动态立体几何高三2026届模拟卷子

湖北荆州的高三三月调研考数学卷，难度比武汉三调低，但出了湖北最优的立体几何压轴题，整体难度也控制得更好，更适合新一卷的同学进行培优。模拟单选后三题难度逐步上升。第六题要利用双曲线对称性。第七题是初中将军一马模型的拓展。 第八题难度较大，三角函数图像与数列结合多选。第十一题比较常规数形结合即可解决的导数压轴小题。 第十四题是拔尖压轴题，以立体几何为背景，又要构建等比数列模型，考察极限思想。解答题主要是最后两道压轴题有亮点。第十八题是近期最好的一道空间几何压轴题，从实际三角板出发，探讨四棱锥的存在性与最值问题，情境新颖。第十九题由于已经给了核叉画机公式的提示，所以不算难。

这道例题几何题难度虽不是很大，但是融合解三角形设计了三小问，而且计算量有点大，还是有点狠的。我们来看第二问球体积，很明显有一个小的三轮锥，体积是很好算的，那自然我们要找到这一大一小三轮锥的体积比 其实做高也不难，只是直接套体积公式计算，难免计算量会比较大。每次武汉调考都引发我们一些思考，比如还能这么出题，还能这么算，即使这些知识和技巧经常到了高考不考，欢迎评论。

这是黑龙江省齐齐哈尔市二零二六届高三一模三月数学试题选择题一到十一题一、集合运算康实基础概念。二、负数运算与负平面考察负数基础。三、向量与重心 强化向量应用。四、使对数比较大小升化函数性质。五、数列综合考验逻辑推理。六、排列组合考察技术原理。 一、不等式求最值提升代数运算。八、地推数列单调性强化数列综合。九、统计量变换考察统计核心。 十、函数方程与性质考验函数逻辑。十一、椭圆综合提升解析几何能力。填空题十二到十四题 十二、双曲线离心率考察，圆锥曲线基础。十三、三角函数对称性与求值生化三角应用。十四、立体几何外接球结面考验空间想象解答题十五到十九题十五、解三角形考察，三角综合。十六、独立性检验与概率期望 考察统计应用考察，统计应用。十七、抛物线轨迹与定点问题提升解析几何十八、立体几何面面垂直与线面角考验空间推理。十九、函数直域不等式证明语数列放松压轴考察导数与综合能力。

主播，主播，都说立体几何简单，但是我第一问证明总没思路，后面的二面角也不知道怎么求，能不能出个视频教教我？没问题，同学，本期视频将选出两个最新高考题，带你体悟做题思路。 好，今天我们看到这个立体几何的题型梳理部分，我们先讲大题啊，因为大题他的套路话是比较明显的，基本上你学了之后呢，下一次考试再遇到你就能够拿分。那至于小题部分呢，我们等把这个大题讲完之后再去分析啊。 行，我们先看第一题。第一题先看一下他让我们证明什么？第一问，永远的证明题，他让我们证明面 p a、 b 和面 p a、 d 是 垂直的。好，那是什么？面面垂直吧。我们想到怎么样能够推出来面面垂直呢？ 是不是啊？线面垂直啊，那画个图来表示一下，如果说我们有一个线垂直于一个平面，那是不就有过这个线所存在的一个平面会跟这个平面是垂直的呀， 对不对？同学们想一下，在这个知识点梳理课有讲到的好。然后我们回到这个题目，他想要这个面和这个面垂直，那我们看一下有什么条件吧。 第一个， pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 好， 那也就是说我们通过这个可以得到 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 那 它就会有 pa 垂直于 ab 以及 pa 垂直于 a、 d。 那 为什么我要写这两条边呢？我写这两条边不一定是说我这个全都要用到啊，我写它的原因是因为我下一个条件出现了 ab 和 ad。 同学们看一下，下一个出现了 ab 和 ad， 所以 我写它们是为了把两个条件联系起来，看能不能帮助我们解析。 好的，看第二个。我们现在假如说你选择这一个吧，撇垂直于 ab， 好， 这一个是垂直于 ab 啊， 那我们现在发现了你 ab 这条线，它既垂直于 appa， 又垂直于 ad， 那 不就会垂直于这两个相交直线所构成的平面吗？对不对？你看我 pa 垂直于 ab， 然后右边这个就不用了。然后又因为 ab 垂直于 ad， 这俩它们是相交直线，那我们就会有 pa 垂直于面啊，不是，是 ab 啊， ab 垂直于面， p a， d 吧。然后又因为 ab 它是属于这个面 p a， b 的， 所以就会有面 p a， b， 然后会垂直于这个面 p a， d。 好，写到这里答案就出来了。但你考试不能像我这么写啊，我这个是帮你进行思路分析的，我待会再给你把标准答案写一下。考试不能这么写啊，这么写是零分的好吧，零分行。然后我们看一下第二问，第二问先把这个擦一下， 第二问，他说了什么？给了我们各个边的边长。好，我们看一下。 pa 是 等于 b， a 等于 ab 等于根号二啊，根号二，根号二，然后 bc 等于二啊，这个等于二， ad 又等于 ad 在 哪？ ad 在 这里一加根号三。然后他问我们，且啊，他告诉我们，且， p， b， c、 d 这四个点都在求 o 的 球面上。 好，出现了一个球了，外接球，这四个点都在球面上，那说明什么？同学们，说明什么？是不？说明球心到这四个点的距离都相等啊，你想一下，画出一个球，然后告诉你， 球心，你是不是有这个球心到球上的各个点的距离都相等啊，都等于半径啊。好，我们这里可以理解，然后他第一位让我们证明点 o 在 平面 a， b， c， d 内，那你现在就知道这个，证明一下这个点 o 在 这里面，那咋办呀？ 其实你就直接间隙嘛，对不对？间隙，假设间隙完之后，你假设这个点 o， 假设这个点 o 是 x， y， z， 然后你利用哪一个条件利用这个？ 呃，这，利用这个 o， b， o， p， o， d， o， c， 这四个点的距离都等于 r， 利用这个条件，然后解出 o 的 坐标，然后你会发现你这个 o 的 坐标啊，它的，它的这个解轴的坐标一定是为零的啊，一定是为零的。好，然后我们具体再分析一下，看一下怎么接啊。 刚刚我们通过第一问是不证明出来了，这一个垂直于啊，不对，是这一个垂直于这两条线呐，对不对？然后又有这一个是垂直于这两个的吧，然后我们会发现，其实这就是一个两两垂直的，两两垂直的三条线吧，那你就可以直接间系了啊，由一可 得啊，不用，由一得也行，直接就来以，还是写一下吧，由一之 a， b， a， p， a， d 两两垂直。 好，那么我们就会有以 a 为圆心，以 a 为坐标原点，不是圆心啊，坐标原点， 然后 ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， ap 为这个， 呃，画的不是很标准啊。好，这样子， a， p 为 z 轴啊， z 轴 x， y， z。 好， 然后 ab， 那 这个这个箭头方向要写好啊，你不能说 b a 啊，你不能说 b， a， 那 就不对了啊， ab 为 x 轴， 再来 a， p 为 z 轴。 行，我们写到这个形式之后呢，然后你开始写坐标了，看一下你需要用到什么坐标，你再写什么坐标点 a 是 不是零零零啊，对吧？因为它在坐标原点嘛，在坐标原点。好，我们再下一个，我们刚刚说了，你要表示出来哪几个呀？ o p， o， b， o， c 以及 o d 啊，这四个，四个长度，然后我们看一下 b 点， p 点，那 p 点坐标在哪里？它是不在，因为你 p a 是 垂直于这个底面的嘛，所以 p 点坐标肯定是在 a 点坐标的正上方，所以 p 点坐标，它的 x 轴和 y 轴的值为零。 零零。好，那它有多高呢？多高？就是这段长嘛，这段，这段长是不是根号二啊？题目说的 好，再来下一个 b 点坐标， b 点坐标，它出现在这个 x 轴上，它在 x 轴上的话，说明它的 z 轴啊，以及这个 y 轴的值为零啊，同学们看一下，因为它都没有往上飞嘛，对不对？它也没有往右边走嘛， 所以它的 x 轴坐标应该是根号二，然后零零。好，下一个写 c 点坐标， 我们看 c 点坐标。 c 点坐标，因为因为 bc 平行于 ad 嘛，对不对？你 bc 平行 ad 的 话，而我们刚刚第一问，证明了它是，它俩是垂直的， ab 垂直于 ad， 所以 ab 也会垂直于 bc 吧， ab 也会垂直于 bc 吧。好，那会垂直的话，我们就可以得到你这个 c 点，它在 x 轴上的坐标应该就是这一段了吧。 c 点在根号二。好，那他的 y 轴上坐标呢？是这个吗？不对啊，是这一个啊，因为这俩才是垂直的啊， c 点到 x 轴的距离就是他的 y 轴，就是他在 y 轴上的长度。好， c 点到 x 轴的距离就是他在 y 轴上的长度，那应该是二，然后这轴是零，根号二零。然后我们再看这个 d 点坐标， d 点坐标的话，它在哪里？它在这里，那它的 x 轴坐标应该是零吧，然后 z 轴也是零，那就是 y 轴是一加根号三， 那我们写零，一加根号三零。那现在我们这五个点坐标都出来了，那我们再表示一下这个各个各一个值吧。因为我们设球心 o， 我 们讲的这个球心 o 点坐标为 x、 y、 z。 好， 然后，所以， 所以看一下 o、 p， o、 p 向量是不可以等于后减前吧？还记得吧？后减前啊，那就是负 x 负 z， 然后，啊，不对，负 y 啊，然后根号二减 z， 行，然后再下一个 o b 向量是不等于 b 减掉 b， 减掉这个 o 吧，那就是根号二减 x， 负 y， 负 z， 然后 o c 向量，它就会等于 c 减到这个 o， 根号二减 x， 二减 y， 然后负 z， 再来 o、 d 向量会等于一个 负 x， 一 加，根号三减 y， 然后负 z。 好 了，这四个向量都出来之后呢？我们下一步怎么办？是不算他们的长度啊，对不对？算他们的长度啊，也就算他们的魔长，魔长。然后我们把第一问先猜一下 魔长怎么算，你看一下我们是不是有 o、 p， 我 们正常来说，向量的魔长是不等于， 如果它的坐标是 x、 y、 z 啊，那是不是就有根号下的 x 方加 y 方加 z 方呀？那在这里是不就等于根号下啊？是不就等于 r 呀？ 对不对？因为我们说它的长度是等于 r 吗？等于半径吗？那我不如直接把两边都平方了，这个平方不就可以把这个根号去掉吗？对不对？好，这个向量的计算问题，那就是由 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 根号二减 z 的 平方，然后会等于这个 r 的 方，然后下一步就是根号二减 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 根号二减 x 的 平方加上二减 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 因为虽然我这里是负 z 啊，但是你平方后他肯定跟这个是一样的嘛，对不对？你平方把那个符号就去掉了嘛？所以我直接写这个 z 的 平方啊，然后在下下面这个就是 x 的 平方， 再加上一加根号三减 y， 一 加根号三减 y 的 差的平方，再加上 z 的 平方等于 r 方。好，接下来我们这样子有一二三四，你通过这四个试试了，想要把这个 x、 y、 z 解出来肯定是很容易的嘛，我们先观察，先观察一下要先连累哪些。 呃，我们先看，先看这个第二和第三吧，对不对？你看第二和第三，为什么呢？你第二和第三去相减，这个是和这个减没了， z 和 z 也减没了吧， r 和 r 也减没了吧，对不对？那我们是不是就可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方？ 好，二三可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方，对不对？那很明显得到什么 y 等于一吧。好，再来，我们有 y 等于一，再看一下，还要连哪一个呢？ 我们看一下二四啊，二四连立一下二四的话能得到什么？阿方，阿方没了，这个和这个没了。行，我们要化简一下啊，化简一下二四就比较麻烦一点了，我们把这个啊也不会啊，我看插一下。哪里，这里插了吧， 这里插了，我们看一下二二四连立。