张宇附录2图像怎么理解

主播主播，点火公式我老是搞不懂，区间不知道什么时候应该等于零，什么时候应该是两倍，有没有简单的记忆方法，最好一辈子都忘不掉的？有的兄弟，有的这大学长六分钟教会你，好， 恭喜你刷到这个视频，然后这个视频的话，我将用一个视频给你讲清楚这个点火公式全区间的一个结论大关， 从此以后的话，你再也不用担心就是公式记混掉，不管是二分零到二分之派，还是零到派跟零到二派，这些东西通通教你怎么记忆。然后我们比如说我们遇到这种题，我们遇到这种题的时候，其实我们， 呃，像这种的话，我们其实都会嘛，他就是七六五四三二，然后直接算出来就可以了，对吧？这是七六五四三二，然后直接算出来就可以了，对吧？这是七六五四三二，然后像这种的话，零到派的话，我们有的时候， 比如说像第二题的话，我们就是给他两倍，那就是二乘以四三二一，然后乘以二分之派，这个算出来是八分之三派，对不对？但是有的时候像立三这种，他虽然说是零到派，但是他这个东西算出来直接就是零， 然后还有第四个，第四个，像这种的话，那就是四倍的零到二分之派，那就是四乘六乘五啊，六分之五四三，然后二一点火成功，二分之派他是等于五派除以八，对不对？ 像这个的话，点火公式我们都是会的，但是这各个区间它的这个倍数关系，它到底是等于零还是等于那个两倍，还是说四倍，这个东西我们怎么记呢？那我们来看一下，这个就是核心，那一个的话我们都会背，就是说，呃，我们在 这里我们确定这个是 n 次之后，然后我们从这里开始点火，呃， n， n 减一， n 减二，一直点，点到最后。如果说你这里到最后有一个二分之一的话，那最后要补一个二分之派，这是属于我们点火成功，对吧？如果说你这里 就是说点到三二之后，然后就断掉了，那最后就不能有这个二分之派，对不对？然后接下来我们比较难记的是什么？比较难记的是这两个公式，就是你看啊 sign， 他， 他说 你的区间是零到 pi 的 时候，你的这个 sine x 的 n 次方，它无论 n 是 积有的，我们始终都是你原来的这个两倍，也就是说就它其实就是等于两倍的积分零到二分之 pi， 对 不对？ 然后呢？如果说你是 cosine 的 话，那我们要分基数、偶数来对它进行一个讨论，然后像这个东西的话，有些同学心里特别没底啊。呃，这个东西我可以教你一个简单的记忆方法，就是我们利用一个图像的一个判定方法，就是这里的话，你可以暂停看一下，然后我在前面我用大白话给你讲一下它是一个什么原理， 就是我们 sine x 呀， sine x 在 零到派里面，你看这里是派，然后这里是二分之派，你的 sine x 图像是不是这样子的？这样子的话意味着你这个 sine x 在 零到派里面，它是一个横正的东西， 它是一个横正的东西，那我积分零到二分，那我 sine x 的 n 次方，它是不是也是应该是一个横正的东西啊？然后你一个横正的东西在零到派上积分，零到派上积分， 它是不是一定是一个大于零的东西，对吧？那你既然是大于零的，那你就不可能出现就是积分出来等于零的一个情况，那它最终的结果一定是两倍的零到二分之派上的一个积分，这个应该能理解吧？竖形结合应该很好理解。然后 cosine 这个是怎么回事呢？你可以看到 cosine 或 sine 在 零到派上，它是这样子这里，然后这里你会发现这两个地方它是对称的。对称的意味着什么呢？对称的就是说，呃，你这个东西如果说 n 是 偶数的话，那你这个图像 应该会翻上去，对吧？翻上去之后，那你记出来应该也是一个大于零的东西，那你既然大于零的话，那你就应该是零到二分之派上的两倍，对不对？但是如果说你这个是一个基数，你这个是一个基数的话，它的图像依旧是这样子，就是一正一负，并且它是可以相互抵消的，那 你既然可以相互抵消，那你积出来他一定不会是一个正数，那他就是零，对不对？因为你这两个东西他是关于二分之派对称的嘛。所以说根据这个数形结合，其实你像你这种公式啊，稍微理解一下，你现推一下，你就可以知道这个到底是应该是正的还是负的，对不对？然后呢？还有一个是区间零到二派的时候，你看结论又不一样了， 它这里是 n 为正基数的时候，不管是 sine 还是 cosine， 它都是零。然后 n 是 正偶数的时候，它无论是 sine 还是 cosine 都是那个四倍的零到二分之派，那这个我们还是通过图像来那个了解，你可以看啊， sine 的 图像是不是这样子呀？ 这里是二派，这里是派，对不对？那你看啊，上面这里跟下面这里，它其实是可以相互抵消的。如果说你的图像是一上一下的话，所以说你的这个 n 啊，如果说是正基数的话，那它上下一定抵消，抵消的话它一定是零。同理，那个 cosine， cosine 它的图像是什么样呀？ 嗯，它应该是这样子， 他应该是这样子，对不对？那你上面跟下面其实这两块跟下面这一块他也是对称的，对不对？也是对称的。所以说你这样的话，你如果说你的图像是， 呃，上面也有，下面也有，也就是当你 n 是 正基数的一个情况，他算出来绝对是零。然后相比之下，如果说你 n 是 正偶数的话，如果说是正偶数，那他的图像肯定是翻上去的吗？对不对？翻上去，包括这里也是翻上去，那你记出来的结果他肯定不是零， 虽然不是零的话，它只有可能是你零到二分之派的四倍，对不对？因为根据对称性的话，它一定是一个倍数的一个关系， 所以说像这样子的话，我们就可以把整个区间的一个结论全部给它给记住，并且基本上是没有什么计量的，对不对？然后到了这里之后呢，我们再回过头来看一下我们这几个，第一个不用说啊，直接点火点一下就可以了。第二个，第二个的话，你看啊， sign 四 sign， 对吧？零到派上， sign 它一定是一个完全大于零的，对不对？零到派上它一定是大于零的，所以说我们其实无脑的让它是两倍的积分零到二分之派，然后点火就可以了，对不对？然后下一个，下一个的话是 cosine， cosine 零到派，那我们根据我们的一个图像来说， 他是一上一下，对不对？然后你三次方的话，他还是一上一下，那你最后肯定等于零，对不对？所以说以以后遇到这种东西拿不准的时候，你就大胆的这样子画一个图，然后你就很自信的把这个零写下去就行。 然后后面，后面这个六次方，那不用说了，六次方肯定是全是图像是正的，那你最后的一个结果一定大于零，大于零的话他只有可能等于四倍的零到二分之派，对不对？然后你就放心点火就行了。好，然后今天这个视频就给大家讲到这里，如果有想要这份讲义的可以加一下我主页的粉丝群啊。

二七版的章宇一千题到底改了啥？咱们三分钟讲清楚。首先出版时间，他是在二六考研结束整整一个月后才上市的。章宇老师明确说了，这次修定就是为了更贴近刚刚考完的二六真题。但是重点来了，因为二六年的真题本身比较常规， 以往的老题基本都覆盖了那些考点和套路了。所以二七版一千题里确实有根据二六真题改编的新题，但数量不多。整体风格上它没有像二四二五考完那次一样的突变，说白了， 它和二六版没有本质的区别，大家不用过度期待一次大换写，那到底该怎么用呢？咱们接下来具体聊聊章鱼老师给出的使用建议。智能型选手刷智能型的同时， ai 才会同步推进一千题 同时覆盖八八零六六零题型点，每个题号会告诉你智能型的哪些专题需要练到等级几，这道题就能自己做对了。智能型等级三满一千题，八八零六六零一刷正确率都在百分之八十到九十以上。章鱼老师提到的第一点 是，二七版加了知识点，其实引力二五就考过，但章鱼老师说几乎所有人认为二六不会考了，而章鱼老师认为会再考一次，所以二六的一千题就有。 那么二七版应该也加了一些章鱼老师认为会再考的冷门知识点。其实冷门知识点覆盖最全的一直是智能型，比如章鱼老师一再强调的引力智能型，同学说做过好多次了，当时卷子一发下来，我们考场的人全都在那说，我靠，应该是看到引力的题目了，老头杀了个回马枪。 对啊对啊，智能型其实做过好多次了，确实有东西。智能型。智能型引力题是原题吧。对，引力好像是原题， 而且二五年第一次考引力时，智能型就覆盖了，那个万有引力是真多亏智能型。同样情况的还有二四年， 鼠一又考了复利业，二三考了复利业之后，老师都说一五年一次的冷门考点，二四不会考了，结果是二三二四二五连考三年，当时他给我推一堆复利业急数，可把我急坏了，我还说他抓不住重点来着，什么才是重点？ 还是感谢智能行我那个复利液做对了，因为智能行天天推二四数二的区绿园所有习题册，包括一千题都没有覆盖。现在的区绿园是二四考完之后加上去的数二第一个填空。区绿园，我一看卷子给他撕了。区绿园智能行考过很多， 说二哪个老师教过去绿源方程，还有二三年的复立业，二两年的方向导数，二一年的欧拉方程，以及更多的计算中涉及的小知识点，智能型不但都覆盖了，而且会针对练习。章鱼老师提到的第二点是二七版计算量大，这一点说二六版的同学也不用担心， 因为一千题向来的计算量都是很大的。智能型会训练你的计算，其实很多计算问题都是小的知识点概念不清造成的。没智能型二四数学的计算我能往死里错，对计算量的帮助就很可以。真题预测我保底一百二，估分就一百二，拿捏的我死死的。为什么很多人 刷一千题感觉吃力？很多人有这样的无力感，明明每天都在学，但建立不起方法体系来。跟了张宇的基础，我感觉我可能想换个老师，感觉概念体系很凌乱，且没法细 致。其实，大家觉得刷题难，是因为很多同学都在盲目刷题，为什么这样刷题效果差？这就像爬楼梯，如果习题测的难度相当于十五层楼，你需要从第一层开始，循序渐进地往上爬。假设第一到三层是基本概念和简单应用，第四到七层 是单一知识点的标准应用，第八到十层是多知识点的简单组合。第十一到十五层是综合性强、技巧性高的难题。张宇，一千题， 假设你已经站在第十层左右，但实际上很多同学可能才在第三到四层。许多同学连一两层都没有牢固掌握，就急于挑战十五层。 结果就是，考试时一百五十分的题目中，有一百二十分是似曾相识却解不出来的。这往往是因为忽视了最基本的答题方法、传统习题测的局限性。六六零题、概念题不错，但仅靠它应对选填题是不够的。八八零题，主流知识点的综合性较好， 但二四被爆了冷门。一千题综合性强，但知识点覆盖面不如八八零。这些习题册能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。所以大家学得很痛苦，因为你根本还没有一百分的水平，而单靠听课很难听到一百分。 这就是为什么即使换了习题册，问题依然存在，因为根本问题不在于教材选择，而在于缺少 从零到一百分的系统训练方法。因此，从零分到一百分这个过程要靠我们自己来补充更高效的学习方案。很多同学可能从小到大数学都不怎么好，因此对数学产生了心理负担，其实大可不必害怕。一、知识点切片考研数学其实没那么难， 主要就是量大，知识点多。但相比高考，考研题型反而更固定，关键是要把知识点划分得够细， 而不是像课本讲义那样粗略划分。以函数极限为例，传统教材可能只分为三个类型的不定式，而其实在每个不定式下，都有几套适合不同场景的技巧， 什么时候用等价代换，什么时候用泰勒并不是粗略的知道方法就可以。