咸阳高三三模数学压轴题解题技巧

好，咱们来看一下咸阳三模填空题最后一个，这是一个球外接球的问题，那么很明显，题中出现了一个面面垂直好，那么他应该是一个面面垂直线外接球好，面面垂直线在 公式是什么呢？大 r 应该是根号下 r 一 方加 r 二方减四分之一 l 方，那 r 一 r 二分别是互相垂直的两个面的外接圆的半径，那么 l 是 交线的长度好，那么此时 abbcac 都等于四，很明显， 这是一个等边三角形好，那么 bc 垂直于 cd， 这是一个直角三角形好， cd 也等于四好，那么第二个面应该是一个等腰直角三角形好，那么才知道 r 一 它是一个等边三角形的外径，圆半径应该是三分之根三倍的边长，所以 r 一 应该等于三分之根三，再乘以四，应该是三分之四倍的根三 好。等腰直角三角形，只要是直角三角形，它的外圈半径应该是斜边的一半，那么此时斜边是四倍根号二好，那么 r 二应该等于二倍根二好。交线就是 bc， 也是 bc， 就 等于 l， 它等于多少呢？四 好，咱直接代入公式，那 r 方应该是 r 一 方，应该是三分之十六，加 r 方加八，再减四分之一 l 方乘以十六， 应该等于十六，再加上一个四，应该是三分之二十八好，那么 s 表 球体的表面几何式应该是四派， r 方应该是四派，再乘以三分之二十八，应该是三分之一百一十二派， 好，所以这个题答案应该是三分之一百一十二派。这个题关键是熟记面面垂直线外接球半径的公式及其常见几何图形外接圆公式， 等腰直角三角形，他的外接圆半径是斜边的一半，等边三角形外接圆半径是三分之根三倍的边长。好，关注允哥数学不迷。

哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下二零二六咸阳市三模的导数压轴题。好，那么对于这样一道导数压轴题，我们对比渭南市二模，包括咸阳市二模，我们会发现这道压轴题啊，相当的难。那为什么呢？主要是在第二小问和第三小问，那么第二小问比较坑的地方就是，如果说你正常采用分析法去处理的话， 嗯，没有问题啊，可以处理。那如果说有些同学考虑餐面分离，那么餐面分离除了考虑范围之外，后面你还得拿洛必达去考虑极限的情况， 所以拿洛必达用的话，就有可能出现被扣分的情况，所以第二小问就不要坑。那么第三小问他直接把渭南市二模的引零点难度上了一个档次，同时的话在替换的过程中还用到了啥呢？还用到了我们的铜购， 所以你想一想啊，他考这些内容来讲的话，我觉得都比较难。哦，好，话不多说，我们直接从第二小问开始，他说函数 f x 大 于等于负一横乘力啊，这是个横乘力问题，那我们一般处理好，直接先把它扔下来，也就是 m 一 减 x 减勒， x 减一大于等于负一，整理一下就是 m 背的一减 x 减零， x 大 于等于零。好，那么如果这个式子要成立我们正常的处理方式啊，分两条路，第一条路，分析法，那分析法就是要研究这一坨，也就是 g x 它的一个单调性。好，那第二种的话就是拆面分离，那么这道题的话，就是我们拿拆面分离做，就会出现你要用洛必达的情况啊，所以我们这个就不讲第二种方法了，我们主要来讲第一个思路啊。好，那么第一个思路， 我们正常设成 g x 之后进行求导，它就变成负 m 减去 x 分 之一。好，那这就变成一个啥了， 是不是依次含餐啊？那么依次含餐我们优先考虑的是啥呢？是不是我们要优先考虑第一种情况，把定域先给他一起啊？是零到中无穷。那么第一个，当 m 大 于等于零时，此时 g x 撇是横小于零， 那 g x 是 不是 d 减的？那如果 g x d 减，刚才我们要求把前面这坨写成 g x， 那 g x 如果大于等于零，那咱目的是研究 g x 的 最小值呢？是最小值，那如果单调 d 减，它范围是零到无穷上，有没有最小值？是无这只最小值， 所以这种情况咱直接舍去。那第二个的话，就是当 m 小 于零，那么当 m 小 于零时，这个 g x 撇它是一个递增的，那么零点是啥呢？是负的 m 分 之一。哎，从这开始， 那意味着 x 在 零到负的 m 分 之一， g x 撇小于零，那 g x 递减的 x 在 负的 m 分 之一到正无穷，那 g x 大 于零，那 g x 是 递增，那么先减后增，是不是有极小值？那此时的极小值也就是我们最小值，那我们带到原函数里面，那么 g 负的 m 分 之一哦，最小 好，扔进去就变成 m 倍的块，一加 m 分 之一，再减，减去零负的 m 分 之一。好，整理一下，就是 m 加一减去零负的 m 分 之一。 好，写到这，我们发现这个最值咱是不是也没有解出来啊？好，那继续啊，那我们就研究这个，那这个函数的话，我们可以设成一个新函数啊，比如说成设成 h m 就 等于 m 加一，减去零或负的 m 分 之一。好，那我们接下来是不是要研究 h m 它是大于零，那对于 h m 是 不是咱还得给它求导啊？因为大小没法分析，是吧？好，继续求导。变成一 里面这一坨，我们稍微可以给它改一下啊，把这个函数稍微改一下。呃，它可以改成负，负得正加上零负 m。 好， 那这就变成负的负 m 分 之一，也就是一加 m 分 之一。 来，大家会发现这个函数，这个函数是递减的，那么零点是负一。哎，所以大家会发现，我这个数是不是先增 后减？那负一的时候是一个极啥值呢？是极大值，我们要研究是最小的呀，你会发现，此时我们最小值是不是确定不出来？但是我们可以确定出来的是 h， 负一是我们的一个最大值。 好，扔进去之后，他刚好等于啥呢？就刚好等于零，那意味着我们如果让这个式子成立啊，他是不是只能等于零，对吧？ 他是不是只能等于零？那只能等于零。你想一下， m 取的是谁呢？取的是负一，所以此时的话， m 等于啥？是不是等于负一？只能取 m 等于负一的数？ 好，那么第三问，首先他说当 m 大 于一，证明这个函数有两个零点。呃，正常处理的话，我们就先把 h x 先给他搞出来啊， h x 等于 m 或一减 x 减零， x 减一加 x 乘以 x 减 m。 嗯，然后我们整理一下，就是负 m x 减勒， x 加 x 乘一 x， 它如果让它 等于零，有两个零点。嗯，我们会发现，如果你去研究这个函数啊，咱很多同学想，那我能不能参面分离一下？那么参面分离了之后，你会发现压根干不动啊，那么另外一个思想的话，就直接去分析，那直接去分析的话，你要求导，呃，那一求导的话，这个 m 这个参数会始终在 那。还有一种思维的话，就是我们可以降低下难度，就是我找一下等效，那我和它同时除以 x， 同时除以 x 了之后，它变成负 m 减去零， x 除 x 减一除以 x 加 e 的 x 呢？哎，它是不是变成让它等于零，那我们不妨把它设成一个新的函数， 比如说把它设成 mx， 然后我们分析它的图像特征啊，分析它图像特征，那我们把 mx 可以 给它求个导。 求导之后你会发现，这样的话，一求导把这个参数是不是消没了？哎，下面 x 平分，然后上到上到 x 分 之一 x 一， 然后加内 x 啊，因为前面有个符号啊，就求到这块，再加上 x 平分， 分之一加一的 x， 我 们整理一下，好，那么整理完之后，这个负一和一是不是没了，对吧？哎，现在我们要研究啥呢？是不是研究这个导函数的特征，那么这个导函数你会发现，哎。另 x 是 增的吗？它是不是也是增的？所以复合起来，这个导函数是增的，那只要增了， 哎，我们可以假设他有个极值点啊，比如 x 零，那如果他有一个极值点 x 零，他是先减后增，那么这个 m x 的 图像我们就可以减一的画成这个样子，那怎么才能会让他有两个零点呢？那首先我们是不是得让 mx 零 小于零，这是一个，第二个，我们在左边，因为他定义是从零开始的，那我们让他接近零的时候大于零， 趋近于正无穷的时候来小一点，这是我们的基础基础思路是不是？好，接下来我们就可以把这个零点啊要设出来，那设零点咱是不是得卡范围？怎么卡呢？嗯，我们先取个简单的，比如说我们取个一，那么取一个一之后，你会发现上面这坨啊，大家看，上面这坨啊， 取一个一之后，这一坨是大于零的，哎，然后我们在这取那，在这取一个，比如说一分之一 e 的 平方分之一，其实都可以啊，比如说我们取个一分之一，那这是负一加上 e 的 负二次方，再乘以一的一分之一次方，对不对？哦？那么你会发现这坨合起来就是一分之一减二吗？它是不是小于零的？那小于零的话，那意味着这坨小于一嘛？所以整体的话应该是小于零啊。那我们就可以确定，当 x 在 一分之一到一存在为一零点 x 零。然后我们分析一下， 当 x 在 一分之一到 x 零的时候， mx 它是小于零的，那么 mx 就是 递减的。如果 x 在 x 零到一的时候， mx 片大于零， 那么 mx 是 单的递增的，那我们就会存在 mx 零就是它的一个极小值。好，那么 mx 零我们给它带进去啊，我们搞一下啊，就是负的 m 把这条抄下来啊，我记不住。好，那么 mx 零我们给它带进去啊，都会得到负 m 减去 x 零分之小于 x 零，减去 x 零分之一，加上 e 的 x 零， 我们想要研究的是它的极小值是不是小于零，但是你现在搞出来这个式子肯定是不行嘛，但是我们引零点是不是还有个等式关系？哎，往这个式子啊，往这个式子呢，带一下，也就会得到 x 零，加上 x 零的平方乘以 e 的 x 零等于零。哎，那这个式子你会发现换起来也不是很好换哦。但是我们要知道，在同勾里面，既然遇到了一个对数，有个指数一定是指逆 对密的结构，那么指密对密指的啥呢？就指数乘一个密函数加等于或者大于一个对数乘以密函数，或者是指数加上一个密函数，或者对数加上或者减去一个密函数啊，它是这样的一个结果，所以你发现 指数部分跟密函数了，但对数部分没有跟啊。那咱可以咋弄呢？咱是不是可以除一个 x 零啊？那除一个 x 零就变成 x 零，乘以 x 的 x 零， 好，等于零，再处理一下，就是 x 零乘一 x 零等于负的零， x 零除以 x 零。哎，这个好像也不行了，因为这边是乘的结构啊，那我们可以再换一下，就是 x 零分之一，是吧？乘以零 x 零分之一， 好，这个结构其实就很合适了啊，就是咪指咪对，是吧？咪指咪对，那咪指咪对，我们可以再进行处理啊，就同过的结构，把它一处理，它可以写成啥呢？它是不是写成 e 的 零 x 零分之一，是吧？ 那如果这样写的话，你会发现我们左右两边结构不是一样的吗？那就会得到 x 零就等于零。 x 零分之一好，整理一下，就是 x 零是不是等于负的零 x 零，我们也可以把它处理成三等，是可以处理成 e 的 x 零四米等于 x 零分之一。好，那么这两个式子放到这，我们就要往哪带呢？往刚才我们求的那个极值那一块带吗？啊，来。哎，是不是往这带？好，那带的时候，那这个 零 x 零。哦，加一个符号，那是零。 x 零，是不是负的 x 零？好，他也一换，换成一的 x 零，那就太爽了，是不是变成负 m， 对 吧？加一减一的 x 零，加一的 x 零。哦，我查一下啊。 哎，那不就等于一减 m 了吗？因为 m 它是大于一的，所以一减 m 它是小于零，那我们想要的效果是不是就有了？好，那么接下来我们只需要给它做一些样子。啊。什么样子呢？这是 x 零，对吧？好，这零好正无穷，给它描述一下。好，那么因为 mx 零小于零， 当 x 趋近于零时， m x 大 于零，当 x 趋近于正无穷时， m x 也大于零，所以 x 在 零到 x 零和 x 在 x 零到正无穷上存在两个零点。好，然后你把前面的东西啊给它一抄就行啊。不知道大家觉得这道题难不难啊？反正我个人觉得还是有点难度啊。