连立之后，你可以把这个 y 等于一带进去的啊， 那就变成了根号二减 x 的 差的平方，再加上一会等于根号二啊，不是就等于 x 的 平方再加上 三，然后好，没了，没了，那我们选这个形式呢，然后我们观察一下怎么化解这里减一减一变成加二了，左边开，开，左边把这个平方开出来，他会变成了一个 二减掉二倍根号二， x 加上 x 方，那两左右两边的 x 方都给他约掉，那就变成等于二等于二。之后呢，又把这个二和二又约了，那变成负的二倍根号 x 等于零，那很明显说明什么？ x 等于零吧，你一个数乘以一个负倍二倍根号二，怎么样才能等于零啊？ 那只能为只能是这个 x 等于零嘛。所以连立这个二四啊，我们可以得到 x 等于零，然后再来，再来。 哎，这个牌子不差了吧，保留一下计算数据啊，然后再再下一步呢，我们看一下连立哪一个，把这个往下面移一点。 好，我们现在已经有了 x， 有 了 y， 那 我们再需要求一个 z， 其实直接我看一下 好连的这一条吧，这一条和这一条啊，这两条来我们看一下，有 x 方都没了，那 y 方左边变成 y 方，加上根号二减 z 的 平方，然后这个一和四。我现在连的是一四啊，然后右边是 一加根号三减 y 的 平方。行，好，这两个是相等的，我们再哦还要加一个 z 的 平方。对，好的，我们现在进行一个化解， 看一下 y， y 刚刚说了 y 等于几啊？ y 等于一吧，对不对？ y 等于一，那就是一加上这一个给它开出来。二减掉二，二减掉二倍。根号二的 z 加上 z 的 平方会等于， 会等于一减一枚啊，那就是三加上 z 的 平方，然后这俩都约了，这俩都约了，那就会变成负二倍高。二， z 也等于 零吧，对不对？那这个不就化简了吗？等于零，所以连立一四，我们会发现 z 也是等于零的，这里可能会过得比较快啊，同学们算一下就行了，这是纯计算的纯计算问题，相加相减。好，那我们先就得出来，所以 这个也差了，所以这个点 o 坐标为 零幺零，那不就可以说明出来吗？ g， 你 还没去说 g 点 o 在 这个面 a、 b， c、 d 内嘛，可以了吧？因为你这个 z 都等于零了嘛，它就在这个面内在运动了嘛，它都没有高度了。 行，然后我们第一问，就第二题的第一问就结束，我们准备擦一下啊，擦一下，那核心思想就是说，你假设一个点 o 出来，然后要使得你，因为你这个是点 o， 是 球心嘛，对不对？那你肯定到球上的各个点的距离都等于半径， 所以我们把这个坐标作列，列出来之后再相加相减连立，就可以得到最后的答案。行，我们把这些擦了啊， 然后我们讲一下第二，第二问的第二问好就是这个，这个来看，求 a c 与 p o 所成角的余弦值。那这个很简单了，线，线角，我们之前讲过，你怎么去求 a c， 怎么去求这个两个异面之间所成的角啊？ 哎，刚刚那个 o 点坐标是是几啊？我们看一下。是哦，零幺零啊，零幺零。行，零幺零，因为这一问要用的啊，要用的。好， o 是 零幺零。行。我们是不是可以把这两个向量写出来？你向量写出来之后， a c 向量等于什么？ p o 向量等于什么？写出来之后你再假设这两个角所。呃，假设这两个线所成的角为 theta， 然后 cosine theta， 它就会等于 cosine 的 a c 与 p o 的 所成的角好于线直行，然后再往下面写，这为向量的运算呐，对不对？向量的运算， a c 向量乘以 p o 向量，再除以它们各自模的乘积嘛， 对吧？那这个就是纯计算问题啊，这个我就不细算了，不细算了，把这个坐标自己算出来就好了。在这里坐标都有了嘛， a 点、 p 点、 c 点和 o 点 四个点坐标都有了，你后减前，然后得到这个向量坐标，再进行一个运算就可以了。好，这项量这一节的内容啊。行，我们这个就结束。 好，我刚才讲讲了要把这个第一问的内容啊。行，我们这个就结束。好，我刚才讲了要把这个第一问了啊， 看一下啊，我们先把后面讲完吧。后面讲完先看这个第二问第二道题。好，他让我们证明线面平行啊。线面平行，那我们想一下，你要证明线面平行有哪些方法呀？是不是可以想到线线平行啊？ 或者说面面平行吧，对不对？你线面平行，那就是一个线平行面内的一条直线，那么就可以得到这个线是平行这个面的， 然后面面平行，就是如果你已经两个面平行了，那么就会有其中一条面的任意一条直线一定会平行另外一个平面。好，我们先看一下这一条，这这一道题要用到哪一个式子啊？首先我们看它要的是 a 撇 b 来平行于这个 a 撇 b， 想要平行于这个平面，那不就是。如果说你要利用线线的话，那我们看应该是这个平行这一条吧， 但你看这个好像不太可能平行吧，对不对？那你就找一下能不能面面平行。如果说你要利用面面平行，那很明显过这个线处存在的一个平面就是这个面了。面 a 撇一 b 要平行，面 d 撇 c f。 好，我们看一下能不能，能不能正得平行，先看有什么条件。题目给了 ab 平行于 cd， 哎， ab 平行于 cd， 那 不是很好的用吗？那我们就有 b、 e 会平行于 c、 f 吗？ 好， b e 平行于 c、 f 能够得到什么？是不是能够得到 b e？ 它是属于啊，不是？不是属于啊，那是不可以得到 b、 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？好，再来，我们这个图形是怎么来的？是不是原来这个这个四边形给它翻折翻上来的呀？ 对不对？你翻上来的话，那我们是不可以得到原来原来我们这个边是平行的，你翻上去之后，他肯定这两条边依旧平行啊， 那就是 a 撇 e 会平行于这个 d 撇 f 啊， a 撇 e 平行于 d 撇 f， 那 同样的，你是不是可以得到 a 撇 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？你光看字母也知道啊，这个 d、 f 肯定是属于这个面内的嘛，你看它这个字母都一样。好，接着我们来看 b e 有 了， a 撇 e 有 了，它们是不是有共同点？ e， 对 不对？所以它们一定是属于这个平面 a、 b、 e 撇的啊？不对，属于哪个平面？呃， a 撇 b e 啊， a 撇 b， e， 把这三个字母混在一起就行了， a 撇 b、 e， 那 你放在左边来看，也就是这样子， a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你就可以得到面 a 撇 b， e 会平行于面 c、 f、 d 撇，并且 a 撇 b 是 属于这个面的，所所以说 a 撇 b， 它就会平行于这个面， c、 f、 d 撇。好，这个具体过程我就不写了啊，因为时间还是有点紧啊，我们要讲的题目比较多。行，然后写到这一步，我们重要的是把这个思路，思路讲出来，我们再看第二问。 第二问，让我们求这个二面角的正弦值，那肯定先想间隙吗？间隙的话，你要的是 x、 y、 z， 他 们三个互互相垂直吧，两两垂直吧。那你就要考虑到九十度吗？看题目有没有说，有没有说到垂直，或者说九十度来看一下。 看我们这个第二个条件，不就说九十度吗？ d， a、 b 等于九十度。好，这个是九十度，再来还有什么条件？嗯？ ef 平行 a， d， ef 平行 a， d 好， 说明这个也是九十度哦，刚刚的 ab 平行于 cd 啊，说明这两个角它也是九十度。那我们就可以做题了吧，对不对？你这个九十度，我们就可以以 f 为坐标原点， f、 e 为 x 轴，然后 f、 c 为 y 轴，好连，然后再再再说。再说明一下啊，做一个 z 轴，做一个 z 轴， 做 z 轴，分别垂直于 x、 y、 x 轴 和 y 轴啊，那当然，你考试不能像我这么写啊，我这是为了减少时间，你就写坐标轴，分别垂直于 x 轴、 y 轴。行，这样你把 x、 y 这三个都给他表示出来之后，我们就可以写坐标了，看下你需要哪些点坐标啊？ 好，需要哪点坐标？那我们先讲一下你这个二面角计算的方法是什么？是不是找出两个面它们之间的法向量啊？对不对？法向量，那法向量又怎么找呢？ 如果是 b、 c、 d 撇，我们是不是要找出里面的两条相交直线？比如说，呃， b、 c 吧，然后 c、 d 撇吧，这两个相交直线吧， 然后法向量是什么？法向量，刚才那节课上一节课讲过，它是垂直于面内的，法向量所在的直线是垂直于这条面的，那不就会有法向量垂直于面内的任意一条直线吗？所以 b、 c 垂直这个法向量 m， 这是 n， 法向量 m 应该是等于零的。 c、 d 垂直法向量 m 也等于零，然后右边就是这里面再找出两条相交直线啊，我们可以写 f 一， 它垂直于这个 m 啊，不是 m 了，右边这个是 n 啊， 等于零，然后 f、 d 垂直于这个 n 等于零。好，先把这个大字思路写出来啊，然后最后你再去计算计算就好了。然后开始我们写坐标，干脆就按照这这四条边的形式吧，把这四条边的坐标写出来，先看 b 点坐标，看他有没有给我们具体数值啊。 哎，没有给我们具体数值，但是他给了我们各自边的比例吧，对不对？还给了各自边的比例，我们怎么办？ a、 b 等于三 a d， a， b 等于三 a d， 那 我们假设 a d 为 x 了，这个也是 x， 为什么？因为这两条两两边互相平行嘛，那很明显一个平行四边形的，所以这样出来之后，我们还有 还有什么 ab 等于三 a d， 所以 ab 应该是三 x。 哦，这个不是这么写的啊，这个是它的 x 轴，所以 ab 是 三 x。 好， 再下一步 还有没有给什么 cd 等于两倍的 ad cd， 那 cd 就是 二 x 了，所以这是 x， 这是 x， 那 很明显这个也是 x 吧，这个就是二 x 了吧。 行啊，那我们这么写 x 写那么多，肯定是会影响我们判断的，那我们怎么办呢？直接令 x 等于一啊。来，我们写令 a d 等于一。好，你这么写就可以得到，则我们一个坐标来写，先写 b 点坐标， b 点在哪？ 在这里。那他的 x 轴坐标应该是这一条吧，对不对？那应该是一个 x， 那 也是 也就是一了啊。一，然后他的 y 轴坐标呢？ y 轴坐标肯定是这一条嘛，这垂直的嘛，对不对？那就是二了，这头坐标是零啊。好，我们 b 点坐标出来之后，再看一下，一个 c 点坐标， c 点坐标看一下啊， c 在 哪？ c 在 这里， x 轴为零了吧，然后 y 轴为一了，那就是零。一，然后零。再来一个地撇坐标，地撇坐标的话，地撇在哪？ 地在这里，那地撇应该是这个啊，应该是这个可能被我这个盖住了，被这个字盖住了，地撇在这里。我们看一下怎么写它的坐标啊？ 嗯，先看它的 x y x y 上的位置吧， x 上它在坐标原点嘛，坐标原点的上方，所以它 x 值肯定是为零的 零。那 y 值呢？你看它是不是偏了一点啊？它往右边偏了一点吧，那偏了多少？偏了多少取决于你这个角度是多少了。看，我们说了，这两个面所成的二面角是六十度，也就是这个面和这个面所成的二面角是六十度。 那你就可以简单的理解为啊，如果说这个是，我们看这个垂不垂直啊？刚好这里是垂直的吗？对不对？我们正常来说，你要求二面角，是不是两个面，两个面各做一条垂线，并且都垂直于这个交线，然后这两条垂线所成的角就是你的二面角，那我们在这里呢， 好，不是二面角啊，对，是二面角，然后在这里就是这条线和这条线吧，对不对？知道为什么吗？因为你看啊，我们这一颗不是垂直的吗？对吧？你这个垂直之后，然后我们再看，你翻过来之后， 翻过来之后啊，翻过来之后，哎，另一条线去哪了呀？怎么看的有点晕，这个线画的有点多啊，我再看一下 两条交线，哪两个平面？这一个平面和。哦，在下面啊，在下面。行，没问题啊，刚刚我们是不是说这一条，这一条，对，以及这一条他们都是垂直于这一条线的吧， 看一下有没有问题啊？因为这个九十度，这个九十度嘛，这个也是九十度嘛，因为你是翻上去的嘛，所以这个线肯定垂直这个线的。好，这个线也垂直于这个线，所以你要求的那个二面角六十度，他给了六十度，就是这个角 d f c 啊， d f c， 它是等于六十度的。好，现在你有这个角是六十度了，再来这个角是六十， 画的有点乱啊，这一个角是六十度的话，我们看还有什么条件。我们得到 d f 是 几啊？ d f 是 d p， f 应该是等于 x 等于一的吧。好，这个是一，你想要求得它在 y 轴上的距离是不就是这个斜边一再乘以口三的六十度呀，是不是？这一段 对不对？好，一乘以口上六十度等于多少？