当你能够精准掌握每个细分的知识点，熟悉各个基本题型的标准解法，遇到新题时就能识别它的变化点，找到对应的方法来解决知识点。多角度切片二、进度条为什么大家学的这么痛苦？ 因为完全不知道自己的真实进度。每天做十题这样的表面计划不是真实进度，因为做十题不等于掌握了考点。举个例子，每天写十题，半年就是一千题。为什么很多人模考还是分数很低？因为大多数人 没有系统地掌握各个子知识点，而是盲目的刷各种题型，没有形成知识体系。假如你知道这样一个事实，考研数学一共就六百个考点，虽然听起来很多，但是假如它就六百个，弄懂了，就没有新的了，是不是突然感觉没那么可怕了？假如你再有一个 真正的解析能力的进度条，你是不是会觉得复习会更有动力，更有规划？只需要一个考点一个考点的去突破，不需要再去天天琢磨到底接下去应该刷哪个题型。测智能型的能力条三、拆解三十年真题大纲知识点。要拆解六百个知识点， 总结他的各种用途，以及他的组合题型和变化。你自己做，一没有时间，二没有这个数学能力，所以智能型就帮你做了这件事。智能型对三十年的真题以及大纲知识点都进行了非常详细的拆解，他的复习题要 写了每一个考法后面的标准，对于每个考点都配备了专门的题库，让你从各个不同角度反复练习，直到真正掌握。与传统习题策不同，智能型不只是提供题目和答案，而是构建了完整的学习路径。 从基础概念讲解，到核心解析方法训练，再到综合应用，每道题都有详细的解析思路说明，不仅告诉你怎么做，更告诉你为什么这么做，帮助你真正理解解析逻辑。只要像打游戏一样，把六百个属性都练满，把进度条涨上去， 是不是练起来就会很笃定？拆分知识点再组合起来，我们跟踪分析了使用 ai 猜反馈正确率且等级三在百分之九十以上的五千名同学，其中百分之八十三的同学习题测的一刷正确率在百分之八十五以上。据后台反馈，很多同学的模考成绩 在使用智能型一个月后有大幅提高，当然这需要你投入足够的时间和努力，没有任何捷径可走。智能型刷到三级满六六零八八零一千题，这些习题测一刷正确率 都在百分之八十到九十以上，也就是说他不但把你从零分拉到了一百分，而且到了一百二十分左右的水平。接下来就可以刷难题，新题超越卷去提高了。所以一、先刷知能行，二、他至少能帮你从零分拉到一百二十分。 三、后面刷其他的题就快了，对照 a 代猜，一星期可以完成一本习题，测四，可以覆盖更多模拟卷上难题。新题刷完智能型，现在八八零很流畅，今天做了一千强化第三章，准确率蛮高的，这让我感觉到不真实，神龙大侠已练成， 这里是完整的复习时间表。一、智能型覆盖基础到强化阶段，也就是现在到九月主攻智能型，这时不用太纠结基础和强化的界限，不同，专题的进度可以有快有慢，重点是九月前 要达到真题一百二十分的水平，记住达到目标才是关键，具体过程因人而异，针对基础特别薄弱的同学，可以先跳过难度大的证明题专题，如中执定律、导数证明。二、强化阶段，全面提升智能型。一个专题到等级三，后期综合测试会减少， 这时可以配合 ai 猜，开始刷六六零八八零一千题的对应专题，这时你已经有一定的解析水平。一、刷习题测正确率在百分之八十到九十以上。三、冲刺阶段，巩固提高 智能型已经等级三满格，每天一般练半小时，保持手感。重点转向模拟卷，包括近五年的超越卷数一、数二、数三的题都可以练习。这个阶段要特别注意做题时间的控制，考研数学考试时间紧张，需要训练自己 在有限时间内高效答题的能力，可以进行多次限时训练，模拟真实考试环境。这个规划既稳扎稳打，又循序渐进。智能型会把知识点 细化成易消化的小块，你要做的就是坚持执行。记住，数学学习是一个渐进的过程，不要期望一蹴而就，即使今天只理解了一个小知识点，也是向着目标迈进了一步。每个人都曾经历挫折，但只要方法正确，坚持下去，一定会看到进步。加油，你一定能行的！

其实我们真的误会豆包了，要是你直接堆一堆文献资料，只说一句就让他写一万多字范文，结果肯定不会理想，内容空洞、没逻辑， ai 痕迹还特别明显。他本身并没有真实的文献库，就算给再多参考资料和文献结果也都一样。 但只要掌握豆包的正确使用方法，就能在一小时左右快速完成一篇一万多字带真实文献的初稿范文。第一种方法是使用精准的提示词，像这样分段详细投微内容，最后自己整合全书并调整格式。这个方法需要投入不少时间，后期参考文献还得自己另行查找。 第二种方法是先拿出这个专属助手，完善文章基本信息，再补充好自己的写作需求，把豆包给出的整体摘要或写作方向填进去，没有明确思路也可以不填。之后就可以在这里选择文献。这里的文献都是知网可查的真实文献，且和主题高度相关，随便复制一篇都能在知网检测到。 选好后会得到一份具体的出稿大纲，也可删减提纲即可生成的权威格式规范， 包含封面、目录、摘药符合标准、内容详细。文中还引用了自选的真实文献与基础图表，在这个基础上再修改就会轻松很多。

罗翔老师曾说，赚钱的秘诀都写在刑法里，但我今天想告诉你，合法赚钱的秘诀其实都写在数学里。 给你三分钟，我用一个奶茶实验室的故事，带你打通考研数学向量板块的任督二脉。作为老板，你手里握着的是决定产品研发和供应链命脉的核心逻辑一，基础原料与配单 首先，每一款奶茶的配方都是一个 n 为向量，比如奶茶 a 的 配方是三克茶和两克糖，记作向量三二。 这里的维度二代表你有两种基础原料。如果你想研发新口味，就要看它能不能由现有产品限性表示。 比如你想做出一款七克茶八克糖的大杯特调，通过计算发现它正好等于两份奶茶 a 加一份奶茶 b 的 腺性组合，这就是配方合成的数学原理。 二，菜单去重与逻辑老板最怕的是研发重复。如果你有两款产品，第一款是一颗糖两颗茶，第二款是三颗糖六颗茶，因为第二款只是第一款的简单翻倍，他们在数学上叫线性相关，这种无效新品会导致菜单涌跃。 通过寻找极大限性无官组，你可以从几百个杂乱配方中精准锁死那几款灵魂肌底。而这个项链组的质就直接告诉你，你店里真正本质不同的口味到底有几种。 三、供应链替换当你要更换原材料供应商时，就要看向量组是否等价。第一组是基础原料茶和糖，第二组是玉条肌底、甜茶和浓茶。如果他们能互相现性表示，说明两组物资在逻辑上是等价的。 考研常考点就在这等价。向量组的质一定相等，但质相等不代表他们能调出一样的味道。四、口味纯净化对于属一的考生，还要掌握诗密特、正交化， 老板要求两款主打产品的口味必须绝对垂直，没有任何味觉重叠。如果现在的配方 a 和 b 有 点撞味，我们通过正交化计算，把 b 里面含有 a 的 成分强行扣掉， 最终得到的那组标准正交基就是口感上最完美的味觉去造。五、核心计算与排产在老板的每日账本里，判断能否限性表示本质是看方程组有没有解。 判断是否限性相关是看有没有非零结而求极大无关组。最快的方法就是把配方竖着码乘矩阵作出等行变换， 台阶处对应的那些列向量就是你最核心不可替代的产品线。总结一下，项料是配方的砖块，线性表示是合成逻辑， 线性相关是研发领域，这是核心维度。而正胶化是口味的终极升级，这不是枯燥的坐标，这是老板经营沙盘上的每一块基石。

寒假的时候我把这本资料刷完了，然后我现在正在二刷，我决定把一些重要的题目挑出来，录制成视频再做一遍， 这是三十讲里面第五页的例，一点三遇到对数直接取指数就可以了，然后进行化解， 把根号放在另一边，这样子我们两边取平方的话，不就是可以处理了吗？ 然后算平方后的结果，刚刚好两边都有个 x， 平方还可以消掉呢。 然后我们发现 x 在 那里，把 x 提到另一边，要把 x 给分离出来，因为反解的话就是用 x 去表示 y， 把 x 分 离了以后，得出它等于二一的 y 次方分之一的二 y 次方减一，然后把它分开来算 打不来不是，你要能炸飞机，我也炸不来， 就正常拆开来算就可以了。 这么奢侈，我来捡，在哪里我都可以啊，走呗，要走就走啊。 所以我就算成了 x， 等于这一个东西。 那最后樊姐的话就把 x 换成 y， y 再换，换成 x， 你 先想一下吧。

这是二期考研章宇一千题做题本，一面一题，方便各位喜欢在平板上做题的同学使用。一面一题做题空间大，题目完全是手工录入的，不是那种不清晰的书籍扫描版截图出来的做题本有几点说明呢？我要说一下。 首先呢，我们每年都会做官方授权的主题讲解，每年都是好评无数，播放量很多。今年的主题讲解已经在 b 站开始免费更新了，大家点进我的主页就能够看到我们的讲解呢，不是对着题目去读， 而是认认真真的带你一步一步分析题干，带你一步一步顺着思路把这道题目做出来，重要的内容还会跟你做专题的总结，全部都是免费的。 所以如果你有题目不会做，欢迎来看一看我们的讲解，相信会对你有所帮助。第二，因为我们的题目呢，是纯手打出来的，我们已经努力的经过较对了，但是难免可能会存在少许的错误， 所以大家如果发现了错误呢？呃，欢迎大家在看物文档里面把你们发现的错误呢给填进去，这样也能够方便后面的同学更好的去使用它，大家彼此相互成就。此外呢，数一、数二，数三公共部分的题目基本都是一样的， 如果有一些特殊的部分，比如说数学三，他涉及到经济应用，比如说数一，他可能在某些章节里面，他有他单独的某一个知识点，这些内容呢，我会做单独的去标注，那么如果你不是考这个部分的同学呢，你就可以略去不做好吗？第三呢，我们这个做题本呢，是提供给在平板上做题的同学使用的， 有些同学呢，他可能习惯是在纸质上面做题，是吧？所以我不知道你们需不需要这种，比如说一张 a 四纸上面有三题啊，或者是两题这种打印出来的这种版本啊，如果你们需要的话呢，可以在评论区里面留言，如果需要的同学很多的话，呃，我就把它做出来，然后分享给你们，你们自己去打印可以吗？ 好，最后呢，我们这个是纯免费分享，所以如果你们发现有人盗用我的资料，还去收费的话，你们记得去点点举报， 因为我们说了免费，那就是免费好吗？如果你还没有购买纸质资料的话，可以在我的评论区里面点击我的专属链接去购买，是我的粉丝会优先发货，并且加固打包好，那么我的主页呢，还有更多关于考研规划，不管是考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课该如何具体复习的， 各种各样的经验，一定会有某一点能够帮助到你。当然，如果你在复习过程当中有任何的问题，都可以在评论区里面留言，只要是我的粉丝，我都一定会认认真真的回答你们的问题好吗？好，那么这期视频呢，我们就说到这里。

