一模立体几何大题

同学们大家好，今天跟大家讲一道二零二五届大湾区一模的第二道大题。首先呢，这道题呢，我们看一下题目，它是一个四棱锥， p a， b c， c d， p d 呢，又是垂直于整个底面的， 然后 ab 和 dc 之间是平行的， bc 呢，又等于 cd 等于 abd 等于二， abd 又等于四啊，我们可以看得出来哈，现在这个底面 abcd 呢，它应该是一个 等腰梯形。然后呢，它现在第一步让我们证的是 p a 垂直于 p d。 好 了，那我们现在先把 b d 给它连出来 发现哈，现在我们要证 b d 垂直于 p a 的 话啊，其实呢，就是因为我们要证线线平行，其实就要去找线面平行了啊，那现在一个问题就是谁去做面，谁去做线啊？那我们可以看到哈，我们的原则就是要以信呃，信息量多的那一条线去做线， 那信息量少的那条线呢，就和信息量多的线啊扯成一个平面啊，去充当平面啊。那所以在这里呢，我们可以先把 pa 这条边，它的信息量是比较少的，我们和 p d， a d 这两条边扯成一个平面，所以现在呢，我们把问题转化为正的是 b d 垂直于面 p a d。 好 了，这是我们的一个转化，一个思路的一个转化啊，那如果我们证明了 b d 垂直于面 p a d 的 话，其实就能证 b d 垂直于 pa 了啊， 那我们先来看第一个条件，因为呢， p d 是 垂直于整个底面的，所以 p d 也垂直于底面当中的 b d， 所以 第一个信息就是 b d 是 垂直于 p d 的。 第二个信息呢，其实就需要从我们这些题目当中给了很多边长的一个信息哈，我们就要把这个场景给它描绘出来啊，因为呢，我们刚刚说这个底面它是一个等腰梯形，我们先把这个场景给它描出来，梯形呢，它的一个各边的一个关系，我们快速标起来， 把这个这个 d 点我们垂直下来啊， c 点也垂直下来，我们可以得到哈，这两边的长度应该都是一的啊，中间的长度就是二。好，那所以呢，可以求到啊， 这条黑色的这条边的一个高度，它是等于一二根号三的。通过在三角形 d、 e、 b 中我们可以求得，因为 d、 e 是 等于根号三的，一， b 是 等于三的，所以可以求到 b、 d 呢，它是等于二倍根号三的。好了，由此呢，我们现在可以看得到哈，这个 a、 b 边它是等于四的， a、 d 边是等于二的。蓝色的小 b、 d 边呢，它是等于二倍的根号三的。所以呢，现在这个三角形 a、 d、 b 也是一个直角三角形，我们可以得到 a、 d 是 垂直于 b、 d 的。 好，那现在呢，我们又得到了另一个信息了，就是 b、 d 是 垂直于 a、 d 的 啊，那相当于就是一一条线垂直于面内的两条相交直线，我们就可以证明 b、 d 垂直于平面 p、 a、 d 了，所以呢， 这个时候就能够就可以证明到 b、 d 是 垂直于面内直线 pa 的， 所以 d 问我们就算做完了。好了，完整的过程我们放在后续的一个图片当中哈，好，那这道题哈，它其实考了两个方向，都是比较传统的一啊，一个是线面垂直的一个信息 信面垂直的一个信息呢，它就可以直接给我们提供垂直的关系，那另一个呢，就是给了很多具体边的时候啊，我们就会感可以发现有一些关系，垂直的关系它可以藏在这些平面几何的关系当中啊，所以是从平面关系里面获得一个垂直的关系哈， 那接着到第二问，那现在给我们提供的信息就是 p、 a、 b、 d 的 这个四棱锥，它的外接球的表面积是等于二十五的。这个信息呢，我们先去处理到一个关键的点吧，就是球的表面积哈，它是等于 四拍 r 方的，那我们可以得到啊，它就等于二十五拍，那通过运算可以得到 r 呢，是等于二分之五的 啊，所以现在这个四棱锥的外接球是的半径是等于二分之五的啊，那我们如果现在要间隙的话，其实整体的间隙都不困难哈，以以我们的平面当中的 d、 e 的 这条边啊，作为一个，作为一个 s 轴啊，给它做出来，以 d、 c 的 这条边呢，作为 y 轴给它连过去， 以 d、 p 的 这条边作为 e、 c 轴给它连上去。好了，那现在呢三条边我们弄出来了之后哈啊，我们会发现呢，现在对于我们的 a、 b， c、 d 这四个点，它其实都是很好表示的，唯独 p 点我们不知道它的高度啊。所以整道题如果要求二面角 c， a， p， d 的 余弦值的话，其实就一定要把 p 点给求出来了啊，那如何求呢？其实需要借助现在的这个求的一个半径，那这道题同学们哈，来到今年了，我们才回看上一年的这个大湾区一模试卷的时候，你们才会发现， 上一年的高考题啊，新高考一卷其实也考到了这道题里面的这个思想啊，一模一样的一个思想。所以呢，如果上一届他们有认认真真的去分析大玩具一模的这个试卷呢，其实他他们到了高考的那一天，他们遇到的立体结合大题应该都是很有感觉，很能快快速做出来的哈。 二五年的新高考一卷的立体几何大题啊，其实我也有，我也有去讲过啊，同学们可以看一下前面的一个视频，先设球心 o 为有了球心之后，因为现在啊， a， b， c， d 四个点我们都是可以具体表示的，所以我们可以用呃向量的一个方法啊，把 d o 的 磨成 给它表示出来， a o 的 模长给它表示出来啊， b o 模长， c， o 的 模长给它们都表示出来啊，用向量的方法啊，把这些向量表示出来之后，再用呃模长的公式把它们表示出来，那最后呢，都要让它们是等于半径的，都是等于二分之五的。所以呢，现在一共有 四个式子，三个未知数，就是 x 零， y 零， x 零就是在四个式子里面充当未知数的，我们就可以把它 这个 o 点给解解出来了。那接着我们可以设我们的 p 点，因为我们的 p 点呢，它们它的横纵坐标都是零零，只有一在坐标呢，是可以设的，我们就设为小 m 啊， 那因为 o 点我们通过这里已经可以求出通，通过上面这里已经可以求出来了，那我们再把 p o 的 魔长也要等于二分之五啊，由此我们就可以求到我们的小 m 坐标了， 所以呢，当我们的 p 点出来之后，你们会发现 a 点， b 点， c 点早已经知道了。那后面的一个步骤呢，其实就很简单了，就分别去求啊，面 c、 a、 b 的 一个法向量，还有面 a、 b、 p 的 法向量。 求得了他们的法向量之后呢，我们再带入公式啊，就可以求到我们二面角的一个余弦值了，所以后面的步骤呢，都是比较常规的一个操作哈，所以呢，我也会把具体的一个内容写在后面的一个图片当中啊，那所以这道题的一个思想还是比较啊，比较 心啊，也是，我们和上一年的高考题是一样的一个思想，所以同学们可以好好的去吸收啊，当我们的一个立体几何涉及到外接球的时候，我们如何用向量的方法去给他解出来。好了啊，那整道题的一个思想其实考的并不复杂哈，整体的流程呢，也是比较 可以比较快的。但是这道题的第二小问呢，我们要写的内容可能就比我们传统的一个立体几何大题的第二小问要多了，因为他还涉及到前面的一个球球 球星，以及求 p 点的一个过程哈，所以写起来呢，可能会比较复杂的。那同学们可以好好的看一下后续的一个啊，答题的一个过程哈，可以吸收一下整个思路。好了，那同学们有什么问题可以在评论区提出。