二分之一吧，所以它的 y 轴上距离应该是二分之一啊，那它在 z 轴上的距离呢？也就是它的高吧， 对不对？是它的高，你看我这里是六十度，你做一条高，这个是一，你要求这个高的话，不就是，呃，这个长度一再乘以一个三六十度吗？三六十度不就是二分之二三吗？ 好，这是二分之一到三啊。那我们的撇坐标也出来了，接下来看一下。还需要什么啊？这个是撇啊，还需要 f 以及 e。 好， 行，看一下 f， 还要看一下 e f。 哦， f 太容易了，零零零，再看一下 e 点坐标。 e 点坐标也很容易啊，他直接就在 f 的 这个 x 轴， e 点坐标是在 x 轴上呀，对不对？那你 y 轴和 z 轴的坐标值都不用考虑了，零零。然后又因为 f 一 是等于一的，所以 e 点坐标是幺零零。 好，接下来我们这些点坐标都有了，按照这个所需要的形式把坐标写出来， 我们写一下啊。 bc 向量应该是等于后减前负一负一零。好，再来 cd 撇向量应该是等于一个后减前零负二分之一二分之二三吧。好啊，然后 这样子。行，然后再来，我们要 f e f e， 它应该是等于一个后减前 e 减掉 f 幺零零，然后 f d 撇 d 撇减 f。 好 啊，就是零二分之一，二分之根号三。好，写成这个形式啊，所以我们现在这四个点坐标都有了，然后我们准备查一下啊，查一下，不然太急了。 好，那这里形式来我们看一下。刚刚，呃，刚刚是一个 b、 c， 我 们来假设，假设 面 b， c， d 撇的法向量为 m， 然后 x， y、 z 写清楚，然后下一个 e、 f、 d， 这，这里前面照照啊， e， f， e， f， d 撇 a 撇的法向量 n 为。这里我不建议你以什么 x 一 啊， y 一 啊， z 一 啊，然后下面就 x 二啊， y 二啊，因为你这样其实是容易写混的啊，你可以选不不同的字母嘛，刚刚是 x、 y、 z， 你 这里就 abc 嘛，对不对？好，然后我们就会有 bc 向量再乘以 m 向量等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量等于零，以及这里是 f， e 向量乘以 n 向量等于零， f， d 撇向量乘以 n 向量等于零，即坐标给它乘进去啊，乘进去，那就是负 x 减 y 等于零， 负二分之 y 加上二分之根号三 z 等于零，这怎么来的啊？你就是坐标给他乘进去嘛，向量的相乘嘛，乘到这个结果，然后到右边 f， e， f， e 是 a 等于零，然后下面是二分之一 b 加上二分之根号三 c 等于零。好，来到这一步， 到这一步怎么办？我们令啊，令，令 x 等于一啊，那你令 x 等于一的话，我把它等于几啊？这里我们在前面知识点梳理课已经讲过了啊，就是你，你这到这里要计算的话，你就是令其中一个值等于一等于二，或者括号三，具体是哪个，看你计算怎么样方便 好。这个等于一的话啊，其实这样子不太方便啊，我们要考虑下一个 看，我们要考虑这个好计算才行啊。这个好计算啊，其实也可以。行，我们另 y 吧，另 y 等于根号三。好，另， y 等于根号三，则 x 等于 z 等于。你看 y 等于根号三的话，这不就是负二分之根号三吗？加上二分之根号三就等于零嘛，所以 z 等于一。好，再来， y 等于根号三，你 x 就 等于 负的根号三吧，对不对？好，其实刚刚另一也可以啊，刚刚另一也可以，可能比现在还要好算。再来， a 等于零。 好，不用考虑下面 b， b 和 c 那 一样的嘛， b 等于负根号三，然后 c 等于一嘛。好，写到这个形式我们就出来了，然后到这里的话，我准备把这些擦一下啊，把这些擦一下。 行，那我们就会得到 m 向量是什么？ n 向量是什么。到这里我们写下负根号三， 根号三一，这个就是零，负根号三一。好，先，这个形式呢，来，重点来了，我们要假设啊， 令令这个角，这句话照抄下来，照，照抄下来，令这两个面所成的二面角为 sita， 则口上以 sita 就 会等于 m 向量。 你这个写写或者不写都行啊，这个写不写都行啊，等于 m 向量乘以 n 向量， 再除以 m 向量乘以 n 向量的模。好，计算。我就不讲了，你这样一算的话，答案不就算出来了吗？啊，你现在算的是余弦值啊，然后你要正弦值在三，以 c t 就 等于一个根号下的 e 减这个的平方嘛，就可以了啊。 行，然后我们这一问就讲完了，我们再强调一下这个二面角的计算方法，把这个擦了啊，同学们，一下子考试一定要拿分的。二、面角计算方法，也就是说你找出两个面， 找出这两个面之后，你再各自设它们为 m， 为 n， 这是它们各自的法向量啊。设出来之后呢，然后你就可以算 m 向量乘以这条边等于零，乘以这条边等于零。 n 向量乘以这条边，乘这条边等于零。然后两个向量算出来之后，再利用它们之间的，再利用向量之间的关系得到 cosine theta 会等于 向量相乘，再除以模的乘积啊。好，然后我们这道题就讲这里，今天花的时间比较久啊，我们先讲两道题吧。先讲两道题，然后同学们看一下后面的题目能不能做好吧。

听说武汉三调很难？第二道大题的计算量确实是大啊。第一问要用到四个鱼线定律， 给了三个三角形三边长，只能用鱼线定律了， 算出鱼线值，放在两直角三角形算出所求线段的关联线段长度，计算比较容易出错。有没有更优解法，欢迎评论。

二零二六年迄今为止含金量最高的一套高考模拟试卷，浙江省 z 二零名校联盟高三第二次模拟卷。这套试卷的难度呢，是比较大的，但是对于咱们备考的同学来说，每一道题你要给他彻彻底底的弄清楚。咱们各位同学在做的时候不要在乎分数，一定要把每一道题的背后的解析逻辑弄得非常的清楚。 以大题为例，十五题解三角形，十六题概率，十七题立体几何。这三道大题呢，是各位同学务必要拿分的，也是难度不大的，只要你认真研究，一定能研究透。 十八十九两道题呢，一道解析几何，一道导数啊，解析几何除了计算量比较大，其他的吧，只要你多加练习也没有问题。十九题是我在前面视频当中一直强调的，数列与导数相结合， 数列涉及到了放缩求和，所以对于数列与导数相结合的问题，各位同学也务必要重视。那这套试卷的电子版呢，我已经给大家准备好了，如果各位同学需要的话，可以点个关注，进入主页，加入粉丝群，我会在粉丝群内发送给大家。

每天一道好题，为高考加油！这个题目是来自于二零二六年三月武汉调研考试的第十六题。 嗯，虽说这套试卷出来有一段时间了，但是由于工作忙，没有来得时间。呃，来得及去做这道卷子。昨天做了一下，感觉这个题目还真挺不错。 我感觉不错的原因呢，就是这个题目啊，表面上是一个立体几何问题，实际上里边含的最多的是解三角形问题， 就是因为它不落俗套出题呢，风格比较新颖。好了，我们来看一下这个题目。 如图，在三棱锥 p a、 b、 c 中，这里边首先给了一些棱长 p a 得一， p b 呢，等于二倍，根号三，我们标上 p c 呢，等于三， bc 呢，等于根号六， ac 又等于根号七。给了这么多的棱长 点， m n 分 别是 pb， pc 上的点，并且 pa 垂直于平面 amn。 第一个求 m n 的 场。这个题和立体几何啊，表面上是一个三棱锥问题，但是你想想有没有我们传统立体几何中的这个线面平行垂直的这些问题呢？ 它只给了一个 pa 垂直于平面 amn， 那 这个有什么用？显然这个跟传统的平行垂直是不沾边的。 线面垂直只能说明线和面内的线垂直，比如说 pa 是 垂直于 am 的， pa 是 垂直 amn 的， pa 垂直于 m n， 那 这里边也未让你正成平行垂直，只让你求线长，显然和立体几何是不沾边的。 那么怎么处理呢？大家想一想，我要求 m n 的 长，这个 m n 不 就是一个几何图形中的一条线段吗？所以我们转换一种四位的话，是不是可以给他放到三角形里边，通过解三角形来处理呢？ 首先我们看这里边给了很多的棱长，那么三角形的边长都给的话，是不是都能求角啊？ 你比方说我要求这个 m n， 你 怎么处理呢？我可以放到三角形 p m n 中，这个 p m n 里边的话，你这个 p m 场不知道 p n 的 场不知道能解决吗？ 貌似解决不了，但是你看看还有什么条件呢？这个里边有个 pa 垂直于 a m n， 这样一垂直的话，这个 pa 不 就可以和 am 垂直了吗？那就出现了一个直角三角形，出现一个直角三角形的话，我们能解决这个问题吗？ 这个是直角三角形 p a m 中，好像条件也不够，因为只给了一个 p a 得益， 对吧？只给了一个 p a 得益，我们如何去往下求结呢？我们如何去往下求结呢？ 我们可以考虑什么呢？大三角形 p a b 这个里边，这个大三角形 p a b 中，那不显然三个边长都给了吗？三个边长都给了，有解三角形的知识就可以求角，比方说求这个角 a p b 或者 a p m， 对 吧？好，这个题的分析思路咱们就出来了。好，先写第一问， 首先有什么呢？这个里边这个 pa 垂直于平面 amn， 我 们首先分析出这里边这个垂直关系，就能够得到这个 pa 是 垂直于 am 的， 那同理这个 pa 呢？也垂直于 am 啊。为我们后续解三角形先做准备，然后再考虑什么呢？考虑三角形 pab。 哎，在这个三角形 pab 中， 那三角形 p a b 中三个边长都有，我显然可以求角，对不对？这个角 a p b， 它的余弦值用余弦定理吧， 就等于 a p 的 平方加上 p b 的 平方减去 a b 的 平方，比上二倍的 a p 乘以 p b 的 平方就是十二， a b 的 平方是九，比上二倍的 a p 是 e， pb 是 二倍根三。所以这样一减的话，嗯，我们算一下，这个 e 一 加十，二是十，三减九是四，下面跟四约掉，所以是根三分之一。 这个角的余弦有了，我们再考虑这个直角三角形。哪个直角三角形呢？ p a m 中 这个直角三角形里边，你看这个角的余弦有了，这个角的余弦有了，那么这个角的余弦又等于什么呢？我们写一下 cosine 角 apm 吧，它等于邻边比斜边，也就等于这个 ap 比上 pm， 对不对？ ap 比上 pm， ap 是 一 pm， 我 们不就可以求了吗？这个等于根三分之一，所以就可以得到这个 pm， 就 等于根号三 看到了吧。所以我们这个解三角形就很好处理了。那同样道理，你看右边这个三角形 p a c 里边，是不是三个边也都给了？所以你也可以求 a p c 这个角， 然后在直角三角形 p a 摁中，就求这个 p， 对 吧？所以好好看右边在三角形 p a 摁中， p a c 中， 那么这个角 a p c 的 余弦，它又等于 a p 方，我就直接写吧。有 e 的 平方加上 p c 方，就是三的平方，加九减去 a c 的 平方跟七平方是减七比上二乘 ap 乘以三， 这个算一下，九减七十二，二加一是三，这个结果就得二分之一，这个结果得二分之一的话，我们就考虑这个三角形，这个再考虑二 t 三角形 a p n a p c 就是 那 a p n a p n 的 余弦就等于邻边比斜边，也就是 pa 比上 p n p n 呢？哎，这是我们要求的，这个等于二分之一，所以这个 p n 它就等于二。 好了，这里边都有了，我们下边看看下面能干什么呢？我要找的是这个 m n 的 场，那这个 pm 和 p n 都有了，我是不是还需要求一个角就行了？ 那显然在这个大三角形 p b c 中又可以求角了，对不对？所以在考虑大三角形 p b c 中啊，我们可以考虑这个，考虑这个角 b p c， 它的余弦值等于 p b 方，我写一下吧， p b 方加 p c 方减去 b c 方，比上二倍的 p b 乘 p c， 我 们把数据带进去， p b 方是十二， p c 方是九， b c 方是六，比上二倍的二倍跟三再乘以三， 我们算一下，九减六是三，三加十二是十五，上面是十五，我们约下，上面是十五，下面是二乘二倍跟三再乘个三，把三约掉，上面剩个五，所以这个余弦值就是四倍跟三分之五。 好了，这个余弦值是四倍根三分之五啊，这个就是。呃， p b c 这个角，那么我们下边呢，就可以考虑这个 m n 了， m n 咋办呢？那么 m n， 我 们看一下这个图形，在这里 m n 的 平方啊，我们可以考虑这个就在三角形 p m n 中 啊，那么这个 m n 的 平方就等于 pm 方加 pm 方，减去二倍的 pm， 乘以 pm， 乘以这个 cosine 减 b p c， 也就是四倍根三分之五。 