哈喽，朋友们，今天我们一起来分享一下二零二六咸阳市三模的解析几何压轴题，那么这一道压轴题我觉得质量非常的高，那么第一小问其实考到的是我们轨迹方程里面的直译法，但这个题里面又有一些小细节啊，就是关于抛物线的一些小性质。那我们拿这个题来看，他说 f 点是一零， w 为一个动点，以 w f 为直径的圆，有 y 轴相切。那么有很多同学一看到这就能想到，我们抛物线里面有个姓氏，以交半径为直径的圆，有 y 轴相切，那就立马可以写出来这个抛物线的方程 a， 也就是 y 方等于四 x 啊，就完事了。 那么我们做的时候，那肯定是要给人设点嘛，是吧，找等式关系，然后进行求解。好，所以第一小问我们过多去讲了啊，我们看一下第二小，那么第二小问的话，他说，一，若曲线 c 存在是 m n q 三点，使得角 m q n 的 角平分线是 x 等于四。 好，那你想一下，我们先搞一条 x 等于四，那谁在顶点呢？是不是 q？ 那 q 它有几种情况呢？是不是有可能在上面？ q 是 不是也有可能在下面？是不两种情况？那我们计算的时候，我们可以先考虑一种情况，然后利用对称把另外一种结果给它写上就行。好，那么假设 我们可以把 q 点坐标可以搞出来，那 q 点坐标是不是四四，他说 x 等于四，是他的一个角平分线，那我们现在假设搁这拉一条线，这记为 m。 好， 我们继续再搁这拉一条线， a， 我 们记为 n。 大家观察一下这个 q m 和 q n 斜率之间是不是有关系呢？哎，那么 q q n 等于啥呢？是不是等于零？ 那么他斜率值和如果等于零是不是三点？又在曲线上？我们思考一下这种问题咋处理？是不是其次化？好，请把其次化打到公屏上。好，那既然我们要用其次化，那咱是不得设方程，那我们设 直线 m n 不 过定点 q 啊，那不过定点 q， 我 们就可以写成 m 倍的 x 减四，加上 n 倍的 y 减四这一，这是第一步。第二个，我们把这个抛物线的方程稍微改一下，改成 y 减四加四的平方等于四倍的括号 x 减四加四。 好，稍微整理一下，就变成 y 减四的平方加上八倍的 y 减四加十六等于四倍的 x 减四 加十六。好，那么常数部分我们就可以给它约掉，然后同时给它乘以啊，那么这一坨给它乘一个一，又乘以 m 倍的 x 减四， 加上 n 倍的块 y 减四。这边也是一样，乘以 m 倍的 x 减四，加上 n 倍的 y 减四。好，那么乘了之后，我们再给他同时除以 x 减四的平方，那么接下来我们同时除以 x 减四的平方之后，我们就会得到 k 方加上八 m k 加上八 n， k 方等于四 m 加上四 n k， 然后我们整理一下，就是八 n 加一倍的 k 方加上八 m 减四 n 倍的 k 减四 m 等于零。那我们刚才知道了，它俩的斜率之和等于零啊，那意味着我们直接用尾端啊，就是 k 一 加 k 二就等于负的 a 分 之 b 啊，也就是负的八 n 加一分之八 m 减四等于零，那我们就会得到四 n 是 不应该等于八 m， 那 四 n 等于八 m， 我 们稍微给它处理一下，也就是 n 等于二 m， 那 么我们来看一下直线 m n 它的一个斜率，斜率 k， 它是不是应该等于啥呢？ 就等于负的 b 分 之一，那也就是负的 n 分 之 m， 那 我们放进去负的 n 分 之 m， 意味着我们的斜率得出来是不等于负的二分之一。然后利用对称性， 利用抛物线的对称性啊，对称性可得好，那么 k 应该是等于正负二分之一。好，我们接下来看一下第三小问，他说过 f 的 直线啊，过 f 的 直线与抛物线相交于 ab 两点，然后点 t 是二零啊，那点 f 是 一零点， t 是 二零，他说直线 a t 交曲线另外一个端点为 d 点，直线 d f， 那 我们把直线 d f 给画起来啊， d f 交曲线于 e 点好，若线段 a b， d e 的 终点分别是 ps， 那 么求三角形 t ps 的 面积 的趋势范围。好，那么这个题就是我想到了一个思路啊，分享给大家，就我想着我能不能把这个 p 点的坐标给它表示出来啊？假设啊， x 零 y 零， 哎，然后 s 点的坐标我给他搞出来 s 一 y 一， 好把这些点全部用一个位置量啊，如果我用一个位置量表示的话，好，那这个时候的话，我想，哎，那我把这个三角形 tps 可以 用叉乘法来表示啊，那我们简单的给大家去把这个叉乘啊，说一下，比如说 t 点的坐标是二零，对吧？我先表示一下 t p 向量， 那 t p 向量就是 x 零减二，逗号 y 零，那么 t s 向量它是不是等于 x 一 减二，逗号 y 一， 那么差乘的话，也就是这个三角形的面积，它就等于二分之一 x 零，减二乘以 y 一 减去 x 一 减二乘以 y 零，这就是。哎，这就是我们查成了这个模型。好，那这是我的一个思路啊，现在我有这样这个思路了，接下来的问题是不是就想办法用一个字母，哎，把其他全部表示，那么你会发现他所有的点的产生，像 b 点， d 点， e 点好，这些点的产生都和谁有关系呢？哎，其实都和 a 有 关系，所以我们设未知量的时候，我们可以设 a 点，哦， 那把 a 点的坐标，这个时候我觉得射啊，就是还有点小心机啊，因为他抛线的方程不是 y 方等于四 x， 好， 那么这个时候射点啊，其实也有点小心机啊，你看，我把 a 点先给他搞 y， 我 把 y 如果射成二 m， 那 这个时候 x 是 不是刚好等于 m 方，大家能发现吗？好，因为这样射的话，我们后面好算一点啊。那接下来我们先搞 b 点，那 b 点和 a 点之间联系是不得联系立方，所以我们把直线方程给它射出来啊，比如说射成 x 等于 t， y 加一好，那么抛线方程 y 方等于四 x， 好 进行连立啊，这个式子很重要啊，我们连立了之后，就变成 y 方减四 t， y 减四等于零，那我们也就知道了，用 y 乘以 y b 是 不等于负四？好，那 y a 咱不是刚设出来的，那 y a 是 不等于二 m， 所以我们就会得到 y b 就 等于负四，除以二 m 就是 m 分 之负二，那么 y b 出来了，那 x b 是 不是也有了？好，那么 y b 等于 x 分 之负二，那我们 x b 咱是不是可以直接写好？那 x b 它是不是就等于 m 方分之一？ 那意味着 b 点坐标 a， 咱是不是搞出来了？也就是 m 方分之一。逗号 m 分 之二。好，那么 b 点坐标出来了，那同理我们是不是可以利用 a d 这条直线？因为 a d 这条直线它如果过的是 t 点，所以你想一下它连立了之后的效果啊，我们可以写 a 连立这个 a d 这条直线，我们可以给它设成 x 等于 t 一 y 加二，有 y 方等于四 x 进行连立， 那我们就可以得到 y a 乘以 y d， 他 应该等于多少呢？这边如果是负四的话，那边应该是等于是负八的。 ok， 好， 所以我们也是一样的得出来这个 y d 先搞出来 y d， 然后再搞出来 s d， 好， 那么 y d 我 们给他搞出来负的 m 分 之四，好，那么 yd 我 们给它搞出来啊，那么它等于负的 m 分 之四，那么 xd 它就等于 m 方分之四。哎，那这个 d 点坐标我们也搞出来， 也就是负的 m 分 之四。逗号 m 方分之四，那么 d 点坐标我们搞出来了，那么接下来我们是不是顺着这个方向啊，我们去搞这个 e 点的，那搞 e 点的我们还是一样的，你要 连利和 d 啊，其实我们也可以同理可得，是吧？同理可得。哎，这个搞出来这个 y d 乘以 y e， 它是不等于负四，所以搞出来这个 y e， 然后 x e y e 等于 m， 那 x e 等于四分之 m 方， 好，那意味着一点的坐标我们也搞出来，也就是四分之 四分之 m 方多少 m， 好， 那这些点全搞出来了，那接下来这个 p 点和 s 点，哎，这个坐标是不是我们用中点坐标公式，它就等于二分之。好，我直接把化简结果写一下啊，就是二分之 m 方加上 二 m 方分之一，逗号 m 减去 m 分 之一。好，那么 s 点，也就是八分之 m 方加上 m 方分之二，逗号二分之 m 减 m 分 之二。好，接下来我们用刚才讲的这个面积公式啊，也就是 它等于二分之一，括号 x p 减二 乘以 y s 减去 x s 减二乘以 y p。 啊，稍微整理一下，这个整理过程我就不写了啊，我直接给大家把答案写写啊。二分之 t 加上 就是二分之 m 加上 m 分 之一乘以四分之 m 方加上 m 方分之一减四分之一。 好，那这一块其实解的话，就有些同学觉得反正比较麻烦，是吧？但是你观察一下哦，你把这一坨和这一坨，你观察一下它，其实它俩是有个平方关系的，所以我们可以这样，我们令二分之 m 加上 n 分 m 分 之一， 给大家设一个未知量啊，嗯，我们设上 n 吧，对吧？好，然后我们基本不等式就可以得到，它是大于等于 二倍的根号下 二分之一，那么二倍的根号下二分之一，我们给它去处理啊，也就是第二，对吧？所以 n 的 范围我们搞出来，那就搞一个函数嘛，啊，就是，嗯， f n 等于二分之一，括号 n 乘以这坨，是不是可以写成 n 方 减去 n 方减一啊？然后再减去一个四分之一，就等于二分之一 n 的 三次方减去八分之五 n。 好， 那这咱只能求倒了吗？对吧？那我们求个倒，等于二分之三 n 方减去八分之五。 好，二函数开口向上，然后我们把两个零点啊给它搞出来， 也就是二分之三， n 方等于八分之五，然后 n 方就等于八分之五乘以三分之二。哎，约一下四，嗯，那意味着 n 就 应该等于二倍的根，三分之根， 对吧？好，就是这个咱可以不用画啊，你在草稿纸上完成就行了。那么正的部分也就是六分之根号下十五，负的部分就是负的六分之根号下十五。 好，那么因为我们取的这个值啊， n 是 大于等于根二的，那么六分之根号下十五肯定是比根二 是不是要小，对吧？好，所以我们想想，那意味着我要取它的最小值，那咱是不是直接去带根二就行了啊？ 好，那么把这个根二扔进去，也就是 f， 根二就等于二分之一，乘以二倍的根二，减去八分之五，乘以根二 就变成根二，减去八分之五倍的根二就等于八分之三倍的根二。好，那么这道题我们就搞定了啊。 nice。