好的各位同学啊，我们来看一下这个二零呃，二二年海淀区一博，如图，这个立体几分？如图啊，在四边形四轮柱啊， a， b， c， d 杠， a， e， b， e， c， e 中，底面 a， b， c， d 呢？是一个正方形平面 a， a， e 啊，第一地垂直于 a， b， c， d， 也就是它的侧面啊，正面和后面它是一个这个垂直于底面的状态 a， d 等于二，底边的边长是二 a， a 一啊，这个斜过来，这个边冷侧冷，长度呢，和 a 和 a， e， d 是一样的 啊，和 a， e， d 是一样的也。底面是一个等腰，呃，三角形 a， a， e， d 呢？是一个等腰三角形啊， a， e 等于 a， e， d。 第一个求证， a， e， d 啊，垂直于哪个呢？垂直于 a， b 啊， a， a， d 垂直于 a， b。 那这个很简单，因为 这个 a， e， d 呢？在平面 a， d， d， e， a， e 上，所以 a， b 呢？我们这么望过去， a， b 应该垂直于这个底面的啊，垂直于这个后面的，垂直于整个平面，所以直接写就行。第一个啊，这个在底面 正方形 a， b， c， d 中啊，直接就有 a， b 呢？垂直于 a， d， a， b 垂直 a， d 呃，然后我们还需要再来一条线啊，那我需要做 过 a 做啊， a， h 啊，过 a 做 a， h。 垂直于 a， d 于 h。 那么因为什么呢？因为这个 a， a 一等于 a， d 啊， a， e， d 啊， 这个三线合一啊，这个这一问呢，可能还用不到三线合一看一下啊，过它做一条垂线啊，那么还有呢，平面 a， e， a， d， d， e 垂直于平面 a， b， c， d 啊，所以我就有什么呢，所以我就有了这个这个高啊， a， e， h。 你就垂直于底面平面 a， b， c， d 这是我们那个呃 面面垂直推线面垂直啊，我垂直于交线，那么有了这个之后呢，所以我的 a e h 呢，就是垂直于呃 a b 啊，那我现在有了两两根儿线，对吧？两根儿线， a， e， h 垂直于 a， b 啊， a， b 呢？垂直于 a d， 然后呢， a， d 呢？ 交 a， e， h 呢？等于 d h 啊， d h 相交，对吧？所以呢，我的 a b 呢，就垂直于平面 a， d， d， e， a， e 有了这个之后我就可以退出来，所以 a b 就垂直于 a， e， d 啊，就做完了。 ok， 第二问，所若直线 a b 啊，与平面啊， a e， d c e 平面 a e d a e d c e 这个平面 a， e， d， c， e 所乘角的正线值啊，求 a a e 的长度。那么这个时候呢，其实大家能感受到啊，这个我们侧边的这个高啊，一直没有给，就是这个 h a e 的长度呢，一直没有给，所以我们就拿它来间隙啊， 这个去 q 啊， 那么题目的条件呢，其实就是给了这个长度啊，那么我们这个取 b c 终点为 q 啊， 必须得有 v q， 然后呃连接 h q， 所以呢，因为三线合一啊，第一个 h h 等于 d h 啊， a h 等于 d h， 然后呢， q h 呢？垂直于 h d q h 垂直于 h d， 那么所以呢，以 h 啊为原点， 如图啊，建立 h 杠 x y z 空间，只要做标细， 这个时候其实已经建好戏了，嗯，我们也进行了相应的说明，所以我们就后面就可以直接写了， 有了这个之后，我开始写坐标啊，我就设这个 h a e 呢等于 a 啊， 是它是 a， 之后呢，我们高度这一块就可以解决了啊，所以我要算直线 a b 啊，那么 a 的坐标就是这儿是二，这个 a d 长一下，这是一，这是负一， 这是 x， 这是 y， 这是 z 啊，是 h， a 一是它的话， a 一的坐标呢，就是零零 a 啊，然后 h 呢？是零零零， 呃， a 一呢， x 方向是零， y 方向是负一，内方向是零啊啊， a 啊，写错了，是 a， b 呢，是 x 方向是一啊， z 方向 y 方向是一负一零， 然后要求的是平面 a 一 d d 的坐标啊，零一零，还有一个 c 一 c e 的纵坐标是多少呢？ c e 的纵坐标啊，大家来看啊， c e 的纵坐标呢，跟 a e 是一样的，也就是 a， 那么 c 一的横横坐标呢？怎么选？ c 一的 x 坐标和 y 坐标呢？那么这个呢？稍有啊，稍微有一点点绕啊，但是呢，很简单，因为我们很简单啊，我就先设他是这个 x 零啊， y 零 a， 那么很明显的，我们的 a e c 一向量 a e， c e 等于谁呢？等于向量 a c 啊， c 的坐标是什么？ c 的坐标是一一零啊，那么向量 a， c 呢？等于向量 a e c e 啊，我们就把 c e 的坐标可以解开 a c 限量 a， c 是什么呢？我们一做一个叉啊。呃， c 坐标是 x， 方向是二啊，写错了，二一零，二一零，那么这个是多少？限量 a c 等于 二二零，那么下量 a c 等于什么呢？等于下量 a 一 c 一 a 一是什么？零零 a 啊，那么就是 x 零，这个 y 零零啊，所以 这个，呃，它的坐标应该是多少呢？ x 零 a 一， 应该就是二二零，所以 x 零等于啊， y 零啊， 都等于二，对应嘛，对吧？都等于二啊，都等于二，所以呢，呃，这个 c 一的坐标呢，就是二二零 推了一步，有了这个之后呢，我们就看啊，平面这个开始算第一个，这个直线 a、 b 是什么直线 a， b 啊，是 二零零，然后皮面啊，哪个皮面呢？皮面这个 a， e、 d， c， e， a， e， d， c， e 啊，这三个点，所以我就开始写， a， e， d 等于什么啊？ a， d 等于零，一负 a， 然后 a， e， c 等于 a， c 啊，等于二二零啊， a， e， c 等于 a， c 等于二二零，然后平面 a， e， c， d 的反应量 为 m 项量啊，等于 x， y， y， 然后这个时候呢啊，接着后面就顺理成章了啊， a， e， d 乘以 m 等于这个 y 减 a， z 等于零，然后 a， e， c 乘上 m 向量等于二， x 加二， y 等于零啊， x 加 y 等于零，所以呢啊，我们去， y 等于呃， y 等于 z 啊， y 等于 a， z 呢，等于一， x 也等于 a， 所以呢，我的这个限量 m 法限量就等于 a a 一啊， a a 一， 那么有了这个之后啊，我们再来看啊， a b 限量是他，那么题目当中说他们两个的什么所乘角的正线值是七分之根号二十一啊啊，这些人呢，就是他们两个的余弦余弦值的绝对值啊，就是 m 向量和 a、 b 向量的 数量积的绝对值啊，这个等于七分之根号，七分之根号二十一啊，等于他，所以给他算一下啊，等于什么呢？ 等于 m 向量啊，乘以 a， b 向量除以 m 向量的模啊，除以 a、 b 向量的模 等于多少呢啊， m 向量乘上 a、 b 向量，那它就是分子是二 a 啊，分母是 a、 b 向量的模式二啊，然后 m 向量的模式根号下 a 方加 a 方加一啊， 所以把它解一下，就是平方一下七分之四十九分之二十一等于 给约掉， a 方约了，然后二 a 方加 e， 这个再约一个七，那就是七分之三，所以六 a 方加三等于七 a 方啊，然后 a 方等于三， a 方等于三， a u 是一个正数，对吧？同学， a u 是个正数，所以 a 呢，等于高二三啊， a 大于零， a 是一个正数， a 等于高二三。所以工学啊，这个 h a 一的长度就算出来了。 h a 一呢，等于 等于 go 三， h a 一等于 go 三之后呢？呃，这是一对吧？这是一一根号三二啊。所以 a a 一的长呢，就等于这个购物定理啊。所以 a a 一的长等于多少？下一的平方加 go 三的平方 二啊， ok， 就做完了。那么这个过程呢，其实不难啊，这个过程整体整体来说不难。就是，呃，你需要先设 a 一的坐标啊，去 取这个坐标轴啊，你需要把它设好，如果你取 a e 的话，整个 a e 为坐标一点的话，整个看起来这个 z 轴啊，就没有那么好算啊，但其实也差不多，这也差不多， ok。

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是安徽 c 二零联盟一模数学的几何压轴大题， 题目给了我们一个等腰直角三角形 a、 b、 c、 d 点在 b、 a 延长线上， e 点在 b、 c 边上，并且 d 一 和 d、 c 是 相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，然后再做 e、 g 垂直 ab， 他的题干就是这么的简洁。不知道大家读完题目之后有什么感想啊？反正我的感想就是，这道题他延续了安徽省前两年中考几何压轴题的特点，一是难度不大，二是不需要辅助线。 好，我们先来看第一小问，他让我们证明 e、 g 和 a、 d 是 相等的，那要证线段相等。我们的第一想法是不是去找全等三角形啊？ 可以看到 e、 g 在 直角三角形第一极中，而 a、 d 也在一个直角三角形中，并且这两个直角三角形的斜边还是相等的，所以说我们要么再找一组相等边， 或是再找一组相等角，要是根据题目条件来看的话，显然是不是倒角要方便一些啊。 可以看到角 e、 d、 g 是 等于 r 法减四十五度的，而这个角 d、 c、 a 它也等于 r 法减四十五度，所以角 e、 d、 g 和角 d、 c、 a 是 相等的，那现在全等条件就够了吧，所以说 e、 g 和 a、 d 确实是相等的。 好，再来看第二小问，题目说若 a、 f 和 c、 f 的 长度都是二，然后让我们求 cd 的 长度， 这答案是不是都写在脸上了呀？因为很显然三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 c、 d 是 相似的，所以 af 比 ad 等于 ad 比 ac， 这样 ad 的 长度就出来了，然后再用勾股定律就能把 c、 d 的 长度算出来了。 好，我们再来看最后一小问题目说若 a d 比 a， b 等于 c， 一 比 b 一 等于 k， 然后让我们把 k 的 值求出来。 就这个问题，怎么说呢？如果你还需要加辅助线的话，那说明你的反应还不够快。因为第一问我们已经证明了 e g 和 a d 是 相等的，又因为三角形 b g 是 等腰直角三角形，所以 b g 和 e g 也是相等的。 那也就是说啊， b 七比 ab 也等于 k， 然后再根据平行线分线段成比例， a 七比 b 七等于 c， 一 比 b 一 等于 k。 发现问题了没有？这个时候 a 七比 b 七等于 b 七比 ab 等于 k。 那 看到这个东西，不知道你们有没有想到黄金分割比啊？ 去年广东中考是不是刚考过啦？所以说这个 k 它是等于二分之根五减一的，你学会了吗？

