。 很多同学我在改卷的过程中发现死在了第一位上，因为这个题目他和平常的习惯不太一样，有个内切圆，内切圆，圆心在哪里？ 它和 m 点坐标有没有关系？这都是我们的知识储备到了何种程度的问题。 但这个题目它并没有，它并没有那么复杂，就是因为它的内切圆半径是一。哎，那我们看这个，我把图放大了， 哪里的一啊？你要看到这是个一，这也是个一，这还是个一，而且这是直角，这也是直角，这连线，你看两个直角三角形，这是不是一个全等？ 左边等腰，直角三角形，全等的话，右边也等腰。直角三角形，这是一个小小的正方形， 这怎么是个题？就这样的话，这段是三，那这也是三，这一，这也是一，就只缺少这一块内容。 既然知道这是正方形的，这就是矩形，不是矩形啊，正方形啊， m f 二和 a 轴垂直，那你说咱们现在得到的信息，那就这是个直角三角形。 刚才说的这儿是三，这儿是一，这儿一，这儿三。我可以舍这一个，舍小 m， 这小 m， 但你说我习惯于舍 x， 舍 x 也行，无所谓，就是个未知数的问题。 你们对勾股定律三四五是否真的熟悉？如果熟悉的话，你很容易发现 m 直接等于二就是答案。 所以第一问，第一问，我们应该能够快速的根据刚才的分析，根据刚才的分析，我们能快速的找到 斜边是五，这条直角边是三五加三二， a 等于八，所以 a 等于四， 知道 c 等于二了，所以它就是加十二分之外方等于一， 分析没问题。步骤咋写？这个题目的步骤关键步骤在于 在于如何利用内切圆圆心，那写步骤时候需要强调舍切点，三个切点 舍出来，利用切线长相等。首先去证明 q d f 二 e， 这是一个 小小的正方形，先证明它，当然刚才说了，你可以利用三角形全等，直角三角形全等，好证明啊， 斜边是公共的，又有直角边对应相等，这是很容易证明的啊。步骤自己去写，我在这不再去写的步骤了，这是第一问，第二问， 第二问。当我们当我们 找到过 l 二的直线， l 与椭圆交于 a b 两点，这 x 一 y 一， 这 x 二 y 二 倾斜角 c 的 曲值范围在三分之派到二分之派之间，说明斜对 k， 它是大于根三等。这题目信息告诉我们的问焦点，三角形 a f 一 f 二 b f 一 f 的 面积之比， 那么那么我们我们很容易看到，很容易看到 f 一 到 ab 的 距离是他们公共的高， 那这是同高不同底，所以很容易的能够知道 s 一 比 s 二，它是等于，它是等于 a f 一 和 f 一 啊， a f 二 和 b f 的 长度之比， 它们的长度比显然就等于 y 一 y 二绝对值之比。当然我们可以写成它一样的， 那就是在这我们要把目标摆明，找出这个目标来以后，那么这个步骤就该去做这样的分析了， 由曲线方程十六分之 x 方 加上十二分之外方等于一。他说老师，你还没设方程，方程、直线方程、直线方程。我们既然要找 y 一 比 y 二，我就改成二加 t， 根据我们的斜对 k 和 t 之间的关系，它要大于根三， 我们可以发现的是 t 要大于两，小于三分之根三，由两者连的。 那么连立的方程是啥？十六分之 t 方加十二分之一， y 方 加上四分之 t， y 加上十六分之四的平方四分之一减一减四分之三 等于零，那么这时候我们就可以得到熟悉的 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y， 那 么这时候我们可以 把它写成保留原样。那是真复杂呀，怎么保留原样？那你不保留原样，你分子分母同时乘以一个， 哎，十六和十二的最小公倍数是十八，那这就是三梯方加四负的 十二题。同样道理，这边三梯方加四负的六， 那这时候要摆明咱们的目标要始终你头脑中想着，我要去找外一比外二， 那 y 一 比 y 二，这个比迟早出现。 y 一 比 y 二他们的次数， 他们的次数 y 一 是一次， y 二也是一次，但现在 y 一 加 y 二是一次， y 乘 y 二是二次， 这说明我们的目标我们在处理的时候，你们应该考虑都变成二次相处， 才能得到我们所需。那么它的展开式，咱们很显然能发现它是 y 一 比 y 二加上 y 二比 y 一 加二。 左边左边微达定律 分。哦，划错了，刚才这带的分子力，这带的分母力，现在你就会发现发现这一整体的曲子范围， 嗯，从哪里看？那里面光剩一个 t， 关于 t 的 一个东西， 哎，这是最基本的思路，而 y 一 比 y 加 y 比 y 一， 这是个小于零的零， 所以你在这能够找到这是关于 t 的 一个函数。我简单的写个 f t 吧， 根据 t 的 取值范围求函数的值域，在这里找到 f t 的 取值范围，找到 y 一 比 y 二加 y 二比 y 一 加二的曲子范围，从而找到咱们需要的 y 一 比 y 二加 y 二比 y 一 的曲子范围。