丰台二模数学2026谁出的题

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。

分享一个我的教学方法，就是通过多题一解归类，总结出的确定性方法。这个方法最大优点就是快速，能秒杀，同样它的缺点就是纯粹为考试而生。 好，我们就用北京按摩这几道题，比如海淀按摩、朝阳石、景山啊，防晒等。这些题你看似是好几道题，它其实就是一道题， 哎，我们就先看海淀二模这道题。这道题通过读题，我们会发现，题目里边有三角形 r、 t， 三角形 a、 b、 c， 同样还有 r、 t。 三角形 b、 d、 f。 ok， 那 这 r、 t。 三角形在真正考试的时候，它的确定性方法就是 对称，所以你看，把 r、 t。 三角形 a、 b、 c 沿着 a、 c 对 称过来，沿着 a、 b 对 称过来啊，对称到点 p， 同样把 r、 t。 三角形 b、 d、 f 沿着 b、 f 对 称过来，到 q 对 称过来，就有了等腰了。有等腰是不是就应该考虑手拉手了？所以接下来我们就只需要连线 p、 d， 连线 c、 q， 根据手拉手的特点，小大小大啊，纯粹的确定性小，大小大就有三角形 b， p、 d 全等于三角形 bc、 q， 这个很好正啊， s a， s 正完了之后，这个九十度 f 出九十度就出来了，所以这个题就没有了 确定性路径，多听一解的方法。所以接下来，哎，你看朝阳二模这道题与它有什么区别？没有区别，这个题里边都不用读题，就有 r、 t。 三角形 a、 c、 b， 所以 我们优先考虑它的确定性路径。对称 对上到点 p， 纯粹为考试而生，所以手拉手有等腰，有手拉手 看，所以三角形 a、 e、 p 全等于三角形 a、 d、 b 啊，哎，所以这俩角就相当 x x， 同样这个地方是不是做完图之后就有八字啊？所以这个 这俩角就相等，哎，这个地方是不是 x 加 y？ 是 不是？这就是 r alpha？ 然后题目这个角是一百八减 r alpha， 所以 答案就出来了，两个角的数量关系相加一百八直接秒。 所以我说这个方法最大的优点就是快速能秒杀，然后同样它就是为了考试而生啊，我的这个确定性方法就是像这样通过多道题总结出来的统一方法， ok， 这样讲有点不尊重出题人，太快了是吧？太快了， ok， 来，比如说石景山二摩这道题，这道题确实有直角三角形读题，但是你会发现这个地方还有三十度，当然还有下边还有六十度， 有三十度的直角三角形 abc， 那 这种对称必定是 沿着 a c 对 称，这样是不是就出等边了？ ok， 这样就出等边三角形 a b p 了，哎，点 d 处是不是六十度啊？所以肯定考虑手拉手啊，没有比等边再好的手拉，再再简单的手拉，手拉，所以连接一下 a p， a e， 连接 ae， 哎，连接一下 e p， 所以 手拉手是不是就出来了？三角形 a b d 全等于三角形 a p e， 然后，哎，你做完图之后，你有没有发现 c f 和 e p 是 中位线，是不是辅助线做出来它就是中位线了？所以 二倍的 c f 就 等于 e p， 是 不是也就等于 b d 啊？所以你看 b d 和 c f 的 数量关系，读完了对称 r t 三角形， 好吧，哎，你看感觉到了吧，是不是多提意见，直接秒这种题？那你再看房山这道题啊，所以你看到这个题里边有 r t 三角形 a、 b、 c 的 时候，有 r t 三角形 a、 h、 d 的 时候， 所以，乖，不要说我要这样思考，我要那样思维啊。如果是纯粹考试的话，哎，你先对称一下吧，是不是对称一下？哎，我 a h， d 关于 a h 这样对称， ok， 同样 abc， 关于 ac， 这样对称来 好，对称完了，这个点是 p， 这个点是 q， 对 称完了，是不是就有等腰，从而就有手拉手了？所以我再连接一下 b p， 所以 就有三角形 a， b p 全等于三角形 a c a q a q c a q d 啊，手拉手是吧？手拉手，然后他问，这两个边的数量关系啊， c c g 和 h g 的 数量关系，哎，你看完了之后是不是就有中位线？ 就是 g h 平行且等于二分之一， b p 这个东西肯定用得着中位线， 然后他问这两个边的数量关系是不是就倒边了来？假设这是 x， 导出 c g 也是 x 来就行了，哎，所以这是二 x， 所以 这是不是二 x？ 我 们 cd 是 y， 所以 bc 二 x 加 y， ok， 由于这个 gh 是 中位线， gh 是 中位线，所以你瞧，你瞧这个， 这个长度是不是 x 加 y？ 为什么？因为整个 b d 是 二 x 加二 y， 它的中间不就是 x 加 y， 然后 cd 是 x， 所以 c j 是 不是 x， 所以 c j 就 等于 h j 就 拥有了 啊，就四道题啊，简单来说，就四道题，通过这四道题，你会发现，哎，如果 你像我一样关注的是考试，关注的是考试，不妨尝试一下我说的这种多题一解的确定性方法。确实快，太快了，直接秒这种题，有没有这种感觉？

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师。这条视频呢，我们一起来分析一下糖稀二模的二十五题，二次函数的综合。来，我们一起来看一下这道题。 二次函数小 a 和小 b 呢，没有告诉我们，小 c 呢，告诉我们是负二，小 c 决定的是跟 y 轴交点的坐标，所以立马能标上跟 x 轴交点的两个坐标告诉我们了，这边呢是负二，负零， 这边呢，是啊，一斗零。我们要求抛物线的解析式，给的是一般式，你想求的快一点，其实我们设一个焦点式更快，所以这道题呢，我写这吧。过程 我可以设一下它的解析式，变成 a 倍的 x 减第一个的横坐标，减负二，所以变成加二减第二个焦点的横坐标这个，然后把 c 零到负二干什么？代入就可以了， 带进去以后我立马就可以得到负二呢，等于零加二，那不就二吗？零减一不就负一吗？二乘负一负二，所以这边是负二， a， a 呢，立马就等于一嘛， a 是 一以后我们的解析式就变成 x 加二，乘 x 减一，然后括号去掉就行，变成 x 方加 x 减二，搞定。 第一问搞定以后，我们再来看第二问，第二问呢，要算这个四边形面积的最大，而这个四边形呢， 其实它可以分成两个三角形面积的和 一个呢，是三角形 abc 这个三角形，而上面 abc 这个三角形的面积呢，能算出来了。 底边呢，就是 ab 是 个三，高呢就是 o， c 是 个二，所以它的面积是固定的，所以我们这个地方四边形 ap， cb 的 面积，我们给它变成三角形 abc， 加上一个三角形 a、 p、 c 的 面积就可以了，也就是它变成二分之一乘三乘二，加上三角形 a、 p、 c 的 面积就行了。这边是个三，这边是三角形 a、 p、 c 搞定。 所以我们立马就可以简单的去书写这句话了。当它的面积最大的面积就会怎么样？最大吗？ 那接下来你专心的去求三角形 a、 p、 c 的 面积最大时就可以了。而这个三角形它的面积的算法呢？我们专门有一个方法，就是解决它的牵垂法，过点 p 作 x 轴的垂线 跟它有一个交点，比如说我们叫 f， 从这个地方呢，我们就可以把这个三角形分成左边的 a、 p、 f 和右边的 c、 p、 f 两个了。 我简单一些啊， a、 p、 c 的 面积变成三角形 a、 p、 f 的 面积加上一个三角形 c、 p、 f 的 面积就可以了。减除法，它立马就可以等成二分之一 p f， 右边的横坐标减左边横坐标搞定。 而这两个横坐标的差呢，正好的就是零减掉负二变成了二，二分之一乘二没了，所以 p f， 所以它的面积就等于 p f， p f 最大的时候，三角形的面积就是最大的。那 p、 f 的 长度怎么算呢？ 它竖直线段的长等于上面纵坐标减下面纵坐标嘛，所以我们得知道坐标，知道坐标设一下就可以了，它的横坐标是 m， 纵坐标带到解析式里面就可以， 他的横坐标一定也是个 m。 要知道纵坐标得知道 a c 这条直线的解析式，一个是负二斗零，一个是零斗负二下降的两边交的一样，那一个定是负 x 减二嘛，所以他的纵坐标叫负 m 减二， 那接下来我们表示一下 p f 这条线就可以了，所以 p f 的 长上面纵坐标负 m 减二，减下面的注意编号就可以，所以变成减 m 方减 m 加 二，这就可以了，立马变成负 m 方，减掉两个 m， 减二和加二就没了，接下来求它的最大值，简单的配个方就可以了，负的括号 m， 然后加一的平方再加个一，这就可以了。这个地方说明我们的小 a 呢，是什么小于零呐，开口向下对称轴的地方是不是取到最大值？所以 m 等于 对称轴里面等于零， m 的 值就是对称轴等于负一时，我们 p f 可以 去取到最大值。 p f 的 最大值是谁呢？就是这个东西 等于一，当然他没有问这个面积的最大， p f 的 最大，我们也可以不用求，我们只要知道 p 的 坐标就可以了，也就是只要知道 m 的 值就可以了。 m 是 负一，也就是 p 的 横坐标是负一，纵坐标往这一带就可以了， 负一的平方，这就一一减一减二，那这个就是负二呗，所以屁的坐标我们就轻松的搞定了。接下来呢，我们再看一眼他的第三小问，第三小问呢， m 是 抛物线上的一个动点 x， 轴上有一个点呢，是点 q， 最终这四个点要形成平行四边形， 让你直接写出点 q 的 坐标。对于这种题呢，我们最好的做法呢，就是不要画图了，直接利用钟点坐标公式去书写就可以。而利用钟点坐标公式去书写的前面呢，先做一个铺垫的工作， 先把四个点的坐标给他写好， a 呢是负二逗零， c 呢是零逗负二， m 的 坐标不知道设未知数就可以了。前面设过 m 了，不要再设了，不然就重复了。好吧，所以这个时候呢，我们换一个数字就可以，比如说小 a 吧， a 到 a 方加 a 减二 点， q 呢，对吧？它不是在 x 轴上吗？横坐标设个未知数，纵坐标一定是个零。四个坐标设好以后，接下来怎么办？ 平行四边形有一个非常重要的特点，叫对角线互相平分。 你比如说 a 在 这， c 在 这，我随便写啊， m 在 这点， q 在 这，肯定是一种情况嘛，它的对角线互相平分。哎，这条线画歪了， 就这个点既是 a， c 的 中点，这根两相等，也是 q 和 m 的 中点，所以这两也相等，所以我们就可以算这个点的坐标嘛。 终点利用终点坐标公式算就可以了，知道两边的坐标就能算，而两边的坐标，我们上面铺垫的这四个不就是吗？ ok 吧。那这个题呢，还有一个就是我们讨论的地方，就怎么样能把所有的情况都讨论全呢？ 固定一个点，看他对面的是谁，就这个地方是谁，一共四个点，如果我把点 a 固定到这，那对面呢？就有三种情况， c， m 或者点 q。 所以 这样讨论的时候，他就是三种情况。 这是第一种吧， a， c 是 对角线。好吧，这个时候我们列中点坐标公式就可以了。 a 和 c 的 横坐标负二加零加起来除以二，是不是就这个点的横坐标，然后点 q 和 m 的 横坐标 加起来除以二，是不是也是这个点的横坐标？同一个点的横坐标肯定一样，两边都除了个二，其实这个二你写的没有任何的意义，所以我们一般写的时候就会怎么去写？ 横加横等于另外的负二，那不就是负二吗？等于另外的纵加纵， a 方加 a 减二加到后面这个零，那就不用写了吧，这就可以了，剩下的你需要谁，你就盯谁就可以了，如果能立马解出来，你就写出来就行。我们要解小 b， 但是这个题里面好像你必须得把小 a 解出来才可以， 那我们就从这个里面解一下不就可以了？这个减二移过来跟这边的就抵消掉了。 a 方加 a 等于零，因式分解也就能看出来， a 一 肯定是零，我们的 a 二呢，肯定是个呃， ab 的 a 加一是零，肯定是负一，这个零呢，肯定要舍掉了。 为什么？当 a 是 零的时候，你看这个坐标是不是叫零都负二，那这边呢，是不是也会变成零都负二？两个点重合了，四个点变三个点，所以不行，那我们负一，这个可以留下，他是负一，对应的，算出 a 等于负一时候的 b 就 可以了。往上面这个里面带嘛， a 是 负一的时候， b 一定也是个负一，所以这个时候我们点 q 的 坐标呢，叫负一。逗零搞定。 第一种情况完了以后呢，我们就到了第二种情况，对吧？我就不画平行四边形了， a 在 这个地方，那谁可以在他对面的这个地方呢？ c 有 了，那 m 是 不是有可能会出现？ 那剩下的两个呢？一连肯定也是个对角线吗？