咱们来看一下咸阳三模单选择题的最后一个方程，有两个实数根，求 a 的 取值范围，很明显，这是一个零点问题，对不对？那零点问题，咱优先使用分离参数法，那么咱来判断一下方程两边能不能为零， 那么有 law x， 则 x 一定是大于零的，那 x 大 于零， x 乘以 e 的 x， 它肯定也大于零。 好，那也就是说方程两边都不能为零，那都不能为零的情况下， a 他 肯定也不等于零，所以 d 直接就排除了，对不对？那么那么在分餐的时候，是把左边除到右边来，还是把右边除到左边去？咱们来看一下，现在是只对共存，那只对共存的话 需要同构，那么咱把这个方程变换形式， x 乘以 e 的 x 等于 a， 这是 loin x， 再加上 loin e 的 x 的 对数好，那么就可以改成 a 乘以 loin x， e 的 x 好，那么咱可以把右边这个除到左边去，也可以把左边这个除到右边来。那么常考的函数是 x 分 之零 x， 所以 咱选择把 a 除到左边来。 a 分 之一等于 x 乘以 x 分 之零 x e 的 x 的 对数设 t 等于 x， e 的 x 好， 则 a 分 之一 应该等于 t 分 之零，并且才知道 t 此时是大于零的好，那 t 大 于零，那可以设 f， x 等于 x 分 之零 x 好， 这是常见的六个组合函数之一，那么再画一下它的图像， 它是这样子的好，在 e 这个地方取得最大值一分之一，好，再让方程有两个实数根，所以 a 分 之一这个水平直线跟图像应该有两个公共点，对不对？那么应该在 这款好，那 a 分 之一应该是大于零，小于一分之一，很明显 a 是 个正数。把 a 乘到右边来，那么 a 大 于 e， 所以 这个题选的是 e 到正无穷选 b。 关注颖哥数学不迷路。

伽林三模的第十八题，考场上做真的太难了！如果我们间 c 的 话， p 点的坐标怎么设是一个大问题，直接设字母，或者说通过夹角去设它，最终都会有很大的计算量。今天我想用几何法来讲一下这道题，做起来又快又简单。 先来看条件，在平行四边形 a b c d 当中呢？ a c 是 e， b， c 也是 e， a c 垂直于 b c。 将三角形 a c， d 沿着 a c 翻折点 d 翻折到了 p 点的位置，形成了三人追 p 杠 a b c 现在 pp 上有两个点， m 点 n 点满足啊，这两个面面垂直非常关键。 第一问，我们就不看了，来看第二问，在翻折过程当中，当点 n 是 线段 p b 上靠近点 b 的 三等分点，求点到平面 a c p 的 距离。这道题用几何法做，关键就是画出二面角的平面角。 比如说 p a、 c 与 a c b 所成的二面角的平面角，我们该怎么画呢？可以过 a 点做 a q 平行且等于 bc 啊，也就相当于这里形成了一个矩形 a c b q， 那 也就得到了 a c 垂直于 ap， a c 垂直于 a q 角 p a q 就是 p a c 这个面和 a c b 这个面所形成的二面角的平面角。再连接 p q。 怎么画 p a c 与平面 a c n 所形成的二面角的平面角呢？我们可以把面 a c n 延展一下，过 n 点呢？做 n h 平行于 a c 连接 a h。 根据刚刚我们已经推得 ac 垂直 ap， ac 垂直 a q， ac 自然会垂直于平面 p a q， 所以 ac 垂直于 a h， 所以 角 p a h 就是 平面 p a c 与平面 a c n 所成二面角的平面角。 根据题干说的平面 a c p 和平面 a c n 是 垂直的，所以角 p a h 就是 九十度 n 点是 p b 上的三等分点，那根据 h n 和 b q 是 平行的， h 点就是 p q 上靠近点 q 的 三等分点。 再来看看我们要求的点， n 到平面 acp 的 距离。由于 n h 平行于平面 acp， 所以 说 n 点到 acp 的 距离就相当于 h 点到面 acp 的 距离， 而 h a 垂直于 a c h， a 垂直于 ap， 所以 h a 垂直于平面 p a c h a 就是 我们要求的距离。 接下来就很简单了，我们把线段长度标一下， bc 是 一，那 a q 也是一， ad 是 一， ap 也是一。把平面图画出来 如图所示啊！我们就可以设 h q 是 x， p h 是 二 x。 把角屁呢，分别放在三角形 p a h 和三角形 p a q 当中呢？利用角屁的余弦值得到等量关系 口算，以 p 等于一比上二 x 也等于一加三 x 的 平方减一比上二乘一乘三 x。 这个方程解一解，很快得出， x 等于三分之根号三， 所以 p q 呢，整个就是根号三啊。所以角 p 就是 三十度， a h 的 长度就是 三分之根号三。再来看第三问，在翻折过程当中呢，是否存在向量 m n 等于四分之一向量 p p 若存在，求出 a c p 与平面 abc 所成角的余弦值， 那也就是求角 p a q 的 余弦值呗。这里我们可以仿照 n a g 的 做法扩展平面 a c m 做 m g 平行于 a c 连接 a g。 那 么平面 abc 与平面 a c m 所成角呢，就是角 g a q， 因为 a c 垂直于 g， a， a c 垂直于 a q。 再根据题干说的面 a b c 垂直于面 a c m， 所以 角 ga q 就是 九十度条件中的向量 m n 等于四分之一向量 p b 也可以同步转换成向量 g h 等于四分之一倍的向量 p q。 我 们也画出平面图形来分析一下，如图有 h， a q 是 直角，角 p a g 是 直角。再设 h， g 是 y， p q 的 长度就是四 y， 可以通过正三角形 p a g 和三角形 q h 全等得到 a h 等于 a g 啊，同理， p h 也等于 g q， 所以 p h 的 长度呢，就是二分之三 y g q 也是二分之三 y。 如果能把 y 求出来，角 p a q 的 余弦值就可以求出来了。做 af 垂直于 h g， 根据 a h 等于 ag， 得出 h f 等于 f， g 等于二分之一外， 再得出 p f 等于二外。那 af 呢，就是根号下一减二外的平方四外方 a g 呢，就等于根号下 p g 方减 pa 方， p g 是 二分之五 y， 也就是四分之二十五 y 方减一 af 有 了 a， g 有 了 f， g 有 了各五。定义一下，就可以把 y 求出来。 计算得出 y 等于五分之根号五，所以 p q 就 等于五分之四，根号五 口算一角 p a q 呢？用余弦定理直接求出来。最后答案就是负五分之三。几何法做这道题是不是超级简单， 再总结一下，关键哦，就是把 b c 平移至 a q， 把所有平面的二面角全部转移至平面 p a q 当中。如果这个视频对你有帮助的话，记得点赞、收藏加关注哦！

x 减二倍的二 x 减去二倍的二倍的二 x。 为什么我能确定他有二结导？因为我发现，发现如果二结导之后他是不是基础函数了，咱就能解了，所以我要对他二结导吧。对呀，二结导他是不是二减 x 分 之二，发现能求根了吧？我是不是等于零？嗯，然后记得 这种题你很多画，如果你不想写，你要把图给人家画上。嗯，你不画肯定要把同城。 x 是 二 x 减二和零 x 是 为一。我问你，现在咱们要画二结导的话，画谁？ 二 x 减二，二 x 减二吧，是吧？那 f 二阶导，那我就把它化了。二 x 减二就这样了啊，这是一二阶导，决定谁一阶导，一阶导，一阶导 减增减增啊，他是不是减增，那么我们是不是要知道这是正还是负？我们是不是知道他有没有极值了哦，如果这个地方是负，那就他是不是增减增，他是不是有极值了？对哦，如果这块是正，他就没有哦。所以我们现在要验证一下 f 一 的导到底有几啊？往里一带， f 一 的导是恰好等于零啊。那我不就这么写吗？ 这么写的，但是你。

荷西的高三三模刚刚结束，对于这次高考前的最后一个模拟题来说，它的试卷难度啊，中等偏上， 想要做好题自然是啊比较困难的，那么对于选择填空来说，它的难度相对来说还是适中的。之前我们说过啊，在选择题的最后七八九三道里边， 一般第七题呢，就决定于竖列，还是说三角函数的考法啊。 那么对于三角函数呢，相对来说考图像性质啊，都比较简单，考竖列的话，一般来说都是靠地推公式或者说等差等比的竖列的一些基本性质，尤其是等差中项，等比中项这些。 那么这次考试呢，他考了一个啊，大部分学生都没有见过的套娃的竖列，也就是说我们正常写竖列的时候是 a n， 他 出了一个 a 的 a n， 给了一个角标，把角标再带进去，有许多人就不熟悉了， 那我们今天来看一看这种套娃的数列该怎么做。首先要知道，这种数列我们并不是没有学过，而是我们高一最开始的时候，在学函数的第一 节课，我们就已经学过了求函数的定义域和值域这部分呢，其实就是求函数定义域以及求解析式这部分的知识点啊，只不过它是一个复合函数，我们知道数列是一个 点函数，那么啊，对于这种复合函数啊，或者说对这种复合向量，我们该怎么去解析呢？ 首先呢啊，我们一定要啊明白什么叫做复合或者是抽象啊，举个例子啊，等差向量它本身本身的解析式大家都清楚， a n 等于 a 一 加上 n 减一倍的 d， 然后他写出来的式子呢，我们会发现有 a 一， 有 n 有 d， 那 这个解析式呢，他很明显符合我们一次函数 k x 加 b 的 一个 啊，一个形式，所以实际上的等差数列，他就是一个一次函数。举个例子，二 n 减一啊，开朝下啊，二 n 加一，斜率朝上， 只不过我们的等差数里，只看这上边的 y 的 值啊，点函数嘛，对吧？那 s n 呢？ s n， 我 们知道第二个 s n 公式， n 倍的 a 加上二分之 n 减一倍的 d， 当你计算完之后，这儿不是有一个 n 乘以 n 吗？也就是说它有一个 n 方的存在，所以有 n 方啊，它切分的系数可能正， n 可能负，正的时候开口朝上的二次函数，负的时候开口朝下的二次函数，所以才有我们有时候 s n 的 最小值和 最大值。那么这个就是等差数列和一次二次函数之间的一些联系啊。我看到有的呃，其他同行在讲这个 第七题的时候啊，他许多知识点讲的不是特别清楚明白啊，但是有的孩子呢，可能听过之后觉得会做了，但实际上也没有掌握的很清楚，我们一定要深思熟虑，然后把每一个条件都分析到位 啊，一定要呃，不能知一知半解，我们要学会这个举一反三。那么具体里边怎么来看呢？ 我们先举一个简单的例子，从啊熟悉你们熟悉的最近发展区开始， f x 如果等于 x 加一，这个式子是我们熟悉的一个一次函数，那现在呢，我们让 x 加一，它直接就等于 t 啊，也就是说它的外值 啊， f x 就是 y， y 就是 f x 的 值，那这个 y 呢，就等于 t， t 的 话等于 x 加一， 这样的话，我们现在要求一个 f f x 啊，这就是你们最开始做的 f 负一是多少，然后把 f 负一的值， f 负一的值带带进去 f x 里边，求下个值分段函数，是吧？ 那这种知道了，那下一步 f f x， 你 也就知道了，把 f x 求出来的值，也就是 y 的 值，我们另外等于 t 就是 t 的 值，再带回去让 f t 等于啊多少，那 f t 等于多少肯定要满足解析式啊，你的 带的是芝麻，你就带芝麻，就是 t 加一，所以啊，就把 t 换成我们原来的 t 是 x 加一，再带回去，原来的就是 x 加一，加一，也就是 x 加二，这样的话，你就知道 f f x 怎么算。然后我们再稍微升级一下，给它赋予一个系数， f x 等于二， x 加一等于 t 的 话，我们的 f f x 就 等于啊 f t， 然后就等于二倍的 t 加上一 t 等于二， x 加一，带进去四 x 加三啊，可以求出新的复合函数的解析式 啊。然后啊，那现在呢，我们就看看这个题，这个题呢，告诉我们 a 的 a n， 它等于一个四 n 减三，和我们刚才不一样的时候一样的，不一样的地方在于它这个是直接告诉我们 f fn 的 值啊，直接告诉我们 f fn 的 值，让我们求 原来的 fn 啊，也就是求函数解析式嘛。啊，和以前求定域一样啊，我们首先要给函数解析式啊，找到合适它的解析式，自然而然就是 k x 加 b 啊，所以它是一个一次函数啊。举个例子，我让 fn 等于二， n 减一，同样的二 n 减一，让它等于 t， 那 我的 f t 自然而然就等于二， t 减一， 那 t 等于二， n 减一，我再带进去就得到了四， n 减三，为什么要反复给大家举例子呢？因为你的例子一两个根本不足以，而且还得正向，逆向都要考虑到位，我们有的学生才能明白。 然后啊，我们来看题， a 的 a n 等于四， n 减三啊，如果上面这个明白了，正向会算了，我们来看看逆向的逆向呢。首先， a n 是 个等差数列啊，它是一次函数， k， n 加 b 啊，所以我们设一个 k， n 加 b， 为什么不用 x 呢？用 x 也可以啊，但是题上不是说了吗，它的定义域也就是 我们竖列里边的啊，这个用的定义域是 n 啊，自变量是 n， 然后函数里边用的是 x， 它俩其实是一样的，而且 n 的 取值啊，都是啊，有大于 等于一的，而且是整数。这个一般都是啊，从一开始数 a 一， a 二， a 三， a 四，这个很熟悉， 那么 a 的 a n 就是 k， t 加上 b， 然后你的 t 原来是 k， n 加上 b， 所以 我就把 k 的 k， n 加上 b， 直接带进去算， 这里边带进去算，就是 k 乘以 k， n 加上 k 乘以 b， 也就得到 k 方乘以 n 加上 kb 加 b 的 一个结果。整体来看啊，有一个 k 方，有一个 n， 再加上一个 kb 加 b， 那 n 是 我们的自变量，它的系数自然而然就是提上了四，所以 k 方就等于四，我们也就得到了 k 的 取值， k 方等于四，剩下的部分就和负三一样。那啊，直接让他两边相等，和我们做那个负数 z 等于 a 加 b， i 的 一部分题左边等于右边的时候啊，是一个思路，可以类比一下，这里就能更加明白了。 那么我们 k 方等于四， k 等于正二或者负二之后啊，你可以求出来 b 等于负一或者三 啊，求到这的时候，哎，我们就觉得是不是有两种结果啊？其实不是啊，为什么不是呢？这就要到题上的限制条件了，因为我们看 每一句话都有它的用处所在。我们数学是一个啊，满足一些条件，然后受限制的范围内我们才能算。我们要是不断的扩大条件，我们很多结论都会推翻啊。 对于任意的 n 属于正整数啊， a 的 a n 都有意义，那首先我们想一想， a n 我 们是知道的是 a 一 a 二 a 三，这个 n 他 肯定是正整数一二三。那如果 a 的 a n 呢？ 那是不是代表我这个 a n？ 如果我把它还用 t 来表示的话， a t 是 不是也需要 t 是 一二三甚至更大呀？ 那它最小是不是不能比一小，或者说 t 它必须是大于零的，而不能是负数，是吧？所以我的 a n， 因为你 a n 要当一个自变量去算，但是我的 a n 本身有一个解析式， 虽然我们不知道解析式是什么啊，上边已经求出来等于二 n 减一或者负二 n 加三，那这时候我只需要让我的 a n 取正数就好了，对不对？那 a n 等于二 n 减一，你的 n 是 大于零的正整数，那第一个数肯定就是 a n 等于一的时候，就是我们的熟悉的一三五基数数列，那它就自然然全都大于零，那右边这个毫无疑问 斜率是负的，那你负二 n 加三啊，你 n 等于三的时候，他不是啊， n 等于一的时候还是正的， n 等于二的时候不就是小于零的吗？所以这个式子它的结果小于零，那么这能带 a， 带二的时候是负一，能带 a 负一吗？有这个选项吗？没有，你本身你这个 a 的 a n 就 不存在了，对不对？所以我们一定要看，首先 a 的 a n 就 不存在了，对不对？所以我们一定要看。首先 a 的 a n 外边和里边都是一个啊，角标大于等于一的数，所以它不能有负数，那你负二 n 加三这个解析式啊，我们是一个朝下的一个一次函数， 你这不是越来越小了，也就是变负数了，那肯定不符合我们的题，所以我们在这里才把 k 等于负二和 b 等于三给消去，不是因为它是负的啊，也不是因为它是啊什么大的数，而是因为它本身我们对它限制的这个有意义的条件决定的。 所以到这里你就知道了 a n 的 解析式，会了的话， a 二零二六啊，考场上自然而然也就清楚了。所以对于这种复合函数 啊，或者说复合数列的话，我们一定要熟悉他考点考的是什么东西和函数结合啊，然后，呃，有哪些需要注意的地方，都需要把这道题好好的消化消。