然后借助借助 y 一 比 y 二， y 加 y， y 二比 y 一， 这是相反的两个数， 那你头脑中就该想到，这是我们熟悉的对勾函数 y 等于 x 加 x 分 之一的东西， 所以借助对勾函数 能够从值域去找定义域，那就是取值范围的确定问题啊，从而确定了 y 一 比 y 二的取值范围，当然，别忘了加绝对值。 好，这是咱们这一个题目的分析，当步骤，步骤，我在这把已经写好的步骤给你们复制过来。 第二问的步骤，我把它放在这里了， 希望他们他们能够真正的看明白目标外一比外二的绝对值 在复制过程中掉了点东西，哎，到了这，到了这有很多人是整体把握分母，让分母来表示分值， 但在这我看到了他们次数都是一样的，上方就是一个单纯的体方，所以我想到分子分母同时除以体方，哎，体方之一不也是一个函数吗？那就说自变量的未知处的哎，就处在这一个地方，这好处理， 所以借助题方的曲值范围分析出这一堆，所以从这个式子中加绝对值，这就变成了我们熟悉的对勾函数， 这是两个相等的数，哎，然后去看左边右边各对应的应该是五分之三和三分之五。 好，这是我们的第十七题。

好，各位同学，我们接着分析二零二五二六年五月七日到两口第十七题，咱们先读一下题， 椭圆的左右焦点告诉了你， c 等于二，现在点 m 形成了焦点，三角形，有内切圆。 这题目读到这，有有同学会说了，他和我们平时的习惯不一样，那么求这个曲线方程。 很多同学我在改卷的过程中发现死在了第一位上，因为这个题目他和平常的习惯不太一样，有个内切圆，内切圆，圆心在哪里？ 它和 m 点坐标有没有关系？这都是我们的知识储备到了何种程度的问题。 但这个题目它并没有，它并没有那么复杂，就是因为它的内切圆半径是一。哎，那我们看这个，我把图放大了， 哪里的一啊？你要看到这是个一，这也是个一，这还是个一，而且这是直角，这也是直角，这连线，你看两个直角三角形，这是不是一个全等？ 左边等腰，直角三角形，全等的话，右边也等腰。直角三角形，这是一个小小的正方形， 这怎么是个题？就这样的话，这段是三，那这也是三，这一，这也是一，就只缺少这一块内容。 既然知道这是正方形的，这就是矩形，不是矩形啊，正方形啊， m f 二和 a 轴垂直，那你说咱们现在得到的信息，那就这是个直角三角形。 刚才说的这儿是三，这儿是一，这儿一，这儿三。我可以舍这一个，舍小 m， 这小 m， 但你说我习惯于舍 x， 舍 x 也行，无所谓，就是个未知数的问题。 你们对勾股定律三四五是否真的熟悉？如果熟悉的话，你很容易发现 m 直接等于二就是答案。 所以第一问，第一问，我们应该能够快速的根据刚才的分析，根据刚才的分析，我们能快速的找到 斜边是五，这一条直角边是三五加三二， a 等于八，所以 a 等于四， 知道 c 等于二了，所以它就是加十二分之外方等于一。 分析没问题。步骤咋写？这个题目的步骤关键步骤在于 在于如何利用内切圆圆心，那写步骤时候需要强调舍切点，三个切点 舍出来，利用切线长相等。首先去证明 q d f 二 e， 这是一个 小小的正方形，先证明它，当然刚才说了，你可以利用三角形全等，直角三角形全等，好证明啊， 斜边是公共的，又有直角边对应相等，这是很容易证明的啊。步骤自己去写，我在这不再去写的步骤了，这是第一问，第二问， 第二问。当我们当我们 找到过 l 二的直线， l 与椭圆交于 a b 两点，这 x 一 y 一， 这 x 二 y 二 倾斜角， c 的 曲值范围在三分之派到二分之派之间，说明斜对 k， 它是大于根三等。这题目信息告诉我们的问焦点，三角形 a f 一 f 二 b f 一 f 的 面积之比， 那么那么我们我们很容易看到，很容易看到 f 一 到 ab 的 距离是他们公共的高， 那这是同高不同底，所以很容易的能够知道 s 一 比 s 二，它是等于，它是等于 a f 一 和 f 一 啊， a f 二 和 b f 的 长度之比， 它们的长度比显然就等于 y 一 y 二绝对值之比。当然我们可以写成它一样的， 那就是在这我们要把目标摆明，找出这个目标来以后，那么这个步骤就该去做这样的分析了， 由曲线方程十六分之 x 方 加上十二分之外方等于一，他说老师你还没舍方程方程，直线方程，直线方程。我们既然要找 y 一 比 y 二，我就改成二加 t， 根据我们的斜对 k 和 t 之间的关系，它要大于根三， 我们可以发现的是 t 要大于两，小于三分之根三，由两者连的。 那么连立的方程是啥？十六分之 t 方加十二分之一， y 方 加上四分之 t， y 加上十六分之四的平方四分之一减一减四分之三 等于零，那么这时候我们就可以得到熟悉的 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y， 那 么这时候我们可以 把它写成保留原样，那是真复杂呀，怎么保留原样？