就点 c 和点 q， 那 这个时候呢，我们只要再写中点坐标，那就负二加 a， c 和 q 的 横坐标零加 b， 那 就还是个小 b 了。 a 和 m 的 纵坐标，那不就是 a 方加 a 减二吗？ c 和 q 的 纵坐标就负二加零，还是个负二， 我们要求的还是小 b， 但是好像还是得先把小 a 算出来，但是这个式子跟上面好像一样， 这个减二移过来，这边也是零了， a 方加 a 是 零，所以 a 一 肯定是零。同样的道理，舍掉 a 二呢？还是谁啊？负一，从它里面对应的算出谁啊？小 b 就 可以。往这看， a 是 负一的时候，小 b 一定是谁啊？负三嘛。所以这种情况下，点 q 的 坐标叫负三斗柄。好，接下来呢，第三种情况呢，就是 a 在 这个地方剩下谁了，点 q 没有出现在这个地方， 那这边呢，就只能是 c 和 m 了呗。同样的，再去列终点坐标公式就可以了。 a 和 q 的 横坐标加起来，也就是负二加 b， 等于 c 和 m 的 横坐标加起来，负二加 a。 哎，零加 a 啊，看成纵坐标了，零和 a 加起来就可以，然后纵坐标 a 和 q 的 纵坐标加起来零，零加零，那就还是个零呗。 然后呢， c 和 m 的 纵坐标加起来， a 方加 a 减二，再加负二，那就减四个就可以了。从这个地方我们同样的算出小 a 是 不就可以了？ 好，这个地方算的时候，好像没办法十字相乘，那没办法十字相乘的，那我们只能干什么了？我就公式发一下吧，得它吧， b 方，那就是一减四， a c 四四十六十七。所以我们第一个 a 呢，那就是二分之 呃，二， a 分 之负 b， 那 就负一加根号下时期。第二个 a 呢，就是二分之负 b， 那 就负一减根号下时期，所以我们 a 呢，这个地方算出来两个，一个是负一加根号时期除以二，这边我就擦掉吧。 一个呢是负一减根号是七，怎么样？除以二，同样的对应的把谁算出来，小 b 算出来就可，这个里面的小 b 算出来就行，你看这个我们要算小 b， 对 吧？ 算小 b 的 话，我们把这个负二移到这边来，是不是变成加二，也就给 a 加二就行，二是不就二分之四，所以我们给这个和后面这个二分之四分母不变分子相加，分子上加个四就可以了， 它就变成加四，那就是三加根号时期，这个对应的小 b 的 值加四呢就是三减根号时期 除以二，所以这个里面呢，我们算出来点 q 的 坐标呢？有两个， 一个呢是三加根号十七除以二逗零，另外一个呢是三减根号十七除以二逗零，这就可以了。 好，这是二次函数这道压轴题的三小问。第三小问呢，一定要能掌握他是我们什么做菱形也好，矩形也好 的基础，这种方法并且是通用的，基本上所有的都能做。当然有时候呢，那个未知数你好像还不太行，那那个时候就要通过画图的方法去做了。 好，这道题我们就到这，我们下一期呢讲一下最后一道题，同样的，如果你等着看的话，先关注一下，发了以后你立马就能看到了。

二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。

跟着辅导走数学不用愁。今天我们来讲一下二零二六年北京西城高三二模数学题的第十五题。这个题考察的是关于填空压轴题，我们来看一下题干。在物理实验当中，相互垂直的两个简斜振动的频率比为简单整数比， 然后有这样的一条曲线， x 方，再加四倍的 y 的 四次方，再减去四倍的 y 的 平方等于零。第一问点 p x， y 是 曲线 c 上的一点， x 的 角值小于一， y 的 角值也小于一， ok， 圈一看怎么正通过这个式子， 也就是意味着 x 的 平方应该等于，这是四外方，再减去四 y 的 四次方， ok， 右边我提一个四外方出来，一减去 y 的 平方是它。 那很显然，咱们知道 x 方是大于等于零的，意味着右边这是四外方，再乘以一减，外方也是大于等于零的。那是不是意味着一减外方 大于零，那对应的 y 方小于等于一，那 y 的 绝对值小于等于一， ok， 它没毛病。再看 x 呢？ 它 x 的 平方，这是均均值不等式，它是不是应该是小于等于？这是四，乘以二分之 外方，再加上一再减去外方就是不等式？约掉约掉，这是不应该是？嗯，扩前方 等于一，所以 x 的 平方是不是也是小于等于一的？那这样的话， x 的 绝对值不是小于一吗？所以这样的话，圈一是对的。 再看一下圈，他说 c 上两个点的距离的最大值是根号六，再复制一份， 那我就设它上面的点坐标是点 p x， y 设这个距离为 d， 那 地方是不是应该等于 x 方，再加 y 方，对吧？好，然后再继续。那刚才咱们求出来， x 方等于谁呢？ x 方等于这个式子， 把它再到这里边来，然后再加上 y 方，这不是关于 y 方的一元二次吗？所以这就是 y 方在乘以括号里边的五减去 四外方，这是它，它应该是小于等于十六分之二十五的， ok 吧？这个其实也是可以用咱们的这个均等式去处理，它小于等于十六分之二十五，那这样的话， d 的 最大值 是不应该是根号下？它应该是二分之五啊？他说最大值是根号六，不等于根号六吧，所以这样画圈二是不对的。 再来看一下 x 三，再复制一份啊， 它是曲线 c 所围成的区域的面积是小于三的，很显然，这个曲线它应该是关于 x 的 对称，关于 y 的 对称。那 ok， 我 可以怎么办？我只研究第一项线的部分，然后面积再乘以四，是不就 ok 了？ ok， 好， 那这样的话我们来具体处理一下。刚才咱们知道只研究第一项线 第一象限的时候，刚才咱们可以写出来， x 方应该是等于 四外方在乘以括号里边一减外方，那 x 两边分别开根号， x 是 不应该等于二外，再乘以根号下一减外方，对吧？好， ok， 那 我们就把 y 分 别讨论一下。嗯，第一种情况， 当 y 是 大于等于零，小于等于二分之一的时候， 那是不是意味着一减 y 方，所以它指定是小于等于一的， 那根号下它也是小一的，那二 y 乘以它是不是应该小于等于二 y 左边谁谁呢？ x 吧。所以 x 小 于等于二 y， 也就意味着 y 应该大于等于二分之一 x， ok， 来画图，嗯， 这是 y 等于二分之一 x， 对 吧？它应该在它上方，那在它上方的话，对应的 零到二分之一的时候， 那它类似这样的一个图， ok 吧？那这样的话，它的面积 s 一 是不是应该小于等于二分之一？ 这一零二分之一乘以一，再乘以二分之一等于四分之一。 s 一 是小于等于四分之一的。好，再看，当 y 如果是大于等于二分之一小于一的时候， 它是不是应该是在这个句型 的内部？那这样的话，它的 s 二是应该是小于二分之一，再乘以一等于二分之一。 那这样的话，在第一项线的面积是不应该是小于四分之一，再加二分之一等于四分之三。然后呢？总的面积呢？ s 总 是不是应该小于四乘以四分之三，它是小于三的，对吧？所以这样的话，圈三应该是正确的。好，接下来看一下圈四，再负一份 圈四，这个就简单很多了。圈四他说过圆点直线是不是 y 等于 k x 啊？ 然后刚才咱们找到这个 x 方应该是等于四外方在乘以括号里边呢，这是一减去外方。 ok， 咱们把它带到里边去， 这变成 x 的 平方等于四括号里边的 k x 的 方，再乘以一减去 k x 扩减方，对吧？然后都有 x 方全部移到左边来， x 方后边应该是四 k 方， 四 k 应该是四次方。嗯，四 k 四次方， x 方再减去四 k 方， 再加一等于零。好，那这样的话，再继续就看它有几个解呗。这东西是不是至多有两个解？ 那至多有两个解的话，那意味着什么东西啊？意味着该直线和这个曲线 c 至多有几个交点啊？是不是还有零到零呢？所以应该是最多有 三个公共点，所以这样的话圈三。嗯，圈四是对的，所以综合答案的应该是一三四。这样的话这题就解了，一定要通过先看门至好。这是第十五题的讲解。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，继续来看一下二六年 陕西二模的二十二题，这道小题怎么样？同学们，简单哎， 模仿咱们的土豆问题啊，这个题，同样的套路，同样的操作题的话呢，老师就不给大家多读了，这个题目就很常规的操作， 呃，紧接着第一题对吧？问，你是几次函数，求求关系式。第二小题呢，哎，二次函数配配方。第三小题呢，直接写答案，引入一个参数，很常规很常规的题目，我们一起来欣赏一下啊！ let's go！ 这个题的话呢，首先第一题， 客房入住数，你注意啊，在题上，老师有个习惯，我一定把它标成我的 x 和 y， 就是 你要把一个信息对它进行数学化。同志们，这个真的很重要啊，是房价 x 标上什么函数呢？ 一次反比例还是二次？怎么看？同学们，注意一次函数啊，那就是一百七，我升到了一百八， x 增加了十， y 就 减少了六，你看是不是均匀变化的，我们再找一组数据，一百九升到了二百， 加了十，哎，那这个 y 呢，就减少了六，两组数据足够让你有一个定心丸了。同学们，没毛病啊，这就是一次函数，并且我们还知道单位变化率呢， x 每增加十， y 就 减少六，这单位变化率就是一个十，负的十分之六，也就是负的五分之三， 好负五分之三 x 再加上一个什么样的数呢？就需要大家，如果是正儿八经的话，同学们，你要写过程，就需要大家把一组数据带进去，如果是老师，我会把 x 等于二百， y 等于九十六这组比较简单的数据带进去，那最终可以算出来 啊，这就应该是二百一十六，你可以再带一组数据验证一下，这是我们做题时候的好方法。同学们啊，比如你再把一百六逗一百二带进去，确保咱做的是对的。 第二小题，一日营业额最大的时候，那这个 z 等于什么呢？ z 就 等于 x 乘上一个 y， 所以 化简之后，负五分之三， x 平方加二百一十六 x， 接下来呢，他问 z 最大，那很明显，同学们就需要进行一个配方的处理，负五分之，负五分之三提出来，括号里就是 x 平方减多少， 嗯，减去一个二百一十六乘以三分之五。你口算也行，手算也不差，同学们，中考不会因为你口算就给你多加两分的 啊。二百一十六除以三七十二，七十二乘以五呢，是个三百六减三百六十， x 配得配个多少？得配一百八十的平方，那就得再减一个一百八十的平方，这就是配方的原则啊，不能让式子的大小发生变化。 好，接下来就是负的五分之三， x 减一百八，括起来的平方。注意，外面还有一串数据呢，是加上一百八十 呃的平方乘上一个五分之三，也就是结果等于负的五分之三， x 减一百八十的平方，再加上一个多少呢？你可以算一下，应该是一万九千四百四十。 那继续呢？接下来过程得仔细啊，因为负五分之三小于零，得把这个情况说清楚，证明二次函数抛物线的开口向下是有最大值的 啊，解释清楚，所以当 x 等于一百八十的时候，营业额 z 有 最大值。说到这就可以了，题上问的只有 x， 不是 营业值是多少啊？同学们，到了第三小题这里呢，把题读完，你就明白这个题是啥意思了。好，公式已经给我们了， p 代表日毛利润等于营业额 z 减去什么固定的总成本？礼品总成本。大家读完题之后，一定要明白，这个礼品是跟什么绑定的，跟房间数， 这个什么固定成本也是跟房间数绑定的。所以我们可以这样去理解，你每开一间房，固定的支出成本就有一个三十加 m， 然后再去乘上一个 y。 好同志们，很多同学会感觉有点难，我们一起来看一看啊！ z 是 负五分之三， x 的 平方加上二百一十六， x 再减去 三十加 m 倍的，这个 y 是 个多少呢？ y 是 一个负的五分之三， x 加上二百一十六。接下来大家注意，你要去读题， 他说在房价不超过二百的时候，就说 x 小 于等于二百的时候，我希望 i hope that 啊，我希望什么嘞？毛利润能够随着房价的增大而增大。同学们，这个二次函数啊，开口一定是向下的， 那么我希望你的对称轴怎么样？同学们，你的对称轴能比二百小吗？我问问大家。不行啊，你必须保证你的对称轴至少至少都得有二百 啊！你的对称轴可以是二百零一，可以是二百零二，对吧？但绝对不能比二百小。你比二百小，你还能怎么保证？我在这个比如说啊，咱不说零到 二百了，一百六十到二百的环节当中，你怎么保证我外随 x 增大而增大呢？其实就是这个意思啊，对称轴是要大于等于二百的， 同学们，因此整个小题只和对称轴有关，那也就是说，负二 a 分 之 b 只和一个二次函数里面的 a 和 b 有 关。 所以这个题啊，你不用理他太多啊，负五分之三 x 方二次项系数先搞定，那么一次项系数都有谁呢？你稍微整理一下，加上一个二百一十六。好，你看啊，把系数乘起来，负的三十乘以负的五分之三是正十八， 负的 m 乘以负的五分之三是加上一个五分之三 m 背的 x。 够了够了，这个题直接写答案，不要往后算了， 负二 a 分 之 b。 同志们，咱们对号入座，结果就是负的啊，来最前面来个负的啊，二 a 负的五分之六分之 b， 那 是二百三十四，加上五分之三 m， 最终要求他干嘛呢？大于等于二百。同志们，这个地方老师跟他说一下怎么算。 首先，负号和负号呢，抵消了，咱不说了，接下来注意哦，我是要对左边的分数进行一个分数基本性质的运用，分子分母同时乘上一个五，一千一百七十，加上三 m， 比上一个 比上一个六啊，大于等于两百，最终算出来，三 m 大 于等于三十， m 大 于等于十。结合题上所说这个范围，同学们，你发现这个题有意思啊， m 是 小于等于二十的， 所以你说 m 的 最终范围大于等于十，小于等于二十，这个题就搞定了吗？拜了个拜，下个视频不见不散！