哎，然后呢？若干年前啊，这个已经有好多好多年前了，我当时讲的时候啊，是在现场讲的，现在没有，这现在就是一个小黑屋里头。以前呢，是线下讲的啊，线下讲的时候呢，那天我记得很清楚，是夏天的一个下午， 下午呢，大家就昏昏沉沉啊，我讲完之后啊，同学哈哈一笑，有一个男生啊，他昏昏沉沉要睡着了，大家哈哈一笑，他醒了啊，好，接着听，接着听完之后啊，他就生气了，下课以后他跑过来，他跑过来，他跟我讲，他说，老师啊，你为什么不给他两块钱，害得我们这么痛苦，每天要讨论这两个观点， 他当真了，来兴师问罪，他说你，人家派你当代表，你怎么这么不给力是吧，两个点给扣的，两个点不给，他把两个点给扣了，来责怪我了。 然后呢，他当时也很聪明，这是一种博弈是吧，这个男生啊，他是怒气冲冲啊，上来之后呢，振振有词，可是我要想一件事情，他是真的啊，以为我讲的是真的，来兴师问罪还是说他开玩笑的？ 就说他，他就是来开玩笑嘛，做一种博弈是吧，所以我转念一想，我这样回答他的，我说，这个同学啊，我现在呢，这个也没有办法了，我跟他说了，追悔莫及啊，他已经 死掉了是吧，我们现在你这么怪，再怪我怎么样也于事无补啊，是吧，没有办法。 呃，我看说你这个年龄的话呢，二十岁出头是吧，我算一下，大概再过七十年 是吧，再过七十年差不多啊，过了七十年之后呢，你去问问他是吧。哎，我们这个说的也挺实际的嘛，是吧，哎，你二十几岁，再过七十年差不多。我说你到那边你跟他聊聊，你问问他是不是。哎，到底怎么回事？ 这个男生呢，当然还是很不高兴的。那好吧，转头就走。可是他刚转头要走，突然又转不出来，对我说，老师，不对，应该是你先去问，哈哈哈。 哎呀，好了啊，这个就说到这里啊。真的，我一想果然是我要先去问， 可是我同学们啊，我先去问又有什么用呢？我去问了我也回不来告诉你了，还得我等着，我那边等着你。咱们一块啊，这个年龄啊。

同学你好，我们来看一下这期的视频，这期的视频主要是讲解导数的应用。首先来看函数单调性的判定方法，这个是我们耳熟能详的定力，那它的重点是在于单调性的应用，它的应用一共是有三条，第一条呢， 我们是可以用一阶导等零的点跟一阶导不存在的点去划分函数的区间， 这样的话，保证他的一阶导在各区间内的符号相同，从而判断函数在各区间上的单调性。而第二个应用呢，他其实总结为一句话，就是如果一个函数他在某区间内 一阶导等零的点为有限格的话，那么是不影响他在这个区间上函数的单调性的。再看第三个，那就是求函数单调性的步骤， 一共是有三步，第二步的话，常常被有的同学给忽略掉，因为他是要求两个点， 一个是一级岛等零的点和一级岛不存，另外一个是零一级岛不存在的点，用这些特殊点去划分区间来判断函数的单调性。再来看第二个知识点，第二个知识点呢，他是函数凹凸性， 一个是根据图像，另外一个是根据定律。那么需要注意的是，如果他的二阶导大于零，那是不是就能够知道他的一阶导是单调递增的对不对？那这样的话，也就是说曲线的斜率是递增的，这是需要注意的地方。再来看拐点， 拐点的话，它需要掌握的是什么呢？是拐点的第一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件。其中呢，这里有一个注解，一般写注解的地方都是我们需要注意到的地方， 它的第二和第三充分条件呢，都没有对一阶导是否为零做要求。而它常见的题型呢，是利用单调性去证明不等式或者是拐点的判别。 而利用单调性去证明不等式呢？我这里写了一个例题，大概常见的就是比较基础的是这种题型。 再看函数极值与最大值。最小值。极值呢，我们需要掌握的是它的定义、必要条件和第一、第二充分条件， 又多加了一个函数图像的描写，他这个是如果我们在需要补充函数图像的时候，那就可以严格按照这个步骤来。 这里呢，是根据函数极值以及最大值最小值。我补充了一个立体， 是我们考研中有一年的数一真题，也就是说 x 去进 a 的 时候， f x 减去 f， a 比上 x 减 a， 括号的平方是等于负一，那让我们判断在 x 等于 a 处， f x 极致的情况跟他导函数的情况。而拿到这种题呢，如果是出现类似的这种题，是要马上想到极限的局部保号性，也就是他的脱冒法。那这题的答案呢？他其实选 b， 感兴趣的同学可以自己做一下。这里是应该是一九八七年 数一的题。再看这里是应该是一九八七年数一的题。再看这里是应该是一九八七年数一的题。再看这里是一九八七年呢？ 我们知道渐近线，它是分为牵制渐近线、水平渐近线跟斜渐近线。那么我们在做题的时候，如果给出一个函数，让我们求它的渐近线，我们是先求它的斜渐近线还是水平渐近线呢？这里就是有一个优先级。 首先我们去考虑函数的无定义点以及定义区间的端点，去判断它是否有铅直渐近线。 接着呢，我们来判断 x 趋近正无穷或者负无穷是 f x， 它的极限是否存在，如果存在的话，那我们就存在水平渐近线，如果不存在的话，我们再来去判断它的斜渐近线，这是一个优先顺序。 那么需要总结一下的就是我们可以看出一个函数图像，它是可以有多条千指渐近线，但是水平渐近线呢，是一共最多有两条的。 那关于导数应用的知识点呢？我们就补充这么多，一部分教材上已经出现过的知识点，我就没有放在总结视频里，这视频就讲到这里，感谢你的使用，如果觉得视频对你有帮助的话，请给我点个有用。

好，我们看这个题， f x 在 零到二区间上单调，并且连续 f 零 f 二啊，这函数值给了对于任意的 x 一 x 二，总有它大于它，你看到这儿，你得立刻反应出来，在这一段弧， 函数在零到二上面，它是一段突弧，这能反应过来吧？哎，这两个点的中点的函数值好，大于这两个点相加除以二，大数大于算数平均值的话。好，这段弧就是突的，对不对？ 很快反应过来，是吧？那既然是凸的话，那我们在想的去画图了呀，是吧，都告诉你是凸了了，你不画画图看一下吗？好， g x 是 f x 反函数，那么求这样的一个积分，哎，介于哪两个数之间？ 这个积分被积函数是 g x， g x 是 f x 反函数。好，我们去画图看一看啊，看一看， 这是 x， 这个呢，是 f x 吧，这个土豆，他到底是谁？我们就先不标这个 y 啊。好，我们先把 f x 画一下。 f 零是等于一的，这是一的话啊，这是一个二， 这是一个一，这是一个二。好， f 零是等于一， f 二呢，是等于二的， 哎，是不是它过这两个点啊？而且它是一段突弧，是吧？在零到二零之间，它这段突弧突的不就这样的吗？对，这样突，突弧好， g x 是 它的反函数，反函数的话，我们知道啊，在一个坐标系下的话， 它们的图，哎， f x 与 g x 就 应该关于 y 的 x 对 称啊，是吧？因为它们的值域和定义域对调呀。好，我们就把这个 g x 图画一下。 关于 y 的 x 对 称呀，是不是？好，你看这个点是不是一，也就是说我们现在知道的是 f 零等于一，那自然对应的就是 g 一 就等于零，那果然你画的是对的，是吧？因为我们 g x 是 f x 反函数啊，这里边的 定域就是原本的这个值域，对，对吧？这个值域，你这个啊，这个 y 就 放到这个定域里面，这个 x 就是 它的一个值域，是吧？我们这个点要对。好啊，好，那同样啊， f 二等于二的话，那我们就知道了， g 二也是等于二，是吧？ 这两个值给它反过来吗？它也过这个点，是吧？它也过这个点，所以啊，这个红色的就是 g x， 我 们现在去看一下，一到二这个区间上对 g x 进行积分的话，这个再用黑色的回来了啊，这个画的还是不太好啊，咱们别拱那么大 孔一下，这样好去做这个垂线了。好，他既然说哎，小一垂，大一垂，我肯定是说给补一补，是吧？这些辅助线啊，补一下 积分的话，在几何上它的一个意义，是吧？积分的几何意义是什么呀？就是面积，是吧？它与 x 轴为成的一个面积啊，还是用这个吧。 哎，这个面积的话，肯定是小于这一块的。一个三角形的面积，是吧？三角形的面积，三角形的面积很好算吧，底 底是一个一啊，乘以高是一个二呀，再除以一个二，底乘以高除以二，不就是一吗？所以啊，我们这个 p 的 话，肯定是小于一的，是吧？这块面积比较小啊。 好，那它也是大于零的，因为这一个你可以看出来， g x 是 很显然是大于零的，是吧？它的一个曲线是 x 轴上方吗？它肯定是大于零的，它大于零，下限小于上限，这积分的话，很显然就这一块的面积吗？大于零呢，是吧？好，所以就是选 d 选项了。啊， 那这个也比较简单吧，你得能看出来。哎，考察了一个啊，这个图函数，图函数的话再考察了一个反函数。 反函数与原本的 i。 这个函数啊，在同一坐标系下，它关于 y 等于 x 对 称。这个图像啊，好，定积分的几何意义是吧？好，就这些嘛。好，这个题就讲到这儿了。

好，我们看十四张二重积分。好，关键的几个点会画积分区域，区域画完考虑对称性，有一般的对称性好，轮换对称性，还有，哎，考，考虑一下哎，有些题目就考到交换积分次序，注意啊，下线小于上限。 你如果有些题啊，你写上限，哎，这个就是你上限啊，比下限小的话，那有些区你你你会发现你画不出来，所以你要注意这一点啊，把下线哎，改成小于上限的基本区域就出来了啊。 好，还考察到有一些题目是用极坐标去做，是不是关于圆呀，是不是圆弧啊出现的啊，题目优先考虑一下极坐标， 还有椭圆出来的时候，偏心圆出来的时候，哎，考虑一下，这个二重积分的换元法是比较啊容易的这块啊，同学们要会啊，要会，后面咱们都会见到题的啊，好，使用场景，一般是这两个场景啊，我们看第一题。 好，这个区域 d 呢，是由它，它围成了区域 a 一 a 二 a 三。积分嘛，那我们去把区域 d 划一下啊，二重积分区域得会划 好画不呀？ x 等于零， y 等于零，这是 y 轴吗？这是 x 轴，这是两根直线，是吧，这根直线是 y 等于 负 x 加二分之一吧，另一根直线负 x 加一，斜率为负一啊，比如说这样画吧，这样画好，底下这个是二分之一，这是二分之一，这是一 大一点吧。好，这是一，这是一，那我们现在就是能够把这个区域画出来了吧，是不是这两个区，两个直线，还有两个坐标轴围成的一个区域，那不就是这个区域吗？对不对？这就是我们的区域 d 啊，我们看一下积分 a i 一 i 二 i 三呢？积分区域都是 d， 那 我们要去观察被积函数了，被积函数谁大？那积出来的啊，这个积分就是谁大，对不对？我们知道二重积分它的几何意义是什么呀？取顶柱体的体积嘛，这个被积函数 相当于是曲顶柱体的高。对，你底面积去就是底面积吧，底面积都一样，你就看高谁大就行了呗。好，我们比较一下被积函数啊，你看里面都有 x 加 y， 我 们把 x 加 y 拿出来吧， x 加 y。 好， 咱们的区域 d 不是 在这吗？那 x 加 y 是 不是就是有范围的呀？在二分之一和 一之间嘛，对不对？这是 x 加 y 等于二分之一，这是 x 加 y 等于一嘛，介介于它们两个之间的，那不就是 x 加 y 在 二分之一和一之间嘛，我们是不是可以令它为一个 t 啊？好，令为 t 的 话，你看这个 loin loin t， 咱们先别说七次方了吧，先说 loin t 啊，好， loin 的 函数咱们都知道，不是这样的嘛， t 呢？在二分之一到一之间，那 longen 不是 取负的吗？对不对？取负的啊，你七次方的话不也是取负的吗？所以我们知道啊，这个它得是 小于零的，带上等号也可以，是不是？你这个积分的话，你这个等号你还不用去过度的啊，去关注它，它也不影响结果是不是。