那你不保留原样，你分子分母同时乘以一个， 哎，十六和十二的最小公倍数是十八，那这就是三梯方加四负的 十二题。同样道理，这边三梯方加四负的三十六， 那这时候要摆明咱们的目标要始终你头脑中想着，我要去找外一比外二， 那 y 一 比 y 二，这个比迟早出现。 y 一 比 y 二它们的次数， 它们的次数 y 一 是一次， y 二也是一次，但现在 y 一 加 y 二是一次， y 乘 y 二是二次， 这说明我们的目标我们在处理的时候，你们应该考虑都变成二次相处， 才能得到我们所需。那么它的展开式，咱们很显然能发现它是 y 一 比 y 二加上 y 二比 y 一 加二。 左边左边微达定律 分。哦，划错了，刚才这带的分子力，这带的分母力，现在你就会发现发现这一整体的曲子范围， 嗯，从哪里看？那里面光剩一个 t， 关于 t 的 一个东西， 哎，这是最基本的思路，而 y 一 比 y 加 y 比 y 一， 这是个小于零的零， 所以你在这能够找到这是关于 t 的 一个函数。我简单的写个 f t 吧， 根据 t 的 取值范围求函数的值域，在这里找到 f t 的 取值范围，找到 y 一 比 y 二加 y 二比 y 一 加二的曲子范围，从而找到咱们需要的 y 一 比 y 二加 y 二比 y 一 的曲子范围。然后借助借助 y 一 比 y 二， y 加 y， y 二比 y 一， 这是相反的两个数， 那你头脑中就该想到，这是我们熟悉的对勾函数 y 等于 x 加 x 分 之一的东西， 所以借助对勾函数 能够从值域去找定义域，那就是取值范围的确定问题啊，从而确定了 y 一 比 y 二的取值范围。当然，别忘了加绝对值。 好，这是咱们这一个题目的分析，当步骤，步骤，我在这把已经写好的步骤给你们复制过来。 第二问的步骤我把它放在这里了， 希望他们他们能够真正的看明白目标外一比外二的绝对值 在复制过程中掉了点东西，哎，到了这，到了这有很多人是整体把握分母，让分母来表示分值， 但在这我看到了他们次数都是一样的，上方就是一个单纯的体方，所以我想到分子分母同时除以体方，哎，体方之一不也是一个函数吗？那就说自变量的未知处的哎，就处在这一个地方，这好处理， 所以借助题方的曲值范围分析出这一堆，所以从这个式子中加绝对值，这就变成了我们熟悉的对勾函数， 这是两个相等的数，哎，然后去看左边右边各对应的应该是五分之三和三分之五。 好，这是我们的第十七题。

好，各位同学，我们接着分析二六年五月七日大两口第十四题填空的压轴题， 我在这提前把这个图做了出来。这个题目的做法，这题目的做法， 我们先看这里分析过动点 m 可以做它的三条切线这一个题目，这里啊，它是我们教材选择性必修一的立体七， 好像是第九十一页或九十二页有个例题，例题是 y 等于 x 加一乘以的 x 方， 这是熟悉的六个函数之一，其中 负二和负一这两个地方，负一是它的极小之点，负二是拐点。所谓的什么叫拐点？导数撇撇为零，就是导函数 的零点，撇撇的零点， 这是啥意思？这是在说 f 的 左边函数图像，举一个 凹凸性的凸， f 往这来就变成了凹，是这一个图像的变化，你懂不懂？从右到左，假如没有这种凹凸性的变化，哎，那你这再画个图，你咋画？画上面来穿个 a 了？好像是不可能。 所以在数二这个地方，他有一个凹凸翻转的地方，这样才能有三条切线。这三条切线右侧的 l e， 别管它的远近，它一定会有， 他一定会 l 二和 l 三，那 l 二 l 三 m 点，那要想有三条的话， m 点得在按住下方， 怎么样才能出来？ m？ l 二怎样才能出来？ l 三要出来三条的话，要出来三条的话。 最初在这个地方的时候，我们拉一条直线，我发现他相切，切点在这个地方往下来切点慢慢变变化，再往下来切点到这来了。所以 所谓的三条，它的分界点就在于在某个地方，正好 l 二和 l 三合二为一， 那你想想，合二为一那个切点是不是好像挺特殊的一个位置啊？ 特殊的哪里切点就是在范儿这个地方，所以它的计算就简单了，因为 m， 这是它的下弦。这时候我们知道 f 撇是 x 加 e 的 x 吗？ 既然都知道缺点是它了，所以我直接知道 m 加二倍的 e 的 负二次方，比上一减二三，等于该点处的 导数往里一带负的 e 的 负二次方，所以可以得到 m 等于负五倍的 e 的 负二次方。咱们说它是一个极限值， 从这个 m 点再往下来，再往下来的时候，现在在这个地方，他已经把刚才的 l 二 和 l 三右侧是 l 一， l 和 l 三合二为一了，再往下来，你 m 点再往下来的话，好像 他也不会再勾造出第三条切线来呀。所以答案那就负倍的一的分只能到零。 这咱们的这个题目这一种做法好详细的分析和推导。我再来看 详细的分析和推导，它是 设切点二零二零导数的几何意义。三条一切点在 在曲线上，第二点切线斜率等于该点处的导数。 有这三句话，写了这三个字，其中一三都往二十里面带，带得了它，所以构造一个新的函数， 剩下的真理不去多说了，自己去看见它就行了。 好，这是我们的第十四题。