好题视频精讲立题九，合同的抛物线没有思路怎么办？三种解法带零分，本来这是一道二零二六赣州易莫的单选压轴题，在之前弄的主体解析里面也介绍了一种解法， 巧劲性的结法，但有的粉丝说还是希望我录制视频，就有点不理解嘛。录制视频给大家讲一下，所以咱就给大家弄了一个精讲， 介绍了三种结法，你看只要我们每一种结法都有值得学习的地方。我们先来讲一下这个题目有哪三种结法呢？第一种结论法， 结论法，但这个不是推荐，并不适合所有人，对吧？咱首先要知道结论你必须是优生才行，适合的是一百三十五加的平时。这就是 我之前录制的绵阳二诊的立体九和亚洲大题，就刚好讲过这他其实就是一个抛物线，所以作为小题，我们大题还要去证明，小题就可以直接拿这个降维处理。所以第一个结论法 下面我们来看第二种接法，其实二三都是一个通用的，都是在一个大的方向上间隙来操作间隙，但间隙我们又分为两种，巧间隙， 这是很多人没想到的，巧间隙的话无非就是一开始找点稍微复杂点，对吧？但是后面就写起来很顺手，后面比较顺手， 顺手然这个但是考场上很多人也想到间隙了，这就是常规间隙， 但常规间隙他就会出现卡点，说明就出现了卡点，那么怎么去突破卡点，就是我们这个怎么突破卡点， 就是我们这个视频要讲的东西，对吧？其实说言再说广泛一点，这个第三种接法，突破卡点，我们有偏超纲的嫌疑， 但好在这个图形是比较好看的，比较常规的，我们就不用超纲词来给你解释，用转化与化归象，我们在最重要的是转化与化归象，转换成小粗高的知识给你解释就够了，转换成小粗高知识主义，对吧？所以我们等会看 都是很值得学习的地方，每一个思路怎么去想的好，我们就开始来。嗯，这个题目格子够不够啊？呃，差不多，我们先写第一种解法，在长方体，在数据告诉知道这个我们看到有个正方形 点 m 在 这个平面内运动，角 m d， e， d 等于角 a d e d 这个是具体的，所以这个算得出来，我们画图来先算一下。 好，我们画出图来了，先算一下，我们这个介绍的是法一，这是第一种大的解法结论法， 但这个呢，不适合所有考生对吧？只要我们知道它是一个抛物线了，等会儿直接找到特殊点，我们就可以小题特殊化处理，一般特殊思想特殊化 锄力来做它来等一会啊，为什么是抛线呢？这其实与我们单等连双球推出来一个结论，一等于 cos 阿法除以 cos 被它有关，圆锥去截了吗？这个算出来刚好为一。我们最后这个方法的最后再介绍， 我们先来看怎么小题，怎么快速用这个结论来做算，速度快，但它不适合所有考生，我们就来开始来看一下标数据。 a b c， d， 这怎么标成 d 了？ a e b 一 c 一 d 是 吧？ a b c d a b c d 啦， ab 等于二，我这个话短一点不影响。 a d 等于一， a a 一 等于，你看是不是等腰直角三角形，所以自然 a， d， e， d， a， d， e， d 这个角为四分之八， 等腰直角三角形四分之八，那四分之八。我们目标是在这个平面上动，我们就把这个平面换个颜色，先把它框出来。 好，这还有个平面，既然 a， d， e， d 在 这上面，而这个 d， e、 d 是 不变的，其实就是我们圆锥的一个轴 d， e， d， 对 吧？所以你看这有个焦点， m 跑到这个位置，满足，我们标为 e 点， e 点，是不是找到它满足了？而四十五度，很自然想到等腰直角三角形， d， d 等于一， c， d 等于二，去它的终点 f 点，如果 f 跑得着， f， d， d 也满足，你看这个平面上是不是就找到两个的特殊点了，而两个特殊点还不够，抛物线应该是三个点，但还有对称性，因为面是无限延伸的，我们找内部一个 f 一 撇 同样取它，是不也找到三个点？所以先在一个平面上找，就相当于找到了 f。 我 们这样写， f， e， f， e， p， 它是关于这个，是关于什么对称，关于轴 a， e， d 对 称的就是它的对称轴，所以我们把这个对称轴降为。现在已经平面知识了吗？已经降为了，降为 x 轴，新的 x 轴，新的 x 走，我们就可以降成平面来处理了。好，我们就开始来操作，画个图，以这个 d 为圆点，这个 d 塞为 x， 走了 x 轴， o， o 就 改成 d 点和 y 轴，所以 d， c 的 长度标出来，这是二到零，而 a 一 的坐标也标出来，因为是一根号，所以 a 一 的坐标是零到根号二，所以你看这个平面就是在这了。 a， e， b， e， c， d 平面上能到这条直线 a， e， c 的 距离哪两个点呢？只要有两个点，这个是 e 点，这是 f 点，只要有个抛物线，对吧？ 抛物线上的点到这个直线的距离问题是不是转换成二维的问题了？如果能求出抛物线的方程，而抛物线又关于这个对称的 f e 撇，所以抛物线的方程待定。系数法就可以设为 y 等于。我们先把点坐标写出来嘛，则 f 是 一到零，这个一的坐标是零到二分之根号。所以抛物线 m 的 轨迹 轨迹怎么写？车这个吧，对 m 的 轨迹方程就可以设为 y 等于 a x 平方加上 b， 因为他刚刚说了，他是关于 y 轴对称的，就没有一次项好就可以带点进来了。零到二分之根号就得到二分之根号，就等于 b， 再同样带第二个零到一啊，一到零一带进去就零等于 a 加 b， 自然就可以推出。我们就写了 y 就 等于 a 就 等于负 b， 负 b 就是 负的二分之根号。 x 的 平方加上二分之根号，你看最终推出它就是一个抛物线，我们 猜出来那个结论是差不多啊，猜出抛物线是才推出它，是知道结论才能这样写，所以这个叫结论法。 对结论的话，我们高中结论特别多，所以这个方法并不是通用的。你如果刚好知道这个结论，可以学他不知道的话，我们先去看单等零双球，他有椭圆双曲线，抛物线还有非退化的，退化的，我们只要是得到他，得到他之后呢？ 咳咳，要求域直线 a， e， c， 我 们求 a， e， c 的 方程，咳咳咳， k， e， c 根号二除以负的二分之根号点斜式， y 就 等于负，二分之根号乘以 x 加上根号，同时乘根号二化简。 根号 x 就 等于负啊。根号 y， 根号 y 就 等于负， x 加上二，移到一边，一般是 x 加上根号 y 减二等于零，对吧？把它标上，得到直线，得到抛物线，我们用 又给大家介绍两种精讲嘛，咱又有两种思路，第一种，临界情况相切，对吧？第二种，直接设任意一个点到点到直线的距离。两种方法都给大家讲。先来解解释，法一 好，你看，我们又介绍两种方法了。法一，求到 y 一 撇，就等于头拉下来，头减一，负根号二 x 这个的斜率算成是要等于负的，二分之根号就推出 x 要等于二分之一带进去， y 就 等于套在， y 就 等于它，对吧？ y 我 们切，我们看一下。对的，切线是求导算出它点来，再带入抛物线。方程， y 就 等于二分之一平四分之一，八分之根号，负八分之根号，它是八分之四，八分之三倍。根号 好，直接套点到之间的距离就等于根号下一加根号三分之 x 就是 二分之一， y 就是 八分之根号乘以根号二八分之二，四分之三 减一，这个直接算出来就是他求的是最小值，我们就是这个最小值了。然后这就是四分之根号三四摞下来，这就是二加三减四。 咦，我看一下这个，是啊，这是减二，难怪我说怎么算出来是负值到一了。 好，我们找它减二，所以在同时乘一个四就要减八的绝对值，所以八减五等于三，四分之根号三是不是就可以得到答案了？有答案的选 d 答案，这到这解法一出来了，下面我们就来看解法二就小于函数与方程四相反得到关系，我们就是消元 d 就 等于根号三分之套减就变成了 x 加根号 y 减二的绝对值，而我们方程再则 y 就 等于它同时乘以根号，这个就变成根号 y 就 等于负 x 平方加上 e， 我 们看对不对啊？根号对的，没问题， 对的，所以只要就可以直接变成了根号三分之 x 减 x 平方加一，减二就减一，只要是绝对值可以去掉，就变成了 x 平方去减 x 加上一， 这个配方就变成根号三分之 x 减二分之一的平方再加四分之三，大于等于四分之根号三。在考场上我们已经可以这么做，但是前提是知道结论的做法，如果不知道结论，我们就继续往后看，我们只要就是 知道结论，我们就可以利用这个结论去巧除例，再找咦，颜色换，这是知道结论的做法吗？下面不知道结论，我们就用间隙来求出它的 x， y， z 的 关系，我们就可以做了。好，我们就开始来讲法二复制题目， 法二，巧间隙 是不巧见象，你看巧见象，我们分析，首先这个在这个平面上，我们这个坐标就见到他去，对吧？我们同样画图。 好， a b c d a e b e c e d e 我 们介意要把这个 x， y， z 走到这儿来， 这就是本级的第二种巧间隙，在这个面上，后面我们后面都在这个面上分析，还是降维的操作，对吧？我们能降到这个维就行了，所以我们只是这个 z 坐标不好照，我们就来看一下，只要见到这上面，这就是 x 轴， 这个为 y 轴，对吧？或者这个 x， 这个 y 其实差不多的，我们看一下，一样的，在 x 轴，这个 y 轴，咱们这就拉上去，咦，点到啥了？ 这个为 z 轴，对吧？这个为 z 轴，就巧见效，见细完之后，我们就开始来找点，有什么点就写什么点标数据。这个是二，这个是一，这个是一的好，这还有个 d 的 坐标，第一的坐标，第一的坐标，此时，哎，就难找你了。找第一的坐标就要找横坐标中坐标高度就是地点到这个面的距离了吗？我们可以用等体解法先求高。哪个等体解呢？就是 v 第一到哪个面，随便找一个第一， a， e， c， d， 它是等于 v， c， a， e， d， d， e 的， 对吧？ v， c， a， e， d， d， e 都有三分之一，都有二分之一，不写了，就变成 s 三角形 a， e， c， d 再乘以，则 d 到它的高就是我们要求的，就等于 s 三角形 a， e， d， d， a， e， d， d 再乘以，这就是 c。 点到内部的高就是 c、 d 的 长， c， d 的 长就为二，所以就推出 h。 等于 s 三角形 a， e， c， d 分 之 s 三角形 a， e， d， d 再乘以二，好算一下， a， e， c， d， 我 看一下 a， e， c， d 刚好是正长方体，长方体，这个是二，这是根号，就变成二分之一 乘以二，乘以根号。而 a， e， d， d， a， e， d， d 就是 二分之一乘以一，乘以一，但我们最终还要乘以二， 对吧？我们该把它圆的圆掉，最终算在这个高，就是二分之根号。 z 坐标。知道了，就开始来找坐标，先把好找的给你找了嘛， d 的 坐标就是零零零 d 的 坐标，还有个 d 一 的坐标就要找同一点啦。 有一点就是刚好，因为这是垂直的嘛，只要记住它为 h， 是 不是就同一点了？因为我们刚刚说 cd 垂直于里面这个面，所以 d h 肯定是垂直于 cd 的， 所以只需要做 d， h 垂直于 a， d 就是 投到这个面上了嘛，而这是正方形，刚好是等腰直角三点，所以这一 就是二分之根号，这也是二分之根号二，所以就相当于它的 y 坐标是二分之根号二，是吧？ y 坐标是二分之根号二了，而因为它头到在它的横坐标是这个，我看一下它在第一 y z 面上吗？ 我想一下，这个是 x 轴，这是 y 轴，嗯， d 点呢？在 y 轴上才是为零，它是到后面的。 就像呢，我们投一点是 h 点， h 点投过来就是 d 点，它的纵坐标是 h， 就 投到 x 轴， x 轴就是 d 的 坐标，没问题， d 的 横坐标，所以 d 的 横坐标是零 吧。重坐标是二分之根号二，然后 z 坐标我们刚刚算出来也是二分之根号二，这就第一的坐标，所以这个坐标就稍微要难找点，难找点 好得到第一的坐标。我们还要找后面还有个 a 的 坐标嘛。 m 肯定设为 x， y z， a 的 坐标， a 的 坐标啊，都不用，因为四十五度，我们是可以直直接知道的， m 就 设为 x y z 就 可以把方程算出来了。 x， y， z， z， 其实 m 我 看一下 m 现在在这上面 z 坐标就为零了，你看这就这个间隙的好处， z 坐标是明确的， x y 零。好，我们就开始来写，得到它之后我们就要利用这个等于四分之派紧于弦。共定点嘛，要先把 d， e m 向量写出来， m 减 d， m 减第一的就是 x， y 减二分之根号，负的二分之根号还有个第一 d 第一 d 其实就是负的负零，我们填个正号不影响吧。算了，还是先填个负号 好，得到它，我们就到加减公式 cos 四分之 pi 就 等于上面是数量级了， 看好了它它它和它它它的数量级。负二分之二，这个负的正就二分之一。减二分之根号 y， 再加上它，乘它二分之一，再除以模，根号下 x 方加上 y， 减二分之根号的平方加上二分之一，再乘以这个的模，这个是四分之二加四分之二分之一，就刚好为一，就不写了。 好，它等于构成四分之二分之根号。化简就推出一减二分之根号 y， 这个可以写成根号二分之一，所以根号乘过来就变成了根号。加 x 方加上 y 减二分之根号的平方加上 二分之一。好，化简就变成根号二。减去 y 的 平方就等于 x 方加上 y 方减二倍。设为根号 y， 再加上二分之一加二分之一加上一。只要打开就变成 y 方减二倍。根号 y 加上二，就等于 x 方加上 y 方减根号 y 加上一。你看我们不关注它是不是抛物线， 只要得到方程消圆，我们后面就是函数方程思想消圆就行了。所以就推出 x 方就等于 x 方，这个一拐就等于负根号 y 加上一。哎，得到这个关系了，得到关系之后呢，我们就可以把直线了嘛，它是 a e c 了嘛，对吧？ c 的 坐标写出来， 所以此是 c 的 坐标， c 的 坐标是二零零，不用二零就行了，它在一个面上，然 a 的 坐标是零根号，二， a 的 坐标零根号。同样斜率 k 就 等于根号二除以二负二分之根号。哦，这个和前面差不多的啦。所以直线 l 的 方程就是 y 等于负的二分之根号， x 加上根号。好像这个最终画出来和我看， x 方等于负根号， y x 方等于负根号， y 加一 x 方等于负根号。哦，这个就和后面一样了，和前面的方法，你看 x 方在这， 这个化简一乖， x 方就等于负。呃，这个一乖，负根号 y 加一一样了吗？直线也是一样的，我们斜率算出来，所以后同法一就不用写了，这就是后同 法意，都没必要重复写了，我就省略了嘛，就完全一样了，和没法意。你看，这就是巧间隙，巧间隙就是难找，第一的坐标一点找准了，我们就可以往下做了，这是巧间隙。下面回到我们考生考卡住的方法，我则 感觉一模的题目不见了。好，来看常规间隙，我们会卡在了，怎么去突破它呢？ 常规间隙我们一般我记得是 a 点，一般是画图习惯了嘛，我就用大家最习惯的解法来操作， a， b， c， d， a， g， d 一 c 一 d 一 对吧。 a， b， c， d， a， b， c， d。 一 般就是这个是 x 轴，这个是 y 轴，这个是 z 轴。好，没问题，关键是我们先不往下先分析这个面的特点， 就这个面的方程，如果在空间中再说。前面我讲了七偏超纲的面， a， e， b， e， c， d 的 方程怎么写，空间中，在空间中 怎么写，对吧？怎么写的问题了。其实我们可以用代定细算，但我们教大家一个东西，这个是大学的知识了吗？我们就不用，大学的知识叫点动呈现，小学的 小学知识叫点动呈现，现动呈现。 线动成面，什么意思？你看这个有个特点， a、 b、 e， 我 们这是不是只需要平移 x 轴，找到 y、 z 的 关系，对吧？所以我们如果定 x， 那 么先把这就是动 x， 哪条直线呢？就相当于是 a、 e， d 动 x， 这就是线动，就成这个面了。 你看线动层面，所以只需要把 a、 d 的 方程写出来， x 就是 动的任意的就行了，而 a、 d 是 在 y、 z 面上， y， z 面上，这很明显，这个结句为一，这个结句为一，所以主要就是 a、 d 的 方程就是 y 加上 z 等于一， 这个其实就 a， 我 怎么删掉了？就是我们这个面的方程，你看很好玩的，这个点动成线，线动成面，就得到 y 加 z 等于一了，这得到它的关系，所以 m 你 现在就可以随便设了， m 就 设为 x， y、 z， 然后这个同样的第一的坐标，我们现在找出来第一的坐标是这个是一，这个是二，所以就变成零一一，然后 d 的 坐标是零一零，对吧？所以同样的，我们把 d， e， m 向量写出来， 就变成 x， y 减一， z 减一，还有个 d 减 d 的 零 零负一，是不是零零负一啊？我看一下，第一 d， 它减它零零负一，好得到它同样括成 c 大等于四，是不是 就得到直接数量级了嘛？数量级，这要是一减 z 的绝对值，再除以根号下面。本来我们是有绝对值，就变成根号下 x 方加上 y 减一的平方，再加上 z 减一的平方，要等于根号二分之一，二分之根号了嘛，所以这个平方一化简，就推出根号的平方就等于二倍， z 减一的平方 就等于 x 方加上 y 减一的平方，再加上 z 减一的平方，而这个 z 减的平方化掉个，是不是就推出它来了？ y 又等于什么？ y 等于一减 z， 所以 这儿就可以写成 x 方加上一减 z 再减一，就是看一下， 嗯， y 减一就等于负 z 了嘛，其实就是 z 方了，只要打开就得到 z 方减二， z 加上一就等于 x 方加上 z 方， z 方抵消掉，就推出 x 方等于一减二 z， 你 看这儿就得到轨迹的方程了， 这个就是 m 的 轨迹， 是把 m 的 轨迹就出来。好，现在 m 的 轨迹出来之后呢？因为我们 y z 现在已经考虑它的了，下面就开始降维处理了， 降维处理处理在这个面上的问题了， x 方等于一减二 z 了嘛，就变成这上面 看一下要到这个面线到面的距离的最值问题了，对吧？是不是要转换成线到面上的距离最值问题了？而这个线到面上呢？我们就 我们看一下 x 方等于一减二， z 得到它之后， 看一下这个得到它这个点到点 m 到直线，它的距离最小值，距离最小值。我们现在得到降维降到这个平面上，后面就与这个无关了。哦，一样的嘛，下面在我们是不是 y， z 关系是固定的，就 y 与 z 关系固定了， y 与 z 关系固定，所以下面考虑的是 a， e 与 c 这些问题，指 只考虑，这就是降维了。三维降维，二维，只考虑 x 与 z 的 关系，这是 x 与 z 的 关系就行了。所以坐标我们只写 x， z 的 坐标就行了。 a 一 的坐标原来本来是零零一， 但是我们不要 y， 所以 a 一 就写的是零一，同样 c 的 坐标， c 的 坐标原来是二一零，我们现在只要二零，是不是只要二零了，所以它的方程就出来了，所以这就是 k， 咱就等于零一减零，除以零减二就等于负的二分之一。所以 l、 a、 e、 c 降维了嘛，这就是本题的又一个关键点，卡住的地方，关键点降维 对吧？还是前面有了关键点降维，我们把它加粗一下，好，得到它， 它的方程就得到 y 就 等于负二分之一， x 加上一，同时乘一个二二， y 就 等于负， x 加上一拐就推出 x 加上二， y 减二等于零。哦，不好意思，写错了，这是不是 y 是 z， 是 不是 z 等于它？所以就可以套点到直线的距离公式。 d 就 等于根号三分之，这就变成了 x 加上二， z 减二的绝对值好带进来，就等于根号三分之二， z 则可以直接得到二， z 等于 x 平方减一，所以这样就变成 x 加上 x 平方减一，减二就减三的 绝对值，对吧？所以减三的绝对值化解一下，就是根号三分之配方， x 加上二分之一的平方，加上二分之一的平方。呜，这个应该算错了，这个减三我们前面算出来不一样，看哪个出问题， 我们检查一下嘛。因为这个结果不一样了，我们只要计算出问题了，只要是 z 方抵消掉 x 方，就等于一减二， z 没问题，但是我们这个代入直线方程，只要是零一二零，对吧？ a 一 是零，一没问题。这个 c 的 坐标， c 的 坐标是二， y 是 一，不管这个 z 等于零，二零没问题。斜率就是零减一，零减一，负一，负二分之一，负二分之一，再乘以 x 加一，没问题，同时乘以二，二 z 就 等于负， x 加也没问题， 移过来就得到 x 加上二， z 减二等于零，没问题啊。这一步 x 加上二， z 减二等于零，而二 z 又等于一减 x 平方。哦，这个出问题，你看我们一定要细心 这个一关二， z 是 一减 x 平方，我刚刚写成 x 平方减一了，说明这就出问题了嘛，要及时的纠正回来，就变成了 x 加上一减 x 平方减二。 好，画进我们就可以得到。就等于根号三分之负 x 平方加上 x 减一。其实和后面我们画的一样了， x 平方减 x 加上一则绝对值，照写 x 平方减 x 加一。反应我记得出现过的 x 平方减 x 加一，除以根号三是不一样了，所以我们就大于直接写啊，大于等于四分之 根号三。所以你看这个视频解释了很多，下面我们还没完，在第一种结论里面，我最后的一本来是想讲完结论一就补充的，后面讲顺手了，我们来讲一下为什么它是抛物线， 就抛物线。我们在圆锥曲线中先来给大家看一下什么叫或者我们同样画这个图， a b c d a e b e c e d e， 它要求的是这个九个 d， d， e a， 其实就是这个圆锥，这是轴线，圆锥的轴， 这个有一个旋转，我们重新画一个图，为了好方便解释一点，这是一个圆锥， 本来圆中我们是两个圆锥的，为了研究单的零双曲是这样，但我们现在双曲指依次来给大家解释一行吧。好，这是我们本题的第一。 这又一条轴是是 d， 所以 轴这个顶角是阿尔法，所以这个角度是阿尔法，所以这样就得到阿尔法了。然后一个平面会和它相交， 对吧？和轴相交生成一个贝塔，这个贝塔在这也可以在这，所以离心率 e， 根据单的零双角推出的结论， e 就 等于可乘二法，除以可乘 贝塔，可乘二法除以可乘贝塔。而我们来看一下为什么它是抛线，就什么情况，我们先拿这个图来画，等会我们再来算，这为什么离心率等于一嘛？如果这样平行去截，所以则此时是一个圆， 对吧？所以平行去结是一个圆，如果这个斜着一点结，这个算出来是椭圆， 都在这上面，这个算出来是椭圆。如果再这样偏，就平行于一条母线，这样去结，这个算出来是抛物线。但如果竖折的这样结， 你看竖折的这样结，这个算出来是双曲线的一只，在上面一个点，就得到双曲线的两只，这是它的形状，但最终我们在单点的双球就推出这个结论。好，我们就回来了，推一下这个，不推这个，你推的过程就 回去收单的，你双去看一下这这个我群里面有资料的，这本题是 d， 对 吧？这个是有个 a 点在这个位置，所以我们这个加角有个角是四十五度了，所以就相当于 q 乘二法，就等于 q 乘以四十五度， q 乘一倍的就是这个结面， 我们回归来这个结面和这条母线的长而要求，我们刚刚其实在做过 h， 这个夹角就是线面角了嘛，所以线面角算成也是 cosine 四十五度离心力等于一，所以它最终就刚好得到一个抛物 线，就得到抛物线。所以其实抛物线的结论它为什么是抛物线？我们有个结论的，平行于它且垂直于它的时候，我们再拉过来对称，你看这有个 h， 这个 d， e， h 是 平行于我们这个结面的，平行于结面 a， e， b， e， c， d， 对 吧？且结面与这个轴的面这个面了吗？且平面 a， e， b， e， c， d 垂直于平面内部，那个面就是 a， d， d， e 的， 所以最终这个就是抛物线的结论，最终截得的就是抛物 线。所以你看这个题目没听讲，一口气讲的嗓嗓子都有点哑了，希望大家好好 去认真消化下三种结法，每种结法都有不一样的地方来。第一种知道结论的话，我们可以巧见，找到几个特殊的点，方程就可以出来啊。转换成平面上的直线和曲线的锥子问题， 一种情况是相切求导，一种直接到点到直线的距离公式消远函数与方程思想。然第二种，巧间隙，这就 x 轴， y 轴，如果你见得巧的话，后面就思路比较顺畅，无非就是找第一的坐标的时候要复杂点， 这个就叫巧间隙 m 在 这个平面上就把它建为 x 轴， y 轴 z 就 高拉上去就行了，所以咱还是降为。而第三种减法就是常规间隙，就考生的很多人的法三常规间隙， 但是只要有卡点，卡点就是我们得到。首先这是点动成线，线动层面怎么算出这个面的方程来的？这就是 x 动了， 对吧？这是线，线是 a、 e、 d， 线动层面就得到这个面了，所以这个就因为这个面比较特殊，我可以用这样给你解释，但实际涉及到大学中的这个立体几何问题了，大学中面的方程 怎么书写的问题了。所以咱就得到 y 与 z 的 关系，得到关系之后它是定了的，我们只要在这上面的点坐标肯定是满足这个关系的。定了之后我们就转化成只要待见化言，我们得到 x、 z 的 关系，我们最终只考虑降维了， y 就 不要考虑了，因为这前面已经固定了，所以只需要考虑 x 和 z， 关键点卡点，这也是 塔点就在这，所以我们怎么去处理它？降维，所以三种方法其实都有降维的技巧，我们要好好学一下。好，这就跟大家讲到这，拜拜。