好，我们再看一下，这是 t 的 七次方，这是三以 t 的 一个七次方，我们先去看一下 t 与三以 t 的 一个大小，再去比较这个七次方。好吧， 你看我们 t 的 一个范围是二分之一到一之间，这个时候想到一个常用的一个不等式吧，对不对？你看 t 现在是不是在零到二分之拍之间啊？你这个二分之拍的话是， 这是三点一四一五九二六，是吧？除以个二一点五多吗？对不对？你这个肯定是小于这个二分之拍的，就是在这个区间上啊，这个常用的啊，常用啊。好，那三一 t 就是 小于 t 的。 好，那我们还知道啊，你这个 sin 和 t 它肯定都是正的嘛，你可以画，你也可以画下图嘛，这不是 sin 函数嘛。好，我们是 t 在 二分之一 到到什么呀？到一之间，这个是二分之 pi 嘛，是不是咱们取值的一个区间在这个区间上啊？那肯定是正的嘛，对不对？ t 呢也是正的啊，所以它肯定都是大于零的。那我们再去比较一下七次方嘛， 你小于你都是正的，七次方，那也是这样的一个关系吗？是不是？好，那你看谁大谁小啊？这个 t 的 七次方是大的，是吧？ a 二是最大的啊， a 二是最大的， 那接下来呢？是最小的是谁啊？他是小于等于零，对不对？这块小于等于零的啊，那就是 a 一 是最小的吗？ a 一 最小的，那选 b 了，是不是选 b 啊？ 没问题吧？我们说二乘积分表示的是取顶柱体的一个体积，说的是几何意义？ 但是你二重积分的话，他是有正负的这块积出来的啊，比如说你的体积的一个值是一个五的话，但你积出来的一个结果就应该是负五，对不对？体积都是正的，但是你积分的结果是有正有负的啊，所以比如说这是一个负五，是吧？这是一个负的，这俩都是正的，这个意思啊，就跟咱们那个 定积分是一样的，是不是？定积分的话，表示的是这个几何意义，是不是？哎，这个面积，那如果你这个图在下面的话，那你积分的一个结果就是负的，是不是？它面积是个无积分的结果是有正负啊，面积和体积都是正的。好，几何上表示的是。哎，定积分是这个面积， 二乘积分呢，表示的是体积啊。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题好，比较二乘积分的一个大小。我们说二乘积分在几何上表示的是取顶柱体的体积，对不对？取顶柱体的一个体积啊， 是不是由底面积乘以高来的呀？高的话就是这个背积函数啊，只不过它是在变的，但， 但是我们能够判定出来，现在这个是高是大于零的，对不对？高是大于零的，那我们看底面积谁大谁小就行了，对不对？谁大而乘个高谁是最大的嘛，你不用去管它这些动不动的啊，总之你是正的积出来的啊， 体积的话是一定是正的，但我们是二乘积分的一个结果，结果是有正有负的，懂这意思吧？有正有负的啊，而我们现在已经知道了高是正的，你这个底底面积面积肯定也是正的嘛，所以乘出来的啊，这个积分的结果他都是正的。对，都是正的啊。 好，我们现在已经知道了，就看底面积 c 最大就行了， c 最大最小啊，就知道它们的一个啊关系了。那我们把这个区划出来就行了啊，区划一下呗，也不难哈。好， x 轴， y 轴，这不是一个圆域吗？ 好，这样吧，半径呢？是 r 啊，半径是 r 的 一个圆域， 这就是第一啊，这第一好，继续。第二呢，也是一个圆嘛，只不过它的一个半径是根二， r 圆心都是圆点嘛。 对，那我这个写写第二个第二个圆吧，因为再画这太大了，是吧？我这个是大的圆好不好？可以啊， 还有，哎，这个小的圆，这个圆在这里面啊，根二肯定是大于一的嘛。啊，这小的圆啊， 我们首先就知道了，你这个圆没有这个圆大，是不是？所以第二啊，第二，那一定是大于啊，第一的啊，接下来看这个第三啊， 第三的话， x 小， 绝对值小于等于 r， x 就 介于负 r 到 r 之间呗， y 呢，也是一样的啊，介于负 r 和 r 之间，我们去画一下吧，你看 y 在 负 r 到 r 之间的话， 你的这个是 r， y 等于 r， 这是 y 等于负 r， 是 吧？ x 等于 r， x 等于负 r。 好， 它就是一个正方形，对不对？去这个正方形嘛， 那我们可以看出来啊，这个正正方形呢，它的一个面积是比这个圆大的，对不对？因为这个圆，这个小圆在它正方形里面嘛。那，那可以比较出来大小了吧。这个第一啊，是最小的，你这个正方形，你是在这个大圆里面嘛，所以正方形是排老二的。好， 这个是第第二，这个圆是最大的，是吧？最大的圆，这个关系就是积分的一个关系，对不对？好，我们去看一下啊，一三二的一个。 嗯，这个是二乘积分，还有求极限是吧？当 r 取去零的时候，这样的一个极限是等于多少？ 那我们先看这一块呗，是不是，反正这个分母的话是区域零。我知道了啊，这个分子呢？它是分子部分吗？分子部分是一个二重积分，能不能记出来呢？ 你会发现你直接记，你记不出来对不对？当你记不出来的时候，二重积分，而且特别是跟极限牵涉到一起的时候，他会考察的一个知识点就记住，哎，考察到二重积分的中值定律了， 基也记不出来，跟极限放到一起的通常就是记不出来，你得想到，哎，这个积分中值定力了，二种积分也有嘛，是不是？那我们就单把这一个好， 二重积分拿过来，是不是 x 方减， y 方 cos x 加 y 拿过来用一下啊，这个积分中值定力，待会儿再去求极限 这满足的吧，是吧，连续函数啊，再去 d 上连续啊，知道出来一点好，我们现在它又等于什么呀？哎，这个 f 咱不说了，这就是 f 嘛，把这个 x 跟 y 改成可塞和 et， 是 不是 可塞方减去 et 方 cosine 可塞加上 et， 对 不对？再乘以，再乘以什么呀？去 d 的 面积啊，去 d 的 话我们可以看出来，不就是一个圆域吗，对不对？半径是 r， 这个面积的话，那就是拍 r 的 一个平方啊，就这么简单是吧。这个分子啊，我们看这一个积分， 这个极限啊，不是积分好，这个上方，是吧？这就是分子部分啊，我们现在不写了啊，现在写成它可以吧。 e 的 可再减 eight 的 平方 cos， 哎，可再加 eight 哎，拍 r 的 一个平方除以 推什么呀？拍 r 的 一个平方是不是？我们看啊， r 区域零， r 区域零，这个你可以把这个区域画出来嘛，对吧，它是一个圆域嘛，半径是一个 r， 当你 r 区域零的话，不就是 x 方加 y 方区域零了，是不是？也就是 x 区域零， y 区域零加到一起嘛，才会区域零，对不对？ x 区域零， y 区域零，那个可赛克 e， 它是不是也是往零区域的，也是区域零的啊？ 二，去零的时候。好，那既然去零，其实我们待会再再说，这块也行啊，先放在这儿，那么这是都是去零的啊，可算可一它都是去零的啊，对吧？ 不往零去了。好，那拍二方跟拍二方是不是消掉了？消掉其实求这一块的极限了。那极限都去零了啊。 cosine， 零是不是一啊？这里 e 的 零次方是不是一啊？就是一了呀？ 这是一个连续函数，对吧？当可再去，可再去零一，再去零的时候，连续函数啊，这个这块这个极限的话，就等于这点函数值，把零一带就行了，对吧？零一带就是等于一， 所以选 b， 这样题其实我们在真题里也也会有的，你就知道。好，记不出来了。二重积分还有极限的时候，就想到二重积分的中指定底了，往中指定底这边这边去靠拢啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题， d 是 由曲线和它围成的平面区域。好看一下这个二乘积分符号与 a b 的 一个关系啊，我们把区 d 画出来，一看就很好画吧。 x 轴， y 轴啊，抛物线呀，开口向上， x 等于零的时候， y 等于负一啊， y 等于负一呗， y 等于零呢， x 等于负一，一，好，它呢？ 这是一个圆的一半，对呗， y 是 等于根号啊，根号的话大于等于零，所以取的是上半圆啊，两边平方可以看出来是 x 方加 y 方等于一，你得保证啊， y 是 大于等于零的。单位圆的上面部分，对呗，单位圆的上面部分啊。 好，这个区域不就画出来了吗？我们可以看出来这个区域 d 是 怎么样？关于 y 轴是对称的，对不对？关于 y 轴啊，对称呀， 就我们画完图之后，你优先就要考虑对称性啊。好，关于 y 轴对称的话，我们去看一下啊，背接函数，关于 x 对 不对？哎，关于 x 的 一个基友性， 好，你看这一部分，咱们给它拆成两部分，对不对？两部分积分，第一部分的话，关于 x 啊，是个奇函数，所以这块积分就等于零了呀，因为再看这一块，这一块的话，我们可以把这个 b 给它提出来吧。 好，再去 d 好， y 的 一个平方 d x d y， 好， 你看啊，这个二乘积分的话，它一定是大于零的。对，背积函数大于零吗？我们说二乘积分在几何上，它的意义的话就是取顶珠体的体积，底面相当于底面乘以高高大于零的，对不对？ 好，这一块啊，积出来结果一定是大于零的，如果填个括号呢？如果填一个括号啊，那积出来的就是小于零的，就这一块积出来就是小于零的，对不对？在数值上啊，表示的是体积，那积分的话是有正有负的，你就看背积函数的正负啊，对不对？正的话，积出来就是正的，负的话啊，积出来就是负的。 那前面还有一个 b 呢，那 b 如果大于零乘以大于零的，那就是大于零的，是不是？ b 小 于零乘以大于零的，那就是小于零，所以啊，这个 i 的 一个结果，就去看这个 b， 它的一个正负了，因为这后面是确定的，是大于零的嘛，对，大于零的啊， 好，结果呢，就与 b 的 符号有关，与 a 是 没有关系的，对不对？你这块积分是零了啊，好，所以选 c 就 行了，这都都不对，是不是这块啊，积分是正的，一眼就描出来了。好，先去考虑对称性啊，再往后分析问题。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 二乘积分，它是先 y 后 x， 你 看一下能不能记出来呢？对于他来说， 咱们知道它是记不出来的，你说它的原函数是等于多少，不知道对不对？它是记不出来的啊，记不出来的话，你就考虑交换积分次序了，你像这样的题一出来，你就应该能够定位出来，它的一个考点，就是交换积分次序， 是不是？哎，你记不出来，你自然就想到交换积分次序了啊，先 y 不 行，那就是先 x 后 y 了，把区域呢，就是划成 y 型的。 我们，哎，第一步，先把积分区域还原出来啊，还原出来 x 零到一 y 呢， y 大 于零，小于根号 x 啊，根号 x， 是 不是这样的啊？这是一个一的话， 这是一，这是 y 等于根号 x 啊， x 零到一，好， y 的 话，从零到根号 x， 是 不是？哎，这一块就是积分区域 d 啊，好，现在啊，我们把区域化成 y 型的， y 的 一个变化的话，可以看出来啊，是不是零到一啊， y 的 一个变化，零到一 x 的 变化呢？平行于 x 轴，哎，画根线，从这进，从这出 进的，你解出来 x 等于多少多少 y 嘛，这一看就知道 x 等于 y 方嘛，是吧？好，这块呢， x 等于一啊，你看把负极函数拿过来， 这是一个一，对不对？