好，各位朋友们接着分析二零二六五月份齐鲁大联考第十八题，咱们看一下这个题目，这是导数题 这一题目，这个题目如果你熟悉黄金不等式，一眼看到第一问的答案，那黄金不等式是什么？ e 的 x 方大于等于 x 加一， e 的 x 方大于等于 x 加一，它是在说 e 的 x 方的这个图是这个样子的，这是 x 加一， 然后然后一的 x 方减 x 减 a 有 两个零点，那就意味着这条直线 y 等于 x 减一，它得往上平移，所以这里的 一不能是一，要变成二变成三，那就是这的 y 等于 x 加 d 的 a 要大于一，所以答案 a 大 于一 d 问你结论很简单的就能得到。 当然我们我们不能说我大体步骤该咋写，大体步骤你肯定不能那么做啊，你不能总是说啊，有黄金不等式得 a 大 于一，那你想得这个步骤是没有的， 那你就要去分析 f x 增减性，那无非就是一个简单的求导， 找到 e 的 x 方减 e， 那 看到这里我们会发现 f x， 它在负无穷到零上导数小于零，函数单立减， 负穷到零上等于递减，零到正无穷上倒数大于零等于递增， 所以它有一个最小值， f 零 f 零，咱们知道是一减 a， 这肯定是小于零的，不然的话它不可能有两个零点，那么它小于零，我们那该怎么去说 光小于零，咱们知道有零点垂直性定律，光小于零是不行的，那我们能够发现它 e 的 x 方，当 x 趋向于正无穷大的时候， e 的 x 方，它趋向于正无穷大， 它的增长速度比这里的速度比这里的啥，比这里减小的速度要快得多。所以咱们就简单的写，当 x 趋向于正无穷大的时候， f x 也是趋向于正无穷大。 同样道理，当 x 趋于负无穷大的时候， e 的 x 方趋于零，负 x 趋于正无穷大，所以这时候的 f x， 它也是趋于正无穷大。 所以根据零点存在性定律，只需要让 f 零小于零，它就有两个零点，而这两个零点是分布在零 x 轴和 y 轴的两边，因为 f 零数却最小嘛。 这是第一问，那么他的步骤咱们应该能明白了吧？好，咱们看第二问， 第二问。在刚才分析的时候 我们已经看到，当然我画的图，嗯，应该不太恰当，但我就类似的这么个意思吧， y 轴在哪里？不太清楚，偏左还是偏右？现在题目中告诉了你，这一个距离 它是大于一的， s 减 s 一 x 一 和 x 肯定都与 a 有 关，但是从中解方程，我们是解不出来的。你说我们去解 e 的 x 一 次方 减 x 一 减 a 等于零。从中啊，让 a 来表示 x 好像不大现实，那就是我们解不出 x 一 l 来，但 a 与 x 一 s 一定是有关系，因为这一个等号连接了两个变量，我把它写成这样的东西， 这相关变量 x 一 和 x 二都与 a 有 关，但是我们的 a 又求不出来，我们还不能用 a 来求 x 一 x 二。这就意味着我们在处理的时候， 第一步先利用它，两者作差。二式减一式消参 小乘 e 的 x 二次方减 e 的 x 一 次方等于 x 二减 x 一。 哎呦， x 二减 x 一， 哎，这里告诉你这个东西啊，是在告诉你引入新变量，因为它是大于 e 的 嘛， 引入的啥新变量？我们引入新变量的过程往往是选择 t 等于 x 二减 x 一， 这时候往往是 x 大 于 x 一。 本题都告诉你 x 减 x 大 于一了，那么 t 的 取值范围有了，相当于 你引入一个新变量的阻元，它的取值范围存在。哎，现在我们的 x 二， 它就能够用 x 一 来表示，同样 x 一 也可以用 t 和 h 来表示。 那么下面的证明这就简单了，第一问，第一问，我们要推正 x 一 的曲值范围，现在我们这里面，这里面 a 没了，只剩只要 x 一 和 t， 所以 把 x 二等于它带进来，所以呢，就能得到 e 的 x 一 加 t 减 e 的 x 一 次方等于 t， 所以把 e 的 s 次方提出来，上 t 比上 e 的 梯次方减 e。 哎，现在到这里，咱们同学们头脑都该清楚了，该清楚啥？这里面的 t 是 大于 e 的， 该清楚 e 的 x 一 次方是关于 t 的 一个函数，有解析式，有自变量的曲值范围，就是有定律啊， 说明这时候我们可以通过对右侧的 t 比 e 的 t 次方减一进行分析，得到 e 的 s 一 次方的取次范围，那 x 一 的它不就有了吗？那相当于求函数定律这个值域问题了。 