这个数据挺挺大啊， pm 呢，我们刚才算的是根号三平方就是三， pm 呢是二，平方就是四，减去二倍根三乘以二，再乘以四倍根三分之五。 好，我们下边开始约这个根，三和根三约掉，四和四约掉，所以就是三加四减五，七减五，这就得二 m n 的 m n 的 平放得二，所以这个 m n 呢，就等于根号二。 好了，第一问我们就解决了，表面上是一个立体几何，实际上我们发现这就是一个解三角形，而且是多个三角形里面求解问题， 下面我们再看这第二个，表面上又是个立体几何，我们看看这个立体几何是不是立体几何呢？求 p a、 b、 c 的 体积。立体几何求体积问题，那么就是三分之一底面积乘高啊。咱们咱瞅一瞅， p a、 b、 c 这个三棱锥有什么特殊性吗？ 显然没什么特殊性，唯一的特殊性就是 p a 垂直于 amn 这个面， p a 垂直于 amn 这个面，那和 p a、 b、 c 有 什么关系呢？ 那么 p a、 b c 没有特殊性的话，我们没法直接求，所以这个题啊，就得想办法，三棱锥等体积转换， 这个等体积转换又转换不了，为什么呢？因为你想想，把 p 看成顶点，三棱锥不特殊，你把其他点看成顶点，三棱锥仍不特殊，唯一特殊的就是 p a m n， 所以我们想办法就是想想这个大三楞锥和小三楞锥 p a， m n 有 没有关系呢？这个是有的，为什么有呢？你也可以这样去考虑，把 p a b c， 把 c 当成顶点 c， p a b 这个三楞锥和 n p a m 这个三楞锥， 这个 apm 和 apb 这两个三角形是在同一个底面上，你这样的话，这两个三角形的面积只面积应该有个关系，我们应该能够导出来，对不对？面积关系要能导出来的话，那这个三棱锥的体积关系，实际上我们就能发掘了， 能明白吗？这里边并且告诉你， p n 它是得二的啊，所以这个 p n 和 pc 的 边，这个边长的关系也有，那它 g 的 关系也有，所以我们这样的话，把大三棱锥 p a、 b， c 的 体积转化成 p a m 的 p a m 的 体积上去。 好了，我这个地方没地方写了，我擦一下吧，不往下写了啊，擦一下 好了，我们下边来计算。哎呀，擦的这个数据都没了，我看一下啊，这个数据，这个 p n 得二， pm 是 得分散的，我把它标上一会，我还得用上 pm 得分散， 嗯，这个擦一下这块吧，这块擦一下啊，那么我们得到的这些数据啊，我们再往下看啊，得到的这些数据，我要表达什么呢？表达一下这个三棱锥 p a、 b、 c 的 体积和 p a m 的 体积。 我们想一想，首先三角形 apm， 这个三角形的面积和这个三角形 apm 的 面积，它俩有啥关系呢？它俩的面积之比， apm 的 面积，它等于二分之一， pa 乘 pm 乘以塞角。 apm 这个三角形 a， p b 呢，等于二分之一， pa 乘 p b 乘以三角 a p b。 这两个显然正弦值相等， pa 相等，二分之一相等，它就等于 pm 比 pb。 看到了吗？ pm 比 pb 的 话， pm 的 根三 pb 等于二倍，根三不正好等于一比二，那这个面积比有的话，那整个体积比呢？ 体积 b 又得什么呢？我们看这个大三棱锥的体积，就是这个 v c， p a b 的 体积比上这个 v n p a m 的 体积， 嗯，这两个三棱锥的体积，它等于三分之一底面积乘高，而显然这个高又得什么呢？你看， 嗯，咱这样说吧，这两个，你看啊，这里面这个 pc 比 p n， 它的比是三比二，所以我们就可以知道这两个三棱锥它的高值比也是三比二， 嗯，高之比也是三比二，能看懂吗？啊，所以这样的话，这两个三棱锥的体积比就等于三分之一底面积，底面积呢，这个就是 p a b 的 面积 啊， p a b 比上啊，乘以这个高高之比啊，我们这样设吧，哎呀，这个咋说呀？ 嗯，这个就用语言描述一下吧。所以点 c， 呃， pc 比 p n 等于啥的话，那这个高值比，那我就记得 h 一 比乘这个 h 二吧。 啊，那么 p a b 的 体积就是三分之一底面积乘高就乘 h e， 这个呢，就是三分之一底面积就是 p a m 的 面积乘以这个 h 二 三分之一底面积乘高，而这个底面积之比是一比二，高之比呢，是三比二，这样的话，这个体积之比就是三比四。我看一下，哎，不对，这个高之比。这，是 啊，我看，啊，啊，这字写错了，这个二比一，这块写错了， 这个面积比是二比一， p a b 的 面积比那个面积大，这是二比一，所以这样的话，这个面积之比就是三比一啊，面积比就是三比一。 嗯，所以我们要求这个 p a b 的 面啊， c p a b 的 面积只需要求 n， p a m 的 面积也，体积也只需要求这个三棱锥 p a m 的 体积。 下面呢，我们就计算这个 p a m n 的 体积就行了呗。而这个 p a m n 的 体积，显然把 pa 当高比较容易，所以求 a m n 的 面积，而这个 a m n 的 面积又怎么办呢？这里边我们知道 m n 的 长，但是 a m 和 a n 的 长不知道， 那我们想一想，这个直角三角形我们是能解决的呀，对不对？所以我们就考虑在这个直角三角形中。在直角三角形啊， apm 中，那显然这个 am 的 场，它就等于根号向 pm 方减去 pa 方， 它得几呢？就是三减一，就是根号二。同理，这个 a n 的 我就直接写吧。这个 a n 的 长度，它就等于根号下，这个是 p n 放减去 p a 放， p n 放减 p a 放，它就等于应该是四减一，根号上。 所以我们在这个 a m 按里边就可以求出这个角来。三角形 a m 按中，我们就可以求出这个 cosine 角 m a n， 它的余弦值就等于 a n 方加 a m 方，减去 m n 方，比上二倍的 a n 乘 a m， 我 们把它算出来。 a n 呢？咱们刚才算的是根号三，平方就是三，加上 a m 方就是二，减去 m n m， 刚才算的是多少？ 我还擦掉了啊，这个，这个 m n 是 根号二，我想起来了，所以这个 m n 是 根号二的话，这就是减二，比上二乘根三乘以根号二，所以这个就是根二倍，根号六分之三。 二倍根号六分之三的话，我们就求一下这个正选，所以这个三角 m a n m a n， 它的正选值，我们可以画一个直角三角形三比上二倍，根号六，这个应该是多少呢？二十四减九应该是，我 看一下啊，三角 a m n， 嗯，二得四，四六，二十四，二十四减九，根号十五， 这个应该是根号十五，所以这个正弦应该是根号十五，比上二倍根号六。嗯，这个可以约掉一个根号三，就是二倍根号二分之根号五啊，就这样一个值。下面呢，我们就可以表达这个三角形 a、 m、 n 的 面积了 啊，这个数据啊，确实挺墨迹的， a m 呢，咱们刚才算的是根号二， a、 n 呢是根号三，再乘以这个二倍根号二分之根号五， 我们把根号二消掉，所以这个是四分之根号十五，这就是三点形面积，所以这个体积我们也就出来了。嗯，三棱锥，这个就是 p a、 m、 n 的 体积就是三分之一，底面积就是四分之根号十五，乘以高就是一， 也就是十二分之根号十五。而这个大三棱锥体积就是 p a、 b、 c 的 体积，它等于三倍的 p， a、 m、 n 的 体积，它也就等于乘个三的话，又等于四分之根号十五。 好了，这个第二小问咱们就解决了，把这个立体几何的这个球体积问题转化一下就可以了， 只不过这个运算量比较大啊。好了，第二问，我们好不容易算完了，还有个第三问，求 bc 与平面 p、 a、 b 所成角的正弦， bc 与这个面所成角的正弦，要求这个线面角怎么处理呢？ 这个三棱锥又不规则，显然第一想法是由 c 点相面做垂线显然做不出来， 是不是有点相面做垂线做不出来？你求线面角。要建坐标系的话，好建吗？显然也不太容易啊，这个坐标系，你这个就这轴的话，你 x 轴外轴建哪？是吧？ 也不太容易啊，能建倒是能建，太不容易，那么想到什么呢？求线面角。还有一个方法，你能求出 c 点到这个面的距离吗？ 因为我们前面第二问已经算出了体积，我要能够利用等体积法求出 c 点到平面 p a、 b 的 距离，是不是就好解决一点呢？ 那么在这个线面角的正弦不就等于这个 go 比上 bc 吗？对边比斜边。所以第三问呢，我们的想法就是啥呢？利用这个等体积法求出点 c 到平面的距离。 好，我们下边开始算等体积法。首先我们已经知道了，这个体积是四分之根号十五，这个体积是四分之根号十五。下面我们要计算什么呢？要计算的就是这个三角形 p a、 b 的 面积 啊，这个大三角形 p a、 b 的 面积，这个大三角形的面积，我们用这个面积公式对不对？ p a 乘 p b， 求塞盈角 p a b。 好， 我们下边算一下， 这个我还擦一下吧，这个面积啊，擦一下，这块数据也接的差不多了。 好了，我们再写一下这个三角形啊。首先啊，我们先说这个等体积法第三个了，这个等体积法就是说三棱锥 p a， p a、 b， c 的 体积，它就等于三分之一，三角形 p a、 b 的 面积乘以它对应的这个距离高啊，就是 c 点到面的距离 d， 那么这个三角形这个体积我刚才算出来是四分之根号十五，只需要表达出三角形的面积是不是就可以了呀？而这个三角形 pab 的 面积是不是导出这个小角就可以这个角呢？我们很好导，这个 am 是 多少呢？ 嗯， am 的 长，刚才咱算的好像是根号二吧，这个 am 是 根号二，所以这个塞阴角，嗯，我就快写吧。塞阴角 ap m 这个等于对边比斜边，也就是根号二比根号三，所以这个三角形 p a b 的 面积就等于二分之一。 p a 乘 p b 乘以三根角 a p m a pb， 也就是把数据带进去二分之一， p a 呢是一， pb 呢是二倍根三，三根 a pb 是 根，三分之根号二， 咱们把把根三消掉，二消掉，所以这个面积就得根号二，这样的话，这个体积三分之一乘以根号二，乘以这个 d 等于四分之根号十五，我们就可以把这个 d 给算出来。 我们算一下啊，这个 d 算出来，这个就是多少了，这个数据还挺庞大啊，这个 d 就 等于，嗯，我们算一下 d 就 等于应该是把根号二除过来，四倍根号二分之三倍根号十五，是这样一个数 啊，我看看对不对啊。这个数算完以后，我们要求的正弦值，我们看一下线面角的正弦啊，所以这个 sin theta 我 就直接写吧，因为等于这个 d 比乘这个 bc 线面角的正弦啊，过程我就不想写了。 b c 是 多少呢？是根号六，我们看一下啊，这是四倍根号二分之三倍根号十五，除以根号六，我就直接乘以根号六分之一吧，给他乘一个根号六分之一，这样一乘的话，我们看看是多少。 这个根号十五和根号六能消个根号三啊？根号三，所以上面是三倍根号五，下面呢是四倍根号二，再乘一个根号二，应该是八分之三倍根号，这就是最后结果看到了吧，刚才这个消呢，是把这块消个根号散去了，我写到下边来了。 好了，这个题啊，本身难度不大，但是出题题目比较新颖，既有解三角形的思想，又有立体几何的思想，而且运算量也挺大的。耐心算，这是我们学数学的一个基本的能力吧。好了，今天就讲到这里。

近期的模拟卷中，压轴考察立体几何的次数明显增多，难道这是高考的信号？设自南昌一模压轴题创新度极高，将立体几何与解析几何巧妙的结合在一起，让我们通过这道题感受一下数学之美。第一问，立体几何的线段关系转化为抛物线的定义， 在平面 a a e c e c 内，通过抛物线获得线段 pm 的 最小值，即可得出色棱锥体积的最小值。 第二个，两个面交界为 a c e， 则二既转化为 a c e 与抛物线的交点，抛物线位于平面 a c c e a a 以内，通过交点弦可获得弦长。 第三问，在平面 a c c 一 a a 以内，两条直线倾斜角互补，则直线 r q 斜率为定值，可获得 r q 的 方向向量。利用阿尔法与 a b 平行，可获得阿尔法的法向量，即可得出夹角余弦值。看完记得双击加关注！