这后面的话，那积分的结果不就是一减去一个 y 方吗？一减去一个 y 方前面啊。好， d y 我 们看一下啊，是不是可以拆成两部分，第一部分的话 是不是它第二部分减去啊？有同学观察到啊， 你拆完之后你会发现啊，又出现我们刚刚说的背记函数是 e 的， 哎，负 x 方负 y 方或者 x 方 y 方啊，它是没有原函数的，我们根本不知道它原函数是谁，对不对？ 那怎么办呢？不知道我怎么去记这个结果呢？好，这样的题啊，在真题里面已经出现过了，你先不要着急，他通常呢 去算后面的这个积分的时候啊，会出现这一部分把它抵消掉，哎，对，积分那个抵消功能啊，就是你算有一部分算不出来的时候，先不要着急啊，要暗示自己那主体人一定让你能做出来，对不对？你先往后坐一坐啊。好，你看，你先处理他啊。好， 第一部分呢，我就先给你放在这啊。第二部分的话，密函数，指数函数，想到什么呀？哎，去凑微分分布积分嘛，对不对？我们说那个顺序是什么呀？反对，再写一下啊。密 指三密函数和指数函数，那就把越靠后的这个啊去凑为分，是不是凑完为分分布积分啊？好，零到一，你这个先放在这啊。好，我把它 凑到后面，你要保证这一部分和这一部分你得是一样的，或者你把符号也加上啊， 对不对？你现在要去补一些系数，你别忘了啊。好，你看这一块他的一个微分的话，是不是先把它写下来，然后这块求导呀？负的二分之一 y 方求倒是不是二 y 啊，这就是负的一个 y 吗？负的一个 y， 好， 你看人家这里是 y 的 一个平方， 你，你这一块啊，已经出来了一个 y， 跟这里出来一个 y， 哎，一平方就变成 y 的 一个平方了， 人家这里是负号，你这里啊，也是负号对上了，但你最快出来了一个负号，是不是？所以你要补一个负一，所以这是加号了，懂吧。哎，你要把这些系数给补清楚啊。好，这样的话，你看啊，这部分就消掉了， 我再写一步啊，第一部分我就写个 i 一 吧，好不好，加上，你看 u v 分 布，积分嘛， 零到一减去一个 v d u v d u， 那 不就是它 d y 吗？你看是不是它 d y 一 跟它长得一模一样啊，好，那就是减去一个 a 一， 这块就减掉了是不是？你看这块 e g 不 就出来了，结果了吗？等于多少呀？ e 代码， e 的 负二分之一， e 的 负二分之一，次方结束了。对，看到这这种啊，记不出来你，你别着急对不对？稳着性子啊，沉着冷静的啊，把后面的分析分析，它会抵消掉。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这一看就跟第五题考的一样，交换积分次序，为什么？你先 x， 你 记一记，试一试，记不出来对不对？你告诉我这一块的元函数是谁，对不对？记不出来，你自然就想到交换积分次序了，先 x 不 行，那就是先 y， 先 y 后 x， 对 不对？那就是把区域化成 x 型的啊，第一步呢，把我们的积分区域还原出来呀， x 轴 y 轴 y 的 变化是零到一，也就是 y 大 于零的，对不对？ x 变化， x 大 于零，小于 y 方， x 小 于 y 方，我先等于 y 方啊，把这个边界找到，这是一个抛物线，或者你给它改成 y 等于根号 x， 对 不对？正负根号 x， y 取正的呀，对，取正的啊。好，我们回话吧， y 等于根号 x， 好， y 的 一个变化，注意啊，是零到一。你这里 x 取一的时候，是不是 y 取一 好？ x 的 变化，那就是平行于 x 轴，平行于 x 轴，画根线，从哪进从哪出啊？从 x 等于零进，那就是 y 轴嘛，从这个抛线出，对不对？那就是积分区就塌了啊。好，这就是我们的积分区还原出来了啊。好，现在啊， 我们化成 x 型的积分区域，那就是先去定一下 x 的 一个范围啊，那就是零到一积分啊。零到一 d x， y 对 y 积分的上下线怎么定呢？平行于 y 轴，画一根线，好， 从这进，从这出，是吧？进的是 y 等于 x， 根号 x， 出的是 y 等于一嘛，好， x e x 比上一减根号 x， 这是一吧。 这一块积分不就是一减根号 x 吗？一减根号 x 根这里消掉了，那就剩的就是 x e x d x 它的积分结果我相信有一些同学都直接记下来了，是不是做的多了，就直接记下来了？当然你没有记下来，你可以凑微分分布积分，也可以用表格法，都是非常快的啊。 表格法的话，这是求导这积分嘛，交叉相乘，正负相减，你看 x 乘以 x 减去 x 次方啊，那就是把它提出来 x 减一嘛。好，你看上限一代的话，一减一是零了啊，下限一代零减一是个负一， e 的 零次方是个一，就它零减去负一就是个一，结果也很好算，对呗，好，还是交换积分次序啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，交换积分次序，那么第一步就是还原积分区域啊，哎，把 d 还原出来，然后来交换嘛，是吧？先 x 后 y， 不 行了，那就先 y 后 x 嘛，好，换区域， 这是 x， 这是 y， 它是先 x 后 y， 就是 区域化成 y 形域了。 y 的 一个变化是一到一，一到一。 x 变化的话， x 是 大于零，小于 long y 是 吧？那 x 等于 long y， 我 们可以哎，两边去。指数的话，那就是 e x 四方等于 y 吗？ y 等于 e x 四方，这个会画吧，是吧？一个指数函数啊， 指数函数啊，这样的吗？对， y 是 一到一的啊。好，那 x 呢？是零到零 y， 我 们知道啊， 画成 y 形域的积分区域，这个 x 的 一个上下线，这对 x 积分的话，上下线怎么定的呀？平行于 x 轴是吧？好，那这个就是 x 等于零嘛。啊，对， x 等于等于 y， 这根线就是 y 等于 e x 四方了，是不是？所以我们的区域就画出来了，就是这个区域嘛。 对呗， y 的 变化一到一啊，区域已经画出来了，现在交换积分次序域。好， 先 y 后 x， 那 就是把区域化为 x 型域，是吧？那 x 的 一个变化的话，嗯，可以看出来，这里啊还有变化。 y 等于 y 等于 e 的 时候， x 是 取一的呀，是不是 x 的 变化，那很明显是零到一嘛。 好，先 y 啊， y 的 话， y 的 一个变化，那就是平行于 y 轴，对不对？那就这样画一根线是吧？穿根线啊，先交后交，先交写下线 y 等于 e， x 方后交写上线 y 等于 e 嘛，对吧？这就是 f x y 看一下 是不是他呀，哎，他啊，去画出来就写出来了啊，好，我们看这个题啊， 一看就是考察交换积分次序，先 y 后 x， 你 看先 x 后 y， 是 不是考察交换积分次序？第一步先干嘛呀？先还原积分区域，把区域 d 画出来啊，这得会画呀，好， x 在 这个区间啊， y 呢，你看两个边界啊， y 等于 sign 和 y 等于一嘛， y 等于 sign， 划一下这样的吧，大概划一下啊，这是二，哎，不对啊，这是二分之拍， 这是拍到这，其实够用了，对没？你看 x 在 二分之拍到六分之五拍之间啊， 二分派六分之五，你比如说到这吧，这六分之五啊，拍好 y 呢， 从 sign 到一啊，这个就是一嘛，对不对？最高点啊，这是一啊，这 y 等于一， y 等于 sign 不 就这个这个 sign 函数嘛。所以我们可以看出来啊， 区域就是这一块红色的区域是不是？好，我们交换积分次序就是先 x 后 y， 区域化成 y 型的，看一下 y 的 一个变化，我们看一下 y 的 一个变化啊， 是不是从这儿啊，到这儿嘛，这这个这个点的函数值等于多少呀？ x 等于六分之五，拍的时候 sin 三以六分之五拍，不就等于三以六分之拍吗？三以三十度是二分之一啊，所以啊，哎，这是 y 等于二分之一，是吧？从二分之一到一嘛，从二分之一到一啊，好， x 的 一个变化呢？ x 变化就是平行于 x 轴画一根线，这定线的方法啊，平行于 x 轴画一根线，从这进，从这出，对不对？进的时候是从 side， 哎，进的啊，出的时候呢？是是这个啊，是 x 等于多少呀？就是 x 等于六分之五拍吗？ 其实这块就算你不知道，这个题也已经做出来了啊，你看二分之一到一只有 a， b 里面是对的，然后再看一下，这是六分之五排只有 b 是 对的，是不是？ 好，如果再难一点啊，它它前面这些跟它它俩都长的一样，这一块啊，不一样你也得会啊，咱们在支点视频里面给大家讲这个反函数这一块啊，反三角函数这一块讲的很详细，如果你不太清楚的话，可以再去看一下啊。 好，这个左边这个紫色的一个点怎么去定出来 x 是 等于它呢？好，我们去看一下啊，这一个这个点的话，我们给他写出来它的一个横坐标的话是多少呀？这这个黑色的线，我们说是等于 y 等于三 x， 对 不对？ x 等于多少啊？ x 等于 r 三 y， 你 从这到这我们要求什么呀？ 你这个 x 得是在负二分之拍到二分之拍之间，我们刚好，对不对？这这这块啊，我们写 x 乘以 y， 这个 x 啊，刚好是在负二分之拍到二分之拍之间，在主值区间里面，对不对？所以它是可以写成它的啊，也就是说这个点的一个啊，横坐标就是 ark 三， y 就是 x 乘以 y 嘛，对不对？ x 乘以 y， 你 看啊，这两个点的话，是不是关于 这个二横的拍对称的呀？那我们就知道了啊，这个点的横坐标就能写出来了，对称的话，那就是二乘一个它吗？两倍的它就是个拍吗？减去个它不就行了，对不对？那就是拍减去一个 r 三 y， 你不能够直接说，哎，这个点就是 x 等于 x 三 y 啊，你看这个点的话，它介于二分之拍到六分之五拍之间了，是不能够，哎，由它直接到它的，对不对？我们由对称性得出来啊，这个点的一个横坐标就是这样去写的， x 等于拍减 x 三 y， 是 吧？ 这剩下的啊，就是一写就行了，选 b。 当然我们也有别的一个方法，把这个这个点 我给它解出来， x 等于拍点 x 和 y， 就 可以去看一下知识点。关于反三角函数啊，你把这个区间好多变量代换挪到负二分派到二分派这个区间上，就可以用这个，哎，这个反三角函数的这个这一块的一个定义了。 好，其实呢，用对称性比较容易写出来，就是用对称性就行了吗？这个对称轴是二分的，拍乘一个二就是拍拍减去它，那就是这一块啊，这个点的一个啊，好多标了吗？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f x 连续他等于他，他等于他，就这个有什么用呢？我们看一下啊， f x 等于 f y， x 表示的是什么意思呀？ x 跟 y 对 调表达式是没有发生变化的，也就是这个 f x y 啊，它的一个图像呢，是关于 y 等于 x 对 称， 是吧？而且看到它俩相等的话啊，如果区域 d 关于 y 等于 x 对 称的话，想到什么呀？想到轮换对称性是吧？如果去 d 关于 y 等于 x 对 称的话，哎，你看第二条就是， 是吧，哎，想到这一块啊，再有一个呢，它俩相等你，你看我也是没有动的啊， x 换成负 x 表达式是没有发生变化的，这说明了什么呀？