哈喽，各位同学大家好，我是皮姐，皮姐屋里带你飞起。我们来看一下丰台区的二模的第十二题啊，这道题呢，通卷来说啊，属于比较难的了，但是呢，他和我们二五年的北京状考真题长得特别像啊，咱们一块来看一下， 他说某同学设计了水箱的自动控制进水装置啊，如所示，那么顶部呢，有一个这样的压力传感器， 圆柱形的这个福字能够沿着这个杆在竖直方向上去自由的移动，那么注水到一定深度的时候呢，他就开始上浮，最终是静止在这个水箱的顶部，那么他对于这个压力传感器的这个大小不一样啊，就会去触发开关，然后呢用水的时候啊，水位降低， 达到最低水位的时候呢，这个时候他对于这个压力传感器的压力呢，等于 f 一 就出发开关，现在就开始注水了，那么当他到最高水位的时候呢，这个时候啊， 压力变成了 f 二，再次去出发开关就停止注水了，这个时候水位是低于福字的上表面的，现在告诉了我们福字的质量 m 底面积 s 密度 ro 和水的一个密度 ro， 水啊， 并且告诉了咱们柔水是大于柔的，那么现在不计福字与固定杆的摩擦以及固定杆的体积啊，那我们正确的是，接下来呢，咱们来分析一下这整个的一个过程啊，在 没有水的时候，或者是说注入水比较少的时候，这个福字呢，他他肯定是在底部沉着的，对不对？那他到一定深度的时候呢，福字开始上浮啊，随着我的 水位逐渐的上升，那么这个时候呢，微排是逐渐变多的，当我刚刚好开始上浮的时候，也就是说啊，现在呢浮力刚刚好是等于重力，然后呢我就开始往上去浮了， 那么这中间的一个过程啊，你其实可以不用去分析，你看一下，他最终是静止在水箱的底部，而我们又通过审题可以知道啊，最低水位的时候呢，浮字对于这个压 离传感器是有压力的，然后呢最高水位的时候呢，也是有一个压力的，你想一想，我什么时候才会对于他有压力啊？那肯定是顶到上面了是不是？那顶到上面之后啊，咱们有一些同学呢在纠结啊，我顶到上面之后，那这个下边他到底是呃上升了多少呀？或者是下边啊，他这个 呃符字的底部啊，在什么位置啊？就比如说我随便画一下啊，就在蓝色啊， 这就在这里啊，那么你看看，在我最低水位的时候呢，这个时候是一个 f 一 啊，什么意思？比如说他设置的啊，我最低水位就在这个位置啊，假设就在这个位置，那么现在的 a 排是这么多，对吧？我们先来对于这个杆啊，去进行一下受力分析，那么他顶到上面去之后啊，这个杆咱们在左边来进行一下受力分析吧， 现在啊会受到一个重力，然后呢你想一想，他对于这个压力传感器有一个向上的压力的话，那压力传感器肯定对于这个伏字也有一个力啊，那么就应该是向下的啊，咱们用 f 压来进行表示，然后呢现在会有一个向上的负力啊，这是 整个的啊受力的分析，所以说呢，此时 f 伏就等于的重力再加上一个 f 压，那么在最低水位的时候啊， 这个时候呢， v 排比较的小，对吧？ v 排比较的小呢，代表这个时候的浮力啊，要稍微的小一点，等于的是重力再加上一个啊，现在的这个力， f 一 啊，这个要稍微小一点，那么在高水位的时候，比如说我现在 到了这个位置啊，那你看一下，到了这个位置之后，我的 v 排是不是变多了，那 v 排变多的话，这个时候对应的 浮力是不是也会变大，对吧？那浮力呢，变大了，现在等于是重力再加上一个 f 二啊，他就会稍微 变大一些。接下来啊，咱们来看一下选项， a 选项呢，说他刚开始上浮的时候，水箱当中水的一个深度啊，那么刚开始上浮的时候，也就是说这个浮子他现在还在底部啊，我们来看一下，他说水的深度是不是就是这个浮子他进入的这一部分的深度。 那么咱们刚刚分析过啊，刚开始上浮的时候呢，浮力现在是等于重力的，所以浮力等于重力啊，它就等于 m 乘以小 g， 就 等于柔水乘以 g 乘以 s， 再乘以它进入的这一部分的深度啊， 所以 h g 又就应该等于什么呢？就等于 mg 再除以一个 ro 水乘以 g， 再乘一个 s， 小 g 小 g， 约定啊，等于是 m 比上一个 ro 水乘以 s。 那 么在这啊，有一部分同学一看导出来的一样啊，他就选了 a 选项，但是你要注意一下，这个 ro 呢，是指的 福字的密度啊，而我们算出来的呢，是柔水。有一部分同学啊， a 选项错在了这里，然后二 b 选项说最低水位的时候，福字排开水的体积是多少？我们来看一下啊，当他达到最低水位的时候啊， 你比如说呢，他最低水位啊，我咱们给你换一个颜色的笔啊，比如说最低水位，我现在呢福字啊，在这个位置，然后水位呢，是在画绿色这个位置啊，那么这个时候 对应的呢， f 福，咱们刚刚已经分析过了，他就等于大 g 啊，再加上一个 f 一， 就等于什么呢？就等于 ro 水乘以 g 再乘一个 v 排啊，咱们假设说这是 v 排一， 所以说啊，我们可以来看一下，这个时候你要是想去求 v 排一的话，是不是就等于 g 再加上一个 f 一 比上一个 low 水乘以 g 啊，那么也就是说它等于是 mg 加上 f 一 比上一个 low 水乘以小 g 啊， b 选项呢，它把加号写成了减号，所以二 b 选项是错的。如果说你要想去求这个时候的 h 一 的话，那么现在呢，就是在这个 v 的 基础上啊，再除以一个 s 就 可以了啊，这是这个时候他进入的这一部分的 h 一， 那么 c 选项说到达最高水位的时候，水对于浮子下表面的一个压强是多少？那么咱们来看一下啊， 当它到达最高水位的时候啊，我们刚刚也分析了啊， f 伏，比如说这是一，这是二啊，它就等于重力再加上一个 f 二，对不对？那这个时候呢，就等于啰，水乘以 g， 再乘一个 v 排二， v 排二呢，咱们用 s 乘以 h 二来去进行表示， 所以说呢，你可以去求一下这个时候的 h 二啊，就等于是重力再加上一个 f 二，除以一个 rad 乘以 g， 再乘一个 s， 是 不是也就是 mg 加上 f 二啊，比上一个 rad 乘以 g， 再乘一个 s， 那 么这个呢，问的是啥呀？问的是压墙对不对？那压墙 p 就 等于啥呢？就等于柔水乘以 g， 再乘一个 h 二，是不是也就是在这个基础上，你再乘一个柔水 g， 你 给他带进去啊，变成了 mg 再加上一个 f 二 除以一个 s， 所以 在这里啊，加的不应该是 f 一， 应该是 f 二，然后四 d 选项啊，说什么呢？这个过程当中最高水位和最低水位之差是多少？那这是 h 一 啊，那么最高水位的时候，我给你换一个颜色的比啊，比如说 最高水位啊，高水位的时候到这里了啊，到这里呢，你刚刚算出来的这个 h 二啊，是它进入的这一部分，它现在让咱去求什么呢？让咱去求的是这个 delta h， 你 是不是可以直接去用 h 一 减去呃， h 二减去个 h 一 呀？ 所以说啊， delta h 呢，直接就用 h 二减去 h 一 就可以了，给它带进去啊，就是 mg 加上 f 二，比上一个 柔水乘以 g s， 再减去一个 mg， 加上 f 一， 比上一个柔水乘以 g， 再乘一个 s， 所以 说啊，直接就是什么呢？ f 二减去 f 一， 比上一个 柔水 g s。 所以 这道题啊，正确的呢，应该是选四 d 选项。这个题整体的分析的过程啊，没有特别的难， 难在了什么呢？就是你在推导的过程当中，一定要注意他的脚标，还有这个加减号。那么这道题呢，和咱们的二五年北京的中考真题啊，特别的像， 我们可以来看一下啊，都是水箱自动控制进水的一个这样的装置，然后呢都是浮力变化啊，那么这个是对于压力传感器的压力变化区， 触发水泵停止，那么我们二五年的呢，就是控制棒啊，也是拉力的变化，去触发水泵停止，那么核心的区别在于哪里呢？在于受力问题啊，我们今年呢这个模拟题呢，是浮子受到向上的浮力，那么向下呢，是重力和压力传感器的压力啊，那么中考真题呢，是 控制棒受到向上的浮力和拉力，然后向下呢，只有一个重力，但是啊，虽然说咱们的这个外壳变了，但是本质考察的呢，还是同样的内容，如果说对于这类的问题还有一定的疑问的话呢，我们可以再去多练习一下，巩固巩固。

两个体二模数学部分难题讲解，先看填空押注十六题，在平行四边形的顶点，分别在这个三角形的边上，让你去求这个平行四边形和这个三角形面积之比的最大值，那么我们很基础的把它俩面积呢表示出来。 底乘以高是平行四边形的面积，那我肯定优先考虑用 a d， 因为 a d 跟这个三角形的话，它构成一个 a 字形，所以就是 a d 乘以这下面的这条小的高 h 一， 比上二分之一的 三角形的底 f g 乘以这条三角形的这个高 h 二，那这样的话，我们把它稍微转化处理一下，利用 a 字形这个都比较容易， a d 比 f g 就 等于这一段比上 h 二，对不对？那这一段就是 h 二减 h 一， 所以得到这样的一个式子呢，都不难，大部分学生都可以得到。那问题是接下来很多学生看到这样的式子不知道如何去处理了， 那么实际上在这里啊，我们可以有好几种不同的思考。首先如果程度好一些的学生呢，可以观察到，我直接令 h 一 比上 h 二啊， 就等于 a， 这样的话，二，先不管它最后乘以二就可以了。那么这样的话，这一连串的它是不是就等于一减去 a 乘以 a， 也就说相当于让你去求这个一减 a 乘以 a 的 最大值，最后再把它乘以个二，那么这个不是太简单了吗？这样的话，你可以给它转化成一个二次函数去求对不对？它就是负 a 平方加 a， 那么你套四 a 分 之 c， c 减 b 平方也可以，你直接把它 a 等于负二， a 分 之 b 算一下，那就是把这个 a 啊等于二分之一带入进去，就是负四分之一，加上二分之一，那就等于四分之一，四分之一，不要忘记乘以我们前面的二，那就等于二分之一，所以这样的话，答案就可以给它得到是二分之一，这是一种理解。 那有些同学说，我不一定能够想到 h 一 比 h 二令它等于 a， 那 怎么办呢？也可以办，你想象一下，这个题目对于这个三角形 e、 f、 g 是 没有任何限制要求的，也可以办，你想象一下这个题目，对于这个三角形 e、 f、 g 是 随便画， 你只要画好了之后，它这个平行四边形的面积和它的面积之比的最大值啊，肯定是可以求出来，肯定是不会变的，要不然题目就不会这样出了，对不对？那既然是这样的话，如果你看多个字母不舒服，你就不妨把 h 二呀，你随便让它取等于多少，这样的话舒服吧。 我就让 h 二等于二，等于三，等于四，等于五，随便等于什么东西，那你看它就会变成什么东西。我就假设 h 二，我让它等于三，好的，那这个东西是不是就变成了二乘以三减 h 一 除以三乘以这个 h 一 除以三， 那不就得到了一个这样的东西了吗？那这不还是一个关于 h 一 的一个二次函数的问题吗？那同样的用四分之 c c 减 b 平方把它求出来，那答案是一模一样的，对不对？你这样去一求，跟刚才不是一样的吗？这个就变成了一减去这个三分之 h 一 乘以一个三分之 h 一， 那一样的求出来是一模一样的，所以我如果看的不舒服， 我就把它看做一个数字，因为他肯定不会受我这个数字的影响，对不对？还有一种方法，既然这个题目和这个三角形的形状以及这个三角形的边长没有任何关系，那同学想象一下，我是不是就可以用特殊情况法，我干脆比这个还要特殊。我不搞这么多复杂的情况了， 我直接就让这个三角形 e f g 变成一个什么三角形呢？你可以让它变成等边，你也可以让它变成等腰直角，那是不是变成等腰直角会更简单？所以我干脆就让这个三角形啊， e f g 直接就变成这样一个等腰直角三角形，你想象一下它答案肯定不会变，对不对？因为它对这个三角形的形状没有任何要求，那我就让 e f g 是 一个等腰直角三角形，不妨就设它的边长为二。 