真实的测评又开始了，最近打算做几天二卷的适应一下啊。我们来个宜宾的二卷，他写的二零二三级，跟浙江这边习惯不太一样。 没关系啊，我们现在开始看试卷，然后定上目标，计时三分钟，看下试卷，简单过一遍就可以了。第七题开始吧，这是一个对称性，然后求和，这个符号应该是一个省略号的意思。嗯， 大概知道是什么意思。大概吧。第八题， c 塔属于这个范围，然后这个东西很省力。问 c 塔的一个最大值啊，感觉不是特别复杂吧。啊，这个题我看着有点好像有点复杂， 但是应该特殊执法作为单选择题的话还是能写的吧。难度未知。正三能排这种问题一般问问题不大，最大的球可能这个选项呢，稍微复杂一些。呃，怎么立体几何？考了两个小题是吧。圆锥又来了。 呃，还有一个抛物线啊这是。这应该主体是一个圆锥曲线的题目对吧。这里角平分线应该是用到这个张角定律， 也就是等边记法可以轻松搞定圆锥曲线的问题，然后证明这个直线过定点问题。那这个也是挺基础的。这是一个概率题，没有马尔科夫念嗯时期的位置吗？对吧， 不用担心啊，我怎么感觉有点不适应呢？我总感觉这个看了几题下来很别扭啊。立体几何，从题目中能发现这是一个确定的，一个三四人追， 然后要我们求这些确定的东西。那这个题应该是比较简单的。外接球的表面积我可以用几何方法，也可以用代数方法。我设个球心为 o， 然后 o p 等于 o a 等于 o d 等于 o e， 这就是三个方程，三个未知数 o 点坐标就能出来。那这个题 我就靠运算应该也可以把它堆出来的。他说极致点从小到大排列形成个新的竖列， 那么只要把 a 一 a 二搞定。这个 a， 嗯嗯， 这个啊啊，我看好不爽啊。 啊对，这个宜宾就是个小地方啊，应该不至于。我有点不适应啊不适应，有点晕，二卷 啊，都四分钟了，我们赶紧把目标定上。因为立体集合我觉得比较简单，所以我还是有信心上个幺三五的艺术签名啊，实验般的身份先亮出来啊。那我就要正式开始了， 一定难度啊。这里想补充一个什么东西呢。那就先把 x 的 范围给它准备好。这里刚刚是已经判定过了，它是一个 二派到二分之五派之间。嗯，那么这里推导一下，应该说能得出它大于零，我看对不对啊。就加这几个字，如果哎，如果真的只加这几个字就足够说明的话，那这里我就给自己满分的。如果四个思路这个题就没错，这个题就只需要扣这一步的分就足够了。 ok， 扣分的话那就是后面这个题扣十分以上。哈哈，没有办法啊，太难了， 我感觉我在哪个题考了很久的样子啊。啊对，我知道了第十八题我真不该硬着头皮啊。 这边我看用了多少时间。六十一三十八分三十八分钟你说慌不慌嘛。这个还不知道对不对，该先把两个压轴题的前两问做完再来考虑是否做那个啊。第三问 ok， cbd 哎他妈红笔没有了。 b c d b c d， 嗯，没问题。第七题， a、 d， 八题， b 七 a 八 b， 没问题的。嗯，小题难度尚可。 a、 d 没问题， acd 没问题。这肯定 abd 喽。没问题，可以的可以的，可以的。第一个根号二，第二个八十四，没问题。第三个五分之四倍杠五，嗯，没问题。 小题都是完美的搞定的。这里的话，四分这个方加上这方等于一以及二分之五到零，答案确定就好了。二分之五到零没问题。那么这里我是非常细节的啊，我是有讨论的，当 直线与 a 轴重合和不重合时，然后这里一开始写的是设 t， 然后改成设 k， 然后又改成设 t， 就是 发现避免不了分离讨论嘛，所以最后呢，设 t 是 最简单的一个思路。 嗯，不然的话这步化解会比较比较复杂嘛。这边非对称维达定律第十七题，我就是出场有疑问啊，这第三问不就是这个情况吗？ 我有点心虚。第一个二分之一，第二个二十六点二五，二十六点二五，二十六点二五，就是幺零五吗？没有问题啊，然后第三问，我错了，我就知道肯定会出点问题啊。我再看一眼吧，当 a、 a 校参加面试的学生先与其他两校学生完成面试， 就是 a 校所有参加面试的学生完成面试， b、 c 两校都还未完成。哦，我漏了一点是吧，这不 c 校有两个学生吗？我该再加个情况，没有评分细节啊。那我这里就看这个吧，三个问，一个问，平均一共五分吗？因为这个就两种情况，两种情况算个四分，差不多了。扣扣，我 扣三分。哎呀，最终还是错了三分之二十八。那这里忙活半天，这边还是错了呀。三分之二十八，那么第二问的答案是正确的，七分之根号二十一，所以这个间隙肯定是没问题的，前面分都能拿满，就跟最后一问，他算出来是一个三分之七， 我算出来是一个三十六分之三十七。 x 取一， y 取二， z 取二，除根号三。 嗯，其实我是把 y z 搞反了。说实话 y 除根号三等位。我是 y 乘根号三等等位啊， 我是这里解错了，就差一丢丢啊。这边的话最多扣四分吧。嗯，第一问就不用看了啊。第二问说他的思路 x 一 x 二。哎，他就是 x 一， 属于二派到二分之三派呐。在这派到二分之三派， x 二属于二派到二分之五派，二派到二分之五派就已经可以证明了。他就这样说的啊，还什么探险 x。 没有必要，没有必要花紧张那步啊。嗯，那我就第二问是可以给自己买分的。嗯，第三问就不用说了。这肯定是没有分的啊，一点都没写啊。第三问应该是一个八分的结构。对， 八分前两问可以拿九分的。哎，有有木啊。哦，那就刚刚好了。对，小七全对嘛。 这就是刚好幺三五啊，刚好达到目标。这个试卷的难度也不低的特点就是说十八题预测量大，但是能做，不像一卷那些变态题目根本做都做不了。那去年高考那个题目都能做的， 但是二卷比较切合实际一点。好，明天再安排一个什么其他省份的吧。我记得陕西有一套好像还比较出名的ཁ སང གི ཕོ བ ཞིག ལ ནི ཕལ ཆེར ཁོ ནས ཁོ དེ གི བསམ ན ད སོང གི གོ འཇོ ནི ཧན དང ཡིད ཆེས ཆེ དང ས ཡི རེད འཆམ སེམས ཡང ན བོད ལ ཁ ལོ བ ས ཆ དེ ཡང ཁོང གི ཕོ བྲང ཕུན ཚོགས པའི ནང ནས གཉིས ཀ མོ གི ལས ཀ ལ ས གནས སྒམ འཇོག གི ཁོམ ནས ས རམ ཆི གི。

这是刚考完的成都期中二卷数学卷，真的有点一言难尽。前面的题一加一，后面两道压轴题造飞机估计一百一十到一百二十五分数段会过于集中，选填小题几乎无难题。单选择题第七题和第八题中档难度有一点创新 多选择题几乎都是常规题填空压轴题看起来复杂，其实也不难解答题前三题都是送分题，唯独第十七题需要三角函数建模能力。整份试卷的所有难度都压在了最后两道压轴题也是开了眼了。第十八题空间几何与竖列结合，第十九题圆锥曲线与概率竖列融合，难度顶上天了。

今年的江西南昌一模的数学试卷，整体难度像往年有下降，刚质量却一点没降低。今年的这份卷子，压轴题都出的很棒，很用心。单选第八题，只要对三次函数对称中心熟悉的同学做起来就简单。第十一题出的非常灵巧， 看上去不友好，但联想到圆心，实际上是三角形 p a、 b 的 那些圆圆心以后就豁然开朗，原来 p 点的轨迹是双曲线的。又之其中低选项是非常好的多思少算的例子。 第十四题看起来像马尔科夫列问题，但并非如此，需要好好审题，关键是分析 p 三和 p 四就能找到规律。解答题中第十八题是导数的常规压轴题。中档题难度最有亮点的是第十九题是一道非常有价值的立体几何创新压轴题，计算量不大，思维量大。

与广东异模、广州异模并列的还有广东大湾区异模。试卷小提出的非常棒。压轴大题题型常见，但计算量超级大，而且又建立题。几何压轴选择题只有第八题略微有点难度。三角函数见模和易错题 三道多选择题层次分明，都是非常优质的考题。尤其是第十题的两组数据合并后的统计量变化十分重要。第十一题是例题，几何综合有难度填空。第十四题传球问题是概率中的经典模型，考察马尔可夫列的思想。 大题中第十七题是常规极指点偏移问题，考烂了。第十八题又建立题。几何压重体积比，通过延长线构造台体，利用相似比求解有计算量。第十九题也是今年考的较多的解析，几何与数列结合压轴题主要难在计算量过大。

好，同学们，好，呃，今天呢，我们主要讲解的是二零二六年的高三一模考试中的呃，填空题和解答题，那么填空题和解答题它的核心考点主要包含了函数、概率统计、排列组合、数列 例例、几何、导数与解析几何。那今天呢，我们就详细的来给大家讲解。那首先呢，我们来看一下这个啊，这是我们今天所要讲的题目啊，从以下六个试题啊，给大家讲解。 好，首先我们看从第十二题开始啊，第十二题呢，它其实考察的，我们先看考察的知识点啊，就是第一个，它给到我们这样的一个函数，那它实际上是一个指数型的函数， 横过定点 a， 然后呢，他又呃知道函数 f x 在 s 等于处的切线啊，又考察了函数的切线啊，所以第一个是对数型函数的一个定点问题啊，第二个是切线问题啊，那我们一， 我们逐个去突破啊。首先哦，我们来思考一下，就是对于这个对数型函数呀，他过的定点，我们是怎么去找定点呢？比如说我们是对数函数啊，对数函数移位 d x， 那 他过定点的时候，我们是让真数为一啊，函数值为零， 所以呢，对于本啊，本题中的一个对数型函数，我们就让它的真数为啊一啊，所以 x 此时就是二，那对应的外值呢，就是负二 啊，所以我们的 a 点啊，找出来就是一个二和负二。好，这是第一个啊，题干信息的一个筛选啊，也是非常基础的。第二个啊，函数 这个在 s 等于一处的切线。好，那这里面呢，我们的核心考点就是切切点切线问题是吧，我们说函数 f x 啊，在某点处的切线，在 x 等于 x 零处的切线方程啊，应该是怎么来求， 应该怎么求？那么我们这样来处理我们这个这个点呢，它就是切点，所以 x 零和这个 f x 零是吧？ 好，这是切点，那么切点处的啊，这个导函数值呢，就是切线的斜率，那么最后的切线方程我们写成什么形式呢？我们就是外减去 f x 零哈，然后等于 f 片 x 零 乘以 x 减 x 零，哎，这是切线方程啊，那么这个切线方程我们写完以后呢啊，我们再去解决本本期，那他说这个函数啊，第二问，第二步骤啊，他说这个函数 f x 啊，等于啊，令 x 减去 ax， 我 们想要求它的导数啊，想要求它切线方程，我们必然要第一步先求导啊，先求导，求导是不能错的，对不对？好， 然后呢，我们是切点呢，是 s 等于一处的切线啊，所以一就是它的切点，那么我们切点呢，是一，它的函数值啊，它的函数值 f 一 呢啊，是一个负 a， 所以 我们的切点是负 a， 那 么切点处的导函数值等于切线的斜率啊，所以这个时候呢，我的 f 偏一就等于一减 a， 因此呢啊，这个切线方程啊，切线方程我就可以啊，顺利的写出来，就是 y 加上 a， 然后等于多少呢？一减 a 乘以 x 减一 好，同时呢，他又说经过点 a， 也就是我们刚才第一啊段分段的时候，我们获得的信息，也就说这个二和啊，负二呢，他在这个切线上我们分别代入啊，那就是负二加 a， 然后等于一减 a 乘以 二减一是一，那因此我们看 a 就 等于多少了， a 就 等于这个二， a 就 等于三啊，所以 a 就 等于二分之三。好，那这个是第十二题的一个啊，答案。 好，那我们再来看一下啊。第十二题，首先呢，它考察的核心考点啊，就是我们看到一个题，我们知道它的考点，如果我们做错了，我们也是能够有 方向的去复习，比如说切线，切线方程啊啊，在某点处和过某点的方程，还有就是这个 啊，这个是对数型函数它的定点问题啊，我们都是一些很细致啊，很细节的一些啊，零碎的一个知识点啊，我们都要掌握个滚瓜烂熟，那这样的话，我们做题的时候才这个熟练度才有啊，这是第十二题考察的主要是切线问题。 好，接下来我们看第三题，那么第三题呢，它实际上是一个全概率，又结合了一个排列组合啊，我们首先来分析一下题啊，分析题是非常重要的，那么这个题呢，有同学他算不对的原因啊，当然这个排列组合的数是比较大的啊，可能导致有些同学他没有算对 啊，分析题也是非常重要的，就是我们首先来看他想要买啊，买一包是吧，买这个电子，这个电气原件， 那么他是，呃从一包中呢，要先抽查啊，抽查四个，如果这四个原件就是好的啊，其实也是跟这个买彩票一样，是不是看这个运气好坏了，他刚好抽到的四个是好的，那他才决定买下这一包， 那么我们看一下就是假定啊，假定，你看这里面有含有六个次品的包数，占的是百分之二十，那其实就是我们这个分类了，对不对？有百分之二十呀？啊？有百分之二十的这个产品呢？它是啊，十二个， 每包啊，你看啊，每包是十二个，对不对？是十二个，然后它含有六个次品， 那含有六个次品，那就意味着是六个正品。好，那么还有百分之八十啊，其余的包数啊，它含有两个次品，那么含有两个次品，那这个时候每包还是十二个？