那年我双手插兜，不知道什么叫做别看答案，你能做对吗？这个题让我们求的是 三棱锥 p、 a、 b、 c 体积的最大值，那我们根据三棱锥的公式， v 等于三分之一 s h 可以 得到， 因为它的高是一定的，因为上下底面的高是垂直，它是固定的，所以我们现在的话，只要算出它的高，然后呢，根据它底面这个三角形 a、 b、 c 面积的最大值，就可以算出咱们体积的最大值。所以第一步应该是先算这个三轮锥的高，因为他告诉了你三轮锥外界球的表面积，那么可以用咱们外界球的表面积就是 s 等于四派 r 的 平方就等于 五十二 pad， 这样的话，我们可以算出外接球的半径就是根号下十三，因为它这个屁在上面这个圆上运动，然后呢 abc 在 下面这个圆上动，但是呢， 你不管怎么动，你还得满足这个三棱锥的表面积永远是定值五十二块，所以我们就可以得到一个结论，这个三棱锥外接球，也就是这个圆柱的外接球，因为只有这样上下底圆， 它的上面所有的点都在这个外接球的球面上，所以它的屁不管到哪，它组成的三棱锥的 表面积他永远是五十二派。所以的话呢，那我们就可以把这个圆柱的外接球画出来。现在我们可以发现这个三能锥外接球的球心刚好就在这个 o 一 o 这个直线的中点部分， 比如说是 q 点，因为只有在这一块的时候，他到上下两个圆圆弧上的距离才能一样，那我们就可以算一下 这个 o 一 o 的 一半是多少？然后呢再乘以二就可以了，因为我们刚才算出来，它外接球的半径是根号下十三，所以 q c 就 等于根号下十三。我们现在要算一下这个底面 a、 b、 c 外接圆的半径， 因为我们知道这个 ab 等于二， a、 c， b 是 三十度，我们可以利用咱们的正弦定力， ab 除以 c 音角， a c， b 就 等于二，除以 c 音三十度就等于 二。 r， 我 们可以得到 r 呢就等于二，所以它外接圆的半径是二，利用勾股定律就可以得到。 o， q 就 等于三， o o 撇就等于二倍的 o， q 就 等于六，这个 o、 o 撇的话，那也就是咱们三轮锥 p abc 这个体积固定的高。现在的话，我们就需要去算一下这个 s 的 面积什么时候最大，然后把下面这个底面可以给它拿出来。 那我们这个 abc 在 运动的时候，什么时候它的面积最大？这个 ab 是 定弦，然后呢角 c 是 动角。 利用我们初三学过的知识点，什么时候这个 abc 的 面积最大？在 ab 的 垂直平分线上，且过圆心与圆的交点上，所以我们就可以把 c 放在这个地方。角 c 是 三十度，我们呢可以连接 a、 o 和 o、 b， 那 可以得到 a、 o、 b， 它就是一个等边三角形，那这一段是一，这一段呢就是根号三，所以呢我们可以写出 s 三角形。 abc 面积的最大值就等于二分之一， ab 乘以， 这是根号三加二，等于根号三加二为 p， a、 b、 c， 它体积的最大值，那就等于三分之一， s h 就 等于三分之一，乘以六， 乘以根号三加二，就等于四加二倍根号三。这题最难的就是需要知道三能锥外接圈，就是圆锥的外接圈，那就简单多了。好，你学会了吗？