那么你在这当中去画一个平行四边形，实际上也就是画个矩形嘛，就是这个三角形的面积，我已经给他定下来了，他就是二分之一乘以二乘以二，对不对？你要求这个比值的最大值，是不是就相当于求上面这个四边形的面积最大值，是不是就求这个矩形的面积最大值？那你要求这个矩形的面积最大值。这个以前我们做这种题目呢，太简单了，不就是它的长和宽相等的时候吗？那长和宽相等的时候，就是它是一， 它这个面积是二，那就是一标，也可以得到答案。所以这个题目不一定非要用这种方法 一步一步的去给它算出来。你掌握这道题，它有个核心的点在于这个笔直一定不会受三角形的形状的变化而改变它的结果，那么我就可以不妨让它为一个等腰直角三角形，我只要让它为等腰直角三角形，那么这道题就非常非常好做了。二十五题， 如图， a、 b、 c、 d 是 两条弦， a、 b 和 c、 d 平行，那么平行的话就会有大量的角相等，那显然就是让我们去证明这样的两个角是相等的， 那这两个角我们都可以倒角，把它建立起跟其他角的关系，这个角显然和这个角是相等的，因为平行所以内错角相等，那么这两个角刚好都是弧 a、 c 所对的圆周角，所以这样的话就角 a 就 等于角 d， 角 b 也等于角 d， 那 么角 a 和角 b 就 相等了， pa 和 pb 就 相等了。第二个，当 b 点是弧 a、 d 中点时， 在第一问就这个大前提的基础之下，又增加一个 b 式弧 a、 d 的 中点，那么这里面角相等的就更多了。我们先看要证的内容，要证这样的一个乘积式，那显然它就是让我们去证明三角形 a、 b、 p 和三角形 a、 b、 d 它俩是不是有相似的关系，如果它俩相似，那我们就能证明到这样的一个乘积式，那我们来看 a、 b、 p 就是 我们第一问证来的这个等腰三角形，它是不是和 a、 b、 d 相似，所以首先我们把 b、 d 要给它连起来， 这样的话我们看，因为弧 a、 b 等于弧 b、 d， 这是额外增加的条件，那显然我就可以得到这个角，它也跟这个角全部都相等，它也是圈圈，那这样的话，这就是一个子母形相似，对吧？或者说这就是两个共底角的等腰三角形，那么显然相似，那能挣到它俩相似，就能挣到这样的一个乘积式。第二问，若 a、 b 告诉你等于四， c、 d 告诉你等于五，则圆 o 的 半径，那么这个是四，这个是五。在原来的平行的基础之上，我们很快就可以得到这是一个正八字形，对不对？那它就会有一组对应的比例关系。 同时上一小问又让我们证明了这样的一个乘积式，所以根据这两组成积式啊，我们很快优先可以想到。利用第一问的结论，那么 ab 的 平方就是四的平方，十六就等于 ap 乘以 ad， 把这个八字形当中呢，这个四比五呢，他又应该等于 ap 比上 pd， 这样的话，我们不妨就设这个 ap 啊，为四 k， 那 么这个就是五 k， ad 呢，就是九 k， 所以 三十六 k 的 平方就等于十六，那么 k 就 等于六分之四，也就三分之二， k 等于三分之二的话，那这样的话，你看，我们就可以把这个 ad 给它求出来了，它是九 k， 三分之二乘以九就是六， pd 又等于四， 这就相当于什么？相当于 ab 等于四， ab 等于四， ad 等于六。一个三角形如果三条边长都求出来了，那么求它外接圆的半径，我们之前已经做过无数次了，对不对？而且这还是一个特殊的等腰三角形，所以我们把图形简化一下， 我们知道了这个 ab 等于四， b、 d 等于四， ad 等于六之后，就相当于求这个等腰三角形的外接圆，那么你把无关的东西可以给它删掉，自己重新画一个图，或者说你看着舒服的话，直接连起来就可以了。那么这里面最常见的辅助线我们就两种，把 o、 b 直接给他连起来，连接 o、 d， 我 们就可以得到一个重要的三角形， 这样的话我们在这个三角形当中就可以用勾股定米给它求出来，那么因为这是四，这条是六，那么下面一半就是三三，那么这个 b h 呢就是根号十六减九就是根号七，所以这个 o h 呢就等于半径减，根号七， 这个 h d 呢就等于三，这个 o、 d 呢是半径，所以直接就是半径的平方就等于半径减。根号七，括号的平方加上九， 这样的话把它解出来，那就是等于 r 的 平方减二倍，根号七， r 加七加九就是加十六，这样的话 r 的 平方给它消掉，那么两倍根号七， r 就 等于十六， r 就 等于八，除以根号七就等于七分之八倍根号七， 答案就是七分之八倍根号七，这是常见的一种方法，就回到这样一个三角形当中去，利用勾股定，那么我们也可以考虑直接给 bo 延长，延长之后交于一点连接 e、 d， 在 这样的个 r t 三角形 b、 d， e 当中，直接利用三角形 b、 e、 d 和这个三角形相似，也可以得到，对不对？我们用 b d 比上 b e 就 应该等于这个角的 b h 比上 ab， 这样的话 b d 是 四， b e 呢就是我们要求的两倍的半径就应该等于 b h 就是 根号七，比上 ab 就是 四，这样的话我们也可以给它求出来，那么半径就应该等于七分之八倍，根号七也是同样的给它求出来了。二十六题， 已知一次函数 y 等于 mx 加 m， 那 么这个一次函数它显然经过负一零和二次函数 y 等于负 x 减 m 的 平方加一，那么它的顶点坐标就是 m 度一。 第一问，求证二次函数的图像与 xo 总有两个公共点，那么我们注意到它的顶点是 m， 逗号一，就它顶点的纵坐标是一的话，那顶点它一定就在 xo 的 上方，是不是它有可能在第二象限，有可能在 y 轴，有可能在第一象限， 那它开口又是向下的，所以它的图像要么就是这样的，要么就是这样的，要么就是这样的，那它无论如何都会与 xo 有 两个公共点，这样的话，我们可以判断出来， 如果你注意不到这一点，我们也可以直接就把它展开，展开之后呢，让 y 等于零，然后把它的得它算出来，那我们会发现得它也是恒大于零的，也同样的可以得到它有两个公共点。第二个二次函数的图像与 x 的 两个公共点分别为 ab 线段 a， b 与一次函数的图像的公共点为 c。 当 c 是 ab 的 三等分点时，让我们去求 m 的 值。同学在读到这里的时候呢，可能有一点点绕一下直线段 ab 是 在 x 轴上的，而 x 函数我们刚才注意到它一定经过负一零， 就他一定会经过这样的一个点，而他又要与这个 x 轴上的某一条线段有一个公共点，那你想象一下，这样一条直线，他不可能跟这条直线有两个交点，对不对？那言外之意就是这个负一零啊，就是 c 点。所以题目告诉了你这一大串的信息， 目的就是为了告诉你， c 点坐标就是负一零。下一句话是，当 c 是 ab 的 三等问点，那这句话又是什么意思呢？我们注意到 ab 的 长度是可以求出来的， 为什么呢？因为这样的一个二次函数，它相当于可以把它看作是 y 等于负 x 平方加一，左右平移，对不对？它左右平移的过程当中，它与 x 轴交点之间的距离，它是不会变的，那么这个与 x 的 交点之间的距离显然就是二，那你左右平移，它不会变，所以 ab 的 长度实际上就是二。 这样的话，又告诉我 c 点坐标 c 是 定死了，负一零， ab 的 长度又告诉我了，其实就相当于是把这个 a 点、 b 点就给它锁定了，锁定了之后呢，这个长度就可以求出来。但如果你发现不了，这个也没有任何关系，我们就不妨令 y 二等于零给它算出来。 那么负 x 减 m， 括号的平方加一就应该等于零， x 减 m 就 应该等于正负一，所以 x 就 等于 m 加减一。 因为它这里只说三等分点，没有说谁在左谁在右。我不妨就让 a 点是左边， b 点是右边，所以就相当于这样的话，我可以把 a 点、 b 点、 c 点的坐标全部表示出来。 c 点我们刚才说了，它就是负一斗零， 那么 a 点我假设它在左边，它又有两种情况，因为是三等分点，假设 a 点在这里的时候，它是 m 减一到零，那么 b 点在这里，它是 m 加一到零，那么 b 点在这里，它是 m 加一到零。这样的话，你看 ab 的 长度，我们也可以直接给它算出来 ab 的 长度就是 m 加一减去括号， m 减一，它也可以算出来长度是二， 所以无论你 m 等于多少， ab 的 长度是不会变的，对不对？那 ab 的 长度是二，它就是三等分点。所以第一种情况呢，就是这个 ac 的 长度啊，就是三分之二。 第二种情况呢，就是 a c 的 长度啊，就是三分之四。那么 a c 的 长度，我们就用 c 点的坐标减去， a 点的坐标就是负一减去 m 加一就等于负 m， 所以 第一种情况就是负 m 等于三分之二，那 m 就 等于负三分之二，第二种情况就是负 m 等于三分之四，这样的话，第二我们就给他求出来了。第三问，不论 x 为何值，总有 y 大 于 y 二，这个函数值的比大小，它是在两个函数上面。那么处理这种问题呢？我们比较通用的方法就是给它做差， 让 y 一 减 y 大 于零，它的意思就说，不论 x 为何值，这个 y 一 减 y 一定会大于零。 y 一 减 y 是 什么东西？我们把它减一下，那 y 一 减 y 就 等于 mx 加上 m 减去，这个就是加上 x 减 m， 括号的平方减一，那就等于 x 平方减二， mx 加 mx 就 等于减 mx 加 m， 平方加 m 减一， 这个东西他永远要大于零，也就恒大于零。这个函数值，无论 x 取什么，他都要恒大于零的话，那我只要让他的最小值大于零就可以了，而他的最小值，因为他对 x 没有任何限制，所以他的最小值开口向上求最小值，直接套公式就四， a 分 之四， a c 减 b 的 平方，他应该要大于零， 那么上面把它处理一下，这个四就两边同时乘以四了，上面就变成了三 m 的 平方加四， m 减四，它要大于零，那我们给它十字相乘一下，三 m m 二二负的三平方负四六减二四，所以就相当于是三 m 减二乘以 m 加二要大于零， 这样的话我们就可以给它解出来， m 就是 大于三分之二或 m 小 于负二，这是一种比较快速，比较通用的方法，而且它在这里面没有限制你 x 的 范围，也没有限制你 m 的 范围，对吧？所以求它最小值比较方便。当然你也可以用竖心结合方法也可以。 实际上这条直线一定要比这个二次函数的值大，那你想象一下，我假设先画 m 大 于零的时候，它开口向下，它一定要比它大， 那就说明这个直线和这个二次函数不能有交点，是不是只要它没有交点，那一次函数就一定会比它大？所以同样的，你还可以把它连累之后啊，让得它小于零，也可以把它给算出来，它只要 这种图形满足得它小于零的时候，那它就不会有交点，它不会有交点，那它一次函数就永远会比它大。那这种时候也是一样的，这种时候让它两个图像不能相交，只要它没有交点，那么 y 一 永远就会大一些，而且计算量也不是很大。 二十七题尺规作图的题目告诉你，在直角坐标系中， p 点坐标是零四。第一问呢，是做一个圆 o 一， 使得圆 o 一 过点， p 切与 x o 相切，那么过这个点又与 x o 相切呢？这两个条件没有办法把这个圆确定下来，所以我们画法呢，也有非常多种，那比较常见的呢，直接让 p 点和这个圆点同时切在这两个位置，那这样的话，这个圆是满足题目要求的， 也可以让这样的一个圆与 p 点相切，然后与 x o 切点在这里，这样画的话，也是满足题目要求的。或者呢，我把 p q 一 连 做一条 p q 的 垂直平分线，然后呢，过 q 点呢，再往上做一条垂线，让它交于这个 o e 点，我以 o e 为圆心，以 o e q 为半径，画一个圆，那这样的话，它也符合题目要求，所以第一问的画法比较多。第二个，如图二，直线 l 过点零六，且与 y 轴垂直， 求作一个圆 o 二，使得圆 o 二过点 p， 且与 x 轴直线 l 都相切，就是要与这条直线相切，也要与 x 轴相切，还要过 p 点， 那么你要与这两条平行的线都相切的话，实际上它的半径啊，就确定了它的半径，因为你要到，就你原先要到 l 的 距离和到这个 x 的 距离要相等，那么半径就相当于是等于三。所以实际上它的圆心啊， 它的圆心就在这样的一条线上，圆心在这样一条线上，还要经过 p 点，所以呢，就相当于是 p 点到圆心的距离啊， 假设这是 o 二，它就应该等于三，就这一段等于三的话，那我接下来我们接下来首位做就比较容易了。第一个呢，是我可以做这个零和六的这个中点， 做一条平行线，把这个圆心的这个位置给它，用这条直线确定一下。