关于 x 啊，是偶函数呀，对不对？这个 f x y 啊。关于 x 为偶函数， 也可以换一种说法，就是 f x y， 它的一个图像呢？关于 y 轴对称，一个意思嘛，对不对？关于 y 轴对称， 就是说，你看这些信息啊，你要用哪哪个啊去做题，我们看啊，让我们去算这样的一个二乘积分，这是先 y 后 x， 看下选项啊，先 x 后 y， 所以 啊，从 ab 里面可以看出来，考察的是交换积分次序。对，交换积分次序， 我们要还原积分区域吧，待会再画图，我们再看一下 cd 啊， cd 是 用的极坐标，它有四倍的，出现四倍的了，那就是考察到什么呀，对称性了，对不对？对称性的话会出现二倍啊，四倍嘛， 好，这个 c 和 d 得考虑啊，这个对称性这一块了。好，我们先把积分的区域画出来啊， x 轴， y 轴， x 负二到二 y 呢？两个编辑啊， y 等于二和 y 等于它， y 等于根号下四减 x 方，它是不是又是个圆呀？ x 方加 y 方等于四，注意这是根号，根号一定大于零，所以是圆的上半部分， 就就这样的呗。圆的上半部分啊，负二到二，是不是你要注意啊，这个区域是 y 要大于它， y 要大于它，也就是说这个意思， y 大 于根号下 四减 x 方，你看一下是在圆外还是在圆内哦，也就是 y 方大于四减 x 方， 也就是 x 方加 y 方是大于四的，这是表示的什么呀？圆外这边你不要搞错了啊， 圆外不是圆内啊，很多题目他考的都是圆内啊，区域的就是在圆内部，而不是在圆外，这个题就是圆的外部了，因为这是一个圆，它的一个外部 y 要大于它圆的外部， y 呢，又要小于二，这个 x 等于零的时候， y 刚好是二，这就是个二啊。这里 好，所以区域可以画出来了，这部分和这部分对不对？圆的外部还得 y 还得小于个二， x 在 负二的到二之间。区域画出来了啊，是关于 这个我们一开始说的啊，如果 d 关于 y 的 x 对 称的话，你考虑能换对称性是不是？这个并不是已知条件，你要去分析啊，已经画出来了，你看一下这个区域 d 关于是吧，关于 y 轴对称 好，是不是目前我们能分析出来就是 d 关于 y 轴对称啊，关于 y 轴对称的话，这个 c d 啊，待会我们就可以考虑啊，这个一般的对称性你要去关注什么呀？ 关于 x 被奇函数，关于 x 是 不是奇函数，是不是偶函数，对不对？而我们已经分析出来了，关于 x 为偶函数啊，关于 x 为偶函数，所以啊， 我们，哎，这块是不是可以用一下对称性啊？好，咱们先不说这个 c 和 d 吧，先去说一下 a 和 b。 a 选项， 嗯，是先 x 后 y， 也就是区域化成 y 型的，你可以看出来它有两部分相加，也就是在这个区域上算一下，在这个区域上算一下，我们给它记为第一第二。第一区域上的话，好，化成 y 型的， y 的 一个变化可以看出来，是不是从零到二啊？ 从零到二啊， y 是 不是 x 的 一个变化呢？平行于 x 轴画一根线， 这个应该都很熟悉了。平行于 x 轴画根线，从这进从这出，这块是 x 等于二，对不对？哪根线进的嘛？ x 等于负 r 负 r， 这个呢？ x 等于多少呢？你看咱们的一个圆的一个表达是不是在这呢吗？问它等号 x 等于多少 y 吗？那就是四减 y 方，开方 添个正负号，你画一根线的话，左边这里就是 x 等于负的去负的嘛？负的根号下四减 y 方，你看这边还有个焦点，这边的话就是 x 等于根号四减 y 方去正的吧，是吧？好，这是负的啊， 四减 y 方。好，这个背景函数往这一写啊，继续，还有第二区域上， 第二区域的话， y 的 一个变化，一样的，也是零到二， x 的 变化同样平行于 x 轴，画一根线从这进从这出，是不是这进的话 x 等于多少 y 啊？就是我们刚刚说的，是不是就这个啊？ x 等于它嘛， 根号下四减去一个 y 方出去呢？ x 等于二。好， f x y 对， 你去合并一下嘛， 零到二抵 y， 你 把它俩合到一起，它俩合到一起加到一起吗？是不是加到一起？你看一下负二到它是对的，那这个应该是正的吧。这边是正的啊，到二，你这个写个负的肯定是错的啊，这个错了。好，我们再去看一下 b 选项啊， 你想想放这吧。好，嗯，这块它用了一个二倍的，二倍的话就要用到对称性了啊，对称性，是不是你用一下对称性就会出现二倍的啊？去 d 关于 y 轴对称背记函数，关于 x 为偶函数的话，我们是不是偶倍积零啊？好，就可以写成两倍的， 再去第二上。是不是两倍的，再去第二上进行积分嘛。 好，去第二场积分的话，我们也是交换积分次序啊，是先是吧，先 y 后 x 了啊，对不对？他是先 y 后 x， 这个没有交换积分次序。哦， 对，这个没有交换积分次序啊。好，这个没有，刚刚看错了，他还是采用 x 型的啊。 x 的 一个变化可以看出来，不就是零到二吗？零到二啊， y 的 个变化， 平，平于平行于 y 轴画一根线啊，平行于 y 轴画根线，这是从这进，从这出外，是不是？这进的话是 y 等于多少 x 啊，不就等于它吗？ y 等于根号三出去呢，就是 y 等于二， 是不是他呀，你看在这个里啊，这里其实你大眼一瞟，这个 b 选项就是错的，你这里底 y， 你 注意底 y 的 话，你这个上下线一定是关于 x 嘛， y 等于多少多少 x 呀，对吧，这里面不可能出现 y 啊，就是，你看应该是四减 x 方开方啊，这，这应该是 x， 所以 这个 b 也是错的啊。 好，再去看一下 c 选项，好放这了啊，四倍的，这个四怎么来的呢？我们先去根据啊，这一块的一个对称性，就是一般的对称性，先去给它写成两倍的啊，我们在 b 选项就已经说过了，可以写成两倍的，在第二区域上进行积分。 好，这个时候你去看一下第二区域啊，你盯住第二区域就行了。第二区域你看是不是 a 关于 y 的 x 对 称啊， 是不是？哎，第二区域关于 y 等于 x 对 称，对于这个积分的话，我们再去又知道 f x， y 是 等于 f y x 的， 哎，想到轮换对称性，是不是用了一般对称性，又用到了轮换对称性啊，好，第二条，那么我们现在就知道啊，这个积分的话可以写成两倍的， 在这个区域吧。对，两倍的，你这个区域你写，你用上面的，用下面都行啊，那用下面的吧。好，这个我们记为第三吧。好，这一块写成两倍的第三啊，那两倍乘以二，那就四倍的了，是不是四就出来了啊？第三区域上 这是轮换对称性，两个对称性综合到一起了。好，他既然采用极坐标，我们也采用极坐标了， 是不是？你看它刚好是零到四分钟拍吗？就是我们采用的啊，这个区域，这个区域的话零到四分钟拍，跟它对应上啊，好，是脚标的这个角度的变化。是零到四分钟拍吗？对不对？就是 y 等于 x 呀， dc 它半径的一个变化。变化呢？注意 r d， r 啊，半径的一个变化，我们从几点出发？ 几点出发，沿一根射线出去，从这进，从这出，是不是进的是这个圆那个边界啊，出的是它啊，好圆，圆的话啊，表达是不是，哎，在这呢吗？ 半径不就是二吗？所以进的时候就是 r 等于二，出的时候呢，这是 x 等于二吗？ l 等于二，你去换一下呗。 x， 我 们认为 x 是 等于 r 乘以 cosine theta， 是 不是 r 就 等于二出一个 cosine theta， cosine theta 分 之一就是 sigma theta， sigma theta， 所以 就是二 sigma theta， 对 不对？那就在里面就很好写了吧。 r cosine r sine， 你看这个 c 是 不是就对了？哎，就是对的啊，选 c 就 行了啊，那 d 为什么错呢？你也可以看一下他用四倍的啊，这个角度的变化怎么是零到二 k 呢？你取第三区域的话，就是零到四分之 k， 对 不对？你取这个上面这个区域的话啊， 那不就是四分之拍到二分之拍吗？这也没有，没有这个回事吧，就是这块错了啊，这块错了，剩下的是对的，是吧？注意这个啊， r， 别忘了啊，这个面积的微圆，这小 r 不要漏了啊，有些题目他就没有这个，你首先把它排除掉。 好，你看这个题考到了一般对称性，轮换对称性，还有交换积分次序是吧？好，那这个题讲到这了。 好，我们看这个题啊，这给的是曲线 l 的 极坐标的一个方程 theta 是 零到三分之 pi 啊， r 关于 theta 的 一个方程。好， d 是 由曲线 l 围成的区域， 那么求二中积分。那其实区域你连画都不用去画 theta， 你 确定出来它的一个变化， 那么 r 的 一个变化，因为这个方程他已经有了吗？是吧， r 就 小于等于 c 三 c 的 大于等于零的。哎，有同学这个 他就觉得有点问题。好，待会我去给大家去画一下这个图，好吧。嗯，这个方程已经给你了啊，他的一个 r 的 变化就是零到这个方程。好， 嗯，我们直接先算啊，先算完之后就把这个图也可以画一下这个 a 的 话。好，那既然给的是极坐标的一个方程，我们就用哎，给它转二乘积分，就转化为 题坐标下的累计积分，是吧？好，那 c 的 一个变化的话，我们先 c 的 后 r， 一 般来说先 c 的 后 r 后面会有一些题啊，先 r 后 c， 它更简单啊。好，我们会给大家讲到的啊，这是先 c， 它后 r 的 话， r 的 一个变化， 那么就是零到 c 三 c 塔。好，你注意要添一个 r， 是 不是背及函数，这就是直角坐标跟极极坐标的一个转换的话，是不是 r， 这里乘以 cosine c 塔， y 是 r 乘以 c 塔， 那就是 r 方了，再开方就是一个 r， 对 吧？好，就这样的，这里积分的话， r 方啊，那里积分就是三分之一 r 的 一个三次方，对不对？我直接积了啊，这 r 的 三次方，零 c 三 c 它嘛。 好，它的一个三次方 d c 它没问题吧？ 好，你看到啊，这个三 c 它，你直接给它换元，这样看的看问题看的更清晰一些啊。好，我们就令三 c， 它等于个 t， 可以 吧？好，三分之一，我们看 c， 它取零的时候 t 取零， c， 它取三分之拍的时候 t 是 不是取拍了呀？乘一个三呀。好，这就是 c t 的 一个三次方， d c， 它 c， 它是等于三分之一 t 的 d c， 它就等于三分之一 d t， 对 不对？再来一个三分之一啊， d t 换元三换啊，别搞漏了，这就是可以用哎，这个华裔公式的几个啊，衍生出来的 公式，记一下。好吧，延伸出来的啊，零到二拍的，零到拍的都记一记。现在是不是零到拍 c 的 n 次方呀？好，那就直接二倍的零到二分之拍，九分之一就变成九分之二了。零到二分之拍。 哎，这个 ct 的 三次方一旦给它化成零到二分拍，就可以用华丽式公式了，是不是？他是三次方吗？那就是基数，基数次方的，那就是三二一，是吧？就是一个三分之二，这里就是三分之二了吗？九分之二乘以一个三二一 三九，二十七分之四。对，哎，这个变量代换一下，看问题看的更清晰了吧。零到拍好立刻，哎，用我们记的公式啊， 好假设，哎，你没有没有想到是吧？这这些公式的话，那我们说了，你看到三次方的话，咱们在第九章第一个题就给大家说过了吧。