今天呢，我们来看一道和平高三三模数学当中的选择压轴题， 这道题呢，延续了和平一模和二模一如既往的平面图形立体化的一个立体几何的小题 啊。作为选择压轴题来说呢，这个题呢，对于一部分学生来说啊，不算特别难，但是对于有的啊，一百二三十分的学生来说，如果空间想象能力没有那么强的话，这道题可能就会难倒一少部分人。 我们来看一下这道题啊，经典的矩形 a、 b、 c、 d 长是二倍，根号二，宽是二。沿矩形对角线折叠的问题，将 abc 三角形折起来成为一个四面体， a 变成 a， 一 问四面体 a、 e、 b、 c、 d 的 外接球体积，我们知道要求外接球或者是内切球的体积的话，直接就是求球的半径 r， 那 么球的半径 r。 在 这个题里边，我想介绍的是一种双垂法，因为利用双垂法的话，你的视觉效果会非常直观的看到本来是一个平面图形的矩形， 经过 a 和 c 做 b、 d 的 垂线，因为它是折痕，我们利用做双垂线，也就是和以前学这个二面角的时候用的方法是一致的。 通过添加二面角啊下边左边这个图，你就会把这个平面图形本来是长得一模一样的，但是通过添加这个二面角之后，你会看到 a、 c 啊，立马变得立体化了，如果这时候还觉得没有那么立体的话，那可以看一看下边这个。 通常你想把一个平面图形变得立体化，我的画法是，首先你右下角这个折痕的一部分保持不动，也就是说它的 b、 c、 d 的 部分可以 保持不动，然后呢，另外一部分本来是 d、 a、 b 这个三角形，那我们只需要 a 点本来靠的是 左下侧，我们把 a 点靠刀右上侧，这样的话，你会让它的图形立马变得立体化，这时候再把 a、 c 连接，就能够利用想象能力想象出这个图形了。所以左边这个图形就是这样子画出来的啊，应该双垂法用虚线来画比较合理。 当画出来之后，这个题其实就已经迎刃而解了，为什么呢？因为所有的答案都在这两个图中，我们一定要利用思维想象一下 圆心啊，也就是球心到这个 a、 b、 c、 d 的 距离是相等的。这四条线平面图形上来看，矩形的对角线互相平分，那很明显半径其实就是 o、 b 啊，四条线段都相同，以 o、 b 举例，那矩形的对角线的一半很容易求二二倍，根号二考的是一根号二和根号三的关系，所以它的半径就是根号三。那放到立体图形中来看 啊，右上角这个图呢，我们也能看到，从 o 点出发，因为你外接球到四个点的距离都是相等的，所以这些半径啊，应该和啊这个根号三都是一致的。 我们怎么去想象呢？因为你这个球心到每个点的距离都相同，那我只需要看 在每一条线段的中垂线上啊，不论你从中垂线出发，也就是说下边这个直角三角形，这不是斜边中点吗？那你中垂线的焦点就在斜边的正中点，这是我们很经典的结论。那另外一边 a 和这个 o 自然而然也在斜边中点 连接 a、 o 这个中线都可以，那么我们这个半径就是 o c o b o a o d 任意一个啊，这样来看的话，如果知道半径是对角线的一半，那这个题的啊，外接球的体积就变得非常简单，利用外接球体积公式啊，就可以迎刃而解了。