上一个视频我讲了这次广东一摸的单选亚洲，那这个视频我们就干多选亚洲了。你看这种立体几何的题目，经常说啊，小题一般不见系，大题一般要见系。但是这个题不一样，我决定 ab 两个选项用间隙的方法解决， cd 选项用几何法解决。 因为 ab 选项我感觉用间隙的方法能给大家说的更清楚， cd 选项是又能说清楚又简单。 你们看这个题有个特点啊，他说 a、 b、 c、 d 四个点的位置实际上是不确定的。像这种情况，我强烈建议你一定要在不确定当中去确定一些东西，这样才方便后面的研究。比如他说 ab 是 直径， 那么 abc 一定在同一个大圆上，那我干脆就令这三点在一个竖直的大圆上，这样就很好接地气了吗？对不对？向右 o， a 是 挨个轴，正半轴，向上是外轴，再建一个 z 轴。 他还告诉你角 a、 o、 c 是 已知的，那我就把这个角用 c， 它表示。又为了方便计算，我就把球的半径啊，令它等于一好，这样 c 点的坐标就可以用 c， 它表示 ab 两点的坐标也是非常简单的。好，他还说 c、 o、 d 这个角度是已知的，那我干脆就那个角度是反。 那么显然， oc 和 o d 的 数量积就应该等于 cosine sine。 好， 这就得到了一个方程，再加上地点是在球面上，那么地点的三个坐标的平方和应该等于球的半径，这就又得到了一个方程。注意，这两个方程是根据题干条件得出来的，所以后面的选项是都能用到的。好，我们看 a 选项， 他说 a、 d 的 长度是已知的，那么根据两点间距离公式，就又得到了一个方程。注意，你看啊， 如果方程二减去方程三，你是不能求出一个唯一确定的 x 零，哎，再把这个 x 零带到方程一，是不是就能求出一个唯一确定的外零？再把这一组唯一确定的 x 零和外零带到方程二，是不是就能求出一组互为相反数的 z 零？ 它表示什么意思呢？它表示这样的地点是不是有两个？这两个地点的 z 坐标是互为相反数，说明这两个地点它是关于平面 abc 对 称的，说明这两个地点到平面 abc 的 距离是相等的，说明这两种情况下，三棱锥 abc 的 体积是相等的， 所以它的体积是唯一确定的，因此 a 是 正确的。再看 b 选项，他说 c、 b 和 c、 d 的 夹角是已知的，那我干脆就设这个角的为伽玛嘛。所以 c、 b 和 c、 d 的 数量基又可以表示成 c、 b 和 c、 d 的 模的乘积乘上 cos 伽玛。你看，这个式子很复杂， 只要等号左右两边展开再一合并，你会发现啊，方程四左右两边会同时出现 x 零乘 cos 加 y 乘 cos， 它 根据方程一这个东西，它是定值，等于 cos 与 f。 所以 方程四实际上就是一个关于 x 零的一次方程就能解出一个唯一的 x 零。好，再把它带到方程一，就能解出一个唯一的外零。 把这唯一的 x 零和 y 再带到方程二，哎，又能解出一组互为相反数的 z 零。你看，这就和 a 选项一样了吗？所以最后三棱锥 abcd 的 体积也是唯一确定的，所以 b 也是正确的。好，刚才我们用间隙的方法解决了 ab 选项，那接下来就用几何法解决 cd 选项。 几何法有一个好处就是看起来直观明了，一看就知道是怎么回事。好， c 选项，他说 c、 d 与平面 abc 的 夹角是已知的，那我就过 c 点做平面 abc 的 垂线，以这条垂线为轴，做两个全等的倒立的对顶的圆锥。 那么你想想，这两个圆锥上的两个底面的圆周上的点与 c 点的连线，与平面 abc 的 夹角，是不是都等于一个值啊？那这就有意思了吗？对不对？你不管题干说的 c、 o、 d 这个角度是多少，你都能做出这样的两个圆锥， 那这两个圆锥，两个底面的圆锥上的点，你不管能找出几个地点，它到平面 abc 的 距离是不是都是相等的，那体积当然就是唯一确定的了，所以 c 是 正确的。好了， abc 是 正确的， d 当然就是错的了。如果你非要判断 d 选项为什么是错的，那也简单， 你判断一个选项是正确的不容易，但是你要判断它是错的，你只需要找一个反例就行了嘛。我就找了这么一个特例， a、 o、 c 是 九十度， c、 o、 d 是 九十度，二面角还是九十度？那你想想，是不是只要地点在这个 红色的与 a、 b、 c 垂直的这个大圆的圆周上，它都满足前面的这个条件，而这些地点到平面 a、 b、 c 的 距离都是不一样的，体积当然不是确定的了啊。所以这道题选 a、 b、 c。