哎，你要想到 给他写成平方和一次方是吧？一个是平方，一个是一次方，这不是三次方吗？那有留出来的一个就是为了去凑为分的，对不对？这就是啊，或者啊，或好凑为分吗？ 九分之二这里面，哎， c n t 方就是 e 减去 cosine t 方了呀， c n t d t 就是 d cosine t， d cosine t 不 对，要添个符号是吧？ 好，那接下来的话，这积分应该就都会记了啊。我们看第一部分 e 积分是吧，那就是 cosine t 啊， cosine t 我 写一下了啊，第一部分积分的一个结果， cosine t 减去对 cosin t 的 三次方，这是 cosin t， cosin t 现在看成 u 吧， u u 的 一个平方的一元函数，那就是三分之一 u 的 三次方，对吧，看成 u 啊，好，嗯，领导派记一下啊，肯定是一样的结果啊。负的九分之二乘以 cosin cosin pi 是 负一吧， 靠近零是一吧，好，减去三分之一，靠近拍是负一。负一的一个三次方，还是负一 减去靠近零是一，对吧。我们看啊，这是负二，减去这边是负二，那就是加上一个三分之二，这里面啊， 这多少呢？负二是负的三分之六，那这就是负的三分之四，对吧？好，乘以前面的负的一个九分之二。符号跟符号就别要了，对不对？三九二十七，二四得八， 哎，这里怎么是二十七分之八呢，这就错了是吧。这九分之一啊， 搞错啊，重来九分之一，九分之一，所以八是不对的，再除以一个二四嘛，来，这个二十八，二十七分之四啊。对呗，我们这前面啊，多给搞了一个二嘛。多搞了一个二， 二十七分之四，没问题的啊。二十七分之四，九分之二，我就看这啊，看花眼呢。好， 那当然了，还是希望这样是吧，更快一点啊。我们把图画一下的话，看怎么去画呢。好，关注一下。 theta 的 话 是不是零到三分之拍呀。哎，我们这是三 theta 哟，三 theta 乘以三呀。 对呗， c 的 你可以三， c 的 可以拎成一个 t 嘛。好，我们现在就是 c n t 是 吧。哎，给它画一画它的一个图像嘛。好， c n t t 在 零到拍之间，那我们肯定会画的。 那这是一个 t 的 画，这是 c n t 对 吧？零到拍， 这是一个二分之拍。这图正弦函数的图像我觉得是没有问题的，只是说怎么把这个 r 等于 c 三 c 的 在只要坐标系里面去体现一下呢？ 这样体现呗，你看这个零到二分之拍的时候啊， c n t 是， 反正这是单增是吧。这边单减，待会再说。这是 x 轴，这是 y 轴的话， 好，二分之拍，我们除一个三啊，我们这里都给他乘以在 c 的 基础上乘一个三了，对不对？那我们都除一个三，这里应该对应的是一个六分之拍 啊。先先先听一下啊，可能有同学听不清楚了啊。再除以三是三分之拍。啥意思呢？有一个角度是三十度，对呗，有个角度是六十度啊，我给画两根直线啊。 嗯，三十度的，这应该是 y， 这个直线是不是 y 等于三分之根三 x 啊？ 再画一根直线， y 等于根三 x。 想表达的是什么意思呢？想表达这个角度就是三十度，对不对？这个角度就是六十度啊，这没问题吧？好，这一点先听清楚啊， 那我们的一个角度你看，从零到，哎，这对应的角度是一个 六分之拍嘛，这对应角度是三分之拍啊。好，零到六分之拍，当我们的 c 塔啊。 c 塔零到六分之拍，那么再乘一个三呢？哎，就是零到二分之拍了，对呗， 你看，当 c 塔是从零到六分之拍，从零到六分之拍，我们三 c 塔是不是从零到二分之拍呀？ 是不是这个整个的这个证券函数 c 一 t， 这个时候是不是单增的呀？对呗，是单增的啊，所以啊，我们现在就看的是是这个 c 三 c 它吗？是不是是单增的啊？从零开始的话，单增，那图像应该就是这样的， 对呗，来单增，我们继续的话，那 c 它从六分之拍，你注意，这是 c 它啊，这是三 c， 它就是我们的 t c 它从六分之拍到三分之拍，那么三倍的 c 它那就是二分之拍到拍，是不是？哎， 好，接下来我们看啊，我们从我们从 x 轴 y 轴这样去看的话，是说的是 c 它啊，我们都再乘一个三的话啊， 好， c 的， 现在从六分之拍到三分之拍，对应的就是，哎，对应的就是三 c 的是从二分之拍到拍的，那这个对，就是我们的 r 嘛，是吧？ r 是 单减的哟，单减的啊，那就减回来， 对呗。其实我们的图就是这样的啊，我们图应该就是这样的，只是我画的不对称，应该这里稍微对称一下， 就跟一个。嗯，什么呢？核桃一样，核桃的一个核，是吧？核，哎，总之就是这样的，你看对不对？我们那个图就是长成紫色的这个样子， 图画出来了，好，我们用奇坐标是吧？来进行二乘七分的话，你看 c t 的 一个变化的话，是不是？这这个 c t 的 变化已经告诉你了，是零到三分之拍，对不对？你看零到三分之拍呀， 好，那半径的一个变化呢？半径变化，我们是从几点出发是吧？引一根射线出去，哎，就是半径，不就是从零到这个点吗？这个点不就是它的一个方程吗？是吧？零到 c in c 它呀， c in 三 c 它呀，对不对？ 哎，这个我再解释一下啊，这个单增单减是什么意思啊？就这个 r 吗？对不对？随着 c 它的一个增大啊，你看这不是半径吗？是吧？半径啊，半径随着 c 它是不是在增大？这个这个过程 是不是增增增增，哎，达到最大，好，接下来好开始减小了吗？是不是？这是半径吗？从这啊，从几点出发到它到这个曲线上，你看半径是不是越来越小？ 哎，越来越大，越来越小，就这样的一个过程啊，了解一下啊，实在你画不出来也没关系，你就记住，是吧？ c 他 给出来了，那 r 就是 零到他就行了，对不对？好，这个题就讲到这了。

hello， 各位同学，大家早上中午晚上好，我是 super 新，大家也可以叫小新学长。那么今天呢，我们继续来进行函数极限与连续第二部分函数的图像的学习，先请大家思考一下，就是如果你是学完没学完也没关系，就你目前为止就学到现在，你做过与函数的图像直接相关题目有多少呢？ 那就与学长就全学完了，包括考完以后直接与他相关题目还是停车的。我们最常考的顶多就是二重积分的计算，在二重积分的计算里面，这是三张我们首先的一步，第一步就是要把这个函数的图像画出来，然后我们再去进行积分。 那为什么学长觉得这部分内容对于我们来说还是非常非常重要呢？就是函数的图像，它代表了一种很重要的思想，叫做数形结合， 这种思想能够大大的帮助我们简化我们的计算过程，更重要的是我觉得简化我们的这个思考的过程，也就是简化我们思路。 怎么说呢？比如我们做一个定积分的内容，我们后面部分做个定积分的内容，定积分是不是就是如果是两条函数包围起来范围，我们如果通过计算来判断它的高低的话，是不是老麻烦了？但是我们如果通过画图，是不是一眼就能看出来哪个高哪个低，那你就知道是哪个减哪个积分， 所以这是一种非常重要的思想。那么接下来我们来看下具体内容，第一部分是基本初两函数，初六函数，里面又有什么反对密值三常数函数，我相信对于这部分内容，大家对于它的什么性质啊， 什么特点啊？我相信大家都非常非常了解，书上写的也非常非常想进，学长说来说一下我们这里需要注意的一些重点是哪些地方？首先是对于这个密函数，密函数这里有个非常重要的思想，就是我们对于这个根号 u， 根号 u 三四方的时候，我们常用研究 u 来研究它们的极对值， 这个是在我们后面多元还是微分学，也就第十三章里面，我们计算条件极值，也就第十三的最后面一部分的内容，计算条件极值，这个是个非常重要的思想，就是他常常都是给你个根号框框， 那我们直接对这个根号框框进行求导，是不是肯定还是会带根号，不大方便？所以我们就直接也就根号一呃这个一框框的极致，然后再把这个框框极致求出来以后，自然而然也就得到一个根根号框框的极致。 还有个就是对于就是连乘基形式，那我们要对他进行求导是不是也蛮麻烦？就是连乘基形式我们是一个人给一巴掌，一个人求导一次嘛，那么这种一个人求导一次，再加起来是不是比较麻烦？那我们通常就采用取对数的形式，这是一种非常重要的思想，也就是简化我们计算过程的。 那么这个题就是对我们取对数化简这个求导计算过程的一个重重要的一个例子，大家可以自行下去算一下。 再比如说指数函数、对数函数，我相信大家对这幅怎么计算呢？然后包括这有什么性质？ e 的 零四啊，这有什么性质？然后它趋正无穷的时候是正无穷，趋负无穷的时候是零。那学党问一下， 我们说 e 的 x， 它在 x 趋于无穷的时候极限存在吗？呦，这是无穷不带正符号，极限存在吗？ 啊？是不存在的啊。虽然它趋于负无穷的时候是零，但是我们说极限是有唯一性的。我，我如果这里写的只是趋于无穷的话，那它就是代表既趋于负无穷，又趋正无穷， 所以它趋于正无穷的时候是，呃，趋无穷大了，所以它这个地方极限就不存在了。我们再来看对数函数，对数函数最显著的呃，最最呃，我们最常考的是不就是一个零 x 和 e x 其实是个反函数，这个函数的性质我相信大家也非常非常熟悉， 那么学长这里要提醒大家一点是什么？就是面对这个只对数函数，我们经常要用的一种思想是统一美、简洁美，也就是我们碰到这一，还有这什么？呃 呃，老引一，还有老引 e， 我 们要把它这个形式化成统一的。再在我们后面极限的计算，我们马上要讲到的内容里面，是非常非常常见的一种化简手段。 好，那接下来这个就是我们具体的一个化简例子，就是我们求极限了，我们把这个一化成 long e， 然后这个 long e 一 合并就变成 long e， 加上 e x 分 之一。如果大家学过后面的内容，很明显它是一个等价无穷小，等价于 e x 分 之一，再乘上外面的 x 就 等于一分之一， 非常非常好用的一种思想。然后我们继续来看这道题，这道题其实后面我们求高阶导数， 最重要，也就是第三张还是第四张，最重要的一个考题，也是一个考点，这个这个东西是什么呢？是泰勒展开式， 在我们极限计算，包括高阶导出计算，我会常常常常用到他，呃，就是后面他即使不给你这个你也要知道 e 的 x， 他 泰勒展开以后是这个东西，那，那这个二的 x 四，我们把它画成这个，呃， 指数函数是不是就 e 的 x 零二，然后再把它带下进去？这个这个例题很简单哈，然后这个三角函数，三角函数，我们知道这个零到派上一共的面积是二，这个是我们需要积累的。在后面有一类题目，比如学长出一个就是零 n 趋于无穷的时候，我说，呃，我让 sign x 的 绝对值在零到 n 派上进行积分，再比上 二 n， 如果大家有学过后面的内容，可能对学长来说这个式子非常非常敏感，那我们怎么计算三 x 绝对值在零到 n 派上的积分呢？ 是不是三 x 绝对值其实就把它翻上来，我们不妨就把这个 n 派拆，拆成 n 个，那么零到派，然后派到二派，那么每一派对这个三 x 绝对值积分是不是都是这样的一个面积都是这样的一个面积，也就是 二 n 吧，它一个一共的面积是二，我们也说了这个是个非常重要积累的内容，然后它有 n 个这样的面积，是不是我们积分是不是就把它的面积相加， 是不是有 n 个？