来高考百日百科的试卷好题精讲系列啊，咱们今天继续讲讲这个哈，三中三模 这个第十八题啊，出的非常好，也是我平时上课啊，总跟大家强调的这种间隙困难的几何题啊，应该怎么办？万一间隙不好算咋办呢， 是吧？当然，如果大家还有哪道题想让我讲一讲的话啊，可以在评论区留言啊，也希望大家多多点赞关注啊。当然，我也加入了抖音精选高考应援联盟，里面有很多的高考内容，大家可以去抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课 来，废话不多说，开整来，咱们先读题啊，在一个斜的三棱柱啊，他就告诉你了啊，这个本身的三棱柱是斜的，也就是说侧棱啊，跟底面不垂直，对吧？他说 a b 啊，等于二，然后 a c 呢，也等于二 角 b a c 等于九十度，也就说底面啊，这个，哎呦，我这个直角啊，画的也是非常够意思啊，但是呢啊，咱们就凑合看吧，是吧，他说 a a 一 侧棱啊，等于三 啊，然后呢，这个 a e a b 啊，这个角啊，是六十度啊，这是告诉你了的。然后呢， a e a c 啊，也就是说另外一个测棱啊，它这两个测棱之间的夹角是六啊，是谁的啊？不知道 啊，当然第一问呢，他告诉你，当谁的等于六十度的时候啊，他让你证明这个 a a e 点出发的三条棱两两之间的角度， 对吧，也就是说 a b 与 a c 的 夹角，我知道是直角 a e a 啊，与这个 a b 的 夹角我知道是六十度，然后呢， a e a 啊，与这个 a c 的 夹角也知道也是六十度，比如说这个点出发的三条棱两两之间的夹角，我全知道，只不过呢，有不是九十度的， 那么这种题我们呢？又如果要是想用间隙的话，那么我们就不知道，就比如说你想数值间隙，那么这个 z 轴与 a a 一 的夹角多少度啊？你不知道 a a 一 跑到哪去了你也不知道，所以说这种题啊，不适合间隙，那么间隙啊，实际上是一种特殊形式， 什么特殊形式呢？你必须得是 x 轴， y 轴 z 轴两两之间夹角必须得是九十度，对吧？但是我们如果能够用空间向量的模的运算的话，那不需要九十度啊，你两两现在夹角爱多少度多少度，我只要知道你具体的角度，我都可以算。 所以说解决这种啊，邪不愣登的啊，几何体的相关问题的时候，我们的法宝是什么啊？就两点，第一点就是空间向量的模的计算啊，我不用坐标计算不就完了吗？第二个就是三余弦定律啊，对于这道题来说，这两个法宝全都能用，派上用场，而且非常非常好用， 对吧？来，咱们看一看。那么这道题啊，他想让我证明 a a e 垂直于 bc， 我 看 我们要直接用模的运算呗，也就说这道题他想让我证明的是啥？ a a 一 与 b c 向量的乘积等于零啊，就这意思， ok， 那 就 开整，对吧？第一问啊， a a 一 向量乘以 b c 的 向量，那么我们怎么去求呢？因为我们都知道 a 点出发的三条零两两这个角度， 所以说我们一定要把 b c 往这个 a b 与 a c 还有 a a 一 上转化，那么很明显， b c 向量是否可以等于 a c 减 a b 啊？哎，这样的话，我们就直接啊，然后呢，乘的还是 a a 一， 就是这三条棱了，那就解决了吗？就这么简单点事，对不对？所以说啊，它等于 啊， a a 一 啊，向量乘以 a c 减 a b 呗，对不对？那么乘以 a c 减 a b 打开，那就是 a a 一 向量，乘以 a c 向量，再减去 a a 一 向量，乘以 ab 向量啊，就等于这个。那么 彼此啊，每条棱棱长知道不知道，假角知道不知道，那就模棱计算开整，对吧？那 a a 一， 那就是三，对吧？乘以 a c 二 啊，乘以它们之间夹角多少度啊？六十度啊，口算六十度，再减去 a a 一 三， a b 二，乘以它们之间夹角也是六十度，那你说能不等于零吗？一定等于零， 马上就挣完了，你看多简单呐，对不对？ ok， 那 么既然我们能够证明 a a e 是 垂直于 bc 的， 那么也就是说明 a e a 啊， a e 这个点呐，到底面的投影，也就是说，这个点 o， 它一定是在这个 b a c 的 角平分线上。 而对于这道题来说啊， b a c 这个三角形，它是一个等腰直角三角形啊，虽然说画的非常离谱啊，这是直角， 因此它你就可以取 b、 c 的 中点啊，就假设啊，哎，我们连接 a， 对， 也就是说 a、 e 的 投影啊，一定是在 a 对 上的 啊，一定是在 a 对 上的，也就是说，其实这个 a 点，虽然说它不是数值的，它是偏的，但是它偏，也并没有偏离这个三角形啊。 a b c 的 这个中轴线， a 对， 并没有偏离这个 a d 上，也就是说，它并没有以 a、 d 为中心，往左偏或者往右偏，它都没有往左偏往右偏，它就一直都在 a、 d 上啊， 那我们再来看这个第二本呢，他说啥？他说过 a e 啊，做这个 a、 e、 o 啊，垂直于底面，相交底面于 o o 点呢，一定是在 b a、 c 的 内部。 然后呢， a o 向量与 a b 和 a c 向量， a o 的 向量与 a b 与 a c 的 向量分别啊？假角分别是一个，是 r 法呢，这是 r 法，这是贝特啊，我画一下 换个色哈，那就相当于是这个是 a o 是 吧？哎，然后呢，这个角是 r 法角啊，这个角呢？是贝特角啊，这两个角分别是 r 法跟贝特。那么我们称 啊， int 的 r 法和 int 的 被它相减比上，它们俩相加的绝对值是它的投影偏差率。其实你看，跟我说的这个刚才说的这个意思是一样的，也就是它俩是其实是没有偏差的，它一投影点一直在啊，这个 b、 c 的 就是在三角形 a b、 c 的 这个 这个中轴线上，他一直在这条线上，所以说他俩肯定 r 法角跟 b 角是相等的啊，这俩角一定是相等的，那么怎么做呢？哎，那你看这俩角那相当于啥呀？这不就是三余弦定里吗？就是三余弦定里啊，那好多同学都都忘了啊，啥叫三余弦定里啊？哎，那咱们简单说一说啊， 比如说这是一个平面啊，然后呢，有一条线啊，这是直线 l 啊，那么相这个直线呢，跟这个平面呢，相交于点 a 啊， ok， 那 什么叫线面角啊？是不我得在这个直线上啊，找一个点 b 做这个平面的这个投影啊，我管这个投影叫 b 撇，那么我连接 a b 撇，是不？这个假角，我管它叫角 c， 那 这个角是不是有线面角啊？ ok， 那 么假如说平面上呢，还有一点点 c 啊，在这个平面里，然后呢，我管这个 b 撇 a c 的 假角呢，叫做角 b 它， 然后呢，我再把这个直线 l 与这个 a c 的 夹角叫做角蛤蟆，那么这三个角啊，就有三余弦定律，也就是说 cosine 蛤蟆一定是等于 cosine theta 啊，乘以 cosine b theta 的， 一定有这个，这就是三余弦镜比，也就是说，从这个角度来看，这个大角一定，那余弦值一定是等于这两个小角的余弦值，其中一个小角就是线面角，另外一个小角就是这个。这个线啊，其中一个点到底面的投影的一条线和任意一条线所 加了这个夹角叫夹北的啊，他们一定有这个，那么我们看这道题啊，看到这道题，那你看这个 a e、 a o 啊，就这个角啊， a e a o 这个角是不是就线面角？那你看这是线面角，然后呢，它这个角是角 r 法，就是 a o 与 ab 的 夹角是角 r 法。 而整个这个夹角我们还知道，也就是说 a e a b 这个夹角，我们还知道它是六十度，这不就正好构成了三余弦的三个角吗？ 那么另一边也一样啊，这是角贝特，然后呢， a e、 a o 呢，是线面角啊，这个线面角和角贝特这两个角都是分别是小角，而 a e a c 这个角是大角。这个角啊，在第一问的时候，他也是六十度还是六十度， 所以说这个三鱼弦呢，在大题当中也可以直接用的啊，没有问题啊，所以说这道题太简单了。第二问，如果你大家想到了三鱼弦啊，那这道题就纯纯白给，对不对啊？第二问的第一小问啊， ok， 根据啊，咱们先设一下这个线面角，比如说设啊，这个角 a e a o 啊，我管它叫这是阿法，别的谁的都有了，那叫角蛤蟆啊，我管这个线面角叫角蛤蟆啊，然后怎么的，根据三鱼弦定律， 那么就有啥呀，哎，有两个对吧？第一个就是什么？就是 cosine 角 a e a b 啊， a e a b 就是 这个大角啊，它一定等于啥呀？一定等于 cosine gamma 啊，也就是线边角再乘以 cosine alpha 啊，这提的给我的这个 alpha， 它等于多少啊？因为这个角等于六十度嘛，所以说它等于二分之一， 对不对？然后我还能列出来一个，就是 cosine theta 啊，对于数学题来说，这 cosine theta 不 就还是大角吗？它也应该等于 cosine gamma 乘以啊， cosine beta， 因为这个第一位第一小问里边 theta 等于六六十度，所以说它还是等于二分之一，因此我们能发现怎么的？ 因为虽然说我不知道 cosine gamma 多少，但是这干么都能约掉啊，所以说 cosine 算法跟 cosine beta 一定是相等的， 所以说 cosine alpha 一定是等于 cosine beta 的， 你看用三域协定一下就挣出来了，对不对？而且又因为 alpha 加 beta 等于九十度，所以说 alpha 等于 beta 就 等于四分之二， 对不对？因为它俩相等，只能 alpha 等于 beta， 因为这两个角都是这个锐角，对吧？那么 alpha beta 等于四分之一，那我们是不也能把 cosine 算出来啊，也就是线面角，也就是说这个 a e a o 的 角，那 cosine 角有多少啊？大到任何一个式子里边都行，因此 cosine 角啊， 应该等于二分之一，再除以 cosine， 那 相当于乘以一个根号二呗，是不是 cosine 等于四十五度嘛？二分之根号二，那相当于乘以根号二，因此它也等于二分之根号二。也就是说，线面角，也就是说 a e a 啊，与底面的夹角，实际上是四十五度 啊，也就是说 a e a o 啊，这个角啊，它这个夹角是四十五度， ok， 那 么知道这个了，那我们就其实啊，先算它有用啊，后边有用，是吧？来，咱们继续，我们就先算它的这个投影偏差滤得呗，是吧？因此啊，得 啊的应该等于绝对值啊，弹进的 alpha 减去弹进的比特啊，那它俩都等于四十五度，还是得相等，那就肯定等于零了，对吧？弹进的比特啊，写一下啊，它等于零，完事了， ok， 然后呢，接下来他还让我求什么呀？求啊，此时平面 a e b c 啊，平面 a e b c 啊，这个平面啊，与，这是 a e b c 与底面的夹角， ok， 那 你告诉我，你现在能不能知道？当然这道题啊，其实间隙也行啊，但是我觉得间隙太麻烦，因为这两个角很明显就能看出来。首先， a e b 和 a e c 他 俩这两条线一定是相等的，为什么相等？因为在这个三角形 a e a b 里边，这是三，这是二，这是六十度。 所以说 a e b 不 管多长和在这个三角形当中，就是在 a e a c 里边，这也是二，这也是三，这也是六十度啊。所以说 a e a c 跟那 a e c 和 a e b 它俩一定相等， 那么既然相等，那如果我连接 bc 的 终点得，哎，我连接 a 一 得，那 a 一 得一定垂直于交线，对吧？然后呢，又因为底面是个等腰直角三角形，因此 a 一 得也一定垂直于 bc， 因此啊，这个夹角就是这两个平面的夹角， 对吧？当然，这个角如果他是钝角的话，那么这个角的补角就是这两个平面的夹角啊，因此，我们很容易就能把这两个面的夹角做出来，那我们就求他就行了，那求他的话，我们知道这是二，这是多长啊？因为底面啊，是一个等腰直角三角形，所以说这是根号二吗？ 所以说就差这了，那这个长怎么求呢？这个角我知道，刚求的线面角，这个角是四十五度啊，啊，所以说这是四十五度，因此我可以这不两边一个角吗？于先定底，直接求 a 一 对就完了， 那么 a， e， d 求完，我再求这个夹角，这题就完事了，对吧？所以说这题非常简单。当然，我们首先呢，得一定得先连接一下 a， e， b， 是 吧？然后呢，连接这个，这个点就叫点 d 啊， bc 的 中点。然后呢，我再连接 a， e、 d， 那么这个角啊，就是这两个平面的假角啊，就是 a 一 对 a， 是 吧？然后再连接一下 a， c， a， e， c， ok， 那 这是一个等腰三角形啊，对吧？刚才我说的这个东西都得正啊，都得正一下，是吧？ ok， 那 么咱们写呗，那么再三角形 留着啊，在三角形谁呀？ a 对 a 一 种啊，在三角形 a 对 a 一 种啊， a 对 a 一 种？对啊，根据余弦定律， 我可以先求这个 a 一 对的长度啊，那么可以得到啥呀？啊？ a 一 对啊，它就应该等于啊，根号下啥呀啊，根号二的平方，那么二加上三的平方九，减去二乘以根号二 乘以三，再乘以个它们之间的夹角线边角啊，二分之根号二，啊，二分之根号二，对吧？这一乘完之后，这是啊，十一减六，根号五， 因此 a 一 的等于根号五。那么所以说，我们要假设啊，我们要求的这个二面角，我说角的这个都射没了呀，是吧？ 那我就射这个角的角 k， 是 吧？所以说 q 三 k 啊，哎，他就应该等于，哎，绝对值。 q 三 a 一 的 a， 对 吧？ a 一 的 a 这个角就是这两个平面夹角啊，他应该等于 算一下，那就加绝对值啊，分子加就行了。那么应该是等于根号二的平方，加上根号五的平方，再减三的平方， 然后呢，这底下是二乘以根号二乘以根号五，对不对？所以说应该等于就是上面二二约掉了十分之根号十呗，对不？ 哎，因此啊，它等于十分之二十，所以说这个第二问里边，这个第一小问就算完了。然后我们再看这个最后一个小问，最后一小问，他说呀，这个的是关于角谁特的一个函数解析式， 那角谁特，那现在的这个角是角阿法跟角贝特的，所以说这道题你想变成贝特，找到阿法贝特与谁特之间的关系啊，你得找到阿法贝特与谁特之间的关系， 若存在两个不同的锐角，谁的一，谁的二，使得它俩相等，证明口算谁的一，乘以口算谁的二，等于四分之一。 ok， 那 么首先不管咋地，你得先找到阿法比特与塞特之间的关系，从而把这个的这个表达式 的里边的阿法跟比特全都换成塞特，就这点事，那么根据第二问啊，我们知道了这个， 知道这个，对吧？我还知道他，我知道这两个，那我们知道这两个的话，我们就可以直接看出来啊，对吧？虽然说现在这个角谁他啊不等于二分之一了，但是我可以通过这个啊，能够判断出来 cohen beit 啊，哎啊，先算他吧，先算他 是不？ cosine 比特应该等于 cosine 比特除以 cosine 算法啊，那个嘎嘛啊，是吧，换个色啊，这个第二个小问啊，根据 啊，这个一中可得啊，对吧？三余弦呐，我们可以得到啥呀？ cosine 比特是等于啊， cosine 比特比上 cosine 嘎嘛的就在这嘛，对吧？ 这虽然说他现在不知道不不等于二分之一了，因为这个等于二分之一六十度呢，是第一小问里面告诉我们现在第二小问没有这个条件了啊， ok， 我 们还知道啥？根据他，因为这个角是一直等于六十度的啊，这是可以用的，对不对？所以说通过这个里边我可以把这个 cos 阿法表达出来，对吧？我还能知道 cos 阿法，对吧？它等于啥？等于啊，二倍的 cos 伽玛分之一， ok， 那 cosine 赶上没有用，所以说我们怎么两式相除就可以了啊，则 cosine beta 比上 cosine alpha， 它就应该等于这一除完之后就等于二倍的 cosine theta 啊，对吧？等于二倍的 cosine theta。 而又因为 alpha 加 beta 等于九十度啊，这是 alpha， 这是 beta， 它整个是直角啊， 所以说又因为 alpha 跟 beta 是 九十度，所以说 cosine 等于啥呀？是不等于 c in alpha 啊，它就等于 c in alpha， 所以 说 就可以写成啊，它又等于 c in alpha， 比上 cosine alpha， 哎，那所以说它正好等于贪心的 alpha 至此。哎，这个原来的这个的这个式子里边的弹进的阿法，我就可以用二倍的口算谁的来表达了。又因为阿法跟比特他俩是互余的，所以说弹进的比特就等于弹进的阿法分之一，所以说我就全可以换了。 因此，那这道题我是不是首先我就可以表达出来这个的谁他了啊的谁他，哎，他等于啥呢？ 先把原式抄下来啊，原式是看一眼，弹进的 r 减弹进的比特比上他俩相加 啊，弹进的 r 减去弹进的比特，那就相当于减去弹进的 r 分 之一是吧，然后比上弹进的 r 加上啊弹进的 r 分 之一，这样的话，先把这个比特整没，然后呢， r 弹进的 r 跟口在谁的关系？在这往里套啊，那就等于 这是二倍的 cosine theta 减去啊二倍的 cosine theta 分 之一。其实这道题啊，跟这个式子跟这个立体图形也没有关系了，变成纯函数的问题了， 对吧？减去啊，加上二倍的 cosine theta 分 之一就得这个，那么这个式子分子分母还都有分式，所以说肯定得先同乘一个分子分母同时乘以一个二倍的 cosine theta， 是 吧，然后就变成了， 这是四倍的 q 方 c 减一啊，然后比上这是四倍的 q 方 c 加一，那四倍的 q 方 c 加一，它肯定是正的，所以说这个绝对值啊，只有分值有 啊，只有分子有。那么他说呀，这个式子啊，存在着两个不同的锐角啊，锐角 c 特一和 c 特二，然后呢，使得的 c 特一就这个式子相等啊，这两个式子有两个式子相等，那么怎么能让这俩式子相等呢？那就肯定是一正一负嘛， 对吧？这才能相等。所以说这个题就很简单，当然写这口在 c 特一， 然后呢，再令 t 二呢，等于口方 c 二，因此啊，这个式子一定有啥呀，分子一定是一个取正，一个取负，也就是说啊，则 这个四倍的 t 一 减一，比上四倍的 t 一 加一，就应该等于一减四倍的 t 二，比上四倍的 t 二加一， 那就交叉相乘呗，对吧？那就是十六倍的 t 一 t 二减去左上乘右下啊，减去四倍的 t 二，加上四倍的 t 一， 再减一，就应该等于 四倍的 t 一， 减去十六倍的啊， t 一 t 二，再加一个一，再减一个四倍的 t 二。约分啊，不不，那个和平同乐像这都约掉了， 没有了，那就剩啥了？那就剩三十二倍的 t 一， t 二就应该等于二，所以说， t 一 乘以 t 二，应该等于十六分之一，而 t 一 乘以 t 二等于啥呀，在这呢，对吧？所以说，换回来，那也就是说， cos 方 c 特一乘以 cos 方 c 特二啊，应该等于十六分之一。又因为这个，这两个角啊，都是锐角啊，都是锐角，所以说它一定都是正的，所以说，开根呢，就是正的。 所以说，哎，我挣完了，扣三 c 的 一乘以扣三 c 的 二确实等于四分之一，你看这道题有啥难的，对吧？所以说，我们在做这种邪不愣登的图解析困难的题的时候啊，记住两大法宝， 第一个就是这个三鱼弦定律，第二就是我们可以用空间向量的模的运算，有了向量的拆分并不一定非得间隙啊不要，可这一棵树上吊死啊，对不对啊？所以说这道题总体来讲， 如果大家能够掌握三文先定礼和这个模拟算，那么这种题啊，还是白给 ok 啊，如果想让我再更什么哪道题，可以这个评论区告诉我啊，拜拜朋友们。