它每一包中啊，它含有两个次品 啊，两个次品，还有就是那就是十个正品。好，我们再去抽，那么他采购员随机的挑一包，拒绝购买，他为什么会拒绝？拒绝购买了？那说明啊，他买的这四个， 这个他抽查的这四个里面应该是至少有一个次品 啊，在抽查的时候至少有一个次品，那么至少有一个次品，其实他情况是比较多，那你可能是一个，也可能是两个啊，还可能三个、四个，所以这个运算的话，他就比较麻烦 啊，比较麻烦，那么至少有一个次品。我记为事件 b 的 话啊，那我能不能求事件 b 的 对立 事件啊？他对立事件就是都，为什么呢啊？都为正品， 都为正品。哎，这个就好办了，你四个都是正品，我就好抽了，是不是？所以我们在算啊，在算这个 p、 b、 e 的 时候啊， 这实际上就是都是正品的时候，实际上是一个全概率，那么在这个全概率中呢，又含了一个什么呢？超级核分布啊，这个考点还有一个是这个概率统计中的超级核分布啊，那大家 首先呢，对超级和分布啊，他的公式啊，了解不了解是不是？好，那接下来呢，我们看一下 啊，如果你不了解的话，你要复习相应的章节，复习相应的章节，那么首先呢，我们看啊，它是一个全概率，为什么全概率？就是如果我抽到这百分之二十的我，我拿着每一包啊，我去抽 啊，他是不一样的，所以呢，我们在算啊，抽到的四个都是都是啊，正品的时候我们含含啊，就是含有六个次品的包数，或者是两个次品的包数，所以分了两部分啊，这是第一部分，然后这是第二部分啊，所以我们在算的时候要啊算乘以百分之二十， 然后我们再看，就是在进来，你这百分之二十是六个次品啊，所以你在抽的时候是按超几何分布的，超几何分布，那么超几何分布它 x 服从超几何分布的话，它是十二个产品，里面有六个产次品，然后你抽四个产品 啊，问你次品的个数，那这里面我是抽，我是有六个正品，那我的六个正品是不是都来源于正品中的六个？我从正品中去抽四个，那我抽到的就全部是什么呢？就全部是啊正品了， 然后再加上这个通道啊，这个第二部分就是百分之八十啊，因为他这个含的次品个数少，那我就乘以零点八，我去乘啊，这个也是服从超级核分布的，那么他的啊，这个，呃，总的产品个数是十二个，他含的次品是啊，两个，然后他抽四个 啊，那接下来呢，我们看，那就是拿零点八，那你抽的四个正品呢，他是从正品中来的啊，所以这里面是 c 十四，然后去除以 c 十二四 啊，那么接下来呢，我们就是一个排列组合的一个预算啊，这里面其实预算量还是比较大的啊，就在考场上啊，这个作为这个第二个填空题 啊，这个预算量是是比较大的啊。好，那接下来就是我是是讲了一下思路，那我们具体呢啊，是需要啊，自己来去预算的啊。那么这个题呢，实际上我觉得他考察的 层面呢，也是比较多的啊，考察层面比较多的，第一呢，他考察了这个全概率啊，你要知道他是一个全概率的一个公式 啊。第二个就是啊，你要是会抄几何分布啊，会抄几何分布的这个模型啊，比如说它是抄几何分布，我给它帮助大家去复习一下啊， 大 n 是 总的产品个数，然后 m 是 次品个数，然后小 n 是 抽象个数。那这里面我们需要掌握的有以下几个方面啊，就是比如说我产品 n 小 n 个产品中含有 k 次品的概率， 那 k 的 次品它来源于次品啊，那剩的大 n 减大 m 啊，是 一个正品，那就是 n 减 k， 然后去除以啊， c 大 n 小 n 就 行了。那么这里面还有两个重要的公式，就是啊，在超级和分布中啊，它的期望和方差 啊，我们也要记住，借此机会啊，去复习，那么就等于 n 去乘以次品于啊， 然后接下来呢， d x 的 公式啊， d x 的 公式它是怎么？它是 n 啊，去乘以次频率，再去乘以正频率啊，然后再去乘以大 n 减啊大 m， 然后除以大 n 减一啊，这个地方应该是大 n 减小 n 吧。 好，大家看一下啊，你看我，我在，我在记这个这个公式的时候，实际上也是很容易就错，所以我们还是应该及时的去，去翻下笔记啊，翻下笔记这个超级和分布它的这个 方差呢，如果你用到了啊，你在做题时，做题的时候它就很快就出来了，但是呢，如果你要是没有记住，那做题的时候实际上是非常艰难的啊，非常艰难的， 这个地方要注意啊。啊，我刚才写的是没有错，我又翻了一下书本啊，他这个地方确实是啊，大 n 减去小 n 啊，这个别，别记错了，多记几次啊，这个是 n 啊，小 n， 抽象个数乘以次频率，正频率啊，和这个调和的这个数 啊，这个数记清楚，那么整个 d x 啊，它的方差就记住了啊，所以我们其实要以点代面的去复习啊，以点代面的去复习 啊，你，你不会一个题，那你相应的知识点呢？你一定要去啊，捡起来啊，这个题的话，他最后的答案是啊，五十五分之三十六，好，这是这个，呃，第十三题啊，第十三题，好，接下来我们再来看 下一个数列，嗯，那么这个数列公式中呢，其实，呃，我我在自己在做的时候呀，也是呃存在算错了好几次啊， 所以说大家在考场上他其实也是很容易出错。第一个，我认为呢，咱们的审题能力啊，审题能力是非常重要的，就是你要看清楚题啊，题干信息中每一个条件指的是什么。好，我们先来分析， a n 呢，它是一个等差啊，它没有说等差数列，对吧，它只是说它的前项和是 s n， 然后呢，它又告诉大家啊，又告诉大家这个 n， a n 和 s n 呢，它是依次成啊，等差数列，好，我们就先从这一段啊，先从这句话中去提炼信息 啊，它是成等差数列，那我们就有一个等差中项了，对吧？啊，能够得到这样的一个啊，式子好， 那么同时树立 b n 呢，它满足这样的一个关系，那其实它这个是一个递进的关系，就是你前面 a n 呢，必须去解决，然后你解决完以后，咱们才能去求 b n 啊，所以说这个地方呢，我的切入口就在于这个式子， 那从这个式子中啊，我看到这个式子，我就立马反应出来啊，它就是，嗯，咱们数列中计算中啊， usn 求 a n 的 一个啊，经典的一个模型哈。 usn 求 a n， 好， 那这里面呢， usn 求 a n， 我 先给大家梳理步骤，第一个必须先算 a 一 啊，等于多少？ 第二个呢，我们 s n 减去 s n， 求 a n 的 时候，是不是 s n 减去 s n 减一等于 a n， 那 么这里面强调 n 大 于等于二， 好注意啊，这个这个式子呢，有的时候正着用，有的时候是反着用的，然后第三个呢，就是我们最后还要检验啊，还要检验啊，也是有分的，大概是一分，如果你不检验啊，那那么这个分就不走分， 那所以说呢，我们按照刚才就是由 sn 求 a n 的 这个长通信通法啊，常规的一个 啊思路啊，我们去做题，那么第一步呢啊，我就先求 n 等于一的时候， a 一 是多少是吧？好，我二倍的 a 一， 然后等于一加上 s 一， 那就是 a 一， 对不对？ 所以说这个地方 a 一 就是一个递推关系 啊，我二 a n 啊，等于 n 加上 s n， 是 吧？然后我递推关系的话，我就二倍的 n 减一，等于 n 减一，加上 s n 减一。哎，那这里 这个地方呢，是不是 n 大 于等于二？好，两式作差，两式作差。那么左边呢，我们写成是啊，左边我们写成是二 a n 啊，减去 a 的 n 减一 啊，右边呢是一个一加上，哎，这里面啊，就用到了我刚才给大家补充的这个细节部分哈，就是 s n 减 s n 减一啊，就是这左边是二， a n 减去一个 a 的 n 减一 啊，右边呢是一加上，哎，这个地方就是啊， s n 减去 s n 减一，就是一个 a n， 好， 进而得到一个。关系，就是啊， 这个地方我少写了一个二，是吧？啊，这个也少写 a n 呢，就等于啊，二倍的 a 的 n 减一，再加 e a， 那 这个地方呢，我们啊，第一个考点呢，是由 s n 求 a n， 第二个是啊，用构造法 啊，用构造法去求 a n 同项啊，构造法去求 a n 同项。所以说实际上题目的综合式综合性特别强啊，就是你一个点不会，那你 这个题可能就会有出现很大的问题哈，那么这个是第二层面啊，我如何用构造法来求 a n 呢？我们看到，如果我盖住这部分不说，我们看 a n 是 二倍的 a n 减一，那它是不是一个等比数里， 但是他多了一个 a 一， 所以我要去配啊，我要去配，那我怎么配呢？我们这里面啊，我先假设啊，加了一个数啊，加了一个数，他再构成一个什么数列，等比数列， 然后呢，我再，我再给他还回来，是吧？你看啊，我再啊，还回来的时候就换成是，这是二 a 减 a 就是 a， 所以 我知道我设的这个 a 其实就是一啊，我满足啊，我原来呢，不是一个等比数列， 但是我加了一个一以后，它就成为了等比数列啊，所以这里面呢，我们可以说啊，我们可以说 a n 啊，加一，它就是一个等比数列， 那么它的首项呢？是 a 一 加一，我们刚才已经算过啊，这里面是一啊，它就是二，所以呢，就是也，谁呀也啊？首项 啊，以二为首项，对不对啊？然后公比 q 呢，为二的等比数列，所以我们就得到了 a n 加一啊，它就是二的 n 次方，是吧？ 那因此我们能够顺利的算出来 a n 的 通项是二的 n 减一次方啊，其实是分了两个层面啊，两个层面啊，这是应该是第三啊，第三个过程， 第三个过程，然后 a n 求出来以后啊，第四步啊，第四步，我们再去求 b n 呢，那就很好求了，是吧？好， b n 呢，我们就代入这个对数运算的公式里面，那么 a 二 n a n 等于二的 n 次方减一，那么 a 二 n 减一呢，它就是多少二的 二 n 啊，减一，然后再减一，对不对？所以带到进去就是二的二 n 减一，减一啊，再加一 啊，他就换成了是以二为底，二的二 n 减一，那么按照对数的运算啊，运算法则，那就是一个二 n 减一，好，所以实际上呢，你看第一问的分呀，他也不是很好拿，是不是 啊？他也不是很好拿，那么这里面呢，我没有检验啊，我没有检验，是因为你看我这个地方实际上就是一个地推关系，从第二项起，每一项与前一项的比值是一个定值，那就是一个什么呢？等比数列 啊，当然了，你要想检验也行，那你 n 等于一的时候，我检验 a 一 呢，刚好是一，是符合题意的，是吧？ 好，所以第一问呢，我们其实考察了应该是有两个层面啊，两个层面，第一个呢，是由 s n 去求 a n 啊，用地推关系，那么遵循三步啊，遵循三步啊，哪三步呢啊？第一步啊，先求 a e。 第二步啊， s n 和 s n 减一与 a n 的 关系啊。第三步要检验。 那么还有一个层面，就是你用了 s n 求 a n， 还有一个就是用构造法来求啊，构造法，这都是竖列求通向的常用方法，也就说是通信通法啊，通信啊，通信通法。 好，大家注意一下啊，就是根基不牢，地动山摇，所以我们的这个基本方法，基本技能都要非常熟练啊，那在考场上才能够啊，应对这些万变的题啊。这是第一问啊，第一问， a n 和 b n 啊， 那接下来呢，我把 a n 的 公式啊， a n 求出来，是二的 n 次方减一 啊，边呢？是啊，二 n 减一啊。然后现在我们看第二问，就是第二问，其实也是很容易出错，我自己在算的时候可能就是有两个层面的出错。这个题呢，我其实自己算的时候算了两遍啊。啊， 第一个我们来看一下，就是他考察的是等比等差数列的性质啊，等差数列的性质， 什么样的性质呢？比如说啊，我们隔相同单位啊，隔相同的间距，我们抽取的数依旧成等差数列。你比如说原来一三啊，五七啊九，然后你隔几个数，隔两个数啊，隔两个，这个隔一个数啊， 抽出来以后，那他三五七，然后十一，他依次也成等差数列。所以首先我们看一下，就是左边呢，他是一个等差数列啊，他是一个新数列 啊，新数列等差数列。那么在这个地方呢，他很容易就看错。比如说我今天呢，在做的过程中，我就看成是啊， b m， 然后加上 b m 加一，然后一直加到二 k 啊，这个地方我就出错了，就是我把它看成是一个连续的啊，下标序列号是连续的，实际上它是不连续的 啊。第二个层面，我看错的，就是 s 四啊，我们成天说 s 前一项和前一项和，我就给它算成这个了，那实际上也是不对的啊，这个注意。 那么另外呢，这个 a n 其实它也不是一个等比数列，是不是我们在算 s 四的时候还是要谨慎，所以两个易错点，第一个就是它的下标啊，它的下标是隔两个单位的， 同时呢，我们看一下，还得注意左边，那你挑隔相同的间距，然后抽取出来的数，依次乘等差数列， 那同时我还得啊确定清楚啊， b 从 b m， b m 加一啊，到 b m 加四，一直到 b m 加二 k， 它究竟有几项？