也就上面积分出来是二 n， 然后下面又是二 n， 这就是这道题的答案，就等于一，这也是个非常非常常考的一个考题，然后这有什么性质？什么基友性、周期性、有限性，包括特殊函数值，我相信大家都非常熟悉， 接下来我们来解一下这个正切函数，余切函数包括什么正歌函数，余歌函数这部分内容，这部分其实我们直接用来考察图形呢，说实话不多哦，我们更多的是在后面，就我们马上要学到的一元函数微分学里面。然后我们知道每个的啊，什么 tanning x， 它的导数是什么？ cotangning x， 它的导数是什么？这还有什么 second x， 它的导数，还有 这个这个为 x， 它的导数分别是什么？这个是我们需要着重掌握的，但是这个图形呃，相对于前面的来说，它是属于次重要的，但是这个每个点对应的值，大家还是就是这种二分之差，三分之差，相信大家在初高中的时候也也都已经学的差不多了。 然后哦，这里有个非常重要的内容，就是在我们后面积分的时候要用到了一加贪心算法的平方等于 c 呢，算法的平方等于这个算法的平方， 然后还有的就反三角函数，我们要知道哦，这里注，里面又有一个非常重要补充内容，这个内容在有些急求让我们求极限的里面，如果你不知道这个式子，包括下面还有个阿克斯坦和阿克斯坦 x 分 之一加起来也等于二分之派。如果这个内容你不知道，那种题目真是 你看到就懵逼，当然你只要做过一次，对这个式子有印象，你知道那道题是怎么做的，你看到再看到那道题的时候，他们的特征会非常非常明显，反而成为了你就只要只要是你看到过这个式子，然后你做过那个题，那你就下次你再看到相似题，你绝对不会做错，你就比别人多拿五分，一个非常好的这种什么选择一个选择题或填空题。 好，这里也是各自的函数值哦，这再给大家补充一下，怎么知道它等于二分之一派呢？是不是？呃，后面我们马上就要学到求导了，我们给他求导一下，那求导以后导函数等于零， 我们把它设为一个 f x f， 这个 f x 导函数等于零，是不是说明它是个长值函数，然后我们再带个零点进去，是不就可以得到零点的值？它们俩加起来是二分之派，那么它是个长函数，所以它横等于二分之派。 那么说反函数呢？大部分都是针对于单调单值函数，它必须是必须是单值函数，但是我们更多还还给他的一个条件就是肯定要求它是一个单调函数，我们说在单调函数就是求反函数才是比较有意义的。那这里怎么求反函数呢？相信这个例题张军老师给大家讲的也很清楚了， 这里就是需要注意一下，就是咱别哪道题就不看区间，那区间挺重要的，区别不看区间就直接写个 arc 三 x， 还感觉这道题很简单，是吧？那就注意分分段一下就可以，然后这个反正题就我我前面学长说了 arc 探径和 arc 探径 这部分内容。注，里面学长要给大家说一个这个，我们再用到这个单调有界准则，然后去证明 函数的，呃，或者数列的极限存在，那也是我们特别特别难的一个大题，这是一个非常非常重要的思想。 然后面对这种 y 等于 arc tangent x 这种函数，它其实有特征的。比如它给了这个例子，它说 arc tangent a a n 加 a n， 然后等于 arc tangent b n， 然后 a n 是 大于零的，那我们把它一下向 arc tangent b n 减去。 arc tangent a n 等于 a n 大 于零， 那我们知道 arc 减 x 是 单调增加的，然后它这俩加减是大于零的，那我们是不是就可以知道 b n 是 大于 a n 了？然后我们又知道 b n 等于 a n 减一，所以 a n 减一大于 a n， 然后 a n， 它又直接给了你那个条件是大于零的。所以是不是既有单调，它是单调 d 减，然后又有有界，有界是大于零，是不是它就必有极限？这是个非常非常重要的一个思想。然后还是它的性质，这里地这个地方也是 arc tangent x 加上 arc tangent x 等于二分之派，也是求个导导函数等于零就行。然后这个特殊函数值，哪个点的函数值等于多少？呃，我相信大家掌握的都非常好。 还有这个密值函数，密值函数也也没啥好说，最重要的思想就把它化成一个 e 的 什么 v x， 路由 u x 就 可以了，就非常简单。对于我们后面计算极限来说，也就是这样一个式子，然后分第二部分，分段函数，那分段函数就只有三个，一个是绝对值，一个符号，还有一个应该是取整函数， 我相信这个取整和绝对值大家常用，应该不咋会记错，然后也不咋会忘。但是这个符号函数去年呢，也就是二六考研的这个核工大超越上就有一道符号函数的题。那，那真是一眼给我问懵逼了， 好像，好像根本没有做到过那个题。但但其实很简单，就是大于零的时候它，它只是以，小于零的时候它只是负一， x 等于零的时候， 他他的值是零。所以就要求我们什么呢？就基础部分内容，大家还是需要回顾回顾，就考前也需要回顾回顾，别光顾了做题，其实做题给我们带来提升是有限的，更重要是把握住这个题怎么做，然后这个知识点是怎么样的。 好，那我们继续啊，对于这个取整函数也是我们需要把握的，其实就是这样一个式子，这个就是我们最常用的一个放缩的一个手段啊，这有什么， x 减去 x 的 取整部分，让大家一眼就能看出来，这就是学长前面说的就是分段嘛， 对于 x 三，然后再再再取个反函数，那我我们肯定要分断，求它的反函数。好，第二部分内容到这那就结束了，那我们下期再继续讲这个函数的极限的概念与性质。那接下来就要讲马上讲到我们重点内容。其实我感觉第一章内容考察的 并不是特别多，但是张俊老师的书篇幅实在是有点长了，所以还是，嗯，咱把握着重点，把握着解析的本质。那这期视频就分享到这了，我们下期再见，拜拜。

如果说方程组是教你如何在一家店活下去，那么特征值与特征向量就是教你如何把一家店开成一千家， 他在寻找这门生意里最稳定、最具爆发力的黄金内核。一、寻找黄金销售比如果说方程组是教你如何在一间店活下去， 那么特征值与特征向量就是教你如何把一间店开成一千家。老板想找一种推销方案，让卖出的比例和原料消耗的比例完全一致，这样捕获最省心。 在这个逻辑里，特征向量就是那个黄金销售比例，而特征值就是对应的扩张倍数。二、洗底生意基因，老板通过特征多项式计算，可以洗底这款配方矩阵自带的增长基因， 以我们三一二四的配方矩阵为例，通过行列式计算，可以解得两个特征值，分别是五和二， 这代表你的配方有两个增长档位，一个是高效的五倍数，一个是平稳的二倍速。作为想赚大钱的老板，你肯定要死磕那个五三、锁定操作指令，选定了五倍增长率后，具体该怎么卖。这就是寻找特征向量的过程。 计算发现，只要你按一杯 a 配两杯 b 的 比例去卖，奇迹就发生了。你会发现消耗掉的茶叶和砂糖比例竟然也是一比二，这意味着原材料消耗的比例和你的销售比例完美重合，而且补货总量正好翻了五倍，这种步调一致的扩张才是最稳的。 四、商业模式的灵魂复刻最令考生头疼的相似对角化，其实就是老板想把这套五倍增长的逻辑标准化成傻瓜相机式的加盟手册， 通过变换矩阵，老板把复杂的交叉配方变成了互不干扰的对角矩阵，这代表你把复杂的生意拆解成了两个独立的自动驾驶模块，一个负责二倍速运营。五、扩张的核心判定 在老板的扩张令里，有几个硬指标，特增值的和等于矩阵的既特增值的积等于行列式。 老板看一眼配方的主对角线，就知道增长档位的总和，看一眼行列式就知道扩张的潜力。 如果你的配方是实对称矩阵，数学会保证你一定能找到互相垂直的黄金比例，让扩张路径最稳最快。总结一下，特征值是增长倍数，特征向量是黄金比例，对角化是标准化复制。 这不是枯燥的数学符号，这是老板寻找商业帝国最短扩张路径的终极算法。

我的天呐，这位姐姐简直是问出了我们不会化妆的心声了我化完妆为啥我这个这个脸上这些东西化完妆他还在呢就是瑕疵。嗯你看你看我这脸上就是斑斑点点啊，这还有痘印啊啥的有遮瑕膏吗？ 嗯，这玩意不好可以。行，来，先用三文鱼色。我再说一遍啊先用三文鱼色来取粉取完三文鱼色之后这个颜色专门叫转色的哈，可以把你的黑眼圈综合掉来取完之后直接点在你的黑眼圈中间来一打打二打打三打打四打五打。也是中间那个颜色吗不是这个吗？对啊，你是有那个颜色吗啊 对吧是啊你再教我看看。老师老师我跟你说我是不是我的问题我每次我都遮不好你给我你给我选一个适合我的呗。 呃行我先遮瑕膏。其实宝贝们你只要记住几个原则第一点他一定有三个颜色橘色这边这个黑眼圈的深色斑点都有红色浅浅有法令纹而且这个夹膏不能干要润一点而且呢你不能太润太润来遮不住就他要综合的考虑这个夹膏的一个使用感受 啊咱们先遮着看效果吧来。好的，这一大袋二大袋三大袋四大袋五大一。哎呦喂，这眼睛干是吧。呃对，一定不能太干了，容易卡纹卡粉啊老师你给我选选一个适合我的我的我这稍微有点干。 那这个你看我这个干不干。你那个润啊我感觉你那好润啊一打圈都发光了。它很润延展性很强黑眼圈斑点是不是瑕疵痘痘印是不是泪沟法令纹哎呦喂哎呦喂有斑点瑕疵的宝贝看过来，我让你看看我的瑕疵斑点怎么遮的哈。不管你有多重的黑眼圈，只要用三个颜色， 三二一大大，注意看，一大大二大大三大大四大大五大爷，哎呦喂，走，黑眼圈是不是消失了？是的，一点不会卡粉一点不会卡纹。宝贝为什么你的 太干了？黑眼圈遮完之后再选择遮瑕膏的这个深色，专门遮脸的斑点痘印直接点在你脸上的斑斑点点上哪里有斑点哪里？一大大二大大三大大四大大五大爷，看到没有？牛不牛？哪里有斑点哪里有痘痘痘印点哪里？一大大二大大三大大四大大五大爷， 有点遮的干干净净哪里有斑点哪里？一哒哒二哒哒哒哒哒哒哇塞干不干净看好了啊眼袋泪沟法令纹到底应该怎么遮？首先选择一个小刷子蘸取这个浅色，你看我的法令纹走， 然后用这个小这头小刷子给它搓开，一哒哒把边缘搓开。一哒哒二哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒哒。 遮瑕遮的好，粉底打的少，如果你连瑕疵遮盖不住，你光想用粉底遮，你的粉底会越打越厚，像一个面具，这就是你粉底为什么厚的原因。这个牙膏叫调色导，官方价格买一支要多少钱？一百二十八，今天在我们直播间直接改价六十八块钱。今天在我直播间六十八块钱。你买到的是一个遮瑕盘，一个大号拇指拇指铺，一个双头遮瑕刷一共六十八块钱， 照完之后呢？你看他黑眼圈有没有消失，取个深色，取完之后直接点到三到四到五到六，这个调色导。对对是的， 一打打，二打打，三打打，四打打，五打，你看他这么明显的痘痘，痘印是不是遮住了？咦那那平时也是我的手啊，手法要勤一点，不能太蹭，要垂直点拍。哎，你看你看有没有，这里有没有痘印，一打打打打打打，你看这不消失了，哎呦喂，哎呦喂， 遮住了，这不是，哎呦喂，痘坑深到苍蝇都跺脚去。好，非常棒，没问题。哎呦喂，好看，看到没有？遮住了，你看瑕疵是不是遮住了啊？你两边对比一下。哎呀妈呀，这这这这这，你看你看，这边是不是，哎，你看你看，我们遮过这边，你看遮瑕遮的好，粉底打的少啊。