二十六年长郡高三三模压轴题讲解，哈喽大家好，我是你们的阿宝老师啊，今天呢，给大家讲一下这个二六年长郡高三三模的这个最后一道题啊，为什么讲这道题？因为这道题他让我们算一个运动轨迹方程。 好，这里给大家讲一下这道题的思路。首先我们读题，这个是如图所示，水平光面上，注意啊，这里是水平光面 啊，水平光滑的地面上放了一个这个东西，然后呢，这个脚链它是可以动的啊，那告诉你它的质量是三比二比一， 我们就直接说他这样，他这里是三 m， 然后现在这样是 m， 别的这样就是二 m。 好， 当他处于最高位置的时候，松下的这个撤去这个外力，然后装置在这个重力作用下，他就会发生运动。 好，如果运动某一个位置，他这里说了，他这里两个吸杆与水平方向夹的是贝塔。好，那么读完这个题干呢，我们可以明确的发现他这里涉及到哪些知识点呢？首先第一个， 这是三个小球用两个杆连在连在一起，然后要求这些速度，那肯定是什么，肯定是关联速度，对吧？ 然后第二个它是明，我们可以明的发现它水平光滑的地面，那么这个系统它水平方向上是没有受到外力的，只有数值方向上有外力，所以第二个工具就是水平方向 动量守恒， 而第三个肯定啊，肯定会用到的，我们这个能量守恒， 这个肯定不用想好。然后我们看题目， 这里第一问呢，还是相对来说比较简单的，球逼球落地前瞬间的一个速度大小，首先一样的，我们大致去思考一下它这个系统它的运动的时候一个整个过程是怎么样的？首先， 嗯，它下来的时候， a 它有个向左的速度 v a， 对 吧？然后 c 它有个向右的速度 v c， 那 么 b b 球的速度呢？它是不是它速度肯定是不可能是竖直向下的吧，对吧？因为 a 和 c 它的这个质量不一样，质量不一样，所以它它的这个 b 的 速度肯定是个斜方向， 有可能是往这边写，有可能是往这边写，当然这个哪往哪边写都无所谓啊，我们后面的这个计算的时候，如果你想错了方向，让他算出结果，可能就是复制， 但是往往我们当然想对了方向，对我们这个结果运算就会轻松很多啊。首先我们睁眼还是大致想一下 b 它的速度它会往那边偏，因为它是水平方向，动量守恒的， a 的 质量大些，所以相对于我们只看 a 和 c 的 话， 那是不是肯定 a 的 速度他一定要小于这个 c 的 速度，对吧？也是 c 他 会往右边走的多一些，那么这样的话 b 他 会被带动着向右边走啊，所以 b 他的速度肯定是斜向右的，斜向右 v b， ok， 我 们知道它大致有一个一个运动过程，我们再看第一问，第一问它要求 b 球落地前的一个瞬间的它的速度大小。 首先我们肯定要想的是他们三个是怎么运动的，因为目前我们能够能够去算的只能根据什么呢？只能根据这能量所含去算出他这个速度的大小。 好，另外的话就只能通过他们这三者的速度的关系去得到 b 的 速度了。首先虽然说我们刚刚说这个 b 它往下走的时候， a 和 c 它分别有个往左往右的速度，但是想此时 b 它已经到了最低点了， 如果 a 和 c 它还有速度的话，那是不是这杆它肯定会被拉长，对吧？所以这个 a 和 c 它们已经到达一个相对最远的位置啊，所以它们使得速度是零，那么它们速度是零 b 它的速度是往哪边？它这里速度肯定是往下的啊。 好，所以说它的动能就等于我们的最开始的中音是什么啊？最开始我们要设一下，把这个题目未给的这个位量设出来，设 c 质量 为 m。 好， 所以说整过程当中 b 落地前瞬间 这个 va 它的速度和 vc 的 速度是等于零的，所以由这个能量守恒 得 它重力势能 b 的 重力势能 m g l， 它是等于最后它的一个动能二分之一 m 啊，它这样是二 m 二 m v 的 平方， 所以我们可以算的 v b， 它就是等于根号下二 g l。 好， 第一问还是非常简单，然后再看第二问。第二问， 以初使时 a 球的位置作为我们的坐标原点，然后竖直向上和水平向右分别设一个坐标，坐标系 要求落地前逼求的运动轨迹方程。可能有的同学就蒙了啊，他要算这个轨迹方程，那我是不是要算这个速度变化了？这也不用啊，轨迹方程，我们我们怎么样先把这个图画出来， 只要他在某个运动中途，他的一个相对位置是这样的， 然后这是 b 塔，那么我们建立这个直角坐标系， 它这里坐标原点，它肯定是在相对这个位置吧，对吧？因为我们刚分析了 a， 它是向左走的， b 是 向右走，所以这个直角坐标系这样去建 好，然后这三个球要算 b 的 这轨迹方程， 其实轨迹方程就是干什么？就是去算它这个坐标，横坐标和纵坐标的一个关系嘛？ 对，所以我们只要去算出横坐标和纵坐标它与这个变量之间的关系就可以了。比方说，呃，它这里变量，它往下走，变量是什么？就肯定是这个 beta 啊，这个贝塔它变量啊，这这个 l 它是不变的。对，所以我们现在目的就去找 x 与这个贝塔的关系啊。那怎么去找呢？就用到我们之前最开始说的这个工具。这用什么工具呢？ 首先它们的位移的关系，那肯定要用什么动量守恒，对吧？由我们的水平动量守恒 是好。 a， 它的速度是向左， v a c， 它速度是向右，所以向左的这个动量三 m v a 等于向右动量， c 的 动量是 mvc 啊，再加上这个 b 的 动量，好。此时有个小细节注意一下，虽然说我们最开始分析了这个 b， 它的速度是斜着向右下的，对吧？但是此时 我们是不是分析只要分析它这个水平方向的运动的关系？对，如果你这里还有，我们还要设一个角度出来。 对，那么这个方程它看起来就比较复杂了，所以我们直接把这个它正时的速度分解为两个方向， v x 和 v y x v y， 好， 那么我们这里就直接加上二 m 的 v x 好。 为什么要想到这个动量啊？用动量去得到它们的这个位一关系，这么之前做了大量的大量的这个计算，知道 要人穿模型，对吧？有速度关系可以得到他的位的关系。好，所以我们这这里他们的速度一直是这样的关系的话，相同的时间下他们的位也是不是也可以是这样的关系？ 对，所以我们可以知道三 m x a 为一关系，乘以 m x c 加上这个二 m x， 它们是相等的，然后再看 好知道它们的这个水平的关系，那么再把 a 和 c 它的水平位移 给转化成，转化成这个 l 和 cosine c， 它，那么 x a， 它就等于 l 乘以 cosine beta 减去这个 x 好， x c 相对呢，就是 l 乘以 cosine beta 加上这个 x 好，我们就可以把它转换过来，就是三 m 的 l 扩散与 beta 减 x， 然后等于 啊，这个 m 也可以约掉，我们这里就可以不用写它三，然后这里就是 l 扩散与 beta 加上 x， 然后再加上二倍的 x， 好， 由此呢，我们就可以得到这个 x， 可以 算的是三分之一的 l 乘以 cosine 倍它， 好，我们这里就得到了这个 x 与这个变量的关系。 cosine 这个倍它关系啊，那么这个 y 呢？是不是很简单？ y 它肯定是等于这个始终是等于 l 乘以三倍它 这里面了。好，接下来我们就只要把这个变量消掉，就可以得到 x 和 y 的 一个关系式了，也就是这个 b 球它的一个轨迹方程。 好，怎么样消了，我们知道扩散平方加上三个平方它等于一的，所以我们要构造这样的一个关系啊，先平方一下 x 平方，它这里就会得到一个九分之一，那么乘一个九九倍的 x 平方，加上这个 y 的 平方，它会都是， 就是等于个 l 平方乘以扩散平方，加上 l 平方加上乘以三个平方啊，所以就是扩散平方加三个平方等于一，那么它就等于 l 平方，所以我们第二问就求出来。好，第三问， 当贝塔等于三十七度时，取这么这么多 l， 然后他告诉你一个值，要去算 a c 的 一个速度。同样的，我们先把这个图画出来， 其实此时的这道题呢，反而到最后一问更简单了啊，他不会靠你更多的一个思维，对吧？比方说第二题他可能跟这个数学这轨迹方程他稍微结合一点，但是第三题他就就完全死脑筋了， 把这物理量都告诉你，然后我们根据这些这三个工工具就肯定能够算出来了啊。首先是一样的啊，由这个 我们把这个直接不用不用写了吧，动量守恒定义是这个是我们标个一，然后由能量守恒， 有能量守恒值最开始它的一个，它的这个重力势能减少量，重力势能减少二 mg 乘这个 l 减去 l 乘以三三十七度，它高度减小了这么多。 好，这些中立式能减少量，然后等于它动能增加量动能，这三个物体的动能都增加了， a 的 动能是二分之一乘以三 m 乘以这个 va 的 平方，然后再加上 c 的 动能二分之一 m v c 的 平方，然后加上 b 的 动能二分之一。好，因为我们后续啊，还是要用到这个 v x 和 y 的， 所以我们 这里还是用这两个分速度去计算 v s 平方加上 y 的 平方， ok， 这动量啊，能量损耗啊。此时我们就得到两个公式了，对吧？但是肯定不够啊， 这里有四个位置量， v s， v y， v i， v c， 然后两个公式不够，那么我们还要念出两个公式，刚好这里 ab， 它的这个关键速度，还有 bc 的 关键速度可以得到这两个式子。 关键速度， a c， a， a 和 b， a 和 b 之间，我们把这个 b 的 速度，它们沿杆的速度是一样的。首先 a 的 速度分解到这个杆上， 就是 va 乘以扩散比特，对吧？然后等于 b 的 速度分解到这杆上，就是，嗯， v y 乘以一个 sin， 把这个写成三十七度啊，三十七度，三十七度。然后它要减去这个 v x 乘以扩散三十七度。 然后 b c 之间呢？也是一样的啊， v c 乘以扩散引三十七度，等于 v y 乘以三引三十七，哦，不对，不是三引啊，看一下， 对，还是散影还是散影，散影三十七度，然后再加上这个 v x 乘以扩散三十七度，好像是吧， 啊，不对，任意高反 过三月三十几度啊，这个是三月三十七度啊，那么这里就有三个四个式子，剩下的就交给数学了，连立这个一二三四 就可以得到，这样我就不算了啊。最后答案是， v a 等于二米每秒， v b 等于 ac， v c 等于四米每秒。好，就可以计算出来。 当然如果有的同学就是培过优啊，或者是学过竞赛的东西啊，用我们的大学物理，我们这道题还可以用这个知心法去解决这个第三问， 对吧？他会，但知心法呢？他总来说他只是会能够去找他们这个速度的关系啊， 因为智星他就是看他的一个位置嘛，智星的位置他这里动水平方向动向不变的话，那么他智星在水平方向上是没有位宜的，然后我们可以通过这一点去找到他们，嗯，水平方向速度的一个关系， 然后但是我们还是依旧还是要去找，找到一个这个数值方向的速度和他们的这个水平方向速度的关系，也是也是还要用到这个关节速度。对，所以如果你用执行法的话，只是相当于少了一步吧， 所以这里也没有非常简易啊。好，那么我们这道题讲完了。