这是很关键的。那你比如说啊，你是 b m 对 不对？然后 b m 加二， 然后 b m 加四，那你这个是二乘一，二乘二，然后是 m 加啊，加这个减加个二四，应该加六，是二乘三，对不对？一直乘到 m 加上二 k， 实际上是二乘 k， 那 么这里面呢，就这一边呢，它实际上是 k 加一项啊，所以这个地方呢，弄清楚是 k 加一项。 好，那么接下来呢，我们分清楚了这个项数以后呀，我再去求和，因为呢，本身啊，这个竖列它是一个等差数，等差数列，所以我们再算啊，等差数列，天啊，前一项和的时候，我们有二分之项数啊，乘以啊，首项加上末项，对不对？ 所以我们试着左边呢，我们就是一个啊，就是一个二分之项数项数，我们刚才已经帮助大家分析了，是 k 加一，然后就是首项，就是 b m 项，然后加上 b m 加二 k 项啊，首项和末项， 然后左边我们来看一下，左边的话就是 s 四，那你这个地方呢，其实可以用公式，嗯，不过它比较简单，你就可以去一个一个算算也没有关系的啊，那么 a 二呢？就是啊四减一，对不对？ 然后 a 三呢，就是啊，八减一，一直到 a 四呢，就是十六减一，所以啊，他的 s 四呢，我们加起来是二十六，二十六啊，那么所以等式的右边呢是三十六， 好，那么接下来呢，因为我们的 b n 呢，它是一个啊等差竖列，所以我们要将相应的式子给它带进去，那么左边呢，它就是一个 k， k 加一啊，乘以 b m， 那 就是二 m， 然后减一，然后 b m 加二 k 呢就是，嗯，二倍的 m 加二 k， 是 不是？然后再减一啊，再减一啊，出来是这样的一个式子啊，我们先化简一下，那所以就是一个 k 加一啊，乘以里面，你看这个地方是一个啊，四 m 加四 k 啊，然后再减二的一个过程，然后再除以二啊，再除以二，那它就等于什么呢？它就等于 k 加一，然后乘以二 m 加二 k， 然后减一。好，所以呢，我们看一下，就是我想要存在啊，我想要存在 k 和 m， 那 么我必须要满足这样的一个式子啊，其实这部分呢，又是一个基本量的一个运算，就是等差数列前项和的一个求法，还有就是这种啊，这种， 这种，这个求和就是分足球和啊，分足球和，当然少的话，你就没举哈，没举，那么我们看 mk 呢，它是一个正整数哈，那接下来什么样的数，他俩相乘是三十六呢啊，是三十六，那其实我们离结果呀，离真相已经不远了。 首先呢，我们思考这样的数，那究竟什么样的数才能满足呢？对不对？ 我们观察，我们观察，其实这里面也是有技巧的，比如说，哎，这个数啊，二 m 加二 k， 它首先是一个偶数，对不对？偶数减一就是一个基数，所以我们在想什么样的基数跟另外一个数相乘是三十六，那四九三十六，那这边是九， 然后这边是四，对不对？是三十六啊？或者是什么呢？或者是三和十二，也是一个三十六，好，所以我们其实已经快见到啊曙光了，那就是啊，二 m 加二 k 啊，减一，它等于九的时候，此时我要求 k 加一等于四啊，或者是什么呢？或者是啊，二 m 加二 k 啊，减一它等于三的时候，我要求 k 加一等于十二，好，那么这里面呢，我们分别算出来， k 是 三，然后这个是 m 是 二，哎，这个就刚好都是整数，而且满足提议，那就存在对不对存在性问题的一个探索。 那么这组的话，它 k 呢啊，它 k 是 个十一十一啊，但是 m 是 一个负负值啊，所以这个就不符合其啊，我们就给它设掉。那因此呢，我们再去作答的话，就是存在啊，存在 mk 这个正整数式的，任量式的成立。 那这个题实际上你再去啊，就是我们考完试以后再去复盘这个题的时候，实际上他考察的是啊，很基础的，很基础的，但是呢，我们在考场上发挥的又不是很好，那就是很多基础的问题，很多简单问题啊，堆在一起他就难了 啊，其实任何复杂的问题都是简单问题的一个堆砌，大家想想对不对？ 然后我们把每一个单元，每一个小的细节啊，我们给他拆分开来看啊，我都是我们啊，已知的熟知的模型啊，这就要求了啊，如何来提升啊？我们同学们的 这个综合啊，解析能力，那就是你的这个基础啊，基础知识，基本题型掌握扎实，那以不变应所有的万变。好，这是十六题。 好，接下来我们看一下这个十七题啊，十七题的话，它是一个历期几何问题啊，历期几何问题，那这个历期几何问题呢？实际上啊，我我 啊，我们之前也是在讲课的时候也是会给大家讲啊，就是我先抛开这个题不说呀，我给大家补充一个东西啊，就是正三棱锥啊，正三棱锥要区分一下，跟正四面体，它是不一样的啊，它是不一样的，比如说我们画一个正三棱锥， 我们先把这个这个层，这个层面上的东西弄清楚，正三棱锥他有一个非常重要的性质，就是他的对棱啊，是互相垂直的 啊，这个这句话是作作为啊，本题的解析的核心，如果你知道这个知识点，那么你解决这个问题他就很容易了。 如果你不知道这个知识点，你在考场上去往这方面想，他就很难想了。好，我们来给大家推一推，为什么正三棱锥啊，他的对棱啊，结论是只有正三棱锥啊，他的对棱 啊，是互相垂直的 好。什么是对棱呢？好，就是比如说这个 pc 和 ab， 它就是相对的，那就叫我们就称之为对棱啊，称之为对棱 好。那么为什么呢？我们看，我们思考这样的问题啊，为什么对棱会是互相垂直的？不单单是 pc 和 ab 垂直， bc 和 pa 也是垂直的， pb 和 ac 也是垂直的好，为什么我们知道正三棱锥啊，它的侧棱相等，它的底面是正多边形啊，不能是正多边形，必须是正三角形。那我们想一下，就是，你既然是一个正 啊，侧棱都相等，是不是我在三角形 p b 中啊，我是不是一个等腰三角形？根据三线合一，我取了是 ab 的 中点，那我一定有 ab 垂直于 pm， 那 么同样的道理，在三角形 abc 中，我是不是也一定有 ab 垂直于 mc？ 好，我们来看一下啊， pm 呢，又交 m c 与 m 点，那因此我就能得到 a b， 它是垂直于 p c 的 好，在这个知识点啊，理论支撑下，我再去解决本问题， 那他就迎刃而解了。我们来看一下，他底面呢，是一个啊，正三角形，对吧？然后 p b。 看清楚啊，他给我了，是 p b 啊，跟谁垂直？跟 a c 垂直。 哎，那其实就是我们补充的啊，这个，这个论题的一个什么呢？一个反向的，是不是？ 然后 p 和 p b 都是二倍根号二，然后 e f 又是终点。第一步，我求证 p a 和 bc 垂直 啊，求证的是 p a 和 bc 垂直，那这个地方呢？我该如何来解决问题呢？好，我们先这样来做，我先取 a c 的 终点啊，我把它连接起来。 好，我们思考一个问题，那么反向证明又该如何证呢？啊？第一，我取的是啊 a c 的 终点，我取的是 a c 的 终点， 然后我们思考这样的问题，我知道 a c 肯定是跟 b m 是 垂直的。题干信息中又说 a c 呢和 p b 也是垂直的 啊，也是垂直的，那么 p b 呢？跟啊 b m， 它相交于 b 点，因此我能够得到 a c 是 垂直于平面， 平面 p pbm 的， 那我能不能得到啊？ p c 啊？能不能得到 ac， 它是垂直于，它是垂直于 pm 的。 好，我们看这个垂直用的特别好，我们知道在初中学的等腰三角形，三线合一， a c 和 pm 垂直，那么 m 又为 a c 的 中点， 是不是三线合一的逆应用啊？三线合一，那么我们就能得到什么呢？ pa 跟 pc 是 相等关系， 也是二倍根号二，那么到这里面，我们其实就得到了三棱锥啊，本题中的三棱锥 p abc r p a b c， 它实际上是一个什么样的三棱锥呢啊？ p a b c， 它是一个正三棱锥 啊，这个信息呢，是非常关键的，如果你知道它是个正三棱锥，对于后面我们做第二问也是非常有帮助的啊， 那么同学们，我们现在知道它是一个正三楞锥了，对不对？那我们该如何证明啊？目标中的 p 和 b c 垂直呢？其实这里面就易如反掌，就是我刚才给大家中的这个过程， 我们同样去取 n 点，是吧？我连结啊，连结 a n 和 p n， 是 不是？ 既然都是正三楞锥，那我的 p n 一定跟 b c 垂直啊，我的 a n 呢，也一定跟 b c 垂直，那么 p n 交 a n 于 n 点啊，与 n 点，所以我得到了啊，我得到了 b c 呢，它垂直于平面啊， 啊，垂直于平面， p a n， 那 么进而我得到了 p c 垂直于平面内的线是 p a。 好，那么这里面呢？其实我认为这个思路，当然那个答案上也有很多种方法，比如说他用项链啊等等啊，嗯，其实我觉得啊，就是我们在考场上，其实这个项链当然也能想到啊，就是你间系比较方便的话，那你第一问就开始用项链的方法， 那实际上就是如果我们知道这个知识点啊，有这个知识储备啊，有这个知识储备的话，我们再去啊，条件反射的去啊，看清楚出题人的意图，看清楚题目背后的一些东西，我们做起来就非常方便了。 好，这是这个问题啊，这是这个问题。好，这个立体几何，实际上第一问在考场上，应该是啊，就是如果你啊，就是 啊，对这个正三棱锥的一些相关特性了解的比较多的话，那你这个问题其实处理起来是相对容易的。好，接下来我们看第二问。第二问呢，我给大家提供了两种思路啊，其实正三棱锥是一个很有用的啊，这个，这个， 嗯，这个，这个知识点啊，就是如果你知道正三棱锥啊，他是一个正三棱锥，侧棱都相等，那你不管是间隙也好，用定也好，这个第二问都是能够去解决解决的啊，能够很好解决。 好，接下来我们看一下这个第二问，那么第二问呢，我们想要求这个啊，面面所成角的正弦值。哎，这里面其实也是有一些细节点需要大家注意的，比如说他求的是面面加角的正弦值， 那我们求出来面的啊，两个法向量啊，夹角一般都是余弦值，我们还要进行一个切换啊，所以这个细节点要注意好。那第一种方法呢，我给大家提供的就是一个间隙的方法啊，通行通法，那么间隙的话，隙在哪里间 啊？在哪里剪？好，那么我们在第一问中啊，获得了一个很关键的信息点，就是什么呢？就是啊， p b p a b c， 它是一个什么？三，它是一个什么样的楞锥呢？它是一个啊，正三楞锥，所以我们过屁呢做啊， pu 垂直于底面， 我们知道正三楞椎这个过屁座底面的垂线，它其实落在了应该是外心上，对不对啊？当然正三角形它三心合一嘛，那既是外心又是内心，对不对？ 然后我们间隙的话，那这里面其实啊有多种建法啊，并不一定说非非得是这种，我是这样想的，就是我能不能建到这个点上啊？那我 b m 就是 s 轴啊，然后我做一个 a c 的 一个平行线啊， 我就跟这个 ab 垂直了，这是两两互相垂直啊，我给它弄成做成，是啊， y 轴是吧？ 那么现在的话，我就需要一些相关量的运算啊，相关量的运算，比如说对于三角形来说，你要搞清楚啊，这个三角形，我们把 abc 呢给它给它拎出来啊，去处理 好，那么它的边长是二，它的边长是二，那我这个地方呢？ m 啊，甚至说 o 点，我要弄清楚，我的 bm 就是 正三角形的高啊，它的高呢，就等于二分之根号三 a 啊，所以就是多少是根号三，那我的 b o 呢，实际上是占高的三分之二，因为我的外心啊，将它分成二比一的关系，对不对？ 好，三分之二 h， 所以 就是三分之啊，三分之二倍根号三，那么我的 o m 啊，它是占的是三分之一 h 高，所以就是三分之根号三。 哎，我把正三角形的相关量分析清楚以后啊，我再来去给它对照到点的坐标啊，因为它边长是啊二，所以这边是一一，那么我们刚才已经预算过了，这个 b o 呢，是三分之二倍根号三， 那么 o m 是 三分之根号三，那么我们再去进行一个量的运算啊，这里面我们需要用到 p 点的坐标啊，所以我在 r t 三角形哈， r t 三角形这个 p o b 中，当然间隙的话，我们要啊，我们要去描述这个地方，它是有两分的啊，它间隙是有两分的 啊，然后接下来呢，我们勾固定里呢，我的 p o 算出来啊，它应该是根号下 啊，这个 p b 方，对不对？然后减去一个 o b 方啊，那它就等于什么呢？就等于是啊八减去，刚才这个 o b 在 这里面是不是就是三分之四 啊？所以我们看这个是三八二十四啊，三分之二十，那所以 p u 这个关键信息算出来是多少呢？是啊，三分之二倍根号啊，十五啊， 那因此我们做完这些量以后呢，我们现在啊，还需要就是这个面 a、 e、 f， 我 们要算 a， e、 f， 实际上还要算啊， p、 b、 c， 我 们就在这上面先标注一下，可能会更好啊，它的横坐标呢？