那么同样的道理，我们我们第二问，第二小问，刚才说咱们还可以把 x 一 替换掉，哎，同样在这个式中， e 的 x 二次方 减去 e 的 s 一 次方，减去它等于 t， 照样把 e 的 s 二次方提出来，把 e 的 s 二次方提出来，那不就是 t 比上个 e 减 e 的 负 t 次方吗？分子分母同时乘以 e 的 t 次方， 所以这个思路是很容易想到的，就说你懂不懂引入新变量？ 引入的新变量，这儿的引入的哪辆这个 t， 它的引入是解决问题的关键。当在引入新变量的过程中，还有些地方是引入 t 等于 x 比 x 一， 这时候往往是 x 大 于 x 一 大于零， 哎，咱们的 t 仍然是大于一的指数。那就说我们引入新变量的过程，很多情况下有两种选择， x 一 比啊，就 x 比 x 一 和 x 减 x 一， 这是常常引入新变量的一个过程，一个东西。 好，这是我们这一个听的分析，那么它的步骤相对来说就简单。 刚才咱们把这个思路分析清楚了，你再看步骤，你就能够看明白了，我不去多讲了。 那么这个同学说，那还有疑问步骤呢？这一问的步骤我在这里我也给你们复制过去吧。 所以这是咱们第十八题， 就讲这些。

各位同学，我们继续分析二零二六年五月七鲁大两口第八题比较大小，这怎么来分析呢？ a、 b、 c 这三个量都有了，那怎么样去比较它们大小？在这我提前做了准备，直接给你们讲， 我在这用了两种作法， 对于已知条件，我们可以取以其为底的对数，得到 d 大 于 b， 排除掉选项 d 和选项 b， 只剩选项 c 和选项 d， 选项 c 和选项 d 都已经把 a 作为最大量了，所以 a 和 c 的 关系，我们不需要去考虑，只需要考量 b 和 c 的 关系， b 和 c 的 c 的 关系，我们用糖水不等式。糖水不等式，这里 a 大 于 b 大 于零， c 大 于零， a 分 之 b， 这是真分数的时候， 分子分母加同样的量，分子变大。熟悉的二分之一到三分之二到四分之四逐渐变大。 假分数 b 分 之 a， 分 子分母加同样的量，分子变小。这他们的关系，题目中已经告诉了咱们， 不是题目中告诉咱们已经知道七分之十一和二十三分之三十一之间的大小关系，所以这个乱七分之十一大于乱二十三分之三十一。 那糖水不等式啥意思？我怎么样从 b 的 分子和分母中，分母浪七要变化成浪十一，浪七要变化成浪十一，就得加这一个东西。 那我们知道分子分母加同样的量才行，加的同样的，这个量还得是大于零的。浪七分之十一显然是大于零的，这是分子分母加的同样的量。 而浪七分之十一和浪二十三分之三十一，这里已经证明出了它大于它，所以是这样的关系， b 大 于 c， 正确答案选 d， 这是它的来历。 方法二，我们 b 减一， c 减一之后再比较这个东西， 这样得到大有关系。这第八题。

基础大连考啊，我们高三数学整体的一个试卷，我们做一个简单的分析哈，然后整体的一个试卷的难度呢，它是属于中等的啊，它的一个难易度的一个占比大概是在六比五、比四，那大部分呢，都是属于基础性的问题，或者说是中等啊，变形的一个问题。 那比较偏难的一些题，比如说我们的第八题，第十一题，第十四题确实偏难一些，再一个就是大题里面的第十八题，然后他的第二位和第三位，那十九题确实都是比较难一些的题，那这些题如果想拿分的话，他确实是有一定的难度。 然后呢，本次考察对于我们学生一轮复习各个章节的一个基础知识点的掌握情况，进行了一个全面的比较深入的一个考察。你比如说他涉及到几何逻辑、不等式、平面向量、负数啊，函数三角、函数减三角、倒数列和立体结合，唯独没有涉及到的就是我们的一个解析结合。 那这些题目大部分在我们日常练习的过程中，其实都已经涉及到了。那对基础内容的一个考察呀，尤其是我们啊定义概念的一个理解啊，考察的会比较深入一些，重点还考察了我们学生的一个基本功，尤其是对于运算方法的一个掌握程度呀，准确度啊，考察的会比较重一些。 这套试卷的话，如果说我们有一个红线，分数大概是在九十分左右，如果说是在九十分以上，基本上就说明他的整体的基础比较扎实。那如果说是在八十分以下，那基本上就是基础题型啊，课内的偏中等往下的题型掌握的还不是特别的熟练。关注张老师，及时了解中高考升学政策。

试卷分享，高三全科联考山东名校联盟二零二六届高三下学期五月核心素养评估试卷及答案视频，时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