各位咱们淄博高三的家长啊，大家好，关于高三的三模，我本来不想过多讨论，但是问的很多，今天我就分析一下试实验刚考过的三模数学试卷吧，有不少家长在后台私信我，难度怎么样，考多少分正常，今天我还是和大家分析一下， 作为很多三模试卷的代表吧。这套试卷含金量还是非常高的，完全没有偏怪难的套路，是一份很标准的全国卷的风格仿真模拟题。下面王老师就教大家从难度系数，高考的相似度，还有易错点以及 拉分中等题的四个维度把这个试卷给吃透。第一呢，这个试卷总体难度系数， 那整体难度系数是零点五五到零点六零，介于高考的难度档位中间。今年的数学三摩延续了 这两年新高考重计算、重逻辑、轻套路的特点，基础题分值约八十分，中档题分值约四十五分，压轴题分值约二十五分，所以只要基础和中档题全部吃掉，基本就是一百二十加了。 未来想考一百二十分，就必须把单选的一到八全部拿下，大体的十五、十六、十七三道题全部拿下，这是先决条件，考不到一百二十分，大概率这两部分的题就有些丢分了。 二、和高考一卷的相似度分析，一是结构完全对标，一到八，单选九到十一，多选十二到十四，填空十五到十九，解答题框架一模一样。那二呢，重头戏是在 概率与数列，去年整体最后一道压轴题是创新定义的组合题，而这套卷子的第十九题，把 马尔科夫恋状态转移和数列单调性与放松结合在一起了，这种题型在各大连考中频繁出现，说明高考大趋势就是把概率统计和数列递推当压轴难题。 三呢，是计算量大，解析几何第十八题和倒数第十七题，计算量非常惊人，极容易在考场算错，和高考一样，不仅考你的会不会更考你的算不对。 第三呢，是基础题的五大易错点，考前这几天基础较好的同学千万不要因为小失误丢掉二十分。前四个选择题虽然都是基础题，但是都有坑，这里我就不再提了，你们老师都讲了， 那还有第十六题立体几何间隙，很多同学直接间隙算二面角没先去证明垂直关系， 一定要看清题目的证明要求，跳过证明很可能会直接扣掉四到六分的步骤分。第四是拉开差距的生死线，就是中等题。 第八题竖列加立体几何圆台和等差竖列的组合。 这题需要把原材的几何参数转化成代数等式，难点在于限制条件，半径必须为正整数。很多同学算出表达式就写答案，忘了检验是否满足整数和那些九的条件，导致丢了这五分。 第十题呢，是多选这些结合抛物线加圆的综合。那 c 项选项呢？涉及到 o b 和 o c 垂直的直线方程，得选项是求切线方程。做这类多选择题是要善于用几何性质 硬算。消元的话，这个题是全卷最大的， 算是分水岭吧。第一问是带点球双曲线方程，非常基础，但必须算对。 第二问，面积相等的问题，本质上可以转化为点到直线的距离相等，很多人把它直接当成弦长，用公式死算结果，算了满满一页没算出结果。 第三问呢，四点共圆条件，这是圆锥曲线的压轴难度，需要极佳的 袋鼠化简功底和对称思维。绝大多数同学做到这些就写不完了，这个题做出来，你至少能考一百三十五家。 最后给大家一些备考建议吧，这套三模出来呢，能考到一百一十分的同学，说明基本功很扎实了，千万稳住心态。如果你的目标是一百三十加，那最后这个时间段，请把 第十九题这种马尔科夫列概率数列递推题型的标准解析流程背下来，把解析结合的伟大定律加计算过程再过一遍，考场上只要算到底，你就赢了。 好了，针对高三三模，我就分析这一套试卷吧，反正各地市的三模试卷就是仿真题，难度系数和高考相当，但是不是高考，毕竟今年的 高考很多，这个原创思维需要等到真正的考试到来。现在就是你保持好心态，做好压题思维训练，全科从第一个题到最后一个题，你心里有数，这样你参加高考就是没有遗憾的， 加油吧孩子们！别的科目的高考备考，我就在这个月的很多公开课上讲了很多了，我就不再重复了。 从明天开始，王老师就更多分享非高考毕业班的视频内容了，主要围绕暑假学业规划开展，为更多年级的家长提供学业规划的战略建议， 咱们不见不散，加油！感谢信任！

想要的家长大家好，如果你的孩子高三了，数学还只有三五十分，那么请你立刻放弃呢？这三个幻想。 一、放弃跟上老师总复习节奏的幻想。老师的节奏呢，不是为三五十分的孩子设计的，孩子也跟不上。二、放弃攻克难题压轴题的幻想，那些题不是孩子阶段能做的。三、放弃系统学好高中数学的幻想。因为现在一轮已经过了一大半，没有时间了。 你的新战略是非常极端且唯一的，那就是放弃整张卷子至少百分之四十的题目，用百分之百的精力去死磕那百分之六十的基础题。你的目标呢？不是考一百二十分，而是在未来一百天里，先拼了命考到九十分再说。

哈喽，大家好，我们看到一招制敌系列第二期苏北七市高三第三次调研数学试卷第十题 已知抛物线 y 方等于四 x 上仅存在两个点到直线 y 等于 x 加一的距离为根号二，让我们求 a 的 可能取值，我们先做一个图， y 方等于四 x， 然后找到直线 y 等于 x 加 a 与抛物线相切的时候。这一个原理是我们高二学过，直线与圆 有两个点的距离是定值的时候，那么我们知道这里相切根据导数的几何意义，是不知道切线的斜率就是这个点的导数， 所以我们可以把这一条直线求出来，那么我们先对这个 y 方等于四 x 求导，这是一个引函数求导，两边同时求导，那么 y 的 导函数就等于根号 x 分 之一， 根号 x 分 之一就应该等于我这里的斜率一，所以我的 y 导等于一，解得 x 等于 y 等于二。带到这个直线 y 等于 x 加 a， 里边可以知道 a 等于，那么这个点就是零度一这个点。 然后我要保证距离是根号二，我就可以将这条直线进行平移，我往这个方向平移到根号二的时候，你看这个直线 是不刚好只有一个点是根号二的，如果我再往下面稍稍平移一点，我平移到这个位置，是不就有两个点的距离是根号二了？同样的，我将这条直线往这个方向平移之后， 我平移到这个位置，这里有一个点是根号二，这里有一个点是根号二，这里有一个点是根号二，此时有三个点，但是我只要比这个线往上面走一点，点到这个位置的时候，这里边是小于根号二的，所以这边只有两个点了， 那么我 a 的 范围就在这两个直线的之间，那么我知道这里是零度一，我这个距离是根号二，这个距离是根号二，这个斜率是一，所以我的这个角度是四十五度，所以这里是四十五度， 这里是根号二，这就是一个等腰直角三角形根号二，所以这里是二，同样的这里也是二，那么我的这个点就是零到三，这个点就是零到负一，所以我 a 的 范围就是大于负一，小于三，选 a、 b、 c。