这道题目是苏西场镇一模的第十一题。呃，有的同学是会比较害怕这种问题的，但是像这道题我们完全可以大刀直剪，我们就用间歇的方法全程去解决这个问题。 他告诉我们 l 一 和 l 二是垂直的，然后呢， a 在 l 一 上， b 在 l 二上面， ab 是 垂直于 l 一 的。在这里我们不妨先画一个长方体出来，然后呢，因为长方体他自己就会有互相垂直的这个线段，所以在这里我们就以他这条边为 l 一， 以他这条边为 l 二， 那么我们就可以把图画出来了。他说 a 在 l 一 上， b 在 l 二上，并且 ab 还垂直于 l 一 和 l 二，那么我们就可以找这个顶点为 a 点，找这个顶点为 b 点。 好，继续。他说 p 点和 q 点分别在 l 一 和 l 二上，我不清楚他的位置，我们把它点一下就可以了。那么他说四点并不共面， o 点是 p q 的 一个中点，告诉我们 ab 的 长度等于二， p q 的 长度等于四，那么这里我们就可以直接去进行一个间隙。 好，我们以它为 z 轴，以它为 x 轴，以它为 y 轴。接下来我们就只需要去写点坐标就可以了。好，我来写一下点坐标 b 点坐标零零零， a 点坐标零二零 q 点坐标。不知道。我们可以假设为 a 逗号，零逗号，零 p 点坐标，我们可以假设为零逗号二逗号 m。 由于 p q 的 长度是等于四的，所以我们可以得到 a 的 平方加上一个四，加上一个 m 的 平方是等于十六的，也就是 a 方加上 m 方 是等于十二的。我们来看题，第一问，他说当 ap 等于二的时候，当 ap 等于二的时候，也就意味着我的这个 m 应该是等于二的，所以此时我们就可以判断出 p 点的坐标就是零，逗号二，逗号二， 好。然后呢？他问我们 b q 的 长度，由于我们知道了 m 是 等于二的，所以我们就可以推到 n 是 等于二，得四，二根号二，好， 那么在这里我们就可以得到 q 点的坐标是二根号二，逗号零，逗号零，那么我们就可以得到 b q 的 一个距离就等于二根号二，所以 a 选项就结束了，再来 b 选项 b 选项。他说当 a p 等于二的时候，那么条件是一样的。他要我问我们 ab 和 p q 所成的夹角，那么我们可以先写 ab 向量， ab 向量 b 点减 a 点就是零，逗号负二逗号零，好，再写 p q 向量， p q 向量就是 q 点减 p 点二根号二，逗号负二，逗号负二，所以我们就可以算它的一个 cosine theta 就 等于上面是两个向量相乘，就等于四，下面是魔乘以魔二乘以一个根号下 八加四加四，所以我们算下来它就等于好，下面是二分之一好，那么 cosine 六十度等于二分之一，所以没有问题， b 选项是正确的。好，再来我们来看 c 选项， c 选项的话，我们就需要去写到这个 o 点的坐标了， o 点是 p q 的 一个中点， 所以 o 点坐标它可以写为二分之 a 逗号 e 逗号二分之 m， 那 么它到直线 ab 的 一个距离， 我们可以这么去计算，我们可以连接一下 p q， 找到它的一个中点 o 点，我们可以过 o 点往下做垂线，然后连接它，连接它啊，那么这里的话，我们就可以算出这一段就是 o 点到 a b 的 一个距离，所以这个距离 d， 它就可以写成，这里是二分之 m， 这里是二分之 n， 它就可以写成二分之 m 的 平方，加上二分之零的平方再开根，所以就等于根号三，它是正确的 d 选项。我们算体积的时候，可以以 p 点为顶点，然后以 abq 为底面，那么我们计算的时候，它是三分之一个底面积啊，底面积的话就是二分之一个二，再乘以一个 啊 q 点的这个长度 n， 然后再乘一个高，高是 m， 所以 它写下来之后就等于三分之一个 m 啊，我们怎么去求 m 的 最大值？可以利用基本不等式 m 方加赢方大于等于两倍的根号下 m 方赢方， 所以我们就可以得到 m 赢是小于等于六的，所以它是小于等于二的，所以 d 选项就错了。这道题目选 abc， 大家学会了没有？

每日一题，广州一模立体几何这道题是选择压轴，不少同学没思路就跳了。实际上这题本质是初中几何，就是大家都学过的将军印码。第一步，把图画出来，可以发现 b 点要在 a c 上才能取到最小值， 这样就把立体变成了平面，再把平面图画出来，通过题目的二分之根号二，可以想到构造三角形， 从而把系数去掉，然后就能找到最值了。你学会了吗？别忘了复习初中数学哦，有时也能派上用场呢！

与广东异模、广州异模并列的还有广东大湾区异模。试卷小提出的非常棒。压轴大题题型常见，但计算量超级大，而且又建立题。几何压轴选择题只有第八题略微有点难度。三角函数见模和易错题 三道多选择题层次分明，都是非常优质的考题。尤其是第十题的两组数据合并后的统计量变化十分重要。第十一题是例题，几何综合有难度填空。第十四题传球问题是概率中的经典模型，考察马尔可夫列的思想。 大题中第十七题是常规极指点偏移问题，考烂了。第十八题又建立题。几何压重体积比，通过延长线构造台体，利用相似比求解有计算量。第十九题也是今年考的较多的解析，几何与数列结合压轴题主要难在计算量过大。

我岳云鹏讲二零二六届广东一模的压轴多选择题，这里半径而已知，阿尔法等于角，右系贝塔等于角 c、 o、 d 也已知，进而根据题设四面体 a、 b、 c、 d 中这四条边已知，且 a、 d 垂直 b、 d、 a 选项 a、 d 已知，则根据勾股定律可以求出 b、 d。 进而四面体的六条棱都确定好了，进而面积也确定好。 a 对 b 选项角 b、 c、 d 已知。在三角形 b、 c、 d 中使用余弦定力可以求出 b、 d。 再用高股定力可以求出 a、 d。 同样的也能得到 b 选项正确。 至于新选项，我考虑做 d h 垂直底面于 h， 此时 c、 d 与底面加角西塔为角 d、 c、 a 进而高 d、 h 已知，而底面面积同样也已知，进而体积可以唯一确定。 至于 d 选项，如果是已知的角 a、 o、 c 和 c、 o、 d 均为直角，此时可以验证二面角为九十度，这时候点 d 取法并不为一，进而体积不为一增加。这个条件无异于画蛇添足，并不能唯一确定体积。 d 选项错。