山东违反午夜联考第八题是一道圆锥曲线求离心率的题目，第十四题呢，是三角函数与减三角的结合，那第八题的信息给出了一个椭圆交点 f 一 f 二，并且椭圆上两个点 a b 呢，满足一条长度的比例关系式，直接简单的把图画一下， f 一 等于三 t 的 话呢，这条就是二 t， f 一 加 f a 等于二 a， 那 么轻松可以得到 t 等于五分之二。那么圆锥曲线的小题呢，我们都建议呢，多利用几个性质去做，基本上都是围绕的焦点和准线的，那椭圆跟双曲线的准线用的比较少，所以呢，我们就利用交点这里呢，因为平行这个条件，应该想到要把这条线根据平行把它平行到这边来，这这个是 a 撇， 那么 a 是 不是和 a 关于圆点对称的，那这里就会有一个什么交半径的推论过，椭圆交点 f 的 一或者 f 二都行， a 分 之一加上 f 一 b 分 之一 等于 b 方分之二 a， 如果这样式子呢，我们这里就可以避免用那个更复杂的交角交换公式，就所谓的 a 加减 e x 等那一条公式，如果要证明的话呢，要设这条弦跟 x 轴之间的夹角 x 塔，然后用交半径的公式去连力去解它。一般我们被这种推论呢，如果不记得它的公式，起码记得这式结构到底是 f e a 加 f 一 b 呢？还是 f 乘 f 一 b 呢？还是它的一个分式倒置的一个结构。那我们这如果背的是 f 一 a 分 之一加上 f 一 b 分 之一，到底等于多少呢？我们关键时刻还可以取特殊位置去推它。搅拌机有个公式是 a 分 之 b 方，那么把它倒置过来，就是 b 方分之 a， 两个加起来，那就是 b 方分之二，那根据这一个，我们再把这两条给带进去， 最后解的答案是 b 啊，这个问题应该不大，那么这道题呢，如果不知道这一个的话呢，就需要用到 a 加减 e x 加搅拌机的公式，利用它计算出来就会稍微简单一点点了。十四题呢，相对来说好处理啊，拿到手呢，先用正弦键把三点 b 给约掉，得到三倍三点 c， cosine a 加上五倍 sine a 和 cosine c 等于零。那这样式子呢，有两个选择，第一个选择呢，继续做，继续用正弦与弦做，正弦与弦呢，可以把它导出呢 sin a 加 c 和 sin a 减 c 的 关系式，那 sin a 加 b 呢，当然就是 sin b 了， 然后呢，再根据它的范围去计算这个 sin b 的 范围，那么计算量会稍微大一点。如果继续坚持用正弦与弦做，那这里呢，我就建议把它化成 tangent， 把它化成 tangent 的 话，会得到三倍 tangent c 加上五倍的天旋 a 等于零，也就是天旋 c 比上天旋 a 五，比上负三。那这里注意，有一个是钝角，也就 b 啊，一定是钝角，也是正的，也是散，也一定是正的，所以这一点钝角非常重要啊。那有了这个 c 跟 a 之间的天旋比值，我们就继续用天旋 b 来做了，得到一个基本不等式的结构，下面是取大于等于，因为取正的，这里天旋 b 是 取正的，得到了根号十五分之一 锐角，所以散 b 呢，也是递增的，所以散 b 就 当天旋 b 最大值的时候，散 b 也是取最大值四分之一啊，一到解三角，三角等变换的。

好，咱们今天看一下咱们的 这个齐鲁大连考第五次联考的数学第十八题导数题的一个第一问。不讲 结论，我已经在这儿给出了直接减区间，负无穷到负 a 减一正区间是在负一减一到正无穷了。咱们重点分析下第二问和第三问。 第二问他说当 x 在 飞到一上的时候， f x 要大于等于一分之一小于等于 e， 那 说 f x 的 最大值和最小值 应该在一分之一到一之间。那这个题目该怎么去分析呢？ 这个题目的分析思路有两个方法，一，方法一， 很容易想到的，那就是分离参数由由 f x 大 于等于一分之一 小于等于 e， 在 这我们会得到这么一个关系式， 一分之一减一乘一的负 x 方减 x 小 于等于 a 小 于等于 一减一乘一的负 x 乘 x， 这时候得让它对 x 再负一到一上横，成立 他。既然是横乘的问题，那其实就是最值问题。啥意思啊？ a 小 于等于右边函数的最呀 a， 横乘的小于等于，哎，最呀小值，那对左边呢？就该是找最呀大值。所以现在我们要做的就是要把这个最值搞出来， 对右边而言，相对来说它是个简单的。为什么说简单？因为咱们同学们眼睛能看到好像是这个一减一大于零乘以的负 x 方减 x， 这是个 大，这是个单的 d 啊减的函数，所以它最小值是出现在 a 的 一上，所以右边这个很简单。而左边这个函数， 它的单调性我们不能够一眼看出来，因为 e 的 负 x 方的系数一分之一减一，它是小于零的， 所以这就需要我们去勾照左边函数，找左边函数的最大，所以这是去省 g， x 等于左边函数 一分之一减一乘一的反乘减 x， 让咱们的 x 再回到一之间， 那么这时候我们求导得 g 撇 x， 那叫一减一分之一乘一的反常减一。 显然这时候你能发现 g 撇是单调的减的，那我们减 g 撇等于零，会得到， 会得到 x 等于乱一减一减一，这是分析它的导数符号的单调性。 