同学们好，今天咱们来看一道有关解三角形面积最值问题。这道题是 二零二六年宝鸡三模填空题的压轴题，咱们先来看看它。题中说了， a、 b 的 cos 加 c， b 的 cos 等于 b， b 的 cos 就是 小 b， 小 b 能等于小 b， b 的 c、 b 说明 b 角是九十度，这是直角。 但是这个题咱们看图并没有说 dc 和 ab 平行，也就是说你不知道它上面其他角，还有他告诉了 c、 a、 b 是 六分之派，也就说三十度， 那这个时候这个角肯定是三分之派，也就是三个边的关系。知道了，而题中只告诉了 dc 是 二， d， a 是 三，让问咱们四边形面积最大时， c、 d 这个角 等于谁？首先这个题如果说来做的话，告诉了边长 abc 面，没告诉任何边长。此时咱们肯定要设个边长出来，设的时候一定要掌握技巧。你到最后求的是四边形面积最大值，公共边是 ac 啊，尽量拿 ac 来设能好一些。 比如说把 ac 长度设成 x， bc 就是 二分之一 x 了， ab 就是 二分之根三 x 了。 此时 abc 面积可以用 x 表达了。而咱们这个什么 d、 a、 c 的 面积肯定是用二分之一三边乘边乘 c 角来做，但是不管咋样，咱们先把这个 x 来表达一下。咱们先来看看在三角形 a、 d、 c 中，咱们是不是可以用余弦定力，你能让我求角地，当面积最大时，角地是谁，我现在就肯定把角地用进去，咱们就可以余弦定力走一走。这个 x 方等于谁？ 三方加二方减二乘，三乘二乘 cos 影 d 很 容易得到， x 方等于谁？十三减去十二倍的 cos， 也就是说 x 方知道了，这个时候咱们就可以干件事情了，表达面积了， x 方已经知道了。四边形 a、 b、 c、 d 面积， 咱们可以等于三角形 a、 b、 c 的 面积加三角形谁？ a、 d， c 的 面积 abc 面积是谁？二分之一乘个二分之一 x， 再乘二分之根三个 x。 三角形 a、 d、 c 面积了二分之一乘三，乘二，乘 c 等于 d。 此时咱们很快把 x x 方换掉， x 方是不是刚刚有表达式了？这是八分之根三个 十三减十二倍的拷地，然后再加上三倍的 c、 d， 此时咱们把它快速整理一下，有 c、 d 有 拷地，咱把 c、 d 写在前头， 然后再减去二分之三倍的根三拷 d， 再加上八分之十三倍的根三。 此时咱们看一下 c、 d 和拷 d 这块能用辅助角公式的根号下， a 方加 b 方，咱们可以慢慢写，一写九，加上四分之二十七的 c 呀， d 减 f， 再加这个八分之十三倍的根三。备注一下，贪费是谁？ b、 b、 a 二分之三倍的根三，比个三是二分之根三，贪费，知道了，费咱们 c 费， cos 也都能知道。 咱们再往上走，写在右上方了啊。接着他又等于四分之三十六， 三十三十六，这个加二十七，他是一个五十四，那既然他是个五十四的话，咱们来看，把他写一写，把他写一写。呃， 应该是前面系数，其实都不用管了，咱们可以不算。为啥呢？这个题没问面积最大值，他问的是这个什么面积最大值的时候，这个 c、 d 是 谁？来照抄吧，不写了，还要算一下就没必要了。 这个时候咱们把它相当于等于又抄了一遍，因为前面系数为正， c 影 只需要 d 减 f， 是 谁二分之派加二开派就行，一般二分之派就够了，所以 d 就 等于二分之派加 f。 所以 你要求的是谁 c 影， d 不 就等于 c 影的谁二分之派加 f 吗？ 是不是相当于就等于 cosine 了？ cosine 是 二分之三， cosine 等于 y 比 x 吗？那就 cosine 等于 x 比 r， 这就比个根七了，所以就是七分之二倍的根七了。 也就是说当地减分的二分之派时是三角形，这个什么四边形 a、 b、 c、 d 面积最大，所以咱们做出此时的面积最值。所以很多题他到最后用的相当于就函数思想这个题最终转化成三角函数的思想了。好，这道题咱们就先说到这。

嗨，你的高考外挂上线啦，我是博老师，今天我们一起来看一个刚刚考完的咸阳三模第八题方程。 x 乘以 e 的 x 方，等于 a 乘以任意 x 加 x 有 两十根 x 一 x 二，且 x 一 不等于 x 二，则实数 a 的 体积范围是多少？首先我们需要把这个方程做一个变形， 由于右边呢是出现了 long x 加 x， 而左边是 x 乘以 e 的 x 方，那我们可以把这个 x 乘以 e 的 x 方给它运用以下对数恒等式这个公式，把 x 变形成 e 的 longen x 幂。那因此呢，我们整个式子就可以化简成 e 的 longen x 方乘以这个 e 的 x 方，就等于 e 的 longen x 方加上一个 x， 这是左边，那右边的话，我们给它照着抄，就等于 a 乘 e， loine x 加上一个 x。 好， 现在在观察这个方程，左边当中指数这里出现了 loine x 加上一个 x， 而右边的话，小括号当中出现了 loine x 加 x， 所以 如果我们换元，就令 t 等于 loine x 加上一个 x， 那 则 圆方程就变成 e 的 t， 次方等于 a 乘以 t 好， 然后画圆之后是要写出新圆的一个范围的。由于方程当中它只有 lo in x 这个地方有限制，所以说我们 x 就 需要大于零，这里就是 x 大 于零，然后现在来算 t 的 一个范围， 算星元 t 的 范围的话，由于这个函数也不是我们熟悉的，并不能一下子直接看出它的一个区域范围，所以说呢，我们需要给它求导看一下它的一个单调性，因为这个 t x 就 等于 x 分 之一加上一个一，由于 x 在 这里是大于零的，所以 t x 大 于零横乘以， 那也就是说这个 t x 在 零到正无穷上是单调递增的。接下来我们来判断一下，当这个 t 属于，因为定域是开区间，零到正无穷，所以说它从右边趋近于零的时候，就是 t 趋近于零正时， 我们的 t x 它是趋近于谁的呢？由于 log x， 大家想一下它的这个图像， 我把它画在这儿，这个是 y 等于零 x 的 一个图像，当趋 t 趋近于零正的时候，就无限从右边靠近零的时候，整个零 x 在 这里是不是是负无穷的？然后 x 是 零，所以它是负无穷加里，那就是趋近于负无穷。同时咱们就是当这个 t 趋近于正无穷时， 很显然这 t x 此时是趋近于正无穷的，所以 t 的 一个取值范围就是负无穷到正无穷， 也就是说它应该是全体实数。好，那我们写在这里，因为 t 的 话，也就说它属于 r 了，在这它属于 r 之后，那整个式子我们想把这个参数 a 给它分离出来的话，需要把 t 除到这个左边去，那除的时候呢？需要判断它为不为零， 所以我们就先来判断，若这个 t 等于零，则值上式不成零， 所以这种情况就舍掉了。然后若 t 不 等于零，那则上式就可以变成 a 等于 e 的 t 次方，除上一个 t， 然后我们变形成它之后，圆方程有两个实数根，就等价于这个方程有两个实数根， 而这个方程有两个实数根呢，我们就可以把它转化为对应的函数。图像问题，那它就等价于谁呢？等价于 y 等于 a 与这个。我们记个新函数啊， g t 等于 e 的 t 次方，除上一个 t， 再注意它的定义域， t 不 等于零时的图像有两个交点。 好，现在呢，我们来画这个函数的图像，就这个函数，有的同学呢，可能是比较熟悉，就直接能画出它的图像了。这道题的话，因为是一个新的题，所以说呢，我们就具体讲解一下它的图像应该是如何去画的啊。首先我们就给它求导，因为这个这这撇 t 它等于 t 平方分之分子求导一的梯次方，乘以分母不求导是 t， 再减去分子不等， 乘以分母到一。然后呢，给他提个公因式一的 t 字方提出来这里是 t 减一，然后再令这个 g 撇 t 等于零，那我们就可以得到 t 是 等于一的。好，然后一呢，把整个定域分成了两段，但是注意他这里还有一个不等于零，所以说呢，就是当这个 t 是 属于负无穷到零逗号以及零到一时，我们这里 g 撇 t 都是小于零，那 g t 就是 单调递减的，然后当 t 属于一到正无穷时， g t 大 于零，然后 g t 是 单调递增。接下来我们画函数图像，画函数图像的时候呢，这里还是要判断一下它这个区间上的一些值，因为这里我们只能算出 g 一， 所以其他的呢，就是需要 去判断一下它的这个极限值。那我们先来看这个是负无穷到零，也就是说小于零的时候是怎样的，因为当这个 t 小 于零时， 我们 g t 等于 e 的 t 次方除以 t t 小 于零，而 e 的 t 次方这个指数的函数值恒大于零，所以它永远是负的小于零，然后当 t 趋近于负无穷时，我们这个 gt 就 趋近于谁呢？下方他其实就是一个负无穷，负无穷上方的话就是 e 的 负无穷次方，那就是这个地方是零，所以他是就是小于零，无限靠近于零，但他是小于零的，这个只是小于零的这一步，其实可写也可不写啊，因为我已经知道他小于零了，然后单调递减，当 t 趋近于零，负就是从 比零小，但是无限靠近于零时，那我们这个 gt 就 无限趋近于上面是 e 的 零次方，然后下面是零负， e 的 零次方是一一除上一个无限接近于零的负数，那他就趋近于负无穷，所以这里 零负无穷到零的图像咱们已经可以画了。零到一的话，这个地方就是当 t 趋近于零正时， g t 就 趋近于上面其实还是 e 的 零次方，只不过下面变成零正了， e 除上一个零正，那么它无限趋近于正无穷，然后再算一下这个 g 一， 它呢是等于这里是一个极值啊， g 一 的话是带进去就是 e， 然后再 图像就可以画了，那我们直接画一下图像吧。 好，首先呢，就是我们负无穷到零上是单调递减的，并且在这个区间上整个 g t 都是小于零，它在这个 s 轴下方，然后当它趋近于零的时候，呃， 当 t 趋近于零的时候， g t 是 趋近于负无穷的，所以说它图像就是这样子的。然后右边它零到一上面是单调递减，一到正无穷上是单调递增，所以说它在一处取到的是一个极小值。 几小时，那我们把几小时标出来，这里是先减后增，所以这个图像就是这样子的，这是 gt 的 一个图像，然后 因为我们转化成这个形式之后， y 等于 a 与这个 gt 的 函数图像要有两个交点，所以说 gt 的 图像画完之后， y 等于 a 的 图像就应该是这样子的。那我们综合去看一下的话， a 在 这里应该是属于易到正无穷的，那所以说呢，我们整个答案最终的答案就是 a 属于易到正无穷，应该是选择这个 b 的。 好，那我这里讲的就是因为讲了一下这个图像的具体画法，所以说中间过程有些啰嗦啊。大家如果说有什么更好的方法，也可以在评论区分享留言分享哦。那我们今天就到这里啦，下次再见！拜！

你看你问的这个 d i 文啊， d i 文，咱们第一文是不是得出了这个结论呀？但是高的准准公差是 m， 准公差是 i， 那 d i 问被 s i n 的 和， s i n 的 和前 i n 项和，就是是前，就说偶数项，就是说比如说 s 三十， s 四十，对吧？那前 i n 项和里面要有 n 项是基数项，有 n 项是偶数项， 这个不知道你能不能理解。等一项是奇数项，等一项是偶数项。 你不要奇数项的话，奇数项的话，就比如说是 a 一， a 三， a 五、 a 七，是不是？你看它是不是就符合这种准公差的形式啊？准准等差数类的形式啊。 你看 a 三跟 a 一 的差值是不是就是二？那我就说的意思说，我把奇数项就是角标是奇数的奇数项，全部 全部给它弄出来，作为一个竖列，我把偶数项角标为偶数 a 二， a 四 a 六一，直到最后一个 a i n， 对 吧？ 让它作为一个等差数列，这，这就是咱们标准的等差数列吗？它的公，它就是 i， 所以 说它的前 i n 项和是不是相当于是奇数项的和，偶数项的和， 再等，最后再最后把它一掐那基数项的和，我把它弄明白了，它的首项就是 a 一 嘛，第一项是 a， 还它的公差就是二，就是 a 三减 a 一， 是不是刚好是咱们第一晚求的这个准公差？ 那偶数项呢？它的偶数项作为一个新的等式数的，它的首项又是 a i， 第二项 a i， 则原来数列的第二项，那这个 a i 咱不知道吗？咱不知道该怎么办呢？你看原来这个十字里面，我们再把它处理一下，我们把这个 sn sn 一 的等式一测 sn 减一 移过来，再减上 s n， 是 不是就是一个 a n 加一啊？那么你得到 a n 加上 a n 加一等于 a n， 一个 n 取一的时候，是不是得到一个 a 一 加 a 二等于二， 那 a e 是 a， 所以 说 a 二是不是 i 减 a 啊？ i 减 a 是 不是也搞定了？你看首项和公差都知道了，这项数就是总共是 i n。 下我们来基数后尾数是不是各是 n？ 下， 那我们就用正常等差数列的求和公式，以它进行求和。求完和之后呢，把基数项的和和偶数项的和再进行相加，加按之后就是 s i n。