另外呢，再以 p 为圆心，三为半径跟这条直线，假如这条直线就叫 l 二吧，相交于这个 o 二，那么以 o 二为圆心，以这个 o 二 p 为半径，画一个圆，它就满足题目要求，对不对？同样的，你在这边画一个也是可以的，画一撇，这样的话 这个圆 o 二就画出来了。第二问，是说满足一中条件的圆的圆心坐标，那你看要求这个点的坐标，这刚才我们说了，这个是中点，对不对？所以它的纵坐标呢，很简单，就是三，那么它的横坐标呢？这里它的半径是三，这里是三，对不对？那么这段也是三，这段是四，所以这段就是一，那么这段就是九减一八，两倍根号二，所以它就是两倍根号二三， 那么这边呢，就是负两倍根号二三。那这这个题目的评分标准是，你写一个写两个，只要不写错都可以拿两分。第三问， 直线 o 过零六 o 与 y 轴的夹角为 alpha， 做一个圆 o 三，使得圆 o 三过点 p， 且与 x o 直线 o 都相切，那么要与这个 l 相切，又要与 x o 相切，所以它这个圆心啊，肯定会在这个角平分线上，我们把它延长之后做它的角平分线，那么假设这个是 l 二。好了，做完角平分线之后，圆心肯定就在 l 二上， 然后我们根据这个位四啊，我们也可以把 o 三的这个圆心的位置给它确定出来，可以做一个圆 o 一， 与小的两边相切，然后把 ap 给它连起来，与这个小圆交于 b、 c 两点，然后分别做 p o 三平行于这个 o e、 c 和 p o 三平行于这个 b o e， 这样的话 o 三的位置我们就可以给它确定出来， 那这样的话，在做这上面这一问的使规做图的时候，对于下面这一问的答案也会有一个比较好的清晰的认识。我们来看一下它下面一问，它说圆心的位置一定有两个，你在画这个图， 那么就阿尔法特别小，这个焦点呢，就会特别靠近 o 点，特别靠近 o 点之后呢，你做一个角平行线，然后画一个这个与这个角的两边相切的圆，然后把这个 a p 连起来，之后呢交于这两个点，然后再分别做这两条平行线，你会发现这个两个 o 三都会在第一象限，它不仅有两个，它还会在角度特别小的时候都会在第一象限，所以实际上呢，你会发现这两个一下子都可以通过作图得到。 然后至于第三个呢，你可以让它 alpha 变大一点，实际上就我们这个图，我们这个图 alpha 就是 画的差不多就大于三十度的，那么它有一个圆心 o 三呢，是跑在第二项线，但是它还有一个圆心，它是仍然在这个呃第一项线的，你可以让它 alpha 逐渐的变大， alpha 不 断的变大的过程当中啊，这个 a 点就会无限的靠近这里， a 点无限的靠近这里之后啊，你会发现这个 p o 三它要平行于 o e c， 这个 o e c 的 角度就不断的会这样倾斜，然后你过 p 点做这个 p o 三平行于它，这个 o 三就会相当于不断的往这样的一个挪动的这个位置，所以这个呢是错误的，它有一个是在 d 相线，有一个是在这个 d 三相线，那么最后一个就是当 r 等于三十度的时候，让你求圆形的坐标等于三十度啊，这个是三十度， 那么这个就是三十度，这个就是六十度，那角平分线就是三十度。角平分线是三十度的话，我们刚才怎么确定圆形的位置？第一个就是它在角平分线上，在角平分线上你这个假角又是三十度，我就可以把这条角平分线的这个直线的解析式给它求出来，那么它就是 y 等于三分之根号三， x 加上二， 这个比较容易求出来，然后同时再根据这个 o 三到 p 点的距离和 o 三到 x 轴的距离，它应该相等，那么 o 三到 p 点的距离，我们不妨就设设 o 三的坐标为 a 三分之根号三， a 加二，这样的话，它到 p 点的距离就是 a 的 平方，加上三分之根号三， a 加二减四的平方， 他就应该等于他的纵坐标的平方，也就是三分之根号三 a 加二的平方。这样的话，我们把这个方程解出来呢，会发现 a 一 呢就等于零， a 二呢就等于三分之八倍根号三，然后 你带你去验证一下呢，当 a 等于零的时候呢，那 y 就 等于二，当 a 等于三分之八倍根号三的时候呢，那 y 就 等于三分之十四，所以这个 d 选项呢，他也是正确的。 这当中除了最后一个需要计算一下其余的三个，其实你可以通过画图的形式大致就可以把它给判断出来了，那我们用图形的形式来演示一下，开始的时候阿法在零到三十度的时候，那么他是有两个的对不对？一个是圆 a， 还有一个是这个圆，那么 他都在第一象限。他是有两个的，都在第一象限随着阿法变大。你看这个圆 a， 他 慢慢的，慢慢的，慢慢的，慢慢的会跑到这个第二象限，但是上面右边的那个圆还在那里，随着他不断的变大，不断的变大，不断的变大，这是他的大致的一个运动情况。

读完初三二模数学卷，同学们是不是又难哭了？三年数学白干！今天严老师从哼到拉，对每个题进行排序，看看你现在到哪个水平了？好，我们现在挨个来看。首先，我已经把选择题填空题部分给搞上去了， 我们拉的部分就不说完了，我们从先往后捋一捋稍微有一点困难的部分，你看你有没有在这个选择题部分给他跳进去啊，有没有跳进陷阱里头去？ ok， 我 们先看第四题。 第四题，这个题考了一个三角形的三边关系，有同学说这题我没想到在这第四题出现一个比较麻烦的位置，我给到他一个人上人的位置。 接下来我们看第五题。第五题涉及到一个分式运算，我们有同学一遇到这种分式运算，我的妈呀，不会算，感觉太困难了，不知道如何下手。所以第五题有同学可能在这里犯错误，搞不出来。好，我们再往下去看第八题。 第八题是一个勾股定律的计算，或者有同学知道角平分线性质的话，很很快出单，如果不知道你勾股定律，也能列方程把它搞出来。 但是在这个几何题，有同学一看到就搞不出来，所以在这里我给到他一个人上人位置。朋友们，虽然说选择题他感觉没那么快，但他人上人位置。来，我们接下来看第十一题。 十一题是一个量角器问题，考法比较新颖，但是本质上你如果能看懂题的话，这题是超级简单的。朋友们，只要你能把坐标搞出来。 ok， 这题能做出来。所以十一题 虽然不是拉完了，但是仅仅能达到一个 n p c 的 水平，你应该能把这个搞出来。大部分同学来，我们看十二题，十二题这个题我觉得 你想把它做出来或者证明出来是比较困难的，但是你如果说想蒙答案，蒙出来是非常容易的，我觉得大部分同学都是 能蒙对的，但是在这有同学可能不敢蒙，所以我给他一个顶级的位置，你能做出来或者蒙出来都堪称顶级。好，我们接下来看填空题，填空题前两个说真的，十三十四拉完了，只要说你能做出来， ok， 他 就能， 应该不会错吧。来看十五题，十五题是一个角度问题，我是用方程组的思想去解决的， 当然这个题他不属于特别难，只要说你耐心思考，那段时间你会商圆，你能找见里面关系，十五题就能搞出来。所以十五题给到他一个人上人位置，这样能做出来，你是堪称人上人。 好，我们再看十六题，十六题在这按理说是一个非常吭的级别，但是他到不了。为什么？因为十六题这个 图形给的太明显了，他就是一个一线三等角模型，或者同样像 k 自己模型，一线三垂直模型，如果你能理解他，找两个端点去求数，只要说你计算不错，肯定能搞出来，所以这题撑死给到一个顶级水平，也就是说目前省的填空没有出现特别难的吭的位置， 大部分你是靠算或者靠你蒙，是能把它蒙对的，所以在这个人感觉难度不会特别大。也就是说到现在为止，如果你做完选择填空，个人保守啊哈，我做选填充花了十五分钟时间，如果说你正常做完选填充，你如果感觉到四十分钟了，朋友们，你就前面做的太慢了。 因为选填充不难，所以后面大体一定是有难度的。朋友们啊，前后难度其实是 合起来可以打到一个比较难的地方，是不是？好，我们接下来看大题，大题前几个你会做的非常非常顺手，当你做前面非常顺手的时候， ok， 那 你会发现后面题一定是特别难的，你就揪点心吧。所以遇到简单题要做的是 稍微的快那么一点点，是不是让我们往后接着去填啊？十七题整个计算，我给到一个拉完了的位置，因为它太简单了。如果说你十七题错了，朋友们，不好意思，你的计算要好好的去看一看才行。同理，十八题，我们翻到十八题， 整体整个题目给到一个拉完的位置，因为他也就是个单纯的计算，如果你这样的计算，你同学说我最后科学计算不对，那你为什么算不对？加减乘除以上难的只要看题是不可以了， 所以十八题也是给到一个拉完的位置，甚至朋友们，十九题也整体给到一个拉完了的位置，因为他本身到不了难的地方。有同学说我十九题做的时候低了，那那那那，那个概率还能为零嘞， 那为什么不可以？你耐心读题，他不可能发生的话，是不是概率就为零？你同学可能在这可能会陷进去，但是这不属于难题部分，明白了吗？朋友们，包括第二本，只要说你认真的画树状图或者列表，你是错不了的， ok， 所以 前三个大题简直是送分题。 好，我们接下来看第二十题，从二十题开始，说真的，我觉得同学就开始逐渐的进入一个崩溃的位置， 什么玩意啊，你就给我个正常数不行吗？虽然这个背景大家都知道，公园里面都有，就那个，就，就那个，就那健身器材是不是？但是把它放到生活实际中 掺和了一些数，甚至说掺和了一些角度，什么四十二度，什么五十三度，有同学就感觉这数算起来太难算了，所以这题不是难，难在意什么？难在意他算不出来这个数。有同学计算一到这就卡住了， 理解这意思吧。所以我们现在看二十题，如果说二十题第一问你能搞出来，朋友们 给他一个 n p c， 他 思路超级简单，我觉得在大家练了很长的三角函数题目之后，这个题不属于难题，但是你在这可能会卡进去，明白意思吗？ 但是第二问就涉及到一点点思路，涉及到思路的话，可能就会有一点点困难，所以如果说你第二问这个角度搞出来了， ok， 给到你一个人上人的位置， 二十题第二问。所以二十题开始还是有一点点难度的。好，从二十一题开始就开始逐渐的变难，但是大家慢慢去想，我接下来给位置的时候，会发现， 每个题的第一问他都有简单地方，所以每个大题第一问你都是能保守做出来的，朋友们理解这意思吧。好，现在咱们看二十一题第一问就是求两个超级简单解决事，我把二十题的二十一题的第一问给到一个拉完的位置，你做不出来这个题，咱 三年数学白干是不是？三年数学白学好？第二问开始就逐渐变得，因为涉及到思路，涉及到计算机，同学就感觉说，啊，这是什么呀？我怎么 不会呀？好，我先说二十一题的括号二，是仿照前几年一个中考题来做的，这个题至少有六七年的历史了，所以大家现在一定要把六七年前的知识点拿出来，再翻来覆去的去练一练，很多时候 考题会循环去考，考多年以前呢，是非常非常有可能的，明白意思吗？所以第二问的二十一题括号二的圈一 给到一个人上人的位置，因为它本身确实有那么一点点的难度 啊，是到计算上比较难，但是思路上还是比较紧的，你只要能把坐标写出来就可以了。然后我们接着来看圈二圈二，说真的，二十一题 第二问的圈，按理说有同学在这可能想了好久，什么动点位置在这个范围之内，讲道理，这个题不难，他你可以先把那个对称完，那个点求出来，然后放到那个范围里头就行了，这样你做起来就会方便很多。 但是有同学说，什么玩意对称呢？我不了解。那你可以适当的话去接触一下这些类型题，你就会变得非常的简单，感觉对他来说，所以这题称不上哈，称死是个顶级，明白了吗？ 好，接下来的话我们来看二十二题。个人感觉二十二题这个提出的相当的没水平， 整个题分了好几问，他说了一问两问，但我把后面这是加上三问四问，整体感觉这个题难度不大啊，你就是你耐心去读题，你对四边形有一点点基础，你能把数算出来，你会倒三十度，六十度关系这题二十二题九分，你是可以拿满分的，所以这个题 难度不大，朋友们理解这意思吧，你正常去看，耐心去做题就行了。来，我给他二十二题的第一问，朋友们，你如果说不会正，这个你就拉完了，然后第二问你也就拉完了。 所以底下我把这当成三问和四问。第三问，尺规作图以及求一个数。首先，尺规作图你得会那五种，朋友们记得吧， 五种尺规作图至少要会四种，哪四种？咱在这不说啊，但是你心里应该明白，以及求 x 需要涉及到特殊角度，你得把它搞出来，你搞不出来，你这个挺就白费了。理解这意思吧。所以我们来看 这里的话，这个第三个我给他一个 n p c 的 位置，他称不上难题，朋友们理解吧，但是你值得去做 啊。来第四本这个拓展，我给到一个拉完的位置，同学说，那前面你 npc 怎么最后这个二十二题的这个第四个给到拉完位置呢？因为它确实不难，就考到一个矩形的一个对角线相等性质，你如果能看完题， ok， 你 前面不会，后面也能做出来。 