我们来看一下南昌一模十九题，这个题把立体几何和几何结合起来了啊，稍稍有一点新意啊。好，那么题干告诉我们，这里有一个正方体，能长为二倍，根号二点 f， 是 体对角线 a e c 的 中点， p 点呢，在这个平面 a c c e a 内啊，他到这个平面啊， a b b a 一 的距离啊，等于二分之根号二 p f 啊，那所以他在这里呢，通过这两个距离的比啊，给定了这个 p 点的轨迹 啊，所以大概率呢，我们下面要去研究 p 点的轨迹是什么啊，那么第一问呢，问我们 这个棱锥体积的最小值，那显然呢，我们要去求的就是 p 点到平面 a b， b a 一 距离的最小值， 那在这个问题上，我们就可以呃去做出这个距离啊，好，我们假设 p 点在这啊，在这个平面 a c c e a e 内，那我们我们第一步呢，就可以去做 p 点在 a b b e a e 内的投影啊，这个投影我们可以设为 q， 这是 q 点啊，是 p 点在这个平面内的投影。那么有了这个投影以后呢，我们可以呃，根据我们学过的三垂线法勾在二面角的过程呢。第二步，我们可以往这个交线做个垂线啊， 往这个 a a 一 做一个垂线，我们设这个垂足为 m， 再连接 pm， 那 这样我们就可以知道这个角 q mp 啊，就应该等于 这个 b 杠 a a 一 啊，杠 c 啊，也就是这两个平面的二面角，嗯，那么显然这两个平面是夹四十五度的，所以这应该是四分之派啊，那这样我们就可以知道 p q 呢，应该是等于二分之根 号二 p f 啊，所以就可以得到 p f 等于 pm， 那这等于是说 p 点到一个定点 f 的 距离，等于它到定直线 a a 一 的距离啊，那根据我们学过的抛物线的定义啊，那它的轨迹就是一个抛物线了啊，那 p 点呢，就是这个焦点，嗯，这里的 a a 一 呢，就是准线， 并且我们知道这个 p 点它到这个准弦的距离，也就是我们学过的交准距小 p 应该是等于 a c 的 一半啊，也就等于二。好，这是我们经过初步分析可以得到的结果，嗯，那这里的 p f， 它的最小值就应该等于 p 啊，啊，等于二分之 p 啊，也就等于一啊，那所以这个 p 点到这个平面距离的最小值 d 呢？啊，等于二分之根号二倍的 p f 的 最小值， 也就是二分之个号啊，好，那这样呢，我们就可以得到啊，这个 p 点啊，到这个面的距离最小值，进而就可以得到这个四棱锥体积的最小值了啊，这是第一问，把这个图给擦一擦啊， 好，根据刚才的这个分析啊，我们知道这个 p 点的轨迹是一个抛物线， 所以对于第二问来说呢，我们其实就是拿这个抛物线去解题了。 第二问一，向来说啊，这个轨迹是曲线 m， 呃，这个三个点是曲线 m 上呢，不同三个点啊。第一小问，这个平面 a b e， 呃， f a b e f 啊，嗯，其实也可以说就是 a d c e b e 啊，它与这个呃 轨迹相交于 r g 两点啊，我们要去求 r g 的 长。好，那这个轨迹是抛物线啊，我们要去求这个抛物线上两个点之间的距离，也就是弦长，那一般就是要用弦长公式啊，那所以我们先要有这个抛物线的方程， 而这个抛物线呢，它本身是在 a c c e a e 里面的啊，所以为了方便去表示出这个曲线的方程，我们可以好好想想应该怎么去间隙比较合适啊，那我们可以考虑，嗯， 做一个，呃，过 f 啊，做一个 a a e 的 垂点啊，这样呢，我们可以以 tf 的 中垂线啊， 为 y 轴，以 t f 为 x 轴啊，这样就跟我们通常呃见到的这个抛物线它的方程，嗯，它的间隙的方式就是一样了啊，这样的话啊，我们这个因为刚才我们看到了交准距小 p 等于二啊， 那所以呢，我们这个抛物线的方程啊，也就是 p 点的轨迹方程就是 y 方，等于四 x 啊，这里的 f 点是焦点，它的坐标应该是一零啊，这样就比较顺当啊， 那现在呢？呃，对于第一小问来说啊，这个平面 a b e f 啊，那这个平面和我们这个抛物线所在的平面 a c c e a e， 那 它有一个交线啊，那这个交线呢，就是 a c e， 所以这个 r g 呢，就相当于是 a c e 这条直线与我们这个抛物线的交点啊，那我们就可以把它单独画出来啊，这个是外方，等于四 x， 这是它的交线 x 等于负一，这是 f 点啊，而 a 点呢，应该是在这在交线上啊，在准线上啊， a 点的坐标应该是负一，呃，负根号二啊， 我们这个 rg 呢，相当于是 af 这条直线，呃，和这个爬物线的两个交点 rg 啊，那这样我们就可以得到 rg 直线了。 rg 直线其实就是 af 直线，那它应该是 y 等于，呃， 二分之根号二啊， x 减一啊，那我们要去求出这个弦长 rg， 呃，一般我们求弦长就是根号下一加 k 方绝对值 x 一 减 x 二，但是呢，在这里呢，是一个比较特殊的弦长，因为 r g 过交点啊，所以它是交点弦，交点弦呢，我们就不用那么麻烦啊，交点弦我们就可以用定义去算，它应该等于 x 一 加 x 二加 p 啊， 那所以我们其实只需要去求出呃，这个两个点的横坐标的和，那这样我们只需要连立 直线和这个抛物线就可以了， 两边同时乘二， x 方减二， x 加一等于八 x， 所以 x 方减十， x 加一等于零啊，那我就可以得到 x 一 加 x 二应该等于十啊，那这样 r g 呢，就是十加 p 也就是二就等于十二啊，这样很容易就可以求出来这个弦长啊。好，我们再看啊，第二小问啊，说，这个，现在呢， g 点是在啊，重新画个图啊，这是第二小问， 这是第一小问啊， 对于第二小问来说呢， g f 垂直 a c 啊，因为 a c 在 我们刚才见的这个系里面，它是平行于 x 轴的啊，所以这里等于是说 g f 平行垂直于 x 轴，那所以 g 点是在 f 点的正上方啊，那它的坐标应该是一样啊， 那么我们又有什么呢？ g r 和 g q 啊，与平面 abcd 乘角相等啊，那其实也很简单，因为我们知道 g f 显然是垂直于这个底面的啊，所以，呃， g f 呢，也可以看作啊，这个向量可以看作是 abcd 啊，这个平面的法向量，那如果 g r 和 g q 要与这个底面成角一样，那就要与 g f 成角一样，所以等于是说 g f 是 这个 r g q 这个角的平分线啊，那么又我们又知道 g f 是 一条竖直线，所以它如果平分这个角的话，那等于是说 k r g 和 k q g 啊，是相反数啊，那这就是一个斜率之和为零的一个问题啊。那如果大家系统的去练过这个斜率和 j 为定值的问题，就可以知道啊，那我们就可以推出来这里的 r q 直线，它的斜率是定值， r q 之线斜率为定值，并且这个定值呢，就是 g 点的对称点啊，关于 x 轴的对称点，可以设为 g 撇处的这个切线斜率啊，我们可以算下，这个斜率就是 k r g， 那 它应该是等于啊，因为因为这个 g 撇点的坐标是一负二啊，啊，那这个点处的切线斜率呢，应该等于 p 除 y 零啊，也就是 二除负二等于负一啊，所以我们可以推出 r g 直线的斜率呢，是等于负一的啊，这个是一个结论呢，你做多了，你可以总结出这个结论啊。嗯，那你对这个题来说呢，你就先正下这个结论啊，这个结论是非常容易正的，那你就只需要去设出 r q 直线啊， 然后呢，就是根据刚才这个斜率值和为零啊，就可以求证出来 r g 直线的斜率是定值。 好，那现在呢，我们要有一个平面啊，它经过 r g 啊，并且和 ab 平行啊，问我们这个平面和 abcd 的 夹角是不是定值啊 啊，如果是定值呢，就求出这个余弦值啊，不是定值说明理由。那现在我们知道这个平面经过 r g 啊，并且跟 ab 平行，那因为它跟 a g 啊，因为它跟 ab 平行， 所以啊，我们一定是可以在这个平面阿尔法里面啊，找到一条直线 l， 它在阿尔法里面，那么这里的 l 呢，是平行于 ab 的。 呃，我们这个平面呢，它又同时经过 r g， r g 的 斜率呢，是等于负一，那就相当于这里的 r g 呢，呃，它是，呃它的，它的方向是确定的啊，那所以呢，我们其实可以知道啊，就是这个平面 r 法，如果我们设它有一个法向量 n 的 话，那你这里的法向量 n 呢，就应该垂直于 ab 向量， 因为这个法向量应该跟 l 这条直线的方向向量垂直。 l 呢，是跟 ab 垂直啊， l 是 跟 ab 平行，那所以呢，这里的法向量要跟 ab 这个垂直啊，因为我们这里的 rg 斜率是负一啊，那它呢 是平行于 rg 啊，是平行于 a e、 c 的， 所以道理是一样，那么就可以推出 这个发向量呢，就应该还垂直于 a e c 啊这个向量，那所以我们这里的发向量就可以由 ab， a e c 这两个向量算出来， 那因为 ab 和 ac 其实是确定的啊，所以呢，这个发向量就会是确定的啊，所以我们就可以推出平面 r 法，它的发向量是确定的啊，呃，或者说这个平面 r 法，它的方向是确定的啊，那它这样的话，它跟底面的夹角肯定是确定的啊，那只需要去根据啊 这个啊，求出这个法向量 n 啊，在呃与这个 abcd 的 法向量啊，去求一个夹角于弦就可以了啊，当然要注意啊，呃，这里是求两个平面的夹角于弦啊，所以最后你求这这个两个法向量夹角于弦以后呢还要取一个绝对值啊。 嗯，所以我们，嗯整个来看这道题其实也咋说呢？嗯，就是把立体几何和解析几何呃，有点强行的给结合在一块啊。嗯，其实考的东西呢还是各自独立的啊。

近期的模拟卷中，压轴考察立体几何的次数明显增多，难道这是高考的信号？设自南昌一模压轴题创新度极高，将立体几何与解析几何巧妙的结合在一起，让我们通过这道题感受一下数学之美。第一问，立体几何的线段关系转化为抛物线的定义， 在平面 a a e c e c 内，通过抛物线获得线段 pm 的 最小值，即可得出色棱锥体积的最小值。 第二个，两个面交界为 a c e， 则二既转化为 a c e 与抛物线的交点，抛物线位于平面 a c c e a a 以内，通过交点弦可获得弦长。 第三问，在平面 a c c 一 a a 以内，两条直线倾斜角互补，则直线 r q 斜率为定值，可获得 r q 的 方向向量。利用阿尔法与 a b 平行，可获得阿尔法的法向量，即可得出夹角余弦值。看完记得双击加关注！