当 x 在 当 x 在 负一到这个极值点上的时候， 显然导数是大于零的，因为刚才咱们已经分析了导函数单位递减嘛， 当 x 在 其子点右侧的时候， 这 g 撇是小于零的，所以 g x 在 左边递增， 在左边递增，在右边递减。 嘿， 左增右减却极大， 所谓的 g 大，也就是最大呗。 所以 g x 它就在 x 等于极值点处 去最大值。咱们刚刚说了，要找左边的最大值，最大值是谁啊？最大值是 g 浪一减一， 它通过计算很容易得到，这是负的幺一减一。这左边右边刚才说了，我们直接看到它的单调性， 它在负一到一上单调递减，其实在二上它都是单调递减， 它既然单调递减，那么我们就可以直接说，所以右边函数 在 x 等于一处去，这样小值把 x 等于一带进去负的一分之一， 所以，所以优上可值或中上可值也行， 所以得到 a 要大于等于负的任意减一 小一等一负的一分之一。最后一定别忘了要找回扣。原题这句话，所以一的取之范围是， 这是方法一。 刚说两个方法，方法二，方法二，那方法二怎么去分析呢？ 方法二，咱们很多同学都学过，必要性探路充分性证明， 用这样一个方法来求取值范围。那么我们看题目中告诉你，负一到一上 f s 都要满足 一分之一到 e， 那 么 f 一 和 f 负一肯定它也满足，所以我们由提议得到 f 一 f 一 往里一带，那是一加 a， e 加一， f 负一， 那是 a 减一乘一的负一次方加一， 由它们我们可以得到一个初步的 a 的 曲值范围，那是哪来初步的二减 e 到负的一分之一。 哎呦，这能是答案吗？这是不是答案现在不清楚，但这是满足提议条件的，满足提议的它的一个必要条件。换句话说，所求的 a 的 曲子范围就该是 现在求出来的这个必要条件的一个值区间，当值区间也包含它本身啊，所以它有可能是答案，也有可能是，哎，答案是它的一个值集， 那到底是不是我们就看看。哎，咱们第一问得到了那个 f x 在 负 a 到一到减一上有个极小值， 那现在我们就看看这个负一减一在不在所给的负一到一内。如果这个负一减一 在这个范围内，那就意味着，那就意味着我们的最小值不一定出现在一和负一，而是出现在中间这个地方。 所以现在啊，我们就要去分析一下负一减一，这时候负 a 减一来，通过分析发现它是一分之一减一到一减三， 一减三是小于零的负一分之一减一，它是大于负一的。所以这时候我们会发现，负一减一，它在这个负一到一这个区间内， 它在这区间内，那这个函数最小值，那就出现在 f 负一减一上， 有一只，有一只 f x 在负一到一上的 最小值为 f 负一减一往里面一带，负的一分之负 a 减一加一， 那这个最小值，这最小值也得满足大于等于一分之一啊。由负的一分之负一减一加一大于等于一分之一，我们会得到 a 大 于等于负的浪一减一，所以这时候我们就能得到这个结论了。 这是我们的第二问，我们的第十八题，第三问， 第三问，这一问啊，这个分析我们就这样去想，在第二问中的方法二，他好像给我们一种歧视。 第二问，方法二说啥歧视呢？这里 f 一 f 负一都在这范围内，在这范围内我们能得到一个 a 的 曲值范围，这是它的一个大体的情形， 那么我们这个题目，我就来采用这种方式，采用这种方式， 借助方法二，第二个的方法二，由由 e 的 s 次方小于等于 f x f x 包括 f x 二， 那我们知道 f s， 它是 s 加 a 乘一的 s 次方，加一也小于等于一的 t 次方。 f t， 它的 t 加 a 乘一的 t 次方，加一小于等于一的 t 次方。 有他们，我们会得到 题目的要求，要让咱们去证明，这里 e 的 负 t 词方，这是出现了 e 的 负 t 词吗？ e 的 负 x 方，则出现了 e 的 负 x 方。同时当我们看到要证明的这个东西啊，哎，它有点类似于我们的极点偏移 二倍的 x， 一 加 x 二大于三，哎，类似于这样的东西， 那我们就采用这种方式，采用这种方式， what's what's x 一 等于 e 的 负 s 词方， h 等于 e 的 负 t 词方， 那么我们的题目条件就变成了这样的东西，因为咱们知道，咱们知道负 s 是 大于负 t 的， 也就变成了 x 一 大于 s 二肯定大于零。 而且，而且我们的一减 x 一 加上个乱 x 一， 它又要小于等于一减 x 二加乱 x 二横乘以， 那这是哪来的？哎，刚才咱们说替换了这的东西，你看这儿是不是一减 x 一 加了 x 一 啊？这边一减 s 加了 s， 所以现在我就去构造一个新函数， si x， 在 第二个中，咱们已经用了 g x 了，这 si x 等于一减 x 加 y x， 那我们的题目那么题就变成了 h x 一 小于等于 h x 二 对大于零的两个量，它是横成列的，而且 h 撇 x， 它等于 x 分 之一减一，也就等于 x 分 之一减 x。 