所以有的时候难题不一定在后边啊，有可能在中间，如果前后关系没那么大的话，你可以舍去中间去求后边，是不是？ 好，我们接下来看二十三题，从二十三题开始，有同学就开始逐渐接近崩溃，我猜想有很多同学可能写到二十三题的时候还剩余很长很长时间， 尤其对一些成绩比较不错的孩子，从二十三题就开始去抠，就开始去想，就开始不明白怎么回事。说真的，二十三题，二十四题这俩题还是出的相当的难，但是 拿分还是能拿的，你有时间你是能把它抠出来的，所以我们来耐心的话去看一下这俩题能到哪个水平来。二十三题第一问，不用想啊，给到你个 npc 的 位置， 求个解析式，简单包括说你求完第一，哎，第一问的圈一，不好意思，第一问圈一，你求解析事还是非常容易的，但这题分值给的不高。然后我们去看二十三题的圈二， 二十三题圈二的话就是简简单单的话解一个方程，但这方程的话不好解，尤其最后带根号，他说什么玩意啊，怎么就怎么就带根号了。所以把二十三题的 第一问的这个圈给到一个人上人的位置，你能把这求出来，说真的已经超级厉害了，尤其你在有些同学时间不够到这的时候感觉，哇塞，我在时间紧张情况下能把这个数算出来，太厉害了，理解这意思吧。所以我们接下来看二十三题的第二问，就是括号。朋友们， 当你判断 a 等于 km 是 否永远成立的时候，什么玩意啊，本来两个字母就够用的，结果这里面出现了三个字母，这里面是一道一个销源，是一道联系的事，所以还是一道因式分解的事。朋友们，你慢慢去练，是能把它练出来，但是这题可能也在 从这开始就看不懂了，所以你能把这个括号整出来，你就非常的顶级，但是到不了行啊，因为这个思路你有大部分同学都是能搞出来的，我觉得，所以他撑死给到一个顶级，但是到不了行。但是第三问，朋友们， 你在括号的基础上去做题啊，你想求 a n 长度，或者说你想求最后这个范围，说真的，这四分不好拿，你能把这四分拿出来，第一你前面做完了，第二你前面思路完全理解了，而且你能处理这么多字母，你跟我一样厉害，你是能把二十三题的最后两问就 括号三的最后两小问做出来的，所以在这你能把它搞出来，朋友们，你简直是憨爆了。所以二十三题的括号三，不论圈一还是圈二，你能搞出来，全都憨爆了，尤其到这个位置，太厉害了。 那二十三题整体难度还是不小的。我们最后来看二十四题，二十四题这个几何题，这个动元问题是 现在考试中，你说有一个洞点，还好这里出现两个洞点，这两个洞点还在其中，有一还在来回动， 而且这个圆还在变大，还在跟这个四边形去找一些关系，这里面整个图像你要把它想明白才行，所以这个题整体思路还是挺难的，但是 前两位也是能送你点分的。如果说你第一问没有把角度求出来，没有把 t 等于五的时候，这个 m 搞出来，你就拉完了。朋友们，所以二十四题的前面的括号一这三分也是送你的，但是括号二开始， 比如说求 m 的 最大值，有同学就说，哇塞，我怎么不知道这个第，我把第二个都拆开了哈， 我拆开求 m n 把这圈圈一，这个还是非常好搞的， m n 最大值，大家能想出来它怎么运动，有同样是能把它搞出来的，所以这个乘除给到 n p c， 但是前提你要能看题，把题看进去，能看懂是不是才可以？ 好，那第二问，这个球落在里面的面积，我天呐，这就比较难算了，不光是思路难算，而且里面涉及到一些计算带根号的，我印象中好像有根号三十七，你算起来就比较麻烦，所以这就堪称顶级了。朋友们，就是我给到二十四题 的括号，二个圈，给一个顶级的位置，你能把面积搞出来就相当厉害了。来看第三问， 第三个说半圆与它相切，首先你考虑两种情况，因为整个运动过程中分两波， m 往那边的时候和 m 回来的时候两波，这两波中都有可能是相切的，所以能想到两种情况，以及把两种情况图自己画出来，再把两种情况的里面这个结果给算出来，你能把它这搞出来， ok， 你 就憨爆了。所以 朋友们，这个位置必须要给他耗，二十四题的第三问，第三问都耗了，第四问别说在里头了啊，你想把第四问在里边的闲肠不便做出来，你必须对整个过程是有所了解，而且你必须对前面的数算的是非常清楚的，你才能搞出来。 所以二十四题的第四问，咱给到一个好爆了的位置，那么到现在为止的话，我们已经对每个题的位置已经有了排序，朋友们， 请给我一点点时间，我把分值写上去，我们接下来揭晓一下大家到底能到哪个水平。 好，朋友们，我已经算完分数了，我们整体来看的话，能达到夯的分制有十分，有时候你能考到一百一十分的话，简直夯爆了，你太厉害了。这次二模考试，所以你看你有没有到这个位置， 这个分数应该比一模的时候稍微高一点点，因为超级大难题没有那么多理解这意思吧，但是你想考到这个分数还是非常不容易的，所以这次考高分的同学依然不会特别多啊，想这个事哈，来，我们接下来看，达到顶级的话， 顶级题目有十三分，能达到九十七分， ok， 你 的基础是非常没问题的，你只不过说解决这些超级大难题以及有非常有 值得思考的题是有点困难。所以如果说朋友们你考到九十七分，放心吧，你的基础超级厉害，以及你的做题速度应该没什么问题，你接下来就是需要更多的话去练一些难题，练一些大题，同时复习一些压轴题是不可以了， 但是不要忽略了什么一些对基础题的一些正确率理解这意思吧。所以九十七分的同学已经非常厉害了， 那我们接下来看，你能考到八十分以上，说明咱也达到人上人水平，基础也是没问题，但是接下来可能要注意什么，第一要速度，第二是不是准确度，应该把这些能扣出来的，适当的话去扣一扣，你发现每多扣一个题，其实多三分，每多扣一题多三分，我们 整个罗列下来，是不是几乎每个题都是三分，两分，两分、四分，平均下来是每个题都是三分，所以你到这个水平应该多多努力去把这些能扣出来，尽量多扣出来，顺势的话 提高一下速度是不会更好。好，接下来我们看，如果说你能考到六十一分， ok， 朋友们，那只能说咱有很大的欠缺，有些 该拿出来的题就没有做出来，你要加倍努力才可以。明白这意思吗？好，那六十一分底下的同学，不好意思，咱这次考试拉完了， 希望你能在接下来的不到一个月时间之内，耐心的话去整理一些基础题，去复习这些题，避开这些陷阱， ok， 你 的成绩会逐渐的往上去提升。 以上的话就是对整个二模数学里面的一个总结，整体来看，这张试卷难度还是有的，但是基础题占比比较大，难题占比是比较小，这个难题就属于哪种啊？属于是你想把它全部搞出来是非常困难的， 他确实有难度，但是你想考一个不错的分数也是可以的。这我觉得就是中考的一个方向，注意，我说是方向而不是难度。中考方向就是说有些超级大难题，大家可能说确实不好把它搞出来， 但是对一些中等同学，或者说中等往上同学，我能保证我一些题目的一些正确率，我能达到一个一百分左右的水平是没问题的，明白意思吗？在这个基础上，你多扣一点分数上去，你就更厉害一点，你就更好一点点，明白意思吗？好，现在的话，我们距离中考还有 不到一个月时间，考试永远不代表最后中考成绩。我们每次考试不是说为了证明自己有多厉害，或者自己有多菜，我们是为了找见自己目前的不足调整加了一个复习方向，明白意思吗？ 朋友们，中考加油，你一定可以成功的，我们下期再见，点关注呗。

大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。

刚刚做完海天按摩的试卷，现在呢和大家去分析一下海天按摩的总体情况，也会通过丢分点以及题目的变化和孩子之后该如何备考三个角度呢？和大家一起分享一下在按摩之后咱们该干些什么。 首先按摩的这套卷子呢，它出的是非常的好的，学生做起来一定是有很大的难度的。 在考试之前，咱们就已经和很多学生说了，海淀的一模会模仿去年的中考，海淀的二模会有很多创新。 果不其然，在这一次考试当中，有很多题确实出乎了我们的意料，当然也有不少题也是在咱们 意料之内的。这里呢，大家也可以去看咱们前面发布的一些视频，大家就会有更多的收获，可能也能有更多的感受好这套卷子呢，前面的基础题啊，一到七对于大家来说应该都没有任何的问题，主要是第八题， 嗯，可能很多学生呢依旧在准备反比例函数呃的分析问题啊，但是呢，这次考的是一个一次函数， 总体上来说呢，它的难度还是比较大的。第一个选项大家做起来会非常好判断，第二个，第三个的难点是在于，现在北京很多的孩子不太善于在这个平面直角坐标系的函数 以及几何结合去表示相关的量，导致大家在做题的时候呢，不太好判断第二个选项和第三个选项，那这样的话，这道题就不太好拿分，当然他作为选择题依旧是 能蒙对的，这个呢，咱们还是要稍微注意的，对吧？很多学生呢，是有这样的一种感觉，他可以通过这个感觉能去蒙对这样的一道题， 我觉得这个没有任何的问题，所以第八题呢，你丢两分，或者说你不丢分，都在情理之中。从第九题一直到第十六题啊，没有什么问题。十 六题的第二问呢，大家在考试的时候依旧可以放弃，不是说这道题有多难，而是说这道题咱们在做题的过程当中比较耗费时间，这一分他不值得， 就是正常往后翻的话，十七、十八、十九，二十题非常基础啊，这道题没有任何的设计，二十一题非常基础。这道题咱们在之前呢就已经和大家分享了。呃，在 考试之前，我和我在平台上发布了一些视频，我说就是今年应用题，小函数啊，以及咱们的 填写有一些小题，包括后面的一些大题，可能会发生变化。果不其然，在这一次海淀的二模当中，我们会发现应用题呢，再次回归到了文字类应用题的二元一次方程，对吧？不过这道题比较简单。 小函数这道题呢，虽然说有变化啊，但是大家已经经受了咱们，嗯，这个二十六题构造新函数的锤炼。所以这道题对于大家来说呢，没有任何的问题， 哪比我们之前考那种大小呀，旋转的逻辑啊，要简单一点，所以说这些题目呢，没有任何的问题。好。二十三题，这道题啊，我觉得对于中懂或中懂偏下的学生来说是不太友好的，他的阅读量越来越大，那么这个二十三题， 海淀在一模以及二模考试的内容是一模一样的，都考到了中位数以及平均数这两个东西，这个呢，大家稍微的注意一下啊，海淀的一二模考的都是这个东西， 一模考了，二模也考了，那么在这道题呢，第三小问考的就是中位数排名的问题， 这个也是咱们在上课的时候重点强调的一个东西。那第四题呢，考的就是一个平均数的计算问题，难度不大，就看大家有没有细心，有没有耐心去把这道题理解起来，然后并去解答 好二十四题的原综呀。这道题我觉得出的比较简单，因为它应该是九年级上册。 呃，我们考圆的一个难度啊，就是把这个阿尔法替换成三十度，大家去看一下，翻一翻你九年级上册，一个是四十五度，一个是三十度，这样的一个斜三角形，让你去求这个 b d 的 长那，只不过我们学过了三角函数，可以使用更多的角度了， 把这其中的一个三十度替换中的阿尔法就是这样的一个难度。所以这道原宗呀，你说如果你没做出来，那大家一定要小心。在接下来，不论是你学校的三模，还是我们所说的中考模拟，甚至中考，你的原宗会比较危险，因为这一道题说句实话是非常基础的， 如果说这道题没做出来，那我们的原是有很大问题的。二十五题，海淀的二十五题依旧是王者。这道题海淀的创新度是非常高的，每一道题他的思路完全不一样，而且他的设计都很新颖，然后设陷阱设计的也非常巧妙。 嗯，这里面有一个东西，叫做共计三十万的前期支出，就这么一句话，就有很多孩子们在做题的时候容易忽略掉这个问题，所以这道题的这一位 大家就容易出错啊。这道题的第一问，这一问很多学生看图容易写一个五，对吧？这个五为什么就是忘记了前面的这个三十万，对吧？这个很 很好理解。好，接下来就是我们所说的啊，这个第三问呀，这个时候很多人都读不下去了啊，觉得这个好像很难，其实本质上来说就是一个非常基础的一个啊，我们所说的蝇手笔这样的一个问题，非常简单，但大家可能读不下去。 嗯，这个我觉得就是海淀出题的一个魅力啊，就是他能让一些比较简单的题目让大家呃， 做不下去这样的一个状态。我说句实话，只能说明这个题出的很好，对吧？好，二十六题，我觉得非常的牛啊，二十六题非常的牛。在考试之前，我们去参加了海淀的二模调研， 调研的时候老师就说了，就是会不会换题不好讲，所以海淀在这一次按摩当中，他没有继续考察新函数，我觉得这个呢是非常合理的， 我们对于中考的一个合理的猜测，中考一定会考新函数吗？不是，很多学生呢，或者说很多家长呢，都会说，我们这个二次函数到底该怎么备考？各位，二次函数的备考，你只要准备好两个内容就好了。第一个就是原来的图像的性质，你要去分析的是图 图像的性质，函数的性质，不论是原函数还是新函数，你要分析的是性质。第二个你要学会，你要让孩子去干嘛呢？