我们看 a 点的横坐标呀，它就是一个 三分之根号三，纵坐标是负一零啊，然后 c 点的坐标啊， c 点的坐标就是你这个坐标呢，是非常关键的啊，非常关键是不允许出错的， 然后 b 点的坐标呢，也算出来，是啊，他这个是负三分之二，被根号三，然后零零。我们每次做题的时候，做题做完以后呀，一定要先检验一下你的坐标是否写的啊，正确呃，在 坐标找准确的情况下，再去算法向量，否则后面的话它就一步错，步步错啊。我们再算 e 啊，这个是终点坐标，公式是 p 和 b 的 终点，那就是负三分之根号三， 然后啊，是零，是吧，然后是三分之根号十五啊，然后我们再算 f 点， f 点呢，对应的是 p 和 c 啊，那它就是一个啊，六分之根号三， 然后二分之一，然后是三分之根号十五啊，终点坐标公式啊，相加除以二。那接下来呢，我们就算平面啊，就算平面， a， e， f 的 法向量 啊， a， e， f 的 法向量呢，我们设成是 n， 然后这里面是 x， y 和 z， 我们求的时候啊，求的时候啊，怎么简单怎么来啊，这个反向，其实我今天也是求了好几遍啊，确实在算的过程中呢，会出现各种各样的错误，那主要是减的坐标要找准确啊。我们先来看一下 a e 啊， a e 的 话，就是拿 e 点的坐标 减去 a 点坐标，所以它这个地方是负的三分之二倍，根号三，然后纵坐标差呢是 一，然后这个是三分之根号十五，然后 e f 啊，我们算 e f 实际上是比较好算的，那这个地方呢，它减去它的话，应该是 二分之根号三，二分之一零。好，那这里面其实啊，熟练的同学呢，他就直接算，如果不熟练的话呢，我们去借鉴一下这个方法，就是求法向量的方法，那我知道啊， n 这个向量，它与 a e 向量的数量级呢啊，等于零，然后法向量呢，与 e f 的 啊，数量级也等于零，所以我们就得到两个式子啊， d， 然后接下来再用负值的方法啊，负值的方法去运算就可以了， 加上三分之根号十五 z 啊，等于零，然后这个地方呢是二分之根号三 x 加上二分之一 y 等于零，那么这里面呢，我想负的是 x 等于一啊，在这里面去负值，我的 y 值呢就算出来，是啊，负的根号三啊，我再带入一式啊，我去 x， y 带进去以后，我的算出来的 z 呢，就是一个 啊，根号五，因此我的法向量是一负根号三和根号五。哎，这个地方是三分 啊，这个地方是三分。我看到你的，如果你最后结果错，然后这个法向量算对的话，我是给有给分给到你的，所以我们每一步骤都要啊去展现出来。那最后我们再算的时候啊，我们我们知道平面 abc 的 法向量 n 二法向量，它直接就是零零一了，对不对 啊？这个就不用再算了，所以我们先算 cos 两个法向量的余弦值啊，啊，这里面余弦值算出来应该是一个啊，三分之根号五，那对应的啊，对应的 这个法向量的加角的，就是啊，面面加角，是吧，所以啊，所以 n 一 和 n 二 啊，他等于什么呢？他就等于啊，三分之二啊，所以我们的答案正弦值呢？啊，这个法向量加角的正弦值跟谁呀？跟面面加角正弦值是相等的，所以最后答案要要答哦，要作答。 好，这是这个题啊，就是整个来说，实际上预算量的话，就是主要是正三楞锥的一个理解啊，理解，然后就是间隙啊，就是间隙啊，怎么方便怎么来，但是你要找准啊，这些 b o 啊， o m 的 这个值。 好，这是通过间隙的方法，我讲的这个呢，是通过间隙的方法来解决问题啊。好，那接下来呢，我们来思考一个问题，就是我不间隙，应该如何来求面面所成角的正弦值。 那么这里面呢，其实也是蕴涵了一些东西的，比如说，嗯，两个平面， 我们这里面用到了一个东西，知识点就是啊，线面平行的性质 啊，相面平行形，这个其实也很久没有用到了，如果线和面平行的话，过该直线的任意一个平面与已知平面相交 线和交线平行。好，那么这里面呢，其实我们是很容易去获得啊，很容易去获得。 bc 呢，它是平行于平面，这个地方，我就不再去给大家详细去证明，我只是说一下思路，好，我们 bc 呢，是平行于啊，平面 a e、 f 的 是不是 b c 是 平行于平面 a e、 f， 所以 我们过啊， a c b c 的 这个平面与已知平面啊，与已知的平面，它是不是有一个交线， 则线与交线是平行的，也就是说其实 b c 呢，跟交线 l， 这个是 l 平行哈，还跟谁平行啊？还跟 ef 平行。 好，这个平行呢？有什么作用呢？我们来看，我们来分析二面角，我这是用定义法， 用定义法去求二面角啊，那我是不得做二面角，那么怎么样做呢？对于两个半平面而言，我怎么去做？我从啊，这个公共棱是吧？我引啊，棱的一个垂线 啊，这个角就是二面角，所以呢，这个棱，我现在两个半平面啊， a e f， a e f 啊，和 b c a b c 的 两个半平面的交线啊，我是找到了， 那么我现在在两个半平面中分别做棱的垂线，那实际上我连几啊？我取 b c 的 中点和 a 这个 e f 的 中点 啊，这个，这个线画细一点，要不然，要不然一会这个区分不了哈，区分不了，就是哪个线呢？就是这个线啊，这个线 好，那么这个角就是二面角的平面角。为什么啊？为什么？为什么你就是二面角的平面角呢？我们知道，你看在三角形啊， 咱们来分析分析，为什么在三角形 a， e、 f 中啊？你看这个 a n 是 三线合一中的三线，对不对？中点是不是高？三线合一是不是垂直于 e f， 那 所以 a n 它垂直不垂直于 l 公共棱呢？ 同样的道理，在三角形 abc 中啊，它这个 a g 啊，它是垂直于 bc 的， 那所以 a g 也垂直于 l。 我 们看，通过二面角的定义，从公共棱上的一点引两个，在两个半平面中引棱，引棱的垂线，那么角 n a g， 它就是二面角的平面角 啊，就可以表示二面角的平面角，也就是二面角的大小，对不对？好，那么，哎，这个做二面角，首先你得找出来，另外呢，你这是做出来的，对不对？好，第二呢，你还得求出来啊，如何来求？ 那么这里面呢，实际上我给它转化到三角函数中的截直角三角形，我们把 b、 a， g 啊，给它摘出来，行不行？你看，我把这个三角形给它摘出来。 好，你看，这是 p 啊，这是 p， 这是 a， 然后这是 g， 那 么 n 呢？我们思考一下，就是 e f 的 中域线，那么 n 也必然是 e f 的 中点啊，所以我这个地方实际上是一个中点。 好，同学们，我们看，我们所要求的不就是这个角吗？对不对？那这里面呢，啊， p， 我 们是多少？是二倍根号二 a g 呢？我们刚才算出来，这是二，这是高嘛？正三角形的高是根号三， 对不对？好，然后这个 p g 当然也是需要算出来的，是不是 p g， 我 们该怎么算呢？ p g 呢？我们把它放到哪里去算？放到啊，你把该摘出来，你就给它摘出来，是不是啊？ p b， c 里面算 p b 呢？是二倍根号二 啊， p c 也是二倍根号二，底边长呢？是啊，十二，所以这个高啊，其实就是这个是 p g， 那么 p g 呢？它用勾股定律算，就是啊，根号七。哎，我们又摘出来一个很重要的信息啊，就是 p g， 根号七，那么 n 是 终点，所以上面和下面都是根号七。 好，我们同学们想一下，就是这个地方呢，如果你把它转化以后，那么后续所用到的知识呢？就是解直角三角形啊。 好，我们知道，以前高考的时候啊，这个解答题，要么出竖列，要么出直角三角形，如果直角三角形出了，那竖列就不再出了，如果 啊，竖列出了，解直角三角形就不再出了，那但是本题中呢，其实在解直角三角形的应用中，他隐藏在了立体几何中，实际上这也是一个必然趋势，因为所有的立体几何问题，实践最后呢，他都转化成什么呢？平面几何的问题了， 平面几何问题啊，那么接下来呢，我给大家来分享啊，就我如何来求这个角，我想要求这个角的余弦值，我必然还得求出 a n 的 长度，是不是 a n 在 这里面实际上是作为中线来 出现的，我们知道 a n 是 中线，那我就用中线理论啊，向量 a n 等于二分之一的啊， ap 向量加上 a g 向量对不对？然后平方，那就是 四 a n 方啊，啊，等于 a p 方，这个地方，如果说你啊，呃，就是解这样三角形应用的比较多的话啊，它中性理论啊，是非常好用的，这是二 a p 啊，乘以 a 几。 那大家再思考一个问题，就是中信呢，它通常跟余弦定律相结合，你比如说这里面 p g 方啊， p g 方，它又等于什么呢？它又等于 a p 方，对不对？ 是不是？然后加上 a g 方对不对？然后呢，这个相当于是余弦定律了，是不是减去二倍的 a p 啊啊，乘以 a g， 再乘以这个加角的域弦值，就是口塞啊，这个地方没没地方写哈，就是啊，或者说我把这个角乘以大角吧，就是口塞贝塔啊，我实际上是乘以口塞贝塔的，对不对 啊？这个地方还有一个口塞以贝塔。那么大家思考这样的问题啊，就是实际上这两个值啊， ap 乘 a g 的 向量数量积跟这个实际上是怎么样是相等的关系，所以我们这个式子和这个式子它可以连连立在一起，也就说是四倍的 a n 啊，魔方对不对？ a n 魔方加上 p g 方， p g 方刚才已经说过是七，等于这两个数的二倍，这两个数呢，又都非常清楚， ap 呢是二倍，根号二就是八，然后 ag 呢，是根号三就是 三 a， 所以 我们其实 a n 就 非常清楚明了的去求出来了啊，这个 a n 呢，我们算出来是一个二分之根号十五， 那既然 a n 是 二分之根号十五啊，那我再算口算 r 法就也是非常清楚的，就用余弦定律啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？然后减去二倍的 a n 的 模哈，乘以 a g 的 模， 然后再啊，这个地方我好像是写错了啊，写错了余弦值啊，那这个地方呢，我们直接去求口算尔法的时候啊，求口算尔法的时候，直接就是啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？ 然后减去 n g 方，然后除以二倍的 a n， 然后去乘以 a g， 这个算出来其实也是一样的啊，哎，这个方法它就比较巧妙，但是，呃，需要同学们的综合实力是非常强的啊。第一个就是你要会做出二面角，对吧？ 做完以后你还得去求，那我刚才说了一句话，就是任何的啊，立体几何问题，实际上就是啊，平面几何问题，那么在平面几何问题中又遇到了解直角三角形， 哎，实际上你单摘的去看，每个知识点都比较简单，但是你合在一起他就比较难了 啊，这是我们应该注意的。所以说综合是呢，总要求大家综合能力是非常强的啊。那我们刚才讲了一个是间隙，一个是几何法啊，希望同学们呢 啊，看完我们的视频以后呢，能够啊，能够更加的清晰啊，更加清晰，然后再动手去做一做。我觉得啊，光听听也不行，你得落到实处，你得去演算一下啊，看自己能不能啊，这个能不能做出来，这是更重要的一步啊。

哈喽，同学们好，今天是三月十七日，离我们对口数学考试的时间越来越近了，我们数学科目将在二零二六年三月二十二日上午九点到十一点半进行考试。今天呢，我们来预测一下，在考试中立即集合会不会继续考察，会将怎样考察。 从近两年对口升学数学考试的立体几何部分来看，我们二零二五年考察了一个线面平行，二零二四年考察了一个线面垂直，那么二零二六年这个知识点预测呢，还会继续考， 只是说题目的背景会变化，甚至呢把这个两个知识点呢给综合起来，或者说与初冬的平面几何 综合起来。一句话，只要说把这两个基本的考点给吃透，这样的题无论怎么去变，拿满分都是没有问题的。下面呢，我们来看一下，二零二六年对口升学数学是题中的立体几何将怎么去考，我们直接呢拿一道题呢给大家预测一下， 我们来看一下这个题目的背景。题目呢，是在空间四面体去研究的，首先我要明白什么是空间四面体，空间四面体呢，也叫三楞锥，也就说具有四个面六个楞这样的空间图形。 这个结论呢，要我们正这个句型，正句型，我们可以小句型的判定定例。句型的判定定例呢，我们可以首先证明这个四边形呢，是平行四边形，有一个角是直角的，平行四边形是句型。另外呢，也可以证明这个对角线相等的平行四边形是句型。 另外呢，我们还可以说是三个角是直角的，四边形，是矩形。结合着这道题呢，要正直角就需要证明线线垂直，要想证明线线垂直呢，我们需要证明线面垂直。那么如何去正喜爱的朋友呢？关注一下下期视频详细讲解。