那 现在咱们会发现 f x a x 的 它的导函数符号，从而分析 x 的 单调性。 因为当 x 在 零到一上的时候， h 撇它显得是大于零的， 当 x 在 移到正无穷上的时候， h 片显示小于零的，所以，所以 h x 它在零到一上单调递增， 在一到正无穷上 单调递减。 有这个单调性，有 h x 一 和 h x 的 大小关系。我可以简单的在做一个 c 图， 那我们知道 h 一 它是等于零的，所以它是一个单调地啊增，哎，这边是单调地啊，减，到底减到哪里去？咱们画的这是草图啊，别深究我画的图对和错。 来。看着这里，我们可以发现的是，这个 x 一 它肯定在极点的右侧， 那个 x 二在哪里啊？你清楚吗？不太清楚，但我们可以确定的是， x 一 肯定是大于一的， 那说要 x 二也大于一，那这个题目不就证完了吗？哎， x 一定大于一吗？证明这个问题， 如果你能同时把 x 也证也大于一也证明了，那就没问题了。那有时候，哎，老师，你这的 h x 一 小于等于 h x 二，它不是横乘的吗？ h x 一 小于等于 h x 二，这是没问题的。但是任意的是对任意的 x 一 x 吗？ 你那那个单调性概念中不是任意的吗？哎，这是单调性的概念吗？所以，这的 x 一 和这的 x 二啊，它只是满足 h x 一 小于等于 h x 二而已。 这里的 x 一 x 可不是单调性概念中任意的 x 一 x 两个量。 所以现在啊，我应该这么着去琢磨。我在琢磨咱们的问题变成了去推正，二倍的 x 一 加 x 二大于三， 我就这样想，咱们的 x 肯定是大于零的。我的 x 一 如果大于二大于等于二分之三，那是没问题的。 那就是说， 当 x 一 大于等于二分之三的时候， 这个二倍的 x 一 加 x， 它肯定是大于三的，也就是满足 t 的 情形。 当 x 一 小于二分之三的时候， 这时候它一个二 x 二倍的 x 一， 它不是大于三，我就得关注那 x 二在哪里。那么这时候的这时候的 二减 x 一， 哎，跑到了几字点的左边去了， 是这吗？看这个距离好像不大像啊，再往这来点，这个位置是二减 x 一 的位置， 而我们的 x 要在 要在 h x 一 的上方。 好，那这是干嘛？这不是有点对称差函数的味道了吗？所以，进一步设 f x 等于 h x 减去 h 二减 x， 其中 x 是 大于一小于二分之三， 边界最值 h 显然等于零，并且导函数，而不是怎么 h。 错了，反， 不好意思， 反一等于零，并且反撇 x 等于。哎，不对啊，这不上面不该改。 it's it's 这儿不该改啊，反撇等于 h 撇 x 加上个 h 撇二减 x， 那 怎么变加号了？是因为 h 二减 x， 它是一个符号函数， 这相当于是一个 h t t 等于二减 x， 所以 求它的导数应该是 h p t 乘二减 x 的 导数也是 t 撇，所以这是个加号。 由前面已经知道了 h 撇了，所以把 h 撇带进来，那叫 x 分 之一 加上二减 x， 分 之一减二，这个量到底大于零小于零， 你反正知道分母肯定是大于零的，实在不行，你来个通分，通分经过整理得到它是二倍的 e 减 x 的 方。 那么这时候我们来看啊，是不是发现外撇它是大于零成立了？ 因为反撇 x 大 于零和那里，所以反 x， 它在一到二分之三上单的递增， 它在一到二分之三单调递增， 它既然单调递增的话，那么反 x 等于 h x 减 h 二减 x 就 该大于 f e， f e 等于零的，所以 h x 是 大于 h 二减 x， 那么我们的 x 一 x 一 就在就在一到二分之三呢？那实际上我们是在证明 x x 一 和 x 二减 x 之间的关系， h x 一 是大于 h 二减 x 一 的。哎，我改一下位置， 那我们 h x 二 是比 h x 一 大于等于，而刚才分析到，分析到 h x h x 在 左边单调递增， 而而二减 x 一 也是在左边， x 二到底在哪里，现在不清楚，但是我们看到这个 大草纸上这个草图就是右侧这个图啊，我们会发现 x 二的位置在这可以，在这也可以， 那也就是说 x 二肯定是要大于二减 x 一 的，所以我们现在得到的是 x 二，它肯定是大于二减 x 一 的。 既然这样的话，我们不就得到了 x 一 加 x 二肯定是大于二的。 哎，刚才说什么呢？ x 一 是大于一，所以我们可以得到二倍的 x 一 加 x 大 于三。你要怕这个步骤有问题，你稍微加一个， 又因为 x 一 大于一也行，也即是二倍的 e 的 负 x 次方加 e 的 负 t 次方大于三。最后，所以综上所述， 二倍的 e 的 负 x 次方加 e 的 负 t 次方大于三。

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