去分析参与数之间的关系，这个呢就是我们数学中的分类思想。 在阿尔摩之前，我们最后一次课啊，在周六的时候，周日的时候，我们和学生重点强调过二次函数，你的脑子里要有某一段区域，或者说某一个区间它的图像的样子， 你要去感受这个区间图像的变化的特点以及它的性质。你要会分析他们这里边两个端点，以及在这里边会出现量以及参数，以及数字之间的关系，这个才是重点。 不论是我们所说的一八年、一九年，还是二二年、二三年、二四年，乃至二五年，以及今年出现的函数，考察的都是这些。北京的二次函数考的是那种简单上档次，然后呢就注重性质这些东西 啊，他注重的是学生的一个思维，不会像外地一样注重一些计算，所以这一点大家一定要注意。二参数，你如何去分类这四种情况？为什么这么分？他是最重要的。好，这是戴宗。呃，己宗呢？我说句实话呢，有点 不太好。为什么不太好呢？因为二零二五年的海淀二模也是海淀二模，考的思路和今年的思路完全一样， 对吧？我们在备战海淀，今年海淀二模的时候，你应该靠几个方向呢？第一个你一定要去刷去年海淀二模的卷子，第二个是去年中考的卷子，对吧？这两套卷子一定要刷，如果说你真的刷理解了，弄清楚了，那这道题你真的是可以秒掉的 啊。还好我就是在上课的时候，我们也强调过，那新定义呢？咱们在这里边呢就不做过多的分析了，对于孩子来说呢，大部分学生应该也没有太多的时间去呃，解答他了，对吧？ 这是我们所说的啊，丢分点。那么对于这次海淀二模，孩子大概考八多少分，我觉得就是比较不错的成绩了，八十三级以上， 如果孩子能考八十五分啊，我觉得就是挺优秀的了，八十五分对吧？我们的平时成绩也是 a 吗？如果说孩子能上九十的话，那绝对是牛的， 所以大家一定要合理的看待这一次分数，因为这套卷子呢，他确实很难啊，这是第一个， 第二个，这里面的一些变化，在这里面做题，对于大家而言，我们能感受到最明显的几个变化。第一个就是选择题的第八题，从 反比例函数考察了我们所说的依次函数和图像的一个结合问题，对吧？不论是反比例还是依次函数，大家注意了，你表，你去设这个 坐标，然后表示其中的这个量，它是我们这道题的核心与关键，只能说一个东西，一定要注意啊，这个存在性问题啊，他现在成了我们选择题第八题的一个小的方向和主流了。 第二个呢，我们的变化比较大的就是这个应用题和一模以及中考出现了一些小的变化，但这个呢，是情理之中的。第三个呢，就是小函数这个问题，可能很多学生做的时候哎，会能感受到他这个变化还是比较明显的，对吧？ 第四个，也就是我们这一套卷子里边变化最大的一个题，也就是第二十六题，我只能说这道题出的确实很好，对吧？给大家呢， 进一步的带来了一个中考的危机感，就是二十六题到底考什么，现在没有人会知道，那我们接下来该如何备考呢？各位同学，我们要理解一件事情啊，就是你要弄清楚，拉开分数的差距的核心一定是终极题， 就是你想和别的学生拉开差距，或者说不和，不被其他的优秀的学生拉开差距。你要做好的是中档题和基础题， 这套卷子对于绝大多数而言，换句话来说，百分之九十九十五的学生而言，对吧？我觉得这个，嗯，从二十五题集齐， 呃，之前你的丢分如果能控制在三分啊，再或者五分左右，那这套卷子你做的就是很好的了 啊，三分到五分，所以决定你成败的是二十五题以前啊，正常情况下呢，你就丢三分啊，或者说其实应该只丢一分的， 其实应该就只丢一分了，你如果能做到只丢一分，那就很牛了，丢到三到五分，那你就很好了，对吧？那你会发现，从二十六题这道题，绝大多数其实第二份呢，都是不太能做的了， 对吧？二十七题很多学生也是反馈不太能做的，二十八题也是大家不太能做的，所以你不你不能被拉分的点就是前面的小题，后面的大题，它决定的 东西没有想象中的那么多，所以在后续的考试过程或后续的备考过程当中，大家呢，一定要注意了啊，多刷基础。还像我们之前给在视频当中给大家分享的一样，每周两套基础卷 啊，就是一到二十五刷，反复的刷，反复的刷，你想突破九十，那你这个三大综合元旦级，你就要做对两道题 对吧？自己要有目标有方向的去学习，不要什么都抓，又学带宗又学几宗，对吧？觉得自己好像都能解决，结果一到考试发现带宗没有解决，几宗也没有解决，出现了一个非常严重的问题。 好吧，这个呢，也就是二零二六年海豚按摩的一个分析，希望呢能帮助到大家。最后呢，再和大家说一下啊， 一定要稳住心态，这次考试呢，他考不好其实对于我们来说也是有好处的，因为大家能感受到我们的卷子的一些变化，对于我们中考的心态而言有更加有利的影响。 最后呢，也希望大家能在最后的这段时间好好备考中考，考出更好的成绩。

大家好，今天我们一起来学习呃，就我们刚考完的房山二摩呃，里面的带宗题，然后第一问的话我们就不讲了啊，就直接把这个一对负一带进去，然后还有一个负的二分之 b 等于一带进去去解 a 和 b， 那 这个我们解出来的是 y 等于 x 方解二 x， 因为第一个里面它没有附加条件，所以第二个我们在遇到抛线的时候，依然是用这个 y 等于 x 方解二 x 啊，那我们主要来看一下第二本， 要么有的孩子把题读完之后，好多都一看哇，后面的这个条件感觉是没有见过或说比较复杂的时候，就不往下写了，他这里面是有步骤分的啊。所以我们在我们的这个能力范围内，我们能写多少啊就写多少。比如说 o m x 轴的垂线交抛线于点 p， 交直线于点 q。 那 这一问很简单啊，所以这个因为点 m 呢是 m， 逗号零，所以点 p 和点 q， 它的横坐标，我们做的是 x 的 垂线，它的横坐标都是谁啊？ m 啊，跟 m 的 横坐标是一样的， 点 p 呢，它在抛线上，我们把这个带到抛线里面，得到 m 方减二 m 又呢，在一次函数里面，在直线里面，我们把它带到这里面，就是 二 k 减二倍的 m。 那 接下来呢？他会问我们这些是条件，他说总有另一个与之不相等的 m 值，使得对应线段 p q 长度相等啊。我们说在读这种题的时候，它如果出现了线段，或者说 p q 不 重合，那我们就要记住 p q 它是不能等于零的啊。那接下来呢，我们去求一下线段 p q 的 值，让这两个纵坐标相减， 加上绝对值，是吧？因为我们不知道它两坐标谁大谁小，我们减出来之后，它等于 m 方减二 m k 的 绝对值啊，对，当我们写到这一步的时候，都能再多拿一两份了啊， 所以说不是说不会的，就不能一笔不动，能写多少写多少啊。好，接下来我们来看一下，我们要去画这个星函数的图像，星函数图像的话，我们要令 p q 等于零，就求一下它横轴的两个焦点的坐标，算出来， m 一 等于零， m 二应该等于二 k 啊，然后还有个对称轴呢，是 k。 好， 接下来我们要去画图， 数字表示 p q 零，那因为 k 是 大于零，嗯，大于负小于零的它交于零，那另外一个二 k 呢？它一定是负的，是吧？所以我们的图像呢，要这么去画， 这是它的对称轴， k， 这是二 k。 那 接下来我们去分析条件啊，还是还有一个 p q 不 冲突，当 m 大 于 k 小 于 k 加 e 的 时候，对于任意一个 m， 总有另一个与之不相等的 m 值，对于任意一个 m 就是 大于 k， 哎，也就是在这一段往后，是吧？比如说 m 在 占的时候，它这边一定会有一个 m 值相等，这个 p q 的 值是相等的，在占的时候，这边它也有一个，是吧？对于任意的值啊， m 在 这个区间内取任意数的时候，他都成立，所以我们要满足。当这个，当 m 等于 k 和 k 加一的时候，他的两个总坐标相等的时候，哎，我们取任意的一个他都满足，所以我们这个时候，我们分析完这个，我们就令当 m 等于 k 的 时候，还有 m 等于 k 加一的时候，我们算出来 p q 的 值， m 等于 k 的 时候，我们算出来是 k 方减二， k 方把它带进去就是 k 方减二， k 方，嗯，就是负 k 方的绝对值，负 k 方的绝对值就等于 k 方，然后上面是 p 啊，这个 当然等于 k 加一的时候，我们算出来是负， k 方加一，嗯，把它带到这个新函数里面啊，那既然说它两个半值相等，我就令这两相等，也就是 k 方等于负的， k 方加一。然后因为题题里面告诉我们， k 大 于负小于零，也就是 k 方呢，它一定是小于一的， k 方小于负， k 方加一呢， k 它就大于零的。所以呢，我们可以得到 k 方等于负， k 方加一，然后解出来， k 呢，等于二， k 方等于一， k 等于二分之一，所以 k 呢，等于负的二分之二我们就解完了啊， 中间有些详细的过程的话，嗯，因为时间的关系，老师就跳过了啊。那课后我们可以自己去补充一下。那今天我们就分享到这里，下期我们再见。学习不用焦虑，一步一步来就好，我是教孩子轻松学数学的小草老师，我们下期再见。

这是江苏地区二模的一道填空压轴题。正方形中，当三角形 c、 p、 d 成为直角三角形时，让我们求角 c、 b、 p 的 正切值。你看，因为这三条线段相等，那么这个蓝角就是一百三十五度了。你可以用圆的思想，也可以这样做，做两条垂线。我们知道橙绿全等， 下面的蓝黄也全等，所以粉角就是四十五度，蓝角就是一百三十五度了。聪明的你还发现了红绿角互余，所以这两个橙色三角形全等。 因为一点是中点，所以 p c 比上 p d 就是 一比二，延长 bp。 我 们很容易知道 p k 是 一条角平分线，所以 c k 比上 d k 就 也是一比二了，那么 c k 比 bc 就是 一比三了。

今天我们来一起学习 二零二六年安阳市中考二模数学试卷，大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们继续的分享，今天我们再来分享一个今天上午刚考的啊， 安阳市的一个中考二模的一个数学卷押注题，有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享给大家啊。这个试卷整体来说比较简单啊，我只分享两道题，第十五题，还有第二十三题啊。 好，我们先看第十五题啊，第十五题是一个，嗯，是一个什么呢？是一个新定义的一道题啊，是一个三角形中的一个新定义一道题啊，这个题我把它归在我整理的压轴题压轴题分类边里面的。呃，这个新定义的一个三角形啊，我们接着找到啊， 好，这里面都是啊，这一类都是啊，当然有需要我整理这个压轴题分的，会编的话也可以私信我吧，私信我，我把这个文档分享给大家啊， 这个地方啊，这个题它没有图啊，需要我们自己去构图啊，好，我们看这个题啊，定义连接三角形啊 的一个顶点，即对边上一点，能将三角形分成两个等腰三角形的线段分啊，叫做双分线啊，双分线 好在 r g 三角形 a b c 中角 c 等于一啊，好，我们先画出来一个三角形啊， a c b 来，比如说这样画出来一个啊，好，现在这个 a c 假设就是一个固定的啊，这个角 c 是 个九十度啊， 这是九十度没问题啊，好，现在啊，要想把它分成什么呢？分成两个啊，两个这个等腰三角形啊，这个时候我们可以，呃，很多时候会想到什么呢？会想到一个三十度、六十度的一个这样三角形，对不对？ 三十度、六十度这样三线，但是这个时候我们通过我们的画图，其实并啊，我们随便先画出来一个图吧，好吧？比如现在先画出来这个啊，好，这个边是一个一啊，他说双分线长度是一个根号二，这个时候我们如果说做出来一个斜边上的一个中线，对不对？可以吧？ 那这个时候是不是就出现了两个什么呢？两个啊，等腰三角形啊，对吧？满足群的要求啊。就说我们其中分类的话，怎么去分类呢？其实是以其中一个等腰三角形进行分类的，因为这个边现在是一个根号二，就这个蓝色的线段是一个根号二， 根号二，那无非有两种情况，当然一个根二肯定不可能是一个等腰三角形两个幺啊。所以说比如 a c 为幺， 第一种情况也是 a c 为幺的话，如果说 a c 为幺的话，如果 a c 为幺，但这个其中是不是我现在画的就不是 a c 为幺，那还有种情况什么呢？还有种情况就是 d c 为幺，对不对？ d c 为幺， 那我们现在先做一下这个 d c 为幺的情况， d c 为幺的话，那么它是根号，那么这个边是不是也是根号，对不对？因为它满足了一个啊，这个时候就出现了这个角，等于这个角，对吧？ 加这个角九十度，这个角加这个角也是九十度，所以下面这个的话也是个等腰线，也是个等腰线，所以我们能知道这个边也是一个根号二， 他让我们求的是 bc 啊，所以说第一个答案是不是出现了，对吧？