空间感不好的同学们，如果遇到化学经包结构中考察立体几何怎么办？今天看一下青岛异模中怎么寻找立方经包里的正四面体。山东的化学考题中，经包总分知识对立体几何的要求可以说是越来越高了，我们一起看一下这道题。 题中只说一种粒子按照面心地方的堆积，如图所示。另一种粒子图上没画，只告诉我们这种粒子填充在所有四面体的空隙中。好，我们先看第一个孔，问图中的小黑球表示哪一种粒子？那既然说粒子，我们首先要知道这种物质都有哪些粒子。 看化学式我们可以得到，这种物质中应该有氨分离子和六铝和硼离子，这两种离子的个数比应该是二比一， 那么肯定要在这个图上分辨出哪是二根离子，哪是六铝和铂离子了。所以我们一定要找着另一种粒子是在哪些四面体的空隙中存在着。 如果单独画出一个正四面体的，我们肯定认识，但是在立方晶胞中，我们如何寻找这种正四面体的，那这里就不得不用一些正四面体的立体几何性质了。 在金毛图中经常用到。一个正四面体的契合性质就是任意两条互不相邻的两人之间，他们是一个意面垂直关系。而且呢，如果在这两条人之间寻找一个洁面投缘的话， 这个投影应该是互相垂直平分的。根据这一条性质，可以在立方经络中寻找出这两个原子和这两个原子的连线，它们之间呢，正好是一个意面垂直且投影平分关系，比如说上面这两个原子的连线，它应该是沿着左后和右前对角线排布的， 而这两个面型原子的连线，它应该是与左前和右后对角线互相平行的，那正好呢，这两个投影呢，还互相垂直平分。 所以说如果我们把这四个原子连起来看，应该是一个正四面体油，那图中没画这个粒子就应该处于这个正四面体的空隙位置上。那这种正四面体在这个立方晶胞中到底有多少个呢？ 如果同学们对金刚石的立方晶胞结构认识比较清楚的话，会发现实际上这个立方晶胞中有八个这种正四面体，但是我们不能把所有的晶胞结构都给认识清楚，那如果下次考试考别的晶胞堆积，我们又该怎么办呢？ 实际上如果看过车老师这期视频同学你就会知道这种情况下我们该怎么做了。像这种特别对称的立方晶胞，那我们特别适合就是用在细微分割的方式来处理它。 如果我们能把这个立方晶胞在细分成八个同等大小的小立方体的话，那其实我们会发现呢，刚才我们填充这个原子不但处于四面体的空隙中，它也应该处于我们细质分割之后的这种小立方体的体型位置。 那这样以来，原图上缺失这种粒子应该分布在八个小立方体的体型位置，它的分摊数应该是八个，然后我们再算出黑球的分摊数是四个，这两种粒子个数比正好符合一比二，那这样以来黑球就代表了比例系数比较少，这种粒子也就是六律和波粒子。 我们再看一下第二个空，让我们计算出单原子和波原子的最近距离，而波原子属于六律和波粒子的中心原子。 比如说，如果我们要计算单原子和多原子的距离，实际上就要计算这个小立方体的顶点到体心的距离，这个距离应该是小立方体体对角线的一半， 那小立方体对角线一半就是整个筋包大立方体的体对角线的四分之一。题目中告诉我们，筋包立方体的边长是 a 纳米，那根据勾股定律，我们可以得出大立方体的体对角线应该是根三 a 纳米， 那氮和钛的距离也就是四分之根三 a 纳米。需要注意的是，题目中给我们单位是厘米，所以这里我们需要换单位，把纳米换成厘米，所以需要乘以十的负七次方。 接下来我们再看一下氧根离子周围距离最近且相等的氧根有几个，那么就不妨以我们刚才标注这个氧根离子为记准。往前长前方会存在一个小立方体体型位上必然存在一个氧根。 因为精胞是无极定质排列的，所以在他后方这个精胞中也会存在一个癌根离子，跟他距离最近且相等。同样道理，我们可以往右侧寻找一个小立方体体心，那在左侧必然也会存在一个小立方体体心。 我们在下侧存在一个小立方体形，那同样道理，往上我们也可以找到这个体形位置。所以在咱们基本的暗根离子周围应该存在前后、左、右和上下六个暗根离子，跟着距离最近且下等。

欢迎同学们来到这个课堂，今天我们直击二零二六广州一模数学卷的压轴题，结合同类题型做深度拓展核心功课，既合体中距离之合的最值问题，掌握这类题的解析思路，就能轻松拿下高分。本次拓展的十道题 全部围绕空间几何体中的距离最直展开，核心考点统一为利用几何图形的对称性展开转化思想，结合动点轨迹、线面位置关系，将复杂的空间距离问题转化为平面内的线段最直问题 核心是画空间为平面，通过三点共线、对称转换等方式找到最短距离。一、基础动点距离最直，点到线，线到线本页包含前两道题，是距离最直的基础入门题型， 测重基础转化思路。第一题，点到直线距离最直，以正方体为在体，核心是求线段上动点到定直线的最短距离。 考点为空间直角坐标系的应用点到直线距离公式的空间拓展关键是通过参数设定找到距离的表达式，再求最小值。第二题，两线动点距离最直，涉及两条意面线段上的两个动点， 求两者距离的最小值。考点为意面直线距离向量共线与垂直的性质， 核心是利用两线垂直时距离最短的特点，结合参数设定求解。二、面内动点与同侧两点距离最直。本页的两道题聚焦面内动点到同侧两点距离之合是距离最值的经典题型。 第三题以正方体为背景，面内动点到两个同特定点的距离之合最小，考点为平面几何对称思想的空间应用， 核心是通过构造对称点将同侧两点转化为异侧，再利用两点之间线段最短求解。第四题，直三棱柱背景下底面动点到两个定点的距离之合最小考点为空间几何体的对称转换线面平行性质， 关键是找到定点关于底面的对称点转化为平面内的最短路径。问题三，动点在直线与两侧定点距离最直。 本页的两道题核心是动点在定直线上到两侧定点距离之合最直，侧重展开转化的核心思路。第五题，正方体中线段上的动点 到两侧定点的距离之和，最小考点为几何体的展开思想于弦定律的应用，核心是将空间几何体的两个面展开为平面，转化为平面内两点间线段最短。问题第六题，正方体中线段上的动点到两个定点的距离之和最小 考点为空间图形的翻折转换。两点之间线段最短。关键是通过翻折几何体让动点所在直线与两个定点共面，进而找到最短距离。 四、多面体动点距离最直拓展本页的两道题是前两类题型的进阶，增加了几何体终点面的复杂设定。 第七题，正方体中多面体内动点到两个定点的距离之合最直，考点为空间对称点的构造。平面与空间的转化核心是找到定点关于多面体某面的对称点，结合动点所在区域的特点，求最小值。 第八题，正方体上底面动点到两个棱上中点的距离之合最直，考点为几何体的延伸，构造 线段最直的平面转化，关键是通过延长线段构造对称点，将空间距离转化为平面内的线段长度。五、压轴题型与一模原题本页包含第九题和广州一模原题是难度最高的拓展题型， 聚焦复杂几何体的距离最直。第九题，正方体中棱上动点到两个异侧中点的距离之合最直 考点为空间对称转换线段等量代换核心是通过构造中点对称点将分散的距离转化为一条线段的长度，实现最值。求结。第十题，广州一模原题正三棱柱背景下面内动点到两个定点的距离之合最值， 也是本次拓展的核心原题考点为空间几何体的旋转转化，三角函数的应用 核心是通过旋转平面将函数的距离转化为普通线段，再利用几何关系求最小值，是一模压轴的核心考点。 以上就是十道拓展题与一模压轴题的核心考点，梳理这类题的解题核心适中是化空间为平面，掌握对称、展开转换三大思路，就能高效解决所有契合体距离最值问题。 后续可以针对自己薄弱的转化方式，针对性练习，彻底攻克这一高频压轴考点。

六百六十六，江西老表这一招太狠了，楚宝完全没想到花无谢还能卡在立即集合里面，真的唱出新高度，心疼江西烤箱一秒钟。

南通一模堪称二十六届至今最贴合新高考命题气质的优质模拟卷。它不靠偏题怪题博眼球，而是在常规题型中见思维深度。在创新设计中，首高考本源难度梯度清晰， 小题藏巧思，大题有格局。第七题反套路函数基友性中档题跳出 f、 g、 n、 x 机械判断的固化思维，核心考察函数图像平移与对称性的本质理解，需构造平移后的函数判断。基友性 直指高考函数性质题从套公式向结构分析转型的命题方向。第八题立体几何球面交线压轴，小题融合空间想象与几何证明，核心是通过面面垂直证明将空间交线转化为平面圆弧求解，最终得交线长派。二、贴合新高考立体几何结面问题，证明加计算 融合的必考趋势。第十一题，新定义均增数列题是小题中最具思维量的一题，以新定义为包装深度考察等差等比数列的通向求和与单调性， b、 c 选项极易出错，需通过举反例构造数列验证既核心高考新定义题下沉，小题重迷解转换而非复杂计算的方向。第十四题 向量与解三角形综合题看似基础，实则暗藏门槛。核心是通过证余弦定理完成向量条件到边角关系的转化，最终划归为其次，是用基本不等式求得最值五分之四，是高考解三角形边角互化加统一变量核心考法的经典呈现。第十八题回归本源的解析几何题彻底摒弃花里胡哨的秒杀技巧， 整体无几点极限放射变换的用武之地，必须靠加时的设点列式化简计算，回归弦心距勾股定理与坐标法的结合， 纯粹考察解析几何，用代数研究几何的核心本质，拨正了解析几何重预算功底重几何直观的备考方向。第十九题，权健灵魂所在，以对数函数零点为背景，融合函数与方程数列不等式证明，致敬高考经典压轴题。 第二问，将零点转化为关于参数的函数，通过构造函数分析、单调性思维设计巧妙。第三问，传承高考经典压轴题精髓，通过地推变形、列向放松 极致，考察代数推理与不等式证明能力，完全贴核心。高考压轴题函数与数列跨界融合的命题偏好。这份南通异模卷告诉我们， 优质的高考模拟卷，从来不是靠偏难怪题制造难度，而是赢在对高考核心考点的深刻把握，对通信通法的坚守。他也给二零二六届考生指明了方向，高考备考重本质、重基础、重思维，远比重技巧、重套路更重要。

今年的江西南昌一模的数学试卷，整体难度像往年有下降，刚质量却一点没降低。今年的这份卷子，压轴题都出的很棒，很用心。单选第八题，只要对三次函数对称中心熟悉的同学做起来就简单。第十一题出的非常灵巧， 看上去不友好，但联想到圆心，实际上是三角形 p a、 b 的 那些圆圆心以后就豁然开朗，原来 p 点的轨迹是双曲线的。又之其中低选项是非常好的多思少算的例子。 第十四题看起来像马尔科夫列问题，但并非如此，需要好好审题，关键是分析 p 三和 p 四就能找到规律。解答题中第十八题是导数的常规压轴题。中档题难度最有亮点的是第十九题是一道非常有价值的立体几何创新压轴题，计算量不大，思维量大。