二倍根二，还有一个一啊，斜边是一个二倍根号二啊，因为一个直角边是一个一，所以说我们可以利用勾股定，就可以求出 bc bc 啊，这就是八减一再开方，是不就是一个 啊？根号七，对不对？第一种情况比较简单，第二种情况怎么去找呢？第二种情况就是我刚说这个以什么呢？以 a c 为幺啊，以 a c 为幺。好，我们看一下这个以 a c 为幺，以 a c 为幺的，一个一个一个一个等腰三角形啊，然后呢？那这个时候的话，嗯，那我们仍然在这个图中去画，好吧， 以 a c 为幺，来，我把这个角 a c 为幺， 当然我仍然是标记这个什么呢？标记这个点 d 啊，好，这个边啊，以 a c 为幺啊， 以 a c 为幺，当然这个啊， a 为顶点，这个肯定是 a 为顶点，不可能是 c 为顶点啊，因为这个边是一个根号二啊，仍然是根号二， a c 为幺，那么这个边是不也是一对吧，这个边也是一啊， 这边是一个等腰三角形啊，这边也是个等腰三角形啊，那么那意味着这个角就等于这个角，这时候我们要找一下角之间的关系啊，因为我们说解一个奇的话，解一到几个奇的话，无非就是边的形，边的这个角键，还有角的这个角键啊， 好一一啊，那么这俩角相等啊，那下面的话，必定必定会出现一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的话，那肯定是一个，这个边也是一个二，对不对？也是一个二啊， 那就意味着这个角等于这个角，对不对？如果我们设这个角的 r 法，这个角就是 r r 这个角是不是也是 r r， 这个时候你会发现啊，三 r 法就等于什么呢？来我们观察一下 a c 为幺，对吧？ a c 为幺没问题啊。 嗯，好像画的这个图不太合理，对不对？画的图不太合理啊？那这样的话，我们说这样的话是不是就分不出来啊？分不出来它是一个什么呢？分不出来啊，那我们重新画下图吧。好吧， 这样的话是不是满啊？我们先说一下这种情况吧，这种情况为什么我把它排除掉了呢？因为，因为很明显是不满足要求的，为什么呢？因为 f 啊，就是 f， 再加上二 f 等于等于九十度啊，所以说这个时候你会发现 f 就 等于三十度， 而三十度的话，这个时候你会发现三十度所在之腰边等于斜边一半，这个边应该是一个二，但是我们现在画出的情况是一加根二，所以这种情况就把它排除了啊，那我们再画一种情况， 另外一种情况，那这个时候我们说这个，呃什么呢？这个线就不可能是这个线了啊，不可能，这个线就是不可能是从直角零点划出一个线，那应该是存什么呢？ a 这个点划出一个线啊， a 这个点划出一个线，对吧？ 就通过我们的一这个一帆去构造啊，这个时候你会发现啊，来先把这个 ab 边先连一下吧。假设就这种情况 仍然是以 a c 为腰啊，就是这个时候以 a 为圆心啊，以 a c 长为半径来做出来一个什么呢？做出来一个圆弧啊，这个时候我们截出来这个边是一个一，这个边是一啊，对吧？这个边是一， 这个边是个一啊，那这个时候我们会发现啊，当然，当然他可能是这种情况，也可能是这种情况，就是我们现在画的是和刚刚情况一样的，所以说我不可能在这边截，那这时候以就以 a， 从 a 来引出一条线，对吧？从 a 来引出一条线， 那这个点就是点 d 啊，这边是一个等腰三角形，这边也是个等腰三角形啊，而这边是一个直角，所以说这边就会发现它是一个等腰直角三角形，所以这个边就是一啊，就这个角是一个四十五度，这个角也是四十五度，那么这边的话就是一个二十二点五度，二十二点五度的一个一个三角形，对吧？ 好，接下来就是解这个三角形就可以了，对不对？那我们解这个 bc 啊，解这个 bc 大家会解吧？嗯，因为这个边就是一个根号二啊，当然这个边是不是也是根号二啊？所以说我们这个时候很轻松可以得到答案，就是一个根号加一啊，所以这个题两个答案根号七啊， 还有一个根号加一啊，对吧？两种情况啊，我们要学习构造，如果说不不合理的话，就要接着把它排除掉啊。 好，接下来我们看这个安阳这个恶魔事件的一个最后一期啊，最后一期其实也是比较简单的啊，也是一道与圆有关的隐形圆一道有关的题啊。好，这个题当然我把它分在，我把它归在什么呢？归在这个定点定长引圆里边啊。 哎，直接找到定点定长引圆啊，这个地方 啊，好，一会看这个题啊，如图一，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于一， a、 d 等杠三。我们先看这个图一啊， a、 b 是 一， a、 d 是 一个根号三，我写的下面啊，根号三，这个图形非常特殊啊，那这个时候就会出现一个特殊角，对不对？一比根号三别有关系。如果把 a、 c 点起来的话，点 e 是 a、 d 边上的一个洞点 a、 d 边上的一个洞点啊，好，连接 c、 e、 c、 e， 这个时候它出现了两次反折啊，第一次反折是这个三角形和这个三角形全等，对不对？第二次它是将这个什么呢？四边形整体分解下来啊，就是这个大的这两个三角形过程。一个大的四边形分解下来啊，好，我们看第一问啊，如图二所示啊，当第一啊，当什么呢 啊？当第一等多的时候， e 恰好落在什么呢？落在 b 四边上啊，这个 e 啊，我们观察下这个图啊， 什么意思呢？什么意思？那也就是说啊，就是说现在这是第一个，第一次翻折，这个三角形和这个三角形，对不对？那么第二次的话，他把这个三角形翻折啊，那其实这这三角形是不是都是全整的，对不对？这三角形都是全整的啊， 好，让我们求什么呢？让我们求啊，第一等多少时候啊？第一等多少？嗯，这个大家会求吧，因为这个角我们就会出现一个三十度角，三十度角，因为这台这三个角都是相等的啊， 三个角的相等的，对不对？让我们求什么呢？让我们求的是 d、 e 的 上啊，好，这个边是一个一啊，这个边，这个边是一个一，那所以说那个 d e 九， d e 九乘多少呢？ d e 啊，是不就应该是一个一来除以一个杠三，对不对？答案就是一个杠三分之一，就是个三分之一杠三啊。好，这是第一问啊，来第二问， 入图啊，入图三啊，当 g p o 恰好落在 bc 边上的时候啊， 刚是一撇落在极细边上啊，那这个时候让我们求什么呢？让我们求 d e 的 长啊，来观察一下，如果我们把 c e 再连一下的话，这个时候你会发现这四个角是不共同平分了。什么呢？四个角共同平分了这个九十度的一个角啊，一二三四四个角都是相等的关系啊， 那这时候仍然是出现了一个解一个三角形，对不对？那么四个角都来平分这个九十度，所以这个角就是二十二点五度啊，来解一个二十二，二十二点五度的一个直角三角形，对不对？这个边是一个一，让我们解第一会解吧。好，我们把这个图形再放大一点啊， 这边出现了一个二十二点五度啊，出现了一个二十二点五度的这个角的话，这个时候大家想到什么呢？是不是构造一个二倍角关系啊？构造一个二倍，构造一个二倍角，对吧？构造一个二倍角，哎，大约是这种情况吧。好吧， 好，这个角是二十二点五，这个是我做出来，在这个，在这个 c d 边上找一点 m 啊，这个边是个 c， 这个边是个 d 啊，这个边是个 e 啊， 这个时候我们会出现这个角也是二十二点五度，对吧？那这个角就是四十五度啊，这个角也是四十五度啊，所以说这边就出现一个等腰这个三角形啊，我们设第一是一个 x 的 话，那么这个边也是 x， 那 么这个边就是根号 x 啊，那么当然这是个等腰三角形，那么这个边是不是也是根号 x， 对 不对？ 所以说啊， x 再加根号 x 就 应该等于一啊，所以 x 就 应该等于一来除以根号加一啊。在分别的话下，那其实是不是就是一个根号减一对不对 也比较简单啊？这是第二问啊，重点来讲下第三问，第三问的话，我们要学会用，学会用什么呢？学会用这个辅助员来解，帮助我们去解决这个问题啊。在 e 存 d 运动到 a 的 过程中啊， 好，在这个 e 的 运动过程中啊，当 a、 d 撇撇，我们看一下这个图啊，这个图啊， a、 d 撇撇 分别取的最大值和最小值的时候，直接写着 d 的 上啊，这个时候要求最值，我们横的时候就要找动点运动 v c， 而这两个点的定点就是什么呢？一个点是 a 啊，另外一个点就是动点， 对不对？ d 撇撇就是圆，那我们这个时候要考虑一下 d 撇撇的一个运动轨迹啊， d 撇运动轨迹什么呢？好，这个时候我们仍然把 c 撇连一下啊，这个时候你会发现这个边就等于什么呢？ c d 撇啊，也等于 c d 啊，所以这个时候你会发现啊， d 撇的轨迹就是一个 c 位圆心啊，对吧？以以一为半径的一个圆上运动啊，那我们可以把这个圆画出来啊， 哎，就在这个图中画好吧， 它就是这么一个圆上面进行运动啊，好，它在这个圆上运动，当然我们，呃， 因为当 c e 啊，这时候我们当起点的话，就是在这个 g 的 位置开始起点啊，当当这个什么呢？ c e 啊，在这的时候，这个时候你可以再进行翻折一次啊， 分的意思，这个时候你会发现变成了，变成一个这么一个直角三角形，对不对？然后呢再将这个四边形啊，再往下面翻折，这个时候你会发现这是一个几度呢？这是一个六十度角，六十度角，然后接下来我再来个一百二十度角，对不对？再来个一百二十度角， 再来个一百二十度角，所以说应该是到了这边这个位置啊，到了这个位置，所以说他的运动轨迹的话，他就是，呃，非常大的一个，虽然说不是一整个圆，但是他是一个非常接近一整个圆啊，就是三分之二的一个圆，对不对？ 好，它大约到了这个位置啊，大约到，大约到这个位置，对不对？这个 d p p 啊，没有问题吧？没有问题啊，因为这个边是一个一百二十度的一个角，接下来再将它，再将它什么呢？再将它啊，分割下来，分割下来没问题吧？ 再再分折啊，那就变成这种情况，好，这时候让我们求什么呢？ a d 撇，取得最大的最小值啊，那么 a d 撇，这就是一个条件，套条件，对不对？我们观察一下， a d 撇， a d 撇，撇取什么呢？取，取，取最大值的时候，那是不是均匀到这个点，对不对？ d d 撇，均匀到这个点啊？ a d 撇啊， a d 撇，撇起于最小值的时候，那就是这个点，好，我们先看这个最小值吧，最小值，当最小值在这的时候啊，这个时候你会发现这是一个什么呢？六十度，一个角，六十度的话，这个时候又出现了四个角相等， 四个角相等，对不对？六十度来除以四，是不是就出现一个十五度角，对吧？十五度角，那就要仍然来解一个什么呢？十五度角的一个三角形，对吧？十五度角，这个边就是一个 d 啊，这边出现了一个十五度角， 我们找到这个角，十五度啊，这个角是一个直角，这个边就是一个 c， 这个边是一个 d 啊，这个边是一个 e 啊，好，如何解十五度角呢？就是，还是一样的一个思路，对吧？我们仍然去构造出来一个什么呢？构造出来一个等腰三角形啊，好，假设做出来一个这个，这个边等于这个边啊， 这个角是五度，这个角也是五度，那么这个角就变成三十度角，对不对？好，我们设仍然设，嗯，仍然求 d 啊，设 d 是 一个 x 的 话，那么这个边就是一个根号三 x 啊，那么这个边就是二 x， 那 么这个边就是也是一个 x 啊，所以说我们就会发现，二 x 加上根号三， x 就 应该等于一啊，所以说 x 就 应该等于几呢？ x 就 等于一个二加根号三分之一啊，是不是就等于啊？哎，二减根三，对不对？二减根三分母，如画一下二减根三啊，这就是求出了第一的差啊，比较简单啊。第二种情况在哪呢？第二种情况，我们仍然在这个图中去画吧。好吧， a d 撇啊， d 撇撇。在这个地方，这个时候你会发现一共旋转多少度呢？一共旋转了 啊，九十度，在啊，因为这边是一个六十度，六十度啊，这边是一个一百二十度，接下来我是不是再旋转一百二十度，是不是应该到这个点了，对不对？是一个二百四十度的一个角啊？嗯，好，二百四十度的话，接下来我把它除以四，对不对？除以四，除以，除以 这个六十度，那这个时候的话是不是异径在这个点对不对？异径在这个点啊，所以说第一次时长度均应该是多少呢？是不？其中告诉我们一个高三对不对？ 比较简单啊，所以这个题有两个答案，杠三，或者说二件杠三啊，关键就是还是要有画图啊，画出来动力运动轨迹的一个图啊。好， 这个试卷整体来说比较简单啊，有需要这个试卷的朋友可以私信下我，把这个分享给大家啊，这个试卷我就分享这么多，如果说对我的分享有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心，谢谢关注，我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。